statika konstrukcija

SVEUILITE U ZAGREBU

GRAEVINSKI FAKULTET

TEOREM MLLER BRESLAUA ZAVRNI RAD

Studentica: Maja Mra

Mentor: prof. dr. sc. Kreimir Fresl, dipl. ing. gra.

Ak.god. 2010./11.

Zagreb, 13. rujna 2011.

1

Sadraj

1. Uvod 2

2. Definicija utjecajne funkcije i utjecajne linije 3

3. Primjena utjecajnih linija 5

3.1. Utjecaj jedne koncentrirane sile .................................................................... 5

3.2. Utjecaj niza koncentriranih sila ..................................................................... 5

3.3. Utjecaj distribuirane sile ................................................................................. 7

3.4. Utjecaj koncentriranog momenta .................................................................. 9

4. Iskaz teorema Mller Breslaua 10

5. Pomoni teoremi 10 5.1. Teorem o uzajamnosti radova (Betti) ................................................................. 10

5.2. Teorem o uzajamnosti pomaka (Maxwell) ....................................................... 12

5.3. Teorem o virtualnim pomacima za elastina tijela ............................................. 13 6. Varijante dokaza teorema Mller Breslaua 15

6.1. Dokaz pomou Bettijevog teorema ................................................................ 15 6.2. Dokaz pomou Maxwellovog teorema ........................................................... 17 6.3. Dokaz pomou virtualnog rada ...................................................................... 23

7. Primjena teorema crtanje utjecajnih linija 25

8. Zakljuak 41

Literatura 42

2

1. Uvod

U ovom emo radu obraditi teorem Heinricha Mu ller - Breslaua i njegovu primjenu pri odreivanju utjecajnih funkcija i utjecajnih linija na statiki neodreenim sistemima. Najprije emo objasniti pojmove utjecajne funkcije i utjecajne linije i prikazati njihovu primjenu, te iskazati sam teorem. Obradit emo i pomone teoreme: Bettijev teorem o uzajamnosti radova, Maxwellov teorem o uzajamnosti pomaka i teorem o virtualnim pomacima za elastina tijela, te provesti varijante dokaza teorema Mu ller - Breslaua pomou svakog od njih. Na kraju emo prikazati primjenu teorema na nekoliko primjera, pri emu e sistemi biti rijeeni metodom sila i metodom pomaka. Za crtanje utjecajnih linija primijenit emo Mohrovu analogiju.

3

2. Definicija utjecajne funkcije i utjecajne linje

Odreene konstrukcije, poput mostova, nadvonjaka, kranskih staza slue preuzimanju pokretnih optereenja kao to su cestovna vozila, vlakovi ili kranovi. Prilikom prorauna takvih konstrukcija nailazimo na odreene probleme. Kao prvo, odreivanje reakcija i unutarnjih sila za pokretna optereenja postupcima koji se primjenjuju za nepomina optereenja dosta je sloeno. Naime, promjenom poloaja optereenja mijenjaju se i vrijednosti statikih i drugih veliina u nosaima. Poseban problem nastaje ako se optereenja kreu velikim brzinama. Tada dolazi do ubrzanja dijelova nosaa, te se javljaju i inercijalne sile koje treba uzeti u obzir u proraunu. Uz pretpostavku da se optereenja kreu manjim brzinama, inercijalne je sile mogue zanemariti, jer su proporcijalne ubrzanjima. Upravo se pri takvim pokretnim optereenjima najvie koristimo utjecajnim linijama i utjecajnim funkcijama. Upotrebljavamo ih takoer i pri ostalim oblicima pokretnih optereenja kao i u provoenju prorauna za nepokretna optereenja ako ih ima vie vrsta.

Ve smo spomenuli da se prilikom promjene poloaja optereenja u nosau mijenjaju reakcije, unutranje sile i pomaci. Da bi odredili kako se te veliine mijenjaju, potrebno ih je izraunati vie puta, u razliitim karakteristinim poloajima optereenja. Proraun nosaa pomou utjecajnih linija brz je i jednostavan, ako moemo primijeniti princip superpozicije.

Utjecajne funkcije su u openitom obliku funkcije dviju varijabli, jedna varijabla je mjesto na nosau u kojem se eli odrediti neka veliina, a druga je poloaj jedininog optereenja. U praktinim proraunima se mjesto traene veliine unaprijed zadaje, te je stoga utjecajna funkcija funkcija jedne varijable, i to poloaja jedininog optereenja.

Neka na nosa djeluje jedinina sila u toki i neka je pri tom djelovanju vrijednost odreene sile ili pomaka h. Prema principu superpozicije e pri djelovanju sile vrijednosti

u vrijednost te veliine biti h, uz pretpostavku da promjena vrijednosti sile ne uzrokuje mijenjanje pravaca njezina djelovanja.

Utjecajna funkcija za statiku ili kinematiku veliinu u toki je funkcija poloaja jedinine sile koja pokazuje ovisnost veliine o poloaju jedinine sile na nosau. Utjecajna funkcija, dakle, svakom poloaju jedinine sile na nosau pridruuje vrijednost tom silom izazvane poopene sile ili poopenog pomaka u nekoj fiksnoj toki nosaa:

: x (x);

gdje je (x) vrijednost veliine u toki .

4

Utjecajna linija je grafiki prikaz utjecajne funkcije na linijskim nosaima, a utjecajna ploha predstavlja grafiki prikaz na plonim nosaima.

Utjecajna linija za neku veliinu je, prema tome, linija ije ordinate daju vrijednosti te veliine ako jedinina sila djeluje u tokama za koje oitavamo te ordinate.

Na statiki odreenim sistemima utjecajne su funkcije za statike veliine po dijelovima linearne funkcije ili konstante, pa su utjecajne linije uvijek sastavljene od dijelova pravaca, dok su kod statiki neodreenih sistema utjecajne funkcije nelinearne, a utjecajne linije, po dijelovima, krivulje. Utjecajne linije za (poopene) pomake su po dijelovima krivulje na svim sistemima.

Za odreivanje utjecajnih funkcija i utjecajnih linija neke statike veliine moemo primijeniti statiki ili kinematiki postupak.

U statikom postupku izraz za iznos traene veliine u toki u obliku funkcije poloaja izvodi se iz uvjeta ravnotee nosaa optereenog jedininom silom u po volji odabranoj toki . Kinematiki postupak temelji se na teoremu Mu ller - Breslaua. Kod statiki odreenih sistema postupak odreivanja utjecajne linije zasniva se na teoremu o virtualnim pomacima krutih tijela, pa utjecajnu liniju crtamo kao plan pomaka mehanizma nastalog raskidanjem veze koja u izvornom sistemu prenosi dotinu silu, ako zadamo jediniki pomak na mjestu i u smislu suprotnom od djelovanja te sile. Za statiki neodreen izvorni sistem, raskidanjem odgovarajue veze, dobivamo sistem koji je geometrijski nepromjenjiv, te crtamo njegovu progibnu liniju. Ovaj se postupak zasniva na teoremu o uzajamnosti radova, na teoremu o uzajamnosti pomaka ili na teoremu o virtualnim pomacima za deformabilna tijela.

5

3. Primjena utjecajnih linija

U nastavku emo detaljnije opisati kako se pomou utjecajnih funkcija ili utjecajnih linija mogu izraunati traene veliine za djelovanja raznih optereenja. Pretpostavit emo zasad da su nam utjecajna funkcija i utjecajna linija za traenu veliinu u toki poznate. Da bi primjena bila jednoznana moraju biti definirani koordinatni sustav i pretpostavljene pozitivne orijentacije optereenja i veliine .

3.1. Utjecaj jedne koncentrirane sile

Neka na nosa djeluje koncentrirana sila u toki i neka je vrijednost utjecajne linije u toj toki h = ). Tada e vrijednost veliine F u toki biti

= h. Za izraunavanje vrijednosti treba paziti da li je ta vrijednost pozitivna ili negativna. Ako predznak ordinate h ima isti smisao kao djelovanje sile , vrijednost e biti pozitivna (slika 1.a), a u suprotnom negativna (slika 1.b).

Slika 1.

3.2. Utjecaj niza koncentriranih sila

Neka na nosa djeluju koncentrirane sile niza = , , , u tokama u kojima su vrijednosti utjecajne funkcije h = ). Tada e ukupan utjecaj biti

, , =

h ;

pri emu treba uvaiti predznake vrijednosti h i orijentacije sila.

6

Slika 2.

U posebnom sluaju, kada je na dijelu nosaa na kojem djeluje niz koncentriranih sila , = 1, , , utjecajna linija dio pravca, moe se dokazati da je utjecaj tog niza sila jednak

utjecaju njihove rezultante, pa tada moemo pisati

= , gdje je = vrijednost rezultante R sila .

Slika 3.

Na temelju toga utjecaj se moe izraunati mnoenjem vrijednosti rezultante s ordinatom utjecajne linije umjesto da se odreuju ordinate ispod svake sile i zatim rezultat dobiva iz sume produkata svih sila s odgovarajuim ordinatama utjecajnih linija. Pri tome treba napomenuti da, ako je utjecajna linija sastavljena od nekoliko dijelova pravca, treba nai onoliko rezultanti koliko je i dijelova, jer jedna rezutanta moe zamijeniti samo one sile koje djeluju na istom pravastom segmentu.

7

3.3. Utjecaj distribuirane sile

Uzmimo da na nosa izmeu toaka i djeluje distribuirana sila ija je vrijednost opisana funkcijom q.

Ako optereenje q na odsjeku , zamijenimo infinitenzimalnom koncentriranom silom dQ ija je vrijednost dQ = s hvatitem u x, tada e utjecaj te sile biti

dQ = dQ = h = = q. Ukupni utjecaj distribuirane sile na dijelu , dobit emo integracijom:

q = q =

.

Slika 4.

Za sluaj kad je kontinuirana sila jednoliko raspodijeljena, = , bit e = A1,2,

gdje A1,2= predstavlja povrinu izmeu krivulje i koordinatne osi x na segmentu , . No ta povrina nije geometrijska veliina, njezina vrijednost, tj. vrijednost integrala moe biti i negativna (slika 5.).

8

Slika 5.

Zakljuujemo da se utjecaj jednoliko distribuiranog optereenja moe izraunati kao umnoak njegove vrijednosti i povrine izmeu utjecajne linije i koordinatne osi x na dijelu nosaa na kojem optreenje djeluje, vodei rauna o predznacima.

Za sluaj kada je pak utjecajna funkcija na dijelu nosaa na kojem djeluje distribuirana sila q linearna, utjecaj distribuirane sile jednak je utjecaju rezultante te sile (slika 6.) :

= , gdje je = vrijednost rezultante distribuirane sile q.

Slika 6.

Kao i kod raunanja utjecaja niza sila, moramo voditi rauna o tome je li utjecajna linija, na dijelu nosaa na kojem djeluje distribuirana sila, sastavljena od vie dijelova pravaca. Ako jest, za svaki takav segment treba izraunati rezultantu i utjecaje zbrojiti (slika7.:

= h h.

Slika 7.

9

3.4. Utjecaj koncentriranog momenta

Uzmimo zasad da je utjecajna linija linearna (slika 8.a). Koncentrirani moment M vrijednosti M, koji djeluje u toki , zamijenit emo spregom sila P i P vrijednosti P = P = M , gdje je njihova meusobna udaljenost. Utjecaj tog sprega e biti

P, P = M tg , gdje je orijentirani kut izmeu osi x i pravca utjecajne linije.

Slika 8. Kako je utjecajna funkcija u naem sluaju rastua, slijedi da je kut pozitivan.

Prema tome, za ravninu imamo da je pozitivan onaj kut iji je smisao jednak smislu vrtnje kazaljke na satu, dok neke veliine, poput momenta ili kuta zaokreta osi nosaa smatramo pozitivnim ako im je smisao suprotan smislu vrtnje kazaljke na satu, bez obzira u kojem se koordinatnom sustavu nalaze.

Kako izraz M tg ne ovisi o razmaku sila , moemo pisati: = M tg . (Negativan predznak u izrazu za posljedica je suprotnih smjerova vrtnje momenta M i kuta .) Moemo zakljuiti da za linearnu utjecajnu funkciju poloaj hvatita koncentriranog momenta ne utjee na vrijednost .

Ako je utjecajna funkcija nelinearna (slika 8.b), utjecaj je koncentriranog momenta

= , gdje je orijentirani kut nagiba tangente na utjecajnu liniju u hvatitu momenta M.

10

Kako se nagib tangente na krivulju utjecajne linije mijenja du osi nosaa, sada poloaj hvatita momenta utjee na vrijednost veliine .

4. Iskaz teorema Mller Breslaua

Teorem Mller Breslaua je temelj za kinematiki postupak odreivanja utjecajnih linija za statike veliine na statiki neodreenim sistemima. Kako su utjecajne funkcije za takve sisteme najee nelinearne funkcije, tako su i utjecajne linije najee sastavljene od dijelova krivulja. Prema tom teoremu utjecajna linija jednaka je progibnoj liniji nosaa zbog jedininog prisilnog pomaka na mjestu i u smislu suprotnom od statike veliine za koju traimo utjecajnu liniju.

5. Pomoni teoremi

5.1. Teorem o uzajamnosti radova (Bettijev teorem)

Promatramo prostu gredu na koju djeluju dva uravnoteena sustava sila, sistem sila I, Fk' (k=1,2,...,m), i sistem sila II, Fj'' (j=1,2,...,n).

F1' Fm

' Fk'

F1'' Fn

'' Fj''

vk'vj'

vj''vk''

I)

II)

Slika 9.

Pretpostavit emo da djelovanje jednog sistema sila ne ovisi o djelovanju drugoga sistema, tj. da vrijedi zakon superpozicije. Tako su pomak vk' na mjestu i u smjeru sile Fk' i pomak vj' na mjestu i u smjeru sile Fj'' nastali zbog zajednikog djelovanja sila sistema I, dok su pomak vj'' na mjestu i u smjeru sile Fj'' i pomak vk'' na mjestu i u smjeru sile Fk' nastali zbog zajednikog djelovanja svih sila sistema II.

11

Kada bismo na prostu gredu oba sistema sila nanosili istodobno, onda bi pomak na mjestu i u smjeru sile Fk' iznosio vk = vk' + vk'', a na mjestu i u smjeru sile Fj'' vj = vj'' + vj'.

Ukupan rad e u tom sluaju biti

= 12

12

.

Ako bismo pak na promatranu gredu prvo nanijeli sistem sila I, rad pri tome iznosi

= 12 .

A zatim na istu gredu nanosimo sistem II, rad sila sistema II iznosi

= 12

.

Rad koji obave sile sistema I na pomacima izazvanim silama sistema II bit e

, =

.

Konano, ukupan e rad u tom sluaju biti

Rv = , .

Ako zamijenimo redoslijed nanoenja sila, tako da gredu prvo opteretimo sistemom sila II, a potom sistemom I, ukupni e rad iznositi

Rv = , gdje je

, =

.

Budui da ukupan rad vanjskih sila ne ovisi o redoslijedu kojim sile nanosimo na tijelo, ove radove moemo izjednaiti, te e onda biti

=

.

12

Ova jednadba predstavlja Bettijev teorem o uzajamnosti radova koji glasi:

Rad sila prvog sustava na odgovarajuim pomacima koji su izazvani silama drugog sustava, jednak je radu sila drugog sustava na odgovarajuim pomacima izazvanim silama prvog sustava.

Ovaj teorem vrijedi za materijale koji se ponaaju po Hookeovom zakonu. Iz njega proizlaze teoremi: Maxwellov teorem o uzajamnosti pomaka, teorem o uzajamnosti reakcija i teorem o uzajamnosti reakcija i pomaka.

5.2. Teorem o uzajamnosti pomaka (Maxwellov teorem)

Promatramo prostu gredu u dva razliita ravnotena stanja. Sistem I ini sila F1 sa pripadnim leajnim reakcijama, a sistem II sila F2 s odgovarajuim leajnim reakcijama.

F1

F2''

v1' v2'

v2''v1''

I)

II)

Slika 10.

Za ova stanja optereenja prema Bettijevom teoremu o uzajamnosti radova, dobivamo sljedeu jednadbu :

= . Pomaci , odnosno mogu se izraziti pomou pomaka od jedininih sila, jer vrijedi princip superpozicije:

= d , = d ,

13

gdje su d - pomak na mjestu i u smjeru sile izazvan silom = 1, d - pomak na mjestu i u smjeru sile izazvan silom = 1. Uvrtavanjem ovih izraza u gornju jednadbu o uzajamnosti radova, dobivamo izraz

d = d , odakle je d = d . Ova relacija predstavlja Maxwellov teorem o uzajamnosti pomaka koji glasi:

Pomak na mjestu i u smjeru prve jedinine sile uzrokovan drugom jedininom silom, jednak je pomaku na mjestu i u smjeru druge jedinine sile izazvanom prvom jedininom silom. Ako su sile F1 i F2 jednake, slijedi da je

= . Za ovakav sluaj moemo Maxwellov teorem iskazati na sljedei nain:

Ako su sile prvog stanja jednake silama drugog stanja, onda je pomak na mjestu i u smjeru sile prvog stanja izazvan silom drugog stanja jednak pomaku na mjestu i u smjeru sile drugog stanja izazvanom silom prvog stanja.

3.3. Teorem o virtualnim pomacima za elastina tijela

U mehanici deformabilnih tijela virtualni su pomaci definirani kao zamiljeni dovoljno mali pomaci koji ne naruavaju neprekinutost tijela i leajne uvjete, odnosno, koji zadovoljavaju uvjete kompatibilnosti pomaka i koji su na leajevima jednaki nuli, neovisno o moguim zadanim prisilnim pomacima leajeva.

Teoremom o virtualnim pomacima izraavaju se uvjeti ravnotee deformabilnih tijela na indirektan nain, uz pretpostavku da se pri virtualnim pomacima ravnotene vrijednosti stvarnih sila ne mijenjaju i da pravci na kojima djeluju te sile ostaju paralelni s pravcima na kojima su djelovale sile prije pomicanja.

Konano, teorem o virtualnim pomacima za elastina tijela glasi:

Ako se elastino tijelo pod zadanim sistemom sila nalazi u ravnotei, tada je rad stvarnih vanjskih sila na virtualnim pomacima jednak radu stvarnih unutarnjih sila ili naprezanja na odgovarajuim virtualnim deformacijama.

14

A vrijedi i obrat:

Ako je rad stvarnih vanjskih sila na bilo kakvim virtualnim pomacima jednak radu stvarnih unutarnjih sila na odgovarajuim deformacijama, tada su vanjske i unutarnje sile u ravnotei. Kako se rad stvarnih sila na virtualnim pomacima naziva virtualnim radom, ovaj se teorem esto naziva i teoremom o virtualnom radu.

Teorem je formalna osnova za niz metoda, ponajvie numerikih, poput klasine Galerkinove metode i metode konanih elemenata u Galerkinovoj formulaciji.

Poopenje teorema, u kojem virtualni pomak u odabranoj toki ne mora zadovoljavati rubne uvjete i/ili uvjete neprekidnosti, osnova je metode jedininog pomaka koja se primjenjuje, primjerice, u odreivanju utjecajnih linija/funkcija te koeficijenata krutosti u metodi pomaka.

15

6. Varijante dokaza teorema Mller Breslaua

6.1. Dokaz pomou Bettijevog teorema

Valjanost postupka Mller Breslaua dokazat emo na primjeru utjecajne funkcije za reakciju B na srednjem leaju kontinuiranog nosaa preko dva raspona i pripadne utjecajne linije, uz primjenu Bettijevog teorema za uzajamnost radova u dva razliita ravnotena stanja.

a)

1

x

b)

1

? B

c)

d)1

e)

(x)

w(x)

Slika 11.

B(x)

x

16

Na slici 11.a) prikazano je prvo stanje u kojem promatramo na kontinuirani nosa na koji djeluje jedinina sila okomita na njegovu os u nekoj proizvoljno odabranoj toki x. Drugo je stanje prikazano na slici 11.d) u kojem je zadan prisilni jedinini pomak srednjeg leaja po pravcu okomitom na os nosaa.

Slika 11.b) prikazuje sve sile koje u prvom stanju djeluju na nosa. To su zadana jedinina sila u opem poloaju te uravnoteujue reaktivne sile. Progibna linija nosaa zbog djelovanja jedinine sile skicirana je na slici 11.c).

Da bismo primijenili Bettijev teorem, zamislit emo da te sile rade na pomacima drugog stanja (slika 11.d). U tom se stanju krajnji leaji ne pomiu, pa samo sila B(x) i jedinina sila obavljaju rad, i to na pravcima po kojima se odvijaju pomaci njihovih hvatita, a vrijednosti tih pomaka su 1 i w(x). Kako je smisao jedininog pomaka suprotan smislu djelovanja sile B(x), rad je sila prvog stanja na pomacima drugog stanja

B(x) 1 1 (x). Prema Bettijevu teoremu rad je sila prvog stanja na pomacima drugog jednak radu sila drugog stanja na pomacima prvoga.

U drugom se stanju zbog prisilnog jedininog pomaka javljuju samo reakcije (slika 11.e), a kako u prvom stanju nema pomaka leajeva, rad je sila drugog stanja na pomacima prvog stanja jednak nuli. Stoga iz Bettijeva teorema slijedi

B(x) 1 1 (x) = 0, pa je

B(x) = (x).

17

4.2. Dokaz pomou Maxwellovog teorema

Najprije emo prikazati statiki postupak odreivanja utjecajnih funkcija.

Na kontinuiranom nosau traimo utjecajnu liniju za prekobrojnu silu X1.

a)

P=1

x

b)? X

l

1

A B C

Slika 12.

Na nosa djeluje jedinina sila (P = 1) na udaljenosti x od leaja A. Sila se kree po nosau i potrebno je odrediti prekobrojnu silu kao funkciju poloaja jedinine sile.

Na slici 12.b) prikazan je osnovni sistem. Osnovna jednadba metode sila u ovom sluaju glasi

X = 0, iz ega slijedi da je

X = .

U gornjem izrazu je konstantna veliina, dok je promjenjiva i ovisi o poloaju jedinine sile na osnovnom sistemu.

Pretpostavit emo prvo da jedinina sila P = 1 djeluje u prvom polju nosaa, to znai da vrijedi 0 < x l/2.

Na slici 13. nacrtani su dijagrami na zadanom nosau za jedininu vrijednost prekobrojne sile i za silu P = 1 na proizvoljnom mjestu u prvom polju nosaa.

X1

18

a)

x

b)

1

1

l - x

2x3

x3

l4x

3

x(l-x)l

l6

x2

x2

l2

l2

l2 - x

Slika 13.

Iz gornjih dijagrama moemo nai izraze za i x:

= l4

l2

12

23

l4 2

1EI =

l48EI,

x = xl x

l x 12

x3

xl xl

l 2x2

12

23

x2

13

l4

x2 l 2x

2 12

13

x2

23

l4

x2

l2

12

23

l4

1EI

= x3l 4x48EI ,

to uvrteno u izraz za X daje

Xx =x3l 4x

l .

Kada bi jedinina sila P = 1 djelovala u drugom polju nosaa, momentni dijagram za jedininu silu bio bi zrcalna slika dijagrama sa slike 13.b), to je prikazano na slici 14.b).

19

a)

l - x

b)

1

1

x

2(l - x)3

l - x3

l4

x(l-x)l

l6

l - x2

l2

l2

l2x -

l2

l - x2

l - x3

Slika 14.

je konstantan, a x sada iznosi

x = l x

2 l2

12

l6

l x2

2x l2

12

13

l x2

23

l4

2x l2 xl x

l 12

23

l x2

13

l4

xl xl l x 12

l x3

1EI

= l xl 8lx 4x48EI ,

pa izraz za X u ovom sluaju glasi:

Xx =x ll 8lx 4x

l .

20

Konano, izraz

Xx =

x3l 4x

l za 0 l2 ,

x ll 8lx 4xl za

l2 ,

predstavlja jednadbu utjecajne linije za prekobrojnu silu X. Na slici 15. je nacrtana ta utjecajna linija.

1

A B C

l

Slika 15.

Sada emo prikazati kinematiki postupak odreivanja utjecajnih linija koristei teorem o uzajamnosti pomaka (Maxwellov teorem) koji za na primjer glasi:

Pomak na mjestu, pravcu i u smjeru sile u toki (1) zbog jedinine sile koja djeluje u toki (v) jednak je pomaku na mjestu, pravcu i u smjeru sile u toki (v) zbog djelovanja jedinine sile u toki (1), ili, iskazano jednadbom:

= . Ovo znai da jednadbu iz naeg primjera moemo napisati u sljedeem obliku

X = .

Kako je pomak na mjestu i u smjeru vanjskog djelovanja (znai u smjeru i na mjestu jedinine sile iji se poloaj mijenja) izazvan jedininom silom na mjestu i u smjeru prekobrojne sile X, to znai da emo utjecajnu liniju za prekobrojnu silu dobiti ako naemo progibnu liniju zbog jedinine sile u smjeru i na mjestu prekobrojne sile X i to podijelimo sa .

21

Tako smo problem nalaenja utjecajne linije sveli na traenje progibne linije, tj. linije pomaka u smjeru zadanog optereenja.

x

1

l/2 l/2

l4x2

l-x2

x

Slika 16.

Prema slici 16. izraz za moment u presjeku bit e

M =

x2 za 0 l2 ,

l x2 za

l2 .

Iz jednadbe progibne linije imamo (za x ) : wx = MEI =

x2EI ,

EIwx = x

4 C ,

EIwx = x

12 Cx C .

te za x >

wx = MEI =l x

2EI ,

EIwx = lx2 x4 C ,

EIwx = lx

4 x12 Cx C.

22

Rubni uvjeti za na nosa su:

w(x) = 0 za x= 0 i x=l.

A budui da je momenti dijagram, a tako i progibna linija simetrina u odnosu na l/2, tangenta u l/2 mora biti horizontalna, pa dodatni rubni uvjet glasi:

w ' (l/2) =0.

Iz rubnog uvjeta w(0)=0 dobivamo izravno da je C2 = 0.

Iz uvjeta w ' (l/2) =0 za x l/2 dobivamo da je C =

, , a za x>l/2 da je C3 = .

Na kraju iz w(l) =0 dobijemo C4 = -

.

Nakon uvrtavanja, dobivamo izraz za progib:

wx = =

x3l 4x48EI za 0

l2 ,

x ll 8lx 4x48EI za

l2 .

Isti smo izraz ranije dobili za , samo s razliitim predznakom. Predznak se mijenja jer su kod utjecajne linije ordinate pozitivne ako su suprotne djelovanju optereenja, a kod progiba je uzeto da su pomaci pozitivni ako su prema dolje.

Prema tome, jasno je da emo dobiti i isti izraz na X. Iz gornjeg slijedi:

Utjecajnu liniju na statiki neodreenom sistemu za neku statiku veliinu dobivamo kao reduciranu progibnu liniju izazvanu jedininom silom na mjestu i u smjeru veliine za koju traimo utjecajnu liniju pod uvjetom da smo raskinuli vezu koja prenosi tu silu. Dobivenu progibnu liniju treba podijeliti sa . Znai da je faktor redukcije 1 .

23

6.3. Dokaz pomou virtualnog rada

a)

1

x

b)

? B

c)

d)

1

(x)

w

M

K

w(x)

Slika 17.

Promatramo kontinuirani nosa preko dva raspona na koji u presjeku x djeluje jedinina sila (slika 17.a). Polje virtualnih pomaka w(x) je progibna linija nosaa izazvana jedininim pomakom srednjeg leaja (slika 17.b).

Kao to je ranije navedeno, prema teoremu o virtualnim pomacima za sistem u ravnotei mora rad stvarnih vanjskih sila na virtualnim pomacima biti jednak radu stvarnih unutarnjih sila na virtualnim deformacijama:

W = W. Vanjske sile koje rade na prikazanom sustavu su jedinina sila u x i reakcija B(x), pa je virtualni rad vanjskih sila

W = Bx 1 1 w(x), gdje je w(x) virtualni pomak hvatita jedinine sile.

Da bi iz tog izraza dobili Bx = wx, moramo dokazati da je W = 0.

B(x)

24

Prema Bernoulli-Eulerovoj teoriji zanemarujemo utjecaj poprenih sila, a kako u primjeru nema uzdunih sila, jedine unutranje sile koje vre rad su momenti savijanja M uzrokovani jedininom silom u presjeku x (slika 17.c). Momenti savijanja rade na promjenama kutova zaokreta osi nosaa (x).

Prema tome, ukupan je virtualni rad unutarnjih sila

W = Mx

xdx

gdje su x poopene virtualne deformacije. U stvarnom, ravnotenom stanju naeg kontinuiranog nosaa (slika 17.a) leaj u kojem djeluje reakcija B je nepomian; njegov je vertikalni pomak B jednak nuli. Taj pomak moemo izraunati provodei deformacijsku kontrolu, koja u fizikalnom smislu znai izraunavanje pomaka unaprijed poznatog iz geometrijskih rubnih uvjeta na konstrukciji.

Za osnovni sistem imamo da je:

a)

1

b)m

Slika 18.

Primjenom redukcijskog stavka dobivamo izraz za B:

B = Mxm x

EI

dx,

gdje je M(x) dijagram od vanjskog optereenja (slika 17.c), a m x dijagram od jedininog optereenja u smjeru traenog vertikalnog pomaka, prikazan na slici 18.b).

Na slici 17.d) prikazan je dijagram koji je prema Hookeovu zakonu jednak izrazu

x = M EI ,

gdje vrijednost Mx moemo izraziti uvoenjem nepoznanice , M x = m x .

25

Sada za unutarnji virtualni rad moemo pisati

W = MxM x

EI

dx ,

odnosno W = Mx

m x EI

dx .

Kako

Mxm xEI

dx

predstavlja izraz za pomak B, za koji znamo da je jednak nuli, dobivamo da je W = 0 = 0,

to smo i trebali dokazati.

7. Primjena teorema crtanje utjecajnih linija

Problem odreivanja utjecajne funkcije svodi se na problem odreivanja funkcijskog izraza za progibnu liniju. Drugim rijeima, treba rijeiti diferencijalnu jednadbu

wx = MXEI ,

gdje je M funkcija koja opisuje vrijednosti momenata savijanja izazvanih prisilnim jedininim pomakom u smislu suprotnom od pozitivnog smisla djelovanja sile za koju traimo utjecajnu funkciju.

Kako je funkcijski izraz w najee kompliciran i teko ga je izvesti analitikim rjeavanjem diferencijalnih jednadbi, u naim emo primjerima, nakon nalaenja momentnog dijagrama, odmah prei na crtanje progibne linije postupkom utemeljenim na Mohrovoj analogiji. Traene vrijednosti utjecajne funkcije tada oitavamo na utjecajnoj liniji, koja je, kao to smo dokazali, upravo ta progibna linija.

Za oitavanje vrijednosti moraju mjerila na crteu biti definirana.

Za primjenu Mohrove analogije gredu, kojoj leajni uvjeti ne trebaju biti definirani, optereujemo zamiljenom distribuiranom silom ije su vrijednosti zadane funkcijom

k(x) = MXEI .

Zakljunu liniju odreujemo zadovoljavanjem geometrijskih rubnih uvjeta na zadanom sistemu.

26

Primjer 1.

Traimo utjecajnu liniju za B. Momentni dijagram odredit emo metodom sila.

a)

b)

c)

d)

12 l l

EI 1,5 EI EI

l

X1 X2

m1

m2

e)M

43l

4l

4l 4

3l

10 l13 EI

10 l23 EI

2

2

Slika 19. Za osnovi sistem sa slike 19.b) jednadbe su neprekinutosti , +X , X , = 1, , +X , X , = 0. Kako na zadanom sistemu nema vanjskog optereenja, momentni dijagram od vanjskog optereenja je M 0=0, pa su , i , isto jednaki nuli. Uz dijagram m1 sa slike 19.c) dobivamo

, = mxEIx dx =

1EI

12

3l4 l

23

3l4

12

l4 l

23

l3

11,5EI 12

3l4 2l

23

3l4

13

l4

12

l4 2l

13

3l4

23

l4

= 41l

72EI.

27

Budui da su dijagrami m1 i m2 zrcalni, vrijedi , = ,. Jo nam ostaje da odredimo ,:

, = mxmx

EIx dx =

1EI

12

3l4 l

23

l4

12

l4 l

23

3l4

11,5EI 12

3l4 2l

23

l4

13

3l4

12

l4 2l

13

l4

23

3l4

= 31l

72EI.

Kada izraze za , , , i , uvrstimo u jednadbe neprekinutosti, za nepoznanice X1 i X2 dobivamo

X = 41EI10l i X =

31EI10l .

Konani momentni dijagram je oblika M = X1m1 + X2m2, i prikazan je na slici 19.e).

Crtamo utjecajnu liniju za B Mjerilo duljina:

1 [cm] :: l/k [m], k=2 l/k = m, m = l/2

Kutovi izmeu tangenata:

F =23

10l 12 l =

2320l m

F =23

15l 12

23l18 =

529540l m

F =13

15l 12

13l18 =

169540l m

F =13

10l 12 l =

1320l m

28

/

/

//

/

/

/ /

a)

b)

c)

d)

EI 1,5 EI EI

K

M10 l13 EI

10 l23 EI

2

2

10 l13

10 l23

2

2 15 l23

2

15 l13

2

O1

O4

O2

O3

O1

O2

O3

O4

0

14

H

32

0 1

2

3

4

e)

Slika 20.

Mjerilo kutova:1 [cm] :: [m]

Duljine kutova u poligonu kutova na crteu:

F * = 2,30cm F* = 1,96cm F * = 0,63cm F* = 1,30cm Polna udaljenost:

H = [m] H = 3 [cm]

= H = , = 1

B(x)

29

Mt-t(x)

1,2 2,1

Progibna linija dobivena pomou program DiM:

Slika 21.

Primjer 2.

Za isti emo nosa traiti utjecajnu liniju za M.

Ovaj put emo momenti dijagram odrediti inenjerskom metodom pomaka i time pokazati primjenu teorema u metodi pomaka.

a)

b)

c)

2 l l

EI 1,5 EI EI

l

tt3l/4

1

1 2 3 4

Slika 22.

Koeficijenti krutosti:

k = k =EIl

k =1,5EI

2l =3EI4l

30

Kutovi zaokreta:

= l/4

l = 14

=3l/4

l =34

Momenti upetosti:

M = 3 k = 3 EIl

34 =

9EI4l

M =M = M = 0 Izrazi za momente na krajevima tapova:

M = 3 k M = 3 EIl

9EI4l

M = 4 k 2 k = 4 3EI4l 2

3EI4l

M = 2 k 4 k = 2 3EI4l 4

3EI4l

M = 3 k = 3 EIl

Jednadba ravnotee momenata u voru 2:

M M = 0 tj. M M = 0

3 EIl 9EI4l 4

3EI4l 2

3EI4l = 0


M M = 0

2 3EI4l 4 3EI4l 3

EIl = 0

Iz ravnotee vora 2 i 3 dobivamo dvije jednadbe s dvije nepoznanice :

6EIl 9EI4l

3EI2l = 0

3EI2l

6EIl = 0

31

Rjeavanjem sustava dobivamo da je

= 0,4 , = 0,1. Dobivamo konane vrijednosti momenata:

M = 1,05 EIl

M = 1,05 EIl

M = 0,30 EIl

M = 0,30 EIl

Crtanje utjecajne linije za M

Mjerilo duljina:

1 [cm] :: l/k [m], k=2 l/k = m, m = l/2


F = 1m

F =0,788

l 12

3l4 = 0,295m

F = 0,788

l 1,05

l l2

l4 = 0,229m

F =1,40,9 l

12

0,70l = 0,544m

F =0,40,9 l

12

0,2l = 0,044m

F =0,30

l 12 l = 0,15m

32

a)

b)

c)

d)

EI 1,5 EI EI

K

M lEI

O1

O5

He)

tt

1,05 lEI0,30

l1,05

l0,30 l

0,20

l0,70

O3

O4

O0

O2

O1

O0

O2

O3

O4O5

1

0

2

3

45

6

0

1 23

4

5

6

Slika 23.

Mjerilo kutova:1 [cm] :: 0,20 [m] F * = 5cm F * = 1,48cm F* = 1,15cm F * = 2,72cm F* = 0,22cm F* = 0,75cm

33

2,3

2,3

polna udaljenost:

H = 0,6 [ ] = 3 [cm]

Progibna linija dobivena pomou programa Dim:

Slika 24.

Primjer 3.

Sad emo za na nosa nai utjecajnu liniju za . Momentni dijagram emo odrediti inenjerskom metodom pomaka.

a)

b)1

1 2 3 4tt

2 l l

EI 1,5 EI EI

l

t

l1,5l

Slika 25.

Kinematiki postupak:

34

Koeficijenti krutosti:

k = k =EIl

k =1,5EI

2l =3EI4l

Momenti upetosti:

M = M = 6 k = 6 3EI4l

12l =

9EI4l

Izrazi za momente na krajevima tapova:

M = 3 k = 3 EIl

M = 4 k 2 k M = 4 3EI4l 2

3EI4l

9EI4l

M = 2 k 4 k M = 2 3EI4l 4

3EI4l

9EI4l

M = 3 k = 3 EIl


M M = 0 tj. M M = 0

3 EIl 4 3EI4l 2

3EI4l

9EI4l = 0


M M = 0

2 3EI4l 4 3EI4l

9EI4l 3

EIl = 0


6EIl 3EI2l

9EIl = 0

3EI2l

6EIl

9EIl = 0

Rjeavanjem sustava dobivamo da je

= 0,3/l , = 0,3/l.

35

Dobivamo konane vrijednosti momenata:

M = 0,9 EIl

M = 0,9 EIl

M = 0,9 EIl

M = 0,9 EIl

Crtamo utjecajnu liniju za T

Mjerilo duljina:

1 [cm] :: l/k [m], k=2 l/k = m, m = l/2


F =0,9l

12 l =

0,45l m

F =0,6l

12 l =

0,30l m

F =0,3l

12 0,5l =

0,075l m

F =0,3 0,6

l 12 0,5l =

0,225l m

F =0,9l

12 l =

0,45l m

Mjerilo kutova:1 [cm] :: 0,20/l [m] F * = 2,25cm F* = 1,5cm F * = 0,375 cm F* = 1,125cm F* = 2,25cm

36

a)

b)

c)

d)

EI 1,5 EI EI

K

M

H

e)

tt

lEI0,9

l0,9

l0,9

0,5

2

2

2 l0,6

2

O3

lEI0,9 2

l0,6

2

O1 O2

O4 O5

l0,3

2

O1

O2

O5

O4

O3

1,4

23

0

1

23

3 4

5

Slika 26.

polna udaljenost:

H = 0,6/l [m] H = 3 [cm]

= H =

=

=

=

= 3,33 cm

37

2

M(x)

Primjer 4. I na kraju emo za na nosa utjecajnu liniju za M nad drugim leajem. Za odreivanje momentnog dijagrama koristimo se inenjerskom metodom pomaka.

a)

b)

2 l l

EI 1,5 EI EI

l

1

1 2 3 4

Slika 27.

Kutovi zaokreta:

= 1 Momenti upetosti:

M = 3 k = 3 EIl 1 =

3EIl

M =M = M = 0 Izrazi za momente na krajevima tapova:

M = 3 k M = 3 EIl

3EIl

M = 4 k 2 k = 4 3EI4l 2

3EI4l

M = 2 k 4 k = 2 3EI4l 4

3EI4l

M = 3 k = 3 EIl


38

M M = 0 tj. M M = 0

3 EIl 3EI

l 4 3EI4l 2

3EI4l = 0


M M = 0

2 3EI4l 4 3EI4l 3

EIl = 0


6EIl 3EI

l 3EI2l = 0

3EI2l

6EIl = 0

Rjeavanjem sustava dobijemo da je

= 0,53 , = 0,13. Dobivamo konane vrijednosti momenata:

M = 1,40 EIl

M = 1,40 EIl

M = 0,40 EIl

M = 0,40 EIl

Crtamo utjecajnu liniju za M

Mjerilo duljina:

1 [cm] :: l/k [m], k=2 l/k = m, m = l/2

39

a)

b)

c)

d)

EI 1,5 EI EI

K

M lEI

O1

O4

He)

1,4 lEI0,4

l1,4

l0,415 l

4

15 l14

O2

O3

O0

O1

O0

O2

O3

O4

1

0

2

34

5

0 1 2 3

4 5

Slika 28.


F = 1m

F =1,4

l 12 l = 0,70m

F =1,40,9 l

12

1415l = 0,726m

F =0,40,9 l

12

415l = 0,059m

F =0,40

l 12 l = 0,20m

40

Mjerilo kutova:1 [cm] :: 0,20 [m] F * = 5cm F * = 3,50cm F* = 3,63cm F * = 0,30 cm F* = 1cm polna udaljenost:

H = 0,6 [m] H = 3 [cm]

= H =

=

Progibna linija na sistemu sa zglobom iznad drugog leaja, optereenim parom momenata, dobivena pomou program DiM:

Slika 29.

41

8. Zakljuak

Tema ovog rada je teorem Heinricha Mu ller-Breslaua, koji je temelj za kinematiki postupak odreivanja utjecajnih linija za statike veliine na statiki neodreenim sistemima. U radu smo iskazali teorem i njegovu valjanost dokazali pomou Bettijeva teorema o uzajamnosti radova, pomou Maxwellovog teorema o uzajamnosti pomaka te pomou teorema o virtualnim pomacima za elastina tijela. Na kraju smo rijeili nekoliko primjera primjenom metode sila i metode pomaka te nacrtali utjecajne linije.

42

Literatura

1 V. imi : Otpornost materijala II, kolska knjiga, Zagreb, 1995. 2 K. Fresl: Graevna statika 1.: biljeke i skice s predavanja,

http://www.grad.hr/nastava/gs/bilj1/index.html

3 K. Fresl: Graevna statika 2.: biljeke i skice s predavanja, http://www.grad.hr/nastava/gs/bilj2/index.html

statika konstrukcija

Documents