1 teoria errores

7/31/2019 1 Teoria Errores

1/31

Teoria de Errores

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

Facultad de Ingenieria Industrial

Mtodos ComputacionalesMg. Hermes Pantoja Carhuavilca


2/31

31

Teoria de Errores

Introduccin

Teoria de Errores

Universidad Nacional Mayor

de San MarcosFacultad de Ingenieria

Industrial

Agenda

Introduccin

Teoria de Errores


3/31

31

Teoria de Errores

3 Introduccin

Teoria de Errores



Industrial

Introduccin al estudio de mtodos computa-cionales


4/3131

Teoria de Errores

Introduccin

4 Teoria de Errores



Industrial

Aproximacin y Errores

Los clculos nmericos inevitablemente conducen aerrores

Estos son de dos clases principales:

1. Errores de Redondeo

Errores asociados con la representacin inexacta de

nmeros reales por la computadora. Errores asociados con la maquina.

2. Errores de Truncamiento

Errores asociados con el uso de un procedimientonumrico aproximado para reemplazar una expresin

matemtica exacta. Error asociados con el algoritmos matemtico.

Ambos conducen al error total.


5/3131

Teoria de Errores

Introduccin

5 Teoria de Errores



Industrial

Fuentes de errores

Los errores en el clculo matemtico tienen varias fuentes:

Definicin (Error del modelo o error del problema)

En los fenmenos de la naturaleza muchas veces efectuamosciertas hiptesis, es decir aceptamos determinadascondiciones que nos dar una situacin aproximada delfenmeno estudiado, de esta manera podemos plantear el

comportamiento de dicho fenmeno por medio de un modelomatemtico.


6/3131

Teoria de Errores

Introduccin

6 Teoria de Errores



Industrial

Definicin (Error del Mtodo)

Cuando un problema planteado en forma precisa no puederesolverse en forma exacta o es muy difcil de hallar lasolucin, se frmula una aproximacin del modelo, queofrezca prcticamente los mismo resultados (mtodo).


7/3131

Teoria de Errores

Introduccin

7 Teoria de Errores



Industrial

Definicin (Error Residual)Son los originados por las series infinitas, al considerar solouna parte finita. Por ejemplo:Para cierto valor n.e = 2 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + . . . + 1/n!

Definicin (Error Inicial)

Son los originados por los parmetros cuyos valores sonconocidos aproximadamente: Ejemplo: La constante dePlanck

6.63 1034 joules*segundo


8/3131

Teoria de Errores

Introduccin

8 Teoria de Errores



Industrial

Definicin (Errores de Redondeo)

Originados por la representacin finita de los nmeros, es elcaso de las computadoras (notacin de punto flotante).Por ejemplo: se redondea en un nmero finito de dgitos.

2/3 se puede redondear a 0.667

Definicin (Error Casual o Accidental(fortuito))

Son los que estn vinculados con los factores que sufrenpequeas variaciones (aleatorias) durante el experimento.


9/3131

Teoria de Errores

Introduccin

9 Teoria de Errores



Industrial

Definicin (Errores Sistemticos)Son aquellos, que sin variar las condiciones del ensayo entrande igual modo en cada resultado de las mediciones, puedenser originados por:

1. Defecto del instrumento

2. Las condiciones del ambiente

3. La metodologa de la medicin

4. Precisin limitada del instrumento

5. Las particularidades del experimentador


10/3131

Teoria de Errores

Introduccin

10 Teoria de Errores



Industrial

Definicin (Estabilidad del Problema)

Significa que pequeos cambios en los datos producenpequeos cambios en la solucin exacta del problema inicial.De los problemas que no verifican esta propiedad, se dicenque estn mal condicionados.


11/31

31

Teoria de Errores

Introduccin




Industrial

Error absoluto, relativo y precisin

Consideremos A el valor exacto de la medida de ciertamagnitud (en general desconocida) y sea a un valorconocido que se llamar aproximacin de A.Evidentemente la buena cualidad de la aproximacin es deacuerdo a cuan prximo est a de A.

Error AbsolutoLlamamos error absoluto del nmero aproximado a alvalor:

a = |A a|

y todo nmero a a, se denominar cota del errorabsoluto.


12/31

31

Teoria de Errores

Introduccin




Industrial


Error Relativo

Llamamos error relativo del nmero aproximado a al valor:

a =|A a|

|A|, A = 0

y todo nmero a a, se denominar cota del error relativo.


13/31

31

Teoria de Errores

Introduccin




Industrial

Ejemplo

Cul es el error absoluto y relativo de la aproximacin 3.14al valor de ?

Solucin: = |3.14 | 0.0016

=|3.14 |

|| 0.00051


14/31

31

Teoria de Errores

Introduccin




Industrial


Precisin

Dado un > 0 (pequeo) decimos que el valor a aproximaa A con una precisin si:

a = |A a|


15/31

31

Teoria de Errores

Introduccin




Industrial

Definiciones

Sean A y a dos nmeros reales. Se dice que a es unaaproximacin de A con n cifras decimales exactas (o que

A y a coinciden en n cifras decimales), si n es elmayor entero no negativo tal que

a 0.5 10n

Ejemplo

Verificar que a = 3.1415 aproxima a A = = 3.141592...con tres cifras decimales exactas


16/31


17/31

31

Teoria de Errores

Introduccin




Industrial

Exactitud vs Precisin

Exactitud : Se refiere a qu tan cercano est el valorcalculado o medido del valor verdadero.Precisin: Se refiere a qu tan cercanos se encuentran, unode otros, diversos valores calculados o medidos.


18/31

31

Teoria de Errores

Introduccin




Industrial

Propagacin de errores

Al resolver un problema utilizando mtodos numricos, el

error que se genera ser consecuencia de un cmulo deerrores ocurridos en pasos sucesivos, se debe estudiar lamecnica de propagacin de los mismos a lo largo delclculo.


19/31

31

Teoria de Errores

Introduccin




Industrial


Propagacin de errores en sumas y diferencias

Datos iniciales:x x y ySea su suma q= x+y y su diferencia q= xy

Cul es la incertidumbre, q?

El error absoluto de la suma y de la diferencia de dos omas magnitudes es la suma de los errores absolutos dedichas magnitudes:

q= xy q x+ y


20/31

31

Teoria de Errores

Introduccin




Industrial


Ejemplo:En un experimento se introducen dos lquidos en unmatraz y se quiere hallar la masa total del lquido. Seconocen:M1 = Masa del matraz 1 + contenido = 540 10g

m1 = Masa del matraz 1 = 72 1gM2 = Masa del matraz 2 + contenido = 940 20gm2 = Masa del matraz 2 = 97 1gLa masa de lquido ser:

M= (M1 m1) + (M2 m2) = 1311gSu error:

M = M1 + m1 + M2 + m2 = 32g

El resultado se expresar:

M= 1311 32g


21/31

31

Teoria de Errores

Introduccin




Industrial


Propagacin de errores en productos y cocientesDatos iniciales:

x x = x

1

x|x|

y y = y

1

y|y|

Sea su producto q= xy y su cociente q= x/yCul es la incertidumbre, q?El error relativo del producto y el cociente es igual a lasuma de los errores relativos de dichas magnitudes:

q= xyq|q|

x|x| +

y|y|

q= x/yq|q|

x|x|

+y|y|

Ejemplo:


22/31

j pPara medir la altura de un rbol L, se mide la longitudde su sombra L1, la altura de un objeto de referencia L2,y la longitud de su sombra L3. Por semejanza:

L = L1.L2

L3

Realizadas las medidas resultan:

L1 = 200 2cm, L2 = 100.0 0.4cm L3 = 10 0.2cm

Por tanto

L = 200.100

10= 2000cm

su error ser

L|L|

L1

|L1|+

L2

|L2|+

L3

|L3|= 2

200+ 0.4

100+ 0.2

10

= (1 + 0.4 + 2)% = 3.4% L =3.4

1002000 = 68

L = 2000 68cm


23/31

31

Teoria de Errores

Introduccin



de San Marcos

Facultad de Ingenieria

Industrial


Error en funcin de una variableDatos iniciales:x x. Sea q= f(x) una funcincualquiera.

Cul es la incertidumbre, q ?

q = f(x+ x) f(x) df(x)

dxx

Si x se mide con un error x y se utiliza para calcular

q= f(x), el error aboluto de q viene dado por:

q=

df(x)

dx

x


24/31

31

Teoria de Errores

Introduccin



de San Marcos


Industrial

Ejemplo

Hallar el error absoluto y relativo que se comete al elevar ala cuarta el nmero x = 2 cuyo error absoluto es 0.1.Solucin:

x = 2, x = 0.1

y = x4, y |dy

dx|x

y 4x3x

y 4(2)3(0.1)

y 3.2

y = 24

= 16 AproximadoY = y y = 16 3.2 ExactoY [12.8, 19.2] Rango

y =3.2

16= 0.2


25/31

31

Teoria de Errores

Introduccin



de San Marcos


Industrial


Error en funcin de varias variablesLas reglas para el clculo de errores que hemos visto sepueden deducir de una frmula ms general que nospermite resolver casos ms complicados.Sean las medidas x e y con errores x y y usadas para

calcular:q= f(x,y)

Mediante un desarrollo en serie para el caso de variasvariables:

f(x+ x,y+ y) = f(x,y) + |fx|x+ |fy|

y+ . . .

con lo que:

q= f(x+ x,y+ y) f(x,y) |f

x

|x+ |f

y

|y


26/31

31

Teoria de Errores

Introduccin



de San Marcos


Industrial

Ejemplo

La corriente pasa a travs de una resistencia R = 20 cuyaprecisin est dentro del 5%, la corriente es de 2 Amp.medida con una aproximacin de 0.1 Amp. Si E = IR.Hallar el error absoluto y relativo.

Solucin:Sabemos que E = IRSea E, I, R los errores absolutos.Propagacin de Errores:

E |EI|I + |E

R|R

E RI + IR


27/31

31

Teoria de Errores

Introduccin



de San Marcos


Industrial

Adems:I = 0.1 Amp.R = 5%(20) = 1Reemplazando:E = 20(0.1) + 2(1) = 4 voltiose = i r = 2(20) = 40 AproximadoE = 40 4 Exacto

e =e|E|

4

40= 0.1

Ej l


28/31

31

Teoria de Errores

Introduccin



de San Marcos


Industrial

Ejemplo

Se tiene un rectngulo cuyos lados han sido medidosaproximadamente en:

l = 3 metrosh = 2 metrosCul es el error permisible con que deben ser medidos l y h,si se desea obtener el rea del rectngulo con un error nomayor al 5%?

S l


29/31

31

Teoria de Errores

Introduccin



de San Marcos


Industrial

Solucin:

A = l hA = 5%(6) = 0.3A = 6 0.3Propagacin de Errores:

A

= |A

l|l

+ |A

h|h

A = h l + l h = 0.3A = (2)l + (3)h = 0.3Ahora que hacemos??Principio de Igual Efecto

Suponemos que cada variable aporta al error en una mismacantidad.

l =0.3

2 2= 0.075 h =

0.3

2 3= 0.05

Ej i i


30/31

31

Teoria de Errores

Introduccin



de San Marcos


Industrial

Ejercicio

El doblado de lminas metlicas es una operacin muycomn en un taller mecnico. La deformacin de una lminadurante el doblado esta dada por:

e = 12RT

+ 1

Donde R es el radio de doblez y T es el espesor de la lmina.

Una lamina de aleacin de aluminio de espesor 2 mm. fuedoblada con un radio de doblez de 12 mm, si se deseaobtener la deformacin con un error no mayor al 5%, querror en las medidas de R y T son permisibles?

Bibli f


31/31

31

Teoria de Errores

Introduccin



de San Marcos


Industrial

Bibliografa

Richard L. Burden and J. Douglas FairesAnlisis numrico, 7a ed.

Steven C. Chapra and Raymond P. CanaleMtodos numricos para ingenieros, 5a ed.

1 teoria errores

Documents