apuntes teoria de errores

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Fsica re-Creativa S. Gil y E. Rodrguez1 1 1 Introduccin Una magnitud fsica es un atributo de un cuerpo, un fenmeno o una sustancia, que puededeterminarsecuantitativamente,esdecir,esunatributosusceptibledesermedido. Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la potencia, la velocidad, etc. A la magnitud deunobjetoespecficoqueestamosinteresadoenmedir,lallamamosmesurando.Por ejemplo, si estamos interesado en medir la longitud de una barra, esa longitud especfica ser el mesurando Paraestablecerelvalordeunmesurando tenemos que usarinstrumentos de medi-cin y unmtododemedicin.Asimismo esnecesario definirunidades de medicin. Por ejemplo, si deseamos medir el largo de una mesa, el instrumento de medicin ser una regla. Si hemos elegido elSistema Internacional deUnidades (SI), la unidad ser el metro y la regla a usardeber estar calibrada enesa unidad (o submltiplos). El mtodo de medicin consisti-r en determinar cuantas veces la regla y fracciones de ella entran en la longitud buscada. En ciencias e ingeniera, el concepto de error tiene un significado diferente del uso habitual de este trmino. Coloquialmente, es usual el empleo del trmino error como anlogo o equiva-lente a equivocacin. En ciencia e ingeniera, el error, como veremos en lo que sigue, est ms bienasociadoalconceptodeincertezaenladeterminacindelresultadodeunamedicin. Ms precisamente, lo que procuramos en toda medicin es conocer las cotas (o lmites pro-babilsticos)deestasincertezas.Grficamente,buscamosestablecerunintervalo x x x x x + como el de la Figura 1.1, donde con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la magnitud x. Este mejor valor xes el ms representati-vo de nuestra mediciny al semianchox lo denominamo la incerteza o error absoluto de la medicin. & Ejemplos @ Ejercicios J Miscelneas $ Evaluacin Erroresde medicin. Precisin y exactitud.Cifras significativas. Errores absolutos y relativos. Histogramas. Errores sistemticos y accidentales. Propagacin de erro-res. Eleccin de instrumentos de medicin. Teora de errores - Incertezas de medicin Fsica re-Creativa S. Gil y E. Rodrguez2 Figura1.1. Intervalo asociado al resultado de una medicin. Notamos que,enlugardedarunniconmero,definimos un intervalo.Al valor representativo del centro del intervalo ( x ) lo llamamos el mejor valor de lamagnitudencuestin.El semiancho del intervalo ( x ) se denomina la incer-tidumbre o error absoluto de la medicin. Entodoprocesodemedicinexistenlimitacionesdadasporlosinstrumentosusados, el mtodo de medicin, el observador (u observadores) que realizan la medicin. Asimismo, el mismoprocesodemedicinintroduceerroresoincertezas.Porejemplo,cuando usamos un termmetroparamedirunatemperatura,partedelcalordelobjetofluyealtermmetro (o viceversa), de modo que el resultado de la medicin es un valor modificado del original debi-do a la inevitable interaccin que debimos realizar. Es claro que esta interaccin podr o no ser significativa: Si estamos midiendo la temperatura de unmetro cbico de agua, la cantidad de calor transferida al termmetro puede no ser significativa, pero si lo ser si el volumen en cuestin es de una pequea fraccin del mililitro. Tanto los instrumentos que usamos para medir como las magnitudes mismas son fuente de incertezas al momento de medir. Los instrumentos tienen una precisin finita, por lo que, para un dado instrumento, siempre existe una variacin mnima de la magnitud que puede detectar. Esta mnima cantidad se denomina la apreciacin nominal del instrumento. Por ejemplo, con una regla graduada en milmetros, no podemos detectar variaciones menores que una fraccin del milmetro. A su vez, las magnitudes a medir no estn definidas con infinita precisin. Imaginemos que queremos medir el largo de una mesa. Es posible que al usar instrumentos cada vez ms preci-sos empecemos a notar las irregularidades tpicas del corte de los bordes o, al ir aun ms all, finalmentedetectemoslanaturalezaatmicaomoleculardelmaterialquelaconstituye.Es claro que en ese punto la longitud dejar de estar bien definida. En la prctica, es posible que mucho antes de estos casos lmites, la falta de paralelismo en sus bordes haga que el concepto de la longitud de la mesa comience a hacerse cada vez menos definido, y a esta limitacin intrnseca la denominamos denominaincerteza intrnseca ofalta de definicin de la magni-tud en cuestin. Otro ejemplo sera el caso en que se cuenta la cantidad de partculas alfa emitidas por una fuente radioactiva en 5 segundos. Sucesivas mediciones arrojarn diversos resultados (simila-res, pero en general distintos). En este caso, de nuevo, estamos frente a una manifestacin de una incerteza intrnseca asociada a esta magnitud nmero de partculas emitidas en 5 s, ms que al error de los instrumentos o del observador. x x x +x x x Fsica re-Creativa S. Gil y E. Rodrguez31.2 Algunos conceptos bsicos Otra fuente de error que se origina en los instrumentos adems de laprecisin es laexactitud de los mismos. Como vimos, la precisin de un instrumento o un mtodo de medi-cin est asociada a la sensibilidad o menor variacin de la magnitud que se pueda detectar con dicho instrumento o mtodo. As, decimos que un tornillo micromtrico (con una aprecia-cin nominal de 10m) es ms preciso que una regla graduada en milmetros; o que un cro-nmetro es ms preciso que un reloj comn, etc. La exactitud de un instrumento o mtodo de medicin est asociada a la calidad de la calibracin del mismo. Imaginemos que el cronmetro que usamos es capaz de determinar la centsimadesegundoperoadelantadosminutosporhora,mientras que un reloj de pulsera comnnolohace.Enestecasodecimosqueelcronmetroestodava ms preciso que el relojcomn,peromenosexacto.Laexactitudesunamedida de la calidad de la calibracin denuestroinstrumentorespectodepatronesdemedidaaceptados internacionalmente. En general los instrumentos vienen calibrados, pero dentro de ciertos limites. Es deseable que la calibracindeuninstrumentoseatanbuenacomolaapreciacindelmismo.LaFigura 1.2 ilustra de modo esquemtico estos dos conceptos. Figura1.2.Estafigurailustrademodoesquemticolosconceptosdeprecisiny exactitud. Los centros de los crculos indican la posicin del verdadero valor del me-surando y las cruces los valores de varias determinaciones del centro. La dispersin de los puntos da una idea de la precisin, mientras que su centro efectivo (centroide) est asociadoalaexactitud.a)esunadeterminacinprecisa pero inexacta, mientras d) es msexactaperoimprecisa;b)esunadeterminacin ms exacta y ms precisa; c) es menos precisa que a). Exactitud c )d a )b Precisin Fsica re-Creativa S. Gil y E. Rodrguez4Decimos que conocemos el valor de una magnitud dada, en la medida en que cono-cemos sus errores.En ciencia consideramos que la medicin de unamagnitud con un cierto error no significa que se haya cometido unaequivocacin o que se hayarealizado una mala medicin. Con la indicacin del error de medicin expresamos, en forma cuantitativa y lo ms precisamente posible, las limitaciones que nuestro proceso de medicin introduce en la deter-minacin de la magnitud medida. Es imprescindible en ciencia e ingenieraespecificar los errores de medicin! La nomenclatura moderna usada en Metrologa para denotar los conceptos dis-cutidos en este capitulo puede encontrarse consultando las publicaciones sobre el te-maelaboradas por la International Organization for Standardization (ISO 3534-1993)[7] que puede obtenerse a travs de la pagina de Internet del National Institute of Standard and Technology (NIST ) de los EE. UU. (http://www.nist.gov/). La institucin equivalen-teenlaRepblicaArgentinaeselInstitutodeTecnologaIndustrial(INTI: http://www.inti.gov.ar/cefis/). 1.3 Clasificacin de los errores Existen varias formas de clasificar y expresar los errores de medicin. Segn su origen los errores pueden clasificarse del siguiente modo: I.Errores introducidos por el instrumento: Errordeapreciacin, ap: si el instrumento est correctamente calibrado la in-certidumbre que tendremos al realizar una medicin estar asociada a la mnima divi-sin de su escala o a la mnima divisin que podemos resolver con algn mtodo de medicin.Ntesequenodecimosque el errorde apreciacin es la mnima divisin del instrumento, sino la mnima divisin que es discernible por el observador. La m-nima cantidad que puede medirse con un dado instrumento la denominamos aprecia-cinnominal.Elerrordeapreciacinpuedeser mayor o menor que la apreciacin nominal, dependiendo de la habilidad (o falta de ella) del observador. As, es posible que un observador entrenado pueda apreciar con una regla comn fracciones del mi-lmetro mientras que otro observador, con la misma regla pero con dificultades de vi-sin slo pueda apreciar 2 mm. Error de exactitud, exac: representa el error absoluto con el que el instrumento en cuestin ha sido calibrado. Fsica re-Creativa S. Gil y E. Rodrguez5II.Error de interaccin; , int: esta incerteza proviene de la interaccin del mtodo de medicin con el objeto a medir. Su determinacin depende de la medicin que se realiza y su valor se estima de un anlisis cuidadoso del mtodo usado. III.Falta de definicin en el objeto sujeto a medicin: como se dijo antes, las magnitudesamedirno estn definidas con infinita precisin. Condef designamos la incertidumbre asociada con la falta de definicin del objeto a medir y representa su in-certidumbre intrnseca. En general, en un dado experimento, todas estas fuentes de incertidumbres estarn presentes, de modo que resulta til definir el errornominal de una medicin nom, como: 2 2int2 2 2exac def ap nom + + + = (I.1) Este procedimiento de sumar los cuadrados de los errores es un resultado de la estadstica, y provienedesuponerquetodaslasdistintasfuentesdeerrorsonindependientesunade otras[10,13]. & Sedeseadeterminareldimetrodeltroncodeunrbolyelreadesuseccin transversal. Cmo procederamos y cules son las fuentes principales de incerti-dumbre en esta determinacin? Un mtodo podra consistir en medir el permetro con una cinta m