1 RVANSKE REETKE

Reetkasti nosai predstavljaju sistem sainjen od lakih krutih tapova meu-sobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva tapova se nazivaju vorovi. Reetke su optereene koncentrisanim silama koje lee u ravni reetke i dejstvuju u njenim vorovima.

Osnovni element svake ravanske reetkaste kontrukcije je trougao. Izmeu broja vorova n i broja tapova s statiki odreene ravanske reetke postoji veza s=2n-3. Ukoliko je s>2n-3 postoji unutranja statika neodreenost reetke, a ako je s

RAVANSKE REETKE8

koji podrazumeva da je suma projekcija svih sila na ose koordinatnog sistema jednaka nuli, i da je suma momenata svih sila i spregova za proizvoljnu taku u ravni nula.

Osim jednaina ravnotee (1.2), mogu se pisati i alternativni oblici jednaina ravnotee ([1], str. 52). Jedan od njih se ogleda u pisanju tri momentne jednaine za take A, B i C:

1 0 3 0. ,0 . ,0 0 2, + + +

0 20 22,0 .0 2,00 2 (1.3)

pri emu su A, B i C nekolinearne take.

3. Nakon odreivanja otpora oslonaca, vri se izraunavanje sila u ta-povima, to se moe izvriti na dva naina: metodom izdvajanja vorova i metodom izdvajanja dela reetke (metod preseka, Riterov metod).

Ukoliko se primenjuje metod izdvajanja vorova, polazi se od vora u kome se sueljavaju samo dva tapa. Sile u lakim tapovima, kao unutranje sile, pretpostavljaju se kao zatezne. Osim toga, sile reakcije veze istog lakog tapa koje dejstvuju na razliite vorove se postavljaju po principu akcije i reakcije. Pisanjem jednaina ravnotee za sueljan sistem sila u ravni:

1 0 2 01 1

. , . . = =

= =

i

n

xii

n

yiF F (1.4)

odreuju se sile u tapovima. Sukcesivno, prelazi se sa vora na vor, ima-jui u vidu da broj nepoznatih sila koje dejstvuju u voru bude najvie dva. Dobijeni predznak minus uz intenzitet sile u lakom tapu ukazuje da je taj tap pritisnut, dok predznak plus ukazuje da je tap zategnut.

Pri primeni metoda izdvajanja dela reetke vri se zamiljeno prese-canje reetke po tapovima u kojima je potrebno odrediti sile, tako da broj preseenih tapova ne bude vei od tri. Zatim se zamenjuje uticaj preseenih tapova silama koje su im kolinearne i zatezne. Poto je reetka na ovaj na-in podeljena na dva dela, a svaki od njih mora biti u ravnotei, bira se deo reetke za koji e se pisati jednaine ravnotee. Preporuljivo je posmatrati onaj deo reetke na koji dejstvuje manje sila. Takoe, preporuuje se pisa-nje tri momentne jednaine za tri nekolinearne take (1.3), iako je mogue pisati i druge oblike jednaina ravnotee, na pr. (1.2).

Slika 1.1

Ravanske reetke 9

Primer 1.1 Za reetku2 prikazanu na Slici 1.1, optereenu silama intenziteta 2kN, odrediti reakcije u osloncima i sile u tapovima metodom izdvajanja vorova. Sile u tapovima preseenim sa R-R odrediti primenom Riterovog metoda.

Reenje: Pre oslobaanja od spoljanjih veza, numerisae se tapovi i vorovi. Ukupan broj tapova u ovoj reetki je 13, a vorova osam. tapovi su numerisa-ni arapskim, a vorovi rimskim brojevima (Slika 1.2). Na osnovu jednakosti broja tapova i vrednosti koju daje relacija s=28-3=13, zakljuuje se da ova reetka pose-duje osobinu unutranje statike odreenosti. Ova reetka je u taki A oslonjena na nepokretni, a u taki B na pokretni oslonac. Dejstvo ovih veza je zamenjeno silama X YA A i u taki A i silom

YB u taki B.

Jednaine ravnotee reetke su:

1 0 0

2 0 0

3 0 2

4

1 2 3

1

. : ,

. : ,

. :

= =

= + =

=

+

F X F

F Y F F F Y

M F

xi

yi

A

A B

A

44 6 4 8 02 3 4F F F Y + + =B ,

pa su vrednosti reakcija oslonaca:

X kN kN kNA A B = = =2 4 2, , .Y Y

Sile u tapovima e se najpre odrediti metodom izdvajanja vorova. Ova meto-da, kao to je ve reeno, podrazumeva analizu ravnotee svakog vora pojedinano. Polazi se od vora u kom se sueljavaju najvie dva tapa. U ovom sluaju krenue se

2 U primerima u kojima nije naznaena jedinica za duinu, smatra se da je duina izraena u metrima.

Slika 1.2

RAVANSKE REETKE10

od vora A (numerisanog rimskim I). U ovom voru dejstvuju komponente reakcije nepokretnog zgloba

X YA A i i sile u tapovima 1 i 2 nepoznatih intenziteta i smerova,

u pravcu tapova. Pogodno je pretpostaviti da su tapovi optereeni na zatezanje, a priori. To znai da pri analizi ravnotee vora smer sila u tapovima ide od posma-tranog vora ka tapu. Na sledeim slikama prikazani su sistemi sila koji dejstvuju na vorove, a pored slike su ispisane jednaine ravnotee 3:

vor I:

4 0 0

5 0 0

1 22

2

22

2

. : ,

. : .

F X S S

F Y Sxi

yi

= + + =

= + =

A

A

Reavanjem ovih jednaina dobija se da su sile u tapovima S kN S kN1 22 4 2= = , , odakle se zakljuuje da je tap 1 zategnut, jer je dobijena vrednost za silu u tapu 1 pozitivna. S obzirom da je predznak ispred vrednosti sile u tapu 2 negativan, sledi da je tap 2 optereen na pritisak.

Sada se prelazi na vor II, u kome su vezani tapovi 1, 3 i 4. Nepoznate u jedna-inama ravnotee za ovaj vor bie sile u tapovima 3 i 4, dok je zbog principa akcije i reakcije sila u tapu 1 poznatog intenziteta4.

3Kako u ovom primeru svi kosi tapovi reetke zaklapaju sa horizontalnim i vertikalnim pravcem uglove od 45, vrednosti tih uglova nee biti posebno naznaeni na slikama. 4 Pri revnju primer vektori svih sila e se postavljti jedan u odnosu na drugi po principu akcije i reakcije, t obeleavati istom slovnom oznakom uz dodatak oznake prim (na pr.

S S1 i 1

), pri emu e se u jednainama uvek koristiti jednakost intenziteta tih sila oznaeno bez prima (S S1= 1

).

B

AR

2 2 2

R

2

F1 F2

F3

F4

YA

XA

YBy

xI II

III

IV

VVI

VII

VIII

1

23

4

5

6

7 8

9

10

11

13

12

2

2

A

YA

XAI S1

S2

Ravanske reetke 11

vor II:

6 0 0

7 0 0

1 4

3

. : ,

. : .

F S S

F Sxi

yi

= + =

= =

Odavde sledi da je tap 3 neoptereen, a sila u tapu 4 je S kN4 2= , to znai da je ovaj tap zategnut.

vor III:

8 0 0

9 0 0

22

2 52

2 6

22

2 52

2 3 1

. : ,

. : .

F S S S

F S S S Fxi

yi

= + + =

= =

Na osnovu napisanih jednaina je S kN S kN6 56 2 2= =, .Analogno ovoj proceduri izvrie se analiza ravnotee preostalih vorova.

vor IV:

10 0 0

11 0 0

4 52

2 82

2

52

2 7 82

2

. : ,

. : .

F S S S

F S S Sxi

yi

= + =

= + + =

Dakle, intenzitet sile u tapu 8 je S kN S kN8 74 2 6= = , .dok je

vor V:

12 0 0

13 0 0

102

2 9 6

2 7 102

2

. : ,

. : .

F S S S

F F S Sxi

yi

= + =

= + =

Intenziteti sila u tapu 9 i 10 su S kN S kN9 102 4 2= = , .

vor VII:

14 0 0

15 0 0

102

2 132

2 4

102

2 132

2 11

. : ,

. : .

F S S F

F S S Sxi

yi

= + =

= =

IIS1

S3

S4,

F1III

S5S3

S2

S6,

,

IVS4

S5S8

,

, S7

F2

VS7

S9

S10

S6,

,

F4VII

S10S11

S13,

Slika 1.3

RAVANSKE REETKE12

Reenja ove dve jednaine su S kN S kN13 112 2 6= =, .Odreivanje sile u tapu 12 mogue je izvriti samo pisanjem jednaine ravnote-

e po horizontalnom pravcu bilo za vor VI ili VIII. Ovde e to biti uraeno analizom ravnotee vora VIII.

vor VIII:

16 0 0132

2 12. : ,F S Sxi = =

te je S kN12 2= .Brojne vrednosti sila u tapovima, kao i odgovarajui karakter optereenja dati

su u sledeim tablicama:

Broj tapa i 1 2 3 4 5 6 7sila (+) [ ] S i kN 2 0 2 2 2sila (-)[ ] S i kN 4 2 6 6

Broj tapa i 8 9 10 11 12 13sila (+) [ ] S i kN 4 2 6 2sila (-)[ ] S i kN 2 4 2 2 2

Na Slici 1.3 prikazano je optereenje reetke, gde su sa crvenom bojom obojeni tapovi optereeni na pritisak, crnom oni koji su zategnuti (obino se zategnuti ta-povi boje plavo, to ovde zbog tehnikih razloga nije mogue). Neoptereen tap je nacrtan isprekidanomlinijom. Ovakvo pred-stavljanje reetke dajekompletnu sliku opte-reenja njenih tapo-va usled dejstva aktiv-nih sila.

BYB

VIII

S13S12

,,

B

AI

II

III

IV

VVI

VII

VIII

1

23

4

5

6

7 8

9

10

11

13

12F1 F2

F3

F4

Slika 1.4

Slika 1.5

Ravanske reetke 13

Da bi se odredile vrednosti sila u tapovima 4, 5 i 6 Riterovom metodom, vri se zamiljeno presecanje reetke po tapovima u kojima se ele odrediti sile (Slika

1.4). Zatim se posmatra ravnotea jed-nog od delova reetke. Pogodno je ana-lizirati onaj deo reetke koji je optereen manjim brojem sila. U ovom primeru posmatrae se levi deo reetke. Uticaj desnog dela reetke ulazi preko presee-nih tapova, tj. preko sila u preseenim tapovima za koje je pogodno pretpos-taviti da su zategnuti. Na taj nain levi deo reetke se tretira kao ploa na koju dejstvuju komponente reakcije oslonca A, sila

F1 i sile

S S S4 5 6, i .

Dalja analiza podrazumeva pisanje jednaina ravnotee za ravanski sistem proi-zvoljnih sila, za koji se, kao to je poznato, mogu napisati tri jednaine ravnotee. Nepoznate vrednosti sila odredie se pisanjem tri momentne jednaine kao alterna-tivnog oblika jednaina ravnotee. Momentne jednaine glase:

17 0 2 4 2 0

18 0 2 2 2 0

19

1 6

4

. : ,

. : ,

.

+

+

= =

= + =

M F Y S

M X Y S

IV A

III A A

++

= =M F S SI 0 2 2 2 2 01 6 5: ,

a njihovim reavanjem sledi S kN S kN S kN6 4 56 2 2 2= = =, , , ime se potvruju reenja dobijena analitiki.

Primer 1.2 Reetkasti krovni nosa optereen je vertikalnim silama kako je prikazano na Slici 1.5. Odrediti otpore oslona-ca i sile u svim tapovima. Reetka je u taki A oslo-njena na nepokretni oslo-nac, a u taki B je horizon-talnom zategom vezana za podlogu. Intenziteti sila su F F kN1 4 10= = , F F kN2 3 20= = .

A

2 2

F1

YA

XAI II

III

IV

S6

S5

S4

2

B

A

4 4 4

2

2

2

F3

F1

F2

F4

Slika 1.6

RAVANSKE REETKE14

Reenje: Na Slici 1.6 prikazana je reetka sa numerisanim tapovima i vorovi-ma, kao i reakcijama oslonaca. Reakcija zatege

S je u pravcu zatege i usmerena je

ka njenoj unutranjosti. Odreivanje reakcija oslonaca izvrie se pisanjem uslova ravnotee za celu reetku. U tu svrhu uvedene su koordinatne ose, a momentna jed-naina pisae se za taku A.

Jednaine ravnotee za ovu reetku glase:

1 0 0

2 0 0

3 0 6 4

1 2 3 4

2

. : ,

. : ,

. :

= =

= =

=

+

F X S

F Y F F F F

M S F

xi

yi

A

A

A

=8 12 03 4F F ,

odakle se dobija da su otpori oslonaca X Y S kNA A= = = 60 .Sile u tapovima bie odreene metodom izdvajanja vorova. U daljem teks-

tu prikazani su pojedinani vorovi sa silama koje dejstvuju na njih. Pored svakog vora napisane su jednaine ravnotee. Najpre je analiziran vor I, budui da se u njemu sueljavaju dva tapa, pa e broj moguih jednaina za sueljan ravanski sistem sila biti dovo-ljan da se odrede dve nepoznate sile u ta-povima 1 i 2.

vor I:

4 0 0

5 0 0

1

2

. : ,

. : .

F X S

F Y Sxi

yi

= + =

= + =

A

A

Iz ovih jednaina sledi da je S kN S kN1 260 60= = i , odakle se zakljuuje da su oba tapa pritisnuta.

B

A

4 4 4

F1

2

2

2

YA

2

XA

S

I

II

III

IV

V

VI

VIIx

y

1

3

4

5

6

7

8

91011

F2

F3

F4

A

YA

XA IS2

S1

Ravanske reetke 15

Prelazi se na vor II, sada sa poznatom silom u tapu 2. Njen smer se, pri analizi vora II nanosi od ovog vora ka tapu, kao da je tap zategnut, ali se u jednaine ravnotee unosi sa negativnim predznakom.

vor II:

6 0 0

7 0

3 4

1 2 3 4

. : sin cos ,

. : cos sin

F S S S

F F S S Sxi

yi

= + + =

= =

00.

Na osnovu geometrije reetke vrednosti uglova i su: sin , cos = =55 2 55 sin = =2 1313

3 1

13 i cos Intenziteti sila u tapovima 3 i 4 iznose S kN3 10 13= i S kN4 20 5= . Zatim se vri analiza ravnotee vora III.

vor III:

8 0 0

9 0 0

1 3 6

3 5

. : sin

. : cos ,

F S S S

F S Sxi

yi

= + =

= + =

odakle se dobija da je S kN S kN5 630 40= = i . Znai, ova dva tapa su pritisnuta.Sada e se prei na vor VII.

vor VII:

10 0 0

11 0 0

10 11

11 4

. : cos ,

. : sin ,

F S S

F S Fxi

yi

= =

= =

Reavanje ovog sistema daje: S kN S10 1120 10 5= = i .Sledei e se analizirati vor VI.

vor VI:

12 0 0

13 0

8 11

9 8 11

. : cos cos ,

. : sin sin

F S S

F S S S Fxi

yi

= + =

= +

33 0= .

Iz ovog sistema jednaina dobijaju se intenziteti sila u tapovima 8 i 9 i oni su: S kN S kN8 910 5 20= = i .

Slika 1.7 Slika 1.8

RAVANSKE REETKE16

Konano, pie se jedna jednaina ravnotee vora V.

vor V:

14 0 45 06 7 10. : cos , = + =F S S Sxi o

odakle se dobija da je sila u tapu 7 intenziteta S kN7 20 2= .Prikaz intenziteta i karaktera sila u tapovima dat je u sledeoj tabeli.

Broj tapa i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11sila (+) [ ] S i kN 10 13 20 5 20 2 10 5 10 5sila (-)[ ] S i kN 60 60 30 40 20 20

Optereenje konstrukcije predstavljeno je na Slici 1.7.

Primer 1.3 Za reetkasti nosa prikazan na Slici 1.8 odrediti otpore oslona-ca, a zatim Riterovom metodom odrediti sile u tapovima preseenim sa R-R. Usvojiti da su intenziteti F F F F kN F F kN1 2 3 6 4 5= = = = = =1 10, .

F

F

F

6

5

4

Slika 1.9 Slika 1.10

Ravanske reetke 17

Reenje: Kod ove reetke potrebno je uoiti tap koji je vezan za oslonac A. U uvodu ove sekcije je reeno da e se ovakav tap koji povezuje reetku sa osloncima tretirati kao njena spoljanja veza, a ne kao sastavni deo reetke. Na taj nain poznat je pravac reakcije nepokretnog zgloba A, tj. reakcija lei na pravcu ovog tapa. Na Slici 1.9 prikazana je ova reetka sa ucrtanim reakcijama veza, kao i sa numerisanim vorovima i tapovima.

Otpori oslonaca e se odrediti na osnovu dve momentne jednaine i na osnovu sume projekcija svih sila po horizontali. Momentne jednaine pisae se za take osla-njanja reetke za podlogu, tj. za take A i B i one glase:

1 0 4 2 4 6 8 2 5 1 5 0

2 0

1 2 3 6 4 5. : , , ,

. :

+

+

= =

=

M Y F F F F F F

M h R

A B

B A AA + + =2 4 6 8 1 5 2 5 01 2 3 6 4 5F F F F F F, , ,

gde je hA krak sile RA za taku B. Na osnovu Slike 1.9 sledi da je tan = 4 ,

odnosno hA AB= =sin . 16 1717 Na osnovu jednaina ravnotee dobija se da su Y kN R kNB A i = =15 5 174 . Ostaje da se odredi i komponenta reakcije oslonca B u horizontalnom pravcu. Suma svih sila po horizontali glasi:

3 0 01 2 3 6. : cos , = + + + + =F R F F F F Xxi A B

odakle je X kNB = 214 . pri emu je (Slika 1.9)

F4

0,5 0,51

2

2

Slika 1.11

RAVANSKE REETKE18

Riterovom metodom treba odrediti sile u tapovima 8, 9 i 10. Zamiljenim pre-sekom po ovim tapovima reetka e se podeliti na dva dela (Slika 1.10). Posmatrae se ravnotea gornjeg dela reetke. Uticaj donjeg dela je izraen silama u preseenim tapovima za koje je pretpostavljeno da su optereeni na zatezanje.

Momentne jednaine pisae se za vorove V, VI i VII i one glase:

4 0 0 5 1 5 4 2 0

5 0 2 1

4 5 6 3 8 8

6 4

. : , , ,

. :

+

+

= + + =

=

M F F F F h S

M F F h

V

VI 110 10

5 6 8 8 9 9

0

6 0 1 2 0

S

M F F H S h S

=

= + + =+,

. : ,

VII

pri emu su: h8- krak sile S8 za vor V h m h8

8

17 92= = , -sin( ) krak sile

S9 za vor

VII = =h m9 451sin ,( ) H8 - krak sile S8 za vor VII, h10 - krak sile

S10 za vor VI ( h H10 8= =

m417

1 =sin ). Reavanjem prethodnih jednaina ravnotee, sledi da sile u tapovima iznose: S kN8 7 174= , S kN S kN9 54 10 3 17= i = . Zakljuuje se da su sva tri tapa opte-reena na pritisak.

Primer 1.4 Za reetkasti nosa pri-kazan na Slici 1.11 odrediti otpore oslo-naca, a zatim Ritero-vom metodom odre-diti sile u tapovi-ma. Usvojiti da je F F F kN1 2 3= = =10 .

Reenje: Nakon uvoenja odgovarajuih otpora oslonaca, pri emu je laki hori-zontalan tap koji spaja zglob B sa reetkom tretiran kao spoljanja veza, a njegova reakcija obeleena sa

X B (Slika 1.12), jednaine ravnotee su:

1 0 2 2 4 6 0

2 0 0

3 0

1 2 3. : ,

. : ,

. :

+

= =

= + =

=

M X F F F

F X X

F Yxi

yi

I B

A B

A FF F F1 2 3 0 = .

Slika 1.12

Ravanske reetke 19

Reavanjem ovog sistema se dobija X X kN Y kNB A A= =60 , =30 . S obzirom da sve sile u tapovima, numerisanim kako je to prikazano na Slici 1.12, treba da se odrede pri-menom Riterovog metoda, postavljaju se preseci tako da nakon razdvajanja reetke na dva dela, te uvo-enja reakcija u pre-seenim tapovima, na posmatrani deo reetke ne dejstvuje vie od tri nepozna-te sile. Prvi presek R4 4-R e se postaviti tako da see tapove 2, 3 i 4 (Slika 1.12). Jednaine ravnotee za levi deo preseene reetke glase:

4 0 2 2 2 0

5 0 2 2 2 0

6

4

2

. : ,

. : ,

.

= + + =

= + =

+

+

+

M Y X S

M Y X S

III A B

II A A

MM X S S FI B= + + =0 2 2 2 2 03 4 1: ,

odakle sledi da je S kN S kN S kN4 2 330 20= = , . =30 i Sledei presek je mogue postaviti tako da preseca tapove 4, 5 i 6. Na taj nain

se, nakon pisanja dve momentne jednaine, za desni deo reetke mogu odrediti intenzi-teti sila u tapovima 5 i 6. Pogodno napisane jednaine su:

7 0 2 2 0

8 0 2 2 2 0

3 6

3 4 5

. : ,

. : ,

= + =

= =

+

+

M F S

M F S S

IV

V

te je S kN S kN6 5 2=10 , a =20 .

R1

R1

R2

R3

R3

R4R4

R2

Slika 1.13

RAVANSKE REETKE20

Jednaine ravnotee za desni deo reetke dobijen presecanjem tapova 8, 9 i 10 glase:

9 0 2 2 0

10 0 2 0

11 0 1

10 3. : ,

. : ,

. :

= =

= =

=

+

+

+

M S F

M S

M S

IV

VII 9

VI 8 11 03F = ,

a njihovo reavanje daje S kN S S kN10 9 82 0 10=10 , = i = .Razmatranjem ravnotee donjeg dela reetke dobijene postavljanjem preseka

R4 4-R (ija slika nee posebno biti prikazana), te pisanjem jednaina ravnotee:

12 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0

13 0 2

3 9 5 1 3 1. : ,

. :

M F S S F S S X

M S

V B

IV 1

+

+

= + + + =

= 11

II 11 9 5

+ =

= + + ++

2 2 2 2 0

14 0 2 2 4 2 2 2 2

3 1 3 1

3 2 7

F F S S

M S F F S S S

,

. :

== 0,

sledi vrednosti za intenzitete sila u tapovima 1, 7 i 11.

Tablini prikaz karaktera opte-reenja tapova i intenziteta sila u njima je dat nie, a grafi ki prikaz optereenja je predstavljen na Slici 1.13.

Broj tapa i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11sila (+) [ ] S i kN 30 2 30 20 2 10 0 10 2 10 2sila (-)[ ] S i kN 20 30 10 10

Ovaj tip reetke se koristi u konstrukcijama za znatnim prepustima, kod nekih tipova mostova, kranova i krovnih konstrukcija. Osnovna karakteristika ovakvog tipa reetke je da su gornji elementi optereeni na zatezanje a donji na pritisak.

Slika 1.14

Slika 1.15

Ravanske reetke 21

Primer 1.5 Za reetku sa zglobom u taki C prikazanu na Slici 1.14 odrediti otpore oslonaca i sile u tapovima. Intenziteti sila su F kN F F kN1 2 32 10= = =, .

Reenje:

Ova reetkasta konstrukcija predstavlja sistem od dve reetke, sa spoljanjim zglobnim vezama u takama A i B. Jednaine ravnotee za sistem kao celinu (Slika 1.15) se mogu napisati u formi:

1 0 20 32 16 48 0

2 0 20 16 32

1 2 3

1 2 3

. : ,

. :

+

+

= + + =

=

M F F F Y

M F F F

B A

A ++ =48 0YB .

Slika 1.16

RAVANSKE REETKE22

Da bi se odredile sve etiri spoljanje reakcije veza, izvrie se dekompozicija sistema. Ravnotea leve reetke (Slika 1.16) e se ostvariti ukoliko budu zadovoljene jednaine ravnotee:

3 0 0

4 0 20 16 24 12 0

5

2

1 2

. : ,

. : ,

.

= + =

= + + =+

+

F Y F Y

M F F Y X

yi A C

A C C

MM F F Y XC A A= + + =0 8 8 24 12 01 2: .

Reavanjem prethodno napisanih sistema jednaina dobija se Y kN Y kNA B= =556 656, ,Y kN X kN X kNC C A= = =56 15 13, , .

Posmatrajui reetku kao celinu, a na osnovu ravnotee svih sila u horizontalnom prav-cu, sledi da je X kNB = 15 .

Da bi se odredile sile u ta-povima, potrebno je posmatrati svaku reetku ponaosob i jed-nom od metoda odrediti traene veliine, to se preputa itaocu kao veba.

Intenziteti i karakter optere-enja tapova za obe reetke su prikazani u sledeim tabelama.

Broj tapa i 1 2 3 4 5 6 7sila (+) [ ] S i kN 3,83 3,61 1,96sila (-)[ ] S i kN 18,38 2,86 3,95 17,39

Broj tapa i 8 9 10 11 12 13 14sila (+) [ ] S i kN 0,83 1,18sila (-)[ ] S i kN 0,83 14,16 1,18 15,83 0,83

Broj tapa i 15 16 17 18 19 20 21 22sila (+) [ ] S i kN 2,75 0,83 3,94 4,17sila (-)[ ] S i kN 19,88 4,72 3,11 21,21

Slika 1.17

Ravanske reetke 23

Primer 1.6 Za reetke sa Slike 1.17 odrediti i diskutovati karakter opteree-nja tapova. Usvojiti da je F F kN P P P kN Q Q kN1 7 = = = = = = = =... , , ,2 50 251 2 3 1 2G G kN= = =... .11 11

Reenje: Prikazane reetke predstavljaju neke od osnovnih tipova konstrukcionih reenja koja se primenjuju u praksi. Na Slici 1.17a prikazana je tzv. Pratt-ova reetka, kao jedna od najzastupljenijih. Projektovali su je Thomas i Caleb Pratt, 1844. godi-ne u SAD. Zbog karakteristika koje poseduje izveden je itav niz njenih varijacija.

-

1

Slika 1.18

RAVANSKE REETKE24

Konstrukcija ima pored vertikalnih, i dijagonalne elemente koji padaju prema vertikal-noj osi simetrije reetke. Svi dijagonalni tapovi, osim onih na krajevima, su optereeni na zatezanje (Slika 1.18). Zahvaljujui postavljanju vertikalnih tapova, dijagonalni tapovi su rastereeniji, samim tim su mogli biti tanji, ime je ostvaren ekonominiji dizajn reetke. Na taj na-in, izvren je uspean prelaz sa drvenih na me-talne konstrukcije. Za pri-kazano optereenje, in-tenziteti i karakteri sila u tapovima su izraunati i predstavljeni u sledeoj tabeli. Preporuuje se i-taocu da, jednom od pre-thodno opisanih metoda, potvrdi navedene razul-tate.

Broj tapa i 1 2 3 4 5 6 7sila (+) [ ] S i kN 3,57 2 3,69 3,57sila (-)[ ] S i kN 6,14 5,71 1

Broj tapa i 8 9 10 11 12 13 14sila (+) [ ] S i kN 1,23 5,71 0 1,23 5,71sila (-)[ ] S i kN 6,43 6,43

Broj tapa i 15 16 17 18 19 20 21sila (+) [ ] S i kN 3,69 3,57 2 3,57sila (-)[ ] S i kN 1 5,71 6,41

Reetku tipa Howe (Slika 1.17b) patentirao je 1840. godine ameriki pronala-za William Howe. Ona je slina Pratt-ovoj, ali se dijagonalni elementi penju prema vertikalnoj osi simetrije reetke. Vertikalni elementi su optereeni na zatezanje, dok su dijagonale pritisnute (Slika 1.19). Stoga je konstrukcija neekonomina za eline mostove i u praksi se danas ree sree, mada je u prolosti bila u irokoj upotrebi pri konstrukciji eleznikih mostova. Kod tih mostova obino su vertikale izraivane od elika, a dijagonale od drveta. Upravo zbog takvog karaktera optereenja i ma-

Slika 1.19

Ravanske reetke 25

terijala koji je korien za dijagonalne elemente, ove konstrukcija su bile vrlo nepouzdane. One su smat-rane uzronikom velikog broja ruenja mostova, te eleznikih nesrea.

Sledi tabelarni prikaz optereenja tapova ove reetke.

Broj tapa i 1 2 3 4 5 6 7sila (+) [ ] S i kN 3,57 5 5,71 3sila (-)[ ] S i kN 6,14 3,57 3,69

Broj tapa i 8 9 10 11 12 13 14sila (+) [ ] S i kN 6,43 2 6,43sila (-)[ ] S i kN 5,71 1,23 5,71 1,23

Broj tapa i 15 16 17 18 19 20 21sila (+) [ ] S i kN 3 5,71 5 3,57sila (-)[ ] S i kN 3,57 3,69 6,14

Reetku tipa Warren (Slika 1.17c), patentirali su 1848. godine James Warren i Willoughby Monzoni u Velikoj Britaniji. Ona je jedna od najjednostavnijih tipova reetki, prepoznatljiva po osnovnim elementima oblika jednakostraninog trougla. Ovaj oblik se koristi za premoenje manjih raspona 50-100m. U praksi se sreu i varijacije osnovnog oblika sa dodatkom vertikala u cilju ostvarenja veih raspona. Opadajue dijagonale (Slika 1.20) su optereene na zatezanje (kao kod Pratt-ove re-etke), a rastue na pritisak (kao kod reetke tipa Howe).

Prikaz intenziteta i karaktera sila u tapovima ove reetke je dat u narednim tabelama.

Slika 1.20

Slika 1.21

RAVANSKE REETKE26

Broj tapa i 1 2 3 4 5 6 7sila (+) [ ] S i kN 4,04 5,77 1,15 8,66sila (-)[ ] S i kN 8,08 6,93 3,46

Broj tapa i 8 9 10 11 12 13 14 15sila (+) [ ] S i kN 1,15 8,66 5,77 4,04sila (-)[ ] S i kN 9,24 3,46 6,93 8,08

Na Slici 1.17d prika-zana reetka sa tzv. K-is-punom. Ona se primenju-je kod visokih reetkastih konstrukcija, jer podupi-rue dijagonale smanjuju mogue deformacije ver-tikalnih tapova. Nekada-nji Varadinski most u Novom Sadu posedovao je reetkastu konstrukciju ovakvog tipa.

Za zadato optereenje ove reetke, ematski prikaz optereenja tapova je prika-zan na Slici 1.21, a tabelarni prikaz je dat nie.

Broj tapa i 1 2 3 4 5 6 7sila (+) [ ] S i kN 83,33 25 100 72,89sila (-)[ ] S i kN 130,17 83,33 72,89

Slika 1.22

Ravanske reetke 27

Broj tapa i 8 9 10 11 12 13 14 15sila (+) [ ] S i kN 83,33 12,5 37,5 24,3 145,83 25sila (-)[ ] S i kN 145,83 24,3

Broj tapa i 16 17 18 19 20 21 22sila (+) [ ] S i kN 24,3 145,83 12,5 37,5sila (-)[ ] S i kN 145,83 24,3 83,33

Broj tapa i 23 24 25 26 27 28 29sila (+) [ ] S i kN 72,89 83,33 25 100 83,33sila (-)[ ] S i kN 72,89 130,17

Baltimorova reetka (Slika 1.17e) je varijacija Prattove. Osnovna modifi -kacija se ogleda u postoja-nju tapova ispune. Na ovaj nain postignuto je skrae-nje tapova donjeg pojasa i dijagonala, to je od znaaja kod mostovskih konstruk-cija. Karakter optereenja tapova je prikazan na Slici 1.22, odnosno u sledeoj ta-beli. Svi horizontalni tapo-vi donjeg pojasa su zategnuti, pri emu intenziteti u tapovima od take A do C i D do B iznose 5,5kN. Intenziteti sila u tapovima od take C do D su 8,5kN.

Broj tapa i 1 2 3 4 5 6 7 8 9sila (+) [ ] S i kN 1 2 4,24 1sila (-)[ ] S i kN 7,78 7,07 0,71 8 0,71

Broj tapa i 10 11 12 13 14 15 16 17sila (+) [ ] S i kN 3,54 1,41 1 0,71 0sila (-)[ ] S i kN 1 9 0,71

A B

1

2

34

5

6

7

89

10

11

12

13

1415

16

17

18

1920

21

2223

24

2526

27

2829

3031

32

33

C D

G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11

RAVANSKE REETKE28

Broj tapa i 18 19 20 21 22 23 24 25sila (+) [ ] S i kN 0,71 1 1,41 3,54sila (-)[ ] S i kN 9 0,71 1 8

Broj tapa i 26 27 28 29 30 31 32 33sila (+) [ ] S i kN 1 4,24 2 1sila (-)[ ] S i kN 0,71 0,71 7,78 7,07

/ColorImageDict > /JPEG2000ColorACSImageDict > /JPEG2000ColorImageDict > /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict > /GrayImageDict > /JPEG2000GrayACSImageDict > /JPEG2000GrayImageDict > /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict > /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False

/Description > /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ > /FormElements false /GenerateStructure true /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles true /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged /UseDocumentBleed false >> ]>> setdistillerparams> setpagedevice