s 大正方形 = c 2
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一. a. b. c. c. a. b. 证法二:. 现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧!. S 大正方形 = c 2. S 小正方形 =( b-a ) 2. c. b. a. S 大正方形 = 4·S 三角形 + S 小正方形. 弦图. 伽菲尔德证法 :. 证法三:. a. b. c. c. a. ∴ a 2 + b 2 = c 2. b. B. 10. 6. C. A. 求出下列直角三角形中未知的边. 求下列直角三角形中未知边的长 :. 5. 比一比看看谁算得快!. 16. x. 17. 8. 12. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
一
a
bc
a
b
c
abcba2
14)( 22
222 cba
a
bc
S 大正方形= c2
S 小正方形=( b-a ) 22
S 大正方形= 4·S 三角形+ S 小正方形
¼´£ºc2=4 1
2ab+(b-a)2
C2=2ab+a2-2ab+b2
a2 + b2 = c2
弦图
现在我们一起来探索“弦图”的奥妙吧!
证法二:
证法三:
a
a
b
b
c
c
伽菲尔德证法 :
)ba)(ba(2
1S 梯形
2S c
2
1ab
2
1ab
2
1S 梯形
∴ a2 + b2 = c2
求出下列直角三角形中未知的边
610
AC
B
x
x
x
8
64
62102
x
2
045
2
22
422
2222
x
x
x
xx
解:
比一比看看谁算得快!
求下列直角三角形中未知边的长 :
可用勾股定理建立方程 .方法小结 :
8
x
17 16
20
x12
5
x
3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 13 84 85 15 112 113
3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 13 84 85 15 112 113
8 , 15 , 17 12 , 35 , 37 20 , 21 , 29 20 , 99 , 101 48 , 55 , 73 60 , 91 , 109
8 , 15 , 17 12 , 35 , 37 20 , 21 , 29 20 , 99 , 101 48 , 55 , 73 60 , 91 , 109
常见勾股数常见勾股数
(1) 求墙的高度 ? (精确到 0.1
米)解:
BCAB22 ∴AC=
∵∠ACB=90°AB=3 , BC=1
= 1322 = 8 ≈2.8
( 米 )
(2) 若梯子的顶端下滑 50 厘米 ,底端将向外水平移动多少米 ?
A
A′
B B′
3m
1m
C
∴ AB2=AC2+BC2
有一架 3 米长的梯子靠在墙上 , 刚好与墙头对齐 , 此时梯脚 B 与墙脚 C 的距离是 1 米。
2. 求下列图中表示边的未知数 x 、 y 、 z 的值 .
①
81
144
x yz
② ③
625 576
144
169
S1
S2
S3S4
S5S6
S7
ÒÑÖªS1=1,S2=3,S3=2,S4=4,ÇóS5¡¢S6¡¢S7µÄÖµ
命题 2 如果三角形的三边长 a,b,c
满足 那么这个三角形是直角三角形 .
222 cba
由以上例子 , 我们猜想 :
B ) (,2)( 22 则此三角形是
满足条件、、三角形三边长
abcba
cba
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、等边三角形
1.
练一练
已知:如图,四边形 ABCD中,∠ B = 900 , AB = 3 , BC= 4 , CD = 12 , AD = 13, 求四边形 ABCD 的面积 ?
A
B
C
D
S 四边形 ABCD=36
中考链接
如图有一张直角三角形纸片,两直角边 6AC cm , 8BC cm ,
现将直角边 AC沿 CAB 的角平分线 AD折叠,使它落在斜边
AB上,且与 AE重合,你能求出CD的长吗?
B
D
C
A
E
一个工人师傅要将一个正方形 ABCD(四个角都是直角,四边都
相等,边长为a)的余料,修剪成如四边形 ABEF的零件. 其中
BCCE4
1 , F 是CD的中点.
(1)试用含 a的代数式表示 22 EFAF 的值;
(2)连接 AE △,则 AEF是直角三角形吗?为什么?
3.(10分)如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13海里的 A、B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120海里,乙巡逻艇每小时航行 50海里,航向为北偏西 40° ,问:甲巡逻艇的航向?
C
BA
8 、如图,小颍同学折叠一个直角三角形的纸片,使 A 与 B 重合,折痕为 DE ,若已知 AC=10cm , BC=6cm, 你能求出 CE 的长吗?
CA
BD
E
如图,已知长方形 ABCD 中 AB=8 cm,BC=10 cm, 在边 CD 上取一点 E ,将△ ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F ,求 CE 的长 .
10 、如图 , 把长方形纸片 ABCD 折叠 ,使顶点 A 与顶点 C 重合在一起 ,EF 为折痕。若 AB=9,BC=3, 试求以折痕 EF 为边长的正方形面积。
A B
CD
G F
E
11 、假期中,王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏,按照探宝图,他们登陆后先往东走 8 千米,又往北走 2 千米,遇到障碍后又往西走 3 千米,在折向北走到 6 千米处往东一拐,仅走 1 千米就找到宝藏,问登陆点 A 到宝藏埋藏点 B 的距离是多少千米?
A
B
8
2
3
6
1
3 、在等腰△ ABC 中, AB = AC= 13cm , BC=10cm, 求△ ABC 的面积和 AC 边上的高。
A
B CD
13 13
10
H
提示:利用面积相等的关系提示:利用面积相等的关系
BHACADBC 2
1
2
1
4 、 已知等边三角形 ABC 的边长是 6cm ,(1) 求高 AD 的长; (2)S△ABC
A
B CD
解: (1)∵△ABC 是等边三角形, AD 是高
在 Rt△ABD 中, 根据勾股定理222 BDABAD
cmAD 3327936
ADBCS ABC 2
1)2(
)(393362
1 2cm
32
1 BCBD
5 、 如图,∠ ACB=∠ABD=90° , CA=CB ,∠ DAB=30° , AD=8 ,求 AC 的长。
解:∵∠ABD=90° ,∠ DAB=30°
∴BD= AD=42
1
在 Rt△ABD 中, 根据勾股定理4848 22222 BDADAB
在 Rt△ABC 中, CBCACBCAAB 且,222
242
12 2222 ABCACAAB
62 AC
又 AD=8A B
CD
30°
8
6 、 如图,在△ ABC 中, AB=AC , D 点在 CB 延长线上,求证: AD2-AB2=BD·CD A
B CD
证明:过 A 作 AE⊥BC 于 E
E∵AB=AC ,∴ BE=CE
在 Rt △ADE 中,AD2=AE2+DE2
在 Rt △ABE 中,AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)=BD·CD
例、已知:在△ ABC 中,∠ A 、∠ B 、∠ C的对边分别是 a 、 b 、 c ,满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c 。试判断△ ABC 的形状。 例、已知:如图,四边形 ABCD , AD∥BC ,AB=4 , BC=6 , CD=5 , AD=3 。求:四边形 ABCD 的面积
A
B C
D
E
例、已知:如图,在△ ABC 中, CD 是 AB边上的高,且 CD2=AD·BD 。求证:△ ABC 是直角三角形。
B A
C
D
1 .若△ ABC 的三边 a 、 b 、 c ,满足( a- b )( a2 + b2 - c2 ) =0 ,则△ ABC 是( )A .等腰三角形; B .直角三角形;C .等腰三角形或直角三角形; D .等腰直角三角形。 2 .若△ ABC 的三边 a 、 b 、 c ,满足 a :b : c=1 : 1 :,试判断△ ABC 的形状
3 .已知:如图,四边形 ABCD , AB=1 , BC= , CD= , AD=3 ,且 AB⊥BC 。求:四边形 ABCD 的面积
4
3
4
13
A
B C
D
4 .已知:在△ ABC 中,∠ ACB=90° , CD⊥AB 于 D ,且 CD2=AD·BD 。求证:△ ABC 中是直角三角形
1 .若△ ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ,求△ ABC 的面积 2 .在△ ABC 中, AB=13cm , AC=24cm ,中线 BD=5cm 。求证:△ ABC 是等腰三角形 3 .已知:如图,∠ 1=∠2 , AD=AE , D为 BC 上一点,且 BD=DC , AC2=AE2+CE2 。求证: AB2=AE2+CE2
B C
A
E
D
4 .已知△ ABC 的三边为 a 、 b 、 c ,且 a+b=4 , ab=1 , c= ,试判定△ ABC 的形状
?吗 说明理由△ABC是直角三角形 n )是正整数 ,m,n,>(m
且
cb,a, 分别为△ABC三角形的三边 1、已知
nm=c2mn,=b,n-m =a 2222
分析:先来判断 a,b,c三边哪条最长,可以代m,n为满足条件的特殊值来试,m=5,n=4.则 a=9,b=40,c=41,c最大。
2222222222 )()2()( cnmmnnmba 解:
∴△ABC 是直角三角形
练一练
思考题 1 ( 05 、江苏宿迁)如图,将一根 25 ㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为 8 ㎝、 6 ㎝和 10 ㎝的长方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝.
AB
C
9 、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于55 cm ,10 cm 和6 cm , A 和 B 是这个台阶的两个相对的端点, A 点上有一只蚂蚁,想到 B点去吃可口的食物。请你想一想,这只蚂蚁从 A 点出发,沿着台阶面爬到 B 点,最短线路是多少?
B
A A
BC
探索与提高:
如图所示,现在已测得长方体木块的长 3 厘米,宽 4 厘米,高 24 厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点 A 处,一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点 B 处。
A C
D
B
GF
H
( 1 )蜘蛛急于想捉住苍蝇,沿着长方体的表面向上爬,它要从点 A 爬到点 B 处,有无数条路线,它们有长有短,蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去,所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到最短路径吗?( 2 )若蜘蛛爬行的速度是每秒 10 厘米,问蜘蛛沿长方体表面至少爬行几秒钟,才能迅速地抓到苍蝇?
A C
D
B
GF
H
A
B
我怎么走会最近呢 ?
有一个圆柱 , 它的高等于 12 厘米 ,底面半径等于 3 厘米 , 在圆柱下底面上的 A 点有一只蚂蚁 , 它想从点 A爬到点 B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少 ? (π 的值取 3)
B
A
高12cm
B
A长 18cm (π 的值取 3)
9cm
∵ AB2=92+122=81+144=225= ∴ AB=15(cm)
蚂蚁爬行的最短路程是 15 厘米 .
152