1

III. Repartiţii clasice

Repartiţia binomială. Fie X o variabilă aleatoare discretă. Spunem că X urmează o

repartiţie binomială de parametri n şi p dacă tabelul de repartiţie al lui X este de

forma0 1 2

0 1 2 ...:

... n

nX

p p p p

unde ( ) k k n kk np P X k C p q , 0,k n , 1q p ,

(0,1)p şi n . Scriem: ( , )X B n p . Se demonstrează că media, varianţa şi moda

unei astfel de repartiţii sunt:

( )M X np

2 ( )D X npq

( 1) 1 ( ) ( 1)on p M X n p .

Exemplu. Din datele statistice ale unei agenţii de turism se ştie că probabilitatea ca un

client ce se adresează agenţiei să cumpere un anumit pachet de servicii este egală cu

0,85 . Care este numărul cel mai probabil de clienţi care încheie un contract de acest tip

din 1000 de clienţi ai agenţiei?

Soluţie. Notăm cu X variabila aleatoare care indică numărul de clienţi care încheie un

contract turistic de acest tip, din cei 1000. Valorile posibile ale lui X sunt numerele

naturale de la 0 la 1000. Evenimentul aleator " X k " se citeşte " k clienţi (din cei

1000) încheie contractul respectiv". Deoarece 0,85p nu depinde de client (este

constantă), suntem în cazul schemei binomiale. Deci

10001000( ) (0,85) (0,15)k k k

kp P X k C , 0,1000k . Prin urmare tabelul de repartiţie

2

al lui X este de forma :k

kX

p

, unde 0,1000k şi kp se calculează cu formula

anterioară. Deci ( 1000; 0,85)X B n p şi prin urmare numărul cel mai probabil de

clienţi care încheie contract de acel tip este moda (modul) lui X . Obţinem:

(1000 1) (0,85) 1 ( ) (1000 1) (0,85)oM X ,

adică 849,85 ( ) 850,85oM X . Cum moda este printre valorile lui X , ea trebuie să

fie număr natural, deci ( ) 850oM X .

Exemplu. Într-un transport de fructe sunt 10.000 de lăzi. Din datele statistice ale

companiei se cunoaşte că probabilitatea ca fructele să se strice într-o ladă este egală cu

0,00065 . Aflaţi:

a) numărul mediu de lăzi cu fructe stricate într-un astfel de transport.

b) numărul cel mai probabil de lăzi cu fructe stricate.

Soluţie.

a) Raţionamentul este identic cu cel din problema anterioară - deci TEMĂ (dar trebuie

justificarea!!). Variabila aleatoare X care indică numărul de lăzi cu fructe stricate

urmează tot o repartiţie binomială de parametri 10000n şi 0,00065p . Numărul

mediu de lăzi cu fructe stricate este media lui X , deci ( ) 6,50M X np .

b) Numărul cel mai probabil de lăzi cu fructe stricate este moda lui X . Deci avem:

(10000 1) 0,00065 1 ( ) (10000 1) 0,00065oM X , 5,50065 ( ) 6,50065oM X .

Prin urmare în acest caz ( ) 6oM X (moda este o valoare a lui X , deci trebuie să fie

număr natural).

3

Repartiţia hipergeometrică. Fie X o variabilă aleatoare discretă. Spunem că X

urmează o repartiţie hipergeometrică de parametri N , m şi n (numere naturale fixate)

dacă tabelul de repartiţie al lui X este de forma0 1 2

0 1 2 ... ...:

... ...k n

k nX

p p p p p

unde ( )k n km N m

k nN

C Cp P X kC

, 0,k n , iar relaţiile dintre k , N , m şi n sunt la fel

ca în schema bilei nerevenite (astfel încât să aibă sens experienţa respectivă şi

combinările din formulă). Se demonstrează că media ( )M X np şi dispersia este

2 ( )1

N nD X npqN

, unde mpN şi 1q p . Scriem ( , , )X Hiperg N m n . Se poate

arăta că, în anumite condiţii, diferenţa dintre "fără revenire" şi "cu revenire" este

neglijabilă, adică că repartiţia hipergeometrică se poate aproxima cu repartiţia

binomială. Aceasta se poate face dacă N şi m sunt mari faţă de n iar mpN nu este

apropiat de 0 şi nici de 1. În astfel de situaţii probabilităţile kp le putem calcula cu

formula de la repartiţia binomială, luând în acea formulă mpN şi acelaşi n .

Exemplu. Se aleg la întâmplare 10 produse dintr-un stoc de 200 în care se ştie că sunt

13% produse care nu se încadrează în limitele de funcţionare. Se cere:

a) Legea de repartiţie a v.a. care indică numărul de produse necorespunzătoare din cele

10 extrase (fără revenire).

b) Valoarea medie şi dispersia acestei variabile aleatoare.

Soluţie.

4

Probabilitatea ( )kp P X k , adică probabilitatea ca din 10 produse extrase k să fie

necorespunzătoare, se calculează cu schema bilei nerevenite. Deci10

26 17410200

k k

kC Cp

C

,

unde 0,10k . Prin urmare (200, 26,10)X Hiperg . Atunci

26( ) 10 1,30200

M X np şi 2 26 174 200 10( ) 10 1,081 200 200 200 1

N nD X npqN

.

Observaţie. Există şi alte repartiţii discrete importante. Facultativ, puteţi consulta

bibliografia de la sfârşitul acestui capitol.

În continuare vom prezenta câteva repartiţii clasice continue. Reamintim (vezi

capitolul anterior) că o variabilă aleatoare continuă X este descrisă prin două funcţii

importante, funcţia densitate de repartiţie a lui X şi funcţia de repartiţie a lui X .

Repartiţia normală (Gauss - Laplace). Spunem că o variabilă aleatoare continuă X

urmează o repartiţie normală dacă densitatea de repartiţie a lui X este de forma

2

2( )

21( )2

x m

f x e

, pentru orice x număr real. Scriem ( , )X N m iar numerele

reale m şi 0 se numesc parametrii repartiţiei normale. Dacă 0m şi 1 ,

spunem că X urmează o repartiţie normală standard, şi scriem (0,1)X N . În

figura care urmează aveţi câteva exemple de grafice ale unor astfel de densităţi de

repartiţie, pentru diverse valori ale parametrilor m şi . (Nu trebuie memorată pentru

examen această figură. Restul figurilor de mai jos se memorează !!).

5

Curbele din figură au ecuaţia2

2( )

21( )2

x m

y f x e

pentru diferite valori ale lui m

(notat cu în figură) şi . Curba roşie are ecuaţia2 / 21

2xy e

şi reprezintă

graficul repartiţiei normale standard (se mai cheamă şi clopotul lui Gauss). Pentru orice

curbă "normală", axa Ox este asimptotă orizontală spre şi, dreapta paralelă cu Oy ,

de ecuaţie x m , este axă de simetrie. Punctele de inflexiune sunt x m şi aria

zonei mărginite de axa Ox şi de curba normală este egală cu 1, vezi figura următoare:

6

Se demonstrează (vezi capitolul precedent pentru notaţii) că pentru orice repartiţie

normală ( ) ( ) ( )e oM X M X M X m şi că abaterea standard ( )D X . De

asemenea, coeficientul de asimetrie este zero iar coeficientul de boltire este egal cu 3,

pentru orice curbă normală.

Foarte importantă este repartiţia normală standard. Funcţia de repartiţie a unei variabile

aleatoare repartizată normal standard o vom nota cu ( )x şi se numeşte funcţia lui

Laplace. Valorile acestei funcţii sunt tabelate şi se găsesc în orice carte şi în orice soft

utilitar de statistică. Intuitiv, dacă x este un număr real fixat pe axa Ox , ( )x

reprezintă aria zonei "de la până la x " delimitate de clopotul lui Gauss şi de axa

Ox .

7

În unele cărţi (sau soft-uri utilitare), funcţia lui Laplace este definită ca reprezentând

aria zonei "de la zero la x ". O vom nota cu ( )x . Atenţie, aceasta nu mai este funcţia

de repartiţie a variabilei aleatoare (0,1)X N !! Recapitulând cele spuse anterior, şi

folosind figura de mai sus ca suport intuitiv, avem:

2 / 21( ) ( )2

xyx P X x e dy

aria zonei "de la la x "

2 / 2

0

1( ) (0 )2

xyx P X x e dy

aria zonei "de la 0 la x "

( ) ( ) 0,5x x .

Pentru a vedea, într-o sursă bibliografică sau într-un program utilitar, care din cele două

funcţii este folosită, putem folosi observaţia că (0) 0,5 dar (0) 0 .

Tabelele funcţiei Laplace sunt construite în general pentru 0x . Se poate uşor vedea

că are loc relaţia ( ) ( ) 1x x , pentru orice x număr real. De aici rezultă că

( ) 1 ( )x x , relaţie pe care putem să o folosim pentru cazul în care argumentul

este negativ. Vezi figura:

8

În cazul în care o variabilă aleatoare urmează o repartiţie normală oarecare (adică

( , )X N m ) putem standardiza această repartiţie. Se poate demonstra propoziţia:

"dacă ( , )X N m atunci variabila aleatoare X mY

urmează o repartiţie normală

standard, adică (0,1)Y N ."

Problemă. Fie ( , )X N m o variabilă aleatoare continuă repartizată normal cu

parametrii m şi 0 cunoscuţi. Aflaţi probabilitatea ca valorile lui X să fie în

intervalul ( , )a b , unde a şi b sunt numere reale date şi a b .

Soluţie.

( ) ( ) ( )a m X m b mP a X b P a m X b m P

. Ştim că variabila

aleatoare X mY

urmează o repartiţie normală standard, deci putem continua:

( ) ( ) ( ) ( )a m b m b m a mP a X b P Y

tabel.

"= tabel" înseamnă că mai departe putem folosi un tabel cu valorile funcţiei Laplace.

9

Problemă. Fie ( , )X N m o variabilă aleatoare continuă repartizată normal cu

parametrii m şi 0 cunoscuţi. Care este probabilitatea ca valorile lui X să se

abată de la valoarea sa medie cu nu mai mult de un 0 dat ?

Soluţie.

Reformulând, trebuie să aflăm probabilitatea ca valorile lui X să fie în intervalul

[ ( ) , ( ) ]M X M X . Deoarece funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare

repartizată normal este continuă, probabilităţile de forma ( )P X sunt nule, deci

întrebarea se rescrie " ( ( ) ( ) ) ?P M X X M X ".

Ştim că ( )M X m , deci întrebarea se mai rescrie şi sub forma (des întâlnită în

practică): " ( ) ?P X m ". Avem:

( ) ( ) ( ) ( )X mP X m P m X m P X m P

( ) ( ) 2 ( ) 1

tabel. Am folosit faptul că (0,1)X m N şi că

( ) 1 ( )

.

10

Observaţie. Aşa arată un tabel cu valorile funcţiei Laplace pentru distribuţia (sau

repartiţia) normală standard:

Se observă că (0) 0,500 deci este vorba de funcţia Laplace notată şi în acest curs cu

. Şi figura ne arată acelaşi lucru. De exemplu, (0.52) 0,6985 . Am descompus pe

z : 0,5 0,02z şi am mers la intersecţia dintre linia lui 0,5 şi coloana lui 0,02. Un

calculator online puteţi găsi de exemplu gratuit la adresa

11

http://stattrek.com/online-calculator/normal.aspx . Acolo introduceţi în căsuţa lui z pe

0.52 (cu punct în loc de virgulă) şi obţineţi 0,69847 0,6985 . Acest calculator online

este pentru funcţia Laplace notată cu la noi în curs.

Problemă. Se cunoaşte că profitul anual al unei firme este o variabilă aleatoare X

repartizată normal de parametri 20.000m u.m. şi 2500 u.m. Se cere:

a) Care este probabilitatea ca profitul anual să depăşească 25.000 u.m. ?

b) Care este probabilitatea ca profitul anual să fie cuprins între 19.500 u.m. şi 20.500

u.m. ?

Soluţie.

a) ( 25.000) 1 ( 25.000) 1 ( 25.000)P X P X P X

20.000 25.000 20.0001 ( ) 1 (2) 1 0,97725 0,022500 2500

XP .

b) 19500 20000 20000 20500 20000(19500 20500) ( )2500 2500 2500

XP X P

( 0, 2 0, 2) 2 (0, 2) 1 2 0,57926 1 0,16P Y .

Problemă. Durata de funcţionare a unui produs este o variabilă aleatoare repartizată

normal de parametri 120m de zile şi 10 zile. Se cere:

a) Presupunând că 97% din produse au o durată de funcţionare mai mare decât t , care

este valoarea lui t ?

b) Procentul de produse a căror durată de funcţionare este de peste 140 de zile.

Soluţie.

12

a) Întrebarea se poate scrie: ( ) 0,97P X t , ?t . De unde deducem că

( ) 0,03P X t . Standardizăm şi obţinem că 120 120( ) 0,0310 10

X tP . De unde

rezultă că 120( ) 0,0310

t . Din tabelele funcţiei Laplace găsim că ( 1,88) 0,03 .

(Introduceţi în căsuţa "cumulative probability" pe 0.03 la adresa de mai sus).

Deducem că 120 1,8810

t , de unde 10 1,88 120 120 18,8 101, 2t zile.

b) Procedăm analog, 120 140 120 120( 140) ( ) 1 ( 2)10 10 10

X XP X P P

1 (2) 1 0,98 0,02 2% .

Următoarele repartiţii (distribuţii) clasice continue se vor utiliza în următoarele

capitole. Nu dăm expresia (foarte complicată) a densităţilor lor de repartiţie dar ne

ocupăm de cuantilele (vezi capitolul precedent) acestor repartiţii. Facultativ, cei care

doresc, pot consulta bibliografia de la sfârşitul acestui capitol. Notăm cu X o variabilă

aleatoare care urmează una din aceste repartiţii.

Repartiţia Student (repartiţia t sau t-distribution). Graficul acestei legi de repartiţie

este simetric faţă de axa Oy şi axa Ox este asimptotă orizontală. O cuantilă a

repartiţiei Student se notează cu ( )t r . r reprezintă numărul de grade de libertate şi

este un număr natural iar se cheamă ordinul cuantilei şi este un număr raţional din

intervalul (0,1) . Cuantila ( )t r este un număr real de pe axa Ox , unic definit prin

relaţia ( ( ))P X t r aria zonei "de la ( )t r la ". Prin urmare,

( ( )) 1P X t r aria zonei "de la la ( )t r ". Vezi figura următoare care

13

conţine graficul acestei densităţi de repartiţie şi o parte dintr-un tabel cu cuantilele

acestei repartiţii.

De exemplu, cuantila cu 4 grade de libertate şi de ordinul 0,025 este egală cu 2,776.

Vezi în tabel intersecţia dintre linia 4r şi coloana 0.025 ( )t r . Aria zonei de la stânga

cuantilei este egală cu 0,975 şi aria zonei de la dreapta cuantilei este egală cu 0,025.

(Aria întregii zone delimitate de grafic şi de axa Ox este egală cu 1, ca la orice lege de

repartiţie). Vezi şi figura de mai jos.

14

La adresa http://stattrek.com/online-calculator/t-distribution.aspx găsiţi un calculator

online de cuantile Student. Pentru exemplul de mai sus, introduceţi la "degrees of

freedom" 4 şi la "cumulative probability" 0.975 (cu punct în loc de virgulă). Apoi click

pe "Calculate" şi obţineţi 2.776t . Atenţie, la "cumulative probability" trebuie

introdusă aria zonei de la stânga cuantilei, adică 1 ordinul cuantilei !!

Repartiţia Helmert-Pearson (chi-square sau hi-pătrat sau 2 -distribution).

Cuantilele acestei repartiţii se notează cu 2 ( )r . Notaţiile şi r au aceeaşi

semnificaţie ca mai sus. Sunt adevărate şi relaţiile 2( ( ))P X r aria zonei de la

dreapta cuantilei şi 2( ( )) 1P X r aria zonei de la stânga cuantilei. Mai jos

aveţi schiţa graficului densităţii de repartiţie de tip hi-pătrat şi o parte dintr-un tabel de

cuantile.

15

De exemplu, cuantila cu 8r grade de libertate şi de ordinul 0,05 este un număr

real de pe axa Ox , 20.05 (8) 15,51 . (Axa Ox este asimptotă la grafic, numai spre ).

Aria zonei "de la 15,51 spre " este egală cu 0,05 iar aria zonei "de la 0 până la

15,51" este egală cu 0,950. Puteţi folosi şi calculatorul online de la adresa

http://stattrek.com/online-calculator/chi-square.aspx . Introduceţi la "degrees of

freedom" 8 şi la "cumulative probability" pe 0.950 (adică 1 ordinul cuantilei !!). Click

"Calculate" şi găsiţi "15.5".

16

Repartiţia Fisher-Snedecor (sau f-distribution, repartiţia f). Această densitate de

repartiţie depinde de două grade de libertate, m şi n . Cuantilele acestei repartiţii se

notează cu ( , )F m n . Avem ( ( , ))P X F m n aria zonei "de la cuantila ( , )F m n

la " şi ( ( , )) 1P X F m n aria zonei de la 0 la cuantilă. Mai jos aveţi un

grafic al densităţii de repartiţie Fisher pentru 5m şi 2n .

De exemplu, pentru calculul cuantilei Fisher de ordinul 0,025 cu 28m şi 33n grade

de libertate, putem folosi calculatorul online de la adresa

http://stattrek.com/online-calculator/f-distribution.aspx . Introduceţi la "degrees of

freedom" pe rând, prima dată pe 28 (la 1 , notat cu m în curs) şi apoi pe 33 (la 2 ,

notat la noi cu n ). Atenţie, nu putem comuta pe m cu n !! Apoi, la "cumulative

probability" introduceţi 1 ordinul cuantilei, adică pe 0.975. Click "Calculate" şi

obţineţi "2.04". Aria de la 0 până la 2,04 este egală cu 0,975 iar aria de la 2,04 la

17

este egală cu 0,025. Sau, cuantila 0,975 (28, 33) 0.478F . Aria de la stânga ei este egală

cu 0,025 şi aria de la dreapta ei (spre ) este egală cu 0,975. Calculatorul online vă dă

(cu rotunjire) 0,48. Vezi poza de mai jos:

Observaţie. Dacă o variabilă aleatoare are ca densitate de repartiţie una din densităţile

de repartiţie de tipul celor de mai sus, scriem respectiv ( )X t r ( X urmează o

repartiţie Student cu r grade de libertate), sau 2 ( )X r ( X urmează o repartiţie hi-

pătrat cu r grade de libertate), sau ( , )X F m n ( X urmează o distribuţie Fisher cu m

şi n grade de libertate).

Pentru toate aceste repartiţii, la Examen veţi primi cuantilele respective sau valorile

funcţiei Laplace.

În încheiere prezentăm trei rezultate importante foarte des utilizate în practică,

cu exemple.

18

Inegalitatea lui Cebîşev. Fie X o variabilă aleatoare oarecare (discretă sau continuă)

având dispersia (finită) 2 ( )D X şi media ( )M X . Atunci, pentru orice număr real 0

are loc inegalitatea:2

2

( )( ( ) ) 1 D XP X M X

.

Inegalitatea ne furnizează în practică o margine inferioară a probabilităţii ca valorile

variabilei aleatoare X să se abată de la valoarea medie a lui X cu cel mult un dat.

Exemplu. Fie X o variabilă aleatoare având ( ) 1M X şi 2 ( ) 0,04D X . Evaluaţi

probabilitatea ca valorile lui X să fie în intervalul (0,75;1, 25) .

Soluţie.

(0,75 1, 25) (0,75 1 1 1, 25 1) ( 0, 25 1 0, 25)P X P X P X

2

0,04( 1 0,25) 10,25

P X . De unde rezultă că (0,75 1, 25) 0,36P X . Deci

probabilitatea cerută este de cel puţin 0,36. Sau, echivalent, cel puţin 36% din valorile

lui X sunt în intervalul (0,75;1, 25) .

Legea numerelor mari. Vom prezenta o variantă simplificată a legii numerelor mari şi

anume teorema lui Bernoulli. Cei care doresc să înveţe mai mult decât se cere la

examen pot consulta bibliografia de la sfârşitul acestui capitol. Fie ( )E o experienţă

aleatoare, A un eveniment aleator asociat acestei experienţe, cu probabilitatea de

realizare ( )p P A , cunoscută. Notăm cu X variabila aleatoare care reprezintă numărul

de apariţii ale evenimentului A în n repetări identice ale experienţei ( )E ( n probe

independente). Variabila aleatoare Xn

reprezintă frecvenţa relativă de realizare a

19

evenimentului A în cele n probe independente. Teorema ne spune că şirul frecvenţelor

relative tinde "în probabilitate" către constanta p , adică are loc egalitatea

lim ( ) 1n

XP pn

, pentru orice număr 0 .

Această teoremă justifică matematic folosirea frecvenţei relative de realizare a unui

eveniment aleator A în cazul în care nu putem determina exact ( )p P A . În astfel de

situaţii, se alege Xpn

.

Exemplu. O firmă producătoare încheie un contract pentru livrarea a 30.000 de produse

unui beneficiar. Un produs este acceptat de beneficiar numai dacă valoarea

caracteristicii produsului se încadrează în intervalul (9,8;10, 2) . Se ştie că variabila

aleatoare X care reprezintă valoarea caracteristicii respective a produselor urmează o

repartiţie normală, (10; 0,15)X N . În aceste condiţii, să se determine numărul de

produse care ar trebui fabricate pentru onorarea contractului.

Soluţie.

Putem reformula problema astfel. Din producţia firmei se alege la întâmplare un produs.

Notăm cu A evenimentul aleator "produsul ales este corespunzător". Atunci

( ) (9,8 10, 2)P A p P X . Pe de altă parte, dacă repetăm de n ori această

experienţă (adică se fabrică n produse), şi dintre acestea 30.000 sunt corespunzătoare,

atunci frecvenţa de realizare a evenimentului A este egală cu 30.000n

. Pe baza legii

numerelor mari, putem face aproximaţia 30.000pn

. De unde rezultă 30.000np

. Deci

trebuie găsit p . Avem: 9,8 10 10 10,2 10(9,8 10,2) ( )0,15 0,15 0,15

Xp P X P

20

20 20( ) ( ) 2 (1,3333) 115 15

. De la adresa dată mai sus, găsim

(1,3333) 0,90878 . Deci 0,81756p . De unde 36695n produse.

Teorema DeMoivre - Laplace. Teorema aceasta ne spune (în esenţă) că, dacă X este o

variabilă aleatoare care urmează o repartiţie binomială, adică ( , )X B n p , atunci,

pentru valori mari ale lui n , variabila aleatoare X npZnpq

urmează aproximativ o

repartiţie normală standard, adică (0,1)Z N . Pentru enunţul general, vezi bibliografia

de la sfârşitul acestui capitol, facultativ. ( 1q p ).

Exemplu. Probabilitatea apariţiei într-o probă a evenimentului A este egală cu

0,005p . Să se estimeze probabilitatea ca, în 10.000 de probe independente, abaterea

în modul a frecvenţei relative de realizare a lui A faţă de p să fie sub o miime.

Folosiţi:

a) Inegalitatea lui Cebîşev

b) Teorema DeMoivre-Laplace.

Soluţie.

a) Fie X variabila aleatoare care indică numărul de apariţii ale evenimentului A în

10.000 de probe independente. Deoarece ( )p P A este aceeaşi în fiecare probă suntem

în cazul schemei binomiale. Deci ( )P X k , adică probabilitatea ca A să se realizeze

de k ori în 10.000 de probe este 1000010000( ) (0,005) (0,995)k k kP X k C , unde

0,10.000k . Deci ( 10.000; 0,005)X B n p . Prin urmare ( ) 50M X np şi

21

2 ( ) 49,75D X npq . Ni se cere să evaluăm ( 0,001)XP pn . Deoarece

1 1( ) ( )XM M X np pn n n şi

2 22 2

1 1( ) ( ) 0,0000004975X pqD D X npqn n n n , putem aplica inegalitatea lui

Cebîşev:

2

0,0000004975( 0,001) 1 0,50250,001

XP pn . Deci probabilitatea cerută este de cel

puţin 0,5025.

b) ( 0,001) ( 0,001 0,001)X X npP p Pn n

( 0,001 0,001 ) 2 (0,001 ) 1 2 (1,41776) 1n X np n nPpq pq pqnpq

0,84 .

Funcţia generatoare de momente. Se utilizează pentru calculul momentelor iniţiale

(necentrate) ale unei variabilea aleatoare X . Prin definiţie, funcţia aceasta este

( ) ( )tXg t M e , pentru orice t aparţinând unui interval care-l conţine pe zero. Din

definiţie se deduce formula de calcul practic. Dacă X este o variabilă aleatoare

discretă, cu tabelul de repartiţie 1 2

1 2

...:

...n

n

x x xX

p p p

, atunci ( ) itxi

ig t e p . Dacă X

este o variabilă aleatoare continuă având densitatea de repartiţie ( )f x atunci

( ) ( )txg t e f x dx

, pentru orice t aparţinând unui interval care-l conţine pe zero. În

22

ambele situaţii, momentul iniţial de ordinul r al lui X este egal cu derivata de ordinul

r a funcţiei g în punctul zero, adică ( )( ) (0)rrM X g , pentru orice r .

Exemplu. Se dă variabila aleatoare discretă1 0 1

: 1 1 16 2 3

X

. Se cere:

a) Funcţia generatoare de momente ( )g t

b) Valoarea medie şi momentul iniţial de ordinul doi, utilizând ( )g t

c) Dispersia lui X , utilizând punctul b).

Soluţie.

a) 01 1 1 1( )6 2 3 6 2 3

t tt t e eg t e e e

, t .

b) (1)1

0

1 1 1( ) ( ) (0) ( )6 3 6 3 6

t t

t

e eM X M X g

.

20

1 1 1( ) ( )6 3 6 3 2

t t

t

e eM X

.

c)2

2 22

1 1 17( ) ( ) ( ( ))2 6 36

D X M X M X

.

23

Bibliografie (la acest capitol)

1. Laura Simon, Scott Roths, STAT 414 - 415, Lecture Notes, Dept. of Statistics,

PennState University

2. C. Chilărescu, N. Surulescu, et al., Bazele Statisticii, Ed. Universităţii de Vest, 2002

3. http://www.biblioteca-digitala.ase.ro/biblioteca/carte2.asp?id=166&idb=11

(curs online Academia de Studii Economice, Bucureşti)

4. http://www.math.uah.edu/stat (Virtual Laboratories)

5. http://stattrek.com/online-calculator/normal.aspx (calculator online - funcţia Laplace

şi cuantile repartiţii)