skript zur vorlesung algebraische .kapitel 1 uberblick algebraische zahlentheorie besch aftigt sich

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  • Skript zur Vorlesung

    Algebraische Zahlentheorie

    Matthias Wendt

    WS 2011/12

  • 2

  • Inhaltsverzeichnis

    1 Überblick 5

    2 Ganze Ringerweiterungen 7

    3 Ganzheitsbasis und Diskriminante 11 3.1 Beispiel 1: Quadratische Zahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Spurpaarung und Diskriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.3 Noethersche Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Ganzheitsbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.5 Beispiel 2: Zyklotomische Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    4 Ideale in Dedekindringen 25 4.1 Der Zwei-Quadrate-Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Dedekind-Ringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Primidealfaktorisierung gebrochener Ideale . . . . . . . . . . . . . 28 4.4 Beispiel: Quadratische Zahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    5 Algorithmen I 37 5.1 Berechnung von Ganzheitsbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2 Darstellung von Idealen und Idealoperationen . . . . . . . . . . . 42 5.3 Faktorisierung von Polynomen und Idealen . . . . . . . . . . . . 44 5.4 Ganzheitsbasen und Faktorisierung in Pari/GP . . . . . . . . . . 47

    6 Die Idealklassengruppe 51 6.1 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.2 Die kanonische Einbettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.3 Endlichkeitssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.5 Exkurs: Konjugationsklassen von Matrizen . . . . . . . . . . . . . 61

    7 Die Einheitengruppe 65 7.1 Der Dirichletsche Einheitensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.2 Beispiel: Quadratische Zahlkörper . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    8 Algorithmen II 71 8.1 Gitter und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 8.2 Berechnung von Grundeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.3 Berechnung der Klassengruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8.4 Klassen- und Einheitengruppe in Pari/GP . . . . . . . . . . . . . 82

    3

  • 4 INHALTSVERZEICHNIS

    9 Zerlegung und Verzweigung 87 9.1 Vorüberlegungen zur Lokalisierung von Ringen und Moduln . . . 87 9.2 Gradformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 9.3 Zerlegung von Primidealen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 9.4 Relative Diskriminante und Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . 93 9.5 Ausblick: Differente und Verzweigung . . . . . . . . . . . . . . . 97 9.6 Beispiel: Zyklotomische Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    10 Bewertungstheorie und lokale Körper 101 10.1 Bewertete Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.2 Das Henselsche Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.3 Lokale Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.4 Ausblick: Lokal-Global-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    A Grundlagen 115 A.1 Moduln: Lineare Algebra über Ringen . . . . . . . . . . . . . . . 115 A.2 Matrizen und Moduln über Hauptidealringen . . . . . . . . . . . 117

    B Beispiele in Pari/GP 121

  • Kapitel 1

    Überblick

    Algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich mit Eigenschaften ganzer algebrai- scher Zahlen in Zahlkörpern, also endlichen Erweiterungen von Q. Ganze al- gebraische Zahlen sind dabei Nullstellen von normierten Polynomen mit ganz- zahligen Koeffizienten. Die ganzen algebraischen Zahlen in einem Zahlkörper K bilden einen Unterring, den Ganzheitsring OK von K, cf. Kapitel 2. Die Un- tersuchung der strukturellen Eigenschaften dieser Ringe ist das Kernanliegen der Vorlesung. Insbesondere Zahlringe von quadratischen und zyklotomischen Körpern werden in der Vorlesung zur Illustration der definierten Konzepte im- mer wiederkehren.

    Als erstes kann man die additive Struktur von Ganzheitsringen untersuchen, cf. Kapitel 3. Zahlkörper bilden mit Addition und Skalarmultiplikation einen endlich-dimensionalen Vektorraum über Q. Ganzheitsringe haben eine ähnliche Struktur: sie sind endlich erzeugte freie Moduln über Z. Insbesondere kann man eine Ganzheitsbasis, also eine Z-Basis von OK , angeben. Außerdem erhält man mit der Diskriminante die erste wichtige Invariante von Zahlkörpern.

    Als nächstes untersucht man die multiplikative Struktur. Ganze Zahlen kann man in Primfaktoren zerlegen, und diese Zerlegung ist eindeutig. An diesem Punkt unterscheiden sich Ganzheitsringe von Z. Man muß sich von Zahlen bzw. Elementen lösen, und stattdessen Ideale betrachten, cf. Kapitel 4. Diese Ideale kann man dann eindeutig in Primideale faktorisieren. Außerdem sind Ganzheits- ringe nicht mehr notwendig Hauptidealringe, d.h. die Zerlegung in irreduzible Elemente ist nicht eindeutig. Wie weit ein Ganzheitsring davon abweicht, ein Hauptidealring zu sein, wird durch die (Ideal-)Klassengruppe gemessen, cf. Ka- pitel 6. Ein zentraler Satz der algebraischen Zahlentheorie ist die Endlichkeit der Klassengruppe. Klassengruppen tauchen in den unterschiedlichsten Zusam- menhängen auf, und es gibt noch viele ungeklärte Fragen.

    Der zweite Teil der Untersuchung zur multiplikativen Struktur ist dann den Einheiten gewidmet, also den in OK multiplikativ invertierbaren Elementen, cf. Kapitel 7. In Z hat man nur ±1, Ganzheitsringe können aber durchaus un- endlich viele Einheiten haben. Der Dirichletsche Einheitensatz gibt eine genaue Beschreibung der Einheitengruppe als Produkt einer zyklischen Gruppe von Ein- heitswurzeln und einer endlich erzeugten freien abelschen Gruppe, deren Rang von der Anzahl reeller und komplexer Einbettungen abhängt.

    Der letzte kanonische Themenblock befaßt sich mit Erweiterungen von Zahl- ringen, cf. Kapitel 9. Es geht um die Frage nach Gesetzmäßigkeiten, nach denen

    5

  • 6 KAPITEL 1. ÜBERBLICK

    sich Primzahlen bzw. Primideale in Körpererweiterungen zerlegen lassen. Ein wichtiger Aspekt dieser Frage ist die Verzweigungstheorie.

    Am Schluß wird in Kapitel 10 mit der Theorie der lokalen Körper ein wichti- ges Hilfsmittel der Zahlentheorie vorgestellt, das zum Beispiel im Lokal-Global- Prinzip für quadratische Formen eine schöne Anwendung findet.

    Es gibt zwei Kapitel über die algorithmische Realisierbarkeit der in der Vor- lesung behandelten Konzepte, Kapitel 5 und Kapitel 8.

    Die Vorlesung setzt einige Konzepte aus Algebra und kommutativer Alge- bra voraus. Die entsprechenden Begriffe und Ergebnisse sind in einem Anhang Kapitel A zusammengestellt.

  • Kapitel 2

    Ganze Ringerweiterungen

    In diesem Kapitel geht es um die Definitionen der zentralen Be- griffe der ganzen algebraischen Zahl und des Ganzheitsrings eines Zahlkörpers. Das Studium der Struktur der Ganzheitsringe ist das zentrale Anliegen der Vorlesung. Allerdings ist schon für die Tatsa- che, daß Ganzheitsringe wirklich Ringe sind, ein nicht-trivialer Be- weis und der Begriff der ganzen Ringerweiterung erforderlich.

    Definition 2.1. Ein (algebraischer) Zahlkörper ist ein endlicher Erweiterungs- körper K von Q. Elemente von K heißen algebraische Zahlen. Alternativ (nach Einbettung) heißt eine komplexe Zahl x ∈ C algebraisch, wenn Q(x) ein Zahl- körper ist, also wenn es ein Polynom f ∈ Q[X] gibt mit f(x) = 0. Eine alge- braische Zahl x heißt ganz, wenn es ein normiertes Polynom f ∈ Z[X] gibt mit f(x) = 0.

    Definition 2.2. Sei K ein Zahlkörper. Wir bezeichnen mit

    OK = {x ∈ K | es gibt a1, . . . , an ∈ Z : xn + a1xn−1 + · · ·+ an = 0}

    die Menge der ganzen algebraischen Zahlen in K.

    Definition 2.3. Sei A ⊆ B eine Ringerweiterung, d.h. ein injektiver Ringhomo- morphismus. Ein Element x ∈ B heißt ganz über A, wenn x einer normierten Gleichung genügt, d.h. wenn es a1, . . . , an ∈ A gibt mit xn+a1xn−1+· · ·+an = 0. Die Menge

    {x ∈ B | es gibt a1, . . . , an ∈ A : xn + a1xn−1 + · · ·+ an = 0}

    heißt ganzer Abschluß von A in B. Die Ringerweiterung A ⊆ B heißt ganze Ringerweiterung, wenn alle Elemente von B ganz über A sind.

    Insbesondere ist OK der ganze Abschluß von Z in der Ringerweiterung Z ⊆ Q ⊆ K. Es ist nicht offensichtlich, daß OK ein Ring ist, oder daß allgemeiner der ganze Abschluß eines Rings wieder ein Ring ist. Das soll im Folgenden bewiesen werden; das entscheidende Hilfsmittel ist der folgende Satz, der im Spezialfall von Körpererweiterungen aus der Algebra bekannt ist.

    Satz 2.4. Sei A ⊆ R eine Ringerweiterung, x ∈ R. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

    7

  • 8 KAPITEL 2. GANZE RINGERWEITERUNGEN

    (i) x ist ganz über A.

    (ii) Der Unterring

    A[x] =

    { n∑ i=0

    aix i | n ∈ N, ai ∈ A

    } ⊆ R

    ist ein endlich erzeugter A-Modul.

    (iii) Es gibt einen Teilring B ⊆ R, der A[x] enthält und als A-Modul endlich erzeugt ist.

    Beweis. (i) ⇒ (ii): Nach Voraussetzung ist xn + a1xn−1 + · · · + an = 0 für geeignete a1, . . . , an ∈ A. Mit der resultierenden Gleichung

    xn = −(a1xn−1 + · · ·+ an)

    kann man xm für beliebige m ∈ N als Linearkombination von 1, x, . . . , xn−1 ausdrücken. Also ist A[x] als A-Untermodul von R durch die endliche Menge 1, x, . . . , xn−1 erzeugt. Insbesondere ist A[x] auch ein Unterring.

    (ii) ⇒ (iii): B = A[x] erfüllt die Bedingungen. (iii) ⇒ (i): Sei y1, . . . , yn ein Erzeugendensystem von B als A-Modul. Nach

    Voraussetzung ist B ein Ring, also ist xyi ∈ B, also

    xy

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