modele clasice curs master

Download Modele Clasice Curs Master

Post on 28-Apr-2015

21 views

Category:

Documents

5 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Modele clasice n tiineNotie de curs pentru studenii la Master : Informatic aplicat n tiine, tehnic i economie tefan Balint, Loredana Tnasie

Cuprins

1. Modelarea matematic...............................................................................2 2. Consideraii euristice despre spaiul fizic i modelul matematic Euclidian al spaiului fizic .............................................................................4 3. Cteva consideraii euristice despre timp i modelul matematic al timpului ....................................................................................................13 4. Modelarea matematic a corpurilor .........................................................15 5. Despre noiunea de micare i descrierea matematic a micrii punctului material ........................................................................................................16 6. Un model de balistic exterioar .............................................................20 7. Un model planetar....................................................................................26 8. Un model de satelit artificial....................................................................36 9. Modelul atomic al lui Bohr......................................................................39 10. Modelul de pendul neliniar ....................................................................41 11. Model pentru vibraia transversal coardelor instrumentelor muzicale...............................................................................45 12. Model pentru vibraia longitudinal a barelor. ......................................54 13. Model pentru vibraiile transversale ale membranelor ..........................58 14. Model pentru dinamica gazelor. Unde de oc .......................................62 15. Model pentru dinamica sorbiei gazelor ................................................68 16. Model pentru propagarea cldurii prin conducie n corpuri mrginite ....................................................................................71 17. Model pentru ngheare (solidificare) ....................................................79 18. Model pentru propagarea undelor de temperatur n sol.......................82

19. Model pentru transport de cldur prin conducie i convecie n spaiul 3D.................................................................................................86 20. Model pentru transport de cldur prin conducie, convecie i radiaie (1D) .............................................................................................89 21. Model pentru dinamica fluidelor ideale (gaze i lichide ideale). Curgerea lichidelor ideale............................................................................................90 22. Model pentru propagarea sunetului .......................................................97 23. Transportul de materie prin difuziune. Difuzia unui nor.....................100 24. Model pentru vibraiile unor volume mrginite ..................................106 25. Model de propagare a undelor seismice ..............................................109 26. Model pentru propagarea undelor electromagnetice ...........................111 27. Model de propagare a undelor radio deasupra suprafeei Pmntului ................................................................................116 28. Model de transport de substan prin convecie i difuzie ..................120

1. Modelarea matematic.Modelarea matematic este un concept greu de definit. ntr-o prim nelegere este matematic aplicat n fizic, chimie, biologie, economie. Dup prerea lui A. C. Fowler exprimat n cartea: Mathematical models in the applied sciences, Cambridge University Press 1998: nu exist reguli i nici o nelegere clar privitoare la calea corect ce trebuie urmat n modelarea matematic. De aceea exist doar cteva texte care abordeaz acest subiect ntr-un mod serios. Modelarea matematic se nva prin practic prin exerciiu pe multe exemple. Matematicienii care fac matematici aplicate au un procedeu, aproape o filozofie, pe care-l aplic atunci cnd construiesc modele. nainte de toate aleg un fenomen care prezint interes i pe care doresc s-l descrie matematic (cantitativ) i s-l explice. Observaii ale fenomenului, fcute de fizicieni, chimiti, biologi, astronomi, economiti, conduc, adesea dup mult efort, la degajarea unui mecanism ipotetic care poate explica fenomenul. Obiectivul unui model matematic al fenomenului trebuie s fie descrierea cantitativ a mecanismului. n mod usual descrierea cantitativ se face cu un numr de variabile, numite variabilele modelului. Modelul matematic este un set de ecuaii referitoare la aceste variabile. n literatur se ntlnesc trei modalitii de obinere a ecuaiilor care definesc modelul: 1. Procedeu clasic. Acesta const n transcrierea sub form de ecuaie a unor legi generale cum ar fi: legea lui Newton din mecanic; legile lui Ohm, Kirchoff, Ampere din electricitate, legea de conservare a masei a energiei, legea de conservare a impulsului i alte legi. 2. Procedeu bazat pe legi constitutive. Acesta const n transcrierea sub form de ecuaie a unor legi constitutive. Legile constitutive, se refer la acele variabile ale modelului care depind de structura materialului (constituia lui) i stabilesc relaii dintre asemenea variabile. Aceste relaii pot fi rezultatul unor experiene (legea lui Hook) sau a unor raionamente empirice sau postulate. 3. Procedeu bazat pe legi ipotetice. Aceast const n transcrierea sub form de ecuaie a unor legi ipotetice i se ntlnete atunci cnd nu exist o lege precis referitoare la fenomen. De exemplu legea Lottka-Voltera. Analiza modelului matematic nseamn elucidarea existenei, unicitii, comportrii soluiilor ecuaiilor modelului precum i calcularea numeric a soluiilor. Analiza conduce la

2

rezultate ce pot fi comparate cu observaii. Mai mult analiza conduce i la predicii privind desfurarea fenomenului. Dac aceste predicii se adeveresc, ele confer autenticitate modelului. Este important de reinut c toate modelele sunt idealizri i sunt limitate n ceea ce privete aplicabilitatea lor. De fapt, n mod curent, ne place s simplificm, pe ideea c dac modelul obinut n acest fel este corect, atunci se poate complica i analiza acestuia este uurat de analiza versiunii simplificate. Bibliografie: 1. A.C. Fowler: Mathematical models in applied Sciences; Cambridge Univerity Press 1998.

3

2. Consideraii euristice despre spaiul fizic i modelul matematic Euclidian al spaiului fizic.Primele cunotiine relative la lumea n care trim ne parvin pe calea senzaiilor i a percepiilor. Pe aceste ci realizm diferite tablouri n ceea ce privete aezarea corpurilor unul fa de altul. Cu toate c aceste tablouri se modific n general, sesizm situaii n care anumite corpuri dintr-un asemenea tablou pstreaz aezarea unul fa de altul iar altele modific aezarea lor fa de acestea. Aceste senzaii din urm conduc la ideea c n afara corpurilor mai exist ceva, ceva ce ele pot pstra sau le pot prsi. Acest ceva noi numim poziie, sau loc. Cuvntul acolo din propoziia Uite acolo este un avion se refer la poziie i exprim credina c aceasta exist, a fost i rmne chiar nainte ca avionul s fi ajuns acolo i dup ce avionul zboar mai departe. Credina n existena poziiilor fixe, independente de corpuri pe care aceste corpuri le pot ocupa i prsi, a condus la ideea de existen al unui fel de cadru suport format din aceste poziii n care sunt aezate corpurile i care se numete spaiul fizic. Locurile (poziiile) i spaiul nu sunt accesibile direct prin intermediul senzaiilor i a percepiilor, locul devine sesizabil doar dac este ocupat de un corp. Corpurile au ns n general ntinderi diferite pe care noi le descriem cu trei caracteristici: lungime; lime i nlime. Locul eliberat de un corp poate fi prea mare sau prea mic pentru un alt corp. Din acest motiv este mai firesc s spunem c un corp ocup de fapt o mulime de locuri n spaiu, iar locul n sine este o entitate aa de mic nct spre deosebire de corpuri nu are nici lungime, nici lime, nici nlime (dimensiune). Admitem ns c locurile sunt suficient de multe i dispuse astfel nct orice corp care are trei dimensiuni (lungime, lime, nlime) poate fi aezat pe un ansamblu de locuri, acest ansamblu de locuri depinde de ntinderea corpului, i odat ocupat nu mai rmne nimic disponibil din poriunea de spaiu ocupat. Ipoteza de independen de corpuri materiale confer poziiilor i spaiului (ansamblul tuturor poziiilor) un caracter absolut. Spaiul conceput n acest fel, independent de materie (corpuri), nu are nici o structur material i este firesc s fie presupus continuu omogen i izotrop. Ideea c n spaiu ncape orice corp tridimensional pe un ansamblu de locuri, i n zona respectiv nu mai rmne nimic disponibil din spaiu, confer calitatea de tridimensional spaiului (ca i corpurile). n ceea ce privete ntinderea, admitem c spaiul fizic, spre deosebire de corpuri care au ntinderi limitate, este nelimitat.

4

Msurarea distanei ntre dou poziii din acest spaiu fizic se face msurnd lungimea segmentului de dreapt ce unete aceste dou poziii, folosind o unitate de msur convenional numit metru, care este 1/40.000.000 din lungimea meridianului ce trece prin Paris. Primul model matematic nchegat al spaiului fizic descris mai sus a fost elaborat de Euclid. Acest model poart denumirea de Spaiu Euclidian Afin 3-dimensional i este prezentat n cadrul disciplinei de geometrie n spaiu la liceu precum i n cadrul cursului de geometrie de anul nti. Spaiul euclidian afin E3 este o mulime de puncte abstracte, menite s reprezinte poziiile (locurile) din spaiul fizic. Se presupune c punctele abstracte ale mulimii E3 satisfac o serie de condiii de baz numite axiome ale spaiului. De fapt prin aceste axiome se asigur structurarea mulimii E3 dup chipul spaiului fizic. Axiomele, construciile i rezultatele de baz din acest model le presupunem cunoscute din liceu i din cursul de geometrie din anul 1. Dorim doar s obse