FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA

Ujian Tengah Semester : Kalkulus LanjutDepartemen : Sipil dan LingkunganPelaksanaan : Rabu, 1 April 2009Waktu : 120 menitSifat Ujian : Tutup Buku, Tanpa KalkulatorDosen Pengampu : 1. Drs. Frederik M.Poyk, M.Kom

2. Dra. Naniek Andiani, M.Kom

Soal 1.

Untuk barisan

Tentukan berapa

Soal 2.

Tentukan ke konvergenan deret:

Soal 3.

Tentukan interval konvergensi deret:

Soal 4.

Selesaikan persamaan diferensial

(2y –ex) dx + x dy = 0

Soal 5. Selesaikan persamaan diferensial

y’’+ 2 y’ + y = x-2 e-x

Kunci Jawaban

Jawab soal 1 (Salah satu cara)

Karena konvergen maka untuk n sangat besar

Jawab soal 2

Deret adalah deret ukur dengan r =

Sn = < 1

Jadi deret konvergen

Jawab soal 3

Deret konvergen untuk < 1, Interval: -2 < x < 2

Untuk x = 2 deret menjadi konvergen

Untuk x = -2 deret menjadi konvergen absolut

Jadi Interval konvergensinya adalah: -2 ≤ x ≤ 2

Jawab soal 4

(2y –ex) dx + x dy = 0

x. dy/dx + 2y = ex

y’ + 2/x y = ex/x (bentuk y’ + P(x) y = Q(x) )

Faktor integrasi

Jawab soal 5 (salah satu cara)

y”+2y’+ y =x-2e-x

Solusi Homogen yh = C1 ex + C2 x ex

Solusi partikulir yp= A ln x e-x yp= A ln x e-x

2yp’= 2(A x-1 e-x - A ln x e-x)

yp”= A x-2 e-x - 2A x-1 e-x + A ln x e-x

Substitusi ke dalam persamaan diferensial yp”+2 yp’+ yp = x-2e-x diperoleh

(A x-2 e-x - 2A x-1 e-x + A ln x e-x) + 2(A x-1 e-x - A ln x e-x) + A ln x e-x = x-2e-x

3A x-2 e-x = x-2e-x

3A = 1 atau A = ⅓

yp= ⅓ ln x e-x

Solusi Umum adalah

y(x) = yh+yp = C1 ex + C2 x ex + ⅓ ln x e-x