SEMINARSKI RAD IZ METODIKE

MATEMATIKETEMA:TEOREMI I

DOKAZITemu obradio: Ademir Hujdurovic

Šta je teorem? Teorem je matematička izjava čija se

istinitost utvrđuje dokazom. Teoremi proširuju i produbljuju znanje o

nekoj matematičkoj oblasti i njenim objektima.

Osim teorema postoje još i matematičke izjave koje se nazivaju aksiome i(ili) postulati.

Teoremi i dokazi

Aksiom(praistina) je osnovna tvrdnja u nekoj teoriji koja se smatra istinitom i ne dokazuje se!

Neki teoremi imaju posebne nazive: Propozicija-teorem za kojeg postoji kratak i

jednostavan dokaz. Lema-teorem koji (uglavnom) nije od nekog

posebnog značaja sam za sebe nego se koristi kao pomoć pri dokazivanju nekih važnijih i složenijih teorema.

Teoremi i dokazi

Posljedica(korolar)-direktno se dobija primjenom neke prethodno dokazane teoreme (dokaz posljedice je često toliko jednostavan da se ni ne navodi).

Teoremi i dokazi

Pod teoremom se uglavnom misli na tačnu izjavu.

U formulaciji teoreme razlikujemo dva dijela: pretpostavka(hipoteza) P i tvrdnja(teza,zaključak) Q.

Pretpostavka je jedna ili više izjava koje se smatraju istinitim, a tvrdnja je izjava koju treba dokazati.

Teoremi i dokazi

Primjeri teorema: Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180°. Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. √2 je iracionalan broj.

Mnogo je lakše odrediti strukturu teoreme ako je ona data u obliku ”ako je P, onda je Q”, tj. P⇒Q.

Zapravo, mi svaku teoremu možemo zapisati u tom obliku.

Teoremi i dokazi

Tako, naprijed navedene primjere možemo zapisati i kao:

Ako je dati poligon trougao onda je zbir njegovih unutrašnjih uglova jednak 180°.

Ako je dat skup svih prostih brojeva onda on ima beskonačno mnogo elemenata.

Ako je promatrani broj √2 onda je on iracionalan.

Teoremi i dokazi

Uz svaki teorem oblika P⇒Q može se posmatrati i izjava oblika Q⇒P, koju nazivamo obrat teorema.

Obrat teoreme ne mora biti istinita tvrdnja. Ako je i obrat teoreme tačna izjava, tada te

dvije izjave često pišemo u obliku P⇔Q, i čitamo P ako i samo ako Q, ili P je ekvivalentno sa Q.

Teoremi i dokazi

Posebno su važni teoremi ekvivalencije jer oni daju karakterizaciju nekog svojstva.

Primjer: Broj a je nula polinoma f(x) ako i samo ako je polinom f(x) djeljiv sa x-a.

Treba voditi računa o tome da se ne miješaju definicije i karakterizacije!

Teoremi i dokazi

Teorema se može zapisati i tako da se pretpostavka i tvrdnja razdvoje u posebne rečenice: “Neka P. Tada Q”.

Dakle ključne riječi u formulaciji teorema su: “Ako P, onda Q” ili “Neka P. Tada Q”.

U teoremi se ne mogu naći riječi poput: “Kažemo da je...”

Teoremi i dokazi

Dokaz teorema P⇒Q u nekoj teoriji se sastoji od konačno mnogo istinitih tvrdnji Q₁,Q₂,...,Qn=Q te teorije gdje je svaka od tvrdnji Qi ili aksiom ili je dobivena na osnovu ranije dokazanih teorema.

P⇒ Q₁ ⇒ Q₂ ⇒...⇒Qn-1⇒Qn=Q

Dokazivanje tvrdnji se koristi u nastavi matematike. Dok uči dokazivati tvrdnje, učenik uči zaključivati, što je jedan od osnovnih zadataka nastave matematike.

Teoremi i dokazi

Učenik koji se u budućnosti neće baviti matematikom kao naukom, mora znati izvoditi zaključke u raznim situacijama svakodnevnog života.

Razlikujemo dvije vrste dokaza: DIREKTNI dokaz i INDIREKTNI dokaz.

Kod direktnog dokaza se uzima da je P tačno i na već opisani način dokazuje da je Q tačno.

Teoremi i dokazi

Primjer direktnog dokaza: Teorem: Zbir unutrašnjih uglova trougla je

180°. Dokaz:Dat je trougao ABC. Produžimo

stranicu AB, tj. c preko tačke B, tako da je c − B − c'. Povučemo paralelu b' sa stranicom AC, tj. b u tački B. Ugao u tjemenu A jednak je uglu u tjemenu B, tj. uglovi sa paralelnim kracima su jednaki, pa važe jednakosti:

Teoremi i dokazi

Teoremi i dokazi

Teoremi i dokazi ∡cAb= ∡c’Bb’=α, ∡bCa= ∡aBb’=γ Otuda je zbir uglova α, β i γ jednak

ispruženom , tj. 180°. (q.e.d) Posljedica 1: Vanjski ugao u trouglu jedak je

zbiru dva unutrašnja njemu ne susjedna ugla.

Posljedica 2:Zbir vanjskih uglova trougla jednak je 360°.

Teoremi i dokazi

Posljedica 3: Zbir unutrašnjih uglova četverougla je 360°.Dokaz: Povuče se jedna dijagonala, pa se posmatraju dva trougla.

Direktan dokaz može biti: PROGRESIVAN(SINTETIČKI) ili REGRESIVAN(ANALITIČKI)

U progresivnom hodu se kreće od pretpostavke P (ili neke druge tačne tvrdnje), i izvode se zaključci koji bi mogli voditi do tražene tvrdnje.

Primjer za progresivni dokaz: Teorem:Ako je a,b≥0, tada je:

Teoremi i dokazi

Dokaz: Polazi se od jednakosti koja je očito tačna:

(a-b)²≥0 ⇒ a²-2ab+b²≥0 ⇒ a²+2ab+b² ≥ 4ab ⇒ (a+b)²≥4ab ⇒ a+b≥2ab ⇒

(q.e.d)

Teoremi i dokazi

U progresivnom dokazu tvrdnje P⇒Q, polazi se od tvrdnje P i vidi se šta se može zaključiti iz tačnosti tvrdnje P. Zatim treba uočiti onaj zaključak koji nas vodi prema tvrdnji. Tako naprimjer, ako imamo pretpostavku da je p prost broj, neki od mogućih zaključaka su:

Jedini djelioci broja p su 1 i p Ako je p različit od 2 onda je on neparan Ako je p>3, tada je p=6k+1 ili p=6k+5, za

neki prirodan broj k.

Teoremi i dokazi

Sada bi u zavisnosti od tvrdnje koju trebamo dokazati pokušali odabrati onaj zaključak koji nam najbolje odgovara.

Međutim, često se u praksi pokazuje kao bolji način dokazivanja polazak od tražene tvrdnje Q i posmatranja onih uslova, iz čije tačnosti slijedi tačnost tvrdnje Q. Takav pristup pretstavlja represivni dokaz.

Teoremi i dokazi

Dakle, u represivnom dokazu se konstruiše tvrdnja Q₁ takva da Q₁⇒Q. Sada se traži tvrdnja Q₂ takva da Q₂⇒Q₁. Nastavljajući opisani način pokušava se doći do konačnog niza tvrdnji tako da vrijedi

P=Qn ⇒Qn-1 ⇒... ⇒ Q₂ ⇒ Q₁⇒Q

Teoremi i dokazi

Primjer represivnog dokaza: Teorem:Ako je a,b≥0, tada je: Dokaz: Polazimo od tražene tvrdnje

Ako posljednju nejednakost kvadriramo dobit ćemo

Teoremi i dokazi

Sada treba provjeriti da li vrijedi ⇒ Pošto znamo da za x,y≥0 vrijedi , a brojevi (a+b)/2 i ab su

nenegativni to je data implikacija tačna. Dakle, bitno je da vršimo reverzibilne tranformacije, tj. one transfomacije koje možemo vratiti unazad.

Teoremi i dokazi

Sada transformišemo izraz u izraz

Jasno je da vrijedi:

⇒

Sada tranformiramo posljednji rezultat i dobijamo:

Teoremi i dokazi

Očito je ispunjeno ⇒ Posljednji zahtjev možemo zamijeniti sa:

Odnosno sa: Posljednja nejednakost je uvijek tačna i

imamo:

Teoremi i dokazi

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

Teoremi i dokazi

Čitajući redove od dna prema vrhu imamo: ⇒ (q.e.d)

Sada smo dobili isti dokaz kao i primjenom progresivnog dokaza, samo što smo se u ovom slučaju kretali unazad.

Važno je voditi računa da se uzimaju dovoljni uslovi za traženu tvrdnju Q, a ne potrebni uslovi. Dakle, ako bi napisali:

Teoremi i dokazi

⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

Ovo nije korektan dokaz!!!

Teoremi i dokazi

Kao što smo već pomenuli osim direktnog dokaza imamo i indirektni dokaz.

Indirektni dokaz za tvrdnju P⇒Q sastoji se u tome da se dokazuje da negacija tvrdnje Q tj. tvrdnja ˥Q ne može biti istinita.

Treba voditi računa o pravilnom negiranju tvrdnje Q!

Među indirektnim dokazima dva su najčešće korištena:dokaz kontrapozicijom i dokaz kontradikcijom.

Teoremi i dokazi

Dokaz kontrapozicijom ima u teorijskoj osnovi ekvivalenciju (P⇒Q)⇔(˥Q⇒˥P)

U ovom dokazu se pretpostavlja tačnost tvrdnje ˥Q i pokušava dokazati tačnost tvrdnje ˥P.

Primjer dokaza kontrapozicijom: Teorem: Ako je a cijeli broj i a² paran broj,

tada je i a paran broj.

Teoremi i dokazi

Pretpostavka(P): a∈Z, a² je paran broj Tvrdnja(Q): a je paran broj Negacija tvrdnje(˥Q): a nije paran broj, tj a

je neparan broj. Tada je a=2k+1 za neki cijeli broj k. Sada je a²=4k²+4k+1, što je neparan broj,

odnosno tačna je tvrdnja ˥P. Dokazali smo da vrijedi ˥Q⇒˥P, pa smo

(indirektno) dokazali i P⇒Q. (q.e.d)

Teoremi i dokazi

Osim dokaza po kontrapoziciji, indirektni dokaz može biti i tzv. dokaz svođenjem na kontradikciju(reductio ab apsurdum).

Ponovo se pretpostavalja tačnost tvrdnje ˥Q i nizom logičkih zaključaka pokušava dobiti neka očito lažna tvrdnja. Ovdje se takođe pretpostavlja i tačnost tvrdnje P.

Dakle, pokušava se dokazati da P∧˥Q⇒L, gdje je L neka neodrživa tvrdnja.

Teorijska osnova za ovakav način dokazivanja leži u ekvivalenciji: ˥(P⇒Q)⇔(P∧˥Q)

Teoremi i dokazi

Primjer dokaza kontradikcijom: Teorem: √2 nije racionalan broj. Dokaz: Pretpostavimo da tvrdnja nije tačna,

tj. pretpostavimo da je √2 racionalan broj. Tada je √2=a/b, gdje su a i b relativno prosti

cijeli brojevi. Kvadriranjem gornje jednakosti imamo 2=a²/b², odnosno a²=2b².

Broj a² je paran, pa mora biti a paran, odnosno a=2k, za neki cijeli broj k.

Teoremi i dokazi

Sada uvrštavanjem 2k umjesto a dobijamo: 4k²=2b², odnosno b²=2k², pa je i broj b

paran što je suprotno sa pretpostavkom da su a i b relativno prosti. (q.e.d)

Teorem: Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.

Dokaz: Pretpostavimo da data tvrdnja nije tačna, tj da postoji konačno mnogo prostih bojeva.

Teoremi i dokazi

Tada možemo odrediti najveći prost broj, neka je to p. Tada je skup svih prostih brojeva dat sa P={2,3,5,...,p}. Posmatrajmo broj:

q=2∙3 ∙... ∙p+1 Broj q je prirodan broj, pa on može biti prost

ili složen. Ako bi on bio prost, onda bi postojao prost broj veći od p, (jer je q>p) pa bi imali kontradikciju.

Teoremi i dokazi

Ako bi q bio složen, tada bi on morao imati prosti djelilac. Ali broj q pri dijeljenju sa bilo kojim prostim brojem (iz skupa P) daje ostatak 1, pa ne može biti djeljiv niti jednim prostim brojem, što je kontradikcija.

U oba slučaja smo dobili kontradikciju, čime smo pokazali neodrživost pretpostavke o konačnosti skupa prostih brojeva. (q.e.d)

Teoremi i dokazi

Važan postupak pri indirektnom dokazu je pravilno negiranje neke tvrdnje. Tako u našim primjerima:

negacija od “je racionalan” je “nije racionalan”

negacija od “jest beskonačan” je “jest konačan”

U nekim slučajevima neće biti tako jednostavno negirati tvrdnju.

Teoremi i dokazi

Neke karakteristične negacije: Q=“Barem jedan” ˥Q=“Niti jedan” Q=“Neki” ˥Q=“Niti jedan” Q=“Tačno jedan” ˥Q=“Nikoji,dva ili više” Q=“Svi elementi nekog skupa imaju neku

osobinu” ˥Q=“Barem jedan elemenat tog skupa

nema to svojstvo”

Teoremi i dokazi

Pronaći grešku u sljedećem dokazu! Teorem: Broj 1 je najveći cijeli broj. Pretpostavimo suprotno, tj. neka je n>1

najveći cijeli broj. Pošto je n pozitivan posljednju nejednakost možemo pomnožiti sa n, pa imamo n²>n. Dakle, dobili smo da n nije najveći cijeli broj (jer je n² veći od njega) što je kontradikcija. (q.e.d)

Teoremi i dokazi

Klasifikacija dokaza:

Teoremi i dokazi

DIREKTAN INDIREKTAN

PROGRESIVAN

REGRESIVANDOKAZ PO KONTRAPO

ZICIJI

DOKAZ PO KONTRADIK

CIJI

Na kraju dokaza teorema uglavnom se nalazi skraćeni q.e.d.-na latinskom “Quod Erat Demonstrandum” i znači “što je trebalo pokazati”.

Takođe se na kraju dokaza mogu naći kvadratići poput: ∎ □

Teoremi i dokazi