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Tema I.2: Dinámica de Fluidos
Contenido: I.2.1 Introducción al flujo de fluidos
Formas de descripción
Tipos de Flujos
I.2.2 Cinemática de fluidos
Ecuación de Continuidad
Gasto
I.2.3 Dinámica de Fluidos
Ecuación de Bernoulli
…Contenido:
I.2.4 Aplicaciones Importantes Recipientes con orificios Ecuación de Torricelli Medidores de velocidad de flujo
I.2.5 Tópicos importantes
Fluidos Viscosos y Reología
Flujo de Poiseuille
Número de Reynolds
Ecuación de Stokes
Flujo de Darcy
I.2.6 Colofón
Movimiento de un fluido como cuerpo rígido
Silabario: Fundamentos de Física. Vol. 1.
Halliday/Resnick/Walker.
Capítulo 15. Secciones 15-7 a 15-10
Física para Universitarios. Douglas C. Giancoli.
Capítulo 13. Secciones 13-7 a 13-13
Física Universitaria. Sears/Zemansky/Young
Capítulo 13. Secciones 13.1 a 13.8
Física Universitaria, Vol. 1. Young/Freedman/Sears/Zemansky. Addison-Wesley (2009)*
Capítulo 14. Secciones 14.4 a 14.6
El objetivo de este tema es estudiar a los fluidos en movimiento, el cual puede ser de lo más complejo, sin embargo nos limitaremos a describirlos de la forma más sencilla posible.
I.2.1 Introducción
Enfoques
Joseph Louis Lagrange (1736-1813, Italia)
Leonhard Euler (1707-1783, Suiza)
“Describir lo que sucede siguiendo partículas de
fluidos en su movimiento”
“Describir lo que sucede en volúmenes fijos por
donde se mueve el fluido”
Activar: Real Media Player
“partículas de fluido” Líneas de
Flujo
o
Trayectorias
Medidores que se mueven con el fluido
Velocidades de las partículas de fluido
Flujo en una tubería
Lagrange
Euler
Flujo en una tubería
Medimos propiedades en
regiones por donde pasa el
fluido
Velocidad que adquiere el
fluido cuando pasa por estas
regiones
Líneas de corriente
• Línea de Flujo o Trayectoria: Camino seguido por las partículas de fluido durante su movimiento.
• Línea de Corriente: Curva tangente a los vectores de velocidad asociados a los diferentes volúmenes de control a un tiempo fijo.
• Tubo de Corriente: Conjunto de líneas de corriente encerradas por una superficie tangente a las líneas de corriente extremas (haz de líneas de corriente).
Como puede observarse estos conceptos parecen muy similares, sin embargo hay que hacer notar que parten de descripciones diferentes, y generalmente no coinciden: la línea de corriente coincide con la trayectoria solo en el caso de flujos estacionarios.
¿ Flujos?
Tipos de Flujo Como mencionamos anteriormente, el movimiento de un fluido puede ser muy complejo, ya que su comportamiento depende de muchos factores. Para visualizar esto, presentamos la siguiente clasificación:
1. Dependiendo de la dependencia espacial (coordenadas), de las variables se clasifican en:
• Unidimensional: Si las variables dependen de una coordenada Espacial, Ej.: Flujo en una Tubería delgada, donde la presión, velocidad y densidad del fluido dependerán exclusivamente de x:
• Bidimensional: Si las variables dependen de dos coordenadas espaciales, Ej.: Derrama de agua por un vertedero plano:
• Tridimensional: Si las variables dependen de tres coordenadas espaciales, Ej.: Derrama de agua por la boca de un jarro:
( ),p x ( ),v x
( , ),p x y ( , ),v x y ( , ).x yρ
( ).xρ
( , , ),p x y z ( , , ),v x y z ( , , ).x y zρ
2. Dependiendo del comportamiento temporal de la variables en puntos fijos del espacio (tubería), se clasifican en:
• Estacionario: Si la velocidad es constante en todo tiempo.
• No–Estacionario: Si la velocidad varía en el tiempo.
3. Dependiendo del comportamiento espacial de la velocidad a tiempos fijos, se clasifican en:
• Uniforme: Si la velocidad es la misma en toda la región en cuestión.
• No–Uniforme: Si la velocidad varía en cada punto de dicha región.
4. Dependiendo del comportamiento espacial y temporal de la densidad del fluido, se clasifican en:
• Incompresibles: Si la densidad permanece constante.
• Compresibles: Si la densidad varía de punto a punto del espacio y en el tiempo.
5. Dependiendo de la presencia de fuerzas de corte disipativas entre las diferentes partes del fluido en movimiento, se clasifican en:
• Viscosos: Si las fuerzas viscosas están presentes.
• No–Viscosos: Si dichas fuerzas están ausentes, o bien, si son irrelevantes.
6. Dependiendo de la presencia de movimientos rotacionales en el fluido durante su movimiento, se clasifican en:
• Rotacionales: Si los movimientos rotacionales están presentes.
• Irrotacionales: Si dichos movimientos rotacionales están ausentes.
Si tomamos en cuenta todas las diferentes combinaciones de los tipos de flujos que se pueden presentar, se pone de manifiesto la complejidad con la que se puede presentar el movimiento de los fluidos.
¿Cuáles Si?
Nos restringiremos básicamente al estudio del movimiento de fluidos:
ü Unidimensionales,
ü Estacionarios,
ü Incompresibles,
ü Irrotacionales.
En primer termino nos restringiremos al estudio de fluidos No – viscosos, reservándonos la parte final de este capítulo al estudio de fluidos viscosos sencillos.
Flujo Incompresible y
No – Viscosos
Flujo Ideal Si
Como síntesis de lo anterior podemos resumir la ubicación de nuestro sistema de estudio de la siguiente forma:
• Sistema: Volumen de Control (D. Euler)
• Modelo: Continuo
• Condición Inicial: Fluido en movimiento
• Restricciones:
–Fluido en conductos cerrados (ej. en tuberías).
–Flujo ideal.
–Flujo estacionario e irrotacional.
–Temperatura constante.
• Variables: Presión, velocidad, posición.
• Parámetros: Densidad, gravedad, viscosidad.
En resumen:
I.2.2 Cinemática de Fluidos
Consideremos a un fluido en movimiento en el interior de un conducto cerrado, como por ejemplo en la tubería mostrada en la en el video sobre las descripciones de Lagrange y Euler:
Entrada
Salida
Ausencia de fuentes y sumideros como no puede desaparecerse ni
generarse espontáneamente fluido dentro del tubo, necesariamente la masa que entra a la tubería debe ser igual a la que sale por ella en la unidad del tiempo
Como no puede desaparecerse ni generarse espontáneamente fluido dentro del tubo, necesariamente la masa que entra a la tubería debe ser igual a la que sale por ella en el mismo intervalo de tiempo, veamos:
1 2m mt t
Δ Δ=Δ Δ
1
2
Masa que entra por la sección 1
Masa que sale por la sección
2 Mismo intervalo de
tiempo
1xΔ 2xΔ
1v
2v
Como:
1 1 1;m VρΔ = Δ 2 2 2m VρΔ = Δ
1A 2A
y de la figura:
1 1 1;V A xΔ = Δ 2 2 2V A xΔ = Δ
Entonces, tendremos que:
1 1 1 1;m A xρΔ = Δ 2 2 2 2m A xρΔ = Δ
1 1 1 2 2 2
1 21 1 2 2
A x A xt tx x
A At t
ρ ρ
ρ ρ
Δ Δ=Δ ΔΔ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1 2 2 2Av A vρ ρ=
1 2m mt t
Δ Δ=Δ Δ
Sustituyendo en la ecuación:
Tendremos que:
Velocidad en 1 Velocidad en 2
Ecuación de Continuidad
(1)
Importante 1, observemos que en la Ecuación de Continuidad anterior, aparecen las densidades en las regiones 1 y 2 de la tubería, es decir, es posible que las densidades a la entrada y salida sean diferentes (compresibilidad).
Si: 1 2ρ ρ= 1 1 1 2 2 2Av A vρ ρ=
1 1 2 2Av A v=
Ecuación de Continuidad para
fluidos incompresibles
Importante 2, en la gran mayoría de los textos de Física Básica, se refieren a esta última versión como la Ecuación de Continuidad, es decir, se asume que la densidad del fluido es la misma en el flujo.
(2)
De la ec. (1), observemos que, como las regiones 1 y 2 en la tubería son arbitrarias, entonces:
1 1 1 2 2 2Av A vρ ρ= Av cteρ =
¿Qué es constante?
La masa de fluido que por unidad de tiempo atraviesa una área transversal de la tubería. (Flujo de Masa o Flujo Másico)
mt
ΔΔ
Denotemos por:
MJ Avρ≡ Flujo de Masa
Entonces, la Ecuación de Continuidad también puede escribirse como:
MJ cte=
De la ec. (2), observemos que, como las regiones 1 y 2 en la tubería son arbitrarias, entonces:
1 1 2 2Av A v= Av cte=
¿Qué es constante?
El volumen de fluido que por unidad de tiempo atraviesa una área transversal de la tubería. (Flujo de Volumen o Gasto)
Vt
ΔΔ
Denotemos por:
Q Av≡ Flujo de Volumen
Entonces, la Ecuación de Continuidad para fluidos incompresibles, también puede escribirse como:
Q cte=
Finalmente, de las definiciones anteriores para el flujo de masa y el flujo de volumen (gasto), podemos escribir la siguiente relación entre ellos:
MJ Qρ≡
Análisis dimensional:
[ ] [ ]3
23 3VM L M L M Masa
J Av LL t L t t tiempo
ρ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= = = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
[ ] [ ]3
2 L L VolumenQ Av L
t t tiempo⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
Sistema de Unidades Flujo de Masa Flujo de Volumen
Internacional
c. g. s.
Ingles
Kgs
gs
slugs
3ms3cms3fts
Generalizando:
Si en la región por donde se presenta el flujo de un fluido, tenemos múltiples entradas y salidas (como se ilustra en la figura), la conservación de la masa nos permite generalizar la Ecuación de Continuidad de la siguiente forma:
2
1
3
1
4 2
Flujo de entrada: Flujo de salida:
1 2 3 4M M M MJ J J J+ + + 1 2' 'M MJ J+
Si tenemos un numero n de entradas y un numero s de salidas para el flujo, podemos escribir en general:
'
1 1i i
n s
M Mi iJ J
= =
=∑ ∑
“ausencia de fuentes y sumideros”
'
1 10
i i
n s
M Mi iJ J
= =
− =∑ ∑ “El flujo neto debe ser nulo”
I.2.3 Ecuación de Bernoulli
En esta sección obtendremos la segunda ecuación fundamental para la descripción de los fluidos en movimiento, y que recibe el nombre de Ecuación de Bernoulli en honor al Físico Daniel Bernoulli quien la obtuvo en el año de 1850.
A pesar de que esta ecuación es válida para fluidos ideales, existe una generalización de ella conocida como Ecuación de Navier–Stokes, cuyo estudio rebasa los alcances de este curso.
Daniel Bernoulli (1700-1782, Suiza)
Rutas para la obtención de la Ecuación de Bernoulli:
A. Mediante un análisis energético, tipo Balance de Energía. (Descripción Euleriana)
Usualmente los textos de física básica presentan la obtención de la Ecuación de Bernoulli a través de un balance energético, el cual presenta la gran ventaja de ser una forma muy elegante, breve y sencillo. Sin embargo, para aquellos estudiantes que no manejen con soltura la descripción energética de los sistemas mecánicos, pudiera no ser tan transparente.
B. Mediante el análisis de fuerzas, tipo Newton.
(Descripción Lagrangiana)
Esta derivación es un poco mas extensa, pero solo requiere del manejo de las leyes de Newton. Por esta razón se incluye la obtención de la ecuación de Bernoulli a través de esta ruta.
A. Ecuación de Bernoulli (Euler)
Para ilustrar la forma en que se obtiene la Ecuación de Bernoulli con criterios energéticos, consideremos una tubería por donde circula un fluido, como la mostrada en la figura:
Tomemos como volumen de control, a la región delimitada por las áreas A1 y A2 de la figura superior, donde el fluido lleva las velocidades v1 y v2 respectivamente.
Este enfoque se basa en plantear una ecuación de balance de energía para el volumen de control.
Base: Teorema de Trabajo y la Energía Cinética
“El trabajo realizado sobre un sistema es igual al cambio en la energía cinética del sistema”
TW K= ΔTrabajo
Total Cambio en la
Energía Cinética
2
2mvK =
…(1)
Mientras no se establezca lo contrario, estamos considerando que el fluido es ideal, por tanto, podemos expresar el trabajo W como:
1 2T wW W W W= + +
∴ 1 2 wW W W K+ + = Δ (3)
(2)
Como: 1 1 1 1 1 1W F x p A x= Δ = Δ
2 2 2 2 2 2W F x p A x= − Δ = − Δ
2 1( )wW mg y mg y y= − Δ = − −
De la figura sabemos que:
1 1 1V A x= Δ
2 2 2V A x= Δ1 2V V V= =
Fluido incompresible
Entonces podemos escribir:
1 1 1 1 1 1W F x p A x= Δ = Δ 1pV=
2 2 2 2 2 2W F x p A x= − Δ = − Δ 2p V=
De la definición de densidad:
m Vρ=
2 1( )wW mg y y= − − 2 1( )Vg y yρ= − −
Sustituyendo la ec. (2) en la ec. (3), tenemos que:
1 2 2 1( )pV p V Vg y y Kρ− − − = Δ
En relación al termino cinético:
(4)
2 1K K KΔ = −
De la definición de energía cinética, de la definición de densidad y de la consideración de fluido ideal:
1 1 1
2 2 21 1 1
1 2 2 2mv Vv Vv
Kρ ρ
= = =
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2 2m v V v VvK ρ ρ= = =
(5)
Sustituyendo en la ec. (5):
( )2 22 12
VK v vρΔ = − (6)
Ahora, sustituyendo la ec. (6) en la ec. (4), tenemos:
( )2 21 2 2 1 2 1( )
2VpV p V Vg y y v vρρ− − − = −
Entonces:
( )2 21 2 2 1 2 1( )
2p p g y y v vρρ− − − = −
Agrupando términos por región:
2 21 1 1 2 2 22 2p v gy p v gyρ ρρ ρ+ + = + +
Ecuación de Bernoulli
(7)
Importante 1:
Como las regiones 1 y 2 son arbitrarias, la Ecuación de Bernoulli también puede escribirse como:
2
2p v gy cteρ ρ+ + =
Importante 2:
La constante que aparece en la ecuación anterior, corresponde a la energía por unidad de volumen del fluido en movimiento. Hagamos un análisis dimensional:
p + ρ2v2 + ρgy
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = p⎡⎣ ⎤⎦ +
ρ2v2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ + ρgy⎡⎣ ⎤⎦
= FL2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ +
ML3
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥Lt
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
2
+ ML3
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥Lt2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ L⎡⎣ ⎤⎦
= FLL3
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ +
ML3
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥Lt2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ L⎡⎣ ⎤⎦ +
ML3
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥Lt2⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ L⎡⎣ ⎤⎦
fuerza
(8)
23 3 32FL FL FLp v gyL L L
ρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2
2Energia
p v gyVolumen
ρ ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
De lo anterior se concluye que, lo que implica la Ecuación de Bernoulli es:
“La conservación de la energía por unidad de volumen del flujo”
B. Ecuación de Bernoulli (Lagrange)
Antes de iniciar la obtención de la Ecuación de Bernoulli por esta ruta Newtoniana, veamos las siguientes consecuencias de la Ecuación de Continuidad:
Q
Para el mismo 1 2A A> 1 2v v<
“mayor área, menor velocidad”
“Si el área transversal (A) por donde fluye el fluido es la misma, entonces el fluido es Uniforme: se mueve con la
misma velocidad (v)”
Como:
Av cte=
Regiones de flujo uniforme y flujo no-uniforme:
Región 1
Flujo Uniforme con velocidad constante
v1
Región 2
Flujo Uniforme con velocidad constante
v2 > v1
Región Intermedia
Flujo No-Uniforme con velocidades v1 < v < v2
Aceleración del Flujo
Entonces, consideremos una “partícula de fluido” que viaja por la línea de corriente central:
a
De la Segunda Ley de Newton para la “partícula de fluido”:
F1 + F2 + f1 + f2 +w= ma
Zoom!!
θ(9)
La ec. (9) se puede expresar como: F1i− F2i
− f1 j + f2 j
−wSenθ i−wCosθ j = mai
F1 − F2 −wSenθ⎡⎣ ⎤⎦ i+ f2 − f1 −wCosθ⎡⎣ ⎤⎦ j
= mai
En términos de componentes:
1 2
2 1 0F F wSen maf f wCos
θθ
− − =− − =
(10)
(11)Trabajemos con la ec. (12), que es quien lleva la información sobre el movimiento acelerado sobre la línea de corriente.
De la definiciones de presion, de densidad y de la expresión del peso de la “partícula de fluido”, podemos escribir:
( )1
2
F pdAF p p dp dAm dVw mg gdV
ρρ
== +== =
(12)
( )( )
p dp dA pdA gSen dAdx adAdxp dp p gSen dx adx
dp gSen dx adx
ρ θ ρρ θ ρρ θ ρ
− + + − =− + + − =
− − =
Sustituyendo las ecs. (12) en la ec. (10), tenemos que:
( )pdA p dp dA gSen dV adVρ θ ρ− + − =
dA
dx
θ dy
Como el elemento de volumen dV, puede escribirse como: dV dAdx=
dySen
dxθ =
De la figura, observemos que:
dy Sen dxθ=
…(13)
Sustituyendo : dp gdy adxρ ρ− − = (14)
Veamos, el término de la aceleración a, podemos escribirlo de la siguiente forma:
dvadx dxdt
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Recordemos que en esta región de la tubería el flujo es no-uniforme: v=v(x) y x=x(t), entonces podemos expresar:
dv dxadx dxdx dtdv vdxdxvdv
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=Sustituyendo la ec. (14), tenemos que:
dp gdy vdvρ ρ− − = 0dp gdy vdvρ ρ+ + =
Regla de la Cadena
Finalmente, integremos sobre la línea de corriente, desde la región 1 a la región 2:
2 2 2
1 1 1
0p y v
p y v
dp gdy vdvρ ρ+ + =∫ ∫ ∫ Fluido ideal
2 2 2
1 1 1
0p y v
p y v
dp g dy vdvρ ρ+ + =∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 1
1 02
p p g y y v vρ ρ− + − + − =
Agrupando términos por región, tenemos finalmente:
2 21 1 1 2 2 2
1 12 2
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + + Ecuación de Bernoulli
Importante 3:
Interpretación de contribuciones en la Ecuación de Bernoulli:
( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 1
1 02
p p g y y v vρ ρ− + − + − =
Trabajo por unidad de volumen
realizado por algún agente
externo: bomba
Trabajo por unidad de volumen
realizado la Tierra: gravedad
Cambio en la energía cinética por unidad de
volumen: Flujo
Importante 4: Casos particulares de la Ecuación de Bernoulli.
• Tubería horizontal: 1 2y y=
2 21 1 1 2 2 2
1 12 2
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + +
2 21 1 1 2 2 2
2 21 1 2 2
1 12 21 12 2
p gy v p gy v
p v p v
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
+ + = + +
+ = +
( ) ( )2 21 2 2 1
12
p p v vρ− = −
Ejercicio: Incorporando la Ecuación de Continuidad para un fluido ideal, discutir en relación al comportamiento esperado para la diferencia de presión en la tubería.
• Fluido en reposo: 1 2 0v v= =
2 21 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 12 2
p gy v p gy v
p gy p gy
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
+ + = + +
+ = +
( )1 2 2 1
1 2
p p g y yp p gh
ρρ
− = −= +
“Caso Particular: Ecuación Fundamental de la Estática de Fluidos”
I.2.4 Aplicaciones Importantes Recipientes con orificios
Consideremos un recipiente con orificio como el que se muestra a continuación.
Consideremos como tubo de flujo el delimitado por los puntos 1 y 2 de la figura, en los cuales aplicaremos la Ecuación de Bernoulli:
A
a
2 21 1 1 2 2 2
1 12 2
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + +
Coloquemos el origen de referencia para las alturas en la parte central del orificio de salida:
1
2 0y hy==
Entonces, al sustituir en la Ecuación de Bernoulli:
2 21 1 2 21 12 2
p v gh p vρ ρ ρ+ + = +
Como el recipiente esta cerrado en la parte superior y abierto a la atmósfera a la salida del orificio, podemos escribir:
1
2 0
p pp p
==
Entonces, al sustituir en la expresión de la Ecuación de Bernoulli anterior:
2 21 0 2
1 12 2
p v gh p vρ ρ ρ+ + = + (1)
Por otra parte, de la Ecuación de Continuidad para fluidos ideales, sabemos que:
1 1 2 2Av A v=
En nuestro caso (ver figura), hemos denotado:
1
2
A AA a
==
Entonces, al sustituir en la ecuación anterior, podemos expresar a la velocidad de la superficie libre del fluido dentro del recipiente (v1) como:
1 2av vA
=2
2 21 2
av vA
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠Sustituyendo la ec. (2) en la ec. (1) tendremos que:
(2)
Podremos obtener la velocidad del flujo por el orificio
22 22 0 2
1 12 2
ap v gh p vA
ρ ρ ρ⎛ ⎞+ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Veamos, agrupando los términos correspondientes a la velocidad de salida por el orificio (v2):
22 2
0 2 2
22
0 2
1 12 2
1 12
ap p gh v vA
ap p gh vA
ρ ρ ρ
ρ ρ
⎛ ⎞− + = − ⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞− + = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Despejando v2 obtenemos finalmente:
( )02 2
2
1
p p ghv
aA
ρ
ρ
− +⎡ ⎤⎣ ⎦=⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Expresión General para determinar la
velocidad de salida del flujo por el orificio de
un recipiente
Diferencia de presión entre el
interior y exterior del recipiente
Razón de áreas del recipiente y orificio de
salida
Altura del fluido en relación al orificio de
salida Densidad del fluido
Casos Particulares, importantes:
• Si el recipiente esta abierto a la atmósfera: 0p p=
( )0 02 2
2
1
p p ghv
aA
ρ
ρ
− +⎡ ⎤⎣ ⎦=⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∴ 2 2
2
1
ghvaA
=⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Altura del fluido en relación al
orificio de salida
Razón de áreas del recipiente y orificio de
salida
• Si además el orificio de salida es muy pequeño en relación al área transversal del recipiente:
a A=2
1aA
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= 2 2
2
1
ghvaA
=⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
1 ∴ 2 2v gh=
Teorema de Torricelli
• Si la diferencia de presión es mas significativa que la presión hidrostática debido a la columna de lìquido :
0p p=
( )02 2
2
1
p p ghv
aA
ρ
ρ
− +⎡ ⎤⎣ ⎦=⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∴( )0
2 2
2
1
p pv
aA
ρ
−≈
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦Diferencia de presión
entre la parte superior del fluido en el interior del
recipiente y la atmósfera
Razón de áreas del recipiente y orificio de
salida
• Si además el orificio de salida es muy pequeño en relación al área transversal del recipiente:
a A=2
1aA
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=
( )02 2
2
1
p pv
aA
ρ
−=
⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
1∴( )0
2
2 p pv
ρ−
≈
ghρ
Medidores de Velocidad de Flujo
Como se puede observar de las ecuaciones básicas de este tema, el conocimiento de la velocidad de flujo es indispensable y para conocerla, se han diseñado diferentes dispositivos que nos permitan medirla. En esta sección presentaremos algunos de estos dispositivos y justificaremos su función, mediante la aplicación de las Ecuaciones de Continuidad y Bernoulli.
Tubo de Venturi Tubo de Venturi de dos líquidos
Tubo de Pitot-Prandtl
¿Cómo se mide la velocidad del flujo con estos dispositivos?
En esta sección aplicaremos las Ecuaciones de Continuidad y Bernoulli, para entender su funcionamiento.
• Tubo de Venturi
v v
Flujo
A a
Las áreas A y a conocidas
1 2
Apliquemos la Ecuaciones de Bernoulli, en las regiones 1 y 2 de la figura:
2 21 1 1 2 2 2
1 12 2
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + +
Como la altura de los puntos es la misma:
1 2y y=
Entonces: 2 21 1 1 2 2 2
2 21 1 2 2
1 12 21 12 2
p gy v p gy v
p v p v
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
+ + = + +
+ = +
Por otra parte, de la Ecuaciones de Continuidad, sabemos que:
1 1 2 2Av A v= 1 2Av av= 12Avva
=
(1)L L
(2)L L
Sustituyendo la ec. (2) en la ec. (1), obtenemos que: 2
2 21 1 2 11 12 2
Ap v p va
ρ ρ ⎛ ⎞+ = + ⎜ ⎟⎝ ⎠De donde podemos expresar:
( )1 21 2
2
1
p pv
Aa
ρ
−=
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Por otra parte, como el movimiento del fluido es horizontal, podemos expresar las presiones en los puntos 1 y 2, observando los tubos verticales abiertos a la atmósfera:
1 0 ( )p p g y hρ= + +
2 0p p gyρ= +
∴ 2 2p p ghρ− =
(3)L L
(4)L L
Finalmente, sustituyendo la ec. (4) en la ec. (3), obtenemos que:
1 2
2
1
ghv vAa
= =⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Velocidad a la que se mueve el flujo en la
región de interés
Midiendo la diferencia de alturas entre los tubos verticales del Venturi podemos conocer la velocidad del flujo A a
1 2
• Tubo de Venturi de dos líquidos:
Tenemos un escenario muy similar al caso del tubo de Venturi visto anteriormente:
Las áreas A y a conocidas
A
aρ
mρDe forma tal que lo único que cambia en relación al caso del Tubo de Venturi anterior, es la forma en que se expresa la diferencia de presión entre las ramas del tubo en U.
Las densidades son conocidas
1’ 2’
1' 1 ( )p p g y hρ= + +
En este caso tenemos que:
2' 2 mp p gy ghρ ρ= + +
Como en el tubo manometrito, el fluido esta en reposo, de la Ecuación Fundamental de la Estática de Fluidos, sabemos que:
1' 2'p p=
(5)MK
Lo que nos permite igualar las expresiones de la ec. (5), para obtener:
1 2
1 2
1 2
( ) m
m
m
p g y h p gy ghp gy gh p gy gh
p gh p gh
ρ ρ ρρ ρ ρ ρ
ρ ρ
+ + = + ++ + = + +
+ = +
( )1 2 mp p ghρ ρ− = − (6)L L
Finalmente, sustituimos la ec. (6) anterior en la ec. (3) para obtener:
( )1 2
2
1
m ghv
Aa
ρ ρ
ρ
−=
⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Velocidad a la que se mueve el flujo en la
región de interés
Midiendo la diferencia de alturas entre las ramas del tubo en U del tubo del Venturi podemos conocer la velocidad del flujo
• Tubo de Pitot-Prandtl:
2 1 3
Flujo Flujo
Punto de remanso Fluido en reposo
Este tipo de medidor es muy utilizado para determinar velocidades de flujo de aire:
Apliquemos la Ecuación de Bernoulli, en las regiones 1 y 2 de la figura:
2 21 1 1 2 2 2
1 12 2
p gy v p gy vρ ρ ρ ρ+ + = + +
Como los puntos se encuentran a la misma altura, obtenemos como anteriormente, que:
2 21 1 2 21 12 2
p v p vρ ρ+ = + (7)L L
Como se ilustra en la figura, en el punto de remanso la velocidad del flujo se anula, es decir el fluido que logra penetrar el tubo horizontal del Tubo de Pitot-Prandtl se estanca en su interior:
2 0v =De esta forma, la ecuación anterior se reduce a:
22 1 1
12
p p vρ= + (8)L L
Centrémonos ahora en el manómetro en U del Tubo de Pitot-Prandtl, y consideremos que el flujo es de gas (aire por ejemplo), como:
2 1 3
2’ 3’
2' 2p p=
3' 3 mp p ghρ= +
Como los puntos 2’ y 3’ se encuentran a la misma altura y el fluido manométrico esta en reposo, podemos igualarlas ecuaciones (9):
(9)L L
2 3 mp p ghρ= + (10)L L
Considerando que la perturbación al flujo por el Tubo de Pitot-Prandtl es despreciable (el tubo generalmente es uno muy delgado y si tenemos flujos no acotados, la consideración es aceptable):
3 1p p=
Sustituyendo en la ec. (10), tenemos:
2 1 mp p ghρ= + (11)L L
Igualando las ecuaciones (8) y (11):
21 1 112 mp v p ghρ ρ+ = +
Obtenemos la velocidad del flujo:
12 mghv ρ
ρ=
Ejercicio: ¿Cómo cambiaría la expresión para la velocidad del flujo si el Tubo de Pitot-Prandtl se coloca en una corriente de líquido (agua por ejemplo)?