repartii clasice
TRANSCRIPT
CAPITOLUL 10
REPARTIŢII CLASICE
10.1. Repartiţii discrete
10.1.1. Repartiţia binomială
DEFINIŢIE: Variabila aleatoare X are o repartiţiebinomială de parametrii n şi p dacă funcţia sa de probabilitate estedată de probabilitatea )(xpn din schema urnei lui Bernoulli, adică
xnxxn qpCxf −=)( , },,0{ nx Κ∈ , )1,0(∈p , 1=+ qp . Deci :
���
����
�−xnxx
n qpCx
X :
I. )(xf este o funcţie de probabilitate, deoarece:1) 0)( ≥xf , evident deoarece 0>x
nC , 0≥p , 0≥q .
2) 11)()(0 0
==+=== =
− nnn
x
n
x
xnxxn qpqpCxf .
II. Pentru calculul mediei şi dispersiei vom folosi funcţiageneratoare de momente.
)()( tXeMtg = ; nxxf
ee
txtX ,,1,0,
)(: Κ=
����
� .
Deci = =
−− +====n
x
n
x
ntxnxtxn
xnxxn
txtX qpeqpeCqpCeeMtg0 0
)()()()( .
1)()(' −+= ntt qpenpetg ;npqpnpgm n =+== −1
1 )()0(' .1222 )()()1()('' −− +++−= nttntt qpenpeqpeepnntg ;
=+−=+++−== −− npnppnqpnpqppnngm nn 2221222 )()()1()0(''
npqpnpnppn +=−+= 2222 )1(
Deci: npXM =)( şi npqpnnpqpnmmXD =−+=−= 2222212)( .
Funcţia caracteristică:n
n
x
itxnxitxn
xnxxn
n
x
itxitX qepqepCqpCeeMtc )()()()(00
+⋅=⋅=== ��=
−−
=
Evident, npcXMm === )0(')(1 .
Analog se calculează npqpmci
m +== 2222 )0(''1 . Prin urmare,
npqmmXD =−= 212)( .
10.1.2. Repartiţia hipergeometrică
DEFINIŢIE: Variabila aleatoare X are repartiţiehipergeometrică dacă funcţia sa de probabilitate este dată deprobabilitatea )( XPn din schema urnei cu bilă nerevenită (Aceastăschemă presupunea că dintr-o urnă cu N bile, din care a erau albe şib erau negre, se extrag n bile. nP este probabilitatea ca din cele n
bile extrase x să fie albe.). Deci nN
xnaN
xa
CCCxf
−−=)( , },,0{ nx Κ∈ .
���
�
�
���
�
�−−
nN
xnaN
xa
CCCx
X :
I. )(xf este o funcţie de probabilitate, deoarece:1) 0)( ≥xf , evident deoarece toate combinările sunt mai mari cazero.
2) 11)(00 0�� �
=
−−
= =
−− ===
n
x
xnaN
xan
N
n
x
n
xnN
xnaN
xa CC
CCCCxf .
Pentru a calcula suma �=
n
xxf
0
)( am folosit egalitatea �=
−− =
n
x
nN
xnaN
xa CCC
0
pe
care o vom demonstra în continuare.baba yyy ++=++ )1()1()1(
aaa
nna
nnaaa
a yCyCyCyCCy ++++++=+ −− ......1)1( 1110
bbb
nnb
nnbbb
b yCyCyCyCCy ++++++=+ −− ......1)1( 1110
bababa
nnba
nnbababa
ba yCyCyCyCCy ++++
−−+++
+ ++++++=+ ......1)1( 1110
Coeficientul lui ny din membrul stâng al ultimei relaţii este :
�=
−−− =++++n
x
xnb
xab
nab
na
nba
nba
n CCCCCCCCCCy0
011110 ]...[ .
Deci nN
n
x
xnaN
xa
nba
n
x
xnb
xa CCCCCC =�= ��
=
−−+
=
−
00
.
II. Media şi dispersia:
�=
−−=
n
xnN
xnaN
xa
CCCxXM
0
)(
11)!()!1(
)!1()!()!1(
)!1()!(!
! −−=
−−−=
−−−=
−= x
axa aC
xaxaa
xaxxaax
xaxaxxC
11
1
11
10
−−
=
−−
−−
=
−−
=
−− === ���
nN
n
x
xnaN
xa
n
x
xnaN
xa
n
x
xnaN
xa aCCCaCxCCC
npNan
Nna
NnNnnNnNa
CaCXM n
N
nN ===
−−−−==
−−
!)!()!1()!(!)!1()(
11 ,
Nap= .
Pentru a calcula dispersia, vom calcula momentul de ordinul doi.xnaN
xa
n
x
n
xnN
xnaN
xan
N
n
x
xnaN
xan
N
CCxC
CCxxC
CCxC
XM −−
= =
−−
=
−− +−==
0 00
22 1)1(11)( , unde
xxxx +−= )1(2 .
= = =
−−
=
−=−−
−−=−
−=−n
x
n
x
n
x
xa
n
x
xa Caa
xaxaaa
xaxaxxCxx
2 2 2
22
0
)1()!()!2(
)!2()1()!(!
!)1()1(
=+−=+−= −−
=
−−
−− )()1()()1()( 2
20
22
2 XMCCaaXMCC
CaaXM n
NnN
n
x
xnaN
xan
N
=+−
−−=+−−
−−−=Nna
NNnnaa
Nan
nNnNNnNnaa
)1()1()1(
)!()!2(!)!2()!(!)1(
11
1)1)(1(
−+−−⋅=���
� +−
−−=N
NnaanNna
Nna
Nna .
=−−
+−−⋅=−= 2
2222
1)()()(
Nan
NNnaan
NnaXMXMXD
)1(1
2
−+−+−−⋅=���
� −−
+−−=NN
nanNNnNaNanNNna
Nna
NNnaan
Nna
1)1())((
−−⋅−⋅=
−−−⋅=
NnN
NaN
Nna
NNnNaN
Nan .
Dar N
aNNapqp
Na −=−=−== 11 .
Obţinem astfel 1
)(−−=
NnNnpqXD .
OBSERVAŢIE: Pentru N suficient de mare în raport cu n
putem face aproximarea Nn
NnN
NnN −=−≈
−− 11
. Atunci
���
� −≈NnnpqXD 1)( .
Deci dispersia variabilei aleatoare hipergeometrice diferă dedispersia variabilei aleatoare binomiale cu un factor subunitar cetinde către 1 când ∞→N .
10.1.3. Repartiţia uniformă discretă
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are o repartiţieuniformă discretă dacă funcţia sa de probabilitate este de forma
nxf 1)( = .
��
�
�
��
�
�
nnnn
nxX 1111
21: ΚΚ
ΚΚ
I. )(xf este o funcţie de probabilitate, deoarece:1) 0)( ≥xf , evident
2) �=
==n
x nnxf
1
11)(
II. Media şi dispersia
21
2)1(111)(
1 1
+=+===� �= =
nnnn
xnn
xXMn
x
n
x
6)12)(1(
6)12)(1(111)(
1
2
1
22 ++=++⋅=== ��==
nnnnnn
xnn
xXMn
x
n
x
=−−++=+−++=−=12
)3324)(1(4
)1(6
)12)(1()()()(2
22 nnnnnnXMXMXD
121
12)1)(1( 2 −=−+= nnn
10.1.4. Repartiţia Poisson
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are repartiţie Poisson
dacă funcţia sa de probabilitate este de forma !
)(x
exfxλλ−= ,
Nx ∈ , 0>λ .
��
�
�
��
�
�−
!:
xe
xX xλλ
I. )(xf este o funcţie de probabilitate deoarece:
1) 0!
≥−
xe
xλλ evident.
2) 1!! 00
=⋅== −∞
=
−∞
=
−��
λλλλ λλ eex
ex
ex
x
x
x, unde �
∞
=0 !x
x
xλ este dezvoltarea
lui λe în serie McLaurin.
II. Media şi dispersia le putem determina prin calcul direct:∞
=
−∞
=
−− =−
==0
1
0 )!1(!)(
x
x
x
x
xe
xxeXM λλλλ λλ .
∞
=
∞
=
∞
=
−−− =+−
=+⋅−==20 0
22 )()!2(
)(!
)1(!
)(x
x
x x
xx
XMx
eXMx
exxx
exXM λλλ λλλ
λλλλλ λλλ +=+⋅=+−
⋅= −∞
=
−− 22
2
22 )()(
)!2(XMeeXM
xe
x
x.
λλλλ =−+=−= 2222 )()()( XMXMXD .
Funcţia caracteristică a variabilei aleatoare Poisson:ite
x
xit
x
itx eexeexfetc ⋅−
∞
=
−∞
=
=⋅== ��λλλ λ
00 !)()()( . Prin urmare )1()(
iteetc −−= λ .
0)11()1( )0(')(' eieceietc iteit
⋅⋅=�⋅⋅= −−−− λλ λλ
λλ λ =⋅⋅=== ⋅− 01
1)0('1)( eii
ci
mXM
iteite eieeietcitit
⋅⋅+⋅⋅= −−−− 2)1(2)1( )()('' λλ λλ
)()0('' 22022)11(022)11( λλλλ λλ +=⋅⋅+⋅⋅= −−−− ieieeiec
λλ +== 222 )0(''1 c
im .
Prin urmare: 22212)( λλλ −+=−= mmXD .
10.2. Repartiţii continue
10.2.1. Repartiţia continuă uniformă
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X , continuă, arerepartiţie uniformă dacă funcţia sa de probabilitate este de forma
abxf
−= 1)( , ),( bax ∈ .
I. )(xf este o funcţie de probabilitate deoarece:1) 0)( ≥xf evident, deoarece ab > .
2) =−−=
−=
−=
b
a
b
a
b
a ababdx
abdx
abdxxf 111)(
II. Media şi dispersia:
2)(2|
211)()(
222 baababx
abxdx
abdxxxfXM b
a
b
a
b
a
+=−−=⋅
−=
−== ��
3)(3)()(
223322 baba
ababxfxXM
b
a
++=−−== �
=++−++=−=4
23
)()()(2222
22 babababaXMXMXD
12)(
12363444 22222 bababababa −=−−−++= .
10.2.2. Repartiţia exponenţială negativă
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are o repartiţieexponenţială negativă de parametru µ dacă funcţia sa deprobabilitate este de forma xexf ⋅−⋅= µµ)( , 0≥x , 0>µ .
I. )(xf este o funcţie de probabilitate deoarece:1) 0)( ≥xf evident.
2) 110|)( 000=+=−=⋅= ∞⋅−∞ ⋅−∞
��xx edxedxxf µµµ
II. Media şi dispersia:=+−=⋅== ���
∞ ⋅−∞⋅−∞ ⋅−∞dxexedxexdxxxfXM xxx
0000|)()( µµµµ
µµµ 1|1
0 =− ∞⋅− xe .
În rezolvarea integralei am folosit metoda integrării prin părţi, undexxu =)( , dxdu = , xexv ⋅−−= µ)( , dxedv x⋅−⋅= µµ
=⋅+=+−=⋅= ���∞ ⋅−∞ ⋅−∞⋅−∞ ⋅−
0002
0
22 202|)( xxxx exxeexdxexXM µµµµ µµ
µ
2212
µµµ=⋅= .
Integrala a fost calculată tot prin metoda integrării prin părţi, unde2)( xxu = , xdxdu 2= , xexv ⋅−−= µ)( , dxedv x⋅−⋅= µµ .
22222 112)()()(
µµµ=−=−= XMXMXD .
µσ 1)()( == XDX .
Putem calcula media şi dispersia şi astfel:
��∞ ⋅−∞
⋅⋅==00
)()( dxexdxxxfXM xµµ
Făcând schimbarea de variabilă dydxyxyxµµ
µ 1=�=�=⋅ şi
observând că limitele de integrare se păstrează, obţinem:
µµµµµµ 1)2(111)(
00=Γ==⋅⋅= ��
∞ −−∞dyyedyeyXM yy
La fel, ==== ���∞ −∞ ⋅−∞
0 2
2
0
2
0
22 1)()( dyeydxexdxxfxXM yx
µµµµ µ
220
22
2)3(11µµµ
=Γ== �∞ − dyey y .
Prin urmare, 222
22 112)()()(µµµ
=−=−= XMXMXD .
Repartiţia exponenţială are proprietatea µ
σ 1)( == XXM .
Repartiţiile exponenţială şi Poisson sunt utilizate înmodelarea şi rezlovarea problemelor legate de firele de aşteptarecare apar în activitatea economică.
10.2.3. Repartiţia normală
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are o repartiţienormală dacă funcţia sa de probabilitate este de forma
2
21
21)(
��
���
� −−= σ
πσ
mx
exf , unde Rm ∈ , 0>σ (1)
Pentru a pune în evidenţă parametrii m şi σ , densitatea deprobabilitate se mai notează ),;( σmxn , Rx ∈ , 0>σ .I. )(xf este funcţie de probabilitate, deoarece:1) 0),;( ≥σmxn , evident, din definiţie.
2) 1),;( =�∞
∞−dxmxn σ sau 1
21
2
21
=⋅��
���
� −−∞
∞−� dxemx
σ
πσ.
Notăm ymx =−σ
, dydxdydx ⋅=�= σσ1 .
122
21
21
21 22
2
21
21
21
===⋅⋅=⋅ ���∞
∞−
−−∞
∞−
��
���
� −−∞
∞− ππ
πσ
πσπσσ dyedyedxe
yymx
,
deoarece se ştie că integrala Euler-Poisson π22
21
=�∞
∞−
−dye
y.
Graficul funcţiei de probabilitate depinde de parametrii mşi σ , forma curbei rămânând (structural) aceeaşi, şi anume formacunoscută sub numele de clopotul lui Gauss.
EXEMPLU: ),0;( σxn
- πσ 2
14,0 =≈
-1 0 1
1) Faţă de parametrul m , curbele ),,( σmxn reprezintă de fapttranslaţii de-a lungul axei ox, menţinându-şi forma şi mărimea.
| |
23−=m 0=m
23=m
2) Faţă de parametrul σ , curbele sunt mai ascuţite sau mai plate,astfel încât aria cuprinsă între graficul curbei şi axa ox să fie egalăcu 1 (unitatea de suprafaţă). Aici 321 σσσ << .
1σ
2σ 3σ
23=m
OBSERVAŢIE: Curba se apropie repede de axa ox . Înraport cu o abatere σ3<− mx , diferenţa faţă de ox este de ordinula 0,003 unităţi. Astfel, repartiţia normală poate fi consideratădefinită într-un interval închis şi finit.
Pentru determinarea mediei şi dispersiei vom utiliza funcţiacaracteristică a variabilei aleatoare normale.
�∞
∞−== dxmxneeMtc itxitX ),;()()( σ (2)
Calculăm pentru început funcţia caracteristică a variabilei
aleatoare normale normate: 2
21
21)1,0;(
yeyn
−=
π (3)
���
�
�
���
�
�− 2
21
21: y
e
yY
π�
���
�
�
���
�
�− 2
21
21: y
ity
itY
e
ee
π.
==== ���∞
∞−
−−∞
∞−
−∞
∞−
− dyedyeedyynetcityyy
ityity )2(21
22
2
21
21)1,0;()(
ππ
=== ��∞
∞−
+−−∞
∞−
++−−dyedye
tiitytitiityy 22222222
21)(
21
21)2(
21
21
21
ππ
���∞
∞−
−−
∞
∞−
−−−
∞
∞−
−−−==== dzeedyeedyee
ztity
ttity
221
)(212
1
21)(
21 22
22
22
2221
πππ2
2
212
1
22 t
t
ee −−
==π
π , unde am folosit substituţia dzdyzity =�=− .
Observăm, de asemenea, că utilizând această substituţie limitele deintegrare nu se schimbă.
Ultima integrală este integrala Euler-Poisson. Ea este egalăcu π2 şi se calculează astfel:
π222
220
21
0022
22
==== ����∞ −−∞∞ −∞
∞−
−dtet
tdtedzedze tit
zz
.
În calculul de mai sus am folosit substituţia :
zdtdzdtzdztz =�=�=2
21 ;
tdtdztztz2
22
2
=�=�= .
Prin urmare, funcţia caracteristică a variabilei aleatoare
normale normate )1,0;( yn este 2
21
)(t
Y etc−
= (4)
Fie variabila aleatoare βα +⋅= YX . Atunci )()( tcetc Yti
X ⋅= ⋅ αβ (5)
Demonstraţie:
==== ⋅+⋅ ][][)( )( βαβα itYitYititXX eeMeMeMc )(][ )( tceeMe Y
itYtiit βαβ = .
Fie variabila aleatoare normală 2
21
21),;(
��
���
� −−= σ
πσσ
mx
emxn .
Facem substituţia mYXmyxymx +⋅=�+⋅=�=− σσσ
, unde
)1,0;( yNY = . Aşa cum am văzut, pentru variabila aleatoare
normală normată, funcţia caracteristică este 2
21
)(t
Y etc−
= .Deci conform (5) avem:
== + )()( tctc mYX σ
22
21
)(timt
Yimt eetce
σσ
−=⋅ .
În concluzie, funcţia caracteristică a variabilei normale
),;( σmxn este 22
21
)(timt
X etcσ−
= (6)
Calculul mediei: 1)( mXM =
icm )0('
1 =
22
21
2 )()('titm
X etimtcσ
σ−
−= � imimec X == 0)0(' � mm =1 .Deci mXM =)( .
Calculul dispersiei: 212
22 )()()( mmXMXMXD −=−=
22)0(''
icm =
2222
21
2221
2 )()(''titmtitm
etimetcσσ
σσ−−
−+−=22002 )()0('' meimec −−=+−= σσ
222
22
22)0('' m
im
icm +=−−== σσ (întrucât, evident, 12 −=i )
Deci 2222)( σσ =−+= mmXD .
OBSERVAŢIE: Parametrii m şi σ ai repartiţiei normalereprezintă media şi respectiv abaterea medie pătratică.
Funcţia de repartiţie ; funcţia integrală a lui Laplace:
Fie variabila aleatoare normală de parametrii m şi σ :
0,),;(
: >���
����
� σσmxn
xX , Rm ∈ , unde, aşa cum ştim,
2
21
21),;(
��
���
� −−= σ
πσσ
mx
emxn . Funcţia de repartiţie este :
dtedtmtnxXPxFmt
xx2
21
21),;()()(
��
���
� −−
∞−∞− �� ==<= σ
πσσ (7)
Notăm: � ∞−=
xdtmtnmxN ),;(),;( σσ funcţia de repartiţie a
variabilei aleatoare normale.
Fie X o variabilă aleatoare normală cu densitatea deprobabilitate ),;( σmxn şi funcţia de repartiţie ),;( σmxN . Dacă
facem schimbarea de variabilă σ
mXZ −= , ştim că Z este o
variabilă aleatoare normală normată cu media 0=m şi dispersia1=σ . Deci Z are densitatea de probabilitate )1,0;(zn şi funcţia de
repartiţie )1,0;(zN .
dtemxNxXPxFmt
x2
21
21),;()()(
��
���
� −−
∞−�==<= σ
πσσ (8)
Pentru calculul integralei (8) facem substituţia:
dydtymt ⋅=�=− σσ
.Dacă xt = , atunci σ
mxy −= , iar pentru t
tinzând către ∞− şi y tinde către ∞− . Astfel, vom obţine:
��
���
� −==⋅=−
∞−� 1,0;)1,0;(21)(
2
21
σσ
πσmxNyNdyexF
yy .
Prin urmare, putem scrie:
)1,0;(),;()( zNmxNxXP ==< σ , unde σ
mxz −= .
Reprezentarea grafică a funcţiei de repartiţie normală
normată de forma � ∞−
−=
z ydyezN
2
21
21)1,0;(π
, unde σ
mxz −= este:
)1,0;(zN 1
21
OBSERVAŢIE: Curba )1,0;(zN este simetrică faţă de punctul
��
���
�
21,0 . Dacă facem o translaţie de axe:
21)1,0;()( −=Φ zNz
(translaţie datorată lui Laplace), obţinem:
)(zΦ
21
z
21−
OBSERVAŢIE: )(zΦ este o funcţie simetrică faţă deorigine, şi deci funcţia Φ este o funcţie impară . Prin urmare estesuficient să cunoaştem )(zΦ pentru 0>z .
)1,0;(zn
=Φz
dttnz0
)1,0;()(
z
În toate cărţile şi manualele de teoria probabilităţilor şistatistică matematică, funcţia )(zΦ este tabelată.
Prin urmare, avem: )(21)1,0;( zzN Φ+= este funcţia de
repartiţie a variabilei aleatoare normală normată şi
��
���
� −Φ+=σ
σ mxmxN21),;( este funcţia de repartiţie a variabilei
aleatoare normală nenormată (de parametrii m şi σ ).
Calculul momentelor centrate :
Momentele centrate ale variabilei aleatoare normale suntdes utilizate, în special în statistica matematică. Astfel, momentulcentrat de ordinul r :
dxemxdxmxnmxmx
rrr
2
21
21)(),;()(
��
���
� −−∞
∞−
∞
∞−� � −=−= σ
πσσµ
Am văzut că:11),;()( 0
00 =�=−= �
∞
∞−µσµ dxmxnmx .
−=−= ��∞
∞−
��
���
� −−∞
∞−
��
���
� −−dxexdxemx
mxmx 22
21
21
1 21
21)( σσ
πσπσµ
0021
121 2
=�=�∞
∞−
��
���
� −−µ
πσσ dxem
mx
Notăm : dydxymxymx ⋅=�⋅=−�=− σσσ
şi întrucât
0>σ , limitele de integrare se păstrează. Obţinem:
+��
���
�−==⋅= ∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
��
���
� −−
�� |222
1 222
21
21
21
yrryr
rmxrr
r eydyeydyeyπ
σπ
σσπσ
σµ σ
=−+ �∞
∞−
−− dyeyryr
r 2
21
2)1(2π
σ2
221
222 )1(21)1(
2
−
∞
∞−
−−− −=�− � rr
yrr rdyeyr µσµπ
σσ
În rezolvarea acestei integrale am aplicat metoda integrării
prin părţi, unde 1−= ryf 2)1(' −−=�ryrf ,
22
21
21
'yy
egyeg−−
−=�= .
Deci: 22
2 )12( σσµ =−= 0)13( 1
23 =−= µσµ
42
24 31)14( σµσµ ⋅⋅=−=
05 =µ ………………………………. 012 =+qµ q
q q 22 )12(31 σµ −⋅⋅⋅= Κ
10.2.4. Repartiţia Gamma
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are repartiţie Gammadacă funcţia sa de repartiţie este de forma:
��
��
�
≤
>+Γ=
−
+
0,0
0,)1(1
),;( 1
x
xexbabaxf
bx
aa , unde �
∞ −=+Γ0
)1( dxexa xa
şi 1−>a , 0>b .
I. )(xf este funcţie de probabilitate, deoarece:1) 0),;( ≥baxf , evident
2) =+Γ
=+Γ
=−∞ ∞
+
−
+
∞
∞− � �� dxexba
dxexba
dxbaxf bx
aa
bx
aa0 0 11
1)1(
1)1(1),;(
Notăm dybdxybxybx ⋅=�⋅=�=
1)1()1(
)1(11
)1(1
00 1 =+Γ+Γ=
+Γ=⋅
+Γ= ��
∞ −∞ −+ a
adyeya
dybeybba
yayaaa
Amintim câteva proprietaţi ale integralei Γ :
P1. )1()1()( −Γ−=Γ aaaP2. )!1()( −=Γ nn
P3. π=��
���
�Γ21
Demonstraţiile acestor proprietăţi se găsesc în cursurile deanaliză matematică.
Funcţia generatoare de momente pentru variabila aleatoareGamma:
01,)1(1),;()()(
0 10>−>
+Γ===
∞ −
+
∞badxex
baedxbaxfeeMtg b
xa
atxtxtX
Facem substituţia : dybdxybxbxy ⋅=�⋅=�= .
Avem:
=⋅⋅+Γ
=⋅+Γ
= −∞∞
+ �� dyeyea
dybybba
etg yabtyaaa
bty
00 1 )1(1
)1(1)(
1011
110
)1(
)1(1
11)1(
1)1(1
)1(1
+
∞−
−
++
∞ −−
−=
��
���
�
−+Γ
−=
+Γ= �� a
abt
y
aaabty
btdyye
bta
btdyye
a,
deoarece 1
11)1(
10
11
1�∞
−
−
+ =
��
���
�
−+Γ
dyye
bta
abt
y
a , fiind densitatea de
probabilitate a repartiţiei Γ .Prin urmare, putem scrie că funcţia generatoare de
momente pentru Γ este )1()1()( +−−= abttg .
Momentele iniţiale:
Calculăm momentele iniţiale din relaţia ,....2,1,|)( 0)( === rmtg rt
r
)1()0(')1)(1()()1)(1()(' 1)2()2( +==�−+=−−+−= +−+− abgmbtabbbtatg aa
)2)(1()0('')1)(2)(1()('' 22
)3(2 ++==�−++= +− aabgmbtaabtg a
……………………………………………………………………….
==�−+⋅⋅++= ++− )0()1)(()2)(1()( )()1()( rr
rarr gmbtraaabtg Κ)()2)(1( raaabr +⋅⋅++= Κ
Deci )1()( 1 +== abmXM şi)1()1()2)(1()( 22222
12 +=+−++=−= ababaabmmXD
Momentele centrate:
=��
���
�−=−=−= �
=
−k
j
jkjjk
jkkk XmCMmXMXMXM
0
)1(][)]([µ
�=
−−=k
j
jkjjk
j XMmC0
)()1(
Deci : �=
−−=k
jjk
jjk
jk mmC
0
)1(µ .
OBSERVAŢIE:Pentru 2=k obţinem:
)(21̀20
2221̀
1122
002
2
0222 XDmmmmCmmCmmCmmC
jj
jj =−=+−==�=
−µ , unde :
1)1()( 00 === MXMm şi mXMXMm === )()( 1
1 .Pentru 1=k obţinem:
0)()()(1 =−=−=−= mmmMXMmXMµ
În cazul repartiţiei Γ , vom obţine:01 =µ ;
)1()( 22 +== abXDµ ;
=−+⋅−=−=�=
− 03
12
23
3
0333 33)1( mmmmmmmmmC
jj
jjjµ
)3)(2)(1(3 +++= aaab =+−++++++− 33222 )1()1()1(3)2)(1()1(3 abababaabab=+−++++−+++= ])1()1(3)2)(1(3)3)(2)[(1( 223 aaaaaaab
=+++−−−+++= ]24269365)[(1( 2223 aaaaaaab )1(22)1( 33
3 +=�+ abab µ
)3)(1(3 44 ++= aabµ .
10.2.5. Repartiţia Beta
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are repartiţie Betadacă densitatea sa de probabilitate este de forma:
��
��
�
∞∪−∞∈
∈−=
−−
),1()0,(,0
]1,0[,)1(),(
1),;(
11
x
xxxbabaxf
ba
β , unde 0>a , 0>b şi
dxxxba ba −− −=1
0
11 )1(),(β
I. )(xf este funcţie de probabilitate, deoarece:1) 0),;( ≥baxf , evident oricare ar fi ],[ bax ∈
2) 1),(),(
1)1(),(
1),;(1
0
111
0==−= −− ba
badxxx
badxbaxf ba β
ββ
Reamintim câteva proprietăţi ale integralei ),( baβ :
P1. ),(),( abba ββ =Demonstraţie: facem substituţia dydxyxyx −=�−=�=− 11 .
��� =−=−−=−= −−−−−− 1
0
110
1
111
0
11 ),()1()1()1(),( abdyyydyyydxxxba abbaba ββ
P2. )1,1(11),( −−−+
−= baba
aba ββ
P3. )1,1(21
11),( −−
−+−⋅
−+−= ba
bab
baaba ββ
P4. )()()(),(
bababa
+ΓΓΓ=β , unde �
∞ −−=Γ0
1)( dxexa xa
II. Calculul momentelor pentru calculul mediei şi dispersiei:
=−=−== ���−−+−− 1
0
111
0
111
0)1(
),(1)1(
),(1),;( dxxx
badxxx
baxdxbaxfxm brabarr
r ββ
)()()()(
)()()(
)()()(
),(),(
abrabara
baba
brabra
babra
Γ++Γ+Γ+Γ=
ΓΓ+Γ⋅
++ΓΓ+Γ=+=
ββ
Dar =−+Γ−+=+Γ�Γ=+Γ )1()1()()()1( rararaaaa)()2)(1()2()2)(1( aararararara Γ⋅⋅−+−+==−+Γ−+−+= ΚΚ⋅−++−++=−++Γ−++=++Γ=++Γ )2)(1()1()1()()( rbarbarbarbarbabra)()()2)(1()2( babarbarbarba +Γ+⋅⋅−++−++==−++Γ⋅ ΚΚ
Deci
)1()1)(()1()1(
)()()()2)(1()()()2)(1(
−++⋅⋅+++−+⋅⋅+=
Γ+Γ+⋅⋅−++−+++ΓΓ⋅⋅−+−+=
rbababaraaa
ababarbarbabaaararamr Κ
ΚΚΚ
Prin urmare, )(1 XMba
am =+
= , )()1)((
)1( 22 XM
babaaam =
++++=
Deci dispersia este :
=+++
++−++=+
−+++
+=−=)1()(
)1())(()()1)((
)1()( 2
22
2
2212 baba
baaaababa
ababa
aammXD
)1()()1()( 22
223223
+++=
+++−−−+++=
babaab
babaabaaabbaaa .
10.2.6. Repartiţia 2χDEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are repartiţie 2χ dacă
funcţia sa de repartiţie este de forma:
��
�
��
�
�
≤
>��
��
Γ=
−−
0,0
0,2
2
1
);(
21
2
2
x
xexkkxf
xk
k, unde *Nk ∈ reprezintă
numărul gradelor de libertate.
Mai jos prezentăm graficele funcţiei );( kxf pentru15,6,4,2=k .
k=2
k=4 0,2-
0,15- k=6
0,1- k=15
0,05- | | | | | 0 5 10 15 20 25
Se vede că graficele sunt asimetrice, dar, pentru valori mariale gradelor de libertate )30( >k , graficul repartiţiei 2χ se apropiede graficul repartiţiei normale.
OBSERVAŢIE: 2χ se poate obţine din Γ pentru 12
−= ka
şi 2=b .
Funcţia generatoare de momente a variabilei aleatoare Γ
este de forma )1(1 )1(
)1(1)( +−
+ −=−
= aa bt
bttg şi ,....2,1,)0()( == rmg r
r .
Prin urmare, pentru 12
−= ka şi 2=b , vom obţine funcţia
generatoare de momente a variabilei 2χ de forma:
2)21()(k
ttg−
−= .
kmgtktktgkk
==−=−−−=−−−−
1
12
12 )0(')21()2()21(
2)('
−+=−−���
� +−=−−−− 1
21
2 )21)(2()2()21(2
2)(''kk
tkktkktg
)2()0('' 2 +== kkmg
kkkkmmD 22)( 22212
2 =−+=−=χ
10.2.7. Repartiţia Student
DEFINIŢIE: O variabilă aleatoare X are repartiţie Studentdacă funcţia sa de repartiţie este de forma:
ℜ∈���
����
�+
��
���
�Γ⋅
��
���
� +Γ=
+−
tkt
kk
k
ktf
k
,1
2
21
),(21
2
π
Se poate arăta că variabila aleatoare „t” este dată de raportul
Vkzt = , unde z este variabila aleatoare )1,0;(xn , iar variabila
aleatoare V este un 2χ cu k grade de libertate, independentă de z.
Se arată că )1,0;(),(lim tnktfk
=∞→
, deci t este aproximată
suficient de bine de )1,0;(xn pentru 30>k .
0)( =tM , iar 2
)(−
=k
ktD .
)1,0;(xn
t
x