Teoreme clasice de structură a inelelor

Aşa cum am văzut în ultimul capitol, modulele semisimple joacă un rol distinct în teoria modulelor. Clasic, cea mai importantă clasă de inele constă din acele inele R a căror categorie RM are un generator semisimplu. O proprietate caracteristică a unui astfel de inel R, numit inel “semisimplu”, este că fiecare R-modul stâng este semisimplu. Aceste inele sunt obiectul de studiu într-o secţiune urmatoare , unde vom demonstra caracterizarea fundamentală Wedderburn-Artin a acestor inele ca sume directe de inele de matrici peste inele cu diviziune. În particular, un inel semisimplu este o sumă directă de inele, fiecare având un modul stâng simplu fidel. În secţiunea finala studiem caracterizarea inelelor prin această ultimă proprietate - inele “(stâng) primitve“. Demonstrăm aici generalizarea importantă a lui Jacobson a cazului semisimplu, caracterizând inelele stâng primitive ca “inele dense“ de transformări liniare.

Fie R un inel, atunci radicalul modulului regulat RR este un ideal, “radicalul” inelului R. Acest ideal, un obiect de importanţă considerabilă, este centrul atenţiei în secţiunea finala. El este caracterizat ca unicul cel mai mic ideal a lui R în raport cu care R poate fi reprezentat ca un subinel al unui produs de inele stâng primitive.

Inele semisimple

Aşa cum am demonstrat ceva mai devreme, buna comportare a spaţiilor vectoriale este adesea o consecinţă a teoriei sale speciale de descompunere. Mai mult decât atât, spaţiile vectoriale sunt sume directe de module simple; adică ele sunt sume directe a copiilor aceluiaşi modul simplu. Din punct de vedere al teoriei modulelor, această proprietate a inelelor de diviziune D este chiar aceea a categoriei D-modulelor stângi de a avea un generator simplu. Nu sunt restricţii la inelele cu diviziune – orice inel de endomorfisme al unui spaţiu vectorial finit dimensional are această proprietate. Pornim prin a considera aceasta din punct de vedere al matricilor.

Exemplu:

Fie D un inel cu diviziune şi nN. Fie Cn(D) mulţimea tuturor n1 matricilor coloană peste D şi fie R n (D) mulţimea tuturor 1n matricilor linie peste D. Atunci Cn (D) este un D-spaţiu vectorial drept n-dimensional şi Rn (D) este un D-spaţiu vectorial stâng n-dimensional:Cn (D) =(DD) ( n ) şi Rn (D)=(DD) ( n )

Mai mult, multiplicările uzuale de matrici şi sunt izomorfisme de inele

: Mn (D)End (Cn(D)D), (M)(X)=MX : Mn (D)End (DRn(D)), (M)(Y)=MY

Astfel C(D) şi Rn(D) sunt Mn(D) module stângi şi drepte, respectiv. Dar observăm că Cn(D) este un Mn(D) modul stâng simplu şi R n(D) este un Mn(D) modul drept simplu.Fie E1,E2,…,En idempotenţii diagonali primitivi din M n(D).Atunci ca un Mn(D)-modul stâng.Mn(D)=Mn(D) E1…Mn(D)EnCn(D) …Cn(D)Şi ca Mn(D)-modul dreptMn(D) =E1 Mn(D) …En Mn(D)Rn(D) … Rn(D)

În particular, Mn(D) este generat atât ca modul stâng, cât şi ca modul drept peste el însuşi de un modul simplu. Astfel fiecare M n(D) modul stâng este generat Mn(D) modulul simplu Cn(D) şi fiecare Mn-modul drept este generat de Rn(D).Acest exemplu prezintă întrega poveste. Aşa cum vom vedea, proprietatea de a avea un generator simplu caracterizează (până la un izomorfism) astfel de inele de matrici. Astfel, în particular, din această presupunere, pe de o parte, o putem deduce pe de altă parte. Primul pas pentru reciproca acestui exemplu ne vom ocupa cu inelele de endomorfisme ale sumelor directe finite ale unui modul.

Inele simple arteniene

Fie R un inel arbitrar, RM un R-modul stâng nenul şi n 0 un număr natural. În cele ce urmează, vom scrie endomorfismele lui M şi ale lui M (n ) ca operatori la dreapta şi vom scrie, de asemenea, injecţiile şi proiecţiile naturale I i: MM (n ) şi i: M (n )M la dreapta. Pentru fiecare =[ i j]Mn(End(M)) definim ()End(M (n )) pe coordonate prin (x()) j = x i i j=x i i j .

Atunci x () = [x 1…xn] [ i j] unde elementele x ale lui M (n ) sunt considerate ca matrici linie 1xn, [x 1…xn] peste M. Rezultă astfel din calculul efectuat că, cu înmulţirea ordinară a matricilor M (n ) este un bimodul RM (n )

M n ( E n d ( M ) ) via . Aici : M n(End(M)) End(M (n )) este un izomorfism de inel.Propozitie: Fie M un R-modul stâng şi n0 un număr natural. Atunci : M n(End(M)) End(M (n )) este un izomorfism cu inele. Demonstraţie: Dacă Ker , atunci pentru fiecare i, j, i j = xi i() j = (o … x … 0)() j = ( i 1(x)… i n(x)) j = ij(x)() j = 0, aşa că este injectivă. În final, dacă End(M (n )), atunci (x[ik l])) j =

x i(i i j) = (x) j = = (x) j

Lema Schur Dacă RT este un un modul simplu, atunci End ( RT) este un inel cu diviziune.Demonstraţie :Fiecare endomorfism nenul TT este un izomorfism. Dăm acum caracterizarea fundamentală Wedderburn a inelelor simple arteniene, exprimată în termeni de generatori simpli.

Teorema (Wedderburn) Inelul R are un generator stâng simplu R este izomorf cu inelul plin de matrici M n (D) pentru un anumit inel cu diviziune D şi un anumit număr natural n. Mai mult, dacă RT este un generator stâng simplu pentru R, atunci ca inelRMn (D), unde D=End( RT) şi n=C(RT)Demonstraţie : () Cu notaţiile din exemplul C n(D) este un M n(D)-modul stâng, aşa că M n(D) are un generator stâng simplu () Pentru restul teoremei, va fi suficient să demonstrăm aserţiunea finală. Presupunem, astfel că, RT este un generator simplu pentru R. Deoarece RR este finit generat şi deoarece T generează pe R există un întreg m şi un epimorfism T (m)RR0. Astfel, RR T (n ) pentru un anumit număr natural n. Rezultă că RR are o serie de compoziţie de lungime n, aşa că, C( RR) = n. Acum, ca inele R End(RR) End(RT (n )) Mn(End(T)). În final, din lema Shur, End(T) = D, este inel cu diviziune. Observăm că acestă teoremă implică faptul că, dacă R are un generator simplu RT, atunci TD este un spaţiu vectorial, finit, dimensional, peste inelul cu diviziune D = End( RT) şi R End(TD).

În §14 ne întoarcem pentru a considera teorema Wedderburn din acest punct de vedere, ca un caz special al unui rezultat general de biendomorfisme.

Există o altă caracterizare importantă a inelelor, având generatori la stânga simpli. De interes particular este faptul că ele sunt cu siguranţă inele simple stângi, artiniene şi că ele sunt, de asemenea, simetric, inele având generatori simpli la dreapta. Propozitie:Pentru un inel R,următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(a) R are un generator stâng simplu(a’) R are un generator drept simplu(b) R este simplu şi artinian la stâng(b’) R este simplu şi artinian la dreapta(c) pentru un anumit RT simplu, RR T (n ), pentru un anumit n(c’) pentru un anumit T R simplu RR T (n ), pentru un anumit n(d) R este simplu şi RR este semisimplu(d’) R este simplu, iar R R este semisimplu

Demonstraţie : (a)(c) este clară. (a)(d) presupunem că R are un generator T simplu.Fie I un ideal propriu al lui R. Atunci I este conţinut într-un ideal stâng maximal L al lui R şi avem R / L T. Dar, evident, RT este fidel. Aşa că, deoarece IRL avem IlR(R / L) = l R(T) = 0. Deci R este simplu. Deoarece (a)(c), R este semisimplu. (d)(b)Dacă RR este o sumă directă de simple, trebuie să fie o sumă directă finită de simple, aşa că RR este artinian (fiecare simplu este artinian) (b)(a) Dacă R este artinian la stânga, atunci R are un ideal T stâng nenul minimal. Acum trasa Tr R(T)0 a lui T în R este un ideal al lui R, aşa că doar R este simplu, atunci T r R(T)=R. Adică RR este generat de T. (a)(a’) Deoarece Mn(D) are un generator stâng simplu şi un generator drept simplu, rezultă echivalenta (a’)(b’)(c’)(d’) sunt acum clare.

În particular, din această perspectivă am văzut că pentru inele simple, condiţiile stâng artinian, drept artinian şi artinian sunt echivalente. Un inel satisfăcând condiţiile echivalente din propoziţia (un inel care este izomorf cu un inel de nn matrici peste un inel cu diviziune) este, de regulă, prezentat ca un inel artinian simplu.

Teorema Wedderburn-Artin Un inel R este semisimplu el este o suma directa(de inele) a unui numar finit de inele simple artiniene.Pentru a demonstra implicatia ramasa a teoremei Wedderburn-Artin vom face urmatoarea analiza pentru

Structura inelului semisimplu(Wedderburn-Artin) Fie R un un inel semisimplu. Atunci R conţine o mulţime finita T 1,T 2,….T n de ideale stîngi minimale care cuprinde o mulţime reductibila de reprezentanţi R-modulelor stîngi simple. Mai mult pentru fiecare astfel de mulţime componentele omogene T R(T i)RT iR, sunt inele simple artiniene şi R este o suma directa de inel RRT 1R RTmRÎn final, T i este un generator simplu pentru RT iR şi RT iRMni(D i) unde n i C(RT iR) şi D iEnd(RT i) i

Demonstraţie Fiecare R-modul stîng simplu este izomorf cu un ideal stîng minimal al luiR. În particular pentru fiecare RT simplu, trasa Tr R(T)0. RR este o suma directa a acestor trase, aşa că exista o mulţime finita T 1,T 2 ,……Tm de ideale stîngi minimale ai R-modulelor stîngi simple.Din fiecare din trasele Tr R(T i) este un ideal bilateral cu R si deci RRRTrR (T 1) --- TrR (Tm)Astfel, fiecare Tr R (T i) este un inel şi suma de mai sus este o sumă directă de inel

RTrR(T 1)------TrR(Tm)Desigur, T iTrR(T i) şi astfel din (76) rezultă că T i este un ideal stîng simplu al inelului Tr R(T i). Deoarece T i generează Tr R(T i) ca un R-modul (8.12), el îl generează ca un Tr R(T i)-modul. Astfel din(13.5) Tr R(T i) este un inel simplu, deci un ideal bilateral minimal al lui R, aşa că TrR(T i)=RT iR.

13.8Corolar

Un inel R este semisimplu daca şi numai daca R R este semisimplu.

Demonstraţie

Este clară din (13.5) şi (13.6) Deducem acum uşor următoarea caracterizare importantă a inelelor semisimple.

13.9ProprietatePentru un inel R următoarele afirmaţii sunt echivalente: a)R este semisimplu b)R are un generator stîng semisimplu c)Fiecare şir exact scurt 0KMN0 de R-module stîngi este scindat d)Orice R-modul stîng este semisimplu Mai mult, aceste afirmaţii sunt echivalente dacă termenul stîng este înlocuit cu drept.

Demonstraţie Din ultimul corolar este evident să demonstram echivalenţa versiunii stîngi ale condiţiilor.(a)(b) din (8.8) RR este un generator stîng.(b)(d) Fiecare modul este o imagine apimorfică a unei sume directe de copii ale oricărui generator.Aplicăm apoi (9.4)RM-semisimplu ca modul al unui semisimplu.(d)(c)(a) Din teorema (9.6) Acest rezultat implică imediat următoarea caracterizare a categoriei RM pentru care R aste un inel semisimplu.

13.10 CorolarPentru un inel R următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) R este simplu b) Fiecare monomorfism în RM este scindat c)Fiecare epimorfism în RM este scindat

Proprietăţi1. Fie R un generator simplu RT să fie D=End (RT)

a) Dacă RM este simplu , atunci MTb) Pentru un anumit n RRTn şi RMn(D)

Avem deci (Tn)=n şi , RB i End(RT) este un izomorfism c) Avem CenRCen (End(RT))

2. Fie V un D spaţiu vectorial drept n-dimensional peste inelul cu diviziune D. Fie V1………Vn o bază a lui . Punem R=End(V d) a) RV este un generator simplu (pentru RM) b) Pentru fiecare i≤c,j≤n fie eij R cu eij(Vk)=k V j

n=??? Atunci ?????? este un ??????????????? c) RR=Re1------ Ren

d) Re=e1R------enR de unde eiR este un generator simplu pentru RR

3. Fie D un inel cu diviziune, nN i≤k≤n şi notăm C(k)={[ i j]Mn(D) i j= jk i j} R(R)={[ i j]Mn(D) i j= jk i j} a) C(k) este un ideal stîng simplu în M n(D) nR(k) este un ideal drept simplu în Mn(D) b) Ca Mn(D) modul stîng C(k)Cn(D) şi ca Mn(D) modul drept R(k)Rn(D) c) Modulul regulat stîng (drept)peste M n(D) este suma directă a lui C(1),.............C(n) (respectiv R(1),..........R(n) 4. Fie R un inel semisimplu şi fie I un ideal propriu al lui R

a) Atunci R/I este un inel semisimplu.b) Subinelele unui inel semisimplu nu sunt implicit semisimple.

5. a) Fie :RS un morfism sugestiv de inele.Atunci S este inel semisimplu dacă şi numai dacă RS este semisimplu.

b).......... 6. Fie (R)A o clasa indexată de inele. Produsul R este semisimplu dacă şi numai dacă A este finită şi fiecare R este semisimplu . 7. a) Dacă R este izomorf cu un produs sub direct al unei mulţimi finite (Rk)k=?? de inele simple, atunci R este o sumă directă de inele simple. b) Dacă R este izomorf cu un produs subdirect al unei mulţimi finite de inele semisimple, atunci R este semisimplu. 8. a) Fie I un ideal stîng minimal al unui inel R, I este o sumă directă al lui RRI20 b)Pentru un inel artinian stîng R următoarele afirmaţii sunt echivalente ) R este semisimplu ) R nu conţine ideale stîngi nilpotente (nil)nenule. ) R nu conţine ideale stîngi nenule cu pătratul nul ) Pentru toţi xR, şi xRx = 0x = 0.

9. a) Reciproca lemei Shur este falsă eixstă un modul semisimplu a cărui inel de endomorfisme este un inel cu diviziune (inelul matricilor triunghiulare sus) b) Fie R un inel ce nu are ideale stîngi nilpotente nenule. Dacă I este un ideal stîng în R astfel încît End ( RI) este inel cu diviziune, atunci RI este simplu. 10. Un inel R este cosemisimplu stîng (sau Vinel stîng) dacă RM are uncogenerator semisimplu. 1) Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) R este cosemisimplu stîngb) Rcd (M) 0 pentru toate R- module stîngi Mc) Fiecare R – modul stîng este cosemisimplud) RM are un cogenerator semisimplu

2) Orice inel semisimplu este cosemisimplu 3) Dacă RM are un cogenerator simplu , atunci Reste un inel simplu 4) Pentru un inel R sunt echivalente:

a) R este un simplu artinianb) Orice R- modul stîng nenul este un generator c) Orice R- modul stîng nenul este un cogenerator

11. Fie G un grup finit de ordin n şi k un corp a cărei caracteristică nu divide n. Astfel n = n 1 este inversabil în K.

Teorema Mashke Dacă G este un grup de ardin n şi dacă K este un corp a cărui caracteristică nu divide pe n, atunci inelul grupal KG este semisimplu. 12. Fie R oalgebră finit dimensională peste un corp algebric închis. Dacă R este un inel simplu, atunci R Mn(K) 13. a) Utilizînd faptul că fiecare inel cu dimensiune finită este corp avem următoarea teoremă:

Teoremă Fie R un inel simplu cu m elemente şi fie K centrul său. Atunci K = GF(pn) pentru un anumit numărprim p şi anumit n; m = (p n)k2 pentru un anumit K, şi R Mn (GF(pn)) b) există o bijecţie naturală între inelele semisimple finite (pînă la un izomorfism) şi mulţimea tuturor şirurilor finite (p1,n1,k1)............(p e,ne,ke) de triplete de numere naturale cu p1 ,..........,p e prime

Teorema de densitate

Reamintim că dacă T este R- modul stîng fidel, atunci aplicaţia naturală :R Bi End (RT) este morfism de inele injectiv. Oconsecinţă a ultimei secţiuni este că dacă R are un generator simplu T, atunci RT este fidel, aplicaţia este un izomorfism şi Bi End (RT) este inelul endomorfismelor spaţiului vectorial finit dimensional T 0 peste un inel cu diviziune D = End ( RT). Mai general, în această scţiune , considerăm acele inele R ce au un modul T simplu fidel. Pentru un astfel de inel Bi End ( RT) este un inel de endomorfisme ale unui spaţiu vectorial (posibil infinit dimensional). Astfel Teorema clasică de densitate Jacobson Chevallez arată că imaginea canonică a lui R în Bi End (RT) este un subinel dens. Primul în demonstrarea acestui fapt este o lemă privind inelele de biendomorfisme. Inele de biendomorfisme ale sumelor directe

Presupunem că modulul M are un sumand direct M / .Atunci M / este stabil sub Bi End (RM). Intr-adevăr, dacă M = M /M / / şi dacă e End (RM) idempotent pentru M / în această descompunere, atunci pentru fiecare bBi End(RM) B(M /) = b(Me) = (bM) e M / De asemenea fiecare endomorfism a lui M /se extinde la unul a lui M, asfel restricţia la M / a unui biendomorfism la M este un biendomorfism al lui M / şi aplicaţia restricţie Bie End ( RM) Bie End (RM /) este un morfism de inele.

Lemă Fie R –modulul stîng M o sumă directăM = M /M / / a submodulelor M / şi M / /. Atunci aplicaţia restricţie Res este un morfism de inele ce face diagrama R Bi End ( RM) Bi End(RM /)comutativă. Mai mult,

(1)Dacă M/ generează sau cogenerează M//,atunci Res este injectivă.(2)Dacă M / generează şi cogenerează M / /, atunci este un izomorfism.

Demonstraţie

Prima afirmaţie este o consecinţă imediată a observaţiilor precedente. Pentru celelalte fie S = End ( RM) şi fie eS idempotentul lui M / în descompunerea directă M = M /M / /. Din (5.9) există un izomorfism de inele :eSe End (RM), unde fiecare sS şi pentru fiecare xM /, (ese): x x . Astfel rezultă că M / este un eSe –modul drept şi Bi End (RM /) = End (M /

eSe).(1)Fie acum bBi End (RM) şi presupunem că (b/M /) = 0. Dacă M / generează M / /, atunci evident el generează M,de unde M /S = T???(M /) = M, aşa că b(M) = b(M /S) = = (bM /)S = 0. Pe de altăparte presupunem că M / cogenerează M / / . . Atunci M / cogenerează M de unde l M(se) = RejM (M /) = 0. Dar (bM)Se = b(MSe) bM / = 0 aşa că bM = 0.In ambele cazuri b = 0 şi (1) este demonstrat.(2)Presupunem că M / generează şi cogenerează pe M / /; atunci trebuie să arătăm doar că Res: Bi End ( RM) Bi End (RM) este surjectivă. Fie aBi End (RM /) = End (M /eSe). Afirmăm că există un S –morfism : M /S M astfel îcît

: x i s i (ax i)s i = pentru toţi x iM / şi s iSÎntr-adevăr,presupunem x i s i = 0. Atunci pentru fiecare sS avem ( (ax i)S i)Se = (ax i)eS iSe = a( x ieS iSe) = a(0) = 0.Dar cum M / cogenerează M , lM(Se) = 0 aşa că (ax i)S i = 0şi afirmaţia este demonstrată. De asemenea deoarece M / generează M, M /S = M, aşa că Bi End (RM). În final este clar că ( M /) = a şi astfel (2) este demonstrat. Fie M un R –modul st îng nenul şi fie A o mulţime nevidă. Deoarece M este un Bi End (RM) –modul stîng, suma directă M (A), bx = (bx) A. Echivalent , există un morfism de inele de la Bi End (RM) la inelul de ?-endomorfisme ale lui M A astfel încît (b) (x) = (bx) A: Bi End(RM) End (MA)Afirmăm că de fapt aceste?-endomorfisme (b)ale lui M (A) sunt biendomorfismele lui RM (A). pentru a vedea acesta, să notăm îtîi, pentru fiecare A, injectă şi proiecţia lui n coordonată a lui M (A) cu i şi respectiv şi să privim i şi ca operatori la dreapta. Este clar că i şi sunt de asemenea injecţia şi proiecţia pe coordonata a lui M (A) privit ca un Bi End (RM) –modul. Fie A Atunci i :M M i este un –R izomorfism şa că există izomorfism de inel Ø: Bi End ( RM) Bi End (RM i) astfel încît Ø(b) (mi ) = (bm)i = b(mi); M i genereză şi cogenerează peRM (A)

Din lemă Res: Bi End (RM (A)) Bi End (RM i) este un izomorfism. Pentru fiecare bBi End (RM) fie = Res -1(Ø(b)) Bi End (RM (A)).Atunci (mi) = Ø: (b) (mi ) = = (bm)i Atunci pentru fiecare A, deoarece i End (RM (A)) avem:

(mi) = (mi i) = ( (mi i)) i = ((bm)i) i = b(mi) = = (b) (mi). Astfel deoarece (Im I) A generează M (A) peste Z, vedem că (b) = . Astfel = Res -1 Ø este un izomorfism de inele. : Bi End (RM) Bi End (RM (A)).

Proprietate Fie M un R –modul stîng nenul şi fie A o mulţimenevidă. Atunci există un isomorfism de inele : Bi End (RM) Bi End (RM (A)) definit pe coordonate prin (b) (x)A = (bx)A.

Teorema de densitate

Teorema de densitate Fie M un R-modul stîng semisimplu. Dacă x 1,……….,xn M şi bBi End (RM) atunci există un nR astfel încîtbx i = rx i.

Demonstraţie Deoarece M este semisimplu, M (n ) este deasemenea semisimplu. Astfel, submodulul ciclic R(x 1………,Xn) a lui M (n ) este un sumand direct a lui M (n ) aşa că R(x1,………,xn)este deasemenea un Bi End (RM (n )) submodul al luiM (n ). Din proprietatea anterioară, R(x 1,……,xn)

este un Bi end (RM) –submodul al lui M (n ); în particular, (Bi End(RM)) (X1,………xn) = R(x1 – xn). Astfel, pentru bBi End (RM) există un rR astfel încît: (bx 1,……..,bxn) = b(x1,…….,xn) = r(x1,……..,xn) =(rx1,…….. rxn)Există o justificare topologică pentru numele acestei teoreme. Într-adevăr, considerăm produsul cartezian M n. Atunci topologia produs pe Mn inclusă de topologia discretă pe M se numeşte “ topologie finită ” pe Mn. Pentru fMn o bază de vecinătăţi pentru f în această topologie constă din mulţimile

{gMnf(xi) = g(xi) pentru toţi x 1,.....,xn}cînd şiruri (x 1,……..xn) parcurg submulţimile finite ale lui M. Presupunem acum că M este un grup abelian şi fie R şi S subinele ale luiEnd(M).În particular R şi S moştenesc tipologia finită de la M M. Astfel, dacă R este un subinel al lui S, spunem că R este dens în S (peste M)dacă în topologia finită R este submulţime densă alui S. Desigur acesta înseamnă că pentru fiecare mulţime finită x 1,………,xn M şi fiecare sS există un rR astfel încît rx i = sx i i = Presupunem acum că M este un R –modul stîng. Atunci imaginea (R) a lui R prin aplicaţia naturală : R End (MZ) este un subinel al lui Bi End (RM) şi Teorema de desitate stabileşte că dacă RM este semisimplu, atunci (R)este dens în Bi End ( RM). Acum ne îtoarcem la generalizarea lui Jacobson despre inele simple artiniene şi Teorema de strucyură Wedderburn pentru aceste inele.

Definiţie Un inel R este stîng primitv dacă el are un modul stîng simplu fidel.Deoarece un inel artinian simplu are un generator stîng simplu şi deoarece un generator este fidel, fiecare inel simplu artinian este stîng primitiv.Teorema Wedderburn afirmă că un simplu artinian este isomorf cu inel de endomorfisme al unui spaţiu vectorial finit dimensional.Avem următoarea generalizare pentru inelele primitive:

Teorema de desitate pentru inelele primitive Fie R un inel primitiv la stînga cu modululsimplu fidel RT şi fie D = End(RT). Atunci D este un inel cu diviziune, T D este un D –spaţiu vectorial şi prin multiplicarea la stînga , Reste un isomorf cu un subinel dens al lui End (T D). În particular pentru fiecare mulţime finită D –liniar independentă x 1,………,xn T şi fiecare y 1,………,yn T există un rR astfel încît rx i = y i, i = .

DemonstraţieDin lema luiSchur, D este un inel cu diviziune, de unde T D este un D –spaţiu vectorial. Deoarece RT este este fidel şi simplu, morfismulde inele : R End (TD) este injectiv şi Teorema de densitate stbileşte că imaginea este densă în (T D).

Pentru afirmaţia finală presupunem că x 1,…….xn T sunt D –liniar independente şi y 1,………,yn T. Atunci există o transformare liniară bEnd (TD) astfel încît b(x i) = y i, i = . Analizăm teorema de desitate. Reciproca este deasemenea adevărată şi astfel există următoarea caracterizare importantnă a inelelor primitive la stînga.

Corolar Un inel este primitiv la stînga dacă şi numai dacă el este isomorf cu un inel dens de transformări liniare ale unui spaţiu vectorial. Cu alte cuvinte, un inel R este ptimitiv la stînga dacă şi numai dacă există un alt inel cu diviyiune D şi un bimodul RTD cu RT fidel astfel încît pentru fiecare mulţime finită D –liniar independentă x 1,….,xn T şi fiecare y 1,……,ynT există un rR astfel încît rx i = = y i , i =

Demonstraţie În baza teoremei anterioare este suficient să demonstrăm că dacă Deste un inel cu diviziune RTD satisface condiţia finală, atunci R este primitiv la stînga. Dar din ipoteză RT este fidel. Mai mult el este simplu. Dacă xT este nenul, atunci x este D –liniar independent, aşa că din nou din ipoteză R x = T. Deci R este primitiv la stînga.

Observaţii:

1) Pretindem că ultima teoremă este o generalizare a teoremei Wedderburn pentru inele simple artiniene, observăm că un inel R simplu artinian este primitiv la stînga, aşa că din ultima teoremă este isomorf cu un subinel dens al lui End(M n) pentru un anumit D –spaţiu vectorial M D. Utilizînd faptul R este artinian la stînga, este uşor de dedus că M D este finit dimensional. Apoi folosind desitatea avem alte demonstraţii a faptului că R este isomorf cu End (MD).

2) Fiecare inel simplu este primitiv. Reciproca nu funcţionează mereu. De exemplu, din ultimul corolar End (M D) este primitiv pentru fiecare spaţiu vectorial M D, dar dacă MD nu este finit dimensional, atunci End (M D) nu este simplu. Pe de altă parte există inele simple care nu sunt artiniene.

3) O trăsătură a teoremelor de structură pentru inele simple artiniene a fost simetria stîng –drept a acestor teoreme. Această simetrie nu se extinde la inele primitive. Printr –un inel inel primitiv la dreapta înţelegem un inel avînd un modul drept simplu fidel. Atunci poate fi văzut că inelele primitive la stînga nu trebuie să fie primitive la dreapta. În aceată situaţie vom înţelege prin inel primitiv un inel primitiv la dreapta.

Reprezentarea Matrreală Dacă D este un inel cu diviziune şi M D este un D –spaţiu vectorial drept, atunci MD este liber aşa că inelul End (M D) la de endomorfisme ale lui MD este isomorf cu un inel de matrici coloană finită peste D. Adică dacă (x) este o bază pentru MD, atunci aplicaţia a [a] de la End(MD) la inelul CFM (D) al -matricilor coloană finită peste D definită prin

A(x ) = xa este un isomorfism .

Datorită ajutorului pe care această reprezentare matriceală îl poate da, în particular în studiulexemplelor,I se acordă mai multş atenţie aici. Chiar ca în algebra liniară, spaşiul vectorial M D poate fi privit ca mulţimea tuturor vectorilor 1 coloană finită peste D. Mai mult, M D are o bayă (e) unde vectorul coloană e este 1 pe linia şi 0 în rest. Atunci cu isomorfismul a [a] de la End (MD) pe CfM(D) determinat de această bază, avem a(e ) = [a] e pentru fiecare aEnd (MD) şi . Cu alte cuvinte,putem privi pe M D ca vectori -coloană, ca un inel CF M(D) al matricilor coloană finită peste D,şi acţiunea lui End (MD) ca fiind dată de înmulţirea matricilor.

Este uşor de verificat că un subinel R al lui End(M D) este dens (peste MD) dacă şi numai dacă pentru fiecare mulţime finită 1,……..,n şi mulţimea finită y 1,…….,ynMD există un aR cu a(e i) = y i I = . Acwsta înseamnă că, condiţia de densitate este necesar să fie testată numai pe submulţimile finite ale unei baze date. Pentru inelele de matrici aceasta implică că dacă D este un inel cu diviziune, dacă este o mulţime nevidă şi dacă R este un subinel al lui CFM (D) astfel încît pentru fiecare mulţime finită restricţia lui R la este CFM(D) atunci R este primitiv. Desigur reciproca este adevărată în sensul că fiecare inel primitiv este isomorf cu un astfel de subinel al unui CFM (D). În particular, dacă D este inel cu diviziune şi dacă R este un subinel al lui CFM N (D), atunci R este dens cu CFM N (D) (şi deci este primitiv ) dacă şi numai dacă pentru fiecare UMn (D),există o

matrice îm R de forma

Proprietăţi 1) a) Orice inel simplu este primitiv la stînga şi la dreapta b) Orice inel primitiv comutativ este corp 2) Fie Q un corp. Pentru fiecare nN, fiecare AMn(Q) şi fiecare sQ,

fie [A,D] =

Fie S un subinel al lui Q şi R = { [A,s]sS, AMn(Q), nN}a) R este subinel primitiv al lui CFM N(Q) cu R S. Fiecare astfel

de subinel al unui corp , este centrul unui inel primitiv.3) Fie D un inel cu diviziune şi fie M D un D –spaţiu vectorial drept cu

baza (x)A. Fie R un suinel al lui End (M D) . Atunci R este dens în End (MD) dacăşi numai dacă pentru fiecare submulţime finită FSA şi fiecare mulţime (m )F de elemente din M, există un rR cu r(m) = = m, pentru toţi F.

4) Fie D un inel cu diviziune, fie M D un D –spaţiu vectorial drept ţi fie R un subinel dens al lui End (M D). Dacă x1,x2,x3,…..,xn sunt D -- - ---liniari independenţi în M., atunci l R(x1) lR(x1;x2) lR(x1x2x3) …

5) Fie MD un spaţiu vectoprial infinit dimensional peste un inel cu diviziune D şi fie R un subinel al lui End (M D). Dacă R este dens în End (MD) atunci pentru fiecare nN există un subinel S n al lui R şi un morfism de inel cu diviziune.

6) Fie n1 şi fie R un inel primitiv astfel încît x n = x pentru fiecare xR R este inel cu diviziune.

7) a) Dacă R este primitiv şi eR este un idempotent nenul, atunci eRe este primitiv.b) Fie R un inel şi fie n 1. R este primitiv la stînga dacă şi numai dacă Mn(R) este primitiv la stînga.

8) Fie M şi N R module stîngi. Atunci:a) Dacă M este balansat şi generează sau cogenereză pe N atunci

M N este balansat.b) Dacă M generează N şi N genereză şi cogenereză M, atunci Bi

End (RM) Bi End (RN) şi Cen End (RM)) Cen (End(RN)) 9) Fie M un R –modul stîng şi fie morfismul canonic de inele

R Bi End(RM)a) Sunt echivalente () (R) este dens în Bi End ( RM)

() Penteu fiecare n 1, fiecare R submodul a lui M (n ) este un Bi End (RM) submodul allui M (n ); () Pentru fiecare n 0 fiecare R - submodul al lui M (n ) este un Bi End (RM (n )) submodul al lui M (n )

b) Dacă RM este un cogenerator, atunci (R) este dens în Bi End(RM)

10) Un inel P este prim dacă fiecare ideal stîng nenul nenul este fidel. Atunci:

a) Un inel comutativ este prim dacă şi numai dacă este domeniu de integritate

b) Pentru un inel R sunt echivalente:() R este prim() Fiecare ideal drept nenul este fidel (la dreapta)() Pentru fiecare pereche I 1,I2 deideale nenule, I 1,I2 0() Pentru fiecare x,y R, xRy = 0 implică x = 0 sau y = 0c) Orice inel primitiv este primd) Orice inel prim artinian stîng este simplu

11) a) Fie R un inel prim. Dacă S oc RR 0, atunci R este primitiv, Soc RR este omogen şi S oc RR RR

b) Dacă R este prim şi S oc RR este nenul şi de lungime finită, atunci R este simplu artinianc) Dacă R este prim şi S ocRR este un ideal stîng simplu, atunci R

este inel cu diviziuned) Există inele primitive R cu S ocRR = 0

12) a) Dacă R este inel prim şi eR este un indempotent nenul, atunci . eRe este un inel prim

b) Fie R un inel şi n 1. R este prim dacă şi numai dacă M n(R) . este prim

13) Fie V un spaţiu vectorial infinit dimensional peste un inel cu diviziune D. Pentru fiecare fEnd(VD) definim rangul lui f prin rang f = dim (Imf)

a) Fie c un cardinalinfinit. Atunci I c = {fEnd(VD) rang f c} este un ideal al lui End(V D)

b) Fie I un ideal al lui End (V D) şi fie fI. Atunci {gEnd(VD)rang g rang f}este conţinută în I

c) IXo este unicul ideal minimal al lui End (V D) şi I din V este unicul ideal maximal al lui End(V D)

d) Se poate arăta că familia numerelor cardinale care sunt mai mici sau egale cu un cardinal dat este bine ordonată de .Folosind acest fapt avem I este un ideal propriu al luiEnd (VD) dacă şi numai dacă I = I c pentru un anumit cardinal c astfel îcît x0 c din V. În concluzie ???? idealelor lui End (V D) este bine ordonată.

Radicalul unui inel –Inele locale şi inele artiniene

Fie R un inel. Atunci End ( RR) este evident inelul multiplicărilor la dreapta cu elemente din R. Astfel radicalul Rad( RR) al lui RR este un ideal (bilateral) al lui R. Acest ideal al lui R se numeşte radicalul (Jacobson) a lui R, şi este notat de regulă J(R) = Rad ( RR)O consecinţă a primei teoreme din această secţiune este că acest radical este deasemenea Rad(R R); stfel încît nu se poate produce nici o ambiguitate stînga –dreapta.

Ideale primitive

Primul scop al acestei secţiuni este să obţinem cîteva caracterizări ale radicalului J(R) al unui inel. Una din cele mai importante dintre acestea este aceea că J(R) este cel mai mic ideal P al lui în raport cu care R este “rezidual primitiv”.Spunem că un ideal P al lui R este un ideal primitiv (stîng) dacă R/P este un inel primitiv (stîng). Deoarece fiecare inel simplu este primitiv,fiecare idral maximal este primitv atît la stînga cît şi la dreapta. Astfel, deşi un ideal primitiv la stînga lui R este un inel bilateral, nu este necesar să fie primitiv la dreapta. Desigur, idealeleprimitive ale lui R sunt simple nucleeale morfismelor de inel ale

lui R pe inele dense de transformări liniare ale spaţiilor vectoriale. Altă caracterizare simplă este:

Propoziţie Un ideal P al unui inelR este un ideal primitiv dacă şi numai dacă există un ideal stîng maximal M al lui R, astfel încît P = l R (R/M) = = RejR (R/M)

Demonstraţie Inelul factor R/P este primitiv dacă şi numai dacă R/P are un modul simplu fidel dacă şi numai dacă P este anulatorul unui R –modul stîng simplu.

Caracterizări ale radicalului

Deoarece R este finit generat ca R –modul stîng, radicalul său J(R) este unicul cel mai mare R –submodul superfluu al lui R. Deaseamenea, deoarece fiecare ideal stîng nilpotent al lui R este superfluu în R,radicalul J(R) conţine toate idealele stîngi nilpotente. Mai mult, dacă R este artinian la stînga, atunci J(R) este unicul, cel mai mare, ideal stîng nilpotent al lui R. În general, J(R) nu este nilpotent,sau chiar nil. Dar există o generalizare folositoare a nilpotenţei care duce la o generalizare a caracterizării anterioare alui J(R) pentru inele artiniene stîngi. Un element xR este cvasi regulat la stînga dacă 1-x are un invers la stînga în R. Similar, xR este un invers (bilateral) la dreapta în R. Desigur, un element din R poate fi cvasi regulat la stînga dar nu cvasiregulat la dreapta. O submulţime a lui R este cvasiregulată la stînga dacă fiecare element al ei este cvasiregulat la stînga. Aceasta ganeralizează nilpotenţa. Dacă xR cu xn = 0, atunci: (1+x+…….+x n-1)(1-x) = 1 = (1-x)(1+x+…….x n-1) aşa că x este cvasiregulat.

Propoziţie Pentru un ideal stîng I al lui R următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(a) I este cvasiregulat stîng

(b) I este cvasiregulat(c) I este superfluu în R

Demonstraţie (a) (b) . Presupunem (a) şi fie xI. Atunci sx este cvasiregulat la stînga, aşa că x` (1-x) = 1 pentru un anumit x `R. Astfel deoarece x`xR este cvasiregulat la stînga ţi deoarece x ` = 1+x`x = 1- (-x`x), există un yR astfel încît yx` = 1. Dar atunci x` este inversabil şi y = 1 – x. Astfel (1-x)x` = 1 şi x este cvasiregulat. (c) (a) . Presupunem (c) şi fie xI. Atunci Rx R. Dar R = Rx + +R(1-x) de unde R(1-x) = R, aşa că 1-x are un invers la stînga. Am ajuns acum la o caracterizare multiplă importantă a lui J(R). O consecinţă a sa este aceea că există patru condi şii echivalente celor trei din prooziţia de mai sus, anume, că I este cvasiregulat la dreapta.

Teoremă Dat un inel R fiecărei din următoarele submulţimi ale lui R este egală cu radicalul J(R) a lui R (J1) Intersecţia turor idealeleor stîngi (drepte) maximale ale lui R (J2) Intersecţia tuturor idealelor primitive stîng (drepte) maximale ale lui R (J3) {xR nxs este cvasiregult pentru toţi r,sR} (J4) {xRrx este cvasiregulat pentru toţi rR} (J5) {xRxs este cvasiregulat pentru toţi sR} (J6) Reuniunea tuturor idealelor cvasiregulate stîngi (drepte) ale lui R (J7) Reuniunea tuturor idealelor cvasiregulate ale lui R (J8) Unicul cel mai mare ideal stîng (drept) superfluu al lui R. Mai mult (J3), (J4), (J5), şi (J7) descriu deasemenea radicalul J(R dacă “cvasiregulat” este înlocuit cu “cvasiregulat la stînga” sau cu “cvasiregulat la dreapta”

Demonstraţie Pentru a marca versiunea dreaptă a lui (J 1), (J2), (J6) şi (J8) vom folosi un asterix. Astfel J i* este intersecţia tuturor idealelor drepte maximale ale lui R. Avem că J 1 = Rad (RR) = ∩│Rej R(T)│RT este simplu│ = J 2

De asemenea, deoarece RR este finit generat, rezultă că J 1 = J8 .Desigur avem J1* = J2* = J6* = J8*. Dar deoarece J 2 şiJ2* sunt ideale, J 6 şi J6* sunt ideale. Astfel evident J 6 = J6* = J7. Acum este imediat că J 6 J3 J4J6 şi J6* J3 J5 J6* aşa că avem egalitatea dorită dinprima

aserţiune a teoremei. De asemenea În versiunea sa cvasiregulată la stînga J7 J3 J4 J6.Dar din (15.1) versiunea stîng cvasiregulată şi versiunea drept cvasiregulatăa lui J 6 sunt egale aşa cum sunt cele două versiuni ale lui J 7. Similar, versiunea drept cvasiregulară a lui J 3, J5, J6* şi J7 sunt egale cu J(R). Avem acum toate mulţimile egale cu J(R) excepţie pentru versiunea stîng cvasiregulată a lui J 5 (= J6* cu stîng cvasiregularitate) şi versiunea drept cvasiregulată a lui J 4 (= J6 cu drept cvasiregularitate). Vom arăta că versiunea drept cvasiregulată a lui J 4 este radicalul şi le mînuim simetric pe celelalte. Evident, în forma drept cvasiregulată J 3 J4 şi după cum vom vedea J 3 = J1*; aşa că pentru a desăvîrşi aceasta a mai rămas numai să arătăm că fiecare ideal stîng, drept cvasiregulat este cnţinut în J 1* = Rad (RR). Presupunem astfel că Rx estedrept cvasiregulat şi că xJ1* atunci există un ideal drept maximsl k al lui Rce xk. Astfel pentru uh anumit rR şi ieR , i = =xr + k.Acum rx este drept cvasiregulat, aşa că există uR cu (1-rx)u = 1, avem:x = x(1-rx)u = (x-xrx)u = xu – (1-x)xu = kxuk.Aceasta contrazice faptul că R x J1* cum am presupus, şi astfel demonstraţia este completă. Corolar Dacă R este un inel, atunci Rad ( RR) = J(R) = Rad (RR). Corolar Dacă R este un inel, atunci J(R) este anulatorul în R a clasei R –modulelor stîngi (drepte) simple. Un fapt cheie despre radicalul Jacobson J(R) alui R (sau despre orice radical) este :Corolar Dacă I este un ideal al unui inel R, şi dacă J(R/I) = 0, atunci J(R)I

Demonstraţie Dacă x I, există un ideal stîng maximal M a lui R cu IM şi xM, aşa că x J(R)Corolar Pentru un ideal I al unui inel R următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(a) I = J(R)(b) I este stîng cvasiregulat şi J(R/I) = =(c) I este stîng cvasiregulat şi J(R)I(d) RI este superfluu în RR şi J(R/I) = 0

(e) RI este superfluu în RR şi J(R)I Radicalul unui inel factor al lui R este cel puţin la fel de mare ca factorul corespunzător al lui J(R), dar şi ei pot să nu fie egali. Într –adevăr, inelul Z 4 nu –l are nul.Corolar Dacă R şi S sunt inele şi dacă Ø: R S este un morfism surjectiv de inele, atunci Ø(J(R))J(S). Mai mult, dacă ker ØJ(R), atunci Ø(J(R)) = J(S). În particular J(R/J(R)) = 0.Demonstraţie Evident deoarece Ø este surjectiv, Ø(J(R)) este un ideal cvasiregulat al lui S, astfel Ø(J(R))J(S). Pe de altă parte presupunem stîng maximal al lui R, kar ØJ(R). Dacă M este un ideal, atunci kar ØJ(R) M, aşa că îØ(M) este un ideal stîng maximal al lui S şi J(S)ØM. Dar de semenea Ø(J(R)) este intersecţia tuturor Ø(M) cu M ideal stîng maximal al lui R. Astfel J(S)Ø(J(R)).Corolar Dacă R este o sumă directă de inel a idealelor R 1,R2,……..,Rn

atunci J(R) = 0 J(R 1) + J(R2) + …….(Rn).

Demonstraţie Fie I = u 1 + u2 +……+ un, unde u1 ,u2,……..,un sunt idempotenţi centrali ortogonali pe perechi. Atunci este uşor de văzut că I este un ideal cvasiregulat în Rdacă şi numai dacă I = I 1 + ……..+In unde, pentru fiecare k = , Ik este un ideal cvasiregulat în inelul u kRuk = Rk.Aşa cum deja am observat, J(R) conţine fiecare ideal stîng nilpotent a lui R. Reamintim că un ideal (stîng, drept sau bilateral) este nil dacă fiecare din elementele sale este nilpotent. Astfel, mai general avem:Corolar Dacă R este un inel, atunci fiecare ideal nil stîng, drept sau bilateral al lui R este stîng cvasiregulat, de unde fiecare ideal nil stîng, drept sau bilateral al lui R este conţinut în J(R)

Demonstraţie Foecare element nilpotent xR este stîng cvasiregulat, deoarece dacă xn = 0 atunci (1 + x + ………x n-1)(1 – x ) = 1.Corolar Dacă R este un inel, atunci J(R) nu coţine idempotenţi nenuli.

Demonstraţie Dacă eR este idempotent şi dacă eJ(R) atunci R e este un sumand direct superfluu a lui RR.S tfel, e = 0.Corolar Fie I un ideal al inelului R. Dacă I este nil şi dacă J(R/I) = 0, atunci I = J(R). Pe de altă parte, dacă IJ(R) şi dacă fiecare ideal stîng nenul al lui R/I conţine un idempotent nenul, atunci I = J(R).Corolar (Lema Nakayama) Pentru un ideal I al unui inel R sunt echivalente:

(a)I ≤ J(R)(b) Pentru fiecare R –modul stîng finit generat M, dacă IM = M,

atunci M = 0.(c)Pentru fiecare R –modul stîng finit generat M, IM este superfluu

în M

Demonstraţie(a) (b) Presupunem că M este finit generat. Atunci M are un

submodul maximal k, J(R)M k(b) (c) Presupunem N M şi IM + N = M. Atunci I(M/N) =

(IM + N)/N = M/N. Astfel, dacă M este finit generat M/N finit generat, (b) implică M/N = 0 N = M IMM.

(c) (a) Presupunem (c). Atunci, deoarece RR este finit generat, IRR. Astfel I IR J(R).

Inele semiprimitive Un inel R este semiprimitiv dacă J(R). În particular, un inel primitiv este semiprimitiv. Simetric stînga –dreapta care are loc pentru inele simple artiniene şi semisimple dar care nu funcţionează pentru inele primitive, reapReamintim că un are pentru cele semiprimitive.

Propritaţi Pentru un inel R sunt echivalente:

(a)R este semiprimitiv (b) RR este cogenerat de clasa R –module stîngi simple(c)RR este cogenerat de clasa R –modular drept simple(d) R are un modul semisimplu fidel

DemonstraţieDeoarece J(R) = J 2, un inel R este semipotente dacă şi numai dacă el este isomorf cu un produs subdirect de inele primitive.ObservaţieTermenul “semisimplu” este adesea folosit pentru inele R cu J(R) = 0. Aceasta este confuz deoarece un inel semiprimitiv nu este nu este necesar să fie semisimpluplu. Adesea, inelele semisimple sunt cu siguranţă inelele semiprimitive artiniene.

Inele locale

Un inel R este inel local dacă mulţimea elementelor neinversabile ale lui R este închisă la adunare. Folosind radicalul avem următoarea caracterrizare a acestei clase importante de inele:Proprietăţi:Pentru un inel R următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(a)R este inel local (b) R are un unic ideal stţng maximal (c)J(R) este un ideal stîng maximal (d) Mulţimea elementelor din R fără invers la stînga este închisă

înraport cu adunarea.(e)J(R) = { X RRx R}(f) R/J(R) este inel cu diviziune (corp)(g) J(R) = {x Rx nu este inversabil}(h) Dacă X R atunci sau x sau 1 – x este inversabil

Demonstraţie (b) (c) este imediat din definiţia lui J(R).

(d) (d) Presunem (c). J(R) este unicul ideal stîng maximal al lui R. Fie x,y R neinversabil la stăng. Acum, deoarece fiecare ideal stîng propriu este conţinut într –un maximal, R x,Ry, J(R) de unde x + y J(R). Astfel x + y nu este inversabil la stînga.

(e) (e) Presupunem (d). Deoarece J(R) este un ideal stîng propriu va fi evident suficient să demonstrăm că dacă x R cu Rx R, atunci x J(R). Dar atunci fiecare nx nu are un invers la stînga şi 1 = + (1 - nx), aşa că din (d), 1 – nx cu un invers la stînga. Presupunînd (e) rezultă că fiecare element nenul al lui R/J(R) are un invers la stînga acolo. Astfel R/J(R) este un inel cu diviziune.

(f) (g) Deoarece un inel cu diviziune nu are ideale stîngi netriviale, dacă R/J(R) este un inel cu diviziune, atunci J(R) este un ideal stîng maximal.

(g) (h) Presupunem (h). Fie x R neinversabil, să zicem că x nu are invers la stînga. Atunci nici un nx este inversabil, aşa că din (h) fiecare nx este cvasiregulat. Astfel x J(R).(e) (g) Presupunem (f). Fie x R cu x J(R). Atunci din

ipoteză x este inversabil modular J(R). Adică R x + J(R) = R şi xR + J(R) = R. Dar deoarece J(R) = J 8 Rx = R şi Rx R. Astfel x este inversabil.

Inele semisimple modulo radicalul Una din cele mai semnificative din aceste caracterizări este că R este local dacă şi numai dacă este un inel cu diviziune modulo radicalul său. În particular, un inel local este semisimplu modul radicalul său. O altă clasă de inele cu această proprietate este clasa inelelor artiniene.ProprietateFie R un inel artinian la stînga. Atunci R este semisimplu dacă şi numai dacă J(R) = 0. În particular R/J(R) este semisimplu.

Demonstraţie În general inelele nu au orice inel factor semisimplu. De exemplu, nici un inel simplu, nesemisimplu nu poate avea un inel factor semisimplu. Desigur, inelul R pentru care R/J(R) este semisimplu sunt de interes deosebit.

Proprietate Pentru un inel R cu radicalul J(R) următoarele afirmaţii sunt echivalente :

(a)R/(R) este semisimplu (b) R/(R) este artinian stîng (c)Fiecare produs de R –module stîngi simple este semisimplu(d) Fiecare produs de R –module stîngi semisimple este

semisimplu(e)Pentru fiecare R –modul stîng M 1 SocM = rM(J(R))

Demonstraţie(a) (b) J(R) anuleazăfiecare R –modul stîng simplu. Astfel rezultă

SocM rM (J(R)) pentru fiecare RM. Dar J(R) rM (J(R)) = 0. Astfel

rM (J(R)) este un R/J(R) modul. Presupunînd astfel (a), avem că r M (J(R)) este semisimplu şi conţinut în SocM. Rezultă SocM = rM(J(R)).

(f) (d) Deoarece J(R) anulează toate modulele semisimple, el anulează toate produsele de module semisimple rezultă că aceste produse sunt Soc produselor. Astfel, presupunînd (e) avem că fiecare produs de module semisimple este propriul său soclu şi deci este semisimplu.

(d) (c) este clar(b) (a) Ştim că R/Z(R) este cogenerat de R –module simple

rezultă R/J(R) se scufundă într-un produs de simplu care este semisimplu dacă şi numai dacă R/J(R) semisimplu.

Pentru orice R –modul stîng M, modulul factor M/RadM este cogenerat de R –modulele stîngi simple. Ştim că J(R) anulează toate modulele simple, aşa că desigur el anulează M/RadM. Cu alte cuvinte J(R)M Rad M. În general, egalitatea nu are loc. Dar dacă R R este semisimplu modul radicalul său, atunci J(R) nu determină numai soclul fiecărui RM, prin SocM = rM(J(R)), dar deasemenea el determină radicalul lui M.Corolar Fie R un inel cu radicalul J = J(R). Atunci pentru fiecare R –modul stîng M: JM Rad MDacă R este semisimplu modulo rsdicslul său, atunci pentru fiecare R –modul stîng M: JM = RadM şi M/JM este semisimplu.Demonstraţie Prima inegalitate a fost stabilită anterior. Presupunem acum că R/J este semisimplu. Fie M un R –modul stîng. Atunci M/JM este un R/J –modul semisimplu. Avem Rad (M/JM) = 0 şi rezultă că Rad M JM.

Radicalul inelelor artiniene

Dacă R este artinian stîng, atunci radicalul său J(R) este unicul cel mai mic ideal module cu care R este semisimplu. Putem caracteriza acum J(R) pentru inele artiniene ca unicul cel mai mare ideal nilpotent.

Teoremă

Dacă R este inel artinian stîng, atunci radicalul său J(R) este unicul, cel mai mare ideal stîng drept sau bilateral, nilpotent în R.Demonstraţie Este suficient să demonstrăm că pentru un inel artinian stîng R, radicalul său J = J(R) este nilpotent. Dar deoarece avem JJ2J3...... dacă R este artinian stîng, atunci J n = Jn+1 pentru un anumit n 0. Presupunem J n 0. Atunci colecţia de ideale stîngi ale lui R care nu sunt anulate de J n nu este vidă J n J Jn+1 0. Astfel există un ideal stîng I al lui R minimal în raport cu proprietatea J nI 0. Fie x I cu Jn+1x = Jnx 0. Atunci J x RxI şi Jn(Jx) = Jn+1x = Jnx 0. Astfel din milinulitatea lui I avem J x = Rx.

Teorema (Hopkins) Fie R un inel cu J = J(R). Atunci R este artinian stîng dacă şi numai dacă R este noetherian stîng, J este nilpotent şi R/J este semisimplu.Dacă R este artinian stîng, atunci J este nilpotent şi R/J este semisimplu. Astfel putem să presupunem că R/J este semisimplu şi că J este nilpotent, să zicem J n = 0. Facem inducţia după n. Dacă n = 1 atunci R = R/Jeste semisimplu. Fie n 1 şi presupunem rezultatul adevărat pentru fiecare inel de indice de nilpotenţă mai mic decît n. Din J(R/Jn-1) = J/Jn-1,(J(R/Jn-1)n-1 = (J/Jn-1)n-1 = 0, aşa că ipoteza de inducţie implică că R/J n-1 este artinian stîng dacă şi numai dacă el este neotherion stîng. Acum există un şir exact scurt de R – module stîngi 0 Jn-1 R R/Jn-1 0. Aşa că R este artinian stîng (neotherian) dacă şi numai dacă atît J n-1 cît şi R/Jn-1 sunt la fel. Dar deoarece Jn = J(Jn-1) = 0 şi deoarece R/J este semisimplu, J n-1 este semisimplu. Astfel J n-1 este artinian dacă şi numai dacă el este neotherian.Corolar

Fie R un inel artinian stîng. Dacă M este un R –modul stîng, atunci SocM = rM(J) M şi Rad M = JM M. Mai mult, pentru M următorele afirmaţii sunt echivalente:

(a)M este finit generat (b) M este neotherian(c)Mare o serie de compoyiţie(d) M este artinian(e)M/JM este finit generat

Demonstraţie Fie 0 xM. Atunci Rx este un factor al lui R deci R x este artinian şi Soc Rx = Rx (SocM) 0 .

(a) (c) Dacă M este finit generat, atunci există un R –epimorfism R (n ) M 0. Dar atunci, deoarece RR este atît artinian, cît şi neothenian.

Teorema Levitzki Dacă R este artinian stîng atunci fiecare ideal nil de o singură parte a lui R este nilpotent. Acest lucru admite următoarea generaliyare la inelele stîngi neotheniene.

Teorema (Levitzki) Dacă R este un inel neothenian stîng, atunci fiecare ideal nil unilateral al lui R este nilpotent.Demonstraţie Fie R neothenian stîng. Atunci R are un ideal nilpotent maximal, să zicem N. Fie S = R/N.Atunci O este unicul nilpotent în S. Afirmăm că O este unicul ideal drept nil în S. Pentru a constata aceasta presupunem că O I SS este nil. Deoarece S este noetherian stîng, mulţimea {lS(x)O x I} are un element maximal, să zicem l S(x).Fie s S cu xs 0. Acum ls(x) I este nilpotent,(x s)n+1 = 0 şi (x s)k 0. Evident l s(x) l s((x s)k), aşa că din maximalitatea l s(x) = l s((x s)k). Astfel x sx = 0. Astfel(s xs)2 = 0, x = 0şi afirmaţia este stabilită. Astfel dacă I este un ideal drept nil în R, atunci (I + N)/N = 0 R/N şi I dacă şi numai dacă N conţine fiecare ideal drept nil al lui R. Dar dacă aR şi Ra este nil, atunci aR este deasemanea nil (dacă ( )n = 0, atunci (a) n+1 = 0) aşa că se vede că N conţine de asemenea fiecare ideal stîng nil al lui R. Corolar Fie R noetherian stîng. Dacă R/J(R) este semisimplu şi dacă J(R) este nil, atunci R este artinian stîng.

Radicalii generali

Dată orice clasă de inele , există pentru fiecare inel R un -radical asociat, Rad P(R), intersecţia tuturornucleelor morfismelor surjective R , pentru P. Multe din proprietăţile fundamentale ale acestor radicale generale sunt foarte uşor de demonstrat. De

exemplu P -radicalul nul, P –radicalul estezero dacă şi numai dacă R este izomorf cu un produs subdirect de inele din P. Radicalul Jacobsson J(R) este cheia P –radicalul pentru P, clasa inelelor primitive. Există un alt radical important, anume cel indus de clasa inelelor prime.

Proprietăţi 1.Fie R inelul tuturor matricilor N Nsuperiori triunghiurilor cu linii şi coloane finite, peste un corp.

(1) Radicalul Jacobsson J(R) a lui R este submulţimea tuturormatricilor strict superior triunghiurilor

(2) J(R) este nil dar nu nilpotent2.Fie (M)M o clasă indirectă a lui R –modular stîngi şi fie fie I un ideal drept în R.

(1) Atunci I( Mx) (IM) şi egalitatea are loc dacă I este finit generat.

(2) Dacă I nu este finit generat egalitatea de la (1) nu are loc neapărat (Luate R = Z N şi I = Z (N))

(3) Dacă R este artinian drept, atunci Rad (M) = (Rad M)

3.Fie (Rx)M o clasă indxată de inele. AtunciJ(R) = {r R(r) J(R), (A)}adică cu o oarecare libertate în notaşie J(R) = J(R)

4. Fie R un inel artinian stîng cu radicalul J şi cu T 1,………Tn o mulţime completă de reprezentanţi ai R –moduleleor simple stîngi.

(1) Un ideal bilateral al lui R este primitiv dacă şi numai dacă este maximal

(2) un ideal RejR(T1),………RejR(T i)este mulţimea idealelor maximale ale lui R

(3) J = RejR(T i

(4) Dacă RT este simplu, atunci R/Rej R(T) T (T). 6. Fie pP un număr prim şi fie J radicalul lui Z p. Atunci J nu este nil

dar Jn = 0

7. Fie o mulţime nenumărabilă bine ordonată, fie Q un corp şi fie V un Q spaţiu vectorial drept cu baza ordonată (x ). Pentru fiecare

, fie mulţimea V Q x. Fie R submulţimea lui End (V a) a acelor f cu proprietatea că pentru anumiţi scalari a f

(a) dink Im(f – a f1v) (b) (f – a f1v)(x)V , ()

8. Un inel R cu J = J(R) este semiprimar dacă R/J este semisimplu şi J este nilpotent. 9. Un inel R se numeşte regulat în sens von Neuman dacă aaRa pentru fiecare aR10. Un ideal P al unui inel R este ideal prim dacă R/P este inel prim. Astfel un ideal P este prim dacă şi numai dacă pentru fiecare x,y cu xRy P rezultă x P sau y PRadicalul prim sau milradicalul inferior N(R) al unui inel este intersecţia tuturor idealelor prime ale lui R. Un inel R este semiprim dacă N(R) = 0, adică dacă R este izomorf cu un produs subdirectde inele prime.11. Se numeşte milradicalul superior al lui R, unicul cel mai mare ideal nil al lui T, notat cu U(R).