我們知道: 邊長為 1 公分的正方形,面積為 12 = 1 平方公分; ...
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我們知道: 邊長為 1 公分的正方形,面積為 12 = 1 平方公分; 邊長為 2 公分的正方形,面積為 22 = 4 平方公分; 邊長為 3 公分的正方形,面積為 32 = 9 平方公分; ⋯ 反過來說, 若正方形面積為 1 平方公分,因為 1 = 12 ,所以它的邊長為 1 公分; 若正方形面積為 4 平方公分,因為 4 = 22 ,所以它的邊長為 2 公分; - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
我們知道: 邊長為 1 公分的正方形,面積為 12 = 1 平方公分; 邊長為 2 公分的正方形,面積為 22 = 4 平方
公分; 邊長為 3 公分的正方形,面積為 32 = 9
平方公分; ⋯反過來說,若正方形面積為 1 平方公分,因為 1 = 12 ,所以它的邊長為 1
公分;若正方形面積為 4 平方公分,因為 4 = 22 ,所以它的邊長為 2
公分;若正方形面積為 9 平方公分,因為 9 = 32 ,所以它的邊長為 3
公分;⋯現在我們來想一想:是否有面積為 2 平方公分的正方形?
探索面積為 2 的正方形邊長拿出附件二中邊長為 2 的正方形,依照下列的步驟摺紙,再回答問題。步驟:1. 將附件二的正方形對摺兩次後攤開,如圖 1∼ 圖 4
得到 4 個面積為 1 的小正方形,在摺痕的交點上標示 O 。
2. 將圖 4 中正方形的 4 個頂點分別向 O 點對摺,得到正方形 ABCD 。
問題:1. 正方形 ABCD 的面積為多少?2. 利用附件三的直尺量一量,正方形 ABCD 的邊長大
約是多少?3. 將量出來的結果平方,並把平方後的結果與正方形
ABCD 的面積值作比較,看看是否相等?
2 。
約 1.4 。
不相等。
從問題探索 1 中,我們找到了面積為 2 的正方形,但是也發現在測量這個正方形的邊長時,每位同學的測量值不會完全一樣,即使用刻度很精密的直尺去量,也會有同樣的情形。把測量得到的值平方,結果很「接近」2 ,但都不會等於 2 。事實上,我們沒有辦法用過去曾經學到的數字 ( 如整數、分數和小數 ) 來表示面積為 2 的正方形邊長是多少,因此以新的符號「 」 ( 讀作「根號二」 ) 來代表這個邊長的實際數值,滿足 ( )2 =2 。
一般來說,若一個正方形面積為 a ,則它的邊長為「 」,滿足 ( )2 = a 。
2
2
a a
1. 分別以「√」表示面積為 3 平方公分和 4 平方公分的正方形邊長。面積為 3 平方公分的正方形其邊長為 公分面積為 4 平方公分的正方形其邊長為 公分
3
4
2. 邊長分別為 公分和 公分的正方形面積各為多少平方公分?
7 64
邊長為 公分的正方形其面積為 ( )2 = 7 平方公分邊長為 公分的正方形其面積為 ( )2 = 64 平方公分
64
7 7
64
若設 a 為正數,那麼面積為 a2 的正方形其邊長為 ,又因為面積為 a2 的正方形其邊長為 a ,因此可得 = a (a > 0) 。例如:
2a2a
。
;
;
5
3)
5
3(
0.20.2
1010
2
2
2
其實可以將上述說明加以推廣,a 、 b 為兩個正數,且滿足 a = b2 ,則 。bba 2
例如: 100 = 102 ,所以 。 0.04 = 0.22 ,所以 。
1010100 2
0.20.20.04 2
其中 100 可以寫成 102 ,像這樣可以寫成某個整數平方的數,我們稱為完全平方數。下表是 1 400 ∼ 內的完全平方數。
整數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
完全平方數 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
整數 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
完全平方數 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
計算下列各數的值。 ⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
14464 289
4
49
9
169 1.21
882 12122 17172
2
7)
2
7( 2
3
13)
3
13( 2
1.11.1 2
若 a 是一個負數,說明 =- a 。2a
因為 a 是一個負數,所以- a 是一個正數,所以 aaa 22 )(
例1
利用標準分解式求值利用標準分解式計算下列各數的值。
⑴ ⑵解
576 69.39
⑴ 576 = 26×32
= (23)2×
32
= (8×3)2
= 242
所以
2424576 2
10
63)
10
63(
100
396936.96
10
63)
52
73(
)52(
)73(
52
73
100
396969.39 )2(
2
22
2
22
25
24
所以
計算下列各數的值。 ⑴
⑵ 98.01
784
784 = 24×72 = (22)2×72 = (4×7)2 = 282
所以 2828784 2
10
99)
10
99(
100
980198.01
)10
99()
52
113(
5)(2
11)(3
52
113
100
980198.01
2
222
2
22
22
24
所以
如果一個數的平方等於 a ,這個數就叫做 a 的平方根。例如: 32 = 9 ,所以 3 是 9 的平方根; ( - 3)2
= 9 ,所以- 3 也是 9 的平方根。事實上,每一個正數都有兩個平方根,其中一個是正的,另一個是負的,而且這兩個平方根互為相反數。通常,我們以 表示正數 a 的正平方根,以 表示正數 a 的負平方根。這兩個平方根可以合併記為 ,讀作「正負根號 a 」。例如: 2 有正、負兩個平方根,正平方根記為 ,負平方根記為 ,合併記為 。
有時候我們會稱「 」中的 a 為被開方數。另外,由 02 = 0 知道: 0 是 0 的平方根,記作 = 0 。
aa
a2 2
2a
0
平方根若 ,則: 1. a 的平方根為 。
2. ( )2 = a 。
0a a
a
例2
平方根
解
求下列各數的平方根。 ⑴ 100 ⑵ 2.5⑶4
25
⑴ 100 的平方根為 。1010100 2
⑵ 的平方根為 。4
252
5)
2
5(
4
25 2
⑶ 2.5 的平方根為 。5.2
求下列各數的平方根。 ⑴ 51 196 ⑵ ⑶ 1.44⑷
100
47
(1) 51 的平方根為 。
51
(2) 196 的平方根為 。
1414196 2
(3) 的平方根為 。100
47
100
47
(4) 1.44 的平方根為 。
2.12.11.44 2
1. 1 的平方根為何?
2. 負數有沒有平方根?
1 的平方根是 1 和- 1 。
任何非 0 的數,其平方皆為正數,所以負數沒有平方根。
例3
平方根的應用
解
若- 5 是 2x - 1 的平方根,求 x 的值,並檢驗是否正確。
根據平方根的意義知道:( - 5)2 = 2x - 1 , 2x = 26 , x = 13
檢驗: 2x - 1 = 2×13 - 1 = 25 , 而- 5 是 25 的負平方根, 所以 x = 13 正確。
若 是 3x+ 2 的平方根,求 x 的值,並檢驗是否正確。2
3
12
1
4
13 23
4
9 23)
2
3( 2 xxxx ,,,
檢驗: 3x + 2 = 3× + 2 = ,而 是 的正平方根,所以 x = 正確。
12
1
4
9
2
34
9
12
1
我們知道:兩個邊長不相等的正方形中,邊長比較長的正方形,它的面積會比較大。反過來說:兩個面積不相等的正方形中,面積比較大的正方形,它的邊長會比較長。我們可以利用這樣的關係,來比較平方根的大小。
平方根的比較大小已知 a > 0 , b > 0 : 1. 若 a < b ,則 a2
< b2 。 2. 若 a2 < b2 ,則 a < b 。
例4
比較平方根的大小
解
設 x = 7 、 y = 、 z = ,試比較 x 、 y 、 z 三數的大小關係。
46 50
因為 72 = 49 , ( )2 = 46 , ( )2
= 50 ,且 46 < 49 < 50 ,所以得到 < 7 < ,即 y
< x < z 。
46 50
46 50
判斷下列大小關係是否正確,對的打「○」,錯的打「 × 」。
⑴ ( ) 5663 ⑵ ( ) 3
4
4
5
⑶ ( )3
1336 ⑷ ( ) 1.01.0
因為 63 > 56 ,所以
5656 636322 ,
5663
○
3
4
4
5
3
4
4
5
3
4)
3
4(
4
5)
4
5( 22
所以,因為
,
×
3
1336
3
13336
3
13336
3
133)
3
133( 366 22
即
所以,因為
,
○
1.00.1
1.010.0 0.10.01
0.1)1.0( 0.011.0 22
級
所以,因為
,
×
接下來,我們將經由在數線上找到 的大概位置,來說明求 近似值的過程。
22
⑴ 整數:由 ,得到 ,因此 在數線上是位於 1 、 2 之間,如圖5 ,即 = 1.⋯。
222 2)2(1 221
2
2
重複同樣的過程,如圖 8 ,就可以找到小數第 3 位、第 4 位、⋯⋯的數,像這樣利用十等分來逐漸逼近 在數線上的位置,而求得近似值的方法,就稱為十分逼近法。其中近似值我們常用符號「 」表≒
示,例如: 的近似值 ( 以四捨五入法求到小數第一位 ) 可以表示成 ≒ 1.4 。
2
2
2
例5
十分逼近法
解
試以十分逼近法求 的近似值 ( 以四捨五入法求到小數第一位 ) 。
5
⑴ 因為 22 < ( )2 < 32 ,得 2 < < 3 ,所以 = 2.⋯。
5 5 5
⑵ 在 2 和 3 之間的 10 等分點中,由 2.22 =4.84 , 2.32 = 5.29 ,知道 2.22 < ( )2 < 2.32 ,
得 2.2 < < 2.3 ,所以 = 2.2⋯。5
55
⑶ 在 2.2 和 2.3 之間的 10 等分點中,由 2.232 = 4.9729 , 2.242 = 5.0176 ,知道 2.232 < ( )2 < 2.242 ,
得 2.23 < < 2.24 ,所以 = 2.24⋯。 以四捨五入法求到小數第一位得 ≒ 2.2 。
5
5 5
5
試以十分逼近法求 的近似值 ( 以四捨五入法求到小數第一位 ) 。
7
⑴ 因為 22 = 4 , 32 = 9 ,得 2 < < 3 ,所以 = 2.⋯。7 7
⑵ 因為 2.62 = 6.76 , 2.72 = 7.29 ,得 2.6 < < 2.7 ,所以 = 2.6⋯。
7
7
⑶ 因為 2.652 = 7.0225 ,所以 < 2.65 。7
⑷ 以四捨五入求到小數第一位得 ≒ 2.6 。7
例6
十分逼近法的應用
解
⑴ 請問 化成小數後的近似值中,整數部分為何?⑵ 請問 介於哪兩個連續整數之間?
120
56
⑴ 因為 102 = 100 , 112 = 121 , 102 < ( )2 < 112
, 10 < < 11 ,得 = 10.⋯, 所以 化成小數後的近似值中,整數部分是 10 。
120
120 120
120
⑵ 因為 72= 49, 82= 64, 72< ( )2<82,
得 7 < < 8,所以- 8 < <- 7,
即 介於- 7 和- 8 之間。
56
56 56
56
1. 請問 化成小數後的近似值中,整數部分為何?210
因為 142 = 196 , 152 = 225 , 142 < ( )2 < 1
52
14 < < 15 ,得 = 14.⋯所以 的整數部分是 14 。
210
210 210
210
2. 請問 介於哪兩個連續整數之間? 99
因為 92 = 81 , 102 = 100 , 92 < ( )2 <102
得 9 < < 10所以- 10 < <- 9即 介於- 9 和- 10 之間。
9999
99
99
要利用十分逼近法求平方根的近似值,過程實在太繁瑣了,為了方便,常將一些整數的平方與正平方根 (或近似值 ) 列成乘方開方表,供隨時查閱。
下面就來看看如何用乘方開方表 ( 附件四 ) 求出平方根的近似值。自左向右看乘方開方表:
第一行是 N ,表示這一行所列出的是自然數 ( 正整數 ) 。第二行是 N2 ,表示這一行所列出的是自然數的平方。第三行是 ,表示這一行所列出的是自然數的正平方根。第四行是 ,表示這一行所列出的是自然數的 10
倍的正平方根。例如: 在第一行 N 中,有一個自然數 17 ; 在第二行 N2 中且與 17 同列的數是 289 , 即得 172 = 289 ; 在第三行 中且與 17 同列的數是 4.1
23106 , 即得 ≒ 4.123106 ; 在第四行 中且與 17 同列的數是 1
3.03840 , 即得 ≒ 13.03840 。
N
N10
N
17
N10
170
例7
查表法
解
請根據附件四的乘方開方表,求出下列平方根的值。 ⑴ ⑵ ⑶45 450 2050
⑴ 先從第一行 N 中查出 45 ,再查出位於第三行 中和 45 同列的數是 6.708204 ,即得 ≒6.708204 。
N
45
⑵ 先從第一行 N 中查出 45 ,再查出位於第四行 中和 45 同列的數是 21.21320 ,即得 ≒ 21.2132 。
N10
450
⑶ 先從第二行 N2 中查出 2025 ,再查出位於第一行 N 中和 2025 同列的數是 45 ,即得 = 45 。
2050
請根據附件四的乘方開方表,求出下列平方根的值。 ⑴ ⑵ ⑶410 1764
48 ≒6.928203
48
= 20.24846
41110410 422 = 1764
故 = 42
1764
一般電算器上有一個「 」鍵,它可以用來求某數值的正平方根或其近似值。
例8
利用電算器求平方根值
解
請利用電算器,求下列各數的近似值 (以四捨五入法求到小數第四位 )。
⑴ ⑵ ⑶7 7
57.0
在算每一題時,請先將螢幕顯示的值歸零 (按 鍵 ) 。
1 正方形的面積與周長
若一個正方形面積為 a ,則它的邊長為「 」,滿足 ( )2 = a 。例 若一個正方形面積為 16 ,則它的邊長為 「 」,滿足 ( )2 = 16 。
a
a
16 16
2 「√」的意義
a 、 b 為兩個正數,若滿足 a =
b2 ,則 = = b 。
例 16 = 42 , =
= 4 。
a
16 24
2b
3 完全平方數
若整數 a 可以寫成某個整數的平方, a 就稱為完全平方數。例 16 = 42 ,所以 16 是完全平方數。
4 平方根
若 a 是一個正數,則 是 a 的正平方根, 是 a 的負平方根。註: 0 是 0 的平方根,記作 = 0 。例 是 16 的正平方根, 是 16 的負 平方根。
a
a
16
16
0
5 平方根的比較大小
已知 a > 0 , b > 0 :⑴ 若 a < b ,則 a2 < b2 ;⑵ 若 a2 < b2 ,則 a < b 。例 已知 15 < 17 ,則 152 < 172 ; 已知 ( )2 < ( )2 ,則 < 。
15 17 15 17
6 平方根近似值的求法
⑴ 十分逼近法。⑵ 查表法。⑶ 利用電算器。
1 求下列各數的值。 ⑴ ⑵ ⑶361
121
169 25.12
19
192
11
13
)11
13( 2
5.3
5.3 2
2 求出下列各數的平方根。 ⑴ 157 1.96⑵ ⑶
9
17
157 的平方根為
157
1.96 的平方根為
4.1
4.1
96.1
2
3
8)
3
8(
9
64
9
64
9
64
9
17
2
的平方根為
3
判斷下列各敘述是否正確,對的打「○」,錯的打「 × 」。
⑴ ( ) ( )2 = 5 ,所以 5 是 的平方根。
⑵ ( ) 16 的平方根是 ±4 。
⑶ ( ) - 32 =- 9 ,所以- 3 是- 9 的平方根。
⑷ ( ) - 2 是 的平方根。
5 5
16
×
○
×
○
4 已知 x 是一個整數、小數或分數,若 是 8 的正平方根,求 x 的值,並檢驗是否正確。
13x-
若 是 8 的正平方根則 ( )2 = 8
3x - 1 = 8 , 3x = 9 , x = 3
檢驗: = = 為 8 的正平方根,所以 x
= 3 正確。
13 x
13 x
13 x 133 8
5 設 a =- 12 、 b = 、 c
= ,試比較 a 、 b 、 c
三數的大小關係。
169 211
a =- 12
b = = =- 13
c = =- 11
所以- 11 >- 12 >- 13
故 c > a > b
169 213211
6⑴ 請問 化成小數後的近似值中,整數部分為何?220
因為 142 = 196 , 152 = 225 ,142 < ( )2 < 152
14 < < 15
得 = 14.⋯,所以 的整數部分是 14 。
220
220
220 220
⑵ 請問 介於哪兩個連續整數之間?220
由⑴知 14 < < 15
所以- 15 < <- 14
即 介於- 14 和- 15
之間。
220
220
220
7 利用下面的乘方開方表,求下列各數的值。N N2
26 676 5.099020 16.12452
27 729 5.196152 16.43168
28 784 5.291503 16.73320
N N10
⑴ ⑵ ⑶27 280 676
≒5.19615227 7332.16
2810280
262 = 676
故 = 26
676