matriČna analiza konstrukcija · statika konstrukcija 2. zbirka zadataka sa izvodima iz teorije,...

Matrična analiza konstrukcija 1

MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA-Informacije o predmetu-

školska godina 2019/20.

MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA


FOND ČASOVA: 4+2

NASTAVNICI Dr Marija Nefovska-Danilović, vanredni profesorKABINET 145

Dr Miroslav Marjanović, docent

KABINET 144

PREDAVANJA SREDA 12:15-14h SALA 225

ČETVRTAK 10:15-12h SALA 113



ASISTENTI Miloš Jočković KABINET 333

Emilija Damnjanović KABINET 333

VEŽBE UTORAK 8:15-10h SALA 316 (I GRUPA)*

10:15-12h SALA 110 (II GRUPA)

12:15-14h SALA 329 (III GRUPA)

* PODELA NA GRUPE ĆE BITI ISTAKNUTA NA TABLI ISPRED KABINETA 145

Uslov za pohađanje nastave


Studenti mogu pohađati nastavu ako su ostvarili potpisiz STATIKE KONSTRUKCIJA.



Obaveze studenata Prisustvovanje predavanjima

Prisustvovanje vežbama

Overen elaborat

Uslov za potpis Prisustvo na 50% časova predavanja Prisustvo na 80% časova vežbanja Ocena veća od 6 na elaboratu i testovima



Studenti rade ukupno 3 GRAFIČKA RADA i 3 TESTA.Svaki od grafičkih radova se u zakazanom terminupredaje asistentu na pregled i ocenu. Stečeno znanje seproverava na testu. Ocena na jednom grafičkom radu jejednaka prosečnoj oceni iz zadatka i testa. Ocena naelaboratu je jednaka prosečnoj oceni za sva 3 grafičkarada.

Ocena na elaboratu se dodaje broju bodova kojestudent ostvari na pismenom ispitu. Ova olakšica važijednu školsku godinu, tj. od juna 2020. do oktobra2021.

ELABORAT


Student se može osloboditi usmenog dela ispita akopoloži 2 kolokvijuma (više od 50% poena). Kolokvijumi sepolažu prema sledećem rasporedu:

I kolokvijum – 8. nedelja nastaveII kolokvijum – Kolokvijumska nedelja

Kolokvijum je u vidu testa, koji se sastoji od 25kombinovanih pitanja (izvođenje, zaokruživanje,dopunjavanje...). Radi se 2 časa.

Oslobađanje od usmenog dela ispita važi jednu godinu(od juna tekuće godine do oktobra naredne godine).Nakon tog roka polaže se ceo ispit.

OSLOBAĐANJE USMENOG DELA ISPITA


M. Sekulović: Teorija linijskih nosača, GK

M.Petronijević, M. Nefovska-Danilović:

Statika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa izvodima iz teorije,

GF, 2007.

M. Sekulović, M. Petronijević: Statika konstrukcija 2: Zbirka

rešenih ispitnih zadataka, GF

R. Salatić, S. Živanović: Zbirka zadataka iz stabilnosti i

dinamike konstrukcija, GF

Web site Fakulteta/predmeta www.grf.bg.ac.rs

LITERATURA


1. UVOD

• MAK- istorijat i osnove

• Rekapitulacija osnovnih jednačina klasične statikeravnih linijskih nosača


Matrična analiza konstrukcija

Statika ravnih i prostornih linijskih nosača

Stabilnost ravnih linijskih nosača

Linijski nosači

Statički određeni Statički neodređeni


prema pristupu

Metode analize

linijskih nosača

Metode klasične statike

konstrukcija

Matrična analiza

konstrukcija


Metode analize

Metoda sila Metoda deformacije


prema izboru nepoznatih


Klasična statika konstrukcija

(od Isaac Newton-a 1666.)

Analizira se nosač u celini, kao sistem povezanih štapova,

Utvrđuje se statička odnosno deformacijska neodređenost nosača,

Usvaja se metoda za rešavanje,

Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih (uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine i sile u presecima nosača.


Štap je osnovni element nosača, Nosač se posmatra kao skup međusobno povezanih

štapova, Za nepoznate veličine biraju se parametri (pomeranja

ili sile) u čvorovima nosača, Na osnovu teorije štapa uspostavljaju se veze između

vektora sila i vektora pomeranja na krajevima štapa u matričnom obliku,

Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih(uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine isile u presecima nosača.

1.1. Matrična analiza konstrukcija

Istorijski razvoj


1930 Matrična analiza je prvi put primenjena u rešavanjuproblema aeroelastičnosti, Collar i Duncan,avio-industrija, GB

1934 Prva knjiga Collar, Duncan i Frazer

1955 Argyris, Metoda sila i metoda deformacije

1959 Tyrner, Direct Stiffness Method

1964 Wilson, Metoda konačnih elemenata (MKE)


Od 1964 Gallagher,

Irons,

Martin,

Clough,

Zienkiewicz

• 1977 Sekulović

Matrična analiza - Metoda deformacije


Od 1960-te godine sa ekspanzijom računara, MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi linijskih nosača.

Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti). Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapa.

Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA, mnogo opštija metoda, koja se primenjuje u statičkoj i dinamičkoj analizi složenih konstrukcija.

1.2 Osnove matrične analize


1.2 Osnove matrične analize

KonstrukcijaMatematički

model

Rešenje

diskretnog modela

IDEALIZACIJA DISKRETIZACIJA

Diskretan model

REŠENJE

Idealizacija – krovna rešetka


DISKRETIZACIJA IDEALIZACIJA

element

oslonac

čvor

Konstrukcija

Matematički model

Slika je preuzeta i prilagođena iz on line book, Carlos Felippa: Introduction to FEM, http://bib.tiera.ru/DVD-

013/Felippa_C.A._Introduction_to_finite_element_methods_(2001)(en)(489s).pdf

Primer – čelična hala


2D idealizacija



Diskretizacija

Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od diskretnih elemenata – štapova koji su povezani u čvorovima nosača

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

ČVOROVI

ŠTAPOVI

Broj čvorova 10

Broj štapova 9

4 54

8 9

3 41 2 5 6 7

Y

X


Izbor nepoznatih

Nepoznate veličine su parametri u čvorovima nosača.

Metoda sila Metoda deformacije

Matrična analiza - Metoda deformacije


• Parametri: komponente pomeranja u, v

i obrtanja čvorova nosača.

Analize


Postoje 2 nivoa analize: analiza štapa i analiza sistema štapova,

Analiza štapa: uspostavljaju se veze između sila i pomeranja na krajevima štapa-osnovna relacija MAK.

Analiza strukture (sistema) štapova: formiraju sejednačine sistema za određivanje nepoznatih pomeranja(uslovne jednačine) nosača. One predstavljaju usloveravnoteže čvorova sistema.

Matrična analiza konstrukcija

1

2

3

4

5

6

i

i

i

k

k

k

R N

R T

R M

R N

R T

R M

= =

R

=

=

k

k

k

i

i

i

v

u

v

u

q

q

q

q

q

q

6

5

4

3

2

1

q

Vektor pomeranja Vektor sila

j j j j= −R K q Q

Matrica krutosti štapa

Osnovna jednačina štapa j

P: Važi linearna teorija štapax,y, z –lokalni koordinatni sistem

Vektor ekvivalentnog opterećenja

4

2

6 x

p(x)

1

35

E, A, I, l

y

Analiza štapa


Ukupan broj deformacijski nepoznatih

veličina nosača:

2K-zo+m

Analiza sistema štapova

Nepoznate veličine u metodi deformacije:

Komponente pomeranja čvorova: ui, vi

Uglovi obrtanja čvorova u kojima postoji bar 1 krut ugao: φi


1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

X

Y

X,Y, Z - globalni koordinatni sistem

Deformacijske nepoznate su pomeranja i obrtanja u slobodnim

(neoslonjenim) čvorovima.

Analiza sistema štapova

poznata pomeranja

nepoznata pomeranja

Z

Jednačine iz kojih određujemo nepoznata pomeranja:

uslovi ravnoteže čvorova nosača


2K0

0

0

X

Y

M

=

=

=

m1jR

2jR

Pi,x

Mi Pi,y

i

k

αik

X

3jR

Y

j j j j= −R K q Q* * *=K q S

* * *=K q S


DISKRETNI SISTEM

REŠENJE

*q jR,

VEKTOR POMERANJA

VEKTOR SILA NA

KRAJEVIMA ŠTAPOVA

Uslovne jednačine


Formiranje matrica krutosti pojedinih elemenata,

Formiranje matrice krutosti sistema,

Formiranje vektora slobodnih članova,

Određivanje pomeranja čvorova rešavanjem sistema uslovnih jednačina,

Sračunavanje sila u štapovima nosača.

Postupak analize:

Osnove matrične analize metodom deformacije


Primena principa superpozicije

dati nosač

Qe+

ekvivalentni nosač

Qe - ekvivalentno opterećenje

=

deformacijski

određen sistem

datog nosača


Direktna

Princip o min. potencijalne energije

Metode analize:

1.3 Linearna teorija štapa -

rekapitulacija


NEPOZNATE:

sile u presecima:

M, N i T

pomeranja i obrtanja:

u, v i φ

deformacije:

ε, κ i φt


rekapitulacija


JEDNAČINE:

uslovi ravnoteže elementa štapa,

veze između pomeranja i deformacije elementa štapa ,

veze između sila u presecima i

deformacije (Hooke-ov zakon)


rekapitulacija


Osnovne pretpostavke:

P1. Pretpostavka o malim pomeranjima (pretpostavka o statičkoj linearnosti)

P2. Pretpostavka o malim deformacijama

(pretpostavka o geometrijskoj linearnosti )

P3. Hookov zakon

(pretpostavka o fizičkoj linearnost )

Uslovi ravnoteže štapa


P1. Uslove ravnoteže posmatramo na nedeformisanom štapu.

Posledica: Uslovi ravnoteže štapa su linearne jednačine.

0

0

0

t

n

dN p ds

dT p ds

dM Tds

+ =

+ =

− =ds

C'

C

pndsptds

X

Y

M

N

T

M+dM

N+dN

T+dT

(I)

Geometrijske veze


Veze između pomeranja i deformacije štapa se izvode geometrijskim razmatranjem.

Posledica P2 je da su te veze linearne.

u+duds

CC1

X

Y

φ

(1+ε)ds

α

φ

v v+dv

uC'

C1

'

dx+du

dy+dv

dx

α dy

( )t

du dx dy

dv dy dx

d

ds

= −

= +

−= −

(II)

Klizanje poprečnog preseka t

t - klizanje poprečnog

preseka

Pomeranja ekvidistantnog

elementa

u(y)=u-y(φ-φt)

v(y)=v


X

Y

φ

O

O'

Tehnička teorija

savijanja štapa

Timošenkov

štap

φt

osa štapa

v

v(y)

u

u(y)

C'(y)

C'

φ-φt

φ

y

C

C(y)

Promena krivine


( )1 td

ds

−= = −

X

Y

φ

C1

ds

C1yCy

Cy

φ

(1+ε)ds

O'

O''

ρ''dφ

φt

φt+dφt

y

φ-φt

ρ'

(1+εy )ds

yy +=)(

Veze sila i deformacije

Posledica P3: Veze između sila u preseku, temperature i deformacijskih veličina štapa su linearne.


o

t

Nt

EF = +

t

M t

EI h

= +

t

Tk

GF =

(III)

Raspodela temperature:

y

O x

to

tu

toh

t(y)

t

Jednačine štapa:


Jednačine: 6 diferencijalnih (I i II) i 3 algebarske (III)

0

0

0

t

n

dN p ds

dT p ds

dM Tds

+ =

+ =

− =

(I)

( )t

du dx dy

dv dy dx

d

ds

= −

= +

−= −

(II) t

M t

EI h

= +

o

t

Nt

EF = +

t

Tk

GF =

(III)

Nepoznate veličine štapa:


Nepoznate: sile u presecima: M, N i T

pomeranja i obrtanja ose: u, v i φ

deformacije: ε, κ i φt

Ukupan broj nepoznatih je 9.

Ako iz jednačina (III) ε, κ i φt iskažemo u funkciji od M,N i T i zamenimo u jednačine (II) dobija se sistem od 6 dif. jednačina sa 6 nepoznatih.

Nepoznate i jednačine štapa:


6 nepoznatih veličina: M, N, T, u, v i φ

6 diferencijalnih jednačina I i II

Sistem je moguće rešiti ako znamo još i 6 integracionih konstanti – 6 graničnih uslova štapa.

Granični uslovi štapa


Ni

Mi

Ti

Mk

Tk

Nk

granični uslovi po silama granični uslovi po pomeranjima

Mogući granični uslovi: max3 po silama, min 3 po pomeranjima

i k

φi

vi vk

uiuk

φk

6 graničnih uslova po pomeranjima

Ako su svih 6 graničnih uslova štapa zadati po pomeranjima, reč je o metodi deformacije.


q3

q2 q5

q1q4

q6

x

y

matriČna analiza konstrukcija · statika konstrukcija 2. zbirka zadataka sa izvodima iz teorije,...

Documents