teoria de-errores-

“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la Educación”

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

CURSO : LAB. DE CIRCUITOS ELECTRICOSII

DOCENTE : QUISOCALA HERRERA, JHIMMY ALBERT

TEMA : TEORIA DE ERRORES

FACULTAD : INGENIERIA MECANICA ELECTRICA

ALUMNO : CANAZA MAMANI, Uber Carlos

SEMESTRE : VI

F. ENTREGA : Sábado, 16 de mayo de 2015

PUNO-PERU

2015

Laboratorio de Circuitos Eléctricos II pág. 1

CONTENIDO:

INTRODUCCION…………………………………………………………………

………….3

FUNDAMENTO

TEORICO………………………………………………………………4

OBJETIVOS…………………………………………………………………………

…………..5

Historia de la medición y sus errores

…………………………………………. 5

Antecedentes……………………………………………………………………

……………6

Instrumentos de

medición…………………………………………………………….10

Errores, precisión, tolerancia y

compensación……………………………….15

Causas de los

errores…………………………………………………………………....17

El error clasificación

………………………………………………………………….….17

Métodos de los mínimos

cuadrados……………………………………………...31


Medidas

directas……………………………………………………………………………

35

Medidas

indirectas………………………………………………………………………..3

9

Exactitud……………………………………………………………………………

…………..48

Valor representativo de varias medidas y su

imprecisión………………51

Redondeo:

…………………………………………………………………………………….

.56

CONCLUCION………………………………………………………………………

………..61

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………

….……….61

INTRODUCCIÓN

El resultado de toda medición siempre tiene cierto grado de incertidumbre. Esto se debe a las limitaciones de los instrumentos de medida, a las condiciones en que se realiza la medición, así como también, a las capacidades del


experimentador. Es por ello que para tener una idea correcta de la magnitud con la que se está trabajando, es indispensable establecer los límites entre los cuales se encuentra el valor real de dicha magnitud. La teoría de errores establece estos límites.

Se caracteriza por ser de carácter variable, es decir que al repetir un experimento en condiciones idénticas, los resultados obtenidos no son iguales en todos los casos. Las diferencias en los resultados de las mediciones no siguen ningún patrón definido y son producto de la acción conjunta de una serie de factores que no siempre están identificados. Este tipo de error se trabaja estadísticamente. El error accidental se puede minimizar aumentando el número de mediciones.El error total es igual a la suma de estos tres tipos de errores. Aún cuando el error total se pueda minimizar, es imposible eliminarlo del todo debido a que el error de escala siempre está presente. Por lo tanto, el error total no tiende a cero sino a cierto valor constante.

A la par con los mencionados existen otros tipos de errores como son por ejemplo los errores estáticos y los errores dinámicos. Los errores estáticos se originan debido a las limitaciones de los instrumentos de medida o por las leyes físicas que gobiernan su comportamiento. En un micrómetro se introduce un error estático cuando se aplica al eje una fuerza excesiva. Los errores dinámicos se originan debido a que el instrumento de medida no responde lo suficientemente rápido para seguir los cambios de la variable medida. Pero cualquier tipo adicional de error se puede clasificar en uno de los grupos mencionados anteriormente.


OBJETIVOS

El objetivo de la Teoría de Errores es identificar las diversas fuentes que generan error en la medición, determinar el verdadero valor de las magnitudes físicas medidas de forma directa (medir la altura de un cilindro con el calibrador Vernier) e indirecta (medir el volumen de un cilindro, midiendo su altura y diámetro con el calibrador Vernier).

Además es muy importante en esta práctica que el alumno se familiarice y posea un adecuado manejo de los equipos de medición de laboratorio.

La teoría de errores, sobre la base de LAN mediciones a ejecutar, nos permitirá determinar cuatro cuestiones.

* Hallar el Valor Más Probable de la magnitud (VMP)

* Hallar el valor del error aparente de cada medición (v)

* Hallar el valor del error del VMP. También llamado Error Medio Cuadrático (EMC.)

* Hallar el valor del error relativo de las mediciones (

FUNDAMENTO TEORICO

1.1) HISTORIA DE LA MEDICION Y SUS ERRORES

Historia de la medición. Uno de los primeros conceptos desarrollados por el hombre fue el de número, pues tenía la necesidad de poder expresar numéricamente todo lo que se encontraba a su alrededor. Entonces el hombre comenzó a medir mediante un simple conteo de objetos. Más tarde, y por propias necesidades de su desarrollo, enunció el concepto de medida, realizando las primeras mediciones a partir de unidades muy rudimentarias


1.2) Antecedentes

Las primeras mediciones realizadas estuvieron relacionadas con la masa, la longitud y el tiempo, y posteriormente las de volumen y ángulo como una necesidad debido a las primeras construcciones realizadas por el hombre.Así, por ejemplo, en las primeras mediciones de longitud se empleaba el pie, el palmo, el brazo, etc., que constituyeron, al mismo tiempo, los primeros patrones de medición (patrones naturales), que eran fácilmente transportables y presentaban una relativa uniformidad.

Además, se comparaban masas de acuerdo con la sensibilidad muscular o se medían distancias relacionándolas con el tiempo, a partir de lo que se podía recorrer a pié en un día y otras mediciones por el estilo.Todas estas unidades de medida resultaban imperfectas, ya que variaban de individuo en individuo y de un lugar a otro, lo que comenzó a crear dificultades a la hora de establecer las primeras relaciones comerciales entre los hombres.

No obstante, estos primeros pasos condujeron al origen de la Matemática, y de la Metrología o ciencia de la medición. Esta última se deriva de la primera y otras ciencias puras. A medida que paso el tiempo, el propio desarrollo del comercio, la industria y la ciencia, fueron obligando a un desarrollo paulatino de las mediciones que tan importante papel desempeñan hoy día en las relaciones entre los hombres, ya que forman parte de nuestra vida cotidiana, de la producción, la distribución, la investigación etcétera.

La concepción de la medición:

“La medición es la forma de determinar tamaños la cantidad o la extensión de algo. Es la manera de describir un objeto”.


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La medición es la acción y el efecto de medir. Este verbo, con origen en el término latino metro, se refiere a comparar una cantidad con su respectiva unidad, con el fin de averiguar cuántas veces la segunda está contenida en la primera.

En otras palabras, una medición es la determinación de la proporción entre la dimensión o suceso de un objeto y una determinada unidad de medida. Para posibilitar la medición, la dimensión del objeto y la unidad deben ser de la misma magnitud.

Historia de la Medición

Howard Metro y kilogramo patron.jpg

Hace algunos siglos, medir resultaba algo muy complicado. Como decíamos, medir es simplemente comparar, y cada persona, cada pueblo, cada país comparaba las cosas con lo que más se le antojaba. Por ejemplo, usaban la medida mano para medir distancias, y aún hoy mucha gente, cuando no tiene una regla o una cinta métrica, mide el ancho de la puerta con la mano o el largo del patio con pasos. El problema con esto es obvio: todos los seres humanos no tienen los pies ni las manos del mismo tamaño, o sea, también un problema de medidas.

Los sistemas más raros de medición coexistían hasta la Revolución Francesa, allá por el año 1789. En esta época de tumulto y grandes cambios, los franceses, enardecidos por su afán de cambiar y ordenar el mundo, decidieron que tenían que fundar un sistema de mediciones racional y único que fuera superior a todos los demás. Mientras los políticos se dedicaban a mandar a sus enemigos a la guillotina, la


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http://www.ecured.cu/index.php/Archivo:Howard_Metro_y_kilogramo_patron.jpg

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Asamblea Nacional (francesa) le encomendó en 1790 a la Academia de Ciencias que creara este nuevo sistema.

El nuevo sistema tenía que:

Estar basado en cosas que permanecieran estables en la Naturaleza. No, por ejemplo, el largo de un pie, porque como bien se sabe el largo de los pies, como el de las narices, varía de persona en persona.

Estar basado en pocas formas de medir que se conectaran unas con otras de manera lógica. Por ejemplo, una vez definido el centímetro, se define al litro como el volumen de algo que entra en un cubo de 10 cm de lado, y se define el kilogramo como el peso de un litro de agua.

Debía ser un sistema decimal, es decir, donde los múltiplos de las unidades variaran de 10 en 10. Así, un decámetro es igual a 10 metros, un hectómetro es igual a 10 decámetros, y así sucesivamente.

Nacimiento del metro

Después de mucho pensar, los científicos de la época se pusieron de acuerdo en que la unidad de medición debería tener que ver con el planeta Tierra. Y se propuso: ¿por qué no hacer que la unidad de longitud sea la diez millonésima parte de un cuarto de meridiano terrestre?

Pues un meridiano terrestre es la distancia que va desde el Polo Norte al Polo Sur y vuelta al Polo Norte, es decir, una vuelta completa al planeta pasando por ambos polos. La Academia de Ciencias, le encomendó a un grupo de aventureros que fueran a medir, no todo un meridiano, que es muy largo, sino un cuarto de meridiano, que igual es bastante. Estos medidores midieron la distancia de la ciudad de Dunkirk, FRANCIA, hasta la de Barcelona, España.

A partir de esa medición y mediante observaciones astronómicas se pudo calcular el largo del cuarto de meridiano terrestre. A ese número se le dividió por diez


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http://www.ecured.cu/index.php/Barcelona

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http://www.ecured.cu/index.php/Polo_Norte

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millones. El largo que resultó de esa cuenta se usó para fabricar una barra de platino bautizándola con el nombre de metro.

Entonces, se hicieron y guardaron varias copias del metro patrón en una bóveda de seguridad, protegida de la herrumbre, el frío, el calor y los ladrones. También se decidió que el kilogramo sería, por definición, el peso del agua que cabe en un cubo de un décimo de metro de lado (es decir, 10 centímetros). También se construyó y guardó una pesa patrón de exactamente un kilogramo junto con el metro. A partir de ese momento, todas las mediciones fueron comparaciones con esa barra y esa pesa de platino.

Conceptos de interés

Medir: determina el número de veces que la magnitud a medir contiene la unidad de medida. Resultado; producto del número de medida por la unidad en magnitudes tangibles (longitudes, superficies, volúmenes). Suelen designarse por medida. Verificar; comprobación que se cumplen los limites de medida o bien solamente el máximo o el mínimo.

Error de medición: la inexactitud que se acepta como inevitable al comparar una magnitud con su patrón de medida. El error de medición depende de la escala de medida empleada, y tiene un límite. Los errores de medición se clasifican en distintas clases (accidentales, aleatorios, sistemáticos, etc.).

Tolerancia: La tolerancia se refiere a un margen permisible, en la dimensión nominal o el valor especificado de una pieza manufacturada. El propósito de una tolerancia es especificar un margen para las imperfecciones en la manufactura de una parte o un componente.

Incertidumbre: Desde el punto de vista de la metrología, se define incertidumbre como la característica asociada al resultado de una medición, que define el espacio bidireccional centrado en el valor ofrecido por el instrumento de medida, dentro del cual se encuentra con una determinada probabilidad estadística el valor medido.


La expresión de la medida de cualquier magnitud, no debe considerarse completa, si no incluye la evaluación de incertidumbre asociada a su proceso de medición.

Exactitud: En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina exactitud a la capacidad de un instrumento de medir un valor cercano al valor de la magnitud real. Suponiendo varias mediciones, no estamos midiendo el error de cada una. Sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de las mediciones. (cuán calibrado está el aparato de medición)

Necesidad e Importancia de la medición:

Las mediciones ofrecen los medios exactos y precisos para describir las características y el tamaño de las partes. En esta época de la producción en masa, es frecuente que las partes se hagan en una localidad y se ensamblan en otras. Las mediciones proporcionan ese control al brindar la información en términos comprensibles para todo el mundo.

Las razones básicas que justifican la medición:

1.1 La medición proporciona una manera de controlar la forma en que se dimensionen sus partes.

1. Segundo ofrece, el medio para controlar el dimensionado de las partes que hacen para otros.

2. Es una manera de describir físicamente una parte.

El resultado de medir es conocido como medida. Al realizar una medición, se debe tener cuidado para no alterar el sistema que se observa. De todas formas, hay que considerar que siempre las medidas se realizan con algún tipo de error, ya sea por las imperfecciones del instrumental, las limitaciones del medidor o los errores experimentales.

El patrón que permite realizar las mediciones se conoce como unidad de medida y debe cumplir con tres condiciones básicas:


1. Ser inalterable (no puede cambiar con el tiempo ni en función de quién realice la medida),

2. Ser universal (puede ser utilizado en todos los países)3. Ser fácilmente reproducible.

Cuando una medición se concreta a través de un instrumento de medida, se habla de una medición directa. En cambio, en los casos en que no existe el instrumento adecuado (porque el valor a medir es muy grande o muy pequeño, por ejemplo), la medición se realiza a través de una variable que permite calcular otra distinta. En estos casos, se dice que la medición es indirecta.

2.1) Instrumentos de medición

Para medir masa :

Howard balanza digital.jpg

1. balanza 2. báscula3. espectrómetro de masa4. catetómetro

Para medir tiempo

1. calendario2. cronómetro


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3. reloj4. reloj atómico5. datación radiométrica

Para medir longitud :

Howard cinta métrica.jpg

1. Cinta métrica2. Regla graduada3. Calibre4. vernier5. micrómetro6. reloj comparador7. interferómetro8. odómetro

Para medir ángulos:

1. goniómetro2. sextante3. transportador


http://www.ecured.cu/index.php/Sextante

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Para medir temperatura :

Howard termómetro.jpg

1. termómetro2. termopar3. pirómetro

Para medir presión:

1. barómetro2. manómetro3. tubo de Pitote (utilizado para determinar la velocidad)

Para medir velocidad :

Howard velocímetro.jpg

1. tubo de Pitote (utilizado para determinar la velocidad)2. velocímetro3. anemómetro (utilizado para determinar la velocidad del

viento)4. tacómetro (Para medir velocidad de giro de un eje)


http://www.ecured.cu/index.php/Tac%C3%B3metro

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Para medir propiedades eléctricas :

1. electrómetro (mide la carga)2. amperímetro (mide la corriente eléctrica)3. galvanómetro (mide la corriente)4. óhmetro (mide la resistencia)5. voltímetro (mide la tensión)6. vatímetro (mide la potencia eléctrica)7. multímetro (mide todos los anteriores valores)8. puente de Wheatstone9. osciloscopio

Para medir otras magnitudes:

1. caudalímetro (utilizado para medir caudal)

Howard sismógrafo.jpg

2. colorímetro3. espectroscopio4. microscopio5. espectrómetro6. contador geiger7. radiómetro de Nichols8. sismógrafo9. pHmetro (mide el pH)10. pirheliómetro11. maculometro


http://www.ecured.cu/index.php/Archivo:Howard_sism%C3%B3grafo.jpg

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3) Errores, precisión, tolerancia y compensación.

Generalidades: Descripción y objetivo de la teoría de errores, tipos de mediciones, tipos de errores, causa de los errores, notación.

3.1) Precisión:

Definición y métodos para aumentar la precisión en las mediciones. 2.3 Tolerancia: Definición, exigencias del Reglamento Nacional de Mensuras, exigencias impuestas por el valor económico de la obra, por la seguridad que debe ofrecer, etc. 2.4 Compensación: Definición, cálculo de la compensación. Apéndice.

3.2) Generalidades :

La teoría de errores es una ciencia fundamental para todas las materias donde se manejan y analizan grandes volúmenes de datos provenientes de observaciones directas o mediciones realizadas en laboratorio o trabajos de campo, tales como los que se desarrollan en topografía, geodesia, física, química y sobre todo estadística.

Esta ciencia, parte de la estadística, fue desarrollada por el matemático alemán Karl Friedrich Gauss a partir de sus estudios algebraicos y complementada luego por el inglés Sir Isaac Newton quien aplica su teoría del análisis matemático a la estadística y más tarde por el francés Pierre Simón Laplace quien con su teoría de las probabilidades le da a la estadística y la teoría de errores carácter de ciencia.

Existen varios procedimientos para cumplir los objetivos de la teoría de errores, algunos incluyen procedimientos propios del análisis matemático, como integrales, derivadas, logaritmos Neperianos, etc. no parece ser necesario en estos apuntes tal profundización sobre un tema que no reviste capital importancia para las prácticas topográficas, por lo que solo se verá una versión básica del tema, que se adecua al tema predominante en el ámbito topográfico, la medición en todos


sus aspectos. No obstante en el CD de este apunte se puede encontrar una versión más completa de esta teoría, para quien quiera profundizar en el tema.

Cuando se efectúa la medición de una distancia para conocer su magnitud, solo se obtiene un valor aproximado de la misma, debido a variadas causas y efectos que afectan a todas las mediciones por lo que es imposible conocer con certeza y perfección la verdadera magnitud medida y el error que se ha cometido al hacerlo. Es objetivo de la teoría de errores hallar el valor más cercano posible al verdadero de la magnitud que medimos y el error que hemos cometido durante el trabajo de campo.

Para ello se efectúa una serie de n mediciones de la magnitud a medir (donde n es un número entero, positivo y de un valor absoluto suficientemente grande como para alcanzar la precisión requerida por el trabajo a realizar). Estan mediciones, en general, nos proporcionan magnitudes que difieren entre sí por valores muy pequeños ya que los errores cometidos son, generalmente, pequeños y pasarían desapercibidos sino fueran objeto de observación. Al estudiar estos pequeños errores podemos, por medio de artificios matemáticos llegar a un valor tan aproximado al verdadero de la magnitud, y al error cometido, como se quiera.

Tenemos entonces por razones físicas, y también lógicas, dos premisas fundamentales obtenidas empíricamente:

El valor exacto de una magnitud no se llega a conocer nunca.

Siempre que se mide se cometen errores, es imposible evitarlos.

ACLARACION: En el lenguaje técnico utilizado el término <<error >> utilizado repetidamente en esta unidad es sinónimo de vacilación o indeterminación, no de equivocación ya que estos sucesos, llamados errores groseros, no serán


considerados en este estudio por su absoluta impredecibilidad.

4) Causas de los errores

Son numerosas pero solo nombraremos las más importantes:

Indeterminación de los extremos de la magnitud a medir (por ej. el ancho de una calle sin líneas municipales perfectamente determinadas o el ángulo o la distancia determinada por dos señales muy gruesas).

Limitaciones de nuestros sentidos, principalmente el de la vista, cuya acuidad visiva es de aproximadamente 00° 01' 00"; disminuyendo con la edad o enfermedades.

Imperfección o inadecuación de los instrumentos utilizados, tanto por fabricación, malos

Tratos, falta de mantenimiento, o razones económicas.

Condiciones psicofísicas del operador como ser cansancio, estrés, enfermedades, apuro y por qué no falta de responsabilidad o experiencia.

Imprecisión intrínseca de los métodos de cálculo, como cuando se utilizan calculadoras y la cantidad de decimales no son suficientes para las precisiones requeridas.

Condiciones atmosféricas adversas que puedan alterar los resultados de las medicione

5) EL ERROR: CLASIFICACIÓN

De lo dicho anteriormente, los valores obtenidos cuando medimos magnitudes físicas, no tenemos cómo asegurar que corresponden al valor verdadero. Por ello, necesitamos determinar cuál es el grado de incertidumbre o error de la cantidad obtenida. Entendemos aquí por error a la indeterminación o incerteza propia del proceso de medición y


no lo tomamos como si fuera una equivocación por el operador. Matemáticamente expresaremos el resultado de la medición como:

X = Dm ± E

Donde E es la incertidumbre, incerteza o error cometido en el proceso de medición. Esta expresión nos está indicando que el valor de la magnitud medida se encuentra comprendida en el intervalo de números reales comprendido entre Dm - E y Dm + E. Gráficamente:

Dm - E DmDm + E X

A los fines de sistematizar el tratamiento de los errores cometidos comenzaremos por clasificarlos en función de sus posibles causas en:

2.2.1.- ERROR MÍNIMO

Al analizar las cifras significativas, mencionamos que el objeto, los instrumentos, el operario, ofrecen limitaciones en el número de cifras que podemos medir. Es decir, cada uno de los sistemas que intervienen en el proceso de medición, introduce una incerteza o error en el valor medido. Ellos son:

Error de definición (edad): está determinado por la naturaleza del objeto a medir. (Las rugosidades de un cuerpo aparentemente de superficie lisa, que por más que mejoremos el orden de cifra significativa, llega un momento que no puede mejorarse)

Error de apreciación (gap): es el mínimo valor de medida que puede medir el instrumento. (Una cinta de sastre tendrá una apreciación de 1 cm o 0,5 cm)

Error de interacción (en): surge como resultado de la interacción entre operario, instrumento y objeto. Se introduce este error en la medida que perturbamos el sistema objeto de nuestra medición. (Medir con un cronómetro manual, tiempos del orden da magnitud de nuestra capacidad de reacción)

Error de exactitud (exea): surge de la fidelidad con la que un instrumento recoge los datos de la realidad. (Un amperímetro


clase 0,2, es decir, que a plena escala se comete un error de apreciación de 0,2 para 100 divisiones)

Podemos expresar el error mínimo (emir) como que:

Emir = edad + en + gap + exea

En muchos casos, de acuerdo a las necesidades de precisión del problema se efectuarán una medición o varias mediciones. Para acotar los errores experimentales podemos proceder de las siguientes maneras:

5.1) ERRORES SISTEMÁTICOS Y CAUSALES

SISTEMÁTICOS: Son aquellos que ocurren siempre en una misma dirección. Por ejemplo, si la aguja de la balanza del señor que nos vende verdura en el mercado está un poquito corrida del cero, ya sea a la derecha o a la izquierda, el valor del peso de verdura que nos pese sufrirá sistemáticamente una incertidumbre por exceso o por defecto respectivamente. Cuando midamos en otra balanza calibrada más correctamente, nos daremos cuenta del error y podremos informar a nuestro verdulero para que efectúe la corrección necesaria. No obstante, es probable que si no le avisamos, este señor no tome conocimiento del error de su balanza, puesto que cono mide siempre con el mismo instrumento, será difícil que se percate de dicho error sistemático.

Concluimos entonces que un error sistemático no es fácilmente detectable, porque se producen siempre en una misma dirección, lo podemos identificar cuando usamos otros aparatos u otros métodos de medición. Así podemos cometer errores sistemáticos de medición cuando:

*el instrumento está mal calibrado (nuestro ejemplo)

*fallas en el aparato de medición (balanza mal construida, milímetros más grandes o chicos)

*operador con poca o nada de experiencia en las mediciones (mala ubicación del ojo para mirar es decir error de paralaje)

*influencia del ambiente (aumento de la temperatura)

Una vez conocidos es posible eliminarlos.


5.2) CASUALES O ACCIDENTALES :

Son aquellos que se cometen en forma azarosa, es decir, no podemos predecir cuales son las causas y corregirlas. Los valores de las magnitudes medidas, se cometen por exceso o por defecto. Admiten por lo tanto, para una cantidad grande de medidas un tratamiento estadístico a diferencia de los anteriores. Algunos ejemplos de estos son:

*variaciones de las condiciones externas en forma accidental (variación de la tensión domiciliaria)

*error en la apreciación del instrumento (no se estima correctamente la división de la escala con la que se está midiendo)

*limitaciones impuesta por el propio objeto (superficie rugosa)

5.3) ACOTACIÓN DE ERRORES EN UNA SOLA MEDICIÓN:

En el caso de efectuar una sola medición podemos determinar:

Error absoluto (E): Es la diferencia entre el valor verdadero (V) y el valor medido (Dm). Pero nosotros sabemos que por más exacto que sea el instrumento, por más experimentados que sea el operador, y aún condicionando otras circunstancias, el valor verdadero de una magnitud física no existe, Por lo que el error absoluto no pasa de ser una definición teórica que podemos estimar con el error de apreciación

E = VV. - Dm

Error de apreciación (E): es la menor lectura que puede efectuarse con el instrumento. Por ejemplo,

Si medimos con una regla milimetrada, el E = 1 mm = 0,1 cm = 10-3 m

Si medimos con una regla en centímetro, el E = 1cm = 0,1 dm = 10-2 m

Error de estimación (EE.): Un operador podría considerar que si está midiendo con una regla milimetrada puede “ver” hasta la mitad o 1/2 de la menor apreciación del instrumento, es decir 0,5 ms. En este caso el error cometido en la medición


recibe el nombre de error de estimación. Es decir, es la menor medida que un operador puede estimar con un determinado instrumento de medición.

3.- ¿Cuánto cree que puede estimar como menor valor de medida:

en una regla milimetrada

en la balanza del verdulero

en tu reloj

en la cinta métrica

en el contador de kilómetros de un auto

en el velocímetro de una moto

Sucede que podemos medir el largo de nuestra mesa de trabajo y el ancho del aula con una regla milimetrada. El error que se comete en ambos casos no produce la misma incidencia en el valor final. Es decir que un error de 0,5 mm no tiene la misma relevancia en ambos casos considerados. Para determinar la precisión o calidad con la que se efectúa la medición, se calcula el:

Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor medido.

E

Er = _

Dm

Calcula el error relativo para los casos mencionados, compara los resultados y elabora una conclusión.

Y para poder independizar el error cometido de la medida y poder informar el resultado con precisión, se calcula también el:

Error porcentual (E%): Es el error relativo multiplicado por cien (100)

E% = Er. 100


Determina el error porcentual en las mediciones efectuadas anteriormente.

El error porcentual expresa que por cada 100 unidades medidas se comete Er de error.

4 ¿Qué expresa tu error porcentual calculado? Compara los dos casos.

5.4) ACOTACIÓN DE ERRORES PARA VARIAS MEDICIONES

El problema que se nos plantea ahora es cómo informamos del resultado de nuestras mediciones, si disponemos de una gran cantidad de datos o valores medidos. Supusimos que los errores accidentales permiten un tratamiento estadístico.

El mejor valor

El primer problema que debemos enfrentar es cuál es la mejor medida. Para ello calculamos el valor promedio de los Mí valores medidos:

Dm = Mi / m

La justificación de porque hemos propuesto el promedio como el mejor valor, es que al considerar que los errores accidentales son azarosos, el error cometido en cada medición es

Ei = Mi - Dm

Por lo que las desviaciones por exceso o defecto se compensan, es decir:

Ei = (Vi - Dm) = 0

De donde despejando Dm, resulta la expresión dada inicialmente en este apartado.

Podemos ahora completar la tabla inicialmente planteada. Es importante tener en cuenta que los valores obtenidos resultan de que un sólo observador efectúe las mismas mediciones, con el mismo instrumento y bajo las mismas condiciones de replicabilidad (no de reproductividad).

Error cuadrático medio


Concluimos que la determinación del mejor valor para la magnitud que estamos midiendo es el promedio matemático de las Mí medidas realizadas. El siguiente problema a resolver es cómo informamos de las incertezas o desviaciones cometidas en el proceso de medición. Para ello vamos a calcular el error del promedio. Con ello queremos acotarlo en función de las mediciones realizadas.

El error cuadrático medio de cada medición es:

Observamos que hemos obtenido una expresión que nos informa del error promedio de cada medición, que aunque aumente el número de ellas, tanto el numerador como el denominador, están afectados proporcionalmente, por lo que resulta independiente del número de mediciones realizadas. Por otro lado, nos da la calidad o precisión de la medición realizada, como consecuencia de la construcción de su expresión. Si su valor es grande, las mediciones efectuadas se desvían bastante del Dm, caso contrario sucede con un valor más pequeño.

Error cuadrático medio del promedio

Podemos plantearnos ahora el problema de acotar el error del promedio, para ello calculamos el error cuadrático medio del promedio:

Observemos que a medida que aumente m, E disminuirá, es decir podemos acotar el mejor valor. Esta última expresión nos da un intervalo de incerteza de nuestra medición. Por cálculos que no desarrollaremos en este breve trabajo, la certeza de encontrar el valor verdadero en el intervalo mencionado, es de un 63,8%.

Estamos en condiciones ahora de expresar el resultado del proceso de medición como


V = Dm ± E

PROPAGACIÓN DE ERRORES

En muchos casos podrá planteársenos el problema de acceder a mediciones de ciertas magnitudes a través de otras en forma indirecta, ya sea por no poseer los instrumentos adecuados o por sólo poseer una expresión matemática a través de la cual se la define cuantitativamente. Tal es el caso del volumen de un cuerpo q través de las longitudes de sus aristas, o el caudal de un río a través del volumen por minuto de agua que circula, etc.

Reflexionando podemos concluir que el Dm de la medición indirecta dependerá de los valores promedios o mejores valores de las magnitudes que se miden en forma directa.

Para facilitar el proceso de acotación de los errores ejemplificaremos con:

a) Si V = A + B entonces EV = EA + EB

b) Si V = A. B entonces ERV = ERA ERB

c) Si V = A/ B entonces ERV = ERA + ERB

d) Si V = En entonces ERV = n ERA

Ocurre que al medir las distintas magnitudes directas, no todas son medidas con el mismo número de cifras significativas. En este caso, se tomará como criterio determinar el orden del error de la magnitud indirecta como aquella del orden del menor número de cifras significativas. Para ello se realizará el redondeo correspondiente.

2.2.6.- Relación entre magnitudes medidas: correlación de valores

Los hechos de la Naturaleza se nos presentan como un gran interrogante. Los físicos, químicos, geólogos, biólogos, etc., pretendemos explicar esos hechos y para ello apelamos a medir magnitudes cuyas relaciones queremos descubrir. Esta postura acerca de cómo es el trabajo del científico, es una más entre otras que actualmente son aceptadas por la Filosofía y Epistemología de la Ciencia.


Después de recoger los datos, los ordenamos en una tabla y luego los graficamos. Podemos indagar aquí cuál es la posible relación entre las mismas. Una vez detectada la posible relación matemática, podemos enunciar la ley física y las condiciones bajo las cuales ésta se verifica. Llegamos así a descubrir una regularidad y podemos predecir resultados con la nueva ley. Reflexionamos acerca de los valores medidos y sabemos que ellos poseen errores propios del proceso de medición, por lo que acotarlos debido a la gran cantidad de datos disponibles, nos brindaría información acerca de la pertinencia o no de la ley encontrada.

ERRORES ATMOSFERICOSLa naturaleza actúa sobre todos los elementos que la rodean y sóbrelos que están interactuando con ella, por esa razón los equipos y herramientas también son afectados por factores como la temperatura, presión atmosférica, altitud, electro magnetismo, cargas eléctricas adyacentes a las zonas de trabajo, humedad, radiaciones, nubosidad y refracción solar entre otros.ERRORES SISTEMÁTICOSTienen que ver con la ocurrencia persistente de datos que poco apoco se van acumulando, por ejemplo cuando se tiene una cinta métrica que está alongada y no se ha patronado correctamente, cuando un bastón con prisma reflector está desplomado y se toma línea sobre el o se mide distancias tomándolo como referencia cierta. Dependiendo de la longitud de un segmento o segmentos a medir este topo de errores se acumula y podría ser exagerado al final del tramo haciendo que el resultado de la suma o resta de magnitudes difiera de la realidad en campo. Para reducir estos efectos negativos generados por errores repetitivos acumulables, es recomendable revisar, ajustar, verificar, calibrar y patrona constantemente los equipos para estar seguros de que no van a fallar, se debe utilizar todos los medios disponibles para hacer más fácil el trabajo evitando rutas difíciles a menos que sea necesario, se recomienda seguir procedimientos técnicos probados, para lograr buenos resultados. En cuanto a la temperatura que también afecta las mediciones de los equipos y herramientas, se hade procurar conservar los


equipos en lugares apropiados para evitar que sean afectados por el frio o calor excesivos, una cinta métrica se puedealongar o contraer sin que nos demos cuenta, arrojando dimensiones incorrectas, un equipo de medición angular puede proporcionar o grabar un dato errado si se le expone directamente al

Sol o si está desajustado, un cálculo incorrecto puede transmitir dicho error a una serie de datos que dependan del dato inicial y sumado a la probabilidad de ocurrencia de errores adicionales en la cadena de colección de taos, puede terminar en deformar las figuras geométricas o líneas de los segmentos que se han de representar en un esquema o plano.2.1.8. ERRORES ACCIDENTALESCuando un Topógrafo, Cadenero o Auxiliar no conoce a fondo los conceptos técnicos y procedimientos puede equivocarse en una medida por afán o a causa de una caída golpe, mala posición, también es posible que se equivoque dando un dato descriptivo de una figura o el nombre de un elemento al topógrafo haciendo que recolecte un dato en el orden incorrecto o con un nombre diferente, un operador de equipos puede equivocarse en una altura instrumental inicial, puede armar un bastón con las piezas equivocadas, puede dar línea de ceros atrás o poner la mira en un punto BM o DELTA confundiéndose con una estaca o vértice cercano al requerido realmente, esto causará confusiones en los cálculos y en el peor delos casos requerirá repetir el trabajo.2.1.9. ERRORES EN PRECISION Y EXACTITUDPara hablar de estos errores, debemos tener un concepto claro acerca de lo que significa Precisión y Exactitud.2.1.9.1. Precisión: Se refiere a la posibilidad de encontrar el mismo dato en varias mediciones del mismo valor, con un instrumento que debe estar calibrado y verificado respecto a un Patrón, como ejemplo para el caso dela precisión encontramos la precisión de fábrica cola que un teodolito o estación se identifica, algunos tienen precisiones angulares que van desde los000°00´10” e incluso hasta cantidades menores que el segundo 000°00´00.01 dependiendo de la configuración y


marca del dispositivo, en cuanto a medición de distancias hay equipos que llegan a darresultados comprobados de hasta 0.5 milimetros,obviamente a esto se debe sumar un factor de error por efecto de distancias largas y de los factores atmosféricos de los que ya hablamos en el numeral2.1.3 de este texto.

Errores groseros o equivocaciones: Se deben a inexperiencia o irresponsabilidad del operador. En general su valor absoluto es grande y por lo tanto fácil de localizar dentro de una serie de mediciones. Las observaciones que han dado origen a estos valores se descartan ya que no pueden ser tenidas en cuenta para el cálculo pues harían decaer estrepitosamente la precisión.

Errores sistemáticos: Tienen su origen en causas permanentes y por lo tanto actúan siempre con el mismo signo y módulo. Son ocasionados por imperfecciones de los instrumentos, por factores meteorológicos o por la llamada "ecuación personal del operador" tendencia de cada operador a “redondear” las mediciones hacia abajo o hacia arriba, también forma de posicionarse frente al instrumento, acuidad visiva individual y formas características de bisector, nivelar, etc.

En general se los puede calcular con suficiente precisión y por lo tanto anular. Tampoco son tenidos en cuenta para el cálculo.

Errores Accidentales: Son aquellos que responden únicamente a las leyes del azar, absolutamente fortuitos, se encuentran presentes en todo tipo de mediciones, pueden ser tanto positivos como negativos, y en grandes series tienden a anularse entre sí.

Por su imponderabilidad se los denomina también casuales o irregulares, y de ellos se ocupa fundamentalmente la teoría de errores.


No obstante su irregularidad cumple con ciertas pautas como lo ha demostrado la experiencia, estas son:

Los errores positivos y negativos de un mismo módulo se producen con igual probabilidad.

Los errores pequeños se producen con mayor frecuencia que los errores grandes.

VMP: Es la media aritmética (promedio) de una serie de n valores obtenidos mediante mediciones. Si tenemos una serie de < n > valores l (lecturas) (l1;l2;l3;...; en), el VMP (también

llamadoen estadística) se obtiene mediante la siguiente fórmula:

Reglas para expresar una medida y su error

Toda medida debe de ir seguida por la unidad, obligatoriamente del Sistema Internacional de Unidades de medida.

Cuando un físico mide algo debe tener gran cuidado para no producir una perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando medimos la temperatura de un cuerpo, lo ponemos en contacto con un termómetro. Pero cuando los ponemos juntos, algo de energía o "calor" se intercambia entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura del cuerpo que deseamos medir. Así, el instrumento de medida afecta de algún modo a la cantidad que deseábamos medir

Además, todas las medidas están afectadas en algún grado por un error experimental debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, o las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben de registrar la información.


1.-Todo resultado experimental o medida hecha en el laboratorio debe de ir acompañada del valor estimado del error de la medida y a continuación, las unidades empleadas.

Por ejemplo, al medir una cierta distancia hemos obtenido

297±2 ms.

De este modo, entendemos que la medida de dicha magnitud está en alguna parte entre 295 mm y 299 ms. En realidad, la expresión anterior no significa que se está seguro de que el valor verdadero esté entre los límites indicados, sino que hay cierta probabilidad de que esté ahí.

Una medida de una velocidad expresada de la forma

6051.78±30 m/s

Es completamente ridícula, ya que la cifra de las centenas puede ser tan pequeña como 2 o tan grande como 8. Las cifras que vienen a continuación 1, 7 y 8 carecen de significado y deben de ser redondeadas. La expresión correcta es

6050±30 m/s

Una medida de 92.81 con un error de 0.3, se expresa

92.8±0.3

Con un error de 3, se expresa

93±3

Con un error de 30 se expresa

90±30

2.- Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente, en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 o 0).


3.-La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error, expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).

Expresiones incorrectas por la regla 2

24567±2928 m

23.463±0.165 cm

345.20±3.10 mm

Expresiones incorrectas por la regla 3.

24567±3000 cm

43±0.06 m

345.2±3 m

Expresiones correctas

24000±3000 m

23.5±0.2 cm

345±3 m

43.00±0.06 m

6) MÉTODO DE LOS CUADRADOS MÍNIMOS

El proceso de acotación mencionado en el párrafo anterior, comienza con la compensación de los errores que se cometen en cada medición disponible. Otra consideración que podemos realizar es que las magnitudes puedan estar relacionadas en forma lineal. Con estas dos condiciones podemos suponer que:

la relación entre las magnitudes X e Y medidas están relacionadas con la expresión:


Y = a X + b

la expresión de a y b está dada por:

Y para una recta que pasa por el origen, la expresión es

Y = a X

Donde

Veamos un ejemplo.

En el laboratorio se efectuaron mediciones de la tensión de una fuente con un voltímetro de apreciación E = ,05 V y la intensidad de corriente que circulaba por un circuito con un amperímetro de 0,02 A de apreciación, obteniéndose los siguientes valores:

V(Volt) I(A)

0,80 0,20

1,30 0,30

1,70 0,40

2,20 0,50

2,65 0,60

3,10 0,70

3,45 0,80


3,85 0,90

El problema siguiente fue determinar la expresión que relaciona tales magnitudes, partiendo del hecho de que ésta existe.

Si representamos en los ejes coordenados Volt vs Intensidad de corriente en Ampere, obtenemos:

V (volt)

I (ampere)

Observamos que la distribución de los puntos es casi lineal, por lo que suponemos una relación:

V = k I ya que para V = 0, no circula corriente por el conductor.

K = 4,49 V/A

Por lo que V = 4,49*I [V]

Hemos encontrado la expresión matemática conocida como Ley de Ohm. Todos los conductores que obedecen esta ley, de llaman conductores Óhmicos.

5 ¿Podrías graficar la recta cuya expresión fue obtenida?

Seguramente estas observando, que no todos los puntos pertenecen a la recta cuya expresión encontramos y la cual fue dibujada. Recordemos que partimos de la condición que considera que el error cometido en las abscisas es mínimo y por lo tanto despreciable frente al error cometido con los valores de la ordenada.

En general, el error medio cuadrático cometido en el cálculo de los parámetros de la recta vienen dados por:

En el caso más general:

En el caso en que la recta pasa por el origen:


6 Calcula el error en el parámetro a en nuestro ejemplo. Luego, expresa el valor con su respectivo error.

En general, no sólo existen relaciones lineales entre dos variables, sino que podemos encontrar funciones cuadráticas, de proporcionalidad inversa, y otras, más complicadas que escapan a nuestra capacidad de trabajo. A continuación, se grafican dos casos, se efectúa el cambio de variable más adecuado y se gráfica la nueva expresión. De esta manera se confirma la relación funcional primeramente propuesta.

y = k x2

Cambio de variable

u = x2

y = k u y = k u

Grafiquemos

A continuación en la próxima página presentamos un mapa conceptual del proceso de medición.

¡La Física nos es sino... resolución de problemas!

¿Cómo resolver un problema?

Para responder esta pregunta, primero trataremos de definir qué es un problema.

“Problemas son situaciones que plantean interrogantes y dificultades para las cuales no hay una solución única y preestablecida” (Hayes 1981, Bender y Millán 1986)

Se sugiere para resolver problemas:

Leer atentamente el enunciado


Reelaborar el problema, es decir, enunciarlo nuevamente afín de:

concretar la situación planteada (inicialmente un tanto ambigua, confusa, incierta),

identificar incógnitas,

reconocer datos,

Identificar un hilo conductor de la solución buscada.

determinar relaciones entre datos e incógnitas, en base a lo que ya se conoce, o bien investigar nuevas relaciones (búsqueda bibliográfica), lo que llevará a proponer como hipótesis, las posibles soluciones.

Analizar e interpretar los resultados en el marco de la situación problemática planteada

Síntesis final, concretando la solución del problema, enunciando las condiciones bajo las cuales se los resolvieron, enumerando posibles nuevos problemas que surgen del planteo original.

final, por ejemplo: para medir largas distancias con precisión nos debería utilizar medidas a pasos o con cinta métrica tendida y desnivelada sobre el suelo, para trasladar un nivel a larga distancia no se debería confiar en procedimientos básicos como una manguera de niveles, para hacer levantamientos de alta precisión con estaciones totales o teodolitos se debe utilizar plomadas o bases nivel antes con prismas fijos que garanticen que se apunte los hilos de la mira del equipo al punto requerido. Todos estos criterios técnicos entre otros, optimizan los trabajos y agregan confiabilidad a la información, su omisión generalmente trae por consecuencia el efecto del error.

7.1) Medidas directas


Un experimentador que haga la misma medida varias veces no obtendrá, en general, el mismo resultado, no sólo por causas imponderables como variaciones imprevistas de las condiciones de medida: temperatura, presión, humedad, etc., sino también, por las variaciones en las condiciones de observación del experimentador.

Si al tratar de determinar una magnitud por medida directa realizamos varias medidas con el fin de corregir los errores aleatorios, los resultados obtenidos son x1, x2,...en se adopta como mejor estimación del valor verdadero, el valor medio <x>, que viene dado por

El valor medio, se aproximará tanto más al valor verdadero de la magnitud cuanto mayor sea el número de medidas, ya que los errores aleatorios de cada medida se va compensando unos con otros. Sin embargo, en la práctica, no debe pasarse de un cierto número de medidas. En general, es suficiente con 10, e incluso podrían bastar 4 o 5.

Cuando la sensibilidad del método o de los aparatos utilizados es pequeña comparada con la magnitud de los errores aleatorios, puede ocurrir que la repetición de la medida nos lleve siempre al mismo resultado; en este caso, está claro que el valor medio coincidirá con el valor medido en una sola medida, y no se obtiene nada nuevo en la repetición de la medida y del cálculo del valor medio, por lo que solamente será necesario en este caso hacer una sola medida.

De acuerdo con la teoría de Gauss de los errores, que supone que estos se producen por causas aleatorias, se toma como la mejor estimación del error, el llamado error cuadrático definido por


El resultado del experimento se expresa como

<x>±Dx y la unidad de medida

4.-La identificación del error de un valor experimental con el error cuadrático obtenido de n medidas directas consecutivas, solamente es válido en el caso de que el error cuadrático sea mayor que el error instrumental, es decir, que aquél que viene definido por la resolución del aparato de medida.

Es evidente, por ejemplo, tomando el caso más extremo, que si el resultado de las n medidas ha sido el mismo, el error cuadrático, de acuerdo con la formula será cero, pero eso no quiere decir que el error de la medida sea nulo. Sino, que el error instrumental es tan grande, que no permite observar diferencias entre las diferentes medidas, y por tanto, el error instrumental será el error de la medida.

Ejemplos:

El siguiente Apple se puede utilizar para calcular el valor medio de una serie de medidas y el error cuadrático. Se introduce cada una de las medidas en el control área de texto del Apple, y se pulsa RETORNO, de este modo las medidas aparecen en una columna. A continuación, se pulsa el botón titulado Calcular. El botón titulado Borrar limpia el área de texto y lo prepara para la introducción de otra serie de medidas.

1. Si al hacer una medida de la intensidad con un amperímetro cuya división o cifra significativa más pequeña es 0.01 A, la lectura es 0.64 A, y esta lectura es constante (no se observan variaciones al medir en diferentes instantes), tomaremos 0.64 como el valor de


la medida y 0.01 A como su error. La medida se expresará así

0.64±0.01 A

2. Supongamos que hemos medido un determinado tiempo, t, cuatro veces, y disponemos de un cronómetro que permite conocer hasta las décimas de segundo. Los resultados han sido: 6.3, 6.2, 6.4 y 6.2 s. De acuerdo a lo dicho anteriormente, tomaremos como valor medido el valor medio:

El error cuadrático será

Este error se expresa con una sola cifra significativa, (regla 2), Dt=0.05 s. Pero el error cuadrático es menor que el error instrumental, que es 0.1 s, por lo que debemos tomar este último como el error de la medida, y redondear en consecuencia el valor medio, (regla 3) por lo que el resultado final de la medida es

t=6.3±0.1 s

3. Consideremos un ejemplo similar al anterior, pero en que los valores obtenidos para el tiempo están más dispersos: 5.5, 5.7, 6.2 y 6.5 s. Se encuentra que el valor medio es 5.975, y el error cuadrático 0.2286737. El error cuadrático es en este caso mayor que el error instrumental, por lo que debemos tomarlo como el error de la medida. Siguiendo la regla 2, lo debemos redondear a 0.2 (una sola cifra significativa). Y de acuerdo con la regla 3 (la medida y el error con el mismo número de decimales), expresamos la medida finalmente como


t=6.0±0.2 s

7.1.1) Error absoluto y error relativo

Los errores de los que hemos estado hablando hasta ahora son los errores absolutos. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor medio. Es decir

Donde<x> se toma en valor absoluto, de forma que he es siempre positivo.

El error relativo es un índice de la precisión de la medida. Es normal que la medida directa o indirecta de una magnitud física con aparatos convencionales tenga un error relativo del orden del uno por ciento o mayor. Errores relativos menores son posibles, pero no son normales en un laboratorio escolar.

7.2) Medidas indirectas

En muchos casos, el valor experimental de una magnitud se obtiene, de acuerdo a una determinada expresión matemática, a partir de la medida de otras magnitudes de las que depende. Se trata de conocer el error en la magnitud derivada a partir de los errores de las magnitudes medidas directamente.

Funciones de una sola variable

Si se desea calcular el índice de refracción n de un vidrio midiendo el ángulo crítico θ, tenemos que n=1/seno. Si medimos el ángulo θ es fácil calcular el índice de refracción n. Pero si conocemos el error de la medida del ángulo, necesitamos conocer el error del índice de refracción.


Sea una función y=y(x). Como se aprecia en la figura, si el error Ex es pequeño. El error Yse calcula del siguiente modo

Y=tanθ·Δx

Pero tan es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x

Como la pendiente puede ser positiva, si la función es creciente o negativa si la función es decreciente, en general tendremos que

Sea y=cosax

Sea x=20±3 º,

y=cos20=0.9397

El error Ex=0.05 rad

Y=|sen20|·0.05=0.02


y=0.94±0.02

Un ejemplo importante y frecuente en el laboratorio sobre las medidas indirectas es el siguiente:

4. Supongamos que queremos medir el periodo P de un oscilador, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilación completa, y disponemos de un cronómetro que aprecia las décimas de segundo, 0.1 s. Medimos el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones, por ejemplo 4.6 s, dividiendo este tiempo entre 10 resulta P=0.46 s, que es el periodo "medio".

Obtenemos para el error DP=0.01 s. Por tanto, la medida la podemos expresar como

P=0.46±0.01 s

Es evidente, que podemos aumentar indefinidamente la resolución instrumental para medir P aumentando el número de periodos que incluimos en la medida directa de t. El límite está en nuestra paciencia y la creciente probabilidad de cometer errores cuando contamos el número de oscilaciones. Por otra parte, el oscilador no se mantiene con la misma amplitud indefinidamente, sino que separa al cabo de un cierto tiempo.

Función de varias variables

La magnitud y viene determinada por la medida de varias magnitudes p, q, r, etc., con la que está ligada por la función

y=f (p, q, r...).

El error de la magnitud y viene dado por la siguiente expresión.


Casos más frecuentes

La medida de los lados de un rectángulo son 1.53±0.06 cm, y 10.2±0.1 cm, respectivamente. Hallar el área del rectángulo y el error de la medida indirecta.

El área es z=1.53×10.2=15.606 cm2

El error relativo del área Dz/z se obtiene aplicando la fórmula del producto de dos magnitudes.

El error absoluto con una sola cifra significativa es 0.6. De acuerdo con la regla 3, la medida del área junto con el error y la unidad se escribirá como

15.6±0.6 cm2

Funciones de dos variables

Queremos calcular la aceleración de la gravedad g, midiendo el periodo P de un péndulo de longitud l

El periodo de un péndulo


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/pendulo/pendulo.htm#Oscilaciones%20de%20peque%C3%B1a%20amplitud

La expresión del error Kg de la variable dependiente g

Supongamos que medimos el periodo P y la longitud l del péndulo

P=1.396±0.004 sl=92.95±0.1 cm

Calculamos la aceleración de la gravedad y el error

g=979.035 cm/s2

Kg=4.28

Expresamos correctamente la medida y el error de g

979±4 cm/s2

Ley de Snell de la refracción

Cálculo del error en la medida del índice de refracción n.

Sea i=20±1 º y r=13±1 º

Se calcula el índice de refracción y el error


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/snell/snell.htm#Ley%20de%20Snell%20de%20la%20refracci%C3%B3n

n=1.52En=0.136

Expresamos correctamente la medida y el error de n

n=1.5±0.1

Tipos de errores

Error de redondeo:Se originan al realizar los cálculos que todo método numérico o analítico requieren y son debidos a la imposibilidad de tomar todas las cifras que resultan de operaciones aritméticas como los productos y los cocientes, teniendo que retener en cada operación el número de cifras que permita el instrumento de cálculo que se esté utilizando.

Existen dos tipos de errores de redondeo:

* Error de redondeo inferior: se desprecian los dígitos que no se pueden conservar dentro de la memoria correspondiente.

* Error de redondeo superior: este caso tiene dos alternativas según el signo del número en particular:

Para números positivos, el último dígito que se puede conservar en la localización de memoria incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

Para números negativos, el último dígito que se puede conservar en la localización de la memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es mayor o igual a 5.

Error por truncamiento:Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un número infinito de instrucciones para hallar la solución exacta de un determinado problema. Puesto que es totalmente imposible realizar infinitas instrucciones, el proceso debe truncarse. En consecuencia, no se halla la solución exacta que


se pretendía encontrar, sino una aproximación a la misma. Al error producido por la finalización prematura de un proceso se le denomina error de truncamiento. Un ejemplo del error generado por este tipo de acciones es el desarrollo en serie de Taylor r. Este es independiente de la manera de realizar los cálculos. Solo depende del método numérico empleado.

Error numérico total:Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando.

Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración (o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

Errores humanos:Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras pueden dar números erróneos por r su funcionamiento. Actualmente las computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres. Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la solución del problema. Los errores humanos por negligencia son prácticamente inevitables pero se pueden minimizar.

Error inherente:En muchas ocasiones, los datos con que se inician los cálculos contienen un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida experimental de una determinada magnitud física. Así por ejemplo, el diámetro de la sección de una varilla de acero presentará un error según se haya medido con una cinta métrica o con un pie de rey. A este tipo de error se le denomina error inherente.

Error absoluto:Es la diferencia entre el valor exacto (un número


determinado, por ejemplo) y su valor calculado o redondeado:

Error absoluto = [exacto - calculado]

Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementa juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa. Pero también es demasiado optimista esperar que errores con signo sumen cero a menudo. Un enfoque realista es suponer que los errores, en especial el redondeo, están estadísticamente distribuidos.

Error relativo:Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos

Error relativo= [exacto - calculado]/ [exacto]

El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud de los números que se redondean. El denominador de la ecuación de arriba compensa este efecto.

Una característica relacionada de error relativo es que los efectos de escalar la variable (es decir, de multiplicarla por una constante distinta de cero, incluyendo cambios en la unidad de medición) se cancelan. Una buena medida del error


debería ser "invariante de las escalas", de modo que al cambiar de yardas a pulgadas, digamos, no debería amplificar el error aparente por 36, como sucedería en la ecuación de arriba. Si bien las matemáticas puras se inclinarían a utilizar el error absoluto, en general el error relativo se emplea en las ciencias aplicadas.

Algunas veces conviene multiplicar el error relativo por 100 (por ciento) para ponerlo en una base porcentual.

Propagación del error

Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un problema son más importantes de lo que aparentemente puede parecer. Desafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al realizar operaciones con dichosdatos, hasta el punto de que puede suceder que el resultado carezca de significado. Con el propósito de ilustrar esta situación, seguidamente se calcula la diferencia entre los números:

a = 0.276435 b = 0.2756

Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por aproximación y trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores aproximados a dichos números y el error relativo cometido es:

a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3

b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3

Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre los aproximados se obtiene:


a - B = 0:000835

a'- b'= 0.0

Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del 100%. Este ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el error de redondeo de los datos se ha amplificado al realizar una única operación, hasta generar unresultado carente de significado.

8.1) Exactitud: Tiene que ver con el acercamiento de un datomedido a la magnitud real, como ejemplo hipotéticopensemos que tenemos el Patrón internacional demedida con el que se definió la magnitud de unmetro, lo medimos con un flexómetro común y alcomparar nos da un dato exactamente igual o porejemplo si tenemos una red de mojonesmonitoreados por una red GPS de alta precisión yarmamos una Estación total sobre ellos y confirmamos que la medida es igual o que sea cerca bastante en coordenadas N,E,Z al dato oficial de los mojones previamente monitoreados. Para las magnitudes lineales o de distancia se ha definido grados de precisión recomendables páralos levantamientos Topográficos, como ejemplotenemos el siguiente cuadro:Para el caso de magnitudes angulares se toma encuenta un error permisible y se compara con unasumatoria de ángulos especifica dependiendo de lafigura geométrica o número de vértices delpolígono, si el resultado de las mediciones difiereexcesivamente del valor requerido o especificadopara el trabajo este debería ser revisado, re medidoy re calculado si es necesario para cumplir con elobjetivo.

La teoría de errores constituye una rama del conocimiento científico que, a los efectos de la enseñanza, queda en un terreno intermedio entre el de las teorías científicas y el de la práctica experimental.


La limitación de los elementos físicos disponibles para realizar un sistema de medida hace que las señales de salida discrepen de las que se obtendrían con un sistema ideal. Estas discrepancias se denominan errores y, dado que algunas de ellas son inevitables, el objetivo es reducirlas de modo que a partir de la salida se pueda determinar el valor de la entrada con una incertidumbre aceptable. El número de cifras con que se exprese un resultado debe concordar con la incertidumbre que tenga asociada. Los errores de un sistema se determinan a partir de su calibración, que consiste en aplicarle entradas conocidas y comparar su salida con la obtenida con un sistema de medida de referencia, más exacto. Según su naturaleza los errores pueden ser sistemáticos o aleatorios. Error Sistemático Un error sistemático tiene siempre la misma amplitud cuando las condiciones del sistema son las mismas, o bien varía de acuerdo con una ley conocida cuando una de dichas condiciones cambia de una forma predeterminada. Error Aleatorio Un error aleatorio tiene una magnitud que cambia de unas a otras ocasiones a pesar de que las condiciones del sistema sean las mismas.Los errores aleatorios se manifiestan cuando se mide repetidamente la misma magnitud con el mismo instrumento y el mismo método, y presentan las siguientes propiedades:1. Los errores aleatorios positivos y negativos de igual valor absoluto tienen la misma probabilidad del producirse.2. Los errores son tanto menos probables cuando mayor sea su valor.


3. Al aumentar el número de medidas, la media aritmética de los errores aleatorios de una muestra tiende a cero.4. Para un método de medida determinado, los errores aleatorios no exceden de cierto valor. Las medidas que lo superan deben repetirse y, en su caso, estudiarse por separado. La calibración permite corregir los errores sistemáticos y estimar la magnitud de los errores aleatorios (pero no corregirlos) Errores Estáticos y Errores Dinámicos Según que se manifiesten cuando las señales de entrada son lentas o rápidas, los errores se denominan estáticos o dinámicos. Un error estático afecta a las señales lentas, por ejemplo de frecuencia inferior a 0,01 Hz. Un error dinámico afecta a las señales rápidas, y es una consecuencia de la presencia de elementos que almacenan energía. Dado que en la respuesta dinámica se consideran dos fases, la respuesta transitoria y la respuesta estacionaria, se habla de error dinámico transitorio y error dinámico estacionario. El error dinámico de un sistema depende de su orden y de la forma de la señal de entrada. Las señales consideradas habitualmente son el escalón, la rampa y las sinodales. Los sistemas de orden cero no tienen error dinámico. Los sistemas de primer y de segundo orden tienen un error dinámico para las entradas en rampa y sinodales, incluso en régimen estacionario, y tienen un error dinámico para las entradas en escalón sólo durante la fase transitoria. En los sistemas de segundo orden la fase transitoria dura tanto más cuanto menor sea el amortiguamiento. El error dinámico para entradas sinodales incluye un retardo y un error de amplitud, pero normalmente


al hablar de error dinámico se suele sobrentender el error de amplitud.

¿Es indicio de haber realizado una buena medida que al repetirla obtengamos el mismo valor?

Obtener exactamente el mismo valor al repetir la medida es un indicio de que el instrumento es muy "fiel", pero tanta fidelidad lo que pone de manifiesto es una falta de "sensibilidad".

Ejemplo: Si medimos la longitud de una mesa con una regla graduada en cm (no tiene divisiones de mm) y obtenemos 80 cm, el resultado será: 80 ± 1 cm.

Si medimos la mesa con una regla tan poco sensible no vamos a notar diferencia entre una medida y otra, obtendremos siempre 80 cm.

Si el aparato es digital se toma como imprecisión la que indica el fabricante.

LA EXPRESIÓN DE UNA MEDIDA SIEMPRE DEBE ESTAR ACOMPAÑADA DE SU IMPRECISIÓN

Si medimos el tiempo que tarda en completarse una oscilación de un péndulo con un reloj que mide centésimas de segundo, obtenemos distintos valores cada vez. Aquí la sensibilidad del aparato aumenta y su fidelidad disminuye los errores accidentales que afectan a cada medida.

Un aparato muy fiel es, casi siempre, poco sensible

El "valor real" de la magnitud nunca se puede conocer con total precisión o certidumbre. Si realizamos la medida con técnicas e instrumentos cada vez más precisos, los resultados tienden gradual y asintóticamente a un valor que denominaremos "valor verdadero".

Existen otras limitaciones intrínsecas al proceso de medida. Si las dimensiones que medimos son del tamaño atómico


aparecen implicaciones cuánticas por el fuerte impacto de la sonda que mide sobre el objeto a medir.

¿Cuál debe ser el número de medidas que hay que realizar para reflejar una medida exacta?

Si repetimos la medida y obtenemos valores diferentes, en principio debemos realizar tres medidas. Como valor verdadero de la magnitud medida tomamos la media aritmética ( ) de las tres y hallamos la dispersión (D) de esas medidas.

Para hallar la dispersión (D) de las medidas restamos la menor de ellas de la mayor y obtenemos el valor "D".

Hallamos el % de dispersión, %D:

Si en la medida , tenemos una dispersión D, el % de dispersión será:

Si el % de la dispersión (%D) es menor que el 5% es suficiente realizar tres medidas. En caso contrario realizaremos de 6 a 10.

Si el %D > 8 debemos realizar 15 medidas.

Los errores accidentales se compensan haciendo varias medidas

9) Valor representativo de varias medidas y su imprecisión

Si debemos realizar varias medidas - recuerda que lo determina %D-, debemos decidir cual de ellas representa el "valor verdadero" y con que imprecisión la conocemos.

Como valor de la medida se puede tomar la moda, la mediana o la media aritmética.


Normalmente en física tomamos la media aritmética

La media aritmética se halla sumando todas las medidas y diviendo entre el número de ellas:

Si una de las medidas está claramente apartada de las demás, se desprecia (es evidente que viene de un error de medida y no merece estra representada en la media).

La imprecisión que establecemos para la media aritmética de varias medidas se le llama la imprecisión absoluta (Ea) .

La imprecisión absoluta de varias medidas (Ea), se halla sumando las cantidades que se desvía cada medida de la media aritmética, tomadas en valor absoluto (sin tener en cuenta el signo) y divididas por el número de ellas.

La fórmula de la imprecisión (Ea) es:

La imprecisión que acompaña al resultado es la que tiene mayor valor entre:

* la imprecisión absoluta (Ea)

* la sensibilidad del aparato (menor división).

El valor que estimamos como verdadero (x) estará comprendido entre los valores de la media aritmética aumentada y disminuída del Ea o de la sensibilidad del aparato.


El "valor verdadero" nunca lo conoceremos con total precisión y estará comprendido entre "la media aritmética menos la imprecisión y la media aritmética más la imprecisión".

La imprecisión también se puede representar por la desviación standard, que no trataremos aquí. Es un concepto semejante a la imprecisión absoluta que formula la teoría de errores de Gauss. Su expresión es:

También se llama error cuadrático medio, por lo tanto Dx equivale a Ea

Expresión numérica del resultado de la medida y su imprecisión.

El valor que estimamos como verdadero (x) estará comprendido entre los valores de la media aritmética aumentada y disminuída del Ea.

La imprecisión que acompaña al resultado (a la media aritmética) es la mayor de las dos cantidades siguientes:

la imprecisión absoluta de la medida (Ea)

o la sensibilidad del aparato (menor división).

El valor elegido entre los dos es el error absoluto.

El "valor verdadero"nunca lo conoceremos con exactitud y estará comprendido entre la media aritmética menos la


imprecisión y la media aritmética más la imprecisión (recuerda que la imprecisión puede ser la Ea o la sensibilidad del aparato)

Cualquier valor medido debe darse acompañado de su imprecisión (error absoluto) y sus unidades.

Ejemplo: masa X=45,00 ± 0,01 kg

El número 45,00 tiene 4 cifras significativas

Su valor estará comprendido entre 44,99 Kg y 45,01 Kg

Ejemplos

Existen unas reglas para expresar la imprecisión y el resultado de la medida.

1.- Si realizamos una sola medida, el resultado se acompaña al valor leído en el aparato de medida ± la sensibilidad del mismo.

Si para medir una longitud grande debemos llevar el metro varias veces sobre la magnitud a medir, el error total es la suma de los errores. Esta medida es de mala calidad. Por ejemplo: medir una pared con una cinta métrica que llevamos sobre la pared y que tenemos que mover sobre ella acumula un error igual a la sensibilidad de la cinta por el número de veces que la movimos sobre la pared. Aunque unas veces montemos sobre la anterior medida y otras nos adelantemos para calcular el error debemos ponernos en las condiciones más desfavorables.

2.- Si debemos realizar varias medidas - recuerda que lo determina %D-, debemos decidir de todas ellas cual representa el "valor verdadero" y con que imprecisión la conocemos.


http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/glosario.htm

La imprecisión que acompaña al resultado (a la media aritmética) es la mayor de las dos cantidades siguientes: la imprecisión absoluta de la medidas (Ea), o la sensibilidad del aparato (menor división).

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9.1)Redondeo:

¿Con cuántas cifras significativas se da la imprecisión y cómo condiciona esta la correcta expresión de la medida?

Suponemos que estamos seguros de que todas las cifras con las que expresamos la imprecisión son ciertas (no hay incertidumbre acerca de su valor y son todas significativas)

La imprecisión debe darse con una sola cifra significativa: se tomará la cifra más significativa de la imprecisión.

Esta cifra se redondeará según la que le siga. Si es mayor de 5, se incrementa en una unidad y si es menor de 5, se deja como está.

La imprecisión se dará con dos cifras significativas si la primera es un uno. En este caso la segunda cifra sólo podrá ser un 0 ó un 5, redondeándose a estos valores según las que le sigan.

Ejemplos:

Ea incorrecto Ea correcto

0,00423 0,004

0,89 0,9

26 30

0,123 0,10


http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/glosario.htm#cifras

http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/medidas_directas.htm#inicio

0,138 0,15

El número de cifras significativas del resultado lo determina la imprecisión. La cifra menos significativa del resultado será del orden decimal determinado por la cifra significativa de la imprecisión.

Ejemplo: 34,123 ± 0,001

La cifra significativa de la imprecisión corresponde a las milésimas y la cifra menos significativa del resultado (el 3) está en el orden de las milésimas.

Ejemplos de resultados incorrectos y su equivalente correcto

Incorrectos Correctos

453 ± 0,51 453, 0 ± 0, 5

0, 0237 ± 0,01 0, 02 ± 0, 01

5, 897 ± 0,028 5,99 ± 0,03

56,789 ± 0,138 56,79 ± 0,15

34567 ± 3427 34000 ± 3000

332 ± 120 300 ± 100

Notación científica

A menudo usamos números con muchos ceros (muy grandes o muy pequeños) que pueden escribirse abreviadamente usando potencias de 10. Esto permite tener, con una simple ojeada, idea de su orden de magnitud, permite operar más fácilmente e incluso revisar rápidamente operaciones realizadas con ellos.

Utilizando la notación científica el número se escribe como el producto de dos partes: un número comprendido entre 1 y 10


y una potencia de 10. Se representa el número con un sólo entero seguido de todas las cifras significativas y multiplicado por la potencia de 10 que corresponda para lograr la equivalencia.

Ej: 0,0001230=1,230· 10 -4

120000000=1,2·10 8

Orden de magnitud.

En los cálculos aproximados y en descripciones generales, como cuando decimos "es una distancia de unos .....", se suele expresar la cantidad por su orden de magnitud, para lo cual se toma por redondeo la potencia de 10 más próxima al número.

Ejemplos

Una longitud de 8· 10 -6 m decimos que es del orden de magnitud de 10 - 5 m ( del orden de las 10 micras).

Una longitud de 1,2· 10 3 m tiene un orden de magnitud de 103 (del orden de los km)

Error absoluto. Error relativo

Error absoluto es igual a la imprecisión que acompaña a la medida. Nos da idea de la sensibilidad del aparato o de las cuidadosas que han sido las medidas por lo poco dispersas que resultaron.

Ea=imprecisión=incertidumbre


El error absoluto nos indica el grado de aproximación y da un indicio de la calidad de la medida. El conocimiento de la calidad se complementa con el error relativo.

Error relativo es el cociente entre el error absoluto y el que damos como representativo (la media aritmética).

Se puede dar en % de error relativo. Indica la calidad de la medida. Por ejemplo: si cometemos un error absoluto de un metro al medir la longitud de un estadio de fútbol de 100 m y tambien un metro al medir la distancia Santiago-Madrid 600.000 m, el error relativo será 1/100 para la medida del estadio y 1 / 600.000 para Santiago-Madrid. Mucha más calidad en la segunda medida.

Cambio de escala

Al realizar medidas con aparatos en los que podemos variar la escala debemos escoger la adecuada para reducir el error.

Así debemos proceder:

1º.- Comenzar por la escala más alta para proteger el aparato (Por ejemplo cuando usamos un amperímetro).

2º.- Emplear la escala en la que el valor a medir lleve la aguja a la parte más alta de la escala sin salirse de ella. El error relativo que cometemos es menor.

Ejemplo: Vamos a medir el voltaje de una pila próximo a 1,5 V

Si empleamos la escala del polímetro de 0 a 50 voltios, la aguja quedará en el fondo de la escala (recorrerá sólo el primer 3% de la escala). Si el valor de la menor división es 1


v, este valor es casi igual al voltaje a medir (error relativo=1/1,5 ¡enorme! )

Si cambiamos de escala y usamos una de 0 a 10 V, los 1,5 v llevarán la aguja al 15% de la escala. La menor división es ahora 0,2 V y el error relativo=0,2/1.5. Esta medida es mucho mejor.

CONCLUSIÓN

De acuerdo con lo que hemos observado, y los datos obtenidos en los ejercicios, tenemos que cada vez que se efectúe el conjunto de operaciones requeridas para medir una determinada magnitud, se obtendrá un número que solamente en forma aproximada representa la medida buscada. Por lo tanto, cada resultado de una medición está afectado por un cierto error.


En vista de la monografía realizada tenemos muchos puntos que rescatar , en la realidad se encuentran un sinfín de medidas con errores pequeños por no decir insignificantes que no afectan mucho en el calculo esto se da en las grandes medidas como mega proyectos , pero en cálculos pequeños se tiene que tener mucho cuidado por que afecta mucho en el error.

BIBLIOGRAFIA

Errores en las medidas. (n.d.). Retrieved May 15, 2015, from http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/unidades/medidas/medidas.htm

Historia de la medición - EcuRed. (n.d.). Retrieved May 15, 2015, from http://www.ecured.cu/index.php/Historia_de_la_medici%C3%B3n

ife_err. (n.d.).

Medición y errores. (n.d.). Retrieved May 15, 2015, from http://html.rincondelvago.com/medicion-y-errores.html

Metodos numéricos: Teoría de errores. (n.d.). Retrieved May 15, 2015, from http://1bioquimica04.blogspot.com/2008/02/teora-de-errores.html

Teoría de errores. (n.d.). Retrieved May 15, 2015, from http://jogomez.webs.upv.es/material/errores.htm

TEORIA DE ERRORES EN LAS MEDICIONES | Gabriela/Mediciones en WordPress.com. (n.d.). Retrieved May 15, 2015, from https://gabrielamorales.wordpress.com/teoria-de-errores-en-las-mediciones/

TEORIA DE ERRORES EN TOPOGRAFIA | Alejandro Figueredo Morales - Academia.edu. (n.d.). Retrieved May 15, 2015, from http://www.academia.edu/9460124/TEORIA_DE_ERRORES_EN_TOPOGRAFIA


TEORIA DE ERRORES: INTRODUCCIÓN. (n.d.). Retrieved May 15, 2015, from http://www.mariangaspi.blogspot.com/2006/02/introduccin_114036934701951189.html


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