teoria de errores unidad 2

Medición e Instrumentación

Teoría de Errores Página 1

Tipos de Error

Ninguna medición se puede realizar con una exactitud perfecta, pero

es importante descubrir cual es la exactitud real y como se generan los

diferentes errores en las mediciones. Un estudio de los errores es el

primer paso al buscar modos para reducirlos con objeto de establecer

la exactitud de los resultados finales.

Lo errores pueden provenir de diferentes fuentes y por lo general se

clasifican en tres categorías principales:

Errores gruesos: son en gran parte de origen humano, como la mala

lectura de los instrumentos, ajuste incorrecto y aplicación inapropiada,

así como equivocaciones en los cálculos.

Errores Sistemáticos: se deben a fallas de los instrumentos, como

partes defectuosas o gastadas, y efectos ambientales sobre el equipo

del usuario.

Errores Aleatorios: ocurren por causas que no se pueden establecer

directamente debido a variaciones aleatorias en los parámetros o en

los sistemas de medición.

Cada uno de estos tipos de errores se analizan brevemente y se

sugieren algunos métodos para su reducción o eliminación.

Errores Graves

Se deben principalmente a fallas humanas en la lectura o en la

utilización de los instrumentos, así como en el registro y cálculo de los

resultados de las mediciones. Cuando el hombre participa en las

mediciones, se comete inevitablemente algunos errores graves.

Aunque probablemente es imposible la eliminación total de éstos se

debe anticiparlos y corregirlos. Algunos de estos errores se detectan

con facilidad pero otros son muy evasivos. Un error común y frecuente

entre principiantes es el uso inapropiado de un instrumento. En



general las condiciones de funcionamiento de los instrumentos

indicadores cambian cuando se conectan a un circuito de tal modo que

la cantidad medida se altera según el método empleado.

Por ejemplo un voltímetro bien calibrado puede dar una lectura

errónea cuando se conecta a través de dos puntos en un circuito de

alta resistencia (ejemplo 1). El mismo dispositivo conectado en un

circuito de baja resistencia puede dar una lectura más confiable

(ejemplo 2). Estos casos indican que el voltímetro adquiere un “efecto

de carga” en el circuito, lo cual altera el estado original en el proceso

de medición.

Ejemplo 1

En un voltímetro con sensibilidad de 1000 /V se lee 100V, en su

escala de 150 V conectado a través de una resistencia desconocida

en serie con un miliamperímetro. Cuando el miliamperímetro indica

5mA, calcúlese a) el valor de la resistencia aparente desconocida; b)

el valor de la resistencia real desconocida; c) el error debido al efecto

de carga del voltímetro.



Solución

Planteamiento del Problema

Inciso a

La resistencia total del circuito equivale a

10020

5

TT

T

V VR k

I mA

Si se desprecia la resistencia del miliamperímetro, el valor de la

resistencia desconocida es 20xR k

Inciso b

La resistencia del voltímetro equivale a

1000 150 150VR V kV

Debido a que el voltímetro esta en paralelo con la resistencia

desconocida, cabe escribir.



20 15023.07

130

T Vx

V T

R RR k

R R

Inciso c

23.07 20% 100% 100%

23.07

% 13.23%

real aparente k kError

real k

Error

Ejemplo 2

Repítase el ejemplo 1 pero ahora el miliamperímetro indica 800mA y

en el voltímetro se lee 40 V en su escala 150 V.

Solución


Inciso a

La resistencia total del circuito equivale a

4050

0.8

TT

T

V VR

I A



Si se desprecia la resistencia del miliamperímetro, el valor de la

resistencia desconocida es 50xR

Inciso b

La resistencia del voltímetro equivale a

1000 150 150VR V kV

Debido a que el voltímetro esta en paralelo con la resistencia

desconocida, cabe escribir.

50 15050.1

149.95

T Vx

V T

R R kR

R R k

Inciso c

50.1 50% 100% 100%

50.1

% 0.2%

real aparenteError

real

Error

Los errores debidos al efecto de carga del voltímetro se evitan

utilizándolo inteligentemente.

Un gran número de errores graves son atribuidos a descuidos o malos

hábitos como lecturas inapropiadas de un instrumento, registro de los

resultados en forma diferente a las lecturas obtenidas o ajuste

incorrecto de los instrumentos. Considérese el caso de un voltímetro

de escalas múltiples que usa un solo conjunto de marcas de escalas

con diferentes números de designación para varias escalas de voltaje.

Es fácil emplear una escala que no corresponde a la establecida en el

selector de escala del instrumento.

Otro grave error puede ocurrir cuando el instrumento no esta ajustado

a cero antes de tomar la medición; entonces todas las lecturas están

mal.



Errores como estos no se pueden tratar a nivel matemático; se evitan

teniendo cuidado en la lectura y registro de los datos de medición. Una

buen practica es efectuar mas de una lectura de la misma cantidad, de

preferencia por diferentes observadores. Nunca dependa solo de una

lectura, tómese un mínimo de tres lecturas separadas,

preferentemente en condiciones en que los instrumentos se enciendan

para hacer la medición.

Errores sistemáticos

Por lo general se dividen en dos categorías:

1) Errores instrumentales, referentes a los defectos de los

instrumentos, y

2) Errores ambientales, debidos a las condiciones externas que

afectan las mediciones.

Los errores instrumentales son inherentes a los instrumentos de

medición a causa de su estructura mecánica. Por ejemplo, en el

galvanómetro D’Arsonval, la fricción de los cojinetes de varios

componentes móviles puede causar lecturas incorrectas. La tensión

irregular de los resortes o estiramiento del mismo; así como una

reducción de la tensión debido al manejo inapropiado o sobrecarga del

instrumento causa errores.

En esta clasificación también se incluyen los de calibración, lo que

hace que el instrumento de lecturas altas o bajas a lo largo de toda la

escala. (El descuido al no ajustar el dispositivo a cero antes de

efectuar una medición tiene un efecto semejante).

Hay muchas clases de errores instrumentales, según el tipo de

instrumento empleado. El experimentador siempre debe tomar

precauciones para asegurarse de que el aparato se use y se opere

correctamente y no contribuya con errores excesivos para sus

propósitos. Las fallas en los instrumentos se pueden detectar



verificando si hay comportamiento errático, así como la estabilidad y la

reproducibilidad de los resultados. Una forma rápida y fácil de verificar

un instrumento es compararlo con otro de las mismas características o

con uno más exacto.

Los errores instrumentales se pueden evitar:

1. Al seleccionar el instrumento adecuado para la medición

particular.

2. Al aplicar los factores de corrección después de definir la

cantidad del error instrumental, y

3. Al calibrar el instrumento con un patrón.

Los errores ambientales se deben a las condiciones externas que

afectan la operación del dispositivo de medición incluyendo las

condiciones del área circundante del instrumento, como los efectos de

cambio de temperatura, humedad, presión barométrica o de campos

magnéticos y electrostáticos; por ejemplo, un cambio de la

temperatura ambiente a la cual se usa el instrumento altera las

propiedades elásticas del resorte en el mecanismo de bobina móvil y

afecta la lectura del instrumento.

Las medidas correctivas para reducir estos efectos incluyen aire

acondicionado sellado y hermético en ciertos componentes del

instrumento, asilar el equipo de campos magnéticos, etcétera.

Los errores sistemáticos también se pueden subdividir en estáticos o

dinámicos. Los primeros se originan por las limitaciones de los

dispositivos de medición o las leyes físicas que gobiernan su

comportamiento. Un error estático se introduce en un micrómetro

cuando se aplica presión excesiva al eje al girarlo. Los errores

dinámicos se producen cuando el instrumento no responde con

suficiente rapidez a los cambios de la variable medida.



Errores aleatorios

Se deben a causas desconocidas y ocurren incluso cuando todos los

errores sistemáticos se han considerado. En experimentos bien

diseñados por lo general se presentan pocos errores aleatorios pero

llegan a ser importantes en trabajos de gran exactitud.

Supóngase que se monitorea un voltaje con un voltímetro, el cual lee

cada media hora.

Aunque el instrumento es operado en condiciones ambientales ideales

y se calibro antes de la medición, las lecturas varían ligeramente

durante el periodo de observación. Esta variación no se puede corregir

por ningún método de calibración u otro método de control conocido y

no se puede explicar sin una investigación minuciosa.

La única forma de compensar estos errores es incrementar el número

de lecturas y usar medios estadísticos para obtener la mejor

aproximación del valor real de la cantidad medida.

Análisis Estadístico

El análisis estadístico de datos de mediciones es una práctica común

ya que permite obtener una determinación analítica de la

incertidumbre del resultado final. El resultado de un método de

medición se puede predecir con base al muestreo de datos sin tener

información detallada de todos los factores de perturbación. Para

realizar métodos estadísticos e interpretaciones claras, generalmente

se necesita un gran número de mediciones.

También los errores sistemáticos deben ser pequeños en comparación

con los errores residuales o errores aleatorios, ya que el tratamiento

estadístico de datos no puede eliminar tendencias fijas contenidas en

las mediciones.



Media Aritmética

El valor más probable de una variable medida es la media aritmética

del numero de lecturas tomadas. Cuando el número de lecturas de la

misma cantidad es muy grande, se obtiene la mejor aproximación. En

teoría, un número infinito de lecturas daría el mejor resultado, aunque

en la practica solo se puede ejecutar un número finito de mediciones.

La media aritmética esta dada por la siguiente expresión:

1 2 3 4 .... n

xx x x x xx

n n

(1)

Donde

1 2 3

media aritmética

, , lecturas tomadas

número de lecturas

x

x x x

n

El siguiente ejemplo presenta el uso de la media aritmética.

Ejemplo 3

Cuatro observadores efectuaron un conjunto de mediciones

independientes de voltaje, que se registraron como:

117.02

117.11

117.08

117.03

V

V

V

V

Calcúlese:

a. Voltaje Promedio



b. Rango del error

Solución


Inciso a

1 2 3 4

117.02 117.11 117.08 117.03117.06

4

promedio

E E E EE

N

V

Inciso b

max 117.11 117.06 0.05promedioRango E E V

Pero también

min 117.06 117.02 0.04promedioRango E E V

El rango promedio de error equivale a

0.05 0.040.045 0.05

2V V

Cuando se suman dos o más mediciones con diferentes grados de

exactitud, el resultado es tan exacto según lo sea la medición menos

exacta.

Desviación de la medida

Desviación es el alejamiento de una lectura dada de la media

aritmética. Si la desviación de la primera lectura, 1x , se llama

1d , y de



la segunda lectura, 2x , es

2d y así sucesivamente, entonces, las

desviaciones de la media se expresan como:

1 1 2 2 n nd x x d x x d x x (2)

Nótese que la desviación de la media puede tener un valor positivo o

negativo y que la suma algebraica de todas las desviaciones debe ser

cero.

El siguiente ejemplo ilustra el cálculo de las desviaciones.

Ejemplo 4

Seis observadores tomaron un conjunto de mediciones independientes

de corriente y los registraron como 12.8 mA, 12,2 mA, 12.5 mA, 13.1

mA, 12,9 mA y 12.4 mA. Hay que calcular a) media aritmética; b)

desviaciones de la media.

Solución


Inciso a

Con la ecuación (1), la media aritmética es igual a

12.8 12.2 12.5 13.1 12.9 12.412.65

6x mA

Inciso b

Con la ecuación (2) las desviaciones son:



1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

6 6 6

12.8 12.65 0.15

12.2 12.65 0.45

12.5 12.65 0.15

13.1 12.65 0.45

12.9 12.65 0.25

12.4 12.65 0.25

d x x d mA mA mA

d x x d mA mA mA

d x x d mA mA mA

d x x d mA mA mA

d x x d mA mA mA

d x x d mA mA mA

Nótese que la suma algebraica de todas las desviaciones equivale a

cero.

Desviación Promedio

La desviación promedio es una indicación de la precisión de los

instrumentos usados en las mediciones. Los instrumentos altamente

precisos producen una desviación promedio baja entre lecturas. Por

definición, la desviación promedio es la suma de los valores absolutos

de las desviaciones, entre lecturas. El valor absoluto de la desviación

es el valor sin respetar el signo. La desviación promedio se puede

expresar como:

1 2 3 ....... n

dd d d dD

n n

(3)

Ejemplo 5

Calcúlese la desviación promedio para los datos del ejemplo 4.

Solución


0.15 0.45 0.15 0.45 0.25 0.250.283

6D mA

Desviación estándar



En análisis estadísticos de errores aleatorios, la raíz media cuadrática

de las desviaciones o desviación estándar es una ayuda muy valiosa.

Por definición, la desviación estándar de un número infinito de datos

es la raíz cuadrada de la suma de todas las desviaciones cuadradas

individuales, divididas entre el número de lecturas. Expresada en

términos matemáticos:

22 2 2 2

1 2 3 ......... nndd d d d

n n

(4)

En la práctica, el número posible de observaciones es finito. La

desviación estándar de un numero finito de datos esta dada por

22 2 2 2

1 2 3 .........

1 1

nndd d d d

n n

(5)

La ecuación (5) se utiliza en el ejemplo 6.

Otra expresión esencialmente para la misma cantidad es la varianza o

desviación cuadrática media, la cual es semejante a la desviación

estándar excepto que no se le extrae la raíz cuadrada. Por lo tanto

2varianza( ) desviación cuadratica mediaV

La varianza es una cantidad de gran utilidad en la realización de

muchos cálculos, ya que las varianzas son aditivas. La desviación

estándar tiene la ventaja de tener las mismas unidades que la variable,

lo que facilita la comparación de magnitudes. La mayoría de los

resultados científicos se expresan en términos de desviación estándar.

Probabilidad de Errores

Distribución normal de errores



En la tabla 1 se presentan 50 lecturas de voltaje tomadas durante

pequeños intervalos de tiempo en que se registraron los más cercanos

a 0.1 V. El valor nominal de las mediciones de voltaje fue de 100V.

Tabla 1. Registro de lecturas de voltaje

Voltaje leído (voltios) Número de lecturas

99.7 1

99.8 4

99.9 12

100.0 19

100.1 10

100.2 3

100.3 1

Total de lecturas 50

Figura 1. El histograma presenta la frecuencia de ocurrencia de

las 50 lecturas de voltaje de la tabla 1. La curva punteada

99.7 99.8 99.9 100 100.1 100.2 100.3

Numero de Lecturas 1 4 12 19 10 3 1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Numero de Lecturas



representa el límite de casos del histograma cuando se toma un

gran número de lecturas en pequeños incrementos.

El resultado de la serie de mediciones puede ser presentado

gráficamente como diagrama de bloques o histograma, en el cual el

numero de lecturas observadas se grafica cada lectura de voltaje. El

histograma de la figura 1, representa los datos de la tabla 1.

La figura 1 muestra que al mayor numero de lecturas (19) coincide con

el valor central de 100V, mientras las otras lecturas se localizan mas o

menos en forma simétrica en uno u otro lado del valor central. Si se

toman más lecturas con menores incrementos, digamos 200 lecturas a

intervalos de 0.05V, la distribución de observaciones quedaría

aproximadamente simétrica alrededor del valor central y el histograma

sería caso igual al anterior. Con más datos, tomados en incrementos

más y más pequeños, el contorno del histograma sería una curva

continua, como la indicada por la línea punteada en la figura 1.

Esta curva con forma de campana se conoce como curva de Gauss.

En lo más pronunciado y estrecho de la curva, un observador puede

establecer que el valor mas probable de lectura real es el valor central

o lectura media.

La ley normal de error o gaussiana constituye la base del estudio

analítico de los efectos aleatorios. Aunque el tratamiento matemático

de estos temas va más allá del alcance de estas notas, las siguientes

proposiciones se basan en la ley de distribución normal:

a. Todas las observaciones incluyen pequeños efectos de

distorsión, llamados errores aleatorios.

b. Los errores aleatorios pueden ser positivos o negativos.

c. Hay igual probabilidad de errores aleatorios positivos o

negativos.



Por lo tanto cabe esperar que las observaciones de mediciones

incluyan más o menos errores en más o menos cantidades iguales, de

forma que el error total seria pequeño y el valor medio seria el valor

real de la variable medida.

Las posibilidades, así como la forma de la curva de distribución de

error se pueden establecer de la siguiente manera:

a. Son más probables los pequeños errores que los grandes

b. Los errores grandes son muy improbables.

c. Hay igual probabilidad que ocurran errores positivos y negativos,

de manera que la probabilidad de un error dado será simétrica

alrededor del valor cero.

La curva de distribución de error de la figura 2 se basa en la ley de

distribución normal y presenta una distribución simétrica de errores.

Esta curva normal se considera como la forma que limita el histograma

de la figura 1, en la cual el valor más probable del voltaje real es el

valor medio igual a 100V.

Figura 2. Curva para la ley de distribución normal. Las regiones

sombreadas indican la región de error probable, donde

0.6745r



Error Probable

El área bajo la curva de probabilidad de Gauss de la figura 2, entre los

límites y , representa los casos en que difiere de la media por

no mas que la desviación estándar. La integración del área bajo la

curva dentro de los límites da el número total de casos dentro de

estos límites. Para datos distribuidos normalmente, y según la

distribución de Gauss, alrededor del 68% de todos los casos queda

entre los límites de y de la medida. La tabla 2 expone los

valores correspondientes para otras desviaciones, expresados en

términos de .

Por ejemplo, si se mide un gran numero de resistencias con un valor

nominal de 100 y el valor medio encontrado es 100.00 , con una

desviación estándar (DE) de 0.20 , el 68% (o dos tercios

aproximadamente) del total de las resistencias tiene valores entre los

limites de 0.20 a partir de la media. Entonces, hay

aproximadamente una probabilidad de dos a una que cualquier

resistencia, seleccionada al azar, este dentro de estos limites. Si se

requiere tener mayor numero de resistencias de cierta desviación se

puede ampliar a un limite de 2 , en este caso 0.40 . De acuerdo

con la tabla 2, se incluye el 95% de todos los casos. Y esto da una

probabilidad de diez a uno de que alguna resistencia seleccionada al

azar quede dentro de 0.40 del valor medio de 100.0

Tabla 2. Área bajo la curva de probabilidad

Desviación , Fracción del área total incluida

0.6745 0.5000

1.0 0.6828

2.0 0.9546

3.0 0.9972



La tabla 2 también indica que la mitad de los casos se incluyen en los

limites de desviación de 0.6745 . La cantidad r se llama error

probable y se define como

error probable = 06745r (6)

El valor es probable en cuanto que hay igual probabilidad de que

alguna observación tenga un error aleatorio no mayor que r . El error

probable fue utilizado en trabajos experimentales, sin embargo,

actualmente se prefiere la desviación estándar en trabajos

estadísticos.

Ejemplo 6

Diez mediciones de una resistencia dan:

101.2 ,101.7 ,101.3 ,101.0 ,101.5 ,101.3 ,101.2 ,101.4 ,101.3 y 101.1

Supóngase que únicamente están presentes errores aleatorios;

calcúlese a) media aritmética, b) desviación estándar de las lecturas;

c) error probable.

Solución


Con un numero grande de lecturas una simple tabulación de los datos

es muy conveniente y evítese confusiones y equivocaciones.

Lectura x Desviación

d 2d

101.2 -0.1 0.01

101.7 0.4 0.16

101.3 0.0 0.00

101.0 -0.3 0.09

101.5 0.2 0.04

101.3 0.0 0.00



101.2 -0.1 0.01

101.4 0.1 0.01

101.3 0.0 0.00

101.1 -0.2 0.04

1013.0x 1.4d 2 0.36d

Inciso a

Media aritmética, 1013.0

101.310

xx

n

Inciso b

Desviación estándar, 2 0.36

0.21 9

d

n

Inciso c

Error probable = 0.6745 = 0.6745 0.2 0.1349

En la mayoría de los instrumentos de indicación, la exactitud esta

garantizada por un cierto porcentaje de la lectura en plena escala. Los

componentes de un circuito (como capacitores, resistores, etc.) están

garantizados dentro de cierto porcentaje de su valor nominal. Los

límites de las desviaciones de valores especificados se conocen como

errores límite o errores de garantía. Por ejemplo, si una resistencia

esta dada como 500 10% , el fabricante garantiza que la resistencia

queda dentro de los limites de 450 y 550 ; no se especifica una

desviación estándar ni un error probable, peor promete que el error no

será mayor que los limites establecidos.

Ejemplo 7



Un voltímetro de 0 150V tiene una exactitud garantizada de 1% de

lectura a plena escala. El voltaje medido por este instrumento es 83V.

Calcúlese el error límite en porcentaje.

Solución


La magnitud del error límite es

0.01 150 1.5V V

El porcentaje de error en la indicación del medidor de 83 V es

1.5100% 1.81%

83

Es importante observar que un medidor esta garantizado para tener

una exactitud mucho mayor que el 1% de la lectura a plena escala;

pero cuando el medido lee 83 V el error limite se incrementa al 1.81%.

Así pues cuando se mide un voltaje más pequeño, el error limite

aumenta. Si el medidor indica 60V , el porcentaje de error límite es

1.5 / 60 100 2.5% ; si el medidor lee 30 V, el error límite es

1.5 / 30 100 5% . El incremento en porcentaje del error límite se fija en

una cantidad basada en la lectura de deflexión a plena escala del

medidor. El ejemplo 7 representa la importancia de hacer mediciones

tan cercanas a la deflexión total como sea posible.

Las mediciones o cálculos, combinando errores de garantía, se

realizan con frecuencia. El ejemplo 8 ilustra dicho caso.

Ejemplo 8

El voltaje generado por un circuito es igualmente dependiente del valor

de tres resistencias y esta dado por la siguiente ecuación:



1 2

3

salida

R RV I

R

Si la tolerancia de cada resistencia es 0.1% , ¿Cuál es el error máximo

del voltaje generado?

Solución


El voltaje obtenido mas alto se tiene cuando 1R y

2R están en el

máximo valor permitido por la tolerancia, mientras 3R tiene el valor

más pequeño permitido por esta. No hay necesidad de conocer el

valor real, basta el relativo.

Para una variación de 0.1% el valor más alto de un resistor es 1.001

veces el valor nominal, mientras que el más bajo es 0.999 veces el

valor nominal. Con el máximo valor de 1R y

2R el mínimo para 3R se

obtiene el valor más grande para resultanteV a partir de:

1 2

resultante

3

1.001 1.001.003

0.999

R RV

R

El voltaje resultante mas bajo se presenta cuando el valor de 3R es el

mas alto y 1R y

2R tienen el mas bajo. El voltaje resultante es

1 2

resultante

3

0.999 0.9990.997

1.003

R RV

R

La variación total del voltaje resultante es 0.3% , la cual es la suma

algebraica de las tres tolerancias. Esto es verdadero en la primera

aproximación. El máximo error es ligeramente distinto de la suma de

las tolerancias individuales. Por otra parte es poco probable que los

tres componentes de este ejemplo tengan el máximo error y en tal



caso produzcan el máximo o mínimo voltaje. Por tanto, se deben

utilizar los métodos estadísticos mencionados anteriormente.

Ejemplo 9

La corriente que circula por una resistencia de 100 0.2 es

2.00 0.01A . Con la relación 2P I R , calcúlese el error límite del valor

de disipación de potencia.

Solución


Al expresar los límites garantizados tanto de corriente como de

resistencia en porcentajes en lugar de

unidades se tiene:

Si se emplea la peor combinación posible de errores para el calculo de

potencia, es decir, el valor de la resistencia mas alto y el mayor valor

de la corriente, la disipación de potencia es

22 21 0.005 1.002 1.012P I R I R

Para la disipación mas baja

22 21 0.005 1 1.002 0.988P I R I R

El error es 1.2% , el cual es dos veces el 0.5% de error de la corriente

mas el 0.2% de error de la resistencia. Esto se debe a que el termino

I de la ecuación aparece esencialmente dos veces en ella. Esto se

puede observar rescribiendo la ecuación

2P I I R I R

2.00 0.01 2.00 0.5%

100 0.2% 100 0.2%

I A

I

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