Tema IV: Trabajo Termodinámico Contenido: 1.  Introducción 2.  Definición general de trabajo termodinámico 3.  Sistema Hidrostático

Procesos típicos Gas ideal

4.  Trabajo termodinámico en otros sistemas

Alambre tensado Membrana Lámina de Dieléctrico Varilla paramagnética ….

Silabario: Termodinámica Clásica.

García-Colín (GC).

Capítulo 4. p. 40-55.

Calor y Termodinámica.

Zemansky-Dittman (ZD).

Capítulo 3. Secciones 3.1 a 3.8

Modern Thermodynamics.

Kandepudi-Prigogine (KP).

Capítulo 2, p. 31-32, 41-42

Complementaria:

ZD: Secs. 3.9-3-11

HC: Secs. 1.5 y 1.6

1. Introducción

Con este tema iniciamos:

Por ello, dedicamos la introducción a resumir sobre los aspectos mas importantes del Bloque anterior dedicado a Ley Cero y a dar un panorama general de éste nuevo Bloque.

¿y en este Bloque?

Por lo anterior, a este Bloque lo componen los siguientes tres Temas:

IV. Trabajo Termodinámico

V. Primera Ley de la Termodinámica

VI. Aplicaciones de la Primera Ley de la Termodinámica

Energía Interna Calor

2. Definición General de Trabajo Termodinámico Antecedente….Trabajo Mecánico:

dW = F⋅dr

Trabajo (energía) Fuerza

Desplazamiento

(1)

Wi→ f = F⋅dr

i

f

∫= K f −Ki

= ΔK

Sobre el Trabajo Total realizado sobre una partícula para llevarla de una posición inicial a otra final :

donde K denota a la energía cinética de la partícula (Teorema de Trabajo y Energía Cinética). Por otra parte y dependiendo de la naturaleza de la fuerza F, podrá ser posible o no, relacionar al trabajo con un cambio de energía potencial V(r): -  Sí la fuerza es tal que:

F= −∇V (r) (derivable de un

potencial)

(2)

(3)

Luego entonces: dW = −∇

V (r) ⋅dr

= − ∂V (r)∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ y,z

dx + ∂V (r)∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x,z

dy + ∂V (r)∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x,y

dz⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪= − dV (r){ }

De forma tal que, en este caso particular, el trabajo total se puede puede escribir como:

Wi→ f = − dV (r)i

f

∫= − Vf −Vi⎡⎣ ⎤⎦= −ΔV

(4)

(5) De (2) y (5) se sigue que:

ΔK + ΔV = 0 Ki +Vi = K f +Vf Ei = Ef

“Si la fuerza es derivable de un potencial, la energía mecánica E se conserva. En este sentido a estas fuerzas les llamamos fuerzas conservativas ”

ΔE = 0 (6)

-  Sí la fuerza NO es derivable de una función potencial, entonces:

dW ≠ −∇V (r) ⋅dr

≠ − ∂V (r)∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ y,z

dx + ∂V (r)∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x,z

dy + ∂V (r)∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x,y

dz⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪≠ − dV (r){ }

Es decir, NO es posible expresar el diferencial de trabajo como el diferencial de una función potencial y como consecuencia no es posible calcular el trabajo realizado por esta fuerza conociendo solamente los estados inicial y final, necesitamos tener información de la trayectoria. En este caso la energía mecánica no se conserva. Es por ello que a dichas fuerzas se les denomina como fuerzas no-conservativas. Es posible mostrar que si sobre un cuerpo actúan fuerzas conservativas y fuerzas no-conservativas:

Wi→ f(nc) = ΔE

En Termodinámica, se hace un uso extensivo de estos conceptos y términos.

ΔE ≠ 0 E ≠ constante

Trabajo Termodinámico Sea F una coordenada termodinámica intensiva y una coordenada termodinámica extensiva. Se define el Trabajo Termodinámico como: Siempre y cuando: -  posea dimensiones de energía.

-  represente algún tipo de interacción entre el sistema y sus alrededores.

Observaciones:

-  : selección arbitraria de signos. Existen convenciones diferentes.

-  : para referirse a una diferencial “inexacta”.

dW ≡ ±F dλdW

λ

Fλ[ ]Fdλ

±d

En analogía con Mecánica, se denomina: - F : “Fuerza Generalizada” -  : “Desplazamiento Generalizado” dλ

Sí un sistema termodinámico interacciona con sus alrededores de diferentes formas mecánicas, entonces el trabajo termodinámico se expresa como la suma de los trabajos productos de dichas interacciones:

dW ≡ XidYii=1

n

∑

Número de diferentes tipos de interacción

i-ésima Fuerza

Generalizada

i-ésimo desplazamiento Generalizada

Reiterando que los cambios en las coordenadas termodinámicas sean tales que el proceso sea cuasiestático.

Se estila denominar como variables conjugadas a las coordenadas termodinámicas que participan como Fuerza y Desplazamiento Generalizado en la expresión del trabajo. De esta forma:

dW ≡ XidYii=1

n

∑= X1dY1 + X1dY1 ++ XndYn

Parejas de variables conjugadas para cada término de trabajo

= dW1 + dW1 ++ dWn

= dWii=1

n

∑

Trabajo Total Si el sistema pasa de un estado termodinámico A a otro B, de forma tal que el cambio en el desplazamiento generalizado es finito, entonces el trabajo total realizado se expresa como:

WA→B ≡ F dλA

B

∫O bien:

WA→B ≡ X dYA

B

∫Proceso Termodinámico

Trabajo Termodinámico

(área bajo la curva)

Diagrama Indicador

Como se deduce de las figuras anteriores, es posible pensar en diferentes procesos termodinámicos mediante los cuales el sistema pase del estado A al estado B:

WA→B

WA→C→B

WA→D→B

WA→C→B ≠WA→B ≠WA→D→B

WA→C→B >WA→B >WA→D→B

¿WA→B?

Precisamente en ello estriba la distinción explícita que se hace en la notación usada para el diferencial del trabajo termodinámico: su diferencial en general no es exacta: d↔ d

Es decir, en general el trabajo depende del proceso (“trayectoria”) y por tanto NO podemos expresarlo como la diferencia entre los estados A y B de una función de estado.

“El Trabajo Termodinámico, en general, NO es una función de estado (no es propiedad del sistema) sino una función del proceso mismo (depende del proceso)”

Para distinguir si una cantidad termodinámica F es función de estado o función de proceso, será suficiente verificar si su diferencial es exacta o no:

dF ≡ M (x, y) dx + N(x, y)dy

∂M∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x

= ∂N∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ y

∂M∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x

≠ ∂N∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ y

(exacta) (inexacta)

Función de Estado

Función de Proceso

Para concluir las generalidades sobre la definición de Trabajo Termodinámico, plantearemos la convención de signos:

En consecuencia de lo anterior, si un proceso termodinámico es cíclico, el trabajo total realizado, en general, será diferente de cero:

+ =

WA→C→B WB→D→A WCiclo

3. Trabajo Hidrostático

dW = pdV

Sin embargo, haremos uso de una convención de signos: •  Si el trabajo realizado por el medio ambiente sobre el sistema es positivo (el sistema

adquiere energía). Entonces el Trabajo Hidrostático se definirá como positivo. •  Si el trabajo realizado por el sistema sobre el medio ambiente es positivo (el sistema

cede energía). Entonces el Trabajo Hidrostático se definirá como negativo.

En el caso del sistema hidrostático, en virtud del carácter compresor de la presión hidrostática y de la condición de que el proceso sea cuasi-estático e invertible, , tendremos que según la expresión anterior para dW: p = pMA

En una Compresión: En una Expansión:

dW = pdV < 0 dW = pdV > 0

Luego entonces, para hacer los signos consistentes con la convención, incluimos un signo negativo:

dW = −pdV

Presión del sistema Volumen del sistema

Coordenadas Termodinámicas

_

_

+

< W = − pdV∫ = − pdV

VA (I )

VB

∫ − pdVVB (II )

VA

∫ < 0

W = − pdV∫ = − pdVVA (I )

VB

∫ − pdVVB (II )

VA

∫ > 0

_ _ _ _ _

_

_ _

_

__

_

_

_

_

W = nRT ln ViVf

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

W = −nRT lnVf

Vi

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

4. Trabajo termodinámico en otros sistemas

* Alambre tensado. (Coordenadas Termodinámicas: L, y F)

dl dl

F

F

F

F

dW = F ⋅2dlDenotando por dL=2dl a la deformación total del alambre en presencia de la fuerza tensora F, escribimos simplemente:

dW = F ⋅dL

Análisis dimensional. Evidentemente: F ⋅dL[ ] = Energía[ ]

θ

* Membrana. (Coordenadas Termodinámicas: A, y )

F

F

dx

l

da

(vista de frente)

l

Membrana 1 Membrana 2

dW = F ⋅dxComo la Tensión Superficial esta definida como:

σ ≡ FL⇒ F =σL

σ

Sustituyendo en la expresión para el trabajo:

dW =σ ⋅Ldx

(vista lateral)

En este caso: L = 2lporque se tienen dos membranas, cada una en contacto con la barra deslizante de longitud l, entonces:

dW =σ ⋅2ldx =σ ⋅2daComo el cambio de área total (considerando las dos membranas) es dA=2da, tendremos que:

dW =σ ⋅dAAnálisis dimensional:

σ ⋅dA[ ] = Fuerzalongitud

⋅ longitud 2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = Energía[ ]

θ σ

* Lámina dieléctrica.

++++++

______

vacío vacío

Q -Q

ξ

dW = ξdq = (El)dq

Trabajo necesario para cargar las placas Diferencia de

Potencial

Campo Eléctrico entre las placas

l

++++++

______

Q -Q

ξ

dieléctrico

Ley de Gauss:

ε0E• dA

∫ = q D• dA

∫ = q

(sin dieléctrico) (con dieléctrico) D ≡ ε0E + Π

V

Desplazamiento Eléctrico

Polarización Dieléctrica (del

dieléctrico)

DA = q⇒ AdD = dqDe la Ley de Gauss para el caso con dieléctrico:

Sustituyendo en la expresión del trabajo eléctrico:

dW = ξdq = (El)dq= (El)AdD = E(Al)D = EVdD

Diferenciando la expresión de la definición del Desplazamiento Eléctrico:

dD ≡ ε0dE + dΠV

entonces: dW = EVdD

= EV ε0dE + dΠV

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= ε0VEdE + EdΠ

Trabajo Eléctrico para Cargar las

placas conductoras

Trabajo Eléctrico para Polarizar el

Dieléctrico dW = EdΠ