resultantensysteme und algebraische relationen

Resultantensysteme und algebraische Relationen *) Von HEINZ ORSINGER in Berlin

(Eingegangen am 1. 12. 1953)

Inhalt Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

$1. Tragheitsformen und Resultantensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4 2 . Die Resultante von n Formen in n Unbestimmten . . . . . . . . . . . . 216 Q 3. Die ,,Resultante" von n + 1 Formen in n Unbestimmten . . . . . . . . . 228 5 4. Resultantensystem und Minimalrelation fur n + 1 Formen in n Unbestimmten 234 3 5 . Ein Gradsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

. . . . . 244 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

0 6. Die ,,Resultant$" von r Formen in n Unbestimmten fur beliebiges r > n . . . . 240 0 7. Resultantensystem und algebraische Relationen fur beliebiges r > n

Einleitung Gegeben seien r vollstandige Formen y in n Unbestimmten x mit un-

bestimmten Koeffizienten a (,,allgemeine Formen"). Eine Hauptaufgabe der Eliminationstheorie besteht in der Aufstellung notwendiger und hinreichender Bedingungen dafur, dalj fur spezielle Werte der Koeffizienten aus einem Korper die ,,speziaZisierten Formen" y* eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle in einem geeigneten Erweit,erungskorper besitzen. WLhrend im Fa& r < n immer eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle existiert, stellt im Falle r 2 n das Verschwinden gewisser Polynome in den a (namlich der Resultante fur r = n , allgemeiner eines. Resultantensystems fur r 2 n ) ein ,,algebraisches Kriterium" fur die Existenz einer solchen dar. Die Resultante R von n allgemeinen Formen in n Unbestimmten kann auf verschiedene Weise definiert Tverden. Nachdem sie zuerst von MERTENS [ 7 ] , spater von HURWITZ [4] als Basis des Hauptideals der TrLgheitsfornien eingefuhrt wurde, hat sie PERRON (111 als hochsten Koeffizienten der geeignet normierten Minimalgleichungen fur die 5 uber K ( y ) ( K der Koeffizientenkorper) charakterisiert. Fur den allgemeinen Fall von r $ n Formen in n Unbestimmten pragte VAN DER WAERDEN [14] den Begriff des Resultantensystems und gab auch den ersten Existenz- beweis ; die wirkliche Konstruktion eines Resultantensystems leistet,e ebenfalls VAN DER WAERDEN [15] mittels sukzessiver Elimination nach HENTZELT- E. NOETHER [3], ferner KAPFERER [5] mittels sukzessiver Kroneckerscher Eli- mination.

*) Habilitationsschrift Univ. Berlin 1953.

Xath. Saclrr. 1954, Bd. 12. H. 314. 14

210 Orsinger, ,Resultantensysteme und algebraische Relationen

Wahrend aber der Zusammenhang zwischen Resultantensystemen und Trggheitsformen leicht erkennbar ist (vgl. $ 1,7. , 9.), fehlte bisher eine Aus- dehnung der Perronschen Methode auf den Fall r > n , namlich die Konstruk- tion eines Resultantensystems aus Koeffizienten von Relationen zwischen den r und y. Eine Vermutung voii Perron ging dahin, da,O fur r = n + 1 die Koef fizienten der zwischen den y allein bestehenden normierten Relation mini- malen Gewichts in den x (,,Minimalrela,tion") e in Resultantens ystem bilden. Als Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist nun die Bestatigung dieser Ver - mutung ($ 4, Hauptsatz) und daruber hinaus der Nachweis anzusehcn, dag allgemeiner fur beliebiges r > n die Koef f iz ienten gewisser, mi t Hil fe einer Resul- tantenbildung leicht angebbarer Relationen zwischen den y e in Resultantens ysteln bilden ($ 7 , Hauptsatz). Man wird dabei auf eine als ,,Resultante" der r Formen in n Unbestimmten zu bezeichnende Bildung gefiihrt, die - abgesehcn von der nicht immer vorhandenen Irreduzibilitat im Falle r > n + 1 - ganz ansloge Eigenechaften wie die gewohnliche Resultante besitzt .

Dadurch wird zugleich der von Perron benutzte und durch den zweiten Teil von Satz 2.2, wonach die Minimalgleichung auch umgekehrt durch die Resultante explizit bestimmt ist, vertiefte interessante Zusa.mmenhang zwischen Resultante und Minimalgleichung auf den Fall r > n. ausgcdehnt und in ein allgemeineres, korpertheoretisches Licht geruckt. TVahrend man fur 1: < n aus der Transzendenz der Korpererweiteriing K ( x ) / K ( y ) sofort schlieBt. daB das Resultantensystem von der Null a,llein gebildet wird (Satz l .l), fuhrt die Algebraizitat von K f z ) / K ( y ) im Falle r = n auf die gewohnliche ( 3 2 ) und im Falle r > n auf die allgemeine Resultant,e ( 4 3 und 3 6). Weiter druckt sich fur r = n die dgebraieche Unabhangigkeit der .y darin aus, daB die Resui- tante fur sich allein schon ein Resultantensystcm bildet (Satz 2.3) , wogegen fiir r > n die allgemeine Resultante das erwiihnte Resultantensystem aue Koeffizientcn von Abhangigkeiten zwischen den y liefert (§ 4 und 9 7). Ins- besondere bestimmen sich im Falle r = n + 1 ailgemeiiie Resdtante und Mini- inalrelation wieder gegenseitig (Satz 4.2 und Satz 4.2a), was zu Verschar- fungen Perronscher Satze [12] uber die Minimalrelation AnlaS gibt ( 3 4). Be- uicrkenswerterweise kann die Minimalrelation ale Basis des Prim-Hauptideal- der Relationen charakteris:srt werden (vgl. den SchluB von $ 7 ) , ganz ahnlich wie in1 Falle r = n die Re=ultante als Basis des Prim-Hauptideals der Trag- heit sformen.

Wie angedeutet, stiitzt sich die ganze Untersuchung niethodisch auf Struk- turauseagen uber Erweiteiungen vom Typ K ( x ) / K ( y ) . Sie stellt einen neuen konstruktiven Weg zur Auffindung eines Resultamensystems dar, der sich von den durch van der Waerden und Kapferer beschrittenen insofern unterscheidet, ale die dortigen Resultantensysteme durch sukzessive Elimi- nation der Unbestimmten x gebildet werden und dann auf die Existenz der gewohnlichen Resultante fuhren, wahrend hier das Resultantensystem mit Hilfe eines einzigen Eliniinationsschrittes, nanilich der Bildung der allgemeinen Rcsultante, gewonneii wird, nachdem die gewohnliche Resultante bereits eingefuhrt ist, was ebenfalls ohne sukzessive Eliminationen geschehen kann (vgl. das im AnschluB an den ExisteiizPatz 5 1, 6. Gesagte). Mit Ausnahme des Esistenzsatzee und eines am SchluB von $ 7 lediglich zu einer Folgerung

Orsinger, Resultantensysteme und algebraische Relationen 211

aus derii Hauptsatz benutzten Satzes aus der Disertation des Verfaseers [SJ, nuch dem die Koeffizienten aller Relat,ionen zwischen den y Triigheitsformen sind, werden alle mitgeteilten Satze in der Arbeit selbst bewiesen. Insbesondere werden in Q 1 die bekannten Grundtatsachen uber Triigheitsformen und Re- eultantensysteme hergeleitet, wobei die Formulierungen 5 . , 7., 9. neu sind. Q 2 bringt eine den Zwecken der vorliegenden Arbeit angepafite Einfuhrung der gewohnlichen Resultante im Sinne von Perron (vgl. die Einleitung da- selbet). Q 3 und Q 4 behandeln allgemeine Resultante und Resu1tantensyst)em fur r L- n + 1, Q 6 und Q 7 dasselbe fur beiiebiges r > n .

Aus den Untersuchungen iiber die Minimalrelation ergibt sich in Q 5 die fur r = n durch Satz 2.1 gegebene Gradbestimmung. von K ( z ) / R ( y ) auch fur r > n (Satz 5.1). Damit ist der in der Dissertation des Verfaesers [a] nur unter Charakteristikeinschrankungen bewiesene Gradsatz ale allgemein- gultig erkannt.

I n der Praxis ist die wirkliche Aufstellung eines Resultantensystems ge- gebener Formen mittels sukzessiver Elimination bekanntlich schon in einfachen Fallen oft undurchfuhrbar, weil 'die damit verbundencn Rechnungen zu kompliziert sind. Obwohl in derselben Weise die Met hoden der vorliegenden Arbeit vornehmlich voii theoretischem Interesse sind, konnen sie in manchen Fallen die praktische Auffindung eines Resultantensystems eileichtern, wie das a m SchliiB von Q 4 gegebene Beispiel zeigt. Aus Q 4 geht aber andereiseits hervor, dafi auch diese Methoden im allgemeinen nicht das ,,einfachste" Resul- tantensystem liefern, wenngleich die Formen nicht, wie bei der sukzeseiven Kroneckcrschen Elimination, zuerst durch Muitiplikation mit z-Potenzen auf gleichen Grad gebracht werden miissen, was jene Methode sehr mit uberflus- sigen Bildungen belastet. Die Auffindunp einee in geeignetem Sinne moglichst einfachen Resulttantensystems steht noch aus.

Zum Schlufi sei auf zwei weitere Fragen hingewiesen, die an die vorliegende Untersuchung anknupken .und noch nicht beantwortet sind :

1. In welcher Weise hangt die Existenz einer nichttrivialen gemeinsamen Kullstelle sptzialisierter Formeu y* mit der Struktur, insbesondere dem Grad von K ( z ) / K ( y * ) zusamnien? Ein solcher Zusammenhang ist ja auf Grund dei korpertheoretischen Betrachtungeweise sehr naheliegend.

2 . La& sich auch im allgemeinen Falle r > n die Gesamtheit der zwischen den y bestehenden Relationen mit Hilfe von Resultantenbildungen pewinnen? Fur r = n + 1 ist dies nach Satz 4.2a moglich (vgl. den SchluB von 4 7).

8 1. Tragheitsformen und Resultantensysteme Es seien n und r beliebige natiirliche Zahlen. Uber einein beliebigen Grund-

korper k betrachten wir r vollstandige Formen yI, . . . , yr in nunbestimmteii x l , . . . , zn von positiven Graden g l , . . . , gr und mit unbestimmten Kocffi- zienten a , derrn lndizierung durch

y, = y2(z1 ) . . . ) z ~ L ) = a l l Z ~ + . . . + C C , Z T ~ + . . . . . + al, x$,

y T = yr(Z , , . . . , zJ=arlz,Br+ . . - + a , ~ x ~ + . ' . . . + a,,, xi? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14*

2 12 Orsinger, Resultantensysteme und algebraische Relationen

teilweise festgelegt sei (kurz: r allgemeine Pormen in n Unbestimmten). Der aus k durch Adjunktion der Unbestimmten a entstehende Korper K = k(a) heiI3e der Koeffizientenk6rper.

Ein Polynom T = T ( a ) in den a mit Koeffizienten aus k heiBt Tragheits- form') (HURWITZ [4]; vgl. auch VAN DERWAERDEN [15], [IS]) des von den For- men y im Polynombereich k [ a ; x] erzeugten Ideals (y, , . . . , y7), wenn es einen Index v und einen Exponenten z gibt mit

Zu einer niit dieser Definition aquivalenten Charakterisierung der Triig- heitsformen gelangt man so. Man fasse T fur ein e (1 2 e 5 n) insbesondere ale Polynom in den Unbestimmten a k , aSQ, . . . , are auf, was stets durch die Schrei bweise

T = T (%, , . ' ' > a7,)

angedeutet werde2), und es bezeichne

den aus T bei Ersetzung von

(1 -2 1

hervorgehenden Ausdruck: T ist gen>au dann Tragheitsform, wenn es ein e gibt mit

(T.2)

Beweis . a) Es sei T Tragheitsform, d. h. es gelte (T.1). Bei der Ersetzung (1.2) verschwinden die y und damit die linke Seite von (T.1), also, weil x, davon nicht beruhrt wird, T selbst. Das besagt aber gerade (T.2).

b) Es gelte umgekehrt (T.2). Bei der weitercn Ersetzung von

, . . . , u r v - yL 2.VL Y X:

Yl al,, . . . , u,, d ~ r c h - ~-

geht (T.2) (auch fur v = e) uber in

Y V

Von einer Tragheitsform wird also nicht verlangt, da13 sie eine Form i n d e n a ist; die Bezeichnung ,,Worm" riihrt vielmehr daher, daS es sich um eine Form (nullten Grades) i n d e n x handelt. Da die in den a homogenen Bestandteile einer Tragheitsform offenbar wieder Tragheitsformen sind, kannten wir uns zwar auf F o r m e n in den a beschranken; doch ist es fur die bequemere Formulierung mancher Aussagen vorteilhaft, auch P o l y n o m e zuzulassen. Der Name , ,Traghei ts"form leitet sich aus einer anderen Charakterisierung her: T ist genau dann Tragheitsform, wenn die Ideale (y l , . . . , y,) und (y l , . . . , y?, T ) in allen Formen der x von geniigend ?Lohem Grade iibereimtimmen. Diese yon HURWITZ [4] als Definition benutzte Eigenschaft ergibt sich hier aus der folgenden Aussage 3.

2) Dabei bezeichnet also, ohne dab Verwechslungen zu befiirchten sind, das Symbol T(al,,,. . . , a,,,) auch fur u =i= e dasselbe Polynom T, jetzt als Polynom in a,,, . . . , a,, aufgefabt, und nicht etwa das aus T ( a I Q , . . . , arp) durch Ersetzung von a,? , . . . , a,, durch a,,,, . . . , a,, hervorgehende Polynom.


__ - yr cnt- Indem man hier die linke Seitc nach Potenzen von - - - , . . . , wickelt, erhiilt mati

Yl X? X?

und durch Multiplikation mit dem hochsten vorkommenden Nenner x:

Durch ubergang zur Kongruenz nach dem Ideal (yl, . . . , y,) ergibt sich hier-

Aus dem Vorangehenden ergeben sich leicht einige einfache Aussagen uber TIligheitsformen. Bereits aus der definierenden Eigenscheft fT.1) leitet man a b :

1. Die Tragheitsfomen des Ideals (y, , . . . , y,) bilden ihrerseits ein Ideal2) 2 in k[a] .

Aus (T.2) folgt sogar: 2 . Das Ideal 2 der Tragheitsformen ist ein Primideal. Denn wenn ein Produkt

die Eigenschaft (T.2) hat, so hat sie auch einer der Faktoren. Der obige Beweis lehrt genauer, daI3 aus dem Bestehen von (T.l) fur ein v

dic Gultigkeit von (T.2) fur j e d e s p und daraus weiter das Bestehen von (T.l) fur j e d e s v folgt, also:

aus (T.1).

3. Ist T Tragheitsform, so gilt (T . l ) mit geeignetem z sogar fur jedes v. 4. Ist T Tragheitsform, so gilt (T.2) sogar fur jedes p . SchlieBlich entnimmt man dem Beweis : 5. Ist T Tragheitsform de? Ideals (y,, . . . , yT), so i s t mit geeignetem t

ein Polporn iiber k [ a ; y] mit der Nullstelle x v .

Bei einer Ersetzung a --f a* gewiFser a durch irgendwelche Elemente a* des Grundkorpers k gehen insbesondere die y in spezialisierte Formen y* und das Ideal (gl , , . . , y,) in das Ideal (y:, . . . , y:) aus k [ a ; 21 uber3). Wir spre- chen dann von einer Spezialisierzcng y -+ y* der Formen y , indem wir die da-

l) Diese zunachst nur bei Charakteristik Null zulassige Schreibweise bleibt auch bei ( a ) gn, -t ' ' ' +A,.

Primzahlcharakteristik sinnvoll, wenn wir wie ublich L1! * . . I.,! ija;;, . . . ,?a:;

einfach als Symbol fur den betreffenden Entwicklungskoeffizienten auffassei. Dasselbe gilt auch fur alle im folgenden auf tretenden ahnlichen Bildungen.

2, Nach S . 212, FuBn. 1 sogar ein homogenes Ideal. GROBHER [2] nennt d i e m Ideal das Resultantenideal von (yl,. . . , 9,).

3, Dabei schlieBen wir auch die Extremfalle ein, daD gar keine oder alle Unbestimm- ten a durch Grundkorperelemente ersetzt werden.

214 Orsinger, Kesultantensysterne und algebraische Relationen

dureh bestirnmte Ersetzung CL + a* der a aieineii. Den Ausdruck, in den dabei ein Polynoni T ( a ) am k[a] ubergeht, bezeichnen wir mit T*.

Das Ideal (y : , . . . , y:) besitzt stets die trioiale Nullstelle

{zl, . . . , zn} = (0, . . . , O } . Eine Hauptaufgabe der Eliniinationstheorie ist es, notwendige und hinreichende Bedingungen dafiir anzugeben, daB bei einw Spezialisierung y + y* das Ideal (y: . . . , y,*) eine nichttriviale hTullstelle

(1.4) in einem Erweiterungslrorpei voii K besitzt oder, mit andcren Worten, daB die Gleichungen (1.5)

(51, . ' . , 5%} = (61, . . . , En} =I= ( 0 , . . . , O )

y: ( X I , . . . , Zn) = 0 , . . . , y,* (5 , , . . . , xn) = 0 eine nichttriviale gerneinsame Liisung (1.4) besitzen. Zu (licsem Zweclr fiihrt man den Regriff des' ,,Result,antensystenis" ein :

Ein endliihes Xybtem von ganzzahligen Polynomen')

I?(') ( a ) I?(') (a) , . . . , 'R'h) ( a )

in den a heiat ein Resultantensystem der E'ormen y , , . . . , yr ( v ~ ~ Y DER WAEHDEX [14], [ls], [16]; vgl. auch KAPFERER [5], PERRON [ll]): zoenn das Verschui7zde7~ aller dieser Polynome bei einer Xpezialisiernnq y 3 y" notwendig wad hiweichend ist fiir die Existenz einer nichttriviulen Nullstelle des Ideu1.r (y: , . . . , y:).

Mit dieser Definition ist natiirlich noch nicht gcsagt, daB cs RBesultanten- systemc tatsachlich gibt. Es gilt aber der Existrnzsatz :

6 . Zu belipbigen allgerneinen Forrnen y , ~ . . . , yr gibt es stets eirz. Resultunten- system.

Dieser Batz wird heute nieisk, riztch KAPBEREH. LSj <lurch wir1ilic:hc Konslruk- t)iori eines Resultantcnsysterns mit Hilfc der Kronrckerschen Methodc dcr sukzessiven Elimination bewiescn [16], 1111. Einen Existenzbeweis gab zuerst v - 4 ~ DER WAERDEN [14] auf der Grundlage dcs Hilbertscheii Nullstcllensatzes, dann auch einen konstruktiven Beweis [15], indern cr die dazu beniitigtc Ver- scharfung eines Spezialfalles des Hilbertschen Nullstellensatzcs rnittels Suli- zessiver Elimination nach HENTZELT - E. NOETHER [ 3 ] hcrlejtete. Da u.ir in der vorliegenden Arbeit eiii Resultantensyst,ein auf eineiri anderen konst>ruk- tiveil Wege gewinnen und dazu den Existcrizsatz nur (fiir den Spezialfall 1' == ?z in Gestalt der Folgerung 9.) zu dem Nachweis benutzen, daB die in 8 2 lion- struicrte Resultante R fur sich allein ein Resultantensystem bildet (Satz 2 . 3 ) % konnen wir uns mit eineni reinen Existenzbeweis begniigeri untl die Untcr- s irchung von sukzessiven Elirninationen ganz unabhangig niachcn ; dahei sei

1) Unter cinem ganzzahligen Polynom verstelien wir ein Polynom mit Hoeffizienten 2 1 des Einselemants 1, in dem nacli aus dem Ring der ganzzahligen Vielfachen 1 . 1 =

den Regeln

addiert und multipliziert wird. Rationale Bildungen ails ganzzahligen Polynomen sind dann offenbar unabhangig vom Grundkorper l c , insbesondere von der Charakteristik von k. sofern man sicb auf Divisionen durch Polynome beschrankt, die bei jeder Cliarakteristik vom Nullpolpnom verschieden sind (,.zulassige Dir.isionm").

I . 1 + m . 1 = ( I + m ) . 1, ( I . 1) ( m . 1 ) = In&' 1


erwahnt, daB der Hilbertsche Nullstellensatz neuerdings auf sehr durchsich- tigem Wege unabhangig von der Eliminationstheorie bewiesen wurde (vgl. ANCOCHEA [l]). Fur unsere Zwecke wunschenswert ware allerdings ein moglichst einfacher direkter Beweis des Satzes 2.3 ohne Zuhilfenahme des Existenz- satzes oder sukzessiver Eliminationen, der sich auf die korpertheoretischen Zusammenhange stutzt ; der von MACAULAY [S] gegebene Beweis scheint leider luckenhaft zu seinl). Fur den obigen Existenzsatz geben wir hier keinen Beweis, sondern verweisen auf die zitierte Literatur.

7 . Jedes Resultantensystem R ( ' ) ( a ) . . . . , R ( h ) ( a ) der Formen y l , . . . , yr hesteht aus lauter Tragheitsformen des Ideals ( y l , . . . , y,.) .

Es habe nanilich bei einer Spezialisierung y --f y* das Ideal (y;" , . . . , y,*) die Nullstelle { 11, . . . , l,} . 1st die Nullstelle nichttrivial, so verschwindet nach Definition des Resultantensystems jedes R($)(u); ist sie trivial, so ist iiisbesondere [, = 0. Zusanimengenommen verschwindet das Produkt R"(a) 5, als Polynoni in den a und II: an allen gemeinsamen Nullstellen der y , so daB m c h dem Hilbertschen Nullstellensatz niit geeignetem p

( Rc*) (a ) ' 5,) . e - - ~ ( i ) ( .e ) II:; = 0 (y], . . . , y,)

gilt. Nach (T. l ) besagt dies, daR R( i ) (a )@ und nach 2 . daher R("(U) selbsi, Trbg- heitsforni ist.

Unigekehrt hat die Gesanitheit der Tragheiteformen - abgesehen von der Endlichkeit - die Eigcnschaften eines Resultantensysteins, auf Grund des folgenden Sa,tzes :

8. Das Verschwinden samtlicher Tragheitsforrnen des Ideals ( y l , , . . , y?) bei einer Spezialisierung y -+ y* ist notwendig undhinreichend f u r die Esistenz einer nichttrivialen Nullstelle des I d e d s ( y ; , . . . , y:).

Beweis . a ) 1st {cl, . . . , &} eine nichttrivialc Nullstelle von ( y ; " , . . . , $), so ist T * [ : = 0 fur jcdrs v riach 3. Wegen tv += 0 fur mindestens ein v folgt T* = 0 fur jede Tragheitsform.

b) Nach 6. gibt es ciri Resultantensystem dcr Formen y,, . . . , y r . Ver- schwinden fiir y --f y* sanitliche Tragheitsformen, so verschwindet nach 7. insbesondere das Resultantensystem. Daher existiert eine nichttriviale Null- st,elle von (y : , . . . , y:).

Von 8. aus gelangt man wieder zu endlichen Resultantensystemen auf Grund der Tatsache, daR das Vemchwinden samtlicher Tragheitsformen bereits gesichert wird durch das Verschwinden einer Basis von % oder auch nur eines zu % gehorigen Primarideals. Genauer werden die Rssultantensysteme zusammen mit 7 . charaliterisiert durch :

9. Die Tragheitsformen R ( ' ) ( a ) , . . . , Rch)(a) bilden dann und nur dann ein Resultantensystem der Formen y l , . . , , y,, wenn es zi(. jeder Tragheitsform T ( u ) zlon (y, , : . . , y,.) ein z gibt mi t

T ( a ) ' = 0 ( R ( ' ) ( a ) , . . . , R(')(a,)) . Beweis . a) 1st die angegebene Bedingung erfullt, so folgt aus dem Ver-

schwinden der RCi) fur y 3 y* das Verschwinden samtlicher Triigheitsformen

I ) vgl. \-AN DER WAERDEX [14], s. 142, FuSn. 2.

216 Orsinger, Resultantensysteme und ctlgebraisclie Relationexl

und daraus nach 8. die Existenz einer nichttrivialen Nullstelle von (yf, . . . , y:). Umgekehrt folgt aus der Existenz einer nichttrivialen Nullstelle naoh 8. das Verschwinden der Triigheitsformen Rci), 60 da13 die RCi) ein Resultantensystem bilden.

b) Bilden die RO ein Resultantensystem der Formen yl, . . . , y,, so zieht jhr Verschwinden fur y -+ y* die Existenz einer nichttrivialen Nullstelle von (gf, . . . , y:), also nach 8. das Versrhwinden samtlicher Triigheitsformen nach sich. Fur jede Triigheitsform T ist daher nach dem Hilbertschen Null- etellensatz P = 0 (R(l) , . . . , R(")) mit geeignetem z.

Fur den Fall, daB die Anzahl r der Formen y kleiner ist als die Anzahl n der Unbestimmten x, erhiilt man aus dem Vorstehenden leicht die Losung der erwahnten Hauptaufgabe. Da niimlich K ( z , , . . . , z,,)/K den Transzendenz- grad n , K ( yl , . . . , y,)lK aber einen Transzendenzgrad 5 r < n hat, ist K ( x l , . . . , zn)/K(yl, . . . , q,.) transzendent. Es ist also mindestens ein z, iiber K ( y , , . . ., y,) transzendent. Daher mu13 fur jede Triigheitsform T das Poly- nom (1.3) das Nullpolynom, also T = 0 sein, d. h. fiir r < n gibt es nur die Triigheitsform 0 . Folglich gilt nach 8. der

Satz 1.1. Fur r < .n ullgemeine Formen yl, . . . , y, in n Unbestimmtela bildet die Null ein Resultantensystem.

Oder anders ausgedruckt: r < n Formen g;, . . . , y: in n Unbestimmten haben stets eine nichttrzviale gemeinsame Nullstelle.

I m Hinblick auf das in der Einleitung und im AnschluB an ti. Gesagtc bemerken wir, da13 dieser Satz auch, ohne 8. und damit 6 . fur r < n zu Hilfe zu nehmen, aus Satz 2.3 des nachsten Paragraphen gefolgert werden kann, da die Resultante von r allgenieinen Formen und n - r hinzugefugten Null- formen, die ohne EinfluB auf die gerneinsamen Nullstellen sind, wegen der dort bewiesenen Eigenschaft (R.2) verschwindet.

8 2. Die Resultante von n Formen in n Unbestimmten Wir geben in diesem Paragraphen eine Einfuhrung der Resultante R nach

PERRON [ll], d. h. von dem in unserer ganzen Untersuchung eingenommenen korpertheoretischen Standpunkt aus. Wahrend Perron von n inhomogenen P o l y n o m e n in n - 1 Unbestimmten ausgeht, legen wir jedoch von vorn- herein n F o r m e n in n Unbestimmten zugrunde und gelangen so mit Hilfe des Satzes 2.1, der ein leicht beweisbarer Spezialfall eines bekannten Grad- satzes (OSTROWSKI [9], H. L. SCHMID [13]) ist, zu einer besonders einfachen Darstellung. Diese homogene Betrachtungsweise wird schon durch das von uns verfolgte Ziel der Aufstellung von Resultantensystemen nahegelegt, da bei inhomogenen Polynomen ein ,,algebraiPches Kriterium" fiir gemeinsame Nullstellen in Gestalt eines Resultantensystems ja in1 allgemeinen nicht existiert (VAN DER WAERDEN [IS]), sondern in jedem speziellen Fall durch sukzessive Elimination ermittelt werden mull, ob gemeinsamc. Nullstellen vorhanden sind.

I n einfachster Weise ergibt sich die andere Charakterisierung von R als Basis des Hauptideals Z der Tragheitsformen (MERTENS [7], HURWITZ [4 ] ; vgl. dazu GROBNER [ 2 ] ) . Unter Ausnutzung beider Definitionen gewinnen wir


leicht die bekannten formalen Eigenschaften von R, z. B. die Irreduzibilitat aus der Primidealeigenschaft von Z , wiihrend die Gradbestimmung bequem von der Perronschen Definition aus moglich ist.

AbschlieSend folgt ein wichtiger Satz uber das Verhalten von R bei einei gewisseii Spezialisierung (Satz 2.4).

Wir leiten zunachst einen Hilfssatz her1). Es seien y., . . . , y,, allgemeine Formen in xl, . . . , q,, und es mogen x l , . . . , xn; Al, . . . , A,,; pl , . . . , p,, ganze Zahlen 2 0 bedeuten. Wir betrachten fur ein bcliebiges ganzes h 2 0 die Potenzprodukte

xyi + - . .c2y:i - - yl* vom Grade x1 + - * * + H,, + Algl + * - . + Ang,, = h in den x mit x1 < gl , . . . , x,, < g,,. (2.1)

Tragen wir in einem Potenzprodukt (2.1) fur die y ihre Ausdriicke in den x ein, so erhalten wir eine Darslellung

(2 .2)

dieses Potenzproduktes als Linearkombination der Potenzprodukte

(2.3) vom Grade

wobei die Koeffizienten fp l , . . . , pn (a ) ganzzahlige, in bezug auf die Koeffizienten eines jeden yp homogene Formen in den a sind. Wir fassen die Gesamtheit der Darstellungen (2.2) fur alle Potenzprodukte (2.1) als inhomogenes lineares Gleichungssystem fur die Potenzprodukte (2.3) auf. Dieses Gleichungssystem enthalt ebenso viele Gleichungen wie Unbekannte, denn die Potenzprodukte (2.1) werden vermoge

(2.4) pl= x1 + iL,gl, . . . ,pa= H,, + >,,g,,

eineindeutig den Potenzprodukten (2.3) zugeordnet. Die Zuordnung lehrt ferner, daS die Determinante Dh(a) dieses Systems, die eine ganzzahlige, in bezug auf die Koeffizienten eines jeden yq homogene Form in den a ist, bei der ,,Diagonalspezialisierung"

z;' . - . x ; ~ . y$ - - . yim = C f p , , . I . , p ~ ( a ) - - - x2

x? - . - x? pl + . . . + p,, = h ,

zii-. . x? y$ . - a ylfi- xl;1- - x 2 mit

(2.5) Y*-++,*. > Y n + x 2

den Wert f 1 annimmt, also auch fur allgemeine y nicht verschwindet und bei geeigneter Anordnung der Potenzprodukte ein ,,Hauptglied" der Gestalt '

enthalt : wir wollen uns die Anordnung stets so gewahlt denken, daS das Haupt- plied mit dem Koeffizienten + 1 vorkommt. Durch Auflosung des Systems erhalten wir den

Hilfssatz 2.1. Es seien yl, . . . , y,, allgemeine Pormen in x l , . . . , x,,. Dann

t, ,... .Xn; a, ,..., a,,(~)xP - * * 22~3 * * . Y ~ U ,

ist jedes Potenzprodukt der x eindeutig daratellbar in der Gestalt 1

xpn = - 2 ('.') %' ' * . Dh(a) x l < u l , . . . , u n < g n + . . . + + dl gI + . . + l n g , , = h

1) Vgl. PERRON [lo].

218 Orsinger, Resultantensysteme und algebraische Relationen

wo h den Grad p, + I - . + pn des Potenzproduktes und Dh(a) die oben erklarte Determinante bedeutet; dabei sind die f (a,) ganzzahlige Pormen in deqt a ,

I n der Darstellung (2.7) k a n n jede Spezialisierung

Y,-fYT,.*. > Yn -+ Y,* vorgenomnzen werden, die die weitergehende Diagonalspezialisierung (2 .5 ) zulapt, und die so entstehende Darstellung

( 2 3 ) xp. . . x b = c t;.. . . , xpl; R , , . . . p G ; 1 . . . 5. y;1 . . . Y;n y 1 < I1 3 . . ., xn < 8,

x1 + .. . + xn + L1g, + . . + Lag,, = h

ipt immer. noch eindeutig.

Der zweite Teil des Hilfssakzes folgt offenbar sofort aus dem Nichtver- schwinden von & ( a ) bei der Diagonalspezialisierung. Aua dieseni Hilfssatz erhalten wir unmitt,elbar den

Satz 2.1. Es seien y;*: . . . , y,* ullgemeine Il'ormen oder derart syeziali- sierte Formen i n x'!, . . . , xn, dab die weitergehende Diayonirlspezialisierung (2.5) noch moglich ist, D a n n bilden die G = g1 . gn Potenzprodukte

(2.9) z ~ . . - q l ( X I = @ ) . . . ) g l - l ; . . . ; x 9 & = o ) . . . > g n - l )

eine linear unabhungige Modulbasis von K [ x ] / K [y*J und daher insbesondere eine Korperbasis- von K (lu)/K ( y*). Es ist also K ( x ) / K ( y*) algebraisch vom Grade G. Allc: x sind ganz beziiylich K[y*] .

Die Behauptung iiber die Ganzheit der x ergibt sich bekanntlich aus der Existenz einer endlichen Modulbasis.

Aus der Algebraizitiit von K ( z ) / K ( y * ) folgt, daB der Transzendenzgrnd von K ( y*)/K gleich dem von K ( x ) / K , also gleich n ist . Die n Forrnen y: , . . . , y: sind daher unter der irn Satz gemachten Vorausetzung alge brnisch uiiabfirtngig iiber K und verhalten sich a,lso wie Unbestimmte iiber K = Ic(a) , so dafi z . B. im Polynombereich k [a; y*] der Satz von der eindeutigen Primfalitorzerlegung gilt; insbesondere ist der Begriff ,,primitives Polynom iiber k [ a ; y*]" crkliirt. jedes irreduzible Polynoin uber k [ a ; y*] ist auch iiber k ( a ; y*) = K ( y * ) irrc- duzibel, und wenn bei einer Zerlegung eiries Polynoms mit Koeffizienten aus k [ a ; y*] ein Faktor iiber k [ a ; y*] primitiv ist, so hat auch der anderc Faktoi Koeffizienten aus k [ a ; y*]. Von diesen bekannten, auf GAUSS zuriickgehenden Tatsachen machen wir des oftefen auch ohne bcsondere Erwahnung Gebrauch.

Uns jnteressiert nun bei allgemcinen y das iiber k [ a ; y] primit ice irreduziblr Polynom m i t der Nullstelle x, ( Y beliebig). Fasseri wir die Basiselemente (2.9) zu einer einspaltigen (und G-zeiligen) Matrix F zusamnien, so wird diirch

(2.10) 2, r-- 9[ (Y) F nach Hilfssatz 2.1 eine G-reihige quadratische Matrix '21 (y) dcfiniert, deren Elernente bis auf Nenner der Gestalt Dh(a) ganzzahlige Polynome in dcn a und y sind. Daher gilt dasselbe von den Koeffizienten des Hauptpolynoms

(2.11) Iz 6 - ?((.y)l (~ die G-reihige Einheitsmatrix)

fur x, bei der Erweiterurig K ( x ) / K f y ) , nur daB als Nenner jetzt auch Potenz- produkte der Dh(a) auftreten kiinnen. Wir recluzieren alle vorlromnienden

Orsinger, Resultantensgsteme und algebraische Relationen 219

Briichi. in den a und multiplizieren mit dem Hauptnenner R ( a ) auf. Bei diesen Operationen brauchen wir den ganzzahligen Koeffizientenbereich nicht zu verlassen; R ( a ) ist wie die Dh (a) eine in den Koeffizienten jedes ye (p = 1 , . . . , n) homogene Form in den a und enthalt ein Hauptglied der Gestalt (2.6), das wir wieder mit dem Koeffizienten + 1 annehmen konnen, so dalJ bei der Dia- gonalspezialisierung R ( a ) in l iibergeht. So erhalten wir cin iiber k[a; y] primitives Polynom

(2.12)

mit der Kullstelle x,,, dessen Koeffizienten R ( a ) , R l ( a ; y), . . . , Ro(a; y) ganzzahlige Polyriome in den w und y sind und dessen hochster Koeffizient R ( u ) vori den y unabhangig ist.

Wir zeigen, dap das Polyizom 12.12) uber K(y) irreduxibel ist oder, was wegen [K(x):K(y)] = G (lasselbe ist, da13 x,, primitives (d. h. crzeugendes) Element der Erweiterung K f z ) / K ( y ) ist. Fiir n = 1, wo nur die eine Uri- bestimmte z1 vorhanden ist, i s t dies klar. Fiir n > 1 nehnien wir in (2.12) die Spezialisierung

R (a ) ZQ $- R, ( a ; y) zG--l + * . a + % ( a ; Y)

y, -+yT =a,7zyl+a,$1-i x2. Y2 + Yz* = aZ2 xp + 0.) x9-l z3 ~

(2.13), I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vor, ersetzen also alle unbestimniten Koeffizienten a auWer den arigeschriebenen, die wir unbestimmt lassen, clurch 0 . Bei diescr Spezialisierung verschwindet R ( a ) nicht, weil das Hauptglied nicht beruhrt w i d , so daW (2.15') in ein nichr identiscli verschwindendes Polynom G-t'eii Grades uber k [ a ; y*] init dcr Null- stelle x, iibergeht,. Dieses Polynoni ist aber irreduzibel; dcnri da sich x,+~, . . . , 2,. x,, . . . , x,,-~ rnit Hilfe von (2.13) sukzessive rational durch x, urid dic y* ausdriicken lassen, ist z, primitives Element, der Erweiterung K ( x ) / K ( y*), urid diese Erneiterung ist iiaeli Satz 2.1 voni Grade G , da dic y* die weitergehende r)iagonalspezialisierung noch zulassen. Also war das Polyrioin (2.12) s u c h vor der Spezialisicriing irwduzibel.

Offenbar muB das Polynoni (2.12) in den x und z zusnmmen homogen (vom Grndc G) sein. Es ist also R ( a ) $ = 0 (yl,. . ., y,), d. h. der hijchste Koeffizient R ( a ) von (2.12) ist Tragheitsforni des Ideals (yI ~ . . . , y?'). Wir kijnncn jetzt eogar bcwtisen, dap das Tragheit~~formenideuI 2 von (yl. . . . . y,) das durch R ( a ) erzeugte Hauptideal ist. Zri jcdcrri T ( a ) nus '2 gibt es niiuilich nach 5 1; 5. cin z, so daB

ein Polynorri uber k [ a ; y] mit der Nullstelle x,,, also durch das irreduzible Yolynom (2.12) mit derselben Nullstelle teilbar ist :

220 Orsinger, Resultantensysteme und algebraische Helationen

wegen der Primitivitat von (2.12) uber k [ a ; y] besitzt der Quotient ebenfalls Koeffizienten aus k [ a ; y ] . Vergleich der hochsten Koeffizienten ergibt in der. Tat

Durch diese Eigenschaft, Basis des Ideals 2 zu sein, ist aber R ( a ) bis auf Fak- toren aus k eindeutig bestimmt und demnach unabhangig davon, von welchem x,, wir ausgehen: Die uber k [ a ; y] primitiven irreduziblen Polynome fur xl, . . . , x, haben (bis auf willkurliche Faktoren $. 0 aus k) alle denselben hochsten Koeffi- zienten R (a) .

Eine interessante Beziehung zwischen R ( a ) und dem Polynonl (2.12) erhalten wir, wenn wir (2.14) speziell fur !!'(a) = R(a) anschreiben, wo &(a) = 1 ist :

_. - { z e - G + &,(a; y)zQ-S-1 + . f . + Qp-G(a; y)}

x (R(a ) zG $- R 1 ( a ; y ) P l -f- * . . + Rc(a; y)}.

Denken wir uns hier fur die y ihre Ausdruckc in den a und x eingesetzt, SO ist die linke Seite offenbar homogen sowohl in den a als auch in den x und z (vom Grade e ) , und das gleiche mu0 daher fur jeden Faktor der rechten Seite gelten. Damit die Homogenitat des ersteii Faktors in den a gewahrleistet ist, mussen zunachst die & ( a ; y) von den a und y unabhangig sein, und die Homogenitat in den 5 und z verlangt nun, da die x gar nicht vorkommen, da13 alle & ( a ; Y) Null sind. Fur e = G erhalten wir jetzt die Identitat

Wir fassen zusamnien :

Satz 2.2. Xind yl, . . . , y,, allgemeine Formen in xl, . . . , x ~ , so sind alle x primitive Elemente der Erweiterung K ( x ) / K ( y) . Die iiber k [a ; y] primitivelz irreduziblen Polynome fur die x haben (bis auf willkiirliche Faktoren 9 0 aus k ) alle denselben hochsten Koeffizienten R ( a ) , und das Triigheitsformenideal von (y, , . . . , y,) ist das von R (a) erzeuqte Hauptideal.

Mit Hilfe von R la@ sich das uber k [ a ; y] primitive irreduzible Polynom fur x , in der expliziten Gestalt

R ( u , , - ''- , . . . , a,, - ""1 ZG (2.15) zg1 %In

schreiben.

Zu vorgelcgten y wird also nach Satz 2.2 eine Bildung R durch jede der folgenden beiden Gquivalenten Eigenschaften bis auf Paktoren aus k festgelegt :

(R. I) R ist der hochste Koeffizient des iiber k [ a ; y] primitiven irreduziblen Polynoms mit der Nullvtelle x, (v = 1 , . . . , n).

(R. 11) R ist Basis &s Hauptideals der Triigheitsformen von (yl, . . , y,,).


Nach den1 vorher Gesagten konnen w i r R eindeutig butimmen dwch die

(R. N) Bei l)iagonalspezialisierun.g der y nimmt R den Wert 1 an.

Diese Bildung R heifit die Resultante der nFormen yl, .... y,,indenn Unbestirnm-

, . . , x n *

in n Unbestimmten ist der aus R bei der Spezialisierung y-f y* hervorgehende Ausdruck zu verstehen. Die Bezeichnung ,,Resultante" wird gerecht- fertigt durch den nach (R. 11) unmittelbar aus 9 1, 9. folgenden

Normierungseigenschaf t :

ten xl, . . . . (;: 2 :. ., "1 x,,; wenn erforderlich, schreiben wir genauer R= R Unter dcr Resultante R *- - R (?d 3 ' ' ' ; ye *) von n spezialisierten Formen gT , . . , , y,*

x1 . . . . x.

Satz 2.3. Fur n allgemeine Formen yl, . . . . y,, in n Unbestimmten bildet die Resultante R fur sich ailein ein Resultantensystem.

Oder anders ausgedriickt : n Formen y:, . . . . y,* in n Unbestimmten haben dann und nur dann eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle, wenn ihre Resultante R* verschwindet.

Fur n = 2 Formenl)

g 1 - - a, $1 + a, xyi-' x2 -+ . . . + agL GI, yz= b o x ? + b l X ~ - 1 x 2 + * * - + b242

in 2 Unbestimmten stimmt die eben definierte Resultante, wie man sich leicht iiberzeupt, mit der ,,Sylvesterschen Determinante"

gz 1 I

g1 I iiberein, wo die leeren Stellen mit Nullen zu besetzen sind. Fur n Linear- formen (9, = - * * = gn = 1) ist die Resultante offenbar die Koeffizienten- determinante.

R hat die folgenden formalen Eigenschaflen, von denen (R. 1 ) - (R. 6) Verallgenieinerungen der entsprechenden Determinanteneigenschaften im Falle g, = g2 = 1 . . = g, = 1 sind:

(R. 1) R ist e&e ganzzahlige, vorn Grundkorper k unabhangige, absolut irreduzible Form in den Koeffizienten der y.

(R. 2 ) R ist in den Koeffizienten von yQ homogen vorn Grade Glg, (e = 1 ..... n) . (R. P) Y r o d u k t f o r m e l : Spezialisiert man eine Form ye zu einem Pro-

t It dukt ye ye allgemeiner Formen y:, y:, PO wird

... ... ye', .... ... .... ... ...

1) Der Bequemlichkeit lialber bezeichnen wir hier und gelegentlich spiiter die unbestimmten Koeffizienten mit a,, . . . . a#,; b,, . . . . b,*.


(R. 3) R i s t eine Invariante vorn Gewicht G des Eormensystems yl, . . . ) Y n r d . h.: bei einer linearsn Substitution. der Unbestimmten xl, . . . , xn mit der Determinante D haben die transjormierten Formen die Resultante DG R .

fR. 4) R ist in bezug auf jedes xu ( v = 1, . . . , n ) isobar vom Gewicht Q. Dabei werde einer Unbeetimmten a , die in den y als Koeffizient eines P u -

tenzproduktes der x vom Grade pa in xu auftritt, in bezug auf xu das Gewicht p , beigelegt und als Gewichl cines Produktes der a in bezug auf xu die Summe dcr Gewichte der Faktoien bezeichnet.

(1%. 5 ) R hangt nur hinsichtlich der Norinierung von dcr Reihenfolge der x wid y ab, und zwar auch nur voii der Zuordnung der x zu den y. Rei Vertau- schung von zwei der Unbestimmten xl, . . . , x , ~ oder zwei der Formen yl, . . . , yn ( n > 1 ) e r h d t R den Faktor ( -

R enthabt das Hauptglied aQlg1 aGlg2 . . . aGlgn 11 22 nn

und allgemeiner die , ,reinen Glieder"

( - 1 ) G I ( v l j . t. 9 Y,,) aQ/g, ~ G I u , . . . .Gig, 1 l Y 1 2Y2 n!pn ) :

wo vl , . . . , v, ulle Permutationen der Indizes 1 , . . , , n durchlauft und I ( vI , . . . , vn) die Anzahl der Inversionen der Permutation bezeichnet.

(R. 6) Die S u m m e aller Glieder von R , welche e in gegebenes Potenzprodukt

uls Faklor enthalten, iet

'!GO Y i ~ 1 , . . . , vn bzw. . . . , p,, d ie aon v l , . . , , vL hz,iu. Q,. . . . . gL ver- sehiedenen der l n d i z e s 1 , , . . , n in beliebiger Reihenfolge und ytL+l, . . . , :/ifn die a u s yec+cl, . . . , ye, durch 2\.'ullsetzen V O T , xVl, . . . , x,, hervorgehenden Formen bezeichnm.

B e IV e i s e. (R. 1) Die Homogenitat und Ganzzahligkeit vcm R habcn wir bereits bei

der Herleitung des Polynoms (2.12) festgestellt. Die Unabhangiglieit vom Grundkijrper ergibt sich daraus, dalj u i r das Polynom (2.12) durch rationales Rcrhnen mit ganzzithlipen Polgnomen crhalten haben, wobei nur die zulassigeii Divisionen durch die Dh vorkamen. Die absolute Irreduzibilitat folgt schlielJ- lirli aus der Primidealeigenschaft des von R in k[a] crzrugten Hauptideals d ~ r Traigheitsfornieri bei beliebigem- Ic .

1) I m Hinblick auf die Analogie zu den entsprechenden Eigenschaften (R1. 5 ) , (Rl. 6) bzw. (R8. 5 ) , (Rs. 6) der spater auftretenden Bildungen R, bzw. R, bemerken wir, daB wir hier s t a t t ( - auch ( - l )G/d ( d = (gl, . . . , gl)) schreiben konnten, denn es ist fur

U - " - ? d ( d - l ) = O m o d 2 . n > l

d a 2


(R. 2 ) Die ails (1 .15) fur v = e folgencie Gleichung

(2.16)

liaiin auch als uber k [ n ; yI, . . . , ye-1, x,, ye+l, . . . , yn] primitive irreduziblc Gleichung fui y, aufgefaBt werden. Da nach Satz 2.1 jedes z und damit auch ye gaiiz bezuglich K[y,, . . . , ye-l, x,, ye+l, . . . , y,] ist, hat sie in ye am Honio- geiiitatsgrunden d c n Grad Gig,, ist also einerseits in den Koeffizienteii von ye homogcn von eineni Grade h, 2 Glg,. Das Hauptglied a:; - * - ah, von R liefert

aher fur (2.16) eiii Glicd vom Grade hQ ins y,, so da13 andererseits hQ G/qQ seiii muB. Es ist a,lso he = G/q, ( e = 1 , . . . , n ) .

(R. P) Durcli Spezialisierung von ye zu yLyr eihalteii wir aus der Kongruenz

nn

die Koiigruenz

iy’ . . . ., y; y;> . . ., yo ) ist also sou-ohl Tragheitsforrri des Ideals ( y l , . . . , yi j . . . , yn)

itls auch des Ideals (yl,. . . , y e , . . . , y,&) iind daher sowohl durch

teilbar. Da diese beiden

X i , . .., 5, ,..., Z n If

, . . . , yc, . . . , y,L (:: ,.. ,Xe,...,Ot R ( ~ : ” ” ’ y 6 ~ ” . ~ Y r L ) als dnrc], R , . . . , Z@, . . ., Xn

It( snltanten i r rduz ibc l uridnach (R.2) verschiedensi~ld,iet R ( ~ ~ ’ ~ ” ” ” ’ ’ ’ ’ ,..., X e ’ ” ,..., X ~ L y’Ll aueh durch ihr Produkt teilbar und stimmt daher, a i e Gradvergleich nach (R,. 2 ) Iehrt, mit diesem Produkt bis auf einen Faktor ails k iiberein, der abrr 1 sein ruu13, weil bei Diagonalspezialisierung alle drei Resultanten den Wert 1 a ii lie 11 ine n .

( K . 3 ) Es sri riiit iieueri Unbcst,iruinten A und 2’

2, -> a,1 x: + * . . -+ AUt& 2; (V’ 1 , . . . , 12)

die lineare Substitution iincl R’ 1 R (!i:.”’g) die Resultante der tratisfor- iniertcu Foririeii yi = ye(z l , . . . , z:). Ails der Kongrueiiz

..., I f

folgt

Schiiie~i wi r die wcitcre lineare Substitution

Z: 3 Al, 5 : + * . . + A,,, x , ~ ( @ - 1 , . . . , n)

or, wo A,, das algebraische Komplenient voii a,, in D bezeichnct, so geht y: i n D%yQ ( e = 1 , . . . n) uber und wir erhalten

+ A,,1 zJ‘ = 0 (y , , . . . ,


(e = 1 , . . . , n) wird All z1 + . . . + Anl zg, ye Bei der Ersetzung a,, -+ a,, -- x;e

nicht beriihrt; also verschwindet dabei R'= R("*'*''!) und ist daher Trag- heitsform des Ideals (y l , . . . , yn), d. h. durch R teilbar:

..., x*

R'= A R . Gradvergleich in den a lehrt, dal3 A von den a unabhangig ist und somit durch Spezialisierung der a bestimmt werden kann. Bei Diagonalspezialisierung der y wird R zu 1 ; yl geht dabei in (aQl xi + . . . + npn xL)Qe (e = 1 , . . . , n) iiber, so dal3 R' nach drr Produktformel die C-te Potenz der Rrsultante der Linearformen aQlzi + . . . + a,zL ( p = 1 . . . , n), also in der Tat

A = D" w r d .

(R. 4) Nehmcn wir mit unbestimmtem t speziell die lineare Substitution

r, -+ tz : , ze -> z: fur e + Y der Determinante t vor, so geht R' aus R durch die Ersetzung a +- t P a a hervor; jedes Potenzprodukt der a multipliziert eich also mit einer t-Potenz, deren Exponent das Gewicht dcs Potenzprodukts in bezug auf x, angibt. Nach (It. 3) ist aber R' = t G R , so daf3 alle Glieder von R das gleiche Gewicht C in bezug auf x, haben.

(R. 5 ) Bei der Definition von R hangt namlich allein die Diagonalspeziali- sierung von dieser Zuordnung ab. Vertauechung zweier x z. B. bedeutet aber eine lineare Substitution der Determinante - 1, wobei R nach (R. 3) den Fak- tor (-l)G erhalt. Die angegebene Gestalt des Hauptgliedes folgt aus (R. 2 ) . Da die Anzahl der Vertauschungen, durch die man eine beliebige Permu- tation vl, . . . , vn erhalt, rnit I ( v , , . . . , vn) zugleich gerade oder cngerade ist, haben wir

. . .. y,t ) i s t aber a;:' . 1 . ,,G'gll C ~ A S Hauptglied, so dal3 in R (::: ,,,,) y1,. . . . y,. . . . . . x,*,t nv,, ...

so ist also

( Y e : ' " ' - Y ~ ) . n-elche das gegebenePotenzprodukt d i e Sunime a lkr Glieder von R xt. ,..., x


R ==

als Faktor enthalten. Es ist daher

a, a, u2 0 (I b, b1 b, 0 0 b, 6 , 6,

= (u0b, - u2b0)‘ - (nob1 - n,b,) (a , b, - azb,).

.. ., x?, . ,’/en) X V , , . . . , x v , , xv ,+ l , . . . , XV,’

oder nach mehrfacher Anwendung der Produktformel

S = R

, . . . , Xaj, x v I + l , . . . , x v ,

x v l 7 . . . , z v l , Ye ,+ , , * . , Ye,,) Nun folgt aus der fur die Resultantc R mit geeignetem e bestehenden Kongruenz (x%.,,. . . ,?+ z v t + l , . . . , x v ,

durch Nullsetzen von x,, , . . . , x v I , 11-ovon die linke Seite nicht beruhrt wird, die Kongruenz

. . . yo ) erweist- welche diese Resultante als Tragheitsforni des Ideals (ZJ~~+,, . so da13

en

~ v , , . . . , z v , , ~ e ~ + ~ , . . . . ~ e , , i - . R ( ~ ~ ~ + l ~ . . . ~ ~ e ,

x v , + , , . . .. x v , -

ist. Gradvergleich zeigt, da13 Q von den a unabhlngig ist ; Diagonalspeziali- sierung ergibt Q = 1 und damit die Behaiiptung


AbschlieIJend beweisen wir uber die Resultante einen fur das Folgende wichtigen Satz. Zwecks bequemer Ausdrucksweise werde eine Spezialisierung y + y*, bei der die samtlichen Koeffizienten aev (Q, v = 1, . . . , n) der reinen X-Potenzen unbestimmt bleibeii und die die weitergehende Diagonalspeziali- sierung noch zulaDt, kurz als Halbspezialisierung bezeichnet . Dann gilt der

Satz 2.4. Es sei R die Resultante der allgemeinen Formen yl, . . . , ya in den Unbestimmten xI, . . . , xn. Bei einer Halbspezialisierung

(2.17) Y'Y* wird R zur Potenz eines uber k irreduziblen Polynoms R, =: R, (ul,, . . . , unv):

(2.18) R+ R*= RS; dubei ist Glt der Grad eines jeden x iiber K (y*) , und es ist

das iiber k[u. y*] primitive irreduzible Polynom mil der Nullstelle x, ( v = 1 , . . . , n) . Der B e w e i s beruht wesentlich aiif dem Nachweis, dab das Hauptpolynom

f u r irgendein x, bei der Spezialisierung Huuptpolynom bleibt, also eine Potenz des Minimalpolynoms wird.

a) Nach Satz 2.1 bilden die Potenzprodukte (2.9), die wir wieder zu einer einspaltigen (und G-zeiligen) Matrix g zusammenfassen, eine Korperbasis von K ( z ) sowohl uber R ( y ) als auch iiber K(y*), ja sogar eine Modulbasis von K [ z ] ubcr R [ y ] oder auch iiber R [ y * ] . Durch

(2.20) 5 F = Z(Y)F wird, wie schon friiher benutzt, eine (7-reihige quadratische Matrix % ( y ) mit Elementen aus K [ y ] definiert ; es ist dann

(2.21) 120: - ar(y)l

das Hauptpolynom fur 2, uber K ( y ) , und auf Grund der Definition von R = R ( a l v , . . . , an,) ist

Y l , . . . , an, - -p Yn (2.22) R ( U l , , . . . , unv) ! z & - S?l(y)(

ein primitives Yolynom iiber k[u; y]. Nach Hilfssatz 2.1 konnen wir in dem durch die Matrizengleichung (2.20) dargestellten Gleichuiigssystem die Halb- spezialisierung (2.17) vornehmen und erhalten

B ( a l , - - Z*, 2'.

(2.23) X v f = 91*(Y*)F, wo %*(y*) die dabei aus %(y) hervorgehende Matrix niit Elementen aus K[y*] bezcichnct ; es ist dann

(2.24) 1 x 0 : - 'u*(y*)l

das Hauptpolynom fur x, uber K(y*), und das durch die Halbspezialisierung


(2.17) aus (2.22) hervorgehende Polynom

(2.25) R*(u,,, . . . , cc,,,) IzE - ?I*(y*)l = R* (alv -

ist primitiv iiber k [ a ; y*] : ein gemeinsamer Kodfiziententeiler kaiin namlich zunachst als Teiler des hochsten Koeffizienten R* = R*(nl,, . . . , an,) von den y* nicht abhangen; weiter kann er aber auch von keinem a abhangen als Teiler des nach (R. 6) von den Koeffizienten der Form y,* unabhangigen: nichtverschwindenden Koeffizienten von ( - y:)G'g~ (e = 1, . . . , n ) .

b) Nun hangt das Minimalpolynom M ( z ) fur zv uber K ( y * ) mit dem Haupt polynom (2.24) durch

zusamnien, wo G/t der Grad von x, iiber K ( y * ) ist. Durch Multiplikat,ion mit geeignetem R, = R, (alv , . . . , an,,) aus k [ u ] konnen wir M ( z ) in ein iiber k [ a ; y*] priinitives Polyriom N l ( z ) iiberfiihren:

(2.26) R, M ( z ) = (z) .

, . . . u*v - ~- :J zG Y:

I z Q - '!L*(y*)l = M(2)t

Als Potenz von M 1 ( z ) ist dann auch

(2.27) Ri 126 - ?I*(y*)l = ( R , M ( z ) ) ~ = N,(Z)' ein primitives Polynom iiber k [ a ; y*] . Das Polynom (2.24) wird somit einerseits (vgl. (2.25)) durch Multiplikation rnit R*, andererseits (vgl. (2.27)) durch Multiplikation mit Ri primitiv, so daB

R* = cR6 mit c + 0 aus k ,

also bei geeigneter Normierung von R, in der Tat die Beziehung (2.18) gilt. c) Daraus ergeben sich die ubrigen Behauptungen folgendermaI3en. Das

Polynom (2.19) ist vom Grade @It, hat den hochsten Koeffizienten R, und besitzt die Nullstelle x v , weil seine t-te Potenz

d. i. das Polynom (2.25), 2, zur Nullstelle hat, stimmt also rnit den1 durch die genannten Eigenschaften eindeutig festgelegten, uber k [ a ; y*] primitiven irreduziblen Polgnorn M , ( z ) (vgl. (2.26)) iiberein. 1st nun weiter

R, = S, T, eirie Zerlegang von R, , so inulj ohne Beschrankung der Allgemeinheit

sein, d . h. auch das Polynom

besitzt die eberi genannteri Eigeiischaften und stimmt daher mil Xl ( x ) iiberein. Da aber M , ( z ) uber k [ a ; y*] prirnitiv ist, muB S, = c aus k , d. 11. R, irreduzibel sein. SchlieBlich ist R, als irreduzibler Teiler von R* (bis auf Fak- toreri aus k ) eindeutig bestiinmt iind infolgedessen iiisbesondere t unabhangig davon, von welchem 2, man ausgeht,. Darnit ist der Satz vollstiindig brwiesen.

15*

(3.1)

l) Diese weiteren unbestimmten Koeffizienten denken wir uns hier und im folgenden stets von vornhetein zum Koeffizientenkorper K adjungiert.

. gl == 81 (xi . . . . . x n + l ) = ~ 1 . (zj. . . . . . z n ) + Chl,n+l x2+i,

gn+l = gn+l ( x i > . . . . xn+1) = Y n + l ( z l > . . . . z n ) + an+l,n+lX>2i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 8 Orsinger, Resultantensysteme und algebraische Relationen

5 3. Die ,,Resultante" von n + 1 Formen in n Unbestimmten I n diesem Paragraphen stellen nir eine notwendige und hinreichende Be-

dingung fur die Existenz einer nichttrivialen gemeinsamen Nullstelle von n + 1 Formen in n Unbestimmten auf (Satz 3.1 bzw. Satz 3.3), die auf eine zweck- maBig als , ,Resultante" dieser Formen zu bezeichnende Bildung fuhrt.

Satz 3.1. Geqeben seien n + 1 allgemeine Formen yl, . . . , ynA1 in n Un- bestirnmten x1 . . . . , 2,. M i t einer weiteren Unbestimmten x ,+~ und unbestimmten K o e f f i ~ i e n t e n ~ ) u ~ ~ , + ~ , . . . , u , + ~ , ~ + ~ bilden wir die speziellen Formen

in n + 1 Unbestimmten ( kurz : die ,,erweiterten Formen"), und es sei fi die Resultante dieser Formen.

dann und nur dann eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle, wenn bei dieser Xpezialisierung 3 ( f u r unbestimmte C L ~ , , + ~ , . . . . a n f l , n t l ) verschwindet.

Beweis . a ) 1st {t,, . . . , &} eine nichttriviale gemeinsamc Nullstelle der spezialisierten Formen y:, . . . . YZ+~, so ist offenbar {tl, . . . , tn, 0} eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle der Forriirn

Bei einer Spezialisierung y-+ y* haben die Porrnen y: , . . . ,

- mit unbestinimten u ~ , , + ~ , . . . , an+l ,n+l , so daS R bei dieser Spezialisierung (fur unbestimrnte al ,n+l , . . . , u , + ~ , , + ~ ) verschwindet.

b) Verschwindet umgekehrt bei einer Spezialisierung y-+ y* (fur unbestimmte al ,n+l , . . . , anf l , n+ l ) , so haben die Formen ( 3 . 2 ) eine nichttrivialc gemeinsame Nullstelle {El, . . . , E n + l } . Es ist also

Nun sind die n + 1 Formen y: (xl, . . . . xm), . . . , bestimmten algebraisch abhangig iiber K ; ist

(xl, . . . , xn) in TL Un-

eine (stets vorhandcnc) in den x gewichtshomogene Relation zwischcn den ?I* mit von a l , n + l , . . . , I C , + ~ , ~ + ~ unabhiingigen Koeffizieiiten aus K , so erhalten wir, wenri wir hicr die x durch die it ersetzen,

wo g* das Gewicht von X* in den x bezeichnet, also, da S* fur unbestimnite

I) Diese weiteren unbestimmten Koeffizienten denken wir uns hier und im folgenden stets von vornhetein zum Koeffizientenkorper K adjungiert.

Orsinger, Resultantensysteme und algebraische Relationen 22 9

Argumente nicht verschwindet, &+l = 0 . Damit wird

YT ( t 1 , . > t n ) = . * . = ~,*+l(t] > . . . , t n ) == 0 , so dalS wir wegen

{ ~ ~ , . . . . ~ ~ ; L , 5 1 E 1 1 } = ( 5 ] , . . . , ~ n , 0 } + {O , . . . , 0)

eine nichttriviale genieinsame Nullstelle der Formen y:, . . . . y,*+, gefunden haben.

Die in Satz 3.1 auftretende Resultante 3 kann unter Urnstanden durch eine einfachere Bildung ersetzt werden. Nach dem folgenden Satz ist niimlich i? eine gewissc Potenz :

Satz 3.2. Gegeben seien n + 1 allgemeine Pormen y,, . . . , y*+l in n U n - bestimmten xL , . . . , xn von den Graden g,, . . . , g n + l , und es sei G = g, - . . gn+l, d = (gl, . . . , g*+l). Weiter sei R die Resultante der erweiterten Formen yl.. . . , Y , & + ~ .

Dann ist 3 die d-te Potenz eines uber k irreduziblen Polynoms

-

R1 = R , (ale, ' . . * an+l,Q)r - (3.3) R = R T ,

und es ist

das iiber k [ a ; y] primitive irreduzibloPolynom m i t der Nullstelle xe ( p l ,..., n - 1 1 ) .

Beweis . a) Die y sind Fornien, die die Diagonal- spezialisierung noch zulassen. Die Erweiterung

K(z i , . . . > % , + 1 ) / K ( ~ 7 > . . . > B n + l )

ist daher nach Satz2.1 algebrnisch voni Grade G (Fig. 1) . W i r zeigen zunachst, dap der Grad won xnn+l uber

K(g1, . . ' , Y n + l ) G

e i n Teiler G/dfd von Gld ist. Offrnbar ist

h ' ( q & + l : g l . . . . . y n + l ) = K(z , ,+, ; y1.. ' > Y9111)>

und aus diesem Znischenkorper entsteht K ( x , , . . . , z,,+1) z. B. diirch Adjunktion des Elementes xn:


als Koeffizientenkorper ansehen und die Erweiterung schlieljlich in die Gestalt

K’(xn; ~ 1 , * * . > Yn+1)/K’(Yi.> . . . > Yn+l)

setzen. Nun l imn die Minimalgleichung fur xn uber K’(y, , . . . yn+l) als homogen in den Unbestimmten x l , . . . , xn vorausgesetzt werden; infolgedessen mu13 ihr Grad in xn ein ganzzahliges Vielfaches d‘d des groflten gemeinsamen Teilers d der Grade von yl, . . . , Y , & + ~ sein. Damit ist

W(x, 1 . . . , ”n+l):K(xn+l; y1, . ’ . > gn+l)l= d‘d,

[K(”n+l; ill, . . . , y n + l ) : K ( g , , . . . ,yn+1)1= W ‘ d was

und somit die obige Behauptung ergibt.

b) Die g sind n + 1 halbspezialisierte Formen in n + 1 Unbestimmten. Auf sie wenden wir jetzt Satz2.4 an und erhalten: Die Resultante E der y ist die dfd-te Potenz eines uber k irreduziblen Polynoms R,:

- R = RFd.

W i r haben zu zeigen, daa d’= 1 ist. Nach (R. 6) ist fiir e = 1 , . . . , n + 1 der Koeffizient der hochsten Potenz bis aufs Vorzeichen gleich der 9,-ten Potenz der Resultante der von ye verschiedenen Formen y . I n R, mulj also ein Glied

von a,,,+1 in R und damit auch in

) mu13 vorkommen; wegen der Irreduzibilitat von R dabei ge/d’d ganz sein. Da dies fur e = 1, . . . , n + 1 gilt, ist d’d T e i h aller g, und daher auch ihres groljten gemeinsamen Teilers d , d. h. d ‘ = 1.

c) Die Behauptung uber das Polynom (3.4) folgt jetzt direkt aus Satz 2.4. Zu n + 1 vorgelegten allgemeinen Formen y in n Unbestimmten wird nach

Satz 3.2 mit Hilfe der erweiterten Formen g eine Bildung R, durch jede der folgeiaden beiden aquivalenten Eigenschaften bis auf etwaige Faktoren aus k festgelegt :

(Rl. I) R, i s t der hochste Koeffizient des uber k [ a ; y] primitiven. irreduxiblen Polynoms mit der Nullstelle xe ( Q = 1 , . . . , n + I)..

(EL,.. I T ) Rf ist gleich der Resulta,n.tc: R der erweiterten Formen f j . Da 2 bei Diagonalspezialisierung der den Wert 1 annimmt, konnen wir

(Rl. N) Bei Diagonals~ezialisierung der y nimmt R, den Wert 1 an. Diese fur das i m nachsten Paragraphen zu gewinnende, aus Abhangigkeitsko-

effizienten bestehende Resultantensystem der y wichtige Bildung R, woIIerl wir die Resultante der n + 1 Formen yl , . . . , yn+l in den n Unbestimmten x, , . . . , xgL

- 1. Es sei nenneu ; wenn erforderlich, schreiben wir genauer R, = R, hervorgehoben, dafi Rl aufier von den Koeffizienten der y auch noch von den

, . . . , Ye-1, Y e + l , . . ..Y.+I (yl X i , . . . , Xe-I, Xe , . . . , Xn

R, eindeutig bestimmen durch die Normierungseigenschaft :

1 , . . . , X.+l


bei Bildung der erweiterten Formen fj hinzugenommenen unbestimmten Koeffi-

zienten al,n+l, . . . , an+l,n+l abhangt ; unter der Resultante Rf = R, 21 , . . . , Znfl,

von n f 1 spezialisierten Formen y:, . . . , Y,*+~ in n Unbestimrnten ist natiirlich das aus R, bei der entsprechenden Spezialisierung 9 + y* hervorgehende Polynom in den Unbestimmten a,,,+,, . . . , zu verstehen. Eine Rechtfertigung der Bezeichnung ,,Resultante" gibt der nach (R,. 11) unmittelbar &us Satz 3.1 folgende

Satz 3.3. n + 1 Formen y;", . . . , Y,*+~ in n Unbestimmten haben dann und wur dann eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle, wenn ihre Revultante R;" (fur unbestimmte al ,n+l , . . . , u , + ~ , ~ + ~ ) verschwindet.

R, hat folgende, zu den Eigenschaften (R. 1) - (R. 6) der gewohnlichen Resultante R vollig analoge Eigenschaften :

(R,. 1) R, ist eine ganzzahlige, vom Grundkiirper k unabhangige, absolut irreduzible Form in den Koeffizienten der erweiterten Formen y .

(R,. 2 ) R, ist in den Koeffizienten uon ye homogen vom Grade G/ged ( @ = 1 , . . . , n + 1 ) .

Eine Produktformel fehlt hier, schon weil das Produkt zweier Formen voin Typy (d. h. ohne gemischte Glieder in x ~ + ~ ) im allgemeinen nicht wieder von diesem Typ ist.

(R,. 3) Bei einer linearen Substitution der Unbestimmten x,, . . . , xn mit der Detemninante D haben die transformierten Formen die Resultante DGId R, .

(R,. 4) R, ist in bezug auf jedes xe (e = 1 , . . . , n + 1) isobar vom Gezvicht Gld. (R,. 5) Bei Verlauschung von zwei der Untestimmten xl, . . . , xfl+, oder

R, enthalt die , ,reinen Glieder"

(g , . . . -*

zwei der F m n y, , . . . , y,,+l erhiilt R, den F a k h ( - l)G/a.

(R.,. 6 ) Die Summe aller Glieder von R,, welche cin gegebenes Potenzprodukt

(1 5 1 < n f 1)

ah Faktor enthalten, ist

UN) v6+1, . . . , v,+~ bzw. ~ 1 ~ 1 , . . . , die von v,, . . . , vl bzw. el, . . . el

die aus ye,+1. . . . , durch Nullsetzen von xvl , . . . , xv, hervorgehenden Formen bezeichnen.

verschiedenen der Indizes 1 , . . . n + 1 in beliebiger Reihenfolge und & l + l , . . . ye"+l -0

Beweise. (R,. 1) Die Homogenitiit von R, folgt wegen @ = aus der von

(vgl. (R. 1)). Da die Koeffizienten von R, bereits dem Primkorper angehoren mussen, ist R, ganzzahlig ; bei Charakteristik Null werden niimlich gebrochene Koeffizienten durch die Ganzzahligkeit von 3 ausgeschlossen. Aus der Ganz-


zahligkeit von Rl bei Charakteristik Null folgt weiter die Unabhangigkeit vom Grundkorper k. SchlieBlich ist R, nach Satz 3.2 uber jedem k, d. h. absolut irreduzibel.

(R,. 2) folgt wegen Rf -- (Rl. 3) Wegen Rf== 2 gilt nach (R. 3) fur die Resultantr Ri der trans-

aus (It. 2).

formierten Formen Rid = DGRf.

R: ist also bis auf einen Einheitswurzelfalctor gleich DG/d R, . Der Einheits- wurzelfaktor aber ist 1, da fur die identische Substitution D zu 1 u n d R: = R, wird.

(Rl. 4) folgt wegen = aus (R. 4). (Rl. 5) Wie bei (R. 5) kommt es nur auf die Zuordnung der x zu den y a n .

a) Fur die Formen

y1 =; a,, 5181 + a, ,xp , y2 = a21 xp + a,,x2 ist

da wegen (Rl. 2 ) und (Rl. 4), wie man leicht sieht, keine weiteren Glieder vorkommen. cl und c2 konnen wir durch Spczialisierung der 9 bestimmeri; es ist, namlich

auf Grund von (R1. N) uiid

\veil x1 = x2 = 1 eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle der Forrnen xp - xp, - xp + .zp ist. Wegen (9, -+ g,)/(g,, 9,) E g1g2/(gl, gJ2 + 1 mod2 erhalten wir

und durch Vertauschung von xl, x2

domit ist

(3.5)

b) Urn fur beliebiges n 2 1 deli Faktor zu bestimmen, den R, bei Ver-

y,-y,*= x!e (e =k p . 1')

tauschung von xp, xv (,u < Y) erhalt, nehrnen wir die Spezialisierung

ql,-+gz =a,,,, xp -+ up,, X ~ P , gv+gy* = a, x;v + auv xgv


vor. Nach (R. 6) wird

also auf Grund von (R,.. N)

Vertauschung von xp, xv ergibt

also nach (3 .5)

Somit erhalt R, bei Vertauechung von 3, z,, den Faktor ( - l ) G / ( g / t s g v ) d , wofiir wir auch (-l)G/a' schreiben konnen, denn es ist (gp, g,,) eiii Vielfaches Sd voii d = (g,, . . . , gn+ l ) , also

Auf Grund von (Rl. N) und wegen (R,. 2 ) enthalt R, das Hauptglied a,+,, n+ l . Allgemeiner ergeben sich daraus die reinen Glieder GlUld GlUzd. . Q/U,+id

all a22 \vie beim Beweis von (R. 5) .

(Rl. 6) Nach (R. 6) ist

die Sunume aller Glieder von 3, welche das Potenzprodukt

als Faktor enthalten. Wegen Rf =

von R,, welche hat daher dic Sunime aller Gliecler

als Faktor enthalten, bis auf einen Einheitswurzelfaktor die behauptete Gestalt. Der Einheitswurzelfaktor aber ist 1, da nach (R,. 5 ) in R, das Glied

234

also G' = 4, d = 2 . Die erweiterten Formen sind

Orsinger, Resultantensysteme und algebraische Relationen

- R E

(3.7)

a0 0 uz 0

bo 0 bz 0 0 bo 0 bz

= (sob, - a2b,)2, 0 a0 0 a2

ihre R'esultante (als Sylvestersche Determinante) ist

schreiben konnen, wie es nach Satz 3.2 sein muU. Man sieht hier auch sofort direkt, dalj die spezialisierten Formen

* * 2

* 2

Y l = a0 2 1 9

y.; = bo 21

genau d a m cine nichttriviale gemeinsame Nullstelle haben, wenn a$ = bz = 0 ist, also

RT = a t b , - a2b: = 0

fur unbcstimmte a2, b, (Satz 3.3).

54. Resultantensystem nnd Minimalrelation fiir n+ 1 Formen in n Unbestimmten Kur eine andere Formulierung von Satz 3.3 ist der

Satz 4.1. Piir n + 1 allgemeine Former, y,, . . . , ynt , in n Unbestimmten der Entwicklungskoefjizienten ihrei- Resultante R, nuch bildet die Cesamfheit

a , , , + I , . . . , a,, l , n + l ein Reuultuntensystem.

Fuhren wir fiir die Potenzprodukte dieser Groljen die Abkurzung

cxin nnd schreiben demgenialj ) = C RF)A(i) Ri = Rs(ai ,n+, . . . . an+i,n+i 1 7

i (4.1)

SO wird also das Resultantensystem von den Formen RF) gcbildet. Nach (R,. 4) ist in jedem Glied

91 + . + 2$1q,+l G / d ;


ist N , die Losungsanzahl der diophantischen Gleichung

23.~1 + * * + & + l g n + l = G/d

in nichtnegativen ganzen Zahlen A,, . . . , An+,, so ist also die Anzahl der Gliedcr der Entwicklung gleich N , , wobei auch einige der RF) gleich Null sein konnen.

Mit diesen Bezeichnungen besitzt das Resultantensystem '$tl = { RI1), . . . , RiN1)}

die folgenden Eigenschaften, die sich auf Grund von (4.1) sofort aus den entsprechenden Eigenschaften (Rl. 1) - (R,. 6) von R, ergeben:

(8,. 1 ) 8,- besteht a u s N , ganzzahligen, wom Grundkorper k unabhangigen Formen Rf' (won denen auch einige N u l l sein konnen) in den Koeffizienten der y .

(B1. 2 ) RF) is t (wenn + 0 ) in den Koeffixienten won yQ homogen v o m Grade G/gQd - A f ) (e =; 1 , . . . , n, + 1).

('$Il. 3) Alle R f ) sind Invarianten vom Gewicht Gjd des Formensystems der y . (B1. 4) RF) ist (wenn + 0) in bezug auf jedes x, ( Y = 1, . . . , n) isobar vom

Cewicht Gld. ['$I,. 5 ) Die Rf) hangen bis auf Reihenfolge fund Vorxeichen nicht won der

Reihenfolge der Formen yl , . . . , yn+l a b ; bei Verta,uschung zweier y erhalten sie den Vorzeichenfaktor ( - l)c/da. (8,. 6) Unter den RY) kommen (abgesehen wom Vorzeichen) insbesondere die

Potenzen ( Y X l , . . . , y%fi)G/g,l. * . UXnd

XI ,..., x n der Resultanten won j e n der Formen yl, . . . , yn+ , vor.

Wir kommen nun zu dem in der Einleitung angekiindigten Ergebnis, indeni wir die Formen Rf) des Resultantensystems B1 als Koeffizienten einer aus- gezeichneten algebraischen Relation zwischen den y deuten. n + 1 allgeineine Formen y sind ja offenbar iiher K = k ( a ) algebraisch abhangig, d. h. ee bestehen zwischen ihnen Relationen der Gestalt

w o mit g das Gewicht der Relation i n den x bezeichnet ist ; wir konnen und wollen die Koeffizienten # ( a ) als g a n z in den a annehmen. Dann gibt es nach PERRON [12] eine Relation (4.2) vom Gewicht G / d , bei der der Koeffi- zient ~ o , . . . , o , G l ~ , + l d (a ) von yG/gfi+Id bis auf einen nichtverschwindenden ganzen

Zahlfalitor gleich dei gn+,/d-ten Potenz der Resultante R Formen ist und das Analoge fur die Koeffizientcn von yYlgld, . . . , y,G'gnd gilt.

Wir liiinnen indessen auf Grund der Entwicklungen des vorigen Paragraphen eine weitergehende Aussage uber den Bau dieser Relation machen. 1st ntimlich R, die Resultante der y , so ist mit den erweiterten Formen y nach Satz 3.2

9Z+l Y l , .. . , Y n ( zl, . . . ,5,) der Ubrigen

das uber k [ a ; 81 primitive irreduzible Polynom mit der Nullstelle xn+l. Da R, nach (Rl. 4) in bezug auf isobar vom Gewicht Gld ist und nur


a,,nT1, . . . , a,+,,,+, positive Gewichte, niimlich gerade gl , . . . , g n + , , in bezug auf diese Unbcstimmte haben, konnen wir dafur auch schreiben :

R,(a,,,+,zgl - 81, . . - 9 a n + i , n ; i z g ~ ~ + l - B n + i ) .

Es ist also

Ri(a1,n-i %;+I - g , , . . - , an+1,,,+,&2: - j i n + l ) = 0;

setzen wir jetzt xn+, = 0 , so gehen die y in die y uber und wir erhalten

Satz 4.2. Zwisckn n + 1 allgemeinen Formen y,, . . . . ynT1 in n Un- bestimmten mit der Resultante R, = RI(al,,+, , . . . , a,+,,,+,) besteht die N,-gliedrige Relation

vom Gewicht Gld in den .z und mit ganzzahligen Formen in den a nls Koeiji- zienten.

Die Koeffizienten dieser Relation hangen ersichtlich nicht mehr von den hinzugenommenen Unbestimmten al,n+l, . . . , C C ~ + , , , + ~ , sondern nur von den Koeffizienten der Formen yl, . . . , yn+, ab. Ferner kommen darin alle y wirklich vor; denn nach (R,. 6) ist der Koeffizient von in R, gleioh

),,". also der Kocffizient der hoch- yi > . . . , ye-1, y e + i , . . . , yn+1 Xi ,..., Xe-1, ze , ..., X,r

( - l ) G ( n + - e ) / d z R

sten Potenz y f l g ~ ~ voii ye i n (4.3) gleich

Die Relation (4.3) stellt also gerade die1) Perionsche Abhangigkeit dar, die damit nach Kenntnis von R, explizit bekannt is t ; insbesondere sehen wir, da13 die nichtverschwindeiiden Zahlfaktoren, mit denen die reinen Glieder

Y I , . . . , Ye-1, Y e + i , . . . , Yn-f-1 jQd y;l!?Qd X i . . . ., Xe-1, Xe , . . . , X n

behaftet sind, die Werte ( - 1)C/ged+G(n+1--Q)/d2 ha brn. Feriier ist die Relation (4.3) als Gleichurig fur jedes yQ, d. h. das Polyiioni

Bl(- yl, . . . , - ye-l, - zQ, - yQ+l, . . . , - yn+l) mit unbestinimtem z e , uber dem Korper K ( y , ; . . . , ye+l, . . . , Y,,+~) der ubrigen y irreduzibel; denn andernfalls ware wegen der algebraischen Uiiabhangigkeit von yl, . . . , fur unbestiniinte z ubcr k[n] reduzibel - im Widerspruch zur absoluteii Irreduzi- bilitat voii R,(a,,.+,, . . . , a,+l,n+l). Aus der absoluten Irreduzibilitat von R1(a,,,+, , . . . nn+l,n+l) folgt auaerdem, da13 R , ( - y y , , . . . , yQ-l; - z e , -ye+i , . . . , - y n + l ) iiber k [ a ; y l , . . . , ye-i, ye+l, . . . , yn+l] primit,iv ist,.

yQ+i, . . . , Y , + ~ uber K = k ( a ) auch Rl(-zl, . . . , -

-

l) "ach dem folgenden Satz4.2a gibt es nur e i n e solche.


1st nun S(y,, . . . , yn+,) = 0 eine beliebige Relation zwischen den y (rnit Koeffizienten aus k [ a ] ) , so mu13 fiir unbestimmtes ze das Polynom X(y,, . . . , ye-l, zp , ye+l, . . . , yn+I) mit der Nullstelle zQ = ye durch das irreduzible Polynom R , ( - y , , . . . , - ye-l, - ze, - ye+l, . . . , - yn+l) niit derselben Nullstelle teilbar sein:

S(Y~, . . . > Ye-1, ze, Y e + i , . . . > Yn+i) = Q ( Y 1 3 . . . > ye-1 > ze > Y ~ + I 3 . . . > Yn+ 1 ) R,( > . . . > - - Y ~ - I 9 -ze i -Ye+l> . . . > -Yn + 1) 1

wegen der Primitivitat von R, ( - yl, . . . , - ye-, , - z e , - ye+,, . . . 7 -Yn+i) iiber k [ a ; yl,. . . , ye-i, Ye+, I . .., Y ~ + J hat dabei Q(Y1 > . ..) Ye-1, ze, Ye+,, * e . 9 Yn+i) sogar Koeffizienten aus k [ a ; yl,. . . , ye-i, ye+l,. . . , yn+,]. Diese Tat- sachen gelten auch, wenn wir die iiber K algebraisch unabhangigen Elemente Y1,. . , ye.-i, ye+1, . . . , y,,,durchUnbestimmte zI, . . . , z,-,, . . . , zn+, er set Zen.

Damit haben wir zusammenfassend:

Satz 4.2a. Die Relation R,( - yl, . . . , - y,,+,) = 0 von Satz 4.2 stellt insbesondere fur Q = 1, . . . , n + 1 die iiber k [ a ; yl, . . . , ye-l, ye+l, . . . , yn+,] primitive irreduzible Gleichung fur ye (vom Grade G/g,d) iiber dem Korper der iibrigen y dar.

Ist X(y,, . . . , Y , , + ~ ) = 0 eine beliebige Relation (4.2), so ist fur unbestimmte z das Polynom S(z,, . . . , z,,+~) teilbar durch R,(-z l , . . . , - z ~ + ~ ) :

S ( z , , . . . > zn+1) =z= Q(zI > * . * > zn+,) R,(-zz,, . * . > -Zn+,)

mit Q ( z , , . . . , zn+l) a m k [ a ; 21; es gibt also (his akf Paktoren aus k) nur die eine Relation R, ( - y,, . . . , - Y,,+~)==O vom Gewicht Gld in den x mit teilerfremden Koeffizienten aus k [a] und keine von kleinerem Gewichtl).

Wir nennen diese Relation die Minimalrelation zwischen den y. Da die Koeffizienten der Minimalrelation R, ( - y,, . . , , - ynn+l) = 0

nichts anderes sind als die Koeffizienten Rf) der Entwicklung (4.1) von Rl (a l ,n+l , . . . , an+l,n+l) nach al ,n+l , . . . , an+l ,n+l , haben wir nach Satz4.1 jetzt den

Hauptsatz (fur r = n + l)*). Fur n + 1 allgemeine Formen yl, . . . , y,zil in n Unbestimmten bildet die Gesamtheit %, der N , Koeffizienten

der nach Satz 4.2 zwischen ihnen bestehenden Minimalrelation R,( - y1 , . . . , - yn+l) = 0 e in Resultantensystem.

Damit haben wir ein Resultantensystem der eingangs erwahnten Art gefunden. Nach Satz 4.2a konnen wir die Minimalrelation auch als iiber k [ a ; y , , . . . , ye-,, ye+l, . . . , Y,+~] primitive irreduzible Gleichung fur ye iiber

l ) Fur Charakteristik Null findet sich diese Tatsache bei PERRON [12]. 2, Dieser Satz stellt eine Vermutung yon PERRON dnr (nach brieflicher Mitteilung

voin 23. 7 . 1950 an Prof. H. L. SCHJIID).


dem Korper der iibrigen y , d . h. als normierte erzeugende Gleichung fur die Korpererweiterung K(yl , . . . , ~ , + ~ ) l K ( y , , . . . , yQ+,. . . . , Y % + ~ ) auffassen ( e = 1 , . . . , n + 1). Die Erkenntnis, da5 die Koeffizienten der Minimalrelation ein Resultantensystem bilden, hat nicht nur theoretische Bedeutung, sondern ist auch von praktischem Interesse fur die Gewinnung eines Resultantensystems in Fallen, wo sich die Minimalrelation leicht aufstellen la5t (vgl. das folgende Beispiel). Die Eigenschaften des Resultantensystems haben wir bereits zu Beginn dieses Paragraphen zusammengestellt. Wir bemerken noch, daR dieses nicht das ,,einfachste" Resultantensystem zu sein braucht, da ja im allgenieinen

( e = 1 , . . . , n + 1 ) zum , . ., Ye-1, Ye+i , . . ., Yn+1 , .. ., Ze-1, X e , .. ., Xn z. B. Potenzen

System gehoren, die wir durch die selbst ersetzen konnten.

Beisp ie l . Es sei n = 2 , g l= g 2 = g3 = 2 ,

(4.4)

also G = 8, d = 2 . Die Minimalrelation hat das Gewicht 4; wir findcn sie am bequemsten durch Auflosung des Systems (4.4) nach x:, q x 2 , xi I). Es ist, wenn T die Koeffizientcndeterminante bezeichnet,

Y1 a1 (4.5) Tx: = yz 61 I y3 also

oder

Wegen der Teilerfremdheit der Koeffizienten ist dies bis auf einen etwaigen unwesentlichen Zahlfaktor bereits die Minimalrelation; der Zahlfaktor ist 1,

denn die Koeffizienten von y:, yi , yi sind R (z:: g:), R ( Z,: Y i Zp), Y8 R (g!: :!I, 1) Vgl. PERRON [12].


wie es sein mu13. Die Gesanitheit der 6 Koeffizienten dieser Relation bildet nach dem Hauptsatz ein Resultantensystem fiir die Formen (4.4).

Nach der Kroneckerschen Eliminationsmethode erhhlt man im vorliegenden Falle das gleiche Resultantensystem, wobei der Rechenaufwand etwas groIjer ist.

Obwohl in diesem System die Resultanten von je zwei Formen zur 1. Potenz vorkommen, ist dies noch nicht das ,,einfachste" Resultantensystem, denn die 4 Formen

(4.6)

bilden ebenfalls ejn solches; nach (4.5) ist namlich T Tragheitsform, und aus dem Verschwinden von T bei einer Spezialisierung folgt, da13 eine der Formen (4.4) von den beiden andern linear abhangt, so da13 jede gemeinsame Null- stelle dieser beiden Formen auch Nullstelle der dritten ist ; die Existenz nicht- trivialer Nullstellen von je zwei der Formen wird aber durch das Verschwinden der 3 Resultanten gewahrleistet.

5 6 . Ein Gradsatz Der Gradaussage [K( x, , . . . , xn) : K ( yl, . . . , y,)] = g, - - g, des Satzes 2.1

wurde in [8] fur r > n unter gewissen Charakteristikeinschrankungen der Gradsatz [ . K ( x , , . . . , xn):K(yl , . . . , y,)] = (gl: . . . , g,) zur Seite gestellt. Mit Hilfe von Satz 4.2a sind wir jetzt in der Lage, diesen Gradsatz ohne Ein- schrankung zu beweisen :

Satz 6.1 men in n Graden g , ,

.. Fur r > n seien y,, . . . ~ y, allgemeine Por- Unbestimmten x,, . . . , x, won den positiven . . . , g , . Dann ist die Erweiterung

K(XlG1, - . . > %)/K(Yl> . . . 2 Y,) algebraisch vom Grade d = (g,, . . . , 9,) . 9. ' 9"

Beweis . Es sei zuniichst P = n + 1. Nach Satz 2.1 ist K ( z , , . . . , x,) i iberK(y,, . . . , yn) algebraisch vom Grade g, - - - gn (vgl. Fig. 2). Nach Satz 4.2a ist der Zwischenkorper K(y,, . . . , Y , + ~ ) iiber K(y,, . . . , y,) vom Grade gl * . - g,/d. Daher ist K(x , , . . . , x,) uber K(y,, . . . , algebraisch vom Grade d . Fig. 2

Fur r > n + 1 erhalten wir den Satz durch vollstandige Induktion. Wir nehmen an, er sei fur je r - 1 Formen y bereits bewiesen, also (Fig. 3)

W(z1, * * - , x,):K(?A,. . * 9 Ye-1, YQ+l>. . . > Y,)l = (gl, . . . , ge-l, ge+l, . . . ,g,) fur e = 1, . . . , 1'. (5.1)

Nunist einerseikder Grad der algebraischenErweiterungK(x,,..., x7J/K(y1 ,...,y, ) Teiler aller Grade (5.1), also auch ihres groBten gemeinsamen Teilers d = (gl, . . . , g,). Andererseits lmnn die Minimalgleichung fur 2, uber


Kcx, . , x n j K(y , , . . . . y,) als gewichtshomogen in den

den, so daD ihr Grad in q , also erst*recht der Grad von

Unbestimmten x l , . ... ~r, vorausgesetzt wer-

K(x11 . . . . Z ~ ) / K ( Y ~ , . . . . Yr) . ein Vielfaches des grd3ten gemeinsamen Teilers d der Grade der y sein mu13. Somit ist K(Y,. ,Yo-, Yg+,, YrJ

[ K ( z , . . . . . xn) :K(.Y, . . . . . yr)] = d . Fig. 3

Wir bemerken, dal) wir den Satz (fur r = n + 1) auch ohne Zuhilfenahrne von Satz 4.2a direkt aus den1 Beweie von Satz 3.2 hatten herleiten konnen.

Q 6. Die ,,Resultante'( von r Formen in n Unbestimmten fiir beliebiges r > n Die in den beiden vorangehenden Paragraphen im Falle r = n + 1 an-

pewandten Methoden lassen sich so ausdehnen, dal) sie auch im allgemeinen Fall von r > n Formen in n Unbestimmten ein Resultantensystem liefern, das aus Koeffizienten von Abhangigkeitsrelationen zwischen den Formen besteht. Wir fuhren dies im folgenden durch, wobei wir uns, soweit es sich urn naheliegende Verallgemeinerungen handelt, kiirzer fassen. Dabei entsprechen die Siltze, der Paragraphen 6 und 7 den analog numerierten SBtzen der Yara- graphen 3 bzn. 4. Durchweg wird abkurzend r - n = s gesetzt.

Satz 6.1. Gegeben seien r > n allgemeine Formen yl, . . . . yl. in n U n - bestimmten x,. . . . . . xn . Mit s weiteren Unbestimmten xn+l . . . . . xr und un-

, ,erweiterten Formen" bestimmten Koeffizienten ago (Q = 1, . . . . r ; u = n + 1 , . . . . r ) bilden wir die

in r Unbestimmten, und es sei Bei einer Spezialisierung y+ y* haben die Formen yT ..... y: dann und nur

damn eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle, wenn bei dieser Spezialisierung 3 (fiir unbestimmte u ~ , ~ + , , . . . . ar,n+l; . . . ; air, . . . . ar,.) verschwindet.

Beweis . a) 1st {11, . . . . tm} eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle der spezialisierten Formen yT, . . . . &!, so ist {t,, . . . . &, 0 , . . . . O} eine nichttriviale qemeinsame Nullstelle der Formen

die Resultante dieser Porrnen.


mit unbestimmten a,,,+,, . . . , a,,,+; . . . ; al,, . . . , a,,, so daB R bei der Spezialisierung (fur unbestimmte a,,,+ . . . , ; . . . ; ulr, . . . , a,) verschwindet.

b) Verschwindet umgekehrt i? bei einer Spezialisierung y+ y* (fur unbestimnite a,,,+,, . . . , a,.,,+, ; . . . ; u l r , . . . , a,)7 SO haben die Formen (6.2) cine nichttriviale gemeinsame Nullstelle {El, . . . , t,.} .

Es sei n < CT 5 r und S: (gf - a , x$ , . . . , y: - a,, x$) = 0 cine (stets vorhandene) in den x gewichtshomogene Relation niit von ala, . . . , a,, unabhangigen Koeffizienten zwischen den r Formen y: - al, ~ 2 , . . . . B: - ar0 @ in den r - 1 Unbestimmten xl: . . . , xu-l, . . , xr . Spezialisieren wir die x zu 5, so verschwinden die jj* und wir erhslten

-

S,* ( -- al0 (2, . . . , -a,, E z r ) = S,* ( - ala , . . . , -a,,) E: = 0,

w o g z das Gewicht vonSz in den x bezeichnet, also, meilS,* fur unbestimmte Argumente nicht verschwindet, 5, = 0. Da dies fur cr = n + 1, . . . , r gilt, haben wir

und damit t - 0 - r -

&(ti,. . . > i t , ) = - . . . = y,*( i=l , . - En) zz= 0, * ' so dalj {t,, . . . , 6,) cine gemeinsarne Nullstelle der Formen y:, . . . , y, is!,

die wegen

nichttrivial ist.

eine ds-te Potenz ist :

i t , , . . . , E,) = {&, . . . , tTh, 0 , . . . ,0} + ( 0 , . . . , O )

Wir beweisen nun dieVerallgemeinerung von Satz 3.2, nach der insbesondere

Satz 6.2. Gegeben seien r > n allgerneine Formen y I , . . . , y, in n Un- bestimmten x L , . . . , x, won den Graden g,, . . . , g,, und es sei G = g , - . - g r 7 d = ( g l , . . . , 9,). Weiter sei R die Resultante der erweiterten Formen y,, . . . .g,, .

-

Dann ist i? die ds-te Potenx eines Polynoms R, = R, (a l e , . . . , are) :

und es ist

ein uber k [ a ; y] primitives Polynorn mit der Nullstelle xQ (Q = 1 ~ . . . , r ) . Beweis . a ) Die y sind Formen, die die Diagonalspezialisierung noch

zulassen. Die Erweiterung K(x , . . . . , x , ) /K(y l , . . . ,y,) ist daher nach Satz 2.1 algebraisch voiii Grade G (Fig. 4). Wir zeigen zunachst, dap der Grad won x,. uber K ( y , , . . . , g,) ein Teiler G/bds won G/dS ist. Aus dem Zwischen- korper K ( x , ; g l , . . . . g,) entsteht K ( x , , . . . , xr) z. B. durch Adjunktion der Eleniente x,, xTh+, , . . . , xr-, ; denn es ist h ' ( X % , xn+l )..., xr:g, , ..., g,)=K(z,. x,<.l. .. .,x,; yl. .. . ) y , )=K(x , , .. .,.,).

Math. Sachr. 1951, Bd. 12, H. 3,4. 16

242

letzteres well xa sogar primitives Element der Erweiterung

ist.

betrachten einen einzelnen Erweiterungsschritt

Orsinger, Resultan tensysteme und algebraische Relationen

K ( % > . * . ? X,)/K(Y,>. . . > Y,)

Wir adjungieren xn, . . . , xr-l schrittweise, rnit x,-~ beginnend, und be-

K(xr-i, x r - i + l , ...) xr:yl,. . . ,Yr) /K(Xr-<+ I , . . . . x T ; g l , . . . , y r ) (1 5 i 5 8 ) .

den wir mit I

g r - i , 1 = Y1(Xl, . . . , x,) + a!,?'+' x2+l + a l , n + 2 4 + Z + . - * + a7,r-ix;yi,

yr . - i , r = ! / r ( q , * . * > xn) + a,,n+1x:+1 + ~ r , n + 2 ~ : + z + . . * + G r - i e i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

auch als

K ( Xr-i, Xr-i+, , . . . , "r ; g r - i , 1 > . . . > %-i, r ) /R(xT-i+l, . . . xv ; 37--2,1, . . . j i r - z , 7 )

G

Fig. 4

daB

schreiben konnen. Da die Formen yrPi, . . . , yr - i ,r von den Unbestimmten x,..-~+~, . . . , x, nicht ah- hangen, konnen wir diesen Erweiterungsschritt mit K' = K ( X ~ - ~ + ~ , . . . , xr) als Koeffizientrnkorper schlieBlich in die Gestalt

Kr(xT-i;g,-i*l> . ' . > g r - i , r ) / x r ( g v - i , l > . . . , Y r - i , r )

setzen. Nun kann die Minimalgleichung fur xr-i uber Kr(g,- i , , , . . . , Q ~ - ~ , ~ ) als gewichtshomogen in den Unbestimmten xl, . . . , x,-~ vorausgesetzt werden; infolgedessen mu13 ihr Grad in xr-i ein ganzzahliges Vielfaches d 4 ) d des groljten gemeinsamen Teilers d der Grade von y r - i , l , . . . , T & ~ , ~ sein. Daher ist der betrachtete Erweiterungsschritt voni Grade &)d.

Durch Hintereinanderausfuhrung der s Schritte ergibt sich mit d'd". . - a(*)= 6,

[qXL, . . . , xr) qXr; gl , . . . , g,)] :=: 6a8

[K(z,;y1,. . . , y r ) : E ( & , . * . , f i r ) ] = G/dd8 ist, woraus

und somit die obige Behauptung folgt.

b) Die g sind halbspezialisierte Formen in r Unbestimmten. Auf sie wenden der y ist die dd'-te Potenz wir jetzt Satz 2.4 an und erhalten: Die Resultante

eines (uber k irrednziblen) Polynoms R,: -

- - R = Rid'.

I

Mit R f = R, haben wir die Behauptung 3 = R,d". - c) Die Behauptung uber das Polynom (6.4) folgt mit R, = R," aus Satz 2.4. B e m e r k u n g . I m Gegensatz zu R,, (vgl. Satz 3.2) braucht R, fur s > 1

riicht mehr uber k irreduzibel zu sein. Nach obigem konnen wir sagen, dalj R,


die 6-te Potenz eines iiber k irreduziblen Polynoms R, ist, wobei 6 und damit R, vom Grundkorper k abhangen konnenl). Demzufolge braucht auch das Polynom (6.4) in Satz 6.2 nicht wie (3.4) in Satz 3.2 iiber k [ a ; ij] irreduzibel zu sein. Das iiber k [ a ; y ] primitive irreduzible Polynom mit der Nullstelle x, ( g = 1 , . . . , r ) lautet vielmehr hier

- -

und kann vom Grundkorper k abhangen. Zu vorgelegten r allgemeinen Formen y in n Unbestimmten wird nach

Satz 6.2 mit Hilfe der erweiterten Formen y eine Bildung R, durch folgende Eigenschaft bis auf etwaige Faktoren aus k festgelegt:

(R,) R,d' ist gleich der Resultante Da ?i bei Diagonalspezialisierung der y den Wert 1 annimmt, konnen

(R8. N) Bei Diagonalspezialisierung der y nimmt R, den Wert 1 an. Wir wollen R, die Resultante der r Formen y, , . . . , y, in den n Unbestimmten

x,, . . . , xtl nennen und unter der Resultante R,* von r spezialisierten Formen y;, . . . , y: in n Unbestimmten wieder das aus R, bei der Spezialisierung y-+ y* hervorgehende Polynom in den Unbestimmten a,,,+,, . . . , a,,,+,; . . . ; a,,,, . . . , arr verstehen. Eine Rechtfertigung der Bezeichnung ,,Resultante" gibt der nach (R,) unmittelbar aus Satz 6.1 folgi?nde

Satz 6.3. r > n Formen yf , . . . , y;* in n Unbestimmten haben dann und nur dann eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle, wenn ihre Resultante R,* (fiir unbestimmte al, ,+

R, hat folgende Eigenschaften, die - abgesehen von der zufolge der im AnschluD an Satz 6.2 gemachten Bemerkung im allgemeinen fehlenden Irre- duzibilitat von R, fur s > 1 - Verallgemeinerungen der Eigenschaften (R,. 1) - (R1. 6) fur s = 1 darstellen:

(R8. 1 ) R, ist eine ganzzahlige, vom Grundkorper k unabhangige Form in den Koeffizienten der erweiterten Formen y .

der erweiterten Formen y .

u-ir RB eindeutig bestimmen durch die Normierungseigenschaft :

. . . , a , I ; . . . ; a r , . . . , a,,) verschwindet.

1) Dies zeigt folgendes Beispiel. Es sei n = 1 , r = 3, g1 = 1 , ga = gs = 2 , 31 = a151 + a,% + a 3 5 3 9

Yz b i z : + bzx: + 4 x ; , Y3 = c1 X T + %.% + c 3 x : , -

also G = 4 , d = 1 . Nach Satz 2.1 ist x 3 ganz beziiglich K [ 3 ] , also mindestens vom Grade 2. Hat k die Charakteristik 2, so ist x 3 genau voin Grade 2, also 6 = 2, wie man durch Auf- losung des Systems 3; = a ; x : + six; + a 9 x f ,

3 2 = b i z ! + b z x t + b 3 ~ 2 , , y3 = cl XT + c z x ; + c3x:

f u r x f , x i , x i nach x: erkennt. Hat dagegen k die Charakteristik 0, 80 sieht man leicht, dal3 der Grad von xs grol3er als 2 , d. h. als Teiler von [ K ( x ) : K ( 3 ) ] = 4 (Satz 2.1) gleich 4, also 6 = 1 ist.

16*


(R8. 2) R, ist in den Koeffizienten von ye homogen vom Grade GIgedS

(R8. 3) Bei einer linearen Substitution der Unbestimmten x l , . , . , xn mit der Determinante D haben die trunsformierten Formen die Resultante galaa R, .

(R,. 4) R, ist in bezug auf jedes xe (Q = 1 , . . . , r ) isobar vom Gewicht G!dS. (R,. 5 ) Bei Vertauschung von zwei der Unbestimmten xl, . . . , x, ocler zwei

R, enthalt die ,,reinen Glieder"

(@ = 1 , . . . , r ) .

der Pormen y, , . . . , y, erhalt R, den Puktor ( - l)G~d*+l.

(R8, 6) Die Xumme aller Glieder v o i ~ R,, welche ein gegebenes Potenzprodukt

als Faktor enthalten, ist

wo v ~ + ~ , . . . , vr bzw. el+ ver-

schiedenen der Indizes 1 , . . . , r in beliebiger Reihenfolye und jjt1+,, . . . Ye, die aus . . . , ye, durch Nullsetzen von xvl , . . . , xvl hervorgehenden For- men bezeichnen.

Die Beweise verlaufen ganz analog zu den Beweisen von (Rl. 1) - (Itl. 6)

. . . , p, die von v I , . . . , vl bzw. e l , . . . , -0

in $ 3.

g 7. Besultantensystem und algebraische Relationen fur bcliebiges r > n

Satz 6.3 lautet in anderer Formulierung:

Satz 7.1. Fur r > n allgemeine Formen yl, . . . , yr in n Unbestimmten der Entwicklungskoef fizienten ihrer Resultante R, nach bildet die Gesamtheit

al ,n+l, . . . , a,,.+,; . . . ; a.,, . . . , arr ein Resultantensystem. Fuhren wir fur die Potenzprodukte dieser GroBrn die Abkiirzung

ein und schreiben demgemal3 R - 2 RP)A( i ) ,

8 - 8 i

(7 .1)

so wird also das Resultantensystem X8 von den Formen RP) gebildet. Nach (R,. 4) ist in jedem Glied

2fk+lgl + . . . + A ~ ~ + l g , = . . . = @gl $- . . . + ),$'g, = G/dS;

ist N , die Losungsanzahl der diophantischen Gleichung

AIg1 + . . . + Argr = G/ds

in nichtnegativen ganzen Zshlen >., , . . . ~ A,, so ist also die Anzahl der Glieder


der Entwicklung gleich N i , wobei auch einige der R:) (evtl. bis aufs Vorzeichen) iibereinstimmen oder gleich Null sein konnenl).

Mit diesenBezeichnungen besitzt dasResultantensystem !)Is= { R:'), . . . ,RLN:)} die folgenden Eigenschaften, die sich au f Grund von (7.1) sofort aus den entsprechenden Eigenschaften (R8. 1 ) - (R,. 6) von R, ergeben:

(%?,. 1 ) besteht aus 8: ganzzahligen, vorn Grundkorper k unabhangigen Pormen RF' (von dcnen auch einige, evtl. bis aufs Vorzeichen, ubereinstimmen oder Null sein konnen) in den Koeffizienten der y.

(%#. 2 ) RF) ist (wenn =+ 0) in den Koeffizienten von ye homogen vom Grade G/g,ds -

(8,. 3) Alle R:) sind Invarianten vorn Gewicht Glds des Formensystems der y. ("&. 4) RF) ist (wenn + 0) in bezug auf jedes x,, (v = 1 , . . . , n) isobar

vorn Gewicht @Ids. (9&. 5 ) n i e R f ) hangen bis auf Reihenfolge und Vorzeichen nicht von der

Reihenfolge der Formen yl, . . . , yr ab; bei Vertauschung zweier y erhalten sie den Vorxeichenfaktor (- 1)Gid6t1. (!I??,. 6) Unter den RP) kommen (abgesehen vom Vorzeichen) insbesondere

+ . . . + 2$) (e = 1 , . . . , r ) .

die Potenzen

der Resultanten von je n der Pormen y,, . . . , y, vor.

Wir suchen nun gewisse Relationen zwischen den y auf, deren Koeffizienten gerade dasResultantensystem 8, liefern werden. Dazu entwickeln wir diesmal R, nur nach den Unbestimmten al,,+l, . . . , a,,,+,! . . . ; a,,,-,, . . . , wir fuhren fur die Potenzprodukte dieser GriiBen die Abkiirzung

ein, betrachten die Entwicklungskoeffizienteu Pf) insbesondere in Abhangig- keit von a,,, . . . ar, und schreiben demgemalJ

R, = 2 P?)(alr, . . . , arT)Ac) . (7.2) i

Nach (R8. 4) ist in jedeni Glied

also die Anzahl der Glieder der Entwicklung gleich iV;-l, wobei auch wieder einige der Koeffizienten PF) (evtl. bis aufs Vorzeichen) ubereinstimmen oder gleieh Null sein konnen.

(i) 2") l) Mit einem Glied Bj")aA!,)n+i . - u%,~+I a l r . . . a$) kommen nhmlich in R,

I( { ) $0 $I)

%,+I 'On+, l a r par

fiir alle Permutationen u%+], . . . , 0, der Indizes n + 1 , . . . , r vor. Wenn insbesondere fur zweiIndizes u , t (a < t) und G/d*+' ungerade ist, so ist das Glied fiir die Permutation n + 1 , . . . , t, . . . , u, . . . , r entgegengesetzt gleich dem Ausgangsglied, so daB in diesem Falle R:') == 0 sein muB.

L n + l r,n+1 1, .I

nach (R8. 5 ) such die Glieder ( - 1 ) G f ( r , , l....~O,)ld'+~Rf)a I , n + l . . .a r . n + l . . ...a 1r 7 - - a rr

= . . . , PJ =


Satz 7.2. Zwischen r > n allgemeinen Formen yl, . . . , y, in n Unbestimm- ten mit der Resultante RE bestehen die Ni-I N,-gliedrigen Relationen

(7.3) Pp(- yl, . . . , - y,) = 0 ( i = 1 , . . . , Xi-1)

(won denen auch einige, evtl. bis aufs Vorzeichen, ubereinstimmen oder die Null- relation darstellen konnen) vom Gewicht Gld" in den x und mit ganzzahligen Formen in d e n a als Koeffizienten.

Beweis . Fassen wir R, insbesondere als Polynom in aIT, . , . ~ or, auf:

R E = R , 9 ( a l T , . . . > a'TT).

so ist mit den erweiterten Formen ij nach Satz 6.2 ,

ein Cber k [a; g] primitives Polynom mit der NdlStelle 5 . Da 11, nach (%. 4, in, bezug auf x, isobar vom Gewricht GIdS ist und 11ur a],, . . . , arr POsitiTTe Gewichte in bezug auf xr haben, kannen wir dafiir auch schreiben:

Rs(al,.Jgl - y i , . . . , U r r Z ! 7 f - , - r Y ) . Es ist also

RE (al, @I - $jl, . . . , <Lrr x> - g r ) -= 0:

setzen wir xn:n+l I . . . - - xr = 0 , so gehen die 9 iu die y iiber und es wird

R , ( - y y , , . . . , - y r ) 0 . also nach (7.2)

2 Pp) ( - y, ~ . . . ~ - yr)Ar' = 0 . i

Da die y und infolgedessen aiich die Pp) ( - y, , . . . . - y,) voii

a,,,+,, . . > a T , n + l ; . . . ; c i ~ , r - i . . . . 3 Q r . r - i

nicht abhangen, stellt hier die linke Seite eine Entwicklung nach diesen Un- bestimmten dar, deren Koeffizienten P:)( -yl, . . . , -yr) daher einzeln uer- schwinden miissen, was zu zeigen war. - Die Behauptung iiber das Gem-icht der R,elationen (7.3) in den x ergibt sich sofort aus (R8. 4), da dieses Gexvicht nach (7.2) gleich dem Gewicht von R, in bezug auf x, ist. Und da es gerade AT, Potenzprodukte der y vom Gewicht Gld' gibt, besteht jede der Relationeri (7.3) aus N , Gliedern (deren Koeffizienten auch teilweisc odcbr sanitlich Kull sein konnen).

B e m e r k u n g . Statt der Unbestimniten air: . . . , a, hatten wir in (7.2) allgerneirier auch die Unbestimmten al, , . . . ,aT, fur irgendein u = n + 1,. . . , T - 1 in den Koeffizienten Pp) belassen konnen. Da dies jedoch nur auf eine Ver- tauschung yon zr mit z,, hinauslauft, hattcn mir auf diese Wcisc bis auf den

Faktor ( - dasselbe Relationensystem (7.3) erhalten. Da auf Grund von (7.2) die Koeffizienten der Relationen ( 7 . 3 ) nichts

anderes sind als die Koeffizienteri Rt) der Entwicklung (7.1) von R, nach u , , , + ~ , . . . , c l r , n + i ; . . . ;a,,, . . . , uVr, hnben mir nach Satz 7.1 deli


Hauptsatz (fiir beliebiges r > n). Fur r > n allgemeine Formen yl, . . . , y,. der N," Koeffizienten RP) der nach in, n Unbestimmten bildet die Gesamtheit

Satz 7.2 zwische?a ihnen bestehenden N:-i Relationen

P f ) ( - y 1 , . . . , -yr) == 0 (i = 1 . . . . , iy-1)

p i n Resultantensystem.

Damit haben wir auch im allgemeinen Falle r > n ein Resultantensystem in Gestalt von Koeffizienten algebraischer Relationen gefunden. Allerdings fehlt hier eine von Resultantenbildungen unabhangige Charakterisierung dieser Relationen als ausgezeichnete Relationen, wie sie im Falle r = n + 1 durch Satz 4.2a fur die Minimalrelation R , ( - y l , . . . , - yn/n+l) = 0 gegeben wurde. In1 allgemeinen Fall iit fiir die Existenz einer nichttrivialen gemeinsamen Nullstelle der Formen y* bei einer Spezialisierung y+ y* nach dem Hauptsatz jedenfalls hinreichend, daB die Koeffizienten aller Relationen P( yL, . . . , y,.) = 0 bei dieser Spezialisierung verschwinden. Diese Bedingung ist aber auch not - wendig, da alle diese Koeffizienten Tragheitsformen des Ideals ( y l , . . . , y,.) sind (s. [XI, Satz 6). Nun bildet die Gesamtheit der Polynome

offenbar ein Primideal 9 in k [ a ; 21, das ,,Relationenideal". Das Verschwinden cler Koeffizienten aller Relationen wird bereits gesichert durch das Verschwin- tlen aller Koeffizienten einer Basis von oder auch nur eines zu 9 gehorigen Primarideals. Ausfiihrlicher haben u ir im allgemeinen Fall die

Folgerung. Fur r > n allgemeine Formen y,, . . . , y,. in n Unbestimmten bildet die Gesamtheit der Koeffizienten der Relntionen

ein Resultantensystem, wenn es zu jeder Relation P ( y l , . . . , y7) = 0 ein e gibt, .so dap fiir ?Lnbestimmte z

P(z,, . . . , z7)Q E 0 (P(l)(zl, . . . , Z,.). . . . , P(h)(z,, . . . . Z J )

ist .

I m Falle r = n + 1 besagt der erwahnte Satz 4.2a gerade, daB das Rela- tionenideal '!$ rin Prim-Hauptideal mit drr Basis R, ( - z , , . . . , -2,) ist.

Liter atur [l] G. ANCOCHEA, ifber den ,,Nullstellensatz" von Hilbert. Ann. Mat. pura appl., Bologna,

[2] W. GR~BNER, Moderne algebraische Geometrie. Wien u. Innsbruck 1949. [3] I<. HENTZELT - E. NOETHER, Zur Theorie der Polynomideale und Resultanten.

[4] A. HURWITZ, uber die Trigheitsformen eines algebraischen Moduls. Ann. Mat, pura

[5] H. KAPFERER, uber Resultanten und Resultanten-Systeme. S.-Ber. math.-natum.

IV. Ser. 29, 31-34 (1949) [Spanisch].

Math. Ann. 88, 53-79 (1923).

appl., Bologna, IV. S E T . 20, 113-151 (1913).

Abt. Bayer. Akad. Wiss. Miinchen 1929, 179-200.


161 F. S. MACAULAY, Algebraic theory of modular systems. Cambridge 1916. [7] F. MBRTENS, Zur Theorie der Elimination. I, 11. S.-Ber. $kad. Wiss. Wien. math.-

[S] H. ORSINGER, Zur Konstruktion von Tragheitsformen als Koeffizienten algebraischer

[9] A. OSTROWSKI, fiber ein algebraisches obertragungsprinzip. Abh. math. Sem. Univ.

naturw. Kl., Abt. I I a 108, 1173-1228, 1344- 1386 (1883).

Gleichungen. Diese Nachr. 5, 355- 370. (1951).

Hamburg 1, 281- 326 (1922). [lo] 0. PERRON, Beweis eines Satzes von Bezout. Math. Z . 21, 315-316 (1924). [ll] -, Algebra I. 3. Aufl., Berlin 1951. [12] -, o b e r die Abhiingigkeit von Polynomen. S.-Ber. math.-naturw. K1. Bayer.

[I31 H. L. SCHMID, Zur algebraischen Theorie der Formen. I. Math. Ann. 120, 1- 9 (1947). [14] €3. L. VAN DER WAERDEN, Ein algebraisches Kriterium fur die Losbarkeit eines

Systems homogener Gleichungen. Proc. Akad. Wet. Amsterdam 29, 142-149 (1926). [15] -, Neue Begriindung der Eliminations- und Resultantentheorie. Nieuw Arch.

Wiskunde, 11. R. 25, 302-320 (1928). [16] ___, Moderne Algebra 11. 2. Aufl., Berlin 1940.

Akad. Wiss. Miinchen 1950, 117- 130.

resultantensysteme und algebraische relationen

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