Profesora: Integrantes : Carlena Astudillo Daily Ávila

Valentina Galanton

Neriagny Barreto

Leonardo Aguilar

Lenix Rodríguez

Mirian Martínez

Universidad Nororiental Privada

Gran Mariscal de Ayacucho

Escuela de Ingeniería

Núcleo El Tigre

Introducción

A lo largo del tiempo, los métodos numéricos han sido desarrollados con

el objeto de resolver problemas matemáticos cuya solución es difícil o

imposible de obtener por medio de los procedimientos tradicionales.

Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones

de los valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que

será conveniente determinar. Aunque la perfección es una meta digna de

alabarse es difícil si no imposible de alcanzarse.

Las aproximaciones numéricas pueden introducir errores

Exactitud y Precisión

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud. La precisión se refiere a 1) el numero de cifras significativas que representa una cantidad o 2) la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. La inexactitud ( conocida también como sesgo ) se define también como un alejamiento sistemático de la verdad . la precisión por otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento.

Los métodos números deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. También debe ser lo suficientemente preciso para el diseño en la ingeniería. Usaremos el termino de error para representar la inexactitud y la precisión de las predicciones.

Un Error es una incertidumbre en el resultado de

una medida. Se define como la diferencia entre el

valor real Vr y una aproximación a este valor Va

e=Vr-Va

Existen diferentes tipos de errores, cada

uno se puede expresar en forma absoluta

o en forma relativa

Tipos de Errores

Se origina al realizar los cálculos

que todo método numérico o

analítico requiere y son debidos a

la imposibilidad de tomar todas

las cifras que resultan de

operaciones aritméticas como los

productos y los cocientes,

teniendo que retener en cada

operación el numero de cifras que

permita el instrumento de calculo

que se este utilizando.

Error de redondeo inferior:

Desprecian los dígitos que no

se pueden conservar dentro

de la memoria

correspondiente.

Error de redondeo superior:

Este caso tiene dos

alternativas según el signo del

numero en particular:

Para los números positivos el

ultimo digito que se puede

conservar en la localización de

memoria incrementa en una

unidad si el primer digito

despreciado es mayor o igual a 5.

Para números negativos, el ultimo

digito que se puede conservar en

la localización de la memoria se

reduce en una unidad si el primer

digito despreciado es mayor o

igual a 5.

Error Por Truncamiento

Existen muchos procesos que requieren la ejecución de un numero infinito de

instrucciones para la solución exacta de un determinado problema, Ya que es

totalmente imposible de realizar infinitas instrucciones, el proceso debe

truncarse, por lo tanto no se halla la producción exacta sino una

aproximación a la misma. Se puede minimizar al incluir mas términos en la

ecuación.

Error Numérico Total El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de

truncamiento. La única forma de minimizar los errores de redondeo es la

de incrementar el número de cifras significativas de la computadora.

Representación grafica de las

ventajas y desventajas entre errores

de redondeo y truncamiento que en

ocasiones influyen en el curso de un

método numérico. El punto óptimo

muestra donde el error de redondeo

comienza a negar los beneficios

dados por la reducción del tamaño

de paso.

Son los errores por negligencia o equivocación. Las computadoras

pueden dar números erróneos por su funcionamiento. Actualmente las

computadoras son muy exactas y el error es atribuido a los hombres.

Se pueden evitar con un buen conocimiento de los principios

fundamentales y con la posesión de métodos y el diseño de la solución

del problema. Los errores humanos por negligencia son prácticamente

inevitables pero se pueden minimizar.

Errores humanos

Error Inherente

En muchas ocasiones, los datos con que se inician los cálculos contienen

un cierto error debido a que se han obtenido mediante la medida

experimental de una determinada magnitud física.

Así por ejemplo, el diámetro de la sección de una varilla de acero

presentará un error según se haya medido con una cinta métrica o con un

pie de rey. A este tipo de error se le denomina error inherente.

Error absoluto Es la diferencia entre el valor exacto (un número determinado, por

ejemplo) y su valor calculado o redondeado:

Error absoluto = [exacto - calculado]

Debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto, el error absoluto no es negativo. Así pues, una colección (suma) de errores siempre se incrementan juntos, sin reducirse. Este es un hecho muy pesimista, dado que el redondeo y otros errores rara vez están en la misma dirección, es posible que una suma ("algebraica") de errores sea cero, con aproximadamente la mitad de los errores positiva y la otra mitad negativa.

Errores Sistemáticos

Los errores sistemáticos son debidos a defectos en los aparatos de

medida o al método de trabajo. Normalmente actúan en el mismo sentido,

no son aleatorios, siguiendo unas leyes físicas determinadas, de tal forma

que en ocasiones se podrán calcular y compensar matemáticamente tras

la medida. Un ejemplo podría ser el de una regla graduada pero dilatada

por el calor, esa regla daría como resultado longitudes siempre menores

que las reales.

Error Relativo Es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado.

Generalmente, el divisor es una de tres elecciones: la magnitud del valor

exacto, la magnitud del valor calculado (o redondeado) o el promedio de

estas dos cantidades. La mayor parte de las veces utilizaremos

Error relativo= [exacto - calculado]/[exacto]

El error relativo es una mejor medida del error que el error absoluto, en

especial cuando se utilizan sistemas numéricos de punto flotante. Puesto que

los elementos de un sistema de punto flotante no están distribuidos de

manera uniforme, la cantidad de redondeos posibles depende de la magnitud

de los números que se redondean. El denominador de la ecuación de arriba

compensa este efecto.

Errores de Formulación

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto, ya que si se esta usando un modelo deficiente, ningún método numérico generara los resultados adecuados.

Propagación del Error Las consecuencias de la existencia de un error en los datos de un

problema son mas importantes de lo que aparentemente puede

parecer. Desafortunadamente, esto errores se propagan y amplifican al

realizar operaciones con dichos datos, hasta el punto de que puede

suceder que el resultado carezca de significado. Con el propósito de

ilustrar esta situación, seguidamente se calcula la diferencia entre los

números:

a = 0.276435 b = 0.2756

Si los cálculos se realizan en base diez, coma flotante, redondeando por

aproximación y trabajando con tres dígitos de mantisa, los valores

aproximados a dichos números y el error relativo cometido es:

a = 0.276 error relativo= 1.57x10-3

b = 0:276 error relativo= 1.45x10-3

Si ahora se calcula la diferencia entre los valores exactos y la diferencia entre

los aproximados se obtiene:

a - b = 0:000835

a'- b'= 0.0

Debe observarse que el error relativo de la diferencia aproximada es del

100%. Este ejemplo, extraordinariamente sencillo, pone de manifiesto como el

error de redondeo de los datos se ha amplificado al realizar una única

operación, hasta generar un resultado carente de significado.

Cifras Significativas

A la hora de expresar el resultado de una medida junto con su error asociado se

han de observar ciertas consideraciones:

1. En primer lugar se ha de escribir correctamente el error. Dado que su valor

es aproximado, no tiene sentido dar más allá de una cifra significativa

excepto en el caso en que al quitar la segunda cifra significativa se

modifique de forma considerable su valor. Por ello se establece la norma en

que el error se expresa con una cifra significativa, excepto cuando esa cifra

sea un 1 o cuando sea un 2 seguida de un número menor que 5, en este

caso se puede expresar con dos cifras significativas.

Error de V

Error de V

Error de L

BIEN

0,12 V

0,08 V

30 cm

MAL

0,1203 V

0,078 V

35 cm

2.En segundo lugar se ha de escribir correctamente el valor de la

medida. Tampoco tiene sentido que la precisión del valor medido sea

mayor que la precisión de su error. El orden decimal de la última cifra

significativa de la medida y de la última cifra significativa del error

deben coincidir. Para ello se redondea el valor de la medida, si hace

falta.

Medida de V

Medida de V

Medida de L

BIEN

48,72 ± 0,12 V

4,678 ± 0,012 V

560 ± 10 cm

MAL

48,721 ± 0,12 V

4,6 ± 0,012 V

563 ± 10 cm

También hay que tener en cuenta cuando se trabaja con número grandes o

pequeños utilizando la notación científica de potencias de 10, que conviene

escribir valor y error acompañados de la misma potencia de 10.

BIEN

8,72·10-4 ± 0,12·10-4 N

(4,678 ± 0,012) ·10-8 A

MAL

872·10-6 ± 0,12·10-4 N

4,678·10-8 ± 1,2·10-10 A

Para obtener un buen resultado de una medida, minimizando el efecto de los

errores accidentales, es conveniente repetir la medida varias veces. El valor

medio será el que tomaremos como resultado de la medida, ya que

probablemente se acerque más al valor real. Cuantas más repeticiones de la

medida se efectúen, mejor será en general el valor medio obtenido, pero más

tiempo y esfuerzo se habrá dedicado a la medida.

Desviación Típica

Normalmente a partir de un cierto número de repeticiones no vale la pena

continuar. ¿Cuál es el número óptimo de repeticiones? Para decidirlo hay que

realizar tres medidas iniciales. A partir de estas medidas se calcula la

dispersión D. La dispersión de una medida es la diferencia entre el valor

máximo y el mínimo obtenidos, dividido entre el valor medio, expresado en

tanto por cien.

Software de computo Numérico

Muchas situaciones practicas de la vida real concernientes al campo de la

ingeniería involucran problemas de computo que requieren ser resueltos

empleando ciertos métodos y técnicas matemáticas , raíces de polinomios

y funciones, soluciones de derivadas e integrales complicadas, sistemas

de ecuaciones , gráficas de funciones, interpolación etc.

Las cuales si se llegan a realizar manualmente llegan a consumir tiempo

resultado muy tediosas, inclusive si seguimos este camino podemos llegar

a equivocarnos debido a la interactividad y complejidad de los

métodos.Para evitar este tipo de incidentes nos podemos auxiliar de

software de computo numérico como:

•MathCad

•MatLab

•Maple

•Derive

•Cabri Geometry.

Los programas anteriormente mencionados

resuelven operaciones como las ya comentadas

mediante el uso de comandos entregando al

usuario los resultados esperados sobre la

resolución de ciertas operaciones.

Mathcad es un software de computadora diseñado principalmente para la

verificación, validación, documentación y re-uso de cálculos de ingeniería.

Se introdujo al mercado en 1986 en DOS, fue el primero en introducir

edición en vivo de la notación matemática combinada con computación

automática. Distribuido por PTC es muy visual y permite el uso de plantillas

de funciones en las que solo es necesario escribir los valores deseados,

incluso para graficar funciones.

Mathcad es un entorno de documentación técnica con prestaciones de cálculo numérico y simbólico, que permite explorar problemas, formular ideas, analizar datos, modelar y chequear escenarios, determinar la mejor solución, como así también documentar, presentar y comunicar los resultados.

Error verdadero: Es la diferencia entre la medida de una cantidad y su

valor verdadero. Sin embargo, su valor exacto es imposible de determinar,

puesto que para hacerlo se tendría que realizar infinitas mediciones a través

de la siguiente ecuación:

ilXE

El valor más probable es un valor calculado, como el que tiene más

probabilidades que ningún otro de representar el verdadero valor de la

cantidad, el cual se obtiene a través de la siguiente expresión

matemática:

n

llllX n...321

El error aparente (residual) es la diferencia entre el valor más probable

(X) y la medición efectuada. Se calcula a través de la siguiente expresión:

XlV ii

•Error medio cuadrático de las observaciones:

1

2

0

n

Vmm

•Error medio cuadrático del valor más probable:

•Error medio cuadrático del valor más probable:

•Error medio cuadrático del valor más probable:

)1(

2

0

nn

Vmm

Ejemplo; Se ha medido cuatro veces una distancia en terreno plano, y los

datos obtenidos fueron:

mmmm 27,310;30,310;20,310;25,310

Solución: Se calcula el valor más probable:

mX

n

llllX n

255,3104

02,1241

...321

•Se calcula el error residual de cada medición:

015,0255,31027,310

055,0255,31020,310

045,0255,31030,310

005,0255,31025,310

44

33

22

11

XlV

XlV

XlV

XlV

XlV ii

Nº Lectura X Vi Vi

2

1 310.25 310.255 -0,005 0,000025

2 310.30 310.255 0,045 0,002025

3 310.20 310.255 -0,055 0,003025

4 310.27 310.255 0,015 0,000225

n∑ 0,000 0,0053

Se calcula el error medio cuadrático del valor mas probable: