Mos e

kopjo

UNIVERSITETI SHTETËROR I TETOVËS

FAKULTETI I SHKENCAVE TË ZBATUARA

PROGRAMI STUDIMOR – NDËRTIMTARI

Elaborat Lënda: “STATIKA IV”

Bartës i lëndës: Kandidati: Prof.Dr. Misin Misini Besar Abdiu Tetovë, 2014

Mos e

kopjo

Mos e

kopjo

Mos e

kopjo

Mos e

kopjo

Mos e

kopjo

y

z

P=230 kN

Detyra 5 “Trau në bazament elastik”

Hekurudha është ndërtuar me binarë (I-profil) të çelikut, me karakteristika të prerjes tërthore: 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 5696 𝑐𝑐𝑐𝑐4; ℎ = 200 𝑐𝑐𝑐𝑐; 𝐸𝐸 = 2 ∙ 105 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 Binarët janë të mbështetur në bazament, i cili ka koeficient të sustës 𝑘𝑘 = 16.0𝑁𝑁 𝑐𝑐𝑐𝑐2⁄ .

Të caktohet ulja maksimale, momenti përkulës maksimal si dhe sforcimi maksimal, për rastet kur:

a). kalon vetëm një rrotë me ngarkesë 230 kN b). kalojnë tre rrota me ngarkesë nga 230 kN, të larguara mes veti në distancë boshtore 1.90 m.

Zgjidhje:

𝛽𝛽 = �𝑘𝑘

4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑥𝑥

4= � 16

4 ∙ 2 ∙ 105 ∙ 5696 ∙ 104

4= 0,000769777 𝑐𝑐𝑐𝑐−1

Rasti “a”:

𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽 = 𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽 = 1.0

𝑦𝑦𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =𝑀𝑀 ∙ 𝛽𝛽2 ∙ 𝑘𝑘

∙ 𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽 =230000 ∙ 0.000769777

2 ∙ 16= 5,533 𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =𝑀𝑀

4𝛽𝛽∙ 𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽 =

2300004 ∙ 0,000769777

∙ 1,0 = 74696957,69 𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐 = 74,697 𝑘𝑘𝑁𝑁𝑐𝑐

𝜎𝜎𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =𝑀𝑀𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥

𝐼𝐼𝑥𝑥∙ 𝑦𝑦𝐶𝐶 =

74697 𝑘𝑘𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐5696 𝑐𝑐𝑐𝑐4 ∙ 10 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 13,114 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝑐𝑐𝑐𝑐2⁄ = 131,14 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀

Mos e

kopjo

y

z

P=230 kNP=230 kN P=230 kNP=230 kN P=230 kNP=230 kN

1,9m 1,9m

Rasti “b”: Ulja maksimale dhe momenti përkulës maksimal në çfarëdo prerje të traut përvetësohet nga mbivendosja e efekteve të njërës rrotë nga ngarkesat e tri rrotave. Sipas metodës së mbivendosjes, ulja maksimale dhe moment përkulës maksimal, përcaktohet nga dy rastet në vijim:

1° ulja maksimale dhe momenti përkulës maksimal nën njërën nga rrotat e skajshme

2° ulja maksimale dhe momenti përkulës maksimal nën rrotën e mesit.

Për rastin e parë, le të jetë fillimi i sistemit koordinativ nën njërën nga rrotat e skajshme.

për 𝛽𝛽1 = 0 → 𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽1 = 𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽1 = 1,0 për 𝛽𝛽2 = 1900 𝑐𝑐𝑐𝑐 → 𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽2 = 0,255302677; 𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽2 = −0.205264582 për 𝛽𝛽3 = 3800 𝑐𝑐𝑐𝑐 → 𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽3 = −0.040881643; 𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽3 = −0.063927551

𝑦𝑦𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =𝑀𝑀 ∙ 𝛽𝛽2 ∙ 𝑘𝑘

�𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽1 + 𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽2 + 𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽3�

𝑦𝑦𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =230 000 ∙ 0,000769777

2 ∙ 16[1,0 + 0,255302677 + (−0,040881643)] = 6,719 𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =𝑀𝑀

4𝛽𝛽�𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽1 + 𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽2 + 𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽3�

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =230 000

4 ∙ 0,000769777[1,0 + (−0,205264582) + (−0,063927551)] = 54,589 𝑘𝑘𝑁𝑁𝑐𝑐

Mos e

kopjoy

z

P=230 kNP=230 kN P=230 kNP=230 kN P=230 kNP=230 kN

1,9m 1,9m

Për rastin e dytë, le të jetë fillimi i sistemit koordinativ nën rrotën e mesit:

𝑦𝑦𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =𝑀𝑀 ∙ 𝛽𝛽2 ∙ 𝑘𝑘

�𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽1 + 2𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽2�

𝑦𝑦𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =230 000 ∙ 0,000769777

2 ∙ 16(1,0 + 2 ∙ 0,255302677) = 8,35783529 𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =𝑀𝑀

4𝛽𝛽�𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽1 + 2𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽2�

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =𝑀𝑀

4𝛽𝛽[1,0 + 2 ∙ (−0.205264582)] = 45,21062 𝑘𝑘𝑁𝑁𝑐𝑐

Përfundimisht:

𝑦𝑦𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 = 8,35783529 𝑐𝑐𝑐𝑐

𝑀𝑀𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 = 54,589 𝑘𝑘𝑁𝑁𝑐𝑐

𝜎𝜎𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥 =𝑀𝑀𝑐𝑐𝑀𝑀𝑥𝑥

𝐼𝐼𝑥𝑥∙ 𝑦𝑦𝐶𝐶 =

5458,9 𝑘𝑘𝑁𝑁𝑐𝑐𝑐𝑐5696 𝑐𝑐𝑐𝑐4 ∙ 10𝑐𝑐𝑐𝑐 = 9,5837 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝑐𝑐𝑐𝑐2⁄ = 95,837 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀

Mos e

kopjoP=10kN

A B C ABCD

l l l l l l/2ll/2l/2 l/2

L"L

Detyra 6 “Trau në bazament elastik”

Një tra nga legura e aluminit (I-profil), me lartësi 140 mm, moment inercie 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 2,73 ∙ 106 𝑚𝑚𝑚𝑚4, modul elasticiteti E=72 000 MPa, ka gjatësi L=7,8m dhe është I mbështetur në shtatë susta (K=125 N/mm), të larguara mes veti në distancë boshtore l=1,3m, si në figurë. Ngarkesa koncentrike P=10kN, vepron në mes të traut. Caktoni ngarkesën që pranon çdo sustë, uljen maksimale të traut, momentin përkulës maksimal dhe sforcimin maksimal.

Koeficienti elastik:

𝑘𝑘 =𝐾𝐾𝑙𝑙

=125 𝑁𝑁/𝑚𝑚𝑚𝑚1300 𝑚𝑚𝑚𝑚

= 0,096153846 𝑁𝑁 𝑚𝑚𝑚𝑚2⁄

𝛽𝛽 = �𝑘𝑘

4𝐸𝐸𝐼𝐼𝑥𝑥

4= �

0,096153846 𝑁𝑁 𝑚𝑚𝑚𝑚2⁄ 4 ∙ 72 000𝑁𝑁 𝑚𝑚𝑚𝑚2⁄ ∙ 2,73 ∙ 106 𝑚𝑚𝑚𝑚4

4= 0,000591361

Kontrollimi i distancës së sustave:

𝑙𝑙 <𝜋𝜋

4𝛽𝛽→ 1300𝑚𝑚𝑚𝑚 <

3,144 ∙ 0,000591361

= 1327,446348 𝑚𝑚𝑚𝑚

Kontrollimi i gjatësisë së traut:

𝐿𝐿′′ = 7800 + 1300 = 9100𝑚𝑚𝑚𝑚 >3𝜋𝜋2𝛽𝛽

=3 ∙ 3,14

2 ∙ 0,000591361= 7964,67809𝑚𝑚𝑚𝑚

Mos e

kopjo

Ulja maksimale dhe momenti përkulës maksimal, gjenden nën pikën ku vepron ngarkesa, prej ku nxjerrim se:

𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽 = 𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽 = 1,0

𝑦𝑦𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 =𝑃𝑃 ∙ 𝛽𝛽2 ∙ 𝑘𝑘

∙ 𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽 =10 ∙ 103 ∙ 0,000591361

2 ∙ 0,096153846∙ 1,0 = 30,75077205 𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 =𝑃𝑃

4𝛽𝛽𝐶𝐶𝛽𝛽𝛽𝛽 =

104 ∙ 0,000591361

∙ 1,0 = 4,227536141 𝑘𝑘𝑁𝑁𝑚𝑚

𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 =𝑀𝑀𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥

𝐼𝐼𝑥𝑥∙ 𝑦𝑦𝑐𝑐 =

4,227536141 ∙ 102

2,73 ∙ 106 ∙ 10−4 ∙ 7,0 = 10,83983626 𝑘𝑘𝑁𝑁 𝑐𝑐𝑚𝑚2⁄

𝜎𝜎𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 = 108,3983626 𝑀𝑀𝑃𝑃𝑚𝑚

Caktojmë uljet dhe reaksionet për pikat tjera karakteristike të traut (aty ku kemi susta):

Pika “D”

𝑅𝑅𝐷𝐷 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑦𝑦𝐷𝐷 = 125 ∙ 30,75077205 = 3843,846506 𝑁𝑁

Pika “C”

𝛽𝛽 ∙ 𝛽𝛽 = 0,000591361 ∙ 130 = 0,07687693

𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽 = 𝑒𝑒−𝛽𝛽𝛽𝛽 (sin𝛽𝛽𝛽𝛽 + cos𝛽𝛽𝛽𝛽) = 0,926003809 ∙ (0,076801227 + 0,997046423)

𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽 = 0,994387015

𝑦𝑦𝐶𝐶 =𝑃𝑃 ∙ 𝛽𝛽2 ∙ 𝑘𝑘

∙ 𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽 =10 ∙ 103 ∙ 0,000591361

2 ∙ 0,096153846∙ 0,994387015 = 30,57816843 𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑅𝑅𝐶𝐶 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑦𝑦𝐶𝐶 = 125 ∙ 30,57816843 = 3822,270153 𝑁𝑁

Pika “B”

2𝛽𝛽 ∙ 𝛽𝛽 = 2 ∙ 0,000591361 ∙ 130 = 0,15375386

𝐴𝐴2𝛽𝛽𝛽𝛽 = 𝑒𝑒−2𝛽𝛽𝛽𝛽 (sin 2𝛽𝛽𝛽𝛽 + cos 2𝛽𝛽𝛽𝛽) = 0,857483055 ∙ (0,153148779 + 0,988203142)

𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽 = 0,978689932

𝑦𝑦𝐵𝐵 =𝑃𝑃 ∙ 𝛽𝛽2 ∙ 𝑘𝑘

∙ 𝐴𝐴2𝛽𝛽𝛽𝛽 =10 ∙ 103 ∙ 0,000591361

2 ∙ 0,096153846∙ 0.978689932 = 30,09547103 𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑅𝑅𝐵𝐵 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑦𝑦𝐵𝐵 = 125 ∙ 30,09547103 = 3761,933879 𝑁𝑁

Mos e

kopjo

Pika “A”

3𝛽𝛽 ∙ 𝛽𝛽 = 3 ∙ 0,000591361 ∙ 130 = 0,23063079

𝐴𝐴3𝛽𝛽𝛽𝛽 = 𝑒𝑒−3𝛽𝛽𝛽𝛽 (sin 3𝛽𝛽𝛽𝛽 + cos 3𝛽𝛽𝛽𝛽) = 0,794032576 ∙ (0,228591657 + 0,973522395)

𝐴𝐴𝛽𝛽𝛽𝛽 = 0,954517717

𝑦𝑦𝐴𝐴 =𝑃𝑃 ∙ 𝛽𝛽2 ∙ 𝑘𝑘

∙ 𝐴𝐴3𝛽𝛽𝛽𝛽 =10 ∙ 103 ∙ 0,000591361

2 ∙ 0,096153846∙ 0,954517717 = 29,35215673 𝑚𝑚𝑚𝑚

𝑅𝑅𝐴𝐴 = 𝐾𝐾 ∙ 𝑦𝑦𝐴𝐴 = 125 ∙ 29,35215673 = 3669,019592 𝑁𝑁

Mos e

kopjoA

B C

D

x

y

b

a

q=5kN/m2q=

5kN

/m2

d

d

-? 9

-? 2

-? 6

Detyra 7 “Metoda e diferencave të fundme”

Pllaka drejtkëndore e inkastruar në një anë (AD), lirë e mbështetur në dy anë (AB dhe BC) dhe e lirë në njërën anë, është e ngarkuar me ngarkesë njëtrajtësisht të shpërndarë 𝑞𝑞=5,00𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑚𝑚2⁄ , gjatë gjithë sipërfaqjes së saj (si në figurë). Pllaka ka dimensione a=5,0m, b=7m dhe trashësi 𝛿𝛿 = 0,12m. Gjithashtu janë dhënë edhe moduli i elasticitetit E=2,1∙ 105MPa dhe koeficienti i Poasonit 𝜇𝜇 = 0,3. Të llogariten uljet e pllakës në nyjet e rrjetës së përvetësuar, duke zbatuar Metodën e Diferencave të Fundme.

Mos e

kopjo

Zgjidhje:

𝑙𝑙 =𝑏𝑏4

=74

= 1,75 ℎ =𝑎𝑎4

=54

= 1,25

𝛼𝛼 =𝑙𝑙2

ℎ2 =1,752

1,252 = 1,96

𝐷𝐷 =𝐸𝐸 ∙ 𝛿𝛿3

12(1 − 𝜇𝜇2)=

2,1 ∙ 105 ∙ 106 ∙ (0,12)2

12(1 − 0,32)= 33230769,23 𝑘𝑘𝑚𝑚

6𝛼𝛼2 + 8𝛼𝛼 + 6 = 6 ∙ 1,962 + 8 ∙ 1,96 + 6 = 44,7296

4𝛼𝛼(𝛼𝛼 + 1) = 4 ∙ 1,96(1,96 + 1) = 23,2064

4(𝛼𝛼 + 1) = 4(1,96 + 1) = 11,84

2𝛼𝛼 = 2 ∙ 1,96 = 3,92

𝛼𝛼2 = 1,962 = 3,8416

𝑝𝑝 ∙ 𝑙𝑙4

𝐷𝐷=

5000 ∙ 1,754

33230769,23= 0,001411178

Nyja 1:

44,7296𝜔𝜔1 − 23,2064(𝜔𝜔4 + 𝜔𝜔5) − 11,84(𝜔𝜔2 + 𝜔𝜔3) + 3,92(𝜔𝜔6 + 𝜔𝜔7 + 𝜔𝜔8 + 𝜔𝜔9) + +3,8416(0 + 0) + 0 + 𝜔𝜔11 = 0,001411178

Nyja 2:

44,7296𝜔𝜔2 − 23,2064(𝜔𝜔6 + 𝜔𝜔9) − 11,84(0 + 𝜔𝜔1) + 3,92(0 + 0 + 𝜔𝜔4 + 𝜔𝜔5) + +3,8416(0 + 0) + 𝜔𝜔3 − 𝜔𝜔2 = 0,001411178

Nyja 3:

44,7296𝜔𝜔3 − 23,2064(𝜔𝜔7 + 𝜔𝜔8) − 11,84(𝜔𝜔1 + 𝜔𝜔11) + 3,92(𝜔𝜔4 + 𝜔𝜔5 + 𝜔𝜔12 + 𝜔𝜔10) ++3,8416(0 + 0) + 𝜔𝜔2 + 𝜔𝜔15 = 0,001411178

Nyja 4:

44,7296𝜔𝜔4 − 23,2064(0 + 𝜔𝜔1) − 11,84(𝜔𝜔8 + 𝜔𝜔9) + 3,92(0 + 0 + 𝜔𝜔2 + 𝜔𝜔3) + +3,8416(𝜔𝜔4 + 𝜔𝜔5) + 0 + 𝜔𝜔10 = 0,001411178

Mos e

kopjo

Nyja 5:

44,7296𝜔𝜔5 − 23,2064(0 + 𝜔𝜔1) − 11,84(𝜔𝜔6 + 𝜔𝜔7) + 3,92(0 + 0 + 𝜔𝜔2 + 𝜔𝜔3) + +3,8416(𝜔𝜔4 − 𝜔𝜔5) + 0 + 𝜔𝜔12 = 0,001411178

Nyja 6:

44,7296𝜔𝜔6 − 23,2064(0 + 𝜔𝜔2) − 11,84(0 + 𝜔𝜔5) + 3,92(0 + 0 + 0 + 𝜔𝜔1) + +3,8416(𝜔𝜔9 −𝜔𝜔6) + 𝜔𝜔7 − 𝜔𝜔6 = 0,001411178

Nyja 7:

44,7296𝜔𝜔7 − 23,2064(0 + 𝜔𝜔3) − 11,84(𝜔𝜔5 + 𝜔𝜔12) + 3,92(0 + 0 + 𝜔𝜔1 + 𝜔𝜔11) + +3,8416(𝜔𝜔8 − 𝜔𝜔7) + 𝜔𝜔6 + 𝜔𝜔16 = 0,001411178

Nyja 8:

44,7296𝜔𝜔8 − 23,2064(0 + 𝜔𝜔3) − 11,84(𝜔𝜔4 + 𝜔𝜔10) + 3,92(0 + 0 + 𝜔𝜔1 + 𝜔𝜔11) + +3,8416(𝜔𝜔8 + 𝜔𝜔7) + 𝜔𝜔9 + 𝜔𝜔14 = 0,001411178

Nyja 9:

44,7296𝜔𝜔9 − 23,2064(0 + 𝜔𝜔2) − 11,84(0 + 𝜔𝜔4) + 3,92(0 + 0 + 0 + 𝜔𝜔1) + +3,8416(𝜔𝜔9 + 𝜔𝜔6) + 𝜔𝜔8 − 𝜔𝜔9 = 0,001411178

Nyja 10:

44,7296𝜔𝜔10 − 23,2064(0 + 𝜔𝜔11) − 11,84(𝜔𝜔8 + 𝜔𝜔14) + 3,92(0 + 𝜔𝜔3 + 𝜔𝜔15 + 𝜔𝜔13) + +3,8416(𝜔𝜔10 + 𝜔𝜔12) + 𝜔𝜔4 + 𝜔𝜔18 = 0,001411178

Nyja 11:

44,7296𝜔𝜔11 − 23,2064(𝜔𝜔10 + 𝜔𝜔12) − 11,84(𝜔𝜔3 + 𝜔𝜔15) + 3,92(𝜔𝜔7 + 𝜔𝜔8 + 𝜔𝜔14 + 𝜔𝜔16) + +3,8416(0 + 0) + 𝜔𝜔1 + 𝜔𝜔19 = 0,001411178

Nyja 12:

44,7296𝜔𝜔12 − 23,2064(0 + 𝜔𝜔11) − 11,84(𝜔𝜔7 + 𝜔𝜔16) + 3,92(0 + 𝜔𝜔3 + 𝜔𝜔15 + 𝜔𝜔17) + +3,8416(𝜔𝜔10 − 𝜔𝜔12) + 𝜔𝜔5 + 𝜔𝜔20 = 0,001411178

Madhësitë ndihmëse:

𝜇𝜇𝛼𝛼

=0,3

1,96= 0,153

Mos e

kopjo

2 �1 +𝜇𝜇𝛼𝛼� = 2 �1 +

0,31,96

� = 2,306

4 �1 +2 − 𝜇𝜇𝛼𝛼

� = 4 �1 +2 − 0,3

1,96� = 7,4694

4�1𝛼𝛼−

2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 � = 4�1

1,96−

2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 � = 1,5097876

4�1 +2𝛼𝛼

+32∙

2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 � = 4�1 +2

1,96+

32∙

2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 � = 8,8782

2 ∙2 − 𝜇𝜇𝛼𝛼

= 2 ∙2 − 0,3

1,96= 1,7347

2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 =2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 = 0,13276

Vija e parë:

Nyja 13:

𝜔𝜔13 = 2 �1 +𝜇𝜇𝛼𝛼� ∙ 0 − 0 −

𝜇𝜇𝛼𝛼

(𝜔𝜔10 + 𝜔𝜔10) = 2 �1 +0,3

1,96� ∙ 0 − 0 −

0,31,96

∙ 2𝜔𝜔10

𝜔𝜔13 = −0,30612245𝜔𝜔10

Nyja 14:

𝜔𝜔14 = 2 �1 +𝜇𝜇𝛼𝛼�𝜔𝜔10 − 𝜔𝜔8 −

𝜇𝜇𝛼𝛼

(𝜔𝜔11 + 0) = 2 �1 +0,3

1,96�𝜔𝜔10 − 𝜔𝜔8 −

0,31,96

𝜔𝜔11

𝜔𝜔14 = 2,30612245𝜔𝜔10 − 𝜔𝜔8 − 0,153012245𝜔𝜔11

Nyja 15:

𝜔𝜔15 = 2 �1 +𝜇𝜇𝛼𝛼�𝜔𝜔11 − 𝜔𝜔3 −

𝜇𝜇𝛼𝛼

(𝜔𝜔10 + 𝜔𝜔12) = 2 �1 +0,3

1,96�𝜔𝜔11 − 𝜔𝜔3 −

0,31,96

(𝜔𝜔10 + 𝜔𝜔12)

𝜔𝜔15 = 2,30612245𝜔𝜔11 − 𝜔𝜔3 − 0,153012245𝜔𝜔10 − 0,153012245𝜔𝜔12

Nyja 16:

𝜔𝜔16 = 2 �1 +𝜇𝜇𝛼𝛼�𝜔𝜔12 − 𝜔𝜔7 −

𝜇𝜇𝛼𝛼

(𝜔𝜔11 + 0) = 2 �1 +0,3

1,96�𝜔𝜔12 − 𝜔𝜔7 −

0,31,96

(𝜔𝜔11 + 0)

Mos e

kopjo

𝜔𝜔16 = 2,30612245𝜔𝜔12 − 𝜔𝜔7 − 0,153012245𝜔𝜔11

Nyja 17:

𝜔𝜔17 = 2 �1 +𝜇𝜇𝛼𝛼� ∙ 0 − 0 −

𝜇𝜇𝛼𝛼

(𝜔𝜔12 − 𝜔𝜔12) = 0

Vija e dytë:

Nyja 18:

𝜔𝜔18 = 4�1 +2𝛼𝛼

+32∙

2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 �𝜔𝜔10 − 4 �1 +2 − 𝜇𝜇𝛼𝛼

�𝜔𝜔8 − 4�1𝛼𝛼−

2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 � (0 + 𝜔𝜔11) +

+2 ∙2 − 𝜇𝜇𝛼𝛼

(0 + 𝜔𝜔3) + 𝜔𝜔4 +2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 (𝜔𝜔10 + 𝜔𝜔12)

𝜔𝜔18 = 4�1 +2

1,96+

32∙

2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 �𝜔𝜔10 − 4 �1 +2 − 0,3

1,96�𝜔𝜔8 −

−4�1

1,96−

2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 � (0 + 𝜔𝜔11) + 2 ∙2 − 0,3

1,96(0 + 𝜔𝜔3) + 𝜔𝜔4

+2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 (𝜔𝜔10 + 𝜔𝜔12)

𝜔𝜔18 = 9,01096𝜔𝜔10 − 7,4694𝜔𝜔8 − 1,5097876𝜔𝜔11 + 1,7347𝜔𝜔3 + 𝜔𝜔4 + 0,13276𝜔𝜔12

Nyja 19:

𝜔𝜔19 = 4�1 +2𝛼𝛼

+32∙

2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 �𝜔𝜔11 − 4 �1 +2 − 𝜇𝜇𝛼𝛼

�𝜔𝜔3 − 4�1𝛼𝛼−

2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 � (𝜔𝜔10 + 𝜔𝜔12) +

+2 ∙2 − 𝜇𝜇𝛼𝛼

(𝜔𝜔8 + 𝜔𝜔7) + 𝜔𝜔1 +2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 (0 + 0)

𝜔𝜔19 = 4�1 +2

1,96+

32∙

2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 �𝜔𝜔11 − 4 �1 +2 − 0,3

1,96�𝜔𝜔3 −

−4�1

1,96−

2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 � (𝜔𝜔10 + 𝜔𝜔12) + 2 ∙2 − 0,3

1,96(𝜔𝜔8 + 𝜔𝜔7) +

+𝜔𝜔1 +2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 (0 + 0)

Mos e

kopjo

𝜔𝜔19 = 8,8782𝜔𝜔11 − 7,4694𝜔𝜔3 − 1,5097876𝜔𝜔10 − 1,5097876𝜔𝜔12 + 1,7347𝜔𝜔8 +

+1,7347𝜔𝜔7 + 𝜔𝜔1 + 0

Nyja 20:

𝜔𝜔20 = 4�1 +2𝛼𝛼

+32∙

2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 �𝜔𝜔12 − 4 �1 +2 − 𝜇𝜇𝛼𝛼

�𝜔𝜔7 − 4�1𝛼𝛼−

2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 � (0 + 𝜔𝜔11) +

+2 ∙2 − 𝜇𝜇𝛼𝛼

(0 + 𝜔𝜔3) + 𝜔𝜔5 +2𝜇𝜇 − 𝜇𝜇2

𝛼𝛼2 (𝜔𝜔10 − 𝜔𝜔12)

𝜔𝜔20 = 4�1 +2

1,96+

32∙

2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 �𝜔𝜔12 − 4 �1 +2 − 0,3

1,96�𝜔𝜔7 −

−4�1

1,96−

2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 � (0 + 𝜔𝜔11) + 2 ∙2 − 0,3

1,96(0 + 𝜔𝜔3) + 𝜔𝜔5

+2 ∙ 0,3 − 0,32

1,962 (𝜔𝜔10 −𝜔𝜔12)

𝜔𝜔20 = 8,74544𝜔𝜔12 − 7,4694𝜔𝜔7 − 1,5097876𝜔𝜔11 + 1,7347𝜔𝜔3 + 𝜔𝜔5 + 0,13276𝜔𝜔10

Mos e

kopjo

Mos e

kopjo

Pas shumëzimit të matricave me programin “Excel”, definitivisht fitohen uljet për çdo nyje të rrjetës së përvetësuar:

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝜔𝜔1𝜔𝜔2𝜔𝜔3𝜔𝜔4𝜔𝜔5𝜔𝜔6𝜔𝜔7𝜔𝜔8𝜔𝜔9𝜔𝜔10𝜔𝜔11𝜔𝜔12⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

=

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

0,0005315750,0003584630,0005926790,0002952310,0004292310,0002873140,0004838320,0003305470,0002040580,0003597320,0005891440,000464473⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞