skripta iz modela
TRANSCRIPT
-
7/30/2019 Skripta iz modela
1/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
1
Ispitna pitanja
1. Definisati opti oblik funkcije tranje i funkcije tranje u uem smislu;2. Definisati i objasniti uslov normalnosti funkcije tranje;3. Formulisati normalne jednaine za odreivanje parametara linearne funkcije
tranje;4. Definisati koeficijent lune elastinosti i koeficijent elastinosti u taki;5. Osnovne karakteristike elastinosti;6. Dokazati da je koeficijent elastinosti stepene funkcije tranje konstantan;7. Formulisati i objasniti koeficijente parcijalne elastinosti tranje;8. Definisati funkciju ponude i objasniti uslov normalnosti funkcije ponude;9. Analitiki i grafiki predstaviti parcijalni pristup analizi trine ravnotee:10.Analitiki definisati funkciju ukupnog prihoda;11.Definisati marginalni (granini) prihod i uspostaviti zavisnost ukupnog i
graninog prihoda;12.Dokazati i objasniti Amoroso-Robinsonovu relaciju;13.Analitiki i grafiki definisati funkciju ukupnih trokova;14.Definisati funkciju prosenih trokova i odrediti interval opadajuih prosenih
trokova;15.Definisati funkciju graninih (marginalnih) trokova i grafiki i analitiki
predstaviti odnos prosenih i graninih trokova;16.Definisati i objasniti elastinost ukupnih i prosenih trokova;17.Analitiki i grafiki definisati i objasniti interval rentabiliteta i optimalan nivo
proizvodnje;
18.Osnovna struktura redova ekanja;19.Klasifikacija redova ekanja;20.Tokovi dogaaja;21.Poasonov tok dogaaja;22.Raspodela verovatnoa izmeu dva dolaska;23.Raspodela verovatnoa vremena usluivanja;24.Procesi raanja i umiranja;25.Otvoreni jednokanalni model redova ekanja;26.Analiza trokova za jednokanalni otvoreni model redova ekanja;27.Trokovi zaliha;28.Model zaliha sa konstantnom tranjom i fiksnim vremenskim periodom;29.Osnovne pretpostavke modela sa konstantnom tranjom i fiksnim vremenskim
periodom;
30.Odreivanje funkcije ukupnih trokova za model zaliha sa konstantnomtranjom i fiksnim vremenskim periodom;
31.Optimizacija trokova za model zaliha sa konstantnom tranjom i fiksnimvremenskim periodomanalitika interpretacija;
32.Optimizacija trokova za model zaliha sa deterministikom tranjom i fiksnimvremenskim periodomgrafika interpretacija;
33.Proirenje osnovnog modela zaliha sa konstantnom tranjom analitikainterpretacija;
34.Proirenje osnovnog modela zaliha sa deterministikom tranjom grafikainterpretacija;
35.Model zaliha sa konstantnom tranjom i hitnim nabavkama;36.Osnovne pretpostavke modela zaliha sa hitnim nabavkama;37.Odreivanje funkcije ukupnih trokova za model sa hitnim nabavkama;
-
7/30/2019 Skripta iz modela
2/64
-
7/30/2019 Skripta iz modela
3/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
3
71.Odnos donje i gornje granice vrednosti matrine igre dokazati i objasniti;72.Metodi reavanjamatrinih igara analitiki i grafiki;73.Redukcija matrice plaanja dominantna i dominirana strategija;74.Matrine igre i linearno programiranje;75.Analiza strukture u mrenom planiranju;76.Mreni dijagram i njegovi osnovni elementi;77.Osnovna pravila konstrukcije mrenog dijagrama;78.Meusobni odnosi aktivnosti;79.Postupak konstrukcije mrenog dijagrama (objasniti na proizvoljno izabranom
primeru);
80.Numerisanje mrenog dijagrama Fulkersonov algoritam;81.Primena Fulkersonovog algoritma na proizvoljno odabranom primeru;82.Odreivanje najranije mogueg i najkasnije dozvoljenog vremena realizacije
dogaaja primenom metoda CPM;83.Vremenske rezerve u deterministikom mrenom modelu;84.Vremenski parametri stohastikog mrenog modela;85.Kritine aktivnosti i kritian put u stohastikom mrenom modelu;86.Odreivanje verovatnoa u stohastikom mrenom modelu;87.Analiza trokova aktivnosti;88.PERT/TROKOVI (PERT/COST) metoda89.Objasniti primenu PERT/COSTmetoda na proizvoljno odabranom primeru;90.Analiza trokova projekta i formiranje matematikog modela;91.Osnovne karakteristike metoda dinamikog programiranja i Belmanov princip
optimalnosti;
92.Odreivanje najkraeg puta u neorijentisanoj mrei primenom metodadinamikog programiranja;
93.Odreivanje najkraeg i najdueg puta u orijentisanoj mrei izmeu dvazadata vora;
94.Raspodela ogranienih resursa primenom metoda dinamikog programiranja;95.Definisati i objasniti vektor S i matricu P u modelu za prognoziranje
opredeljenja potroaa;96.Markovljev modelosnovne pretpostavke i formulacije modela;97.Definisati i objasniti stabilno-ravnoteno stanje Markovljevog modela;98.Markovljev model za prognoziranje opredeljenja potroaa;99.Markovljev model za odreivanje konanog stanja potraivanja u preduzeu;100.Definisati i objasniti fundametalnu matricu F i matricu K u modelu za
odreivanje konanog stanja potraivanja u preduzeu;
-
7/30/2019 Skripta iz modela
4/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
4
O D G O V O R I
1. Definisati opti oblik funkcije tranje i funkcije tranje u uem smislu;Tranja koliina robe koju su kupci spremni da kupe u odreenom vremenu.
Opti oblik funkcije tranje moe se izraziti u vidu ),,,,( mnDppgq jii iq tranja za i-tim proizvodom
ip cena i-tog proizvoda
jp cena ostalih proizvoda
D dohodak potroaan ukus potroaam broj potroaa
Funkciju tranje u uem smislu moemo predstaviti u obliku )(pfq -
Maralova funkcija tranje.
Ovakav oblik funkcije tranje izraava funkcionalnu zavisnost kretanja tranjeza nekom robom samo od cene te robe. Ispitivanje kretanja ovakvog oblika
funkcije tranje podrazumeva zadovoljenje sledeih pretpostavki:
- nepromenjenost ostalih determinanti tranje
-postojanje savrene konkurencije na tritu
-puna informisanostpotroaa o ceni i kvalitetu robe
-homogenost posmatrane robe
2. Definisati i objasniti uslov normalnosti funkcije tranje;Funkcija tranje mora ispunjavati uslov normalnosti. Prema uslovu
normalnosti tranje kretanje tranje i cene je divergentno, odnosno poveanjecene posmatrane robe izaziva smanjenje tranje i obrnuto. Ovaj zahtev se
izraava zahtevom za negativnom vrednou prvog izvoda funkcije tranje, to
znai da funkcija tranje mora ispuniti uslov prema kome je 0
p
q
Osim uslova normalnosti, odabrani matematiki oblik funkcije tranje mora
zadovoljiti i ekonomske uslove 0,0 qp tj. zavisna i nezavisna
promenljiva moraju biti nenegativne.
3. Formulisati normalne jednaine za odreivanje parametara linearne funkcijetranje;
Da bi odredili eksplicitan oblik funkcije tranje koja najbolje aproksimira
zavisnost tranje od cene potrebno je na osnovu empirijskih podataka odrediti
parametre odabrane funkcije. Parametre (a,b,c,...) najee odreujemo
korienjem metoda najmanjih kvadrata. Prema ovom metodu odabrana
funkcija mora zadovoljiti uslov da zbir kvadrata vertikalnih odstupanja
empirijskih vrednosti tranjeod odgovarajuih vrednosti na krivoj mora biti
minimalan
n
i
ii qq1
2min)( ,
gde je iq i ta vrednost iz tabele od n parova, a
iq
odgovarajua vrednostna krivoj funkcije.
-
7/30/2019 Skripta iz modela
5/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
5
Za linearni oblik tranje
0,0 babapq
uslov najmanjih kvadrata moemo predstaviti u obliku
min)(),(1
2
n
i
ii bapqbaF .
Minimizacija vrednosti ),( baF zavisi od parametara a i b, to se izraava
kroz uslov da funkcija ),( baF ima prve parcijalne izvode jednake nuli:
0,0
b
F
a
F,
na osnovu ega dobijamo
n
i
ii
n
i
iii
bapqb
F
pbapqa
F
1
1
0)1)((2
0))((2
,
odakle dobijamo tzv. normalne jednaine za odreivanje parametara:
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
i
pbpaqp
nbpaq
11
2
1
11,
odakle su reenje po a i b:
n
paq
b
ppn
qpqpn
a
n
i
i
n
i
i
n
ii
n
ii
n
i
i
n
i
i
n
i
ii
112
11
2
111 ,
)(
4. Definisati koeficijent lune elastinosti i koeficijent elastinosti u taki;Elastinost tranje koja pokazuje odnos relativne promene tranje i relativne
promene cene, izraava se preko koeficijenta elastinosti tranje. Ovaj
koeficijent se moe odrediti na dva naina:1. Koeficijent lune elastinosti
2. Koeficijent elastinosti u taki1. Koeficijent lune elastinosti izraunava se za unapred poznate intervale
kretanja cene i odgovarajuih iznosa tranje. Ukoliko raspolaemo sa tabelompodataka o kretanju cene nekog proizvoda i odgovarajuih iznosa tranje,
tada elastinost tranje u intervalu (i-1,i) utvrujemo na sledei nain:Relativni prirataj tranje odreujemo iz kolinika apsolutnog prirataja
tranje i njene poetne vrednosti:
,1
i
ig
q
qr gde je
1 iii qqq ,
a relativna promena cene je
,1
i
ip
p
pr gde je
1 iii ppp .
Koeficijent elastinosti tranje za ovako utvreni interval kretanja cene itranje odreujemo u vidu negativne vrednosti kolinika njihovih relativnih
-
7/30/2019 Skripta iz modela
6/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
6
promena. tj.:
)(
)(
11
11
1
1
iii
iii
i
i
i
i
p
q
ppq
qqp
p
p
q
q
r
r
U izrazu za koeficijent elastinosti negativni predznak je uzet zbog
divergentnog kretanja cene i tranje. Na taj nain obezbeuje se da je
koeficijent elastinosti tranje uvek pozitivna vrednost. pokazuje za koliko e
se procenata promeniti tranja za posmatranim proizvodom ukoliko se cena
promeni za 1%.
2. Koeficijent elastinosti u taki pokazuje odnos relativne promene tranje i
relativne promene cene za infinitezimalno malu promenu tih veliina. On se
odreuje u vidu granine vrednosti kolinika relativne promene tranje i
relativne promene cene kada 0p tj.
,limlim00 p
q
q
p
p
p
q
q
pp
odnosno .lim0 p
q
q
p
p
Kako je ,lim0 dp
dq
q
p
dp
dq
p
q
p
gde je znak minus uzet zbog inverznog
kretanja cene i tranje.
5. Osnovne karakteristike elastinostiU zavisnosti od vrednosti koeficijenta elastinosti tranje za nekim
proizvodom za odreenu cenu moemo imati razliite karakteristike
elastinosti, odnosno:
a) 1 tranja je neelastina, tj. promeni cene za 1% odgovara promena
tranje za manje od 1%;
b) 1 tranja je jedinino elastina, tj. promeni cene za 1% odgovara
promena tranje za 1%;
c) 1 tranja je elastina, tj. promena cene od 1% dovodi do promene
tranje za vie od 1%;
d) 0 tranja je savreno neelastina.
6. Dokazati da je koeficijent elastinosti stepene funkcije tranje konstantanU sluaju stepenog oblika funkcije tranje vrednost koeficijenta elastinosti
tranje ne zavisi od vrednosti cene, tj. konstantno je jer:
.'1
bbapap
pq
q
p
apq
b
b
b
Dakle koeficijent elastinosti tranje stepene funkcije tranje bapq je
konstantan i jednak negativnoj vrednosti parametra izloioca b.
-
7/30/2019 Skripta iz modela
7/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
7
7. Formulisati i objasniti koeficijente parcijalne elastinosti tranjeParcijalna elastinost tranje se koristi kada je odnose tranje i trine
zavisnosti dva ili vie proizvoda mogue izraziti preko odgovarajueg sistema
funkcija tranje. Parcijalnu elastinost tranje pokazaemo za sluaj u kome
postoji meusobna zavisnost kretanja tranje i cene dva proizvoda. Ovajodnos predstaviemo sistemom funkcija tranje oblika:
),(
),(
2122
2111
ppfq
ppfq
gde su 21
, qq tranje posmatranih proizvoda, a 21
, pp njihove cene.
Koeficijent parcijalne elastinosti tranje je:
j
i
i
j
ijp
q
q
p
.
Ukoliko je ji imamo takozvani koeficijent direktne parcijalne elastinosti
koji se uzima sa negativnim predznakom.Za ji imamo tzv. koeficijent ukrtene parcijalne elastinosti ija vrednost
moe biti pozitivna i negativna. Pozitivna vrednost pokazuje da su proizvodi
supstituti, a negativna da su proizvodi komplementarni.
8. Definisati funkciju ponude i objasniti uslov normalnosti funkcije ponudePonuda nekog proizvoda zavisi od cene tog proizvoda, cene drugih proizvoda,
cene sirovina i poluproizvoda, dohotka potroaa. Kao i kod funkcije tranje i
kod funkcije ponude cena je odluujua determinanta koliine ponude, pa
stoga funkcija ponude e biti: ).(pfr
Uslov normalnosti je 0
p
r, a osim uslova normalnosti postoje i ekonomski
uslovi 0r i 0p .
Ponuda nekog proizvoda raste kada raste njegova cena, jer funkcija ponude
ima rastui karakter.
Tako na primer linearna funkcija bapr moe predstavljati funkciju
ponude samo ako je bapar ,0,0 .
Cena za koju se ostvaruje jednakost tranje i ponude predstavlja ravnotenu
cenu posmatranog proizvoda.
9. Analitiki i grafiki predstaviti parcijalni pristup analizi trine ravnoteeZbog suprotnog kretanja tranje i ponude, njihove funkcije se moraju sei u
odreenoj taki, tj. tranja i ponuda se moraju izjednaiti za odreenu cenu.
Cena za koju se ostvaruje jednakost ponude i tranje predstavlja ravnotenu
cenu.
-
7/30/2019 Skripta iz modela
8/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
8
10.Analitiki definisati funkciju ukupnog prihodaUkupan prihod se utvruje iz proizvoda prodate koliine robe i cene tog
proizvoda: pqR odnosno )(pfpR .
R ukupan prihodp cena
)(pf funkcija tranje.
Kako za svaku funkciju tranje moemo odrediti odgovarajuu inverznu
funkciju oblika )(qgp , ukupan prihod moemo izraziti u obliku funkcije
oblika tranje, tj. )(qgqR .
11.Definisati marginalni (granini) prihod i uspostaviti zavisnost ukupnog igraninog prihoda
Granini (marginalni) prihodi, koji pokazuju iznos prirataja ukupnog
prihoda do koga dolazi pri poveanju cene posmatranog proizvoda za jednu
jedinicu, ispituju se i iskazuju perko funkcije graninog prihoda . Funkciju
graninog prihoda (R) izraavamo u obliku izvoda funkcije ukupnog prihoda:
dq
dRRqfqR
dp
dRRpfpR
')(
')(
Utvrivanjem znaka prvog izvoda moemo da utvrdimo promenu ukupnog
prihoda koja je izazvana promenom cene. Tako imamo da:
1) 0dp
dRukupan prihod raste sa porastom cene
2) 0dp
dRispituje se ekstremna vrednost (max) ukupnog prihoda
3) 0dpdR ukupan prihod opada sa porastom cene.
Ravnotena cenarP je cena za koju
je rrr QPrPq )()( . Ovo je stabilna
cena za koju se ostvaruje stabilnost
trita. Ukoliko je cena na tritumanja od ravnotee rPP 1 , onda je
rq za veliinu AB. U tom sluajukupci su spremni da prihvate veucenu da bi doli do proizvoda.Suprotno, ako je ,
2 rPP onda je
rq , pa tada proizvoai nee moida prodaju svoj proizvod po toj ceni,
pa obaraju cenu i to dovodi do cene
za koju je rq .
-
7/30/2019 Skripta iz modela
9/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
9
12.Dokazati i objasniti Amoroso-Robinsonovu relacijuNa osnovu relacije )(pfpR imamo da je )(')( pfppf
dp
dR , odnosno
)(')(
1)( pfpfppf
dpdR . Kako je
1)()(')(
pfdp
dRpf
pf
p.
Dobijena relacija koja slui za uspostavljanje veze izmeu graninog prihoda
(R) i elastinosti tranje )( , predstavlja tzv. Amoroso-Robinsonovu relaciju,
na osnovu koje moemo zakljuiti sledee:
a) ,01 dp
dR to znai da sa porastom cene raste i ukupan prihod
b) ,01 dp
dR
to znai da se u uslovima jedinine elastinosti ostvaruje
maksimalan ukupan prihod
c) ,01 dp
dR to znai da sa porastom cene ukupan prihod opada.
13.Analitiki i grafiki definisati funkciju ukupnih trokovaUkupni trokovi prevashodno zavise od obima proizvodnje (q). Ukupne
trokove moemo izraziti u obliku C=f(q). Funkcija trokova je monotono
rastua, neprekidna i diferencijabilna.
Ukupni trokovi se dele na varijabilne i fiksne, pri emu varijabilni trokovipredstavljaju funkciju obima proizvodnje, dok su fiksni trokovi konstantni.
Funkcija ukupnih trokova je: fqC )( , gde su )(q varijabilni
trokovi, a f fiksni trokovi.
14.Definisati funkciju prosenih trokova i odrediti interval opadajuih prosenihtrokova
Kako prosene trokove odreujemo deljenjem ukupnih trokova sa obimom
- Fiksni trokovi su prikazanihorizontalnom pravom f
- Kriva ukupnih trokova polazi iztake preseka prave f sa ordinatom,na osnovu ega je oigledno da je
,)0( fC tj. da fiksni trokovipostoje i kad je .0q
-
7/30/2019 Skripta iz modela
10/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
10
proizvodnje, tako na osnovu funkcije ukupnih trokova moemo odrediti
funkciju prosenih trokova. Funkcija prosenih trokova je:
q
qF
q
CC
)(
Zbog podele ukupnih trokova na varijabilne i fiksne, proseni trokovi do
odreenog nivoa opadaju, a zatim rastu. Zbog toga je za proizvoaa veoma
interesantno utvrditi te intervale u kretanju prosenih trokova, odnosno
utvrditi nivo proizvodnje za koji se ostvaruju minimalni proseni trokovi.
Obim proizvodnje za koji se ostvaruju minimalni proseni trokoviodreujemo iz uslova za ostvarivanje minimuma funkcije, tj. na osnovu
q
qFC
)( , imamo da je 0
)()(''
2
q
qFqqFC , dakle proseni trokovi su
minimalni za)('
)(
qF
qFq .
Interval opadajuih prosenih trokova odreen je granicama kretanja obima
proizvodnje)('
)(0
qF
qFq .
Za ovaj iznos je zadovoljen i dovoljan uslov za minimizaciju funkcije C, jer je
drugi izvod pozitivan .02
2
dq
Cd
15.Definisati funkciju graninih (marginalnih) trokova i grafiki i analitikipredstaviti odnos prosenih i graninih trokova
Funkcija graninih trokova odreuje se kao prvi izvod funkcije ukupnih
trokova, pod uslovom da je funkcija ukupnih trokova diferencijabilna u
posmatranom intervalu kretanja obima proizvodnje. Tako za )(qFC
funkcija graninih trokova je ).('' qFC Ova funkcija pokazuje iznospromene ukupnih trokova do koje dolazi usled jedinine promene obima
proizvodnje sa datog nivoa.
Obim proizvodnje za koji se ostvaruju minimalni proseni trokovi moemo
odrediti na osnovu relacije ,)('
)(
qF
qFq odnosno minimizacija prosenih
trokova se ostvaruje na nivou proizvodnje koji je jednak koliniku ukupnih i
graninih trokova. Za takav obim proizvodnje vai ,)(
)('q
qFqF to znai
da se za obim proizvodnje za koji su C minimalni ostvaruje jednakost
graninih i prosenih trokova. Ovaj obim predstavlja granicu izmeurelativno niskih i relativno visokih graninih trokova. Na osnovu tog odnosa
-
7/30/2019 Skripta iz modela
11/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
11
moemo izvesti sledei vaan zakjuak:
a) ako je CC' , granini trokovi su relativno niski, tj. poveanje q dovodi
do smanjenja C
b) ako je CC' , proseni trokovi su minimalni
c) ako je CC' , granini trokovi su relativno visoki, tj. poveanje q dovodido poveanja C.
16.Definisati i objasniti elastinost ukupnih i prosenih trokovaElastinost ukupnih trokova je odnos relativne promene ukupnih trokova i
relativne promene obima proizvodnje sa datog nivoa u oblikuq
q
C
C
,
odnosnodq
dC
C
q
q
C
C
q
.
Granina vrednost ovog izraza kada 0q predstavlja koeficijent
elastinosti ukupnih trokova:
'lim0
CC
q
q
C
C
q
qC
.
Ovaj koeficijent pokazuje za koliko procenata e se poveati C ukoliko se q
povea za 1%.
Elastinost prosenih trokova je 'CC
qC
, ijim se odreivanjem utvruje
relativna promena C, do koje dolazi usled promene q za 1%. VrednostC
moe bitipozitivna, negativna i jednaka nuli.Negativna je kad imamo
divergentan odnos Ci q, a pozitivna kad sa poveanjem q Crastu.
Izmeu C i C postoji zavisnost. Iz elastinosti C imamo 'CC
qC
,
odnosno 11'''
2
2
CC CC
q
C
CqC
q
CqC
C
q
q
C
q
C
q .
Dakle, 1 CC , pa izraunavanjem bilo kojeg koeficijenta elastinosti
moemo utvrditi i njemu odgovarajui koeficijent.
17.Analitiki i grafiki definisati i objasniti interval rentabiliteta i optimalan nivoproizvodnje
Rentabilna je ona proizvodnja za koju je 0 , odnosno R>C, pri emu su
-
7/30/2019 Skripta iz modela
12/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
12
granice intervala proizvodnje odreene jednakou R=C. Granice intervala
rentabiliteta odreene su nulama funkcije profita, tj. takama u kojima se seku
krive R i C. Optimalni nivo proizvodnje se odreuje iz uslova 0' , odakle je'' CR , tj. optimalan nivo proizvodnje je onaj za koji su tangente krivih R i C
paralelne. Interval rentabiliteta se ostvaruje za21 qqq , pri emu je
optimalan nivo proizvodnje0q . U intervalu 01 qqq imamo da je '' CR ,
a u intervalu20
qqq , da je '' CR . U intervalu1
0 qq i2
qq ,
proizvodnja je nerentabilna, tj. ostvaruje se gubitak.
40.Definisati opti oblik modela matematikog programiranja ta predstavljaskup dopustivih reenja, a ta optimalno reenje zadatka
Opti oblik modela matematikog programiranja moemo predstaviti u obliku
zahteva za odreivanjem vrednosti promenljivih nxxx ,...,, 21 koje
zadovoljavaju m nejednaina i jednaina oblika:
ini bxxxg ,,),...,,( 21 sistem ogranienjai za koje se ostvaruje max ili min vrednost funkcije:
),...,,(21 nxxxfz funkcija cilja.
Ukoliko sistem ogranienja i funkciju cilja predstavimo u razvijenom obliku,
model matematikog programiranja je:
mnmm
n
n
n
bxxxgxg
bxxxgxg
bxxxgxg
xxxfz
),...,,()(
),...,,()(
),...,,()(
),...,,((max)
21
22122
12111
21
uz pretpostavku za odreivanje max. vrednosti funkcije cilja z, u uslovimakada su sva ogranienja predstavljena nejednainama sa znakom .Sve vrednosti promenljivih ),...,,(
21 nxxxx za koje su zadovoljene sve
nejednaine sistema ogranienja obrazuju tzv. skup dopustivih ili moguih
reenja. Cilj reavanja zadatka matematikog programiranja jeste
odreivanje one kombinacije vrednosti promenljivih iz skupa moguih reenja
za koje funkcija cilja ostvaruje ekstremnu vrednost. Takvo reenje koje
obeleavamo sa ),,...,,( **2
*
1
*
nxxxx predstavlja optimalno reenje zadatka
matematikog programiranja.
-
7/30/2019 Skripta iz modela
13/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
13
41.Definisati i objasniti osnovne pretpostavke modela linearnog programiranjaPretpostavke koje moraju biti zadovoljene da bi odreeni model predstavljao
model linearnog programiranja su:
1) Linearnostpodrazumeva postojanje linearnih zavisnosti izmeu
promenljivih u zadatku linearnog programiranja. Ova pretpostavka jezadovoljena tako to su funkcija cilja i sistemi ogranienja izraeni linearnim
funkcijama u modelu linearnog programiranja. Kao posledica linearnosti u
modelu linearnog programiranja zadovoljene su dve pretpostavke:
a) proporcionalnost- podrazumeva postojanje proporcionalnog odnosa inputa
i outputa u modelu linearnog programiranja
b) aditivnost- podrazumeva da se ukupna vrednost funkcije cilja i pojedinih
ogranienja moe dobiti kao zbir vrednosti pojedinih aktivnosti koje
predstavljaju sastavne elemente linearnog programiranja.
2) izvesnostsvi parametri modela su unapred jednoznano odreeni, to
znai da su koeficijenti funkcije cilja i sistema ogranienja deterministiki
odreeni i ne menjaju se u toku reavanja3) deljivostpodrazumeva da promenljive u modelu ne moraju biti celibrojevi ve mogu biti izraene i u obliku decimalnih brojeva
4) nenegativnostuslov nenegativnosti promenljivih predstavlja jednu odosnovnih pretpostavki modela. Ova pretpostavka ima svoj metodoloki i
ekonomski znaaj. Metodoloki kako je opti algoritam reavanja modela
(simpleks metod), to je za njegovu primenu neophodno zadovoljenje uslova
nenegativnosti. Ekonomskikako promenljive u modelu predstavljaju
ekonomske veliine one ne mogu biti negativne.
42.Definisati standardni problem maksimuma zadatka linearnog programiranjaglavni elementi i karakteristike standardnog problema
Standardni problem max je takav oblik modela linearnog programiranja u
kome se postavlja zahtev za odreivanjem max vrednosti unapred poznate
funkcije cilja, pod uslovima koji su predstavljeni sistemom nejednaina sa
znakom . Zadatak standardnog problema max predstavljamo na sledeinain:
0,...,,
...
...
...
...(max)
21
2211
22222121
11212111
2211
p
mpmpmm
pp
pp
pp
xxx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
xcxcxcz
Osnovni elementi modela:
a) funkcija ciljaizraava osnovni cilj koji se unapred definie i radi koga se
formulie i reava odgovarajui model linearnog programiranja. Kao cilj se
moe postaviti maksimizacija ukupnog profita, maksimizacija deviznih efekata
i maksimalni stepen zaposlenosti i sl.
b) sistem ogranienja izraava uslove i nain korienja ogranienih
resursa, iji je iznos izraen slobodnim lanovima sistema ogranienja, tj.
-
7/30/2019 Skripta iz modela
14/64
-
7/30/2019 Skripta iz modela
15/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
15
43.Opte osobine reenja linearnog programiranja dokazati i objasnitiSve vrednosti promenljivih za koje su zadovoljene nejednaine (jednaine)
sistema ogranienja predstavljaju tzv. mogua reenja, odnosno obrazuju skupmoguih reenja. Kako su ograniavajui uslovi standardnog problema max
dati u obliku nejednaina sa znakom , odnosno u kanoninom obliku u vidujednaina, skup moguih reenja je ogranien i zatvoren skup. Skup moguih
reenja moe biti prazan skup u sluaju kada su postavljeni uslovi
kontradiktorni, odnosno kada ne postoji ni jedna taka ),...,,(21 nxxxx za
koju su zadovoljeni svi uslovi zadatka.
Teorema 1: Skup moguih reenja zadatka linearnog programiranja je
konveksan skup.
Dokaz: Da bi dokazali tvrenje nae teoreme, potrebno je da pokaemo da
konveksna kombinacija svaka dva mogua reenja predstavlja mogue
reenje. Zbog toga uzmimo da ),...,,(' ''2'
1 nxxxx i
),...,,("""
2
"
1 nxxxx predstavljaju mogua reenja problema na osnovu ega je
bAx ' i bAx " "'
)1( xxx , 10
bbbb
AxAxAxAxAxxxAAx
""'"'"' )1(])1([
na osnovu ega vidimo da sve konveksne kombinacije moguih reenja takoe
predstavljajku mogua reenja. Prema tome, skup moguih reenja je
konveksan, to je trebalo i dokazati.
Bazino mogue reenje ),...,,( **2
*
1
*
nxxxx predstavlja optimalno reenje
zadatka standardnog problema max ukoliko imamo da je )()('* xzxz za
bilo kojke mogue reenje 'x .
Teorema 2: Optimalno reenje zadatka linearnog programiranja nalazi se u
ekstremnoj taki konveksnog skupa moguih reenja.
Dokaz:Kako je skup moguih reenja konveksan i ogranien skup postojikonaan broj (k) ekstremnih taaka, koje emo oznaiti sa
kxxx ,...,,
21. Neka
je*
x taka za koju funkcija cilja ostvaruje max, odnosno za koju imamo da je
)()(* xzxz za svako mogue reenje x. Ako je *x ekstremna taka
konveksnog skupa moguih reenja teorema je dokazana.
Pretpostavimo da*
x nije ekstremna taka skupa moguih reenja. Tada taku*
x moemo izraziti kao konveksnu kombinaciju skupa ekstremnih taaka,
tj. 0...2211* ikkxxxx i 1
1
k
i
i , i=(1,,k)
)(...)()()...()( 22112211*
kkkk xzxzxzxxxzxz
Ako u poslednjoj jednaini izaberemo taku za koju funkcija z ostvaruje max
vrednost, npr. kx , tada moemo pisati
)()(...)()()(...)()(*
221121 xzxzxzxzxzxzxz kkkkkk
-
7/30/2019 Skripta iz modela
16/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
16
Kako je 0i i 1i )()()...()(...)()( 2121 kkkkkkk xzxzxzxzxz , tj.
)()(*xzxz k , to je trebalo i dokazati.
44.Simpleks metodizvesti simpleks kriterijum za ulazak vektora Aj u bazuSimpleks metod predstavlja opti algoritam koji se koristi za reavanje svih
oblika zadatka linearnog programiranja. On predstavlja algoritam u kome se
u nizu iteracija dolazi do optimalnog reenja. Simpleks metod obezbeuje
najkrai put do optimalnogreenja.
Da bi objasnili sutinu simpleks metoda i nain izraunavanja optimalnog
reenja, izraziemo model u matrinom obliku:
Funkcija cilja:
mp
mp
x
x
cccz
1
21),...,,(
Sistem ogranienja:
mmpmpmm
p
p
p
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
AAA
2
1
2
1
21
22221
11211
21
100
010
001
0,,, 21 mpxxx
gde pojedine kolone matrica koeficijenata sistema ogranienja predstavljaju
tzv. vektore aktivnosti, koje moemo predstaviti u sledeem obliku:
1
0
0
,,,,,2
1
2
22
12
2
1
21
11
1
mp
mp
p
p
p
mm
A
a
a
a
A
a
a
a
A
a
a
a
A , odnosno
mj
j
j
j
a
a
a
A
2
1
, kao i
mb
b
b
b
2
1
mpx
x
x
X
2
1
.
i ukoliko koeficijente funkcije cilja izrazimo u obliku vektora
),,...,( 21 mpcccc problem se moe izraziti u kanonikom obliku:
0
(max)
x
bAX
Xcz
-
7/30/2019 Skripta iz modela
17/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
17
odnosno
),...,2,1(0
(max)
1
1
mpjxbxA
xcz
j
mp
j
jj
mp
j
jj
Postupak odreivanja optimalnog reenja problema zapoinjemoodreivanjem tzv. poetnog bazinog reenja. Ono se odreuje tako to se
pretpostavlja da su sve realne promenljive jednake nuli, a dodatne
promenljive jednake slobodnim lanovima sistema ogranienja, t.j.
0jx za pj ,...,1
iip bx za mi ,...,1 a funkcija cilja .0z
Znai:vektorsku bazu na osnovu koje se utvruje poetno bazino reenje
obrazuju vektori koeficijenata uz dodatne promenljive, dok su vektori
koeficijenata uz realne promenljive nebazini. Vektori koeficijenata uz
dodatne promenljive obrazuju jedininu matricu,ija inverzna matrica je
takoe jedinina, to predstavlja osnovni razlog za otpoinjanje simpleksprocedure za reavanje zadataka.
Vektore koji obrazuju vektorsku bazu moemo pisati u obliku:
0),...,1(1
i
mp
pi
ii xmppibxA
a za nebazine vektore:
),...,1(001
pjxxA j
p
j
jj
dok je funkcija cilja za poetno bazino reenje jednaka nuli:
mp
piii
xcz1
.
Svaki od nebazinih vektora moemo izraziti u obliku linerne kombinacije
vektora baze: ,1
mp
pi
iijj AxA gde je ijx koeficijent lin kombinacije.
Za svaki nebazini vektor jA moemo odrediti vrednost funkcije jz u obliku
mp
pi
iijj cxz1
.
Kriterijum za ulazak vektora u bazu:
mp
pi
iij
mp
pi
iij
mp
pi
iijj
mp
pi
ii
cxxczz
cxzxcz
11
11
j
mp
pi
iijijj ccxxczz
1
)()(
Ako desnu stranu obeleimo sa 'z , tj: jmp
pi
iiji ccxxz
1
)(' , dobijamo:
'.)(' zzzczz jj 'z poveanje vrednosti funkcije cilja do koje je dolo ukljuivanjem u bazu
-
7/30/2019 Skripta iz modela
18/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
18
vektora jA . Ukoliko je vrednost jj zcz ' vea, poveanje vrednosti
funkcije cilja e biti vee uz pretpostavke da je 0'z . Na osnovu togakriterijum za ukljuivanje jednog od prethodno nebazinih vektora u bazusastoji se u tome da treba odabrati onaj vektor kod koga je zadovoljen uslov:
0)(
max
jjJ
iizczc i to je I simpleks kriterijum za izmenu vektorske
baze. Ukoliko je za svako j, 0 jj zc takvo reenje je optimalno.
45.Simpleks metodizvesti simpleks kriterijum za izlazak vektora Ai iz bazebAAxAbxA jj
mp
pi
ii
mp
pi
ii
11
Kako je: bAAxxAAxA j
mp
pi
iij
mp
pi
ii
mp
pi
iijj
111
Dakle: 0)(1
bbAAxx j
mp
pi
iiji i mora biti >0.
,0)( iji xx odakle imamo ,ij
i
x
x za .0ijx
Iz baze treba iskljuiti onaj k-ti vektor kA za koga bude zadovoljen uslov:
,minij
i
ki
k
x
x
x
x za 0ijx i ovo predstavlja II Dantzigov simpleks
kriterijum.
46.Meoviti problem maksimuma modela linearnog programiranja analitiki igrafiki formulisati i objasniti
Ukoliko su u sistemu ogranienja problema max., osim nejednaina sa znakom
, neki od uslova zadatka predstavljeni jednainama ili nejednainama saznakom , takav oblik problema nazivamo meoviti problem maksimuma.Da bismo objasnili sutinsku i metodoloku razliku ovakvog oblika zadatka u
odnosu na standardni problem maksimuma, posmatrajmo sledei oblik
problema:
ppxcxcxcz ...(max) 2211
mpmpmm
kpkpkk
pp
pp
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
...
2211
2211
22222121
11212111
0,...,, 21 pxxx
Prilikom transformisanja ograniavajuih uslova meovitih problema
maksimuma, osim dodatnih, u sistem se uvode i tzv. vetake promenljive.Vetake promenljive uvode se u jednaine, dok se u nejednaine sa znakom
-
7/30/2019 Skripta iz modela
19/64
-
7/30/2019 Skripta iz modela
20/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
20
mpmpmm
pp
pp
pp
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
xcxcxcz
...
...
...
...(min)
2211
22222121
11212111
2211
0,...,,21
pxxx
Uvoenjem dodatnih promenljivih, sistem nejednaina transformiemo u
sistem jednaina:
mmppmpmm
ppp
ppp
mppppp
bxxaxaxa
bxxaxaxa
bxxaxaxa
xxxxcxcxcz
.. .
.. .
.. .
0.. .00.. .(min)
2211
222222121
111212111
212211
0,...,,21
mpxxx
Na osnovu ovog modela nismo u mogunosti da direktno odredimo poetno
bazino reenje problema minimuma. Ako bismo poli od toga da su realne
promenljive jednake nuli, vrednosti bazinih promenljivih bi bile negativne,
zbog ega ne bi mogli odrediti optimalno reenje korienjem simpleks
postupka. Zbog toga se i uvode vetake promenljive, iji vektori obrazuju
jedininu matricu.Osim u sistem ogranienja vetake promenljive uvodimo iu svojstvu cilja pri emu su njihovi koeficijenti pozitivni +M.
Nakon uvoenja vetakih promenljivih problem je:
mMmpmppmpmm
Mpppp
Mpppp
MmpMpmppppp
bxxxaxaxa
bxxxaxaxa
bxxxaxaxa
xxMxxxxcxcxcz
,2211
2,222222121
1,111212111
,,1212211
...
...
...
),...,(0...00...(min)
0,...,, ,21 Mmpxxx Poetno bazino reenje odreuje se na osnovu pretpostavke da su realne
dodatne promenljive jednake nuli, dok su vetake promneljive jednake
slobodnim lanovima sistema ogranienja. Postupak odreivanja optimalnog
reenja je slian kao kod problema max. uz suprotan I simpleks kriterijum
.0)( jj zcMIN Reenje je optimalno kada su sve razlike 0 jj zc .
-
7/30/2019 Skripta iz modela
21/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
21
48.Formulisati dualni model zadatka linearnog programiranja i definisati osnovnekarakteristike
Dualni problem odreenog zadatka linearnog programiranja formira se:
1. ukoliko primarni problem predstavlja problem maksimuma, funkcija cilja
duala e biti funkcija minimuma i obrnuto.
2. menja se smer znakova nejednakosti u sistemu nejednaina i to tako da
ukoliko su nejednaine primara sa znakom , nejednaine duala e biti saznakom i obrnuto.3. Vri se transponovanje matrice koeficijenata ogranienja primara, na
osnovu ega ukoliko u primaru m nejednaina sa p promenljivih u dualu e
biti p nejednaina sa m promenljivih.
4. Koeficijenti uz promenljive u funkciji cilja duala jednaki su sa slobodnim
lanovima sistema ogranienja primara.
5. Slobodni lanovi sistema nejednaina duala jednaki su koeficijentima koji
se uz promenljive nalaze u funkciji cilja primara.
6. Sve promenljive duala moraju biti nenegativne )0( .
Posmatrajmo osnovni oblik standardnog problema maksimuma:
0,...,.,
...
...
...
...(max)
21
2211
22222121
11212111
2211
p
mpmpmm
pp
pp
pp
xxx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
xcxcxct
Dualni problem koji odgovara standardnom problemu max:
0,...,,
...
...
...
...(min)
21
2211
22222112
11221111
2211
m
pmmppp
mm
mm
mm
yyy
cyayaya
cyayaya
cyayaya
ybybybv
-
7/30/2019 Skripta iz modela
22/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
22
),...,1(00
),...,1(
(min)(max)
11
11
miyx
pjcyabxa
ybvxcz
ij
j
m
i
iij
p
j
ijij
m
i
ii
p
j
jj
Osnovne karakteristike: Svakom problemu linearnog programiranja odgovara
dualni problem. Izmeu primara i duala postoji inverzni odnos u pogledu
zahteva za odreivanjem ekstremne vrednosti funkcije cilja. Osim toga
nejednaine ogranienja duala izvode sena osnovu nejednaina ogranienja.
Primarne i dualne promenljive omoguavaju dobijanje znaajnih informacija
o karakteru optimalnog reenja.
S obzirom da odreivanje optimalnog reenja bilo kog zadatka linearnog
programiranja, istovremeno znai odreivanje optimalnog reenja njegovog
duala, mogue je njihovo alternativno korienje za postupak reavanjazadatka. Ovakva mogunost dolazi do izraaja u situaciji kada je neki problem
linearnog programiranja jednostavnije reavati korienjem njemu
odgovarajueg duala.
49.Definisati vezu promenljivih primarnog i dualnog modela zadatka linearnogprogramiranjanain odreivanja optimalnog reenja dualnog problema
Izmeu promenljivih primarnog i dualnog problema postoji povezanost i
meusobna uslovljenost reenja. Da bi to pokazali uvedimo primarni problem
problem maksimuma dodatne promenljive mpp xx ,...,1 i njemu
odgovarajui dualni problem pmmm yyy ,...,, 21 i izrazimo ih u kanoninom
obliku:
0,00,0
(min)(max)
11
11
jmiipj
jjm
m
i
iij
p
j
iipjij
m
i
ii
p
j
jj
yyxx
cyyabxxa
ybvxcz
Broj promenljivih u primarnom i dualnom problemu sada je jednak i iznosi
p+m. Veza izmeu promenljivih primara i duala moe se izraziti na sledei
nain: Svakoj dodatnoj promenljivoj primara odgovara realna promenljiva
duala u obliku:
mmp
p
p
yx
yx
yx
22
11
-
7/30/2019 Skripta iz modela
23/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
23
dok svakoj realnoj promenljivi primara odgovara jedna dodatna duala:
pmp
m
m
yx
yx
yx
22
11
Na osnovu iskazane relacije moemo konstatovati da reavajui jedan iz
navedenog para zadatka, odreivanjem optimalnog reenja jednog od njih,
dobijamo i optimalno reenje njemu odgovarajueg duala. Optimalno reenje
duala na osnovu ve izraunatog optimalnog reenja primara, moemo
odrediti na dva naina:
1. Optimalne vrednosti realnih promenljivih duala ),...,1( miyi
odreujemo kao negativnu vrednost razlike I simpleks kriterijuma za dodatne
promenljive poslednjeg reenja primarnog problema, tj.),...,1()( mizcy ipipi
2. Na osnovu optimalnog reenja primara, optimalne vrednosti realnih
promenljivih duala ),...,1( miyi , odreujemo iz relacije:1 optBCy ,
gde je ),...,(1 myyy , vektor vrsta koeficijenata koji se u funkciji cilja
primara nalaze uz promenljive iz optimalne baze .op t
50.Odnos izmeu vrednosti funkcije cilja primarnog i dualnog modela zadatkalinearnog programiranjadokazati i objasniti
Teorema 3: Za bilo koje mogue reenje ),...,,(21 pxxxx primarnog
problema i bilo koje mogue reenje dualnog problema ),...,,( 21 myyyy ,
vrednost funkcije cilja primarnog problema manja je ili jednaka vrednosti
funkcije cilja dualnog problema, tj. )()( yvxz ili
m
i
ii
p
j
jj ybxc11
.
Dokaz: Posmatrajmo sistem ogranienja primara i
p
j
jij bxa 1
i duala
j
m
i
iij cya 1
i pomnoimo sada desnu i levu stranu i-te nejednaine sistema
ogranienja primara sa iy i sumirajmo po indeksu i=1,,m, na osnovu ega
dobijamo:
m
i
ii
m
i
ipipi ybyxaxa11
11)...( .
Izraz na levoj strani prethodne nejednaine moemo predstaviti u obliku
dvostruke sume po i=1,...,m i po j=1,...,p i dobiemo:
m
i
ii
m
i
p
j
jiij ybxya11 1
Ako j-tu nejednainu sistema ogranienja duala pomnoimo sa jx i sumiramo
poj=1,,p dobijamo:
-
7/30/2019 Skripta iz modela
24/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
24
p
j
jj
p
j
m
i
jiij xcxya11 1
.
Kako su leve strane poslednje dve nejednaine jednake konstatujemo da je:
m
i
ii
p
j
jj ybxc11
,to je i trebalo dokazati.
51.Odnos izmeu optimalnih vrednosti funkcije cilja primarnog i dualnog modelazadatka linearnog programiranjadokazati i objasniti
Teorema 4: Ukoliko su ),...,,(**
2
*
1
*
pxxxx i ),...,,(**
2
*
1
*
myyyy mogua
reenja primarnog i dualnog problema, za koje su vrednosti funkcija cilja
primara i duala jednake )()(**
yvxz , tada su *x i *y optimalna reenja
primara i duala respektivno.
Dokaz: Neka je 'x neko mogue reenje primara. Tada e biti )()'( *yvxz .
Meutim, kako je na osnovu uslova teoreme )()( ** yvxz , to je
)()'(*xzxz . Kako je 'x bilo koje mogue reenje primara, to je
),((max))(* xzxz odnosno *x predstavlja optimalno reenje primarnog
problema.
Analogno se dokazuje da*
y predstavlja optimalno reenje dualnog problema.
Teorema 5: Ukoliko jedan od problema linearnog programiranja primarni ili
dualni problemimaju makar jedno mogue reenje, tada i primarni i dualni
problem imaju optimalna reenja.
Dokaz:Neka primarni i dualni problem imaju optimalna reenja oblika
),...,(**
1
*
pxxx i ),...,(**
1
*
myyy to znai da je )((max))(*
xzxz za svako
x iz konveksnog skupa moguih reenja K )( Kx , kao i )((min))( * yvyv za
svako y iz konveksnog skupa moguih reenja dualnog problema L )( Ly .
Znai skupovi K i L nisu prazni.
Da bi dokazali teoremu neophodno je dokazati da ovi problemi imaju
optimalna reenja. Da bi to pokazali posmatrajmo reenje duala *y i
proizvoljno mogue reenje x primara. Na osnovu teoreme 3 imamo da je
)()(*yvxz . Ukoliko x predstavlja proizvoljno reenje primara tada
korienjem simpleks metoda u nizu iteracija moemo odrediti niz reenja
rxxx ,...,, 21 takvih da je )(...)()( 21 rxzxzxz pri emu postoji gornja
granica poveanja vrednosti funkcije cilja primara. Moemo utvrditi da takvo
reenje *x primara za koje je )()( * xzxz za svako Kx , to znai da
primar ima optimalno reenje.Slian postupak se primenjuje i u dokazivanju da dualni problem ima
optimalno reenje *y za koje je .)()( * Lyyvyv
Teorema 6: Mogue reenje *x primara je optimalno ako i samo ako postoji
mogue reenje duala *y za koje je )()( ** yvxz . Tada reenje*y
predstavlja optimalno reenje duala.
-
7/30/2019 Skripta iz modela
25/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
25
Dokaz: Pretpostavimo da ),...,( **1
*
pxxx i ),...,(**
1
*
myyy predstavljaju
optimalna reenja primara i duala. Tada na osnovu teoreme 3 imamo za bilo
koje mogue reenje ),...,(1 p
xxx primara da je:
p
j
jj
m
i
ii
p
j
jj xcybxc1
*
1
*
1
, na osnovu ega konstatujemo da
),...,(**
1
*
pxxx predstavlja optimalno reenje primara. Slino za bilo koje
mogue reenje ),...,(1 m
yyy duala imamo da vai
.1
*
1
*
1
p
j
jj
m
j
ii
p
i
yi xcybyb Dakle, vidimo da ),...,(**
1
*
myyy predstavlja
optimalno reenje duala.
Na osnovu prethodnih konstatacija moemo zakljuiti da ),...,( **1
*
pxxx i
),...,(
**
1
*
myyy
predstavljaju optimalna reenja primara i duala za koje je).()(
**yvxz
52.Odnos izmeu optimalnih vrednosti promenljivih primarnog i dualnogproblema u modelu linearnog programiranjadokazati i objasniti
Teorema 7: Ukoliko su *x i*
y mogua reenja primara i duala, tada su to i
optimalna reenja akko imamo zadovoljene uslove:
1) 0* iy ukoliko je i
p
j
jijbxa
1
*
2) 0* jx ukoliko je j
m
i
iij cya 1
* ,
odnosno dualna promenljiva je jednaka nuli 0* y kada je njoj
odgovarajua dodatna promenljiva pozitivna u optimalnom reenju primara,
odnosno realna promenljiva je jednaka nuli 0* x kada je njoj odgovarajuadodatna promenljiva u optimalnom reenju duala pozitivna.
Dokaz: Pretpostavimo da*
x i*
y predstavljaju optimalna reenja primara i
duala. Za optimalna reenja vae nejednakosti:
primar i
p
j
jij bxa 1
* dual j
m
i
iijcya
1
*
0jx 0iy
Pomnoimo levu i desnu stranu primaru nenegativnom vrednou *iy :
ii
p
j
jijibyxay *
1
**
. Sumirajui levu i desnu stranu dobijamo
m
i
ii
p
j
jij
m
i
i byxay1
*
1
*
1
* , odnosno .1
*
1 1
**
m
i
ii
m
i
p
j
jiij byxya
Pomnoimo sada levu i desnu stranu duala sa *jx , 0* jx :
-
7/30/2019 Skripta iz modela
26/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
26
.1
*
1 1
**
p
j
jj
m
i
p
j
jiij xcxya
Na osnovu teoreme 4 u kojoj smo dokazali
m
i
ii
p
j
jj ybxc1
*
1
* , imamo:
m
i
p
j
jiij
p
j
jj
m
i
ii
m
i
p
j
jiij xyaxcbyxya1 1
**
1
*
1
*
1 1
** .
S obzirom da su krajnje sume jednake, moemo pisati
m
i
ii
m
i
p
j
jiij byxya1
*
1 1
** i .1 1
**
1
*
m
i
p
j
jiij
p
j
jj xyaxc
Dobijene jednakosti moemo predtaviti u obliku
01
*
1
*
p
j
jiji
m
i
i xaby
01
*
1
*
j
m
i
iij
p
j
j cyax
Imajui u vidu nenegativnost primarnih i dualnih promenljivih imamo
01
**
p
j
jijii xaby
01
**
j
m
i
iijj cyax
Iz njih vidimo da ukoliko je 01
*
p
j
jijixab odnosno i
p
j
jijbxa
1
*, onda je
jednakost zadovoljena samo za 0* iy , a iz 01
*
j
m
i
iij cya , odnosno
j
m
i
iij cya 1
* , jednakost je zadovoljena samo za .0* jx
Na taj nain smo dokazali nau teoremu.
53.Ekonomsko znaenje dualnih promenljivih dokazati i objasnitiDualne promenljive pruaju mogunost za dobijanje veoma znaajnih
informacija o karakteru problema linearnog programiranja, kao i ispitivanje
uticaja promene nivoa korienja raspoloivih resursa na vrednost funkcije
cilja. Posmatrajmo problem standardnog max:
0
(max)
x
bAx
cxz
i njegov dual
0
''
'(min)
y
cyA
ybv
.
Neka*
x predstavlja optimalno reenje primara za koje je
Kxxzxz )((max))( * i neka je *y optimalno reenje duala za koje je
Lyyvyv )(min)( * . Pretpostavimo da se elementi vektora b primara
poveaju za iznos b , koji ne izaziva promenu strukture optimalne baze.Promena vrednosti elemenata vektora b dovee do poveanja vrednosti
-
7/30/2019 Skripta iz modela
27/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
27
funkcije cilja primara za iznos od byxz **)( , odnosno poveanje i-tog
resursa za b uticae na promenu vrednosti funkcije cilja primara za iznos od
iibyxz **)( . Dokaz: Neka *x i **x predstavljaju optimalne vrednosti
promenljivih primara u sluajevima vektora b i bb respektivno. Kako je
struktura optimalne baze u oba sluaja ista, to optimalno reenje duala*
y takoe je isto, tako da moemo pisati:
bycx
bbycx
**
***)(
Ako poslednja dva izraza oduzmemo, dobijamo: byxz **)( , gde je****
)( cxcxxz poveanje vrednosti funkcije cilja, izazvano poveanjem
vrednosti vektora b, na osnovu ega smo dokazali da je to tvrenje tano.
Na osnovu ovog rezultata moemo konstatovati da je ,)(
*
*
i
ib
xzy
na osnovu
ega vidimo da vrednost dualne promenljive iy pokazuje za koliko jedinica
e se poveati (smanjtii)funkcija cilja primara, ukoliko se korienje resursa
ib povea (smanji) za jednujedinicu. Zbog toga, dualne promenljive
predstavljaju tzv. obraunske cene korienih resursa, odnosno tzy. cene u
senci (shadow price).
54.Osnovne karakteristike i znaaj primene Simpleks tabele postupakodreivanja elemenata simpleks tabele
Simpleks tabela predstavlja tabelaran nain prikazivanja problema linearnog
programiranja, koji je prilagoen za potrebe reavanja ovih problemakorienjem simpleks metoda. Ovaj tabelarni postupak primene simpleks
metoda omoguava da se u nizu iteracija doe do optimalnog reenja.
Poetno bazino reenje koje kod standardnog problema max odgovara
poetku prostora predstavlja se prvom simpleks tabelom, koja predstavlja
polaznu osnovu za odreivanje optimalnog reenja. Na osnovu prve simpleks
tabele primenom simpleks kriterijuma za promenu vektorske baze preko niza
simpleks tabela, dolazimo do optimalnog reenja.
Opti oblik simpleks tabele predstaviemo na primeru reavanja zadatka
standardnog problema maksimuma:
0,...,
...
...
...
...(max)
1
2211
22222121
11212111
2211
p
mpmpmm
pp
pp
pp
xx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
xcxcxcz
Uvoenjem dodatnih promenljivihsistem nejednaina se transformie u sistem
jednaina:
-
7/30/2019 Skripta iz modela
28/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
28
0,...,
...
...
...
0...0...(max)
1
2211
222222121
111212111
12211
mp
mmppmpmm
ppp
ppp
mpppp
xx
bxxaxaxa
bxxaxaxa
bxxaxaxa
xxxcxcxcz
Poetno bazino reenje odreuje se tako to pretpostavimo da su realne
promenljive jednake nuli, a dodatneslobodnim lanovima sistema
ogranienja. Prvu simpleks tabelu moemo predstaviti:
jB CC \ 0 Bx 1c 2c ... pc 1pc 2pc ... mpc
1x 2x ... px 1px 2px ... mpx
01px 1b 11a 12a ... pa1 1 0 ... 0
02px 2b 21a 22a ... pa2 0 1 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0mpx mb 1ma 2ma ... mpa 0 0 ... 1
jz z 1z 2z ... pz 0 0 ... 0
jj zc 11 zc 22 zc ... pp zc 0 0 ... 0
Simpleks tabela I koja predstavlja poetno bazino reenje obrazovana je:
1. U prvu kolonu tabele unosimo koeficijente koji se u funkciji cilja nalaze uz
bazine promenljive. To su nule, jer su koeficijenti uz dodatne promenljive 0.
2. U drugu kolonu unosimo bazine promenljive, tj. dodatne promenljive.
3. Kolona Bx pokazuje vrednosti bazinih promenljivih
4. U kolone pxxx ,...,, 21 unosimo koeficijente koji se nalaze uz ove promenljive u
sistemu ogranienja
5. U kolone mpp xx ,...,1 koeficijenti obrazuju jedininu matricu
6. U zaglavlje unosimo vrednosti koeficijenata koji se u funkciji cilja nalaze uz
promenljive iz odgovarajue kolone simpleks tabele7. Elemente vrste jz odreujemo kao zbir proizvoda koeficijenata iz prve kolone i
odgovarajuih koeficijenata iz pojedinanih kolona
8. Poslednja vrsta je I simpleks kriterijum za promenu baze u cilju optimizacije
programa.
Postupak odreivanja elemenata naredne simpleks tabele podrazumeva
realizaciju narednih operacija:
a) odreivanje koju od prethodno nebazinih promenljivih treba ukljuiti u bazu
b) odreivanje koja od prethodno bazinih promenljivih treba da napusti bazu
c) utvrivanje vrednosti promenljivih u novom reenjud) utvrivanje vrednosti koeficijenata nove simpleks tabele
-
7/30/2019 Skripta iz modela
29/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
29
e) utvrivanje vrednosti funkcije cilja, koja odgovara reenju koje je predstavljeno
novom simpleks tabelom, kao i izraunavanje vrednosti funkcijajz za sve
promenljive
a) u naredno bazino mogue reenje treba ukljuiti onu prethodno nebazinu
promenljivu za koju je razlikajj
zc najvea pozitivna. Reenje je optimalno
kada u poslednjem redu simpleks tabele )( jj zc ne postoji ni jedna pozitivna
vrednost.
b) iz baze treba eliminisati onu prethodno bazinu promenljivuix za koju
odredimo minimalnu vrednost: 0,min ijij
i xx
x .
c) Vrednosti promenljivih u novoj simpleks tabeli odreujemo:
novouvedena promenljiva: kx
vrednosti ostalih promenljivih: rkik
i
rr a
a
bbx
to znai da vrednost novouvedene promenljive je jednaka minimalnoj vrednosti
kolinika iz prethodnog reenja )( dok vrednosti ostalih promenljivih
izraunavamo tako to od njihovih vrednosti iz prethodne iteracije oduzmemo
proizvod vrednosti novouvedene promenljive i odgovarajueg koeficijenta koji se
nalazi u karakteristinoj koloni simpleks tabele.
d) vrednosti koeficijenata nove simpleks tabele odreujemo:
koeficijenti u karakteristinoj vrsti simpleks tabele:lk
lj
lja
aa '
koeficijenti u ostalim vrstama: rklk
lj
rjrj aa
a
aa '
e) koeficijente koji se nalaze u karakteristinoj vrsti dobijamo tako to njihovu
prethodnu vrednost podelimo karakteristinim elementom. Ostale koeficijente r-
tog reda j-te kolone odreujemo tako to se od njegove prethodne vrednosti
oduzme proizvod izmeu koeficijenata r-tog reda karakteristine kolone i
kolinika koeficijenata j-te kolone karakteristinog reda sa karakteristinim
elementom.
f) vrednost funkcije cilja odreuje se mnoenjem koeficijenata prve kolone
odgovarajuim vrednostima promenljivih, ili na osnovu karakteristinih
elemenata: klk
l
ca
b
zz'
.
55.Problem degeneracije zadatka linearnog programiranjauzroci i poslediceProblem degeneracije linearnog programiranja predstavlja takav sluaj kod
koga jedna ili vie bazinih promenljivih imaju vrednost 0. Ovakav problem sejavlja kada u zadatku imamo suvinih ogranienja.Prilikom reavanja
zadatka linearnog programiranja postojanje problema degeneracije e se
manifestovati prilikom odreivanja vrednosti kolinika , koji nam slui za
iskljuivanje neke od prethodno bazinih promenljivih. Ukoliko u zadatku
postoji problem degeneracije, onda e u nekoj od iteracija, prilikomodreivanja vrednosti kolinika II simpleks kriterijuma, dobiti dve ili vie
-
7/30/2019 Skripta iz modela
30/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
30
jednakih minimalnih vrednosti. U tom sluaju ne moemo odrediti koju od
prethodno bazinih promenljivih treba iskljuiti iz baze. U narednoj iteraciji
neka od prethodno bazinih promenljivih e biti jednaka 0,odnosno vrednost
kolinika e biti jednaka 0, zbog ega e se dogoditi da dva ili vie
uzastopnih reenja imaju jednaku vrednost funkcije cilja. U sluaju
degeneracije moe se pojaviti problem ciklusa sluaj da u toku reavanjazadatka ponovo dobijemo isto reenje sa nekim od prethodnih. Postupak ijom
primenom se eliminie mogunost postojanja ciklusa je da izae iz baze onaj
vektor kod koga je imenilac vei.
56.Jedinstveno i viestruko optimalno reenje u modelu linearnog programiranjagrafika i analitika interpretacija
Kod problema maksimuma optimalno reenje predstavljali smo simpleks
tabelom u kojoj su sve razlike za nebazine promenljive u poslednjoj vrsti
)(jj
zc negativni. Geometrijski posmatrano takvo optimalno reenje
problema maksimuma nalazi se u jednoj ekstremnoj taki (najudaljenija od
koordinatnog poetka) konveksnog ogranienog i zatvorenog skupamoguih
reenja. To je jedinstveno reenje. Meutim u nekim sluajevima moe se
dogoditi da izraunato optimalno reenje nije jedinstveno, odnosno postoji
viestruko optimalno reenje.
Ukoliko u okviru neke simpleks tabele postoji makar jedna razlika prvog
simpleks kriterijuma 0)( jj zc , za prethodno nebazinu promenljivu jx ,
dok su vrednosti ovih razlika za ostale nebazine promenljive negativne,
izraunato optimalno reenje nije jedinstveno. Posle I i II simpleks kriterijumadobili smo takoe optimalno reenje za koje funkcija cilja ima istu vrednost
kao i u sluaju prethodnog reenja. Postojanje dva optimalna reenja ima za
posledicu da sve konveksne kombinacije ova dva reenja, takoe predstavljaju
optimalna reenja, zbog ega kaemo da takav zadatak ima viestruko
optimalno reenje. Geometrijski, sluaj postojanja viestrukog optimalnog
reenja se javlja kada su koeficijenti pravca prave koja reprezentuje neko od
ogranienja i koeficijent pravca prave funkcije cilja, jednaki.
Na slici se vidi da prava koja reprezentuje funkciju cilja se podudara sa
pravom koja predstavlja gornju granicu vrednosti promenljivih 1x i 2x za
koje je zadovoljena nejednaina ogranienja, na kojoj se nalazi du AB. Na
osnovu toga konstatujemo da se optimalno reenje naeg zadatka nalazi u
takama A i B, odnosno u svim takama dui AB.
-
7/30/2019 Skripta iz modela
31/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
31
57.Nepostojanje moguih reenja i neograniena vrednost funkcije cilja zadatkalinearnog programiranjagrafika i analitika interpretacija
Prilikom formulisanja modela linearnog programiranja moe se dogoditi da
model bude tako postavljen da ne postoje mogua reenja. Takav sluaj se
deava ukoliko ne postoje vrednosti promenljivih za koje su zadovoljeni sviograniavajui uslovi. Geometrijski, takav zadatak ima prazan skup moguih
reenja. Nepostojanje moguih reenja moemo konstatovati u poslednjoj
simpleks tabeli. Naime, u poslednjoj simpleks tabeli svi elementi vrste
)( jj zc pokazae postojanje optimalnog reenja, ali e se u optimalnom
reenju nai vetaka promenljiva, to je glavni indikator postojanja
meusobno kontradiktornih ograniavajuih uslova u zadatku.
Sve take koje se nalaze na dui AB i ispod nje zadovoljavaju prvu
nejednainu ogranienja, dok drugu nejednainu i uslov nenegativnosti
zadovoljavaju sve take na dui CD i iznad nje. Kako ova dva skupa taaka
nemaju presek, ne postoje take za koje su istovremeno zadovoljene obenejednaine ogranienja. Znai skup moguih reenja je prazan skup,
odnosno zadatak nema reenja.
Problem nemogunosti odreivanja konanih vrednosti promenljivih funkcije
cilja u problemu maksimuma javlja se ukoliko je:
1. model formulisan tako da se jedna ili vie promenljivih mogu poveavati
neogranieno, a dane bude naruen ni jedan od ograniavajuih uslova
zadatka.
2. funkcija cilja na skupu moguih reenja nema konanu vrednost
Reavajui problem maksimuma korienjem simpleks metoda, ovaj problem
moemo identifikovati pre dobijanja vrednosti elemenata finalne simpleks
tabele. Problem mogunosti postojanja neograniene vrednosti promenljivih i
funkcije cilja, konstatovaemo u nekoj iteraciji u postupku odreivanja
promenljive koja treba da izae iz baze. Da bi neka promenljiva izala iz baze
potrebno je da u odnosu na ostale vrednosti ima najmanji pozitivan kolinik IIsimpleks kriterijuma. Meutim, ukoliko su svi ovakvi kolinici negativni ili
nedefinisani, moemo konstatovati da problem nema konano reenje.
-
7/30/2019 Skripta iz modela
32/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
32
58.Postoptimalna analiza u linearnom programiranjupromena koeficijenatafunkcije kriterijuma
Postupak postoptimalne analize je postupak koji se koristi za ispitivanje da li
e promena nekog od parametara modela linearnog programiranja uticati na
promenu ve izraunatog optimalnog reenja. Primenom postoptimalneanalize moe se doi do jednog od sledea dva zakljuka:a) nastale promene u vrednosti parametara modela nee dovesti do promene
vektorske baze na osnovu kojeg je odreeno optimalno reenje.b) prethodno izraunato optimalno reenje u uslovima novih vrednosti
parametra modela ne moe ostati optimalno.
1 Promena vektora cNakon odreivanja optimalnog reenja moe doi do promene koeficijenata
koji se nalaze uz promenljive koje se ne nalaze u optimalnom reenju, kao i
promene koeficijenata koji se nalaze uz bazine promenljive.
1.1. Promena koeficijenata nebazinih promenljivih.U poslednjoj iteraciji reavanja zadatka konstatovano je da je za sve
nebazine vektore jA zadovoljen uslov 0)( jj zc . Pretpostavimo sada da
se jc menja, pri emu nastalu promenu moemo predstaviti u obliku
jjjccc .
Da bi utvrdili da u novim uslovima reenje izraunato na osnovu baze op t i
dalje ostaje optimalno, neophodno je daproverimo da li e poveanje
vrednosti koeficijenta jc dovesti do potrebe za uvoenjem prethodno
nebazinih vektora jA u bazu. U tom cilju, primenjuje se I simpleks kriterijum
sa novom vrednou koeficijentajc , odnosno:
jjjjjjjj czczcczc
)()( .
Da bi reenje ostalo optimalno neophodno je da vektor jA i dalje ostane
nebazian. To e se dogoditi ukoliko je 0 jj zc , odnosno ukoliko je
0)( czc jj . Na osnovu poslednje relacije vidimo:
a) jjj
zcc reenje ostaje optimalno
b) jjj zcc reenje nije optimalno. U bazu ukljuujemo jA .
1.2. Promena koeficijenata bazinih promenljivih
I ovde treba utvrditi vrednost razlika )( jj zc za nebazine vektore. S
obzirom da vrednosti jc ostaju nepromenjeni, u ovom sluaju neophodno je
izraunati vrednost jz za sve nebazine promenljive.
Oznaimo sa Bc vektor koeficijenata koji se u funkciji cilja nalaze uz bazine
promenljive. Pretpostavimo da je dolo do poveanja za iznos Bc , tako da je
novi vektor ovih koeficijenata BBB ccc
. Vrednosti jz za nebazine
vektore odreene su iz relacije jBj xcz , gde jejx vektor koeficijenata
linearne kombinacije bazinih vektora i nebazinog vektora jA izraunat u
-
7/30/2019 Skripta iz modela
33/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
33
obliku joptj Ax 1 ostao nepromenjen.
Vrednosti jz u uslovima promenjenih koeficijenata vektora Bc odrediemo na
sledei nain: .)( jjjBjBjBBjBj zzxcxcxccxcz
S obzirom da vrednostij
c ostaju nepromenjene, kriterijum optimalnosti sada
e biti 0)( jjjjj zzczc . Moemo konstatovati da ako je:
a) )( jjj zcz reenje ostaje optimalno
b) )( jjj zcz reenje nije optimalno. U bazu ukljuujemo jA .
U uslovima promene svih koeficijenata funkcije cilja, kada bi imali
0)()()( jjjjjj zzcczc , optimalno reenje se ne bi menjalo.
Ukoliko je bar jedna od razlika pozitivna reenje bi i dalje bilo mogue, ali ne
i optimalno.
2. Promena vektora b
b je vektor slobodnih lanova sistema ogranienja. Promena = b , pa jebbb , vrednosti bazinih promenljivih bx optB 1 , pa e u uslovima
izmenjenog vektora b biti: )(11
bbbx optoptB . Ukoliko je
zadovoljen uslov 0Bx reenje je i dalje optimalno.
3. Promena matrice A
3.1Promena nebazinog vektora jA
Da bi utvrdili da li taj vektor treba ukljuiti u bazu, raunamo novu vrednost
kolone matrice zvezdice: jop tj Ax
1 , zatim raunamo jBj xcz , koje u I
simpleks kriterijumu oduzimamo od nepromenjene funkcije cilja jj zc
ukoliko je reenje 0 stara baza je i dalje optimalna, u suprotnom prethodnoreenje nee biti optimalno.
3.2Promena bazinog vektora iA
Reenja nove baze bie: bxB
1)( , a ,)( 1 jj Ax
zatim
jBj xcz . Ukoliko su nove vrednosti bazinih promenljivih 0Bx
izraunato reenje je mogue, a da li je optimalno utvrujemo pomou I
simpleks kriterijuma.
Ukoliko se desi da u okviru vektoraBx imamo bar jednu negativnu vrednost
reenje nije mogue.
60.Definisati opti oblik transportnog problema analitiki i tabelarnoTransportni problem predstavlja model ijim se korienjem odreuje
optimalan program distribucije odreene vrste robeiz razliitih mesta ponude
(tzv. ishodita) do razliitih mesta tranje (tzv. odredita) pri emu se
podrazumeva njihova teritorijalna razdvojenost.
U cilju formulisanja opteg oblika modela transporta robe, pretpostavimo da
postoji konaan broj od m ishodita mPPP ,...,, 21 koja raspolae odreenom
homogenom vrstom robe, za ije korienje je izraena potreba (tranja) u n
odredita nTTT ,...,, 21 . Ako pretpostavimo da postoji teritorijalna razdvojenostishodita i odredita, tada je jasno da postoji nm potencijalnih puteva, preko
-
7/30/2019 Skripta iz modela
34/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
34
kojih ova roba moe biti dostavljena od mesta ponude do mesta tranje.
... ...
Osnovni cilj reavanja transportnog problema moe se formulisati, kao zahtevza odreivanje optimalnih vrednosti promenljivih ijx ,tj. optimalnih koliina
prevezene robe na pojedinim putevima, za koje e se ostvariti minimalna
vrednost ukupnih transportnih trokova, tj. minimalna vrednost funkcije cilja:
funkcija cilja:
m
i
n
j
ijijxcz1 1
pri emu moraju biti zadovoljena tri
ogranienja:a) ukupna koliina raspoloive robe svakog ishodita mora biti raspodeljena
na mesta tranje, tj. i
n
j
ij ax 1
b) tranja svakog odredita mora biti u potpunosti zadovoljena j
m
i
ij bx 1
c) koliina prevezene robe na pojedinim putevima, odnosno odgovarajue
promenljive moraju biti nenegativne veliine, tj. 0ijx .
Funkcija cilja zajedno sa navedenim uslovima obrazuje opti oblik zadatka
transportnog problema u kome imamo m nejednaina sa nm promenljivih.Proireni oblik navedenogmodela moemo predstaviti u obliku:
0
...
...
...
...
...
....
............
21
222212
112111
21
222221
111211
11222121111111
ij
nmnnn
m
m
mmnmm
n
n
mnmnmmnnnn
x
bxxx
bxxx
bxxx
axxx
axxx
axxx
xcxcxcxcxcxcz
Ovako formulisan model moemo predstaviti u vidu tabele:
P1 T1
P2 T2
Pm Tn
ijx koliina robe koja se transportuje
iz i-tog ishodita u j-to odredite
ijc transportni trokovi po jediniciprevezene robe iz i-tog ishodita u j-toodredite
ia raspoloiva koliina robe u i-tom
ishoditujb iznos tranje za posmatranom
robom u j-tom mestu tranje(odreditu)
-
7/30/2019 Skripta iz modela
35/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
35
odr.
ish. 1T 2T ... nT ponuda
1P
c11 c12
...
c1n
1a 11x 12x nx1
2P c21 c22 ...
c2n
2a 21x 22x nx2
... ... ... ... ... ...
mP cm1 cm2 ...
cmnma
1mx 2mx mnx
tranja1b 2b ... nb
U levi ugao polja nae tabele unose se transportni trokovi po jedinici
prevezene robe na odgovarajuem putu, poslednja kolona pokazuje ponudu
robe pojedinih ishodita, dok poslednja vrsta pokazuje tranju pojedinih
odredita.
61.Egzistencija mogueg reenja transportnog problema dokazati i objasnitiTeorema 5.1: Transportni problem ima reenje ukoliko je ukupna ponuda
jednaka ukupnoj tranji, tj. ako je
n
j
j
m
i
i ba11
.
Dokaz:
m
i
i
m
i
n
j
ij ax11 1
n
j
j
n
j
m
i
ij bx11 1
kako su leve strane jednake, jednake su i desne strane, tj.
n
j
j
m
i
iba
11
, ime je dokazan uslov za reavanje transportnog problema.
Da bi dokazali da izjednaavanje ukupne ponude i ukupne tranje predstavlja i
dovoljan uslov za reavanje transportnog problema, treba da pokaemo da
koliina prevezene robe predstavljena izrazom d
ba
xji
ij , gde je
n
j
j
m
i
i bad11
, predstavlja mogue reenje transportnog problema.
Kako su sve vrednosti dba ji ,, nenegativne veliine, to je 0ijx . Ukoliko
izrazd
bax
ji
ij sumiramo po i i po j dobijamo:
-
7/30/2019 Skripta iz modela
36/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
36
miad
b
ad
bax
njbd
a
bd
bax
i
n
j
j
i
n
j
jin
j
ij
j
m
i
i
j
m
i
jim
i
ij
,...,1
,...,1
1
11
1
11
iz ega vidimo daijx zadovoljava sistemjednaina ogranienja i tranje i
ponude. Znai pokazali smo da jednakost ukupne ponude i ukupne tranje u
transportnom problemu, predstavlja potreban i dovoljan uslov za egzistenciju
mogueg reenja.
62.Pokazati da je rang matrice koeficijenata sistema ogranienja transportnogproblema m + n1
Teorema 5.3: Matrica koeficijenta sistema ogranienja transportnog problemaima rang 1 nm
Dokaz: Matricu koeficijenta sistema ogranienja naeg transportnog
problema moemo predstaviti u obliku:
1
0
0
1
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
1
0
0
0
1
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
...
...
...
...
...
...
...
...
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
A
Matrica A reda xmnnm )( ima za elemente jedinice i nule pri emu u svakoj
koloni ima samo dve jedinice a ostalo su nule. Ukoliko saberemo prvih m vrsta
matrice A dobiemo vrstu iji su svi elementi jedinice. Istu takvu vrstu emo
dobiti sabiranjem preostalih n vrsta matrice A
tj.: ,...... 2121 nmmmm pppppp gde smo sanm
ppp ,...,, 21
obeleili vrste matrice A. Znai da svaku vrstu matrice A moemo izraziti u
vidu linearne kombinacije ostalih. Ukoliko sada iz matrice A iskljuimo
poslednju vrstu i uzmemo minor )1( nm og reda dobijamo:
-
7/30/2019 Skripta iz modela
37/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
37
1
100
010
001
000
000
000
000
000
111
100
010
001
det)1(
nm
M
Rang matrice nije m+n jer je uvek 1 vrsta zavisna od drugih, pa pogodnom
transformacijom dobijamo da je rang matrice 1 nm , jer je vrednostdobijenog minora razliita od nule. T o je i trebalo dokazati.
63.Postojanje zavisnosti izmeu jednaina sistema ogranienja transportnogproblemadokazati i objasniti
Teorema 5.2:Broj linearno nezavisnih jednaina sistema ogranienja
transportnog problema je 1 nm .Dokaz: Pretpostavimo da imamo kombinaciju vrednosti promenljivih ijx za
koje znamo da zadovoljavaju sve jednaine sistema ogranienja izuzev na
primer prvu jednainu. Pokazaemo da takva pretpostavka ne moe biti
zadovoljena. Oigledno je da levu stranu prve jednaine sistema ogranienja
moemo pretstaviti u obliku:
m
i
n
j
ij
m
i
n
j
ij
n
j
j xxx2 11 11
1
ako je za svako x ij zadovoljeno svih m+n jednaina sistema ogranienja tj.
i
n
j
ijax
1
i j
m
i
ij bx 1
to jednakost 1 moemo predstaviti u obliku
i
m
i
i
n
j
j
m
i
n
j
ij
m
i
n
j
ij
n
j
j aabxxx 212 11 11
1
Na taj nain je1
1
axn
j
ij
tj. zadovoljena je i prva jednaina sistema
ogranienja. Isto bi mogli jednostavno pokazati da je svaka od jednainasistema ogranienja zadovoljena ukoliko su zadovoljene sve preostale m+n-1
jednaine sistema ogranienja transportnog problema.
64. Metodi odreivanja poetnog bazinog reenja programa transportaMetodi koji se koriste za odreivanjepoetnog bazinog reenja su:
a.metod severozapadnog ugla
b. metod minimalnih trokova
v. Vogelov aproksmativni metod
-
7/30/2019 Skripta iz modela
38/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
38
a.metod severozapadnog ugla-rasporeivanje koliina robe za prevoz preko razliitih puteva zapoinjemo iz
levog gornjeg (severozapadnog) ugla tabele odnosno polja (1,1), nakon toga
u m+n-1 koraka idui dijagonalno rasporeuju se koliine robe u razliita
polja tabele koja odgovaraju razliitim putevima . Postupak se zavrava
nakon iscrpljivanja svih ponuenih koliina robe u pojedinim ishoditima,odnosno nakon zadovoljenja ukupne tranje pojedinih odredita .
-U polje (1,1) unosimo manji od iznosa ponude odnosno tranje koji odgovara
prvoj vrsti i prvoj koloni tabele, tj. imamo da je ),(1111baMINx . Ukoliko je
11ba tada je
111ax tj. tada u prvom koraku iscrpljujemo ukupnu ponudu
prvog ishodita ,zbog ega koliine koje odgovaraju narednim poljima prve
vrste moraju biti jednake nuli . Procedura se nastavlja prelaskom na naredno
polje prve kolone u koje unosimo 111221
,min xbax .
Suprotno ako je11ba ,tada e preostala polja prve kolone ostati prazna , a
odgovarajue promenljive e biti jednake nuli , dok e se u naredno polje prve
vrste uneti 211112 ,min bxax .Znai metod severozapadnog ugla obezbeuje naizmenino iscrpljivanje
ponude ( ishodita ) , odnosno zadovoljavanje tranje odredita .Postupak se
zavrava u poslednjem polju po dijagonali ( polje m,n ) u koje se uvek unosi
jednaka koliina preostalog iznosa ponude poslednje vrste i preostalog iznosa
tranje poslednje kolone.
Osnovna prednost primene ovog metoda je jednostavnost.
b. metod minimalnih trokova-Metod minimalnih trokova podrazumeva prevashodno korienje puteva
( polja puteva ) kojima odgovaraju najmanji trokovi po jedinici prevezenerobe.
-Postupak odreivanja poetnog bazinog reenja metodom minimalnih
trokovazapoinje korienjem puta kojem odgovaraju najmanji trokovi pri
emu u odgovarajue polje tabele unosimo minimalno moguukoliinu za
prevoz. Naizmeninim popunjavanjem preostalih praznih polja kojima
odgovaraju najmanji transportni trokovi , u m+n-1 koraka dolazi se do
poetnog bazinog reenja.
-Prednost ovog metoda ogleda se u injenici da njegova primena obezbeuje
znaajno skraivanje postupka odreivanja optimalnog reenja.
c. Vogelov aproksimativni metod- Vogelov model, odnosno, metod maksimalnih razlika, sastoji se u
izraunavanju potencijalnih gubitaka, koji e nastati ukoliko se izmeu dva
polja sa minimalnim transportnim trokovima, koja se nalaze u nekoj vrsti
(koloni) tabele koristi ono polje u kome su transportni trokovi vei.
-Postupak izraunavanja vrednosti promenljivih poetnog bazinog reenja
primenom Vogelovog metoda, zapoinje izraunavanjem vrednosti razlika
izmeu dva minimalna troka za svaku vrstu i kolonu tabele. Tako izraunate
razlike pridruujemo vrstama i kolonama tabele, nakon ega odreujemo
vrstu, odnosno kolonu kojoj odgovara najvea vrednost ovako pridruenog
elementa. Poetnu koliinu rasporeujemo u polje sa najniim trokovima,
koje odgovara vrsti (koloni) sa najveom ovako izraunatom razlikom. Sobzirom da se u jednom koraku eliminie ili vrsta ili kolona, nakon svakog
-
7/30/2019 Skripta iz modela
39/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
39
rasporeivanja vri se izraunavanje promenjenih razlika izmeu dva
minimalna elementa. Ukoliko je u jednom koraku eliminisana vrsta, to moe
izazvati promenu pridruenih razlika po kolonama i obrnuto. Izraunavanjem
samo promenjne razlike, sukcesivnim popunjavanjem polja tabele vrimo u
skladu sa kriterijumom maksimalne razlike izmeu dva minimalna elementa.
Postupak se zavrava nakon preraspodeljivanja ukupne ponude na mestatranje, tj. nakon popunjavanja 1 nm polja tabele.
65.Metodi optimizacije programa transportaMetodi optimizacije programa transportasu:
a. Stepping stone metod (metod skakanja sa kamena na kamen)
b. Metod potencijala
a. Stepping stone metod (metod skakanja sa kamena na kamen)
- Sutina ovog metoda sastoji se u postupku ispitivanja uticaja potencijalnogkorienja nezauzetih polja tabele na ukupne transportne trokove.
-Metod skakanja sa kamena na kamen, primenjuje se tako to se skakanjem za
svako prazno polje tabele koje predstavlja poetno bazino reenje, obrazuje
poligon ija sesva temena, izuzev poetnog, nalaze u popunjenim poljima. Svi
uglovi ovako formiranog poligona, koji ima paran broj temena su pravi. Na
osnovu ovako formiranog poligona, za svako prazno polje tabele
izraunavamo takozvane relativne koeficijente trokova, koji pokazuju za
koliko jedinica e se ukupni trokovi transporta poveati (smanjiti) ukoliko u
odgovarajue polje uvrstimo jednu jedinicu prevezene robe. Relativne
koeficijente trokova izraunavamo tako to od transportnog troka koji
odgovara poetnom polju, naizmenino oduzimamo i dodajemo jedinine
transportne trokove koji se nalaze na temenima poligona. Pozitivna vrednost
ovako izraunatog relativnog koeficijenta trokova, pokazae da bi
angaovanje odgovarajueg polja dovelo do poveanja ukupnih transportnih
trokova, dok je u sluaju njegove negativne vrednosti zakljuak suprotan.
Prema tome, postojanje makar jednog negativnog relativnog koeficijenta
trokova pokazuje, da poetno bazino reenje nije optimalno.
b. Metod potencijala- Postupak primene metoda potencijala podrazumeva odreivanje jednog tzv.
mnoitelja za svaku od jednaina ponude i tranje sistema ogranienja modelatransporta. Mnoitelji za jednaine ponude iu i mnoitelji za jednaine tranje
jv , odnosno za odgovarajue vrste i kolone tabele, odreuju se tako da je za
svaku bazinu promenljivu, tj. popunjeno polje tabele zadovoljen uslov:
jiijvuc .
-Jednom od mnoitelja dodeljujemo proizvoljnu vrednost 0, a preostali
mnoitelji (ima ih nm ) se izraunavaju reavanjem 1 nm jednaina
jiij vuc , pri emu je polje ),( ji popunjeno. Da bi pokazali postupak
optimizacije korienjem ovako izraunatih mnoitelja, poimo od osnovnog
oblika modela transporta, tj. m
i
n
j
ijijxcz1 1
; j
m
i
iji
n
j
ij bxax 11 ; .
-
7/30/2019 Skripta iz modela
40/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
40
Ukoliko sada i-tu jednainu ponude pomnoimo mnoiteljemiu , a jtu
jednainu tranje mnoiteljemjv i oduzmemo od funkcije cilja, dobija se:
)()(1 111
m
i
Z
n
j
jj
m
i
ii
n
j
ijjiij
o
vbuazxvuc
. Ako izvrimo smenu:
0
11
' zvbuavuccn
j
jj
m
i
iijiijij
, moemo pisati:
0
1 1
' zzxcm
i
n
j
ijij
, odnosno zxcm
i
n
j
ijij 1 1
' .
-Na osnovu poslednje relacije vidimo da izraunata ocena 'ijc za prazno polje
tabele pokazuje pogodnost njegovog korienja za izraunavanje poboljanog
reenja. Ukoliko za jedno ili vie praznih polja dobijemo negativnu vrednost
potencijala ( 0'
ijc ) konstatujemo da analizirani program transporta nijeoptimalan, ve se korienjem ovih polja moe izraunati povoljnije reenje.
Za poboljanje programa se koristi polje, kojem odgovara negativni potencijal
sa najveom apsolutnom vrednou.
*Znai da bi odredili optimalni program transporta robe metodom
potencijala, neophodno je:
1. Odrediti poetni program transporta robe
2. Odrediti mnoiteljeiu i jv za svaku vrstu i kolonu poetnog reenja
3. Izraunati potencijale 'ijc za svako prazno polje tabele
4. Koristei polje sa najmanjom negativnom vrednosti potencijala 'ijc odrediti
poboljani program transporta odgovarajuim bilansiranjem koliineprevezene robe. Postupak se realizuje u uzastopnim iteracijama sve dok se ne
odredi takav program transporta robe za ija prazna polja tabele imamo
nenegativne vrednosti potencijala, tj. 0'ijc .
66.Degeneracija problema transportaUkoliko u postupku reavanja transportnog problema odredimo reenje u
kome nema 1 nm bazinih promenljivih, odnosno popunjenih polja tabele,konstatujemo da takvo reenje ne zadovoljava neophodan uslov za primenu
nekog od metoda optimizacije. Takav sluaj predstavlja degeneracijutransportnog problema. Ovakav sluaj se javlja kad je neka od parcijalnih
suma ponude jednaka nekoj od parcijalnih suma tranje.Sluaj degeneracije transportnog problema, moe se pojaviti prilikom
odreivanja poetnog bazinog reenja, kao i u postupku poboljavanja nekog
programa transporta u proceduri optimizacije.
-Prilikom odreivanja poetnog reenja degeneracija se javlja u sluaju kada
popunjavanjem nekog odpolja istovremeno eliminiemo raspoloive koliine
odgovarajue vrste i kolone, odnosno iscrpimo svu raspoloivu ponudu robe i
zadovoljimo ukupnu tranju koja odgovara tom odreditu.
- U postupku optimizacije sluaj degeneracije se javlja kad u jednom koraku iz
baze iskljuimo dve promenljive, a u bazu ukljuimo samo jednu prethodnonebazinu promenljivu. Tabelarno, ovaj sluaj nastaje kada u jednom koraku
-
7/30/2019 Skripta iz modela
41/64
Obrazovni centar Smart Basic, Lomina 5, tel: 32-82-662
41
dva (ili vie) prethodno popunjenih polja postaju prazna, dok popunjavamo
samo jedno prethodno prazno polje.
- Sluaj degeneracije se prevazilazi tako to se u neko od praznih polja unosi
koliina od jedinica robe, gde je infinitezimalno mali broj, koji ne
naruava izraene jednakosti ponude i tranje. Obino se ova veliina unosi u
prazno polje, kojemu odgovaraju najnii transportni trokovi po jediniciprevezene robe.
67.Model asignacijeosnovne karakteristike i algoritam za reavanje modela-Osnovni zahtev koji se u okviru ovog modela postavlja jeste optimizacija
rasporeda odreenog broja izvrilaca za obavljanje odreenog broja
ekonomskih aktivnosti.
-Ukoliko pretpostavimo da m izvrilaca treba rasporediti za obavljanje n
poslova, pri emu se postavlja zahtev za odreivanje takvog rasporeda za koji
e se ostvaritiminimalni ukupni trokovi rada. Model rasporeivanja moemo
predstaviti u sledeem obliku:
ijm
i
n
j
ijxcz
1 1
min
11
m
i
ijx i=1,, m
11
n
j
ijx j=1, , n
0ij
x ili 1
ijx -predstavlja promenljivu koja pokazuje angaovanje ili ne
angaovanje j-tog izvrioca za obavljanje j-tog posla.
ijc -pokazuje trokove angaovanja j-tog radnika za obavljanje j-posla.
1ijx -i -ti radnik treba biti angaovan za obavljanje j-te aktivnosti, dok u
suprotnomsluaju ta promenljiva jednaka je nuli ( 0ijx )
* Specifinost ovako izraenog problema u odnosu na transportni sastoji se u
injenici da je ponuda svakog ishodita kao i tranja svakog odredita jednaka
jedinici. Ovo proizilazi iz injenice da je za obavljanje neke aktivnosti u
postupku rasporeivanja mogue angaovati samo jednog izvrioca, odnosno
dajedan izvrioc moe obavljati samo jednu aktivnost.
-Za odreivanje optimalnog programa rasporeivanja najee se koristi tzv.
Maarski metodkoji se zasniva na zahtevu za minimizacijom tzv.
oportunitetnih trokova, do kojih dolazi ukoliko se za obavljanje odreene
aktivnosti ne angauje najefikasniji izvrilac. Postupak optimizacije
rasporeivanja primenom ovog metoda zasniva se na korienju matrice C, iji
su elementi koeficijenti funkcije cilja.
nnnn