Kinematika Prva i druga parcijala ( teorija i zadaci )

Meanovi MirzaI-467/12

Odgovori sa zavrnog ispita 15.07.2014Prva parcijala

1.) Kada se kretanje take smatra zadanim ?

Kretanje tacke se smatra zadanim ako postoji mogunost odredjivanja poloaja take u svakom trenutku vremena u odnosu na dati (izabrani) sistem referencije.

2.) ta je vektor poloaja ?

Vektor poloaja je usmjerena duina kojoj je poetak u ishoditu sustava a kraj (strelica) "prati" toku dok se giba. Koordinate i vektor poloaja esto se piu bez eksplicitne oznake ovisnosti o vremenu, jer se ona kod gibanja i tako podrazumijeva.

3.) Vektor brzine pokretne take u datom trenutku

Sa slike vidimo da je , odakle je . .

Prema tome, vektor srednje brzine premjestanja pokretne tacke za dati interval vremena t, jednak je odnosu prirastaja radius vektora za taj interval i samog tog vremenskog intervala.

Granicna vrijednost kojoj tezi srednja brzina premjestanja pokretne tacke kada t0 nazivamo vektorom brzine tacke u datom trenutku i oznacavamo sa v. Vektor brzine tacke u datom trenutku dat je izrazom: .Prema tome vektor brzine tacke u datom trenutku jednak je prvom izvodu radius vektora pokretne tacke po vremenu u tom trenutku.Jedinica je .

4.) ta je sektorska brzina ?

Ako je interval vremena mali onda se prirastaj povrsine za taj interval moze napisati u obliku

Odnos izmedu prirastaja povrsine koju prebrise radijus vektor i odgovarajuceg intervala vremena , predstavlja srednju sektorsku brzinu tj.

Granina vrijednost srednje sektorske brzine za sluaj da je sektorska brzina take u datom trenutku vremena

odnosno tj.dvostruka sektorska brzina tacke u odnosu na neki centar, jednaka je momentu brzine te tacke u odnosu na isti centar.

Sektorska brzina zavisi od izabranog centra zbog toga je pri zadavanju sektorske brzine potrebno naglasiti u odnosu na koji centar je data ta sektorska brzina.

5.) Translatorno kretanje tijela Translatornim kretanjem tijela nazivamo takvo kretanje tijela kod koga proizvoljna prava, kruto vezana za tijelo, ostaje, za cijelo vrijeme kretanja, paralelna svom poetnom poloaju.

Predpostavimo da su nam poznate jednaine kretanja take u obliku

onda se projeciranjem jednaine (1) na ose nepominog sistema dobijaju jednaine kretanja

gdje su kordinate vektora Prethodne jednaine se nazivaju zakonima ili jednainama translatornog kretanja tijela.

ili (2)

Ima dva raliita sluaja :1.) Kada su brzine pojedinih taaka meusobno jednake u svakom trenutku vremena t ,takvo kretanje nazivamo permanentnim translatornim kretanjem tijela.Osobine permanentnog kretanja : a) putanje svih tacaka tijela su konvergentne krive linijeb)brzina bilo koje tacke tijela ,u svakom trenutku vremena jednaka je brzini ishodista O pokretnog sistena tj. brzine taaka tijela medjusobno su jednake u bilo kom trenutku vremenac)ubrzanje svih tacaka tijela medjusobno su jednaka u bilo kom trenutku vremena

2.) Kada je jednaina (2) zadovoljena samo u odreenom trenutku ,takvo kretanje nazivamo trenutnim translatornim kretanjem tijela.

Druga parcijala 1. ) ta su trenutni centri obrtanja i kako se odreuju ?Trenutni centar obrtanja predstavlja taku oko koje ako nainimo rotaciju za beskonano mali ugao ravna figura e prei iz datog u njemu beskonano bliski poloaj.Brzina taaka A,B i C ravne figure bie,u datom trenutku,normalne na radius obrtanja,koji spajaju dotine take sa trenutnim centrom ( polom ) obrtanja P.

Brzina take ravne figure,koja se poklapa sa trenutnim polom obrtanja,u datom trenutku,jednaka je nuli.Ta se onda taka naziva i trenutnim polom (centrom ) brzina.Poznavanjem poloaja trenutnog pola obrtanja P,moemo,u datom trenutku,odrediti i pravac brzine bilo koje take ravne figure.Za odreivanje poloaja trenutnog centra obrtanja dovoljno je poznavati pravac brzine dviju taaka ravne figure,jer se u u prosjeku normala na pravac brzina u odgovarajuim takama nalazi trenutni centar obrtanja.

2.) Kako se odreuje trenutni pol ubrzanja ?Ako ravna figura vri netranslatorno kretanje u svojoj ravni onda uvijek postoji jedna taka,u ravni kretanja,ije je ubrzanje jednako nuli.Tu taku nazivamo trenutnim polom ubrzanja ravne figure.

Trenutni pol ubrzanja se odreuje na sledeci nain :

1.) Iz take A povucimo polupravu pod uglom ,prema ubrzanju ,koji je definisan izrazom

Ugao nanosimo od vektora u smjeru obrtanja ravne figure ako su istog smjera i u suprotnom ako su su raliitog smjera.2.)Na polupravoj nanosimo du

Ubrzanje take Q ako je taka A pol

Intezitet ubrzanja take Q oko pola A

Vektori su kolinearni i usmjereni na suprotne smjerove,tj.

Taka Q predstavlja trenutni pol ubrzanja.Pri kretanju ravne figure u njenoj ravni poloaj njenog trenutnog pola ubrzanja neprekidno se mijenja.

3.)Kako se odreuje trenutna ugaona brzina kod sfernog kretanja ?Trenutna obrtna osa je geometrijsko mjesto taaka tijela,ije su brzine u datom trenutku jednake nuli.Ugaona brzina

kojom se vri rotacija oko trenutne obrtne ose predstavlja trenutnu ugaonu brzinu tijela.Pri ovome treba imati u vidu da veliina ne predstavlja izvog ugla po vremenu ,jer pri kretanju tijela oko nepomine take takav ugao ne postoji.Odavde slijedi da pri ovakvom kretanju tijela nije mogue njegovu ugaonu brzinu odrediti kao izvod nekog ( jednog ) ugla po vremenu.Prema tome trenutna ugaona brzina mora biti neposredno zadana u funkciji od vremena.Trenutnu ugaonu brzinu moemo predstaviti u obliku vektora koji je usmjeren du trenutne obrtne ose ,a ima takav smjer da gledmo iz vrha vektora vidimo obrtanje oko trenutne obrtne ose u suprotnom smjeru od obrtanja kazaljke na satu.

4.) Sloeno kretanje tijela.Slaganje obrtnih kretanja tijela oko paralelnih osa.Sluaj kada su trenutne ugaone brzine komponentalnih kretanja usmjere u istu stranu.Neka su A i B take prodora osa i kroz ravan .

=

Ako tijelo istovremeno uestvuje u dvije rotacije,oko paralelnih osa u istom smjeru,ugaonim brzinama ,apsolutno kretanje tijela je trenutno obrtanje ugaonom brzinom ,u smislu komponentnih ugaonih brzina du trenutne ose paralelne osama komponentalnih ugaonih brzina i sa njima lei u istoj ravni.

5.)Jedinica za ugaono ubrzanje ?Ugaono ubrzanje je promjena ugaone brzine po jedinici vremena.

Pitanja sa zavrnog ispita 17.06.20143.)ta je sektorska brzina ? odgovoreno ranije5.)Kako se odreuje trenutni pol ubrzanja ? odgovoreno ranije1.)Zakon kretanja take za vektorski nain definisanja kretanja takePri kretanju tacke M njen radijus vektor se mijenja u funkciji argumenta (t) i u opcem slucaju on se mijenja kako po intenzitetu tako i po pravcu i smjeru. Takvu vektorsku velicinu nazivamo vektor funkcijom skalarnog argumenta (t) i oznacavamo simbolom Jednainu nazivamo jednainom kretanja ili zakonom kretanja take u vektorskom obliku.

2.) Vektor srednje brzine premjetanja pokretne takeVektor ,iji je poetak u taki ,a kraj u ,nazivamo vector premjetanja pokretne take za dati interval vremena .Kolinik vektora premjetanja take i interval vremena za koji se to premjetanje desilo predstavlja vector srednje ( prosjene ) brzine premjetanja take u tom interval vremena.

Vektor srednje brzine premjetanmja pokretne take ,za dati interval vremena ,jednak je odnosu prirataja radius-vektora za taj interval vremena i samg tog vremenskog intervala.

4.)ta je ravno kretanje tijela i koje su jednaine ravnog kretanja?Kretanje tijela nazivamo ravnim,ako se take tijela kreu u ravnima,koje su paralelne nepominoj referentnoj ravni.Prouavanje ravnog kretanja tijela svodi se na prouavanja kretanja neizmjenjive ravne figure u njenoj ravni.Pri kretanju figure S u ravni mijenjaju se,u funkciji vremena,veliine .Te promjenu javljaju se kao neprekdine,jednoznane i diferencijabilne funkcije vremena t.

, Prethodne jednaine predstavljaju jednaine ( zakone ) ravnog kretanja tijela.

6.)Intenzitet,pravac i smjer Koriolisovog ubrzanja ?

Koriolisovim ubrzanjem nazivamo onu komponentu apsolutnog ubrzanja koa je jednaka dvostrukom vektorskom produktu prenosne ugaone brzine i relativne brzine take.

Do Koriolisovog ubrzanja doi e ako su ispunjena slijedea dva uslova :1.) Ako usljed relativnog kretanja take,u odnosu na pokretni sistem referencije ,doe do promjene prenosne brzine take.2.)Ako usljed obrtnog prenosnog kretanja doe do dopunske promjene pravca vektora relativne brzine u odnosu na nepomini sistem referencije.

Pravac Koriolisovog ubrzanja odreuje se po pravilu vektorskog proizvoda.Da bi nali smjer i pravac Koriolisovog ubrzanja,potrebno je projektovati vector relativne brzina na ravan,koja je upravna na osu prenosne rotacije i zarotirati tu projekciju,u toj ravni ,za 90^0 u stranu prenosne rotacije.

Dodatna pitanja : 1.) Sta je kinematika ? to je dio mehanike koji proucava mehanicka kretanja ne uzimajuci u obzir njihove uzroke ,to jest sile ni masu predmeta koji se krecu .proucava dakle kretanja geometrijskih tvorevina:tacke (materijalne tacke),duzine(duzi,stapa),ravni i zapremine (tijela) metodama matematike uz uvodjenje vremena.Dijeli se na kinematiku (materijlne ) tacke i kinematiku krutog tijela.

2.) Sta je sistem referencije ? u kinematici se izucavaju mehanicka kretanja to jest uz neprekidnu promjenu vremena izucavamo promjenu polozaja tijela (ili tacke) u odnosu na neko drugo tijelo .to drugo tijelo nazivamo tijelom referencije a koordinatni sistem koji je za njega kruto vezan sistemom referencije .

3.)Osnovne jedinice Si sistema ? duzina -l (metar) masa m (kilogram) vrijeme-t (sekunda) elektricna struja-I (amper)termodinamicka temparatura-T (kelvin )kolicina materije-n (mol) svjetlosna jacina (candela)

4.)Nacini definisanja krivolinijskog kretanja tacke Postoje tri ,najvise rasprostranjena nacina definisanja krivolinijskog kretanja tacke i to su : 1) vektorski 2)koordinatni ili analiticki 3) prirodni.

5.) Hodograf vektora brzine- predstavlja geometrijsko mjesto vrhova vektora brzine pokretne tacke nanesenih iz jedne prizvoljne tacke prostora. 6.)Jednaina hodografa brzine

Ove jednacine mozemo posmatrati kao parametarski oblik, da bi se dobio analiticki oblik dovoljno je da se iz tih jednacina eliminise parametar t.

7.)Vektor ubrzanja tacke u datom trenutku vremena-

Dijeljenje vektora vsa odgovarajucim intervalom vremena t dobijemo vektor kojeg nazivamo vektorom srednjeg ubrzanja tacke za dati interval vremena. - vektor ubrzanja tacke u datom trenutku vremena jednak je prvom izvodu vektora brzine tacke po vremenu ili drugom izvodu radius vektora tacke po vremenu. Vektor ubrzanja tacke u datom trenutku vremena lezi u ravni trajektorije i usmjerene je u stranu zakrivljenosti krivolinijske trajektorije.Osnovna jedinica za ubrzanje je 1m/s2. kod kretanja gdje su ubrzanja velika kao osnovna mjera se uzima 1km/s2.

8.)Jedinica za brzinu m/s9.)Jedinica za ubrzanje m/

10.) Metod Dekartovih pravouglih kordinata.Jednacina trajektorije pokretne tacke . Vrijeme t smatra se parametrom onda te jednacine predstavljaju i parametarske jednacine trajektorije pokretne tacke.Eliminacijom parametra t iz ovih jednacina dobijamo jednacinu trajektorije tacke u koordinatnom (analitickom ) obliku. Tako npr eliminaciijom parametra t iz jednacina 1.10 dobijamo jedan od sljedecih sistema od po dvije jednacine : ; Svaki od ovih sistema po dvije jednacine predstavlja trajektoriju tacke kao presjek dvije cilindricne povrsine.trajektoriju tacke mozemo naci i geometrijski,na taj nacin sto koristenjem jednacina kretanja nanesemo niz uzastopnih polozaja poketne tacke u odnosu na usvojeni sistem referencije pa te polozaje spojimo.

11.) Odredjivanje brzine tacke u datom trenutku vremena u dekartovim pravouglim koordinatama Pretpostavimo da su nam date jednacine kretanja preko pravouglih Dekartovih koordinata.Ako sa i,j,k oznacimo jedinicne vektore duz osa usvojenog sistema tada se radius vektor pokretne tacke M moze napisati u obliku ,gdje su x, y, z projekcij radius vektora na odgovarajuce ose usvojenog sistema.Jedinicni vektori su konstanog pravca i smjera jer pretpostavljamo da su ose Ox,Oy,Oz nepomicne.Vektor brzine u datom trenutku vremena dat je izvodom njenog radius vektora po vremenu to jest : .

Projekcije vektora brzine na nepomicne ose Dekartovog sistema jednake su prvim izvodima odgovarajucih koordinata pokretne tacke po vremenu .Poznavanje projekcije vektora brzine na ose Dekartovog sistema moemo naci i intenzitet vektora brzine po formuli v= || =+ .Da bismo odredili pravac vektora potrebno je naci i uglove koje vektor gradi s pozitivnim smjerovima koordinatnih osa .Kosinusi ovih uglova dati su izrazima : cos ( ) = , cos ( ) = , cos ( ) = .

12.) Odredjivanje ubrzanja tacke u datom trenutku vremena u dekartovim pravouglim kordinatamaVektor ubrzanja u datom trenutku jednak je izvodu vektora brzine po vremenu tj. , kako je radijus vektor dat izrazom to je

gdje su i, j, k const.

Projekcije vektora ubrzanja na ose nepominog Dekartovog pravouglog sistema jednake su prvim izvodima po vremenu odgovorajuih projekcija vektora brzina na te iste ose ili drugim izvodima odgovarajuih kordinata pokretne take po vremenu.

cos ( ) = cos ( ) = cos ( ) =

13.) Jednacina kretanja tacke u polarnim koordinatama Kada tacka za cijelo vrijeme kretanja ostaje u jednoj ravni vrlo cesto se za odredjivanje polozaja tacke koriste polarne koordinate r i ,gdje je r rastojanje pokretne tacke od pola O a je ugao sto ga obrazuje radius-vektor pokretne tacke OM sa polarnom osom (p) .Pri kretanju tacke M njene polarne koordinate r i se mjenjaju sa vremenom pa ce jednacine kretanja u ovim sistemima biti date izrazima Funkcije moraju biti jednoznacne,neprekidne i dvaput diferencijabilne.Jednacinu trajektorije tacke u polarnim koordinatama dobijamo eliminacijom parametra t iz gornjih jednacina u obliku 14.)Brzina tacke u datom trenutku u polarnim koordinatama - radijalna komponenta vektora brzine koja je usmjerena u pravcu povecanja radius vektora pokretne tacke i karakterise promjenu tog vektora samo po intenzitetu a - transverzalna (cirkularna) komponenta vektora brzine usmjerena uvijek upravno na radius-vektor pokretne tacke i ima smjer povecanja ugla.Ova komponenta karakterise promjenu radius vektora po pravcu. Intenzitet vektora brzine dat je sljedecim izrazom : .U specijalnom slucaju kada se radius vektor mijenja samo po intenzitetu u pitanju je pravolinijsko kretanje i tada postoji samo radijalna komponenta tj cirkularna je jednaka nuli pa je vektor brzine odredjen izrazom .Drugi specijalni slucaj je kada radius vektor zadrzava konstantan intenzitet r=const tada je kretanje po kruznici i naziva se kruzno kretanje .u ovom slucaju radijalna komponenta je jednaka nuli ,pa je vektor brzine odredjen izrazom : .

15.)Ubrzanje take u datom trenutku u polarnim kordinatamaVektor ubrzanja moze se predstaviti u obliku zbira dvije komponente: radijalne i cirkularne koje su date izrazima: , . Intenzitet vektora mozemo napisati u obliku .

16.)Zakon kretanja tacke u prirodnim koordinatama Prirodni nacin definisanja kretanja tacke primjenjuje se u slucaju kada nam je poznata trajektorija tacke u odnosu na usvojeni sistem referencije. Ta trajektorija moze biti prava ili prostorna kriva linija.U tom smislu pretpostavimo da se tacka M krece po prostornoj krivoj u odnosu na izabrani sistem referencije Oxyz.

Pri kretanju racke M po trajektoriji (s) se mijenja u funkciji vremena (t) tj. jednacina kretanja tacke po datoj trajektoriji.

17.)Veza izmedju koordinatnog kretanja tacke za slucaj Dekartovih koordinata Slucaj Dekartovoih koordinata-ako je kretanje tacke definisano preko Dekartovih koordinata u obliku x = , y = , z = . Onda je za prelaz na prirodni nacin neophodno odrediti : 1) jednacinu trajektorije tacke 2) polozaj tacke A ()3) zakon kretanja duz trajektorije . Jednacinu trajektorije odredicemo eliminacijom parametra t iz jednacina kretanja,dok koordinate tacke A mozemo odrediti uvrstavajuci u jednacine kretanja t=0 .Iz diferencijalne geometrije je poznato da se element luka trajektorije ds moze napisati u obliku ds = gdje znak plus oznacava povecanje koordinate a s minus smanjenje. Integriranjem ove jednacine dobijamo zakon kretanja ili s=dt gdje su = (t) , = (t) , = (t) , prvi izvodi jednacina kretanja po vremenu.Ako bi se tacka kretala duz neke prave u tom slucaju ocigledno je da se koordinatni nacin svodi na prirodan.

18.) Brzina tacke u datom trenutku u prirodnim koordinatama Kod vektorskog nacina definisanja kretanja definisali smo srednju brzinu u obliku: , gdje je t vrijeme premjestanja , - predstavlja izraz za srednju brzinu, gdje je s duzina luka MM1. Vektor brzine tacke u datom trenutku moze se napisati u obliku : gdje je s=f(t) zakon kretanja tacke.

19.) Ubrzanje tacke u datom trenutku u prirodnim koordinatama -vektor ubrzanja tacke u datom trenutku je potpuno odreden jednacinom kretanja s=f(t) i poluprecnikom R .Vidimo da vektor ubrzanja predstavlja zbir dva vektora: i = = = ; ; -sto predstavlja tangencijalno i normalno ubrzanje tacke.itenzitet vektora ubrzanja dat je izrazom: a = .Kada je kretanje je ubrzano a imaju isti smjer a kada je kretanje je usporeno a imaju suprotan predznak.

20.)ta je translacija , a ta je rotacija ?Translacija je pravocrtno gibanje tijela gdje sve njegove tocke imaju istu putanju, brzinu i ubrzanje.predjeni put brzina : ubrzanje : Rotacija je vrtnja tijela oko nepomicne osi.ugao ugaona brzina ugaono ubrzanje 21.Sferno kretanje tijela.Jednaine sfernog kretanja tijela.Ako se tijelo kree tako,da bilo koja jedna ( njegova ) taka ostaje nepomina,onda takvo kretanje nazivamo sfernim kretanjem tijela oko nepomine povrine.

-ugao precesije -ugao sopstvene rotacije ugao nutacije (1)Funkcije moraju biti jednoznane,neprekidne i diferenecijabilne do zakljuno drugog reda.Jednainama (1) potpuno je definisano sferno kretanje tijela pa te jednaine nazivamo jednainama sfernog kretanja tijela.

22.Ojler-Dalamberova teorema Svako premjetanje tijela,koje ima jednu nepominu taku O,iz jednog poloaja u neki drugi,moemo dobiti jednom rotacijom tijela oko ose koja prolazi kroz taku O.

23.Teorema o slaganju brzina :Apsolutna brzina take M,koja vri sloeno kretanje,jednako je vektorskom zbiru njene relativne i prenosne brzine

24.Teorema o slaganju ubrzanja-Koriolisova teorema U opem sluaju prenosnog kretanja apsolutno ubrzanje take jednako je zbiru prenosno,relativnog i Koriolisovog ubrzanja

Krivaja OA klipnog mehanizma obre se konstantnom ugaonom brzinom tapa AB dovodi u kretanja kliza B.Dato je

.U momentu kada je ugao a krivaja OA i stap AB grade sa horizontalom ugao od rad

! Pogreno pretpostavljen smjer !

Poluga datog mehanizma obrce se konstantnom ugaonom brzinom i dovodi u kretanje polugu zglobno vezanu u tacki B sredista tocka.Tocak se kotrlja,bez klizanja,po nepokretnoj horizontalnoj ravni. Poluprecnik tocka je 40 cm.Odrediti:a)brzinu tacke C tocka b) ugaono ubrzanje tocka c)ugaono ubrzanje poluge AB R=40 cma) b) c)

X: Y: =

Za klipni mehanizam prikazan na slici odrediti rastojanje izmedju trenutnog pola brzina i trenutnog pola ubrzanja poluge AB ako se krivaja OA obrce konstantnom ugaonom brzinom ,a klizac B u polozaju mehanizma ima ubrzanje sa naznacenim smjerom.Dato je

=

=arctg0=0

Taka M,koja se u poetnom trenutku nalazila na vrhu O pravog kruznog konusa,krece se ravnomjerno po izvodnici konusa,od vrha ka bazi relativnom brzinom u odnosu na konus .Istovremeno se konus obre oko svoje ose u datomsmjeru,po zakonu .Ugao .U trenutku ,odrediti:a)apsolutnu brzinu take Mb) apsolutno ubrzanje take M = . za t=0 s=0za c=0