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Algebraische Geometrie I

Prof. Dr. Uwe JannsenWintersemester 2008/09

Inhaltsverzeichnis

0 Einfuhrung 1

1 Hilberts Nullstellensatz 3

Anhang 1.A Moduln und Algebren 11

2 Die Zariski-Topologie und regulare Abbildungen 17

Anhang 2.A Lokalisierungen 29

3 Garben und projektive Varietaten 33

Anhang 3.A Exakte Sequenzen 47

4 Dimension und irreduzible Komponenten 52

5 Das Spektrum eines Rings 57

6 Endliche und ganze Ringerweiterungen 68

7 Dimension von endlich erzeugten k-Algebren und Varietaten 74

Anhang 7.A Der Transzendenzgrad 81

8 Krulls Hauptidealsatz und lokale Dimensionstheorie 84

9 Schemata 92

Anhang 9.A Kategorien, Limiten und Funktoren 104

10 Beispiele und erste Eigenschaften von Schemata 113

0 Einfuhrung

Die lineare Algebra hat ihren Ursprung in der Betrachtung von linearen Gleichungssystemen

a11x1 + . . . + a1nxn = b1...

......

am1x1 + . . . + amnxn = bm

uber einem Korper. Um die Losungsmengen zu studieren, ihre Eigenschaften, ihre Groe,wird ein neues Konzept eingefuhrt: die Vektorraume. Deren Groe wird durch die Dimensionbestimmt, hierfur braucht man wiederum Basen. Auerdem braucht man geeignete Abbil-dungen zwischen Vektorraumen; insbesondere erhalt man so den Begriff der Isomorphie vonVektorraumen. Als sinnvolle Verallgemeinerung erhalt man die Theorie von Moduln uberRingen, die auch fur die Zahlentheorie wichtig ist.

Die algebraische Geometrie hat ihren Ursprung in der Betrachtung von polynomialen Glei-chungssystemen

(0)

f1(x1, . . . , xn) = 0...

fm(x1, . . . , xn) = 0

uber einem Korper K. Hierbei sind f1, . . . , fm K[X1, . . . , Xn], also Polynome in mehrerenVariablen mit Koeffizienten in K. Die Losungsmengen sind im Allgemeinen keine Untervek-torraume in Kn mehr, aber es wird wieder ein neues Konzept entwickelt, um diese Mengenzu verstehen: die algebraischen Varietaten. Fur diese wird auch wieder ein Dimensionsbegriffentwickelt, und zwar mit der Hilfe von Ringen und Idealen. Es werden auch wieder geeigne-te Abbildungen zwischen Varietaten definiert, die sogenannten polynomialen Abbildungen,mit deren Hilfe man sagen kann, wann zwei Varietaten isomorph sind. Als sinnvolle Ver-allgemeinerung erhalt man die Theorie der Schemata, die unabdingbar ist, wenn man denGrundkorper durch einen Ring ersetzt.

Betrachtet man polynomiale Gleichungen uber Q oder Z (oder uber Zahlkorpern, Zahlringen,endlichen Korpern), so spricht man von diophantischen Gleichungen, und man kommt zuzahlentheoretischen Fragen und Methoden, z.B. bei der Fermat-Gleichung

xn + yn = zn (x, y, z Z) .

Das Fermat-Problem wurde 1994 von Wiles und Taylor durch Anwendung der algebraischenGeometrie in ihrer modernsten Form (kein Grundkorper, Theorie der Schemata) gelost.

Die Verbindung von Algebraischer Geometrie und Zahlentheorie nennt man auch Arithme-tische Geometrie. Aber die Algebraische Geometrie hat interessante Anwendungen in vielenweiteren Gebieten, z.B. in der Algebra, der Topologie, der Gruppentheorie, der Kodierungs-theorie, der mathematischen Physik und vielen anderen.

Die algebraische Geometrie verwendet eine geometrische Sprache und Sichtweise und benutztdie Theorie kommutativer Ringe die sogenannte kommutative Algebra um die geometri-sche Anschauung in exakte Definitionen und Satze umzuwandeln. Dies beginnt im nachsten

1

Kapitel, in dem wir ein polynomiales Gleichungssystem (0) mit Ringtheorie in Verbindungsetzen.

Vereinbarung: Alle Ringe seien kommutativ mit Eins, wenn nichts anderes erwahnt wird.

2

1 Hilberts Nullstellensatz

Der Zusammenhang zwischen dem polynomialen Gleichungssystem

(1)

f1(X1, . . . , Xn) = 0...

fm(X1, . . . , Xn) = 0

und Ringen ist einfach: Man betrachtet den Ring

R = R(f1, . . . , fm) = k[X1, . . . , Xn]/ < f1, . . . , fm > ,

wobei < f1, . . . , fm > das von den Elementen f1, . . . , fm in k[X1, . . . , Xn] erzeugte Idealbezeichnet (in der Literatur wird oft die Bezeichnung (f1, . . . , fn) verwendet). Wir wollennun zeigen, dass es enge Beziehungen zwischen R und der Nullstellenmenge

Z(f1, . . . , fm) := {a = (a1, . . . , an) Kn | fi(a1, . . . , an) = 0 i = 1, . . . , m}der fi gibt, d.h., der Losungsmenge der Gleichung (1).

Satz 1.1 (Hilberts Nullstellensatz, 1. Form) Sei k algebraisch abgeschlossen. Die maximalenIdeale von k[X1, . . . , Xn] sind die Ideale von der Form

m = < X1 a1, . . . , Xn an >mit a1, . . . , an k.

Wir leiten dies aus der folgenden Version her:

Satz 1.2 (Hilberts Nullstellensatz, 2. Form) Sei k beliebig. Ist m R = R(f1, . . . , fm) einmaximales Ideal und L = R/m der Restklassenkorper, so ist L eine endliche Korpererweiterungvon k.

Satz 1.1 folgt aus Satz 1.2: Zunachst beweisen wir, dass

m = < X a1, . . . , X an >ein maximales Ideal ist. Sei a = (a1, . . . , an) gegeben und

= a : k[X1, . . . , Xn] kf 7 f(a1, . . . , an)

der Einsetzungshomomorphismus. Dieser ist surjektiv. Das Ideal m liegt offenbar im Kern,und wir erhalten mit dem Homomorphiesatz eine Surjektion

: k[X1, . . . , Xn]/m k .

Wir behaupten, dass ein Isomorphismus ist (Dann ist gezeigt, dass m maximales Ideal ist,siehe Algebra I, 3.32 (b)). Wir konstruieren eine Umkehrabbildung . Definiere

: k k[X1, . . . , Xn]/mb 7 b = b mod m .

3

Offenbar ist = id und daher injektiv. Andererseits ist surjektiv, da Xi aimod m fur i = 1, . . . , n und damit f f(a1, . . . , an) mod m fur jedes f = f(X1, . . . , Xn) k[X1, . . . , Xn]. Es folgt, dass bijektiv ist.

Ist nun umgekehrt m k[X1, . . . , Xn] ein maximales Ideal, so ist L = k[X1, . . . , Xn]/m einKorper und nach Satz 1.2 (fur m = 1 und f1 = 0) eine endliche Erweiterung von k. Ist kalgebraisch abgeschlossen, so ist L = k. Dies bedeutet, dass die kanonische Abbildung

k k[X1, . . . , Xn] k[X1, . . . , Xn]/m = L

ein Korperisomorphismus ist. Sei ai k das Element, das auf X i = Xi mod m in L abgebildetwird. Dann liegt Xi ai ker = m, also < X1 a1, . . . , Xn an > m. Da das linke Idealnach dem ersten Schritt maximal ist, folgt Gleichheit.

Bemerkung 1.3 Der Beweis zeigt, dass a1, . . . , an eindeutig durch m bestimmt sind.

Zum Beweis von Satz 1.2 benutzen wir:

Lemma 1.4 (Artin-Tate) Seien R S T Ringe, sei R noethersch und T als R-Algebraendlich erzeugt. Sei weiter T als S-Modul endlich erzeugt. Dann ist auch S als R-Algebraendlich erzeugt.

Definition 1.5 Seien R S Ringe.(a) S wird ein R-Modul durch die Multiplikation in S (rs = Produkt in S fur r R, s S).(b) S ist auch eine R-Algebra. Sind x1, . . . , xn S, so sei

R[x1, . . . , xn] = {f(x1, . . . , xn) | f R[X1, . . . , Xn]}

die Menge aller polynomialen Ausdrucke in den xi mit Koeffizienten in R. Die ist die kleinsteR-Unteralgebra von S, die x1, . . . , xn enthalt. R[x1, . . . , xn] ist auch das Bild des Einsetzungs-morphismus

R[X1, . . . , Xn] Sf 7 f(x1, . . . , xn) .

(c) S heit als R-Algebra endlich erzeugt oder von endlichem Typ uber R, wenn es end-lich viele Elemente x1, . . . , xn S gibt mit S = R[x1, . . . , xn]. Das heit also, dass derEinsetzungshomomorphismus in (b) surjektiv ist. Aquivalent ist, dass es eine SurjektionR[X1, . . . , Xn] S von R-Algebren gibt.(d) Allgemeiner heit eine R-Algebra S uber einem Ring R endlich erzeugt, oder von endli-chem Typ uber R, wenn es einen surjektiven R-Algebrenhomomorphismus R[X1, . . . , Xn] S gibt.

Beweis von Lemma 1.4 Sei T = R[x1, . . . , xn], und sei {w1, . . . , wm} ein Erzeugendensy-stem von T als S-Modul, welches x1, . . . , xn enthalt. Dann gibt es a

ik` S mit

(2) wi wk =m

`=1

aik` w` (i, k, ` = 1, . . . , m) .

4

Fur den RingS = R[aik` | i, k, ` {1, . . . , m}] S

wird dann T als S -Modul von w1, . . . , wm erzeugt. Denn es gilt xi S w1 + . . . + S wm undwegen (2) auch

x2i , x3i , . . . , x

ri S w1 + . . . + S wm

fur alle i = 1, . . . , m und alle r. Daher gilt T = R[x1, . . . , xn] = Sw1 + . . . + S wm. Da

R noethersch ist, ist auch S noethersch, nach dem Hilbertschen Basissatz (Algebra I, 5.9,5.10). Wegen S S T ist also auch S ein endlich erzeugter S -Modul, also eine endlicherzeugte R-Algebra, da dies fur S gilt (Ubungsaufgabe).

Lemma 1.6 Der rationale Fuktionenkorper k(X) = Quot(k[X]) ist nicht endlich erzeugt alsk-Algebra.

Beweis Angenommen, k(X) = k[x1, . . . , xn] mit xi k(X). Sei

xi =fi(X)

gi(X)mit fi, gi k[X] .

Dann gilt fur jedes Q k(X)

Q =f(X)

g(X), f, g k[X] ,

wobei der Nenner g(X) nur von den irreduziblen Polynomen p1, . . . , pr geteilt wird, die einsder gi teilen. Dies sind nur endlich viele. Ist p(X) ein irreduzibles Polynom, das teilerfremdzu allen pi ist, so ergibt die Gleichung

1

p=

f

g

den Widerspruch g = p f . Beachte: In k[X] gibt es unendlich viele irreduzible, paarweisenicht-assoziierte Polynome, nach demselben Schluss mit dem man zeigt, dass es unendlichviele Primzahlen p Z gibt (Ubungsaufgabe).

Damit fuhren wir nun den

Beweis von Satz 1.2: Es genugt zu zeigen

Satz 1.7 (Hilberts Nullstellensatz, 3. (korpertheoretische) Form) Ist L/k eine Korpererweiterungund L = k[x1, . . . , xn] mit x1, . . . , xn L, so ist L/k endlich.

Beweis Wir fuhren Induktion uber n. Ist n = 1 und x1 transzendent uber k, so ist k[x1]isomorph zum Polynomring, also kein Korper (x1 ist nicht invertierbar). Also ist x1 algebra-isch uber k und damit k[x1] endlich uber k. Ist nun die Behauptung fur n 1 bewiesen undL = k[x1, . .

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