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  • Ovale und ebene algebraische

    Kurven mit unendlicher

    Kollineationsgruppe

    Den Naturwissenschaftlichen Fakultäten

    der Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg

    zur

    Erlangung des Doktorgrades

    vorgelegt von

    Doris Wagner

    aus Ochsenfurt

  • Als Dissertation genehmigt von den Naturwissenschaftlichen Fakultäten

    der Universität Erlangen-Nürnberg

    Tag der mündlichen Prüfung: 31. Mai 2005

    Vorsitzender der Promotionskommission: Prof. Dr. D.-P. Häder

    Erstberichterstatter: Prof. Dr. P. Plaumann

    Zweitberichterstatter: Prof. Dr. W. Barth

  • Abstract

    (german)

    In der vorliegenden Arbeit werden Ovale und ihre Kollineationsgruppen in kompakten unzusam- menhängenden Pappos-Ebenen untersucht. Für eine gewisse Klasse von abgeschlossenen, stetig dif- ferenzierbaren Ovalen in p-adischen Ebenen – sog. Tillmann-Ovalen – wird geklärt, unter welchen Umständen diese eine transitive Kollineationsgruppe gestatten. Ovale mit transitiver Kollineati- onsgruppe nennt man auch homogen. Die Existenz von homogenen Ovalen in p-adischen Ebenen, die keine Kegelschnitte sind, wird nachgewiesen.

    Es werden weiterhin alle algebraischen Kurven in einer projektiven Ebene über einem algebraisch abgeschlossenen Körper klassifiziert, die eine unendliche Kollineationsgruppe gestatten. Außerdem werden Scharen bzw. Mengen verschiedener algebraischer Kurven mit unendlichem gemeinsamen Stabilisator betrachtet. Hierbei wird speziell auch auf Kegelschnitte bzw. Kegelschnittscharen ein- gegangen. Die Klassifikation aller algebraischen Kurven mit unendlicher Kollineationsgruppe über algebraisch nicht abgeschlossenen Körpern wird ebenfalls durchgeführt.

    (english)

    In this paper we study ovals and their collineation groups in compact totally disconnected Pap- pian planes. For a certain class of closed, continuously differentiable ovals in p-adic planes – so called Tillmann-Ovals – we answer the question, under what circumstances they have a transitive collineation group. Ovals whith a transitive collineation group are also called homogeneous. The existence of homogeneous ovals in p-adic planes, which are not conics, is proved.

    In addition, we classify all algebraic curves in a projective plane over an algebraically closed field, which have an infinite collineation group. We also look at sets of different algebraic curves with an infinite common stabilizer. Especially sets of conics are considered. Also, the classification of all algebraic curves with an infinite collineation group over not algebrai- cally closed fields is carried out.

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  • Einleitung

    Die vorliegende Arbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil behandelt eine Fragestellung aus der ebenen projektiven Geometrie. Um diese bearbeiten zu können, sind die Ergebnisse des zweiten Teils erforderlich: Die Klassifikation aller algebraischen Kurven in Pappos-Ebenen, die eine unend- liche lineare Kollineationsgruppe gestatten. Diese Klassifikation ist vom ersten Teil unabhängig.

    Der Hauptgegenstand der Untersuchungen des ersten Teils sind Ovale und ihre Kollineations- gruppen in kompakten unzusammenhängenden Pappos-Ebenen. Eine nichtleere Teilmenge O der Punktmenge einer projektiven Ebene heißt Oval, falls gilt:

    (I) Jede Gerade trifft O in höchstens zwei Punkten.

    (II) Zu jedem Punkt P ∈ O gibt es genau eine Gerade T , die O nur im Punkt P trifft, die sogenannte Tangente.

    Man weiß, daß es in jeder unendlichen – nicht notwendigerweise desarguesschen – projektiven Ebe- ne Ovale gibt (vgl. [1] und [12]). Die bekanntesten Vertreter von Ovalen in Pappos-Ebenen sind die Kegelschnitte. Ein Oval ist aber im Allgemeinen kein Kegelschnitt.

    Tragen ein (kommutativer) Körper K und die zugehörige projektive Ebene P2(K) eine Topologie, so interessiert man sich in erster Linie für topologische Ovale, d.h. Ovale, die bzgl. der vorliegenden Topologie gutartig sind. Dies äußert sich in der Abgeschlossenheit und – je nach Körper – etwa einem geeigneten Differenzierbarkeitsbegriff. Die zentrale Frage ist hier, ob und wenn ja wie die Klasse der topologischen Ovale von den Kegelschnitten abweicht. Für die komplexe projektive Ebe- ne etwa hat Buchanan in [3] gezeigt, daß jedes im Sinne der gewöhnlichen Topologie abgeschlossene Oval in P2(C) ein Kegelschnitt ist. Wenn ein Oval über R eine algebraische Kurve ist, kann ihr Grad ≥ 3 sein, wie das Beispiel {(w : x : y) ∈ P2(R) : x4 + y4 = w4} zeigt. Der Schwerpunkt unserer Arbeit liegt in der Betrachtung von Ovalen in kompakten unzusam- menhängenden Pappos-Ebenen, wir nennen sie ultrametrische Ebenen. Ihnen liegt ein lokaler Körper zugrunde. Den Fall, daß der Restklassenkörper dieses Körpers die Charakteristik 2 hat, betrachten wir allerdings nicht.

    In ultrametrischen Ebenen hat Tillmann in [16] diejenigen Ovale beschrieben, die abgeschlossen und stetig differenzierbar sind. Neben Kegelschnitten und ovalen algebraischen Kurven höheren Grades tritt hier ein zusätzlicher Ovaltyp auf, den es in der reellen Ebene auch gibt, nämlich das aus Stücken verschiedener algebraischer Kurven zusammengesetzte Oval. Das Beispiel in der fol- genden Figur besteht aus einem Halbkreis und einer Halbellipse, die sich auf der y-Achse in zwei Klebepunkten treffen. Für zusammengesetzte Ovale in ultrametrischen Ebenen gibt es solche Kle- bepunkte nicht. Das Fehlen der Klebepunkte schlägt sich in der Gestalt der Kollineationsgruppe solcher Ovale nieder: Bei unserem reellen Ei ist diese Gruppe – beschränkt auf die affine Situa- tion – isomorph zu Z2. Projektiv betrachtet hat dieses Ei eine unendliche, aber nicht transitive

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  • Kollineationsgruppe (vgl. Abschnitt 2.1.3, S.84 ff.). Im ultrametrischen Fall kann so eine Kollinea- tionsgruppe sogar transitiv sein – das Hauptergebnis des ersten Teils der vorliegenden Arbeit (vgl. Satz 4, S. 32).

    Für eine nichtleere Teilmenge M der Punktmenge einer projektiven Ebene P2(K) über einem be- liebigen Körper bezeichnen wir mit GM den Stabilisator der Menge M innerhalb der linearen Kollineationsgruppe PGL3(K). Dieser Stabilisator GM heißt dann auch die Kollineationsgruppe von M . Ist M ein nichtentarteter Kegelschnitt, so operiert GM scharf dreichfach transitiv auf den Punkten von M (vgl. [5]). Wenn K ein unendlicher Körper ist, folgt insbesondere, daß der Stabili- sator von Kegelschnitten eine unendliche Gruppe ist. In der affinen reellen Ebene gestattet z.B. der Einheitskreis unendlich viele lineare Abbildungen auf sich selbst, nämlich einerseits die Drehungen um den Ursprung und andererseits die Spiegelungen an Geraden durch den Ursprung.

    In Kapitel 1 gehen wir nun der Frage nach, ob es in ultrametrischen Ebenen topologische Ovale gibt, die zwar keine Kegelschnitte sind, aber eine transitive Kollineationsgruppe zulassen. Ovale mit transitiver Kollineationsgruppe nennen wir homogen. Da in ultrametrischen Ebenen keine to- pologischen Ovale bekannt sind, die nichts mit algebraischen Kurven zu tun haben, beschränken wir uns auf die Betrachtung einer Klasse von Ovalen, die eine Verallgemeinerung derjenigen Ovale sind, die entweder gleich einer oder eine Teilmenge einer algebraischen Kurve sind, oder aber aus Stücken verschiedener Kurven zusammengesetzt sind. Wir nennen sie Tillmann-Ovale oder kurz T-Ovale. Das sind abgeschlossene, stetig differenzierbare Ovale, die auf einer offenen Punktmenge nichttrivial mit einer algebraischen Kurve übereinstimmen. Zur Definition der T-Ovale siehe Seite 31.

    Nach einigen allgemeinen Bemerkungen in 1.1 und 1.2 betrachten wir im Abschnitt 1.3 homogene T-Ovale in ultrametrischen Ebenen, die keine Kegelschnitte sind. Zuerst zeigt sich, daß zu so einem Oval O eine algebraische Kurve C in P2(K) mit unendlicher Kollineationsgruppe existiert, für die gilt: O ∩ C =: B 6= ∅. Die Menge B ist dann bzgl. der Spurtopologie von O sowohl offen als auch abgeschlossen. Wir nennen sie Bogen. Die Homogenität von O impliziert weiter, daß im Falle O 6⊆ C das Oval aus endlich vielen sol- chen Bögen B1, . . . , Bn zusammengesetzt ist. Jeder Bogen entstammt einer algebraischen Kurve Ci und die Kurven Ci sind paarweise verschieden und projektiv äquivalent. Außerdem gilt für den

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  • gemeinsamen Stabilisator dieser Kurven: ∣∣∣∣∣ n⋂

    i=1

    GCi

    ∣∣∣∣∣ = ∞ Hier stößt man nun auf ein Problem, nämlich die Kenntnis der Stabilisatoren von algebraischen Kurven innerhalb der PGL3(K) bzw. die Kenntnis algebraischer Kurven in P2(K) mit unendli- chem Stabilisator. Zwar sind die Automorphismengruppen von Kurven (im Sinne der algebraischen Geometrie) sowie die Kurven mit unendlichen Automorphismengruppen (rationale und elliptische Kurven) aus der algebraischen Geometrie bekannt. Diese Automorphismengruppen sind aber im Allgemeinen größer als die für uns relevanten Kollineationsgruppen. Ebenso ist der übliche Kur- venbegriff der algebraischen Geometrie für unsere Fragestellungen nicht uneingeschränkt geeignet. Denn wir müssen Kurven in ultrametrischen Ebenen P2(K) betrachten, und die zugrundeliegenden lokalen Körper sind nicht algebraisch abgeschlossen. Problematisch ist hier auch die Frage nach den Ovaleigenschaften einer Kurve, wenn man ihre Gleichung nicht explizit kennt.

    Ohne die Kenntnis aller algebraischen Kurven C ⊂ P2(K) mit unendlichem Stabilisator GC bzw. Mengen von algebraischen Kurven mit unendlichem gemeinsamen Stabilisator für lokale Körper K können wir die Frage nach der Existenz bzw. Nichtexistenz von homogenen T-Ovalen nicht lösen. Isoliert von dieser geom

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