skripta iz topologije

UNIVERZITET U TUZLIPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

N.O. E.D.

Uvod u topologiju

- Skripta -

Tuzla, 2007

Sadrzaj

1 Uvod 11.1 Skupovi, relacije i preslikavanja . . . . . . . . . . . . . 2

2 Topoloski prostori 92.1 Topologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Okoline, otvoreni, zatvoreni i otvoreno-zatvoreni skupovi 132.3 Zatvorenje, unutrasnjost, tacka gomilanja, spoljasnjost

i rub skupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Euklidska topologija na R . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Baze i podbaze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 Prvi i drugi aksiom prebrojivosti . . . . . . . . . . . . . 362.7 Relativna topologija i topoloski potprostor . . . . . . . 412.8 Koneksnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Neprekidna preslikavanja 503.1 Neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.2 Neprekidnost i povezanost . . . . . . . . . . . . . . . . 553.3 Homeomorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Metricki prostori 654.1 Definicija i osobine metrickih prostora . . . . . . . . . 65

5 Produkt i kvocijent prostori 795.1 Produkt prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.2 Kolicnicki (kvocijent) prostori . . . . . . . . . . . . . . 85

6 Aksiomi separacije 906.1 T0 i T1 prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.2 T2 prostori (Hausdorffovi prostori) . . . . . . . . . . . . 936.3 T3 prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.4 T4 prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

i

Sadrzaj

6.5 T3 12

prostori (Prostori Tihonova) . . . . . . . . . . . . . 100

7 Kompaktnost 1057.1 Kompaktnost prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

ii

Glava 1

Uvod

Pojam topoloskog prostora razvio se kao apstrakcija nekih vaznihosobina realnih brojeva. Skup realnih brojeva posjeduje dvije vrstesvojstava: algebarska ili odredjenije receno svojstva polja i svo-jstva koja poticu iz pojma udaljenosti i pojma granicne vrijednosti.Ova posljednja, takozvana topoloska svojstva realne linije, dovelasu do koncepta nekih apstraktnih prostora sa odgovarajucim svo-jstvima, naime: pojam metricog prostora, jos opcenitijeg od pojmatopoloskog prostora. Negdje pocetkom dvadesetog vijeka Frechet jeprvi uveo koncept apstraktnih prostora, a pojam topoloskog pros-tora razvio se u toku slijedecih godina. U modernoj matematicimalo je disciplina koje se mogu studirati bez poznavanja standard-nih apstraktnih prostora koji su predmet proucavanja Topologije iFunkcionalne analize.Jedino predznanje potrebno za ovaj kurs je poznavanje realnihbrojeva i nekih osnovnih rezultata iz Teorije skupova kao i, citi-rajuci Kellyja, znatna kolicina, tog jako vrijednog i korisnog kvaliteta,matematicke zrelosti.Buduci da cemo se u ovom kursu sluziti rezultatima iz Teorijeskupova kao osnovnim alatom, pocecemo sa kratkim pregledompotrebnih pojmova i teorema iz te teorije i ostaviti da kasnije do-damo neke druge rezultate iz potrebnog predznanja.U ovoj prvoj glavi definisat cemo i diskutovati o metrickim pros-torima, topoloskim prostorima, kao i o nekim drugim pridruzenimpojmovima. U ostalim glavama proucavacemo: konvergenciju i fil-tere, produkt i kvocijent prostore, metrizaciju, kompaktne pros-tore, uniformne prostore i prostore funkcija.

1

1.1. Skupovi, relacije i preslikavanja

1.1 Skupovi, relacije i preslikavanja

Skup je pojam koga ne definisemo. Skupovi se sastoje od objekatakoje zovemo elementima skupa i pisemo simbolicki x A, za iz-javu, x je element skupa A. Skup je kompletno odredjen svojimelementima, tj. ako dva skupa A i B imaju osobinu da x A ako isamo ako x B, onda kazemo da je A = B i jednakost ovdje znaciidenticnost. Najuobicajeniji nacin opisivanja skupova je specijal-iziranje njihovih elemenata, kao izjavom:

A je skup svih elemenata x koji imaju osobinu P ,

sto simbolicki zapisujemo kao:

A = {x : P (x)} .Ovdje P (x) oznacava propoziciju o x. Slovo x se moze zamijenitibilo kojim drugim slovom, to jest:

{x : x A} = {y : y A} .Prazan skup obiljezavamo simbolom .

Definicija 1.1.1. Za skup A kazemo da je podskup skupa B, u oz-naci A B, ako vrijedi da je svaki element skupa A ujedno i elementskupa B, simbolicki:

x , x A x B .Skup A je pravi podskup skupa B ako vrijedi A B i A 6= B, stokrace obiljezavamo sa A B.Teorem 1.1.1. Neka su A,B i C proizvoljni skupovi. Tada vrijedi:

i) A B i B C A C.ii) A B i B A A = B

Dokaz gornjeg tvrdjenja ostavljamo citaocu.

Definicija 1.1.2. Unija skupova A i B, u oznaci A B, je skup{x : x A ili x B} .

Presjek skupova A i B, u oznaci A B, je skup{x : x A i x B} .

2


Dva skupa A i B su iskljucivi odnosno disjunktni, ako je AB = .Ako je A familija skupova kazemo da je A iskljuciva familija ako susvaka dva skupa iz familije A iskljuciva.Ako je A X, skup

{x X : x / A} ,zvacemo komplement od A i obiljeziti simbolom Ac. Ovdje je X uni-verzalni skup.Neka su A,B X. Za skup A Bc upotrebljavacemo uobicajenunotaciju A \B, koga nazivamo razlika skupova A i B, tj.

A \B = {x : x A x / B} .

Jasno A \B 6= B \ A.Teorem 1.1.2. Neka su A i B podskupovi skupa X. Onda je A Bako i samo ako vrijedi jedan od slijedecih uslova:

1. A B=A,2. B = A B,3. Bc Ac,4. A Bc = ,5. Ac B = X.

Dokaz ostavljamo citaocu za vjezbu.

Teorem 1.1.3. Neka su A,B i C proizvoljni podskupovi skupa X.Vrijedi:

1. A B = B A, A B = B A, (zakoni komutacije)2. A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C, (zakoni

asocijacije)

3. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C),(zakoni distribucije)

4. (A B)c = Ac Bc, (A B)c = Ac Bc. (De Morganove formule)

3


Proces dobivanja unija i presjeka skupova moze se ponavljanjemprosiriti na svaku konacnu familiju skupova. Medjutim, mozemotakodje definisati presjek i uniju proizvoljne familije skupova.Neka je A proizvoljna familija skupova. Presjek skupova A Adefinisemo kao skup

{A : A A} = {x : (A A) x A} .

Za definisani pojam uobicajeno cemo koristiti oznakuAA

A .

Slicno definisemo uniju skupova A A, kao skup{A : A A} = {x : (A A) x A} .

Za ovu uniju takodjer upotrebljavamo notacijuAA

A .

Zakoni distribucije i De Morganove formule takodjer vrijede zaproizvoljne unije i presjeke.

Teorem 1.1.4. Neka je A familija podskupova skupa X i B X.Onda vrijede jednakosti:

1. B (AA

A

)=AA

(B A) i B (AA

A

)=AA

(B A)

2.

(AA

A

)c=AA

Ac i

(AA

A

)c=AA

Ac.

Kad govorimo o konacnim skupovima, ponekad je prakticno opi-sivati takve skupove listiranjem njihovih elemenata. Naprimjer {x}ce nam oznacavati skup ciji je jedini element x, {x, y} je skup od dvaelementa, {x, y, z} skup od tri elementa i slicno. Skup od dva ele-menta, zovemo par elemenata, a posebno su od interesa uredjeniparovi, pa dajemo sljedecu definiciju:

Definicija 1.1.3. Uredjeni par (x, y) je par u kojem razlikujemo prviod drugog elementa i dva uredjena para su jednaka ako i samo ako

imaju jednake prve elemente i jednake druge elemente.

4


Slicno definisemo uredjene trojke (x, y, z), uredjene cetvorke (x, y, z, w)ili uredjene n-torke (x1, x2, x3, ..., xn).Elemente u uredjenim n-torkama tekodje zovemo kordinate, takoda je i-ti element xi, i-ta kordinata n-torke.Ako su X i Y dva skupa, definisemo Kartezijski produkt X Y kaoskup

{(x, y) : x X i y Y } .Produkt tri prostora definisemo,

X Y Z = {(x, y, z) : x X, y Y i z Z} ,gdje je (x, y, z) uredjena trojka, a produkt skupova X1, X2, ..., Xndefinisemo sa

X = ni=1Xi = {(x1, ..., xn) : xi Xi, i = 1, . . . , n} ,gdje je (x1, ..., xn) uredjena n-torka.Koristicemo pojam uredjenog para i Kartezijskog produkta da definisemorelacije i funkcije, tj. relacije i funkcije tretiramo kao skupove kojiposjeduju izvjesnu specijalnu strukturu.

Definicija 1.1.4. Relacija je skup uredjenih parova. Ako je R relacijai (x, y) R pisemo xRy i kazemo da je x u R-relaciji sa y.Domen ili podrucje definicije relacije R je skup

domR = {x : ( y) (x, y) R} .Podrucje vrijednosti je skup

vriR = {y : za neki x, (x, y) R} .Inverzna relacija zadane relacije R, koju obiljezavamo sa R1, jeskup

{(y, x) : (x, y) R} .Drugim rijecima xRy ako i samo ako yR1x.Ako su R i S relacije, njihova kompozicija, u oznaci R S, je relacija

{(x, z) : za neki y, (x, y) S i (y, z) R} .Primjedba 1.1.1. Za zadane skupove A i B, ocito je Kartezijski pro-dukt AB, relacija. Takodje je jasno iz definicije da je svaka relacijapodskup Kartezijskog produkta njenog domena i njenog podrucja vri-

jednosti. U smislu definicije inverzne relacije, jasno je (AB)1 =B A.

5


Definicija 1.1.5. Neka je R relacija i A proizvoljan skup. Sa R[A]definiramo skup svih elemenata koji su u R-relaciji sa elementimaskupa A, tj.

R[A] = {y : xRy za neki x A} .Kazemo da je relacija R sa A u B ako je domR A i vriR B. Rje relacija na A ako je domR = A. Za relaciju R kazemo da je nad Bako je vriR = B.Za relaciju R na X u X definisimo slijedece vazne osobine:

i) refleksivnost: Za sve x X, xRx.ii) simetricnost: ako je xRy onda je yRx, za sve x, y X.iii) antisimetricnost: ako je xRy i yRx, tada je x = y.

iv) tranzitivnost: ako je xRy i yRz tada je xRz, za sve x, y, z X.Relacija koja zadovoljava osobine refleksivnosti, simetricnosti itranzitivnosti naziva se relacija ekvivalencije. Ako je R relacija ek-vivalencije, podskup A skupa X je klasa ekvivalencije ako postojix A takav da je A = {y : xRy}, tj. ako postoji x A takav daA = R[{x}].Prema definiciji koja slijedi necemo praviti razliku izmedju funkcijei njenog grafa. Nazivi: korespondencija, preslikavanje, transforma-cija i operator su sinonimni nazivu funkcija.

Definicija 1.1.6. Funkcija je relacija u kojoj ne postoje parovi kojiimaju iste prve elemente, a razlicite druge elemente, tj. f je funkcijaako i samo ako je f relacija i (x, y) f i (x, z) f y = z. Ako je(x, y) f pisemo y = f(x) ili fx i f(x) citamo, vrijednost od f u x ilislika od x u f .

Funkcija f je jedan na prema jedan, ili 1 1, ako ne postojeparovi koji imaju iste druge elemente, a razlicite prve elemente; tj.ako je inverzna relacija f1 takodje funkcija.Ako je f funkcija na X u Y i A podskup od X, ogranicenje funkcijef na A, u oznaci f |A, je funkcija ciji je domen A i za koju vrijedif |A(x) = f(x) za sve x A. Kazemo da je funkcija g ogranicenjefunkcije f na neki podskup ako je g f , tj. f je produzenje funkcijeg na citav skup.Ako je A domf , skupf(A) = {y : za neki x A , (x, y) f} = {y : za neki x A , y = f(x)} ,

6


zovemo slika od A u f .Ako je A vrif , skup

f1(A) = {x : f(x) A} = {x : za neki y A , y = f(x)}

zovemo inverzna slika od A u f .Buduci da inverznu funkciju funkcije f , ako takva postoji, obiljezavamosimbolom f1, simbol f1(A) takodje u tom slucaju obiljezava slikuod A u preslikavanju f1.

Teorem 1.1.5. Neka su R, S i T relacije, a A i B proizvoljni skupovi.Onda:

1. (R1)1 = R i (R S)1 = S1 R1

2. R (S T ) = (R S) T i (R S)[A] = R[S[A]]3. R[A B] = R[A] R[B] i R[A B] R[A] R[B],

ili opstije, ako je A familija skupova, vrijedi:

R

[AA

A

]=AA

R[A] i R

[AA

A

]AA

R[A]

Dokaz:

1. Ocito (x, y) (R1)1 akko (y, x) R1 akko (x, y) R tako daje (R1)1 = R.Slicno (x, y) (RS)1 akko (y, x) RS akko za neki z, (y, z) S i (z, x) R. Ali (y, z) S akko (z, y) S1 i (z, x) R akko(x, z) R1. Otuda (x, y) (R S)1 akko za neki z, (x, z) R1i (z, y) S1 akko (x, y) S1 R1. Dakle (R S)1 = S1 R1.

2. Ostavljamo ovaj dokaz za vjezbu, kao i dokaz opstije izjave u3. koji je sasvim analogan sljedecem dokazu.

3. Po definiciji je y R[A B] akko postoji x (A B) takav da jexRy. Ali x (AB) akko x A ili x B, pa je otuda y R[AB]akko postoji x A takav da je xRy ili postoji x B takav daje xRy akko y R[A] ili y R[B], tj. y R[A] R[B]. Slicnoy R[AB] onda postoji x (AB) takav da je xRy y R[A]i y R[B].

7


Teorem 1.1.6. Neka je f proizvoljna funkcija, a A i B proizvoljniskupovi. Tada vrijedi:

1. f(A B) = f(A) f(B) i f(A B) f(A) f(B)2. f1(A Bc) = f1(A) (f1(B))c

3. f1(A B) = f1(A) f1(B) i f1(A B) = f1(A) f1(B).Primjedba 1.1.2. 1)U opstem slucaju f(A B) 6= f(A) f(B) jer,naprimjer, ako su A i B iskljucivi skupovi, tj. A B = , ne mora bitif(A) f(B) = .2) Izjave u 1. i 3. vrijede i za proizvoljne unije i presjeke, tj. ako je

A familija skupova, tada vrijedi: f (AAA) = AAf(A), f (AAA) AAf(A) i odgovarajuce izjave vrijede za 3.Dokaz:

1. Kao i opstije izjave u primjedbi, ovo je posljedica teoreme 1.1.5.

2. x f1(ABc) akko f(x) ABc akko f(x) A i f(x) Bc. Alif(x) Bc akko f(x) / B akko x / f(B) akko x f(B)c. Otudax f1(A Bc) akko x f(A) i x f(B)c akko x f(A) f(B)c.

3. x f1(AB) akko f(x) AB akko f(x) A ili f(x) B akkox f1(A) ili x f1(B) akko x f1(A) f1(B).Dokaz za proizvoljnu uniju je sasvim analogan.x f1(AB) akko f(x) (AB) akko f(x) A i f(x) B akkox f1(A) i x f1(B) tj. x f1(A) f1(B).Dokaz za proizvoljan presjek je slican ovome i ostavljen je zavjezbu.

8

Glava 2

Topoloski prostori

2.1 Topologije

Definicija 2.1.1. Neka je X proizvoljan neprazan skup. Za familijupodskupova od X kazemo da je topologija na X ako vrijedi

i) X i prazan skup, , pripadaju ,ii) Unija proizvoljnog (konacnog ili beskonacnog) broja skupova iz

pripada ,

iii) Presjek proizvoljna dva skupa iz pripada .

Par (X, ) nazivamo topoloski prostor.

Primjer 2.1. Neka je X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i

= {X, , {1} , {3, 4} , {1, 3, 4} , {2, 3, 4, 5, 6}} .

Familija zadovoljava osobine i), ii) i iii) pa je topologija na X.

Primjer 2.2. Neka je X = {a, b, c, d, e} i neka je

= {X, , {a} , {c, d} , {a, c, e} , {b, c, d}} .

Familija nije topologija na X jer skup

{c, d} {a, c, e} = {a, c, d, e}

ne pripada familiji (nije zadovoljeno ii)).

9

2.1. Topologije

Primjer 2.3. Neka je X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} i neka je = {X, , {1} , {7} , {1, 7} , {1, 3, 7} , {2, 3, 4, 5, 6, 7}} .

Familija nije topologija na X jer skup{1, 3, 7} {2, 3, 4, 5, 6, 7} = {3, 7}

ne pripada (nije zadovoljeno iii)).

Primjer 2.4. Neka je na skupu N zadata familija , koja se sastojiod N, i svih konacnih podskupova od N. nije topologija jer npr.

{2} {3} {4} ... {n} ... = {2, 3, 4, ..., n, ...}nije konacan skup, dakle ne pripada .

Definicija 2.1.2. Neka je X proizvoljan neprazan skup i neka je familija svih podskupova od X. Familiju nazivamo diskretnatopologija na X, a (X, ) nazivamo diskretni topoloski prostor.Nije tesko provjeriti da familija iz Definicije 2.1.2 zadovoljava svetri osobine iz Definicije 2.1.1, te je zaista topologija na X.Osim toga treba primjetiti da je X proizvoljan neprazan skup,tj. na svakom nepraznom skupu je moguce definisati bar jednutopologiju.

Definicija 2.1.3. Neka je X proizvoljan neprazan skup i neka je = {X, }. nazivamo indiskretna topologija, a (X, ) nazivamoindiskretnim topoloskim prostorom.

Trivijalno je vidljivo da indiskretna topologija zaista jeste topologija,a takodje primjetiti treba da ovakvu topologiju mozemo definisatina proizvoljnom nepraznom skupu X.

Teorem 2.1.1. Neka je (X, ) topoloski prostor takav da za svakox X, jednoclani skup {x} . Tada je diskretna topologija.Dokaz: Neka je A X proizvoljan. Kako se svaki skup mozeprikazati kao unija svojih elemenata tj.

A =aA

{a} ,

i kako je topologija na X, to je proizvoljna unija elemenata izopet elemenat iz . Dakle zakljucujemo da je A . Zbogproizvoljnosti skupa A zakljucujemo da sadrzi sve podskupoveskupa X, dakle je diskretna topologija.

10

2.1. Topologije

Definicija 2.1.4. Neka su 1 i 2 dvije topologije definisane na is-tom skupu X. Kazemo da je 1 jaca, veca ili finija od toplogije 2ako je 1 2. U tom slucaju takodje kazemo da je topologija 2manja, slabija ili grublja od topologije 1.

Primjedba 2.1.1. Ocito su za dati skup X diskretna i indiskretnatopologija, respektivno najveca i najmanja topologija na X.

Zadaci 2.1. :

1. Neka je X = {a, b, c, d, e, f}. Ispitati da li su slijedece familijepodskupova od X, topologije na X.

(a) = {X, , {a} , {a, d} , {b, d}}.(b) = {X, , {a, b, f} , {a, b, d} , {a, b, d, f}}.(c) = {X, , {f} , {e, f} , {a, f}}.(d) = {X, , {b} , {c} , {b, d, e} , {b, c, d, e}}.(e) = {X, , {b} , {a, b, c} , {d, e, f} , {b, d, e, f}}.

2. Neka je X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i neka je diskretna topologija naX. Ispitati koji od slijedecih iskaza su tacni.

(1) X (2) {X} (3) {} (4) (5) X (6) {} X (7) {1} (8) 1 (9) X (10) {1} X (11) {} X (12) 1 X(13) X (14) {2} (15) {X} (16) 3

3. Neka je (X, ) proizvoljan topoloski prostor. Pokazati da jepresjek konacno mnogo skupova iz opet skup iz .

4. Opisati sve moguce topologije na skupovima

(a) X = {a, b}.(b) X = {1, 2, 3}.

5. Neka je R skup realnih brojeva. Pokazati da je svaka od sli-jedecih familija podskupova od R, topologija na R.

(a) se sastoji od R, i svih skupova oblika (n, n), gdje jen N.

11

2.1. Topologije

(b) se sastoji od R, i svih skupova oblika [n, n], gdje jen N.

(c) se sastoji od R, i svih skupova oblika [n,+), gdje jen N.

6. Neka je N skup prirodnih brojeva. Pokazati da su slijedecefamilije podskupova od N, topologije na N.

(a) se sastoji od N, i svih skupova oblika {1, 2, 3, ..., n}, zasve n N.

(b) se sastoji od N, i svih skupova oblika {n, n+ 1, n+ 2, ...},za sve n N.

7. Neka je X proizvoljan beskonacan skup i topologija na X.Ako je svaki beskonacni podskup od X iz , pokazati da jediskretna topologija.

8. Ispitati koje su od slijedecih familija podskupova od R topologijena R.

(a) se sastoji od R, i svih skupova oblika (a, b), gdje jea, b R i a < b.

(b) se sastoji od R, i svih skupova oblika (r, r), gdje jer R+ proizvoljan.

(c) se sastoji od R, i svih skupova oblika (q, q), gdje je qproizvoljan pozitivan racionalan broj.

(d) se sastoji od R, i svih skupova oblika [q, q], gdje je qproizvoljan pozitivan racionalan broj.

(e) se sastoji od R, i svih skupova oblika (t, t), gdje je tproizvoljan pozitivan iracionalan broj.

(f) se sastoji od R, i svih skupova oblika [t, t], gdje je tproizvoljan pozitivan iracionalan broj.

(g) se sastoji od R, i svih skupova oblika [r, r), gdje jer R+ proizvoljan.

(h) se sastoji od R, i svih skupova oblika (r, r], gdje jer R+ proizvoljan.

12

2.2. Okoline, otvoreni, zatvoreni i otvoreno-zatvoreni skupovi

2.2 Okoline, otvoreni, zatvoreni i otvoreno-

zatvoreni skupovi

Definicija 2.2.1. Neka je (X, ) proizvoljan topoloski prostor. Ele-mente familije nazivamo otvorenim skupovima u X ili preciznije, -otvorenim skupovima u X.Ako je dakle diskretna topologija, onda je svaki podskup od Xotvoren skup, ali ako je indiskretna topologija na X onda su jediniotvoreni skupovi u X sam skup X i prazan skup. Ocigledno je daotvorenost skupa ovisi o definisanoj topologiji, pa zato ima smislaupotrebljavati precizniju varijantu, tj. govoriti o -otvorenim skupo-vima. Ako je jasno sa kojom topologijom radimo na nekom skupu,onda cemo jednostavnosti radi koristiti samo termin otvoren skup.Slijedeci teorem je direktna posljedica Definicije 2.1.1.

Teorem 2.2.1. Neka je (X, ) topoloski prostor. Tada vrijedi,1. X i su otvoreni skupovi.2. Proizvoljna unija (konacna ili beskonacna) otvorenih skupova je

otvoren skup.

3. Presjek konacnog broja otvorenih skupova je otvoren skup.

Slijedecim primjerom pokazujemo da beskoncan presjek otvorenihskupova ne mora obavezno biti otvoren skup. Naime, neka sefamilija sastoji od , skupa N i svih podskupova od N ciji jekomplement u N, konacan skup. Tj. za S N, S ako je N \ Skonacan skup.Citaocu ostavljamo za vjezbu da pokaze da ovako definisana famil-ija jeste topologija na N (ovakvu topologiju nazivamo kofinitnatopologija).Za proizvoljno n N definisimo skup

Sn = {1} {n+ 1} {n+ 2} ... = {1}

i=n+1

{i} .

Kako jeN \ Sn = {2, 3, ..., n} ,

tj. konacan skup, to je Sn za proizvoljno n N. Medjutim,n=1

Sn = {1} ,

13


a skup {1} nije otvoren, pa dakle proizvoljna presjek otvorenihskupova ne mora biti otvoren.

Definicija 2.2.2. Neka je (X, ) topoloski prostor. Za skup A kazemoda je okolina tacke x X ako A sadrzi otvoren skup koji sadrzi tackux.Sistem okolina neke tacke x X je familija svih okolina te tacke.Primjer 2.5. Segment [2, 4] u R je okolina tacke 3 jer 3 (5

2, 7

2) [2, 4].

Primjer 2.6. Skup [0, 1) u R je okolina tacke 12jer 1

2 (2

3, 1) [0, 1),

ali nije okolina tacke 0. ( Zasto? )

U oba gornja primjera precutno podrazumijevamo da su otvoreniskupovi u R otvoreni intervali, ne zalazeci dublje u to sta je topologijana R.

Primjer 2.7. Neka je (X, ) proizvoljan topoloski prostor. Ako jeO , tada je za proizvoljno x O, skup O okolina tacke x.Tako naprimjer, otvoreni interval (a, b) je okolina svake tacke x (a, b) u euklidskoj topologiji na R ( o euklidskoj topologiji bit cegovora u posebnoj sekciji ove knjige ).

Primjer 2.8. Neka je (X, ) proizvoljan topoloski prostor. Neka jeA X okolina tacke x X. Tada je proizvoljan N X, takav da jeA N , okolina tacke x.

Jedna karakterizacija otvorenih skupova u topoloskom prostorudata je slijedecim teoremom.

Teorem 2.2.2. Skup je otvoren ako i samo ako sadrzi okolinu svakesvoje tacke.

Dokaz: Ako A sadrzi okolinu svake svoje tacke, onda za svako

x A, postoji okolina N(x) tacke x, takva da je x N(x) A. Otudaza svako x A, postoji otvoren skup Vx, otvorena okolina od x,takav da je x Vx N(x) A. Odavde je

A =xA

{x} xA

Vx xA

N(x) A ,

pa zakljucujemo da vrijedi

A =xA

Vx ,

14


odnosno da je A otvoren skup kao unija otvorenih skupova.Obratno, ako je A otvoren skup, A sadrzi okolinu, naime sam skupA, svake svoje tacke.

Definicija 2.2.3. Skup je zatvoren u topoloskom prostoru (X, ) akoje njegov komplement u X otvoren skup.

Teorem 2.2.3. Neka je (X, ) topoloski prostor. Tada vazi:

1. i X su zatvoreni skupovi.

2. Unija konacno mnogo zatvorenih skupova je zatvoren skup.

3. Presjek proizvoljno mnogo zatvorenih skupova je zatvoren skup.

Dokaz: Kako je c = X i Xc = , ocito su i X zatvoreni skupovi u

X. Neka je I konacan skup indeksa i neka su Ai zatvoreni skupovi

(i I). Onda je Aci za svako i I i kako je I konacan skup,iI

Aci

je otvoren skup. Otuda jeiI

Ai zatvoren skup jer je na osnovu De-

Morganovih pravila

(iI

Ai

)c=iI

Aci , a na osnovu Teorema 2.2.1,

to je i otvoren skup.

Posljednja izjava teorema slijedi iz cinjenice da je

(iI

Ai

)c=iI

Aci

otvoren, kao unija proizvoljno mnogo otvorenih skupova. Istaknimo ovdje da termini otvoren i zatvoren nisu jedan dru-gom komplementarni. Komplement koristimo u definiciji, ali samokao termin teorije skupova, ne i kao logicki nivo. Sta vise, ovi poj-movi su jedan drugom u potpunosti ekvivalentni jer jedan od njihu potpunosti odredjuje onaj drugi.Takodje primjecujemo da u svakom topoloskom prostoru (X, ), i X su istovremeno i otvoreni i zatvoreni skupovi. Ako je indi-skretna topologija, onda su oni jedini zatvoreni skupovi. Ako jediskretna topologija, onda je svaki podskup odX i otvoren i zatvoren.

Definicija 2.2.4. Za podskup A topoloskog prostora (X, ), sa os-obinom da je istovremeno i otvoren i zatvoren kazemo da je otvoreno-

zatvoren skup.

15


Iako je uobicajeno da se topologija na nekom skupu X definisetako sto opisemo sta su otvoreni skupovi u X, ponekad je prirodnijetopologiju zadati opisujuci sta su zatvoreni skupovi. Neka je npr.X proizvoljan skup i neka su zatvoreni skupovi sam X i svi njegovikonacni podskupovi. Jasno je da su tada otvoreni skupovi i svipodskupovi od X koji imaju konacan komplement.Iz vec recenog, je otvoren i kako je Xc = , tj. konacan, to je i Xotvoren skup.Uzmimo proizvoljno mnogo otvorenih skupova Ai X (i I). Kakoje za svako i I, Aci konacan skup, to je onda i

iI A

ci konacan

skup. Ali zbog (iI

Ai

)c=iI

Aci ,

zakljucujemo da je i

iI Ai otvoren skup.Posmatramo li konacan presjek otvorenih skupova,

ni=1 Ai, tada

imamo (ni=1

Ai

)c=

ni=1

Aci ,

a kako je konacna unija konacnih skupova opet konacan skup, za-kljucujemo da je

ni=1 Ai otvoren skup.

Dakle, gore definisana familija zatvorenih skupova zaista definisetopologiju na X. Ovako uvedena topologija se naziva konacno-zatvorena ili kofinitna topologija.

Zadaci 2.2. :

1. Neka je (X, ) topoloski prostor sa osobinom da je svaki njegovpodskup, zatvoren skup. Dokazati da je topologija diskretnatopologija.

2. Neka je X beskonacan skup. Ako je topologija na X takvada je svaki beskonacni podskup od X zatvoren, dokazati da jediskretna topologija.

3. Neka je X beskonacan skup i topologija na X sa osobinomda je jedini otvoreni beskonacni podskup od X, sam skup X.Da li je indiskretna topologija?

4. Ako je (X, ) diskretan ili indiskretan topoloski prostor, pokazatida je svaki otvoreni skup ujedno otvoreno-zatvoren skup.

16

2.3. Zatvorenje, unutrasnjost, tacka gomilanja, spoljasnjost i rubskupa

Na skupu X = {a, b, c, d} definisati topologiju takvu da (X, )nije ni diskretan ni indiskretan prostor, ali da su svi otvoreniskupovi ujedno otvoreno-zatvoreni skupovi.

5. Neka je (X, ) topoloski prostor takav da se sastoji od tacnocetiri skupa

= {X,, A,B} ,gdje su A i B neprazni i razliciti pravi podskupovi od X (A jepravi podskup od X ako je A X i A 6= X ili A X).(a) Dokazati da skupovi A i B moraju zadovoljavati tacno

jedno od navedenih tvrdjenja:(1) B = X \ A ; (2) A B ; (3) B A .

(b) Koristeci gornji rezultat opisati sve topologije na skupuX = {a, b, c, d} koje se sastoje od tacno cetiri skupa.

2.3 Zatvorenje, unutrasnjost, tacka gomi-

lanja, spoljasnjost i rub skupa

Definicija 2.3.1. -zatvorenje, u oznaci A, podskupa A topoloskogprostora (X, ), je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrze skupA, tj.

A ={F : A F, F zatvoren} .

Ukoliko znamo sa kojom topologijom radimo, umjesto -zatvorenje,govorit cemo samo zatvorenje ili adherencija skupa.

Teorem 2.3.1. Skup A je zatvoren ako i samo ako je A = A.

Dokaz: () Ako je A zatvoren skup, ocito

A {F : A F, F zatvoren} ,pa je otuda

A {F : A F, F zatvoren} A ,

odnosno A = A.() Ako je A = A, onda je A zatvoren skup jer je

A ={F : A F, F zatvoren}

17


zatvoren skup, kao presjek zatvorenih skupova.

Definicija 2.3.2. Funkcija zatvorenja ili operator zatvorenja u odnosuna topologiju , definisana na podskupovima topoloskog prostora(X, ), je funkcija koja svakom podskupu A od X, pridruzuje nje-govo -zatvorenje A.

Teorem 2.3.2. Operator zatvorenja na podskupovima od X zado-voljava slijedece osobine:

1. = .

2. Ako je A B onda je A B.3. A A za svako A X.4. A B = A B za svako A,B X.

Dokaz:

1. je zatvoren pa na osnovu Teorema 2.3.1, = .2. Ako je A B, ocito je da za neki zatvoren skup F vazi: ako jeB F onda je A F , pa je tim prije

{F : B F, F zatvoren} {F : A F, F zatvoren}i otuda je

{F : A F, F zatvoren} {F : B F, F zatvoren} ,

odnosno A B.3. Po teoremu 2.3.1 je ocigledno A A.4. Buduci da je A A B i B A B, na osnovu 2. imamo da je

A A B i B A B ,pa je otuda A B A B. S druge strane, kako je A A i B B,onda je A B A B i buduci da je prema Teoremu 2.3.1 A Bzatvoren skup, slijedi da je takodje A B A B. Dakle, A B =A B.

Definicija 2.3.3. -unutrasnjost podskupa A topoloskog prostora(X, ), u oznaci Ao, je unija svih otvorenih podskupova od A, tj.

Ao ={V : V A, V otvoren} .

18


Teorem 2.3.3. Skup A je otvoren ako i samo ako je A = Ao .

Dokaz: () Ako je A otvoren skup, ocito je A {V : V A, V otvoren}i otuda je A Ao. Kako je Ao A, imamo A = Ao .() Ako je A = Ao, onda je A otvoren skup, kao unija otvorenihskupova. Analogno operatoru zatvorenja uvodimo pojam operatora unutrasnjosti.

Definicija 2.3.4. Funkcija unutrasnjosti ili operator unutrasnjosti uodnosu na topologiju , je funkcija koja svakom podskupu A od Xpridruzuje njegovu -unutrasnjost Ao.

Lema 2.3.4. (A)c = (Ac)o, za svako A X.Dokaz:

(A)c =(

{F : A F i F zatvoren })c

={F c : A F i F zatvoren }

={F c : F c Ac i F zatvoren }

={V : V Ac i V otvoren }

= (Ac)o .

Teorem 2.3.5. Operator unutrasnjosti na podskupovima odX zado-voljava slijedece osobine:

1. Xo = X.

2. (Ao)o = Ao, za svako A X.3. Ao A, za svako A X.4. (A B)o = Ao Bo, za svako A,B X.

Dokaz: 1. i 2. su ocigledne posljedice Teorema 2.3.3, a 3. je

trivijalno.

4. (AB)o = (((A B)c)c)o =((A B)c

)c=((Ac Bc)

)c= (AcBc)c =

(Ac)c (Bc)c = Ao Bo.

19


Primjedba 2.3.1. Osobina 4. se, naravno, moze dokazati i direktno,analogno dokazu osobine 4. u Teoremi 2.3.2 i koristeci cinjenicu da

A B Ao Bo.Definicija 2.3.5. Tacka x je gomiliste ili tacka nagomilavanja pod-skupa A topoloskog prostora (X, ), ako svaka okolina od x sadrzitacke iz A razlicite od x, tj. ako za svaku okolinu N tacke x, vrijedi

N (A \ {x}) 6= .Derivirani ili izvodni skup, u oznaci A

, skupa A, je skup svih tacakanagomilavanja skupa A.

Primjer 2.9. Neka je (X, ) diskretan topoloski prostor i A proizvol-jan podskup od X. Tada skup A nema tacaka nagomilavanja.Zaista, zbog diskretne topologije, svaki jednoclani skup {x} (x X) i kao takav on je okolina tacke x koja nema drugih tacakaiz A razlicitih od x.

Primjer 2.10. Neka je (X, ) indiskretan topoloski prostor sa naj-manje dva elementa. Tada je svaka tacka, tacka nagomilavanja.(Zasto se insistira da X sadrzi bar dva elementa?)

Primjer 2.11. Neka je A = (0, 1) R. Nije tesko provjeriti da jeA = [0, 1].

Teorem 2.3.6. Vrijede osobine:

1. Za svaki A X je A A = A.2. Podskup topoloskog prostora je zatvoren ako i samo ako sadrzi

sve svoje tacke nagomilavanja.

Dokaz:

1. Neka x / A. Tada postoji okolina od x u kojoj nema niti jednetacke iz A. Ovo znaci da x ne pripada niti A niti A, pa dakleni njihovoj uniji.S druge strane, neka x / AA. Kako x ne pripada A, to znacida postoji okolina N(x), takva da N(x)(A\{x}) = . Kako x nepripada niti A, to znaci da je N(x)A = , tj. A (N(x))c. Kakoje N(x) otvoren skup, onda je (N(x))c zatvoren, pa ociglenox / A.

20


2. Neka A sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja, tj. A A. Naosnovu 1. onda imamo A = A A = A, tj. A je zatvoren.Obratno, ako je A zatvoren, tada je A = A, pa na osnovu 1.zakljucujemo da je A A.

Primjer 2.12. Kao primjenu gornje teoreme imamo da [a, b) R nijezatvoren skup u R jer je tacka b tacka nagomilavanja skupa [a, b),ali ne pripada tom skupu.Isto tako skup [a,+) je zatvoren skup u R.

Definicija 2.3.6. Spoljasnjost, u oznaci extA, podskupa A topoloskogprostora (X, ) je komplement njegovog zatvorenja, tj.

extAdef= A

c.

Definicija 2.3.7. Rub, u oznaci bA, podskupa A je presjek zatvorenjaskupa i zatvorenja njegovog komplementa, tj.

bAdef= A Ac .

Teorem 2.3.7. Za svaki podskup A topoloskog prostora (X, ) vri-jede sljedece osobine:

1. extA = (Ac)o.

2. bA = A \ Ao.3. A = A bA.4. Ao = A \ bA.

Dokaz:

1. Posljedica Leme 2.3.4.

2. Kako iz Leme 2.3.4 slijedi da je(Ac)c

= Ao, jasno je Ac = (Ao)c

i otuda bA = A (Ao)c = A \ Ao.3. Ocito je A bA A.

Obratno, kako je A = AX = A (AAc) = A (AAc), takodjevrijedi A A bA i jednakost slijedi.

21


4. Ovo je poslijedica od 2), jer je A \ bA = A \ (A (Ac)o) = A (Ac Ao) = (A Ac) Ao = Ao = Ao.

Neka je f : P(X) P(X) (P(X)-partitivni skup od X) , za kojuvrijede slijedece osobine:

i) f() = .

ii) f(f(A)) = f(A), za svako A X.iii) A f(A), za svako A X.iv) f(A B) = f(A) f(B), za svako A,B X.

Ovakvo preslikavanje nazivamo operator Kuratowskog i slijedeciteorem Kuratowskog pokazuje da ovaj operator odredjuje zatvorenjeu nekoj topologiji na X. Prije toga dokazimo jedno pomocno tvrd-jenje.

Lema 2.3.8. Ako je A B onda je f(A) f(B).Dokaz: B = A (B \ A), pa iz osobine iv) slijedi da je f(B) = f(A) f(B \ A) i otuda je jasno f(A) f(B).

Teorem 2.3.9. (Teorem Kuratowskog) Neka je f operator Kura-towskog definisan na podskupovima od X. Onda postoji jedna isamo jedna topologija na X, takva da je za svaki A X, A = f(A).Dokaz: Definisimo familiju na X na sljedeci nacin: A , tj.skup A je otvoren ako i samo ako je Ac = f(Ac). Sada cemo pokazatida je zaista topologija na X.i) Kako je f() = i Xc = , tada je

f(Xc) = f() = = Xc ,

a to znaci X . Slicno, X f(X) implicira X = f(X) i otuda jec = f(c) ,

tj. .ii) Neka je Vi za i I, proizvoljna familija skupova iz , tj. V ci = f(V ci )za svako i I. Sada je(

iIVi

)c=iI

V ci =iI

f(V ci ) ,

22


pa je za svako i I, (iI

Vi

)c f(V ci ) .

Na osnovu leme onda slijedi

f

((iI

Vi

)c) f(f(V ci )) = V ci ,

za svaki i I, odnosno

f

((iI

Vi

)c)iI

V ci =

(iI

Vi

)c.

Kako obratna inkluzija svakako vrijedi po osobini iii) Kuratowskog,zakljucujemo da vazi

f

((iI

Vi

)c)=

(iI

Vi

)c

odnosno da jeiI

Vi .iii) Neka je Vi za i I, konacna familija skupova iz , tj. I jekonacan i Vi , za svaki i I. Na osnovu osobine iv) Kuratowskogi zbog konacnosti skupa I, imamo(

iIVi

)c=iI

V ci =iI

f(V ci ) = f

(iI

V ci

).

Otuda je (iI

Vi

)c= f

((iI

Vi

)c),

odnosnoiI

Vi .Ocigledno za ovako definisanu topologiju vrijedi slijedece razmisljanje:za svaki A X, A = A ako i samo ako je A zatvoren, a ovo je opetekvivalentno cinjenici da je A = f(A), tj. A = f(A).Neka je neka druga topologija na X za koju vrijedi

( A X) A = f(A) .

23


Onda je A -zatvoren ako i samo ako A = f(A), odnosno skup V je -otvoren ako i samo ako je V c = f(V c), tj. = .

Zadaci 2.3. :

1. Neka je (X, ) topoloski prostor gdje je X = {a, b, c, d, e} i ={X,, {a} , {c, d} , {a, c, d} , {b, c, d, e}}.(a) Pokazati da su b, d i e tacke nagomilavanja skupa A =

{a, b, c}, a da to nisu tacke a i c.(b) Odrediti {b}, {a, c} i {b, d}.

2. Dokazati da je Q = R.

3. Neka je (Z, ) topoloski prostor gdje je kofinitna topologija(kofinitna topologija na X se sastoji od i svih podskupova odX ciji je komplement konacan). Odrediti tacke nagomilavanja

(a) skupa A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.(b) skupa svih parnih brojeva.

4. Neka su A i B neprazni podskupovi topoloskog prostora (X, )i neka je A B. Dokazati:(a) Ako je tacka a tacka nagomilavanja skupa A, tada je a

tacka nagomilavanja i skupa B.

(b) Ako je A = X tada je B = X.

5. Neka su A i B podskupovi topoloskog prostora (X, ). Dokazati

A B A B .

Navesti primjer skupova za koje vrijedi

A B ( A B .

6. Neka je (X, ) indiskretan topoloski prostor. Dokazati:

A X Ao = .

24

2.4. Euklidska topologija na R

7. Neka je (X, ) proizvoljan topoloski prostor i A X. Dokazatijednakosti

(a) Ao = X \ (X \ A) , (b) X \ Ao = X \ A .

8. Da li vrijedi jednakost

(A B)o = Ao Bo ,gdje su A i B podskupovi proizvoljnog topoloskog prostora(X, )?

9. Neka je (X, ) topoloski prostor i A X otvoreno-zatvorenskup. Sta je bA? (Obrazloziti odgovor)

10. Neka je (X, ) topoloski prostor i A X.

(a) Dokazati:(Ao)o

= Ao.

(b) Dokazati:((A)o

)o= (A)o.

(c) Neka je A = (Q [0, 1]) ( (2, 3) (3, 4) ) {5}. OdreditiA,Ao, (A)o, Ao, (A)o i (Ao)o.

(d) Koliko je moguce napraviti razlicitih skupova od jednogskupa A koristeci samo operator unutrasnjosti i operatorzatvorenja?

2.4 Euklidska topologija na R

Sto zbog ranije slusanih kurseva (Matematicka analiza I i II), ai zbog kurseva koji slijede, od posebnog interesa je razmatranjeskupa realnih brojeva kao topoloskog prostora. Vec smo vidjelida na bilo kom nepraznom skupu, pa i na R, mozemo definisatidiskretnu, indiskretnu kao i kofinitnu topologiju. Takodje smo uzadatku 8. Vjezbi 2.1, upoznali jos nekoliko mogucnosti definisanjatopologije na skupu realnih brojeva. U ovom dijelu cemo se up-oznati sa najvaznijom i najinteresantnijom topologijom na R, tzv.euklidskom topologijom.

Definicija 2.4.1. Za skup A R kazemo da je otvoren skup u euk-lidskoj topologiji na R ako zadovoljava slijedecu osobinu:

za svako x A, postoje a, b R, takvi da je a < b i x (a, b) A. ()

25


Kad god govorimo o skupu realnih brojeva kao topoloskom pros-toru, a ne naglasimo koja je topologija u pitanju, podrazumijevamoeuklidsku topologiji, koju jos nazivamo i uobicajena topologija naR.

Lema 2.4.1. Euklidska topologija je topologija na R.

Dokaz: Neka je x R proizvoljan. Stavimo a = x 1 i b = x + 1.Dakle, a, b R, a < b i pri tome je x (a, b) R, tj. R zadovoljavaosobinu (), odnosno R . jer trivijalno zadovoljavaosobinu ().Neka je I proizvoljan skup indeksa i neka su Ai za i I. Zaproizvoljan x iI Ai, postoji k I, takav da je x Ak. Kako jeAk , postoje a, b R, a < b, pri cemu je x (a, b) Ak. ZbogAk

iI Ai, to je tim prije (a, b)

iI Ai, tj.

iI Ai zadovoljava

osobinu (), pa iI Ai .Neka su A1 i A2 iz . Za x A1 A2 imamo da x A1 i x A2, papostoje a1, b1 R i a2, b2 R, a1 < b1 i a2 < b2, takvi da x (a1, b1) A1i x (a2, b2) A2. Oznacimo sa a = max {a1, a2} i sa b = min {b1, b2}.Tada vrijedi (a, b) (a1, b1) A1 i (a, b) (a2, b2) A2, te je ociglednozadovoljeno x (a, b) A1 A2. Dakle skup A1 A2 zadovoljavaosobinu (), tj. A1 A2 .

Lema 2.4.2. U euklidskoj topologiji na R vrijedi:

1. Za proizvoljne r, s R, r < s, otvoreni interval (r, s) je otvorenskup.

2. Za proizvoljan r R, (r,+) i (, r) su otvoreni skupovi.3. Za proizvoljne r, s R, r < s, zatvoreni interval (segment) [r, s]

nije otvoren skup.

4. Za proizvoljne r, s R, r < s, zatvoreni interval [r, s] je zatvorenskup.

5. Za svako r R, jednoclani skup {r} je zatvoren skup.

Dokaz gornje leme ostavljamo citaocu. Ono sto vec sada trebaprimjetiti, jeste cinjenica da otvoreni skupovi u euklidskoj topologijinisu samo otvoreni intervali. Naime, skup (0, 1) (2, 3) je otvorenskup kao unija dva otvorena skupa i pri tome nije interval. Ili josuopstenije, skup

n=1(2n 1, 2n), je otvoren skup a nije interval.

26


Lema 2.4.3. Skup cijelih brojeva Z je zatvoren skup u euklidskojtopologiji na R.

Dokaz: Komplement skupa Z u odnosu na R je skup+

n=(n, n+1), a ovaj je kao prebrojiva unija otvorenih skupova, otvoren skup.Dakle Z je zatvoren skup kao komplement otvorenog skupa.

Lema 2.4.4. Skup racionalnih brojeva Q nije ni otvoren ni zatvorenu euklidskoj topologiji na R.

Dokaz: Ako pretpostavimo da postoje a, b R, takvi da je a < b i(a, b) Q, to bi znacilo da su svi brojevi intervala (a, b) racionalni,sto ocigledno nije tacno, pa dakle skup Q ne moze zadovoljavatiosobinu (), tj. nije otvoren skup.Na slican nacin rezonujuci, pokazuje se da skup R \Q nije otvoren,pa skup Q dakle nije ni zatvoren skup.

Lema 2.4.5. Jedini otvoreno-zatvoreni skupovu u euklidskoj topologijina R su sam skup R i .

Dokaz ostavljamo citaocu za vjezbu. Sada cemo dati karakteri-zaciju otvorenih skupova na realnoj pravoj u euklidskoj topologiji.

Teorem 2.4.6. Skup S R je otvoren ako i samo ako se mozeprikazati kao unija otvorenih intervala.

Dokaz: Neka je S =

iI(ai, bi) (ai, bi R, ai < bi za i I). Kakoje otvoren interval otvoren skup i kako je dakle, S unija utvorenihskupova, to je i S otvoren skup.Neka je sada S R otvoren skup. To prema osobini () znaci daza svaki x S, postoji Ix (Ix = (a, b)), takav da je x Ix S. Odavdeje onda

xSIx S .

S druge strane, ako je x S, onda x Ix

xS Ix, pa zakljucujemoda mora vrijediti

S =xS

Ix ,

tj. S jeste unija otvorenih intervala.

27


Zadaci 2.4. :

1. Pokazati da za proizvoljne a, b R, a < b, skupovi (a, b] i [a, b)nisu ni otvoreni ni zatvoreni.

2. Pokazati primjerom da beskonacna unija zatvorenih podskupovaod R ne mora biti zatvoren skup.

3. Ako je F R zatvoren skup, tada F nije otvoren skup. Dokazati!4. Neka je F proizvoljan neprazan prebrojiv podskup od R. Dokazati

da F nije otvoren skup.

5. Neka je A ={0, 1, 1

2, 1

3, ..., 1

n, ...}. Pokazati da je A zatvoren skup

u euklidskoj topologiji na R.

6. Ispitati zatvorenost skupa u euklidskoj topologiji na R,

(a) A ={

1n

: n N}.(b) A =

{n

2 : n N}.7. Neka je (X, ) topoloski prostor. Za skup S X kazemo da je

tipa F, ako se moze prikazati kao prebrojiva unija zatvorenihskupova.Pokazati da su (a, b) i [a, b] (a, b R, a < b) skupovi tipa F.

8. Neka je (X, ) topoloski prostor. Za skup S X kazemo da jetipa G, ako se moze prikazati kao prebrojiv presjek otvorenihskupova.Pokazati da su (a, b) i [a, b] (a, b R, a < b) skupovi tipa G.

9. Pokazati da Q jeste tipa F ali da nije tipa G.

10. Dokazati da na R vrijede slijedeca tvrdjenja:

(a) ([0, 1])o = (0, 1).

(b) (0, 1)o = (0, 1).

(c) Za proizvoljno x R, {x}o = .(d) Neka je A proizvoljan najvise prebrojiv podskup od R.

Tada je Ao = .

28

2.5. Baze i podbaze

2.5 Baze i podbaze

U kursu linearne algebre upoznali smo se sa cinjenicom da u svakomlinearnom vektorskom prostoru imamo bazu tog prostora i da jevaznost baze u tome sto se svaki element vektorskog prostora mozeprikazati kao linearna kombinacija elemenata baze.Nesto slicno smo imali u prethodnoj sekciji. Naime, za definisanjetopologije na nekom skupu bitno je dati opis otvorenih skupova,sto u slucaju euklidske topologije na R, upravo imamo na osnovuTeorema 2.4.6. Ovaj teorem daje opis otvorenih skupova u eu-klidskoj topologiji, ali sto je mnogo vaznija njegova ideja, jeste dasmo to opisivanje dobili preko neke uze familije takvih skupova, uovom slucaju, otvorenih intervala. Ova ideja je prakticna i za drugetopoloske prostore, tj. uspijemo li pronaci neku familiju otvorenihskupova pomocu koje mozemo okarakterisati sve ostale otvoreneskupove, uspjeli smo opisati i samu topologiju na datom skupu.

Definicija 2.5.1. Neka je (X, ) topoloski prostor. Bazu za topologiju cini familija B otvorenih podskupova od X, koja ima osobinu da jesvaki skup iz unija skupova iz B.Dakle, ako je familija B baza za topologiju na skupu X, ondaje A X iz ako i samo ako se moze prikazati kao unija eleme-nata familije B. Drugacije receno, familija B generise topologijuu smislu da ako znamo elemente familije B, u potpunosti imamodefinisanu topologiju .Primjer 2.13. Oznacimo sa

B = {(a, b) : a, b R , a < b} .Na osnovu Teorema 2.4.6, B je baza euklidske topoloije na R.

Primjer 2.14. Neka je (X, ) diskretan topoloski prostor. Tada jefamilija

B = {{x} : x X}baza za topologiju .Zaista, kako se svaki skup S X moze prikazati na slijedeci nacin

S =xS

{x} ,

na osnovu definicije, B je baza za .

29

2.5. Baze i podbaze

Primjer 2.15. Neka je (X, ) topoloski prostor, gdje jeX = {1, 2, 3, 4, 5, 6}i

= {X,, {1} , {3, 4} , {1, 3, 4} , {2, 3, 4, 5, 6}} .Oznacimo li sa

B = {{1} , {3, 4} , {2, 3, 4, 5, 6}} ,nije tesko provjeriti da je B i da je svaki skup iz unija skupovaiz B. Dakle, B je baza za topologiju na X ( dobijamo kao praznuuniju).

Jasno je da u svim gornjim primjerima svaka topologija je samasebi baza. To znaci da razlicite baze mogu generisati istu topologijuna skupu.Koristeci bazu, mozemo konstruisati topologiju za neki skup X, alitreba imati na umu da nije svaka familija podskupova od X bazaza neku topologiju na X.

Primjer 2.16. Neka je X = {a, b, c} i neka jeS = {X,, {a, b}, {b, c}} .

Onda S nije baza niti za jednu topologiju na X, jer su unije clanovaod S opet clanovi od S, tj. topologija bi morala bila sama familijaS, ali S nije topologija na X jer naprimjer, {a, b} {b, c} / S.

Razlog za ovakvu situaciju vidi se iz slijedeceg teorema.

Teorem 2.5.1. Familija B nepraznih podskupova od X je baza zaneku topologiju na X ako i samo ako vrijedi

1. X =BB

B.

2. (B1, B2 B x B1 B2) (B B) x B B1 B2 .Dokaz: () Neka je B baza za neku topologiju na X. Ako su B1,B2 B onda je B1, B2 . Kako je B1B2 , B1B2 je unija nekihelemenata od B, pa otuda jasno slijedi da za svako x B1 B2,postoji B B, takav da je x B B1 B2.() Neka je B familija koja zadovoljava uslove teorema. Neka je familija svih mogucih unija skupova iz B, i neka . Tvrdimoda je topologija na X.i) Prema pretpostavci je X =

BB

B, pa je X .

30

2.5. Baze i podbaze

ii) Neka je Vi, i I, proizvoljna familija clanova iz , tj. Vi =jJi

Bij

za svako i I, gdje su Bij B. Onda jeiI

Vi =

jJi,iIBij takodje

element od , kao unija skupova iz B.iii) Neka su sada V1, V2 . Za svako x V1 V2, postoje B1,x iB2,x B takvi da je x B1,x B2,x, pri cemu je B1,x V1, B2,x V2. Popretpostavci onda postoji Bx B takav da je

x Bx B1,x B2,x V1 V2 .Otuda je V1 V2 =

xV1V2

Bx, tj. V1 V2 .

Primjedba 2.5.1. Uslov 2. u gornjoj teoremi mozemo zamjeniti ekvi-valentnim uslovom:

Za proizvoljne B1 i B2 iz B skup B1 B2 se moze prikazati kao unijaskupova iz B.Definisati topologiju na nekom skupu znaci dati opis svih otvorenihskupova na tom skupu (u skladu sa Definicijom 2.1.1), sto cestonije nimalo jednostavan zadatak. Teorem 2.5.1 ima tu vrijednoststo nam daje mnogo efikasniji nacin definisanja topologije prekobaze. Iskoristimo to da definisemo jednu topologiju u ravni.

Primjer 2.17. U R2 definisimo familiju B svih otvorenih pravougaonika,tj. familiju skupova {(x, y) R2 : a < x < b , c < y < d}.

a b

c

d

Slika 1

Lahko se provjerava da familija B zadovoljava uslove Teorema 2.5.1,te predstavlja bazu za topologiju na R2. Topologiju definisanu gorn-jom bazom nazivamo euklidska topologija na R2 i kada ravan R2

spominjemo kao topoloski prostor, ne navodeci eksplicitno sa ko-jom topologijom, podrazumijevamo tu topologiju.

31

2.5. Baze i podbaze

Primjer 2.18. Ideju iz gornjeg primjera mozemo iskoristiti za defin-isanje euklidske topologije na Rn, gdje bi posmatrali familiju skupova

{(x1, x2, ..., xn) Rn : ai < xi < bi , i = 1, 2, ..., n} .

Ova familija predstavlja bazu za euklidsku topologiju na Rn.

Vidjeli smo da proizvoljna familija podskupova od X ne mora bitibaza niti za jednu topologiju na X. Mozemo postaviti pitanje, zazadanu familiju podskupova S od X, da li postoji topologija kojaje na odredjen nacin ipak odredjena familijom S. U tom smisluimamo slijedeci rezultat:

Teorem 2.5.2. Neka je S proizvoljna familija nepraznih podskupovaod X, takva da je X =

SS

S. Tada je familija svih konacnih presjeka

clanova iz S, baza za neku topologiju na X.Dokaz: Neka je S familija podskupova od X i B familija svih pres-jeka od konacno mnogo clanova iz S. Tada je ocigledno

X =BB

B

i pri tome je za svake B1, B2 B , B1 B2 B, tako da po Teoremi2.5.1, B je baza za topologiju na X.

Definicija 2.5.2. Familija skupova S je podbaza za neku topologijuako je familija svih konacnih presjeka clanova od S, baza za topologiju .

Primjedba 2.5.2. Familija svih unija konacnih presjeka clanova odS je topologija na X. Ovo je najmanja topologija na X koja sadrzi S,tj. je topologija koja sadrzi S i sadrzana je u svakoj drugoj topologijina X koja sadrzi S.Teorem 2.5.1 nam daje odgovor na pitanje da li je neka konkretnafamilija podskupova od X, baza neke topologije na skupu X. Med-jutim, cesto smo u situaciji da imamo definisanu topologiju na X,a zelimo znati da li je data familija baza te topologije? Analizirajmoslijedeci primjer:

32

2.5. Baze i podbaze

Primjer 2.19. Neka je B familija svih poluotvorenih intervala u R, tj.B = {(a, b] : a, b R , a < b} .

B jeste baza za topologiju na R jer unija svih poluotvorenih inter-vala je citav R i presjek proizvoljna dva poluotvorena intervala jeopet poluotvoren interval (eventualno ).Medjutim, topologija koja je generisana bazom B nije euklidskatopologija na R, sto se lahko vidi jer je (a, b] otvoren skup u topologijiali nije otovoren skup u euklidskoj topologiji.

Dakle, postoji jasna razlika reci da familija B jeste baza za nekutopologiju na X i reci da je ta familija baza za datu topologiju na X.U tom kontekstu imamo,

Teorem 2.5.3. Neka je (X, ) topoloski prostor. Familija B otvorenihpodskupova od X je baza za topologiju ako i samo ako za svako xkoji pripada proizvoljnom otvorenom skupu O, postoji B B, takavda je x B O.Dokaz: Neka je B baza za topologiju i neka je x O . Kako jeB baza za , to je prema Definiciji 2.5.1

O =jJ

Bj ,

za neki skup indeksa J, pri cemu su Bj B (j J ). To onda znacida za proizvoljan x O, postoji bar jedan Bj takav da je x Bj i pritome je ocigledno Bj O.Obratno, neka za svako O i za svako x O, postoji B B,takav da je x B O. Neka je sada U proizvoljan otvoren skupu (X, ). Za svako x U , postoji Bx B, takav da je x Bx, te jedakle U xU Bx. S druge strane je zbog Bx U za svako x U ,

xU Bx U . Dakle,U =

xU

Bx ,

sto je i trebalo pokazati. Kao direktnu posljedicu gornje teoreme imamo,

Posljedica 2.5.4. Neka je B baza za topologiju na skupu X. SkupO X je otvoren ako i samo ako za svako x O, postoji B B, takavda je x B O.

33

2.5. Baze i podbaze

Ova posljedica sada nam daje i obrazlozenje zasto smo u definicijieuklidske topologije na R koristili bas uslov ().Kao sto smo vec primjetili, razlicite baze mogu generisati istutopologiju. Slijedeci teorem nam daje odgovor kada dvije razlicitebaze daju istu topologiju.

Teorem 2.5.5. Neka su B1 B2 baze topologija 1 i 2, respektivno,na nepraznom skupu X. Tada je 1 = 2 ako i samo ako vijedi

1. Za svako B B1 i za svako x B, postoji B B2, takav da jex B B,

2. Za svako B B2 i za svako x B, postoji B B1, takav da jex B B.

Dokaz: Neka je 1 = 2. Osobine 1. i 2. slijede kao direktneposljedice Teorema 2.5.3.Obratno, neka familije B1 i B2 zadovoljavaju osobine 1. i 2.. Naosnovu Teorema 2.5.3, osobina 1. implicira da svaki B B1 jeotvoren skup u (X, 2), tj. B 2. Kako je svaki clan iz topologije 1 unija clanova iz topologije 2, zakljucujemo da vrijedi: 1 2.Na isti nacin rezonujuci, koristeci osobinu 2., dosli bi do zakljucka: 2 1. Dakle vrijedi: 1 = 2.

Primjer 2.20. Oznacimo sa B familiju svih jednakostranicnih otvorenihtrouglova u R2 sa jednom stranicom paralelnom x-osi. (otvorenznaci bez ivica)

Slika 2

Nije tesko provjeriti da je unija svih ovakvih trouglova citava ra-van, tj. R2 i takodje da je presjek bilo koja dva ovakva trougla opettrougao sa istim osobinama. Na osnovu Teorema 2.5.1, B je bazaza neku topologiju na R2.

34

2.5. Baze i podbaze

Neka je sada B proizvoljan pravougaonik u ravni sa stranicamaparalelnim osama i neka je x B proizvoljan. Ne ulazeci u pre-cizniji opis, sa slike 3 vidimo da oko tacke x mozemo postaviti jed-nakostranicni trougao B sa jednom stranicom paralelnom x-osi,koji je kompletno sadrzan u pravougaoniku B, tj. x B B.

b

B

B

x

Slika 3

Ako je sada dat proizvoljan trougao B sa stranicom paralelnomx-osi i neka je x B proizvoljna, ponovo sa slike 4 vidimo da okotacke x mozemo postaviti pravougaonik B sa stranicama paralel-nim osama, koji je kompletno sadrzan u trouglu B, tj. x B B.

b

B

Bx

Slika 4

Na osnovu svega ovoga vidimo da su uslovi Teorema 2.5.5 zado-voljeni, te je topologija jednaka euklidskoj topologiji na R2.

Zadaci 2.5. :

1. Ispitati koja od slijedecih familija jeste ili nije baza euklidsketopologije na R2.

(a) Familija svih otvorenih kvadrata sa stranicama paralel-nim koordinatnim osama.

35

2.6. Prvi i drugi aksiom prebrojivosti

(b) Familija svih otvorenih krugova.

(c) Familija svih otvorenih pravougaonika.

(d) Familija svih otvorenih elipsi cije su ose paralelne koor-dinatnim osama.

2. Neka je B baza na nepraznom skupu X i neka je B proizvoljnafamilija podskupova od X takva da je B B . Dokazati daje i B baza topologije .Koristeci ovu cinjenicu, pokazati da postoji neprebrojivo mnogobaza za euklidsku topologiju na R.

3. Neka je B = {(a, b] : a, b R , a < b}. Pokazati da je B bazaneke topologije na R. Pokazati da su skupovi oblika (a, b)(a, b R, a < b) otvoreni u (R, ).

4. Pokazati da je familija svih intervala oblika (a,+) i (, b)(a, b R), podbaza euklidske topologije na R.

5. Neka je S podbaza za topologiju na R sa osobinom da sviskupovi oblika [a, b] (a, b R, a < b) pripadaju familiji S. Dokazatida je diskretna topologija.

6. Neka je S familija svih pravih linija u R2. Ako je S podbazatopologije na R2, sta je topologija ?

7. Neka je S familija svih pravih linija u R2 koje su paralelnex-osi. Ako je S podbaza topologije na R2, sta su otvoreniskupovi u toj topologiji?

8. Neka je S familija svih krugova u ravni R2. Ako je S podbazatopologije , sta su otvoreni skupovi u (R2, )?

9. Neka je S familija svih krugova u ravni R2 ciji su centri nax-osi. Ako je S podbaza topologije , sta su otvoreni skupoviu (R2, )?

2.6 Prvi i drugi aksiom prebrojivosti

Primjer 2.21. Za skup realnih brojeva R, familija svih intervala tipa{x : x > a} i {x : x < a} (a R) je podbaza za euklidsku topologiju

36


na R. Familija svih intervala istog oblika, gdje je a racionalanbroj, je takodje podbaza za tu topologiju. Otuda R sa uobicajenomtopologijom je primjer topoloskog prostora koji ima izbrojivu bazu.(Skup je izbrojiv ako i samo ako postoji 1-1 korespodencija izmedjutog skupa i nekog podskupa prirodnih brojeva.)

Definicija 2.6.1. Za topoloski prostor (X, ) kazemo da zadovoljavadrugi aksiom izbrojivosti ako topologija ima izbrojivu bazu .

Definicija 2.6.2. Za skup A X kazemo da je gust u X (ili svudagust) ako vrijedi: A = X.

Jedna karakterizacija pojma svuda gustog skupa, ali i mnogojasnijeg shvatanja tog vaznog pojma data je sa

Teorem 2.6.1. Neka je (X, ) topoloski prostor i A X. Skup A jesvuda gust u X ako i samo ako proizvoljan neprazan otvoren pod-skup od X ima neprazan presjek sa skupom A, tj.

( U , U 6= ) U A 6= .

Dokaz: Pretpostavimo prvo da svaki neprazan otvoren skup ima

neprazan presjek sa A. Ako je A = X, tada je A = X = X, tj. A jesvuda gust u X. Neka je sada A 6= X, tj. neka postoji x X takavda x / A. Za proizvoljno U takav da x U imamo onda da jeU A 6= , a ovo opet znaci da je x tacka nagomilavanja skupa A.Kako je x proizvoljna taka iz X \ A, to je svaka tacka iz X \ A tackanagomilavanja skupa A, odnosno X \A A. Odavde zakljucujemoda je A A = X, a sa druge strane je A A = A, te zakljucujemoda vrijedi A = X, tj. A je gust u X.Neka je sada A gust u X i neka je U proizvoljan neprazan otvorenpodskup od X. Pretpostavimo da je U A = . Ovo znaci da zaproizvoljan x U , x / A. Osim toga, zbog proizvoljnosti skupa U , xnije ni tacka nagomilavanja skupa A, pa zakljucujemo da x / A, aovo je nemoguce jer je A gust u X.

Definicija 2.6.3. Topoloski prostor (X, ) je separabilan ako postojiizbrojiv podskup od X, koji je gust u X.

Teorem 2.6.2. Neka je (X, ) topoloski prostor koji zadovoljava drugiaksiom prebrojivosti. Tada vrijedi:

37


1. ako je A neizbrojiv podskup od X, onda A ima tacku nagomila-vanja.

2. (X, ) je separabilan prostor.Dokaz:

1. Neka je B izbrojiva baza topologije i pretpostavimo da niti jednox A nije tacka nagomilavanja skupa A. Onda za svako x A,postoji okolina Vx , takva da je Vx A = {x}, pa kako je B bazaod , postoji Bx B, takav da je x Bx Vx, tj. Bx A = {x}.Otuda je A =

xA

{x} u 1-1 korespondenciji sa nekom podfamilijomod B, tako da je A izbrojiv skup, sto je suprotno pretpostavci oneizbrojivosti skupa A.2. Neka je B izbrojiva baza od . Formirajmo skup A koji se sastojiod po jednog elementa iz svakog clana baze B. Onda je A izbrojivi A B 6= , za svako B B. Ac je otvoren skup (kao komplementzatvorenog skupa) i pri tome je A

c= . Zaista, ako ovo ne bi bilo, to

jest, ako postoji x Ac, tada zbog otvorenosti skupa postoji Bx Btakav da je x Bx Ac Ac sto je nemoguce. Dakle, A je izbrojiv igust skup u X, pa prema definiciji 2.6.3, X je separabilan.

Primjedba 2.6.1. Separabilan prostor (X, ) ne mora imati izbrojivubazu.

Primjer 2.22. Neka je X neizbrojiv skup i neka je familija kojasadrzi i sve komplemente konacnih skupova u X. Onda je (X, )topoloski prostor (pokazati!). (X, ) je separabilan jer za bilo kojiizbrojiv skup A X, takav da A nije konacan, vrijedi V A 6= ,za svaki neprazan V , tako da Ac nije otvoren skup osim akoje A

c= . Ovo onda znaci da je A = X, tj. A je gust u X i zbog

izbrojivosti skupa A, X je separabilan.(X, ) medjutim nema izbrojivu bazu. Ako pretpostavimo da je Bizbrojiva baza od , onda kako je

(x X)

V ,xVV = {x} ,

(jer (y X , y 6= x){y}c i x {y}c ), onda bi bilo {x}c =

V ,xVV c

tj. {x}c je izbrojiv skup kao izbrojiva unija konacnih skupova,odnosno X bi bio izbrojiv, sto je suprotno pretpostavci.

38


Definicija 2.6.4. Familija A je pokrivac skupa B ako je B AA

A.

Familija A je potpokrivac pokrivaca A ako je A takodje pokrivac iA A.Familija A je otvoreni pokrivac skupa B ako je A pokrivac i svakiA A je otvoren skup.Definicija 2.6.5. Za topoloski prostor (X, ) kazemo da je prostorLindelofa ako svaki otvoreni pokrivac od X ima izbrojiv potpokrivac.

Teorem 2.6.3. Ako topoloski prostor (X, ) zadovoljava drugi ak-siom prebrojivosti onda svaki otvoren pokrivac od S X ima izbrojivpotpokrivac.

Dokaz: Neka je S X i A otvoreni pokrivac od S. Tada za svakix S, postoji Ax A, takav da je x Ax. Neka je B izbrojiva bazatopologije . Kako je svaki A A otvoren skup, postoji u bazi Bskup Bx takav da je x Bx Ax. Prebrojiva unija

Bx ocigledno

pokriva skup S. Ako sada svakom Bx pridruzimo samo jedan odskupova Ax koji ga sadrze, tako dobijena familija skupova Ax jenajvise prebrojiva podfamilija familije A i ona je pokrivac od S. Buduci da smo govorili o prostorima koji zadovoljavaju drugi ak-siom izbrojivosti, prirodno je da se upitamo, a sta je to prvi ak-siom izbrojivosti. U tu svrhu vratimo se na pojam okolina i sistemaokolina.

Definicija 2.6.6. Neka je (X, ) topoloski prostor. Baza sistemaokolina tacke x X je podfamilija sistema okolina od x, takva dasvaka okolina od x sadrzi neki clan te podfamilije.

Topoloski prostor (X, ) zadovoljava prvi aksiom izbrojivosti akosistem okolina svake tacke x X ima izbrojivu bazu.Svaki prostor koji zadovoljava drugi aksiom izbrojivosti zadovol-java i prvi aksiom izbrojivosti i to je ocito. Obratno ne vrijedi, tj.drugi aksiom izbrojivosti je jaci od prvog.Da ovo vidimo posmatrajmo primjer:

Primjer 2.23. Neka je X neizbrojiv skup sa diskretnom topologijom . Ocito (X, ) zadovoljava prvi aksiom izbrojivosti jer (x X){x}je baza sistema okolina od x. (X, ) medjutim ne zadovoljava drugiaksiom izbrojivosti jer za svaku bazu B od , {{x} : x X} B, paotuda B ne moze biti izbrojiva familija.

39


Zadaci 2.6. :

1. Dokazati da R sa euklidskom topologijom zadovoljava drugiaksiom prebrojivosti.

2. Dokazati da Rn (n N) sa euklidskom topologijom zadovoljavadrugi aksiom prebrojivosti.

3. Neka je (X, ) topoloski prostor sa kofinitnom topologijom. Dali (X, ) zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti?

4. Neka je T neprazan podskup topoloskog prostora (X, ) i nekaje S T proizvoljan. Dokazati:(a) Ako je S svuda gust u X onda je i T svuda gust u X.

(b) R sa euklidskom tpologijom ima neprebrojivo mnogo svudagustih podskupova.

5. Neka je (X, ) topoloski prostor i A X. Dokazati da je Asvuda gust u X ako i samo ako svaka okolina proizvoljne tackeiz X \ A ima neprazan presjek sa A.

6. Neka je (X, ) diskretan topoloski prostor. Sta su gusti skupoviu X?

7. Ispitati da li je topoloski prostor (X, ) separabilan ako je:

(a) X = R, euklidska topologija.(b) X je prebrojiv skup, diskretna topologija.(c) X je konacan skup.

(d) je konacna familija.(e) X je neprebrojiv skup, diskretna topologija.(f) X je neprebrojiv skup, kofinitna topologija.

8. Skup A je gust u (X, ) ako i samo ako je (X \ A)o = .Dokazati!

9. Neka je A svuda gust u (X, ). Dokazati da za proizvoljanO vrijedi

A O = O .

40

2.7. Relativna topologija i topoloski potprostor

10. Neka su S i T svuda gusti skupovi u X. Ako je T otvoren skup,dokazati da je i S T svuda gust u X.

11. Oznacimo sa B = {[a, b) : a R , b Q , a < b}. Dokazati tvrd-jenja:

(a) B je baza za neku topologiju na R.(b) Ako sa oznacimo euklidsku topologiju na R, onda je

topologija finija od topologije .(c) Za a, b R, a < b, skup [a, b) je otvoreno-zatvoren u (R, ).(d) (R, ) je separabilan prostor.(e) (R, ) ne zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti.

2.7 Relativna topologija i topoloski potpros-

tor

Definicija 2.7.1. Neka je (X, ) topoloski prostor i Y neprazan pod-skup od X. Familiju

Y = {U : U = V Y za neki V } ,

nazivamo potprostor topologija na Y , a topoloski prostor (Y, Y ) nazi-vamo potprostorom prostora (X, ).

Nije tesko provjeriti da familija Y zaista jeste topologija na Y.Ovakvu topologiju nazivamo jos i relativna topologija ili indukovanatopologija na Y .Za svaki U Y kazemo da je otvoren u Y, a za njegov relativnikomplement, tj. Y \ U , kazemo da je zatvoren u Y.Primjer 2.24. Neka je X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i

= {X,, {1} , {3, 4} , {1, 3, 4} , {2, 3, 4, 5, 6}} .

Neka je Y = {2, 3, 5}, tada je indukovana topologija na Y data sa

Y = {Y,, {3}} .

41


Primjer 2.25. Ako posmatramo R sa euklidskom topologijom, sta jepotprostor topologija na Z R?Neka je n Z proizvoljan. Tada je (n 1, n + 1) Z = {n}, pazakljucujemo da {n} Z. Zbog proizvoljnosti n, imamo da su svijednoclani skupovi u Z otvoreni, a to onda prema Teoremi 2.1.1znaci da je Z diskretna topologija.

Primjer 2.26. Posmatrajmo [0, 1] R. Baza topologije na [0, 1] jestefamilija

B = {(a, b) [0, 1] : a, b R, a < b}ili preciznije

B = {(a, b) : 0 a < b 1}{[0, b) : 0 < b 1}{(a, 1] : 0 a < 1}[0, 1] .

Skup [0, 12) nije otvoren skup u R ali jeste u topologiji na [0, 1] jer

npr. (1, 12) [0, 1] = [0, 1

2). Cak i skup [0, 1] jeste otvoren skup u pot-

prpostoru [0, 1]. Ovdje jos jednom napominjemo da kada govorimo ootvorenosti skup (a i za druge uvedene pojmove) treba biti oprezani znati tacno sa kojom topologijom radimo na datom skupu.

Teorem 2.7.1. Neka je (X, ) topoloski prostor i (Y, Y ) potprostorod (X, ). Onda za A Y vrijede slijedece izjave:1. A je Y -zatvoren ako i samo ako je A = F Y gdje je F -

zatvoren skup.

2. y Y je Y -gomiliste od A ako i samo ako je y -gomiliste od A.3. Y -zatvorenje od A je skup A Y , gdje je A -zatvorenje od A.

Dokaz:

1.A je Y -zatvoren Y Ac je Y -otvoren

(V ) Y Ac = Y V A = Y V c.

( Y Ac = Y V Y c A = Y c V c (Y c A) Y = (Y c V c) Y A Y = V c Y )

42


2.

y Y je Y gomiliste od A ( U Y , y U) U A \ {y} 6= ( V , y V ) (V Y ) A \ {y} 6= ( V , y V ) V A \ {y} 6= y je gomiliste od A .

Neka dokaz pod 3. ostane za vjezbu.

Zadaci 2.7. :

1. Neka je X = {a, b, c, d, e} i neka je = {X,, {a} , {c, d} , {a, c, d} , {b, c, d, e}} .

Ako je Y = {a, d, e}, opisati indukovanu topologiju na Y .2. Neka je X = {a, b, c, d, e} i neka je

= {X,, {a} , {a, b} , {a, c, d} , {a, b, c, d} , {a, b, e}} .Odrediti elemente relativne topologije Y na Y = {a, c, e} i Zna Z = {b, c, d, e}.

3. Neka je B baza za topologiju na X. Ako je Y X, dokazatida je

BY = {B Y : B B}baza indukovane topologije Y na Y .

4. Opisati bazu uobicajene topologije na svakom od slijedecihskupova

(a) (a, b] , a, b R, a < b.(b) (a,+).(c) [a,+).(d) (, a].

5. Dokazati da je proizvoljan potprostor diskretnog topoloskogprostora diskretan potprostor.

6. Dokazati da je proizvoljan potprostor indiskretnog topoloskogprostora indiskretan potprostor.

43

2.8. Koneksnost

7. Neka je A B X i neka je topologija na X. Dalje nekaje B potprostor topologija na B. Ako sa A oznacimo pot-prostor topologiju na A, a sa topologiju indukovanu na Atopologijom B, dokazati da vrijedi A = .

8. Neka je (Y, Y ) potprostor prostora (X, ). Tada je Y akoi samo ako Y . Dokazati!

9. Neka je (Y, Y ) potprostor prostora (X, ). Pokazati da ako(X, ) zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti tada i (Y, Y )zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti.

2.8 Koneksnost

Definicija 2.8.1. Za dva skupa A i B u topoloskom prostoru (X, )kazemo da su odvojeni ako vrijedi: A B = i A B = .Definicija 2.8.2. Topoloski prostor (X, ) je koneksan ili povezanako X nije unija dva neprazna odvojena skupa.Y X je koneksan ako je Y sa relativnom topologijom koneksanprostor, tj. ako Y nije unija dva neprazna odvojena podskupa.

Teorem 2.8.1. Neka je (X, ) topoloski prostor. Vrijedi:1. Y X je koneksan ako i samo ako su jedini podskupovi od Y

koji su i otvoreni i zatvoreni u Y , samo Y i .

2. Zatvorenje koneksnog skupa je koneksan skup.

3. Ako je A familija koneksnih podskupova od X takva da svakadva clana od A nisu odvojeni, onda je {A : A A} takodjekoneksan skup.

Dokaz:

1. Y nije koneksan ako i samo ako postoje neprazni skupovi A iB takvi da je

Y = A B , clA B = i A clB = ,gdje smo sa clA (clB) oznacili zatvorenje od A (od B) u odnosuna Y . Otuda Y nije koneksan ako i samo ako postoji A 6= iA 6= Y , takav da je

A Y , clA (Y Ac) = i cl(Y Ac) A = .

44

2.8. Koneksnost

Ovo ce biti ako i samo ako A Y , clA A i cl(Y Ac) Y Ac,sto je opet ekvivalentno sa tim da postoji A Y takav da je Azatvoren i otvoren u Y . Dakle, Y je koneksan ako i samo akone postoji A 6= , Y , A Y takav da je istovremeno i zatvoreni otvoren u Y .

2. Neka je Y koneksan skup i neka je A Y , A i zatvoren iotvoren u Y . Ocito je onda A Y i zatvoren i otvoren u Y , pakako je Y koneksan slijedi da ili je A Y = ili je A Y = Y .Ali AY = implicira Y Ac i otuda je Y = AcY jer je AcYzatvoren u Y . Dakle, ili je A = ili je A = Y , tj. Y je koneksanprema tvrdnji 1. ovog teorema.

3. Oznacimo sa B =

[A : A A], gdje su A A koneksni skupoviod kojih nikoja dva nisu odvojeni. Neka je C B takav da jeC i otvoren i zatvoren u B. Ocito je onda A C i otvoren izatvoren u A za svako A A, pa kako je A koneksan , morabiti ili A C = ili A C = A, za svako A A. Otuda jeA B \ C ili je A C, za svako A A.Pretpostavimo sada da postoje A1, A2 A takvi da je A1 B \Ci A2 C. To bi znacilo da je A1 B\C i A2 C jer je C i otvoreni zatvoren u B, ali ovo bi opet znacilo da su A1 i A2 odvojeni,sto je protivno pretpostavci o familiji A. Dakle mora da vazi,ili je za svako A A, A B \ C, sto bi zbog definicije skupa Bznacilo da je C = , ili je za svako A A, A C, sto bi opetznacilo da je B = C. Zbog svega recenog zakljucujemo da je Bkoneksan skup.

Teorem 2.8.2. Skup R je koneksan.

Dokaz: Neka je U R otvoreno-zatvoren skup, takav da je U 6= i U 6= R. Tada postoji x U i y R \ U . Ne gubeci na opstosti,pretpostavimo da je x < y. Oznacimo sa A = U [x, y]. A je kaopresjek dva zatvorena skupa i sam zatvoren skup. Kao zatvorenu R, on je ogranicen odozgo i jedno njegovo gornje ogranicenje jeelement y. Neka je a = supA, pa zbog zatvorenosti zakljucujemo daje a A. Jasno je da a [x, y], tj. a y, ali zbog y R \ U , mora bitia 6= y, odnosno vrijedi a < y.S druge strane je U otvoren skup i pri tome je a U . Tada postojea, b R, a < b, takvi da je a (a, b) U . Kako je a < min{b, y}, postoji

45

2.8. Koneksnost

t R, takav da a < t < min{b, y}. Ali tada je t U i t [a, y], pavrijedi t U [x, y] = A. Ovo je onda kontradikcija jer t > a, a a jesupremum skupa A.Dakle, ako je U otvoreno-zatvoren skup u R, onda je U = R iliU = , odnosno, R je koneksan skup.

Definicija 2.8.3. Za skup S R kazemo da je interval ako zadovol-java slijedecu osobinu:

Ako su x, y S i ako je z R takav da je x < z < y, onda z S.Primjetimo da je svaki jednoclani skup {x} interval. Svaki intervalu R ima jednu od slijedecih formi: {x}, (x, y), [x, y], [x, y), (x, y],(, x), (, x], (x,+), [x,+), (,+).Teorem 2.8.3. Potprostor S topoloskog prostora R je povezan ako isamo ako je on interval.

Dokaz: Da su intervali povezani skupovi, dokazujemo na identican

nacin kao sto se dokazuje povezanost za R, stim da svugdje udokazu zamjenimo R sa intervalom ciju povezanost dokazujemo.Suprotno, neka je S R povezan skup. Pretpostavimo da je x S,z S, x < y < z i y / S. Posmatrajmo skup (, y) S. Kako je(, y) S = (, y] S, zakljucujemo da je on i otvoren i zatvorenskup u S. Kako zbog pretpostavljenih osobina za S imamo da x (, y) S, tj. (, y) S 6= , a takodje z / (, y) S, pa je(, y) S 6= S. Ali ovo je onda kontradikcija sa pretpostavkom opovezanosti skupa S. Gornji stavovi u mnogome opravdavaju termin povezanost, jersada znamo da su takvi R, [a, b] i (a, b) ali da nije povezan skup

[0, 1] [2, 3] [4, 6]

jer je on unija nepovezanih dijelova.Inace u mnogoj literaturi se tvrdjenje 1. Teorema 2.8.1 koristi zadefinisanje koneksnosti, tj. pojam koneksnosti smo mogli uvesti isa

Definicija 2.8.4. Neka je (X, ) topoloski prostor. Za X kazemo daje koneksan ili povezan ako su jedini otvoreno-zatvoreni podskupovi

od X sam skup X ili .

46

2.8. Koneksnost

Primjer 2.27. Ako je (X, ) diskretan toploski prostor, onda on nijepovezan.Zaista, svaki jednoclani podskup od X je i otvoren i zatvoren skup.Ako je (X, ) indiskretan toploski prostor, onda je on povezan.I ovo je jasna cinjenica jer su jedini otvoreni, a i zatvoreni skupovisam X i .

Primjer 2.28. Neka je X = {1, 2, 3, 4, 5} i neka je

= {X,, {1} , {3, 4} , {1, 3, 4} , {2, 3, 4, 5}} .

(X, ) je topoloski prostor ali ne i koneksan jer je skup {2, 3, 4, 5} iotvoren i zatvoren.

Uvedimo na topoloskom prostoru (X, ) binarnu relaciju na sli-jedeci nacin: za x, y X

x y def postoji koneksan skup A X takav da x, y A .

Lahko se pokazuje da je relacija relacija ekvivalencije. Nekaje sada Cx klasa ekvivalencije proizvoljnog elementa x X. Tadavrijedi

Teorem 2.8.4.

Cx ={A | A X , A koneksan i x A} ,

pri tome je Cx najveci koneksan skup koji sadrzi element x.

Dokaz: Neka je y Cx proizvoljan. Tada je y x, pa postoji A Xpovezan, takav da x, y A, tj. y {A | A X , A koneksan i x A}.Neka je A X proizvoljan koneksan skup koji sadrzi element x. Zaproizvoljan y A onda vazi y x, tj. y Cx.Na osnovu Teorema 2.8.1 pod 3. , skup Cx je koneksan. Akoje sada S X proizvoljan koneksan skup koji sadrzi x, onda jeS {A | A X , A koneksan i x A}, odnosno S Cx.

Definicija 2.8.5. Komponenta topoloskog prostora (X, ) je maksi-malan koneksan podskup od X, to jest koneksan podskup koji nijepravi podskup niti jednog drugog koneksnog podskupa od X.

Teorem 2.8.5. Vrijede tvrdjenja:

47

2.8. Koneksnost

1. Svaki koneksan podskup topoloskog prostora je sadrzan u kom-

ponenti i svaka komponenta je zatvoren skup.

2. Ako su A i B dvije razlicite komponente jednog prostora, ondasu A i B odvojeni.

Dokaz:

1. Neka je A 6= , koneksan podskup topoloskog prostora i nekaje

C ={B : B koneksan i A B} .

Prema Teoremi 2.8.1 C je koneksan skup, pa kako za svakikoneksan D koji sadrzi A slijedi da je D C, zakljucujemo daje C komponenta koja sadrzi A. Slucaj A = je trivijalan.Ako je C komponenta, onda iz Teorema 2.8.1, C je koneksanskup koji sadrzi C, pa je C C, sto opet znaci da je C = C tj.,C je zatvoren skup.

2. Neka su A i B dvije razlicite komponente istog prostora. Pret-postavimo da A i B nisu odvojeni tj., AB 6= . Zbog zatvorenostikomponente ovo bi znacilo A B 6= . Prema Teoremi 2.8.1,je A B koneksan skup, pa kako su A i B komponente, ondabi moralo biti A B = A i A B = B, odnosno A = B sto jesuprotno pretpostavci.

Zadaci 2.8. :

1. Neka je (X, ) proizvoljan topoloski prostor. Dokazati da (X, )nije koneksan ako i samo ako postoje disjunktni, neprazni iotvoreni pravi podskupovi A i B takvi da je A B = X.

2. Neka je X = {a, b, c, d, e, f}i neka je

= {X,, {a} , {c, d} , {a, c, d} , {b, c, d, e, f}} .

Da li je X koneksan skup?

3. Ispitati koji od prostora u Zadacima 2.1 -8. jesu koneksniprostori.

48

2.8. Koneksnost

4. Neka je Y podskup topoloskog prostora (X, ).

(a) Dokazati da ako je Y povezan skup tada je i Y povezanskup.

(b) Navesti primjer takav da je Y povezan skup ali da Y o nijepovezan skup.

5. Neka je (X, ) toploski prostor i neka su skupovi Ai X, (i I), povezani. Ako postoji i0 I, takav da skupovi Ai0 i Ai nisuodvojeni niti za jedno i I, pokazati da je i iI Ai povezanskup.

6. Neka je (X, ) toploski prostor i neka su skupovi Ai X, (i I), povezani. Ako vrijedi

iIAi 6= ,

onda je

iI Ai koneksan skup. Dokazati!

7. Toploski prostor (X, ) je koneksan ako i samo ako za proizvoljnedvije tacke x, y X, postoji povezan skup A X takav dax, y A. Dokazati!

49

Glava 3

Neprekidna preslikavanja

U ovoj glavi posmatracemo preslikavanja sa proizvoljnog topoloskogprostora u proizvoljan topoloski prostor i upoznati se sa jednom odnajvaznijih osobina bilo kog preslikavanja, pojmom neprekidnosti.

3.1 Neprekidnost

Vec smo se upoznali sa pojmom neprekidnih preslikavanja iz R uR.Za funkciju f : R R kazemo da je neprekidna ako za svako x0 Ri za svako > 0, postoji > 0, tako da za svako x R za koga je|x x0| < , vrijedi |f(x) f(x0)| < .Naravno, od interesa bi bilo definisati ovaj pojam u proizvoljnomtopoloskom prostoru, tj. i kada nemamo apsolutnu vrijednostniti oduzimanje. Slijedecom (ekvivalentnom) definicijom takodjedobijamo pojam neprekidnosti funkcije, ali nesto generalnije.Funkcija f : R R je neprekidna ako za svako x0 R i za svakiinterval (f(x0) , f(x0) + ), za > 0, postoji > 0 takav da f(x) (f(x0) , f(x0) + ), cim je x (x0 , x0 + ).Ovom definicijom smo izbjegli apsolutnu vrijednost ali je u igri idalje oduzimanje. Slijedecom lemom uspijevamo izbaciti i oduz-imanje:

Lema 3.1.1. Neka je f preslikavanje sa R u R. f je neprekidnopreslikavanje ako i samo ako za svako x0 R i za svaki otvoreniskup V koji sadrzi f(x0), postoji otvoreni skup U koji sadrzi tacku x0,takav da je f(U) V .Dokaz: Neka je f : R R neprekidna funkcija. Neka je x0 proizvoljna

50

3.1. Neprekidnost

tacka u R i neka je V otvoren skup koji sadrzi tacku f(x0). Tadapostoje c i d R (c < d), takvi da je f(x0) (c, d) V . Oznacimo sa

= min {d f(x0), f(x0) c} .Tada je

(f(x0) , f(x0) + ) V .Kako je f neprekidno preslikavanje, to postoji > 0 takav da jef(x) (f(x0) , f(x0) + ), cim je x (x0 , x0 + ). Ako sadaoznacimo sa U interval (x0 , x0 + ), jasno je da vrijedi iskaz leme.Obratno, pretpostavimo da za sve x0 R i za svaki otvoren skup Vkoji sadrzi tacku f(x0), postoji otvoren skup U koji sadrzi tacku x0,takav da je f(U) V .Neka su sada x0 R i > 0 proizvoljni. Oznacimo sa

V = (f(x0) , f(x0) + ) .Kako je V otvoren skup koji sadrzi f(x0), postoji otvoren skup U kojisadrzi x0, takav da je f(U) V . Kako je U otvoren skup koji sadrzitacku x0, postoje a, b R (a < b), takvi da je x0 (a, b) U . Ako sadasa oznacimo manji od brojeva x0a i bx0, vrijedice (x0, x0+) U . Osim toga, za svako x (x0 , x0 + ) je f(x) f(U) V , stoprema prvoj definiciji znaci da je f neprekidna funkcija.

Lema 3.1.2. Neka je f preslikavanje sa topoloskog prostora (X, )u topoloski prostor (Y, ). Slijedeca tvrdjenja su ekvivalentna:1. Za svaki V je f1(V ) .2. Za svako x0 X i svako V za koga je f(x0) V , postoji

U takav da je x0 U i f(U) V .Dokaz: Neka je zaovoljeno tvrdjenje 1. i neka su x0 X i V ,f(x0) V , proizvoljni. Po pretpostavci je f1(V ) . Stavimo U =f1(V ), tada je x0 U , U i f(U) V , sto je tvrdjenje pod 2.Neka je sada zadovoljen uslov 2. i neka je V . Ako je f1(V ) =, jasno je f1(V ) , zato neka je f1(V ) 6= i neka je x0 f1(V ).Tada f(x0) V , a onda po pretpostavci 2., postoji U takav da jex0 U i f(U) V . Dakle, za proizvoljno x0 f1(V ), postoji U takav da je x0 U f1(V ), te je dakle f1(V ) otvoren skup kaookolina svake svoje tacke, odnosno f1(V ) . Posmatrajuci posljednje dvije leme zajedno, dolazimo do definicijeneprekidnosti preslikavanja izmedju proizvoljnih topoloskih pros-tora.

51

3.1. Neprekidnost

Definicija 3.1.1. Neka su (X, ) i (Y, ) topoloski prostori i f pres-likavanje sa X u Y . Za preslikavanje f kazemo da je neprekidno sa(X, ) u (Y, ) ako za proizvoljan V , f1(V ) .Posmatrajmo sada na nekoliko primjera prakticnost ispitivanjaneprekidnosti preslikavanja pomocu ovakve definicije.

Primjer 3.1. Neka je f : R R zadata sa f(x) = x, tj. identickopreslikavanje. Za proizvoljan otvoren skup U R je f1(U) = U ,dakle otvoren skup u R,

( )

()

f1(U)

U

te je f neprekidno preslikavanje.

Primjer 3.2. Neka je f : R R, zadato sa f(x) = c (c R). Zaproizvoljan otvoren skup U R je f1(U) ili ili citav R, u obaslucaja otovren skup, pa je f neprekidno preslikavanje.

Primjer 3.3. Neka je f : R R zadata sa

f(x) =

{x 1 ; x 2x ; x > 2

1 2 3 412

1

2

1

2

52

3.1. Neprekidnost

Skup (0, 2) je otovren skup u R ali f1((0, 2)) = (1, 2] nije otvorenskup u R pa preslikavanje f nije neprekidno.

U posljednjem primjeru koristimo cinjenicu da je preslikavanjeprekidno ako nadjemo bar jedan otvoren skup cija inverzna slikanije otvoren skup.

Teorem 3.1.3. Neka su (X 1), (Y, 2) i (Z, 3) topoloski prostori.Ako su f : (X, 1) (Y, 2) i g : (Y, 2) (Z, 3) neprekidna pres-likavanja, tada je i kompozicija g f : (X, 1) (Z, 3) neprekidnopreslikavanje.

Dokaz: Neka je U Z otvoren skup u (Z, 3). Kako je g neprekidnopreslikavanje, to je V = g1(U) 2. Zbog neprekidnosti pres-likavanja f , onda je f1(V ) 1. Dakle, za proizvoljan U 3 jef1(g1(U)) 1, a kako je f1(g1(U)) = (g f)1(U), zakljucujemoda je g f neprekidno preslikavanje. Slijedecim teoremom pokazujemo da se neprekidnost preslikavanjamoze okarakterisati i u terminima zatvorenih skupova.

Teorem 3.1.4. Neka su (X, ) i (Y, ) topoloski prostori i neka jef : (X, ) (Y, ). Preslikavanje f je neprekidno ako i samo akoje inverzna slika proizvoljnog zatvorenog skupa u Y zatvoren skup uX.

Dokaz: Za dokaz gornje tvrdnje dovoljno je pokazati da vrijedi

f1(Ac) = (f1(A))c ,

sto ostavljamo citaocu za vjezbu. Kada govorimo o neprekidnosti preslikavanja u tacki, govorimoo lokalnom svojstvu prelikavanja. Preslikavanje je neprekidno nacitavoj oblasti definisanosti ako je neprekidno u svakoj tacki teoblsti i tada govorimo o globalnom svojstvu preslikavanja. Med-jutim, mozemo govoriti i o neprekidnosti preslikavanja i na nekomdijelu oblasti definisanosti.

Teorem 3.1.5. Neka su (X, ) i (Y, ) topoloski prostori i neka jef : (X, ) (Y, ) neprekidno preslikavanje. Neka je D X satopologijom 1, indukovanom topologijom . Preslikavanje g : (D, 1) (Y, ), definisano sa g(x) = f(x) za x D, nazivamo restrikcija pres-likavanja f na skup D, i ono je neprekidno preslikavanje.

53

3.1. Neprekidnost

Zadaci 3.1. :

1. Neka je f : (X, ) (Y, ) proizvoljno konstantno preslika-vanje. Pokazati da je f neprekidna funkcija.

2. Neka je f : (X, ) (X, ) identicko preslikavanje. Pokazatida je f neprekidna funkcija.

3. Data je funkcija

f(x) =

{ 1 ; x 01 ; x > 0 .

(a) Koristeci metod kao u primjeru 3.3, pokazati prekidnostfunkcije f .

(b) Odrediti f1(1), pa koristeci Teorem 3.1.4 zakljuciti da fnije neprekidna funkcija.

4. Neka je X R, dat sa X = [0, 1][2, 4]. Definisimo preslikavanjef : (X, ) R sa

f(x) =

{x ; x 0

x+ 1 ; x > 0 .

Ispitati neprekidnost funkcije f !

5. Neka su (X, ) i (Y, ) topoloski prostori i neka je B baztopologije . Dokazati tvrdjenje:Preslikavanje f : (X, ) (Y, ) je neprekidno ako i samo akoza proizvoljno V B je f1(V ) .

6. Dokazati da je proizvoljno preslikavanje diskretnog topoloskogprostora u bilo koji topoloski prostor, neprekidno preslika-vanje.

7. Neka f : (X, ) (Y, ). Ako je indiskretna topologija,pokazati da je f neprekidno preslikavanje.

8. Neka su (X, ) i (Y, ) topoloski prostori i neka je f : (X, ) (Y, ) neprekidno preslikavanje. Neka je A X i 1 topologijaindukovana na A. Oznacimo sa B = f(A) i neka je 1 induko-vana topologija na B. Dokazati da je preslikavanje g : (A, 1) (B, 1) neprekidno.

54

3.2. Neprekidnost i povezanost

9. Neka su i dvije topologije definisane na X. Dokazati:Preslikavane f : (X, ) (X, ) je neprekidno ako i samo akoje topologija finija od topologije .

10. Ako neprekidna funkcija f : R R ima osobinu da je za svakoq Q, f(q) = 0, dokazati da je tada f(x) = 0 za svako x R.

11. Neka su (X, ) i (Y, ) topoloski prostori i neka f : (X, ) (Y, ). Dokazati:Preslikavanje f je neprekidno ako i samo ako za svako A Xvrijedi f(A) f(A).

3.2 Neprekidnost i povezanost

Teorem 3.2.1. Neka su (X, ) i (Y, ) topoloski prostori i neka jef : (X, ) (Y, ) surjektivno i neprekidno preslikavanje. Tada,ako je (X, ) koneksan prostor onda je i (Y, ) koneksan prostor.

Dokaz: Pretpostavimo da (Y, ) nije koneksan prostor. Tada pos-toji otvoreno-zatvoren skup V Y , takav da V 6= i V 6= Y . Kakoje V otvoren skup, onda je zbog neprekidnosti preslikavanja f if1(V ) otvoren skup u X, ali isto tako je V i zatvoren skup pa je naosnovu Teorema 3.1.4, f1(V ) zatvoren skup u X. Zakljucujemoda je f1(V ) otvoreno-zatvoren skup u X.Zbog surjektivnosti preslikavanja, jasno je da f1(V ) 6= , ali istotako je f1(V ) 6= X, inace bi moralo biti V = Y . Dakle, zbog pos-tojanja ovakvog skupa (X, ) nije koneksan sto je u kontradikcijisa pretpostavkama teorema, pa zakljucujemo da i (Y, ) mora bitikoneksan prostor. Gornji teorem smo mogli isazati jednostavnije: Neprekidna slikakonesnog skupa je konesan skup. Ovaj teorem nam govori i sli-jedece, ako je (X, ) koneksan prostor, a (Y, ) nekoneksan, ondane postoji neprekidno preslikavanje sa (X, ) na (Y, ). Bitna pret-postavka ove teoreme je surjektivnost preslikavanja. Citaocu os-tavljamo da ispita zasto i da nadje primjer za koga gornja tvrdnjane vazi, izostavimo li surjektivnost.Sada sa pojmom neprekidnosti mozemo uvesti jos jednu vrstukoneksnosti skupa.

55


Definicija 3.2.1. Za topoloski prostor (X, ) kazemo da je putno-povezan ako za svaki par razlicitih tacaka x, y X, postoji neprekidnopreslikavanje f : [0, 1] (X, ), takvo da je f(0) = x i f(1) = y. Zaprslikavanje f kazemo da je put koji spaja tacke x i y.

Primjer 3.4. Svaki interval u R je putno-povezan skup. Sta vise,povezani potprostori realne linije su upravo intervali (ukljucujucineogranicene intervale i ).

Primjer 3.5. Za svako n N, Rn je putno-povezan skup.

Teorem 3.2.2. Svaki putno-povezan skup je koneksan.

Dokaz: Neka je (X, ) putno-povezan prostor i pretpostavimo daon nije koneksan. To znaci da u tom prostoru postoji otvoreno-zatvoren skup U koji nije prazan i pravi je potskup od X. Tadapostoje tacke a U i b X \ U . Zbog putne povezanosti prostora(X, ), postoji neprekidno preslikavanje f : [0, 1] (X, ), takvo daje f(0) = a i f(1) = b.Zbog neprekidnosti preslikavanja f , skup f1(U) je otvoreno zatvorenskup u [0, 1]. Kako a U , 0 f1(U), pa dakle f1(U) 6= . Isto takozbog b / U , 1 / f1(U), pa zakljucujemo f1(U) 6= [0, 1].Ovo je onda ocigledna suprotnost sa cinjenicom da je [0, 1] putno-povezan skup. Da li vazi obrat gornjeg tvrdjenja, tj. da li koneksnost skupapovlaci njegovu putnu povezanost? Da pokazemo da to ne vazi,navodimo primjer prostora koji jeste koneksan ali nije putno-povezan.

Primjer 3.6. Neka je X R2, zadat sa

X =

{(x, y) : y = sin

1

x, 0 < x 1

} {(0, y) : 1 y 1} .

Da je X koneksan ostavljamo citaocu za vjezbu, a da nije putno-povezan ostaje nam primjetiti da nepostoji put koji spaja tacku(0, 0) sa npr. tackom ( 1

pi, 0).

56


Sada cemo iskazati poznati Weierstrassov teorem kao lijep primjerprimjene topologije u teoriji funkcija realne promjenljive.

Teorem 3.2.3. Neka je f : [a, b] R neprekidna funkcija i neka jef(a) 6= f(b). Tada za svako p izmedju f(a) i f(b), postoji c [a, b],takav da je f(c) = p.

Dokaz: Kako je [a, b] povezan skup i f neprekidna funkcije, na

sonovu Teorema 3.2.1 imamo da je i f([a, b]) koneksan skup. Naosnovu Teorema 2.8.3 imamo da je onda f([a, b]) interval. Kako suf(a) i f(b) iz f([a, b]), onda za p koji je izmedju f(a) i f(b) imamop f([a, b]). Dakle, za neko c [a, b] je onda p = f(c). Kao direktnu posljedicu ove teoreme imamo

Posljedica 3.2.4. Neka je f : [a, b] R neprekidno preslikavanje ineka je f(a) < 0 i f(b) > 0. Tada postoji c [a, b] takav da je f(c) = 0.

Zadaci 3.2. :

1. Dokazati da je neprekidna slika putno-povezanog skupa, putno-povezan skup.

2. Neka je (X, ) topoloski prostor i neka je {Ai | i I} familijapovezanih potprostora od X. Ako je

iI Ai 6= onda je i

iI Ai povezan.

3. Neka je A povezan potprostor topoloskog prostora (X, ). Dokazatida je i A povezan skup.

57

3.3. Homeomorfizmi

4. Neka je A povezan potprostor topoloskog prostora (X, ) i nekaje A B A. Dokazati da je i B povezan skup.

5. Neka je E skup svih tacaka iz R2 cije su obje koordinate racionalnibrojevi. Dokazati da je skup R2 \ E putno-povezan skup.

6. Neka je A proizvoljan prebrojiv podskup od R2. Dokazati da jeR2 \ A putno-povezan skup.

7. Neka je (X, ) topoloski prostor i neka je a X proizvoljan.Sa CX(a) ozna

skripta iz topologije

Documents