resetke statika

REŠETKASTE KONSTRUKCIJE

Pretpostavke o konstrukciji: (1) sustav je sklopljen iz pravocrtnih štapova (2) štapovi sustava su prizmatični, konstantnog presjeka (3) međusobno su vezani u čvorove idealnim zglobovima (bez trenja) (4) opterećenja su zadana u smjeru osi štapa i u čvorovima sustava (5) materijal je idealno elastičan (6) vrijedi hipoteza malih pomaka i malih deformacija (7) ravnoteža se uspostavlja na idealnom (polaznom) stanju

Kinematička stabilnost i statička određenost Nužan uvjet kinematičke stabilnosti osnovni geometrijski nepromjenljiv lik sastavljen od štapova - trokut

7

6

9

5

6

7

4

1

2

3

2

3

1

4

5

8

10

11

formiranje rešetkastog diska Broj štapova nš koji je dovoljan da rešetkasti disk s brojem čvorova nč bude geometrijski nepromjenljiv:

3n22)3n(3n ččš −=⋅−+= Da bi rešetkasti disk postao nosač:

čš n2n =

Ispitivanje dovoljnog uvjeta kinematičke stabilnosti: - kinematičkim metodama (preko načina vezivanja: na elementaran način ili temeljem

baznog nepromjenljivog lika) - statičkim metodama

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Rešetkaste konstrukcije 58

Primjer: Ispitivanje geometrijske nepromjenljivosti metodom nultog opterećenja

A B

1

2 3

4

5 6

1 2

3

4 5

6

78 9

A B

1

2 3

4

S1 S2

S7

S2S1

S7

S5S4

S4 S5

S6

S6

S3

S3

S8

S8S9

S9

Sistem je neopterećen → 0B ,0A == pretpostavka: 0S7 ≠


Vrste rešetki

Naziv rešetke: - prema načinu vezivanja: konzolna, gredna, gredna s prepustima, trozglobna, lučna,

rešetkasti stup, itd. - ovisno o geometriji unutrašnjih štapova (ispune): V, N, K rešetka

štapovi gornjeg ruba - gornji pojas štapovi donjeg ruba - donji pojas

pojasevi: poligonalni i ravni (spec.) paralelni ako je štap ispune uspravan - uspravnica ili vertikala; ako je štap pod kutem - kosnik ili dijagonala

Konzolne N rešetke

V rešetka

K rešetka

Gerberova rešetka


METODE PRORAČUNA

• metoda čvorova • metode presjeka: metoda momentnih točaka (Ritterova metoda) i metoda projekcija • metoda zamjene štapova - analitički i grafički postupci. Izbor metode ovisi o cilju proračuna. Elementarna pravila koja vrijede općenito za rešetkaste nosače:

1. 2.

S1 = S = 0 2

S2S1

S1= − PS2

S1

P

S = 02

3. 4.

S3S1

S = 03

S2

S3S1

S2P

.

5.

S3S4

S = S1 3

S2S1

S = S2 4


Metode čvorova

a) Metoda čvor po čvor - grafička primjena

V2

1

2

3 5

4

6

7

8

9

10

12

11

V3V1

H1

H2

1

2

3

4

5

6

čvor 1

V1

H1

S1

S2

čvor 2

H2

S1S3

S4

čvor 3

V2S5

S2

S3

S6

čvor 4

S7

S4

S5

S8

čvor 5

V3

S10

S9

S6

S7

čvor 6

S8

S9

S11

S12 -- Maxwell-Cremonin plan sila

V2

a

c

d

e

f

g

h

i

b j

l

k

V3V1

H1

H2

1

2

3

4

5

6

plan silaMaxwell / Cremona

a

c

f

g

b

j

d

e

h

i

k

l


b) Metoda čvor po čvor - analitička primjena Primjer: Konzolna N rešetka

V2 V3

1

2 6 10

3 7 115 9

4 8 12

V1

H1

H2

1

2 4 6

3 5

α α α

S1

S2

S1 S5 S9

S4 S8 S12

S3 S7 S11

S2 S6 S10

S3 S7 S11S5 S9

S6 S10

S4 S8 S12 Jednadžbe ravnoteže:

α−=→=

−α−=→=

α−=→=

−α−=→=

α−=→=

−=→=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

sinSS0Y

VsinSS0Y

sinSS0Y

VsinSS0Y

sinSS0Y

VS0Y

9116č

i

3795č

i

574č

i

2353č

i

132č

i

111č

i

α−=→=

α+=→=

α−=→=

α+=→=

−α−=→=

−=→=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

cosSSS0X

cosSSS0X

cosSSS0X

cosSSS0X

HcosSS0X

HS0X

118126č

i

76105č

i

7484č

i

3263č

i

2342č

i

121č

i


Primjer: Gredna V rešetka

V1 V2BAy

α α α1

2 4 6

3 5S4

S8S4

S8

7

1

2 6 10

3 7

115 94 8

S2

S1S5 S9

S3S7

S11

S6 S10

S1

S2

S3

S5

S6

S7

S9

S10

S11

Prethodno se moraju odrediti reakcije.

Jednadžbe ravnoteže:

aiskorišten već0Y

SS0Y

sinVSS0Y

SS0Y

sinVSS0Y

SS0Y

sinAS0Y

7či

9116č

i

2895č

i

584č

i

1453č

i

142č

i

y11č

i

→=

−=→=

α+−=→=

−=→=

α+−=→=

−=→=

α−=→=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

aiskorišten već0X

aiskorišten već0X

cos)SS(SS0X

cos)SS(SS0X

cos)SS(SS0X

cos)SS(S0X

cosSS0X

7či

6či

986105č

i

85374č

i

54263č

i

4132č

i

121č

i

→=

→=

α−+=→=

α−+=→=

α−+=→=

α−=→=

α−=→=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=


c) Metoda ravnoteže svih čvorova odjednom

V2

1

2

3 5

4

6

7

8

9

10

12

11

V3V1

H1

H2

1

2

3

4

5

6 Sustav jednadžbi ravnoteže čvorova:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

−

−

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

α

α−

α

α−−α

α−

α

α−−α

α

0

0

V

0

0

0

V

0

0

H

V

H

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

010sin

100000000

1cos0010000000

00010sin000000

00100cos100000

0000010sin

10000

00001cos001000

000000010sin00

000000100cos10

00000000010sin

1

000000001cos00

000000000001

000000000010

3

2

2

1

1

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

U matričnom obliku: fDsfsD ⋅=→=⋅ −1

D - matrica koeficijenata koji su funkcije geometrijskog položaja štapova rešetke s - vektor nepoznatih sila u štapovima f - vektor opterećenja u čvorovima

Nužan i dovoljan uvjet kinematičke i statičke stabilnosti: 0det ≠D


Metode presjeka

a) Metoda presjeka - grafička primjena (Culmannova metoda) Primjer: Gredna poligonalna rešetka

AB

F2

Rd

R

RlF1G

t

t

K

D

c

F2

F1

RA

B

RlGcK

D

poligon sila

mjerilo sila1cm :: 1kN

ravnoteža čitave rešetke: 0BAFF 21 =+++

ravnoteža lijevog dijela: 0DKGFAc

1 =++++ 321

Primjer: 'K' rešetka

AB

F2

Rd

R

Rl

F1

Gt

tD

c

F2

F1

RA

B

Rl

Gc

K

D

poligon sila


K1

K2

K1

K2

21 KKK += ravnoteža lijevog dijela: 0DKGFA 1 =++++


b) Metoda presjeka - analitička primjena (Ritterova metoda) Primjer: Gredna poligonalna rešetka

AB

F2

Rd

R

RlF1

G

t

t

K

D

F2

F1

RA

B

Rl

poligon sila


RKrk RG

RD

rg

rd

dg

k

Uvjeti ravnoteže lijevog dijela rešetke:

0MGgRrGgM

0MKkRrKkM

0MDdRrDdM

0RgR

0RkR

0RdR

GG

KK

DD

=−⋅−=⋅−⋅−=

=−⋅=⋅−⋅=

=−⋅=⋅−⋅=

∑

∑

∑

l

l

l

Vrijednosti sila u presjeku t-t:

g

MR

gr

G

k

MR

kr

K

d

MR

dr

D

0Rg

0Rk

0Rd

G

K

D

−=⋅−=

=⋅=

=⋅=

l

l

l


Analitička metoda presjeka u slučaju paralelnih pojaseva

G

D

K

t

t

α

V V V V V V V 3.5 V3.5 V

RG

RD

g d

Sustav jednadžbi:

d

MD0M

0R

RD

D=→=∑

α=→=

−−∑ sin

TK0Ytt

tti -- uvjet ravnoteže projekcije sila u smjer

okomito na pojasne štapove

g

MG0M

0R

RG

G=→=∑

Metoda zamjene štapova - Hennebergova metoda

Primjer:

A B

1

2 3

4

1 2

3

4 5

6

78 9

A B

P

1

2 3

4

1 2

3

4 5

6

z

8 9

A B

P

X1

X1

zadani nosač zamjenjujući nosač


A B

1

2 3

z10

S 40

S50

S60

S 30

S80 S90

A B

4

P

z

1 2

3

4 5

6

8 9

P

B

A

A B

1

2 3

4

z1

1 2

3

4 5

6

8 9

1

1

A = B = 0

z11S 41

S51

S61

S 31

S81

S 91S11

S21

S81

S91

1

Sila u i-tom štapu zamjenjujuće rešetke:

11i)0(

ii XSSS +=

)0(iS - sila u štapu i izazvana vanjskim opterećenjem

1iS - sila u štapu i izazvana djelovanjem jedinične sile 1X1 =

Sila u zamjenskom štapu:

11

)0(1

11

111)0(

11

ZZ

X0Z

XZZZ

−=→=

+=


Rešetkasti nosači s paralelnim pojasevima

Primjer:

G3

λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 λ7 λ8

α1 α2

P1A

0

RG3

RD3

h

B0

P2 P3 P4 P5 P6 P7

G3g1 g2 g4 g5 g6 g7 g8

D3 D3

d1 d2 d4 d5 d6 d7 d8

K3K3

k1 k2 k4 k5 k6 k7 k8

V4

V4

v1 v2 v3 v5 v6 v7 v8 v9

1h M0

d1 d2 d3 d4

d5

d6 d7 d8

−g2 −g3 −g4 −g5 −g6 −g7

T0

V4 −K3

−

+

Sile u pojasnim štapovima:

0ii M

h1D ⋅+= ; 0

ii Mh1G ⋅−=

Sile u dijagonalnim štapovima: 0ii T

sin1K ⋅α

±=

Sile u štapovima vertikala: 0

1ii TV −±=


Rešetkasti nosači sa K - ispunom

G3

β

A0

RG3

RD3

B0

G3

g1

g2

g4

g5

g6

D3 D3d1 d2 d4 d5 d6

K3g

k1g

k2g

k4g

k5gk6g

v

v1g

V

v5g

I

I IIIII

IV

A B

rg3

k1dk2d

K3g

K3d

K3d

k4d k5d k6drd3

v1d

v2g

v2d

V

V

V3g

3d

3d

3g

v4g

v4d v5d

v6g

v6d

Rk3

KigV

Kid

ig

Vid

RKi

αig

αidi

Vig

Vid

αig

αid

Gi

Vig

β

β

p

Gi 1−

Ki 1− g

αi−1−β( )

igid

Di

Pid

Pig

Di 1−

VidKig

Kid

i

Ki 1− dα(i−1) d

rk3

Sile u štapovima donjeg i gornjeg pojasa za vertikalno opterećenje:

0i

dii M

r1D ⋅= ; 0

igi

i Mr1G ⋅−=

Sile u dijagonalnim štapovima

Ravnoteža čvora i: Kiidig RKK =+

idig

idigididigigiX K

coscos

K0cosKcosK:0S ⋅αα

−=⇒=α+α=∑ idiig KfK ⋅−=→

Rezultanta sila u dijagonalama istog polja:

)sinf(sinKR idiigiKi α+α= ; iiKiidig sinK2R α=⇒α=α

0i

kiKi M

r1R ⋅−=

Sile u štapovima vertikala

Ravnoteža čvora ig: igg)1i(g)1i(

igip PKcos

)(sinV:0S −⋅

β

β−α−== −

−∑

Ravnoteža čvora id : idd)1i(d)1i(idiY PsinKV:0S +α⋅== −−∑ Nosač s paralelnim pojasevima, α=αi : 0

iii Mh1GD ⋅=−= ; ; iidig KKK =−=

0ii T

sin21K ⋅α

−= ; ig0

1iig PT21V −= − ; id

01iid PT

21V +−= −


Rešetkasti nosači sa sekundarnom ispunom

P3P2P1A0

B0P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11

− osnovna rešetka

− sekundarne rešetke Sile u štapovima

− proračun sila u štapovima sekundarnih rešetki

− proračun sila u štapovima osnovne rešetke

P3P2P1

R1d

sekundarni nosač 1.

P7P6P5

R2d


P11P10P9


R2l R3l

l

l

3d28II

2d14I

RRPP

RRPP

++=

++=

A0B0

PI PII

Konačne veličine sila u štapovima: II

iIii SSS +=

IiS − sila u štapu i u osnovnom nosaču IIiS − sila u štapu i u sekundarnom nosaču


resetke statika

Documents