movimiento en dos dimensiones -...

Física I

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©2015 Departamento de Física

Universidad de Sonora

Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano (Responsable)

Dr. Mario Enrique Álvarez Ramos (Colaborador)

Dr. Ezequiel Rodríguez Jáuregui (Colaborador)

Temario

A. Mecánica1. Cinemática de una partícula. (9 horas)

i. Desplazamiento, velocidad.

ii. Traslación de los cuerpos y concepto de partícula.

iii. Posición y desplazamiento de un cuerpo.

iv. Velocidad media.

v. Características del movimiento rectilíneo uniforme; ecuaciones y gráficaspara el movimiento rectilíneo uniforme.

vi. Movimiento uniformemente acelerado.

vii. Velocidad instantánea.

viii. Aceleración media y aceleración instantánea.

ix. Características del movimiento uniformemente acelerado; ecuaciones ygráficas del movimiento uniformemente acelerado.

Temario2. Vectores. (3 horas)

i. Clasificación de cantidades físicas: Escalares y vectores.ii. Representación de un vector:iii. Suma y resta. Método gráfico. Método analítico.iv. Producto de un escalar por un vector.v. Producto escalar o producto punto.vi. Producto vectorial o producto cruz

3. Movimiento en dos dimensiones. (3 horas)i. Posición y desplazamiento de una partícula en el plano.ii. Velocidad media y velocidad instantánea en el plano.iii. Aceleración media y aceleración instantánea en el plano.iv. Movimiento de proyectiles: Características del movimiento. Ecuaciones del

movimiento para las dos direcciones. Posición y velocidad en función deltiempo. Ecuación de la trayectoria.

v. Movimiento circular uniforme: Sus características. Posición angular ydesplazamiento angular. Definición de radian. Definición de período yfrecuencia. Concepto de velocidad angular promedio e instantánea.Ecuaciones posición y velocidad angular contra tiempo. Relación entrevelocidad lineal y angular. Aceleración centrípeta y sus expresiones entérminos de la velocidad angular y la velocidad lineal.

Temario4. Dinámica de una partícula. (6 horas)

i. Campo de estudio de la dinámica de una partícula.

ii. Definición de fuerza.

iii. Primera ley de Newton.

iv. Definición de masa.

v. Segunda ley de Newton.

vi. Tercera Ley de Newton.

vii. Sistemas de referencia inerciales.

viii. Validez de las leyes de Newton.

ix. Ley de la gravitación Peso de los cuerpos.

x. Fuerza normal

xi. Fuerza de tensión. Fuerzas de fricción estática y cinética.

xii. Fuerza elástica: El resorte y la ley de Hooke.

xiii. Dinámica del movimiento circular uniforme.

xiv. Aplicación de las leyes de Newton

Temario5. Leyes de conservación. (6 horas)

i. El concepto de trabajo y su importancia.

ii. Trabajo hecho por una fuerza constante. Ejemplo: Trabajo hecho por lafuerza de la gravedad.

iii. Trabajo hecho por una fuerza variable dependiente de la posición (en unadimensión.). Ejemplo: Trabajo hecho por la fuerza de un resorte.

iv. Energía cinética y Teorema del Trabajo-Energía Cinética.

v. Definición de potencia promedio e instantánea.

vi. Fuerzas conservativas y no conservativas.

vii. Energía potencial gravitacional y energía potencial elástica.

viii. Energía mecánica de sistemas conservativos.

ix. Conservación de la energía mecánica. Trabajo hecho por fuerzas noconservativas.

x. Ley de la conservación de la energía mecánica.

Tema 3: Cinemática de una partícula.

i. Posición y desplazamiento de una partícula en el plano.ii. Velocidad media y velocidad instantánea en el plano.iii. Aceleración media y aceleración instantánea en el plano.iv. Movimiento de proyectiles: Características del movimiento.

Ecuaciones del movimiento para las dos direcciones. Posicióny velocidad en función del tiempo. Ecuación de la trayectoria.

v. Movimiento circular uniforme: Sus características. Posiciónangular y desplazamiento angular. Definición de radian.Definición de período y frecuencia. Concepto de velocidadangular promedio e instantánea. Ecuaciones posición yvelocidad angular contra tiempo. Relación entre velocidadlineal y angular. Aceleración centrípeta y sus expresiones entérminos de la velocidad angular y la velocidad lineal.

3.1 Posición y desplazamiento de una

partícula en el plano.

X’

Z’

Y’

a=g

Trayectoria

del cuerpo

Consideremos una partícula que al moverse describe una

trayectoria curvilínea plana.

¿Cómo hacemos la descripción del movimiento de la

partícula?

Para poder hacer la descripción del movimiento: Introducimos un sistema de referencia

X’

Z’

Y’

Trayectoria

del cuerpo

Tomaremos como sistema de referencia un par de ejes

ortogonales

Trayectoria

del cuerpo

Fijamos el origen y asignamos la dirección con los vectores unitarios yi

j

i(0,0)

j

+y [L]

+x [L]

Trayectoria

del cuerpo

Elegimos las unidades y la escala de medida en cada eje.

j

i(0,0)

Finalmente, con cada punto de la

trayectoria asociamos un valor de la

medida del tiempo t.

Las cantidades físicas como el vector de posición

que ubica a la partícula en el instante de tiempo t1,

jir ˆyˆx 111

se miden respecto de este sistema de referencia

+y [L ]

+x [L]

r 1

x1

y1

(0,0)

1

Sea r2 el vector de posición que ubica a la partícula en el instante de tiempo t2 .

jir ˆyˆx 222

2

+y [L ]

+x [L]

r 2

x2

y2

(0,0)

Cuando la partícula se mueve de r1 a r2 en el intervalo de tiempo Dt = t2 - t1

+y [L]

+x [L]

r 1

r 2

(x1 , y1) en t1

(x2 , y2) en t2

x2x1

y1

y2

El vector de posición asociado con la

posición de la partícula cambia.

(0,0)

El desplazamiento se define como el cambio en la posición de la partícula y se expresa como: Dr =r2-r1

jir ˆyyˆxx 1212 D

+y [L]

+x [L]

r 1

r 2

D y = y2 – y1

D x = x2 – x1

Dr

x2x1

y1

y2

(0,0)

El desplazamiento como cualquier otro vector tiene:

• Magnitud,

• dirección

• Sentido: dado por la punta de la flecha del vector.

2

12

2

12

22 )()()()( yyxxyx DDDr

x

y

D

D 1tan

Desplazamiento Dr

• Tiene unidades de longitud

• En el sistema MKS se mide en m, km etc

• En el sistema Ingles en ft, mil, etc.

Lr D

3.2 VELOCIDAD MEDIA EN EL PLANODefinimos la velocidad media durante el intervalo detiempo Dt como la razón entre el desplazamiento D r y elintervalo de tiempo Dt:

•La velocidad media es independiente de la trayectoria.

•La velocidad media tiene la misma dirección y sentido queel vector D r

v

t

rv

D

D

•La velocidad media es un vector cuyas dimensiones son:

•En el sistema MKS se mide en m/s, Km/h etc.

•En el sistema Ingles se mide en ft/s, Mill/h etc.

•La magnitud de la velocidad se conoce como rapidez:

rt

D

D

1v

t

Lv

Velocidad media.

Analicemos una vez mas el movimiento de un objeto que se mueve en un plano.

Velocidad media.

• Para describir el movimiento, elegimos un sistema de referencia: asignamos el origen, el sentido, las unidades y la escala de cada eje.

x [L]

y [L]

(0,0)

Velocidad media.

Aproximamos al objeto por un punto.

Empezamos a medir el tiempo y lo denotamos como ti.

Al tiempo t1 asignamos el vector de posición r1 a ese punto

x [L]

y [L]

r1

(0,0)

Velocidad media en el plano.Como la partícula está en movimiento, en un

tiempo posterior t2 cambia su posición y en

consecuencia el vector de posición cambia.

x [L]

y [L]

r2

(0,0)

Velocidad media en el plano.

La partícula continúa en movimiento y el vector de posición cambiaen cada instante de tiempo.

x [L]

y [L]

r3

(0,0)

Velocidad media en el plano.

Hasta ahora, en nuestra descripción del movimiento,podemos conocer: el desplazamiento Dr de lapartícula.

1

2

3

x [L]

y [L]

r 1

r 2 r 3

(0,0)

Podemos conocer la velocidad media.• La velocidad media entre es:

• La velocidad media entre es:

Notamos que aun cuando consideremos el caso particular en que la rapidez sea constante, es decir:

31

3131v

t

r

D

D

12 tyt

21

2121v

t

r

D

D

13 tyt

constantevv 3121

Los vectores con los que representamos a la

velocidad media son diferentes.

1

2

3

x [L]

y [L]

r 1

r 2 r 3

21v

31v

(0,0)

Por que no tienen la misma dirección.

1

2

3

x [L]

y [L]

r 1

r 2 r 3

323121 vvv

21v

31v

32v

(0,0)

Velocidad media …

• Por este motivo, decimos que el vector velocidad media estácambiando de intervalo a intervalo de tiempo.

• El concepto de velocidad media es insuficiente paradescribir el movimiento de la partícula en un plano cuando latrayectoria es curvilínea.

• Para describir adecuadamente el movimiento de unapartícula que se mueve en un plano describiendo unatrayectoria curvilínea es necesario definir la velocidad encada punto de la trayectoria.

Velocidad instantánea

Analicemos nuevamente el movimiento de la partícula, con mayor

detalle y siguiendo el procedimiento siguiente:

• En el instante de tiempo t0, la partícula se encuentra en el

punto de coordenadas (x0 , y0 ).

• Posteriormente, en el instante de tiempo ti, la partícula se

encuentra en el punto de coordenadas (x i , y i ).

• Calcularemos la velocidad media entre esos dos puntos para

conocer su dirección y sentido.

• Repetiremos este procedimiento para intervalos de tiempo D

t=(t i – t o) cada vez mas pequeños

Velocidad instantánea …

• velocidad media en el intervalo de tiempo Dt.

01

1010v

tt

r

D

(x0 , y0)

(x1 , y1)

x [L]

y [L]

r 0

r 1

D r10

(0,0)


• velocidad media entre t 0 y t 2

02

2020v

tt

r

D

(x0 , y0)

(x2 , y2)

x [L]

y [L]

r 0

r 2

D r 20

(0,0)


• velocidad media entre t 0 y t 3

03

3030v

tt

r

D

(x0 , y0)

(x3 , y3)

x [L]

y [L]

r 0

r3

(0,0)


• velocidad media entre t0 y tn

0

0n0v

tt

r

n

n

D

(x0 , y0)

(xn , yn)

x [L]

y [L]

r 0

rn

(0,0)


Del procedimiento anterior, podemos decir que:

• Al considerar intervalos de tiempo cada vezmenores nos estamos acercando cada vez mas alpunto de coordenadas ( x 0 , y 0 ) en el instante detiempo t 0.

Si continuamos este proceso hasta que los dospuntos de estudio estén infinitesimalmentecercanos.

Obtenemos una cantidad física que se conoce comovelocidad instantánea de la partícula.

Velocidad instantánea

• Definimos la velocidad instantánea como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

• Esta es la definición de

derivada.

td

d

tt

t

t

t

t

rv

r-rlimv

rlimv

vlimv

0

0

0

0

0

D

D

D

D

D

v


La velocidad instantánea esta dada por la derivada de la posición respecto del tiempo.

(x0 , y0)

x [L]

y [L]

r 0 r

DrTangente a la curva en el punto (x0 , y0) en t0

(0,0)


• La dirección del vector velocidad instantánea en

cualquier punto en la trayectoria de la partícula está a lo

largo de la línea que es tangente a la trayectoria en ese

punto y en la dirección del movimiento.

• Veámoslo gráficamente utilizando el ejemplo de una

partícula que se mueve con rapidez constante en un

plano y en una trayectoria curvilínea.

v


x [L]

y [L]v4

v6

v5

v8

v7

v3

v2

v1v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ v4 ≠ v5 ≠ v6 ≠ v7

v1 = v8

v1 = v2 = v3 = v4 = v5 = v6 = v7 = v8

Vectores

Magnitudes

3.3 Aceleración media

• En la gráfica anterior, el vector velocidad cambia de dirección (aunque su magnitud sea la misma).

• Si dos vectores de velocidad instantánea no tienen la misma magnitud dirección y sentido en dos instantes de tiempo diferentes, decimos que la velocidad instantánea esta cambiando.

• Dicho cambio se expresa como:

Dv = vf – vi

3.3 Aceleración media

• Una partícula está acelerada si al moverse de un punto a otro, a lolargo de cierta trayectoria, cambia la dirección o la magnitud de lavelocidad o ambas.

Aceleración media …

x [L]

y [L]v4

v6

v5

v8

v7

v3

v2

-v1

Dv12

-v2

-v3 -v4

-v5

-v6

-v7

Dv56

Dv78

D v = v f – v i v1

El vector velocidad cambia por que cambia la dirección en

cada instante de tiempo

Aceleración media …

• Todos los cambios de velocidad son diferentes.

• Cada cambio del vector velocidad tiene su propia

• Magnitud,

• Dirección y Sentido.

¿Que tan rápido está cambiando de velocidad el cuerpo?

Para responder esta pregunta introducimos el concepto de aceleración.

Aceleración media

Definimos la aceleración media de una partícula quese encuentra en movimiento y cambia de la posicióninicial ri al tiempo ti con velocidad instantánea vi a laposición final rf con velocidad instantánea vf como:

la tasa de cambio de la velocidad instantánea Dv en elintervalo de tiempo transcurrido Dt.

a

t

v,

tt

vv

if

i

D

D

aaf

La aceleración media apunta en la dirección del cambio en la velocidad

if

att

vv if

x [L]

y [L]v4

v6

v5

v8

v7

v3

v2

-v1

Dv12

-v2

-v3 -v4

-v5

-v6

-v7

Dv56

Dv78

v1

Aceleración media

• La aceleración media es un vector cuyas dimensionesson:

• En el sistema MKS se mide en , etc.

• En el sistema Ingles se mide en , etc.

2t

La

22,

h

km

s

m

22,

h

mill

s

ft

3.3 Aceleración instantánea • Definimos la aceleración instantánea como el límite de

la aceleración media cuando el intervalo de tiempotiende a cero.

• Esta es la definición de

derivada.

td

da

tta

ta

aa

t

t

t

v

v-vlim

vlim

lim

0

0

0

0

0

D

D

D

D

D

Aceleración instantánea …

• La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto deltiempo.

• Geométricamente, en una gráfica de velocidad contra tiempo es latangente en el punto donde se quiere calcular.

)(vv oyy tsen

)cos(v0y tay

t [t]

vy [L/t]

Aceleración constante …

• Si la aceleración instantánea es constante.

• La tangente no cambia y en una gráfica de velocidad contra tiempo lagráfica es una recta.

t [t]

vy [L/t]

3.4 Ejemplos: Aceleración instantánea

• En el curso estudiaremos dos casos especiales en los que la aceleración es constante.

Tales casos son:

• Movimiento de proyectiles o tiro parabólico y • Movimiento circular uniforme.

ctea

3.4.1 Movimiento de Proyectiles

• El movimiento de proyectiles o tiro parabólicocorresponde a aquellos cuerpos que al ser lanzadoscerca de la superficie terrestre describen unatrayectoria parabólica.

y +

x +Sin resistencia del aire

3.4.1 Movimiento de Proyectiles

El movimiento de un proyectil es un movimientocon aceleración constante g dirigida hacia elcentro de la tierra.

Si en la descripción del movimiento de unproyectil elegimos un sistema de referencia conel eje y negativo hacia abajo, en este caso

ay =- g y ax = 0

Movimiento de Proyectiles

• La trayectoria es parabólica bajo las siguientestres condiciones:

1. Que se pueda despreciar la resistencia del aireal movimiento del proyectil.

y +

x +Con resistencia del aire


2. Que el lanzamiento no sea muy elevado, de talmanera que la aceleración g pueda considerarseconstante.

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Shuttle.svg



3. Que el lanzamiento no sea de alcance muy largo,de tal manera que la superficie de la tierra puedaconsiderarse plana.




Ejemplos de cuerpos que describen una trayectoriaparabólica:

• Una pelota de béisbol al ser golpeada por un bat.

• Una pelota que rueda sobre una superficiehorizontal alta y que cae al suelo.

• La bala de un cañón al ser disparada con un ángulode elevación.


De los experimentos de laboratorio se encuentra

que el movimiento de proyectiles o tiro parabólico es un

movimiento en un plano y bastan dos dimensiones

para estudiarlo:

X’

Z’

Y’

a=g


X+

Y+

X’

Z’

Y’

a=g

Elegimos los ejes coordenados X, Y como sistema de

referencia respecto al cual estudiaremos el

movimiento de la partícula en tiro

parabólico.


• En una dirección el movimiento de los proyectiles eshorizontal con velocidad constante :

D x

t D

D x D x D x D x

tD t D t D t D

Ver Simulación


• En la otra dirección el movimiento es vertical yuniformemente acelerado

Ver simulación

D y

t D D y

D y

D y

D y

t D

t D

t D

t D

a=g

Lanzamiento de un proyectil desde una mesa

• El tiro parabólico es una superposición de estosdos movimientos.

Ver simulación

Velocidad constante

Velocidad variable

a=g

Comparación de un movimiento con Vx=cte, uno de caida libre y un tiro parabólico con velocidad inicial Vx=cte.

D x

t D

D x D x D x D x

t D t D t D t D

D y t D

D y t D

D y t D

D y t D

D y t D

Ver simulación

Ecuaciones de movimiento de Proyectiles

Ya tenemos todos los elementos para escribir las ecuaciones de movimiento que describen al tiro

parabólico

v0y = │V0│Sen θ0

v0x = │V0│Cos θ0

V0

θ0

ho

R=?

a=gY

X

Ecuaciones de movimiento de Proyectiles

EN EL EJE X EL MOVIMIENTO ES CON VELOCIDAD CONSTANTES

x = x0 + v0x (t- t0) ……………………………………………….(1)

x denota a la posición final de la partícula en el eje x.

x0 es la posición inicial en el eje x.

t0 es el tiempo inicial.

t es el tiempo final o tiempo tanscurrido.

V0x es la componente de la velocidad inicial en el eje x

v0x = vx = constante …………………………………………(2)

V0

Ecuaciones de movimiento de Proyectiles• EN EL EJE Y EL MOVIMIENTO ES CON ACELERACIÓN

CONSTANTE

y = y0 + v0y t – (½) g (t-t0)2 ……………………... (3)

y = y0 + (½) ( vy + v0y ) (t-t0) ……………………..(4)

vy = v0y – g (t-t0) …………………………………..(5)

vy2 = v0y

2 –2 g ( y – y0 ) …………………………..(6)

Ecuaciones de movimiento de Proyectiles• En las ecuaciones (3)-(6):

y0 : es la posición inicial en el eje Y de la partícula.

y : es la posición final en el eje Y de la partícula.

V0y : es la componente en el eje Y de la velocidad inicial

Vy : es la componente en el eje Y de la velocidad final

t0 : es el tiempo inicial.

t : es el tiempo final ó transcurrido.

g = 9.80665 m/s2 : es el valor de la aceleración debido a lafuerza de gravedad.

V0

V

Casos especiales de movimiento de proyectiles

Lanzamiento horizontal con velocidad constante vx desde unaaltura h

a=g

Metodología

Para hacer la descripción, elegimos un sistema de referencia:

a=g

y

x

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:

Enunciamos las condiciones iniciales en t0=0 :

• La posición inicial X0 es cero,

• La posición inicial Y0 es cero.

• El ángulo inicial de salida es de cero grados.

θ0 = 0

• La partícula solo tiene velocidad inicial horizontal.

v0x = │ V0│cos θ0 = │ V0│, v0y = │ V0│sen θ0 = 0

• La aceleración en todo momento es constante y dirigida hacia el centro de la tierra;

29.80665y

ma

s


Ecuaciones para Tiro Horizontal• Con las condiciones anteriores, las ecuaciones de

movimiento (1)-(6) se reducen a:

x = v0 t

y = - ½ g t2

y = ½ ( vy ) t

vy = – g t

vy2 = –2 g y

Donde la posición final y =-h se conoce.

│ V0 │ = v0x ; v0y = 0

y < 0

x +

y -

La descripción del movimiento no depende del sistema dereferencia que se elija.

En el lanzamiento horizontal con velocidad constante vx desdeuna altura h.

a=g

Metodología

Qué pasa si elegimos un sistema de referencia fijo a la tierra:

a=g

y

x


Enunciamos las condiciones iniciales en t0=0 :

• La posición inicial X0 es cero,

• La posición inicial Y0=h.

• El ángulo inicial de salida es de cero grados.

θ0 = 0

• La partícula solo tiene velocidad inicial horizontal.

v0x = │V0│cos θ0 = │V0│, v0y = │V0│sen θ0 = 0

• La aceleración en todo momento es constante y dirigida haciael centro de la tierra;

29.80665y

ma

s


Con las condiciones anteriores, las ecuaciones demovimiento (1)-(6) se reducen a:

x = v0 t

y = h- ½ g t2

y =h+ ½ ( vy ) t

vy = – g t

vy2 = 2 g h

donde la posición final y =0 se conoce.

│ V0 │ = v0x ; v0y = 0

y > 0

x +y -


• Consideremos ahora un proyectil que sale disparadocon un ángulo de inclinación no nulo desde una alturapredeterminada.

• ¿Cuál es el alcance o distancia horizontal recorridapor el proyectil cuando éste regresa a la mismaaltura de la que fue lanzado?.

ymax

Xmax = R

V0

θ0


Metodología

• Primero elegimos un sistema de referencia desde el cual describimos el movimiento.

ymax

Xmax = R

V0

(vx = v0x, vy = 0)

θ0

y

x


• Enunciamos las condiciones iniciales en t0 = 0 :

x0 =0 , y0 = 0

v0x = │V0│cos θ0, v0y = │V0│sen θ0 ,

ax = 0, ay = -9.80665m/s2

Casos Especiales de Movimiento de Proyectiles:• Enunciamos las condiciones conocidas en tiempos distintos al

tiempo inicial t0.

• En el punto mas alto de la trayectoria de vuelo, lacomponente vy de la velocidad es nula.

vy = 0

• En el momento en que el proyectil regresa a la altura de laque fue lanzado su velocidad tiene la misma magnitud perocon dirección contraria

vx = v0x , vy =- v0y ,

• La posición final en el instante de tiempo en que el proyectilregresa a la altura de la que fue lanzado es

x0 =0 , y0 = 0


Dadas estas condiciones y las ecuaciones de tiro parabólico podemos conocer:

• Tiempo total de vuelo: tT

• Alcance horizontal máximo del proyectil: R

• Altura máxima del proyectil en su recorrido: ymax


• TIEMPO TOTAL DE VUELO ( t T )Se encuentra de la ecuación general (3) para elmovimiento vertical:

y = y0 + v0y t - ½ g t2

Sustituyendo la condición inicial y0 = 0 y final y = 0

0 = 0 + v0y t - ½ g t2

Despejando el tiempo

t = 2 v0y ⁄ g

O bien

t T = (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g


• ALCANCE HORIZONTAL ( x = xmax. = R )

R: es la distancia horizontal recorrida en el tiempo total de vuelo.

Usamos la ecuación (1) para el movimiento horizontal

x = x0 +v0x t

Sustituimos la condición inicial x0= 0 y evaluamos en el tiempo total tT :

x = v0x tT


Usamos el valor del tiempo total

t T = (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g

calculado anteriormente y obtenemos

x = v0x (2 │V0│sen θ0 ) ⁄ g


Sustituyendo las componentes rectangulares de lavelocidad inicial v0x ;

x = V0 cos θ0 (2 v0 sen θ0 ⁄ g)

Usamos la identidad trigonométrica

2 cos θ0 sen θ0 = sen 2 θ0

Obtenemos que el alcance máximo viene dado por:

x = (V02 sen 2 θ0 ) ⁄ g

El alcance de un proyectil que se lanza con rapidez inicial constante es función del ángulo inicial:

0g

)2cos(2v 0

2

0

0

d

dx

g

)2(v 0

2

0 senx

y +

x +

850

El alcance máximo se obtiene si

Esto se cumple a los 450

650450

250

50


• ALTURA MÁXIMA ( y = ymax. )

• Se obtiene evaluando las ecuaciones del movimiento en el tiempo en el cual la componente vertical de la velocidad se

anula. v y = 0

Sustituyendo la condición anterior y la condición inicial y0=0 en la ecuación siguiente:

vy2 = v0y

2 –2 g ( y – y0 )

Obtenemos

v0y2 = 2 g ( y )

Si despejamos la posición final y sustituimos el valor de la velocidad inicial obtenemos finalmente la altura máxima del proyectil:

y m a x = (v0 cos θ0)2 ⁄ 2 g

Ecuación de la trayectoria:

Combinando las ecuaciones del movimiento convelocidad constante con las ecuaciones del movimientocon aceleración constante podemos obtener laecuación de la trayectoria del tiro parabólico.

Ecuación de la trayectoria

Sustituimos el tiempo t en la ecuación para la posición en y,

tvxx 0x0

2

0y2

1-tvy gt

0x

0

v

x-xt

Despejamos el tiempo de la ecuación para velocidad

constante


2bx'-cx'y

2

0x

0

0x

00y

v

x-x

2

1-

v

x-xvy

g

Obtenemos

Esta ecuación corresponde a una parábola desplazada en

el eje x.


Si hacemos:0x-xx'

0x

0y

v

vb 2

0x2v

gc y

3.4.2 Movimiento circular uniforme:Sus características.

• Posición angular y desplazamiento angular. Definición de radian.• Definición de período y frecuencia.

• Concepto de velocidad angular promedio e instantánea.

• Características del movimiento circular uniforme.

• Ecuaciones posición y velocidad angular contra tiempo.• Relación entre velocidad lineal y angular.

• Aceleración centrípeta y sus expresiones en términos de la velocidadangular y la velocidad lineal.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

• Decimos que una partícula tiene un movimientocircular uniforme si:

1. Se mueve describiendo una trayectoriacircular de radio r constante, y

2. la magnitud de la velocidad es constante entodo momento.


• Para iniciar nuestro estudio del movimiento circular uniforme consideremos una partícula que se mueve uniformemente describiendo un círculo de radio r.

r=constante


• Para describir el movimiento de la partícula, introducimosun sistema de referencia.

(0,0)

y

x


• Al tiempo t0 la partícula se encuentra en la posiciónr0 y debido a su movimiento de rotación, en el tiempoposterior t=t0+Dt se encuentra en la posición final r .

(0,0)

y

xr0

r


• La velocidad en r0 es v0 y la velocidad en r es v .

(0,0)

y

xr0

r

v

v0


• Al pasar de la posición inicial r0 a la posición final ren el intervalo de tiempo Dt, la partícula gira un ángulo .

(0,0)

y

xr0

r

Movimiento circular

• El vector de posición en este sistema de referencia estadado como:

Sujeto a la restricción

jsenrirr

jir

ˆˆcos

ˆyˆx

cteyxr 22

Movimiento circular

• Nos interesa conocer la posición la velocidad y laaceleración de la partícula como función del tiempo.

• De las ecuaciones anteriores notamos que en el caso en elque el radio es constante, basta con conocer el ángulo derotación en cada instante de tiempo.

• ¿ Como cambia en el tiempo, el ángulo barrido por lapartícula ?

• Antes de contestar a esta y otras preguntas veremosalgunos conceptos necesarios.

Ángulo Se denomina ángulo en el plano a la porción de plano comprendida

entre dos semi-rectas que se unen en un punto común llamadovértice.

Un ángulo determina una superficie abierta al estar definido por dossemirrectas.

V vértice o eje de rotación vSemi-recta

Semi-recta

Medir el ángulo es medir la abertura de estas dos semi-rectas

Ángulo

Para representar simbólicamente a los ángulos,generalmente se utilizan las letras del alfabetogriego:

a (alfa); b (beta); g (gama); (teta); f (fi), etc.

Las unidades utilizadas para medir los ángulos delplano son: el gradián, el grado y el radian.

Ángulo: gradián

1.- El grado centesimal o gradián se define como el valorque resulta de dividir un ángulo recto en cien unidades.

0

100

ÁnguloEn estas unidades la circunferencia tiene 400 grados

centesimales.

El gradián se representa con la letra g como un superíndicedespués de la cifra.

En las calculadoras suele utilizarse la abreviatura grad.

g30

g0

g300

g100

g400

g200

Ángulo: grados2.- El grado sexagesimal resulta de dividir un ángulo recto en

noventa unidades.

La unidad de medida del ángulo en el sistema sexagesimal es elgrado sexagesimal. Un ángulo recto tiene 90 gradossexagesimales 90

0

1 ángulo recto = 90 grados sexagesimales

1 grado sexagesimal= 60’ minutos sexagesimales

1 minuto sexagesimal= 60’’ segundos sexagesimales

Ángulo

En estas unidades la circunferencia tiene 360 grados

El grado sexagesimal se representa con el símbolo como unsuperíndice después de la cifra, ejemplo:

360

270

180

90

0

Angulo: Notación decimal

Una cantidad en grados se puede expresar en forma decimal,separando la parte entera de la decimal con el punto decimalejemplo:

228.30

235.123

122.0

Angulo: Notación sexagesimal

Los ángulos se pueden expresar en grados , minutos y segundos

''11'12308

''4.123'1110

''2.23'52

La norma de escritura establece que no se debe dejar

espacio entre las cifras.

Ángulo: radián

3.- El radian, se define como el ángulo quelimita un arco de circunferencia cuyalongitud es igual al radio del arco.

ÁnguloLa forma común de medir ángulos es en sentido contrario a

las manecillas del reloj.

Medir el ángulo es medir la abertura de las dos semi-rectas

R radio de la circunferencia

v vértice o eje de rotación

S

R

R

vrecta

recta

S arco de circunferencia

ángulo

= S ⁄ R

Ángulo• En el Sistema Internacional de Unidades, un radianes una unidad de ángulo plano y se define como elángulo que subtiende un arco S de circunferenciacuya longitud es igual al radio R del arco.

• Como el arco S de la circunferencia tiene unidades de longitud lo mismo que el radio R, el ángulo es una cantidad adimensional.

dimensionsin L

L

El radian

• El ángulo completo, dado en radianes para unacircunferencia de radio r es:

22

r

r

r

Perímetro

El radian

• El símbolo del radian es: rad

• Como el ángulo que forma un círculo completo mide360 grados sexagesimales.

• Definimos la unidad de radian como

''45'17571

3.57180

1

2

3601

rad

rad

rad

El radian

• En estas unidades la circunferencia tiene rad.2

rad2

rad2

rad

rad2

3

+

rad0

Ángulo, radianes y revolución

En movimiento circular definimos una revolución comoun giro por un ángulo de 360 grados o .

3600=1 revolución, 2 rad = 1 revolución

2

revolución1

+

esrevolucion0

Ángulo, radianes y revolución

Si la partícula que está girando realiza un giro de720 grados

esrevolucion

revolución

2720

12720

3602720

+

Ángulo, radianes y revoluciónSi la partícula que está girando realiza n giroscompletos decimos que ha realizado nrevoluciones.

esrevolucionnn 360

Frecuencia

• Las revoluciones por unidad de tiempo es una cantidadfísica que se conoce como frecuencia.

• Usualmente se denota a la frecuencia con la letra f.

tiempo

esrevolucionf

Frecuencia• La frecuencia tiene dimensiones del inverso del tiempo.

• En el Sistema Internacional, la unidad de la frecuencia es el Hertz y se denota como Hz ejemplo:

t

f1

Hzf

Hzf

100

10

2

1

Frecuencia

• El Hertz es la unidad de frecuencia.

• Definimos un Hertz como una revolución cada segundo.

s

radHz

s

revoluciónHz

1

21

1

11

Frecuencia

• Una partícula que gira, cuya frecuencia es de n Hz realiza n revoluciones cada segundo.

s

revHz

nejemplo

s

radnHzn

s

revoluciónnHzn

1010

10

1

2

1

Período

• Definimos el período como el tiempo que tarda unapartícula que gira en completar una revolución.

• El período se denota con la letra mayúscula T

• El período tiene unidades de tiempo.

tT


• Consideremos cinco partículas, cada una moviéndose en unacircunferencia concéntrica de radio ri con i=1,2,3,4,5.

• Al tiempo inicial cero todas se encuentran en laconfiguración siguiente

r5

r4

r3

r2

r1


• Al tiempo posterior t+Dt todas se encuentran en la configuración:


• El desplazamiento de cada partícula en el intervalo Dt es Dri.

Dr5

Dr4

Dr3Dr1

Dr2

Movimiento circular

Notamos que para el mismo intervalo de tiempo:

• Los vectores de desplazamiento apuntan todos en la misma dirección pero tienen magnitudes diferentes.

Dr5 > Dr4 > Dr3 > Dr2 > Dr1

• La velocidad media de cada partícula es diferente:

12345i vvvvv,v

D

D

t

ri

Movimiento circular

• El concepto de velocidad media no es suficiente para describir el movimiento circular.

• Una propiedad que comparten las partículas del ejemplo que analizamos es que para tiempos iguales barren ángulos iguales.

Velocidad Angular Media

Analicemos el movimiento de solo dos partículas que se mueven en trayectorias circulares de radio r y R respectivamente.

rr 1

RR 1

r1R1


En el tiempo t=t0+Dt las dos partículas se encuentran en la configuración siguiente .

rr 2

RR 2

r2

R2

D

Velocidad Angular MediaEn el intervalo de tiempo Dt las partículas recorren el diferencial de arco DSr y DSR respectivamente.

r1

r2

R1

R2

D Dsr

DsR

Velocidad Angular MediaEn el mismo intervalo de tiempo Dt el desplazamiento de cada partícula es Dr y DRrespectivamente.

r1

r2

R1

R2

Dr

DR

Velocidad Angular MediaSi comparamos cada elemento de arco DSr y DSR con los desplazamientos respectivo Dr y DR:

r1

r2

R1

R2

D Dsr

DsR

Velocidad Angular MediaEn el límite en que Dt tiende a cero, D tiende a cero y podemos aproximar el elemento de arco por el desplazamiento. .

r1

r2

R1

R2

D Dr

DR

Movimiento circular

• El desplazamiento para ángulos pequeños es:

Para ángulos pequeños jsenrirr

jirr

jir

ˆˆcos

ˆ0ˆ

ˆyˆx

2

1

DD

DDD

Srr DDD

DDDD seny0cos,0


Con la aproximación del desplazamiento para ángulos pequeños

Dr = DS = r D

Reescribimos la velocidad media en función del ángulo

vm= Dr ⁄Dt = r (D ⁄ Dt)


Definimos la Velocidad Angular media m como el cambio del ángulo en el intervalo de tiempo Dt

m = D⁄Dt

sus unidades son:

rad ⁄ s

rev ⁄ s

grados ⁄ s


Definimos la velocidad angular instantánea , como el limite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero de la

velocidad angular media:

0

0

0lim

0lim

0lim

tt

θθ

tΔΔt

Δθ

tΔ

ωtΔ

ω


La relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular es:

v = r

La velocidad es directamente proporcional a la velocidad angular y a la distancia r al eje de rotación.


La ecuación de movimiento en cantidades angulares para una partícula que se mueve en una trayectoria circular, se encuentra despejando de la definición de velocidad angular:

Despejando obtenemos como función del tiempo

= 0 + ( t – t0 )

0

0

tt

θθ

Velocidad lineal y angular

En el movimiento circular las velocidades lineal y angular se miden en unidades de frecuencia por desplazamiento.

v = Ds/ Dt = 2r/tPara una vuelta completa, el tiempo t es simplemente el período t.

v = 2r/t

Velocidad lineal y angular

Como la frecuencia es el inverso del período obtenemos:

v = 2rnComparando las relaciones anteriores con la expresión:

v = rtenemos que:

= 2n = 2/t

Aceleración Centrípeta o Radial

Analicemos nuevamente el movimiento de una partícula que se mueve en una trayectoria circular de radio r.

Como ya se vio en el movimiento en el plano, la velocidad de la partícula será siempre tangente a la trayectoria que ésta siga (de ahí que reciba el nombre de velocidad lineal o tangencial)

• Empezaremos por el caso mas sencillo en el cual la magnitud de la velocidad es constante.

R v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

v8

│v1│= │ v2 │=│v3│= …… =│v7│=│v8│

Pero:

v1 ≠ v2 ≠ v3 ≠ …… ≠ v7 ≠ v8

Porque tienen diferente

dirección y sentido


Puesto que los vectores velocidad son diferentes, la velocidad cambia y el cambio esta dado por:

Dv = v2 – v1

Dv = v3 – v2

Dv = v4 – v3

Dv = v5 – v4

etc.


Todos los cambios de velocidad son diferentes, tienen la misma magnitud y están dirigidos hacia adentro del círculo.

Dv12 v1

v2

v3

v4

v5

v6 v7

v8

-v1-v2

-v3

-v8

Dv81

Dv23

Dv34

R-v4

Dv45


Dado que los cambios de velocidad son diferentes, decimos que el movimiento es acelerado:

a = Dv / Dt

Para precisar correctamente la dirección, el sentido y su magnitud.

Analicemos la figura manteniendo constante la magnitud de la velocidad pero considerando un intervalo de tiempo Dt mas pequeño.


El cambio en la velocidad Dv (por ej. v2 – v1) apunta en a lo largo del radio yhacia el centro del círculo independientemente del lugar donde se mida.

La dirección y el sentido de la aceleración es el mismo que el del cambio develocidad: la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, deahí que reciba el nombre de aceleración radial o centrípeta.

Dv cuando Dt → 0

D v

v1-v1

v3

v2

v4

-v3

D v


Cualitativamente, también se aprecia que la diferencia de vectores tienen la misma magnitud. Para determinarla cuantitativamente, debemos tomar un Dt próximo a cero, de tal manera que los puntos a y b se encuentren tan cercanos uno del otro que la parte curva del circulo entre dichos puntos pueda considerarse como una recta.

D v

v1-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

DS


De ésta forma, tendremos que DS será una línea recta entre el punto ay el punto b, formándose los triángulos aeb y bcd, que tienen las siguientes características:

triángulo aeb triángulo bcd

Dos lados iguales R v

Uno desigual DS Dv

D v

v1-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

DS


De la semejanza de triángulos tenemos que:

dos o más triángulos son semejantes

si tienen dos lados iguales y uno desigual.

Esto es, el lado desigual (DS) del triángulo aeb

lo es al lado igual (R)

como el lado desigual (Dv) del

triángulo bcd lo es al lado igual (v).

D v

v1-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

DS

Magnitud de la Aceleración Centrípeta

Esto se expresa de la manera siguiente:

despejando Dv y dividiendo entre el intervalo de tiempo Dt que tarda el cuerpo en ir del punto a al punto b:

donde: y

sustituyendo lo anterior

R

S

v

v D

D

tR

Sv

t

v

D

D

D

D

vt

S

D

Da

t

v

D

D

R

va

2


EN ESTAS ECUACIONES

a = │a│ la magnitud de la aceleración del cuerpo,

v = │v│ la magnitud de la velocidad del cuerpo y

R el radio de la trayectoria circular

Como la aceleración es radial y dirigida hacia el centro de rotación, se le agrega el subíndice r para diferenciarla de la aceleración lineal o tangencial.

De ésta forma:

R

va

r

2


Definimos el vector unitario como el vector unitarioque apunta a lo largo del radio y su sentido es saliendo del centro y dirigiéndose hacia la posición de la partícula. Este vector cambia constantemente su dirección (con respecto al sistema de coordenadas x, y), ya que sigue a la partícula en toda su trayectoria circular.

r


Además, como la aceleración apunta en sentido contrario al vector unitario es decir, en dirección entonces:

La magnitud de la aceleración, expresada en función de la velocidad angular, la frecuencia y el período es:

rR

va

rˆ

2

r

2

2222

2 44

t

rrr

r

var

Movimiento Circular no Uniforme

Todos los movimientos analizados hasta el momento, tales como el rectilíneouniforme, el uniformemente acelerado, el parabólico y el circular uniforme, sonde los movimientos mas sencillos que se producen en la naturaleza y se hantratado de una forma aislada.

Sin embargo, en la vida cotidiana lo que se observa en realidad es unacombinación de ellos como por ejemplo:

Un automóvil que se desplaza con velocidad constante sobre una carreterahorizontal y que tiene una curva en el camino. El conductor, al observar lacurva disminuye su velocidad pasando de un movimiento rectilíneo uniformea uno uniformemente acelerado (desacelerado), ya que empieza a frenarpara poder entrar a la curva con menor velocidad y no derrapar en elpavimento.

Al entrar a la curva, dependiendo de la velocidad que lleve en ese momento,puede agarrarla con esa misma velocidad, pasando a un movimiento circularuniforme.

Aproximadamente después de la mitad de la curva, el conductor vuelve aacelerar, pasando a un movimiento circular no uniforme, continuandoacelerando al salir de la curva hasta alcanzar nuevamente la velocidad decrucero (velocidad de viaje). Esto lo ilustramos en la siguiente figura:

Movimiento Circular no Uniformerectilíneo uniforme

rectilíneo uniformementeacelerado

circular no

uniforme

rectilíneo uniformementeacelerado

rectilíneo uniforme

R

circular uniforme


Analicemos el movimiento circular no uniforme en el cual tanto la magnitud de la velocidad así como la dirección y sentido están variando.

D v

v1

-v1

v2

D v

v1

-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

DS

r


r

D v

v1

-v1

v2

a

b

c

d

eR

R

DS

D vr

D vt

Eje tangente


Nuevamente, al hacer la diferencia de vectores, encontramos un cambio en la velocidad, pero a diferencia del movimiento anterior, éste ya no apunta en dirección radial. Pero como es un vector, la podemos descomponer en dos componentes rectangulares, una radial y otra tangencial.

Dv = Dvr + Dvt

y la aceleración del cuerpo será:

donde el término:

es la aceleración radial o centrípeta que encontramos en la sección anterior, y

es la aceleración lineal del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la cual viene expresada por:

trvvv

at t t

DDD

D D D

rr at

v

D

D

tt at

v

D

D


Como es un movimiento circular, la velocidad lineal se expresa en cantidades angulares como:

v = r

sustituyendo tenemos que:

además:

que es conocida con el nombre de aceleración angular media ( am )

0

0

tt

vv

t

va t

t

D

D

0

0

0

0

0

0

ttr

tt

rr

tt

vvat

ttt D

D

0

0

0

0

ttt

D

D

ammediaangularnaceleració


Tomando el límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:

y cuando la aceleración angular media es una constante, ésta será también igual a la aceleración en cualquier instante de tiempo, es decir:

de donde:

Por lo tanto, la aceleración del cuerpo que se mueve en una trayectoria circular con velocidad variable y aceleración angular constante es:

dt

d

ttt ttm

t

aa

D

D

DDD0

0

000limlimlimainstantáneangularnaceleració

0

0

tttm

D

D

aa

)( 00 tt a

raa r a

Cantidades Tangenciales y Angulares

Aunque ya tenemos la relación entre ambas cantidades, éstas se obtuvieron suponiendo que la rueda se encontraba girando en la misma posición, ahora combinaremos dos movimientos simultáneos: el lineal y el rotacional.

Un ejemplo de ello es cuando un carrete desenrolla una cuerda o una rueda se desliza por el suelo, lo cual se ilustra en la siguiente figura:

r

A

B

r

A

B

s

s = r

r

A

B

s


En dado caso de que el carrete rotara en la misma posición, para que el punto B ocupe la posición del punto A, debe de girar un ángulo el cual por definición viene expresado como:

s/r

en donde por definición de ángulo, debe de medirse en radianes.

Al arco de circunferencia también se le llama distancia tangencial por ser medido tangencialmente al borde del carrete, y viene expresado por:

s = r

Como tenemos dos movimientos simultáneos, el rotacional al girar y el lineal al avanzar el carrete, al observar la figura anterior, se tiene que la distancia lineal que recorre la rueda al girar un arco de circunferencia s = r , es igual a la distancia tangencial que recorre el borde. Lo anterior nos permite relacionar el movimiento lineal con el rotacional.


Más aún, si se observa la siguiente ilustración en que una rueda gira con su eje de rotación en la misma posición levantando un cuerpo, se ve que existe una relación similar en la forma en que la cuerda se enrolla en su borde.

A medida que un punto del borde recorre una distancia tangencial s al girar, en el borde se enrolla una longitud s de la cuerda.

s

rr

s

s = r

Cantidades Lineales y Angulares

Comparación entre las ecuaciones de movimiento

Lineales Angulares

s = s0 + vm (t – t0 ) = 0 + m (t – t0 )

v = v0 + a (t – t0 ) = 0 + a (t – t0 )

vm = ½ (v + v0 ) m = ½ (+ 0 )

v2 - v02 = 2 a (s – s0 ) 2 - 0

2 =2 a ( – 0 )

s = s0 + v0 t + ½ a (t - t0 )2 = 0 + 0 t + ½ a (t - t0 )2

Nota: Para convertir cantidades angulares a lineales, las primeras deben de estar expresadas en radianes

movimiento en dos dimensiones -...

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