capitulo 3 (teoria de errores)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIATopografía Básica CAPITULO II I: Teoría de Errores

TEORIA DE ERRORESTEORIA DE ERRORES

Toda magnitud observada o medida contiene errores de cuantía desconocida entonces la misión mas importante del topógrafo es mantener las mediciones dentro de ciertos límites de precisión, dependiendo de la finalidad del levantamiento. Para ello es necesario que conozca bien las causas que ocasionaba dichos errores cuando hablamos de mediciones, debemos saber distinguir y usar adecuadamente entre exactitud y precisión.

EXACTITUD: Es el grado de aproximación a la verdad o grado de perfección a la que hay que procurar llegar.

PRECISIÓN: Es el grado de perfección de los instrumentos y/o con que se realiza una operación o se toma la lectura de una observación o también el número de cifras con que se efectúa un cálculo.

Ing. JUAN VIDAL CAMPOMANES pág. 54


ERROREs la diferencia entre el valor verdadero y el valor determinado mediante las mediciones. No obstante, es preciso anotar que el valor verdadero no se conoce ni se conocerá jamás.

Una medición puede ser precisa sin ser exacta y viceversa.

EJEMPLO: Una distancia puede medirse muy cuidadosamente con una cinta y aproximarla hasta el milímetro, y tener como resultados una medida con un error de varios centímetros, esto por ser incorrecta la longitud de la cinta, luego la medida es precisa pero no exacta.En conclusión se puede decir:



Ninguna medida es exacta Todas las mediciones contienen errores. El verdadero valor nunca se conoce.

FUENTES DE ERROR A. INSTRUMENTALES: Aquellos que provienen de la imperfección en la construcción o ajuste de los instrumentos de media, por ejemplo la mala graduación de una wincha, un teodolito mal calibrado. B.PERSONALES: Provienen del elemento humano como son: limitaciones de vista, distracciones, equivocaciones etc. Ejemplo leer un N° por otro.

C.NATURALES: Son aquellos que tiene como origen la variación de ciertos fenómenos naturales, como el viento, la humedad, la temperatura, la refracción, etc. Ejemplo la dilatación o contratación de la wincha de acero por cambios de temperatura.



CLASES DE ERRORES1. ERRORES MATERIALES O QUIVOCACIONES Son errores que se comenten sin intención, debido a una confusión del operador o a la falta de atención de este.Son fáciles de detectar, poniendo atención a lo que se hace, teniendo más orden, se descubren y elimina comprobando parte o todo el trabajo.

2. ERRORES SISTEMATICOS Son aquellos errores que en iguales condiciones se repite siempre en la misma magnitud y con el mismo signo es decir son acumulativos se puede calcular y eliminar por medio de la corrección Ejemplo una wincha de acero de 30.00 m. que tiene un exceso en su longitud de 0.06 m. Entonces introduce un error de + 0.06 cada vez que se usa.

3. ERRORES ACCIDENTALES Son aquello errores que se cometen en forma casual y escapan del control del operador y la capacidad del instrumento y obedece a la ley de la probabilidad no se le puede aplicar ninguna corrección debido a que no hay método que nos permita calcularlos, también se los denomina errores compensable, porque la magnitud y el signo son variables por lo que tienden anularse parcialmente entre sí en una serie de medidas estos errores son los que hacen que nos puedan encontrar el valor verdadero de una medidas.



DISCREPANCIAEs la diferencia entre dos mediciones hechas de una misma magnitud. Siempre se debe comprobar unas operaciones topográficas realizando como mínimo una segunda medición.

Si la discrepancia entre las dos mediciones es pequeña indica que no hay equivocaciones y los errores accidentales son pequeños, por tanto se puede corregir.

Si la discrepancia es grande indica que se ha cometido una equivocación o error que hay que detectarlo y eliminarlo, comprobando parte o todo el trabajo.

Uno de los mejores métodos para localizar equivocaciones y errores es de comparar varias medidas de la misma magnitud.

OBSERVACIONES DE IGUAL PRECISION

VALOR PROBABLEEs valor probable de una cantidad es una expresión matemática que designa un valor calculado que de acuerdo a la teoría de las probabilidades es el que mas se aproxima al verdadero valor.



VALOR PROBABLE PARA LA MISMA CANTIDADEl V.P. de una magnitud medida varias veces en las mismas condiciones es la media aritmética de todas las mediciones hechas. Nota: Es la media aritmética de todas las mediciones admitidas como probables.

V.P. = =

N = Número de observaciones Ejemplo: Las mediciones de una longitud han dado como resultado: 854.21, 854.27, 854.22, 856.25, 854.26 m.

6.25 es una medida que se aleja mucho de la media Por lo tanto anulamos

V.P =

V.P. = 854.24 m.



VALOR PROBABLE PARA VARIAS CANTIDADES HOMOGENEASPara una serie de magnitudes de igual clase, medidas en igualdad de condiciones y cuya suma exacta se conoce entonces los valores probables son los observados con una corrección igual al error total dividido entre el número de observaciones. Nota: Generalmente la corrección se hace proporcional al número de Observaciones y no a la magnitud de cada medición Entonces:

∆∆i i = ( - ii ) iiºº = i ± i ± ∆∆ii

= Condición geométrica i i = Valores angulares ∆∆ii = Corrección N = número de medidas



Ejemplo: se han medido lo tres ángulos de un triangulo en las mismas Condiciones y los resultados son:

A= 58° 30’ 15” B = 79° 46’ 50” C = 41° 42’ 40” = 180°ii = 179° 59’ 45”

∆∆i i = ( 180° - 179° 59’ 45”) = + 5” Como es por DEFECTO la corrección será de + 5”

A = 58° 30’ 15 +5” = 58° 30’ 15” B = 79° 46’ 50” + 5” = 79° 46’ 55” C = 41° 42’ 40” + 5” = 41° 42’ 45”

179° 59’ 45” + 5” = 180° 00’ 00”

Para mediciones análogas, hechas en igualdad de condiciones y cuya suma sea igual a una sola medición hechas en las mismas condiciones y circunstancias los valores probables se obtiene repartiendo el error total en partes iguales entre todas las mediciones incluso la suma.



Si la corrección se suma a cada medición entonces se restara a la suma total y viceversa. Ejemplo: Se han medido tres ángulos y el ángulo total, alrededor un mismo vértice “0”

< AOB = 12° 31’ 50” < BOC = 37” 29’ 20”< COD = 27° 37’ 00” < AOD = 97° 37’ 00”Si dichas mediciones han sido realizadas en igualdad de condiciones. Calcular los valores probables de los mismos. Solución:

∆∆i i = < AOB + < BOC + < COD = 97° 38’ 10”Condición Geométrica = = < AOD

= 97° 37’ 00” ∆∆i i = ( 97° 37’ 00” – 97° 38’ 10” ) = -

= - Como es por Como es por excesoexceso ∆ ∆ii = - 17.5 < AOB = 12° 31’ 50” – 17.5” = 12° 31’ 32.5”

< BOC = 37° 29’ 20’ – 17.5” = 37° 29’ 02.5” < COD = 47° 37’ 00’ – 17.5” = 47° 36’ 42.5” < AOB = 12° 31’ 50” – 17.5” = 12° 31’ 32.5



En los casos anteriores cuando se hablo de circunstancias iguales o en iguales condiciones, indica que las mediciones se hayan hecho empleando el mismo instrumento, por el mismo operador, en igualdad de condiciones atmosféricas.

ERROR PROBABLEERROR PROBABLEError probable es una cantidad positiva o negativa que establece los límites dentro de los cuales puede caer o no el verdadero error accidental, es decir una medida tendrá la misma oportunidad de quedar dentro de estos límites que quedar fuera de ellos. ERROR PROBABLE DE UNA SOLA CANTIDAD Indica el grado de precisión que cabe esperar en una sola observación, hecha en las mismas condiciones que las demás.

E = 0.6745

0.6745 : Constante de proporcionalidad.

( - xi )2 = V2 = Errores Residuales

N = # de observaciones



ERROR PROBABLE DE LA MEDIA ARIMETICA De un cierto número de observaciones de la misma cantidad:

Eo = 0.6745 =

ERROR RELATIVO Es la forma unitaria de expresar el error, dando así mejor significado de la precisión de las mediciones. Se expresa en forma de un quebrado siendo el numerador la unidad

Er = =

El error probable de la media aritmética sirve para expresar la fluctuación que puede tener el valor promedio entonces tenemos. VALOR MAS PROBABLE: V.M.P VALOR MAS PROBABLE: V.M.P

V.M.P. = ± EO



PROBLEMA Para calcular la altura de un punto se hicieron 12 mediciones usando un nivel de ingeniero dichas mediciones se hicieron en igualdad de condiciones obteniéndose: 2.187, 2.179, 2.181, 2.184, 2.176, 2.186, 2.183, 2.178, 2.181, 2.188, 2.179.Calcular

a) Error probable de una sola medición.b) Error relativo c) Valor Más Probable.

SOLUCION:

Xi ( - Xi ) ( - Xi )2

2.1872.1822.1792.1812.1842.1762.1861.1832.1782.1812.1882.179

2.1822.1822.1822.1822.1822.1822.1822.1822.1822.1822.1822.182

- 0.0050.0000.0030.001

- 0.002 + 0.006

- 0.004 - 0.001

0.004 0.001-0.006 0.003

0.0250.0000.0090.0010.0040.0360.0160.0010.0160.0010.0360.009

= 0.154



a) ERROR PROBABLE DE UNA SOLA OBSERVACIÓN

E = 0.6745 = 0.6745

E = 0.0798 m.

b) ERROR PROBABLE DE TODAS LAS OBSERVACIÓN

Eo = 0.6745 = =

Eo = 0.023 m c) ERROR RELATIVO

Er = = =

d) VALOR MAS PROBABLE

V.M.P = 2.182 0.023 m.



OBSERVACIÓN DE DIFERENTE PRECISIÓN En anteriores consideraciones se ha supuesto que todas las mediciones han sido tomadas en identificas condiciones y por lo tanto son de igual precisión. Pero en un trabajo topográfico es difícil encontrar estas igualdades de condiciones, entonces será necesario tener en cuenta estas diferentes precisiones para encontrar los resultados de las mediciones, estas diferentes precisiones se llaman. PESOS PESOS Así por ejemplo: se ha medido un ángulo en varias ocasiones y por distintos operadores, todos han tenido el mismo esmero al observar obteniendo el siguiente resultado. 47° 37’ 40” (1er Operador) ha realizado 1 observación 47° 37’ 22” (2do Operador ha realizado 4 observaciones 47° 37’ 22” (3er Operador ha realizado 9 observaciones

Es lógico admitir que el segundo valor tiene cuatro veces la precisión del primero y el tercer valor tiene nueve veces la precisión del primero por lo que podemos deducir que los pesos son proporcionales al número de observaciones así:

El primero tendrá: Peso 1 o 2 El segundo tendrá: Peso 4 o 8 El tercero tendrá: Peso 9 o 18

Los pesos relativos



NOTA: 1. El peso se puede asignar de acuerdo al número de

observaciones. 2. El peso se puede asignar al criterio del observador. 3. El peso se puede asignar de acuerdo al error

probable, en este caso son inversamente proporcional a los cuadrados de los respectivos errores probables.

OSEA:

Donde:

P1, P2 = son los pesos que se asignan E1, E2 = son los respectivos errores probables.

La formula general es :

P1 = P2 = P3 = …



VALOR MAS PROBABLE DE OBSERVACIONES CON PESOS VALOR MAS PROBABLE DE OBSERVACIONES CON PESOS

DE UNA SOLA CANTIDAD El V.P. de una cantidad medida varias veces con diferente precisiones:

a) MEDIA PONDERADA

P =

b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA

Eop = 0.6745 x

c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA

Eo = 0.6745 x




VMP = P Eop

Del ejemplo anterior que se ha medido un ángulo en varias ocasiones 47° 37’ 40” ( 1 observación)47° 37’ 22” ( 4 observaciones)47° 37’ 30” ( 9 observaciones)

ANGULO PESO Xi x Pi ( P - xi ) ( P - xi )2 ( P - xi )2 Pi

47°37’40” 1 47°37’40” - 12” 144” 144”47°37’22 4 88” +6” 36” 144” 47°37’30” 9 270” - 2” 4” 36”

a) MEDIA PONDERADA

P = = = 28”

P = 47°37’28”b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA

Eop = 0.6745 x = = 06745 X

Eop = 2.3”



c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA

Eo = 0.6745 x = 0.6745 X

Eo = 8.58


VMP = P Eop = 47° 37’ 28” 2.3”

Ejemplo:Se siguen 4 itinerarios para determinar la cota de un punto. La cota con sus correspondientes errores probables son:

ITINERARIO ALTURA OBSERVADA A 221.05 0.006 m B 221.37 0.012 m C 220.62 0.018 m D 221.67 0.024 m

a) Hallar el valor probable de la cotab) El Error Probable de la Media Ponderada.c) El Valor Mas Probables.



SOLUCIÓN a) Calculo de los Pesos P1 = P2 = P3 =… (1) E1 = 0.006 simplificando E1 = 1 E2 = 0.012 simplificando E2 = 2E3 = 0.018 simplificando E3 = 3 E4 = 0.024 simplificando E4 = 4

Reemplazando en (1)

P1 = P2 = P3 = P4 P1 x 1 = P2 x 4 = P3 x 9 = P4 x 16

P1 = 1 P2 = ¼ P3 = 1/9 P4 = 1/16

Xi Pi Xi Pi 221.05 1 221.05 221.37 ¼ 55.34 220.62 1/9 22.51 221.67 1/16 13.85

205/144 314.75



b) Media Ponderada

P = = = P = 221.10 m

Xi ( P - xi ) ( P - xi )2 P ( P - xi )2 Pi

221.05221.37220.62221.67

0.050.270.480.57

0.00250.07290.23040.2249

1¼1/9

1/16

0.00250.1820.02560.02030.0666

b) Error Probable de la Media Ponderada

EOP = 0.6745 EOP = 0.026 m.

c) Error Probable de una Medida

Ep = 0.6745 Ep = 0.00317 m.

d) Valor Más Probable

VMP = P Eop = 221.10 0.026 m.



VARIAS CANTIDADES HOMOGENEAS

Cuando se tiene varios valores observados con diferentes pesos y la suma de estos valores es igual a un valor conocido o medido. Entonces los V.M.P. son los observados mas una corrección, esta corrección es una parte del error total . “Estas correcciones que se aplican son inversamente proporcional a los pesos”

C1 P1 = C2 P2 = C3 P3

Donde: C = Corrección que debe aplicarse al valor observada de una cantidad para obtener el VMP. EJERCICIO

Se midieron los tres ángulos y el ángulo total de estos, todos desde el mismo vértice “O” en igualdad de condiciones obteniéndose los siguientes resultados:

< AOB = 46° 14’ 45” ( 6 observaciones)< BOC = 74° 32’ 29” ( 1 observaciones)< COD = 85° 54’ 38” ( 3 observaciones)< AOD = 208° 41’ 28” ( 5 observaciones)

Hallar los valores probables.

Solución:



a) CALCULO DE LOS CORRECCIONES PARCIALES RELATIVAS.

C1 P1 = C2 P2 = C3 P3 = C4 P4

6 X C1 = 1 X C2 = 3 X C3 = 5 X C4

C2 = 1 C1 = 1/6 C3 = 1/3 C4 = 1/5

b) DISCREPANCIA

<AOB + < BPC + <COD = 206° 41’ 52” <AOD = 206° 41’ 28”

DISCREPANCIA = + 24” (Exceso) Esta discrepancia se reparte en forma proporcional a las correcciones relativas halladas anteriormente.

c) CORRECCIONES PARCIALES ABSOLUTOS

Repartir 24” proporcional A: 1, 1/6, /3, 1/3, 1/5

C2 =

x 1 = 14” C1 = x = 2”

C3 = x 1/3 = 5” C4 =

x = 3”

d) VALORES PROBABLES

<AOB = 46° 14’ 45” - 2” = 46” 14’ 34” <BOC = 74° 32’ 29” - 14” = 74” 32’ 15” <COD = 85° 54’ 38” - 5” = 85” 54’ 33” <AOD = 206° 41° 28” + 3” = 206° 41’31”



Ejercicios: 1. No pudiendo medirse la distancia horizontal entre los puntos M, N, se determinara en forma indirecta, midiéndose su pendiente y la diferencia de nivel entre estos en tres operaciones de campo, registrando los siguientes datos: Pendiente AH 1ra medición 02° 43’ 15.23 m. 2da Medición 02° 44’ 15.22 m. 3ra Medición 02° 42’ 15.24 m.

a) Hallar el V.M.P de la pendiente, de la diferencia de nivel y la distancia horizontal

b) Además hallar sus respectivos Errores Relativos.

2. Se tiene un terreno de cuatro lados del cual hemos obtenido los siguientes datos: Medición del perímetro: 5187.30 m. 518690 m. 5185.40 m. 5188.10 m. 5365.80 m. 5186.70 m.De igual manera se han medido sus ángulos internos: < A = 68° 34’ 15” (3 veces) <B = 36° 44’ 12” (1 vez) <C = 118° 25’ 30” (2 veces) <D = 136° 16’ 25” (2 veces)Calcular los V.M.P. del perímetro y de los respectivos ángulos.



TEORIA DE ERRORES EN LAS MEDICIONESTEORIA DE ERRORES EN LAS MEDICIONES TOPOGRAFICASTOPOGRAFICAS

Una operación Topográfica como: La suma de tramos para dar una longitud total. Hallar el lado o ángulo de una figura geométrica. El área de triangulo, cuadrado o cualquier cuadrilátero. El volumen de una figura geométrica etc.

Esta dado por la siguiente función:

= f ( x, y, z )

Entonces el Error Probable de dicha operación esta dado por

e =



1) EP DE LA SUMA DE TRAMOS PARA DAR UNA LONGITUD TOTAL

x + ex y + ey z + ez ……

La Función será:

S = x + y + z + .......

El Error Probable

e =

e =

V.M.P. = S e

Nota: Cuando todos los tramos tienen la misma medida y por tanto el mismo error probable, entonces el Error Probable de toda la suma de tramos, es igual al error probable de una sola observación o medida multiplicada por la raíz cuadrado del Número de medidas.

S = x + x + x + x .......



e =

e = e = e

V.M.P. = S e

Ejemplo: Se mide una alineación en tres tramos con los siguientes errores probables: 0.014 m. 0.0022 m. 0.016 m. Respectivamente cual es el Error Probable de la longitud total.

Solución:

ex = 0.014 m. ey = 0.022 m. ez = 0.016 m.

e = =

e = 0.03059 m.

2). EP DEL AREA DE UNA FIGURA GEOMETRICA Ejemplo del área de un rectángulo

l + el



a + ea

La Función será: A = l x a……

El Error Probable

eA =

eA =

V.M.P. = A eA

Ejercicio: Los lados de un terreno rectangular miden 750 m. y 375 m. y se miden con una cinta de 25.0m; que tiene en su longitud un error de

0.015mts. Hallar el Valor Más Probable del área de dicho terreno.

SOLUCION:

Calculo del Ep de cada lado Como para cada cintada se produce un error de 0.015m; entonces este error es acumulativo tanto para el largo como para el ancho Para 750 m.



Se habrán dado: = 30 medidas

eL = e. = 0.015 eL = 0.082 m.Para 375 m.

Se habrán dado: = 15 medidas

ea = 0.015 ea = 0.058 m.

l = 750 0.082 m a = 375 0.058 m

A = 750 x 375 = 281250 m2

eA = =

eA = 53.27

V.M.P. = 281250 53.27 m2

3). EP DEL LADO O ANGULO DE UNA FIGURA GEOMETRICA

EP DE LA DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS PUNTOS

L ± eL



D ± eD

La función será: D= L x cos

El error probable:

eD =

eD =

V.M.P. = D eD

Nota: e radianes

Ejercicio: Se ha medido la distancia inclinada y la pendiente entre los puntos A y B con el siguiente resultado. 321.328 0.035 y 2°43’ 23”4 respectivamente hallar el Valor Mas Probable de la distancia horizontal entre estos.Solución:

321.328 0.035



2°43’ 23”4 D D = L x Cos = 321.328 x Cos ( 2° 43’ ) = 320.967 m.

El error probable:

eD = = ± 0.1125

V.M.P. = 320.967 0.1125 m


capitulo 3 (teoria de errores)

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