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Universidad de Sonora Departamento de Física
Notas del Curso:
“Introducción a la
Física Moderna II”
[Temas 1-3]
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano (Responsable)
Dr. Mario Enrique Álvarez Ramos (Colaborador)
Dr. Ezequiel Rodríguez Jáuregui (Colaborador)
© 2012
Temario
Introducción a la Física Moderna II
1. Propiedades ondulatorias de las partículas.
2. Estructura atómica.
3. Mecánica cuántica.
4. Teoría cuántica del átomo de Hidrógeno.
5. Átomos de muchos electrones.
6. Moléculas.
7. Mecánica estadística.
8. Estado sólido.
Temario desglosado
1. Propiedades ondulatorias de las partículas.
1. Ondas de De Broglie.
2. La función de onda.
3. El principio de incertidumbre.
2. Estructura atómica.
1. El modelo de Rutherford.
2. Orbitas electrónicas.
3. Espectro atómico.
4. El átomo de Bohr.
5. Niveles de energía.
6. El experimento de Franck-Hertz.
7. El principio de correspondencia.
Temario desglosado
3. Mecánica cuántica.
1. Introducción a la mecánica cuántica.
2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
3. Linealidad y superposición de las soluciones de la
Ecuación de Schrödinger.
4. Observables y operadores.
5. La Ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones.
6. Partícula en una caja.
7. Pozo cuadrado finito.
8. Potencial de barrera y el efecto túnel.
9. Oscilador armónico cuántico.
1.1. Ondas de De Broglie
A principios de la década de 1920 se había aceptado que la teoría de
Bohr no estaba completa:
Fracasaba en la predicción de las intensidades observadas en las
líneas espectrales.
Era parcialmente exitosa para predecir las longitudes de ondas de
emisión y absorción para átomos de muchos electrones.
No proporcionaba una ecuación de movimiento que rigiese la
evolución temporal de los sistemas atómicos, a partir de un estado
inicial.
Recalcaba en exceso la naturaleza corpuscular de la materia y no
podía explicar la recién descubierta dualidad onda-partícula de la luz.
No proporcionaba un esquema general para “cuantizar” otros sistemas,
especialmente aquellos que no presentaban un movimiento periódico.
El primer paso hacia una nueva mecánica de los sistemas atómicos fue
dado en 1923 por el físico francés Louis Víctor de Broglie.
1.1. Ondas de De Broglie
De Broglie en su tesis doctoral postuló que,
debido a que los fotones poseen características
ondulatorias y corpusculares, quizá todas las
formas de la materia también tengan propiedades
ondulatorias y corpusculares.
En 1923 esta idea no tenía ninguna evidencia
experimental; sin embargo, en 1927 Clinton J.
Davisson (1881-1958) y Lester H. Germer (1896-
1971) lograron una prueba experimental que
confirmó la idea de de Broglie: la difracción de
electrones no relativistas mediante un cristal.
Clinton J. Davisson (izquierda) y
Lester H. Germer (centro) en los Bell
Laboratories en Nueva York.
Louis Víctor de Broglie
(1892-1987).
1.1. Ondas de De Broglie
A continuación revisemos con un poco más de detalle la idea de de
Broglie.
Un fotón de frecuencia n tiene un momento p dado por
donde hemos usado que ln = c.
Por lo tanto, podemos escribir la longitud de onda de un fotón, en
términos de su momento, como
Considerando la idea de de Broglie, para una partícula de masa m y
velocidad v, podemos escribir su longitud de onda de de Broglie como
donde se ha tomado p = gmv, y el factor relativista g definido como
E h hp
c c
n
l
h
pl
h
mvl
g
2
2
1
1 vc
g
1.1. Ondas de De Broglie
La expresión anterior implica que, conforme aumenta el momento de la
partícula, la longitud de de Broglie asociada disminuye, y viceversa.
Al igual que en el caso de las ondas electromagnéticas (fotones), los
aspectos de onda y partícula de un objeto en movimiento no se pueden
observar de manera simultánea, por lo que no podemos decir cuál es la
descripción “correcta”.
Es importante mencionar que lo único que podemos decir es que en
ciertas situaciones un objeto en movimiento se comporta como onda y en
otras situaciones lo hace como partícula.
Las propiedades ondulatorias de un objeto toman relevancia cuando su
longitud de onda de de Broglie, dada por
es comparable con las dimensiones propias y de su entorno de interacción.
h
mvl
g
1.2. La función de Onda
La onda de materia que representa a una partícula en movimiento debe
reflejar el hecho de que esta tiene una gran probabilidad de ser encontrada
en una pequeña región del espacio sólo en un tiempo específico.
Una onda sinusoidal de extensión infinita y amplitud constante NO puede
representar apropiadamente a una partícula localizada en movimiento; por lo
que se requiere un pulso, grupo de ondas o paquete de ondas de extensión
espacial limitada, el cual puede formarse sumando ondas sinusoidales con
longitudes de ondas diferentes.
Se puede demostrar que este paquete de ondas se mueve a una
velocidad de grupo vg, idéntica a la velocidad clásica de la partícula.
En realidad todas las ondas observadas están limitadas a regiones
definidas del espacio, por lo que una onda plana con una longitud de onda
exacta y extensión infinita es una abstracción
1.2. La función de Onda
a) Partícula de masa m y
velocidad v0.
b) Superposición de muchas
ondas de materia con una
dispersión de longitudes
de onda centradas en l0 =
mv0, que representa
correctamente a la misma
partícula
Representación de una partícula mediante ondas
1.2. La función de Onda
Para continuar, vamos a considerar una onda unidimensional que se
propaga en la dirección x positiva con una velocidad de fase (o velocidad de
la onda viajera) vp, la cual puede escribirse como
donde l y f están relacionadas por
O, en términos del número de onda k (= 2p/l) y la frecuencia angular w (=2pf)
con
2( , ) 2
xy x t ACos ft
pp
l
pv fl
( , )y x t ACos kx tw
pvk
w
1.2. La función de Onda
A continuación consideremos que se tienen dos ondas viajando a la
derecha con la misma amplitud, pero longitudes de onda, frecuencias y
velocidad de fase ligeramente diferentes:
y
con lo que la onda resultante es
Esta expresión puede simplificarse si usamos la identidad
1 1 1( , )y x t ACos k x tw 2 2 2( , )y x t ACos k x tw
1 1 2 2( , )Ry x t A Cos k x t Cos k x tw w
22 2
a b a bCosa Cosb Cos Cos
1.2. La función de Onda
Con ello, la expresión para la onda resultante se puede rescribir como
Para el caso de dos ondas con valores de k y w, ligeramente diferentes se
observa que Dk = k2 - k1 y Dw = w2 - w1 son pequeños, pero k2 + k1 y w2 + w1 son
grandes
12 1 2 1 22
12 1 12
2( , )R ACos k k x ty x t Cos k k x tw w ww
Lo anterior puede
interpretarse como una
envolvente sinusoidal
ancha (la parte en rojo)
que limita o modula
una onda de alta
frecuencia dentro de la
envolvente (la parte en
negro).
Onda de frecuencia alta Envolvente
1.2. La función de Onda
Aunque este modelo es muy sencillo y no representa un pulso limitado a
una pequeña región del espacio, muestra varias características interesantes
comunes a modelos más complicados.
1. La envolvente y la onda en su interior se mueven a velocidades
diferentes:
• Para la onda dentro de la envolvente
• Para la onda envolvente (o grupo)
2 1 1
1
2 1 1
/ 2
/ 2pv v
k k k
w w w
2 1
2 1
/ 2
/ 2gv
k k k
w w w D
D
1.2. La función de Onda
Aunque este modelo es muy sencillo y no representa un pulso limitado a
una pequeña región del espacio, muestra varias características interesantes
comunes a modelos más complicados.
2. Mientras más pequeño es el ancho espacial del pulso, Dx, mayor es el
intervalo de longitudes de onda o números de onda, Dk, necesario para
formar el pulso, matemáticamente planteado como
3. De manera semejante, si la duración temporal, Dt, del pulso es pequeña,
se requiere una amplia distribución de frecuencias, Dw, para formar el
grupo, es decir
Estas ecuaciones constituyen relaciones de incertidumbre o
relaciones de reciprocidad para pulsos de cualquier tipo:
electromagnéticos, sonoros e, incluso, ondas de materia.
1x kD D
1t wD D
1.3. El principio de incertidumbre
El principio de incertidumbre de Heisenberg
establece que “es imposible conocer de manera
simultánea y exacta la posición y el momento de un
objeto”. Dicho principio fue descubierto por W.
Heisenberg en 1927, siendo uno de los más significativos
de las leyes físicas.
Es necesario un análisis formal para justificar la
conclusión anterior y estar en condiciones de
cuantificarla; no basta considerar un paquete de ondas
formado por dos ondas armónicas como se hizo
anteriormente.
De hecho, se necesita un número infinito de ondas
a
Werner Karl Heisenberg
(1901-1976).
armónicas con diferentes frecuencias, números de onda y amplitudes para
tener un grupo aislado de forma arbitraria.
En tal caso, vamos a requerir de una herramienta desarrollada por Joseph
Fourier y que se conoce como análisis de Fourier.
1.3. El principio de incertidumbre
El análisis de Fourier surgió a partir del
intento de éste matemático francés por hallar
la solución a un problema práctico, la
conducción del calor en un anillo de hierro.
Fourier demostró que se puede
descomponer una función periódica en
series trigonométricas convergentes
(basadas en senos y cosenos) y que, en su
honor, reciben el nombre de Series de
Fourier.
Las ondas armónicas continuas e infinitas
no existen realmente, ya que los sistemas
están limitados tanto espacial como
temporalmente, así que toma sentido analizar
ondas localizadas.
Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830)
1.3. El principio de incertidumbre
Para formar un pulso que sea cero en todas partes fuera de un intervalo
espacial finito Dx, se requiere sumar un número infinito de ondas armónicas
cuyas longitudes de onda y amplitudes varíen de manera continua. Esta
suma puede efectuarse con una integral de Fourier.
Siguiendo la idea anterior, a un cierto tiempo t, el grupo de ondas
localizado espacialmente, yR(x), se puede representar mediante la integral de
Fourier
donde la función g(k) describe cómo la amplitud de las ondas que
contribuyen a yR(x) varía con el número de onda k (=2p/l), y eikx es la
expresión abreviada de Euler para una onda armónica.
La función g(k) recibe el nombre de Transformada de Fourier de yR(x).
1( ) ( )
2
ikx
Ry x g k e dkp
1.3. El principio de incertidumbre
Si se conoce yR(x), la función de distribución de amplitud o Transformada
de Fourier g(k) se puede obtener mediante la expresión
Este par de ecuaciones son válidas para el caso de un pulso espacial en
un tiempo dado, pero es importante mencionar que son matemáticamente
idénticas al caso de un pulso temporal que pasa por una posición fija. En este
segundo caso, bastará hacer los cambios x por t y k por w, resultando
1( ) ( )
2
ikx
Rg k y x e dxp
1( ) ( )
2
i tf t F e dww wp
1( ) ( )
2
i tF f t e dtwwp
Transformada de Fourier
Transformada inversa de Fourier
1.3. El principio de incertidumbre
Regresando a nuestro asunto de interés, se requiere conocer qué valores
toma (o puede tomar) el producto Dx∙Dk.
Sin entrar en detalles, se puede mostrar que la relación entre la distancia
Dx y la dispersión del número de onda Dk depende del aspecto del paquete
de ondas y también de la forma en cómo sean definidos Dx y Dk.
1.3. El principio de incertidumbre
El valor mínimo del producto Dx∙Dk ocurre cuando la envolvente del
paquete de ondas tiene la conocida forma de campana de la función
Gaussiana; en este caso, la transformada de Fourier tiene la misma forma que
la función original, tal como se muestra en la figura.
Si Dx y Dk se toman como las
desviaciones estándar del grupo de ondas
y su transformada, respectivamente, se
encuentra que el valor que toma el
producto Dx∙Dk es ½, por lo que al
corresponder al valor mínimo, permite
escribir que
1
2x kD D
1.3. El principio de incertidumbre
Por otro lado, la longitud de onda de de Broglie para una partícula de
momento p es l = h / p, y su correspondiente número de onda es
de donde
Con esto, podemos escribir la relación de incertidumbre
como
La relación anterior es el bien conocido principio de incertidumbre de
Heisenberg:
2 1
2
px
h
pD D
2 pk
h
p
2 pk
h
pDD
1
2x kD D
4
hx p
pD D
1.3. El principio de incertidumbre
La desigualdad anterior implica que, en cualquier instante, el producto
de la incertidumbre en la posición de un objeto (Dx) por la incertidumbre en
su momento (Dp) tiene el valor mínimo de h/4p, independientemente de la
precisión con que se intente medir, es decir, no es un problema de medición,
sino de la propia naturaleza de las cantidades física involucradas.
Finalmente, dado la aparición recurrente en la física moderna del
término h/2p, resulta útil abreviarlo mediante el empleo de la constante
reducida de Planck o “h barra”:
Con lo que podemos escribir el principio de incertidumbre de Heisenberg
como
2x pD D
341.054571628 102
hJ s
p
2.1. El modelo de Rutherford
A finales del siglo XIX, la mayoría de los
científicos compartía la idea de que los
elementos químicos consistían de átomos, pero
lo que si no quedaba claro era cómo estaban
formados, ya para entonces se empezaba a
hablar de partículas eléctricas como
fundamentos de la materia.
En 1894, George Stoney propuso al electrón
como unidad atómica de carga eléctrica.
En un artículo de 1897, el físico inglés J. J.
Thomson propuso que los constituyentes de los
rayos catódicos eran partículas materiales
cargadas.
Entre ese año y 1903 desarrolló su modelo
atómico en el que los átomos consistían de
materia uniformemente cargada positivamente y
con electrones negativos incrustados en ella, el
llamado “modelo del budín de pasas”.
Joseph John Thomson
(1856-1940)
2.1. El modelo de Rutherford
Los estudios realizados por Thomson sobre los llamados rayos catódicos
terminó con un debate sobre su naturaleza: corpuscular u ondulatoria. Su
afirmación de que eran partículas subatómicas a las que llamó “corpusculos”
chocó con las ideas que se tenían con relación a un átomo indivisible y fue
duramente criticado por muchos de sus contemporáneos.
El descubrimiento del electrón constituyó un parteaguas en la física del
átomo y provocó desarrollos sorprendentes: el modelo de Rutherford y la
primera teoría satisfactoria de la emisión de luz por sistemas atómicos, el
modelo de Bohr.
Aunque el modelo de Thomson tuvo buen éxito en la explicación de la
dispersión alfa, y la relación lineal de la energía de los fotoelectrones y la
frecuencia de la radiación incidente, para 1913 había terminado su vigencia.
El tubo original
utilizado por J.J.
Thomson para medir
la relación carga-
masa del electrón.
2.1. El modelo de Rutherford
En 1911, Ernest Rutherford presentó un
modelo que con el tiempo se convertiría en
referencia obligada en la historia del
desarrollo de la estructura atómica. Sin
embargo, en su época no fue recibido con
entusiasmo, entre otras razones, porque era
más un modelo para explicar la dispersión de
partículas alfa que uno atómico.
La clave para comprender los espectros de
líneas y el modelo correcto del átomo fueron
proporcionados, ambos, por Ernest Rutherford
y sus estudiantes Hans Geiger (1882-1945) y
Ernest Marsden (1889-1970) mediante una
serie de experimentos realizados entre 1909 y
1914. En estos experimentos se analizaba la
trayectoria de partículas alfa al ser lanzadas
contra una lámina delgada de oro, observando
que algunas se desviaban más de 90 grados.
Ernest Rutherford
(1871-1937)
2.1. El modelo de Rutherford
Rutherford lanzó entonces la hipótesis de que en el centro del átomo
debía haber un "núcleo" que contuviera casi toda la masa y toda la carga
positiva del átomo, y que de hecho los electrones debían determinar el
tamaño del átomo.
Este modelo planetario había sido sugerido en 1904 por un japonés,
Hantaro Nagaoka, aunque había pasado desapercibido ya que se le objetaba
que en ese caso los electrones tendrían que irradiar girando alrededor del
núcleo central y, en consecuencia, caer.
Los resultados de Rutherford demostraron que ese era sin dudar un
modelo adecuado para el átomo, puesto que permitía prever con exactitud la
tasa de difusión de las partículas alfa en función del ángulo de difusión y de
un orden de magnitud para las dimensiones del núcleo atómico.
Las últimas objeciones teóricas (sobre la irradiación del electrón) se
desvanecieron con los principios de la teoría cuántica, y la adaptación que
hizo Niels Bohr del modelo de Rutherford a la teoría de Max Planck, lo que
sirvió para demostrar la estabilidad del átomo de Rutherford.
2.1. El modelo de Rutherford
Diagrama esquemático del Experimento de
Rutherford
La dispersión de una partícula a por un
átomo de Thomson
Hans Geiger y Ernest Rutherford en su Laboratorio en Manchester
2.1. El modelo de Rutherford
La pregunta es: ¿porqué debería uno obtener una dispersión a ángulos
grandes, tal como aparece en la dispersión de Rutherford?
El problema con el átomo de Thomson es que es “demasiado suave” ya
que la máxima fuerza experimentada es débil para producir una deflexión
grande, debido a la forma en que está distribuida la carga.
Rutherford concluyó que la dispersión a grandes ángulos obtenida
experimentalmente solamente podía ser resultado de una colisión de la
partícula con una carga masiva confinada en un espacio mucho menor que el
átomo entero.
Considerando que al “núcleo” como una partícula puntual, calculó la
distribución angular para las partículas dispersadas.
Su predicción de la dependencia de la probabilidad de dispersión como
función del ángulo, carga nuclear y energía cinética fue verificada
completamente en la serie de experimentos realizados por Geiger y
Marsden.
2.1. El modelo de Rutherford
Sin entrar en una derivación rigurosa de la dispersión de Rutherford,
vamos a hacer una descripción con algo de detalle de la misma.
La partícula a, con una rapidez v, viaja a lo largo de una trayectoria
hiperbólica que inicialmente es paralela a la línea COA a una distancia b y
después continúa paralela a la línea OB, que hace un ángulo q con OA.
El ángulo de dispersión q se puede relacionar con el parámetro de
impacto b mediante consideraciones de mecánica clásica.
En el esquema mostrado
se considera que el núcleo
es una carga puntual Q
ubicada en el origen O.
A una distancia r, la
partícula a (con una carga
qa) experimenta una fuerza
repulsiva
2e
q Qk
r
a
2.1. El modelo de Rutherford
Considerando que el núcleo permanece esencialmente en reposo, la
partícula sale con la misma rapidez v con que incidió.
De hecho, no es posible escoger o conocer el parámetro de impacto para
una partícula a en particular, pero uno encuentra de la expresión anterior
que todas las partículas con un parámetro de impacto menor o igual que un
valor particular de b, serán dispersadas a un ángulo mayor o igual al ángulo q
dado por la relación mencionada, ya que aumentando q disminuye b.
Haciendo uso de ideas y
conceptos de mecánica
clásica, se encuentra una
relación entre el parámetro
de impacto b y el ángulo de
dispersión q, a saber
2
cot2
ek q Qb
m v
a
a
q
Lo anterior sugiere considerar partículas dentro de un área con radio
dado por el parámetro de impacto b, tal como se muestra
El área anterior se conoce como sección eficaz s, la cual está dada por
La sección eficaz tiene unidades de superficie, sin embargo, en física de altas
energías, es usual el medirla en barn (b) que equivale a 10-28m2, y que
corresponde aproximadamente al área de la sección eficaz del núcleo de un
átomo de uranio.
2.1. El modelo de Rutherford
Para el área pb12
tenemos una dispersión
a ángulos mayores que
q1, mientras que para el
area pb22 (mayor que la
anterior) el ángulo de
dispersión q2 es menor
que q1.
2bs p
Si ahora consideramos una lámina delgada de espesor t que contiene n
átomos por unidad de volumen.
El número de núcleos por unidad de área es nt, por lo que un haz de
partículas a que incide sobre un área A se encuentra con ntA núcleos.
Con lo anterior, la sección eficaz total para las partículas a dispersadas a
un ángulo mayor que q, está dado por el producto de la sección eficaz s por
el número de núcleos que encontrará en la lámina, ntA, a saber
Así que, la fracción f de partículas a incidentes que son dispersadas a
ángulos mayores que q, es la razón del número de partículas dispersadas a
un ángulo mayor que q y el número total de partículas, es decir
y considerando la expresión para s tenemos que
2.1. El modelo de Rutherford
ntAs
ntAf nt
A
ss
2f nt bp
Recordando que el parámetro de impacto b está dado por
podemos escribir
Y si consideramos la expresión para ke, tenemos que la fracción f de
partículas a incidentes que son dispersadas a ángulos mayores que q resulta
ser
2.1. El modelo de Rutherford
2cot
2
ek q Qb
m v
a
a
q
2
2cot
2
ek q Qf nt
m v
a
a
qp
2
2
2
0
cot4 2
q Qf nt
m v
a
a
qp
p
La expresión anterior es válida para un ángulo arbitrario q; sin embargo,
en un experimento real, un detector mide partículas a dispersadas entre q y
q + dq, como se muestra.
Si un total de Ni partículas a inciden sobre la lámina durante el
experimento, el número de partículas dispersadas en dq es Nidf, con lo que el
número de partículas detectadas (y por lo tanto, medidas) por unidad de área
N(q), debe ser
2.1. El modelo de Rutherford
De manera que la fracción de partículas
a dispersadas, en ese rango, se obtiene
diferenciando f, a saber df, el cual está dado
por
El signo menos significa que conforme
aumenta q, decrece f.
2
2
2
0
cot csc4 2 2
q Qdf nt d
m v
a
a
q qp q
p
( )iN df
NdS
q
Por lo tanto, usando las expresiones para df y dS, tenemos
o en términos de la energía cinética K, el número atómico Z y la carga del
electrón e,
2.1. El modelo de Rutherford
Que, al ser simplificada, resulta ser la
ecuación para la dispersión de Rutherford
2
2
2
0
2
cot csc4 2 2
( )
4 sin cos2 2
i
q QN nt d
m vN
r d
a
a
q qp q
pq
q qp q
2
22 4 0
( )8
sin2
iN nt q QN
m vr
a
a
qq p
22
2 4 0
( )8
sin2
iN nt ZeN
Kr
qq p
Las predicciones de la ecuación anterior fueron corroboradas por los
experimentos, lo cual fortaleció la idea de Rutherford en su modelo de
átomo.
En la derivación de la ecuación, Rutherford asumió que el tamaño del
núcleo blanco era pequeño comparado con la distancia de máximo
acercamiento R al cual las partículas a empiezan a ser desviadas, lo anterior
permite encontrar un límite en el tamaño del núcleo.
Si uno considera una colisión con parámetro de impacto b = 0, puede
asumirse que la energía cinética con la que viaja inicialmente Ki, en el punto
de máximo acercamiento, se convierte en la energía potencial eléctrica en
dicho punto, por lo que
de donde, el máximo acercamiento está dado por
2.1. El modelo de Rutherford
2
0
2
4 i
ZeR
Kp
2
0
1 2
4i
ZeK
Rp
2.2. Orbitas electrónicas
Siguiendo el modelo de Rutherford, podemos hacer un símil con el
modelo planetario.
Para ello, considerando el movimiento del electrón alrededor del núcleo
producido por la interacción eléctrica se puede asumir una órbita
electrónica circular, tal como se muestra en la figura.
En este caso, la fuerza centrípeta
corresponde a la fuerza eléctrica
lo que lleva a escribir
2
cp
mvF
r
2
2
0
1
4e
eF
rp
2 2
2
0
1
4
mv e
r rp
La energía total E del electrón en un
átomo de Hidrógeno es la suma de las
energías cinética y potencial, es decir
que, usando la expresión anterior para la
rapidez, se puede escribir como
De la expresión anterior encontramos que la rapidez v del electrón, como
función del radio r de la órbita, es
2.2. Orbitas electrónicas
22
0
1 1
2 4
eE mv
rp
04
ev
mrp
2
0
1
8
eE
rp
Energía total
del átomo de
Hidrógeno
SOLUCION.
(a) La frecuencia de revolución está dada por
que, usando la expresión para la rapidez, se puede escribir como
(b) Considerando la expresión para la energía total E para calcular r,
tenemos que
Esta frecuencia se ubica en el ultravioleta.
(a) Encuentre una expresión para la frecuencia de revolución del electrón en
el modelo clásico del átomo de Hidrógeno. (b) Considerando que la energía
del electrón en el estado base es -13.6eV, ¿cuál es la frecuencia que se
obtiene? ¿A qué tipo de radiación electromagnética corresponde?
2.2. Orbitas electrónicas. Un ejemplo.
2 2 2
vvrf
r
w
p p p
3
02 4
ef
mrp p
156.563598 10 Hzf
El análisis realizado hasta aquí es una aplicación directa de las Leyes de
Newton para el movimiento y de la Ley de Coulomb para la fuerza eléctrica,
ambas pilares fundamentales de la Física Clásica, y es acorde con la
evidencia experimental de la estabilidad de los átomos.
Sin embargo, NO es acorde con la teoría electromagnética, otro pilar de la
Física Clásica, que predice que una carga acelerada radia energía en forma
de ondas electromagnéticas.
alcanzado un punto crucial en su desarrollo con la hipótesis de Planck sobre
el comportamiento cuántico de la radiación, por lo que considerar esto en el
estudio del átomo debía ser posible.
2.2. Orbitas electrónicas
Lo anterior implica que
el electrón, al perder
energía, describiría una
trayectoria en forma de
espiral, que lo llevaría a
colapsar con el núcleo.
En 1900, la Física había
alc
La Física Clásica no proporciona un análisis significativo de la estructura
atómica, ya que se acerca a la naturaleza en términos de partículas "puras" y
ondas "puras".
En realidad las partículas y ondas tienen muchas propiedades en común;
aunque debido a lo pequeño de la constante de Planck la dualidad onda-
partícula resulta imperceptible en el mundo macro.
La utilidad de la física clásica disminuye a medida que la escala de los
fenómenos bajo estudio disminuye, lo que implica que, para entender el
átomo, hay que tener en cuenta el comportamiento corpuscular de las ondas
y el comportamiento ondulatorio de las partículas.
Los problemas mencionados anteriormente, incluyendo la imposibilidad
de explicar los espectros de emisión, que presenta el modelo de Rutherford
fueron resueltos por Bohr, mediante la inclusión de las ideas de cuantización
planteadas por Planck y que le valieron el reconocimiento del propio
Rutherford.
2.2. Orbitas electrónicas
2.3. Espectro atómico
Antes de analizar, en forma detallada, la propuesta de Bohr para el
modelo del átomo, revisemos el trabajo experimental sobre las líneas
espectrales que sirvieron para impulsar y confirmar la primera teoría
cuántica del átomo.
Para finales del
siglo XIX, se sabía
que los elementos
químicos emitían luz
con longitudes de
onda bien definidas al
quemarse o cuando
estos eran excitados
mediante descargas
eléctricas.
2.3. Espectro atómico
2.3. Espectro atómico
2.3. Espectro atómico. Serie de Balmer.
En 1885, J. J. Balmer encontró una fórmula empírica para las longitudes de
onda (en nm) del espectro visible del hidrógeno.
Johann Jakob Balmer
(1825-1898)
2
2364.56
4
knm
kl
con k = 3, 4, 5, ...
Serie de Balmer
2.3. Espectro atómico. Fórmula de Rydberg
En la década de 1880, el físico sueco Johannes Rydberg trabajó en una
fórmula que describe la relación entre las longitudes de onda de las líneas
espectrales de los metales alcalinos.
Rydberg se dio cuenta de que las líneas
se presentan en series y encontró que
podía simplificar sus cálculos si utilizaba el
número de onda (igual a 1/l) como su
unidad de medición.
Graficó los números de onda de líneas
sucesivas de cada serie contra los enteros
consecutivos que representan el orden de
las líneas de esa serie en particular.
Encontrando que las curvas resultantes
tienen una forma similar, buscó una función
que las pudiera generar a todas ellas, con
las constantes apropiadas. Johannes Rydberg
(1854-1919)
2.3. Espectro atómico. Fórmula de Rydberg
El resultado obtenido fue presentado en 1888 y se resume en la llamada
Fórmula de Rydberg para las líneas espectrales, que podemos escribir como
donde RH = 1.096776x107 m-1 es la constante de Rydberg para el Hidrógeno.
Vale la pena mencionar que cada elemento químico tiene su propia
constante de Rydberg.
Con los valores apropiados para n y k se recuperan, no sólo la Serie de
Balmer, sino otras Series que aparecen fuera del visible y que fueron
descubiertas posteriormente, dichas series se incluyen en la tabla siguiente.
2 2
1 1 1HR
n kl
2.4. El átomo de Bohr
En abril de 1913, el físico danés Niels Bohr publicó el artículo “On the
constitution of atoms and molecules” (Phil.Mag, 26(1), 1913) que cambió al
mundo de la física.
Niels Henrik David Bohr
(1885 – 1962)
Bohr no sólo proporcionó la primera teoría
exitosa de los espectros atómicos, sino que en el
proceso, rompió con algunas de las ideas que
habían sido desarrolladas por Maxwell, la más
importante de ellas relacionada con la pérdida
de energía por radiación que experimenta una
partícula cargada acelerada, como lo era el
electrón en el modelo de Rutherford.
Bohr estableció, como una primera idea, que
la teoría del electromagnetismo de Maxwell NO
era válida para sistemas de dimensiones
atómicas. Lo siguiente fue aplicar las ideas de
Planck sobre cuantización al movimiento de los
electrones, así como las ideas de Einstein sobre
el fotón.
2.4. El átomo de Bohr
Las ideas básicas de Bohr, si se aplican a un átomo de Hidrógeno, son las
siguientes:
La frecuencia f del fotón emitido en el salto es independiente de la
frecuencia del movimiento orbital del electrón y viene dada por
• El electrón se mueve en órbitas circulares,
alrededor del núcleo, debido a la fuerza de
atracción Coulombiana.
• Sólo ciertas órbitas son estables, debido a que
en estas los electrones no radían.
• El átomo emite radiación cuando el electrón
pasa de un estado estacionario inicial más
energético a un estado estacionario más bajo
energéticamente. Este salto NO puede
analizarse desde el punto de vista clásico.
n = 1
n = 3
n = 2
f iE Ef
h
2.4. El átomo de Bohr
Las ideas básicas de Bohr, si se aplican a un átomo de Hidrógeno, son las
siguientes:
Estos postulados son la base de la teoría atómica propuesta por Bohr y
que le permitieron resolver varios de los problemas presentados por el
modelo de Rutherford, pero sobretodo mostrar la forma de incorporar las
ideas de Planck a la teoría del átomo.
• El tamaño de las órbitas permitidas es
determinado por una condición cuántica
adicional impuesta sobre la cantidad de
momento angular orbital del electrón.
Las órbitas permitidas son aquellas para las cuales
el momento angular orbital del electrón alrededor
del núcleo es un múltiplo entero de h/2p.
n = 1
n = 3
n = 2
em vr n
2.4. El átomo de Bohr
Considerando que el momento angular orbital de un electrón en el n-
ésimo nivel energético sea
nos lleva a restringir los valores posibles para los radios de las órbitas
estacionarias, ya que esta condición nos lleva a que la rapidez es
y recordando que
podemos escribir
con 1,2,3,4,...eL m vr n n
e
nv
m r
04
ev
mrp
04 e
e
mr
n
m rp
Esta expresión para los radios de las órbitas
estacionarias del átomo de Bohr se puede
rescribir como
donde hemos usado el denominado radio
de Bohr a0 definido como
2.4. El átomo de Bohr
De esta última relación podemos despejar el valor del radio de la órbita
permitida, encontrando que este es
El radio de Bohr corresponde al radio del átomo de hidrógeno en su estado
base o de mínima energía, cuando n = 1.
2 2
2
04n
e
nr
m e
p
2
0nr n a
2
0
11
2 2
0
2
5.291772 104
e e e
mm e
am k e
p
podemos escribir la energía del sistema,
dada por
como
Si usamos los valores numéricos para las
diferentes cantidades involucradas, tenemos
que
con
2.4. El átomo de Bohr
Considerando que el radio de la n-ésima órbita permitida está dado por
2
0nr n a
2
0
1
8n
n
eE
rp
2
2
0 0
1 1
8n
eE
a np
1
2n
EE
n
2
1
0 0
113.6eV
8
eE
ap
2.5. Niveles de energía
La hipótesis de Bohr implica que el átomo sólo
puede existir en “estados estacionarios” con
energía cuantizada En, que depende del nivel
orbital n.
La emisión de un cuanto de luz, o fotón, ocurre
cuando el átomo se encuentra en un estado
excitado (número cuántico n = nu) y decae a un
estado de energía menor (número cuántico n = nl).
En el esquema anexo se muestra una transición
entre dos niveles de energía (del estado nu al
estado nl), de tal forma que la energía del fotón
emitido, acorde a la propuesta de Bohr, es
donde f es la frecuencia del fotón.
fotón u lE hf E E
2.5. Niveles de energía
Si consideramos la relación entre la frecuencia y
la longitud de onda de un fotón podemos escribir
y sucesivamente
Recordando que la energía del estado n = 1 está
dada por
tenemos finalmente que
1 u lf E E
c hcl
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
u l u l
E E E
hc n n hc n nl
2
1
0 0
1
8
eE
ap
2
2 2
0 0
1 1 1 1
8 l u
e
hca n nl p
2.5. Niveles de energía
El coeficiente de la expresión anterior
se conoce como constante de Rydberg (para una
masa nuclear infinita), y tiene un valor
(aproximado) de 1.097373x107 m-1.
Con lo anterior, es posible reescribir
que resulta similar a la fórmula de Rydberg.
El modelo de Bohr predice las frecuencias (y
longitudes de onda) de todas las transiciones
posibles en el hidrógeno atómico; varias de las
series se muestra en la siguiente diapositiva.
2 2
1 1 1
u l
Rn nl
2 4
230 0 0
1
8 4 4
ee m eR
hca cp p p
2.5. Niveles de energía
2.5. Niveles de energía
Las frecuencias de los fotones en el espectro de emisión de un elemento
son directamente proporcionales a las diferencias en la energía de los
estados estacionarios.
Cuando pasamos luz blanca a través de un gas de hidrógeno atómico
encontramos que ciertas frecuencias están ausentes; este patrón de líneas
oscuras se conoce como espectro de absorción. Las frecuencias faltantes son
precisamente las que se observan en el correspondiente espectro de
emisión.
En el proceso de absorción, ciertos fotones se absorben de tal forma que
su energía pasa al átomo y permite que el electrón se mueva de un estado de
energía baja (El) a uno de energía mayor (Eu). Es importante mencionar que
las ecuaciones obtenidas anteriormente para las transiciones nos dan la
frecuencia y longitud de onda de los fotones absorbidos.
El átomo permanecerá en el estado excitado por un tiempo muy corto
(del orden de 10-10s) antes de emitir un fotón y regresar a un estado
estacionario de menor energía. A temperatura ordinaria, prácticamente
todos los átomos están en el estado de energía más baja (n = 1).
2.5. Niveles de energía. Ejemplos
1. (a) ¿Qué valor de n se asocia con la línea, en la Serie de Lyman para el
Hidrógeno, cuya longitud de onda es 102.6nm? (b) Se podría asociar esta
longitud de onda con la Serie de Paschen o de Brackett?
2. Un átomo de hidrógeno inicialmente en su estado base (n = 1) absorbe un
fotón y termina en un estado para el cual n = 3. (a) ¿Cuál es la energía del
átomo absorbido? (b) Si el átomo regresa a su estado base, ¿cuál es la
energía de los fotones que puede emitir el átomo?
3. Un átomo de hidrógeno existe en un estado excitado por
aproximadamente 10-8s. ¿Cuántas revoluciones podría realizar un electrón
en un estado n = 3 antes de decaer?
4. Un átomo de hidrógeno en un estado excitado absorbe un fotón cuya
longitud de onda es de 410nm. ¿Cuáles son los estado inicial y final de
dicho átomo?
2.6. El experimento de Franck-Hertz
Una vez establecida la existencia de niveles cuantizados de energía en
los átomos a partir de las observaciones de los espectros de líneas emitidos
por los diferentes elementos, hacía falta una confirmación más directa de
este comportamiento.
Esta confirmación llegó en 1914 con el experimento realizado por los
físicos alemanes J. Franck y G. Hertz, y en el cual emplearon átomos de
mercurio.
James Franck
(1882 – 1964)
Gustav Ludwig Hertz
(1887 – 1975)
2.6. El experimento de Franck-Hertz
El experimento de Franck-Hertz proporcionó una demostración
experimental clara de la existencia de niveles de energía cuantizados y
demostró que los niveles deducidos a partir del bombardeo con electrones
coincidían con los deducidos a partir de las líneas espectrales.
Franck y Hertz demostraron que los átomos sólo podían absorber (y
ser excitados por) cantidades específicas de energía, lo que les hizo
acreedores al Premio Nobel en 1925.
James Franck
(1882 – 1964)
Gustav Ludwig Hertz
(1887 – 1975)
2.6. El experimento de Franck-Hertz
En la figura se muestra un esquema del dispositivo empleado por Franck-
Hertz en su experimento.
Los electrones emitidos por el filamento son acelerados en una región
relativamente larga (~ 1cm) mediante el potencial V entre el filamento y la
rejilla.
Estos electrones pueden llegar al colector y ser registrador por el
electrómetro si poseen la suficiente energía para superar el potencial
r retardador (~1.5V) existente
entre la rejilla y el colector, que
se encuentran separados una
distancia corta (~1mm).
Con electrones de baja
energía ocurren colisiones
perfectamente elásticas, y
como la masa de los átomos de
mercurio es muy grande, los
electrones llegan al colector
con una energía cercana a eV.
2.6. El experimento de Franck-Hertz
Incluso después de muchas colisiones, el electrón llega a la rejilla con
una energía cinética cercana al producto eV, y llegará al colector si el voltaje
de aceleración V es mayor que 1.5V; cuando V se incrementa ligeramente,
llegan más electrones al colector y la corriente medida en el electrómetro, I,
aumenta.
Conforme aumenta el voltaje V, la energía de los electrones aumenta
hasta un valor crítico en el que ocurren colisiones inelásticas en las cuales
los los electrones pueden
transferir casi toda su energía
cinética al átomo, llevándolo al
primer estado excitado.
Los electrones que chocan
pierden energía y no pueden
alcanzar el colector, por lo que
la corriente tiene una caída
importante, la cual puede
relacionarse con el voltaje V.
2.6. El experimento de Franck-Hertz
En la figura se muestra una gráfica típica del Experimento de Franck-
Hertz, en la que el voltaje del filamento se estableció en 6V y el tubo se
calentó a 185°C.
Si se miden con cuidado las
separaciones de máximos y
mínimos adyacentes se encuentra
que esta es de 4.9V±0.1V.
Con este valor se puede
calcular la longitud de onda
asociada
Midiendo cuidadosamente
encontraron que, en cuanto se
alcanzaba la diferencia de 4.9V, se
tenía una emisión con una longitud
de onda de 254nm (ultravioleta).
253.2294nmhc
El
D
2.7. El principio de correspondencia.
El principio de correspondencia establece que “las predicciones de la
teoría cuántica deben corresponder a las predicciones de la física clásica en
la región de tamaños donde se sabe que la teoría clásica es válida”
Típicamente, se refiere a tamaños del orden de cm, gr y seg, lo que
corresponde a números cuánticos muy grandes.
Por ejemplo, para un átomo de Hidrógeno con un radio de 1cm se
tendría, a partir de
usando los valores numéricos correspondientes
De manera simbólica el principio de correspondencia se escribe como
2
0nr n a
13750n
física físicalim
cuántica clásican
3.1. Introducción a la mecánica cuántica.
Hasta el momento hemos visto que toda partícula tiene asociada una
onda de materia, denominada función de onda.
La mecánica cuántica, o mecánica ondulatoria, estudia cómo se comporta
la función de onda asociada con una partícula para un esquema dado:
partícula libre, partícula en un caja, oscilador armónico, átomo de hidrógeno,
etc., el cual está determinado por las condiciones del sistema, a partir de la
geometría, potencial involucrado, etc.
El formalismo de la mecánica cuántica, desarrollado de 1925 a 1926 por
Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Paul A. Dirac y otros,
permite comprender una gran cantidad de fenómenos que la física no podía
hacer antes de su desarrollo y formalización.
A principios de los 1930’s la aplicación de la mecánica cuántica a
problemas involucrando núcleos, átomos, moléculas y aspectos del estado
sólido hizo posible entender una gran cantidad de datos que se tenían, así
como llevar a predicciones con una gran exactitud.
La mecánica cuántica ha sobrevivido a todas las pruebas experimentales
hasta ahora, incluso a las de sus conclusiones más inesperadas.
3.1. Introducción a la mecánica cuántica.
La diferencia fundamental entre mecánica clásica y mecánica cuántica
tiene que ver con lo que describen y cómo lo describen.
En mecánica clásica, el comportamiento futuro de una partícula se
determina completamente por su posición y momento (velocidad) iniciales,
junto con las fuerzas que actúan sobre ella. Esto aplica para la mayoría de las
situaciones de la vida cotidiana.
En mecánica cuántica también se obtienen relaciones entre cantidades
observables, pero el principio de incertidumbre introduce limitaciones en su
medición.
La relación causa-efecto tiene vigencia en la mecánica cuántica, pero
requiere una interpretación cuidadosa; además, la certeza clásica del
comportamiento futuro de la partícula pierde sentido, porque no es posible
conocer de manera precisa la posición y el momento iniciales.
Se puede establecer que las cantidades que se estudian en mecánica
cuántica representan probabilidades; por ejemplo, el radio de la órbita del
electrón en el estado base del átomo de Hidrógeno no es 5.3x10-11m, sino
que este es el valor más probable.
3.1. Introducción a la mecánica cuántica.
Podría pensarse que la mecánica cuántica es un mal sustituto de la
mecánica clásica porque pierde el determinismo de ella; sin embargo, esto
es lo más alejado de la realidad.
En realidad, la mecánica clásica resulta un límite de la mecánica cuántica,
toda vez que cuando uno mide cantidades del macromundo, realmente lo
que está haciéndose es tomar un promedio sobre un gran número de
partículas.
El principio de correspondencia vuelve a aparecer para justificar que en
vez de requerir dos físicas: una para el macromundo (mecánica clásica) y
otra para el micromundo (mecánica cuántica), basta considerar la física
incluida en la mecánica cuántica.
La premisa de que la función de onda Y contiene TODA la información
que puede conocerse sobre la partícula, constituye el punto de arranque.
Nuestros objetivos serán dos:
1. Descubrir cómo puede obtenerse información a partir de Y; y
2. Aprender cómo obtener esta función de onda Y para un sistema dado.
3.1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda.
Antes de continuar veamos algunos aspectos relacionados con la función
de onda.
De acuerdo a la interpretación de Born,
propuesta en 1925, la función de onda en sí NO
tiene significado físico, sino que es su cuadrado
|Y|2, evaluado en un punto del espacio a un
tiempo dado, el que representa la densidad de
probabilidad o probabilidad por unidad de
longitud, P(x,t), de encontrar a la partícula en
dicho punto en el instante dado.
La función de onda, generalmente, es una
cantidad compleja
por lo que su complejo conjugado es
Max Born
(1882 - 1970)
A iBY
* A iBY
3.1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda.
Con ello, podemos escribir la densidad de probabilidad P(x,t) como
Lo anterior, evidencia que la densidad de probabilidad es una cantidad
real y positiva, como se requiere.
La probabilidad de que una partícula se encuentre en el intervalo
infinitesimal dx alrededor del punto x al tiempo t, denotada por P(x,t)dx, es
Debido a su relación con la probabilidad de encontrar a la partícula, la
función de onda debe ser una función monovaluada y continua de x y t, de
modo que no puede haber ambigüedades en las predicciones de la teoría.
También debe ser suave, una condición que será desarrollada más adelante,
en cuanto sea necesario hacerlo.
2 * 2 2( , )P x t A B Y Y Y
2 *( , ) ( , ) ( , ) ( , )P x t dx x t dx x t x t dx Y Y Y
3.1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda.
Como consecuencia de que la partícula debe estar en algún sitio a lo
largo del eje x, la suma de las probabilidades sobre todos los valores de x
debe ser igual a 1, es decir
Cualquier función de onda que cumpla con la condición dada por la
ecuación anterior se dice que está normalizada.
Normalizar es establecer el hecho de que la partícula puede encontrarse
con certidumbre en alguna parte del espacio.
2( , ) ( , ) 1P x t dx x t dx
Y
La probabilidad P de encontrar a la
partícula en cualquier intervalo finito [a,b] es
Es decir, la probabilidad es justamente el
área bajo la curva de densidad de
probabilidad entre los puntos x = a y x = b.
Condición de normalización
2( , )
b
aP x t dx Y
3.1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda.
Junto con la condición de normalización, de monovaluación y de
continuidad mencionadas anteriormente; consideraciones sobre el
momento, p, requieren que las derivadas parciales de la función de onda
sean finitas, continuas y monovaluadas.
Únicamente las funciones de onda con todas estas características pueden
resultar con significado físico, por lo que solamente estas funciones “bien
comportadas” pueden representar matemáticamente a los cuerpos reales.
Resumiendo, tenemos que
• Y debe ser continua y monovaluada para todo punto en el espacio, en
cualquier instante.
• Y debe tener primeras derivadas continuas y monovaluadas en todo
punto en el espacio, en cualquier instante.
• Y debe ser normalizable, lo que significa que debe anularse cuando la
coordenada espacial tiene a ±∞.
3.1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda. Un ejemplo.
Una partícula es descrita por los valores de la función de onda
a) Grafique la función de onda
b) Determine la constante de normalización A.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se encuentre entre x=0 y
x=L/8 si se mide su posición?
SOLUCION
a) La gráfica de la función de onda es
2para
( ) 4 4
0 en caso contrario
x L LACos x
x L
p
Y
-0.2L -0.1L 0.1L 0.2L
0.2A
0.4A
0.6A
0.8A
1.0A
3.1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda. Un ejemplo.
Una partícula es descrita por los valores de la función de onda
a) Grafique la función de onda
b) Determine la constante de normalización A.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se encuentre entre x=0 y
x=L/8 si se mide su posición?
SOLUCION
b) La condición de normalización
Implica que
de donde
2para
( ) 4 4
0 en caso contrario
x L LACos x
x L
p
Y
4
4
2
2 2( , ) 1
L
L
xx t dx ACos dx
L
p
Y
251
4
A
4
5A
3.1. Introducción a la mecánica cuántica. La función de onda. Un ejemplo.
Una partícula es descrita por los valores de la función de onda
a) Grafique la función de onda
b) Determine la constante de normalización A.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se encuentre entre x=0 y
x=L/8 si se mide su posición?
SOLUCION
c) La probabilidad P de encontrarla entre 0 y L/8 está dada por
que al integrar resulta
2para
( ) 4 4
0 en caso contrario
x L LACos x
x L
p
Y
8
2
0
4 2
5
L xP Cos dx
L
p
20.409155
4P
p
p
3.2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
En 1923, Louis de Broglie propuso generalizar
la dualidad onda-partícula de la luz, a todas las
partículas conocidas.
Lo anterior llevó a Erwin Schrödinger a tratar
de escribir una ecuación para la onda asociada
de De Broglie que, para escalas macroscópicas,
se redujera a la ecuación de la mecánica clásica
de la partícula.
En enero de 1926 publicó en la revista
Annalen der Physik un artículo científico titulado
“Quantisierung als Eigenwertproblem”, en el que
desarrolló la llamada ecuación de Schrödinger.
La Ecuación de Schrödinger (ecuación
fundamental de la mecánica cuántica en el mismo
sentido que la segunda ley de Newton es la
ecuación fundamental de la mecánica
newtoniana) es una ecuación de onda que debe
ser satisfecha por la función de onda Y.
Erwin Rudolf Josef Alexander
Schrödinger (1887 - 1961)
3.2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Por lo anterior, antes de iniciar su presentación, veamos un repaso de las
ideas previas sobre ondas.
La ecuación de onda en una dimensión se escribe como
donde y representa la perturbación que se propaga en la dirección x con una
rapidez v.
La ecuación de onda se puede derivar, a partir de la segunda ley de
Newton para el caso de ondas mecánicas, o a partir de las ecuaciones de
Maxwell para el caso de ondas electromagnéticas.
Básicamente la diferencia corresponde al significado físico de la
perturbación y, y a la expresión para la rapidez v, que en el caso de las ondas
electromagnéticas es c, mientras que en las ondas mecánicas dependerá,
principalmente, de las características del medio.
2 2
2 2 2
1y y
x v t
3.2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Las soluciones a la ecuación de onda deben ser de la forma
donde f(x) representa el llamado “pulso” de la onda al tiempo t = 0.
El signo “+” corresponde a una onda que viaja a la izquierda, mientras
que el signo “-” corresponde a una onda que se mueve a la derecha.
Para el caso de ondas armónicas, la solución se puede escribir como
donde k representa el número de onda dado por
Si desarrollamos el argumento de la onda armónica tendremos
pero como kvt debe tener a los radianes como unidades, tomamos
( )y f x vt
( )ky ACos x vt
2k
p
l
[ ( )]x vt kk x kvt
kv w
3.2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Con lo anterior, la solución se puede escribir como
(*)
Esta solución representa una onda que viaja libremente con velocidad
constante, similar a como lo haría una partícula libre.
Para concluir esta revisión, vale la pena mencionar que en muchas
situaciones es mejor trabajar con expresiones más generales que
representen ondas armónicas; para ello es conveniente recordar que
lo que permite escribir
como una alternativa a la expresión (*).
Usando la expresión kv=w, se puede rescribir esta última ecuación como
Para el caso de una onda mecánica, por ejemplo, la parte real es la que tiene
significado físico, por lo que la parte imaginaria se desprecia.
y ACos kx tw
ie Cos iSenq q q
i kx ty Ae
w
xi t
vy Aew
3.2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
En mecánica cuántica la función de onda Y corresponde a la variable y;
sin embargo, a diferencia de y, Y no es en sí una cantidad medible y por lo
tanto puede ser, en el caso más general, compleja.
Por esta razón, se asume que una partícula que se mueve libremente en la
dirección x positiva puede representarse por la función de onda
o
Esto último permite escribir la función de onda en términos de la energía y el
momento.
Si usamos que y tenemos
Esta ecuación describe una onda equivalente a una partícula que se mueve
libremente, con momento y energía definidos, p y E, respectivamente.
i t kxAe
w Y
2 xi ft
Aep
l
Y
2E hf fp 2h
p p
pl
i Et px
Ae
Y
3.2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
La expresión anterior es correcta solamente para partículas que se
mueven libremente; sin embargo, es nuestro interés estudiar los casos en que
el movimiento de la partícula esté sujeto a diversas restricciones, por
ejemplo el electrón unido al núcleo mediante la fuerza Coulombiana
presente.
Lo que debemos hacer a continuación es encontrar una ecuación
fundamental para la función de onda Y, que podamos resolver para
diferentes situaciones y que nos dé la información necesaria para su
descripción.
Esta ecuación fundamental es la Ecuación de Schrödinger y se puede
llegar a ella de varias formas, pero NO puede ser derivada rigurosamente de
principios físicos existentes porque ella misma representa un nuevo
principio de la física.
A continuación se muestra una ruta para llegar a la ecuación de onda que
debe satisfacer la función de onda, si esta debe representar a un sistema
físico y, por lo tanto, contener la información del mismo.
3.2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Partiendo de la expresión para la partícula libre
podemos derivar dos veces con respecto a x, para obtener
de donde
A continuación derivamos con respecto a t, obteniendo
de donde
( , )
i Et px
x t Ae
Y
2 2 2
2 2 2
( , )( , )
i Et pxx t p pAe x t
x
Y Y
2
2 2
2
( , )( , )
x tp x t
x
YY
( , )( , )
i Et pxx t iE iEAe x t
t
Y Y
( , )( , )
x tE x t i
t
YY
3.2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Por otro lado, a velocidades bajas (comparadas con la rapidez de la luz) la
energía total de una partícula es la suma de sus energías cinética y potencial,
donde esta última es en general una función de la posición y del tiempo.
Con esto, podemos escribir
que al multiplicar por Y en ambos lados de la ecuación nos lleva a
o usando las expresiones anteriores para p2Y(x,t) y EY(x,t)
Este resultado corresponde a la Ecuación de Schrödinger dependiente del
tiempo en una dimensión.
2
( , )2
pE K U U x t
m
2 ( , )( , ) ( , ) ( , )
2
p x tE x t U x t x t
m
YY Y
2 2
2
( , ) ( , )( , ) ( , )
2
x t x ti U x t x t
t m x
Y Y Y
3.2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
Finalmente, en tres dimensiones la Ecuación de Schrödinger se escribe
como
Que, usando el operador Laplaciano definido como
podemos reducir a
Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
2 2 2 2
2 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )
2
r t r t r t r ti U r t r t
t m x y z
Y Y Y Y Y
2 2 22
2 2 2x y z
22( , )
( , ) ( , ) ( , )2
r ti r t U r t r t
t m
Y Y Y
Más adelante se verá que una forma compacta de escribir a la Ecuación
de Schrödinger dependiente del tiempo, en términos de operadores, es
donde
recibe el nombre de Hamiltoniano del sistema;
y
es el operador de energía
3.2. La Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.
ˆ ˆ( , ) ( , )H r t E r tY Y
22ˆ ( , )
2H U r t
m
E it
3.3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Dado que la Ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal
para Y, podemos usar un resultado muy importante que aplica a este tipo de
ecuaciones diferenciales: el principio de superposición.
El principio de superposición establece que si Y1 y Y2 son dos soluciones
de una ecuación diferencial lineal, como lo es la Ecuación de Schrödinger,
entonces la suma
también es una solución, con a1 y a2 constantes.
Considerando la Ecuación de Schrödinger en una dimensión
podemos escribir
1 1 2 2a aY Y Y
2 2
2
( , ) ( , )( , ) ( , ) 0
2
x t x tU x t x t i
m x t
Y Y Y
221 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 22( , ) 0
2
a a a aU x t a a i
m x t
Y Y Y Y Y Y
3.3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger Es decir
o, reagrupando términos
Por separado, los términos entre paréntesis son cero, ya que Y1 y Y2 son
soluciones de la Ecuación de Schrödinger.
Una primera conclusión que podemos alcanzar es la siguiente: Si las
funciones de onda (soluciones de la Ecuación de Schrödinger) satisfacen el
principio de superposición como lo hacen las ondas de otro tipo, entonces es
de esperarse que se presente el fenómeno de interferencia, similar al que
aparece en las ondas luminosas, sonoras, etc.
Para verificar nuestra conclusión vamos a considerar el fenómeno de la
difracción de electrones.
2 22 21 1 2 2 1 1 2 2
1 1 2 22 2( , ) ( , ) 0
2 2
a a a aU x t a U x t a i i
m x m x t t
Y Y Y Y Y Y
2 22 21 1 2 2
1 1 2 22 2( , ) ( , ) 0
2 2a U x t i a U x t i
m x t m x t
Y Y Y Y Y Y
3.3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Si se hace una analogía entre electrones y ondas (por ejemplo, luz),
podemos aplicar la teoría desarrollada para explicar la interferencia
producida por dos rejillas, observada en el experimento realizado en 1801
por Thomas Young, en un intento de discernir sobre la naturaleza corpuscular
u ondulatoria de la luz. Young comprobó un patrón de interferencias en la luz
procedente de una fuente lejana al difractarse en el paso por dos rejillas.
En la figura se
muestra una simulación
computacional del
experimento de Young;
para ello, se considera
un ancho de rejilla a = 4l
y una separación entre
las rejillas D = 20l.
Claramente el patrón
de interferencia se
aprecia a partir de 500
cuentas.
3.3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Para el caso de electrones, consideremos un esquema similar al
empleado por Young.
En la figura se muestra un esquema del experimento con electrones de
una misma longitud de onda. El haz de electrones incide sobre una rejilla
doble, A y B, separadas una distancia D, con aberturas mucho menores que
D.
A una distancia de
las rejillas, mucho
mayor que D, se coloca
un detector de
electrones capaz de
detectar electrones
individuales.
En un experimento
real, lo anterior se logra
si la fuente de
electrones es lo
suficientemente débil.
Acumulación gradual de franjas de interferencia después de la difracción de
un número creciente de electrones. (Tomado de P. G. Merli, G. F. Missiroli, and G.
Pozzi, “On the statistical aspect of electron interference phenomena,” American Journal of Physics, vol. 44, no. 3, pp. 306–307, 1976.)
3.3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
En Mayo de 1974, los físicos italianos Pier
Giorgio Merli, Gian Franco Missiroli, y Giulio
Pozzi enviaron un artículo al AJP. En él se
presenta un patrón de interferencia obtenido
con un microscopio electrónico equipado con
un interferómetro especial, un biprisma de
electrones, que consistía básicamente en un
alambre muy delgado orientado
perpendicularmente al haz de electrones y
posicionado simétricamente entre dos placas
aterrizadas, de modo que cuando se aplica al
cable un potencial positivo o negativo el haz
de electrones se divide en dos componentes
desviadas. El uso de este biprisma electrónico
fue la primera característica importante,
técnica y conceptual, de su experimento, la
segunda era su capacidad de observar la
llegada continua de los electrones, uno a la
vez, en un monitor de televisión.
3.3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Antes de continuar, vale la pena preguntarse ¿qué pasa si se cubre una
de las rendijas?
En este caso se obtiene una curva simétrica con un pico alrededor del
centro de la rejilla descubierta, tal como se muestra en la figura.
Las curvas obtenidas
corresponden a los cuadrados de
las funciones de onda
individuales, es decir
o
donde Y1 y Y2 representan los
casos del electrón que pasa por la
rendija 1 y la rendija 2,
respectivamente.
2 *
1 1 1 1P Y Y Y
2 *
2 2 2 2P Y Y Y
3.3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Si ahora se realiza un experimento en el que se mantiene la mitad del
tiempo abierta la rejilla 1 mientras la rejilla 2 está abierta, para luego invertir
la situación, el patrón de conteos acumulados por minuto es completamente
diferente a cuando se tienen ambas rejillas abiertas.
En la figura se muestra el patrón obtenido.
Como se puede advertir, el
patrón obtenido NO presenta el
efecto de interferencia, ya que en
este caso lo que se tiene es
simplemente la suma de
cuadrados de las funciones de
onda Y1 y Y2, es decir
2 2
1 2 1 2
* *
1 2 1 1 2 2
P P
P P
Y Y
Y Y Y Y
3.3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Lo anterior implicaría que, cuando están abiertas ambas rejillas, el
electrón pasa por la rejilla 1 o por la rejilla 2; sin embargo, la evidencia
experimental no muestra eso.
Así que suponer que el electrón está localizado y que pasa sólo por una
rejilla cuando ambas están abiertas debe ser errónea.
Lo anterior nos obliga a pensar
que, para que el electrón muestre
interferencia, debe estar presente
simultáneamente en ambas
rejillas.
Para ello, se requiere
considerar que el electrón está en
un estado de superposición dado
por
1 2Y Y Y
3.3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Con ello, la probabilidad de detectar al electrón en la pantalla es igual a
en vez de
Por lo que se hace
necesario calcular la
densidad de probabilidad
para nuestro problema, a
saber |Y|2,
2 2
1 2Y Y Y
2 2
1 2 1 2P PY Y
2 2
1 2
2 *
1 2 1 2
Y Y Y
Y Y Y Y Y
3.3. Linealidad y superposición de las soluciones de la Ecuación de Schrödinger
Lo anterior se puede escribir como
o en términos de P1 y P2:
2 * * * *
1 1 2 2 2 1 1 2Y Y Y Y Y Y Y Y Y
2 * *
1 2 2 1 1 2P PY Y Y Y Y
Los dos últimos
términos de esta ecuación
representan la diferencia
mostrada en la parte
derecha de la figura, y son
los responsables de la
oscilación en la intensidad
de electrones en la pantalla
(esquematizado en la curva
azul sombreada de gris).
* *
2
2
1 2 1 1 2P PY Y Y Y Y
3.4. Observables y operadores
Con la finalidad de que el formalismo de la mecánica cuántica y, con ella
la función de onda, sea útil debe, tener la capacidad para determinar
cantidades medibles, como lo son: la posición, el momentum y la energía,
entre otras.
Recordemos que la finalidad de la teoría es explicar las observaciones
experimentales; por ejemplo, en mecánica clásica generalmente la solución
de un problema consiste en especificar la posición de una partícula (o un
sistema de partículas) como función del tiempo, ya que a partir de ella
podemos conocer otras cantidades físicas, lo cual no podemos extender a
sistemas a micro escalas debido a las propiedades ondulatorias de la
materia.
En mecánica cuántica, lo que tenemos es la función de onda Y(x,t) y la
función de distribución de probabilidad |Y(x,t)|2, así que lo más que podemos
saber acerca de la posición de una partícula es la probabilidad de que una
partícula se encuentre alrededor de cierto valor x a un tiempo t, mediante la
expresión
2 *( , ) ( , ) ( , ) ( , )P x t dx x t dx x t x t dx Y Y Y
3.4. Observables y operadores
Ahora vamos a considerar una medición de la posición x de un sistema
particular. Si realizamos tres mediciones de la posición, es probable que
obtengamos tres resultados diferentes.
Sin embargo, si nuestro método de medición es inherentemente preciso,
debe haber algún significado físico a la media de los valores medidos de x.
Además, la precisión de nuestro resultado debe mejorar a medida que se
realizan más mediciones.
En mecánica cuántica se utiliza la función de onda para calcular el valor
esperado que corresponde al valor promedio que se obtiene al realizar
varias mediciones de una cantidad determinada. En nuestro caso, el valor
esperado de x está dado por
Cualquier cantidad medible para la que podamos calcular el valor
esperado se llama observable físico. El valor esperado de un observable
físico (como por ejemplo, la posición, el momento lineal, el momento angular
y la energía) debe ser real, ya que los resultados experimentales de las
mediciones son reales.
*( , ) ( , )x x t x x t dx
Y Y
3.4. Observables y operadores
Antes de continuar, revisemos el origen de la definición anterior.
Si hacemos una gran cantidad de mediciones de la partícula,
encontraremos a la partícula N1 veces en x1, N2 veces en x2, N3 veces en x3, y
así sucesivamente. El valor promedio de x es entonces
En la expresión anterior podemos cambiar a una variable continua si usamos
la probabilidad P(x,t) de observar a la partícula en un instante en una
posición x particular, es decir
que corresponde al valor promedio de la variable continua x.
1 1 2 2 3 3
1 2 3
i i
i
i
i
N xN x N x N x
xN N N N
( , )
( , )
xP x t dx
x
P x t dx
3.4. Observables y operadores
En mecánica cuántica lo expresión anterior se puede rescribir como
donde hemos usado la expresión para P(x,t) en términos de la función de
onda.
Si ahora consideramos que la función de onda Y(x,t) está normalizada, el
denominador es igual a 1; por lo que obtenemos, finalmente, que
(4.1)
*
*
( , ) ( , )
( , ) ( , )
x x t x t dx
x
x t x t dx
Y Y
Y Y
*( , ) ( , )x x t x x t dx
Y Y
3.4. Observables y operadores
Un procedimiento similar se puede usar para encontrar el valor esperado
(o de expectación) de cualquier función g(x) para una función de onda
normalizada Y(x,t), obteniéndose la expresión general
El valor esperado <g(x)> es el valor promedio de g(x) que esperaríamos
obtener para un número muy grande de partículas con la misma función de
onda Y(x,t).
Para terminar esta parte, es importante enfatizar que la función de onda
solamente puede proporcionarnos el valor esperado de una función dada
g(x), que pueda ser expresada en términos de x, de forma que NO puede
darnos el valor de las mediciones individuales.
Cuando decimos que la función de onda provee una descripción completa
del sistema, lo que estamos diciendo es que podemos determinar los valores
esperados (o de expectación) de las observables físicas de dicho sistema.
*( ) ( , ) ( ) ( , )g x x t g x x t dx
Y Y
3.4. Observables y operadores
Como sabemos, el cálculo de los valores simultáneos de la posición x y el
momento p de una partícula deben ser consistentes con el principio de
incertidumbre.
Para encontrar el valor esperado (o de expectación), necesitamos
representar p en términos de x y t; así que, como un ejemplo, vamos a
considerar (una vez más) la función de onda de la partícula libre
Si tomamos la derivada con respecto a x, tendremos
Pero si recordamos que y
podemos escribir
( , )
i t kxx t Ae
w Y
( , )( , )
i t kx i t kxx tAe ik Ae ik x t
x x
w w Y Y
2
p
pl
2k
p
l
( , )( , )
x t pi x t
x
Y Y
3.4. Observables y operadores
Reacomodando términos, tenemos finalmente que
(*)
Un operador es una operación matemática que transforma una función en
otra.
En la expresión (*) podemos identificar a la operación matemática que
actúa sobre la función de onda Y(x,t), a saber
Esta operación recibe el nombre de operador de momento lineal en una
dimensión, así que
( , )
( , )x t
p x t ix
YY
ix
p ix
3.4. Observables y operadores
El operador de momento lineal no es el único operador, de hecho cada
una de las cantidades físicas medibles u observables tiene asociado un
operador.
Como todo operador asociado con una observable, el valor esperado del
momento está dado por
que se rescribe como
(4.2)
Los operadores para observables que son funciones de x y de p se
pueden construir usando las expresiones para cada uno de los operadores x
y p.
*( , ) ( , )p x t i x t dxx
Y Y
* ( , )( , )
x tp i x t dx
x
Y Y
^
^
3.4. Observables y operadores
De manera similar, para encontrar el valor esperado (o de expectación)
de la energía, necesitamos representar E en términos de x y t; así que,
nuevamente considerando la función de onda de la partícula libre
tomamos la derivada con respecto a t, obteniendo
y recordando que la energía se puede escribir como
podemos escribir
( , )
i t kxx t Ae
w Y
( , )( , )
i t kx i t kxx tAe i Ae i x t
t t
w ww w
Y Y
E w
( , )( , )
x t Ei x t
t
Y Y
3.4. Observables y operadores
Rearreglando términos, tenemos finalmente que
(**)
En la expresión (**) podemos identificar a la operación matemática que
actúa sobre la función de onda Y(x,t), a saber
Esta operación recibe el nombre de operador de energía, así que
( , )
( , )x t
E x t it
YY
it
E it
3.4. Observables y operadores
Con la expresión anterior para el operador de energía, su valor esperado
está dado por
que se rescribe como
(4.3)
Aunque las expresiones (4.1), (4.2) y (4.3) se obtuvieron considerando
una función de onda para partícula libre, estas expresiones son resultados
generales que usaremos más adelante para calcular las observables físicas
(posición, momentum y energía) y compararlas con los resultados
experimentales.
*( , ) ( , )E x t i x t dxt
Y Y
* ( , )( , )
x tE i x t dx
t
Y Y
3.4. Observables y operadores
Cantidad física u Observable Operador
Cualquier función de x; por ejemplo la posición x, la energía potencial V(x), etc. 𝐟(𝐱)
Componente x del momentum, px −𝐢ℏ𝝏
𝝏𝒙
Componente y del momentum, py −𝐢ℏ𝝏
𝝏𝒚
Componente z del momentum, pz −𝐢ℏ𝝏
𝝏𝒛
Energía, Hamiltoniano independiente del tiempo, E −ℏ𝟐
𝟐𝒎𝜵𝟐 + 𝐕(𝐱)
Energía, Hamiltoniano dependiente del tiempo, E 𝐢ℏ𝝏
𝝏𝒕
Energía cinética, K −ℏ𝟐
𝟐𝒎𝜵𝟐
Componente z del momento angular, Lz −𝐢ℏ𝝏
𝝏𝝓
En la siguiente tabla se muestra un resumen de los observables más
comunes en mecánica cuántica (y sus correspondientes operadores).
3.4. Observables y operadores. Un ejemplo. Considerando la expresión para la función de onda de una partícula libre
dada por
a) Calcule la constante de normalización A entre 0 y L.
b) Calcule el valor esperado para
i. la posición
ii. el momento lineal
iii. la energía
SOLUCIÓN.
a) La constante de normalización es
b) Los valores esperados son
( , )
i t kxx t Ae
w Y
1A
L
ˆ2
Lx p k E w
3.5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones En muchas situaciones, la energía potencial de una partícula no depende
explícitamente del tiempo, lo que significa que la fuerza que actúa sobre ella
es constante en el tiempo, por lo que solamente puede tener dependencia
en la coordenada espacial x.
Cuando se presenta esta situación, la Ecuación de Schrödinger puede
simplificarse eliminando la dependencia temporal, resultando la llamada
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo o también conocida
como Ecuación estacionaria de Schrödinger.
Para llevar a ella, debemos escribir la función de onda como el producto
Este método es muy útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales y
se conoce método de separación de variables.
Si a continuación sustituimos esta expresión en la Ecuación de
Schrödinger
( , ) ( ) ( )x t x f tY
2 2
2
( , ) ( , )( ) ( , )
2
x t x ti U x x t
t m x
Y Y Y
3.5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Tendremos
o
Si a continuación dividimos entre la función de onda
tendremos
Esta ecuación ha quedado separada en una parte con dependencia temporal
y otra parte con dependencia espacial, por lo que podemos igualar a una
misma constante.
22
2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
x f t x f ti U x x f t
t m x
2 2
2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f t xi x f t U x x f t
t m x
( , ) ( ) ( )x t x f tY
2 2
2
1 ( ) 1 ( )( )
( ) 2 ( )
f t xi U x
f t t m x x
3.5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Por conveniencia, se toma esa constante como la energía E, de tal forma
que tenemos
Lo que lleva a escribir las ecuaciones para f(t) y (x) como
(5.1)
y
(5.2)
La primera ecuación nos da la dependencia temporal de la función de onda,
mientras que la segunda nos da la dependencia espacial de la función de
onda y recibe el nombre de Ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo o Ecuación estacionaria de Schrödinger.
2 2
2
1 ( ) 1 ( )( )
( ) 2 ( )
df t d xi U x E
f t dt m x dx
( )( )
df t Ei f t
dt
2 2
2
( )( ) ( ) ( )
2
d xU x x E x
m dx
3.5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones La ecuación (5.1) anterior tiene como solución funciones de la forma
o recordando que E=ħw podemos escribir la solución completa a la Ecuación
de Schrödinger como
(5.3)
donde (x) son soluciones de la ecuación
(5.4)
Las funciones de onda (5.3), considerando las soluciones de la ecuación
(5.4), presentan una densidad de probabilidad constante en el tiempo, por lo
que un sistema que puede ser modelado por la Ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo se dice que presenta estados estacionarios.
( )E
i t
f t e
2
2 2
( ) 2( ) ( ) 0
d x mE U x x
dx
( , ) ( ) i tx t x e w Y
3.5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Para terminar este desarrollo, podemos escribir la Ecuación de
Schrödinger independiente del tiempo en tres dimensiones como
(5.5)
Por lo que la función de onda del sistema está dada por
Una propiedad importante de la Ecuación Estacionaria de Schrödinger es
que si tiene una o mas soluciones, cada una de ellas corresponde a un valor
específico de la energía E.
Esta cuantización de la energía aparece como un elemento natural de la
teoría, tal como se ha mostrado hasta este momento, ya que si recordamos la
física de las ondas mecánicas encontramos que la ecuación (5.4) es similar a
la ecuación que, considerando valores a la frontera, nos llevó a establecer
ondas estacionarias y sus respectivas condiciones de cuantización en las
medias longitudes de ondas.
2
2
2( ) ( ) ( ) 0
mr E U r r
( , ) ( ) i tx t x e w Y
3.5. La ES independiente del tiempo. Eigenvalores y eigenfunciones Los valores de la energía En, para los cuales se puede resolver la
Ecuación estacionaria de Schrödinger, se llaman Eigevalores y las
correspondientes funciones de onda n(x) reciben el nombre de
eigenfunciones.
La condición de cuantización, para el caso de la energía, se puede
escribir como
que corresponde a una ecuación de eigenvalores o valores propios.
En este caso, se dice que En y n(x) son los eigenvalores y las
eigenfunciones del operador Hamiltoniano, respectivamente.
Si la ecuación anterior se cumple, entonces siempre que el sistema se
encuentre en un estado definido por la función de estado n(x) se medirá el
valor esperado En para el observable H, de tal manera que si el sistema se
encuentra en el estado k(x) se medirá el valor esperado Ek, y así
sucesivamente.
ˆ ( ) ( )n n nH x E x
U(x)
x L 0
3.6. Partícula en una caja
Una primera aplicación de la Ecuación de Schrödinger independiente
del tiempo es la partícula en una caja, cuya solución es la más fácil de
encontrar.
Para ello debemos considerar una partícula de masa m atrapada en un
potencial cuadrado infinito, tal como se muestra en la figura.
Este potencial se puede escribir como
Lo que, evidentemente, delimita tres
regiones:
• Las regiones I y III donde el potencial es
infinito; y
• la región II donde la partícula es libre.
I II III
0
( ) 0 0
x
U x x L
L x
3.6. Partícula en una caja
El potencial anterior es físicamente irrealizable, pero matemáticamente
permite resolver la Ecuación de Schrödinger de manera sencilla.
Lo más cercano a este potencial se puede conseguir mediante un arreglo
como el mostrado en la figura.
Conforma aumenta la diferencia de potencial V entre la rejilla G y el
electrodo C, el potencial que “siente” el electrón se aproxima a uno de
paredes infinitas, por lo que tiene sentido considerar a dicho electrón como
una partícula en una caja.
3.6. Partícula en una caja
Regresando a nuestro problema de interés, debemos escribir la Ecuación
de Schrödinger para cada una de las regiones acordes con el potencial, a
saber
Las primera y tercera ecuaciones, dado que el potencial es infinito en dichas
regiones, requieren que sus soluciones sean nulas; por lo que necesitaremos
resolver la segunda de ellas, que se reduce a
2
2 2
( ) 2( ) ( ) 0I
I
d x mE U x x
dx
2
2 2
( ) 2( ) ( ) 0II
II
d x mE U x x
dx
2
2 2
( ) 2( ) ( ) 0III
III
d x mE U x x
dx
2
2 2
( ) 2( ) 0II
II
d x mEx
dx
3.6. Partícula en una caja
Esta ecuación tiene como solución general a la combinación lineal
donde
Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones de
continuidad en la función, las cuales indican que
La primera de ellas implica que
mientras que la segunda requiere que el argumento del Seno sea un múltiplo
de p, por lo que
( )II x ACos kx BSen kx
2
2
2mEk
(0) (0) 0 0 0I II ACos BSen
( ) ( ) 0III IIL L ACos kL BSen kL
0A
kL np
3.6. Partícula en una caja
Con ello podemos escribir, hasta el momento, la solución de la Ecuación
de Schrödinger como
Para encontrar el valor de Bn usaremos la condición de normalización, a
saber
que nos lleva a
de donde
( )II n
n xx B Sen
L
p
2( ) 1II x dx
2 2
01
L
n
n xB Sen dx
L
p
2nB
L
3.6. Partícula en una caja
Por lo que finalmente la solución de la Ecuación de Schrödinger para una
partícula en una caja se escribe como
con n = 1, 2, 3, 4, ...
Este eigenfunción tiene su correspondiente eigenvalor de energía En; el
cual se obtiene a partir de la expresión
considerando que
Lo que permite llegar a
Este expresión corresponde al espectro de energías para una partícula
sujeta a un potencial cuadrado infinito o en una caja de tamaño L.
2( )n
n xx Sen
L L
p
2
2
2mEk
kL np
2 2 2
22n
nE
mL
p
3.6. Partícula en una caja
Gráficamente, las funciones de onda con sus correspondientes energías
son las siguientes:
2( )n
n xx Sen
L L
p
2 22 2
122nE n n E
mL
p
3.6. Partícula en una caja
La función de onda completa Y(x,t) se obtiene multiplicando la función de
onda anterior, (x,t) , por la parte temporal, por lo que tendremos
donde
y
Si se usa la identidad
podemos escribir
que puede considerarse como una superposición de dos ondas de igual
forma y tamaño, pero propagándose en direcciones opuestas.
2
( , ) nt
n nx t Sen k x eL
wY
2 2
22n
n
mL
pw
n
nk
L
p
2
n nik x ik x
n
e eSen k x
i
1 2( )
2
n n n ni k x t i k x t
n x e ei L
w w Y
U0
0 L x
U(x)
Una vez estudiado el caso de una partícula confinada a una caja de
tamaño L, vamos a considerar a la partícula sujeta a un potencial cuadrado
finito, lo cual corresponde a un sistema físico más realista.
En este caso, el potencial tiene la forma
La forma de este potencial, de nuevo, delimita tres regiones:
• Las regiones I y III donde el potencial es distinto de cero (U0); y
• la región II donde la partícula es libre.
III I II
Analíticamente se puede
escribir como
3.7. Pozo cuadrado finito.
0
0
0
( ) 0 0
U x
U x x L
U L x
U0
0 L x
U(x)
Si consideramos una partícula de masa m y energía E mayor que U0,
clásicamente encontramos que se puede mover por todo el espacio, de tal
forma que en las regiones I y III su velocidad será menor que en la región II;
sin embargo, si la energía E de la partícula es menor que U0, la situación
cambia.
una probabilidad de que la partícula pueda encontrarse fuera de esta región.
Lo anterior se hace evidente al resolver la Ecuación de Schrödinger para
cada una de las tres regiones, encontrando que la función de onda en
general es diferente de cero fuera del pozo (región II).
Según la mecánica clásica,
una partícula con energía E
menor que U0 está confinada a
moverse entre 0 y L, ya que
fuera de ella su energía
cinética sería negativa.
Sin embargo, la mecánica
cuántica establece que hay
.
3.7. Pozo cuadrado finito.
III I II
3.7. Pozo cuadrado finito.
Con lo anterior, debemos escribir la Ecuación de Schrödinger para cada
una de las regiones acordes con el potencial, a saber
Las primera y tercera ecuaciones tienen la misma forma, mientras que la
segunda es similar a la que se tuvo en el caso del potencial infinito, por lo
que la solución para la región II se puede escribir como
con
2
02 2
( ) 2( ) 0I
I
d x mE U x
dx
2
2 2
( ) 2( ) 0II
II
d x mEx
dx
2
02 2
( ) 2( ) 0III
III
d x mE U x
dx
( )II x CSen kx DCos kx
2
2
2mEk
3.7. Pozo cuadrado finito.
Para las regiones I y III podemos escribir a las ecuaciones como
con
Las soluciones para estas ecuaciones se pueden escribir como
y
22
2
( )( ) 0I
I
d xx
dx
a
22
2
( )( ) 0III
III
d xx
dx
a
( ) x x
III x Ee Fea a
2
02
20
mU Ea
( ) x x
I x Ae Bea a
3.7. Pozo cuadrado finito.
Sin embargo, como la función de onda debe mantenerse finita tenemos
que cancelar la posibilidad de que la exponencial crezca indefinidamente,
para lo cual tomaremos B = E = 0, así que las funciones de onda para cada
una de las regiones son:
(7.1)
(7.2)
(7.3)
con
y 2
02
2mU Ea
( )
( )
( )
x
I
II
x
III
x Ae
x CSen kx DCos kx
x Fe
a
a
2
2
2mEk
3.7. Pozo cuadrado finito.
A continuación tenemos que aplicar la condición de continuidad en las
funciones de onda y en las primeras derivadas, valuadas en x = 0 y x = L; lo
que nos permitirá conocer las relaciones existentes entre A, C, D y F.
La condición de continuidad en la función de onda lleva a
y
Mientras que la condición de continuidad en la primera derivada lleva a
y
( ) ( )L
II IIIL CSen kL DCos kL Fe La
0(0) 0 0 (0)I IIAe CSen DCos
0'(0) 0 0 '(0)I IIAe kCCos kDSen a
'( ) '( )L
II IIIL kCCos kL kDSen kL Fe La a
3.7. Pozo cuadrado finito.
Con esto, nuestro problema será resolver el sistema de ecuaciones
siguientes:
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.7)
Al sustituir (7.4) en (7.6) eliminamos A, y podemos escribir la relación:
(7.8)
LCSen kL DCos kL Fe a
A D
A kCa
LkCCos kL kDSen kL Fe aa
C
D k
a
3.7. Pozo cuadrado finito.
De manera similar, sustituimos (7.5) en (7.7), lo que elimina a F, para
poder escribir
que usando la relación (7.8):
resulta
Esta ecuación se reduce a
kCCos kL kDSen kL CSen kL DCos kLa
C Dk
a
k D Cos kL kDSen kL D Sen kL DCos kLk k
a aa
k
Cos kL Sen kL Sen kL Cos kLk
a
a
3.7. Pozo cuadrado finito.
Resulta útil escribir esta última ecuación como
(7.9)
Si recordamos que
y
resulta evidente que la ecuación (7.9) es una ecuación trascendente para a y
k que, para valores de L y U0 dados, es válida para ciertos valores de E, lo
que implica un espectro de energías discreto.
Cos kL Sen kLk
kSen kL Cos kL
k
a
a
a
02
2mU Ea
2
2mEk
3.7. Pozo cuadrado finito.
Para estas energías, las condiciones de continuidad especifican a la
función de onda, excepto por un factor constante que se determina
aplicando la condición de normalización.
En la Figura anexa se muestran las funciones de onda y las densidades
de probabilidad que resultan para las tres energías más bajas permitidas
para la partícula.
3.7. Pozo cuadrado finito.
Como puede verse de la figura anterior, la función de onda penetra en la
región clásicamente prohibida hasta un punto establecido por la
profundidad de penetración d, dada por
que, usando la expresión para a, resulta
Específicamente, a una distancia d la amplitud de la onda cae a 1/e de su
valor en el borde y tiende exponencialmente a cero, tal como se puede
apreciar de las expresiones (7.1) y (7.3).
1d
a
02 ( )m U Ed
3.8. Potencial de barrera y el efecto túnel. .
3.9. Oscilador armónico cuántico.
.
1) “Concepts of Modern Physics”, Arthur Beiser. McGraw-Hill, 6ª
edición (2003).
2) “Física Moderna” , Raymond A. Serway, Clement J. Moses y Curt A.
Moyer. Thomson, 3ª edición (2006).
3) “Modern Physics”, Paul A. Tipler y Ralph A. Llewellyn.
W.H.Freeman and Co. , 5ª edición (2008).
4) “Física Cuántica”, Robert Eisberg y Robert Resnick. Ed. Limusa
México (1978).
5) “Quantum Physics of atoms, molecules, solids, nuclei and
particles”, Robert Eisberg y Robert Resnick. John Wiley, 3ª edición
(1985).
6) Richard P. Feynman, Robert Leighton y Matthew Sands. The
Feynman Lectures on Physics: Commemorative Issue, Three
Volume Set. Pearson Addison Wesley (1989).
Bibliografía
Universidad de Sonora Departamento de Física
Notas del Curso:
“Introducción a la
Física Moderna II”
[Temas 1-3]
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano (Responsable)
Dr. Mario Enrique Álvarez Ramos (Colaborador)
Dr. Ezequiel Rodríguez Jáuregui (Colaborador)
© 2012