staticki odredjeni nosaci zadaci dio1

7/25/2019 Staticki Odredjeni Nosaci Zadaci Dio1

1/25

2.1 PROSTE GREDE I GREDE S PREPUSTOM

Zadatak 4Za nosac i opterecenje na slici2.6:

a) nacrtati dijagrame momenata, transverzalnih i normalnihsila,

b) nacrtati uticajne linije za presjecne sile u naznacenim pres-jecima,

c) rezultate dobijene pod a) kontrolisati preko uticajnih linijadobijenih pod b)

2m 5m 1m 1m 3m

1m

60kN

p = 20kN/m

80kNm2

3 1

1.0

1.0

Slika 2.6

Rjesenje

a) Dijagrami presjecnih silaOdredivanje reakcija

2m 5m 2m 3m

60kN

40kN20kN m

p = 20kN/m p = 20kN/m

x

x80kN m

AH

AV BV

A

BC

Slika 2.7

: AH= 60kN

A: 7 20 1.5 + 40 5 20 + 60 8.5 80BV 10 = 0 BV = 82kN

B : AV 10 140 8.5 40 5 20 60 1.5 80 = 0

AV= 158kN

Provjera : 158 + 82 40 10 20 = 0

2m

1m

60kN

40kN

60kN

20kN m

p = 20kN/m

x

x1

C

E D

Slika 2.8

Presjecne sile

Dio D-E

0 x < 2M(x) = 20 x x

2 = 10x2

T(x) = 20x

N(x) = 0

Dio E-C

0 x1 1M(x1) = 40 + 60 x1T(x1) = 60

N(x1) = 40

Dio A-B

0 x 2M(x) =

20

xx

2 =

10x2

T(x) = 20x

N(x) = 0 x 0 2

M 0 40T 0 40N 0 0

2 x 7M(x) = 20 x x

2+ 158 (x 2) = 10x2 + 158x 316

T(x) = 20x 158N(x) = 60 x 2 7

M 40 300T 118 18N 60 60

0 x 3

M(x) = 80 + 82 x 20 x x

2 = 10x2 + 82x+ 80

T(x) = 82 20x

N(x) = 0 x 0 3

M 80 236T 82 22N 0 0

3 x 5M(x) = 80 + 82 x 60(x 1.5) = 22x+ 170T(x) = 82 3 20 = 22N(x) = 0 x

3 4 5

M 236 258 280T 22 22 22N 0 0 0

Biljeske sa vjezbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika,,, siljak.ba 23
http://-/?-http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-


2/25

2. PRORACUN PRESJECNIH SILA NA STATICKI ODREDENIM NOSACIMA

40

300

280 2

36

80

40

20

40

M

-

+

-

258

40

118

18

22

22

82

40

60

T

+

- -

+

+22

60

60

40

N

-

-

b) Uticajne linijeVertikalna pokretna sila 1

A: BV 10 1.0 (x 2) = 0 BV = x 2

10

B : AV

10

1.0

(12

x) = 0

AV = 12 x10

2m 5m 1m 1m 3m

1m2

3 1

1.0

1.0A B

C

E D

Slika 2.9

Presjek 1

0 D

M1 = 4 BV = 4 x 210

T1 = BV = x 2

10

N1 = 0

D B

M1 = 6 AV = 6 12 x10

T1 = AV = x 1210

N1 = 0

Presjek 2

0 2

M2 = 1.0 (2 x) = x 2T2 = 1.0

N2 = 0

2 B

M2 = 0

T2 = 0

N2 = 0

Presjek 3

0 3

M3 = 5 BV = x

2

2

T3 = BV = x 2

10

N3 = 0

3 B

M3 = 5 AV = 12 x2

T3 = AV = x 1210

N3 = 0

24 Statika Konstrukcija I- siljak.ba/statika,,, siljak.ba
http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statika


3/25

2.1 PROSTE GREDE I GREDE S PREPUSTOM

2m 5m 1m 1m 3m

1m2

3 1

1.0

A B

C

E D

-0

.2

1

BV

+

1.

2

AV

+

0.

8

2.

8

1.

8

M1

+

0.

2

0.

7

0.

3

T1+

0N1

2

0M2

-

1 1

0T2

+

0N2

1

2.

5

M3

+

-

0.

2

0.5

0.

5

T3 -

+

0N3

Slika 2.10

Horizontalna pokretna sila

: AH= 1.0

A: BV 10 1.0 y= 0 BV = y

10

B : AV

10 + 1.0

y= 0

AV = y10

Presjek 1

M1 = 4 BV = 25

y

T1 = BV = y

10

N1 = 0

Presjek 2

M2 = 0

T2 = 0N2 = 0

Presjek 3

M3 = 5 AV = y2

T3 = AV = y10

N3 = AH= 1.0

2m 5m 1m 1m 3m

1m2

3 1

1.0A B

C

E D 1

AH+

0.1

BV+

0.1

AV-

0.4

M1

+

0.1

T1+

0 N1

0M2 T2 N2

0.5

M3

-

0.1

T3+

1

N3+

Slika 2.11

http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statika


4/25


c) Provjera presjecnih sila koristeci uticajne linije

Posto vrijednost uticajne linije mpredstavlja vrijednost uticaja(dakle momenta, poprecne ili normalne sile) u posmatranompresjeku ili reakcije na mjestu reakcije, od sile P = 1, vrijednostuticaja od stvarnog opterecenja cemo dobiti mnozeci vrijednostiuticajne linije sa opterecenjem.

Zr =i

Fi i+ q(x) (x) dx (2.1)gdje su

Zr - stvarna vrijednost uticaja (reakcija, momenat,poprecna ili normalna sila) u posmatranom presjeku (zapresjecne sile),

Fi - stvarne koncentricne sile,

i - vrijednosti uticajne linije ispod mjesta djelovanja kon-centricnih silaFi,

q(x) - stvarno promjenjivo opterecenje. U slucaju da je

q(x) =constonda moze izaci ispred integrala pa je vrijed-nost uticaja od ravnomjerno podjeljenog opterecenja

Zr = q

(x) dx (2.2)

Integral

(x) dxpredstavlja povrsinu koju funkcija (x)

zatvara sax osom. Posto su kod staticki odredenih nosacauticajne linije uvijek linearne funkcije, onda se povrsinaispod uticajne linije uvijek moze proracunati bez integral-jenja, vec direktnim racunanjem povrsine geometrijske fig-ure koju zatvara uticajna linija. Na primjer prvi clan usljedecoj jednakosti kod proracuna vrijednosti momenta

M1,

0.8

2

2 predstavlja povrsinu trougla koji uticajna lin-ija za M1 zaklapa, za vrijednosti 0 x 2, koja jeonda pomnozena sa vrijednosti kontinualnog opterecenja20. Predznaci se naravno uvazavaju kako uticajnih linijatako i opterecenja.

M1 = 0.8 22 20 +2.8 7

2 20 +1.8 3

2 20 + 80

3 1.8

60 25

= 258

T1 = 0.2 20 + 2.45 20 0.45 20 80 0.1

60

0.1 = 22

N1 = 0

M2 = 40T2 = 40

N2 = 0

M3 = 20 + 125 + 125 + 80 0.5 + 30 = 300T3 = 4 + 25 25 80 0.1 60 1

10 = 18

N3 = 60 1.0 = 60



5/25


Zadatak 8Za dati nosac i opterecenje na slici2.17:

a) Provjeriti staticku odredenost,

b) Nacrtati dijagrame momenata, transverzalnih i normalnihsila,

c) Nacrtati uticajne linije za M, T i N a za naznaceno kretanjejedinicne sile,

d) Rezultate dobijene pod b) kontrolisati preko uticajnih lin-ija dobijenih pod c).

2m 2m 2m 3m 2m 3m 2m 2m 1 1

8m

100kNp = 20kN/m

80kNm

1 2 3

1.0

Slika 2.17

Rjesenje

a) Provjera staticke odredenosti

SS K= 2n (s + c + r) = 2 9 (8 + 3 + 7) = 0

Staticki odreden nepokretan sistem.

b) Reakcije i presjecne sile

2m 2m 2m 3m 2m 3m 2m 2m 1 1

8m

100kNp = 20kN/m

80kNm

40

40

S1 S2

S3

11.642m

A

xA

B

xB

Slika 2.18

A - presjekS1

i S2

3

8yA = 2

8yA+ 2 yA = 3.2

xA = 3

8 3.2 = 1.2

B - presjekS2 i S3

3

8yB = 2

8yB+ 5 yB = 8

xB = 3

8 8 = 3

A :S3 11.642 40 13.2 100 6.2 + 180 0.3 = 0

S3 = 93.97kN

B :S1 11.642 180 7.5 100 1 + 40 6 = 0

S1 = 103.93kN

:S2 cos S1 cos S3 cos = 0

S2 = 136.7kN

-40

-104.

2

-6.

54

16

0

80

52

.

5

+

--

+

M

40

-60.

83

79.

17

-48.

83

51.

17

-40

52.

5

-

+

-

+

-

T

25.

2

-22.

79

-103.9

-136.7

-93.97

+-

-

-

-

N

http://-/?-http://-/?-http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-


6/25

2.2 RAVNI NOS ACI SA ZGLOBOVIMA

c) Uticajne linije

0 x 18

S1 = 12 x11.642

S2 = 0.428

S3 = x 4.8

11.642

RC= 0

18 x 20

S1 = (x 20) 0.258

S2 = 0.214x + 4.277

S3 = (20 x) 0.567

RC= x 18

2

Presjek 1

0 1

M1 = 1 (2 x)T1 = 1 S1 sin = 0.083 x

N1 = S1 cos = 0.0208(12 x)1 D

M1 = 0

T1 = S1 sin = 0.0833 (12 x)N1 = S1 cos = 0.0208(12 x)

D C

M1 = 0

T1 = S1 sin = 0.25 (20 x)N1 = S1 cos = 0.0625(20 x)

Presjek 2

0 2

M2 = 3S3sin = 0.25(x 4.8)T2 = S3sin = 0.3996 + 0.0833x

N2 = S3 cos

2 D

M2 = 3S3sin 1(x 11) = 0.25(x 4.8) x + 11T2 = 1.399 + 0.0833x

N2 = S3 cos

D C

M2 = 1.85x 37T2 = 0.05x + 1

N2 = S3 cos

Presjek 3

0 3

M3 = RC 1 = x 182

T3 = RC= x 18

2

3 C

M3 = RC 1(x 19) = x 182 x + 19

T3 = RC 1 = x 182 1

18m 2m

x

RC

S1S2 S3

1.0D C

1 2

3

0.

412

1.134

S3

+

-

1.03

0.515

S1

+

-

0.

428

0.

428

S2 +

1

RC+

2

M1-

0.166

0.833

0.5

T1-

+

0.25

0.125

N1 +

1.199

1.55

3.

7

M2

-

+

-

0.3996

0.517

0.

48

0.1

T2 +

-

0.01

-0.295

N2 -

0.5

M3 +

0.5

-0.5

T3 +

-

N3



7/25


d) Provjera rezultata

M1 = 40T1 = 3.32 3.79 20 100 0.0833 + 80 0.24975 = 60.83

N1 = 1.406 20 + 0.02083 100 80 0.0625 = 25.2

M2 = 20 4.8 1.1992

+ 204.2 1.05

2 + 100 1.5497

1.85 80 = 6.5T2 = 19.169 48.33 + 4 + 14.7 = 48.8

N2 = 4.79 3.67 12.92 11 = 22.8

M3 = 0.5 80 = 40T3 = 0.5 80 = 40

N3 = 0



8/25

2.3 TROZGLOBNI I SRODNI NOSACI

Zadatak 11 Odrediti reakcije, presjecne sile i uticajne linije zanosac na slici2.23

10kN/m

R = 5m

B

A

R=

5m

BH

AH

AV

Slika 2.23

Rjesenje

Reakcije

: AV 10 5.0 = 0 AV = 50kN

A: BH 5 10 5 2.5 = 0 BH= 25kN : AHBH= 0 AH= 25kNPresjecne sile

B

A

R cos

R = 5m

c

N

TM

10kN m

= 90

AH

AV

Slika 2.24

c : M+ AHR sin AV R (1 cos )

+ 10 R2 (1 cos )2

2 = 0

M= AV R (1 cos )AHR sin

10 R2 (1 cos )2

2

= 50 5 (1 cos ) 25 5 sin

10 52

(1 cos )2

2

= 250 (1 cos ) 125 sin 125 (1 cos )2

= 125 ( sin cos2 + 1)= 125 (sin2 sin )

Suma horizontalnih i vertikalnih sila daje

H = 25V = 50 10 5 (1 cos )

Koristeci odnose sin(90 ) = cos i cos(90 ) = sin dobijamo obrazce za transformaciju

N = H sin V cos T = H cos + V sin

i konacno normalnu i poprecnu silu u zavisnosti od ugla

N = 25 sin 50 cos2 T = 25 cos + 50 cos sin

23.98

31.25

25.891

4.504

.11

25.00

11.65

0.00

7.32

9.156

.03

50.00

53.12

50.00

42.683

4.15

27

.50

25.

00

M

T

N

-

-

+

-

Slika 2.25

http://-/?-http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-


9/25


Zadatak 16Za konstrukciju na slici2.31:

a) odrediti stepen staticke neodredenosti,

b) proracunati reakcije, presjecne sile i nacrtati dijagramepresjecnih sila,

c) proracunati i nacrtati uticajne linije za reakcije, momenat,poprecnu i normalnu silu u presjecima 1,2 i 3

d) kontrolisati presjecne sile u presjecima1,2i3proracunatepod tackom b) koristeci uticajne linije proracunate podtackom c),

e) proracunati pomjeranje tacke A.

6m

2m

5m 2m

10kN/m

c = 104kN/m

EI =EA =

A

B

G

1.0

1

23

Slika 2.31

Rjesenje

a) Stepen staticke neodredenosti

SS K= 2 n (s + c + r) = 2 5 (5 + 1 + 4) = 0 Staticki odreden nepokretan sistem.


6m

x

2m

5m 2m

10kN/m

x

c = 104kN/m

A

B

GC

D

BV

BH

AV

AH

Slika 2.32

GD

: AV 2AH 2 = 0 AH=AV

B : AV 7 + AH 4 10 5 2.5 = 0AV 7 + AV 4 125 = 0 AV =AH= 11.36kN

A : BV 7BH 4 10 5 4.5 = 0 1.5

GL

: BV 5BH 6 10 5 2.5 = 0

BV (7 1.5 5) 225 1.5 + 125 = 0 BV = 38.63kN

BH= (38.63 7 225)/4 BH= 11.36kN

Provjera

: BHAH= 11.36 11.36 = 0 : AV + BV 10 5 = 11.36 + 38.63 50 = 0

Presjecne sile

Dio B-C

0 x 6M(x) = BH x= 11.36 xT(x) = BH= 11.36

N(x) = BV = 38.64 x 0 6

M 0 68.18T 11.36 11.36N 38.64 38.64

Dio C-G

0 x 5M(x) = BH 6 + BV x 10 x x

2

= 11.36 6 + 38.63 x 5 x2T(x) = BV + 10 x= 38.63 + 10 xN(x) = BH= 11.36

x 0 5

M

68.18 0.00

T 38.64 11.36N 11.36 11.36

Dio G-A

M(x) = 0

T(x) = 0

N(x) = AV sin45AH cos 45 == 11.36 sin45 11.36 cos 45 = 16.07kN

c) Uticajne linije C G

GD

: AV 2AH 2 = 0 AH=AV

B : AV 7 + AH 4 1 x= 0AV 7 + AV 4 x= 0 AV =AH= x

11

: BH=AH= x11

GL

:BV 5BH 6 1 (5 x) = 0BV 5 x

11 6 5 + x= 0

BV = 111

x + 1 x 0 5

AV 0 5/11

AH 0 5/11

BV 1 6/11

BH 0 5/11



10/25

2.3 TROZGLOBNI I SRODNI NOSACI

68.18

68.

18

-

-

M

11.36

11.36

38.

64

11.

36

+ T

38.64

38.64 11.

36

11.

36

16.07

16.07-

-

-

N

Slika 2.33

G D

GD

: AV 2AH 2 1 (x 5) = 0

B : AV 7 + AH 4 1 x= 0(2 2 + 7)AV 2 (x 5) x= 0 AV = 3x 10

11

AH=AV 7 + x

4 = 3x1011 7 + x

4

AH = 70 10x44

: BH=AH= 70 10x44

GL

: BV 5BH 6 = 0

: BV = 6

5BH=

6(70 10x)220

x 5 7

AV5/11 1

AH5/11 0

BV6/11 0

BH5

/11 0

Presjek 2

C G

M2 = 0

T2 = 0

N2 = 0

G D

M2 = 0

T2 = 0

N2 = x 5

2

Presjek 1

C G

M1 = 0

T1 = 0

N1 = AV sin 45AH cos 45 =

=

2

2

x

11

2

2

x

11 =

2

11x

x 0 5

N1 0 0.643G D

M1 = 0

T1 = 0

N1 = AHcos 45

= 70 10x44

12

2

= 70 10x44

22 2

2=

= (70 10x)

2

44x 5 7

N1 0.643 0Presjek 3

C G

M3 = BH 6 = 611

x

T3 =

BV =

1

11

x

1

N3 = BH= 111

xx 0 5

M3 0 2.727T3 1 0.545N3 0 0.455

G D

M3 = BH 6 = 6 70 10x44

T3 = BV = 6(70 10x)220

N3 = BH= 70 10x44

x 5 7

M3 2.727 0T3 0.545 0N3 0.455 0



11/25


0.

455

1

AV+

0.

455

AH+

0.

455

BH+

1

0.

545

BV

+

1

N2

-

-0.

643

N1

-

-2.

727

M3

-

-1

-0.

545

T3

-

-0.

455

N3-

Slika 2.34

d) Provjera presjecnih sila koristeci uticajne linije

N1 =0.643 5

2 10 = 16.08kN

M3 =2.727 5

2 10 = 68.18kN

T3 = 1 + (0.545)2

5 10 = 38.63kN

N3 =0.455 5

2 10 = 11.36kN

e) Pomjeranje tacke A

A = AV

c =

11.36kN

104kN/m = 0.001136m



12/25


Zadatak 18Za konstrukciju na slici2.36proracunati:

a) Dijagrame presjecnih sila,

b) Uticajne linije za presjecne sile u datim presjecima.

4m 3m 3m 4m

2m

3m

2m

4m

80kN

p = 20kN/m

100kNm

1 2m

3

2

1.0

Slika 2.36

Rjesenje

Odredivanje reakcija

D2

D1

HH

AV

AH

BV

G

A

C

D

K

B

F

E

4m 3m 3m 4m

2m

3m

2m

4m

80kN

p = 20kN/m

100kNm

Slika 2.37

A : 100 + 14 BV 20 7 10.5 80 3 = 0 BV= 115kN

B : 100 + 140 3.5 80 3AV 14 = 0 AV = 25kN

: 80AH = 0 AH= 80kN

GL : 80 4 + H 4AH 7AV 7 = 0 H= 103.75kN

Presjecne sile

MC= 160

MK = 170.83

MD = 32.49MB = 100

ME = 107.5maxMGE = 74.66

D1 = 38.67D2 = 71.3

TA= 80TDC = 10.83TDK = 69.17

TLD = 69.17

TDD = 4.46

TLF = 69.17TDE = 69.17TLE = 82.1

TDG = 52.5TLG = 4.46

NA = 25NDC = 42.29NDD = 106.63

NB = 115NLF = 132.3NLE = 131.4NDG = 92.94

32.

5

170.8

32.5

160

107

.5

100

100

107.5

+

+

-

-

M

4.

46

69.1710.82

80

52

.5

82

.1

69.17

69.17

-

+

-

+ -

T

106

.63

42.3

25

71.3

38

.67

-103.

75

92

.9

131

.4

38

.67

71

.3

-115

-132.3

-

-

+

+

+

-

+

+

-

-

N



13/25

2.4 OJACANI, PODUPRTI I OBJESENI NOSACI

D2

D1

HH

4m 3m 3m 4m

2m

3

m

2m

4m

1.0

AV BV

32

1

1

AV

+

1

BV

+

0.

875

H+

1.

714

M01

+

1.

25

1.

07

M1

-

+

0.

857

-0.

143

T01

+

0.

24

0.

755

0.

206

T1+

0.

979

0.

48

0.

201

N1

-

0.

583

T2+

1

0.

646

N2-

0.

601

N3+

G

Presjek 1

H= M0G

4

M1 = M0

1 H 2.571

T1 = T0 cos H sin

N1 = T0 sin H cos cos = 0.9615

sin = 0.2747

Presjek 2

M2 = 0

T2 = 0.666 H

D2 = 0.687

H

N2 = ADV2= A 0.1667 H

Presjek 3

M3 = 0

T3 = 0

N3 = D2 = 0.687 H

http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statika


14/25

2.5 RESETKASTI NOSACI

Zadatak 19 Odrediti reakcije, presjecne sile i uticajne linijeu oznacenim stapovima za resetku prikazanu na slici 2.38.Presjecne sile kontrolisati integracijom uticajnh linija.

100kN

50kN

50kN

1m 1m 1m2m 1m 1m 1m

1m

1m

1m

1m

1.0

Slika 2.38

Rjesenje

100kN

50kN

50kN

AV

AH

BV

BH

1m 1m 1m2m 1m 1m 1m

1m

1m

G

1m

1m

Slika 2.39

Reakcije

A: BV 6 + BH 2 100 4 50 2 + 50 2 = 0

GD : BV 2BH 2 = 0

BV =BH

:BV 8 = 400 BV =BH = 50

AHBH= 0 AH = 50

B : AV 6AH 2 100 2 50 4 50 8 = 0 AV= 150kN

Presjecne sile

2L: S3 1 50 1 50 5AH 3 + AV 3 = 0 S3 = 0

4L: S1

2 + 50 4 + AH 4AV 2 = 0 S1 = 70.71kN

I

III

II

100kN

50kN

50kN

AV

AH

BV

BHS1

S1

S4

S4

S3 S3

S2

S2

1m 1m 1m2m 1m 1m 1m

1m

1m

G

1m

1m

1

2

34 5

4

50kN

S2

S3

S5

S6

Slika 2.40

Cvor 2

S5 = 0

Cvor 4

S6 = 0 :S2 = 50kN

Cvor 3

:S4 cos(45) + 50 = 0 S4 = 70.71kN

Uticajne linije

3 G

GD : BV 2H 2 = 0 H= BV

A: BV 6 + H 2 1 x= 0

H= BV =

x

8

G 5

GL: AV 4H 4 = 0 H= AV

B : AV 6H 2 (6 x) 1 = 0 H= AV = 6 x

4



15/25


S1

S1

S4

S4

S3 S3

S2

S2

AV

H

BV

H

1m 1m 1m2m 1m 1m 1m

1m

1m

1m

1m

1.0

-0.

25

0.

5

H+

1.

25

0.

5

AV

+

-0.

25

0.

5

1

BV

+

-0.

35355

0.

35355

-0.

7071

S1+

-1

S2

-

0.

5

-0.

75

S3

-0.5

-1.

4142

S4

-

1

2

34 5

Slika 2.41

SilaS1

3 4

4D : S1

2 + H 2BV 4 = 0 S1 =

2 (2 BV H)

4 5

4L: S1 2 + H 4AV 2 = 0 S1 =

2 (AV 2 H)

SilaS2

3 4

: S2 S1

2

2 + BV = 0

S2 = BV S1

2

2

4 5

:S2+ S1

2

2 + AV = 0

S2 = AV S1

2

2

SilaS3

3 2

2D: S3 1 + BV 3H 1 = 0 S3 = H 3 BV

2 5

2L: S3 1 + AV 3H 3 = 0 S3 = 3 H 3 AV

SilaS4

0 x 2

:S4

2

2 1.0 2 x

2 = 0

S4 =

2

2 (2 x)

Integracija uticajnih linija

S1 = 0.35355 50 + 0.35355 50 0.7071 100 = 70.71kNS2 = 1 50 = 50.0kNS3 = 0.5 50 0.5 50 + 0 100 = 0.0kNS4 = 1.4142 50 = 70.71kN



16/25


Uticajna linija zastapS11

Za polozaj jedinicne sile iznad tacke 3 proracunavamo reakcije

BV = 0.25AV = 1.25

H= 0.25

i sile ustapovimaS4, S7, S8, S9, S10

S4 = 1.414S7 = 0.5S8 = 1.0

S9 = 1.50S10 = 0.353

Iz uslova ravnoteze vertikalnih sila u presjeku III III dobijamo

S11 sin(45) + S7+ S4 sin(45) = 0 S11 = 0.707

Kad je jedinicna sila iznad oslonca A sile u svim stapovima sujednake nuli osim u vertkalnim stapovima iznad oslonca A. Kadse jedninicna sila nalazi iznad tacke 4 proracunavamo kao zapolozaj iznad tacke 3.

I

III

II

III

III

AV

H

BV

HS1

S1

S10

S10

S4

S4

S11

S11

S3 S3S8 S8

S2

S2

S7

S7

S9

S9

1m 1m 1m2m 1m 1m 1m

1m

1m

G

1m

1m

1

2

34 5

4

S2

S3

S5

S6

1.0

-0.

7071

0.

7071

S11+

1

2

34 5

Slika 2.42



17/25


Zadatak 1Studentsko pitanje je bilo kako je vrijednost uticajnelinije M1 ispod zgloba G 1.0? Posto je nesto slicno moguceda dode i na ispitu reci cemo i za ostale studente da se radi ozadatku datom u dokumentuVjezbe6-Z1-Z2-Z3- prvi zadataku ovom dokumentu, pod oznakom 42

Slika 2.52: Plavom bojom je oznaceno M01

; crvenom bojom jeoznaceno H y

Ponovicemo formule date na slici desno, dakle momenat

M1 = M0

1 H y

H= M0G

f

gdje jeM01 momenat kao na prostoj gredi dakle momenat odvertikalnog opterecenja koje djeluje na neku zamisljenu prostugredu od oslonca A do B. (u ovom zadatku fi yoznacavaju istu

vrijednost jer je greda paralelna sa zategom)Proracunajmo vrijednostM01 ispod zgloba G.

VrijednostM01 ispod presjeka

1 je (dakle maksimalna vrijed-

nost)

pr1M0

1 = l1l2l1+ l2

= 11 7

18 =

77

18

VrijednostM01 ispod zgloba G

GM0

1 =77

18

11 9 = 77

22 =

7

2 = 3.5

Proracunajmo sad vrijednost H ispod zgloba GVrijednostM0G ispod zgloba G je (l1 = 9, l2 = 9)

M0G = l1l2l1+ l2

= 9 99 + 9

= 81

18 =

9

2 = 4.5

saf= 3 dobijamo

GH= 4.5

3

KonacnoM1 ispod zgloba G

GM1 =G M0

1 3 GH= 3.5 3 4.53

= 1

Kad smo vec ovdje proracunajmo i vrijednost M1ispod presjeka

1 koja je na slici data sa0.777

Dakle, vrijednostM01 ispod presjeka

1 je (vec proracunata)

pr1M0

1 = 77

18

Proracunajmo vrijednost H ispod presjeka

1

M0G ispod G (vec proracunato)

M0G = 4.5

M0G ispod

1

pr1M0

G = 4.5

9 7 = 3.5

pa je

pr1H= 3.5

3

KonacnoM1 ispod presjeka

1

pr1M1 =pr1 M0

1 3 pr1H= 7718 3 3.5

3 = 0.7778

(na oznake uticajnih linija staviti navodnike: M1)

http://siljak.ba/statika/statikai/Vjezbe6-Z1-Z2-Z3.pdfhttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statika/statikai/Vjezbe6-Z1-Z2-Z3.pdf


18/25


Zadatak 2Za konstrukciju na slici2.53


b) proracunati reakcije, presjecne sile i nacrtati dijagramepresjecnih sila,

c) proracunati i nacrtati uticajne linije za reakcije, momenat,poprecnu i normalnu silu u presjeku 1,

d) kontrolisati presjecne sile u presjeku 1 proracunate podtackom b) koristeci uticajne linije proracunate pod tackomc).

5m

3m

3m 3m 2m 2m

10kN/m

100kN1.0

1.0

1

Slika 2.53

Rjesenje

5m

3m

3m

F G

x

x

3m 2m 2m

D

E

R

R

AV

BV

BH

CV

CH

10kN/m

100kN

Slika 2.54

Reakcije

C: R 4 10 42 1

3 4 = 0

R= 6.67kN

D: CV 4 10 42 2

3 4 = 0

CV = 13.33kN

B : AV 8 100 5R 2 = 0 AV = 64.17kN

E: BV 8 100 3R 6 = 0 BV = 42.50kN

BH = 0

Presjecne sile

Dio D-C

0 x 4

M(x) =R x ( 104 x) x2

x 3

= 6.67 x 0.417 x3

T(x) = R +(10

4 x) x

2 = 6.67 + 1.25 x2

N(x) = 0

x 0 4

M 0 0T 6.67 13.33N 0 0

Dio E-F

0 x 3M(x) = AV x= 64.17 xT(x) = AV = 64.17N(x) = 0

x 0 3

M 0 192.51T 64.17 64.17N 0 0

Dio F - G

3 x 6M(x) = AV x 100 (x 3) = 35.83 x + 300

T(x) = AV+ 100 = 35.83N(x) = 0

x 3 6

M 192.51 85.02T 35.83 35.83N 0 0

Dio G - B

6 x 8M(x) = AV x 100 (x 3)R (x 6) = 42.5 x + 340.02T(x) = AV+ 100 + 6.67 = 42.5N(x) = 0

x 6 8

M 85.02 0T 42.5 42.5N 0 0



19/25


192.5

85

M

+

-64.17

35.83 42.5

-6.67

13.33

T

-

+

Mmax = 10.268

xmax

-64.17

-64.17

-6.67

-6.67

N

-

Slika 2.55

Uticajne linijeVertikalna pokretna sila 1 na gredi D-C

C: R 4 1.0 (4 x) = 0

R= 4 x

4

B : AV 8R 2 = 0

AV =

4

x

4 2

8 =

4

x

16

E: BV 8R 6 = 0

BV = 4 x

4 6

8 =

(4 x) 316

Presjek 1

D C

M1 = AV 3 = (4 x) 3

16

T1 = AV = 4 x

16

N1 = 0

Vertikalna pokretna sila 1 na gredi E-B

E: BV 8 1.0 x= 0 BV = x

8

B : AV 8 1.0 (8 x) = 0

AV =

8 x8

E F

M1 = 5 BV = 5 x8

T1 = BV = x

8

N1 = 0

F B

M1 = 3 AV = 3 8 x8

T1 = AV = 8 x8

N1 = 0

0.75

M1

+

0.25

T1 -

1.

875

M1

+

0.

375

T1

+

-0.

625

-

1.0

1.0

1

5m

3m

3m

F G

A

B

C

x

x

3m 2m 2m

D

E

R

R

AV

BV

CV

Slika 2.56

Provjera presjecnih sila koristeci uticajne linije

M1 = 100 1.875 +10 42 0.75 1

3= 192.5

T1 = 0.625 100 10 42 0.25 1

3 = 64.167

N1 = 0

gdje je poprecna sila u presjeku1 proracunata lijevo od mjestadjelovanja koncentricne sile, jer je tako dato zadatkom. U

slucaju da je presjek1 desno od sile imali bismo poprecnu silu

T1 = 0.375 100 10 42 0.25 1

3 = 35.83



20/25


Zadatak 3Proracunati reakcije, presjecne sile i uticajne linije unaznacenim presjecima.

b

cd

eg

a

8 a

F F F1.0

Slika 2.57

a= 2.2m, b= 2.33a, c= 1.67a, d= a, e= 0.53a,

g= 0.33a, F = 80kN

Rjesenje

b

c

de

g

f

y2

y1

a

L = 8 a

F F F1.0

AF

A

A

A

H

BF

B

B

B

H

G

s

1

2

O

U

D

N

HH

Slika 2.58

Postavicemo fiktivne oslonceAF iBF. Posto je fiktivni oslonacpostavljen na pravac zglobno vezanog stapa, sila u stapu se nemijenja a time ni reakcija na krajustapa.

Ukupne vertikalne reakcije su

AU=A+ A

BU=B+ B

sa kojima mozemo postaviti sljedece uslove ravnoteze

AF : BU LMA= 0 BU= MAL

BF : AU LMB = 0 AU = MBL

gdje je MA ukupni momenat od opterecenja oko tacke A.Dakle, suma vertikalnih komponenata reakcija jednaka je reak-ciji proste grede istog raspona.

BU= 80 (5 + 6 + 7) 2.2

8 2.2 = 180kN

AU= 80 (1 + 2 + 3) 2.2

8 2.2 = 60kN

Iz uslova ravnoteze momenata oko zgloba G, sa bilo kojestrane, dobijamo velicinu horizontalne komponente reakcije H

H= M0G

f =

60 4 2.25.126 0.726 = 120kN

gdje je M0G momenat oko zgloba G kao na prostoj gredi,dakle momenat od vertikalnog opterecenja koje djeluje na nekuzamisljenu prostu gredu od oslonca A do B i od ukupne reakcijeAU iliBU

Nagib stapa oznacenog na slici sa s se moze proracunati pa je

tan = b c

a =

5.126 3.6742.2

= 0.66

pa se moze proracunati i vrijednost vertikane komponente reak-cije

A = H tan = 120 0.66 = 79.2kN

pa se konacno dobija i

A = AU A = 60 79.2 = 19.2kN

Na isti nacin proracunavamo i reakcijeB i B

B = H tan = 120 5.126 3.6742.2

= 79.2kN

B = BU

B = 180

79.2 = 100.80kN

Kad je poznata sila u prvom stapu mozemo proracunati sve sileduz lancanice krecuci se od cvora do cvora i postavljajuci uslovravnoteze NLcos L NDcos D = 0 (odakle mozemo za-kljuciti da je NLcos L= NDcos D=H; L-lijevo; D-desno)

Presjecne sile u naznacenom presjeku

N= H

cos[

arctan(dea

)] = 1200.905

= 132.59kN

MD2 = 0 BU 6 2.2 80 2.2 (3 + 4 + 5)H b + H d U 2.2 = 0

U= 39.60kN

MD1 = 0

BU 5 2.2 80 2.2 (2 + 3 + 4)H (b + a) + H (e + a) + O 2.2 = 0

O= 36kN

VII= 0

BU 80 3H tan N+ D sin = 0D = 5.09kN



21/25


Uticajne linije

Uticajna linija zaH(maksimalna vrijednost)

H= M0G

f =

l1 l2l f =

8.8 8.817.6 4.4 = 1.0

Uticajna linija zaA (maksimalna vrijednost)

A= H tan = 1.0 0.66 = 0.66Uticajna linija zaA

A= AU H tan

Uticajna linija zaN

N= H

cos N

maxN= 1.0

cos[

arctan(dea

)] = 1.0cos

[arctan

(2.21.166

2.2

)] = 1.105Uticajna linija za silu ustapuU

za silu desno od 2, ravnoteza lijevog dijela:ML2 = 0 AU 2a U aH (b d) = 0

U= 1

a(AU 2aH y2)

za silu lijevo od 2, ravnoteza desnog dijela:MD2 = 0 BU 6a U aH (b d) = 0

U= 1

a(BU 6aH y2)

Konacno, silu u stapu Umozemo zapisati jedinstvenim zapisom

U= 1

a(M02

H

y2)gdje jeM02 momenat u presjeku 2 na zamisljenoj prostoj gredi.

Za silu u stapuO

O= 1

a

(M01 +H y1)

Sila u stapu D

D= 1

sin (T0D H tan )

gdje je T0D uticajna linija za dijagonalu kao na prostoj resetciod A do B, ugao nagiba dijagonale D , ugao nagiba stapa

lancanice u posmatranom presjeku.

b

c

de

g

f

y2

y1

a

L =8 a

F F F

1.0

AF

A

A

A

H

BF

B

B

B

H

G

s

1

2

O

U

D

N

HH

1

H

+

0.7

5

0.5

0.2

5

0.66

A+

0.4

95

0.3

3

0.1

65

1

-0.16

A

+0

.12

0

.08

0

.04

1.105

N

+

0.8

29

0.5

53

0.2

76

0.835

U

+

-0.33

-

0

.248

0

.165

0

.0825

-0.525

O

-

0.3

+

0.2

25

0.1

5 0.0

75

D-

0.689

0.385

0.0424 0.0

318

0.0

212

0.0

106

Slika 2.59

Kontrola presjecnih sila

H= 80 (0.75 + 0.5 + 0.25) = 120.0kNA = 80 (0.495 + 0.33 + 0.165) = 79.2kNA = 80 (0.12 0.08 0.04) =19.2kNN= 80 (0.829 + 0.553 + 0.726) = 132.6kNU= 80 (0.248 0.165 0.0825) =39.6kNO= 80 (0.225 + 0.15 + 0.075) = 36.0kND = 80 (0.0318 + 0.0212 + 0.0106) = 5.09kN



22/25

2.6 TES T 8.5.2014

2.6 Test 8.5.2014



b) proracunati reakcije,

c) proracunati i nacrtati dijagram momenata, poprecnih inormalnih sila.

10kN/m

2 3 6 4 2

stub i greda se mimoilaze

64

Slika 2.60

Rjesenje


SS K= 2n (s + c + r) = 2 7 (7 + 2 + 5) = 0

Staticki odreden nepokretan sistem.b) Proracun reakcija

10kN/m

10kN/m

S1 S2

2 3 6 4 2

15

D E

BH

BH

BV

BV

AVGV

GV

CV

FV

FH

MF

Slika 2.61

GV =AV = 2 10

2 = 10

CV = GV(3 + 6) + 10 15 (3 + 6) 152

4 + 2 = 52.5kN

BH=FH= 0

BV =GV 15 + 10 15 15

24 + 2

= 212.5kN

FV =BV= 212.5kN

MF = 0

c) Presjecne sile

S1 cos(arctan46

) S2 cos(arctan44

) = 0

BV S1 sin(arctan46

) S2 sin(arctan44

) = 0

S2 = 1.1767 S10.5547 S1+ 0.7071 (1.1767 S1) =BV

S1 = 153.24kN

S2 = 180.31kN

MD = GV 3 10 3 1.5 = 75kN m

ME =CV 2 10 2 1 = 125kNTLD =GV + 10 3 = 40kNTDD =T

LD S1 sin(arctan4

6) = 45kN

TLE =TDD + 10 10 = 55kN

TDE =TLE S2 sin(arctan4

4) = 72.5kN

TC=TDE + 10 2 = 52.5kN

ND = S1 cos(arctan46

) = S2 cos(arctan44

) = 127.5

-75

-125

M

26.25 45 + 10 xmax = 0

xmax = 4.5

Mmax = 75 10 4.5 2.25 + 45 4.5 = 26.25kNm

-10

40

-45

55

-72.5

-52.5

xmax

T

153.24

153.24

180.31

180.31

-127.5

-127.5

-212.5N

+

+

-

-

Slika 2.62



23/25


Zadatak 2Za nosac na slici2.63obraditi sljedece:

a) Provjeriti stepen staticke neodredenosti,

b) Proracunati reakcije i presjecne sile u karakteristicnimtackama i nacrtati dijagrame presjecnih sila,

c) Proracunati i nacrtati uticajne linije za naznacene pres-jeke,

d) Presjecne sile dobijene pod b) kontrolisati koristeci utica-jne linije dobijene pod c)

4m

2m

3m 3.5m 2.5m 1m 2m

10kN/m1.0

1 2

Slika 2.63

Rjesenje


SS K= 2 n (s + c + r) = 2 9 (9 + 6 + 3) = 0 Staticki odreden nepokretan nosac


4m

2m

3m 3.5m 2.5m 1m 2m

AV BV

G

C D

E F H J

HH

10kN/m

1 2

Slika 2.64

A: BV 7 12 10 3 = 0 BV = 3607

= 51.43kN

B : AV 7 12 10 4 = 0 AV = 4807

= 68.57kN

Provjera

: AV + BV 12 10 = 0

Sila u zateziH

G

D

: BV 1 10 3 1.5H 2 = 0 H= 3.21kN

Presjecne sile

Dio A-C

0 x 2 x 0 2M 0 0T 0 0N 68.57 68.57

Dio C-F

2 x 4x 2 4

M 0 6.43T 3.21 3.21N 68.57 68.57

Dio B-D

0 x 2x 0 2

M 0 0T 0 0N 51.43 51.43

Dio D-H

2 x 4x 2 4

M 0 6.43T 3.21 3.21N 51.43 51.43

Dio E-F

0 x 3x 0 3

M 0 10 3 1.5 = 45T 0 10 3 = 30N 0 0

Dio F-G

3 x 9

x 3 6.5 9

M 45 6.43

= 51.43

51.43+38.57 3.5

10 3.5 1.75= 22.32

22.32+3.57 2.5

10 2.5 1.25= 0

T 10 3 68.57

= 38.5738.57

+10 3.5= 3.57

3.57 + 10 2.5= 21.43

N

3.21

3.21

3.21

Dio G-H

6 x 7x 6 7

M 021.43 11 10 0.5

= 26.43

T 21.43 21.43 + 10

= 31.43

N 3.21 3.21Dio J-H

0 x 2x 0 2

M 0 10 2 1 = 20T 0 10 2 = 20N 0 0



24/25

2.6 TES T 8.5.2014

6.43 6.43

-45

-51.43

22.32

-26.4320

M

--

+

3.21 -3.21

30

-38.57

-3.57

21.43

31.43

-20

T

-

+

-

+

3.21 3.21

-3.21 -3.21

-68.57

-68.57

-51.43

-51.43

N

+

-

- -

Slika 2.65

c) Uticajne linije

4m

2m

3m 3.5m 2.5m 1m 2m

1.0

1 2

1.4

29

-0.2

86

AV

+

-0

.429

1.2

86

BV

+

-0.2

14

0.4

29

-0.8

57

H-

-3

0.4

29

-0.8

57

1.7

14

M1

+

-

-

+3+

0.4

29=

2.5

71

-0.4

29

-1

0.28

6

T1

-

0.2

14

-0.4

29

0.8

57N1

N2 +

0.4

29

-0.85

7

1.7

14

-1.5

1.7

5

-1

M2

-

-

+

+

-

+

-1.0

71

1.2

5

-0.3

57

0.7

14

-

+ +

M2

-0.4

29

0.5

-0.5

0.2

86

T2

Slika 2.66

http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statika


25/25


d) Provjera presjecnih sila

M1 =

2.571 3

2 0.857 6

2 0.857 1

2 +

1.714 22

10

= 51.42kN m

T1 = 0.429 32

1 72

+0.286 2

2

10

= 38.57kN

N1 =

0.214 3

2 0.429 6

2 0.429 1

2 +

0.857 22

10

= 3.23kN

M2 =

1.071 32

+1.25 3.5

2 +

(1.25 + 0.357) 2.52

0.357 2.5

0.357 12

+0.714 2

2

10

= 22.32kN

T2 =0.429 32 +0.5 3.52 0.5 3.52 +0.286 22

= 3.57kNN2 = N1


a) proracunati reakcije i presjecne sile ustapovimaD i U,

b) proracunati i nacrtati uticajne linije u stapovima D i U,

c) kontrolisati presjecne sile ustapovimaD i Uproracunatepod tackom a) koristeci uticajne linije proracunate podtackom b).

F=

100kN

F=

40kN

2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m

1.5m

1.0

D

U

Slika 2.67

Rjesenje

Reakcije

C= 0 : GV 6 100 2 + 40 2 = 0 GV = 20kN

G= 0 : CV 6 100 4 40 8 = 0 CV= 120kN

A= 0 : BV 4GV 6 = 0 BV = 30kN

B = 0 : AV

4 + GV

2 = 0

AV = 10kN

Presjecne sile

D sin + GV = 0 D= 20/0.6 = 33.33kN

J = 0 : CV 2 40 4 U 1.5 = 0U= 53.333kN

F=

100kN

F=

40kN

GV

GV

2m 2m 2m 2m 2m 2m 2m

1.5m

1.0

1.0

D

UC

BA

J

1

-0.3

33GV

+

-1.6

67

0.5

56

0.5

56

D-

0.8

89

-0.8

89

U+

Slika 2.68

Proracun presjecnih sila koristeci uticajne linije

D = 100 (0.556) + 40 (0.556) = 33.33kNU= 100 0.889 + 40 (0.889) = 53.333kN
http://-/?-http://-/?-http://-/?-

staticki odredjeni nosaci zadaci dio1

Documents