Primer 3.5 Za zadat gredni nosač: odrediti otpore oslo-naca, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila i odreditimaksimalni normalni napon? Poznate veličine su F, l i c.

Jednačine ravnoteže:

0322 =⋅−⋅+⋅−=∑ lFlFlFM BAi

,25

FFB =⇒

⇒=−+−=∑ 02 FFFFY BAi.

2

1FFA =

Napadni momenti :

l,FlFMM AlCiC 2

1+=⋅+==∑

l.FlFMM dBiB −=⋅−==∑

Određivanje položaja neutralne osex:

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ,

24428

244282211 c

cccc

cccccc

A

vAvA

A

vAv ii

T −=+

−⋅+⋅=⋅+⋅=⋅

= ∑ 232cA =

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu:( ) ( ) ( ) ( )

,3

320

3

44

3

28 433

)2()1( ccccc

III uuu =⋅+⋅=+=

.3

296

432

3

320 42

242c

cccvAII Tux =⋅−=⋅−=

Određivanje otpornog momenta i maksimalnog normalnog napona:

⇒=−= 274max

cvcy T ⇒== 3

max21

592c

y

IW x

x.

592

213

maxmax c

lF

W

M

x

==σ

janja i transverzalnih sila i odrediti maksimalninormalni napon? Poznate veličine su F, l i c.

Jednačine ravnoteže:

Napadni momenti :

Primer 3.6 Za zadat gredni nosač: odrediti otpore oslonaca, nacrtati dijagrame momenata savi-

0324 =⋅+⋅−⋅−=∑ lFlFlFM BAi

,2FFB =⇒

⇒=+−−=∑ 04 BAi FFFFY .3FFA =

l,FlFMM AlCiC 3+=⋅+==∑

l.FlFMM BdDiD 2+=⋅+==∑

Određivanje položaja neutralne osex:

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu:

Određivanje otpornog momenta i maksimalnog normalnog napona:

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ,23

110

2

6688

22

66488

2211 ccc

cc

ccc

ccc

A

vAvA

A

vAv ii

T =−

⋅−⋅=⋅−⋅=

⋅= ∑ .46 2cA =

( )( ) ( )( ),

3

3772

12

66

3

88 433

)2()1( ccccc

III uuu =−=−=

.69

14156

23

11046

3

3772 422

2242

ccccvAII Tux =⋅−=⋅−=

⇒== 23110max

cvy T ⇒== 3

max165

7078c

y

IW x

x.

7078

4953

maxmax c

lF

W

M

x

==σ

Primer 3.7 Za zadat gredni nosač: odrediti otpore oslonaca, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila i odrediti maksimalni normalni napon? Poznate veličine su M, l i c.

Jednačine ravnoteže:

Napadni momenti :

⇒=⋅+−=∑ 03lFMM BAi( ),3lMFB =

⇒=+−=∑ 0BAi FFY ( ).3lMFA =

,3''

MlFMM A

liCC −=⋅−==∑

.3

2'''' MMlFMM A

liCC +=+⋅−==∑

Određivanje položaja neutralne osex:

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu:

Određivanje otpornog momenta i maksimalnog normalnog napona:

( )( ) ( ),86,138

8

81

3

512

8

3

3

48 4443

)2()1( ccccc

III uuu ≈

π−=π−=−=

( ) .4,209642

92

8

81

3

512 442

2ccvAII Tux ≈

π−−

π−=⋅−=

( )( ) ( )

( )( ) ( ),575,2

96492

23

48

334

23

248

2

2

2211 ccc

cc

ccccc

AvAvA

A

vAv ii

T ≈π−

=π−

π⋅⋅π−⋅

=⋅−⋅=⋅

=∑

.863,172

932 22 ccA ≈

π−=

⇒== cvy T 9217,7max

⇒== 3

max

5752,2 cy

IW x

x .25888,03

maxmax c

M

W

M

x

==σ

l,qFB 4

15=⇒

Primer 3.8 Za zadat gredni nosač: odrediti otpore oslonaca, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila, odrediti maksimalni normalni napon i tangencijalni napon u tački N preseka B+ε? Poznate veličine su q, l i c.

Jednačine ravnoteže:

Napadni momenti :

03223

3 =⋅−⋅+⋅⋅−=∑ llqlFl

lqM BAi

⇒=−+⋅−=∑ 03 lqFlqFY BAil.qFA 4

1=

,32844

2lqllq

lFMM A

lEiE +=⋅⋅−⋅+==∑

.2

3

22lq

llqllqMM d

BiB −=⋅⋅−⋅−==∑

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu:

Određivanje otpornog momenta i maksimalnog normalnog napona:

( ) ( ) ( ) ( ).238

12

342

12

862 4

33)2()1( c

ccccIII xxx =⋅−⋅=−=

⇒= cy 4max

⇒== 3

max2

119c

y

IW x

x.

119

33

2max

max c

lq

W

M

x

==σ

Određivanje tangencijalnog napona:

l,qFBT 2=ε+

⇒=⋅= 32 212

76 c

ccSN

.34

1

6238

21224

3

c

lq

cc

clq

I

SF

x

NBTN =

⋅⋅=

ξ⋅⋅

=τ ε+

Primer 3.9 Za zadat gredni nosač: odrediti otpore oslo-naca, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transve-rzalnih sila, odrediti maksi-malni normalni napon i tange-ncijalni napon u tački N preseka B-ε? Poznate veličine su q, l i c.

Jednačine ravnoteže:

Napadni momenti :

⇒=⋅+⋅⋅−=∑ 02

lFl

lqM BAi l,qFB 2

1=

⇒=+⋅−=∑ 0BAi FlqFY l.qFA 2

1=

Pošto su napadni momenti (momenti savijanja) u tačkama A i B, jednaki „0“ izračunajmo njegovu ekstremnu vrednost u tački E:

.8422

2lqllq

lFMM A

lEiE +=⋅⋅−⋅+==∑

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu:

Određivanje otpornog momenta i maksimalnog normalnog napona:

Određivanje tangencijalnog napona:

( ) ( ) ( ) ( ).63

12

34

12

644 4

33)2()1( c

ccccIII xxx =⋅−⋅=−=

⇒= cy 3max

⇒== 3

max

21cy

IW x

x.

168

13

2max

maxc

lq

W

M

x

==σ

,2

lqF

BT =ε−

32

243 152

23

223

6243

cccc

cyAyASStt

AxN

N =⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅==

.84

5

263

152

24

3

c

lq

cc

clq

I

SF

x

NBTN =

⋅

⋅=

ξ⋅⋅

=τ⇒ ε−

Primer 3.10 Za zadatu konzolu: odrediti reakcije u uklještenju, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila, odrediti maksimalni normalni napon i tangencijalni napon u tački N preseka A'=A+ε ? Poznate veličine su F, l i c.

Pošto je napadni moment (moment savijanja) u tački B jednak „0“, izračunajmo njegovu vrednost samo u tački A', koja se nalazi beskonačno blizu desno od tačke A, u kojoj dejstvuje moment uklještenja :AM −==∑ l

iAA MM ''l.FA −=M

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu:

Određivanje otpornog momenta i maksimalnog normalnog napona:

Određivanje tangencijalnog napona:

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ,24

212

84222 22

432

2)2()1()2()1(

2

⋅π+π⋅−⋅=⋅+−=−= ccccc

cAIIIII xxxxx

,4cBI x ⋅=⇒ .96,143≈B

⇒= cy 4max

⇒== 3

max4

cB

y

IW x

x .100

7785,2433

maxmax

c

lF

c

lF

BW

M

x

≈==σ

,FFAT =ε+

⇒=⋅= 32 1427

4 cc

cSN

.100

4312,2

4

1424

3

c

F

cBc

cF

I

SF

x

NATN ≈

⋅⋅=

ξ⋅⋅

=τ ε+

Primer 3.11 Za zadatu konzolu: odrediti reakcije u uklještenju, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila, odrediti maksimalni normalni napon i tangencijalni napon u tački N preseka A'=A+ε ? Poznate veličine su F, l i c.

Jednačine ravnoteže:

Napadni momenti :

0223 =⋅−⋅++=∑ lFlFM AAi Ml,FA ⋅=⇒M

⇒=−+−=∑ 023 FFFY Ai.FFA =

−==∑ liAA MM ''

l,FA −=M

−==∑ lCiC MM l.FlFAA 2−=⋅−M

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu:

Određivanje otpornog momenta i maksimalnog normalnog napona:

Određivanje tangencijalnog napona:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).136

12

22

12

62

12

84 4333

)3()2()1( ccccccc

IIII xxxx =⋅+⋅−⋅=+−=

⇒= cy 4max

⇒== 3

max

34cy

IW x

x.

17

13

maxmax

c

lF

W

M

x

==σ

,FFAT =ε+

⇒=⋅= 32 1427

4 cc

cSN

.136

7

2136

1424

3

c

F

cc

cF

I

SF

x

NATN =

⋅⋅=

ξ⋅⋅

=τ ε+

Primer 3.12 Za zadatu konzolu: odrediti reakcije u uklještenju, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila, odrediti maksimalni normalni napon i tangencijalni napon u tački N preseka A'=A+ε ? Poznate veličine su q, l i c.

Jednačine ravnoteže:

Napadni momenti :

⇒=⋅⋅++=∑ 02

llqM AAi M ,

2

1 2lqA =M

⇒=⋅++=∑ 0lqFY Ail.qFA =

−==∑ liAA MM '' .

2

1 2lqA −=M

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu:

Određivanje otpornog momenta i maksimalnog normalnog napona:

Određivanje tangencijalnog napona:

( ) ( ) ( ) ( ).90

12

324

12

644 4

33)2()1( c

ccccIII xxx =⋅+⋅=+=

⇒= cy 3max ⇒== 3

max

30cy

IW x

x.

60

13

2max

maxc

lq

W

M

x

==σ

l,qFAT =ε+ ⇒=⋅⋅+⋅= 322 2432

2

312 ccc

ccSN

.30

1

890

2424

3

c

lq

cc

clq

I

SF

x

NATN =

⋅⋅=

ξ⋅⋅

=τ ε+

l,qFB 4

5=⇒

Primer 3.13 Za zadat gredni nosač: odrediti otpore oslonaca, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila, odrediti maksimalni normalni napon i tangencijalni napon u tački N preseka B-ε? Poznate veličine su q, l i c.

Jednačine ravnoteže:

Napadni momenti :

022

3 =⋅+⋅−⋅⋅−=∑ lFllql

lqM BAi

⇒=+−⋅−=∑ 03 BAi FlqlqFY l.qFA 4

11=

,4

222

22 lqlqllqMM l

AiA −=−=⋅⋅−==∑

.4

32

2lqllqlFMM B

dDiD +=⋅⋅−⋅+==∑

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu:

Određivanje otpornog momenta i maksimalnog normalnog napona:

Određivanje tangencijalnog napona:

( ) ( ) ( ) ( ).184

12

622

12

862 4

33)2()1( c

ccccIII xxx =⋅−⋅=−=

⇒= cy 4max

⇒== 3

max

46cy

IW x

x.

184

33

2max

maxc

lq

W

M

x

==σ

,45 lqFBT =ε−

( ) ⇒=⋅= 32 21276 cccSN

( ).

1472

105

2184

214524

3

c

lq

cc

clq

I

SF

x

NBTN =

⋅⋅=

ξ⋅⋅

=τ ε−

Primer 3.14 Za zadat gredni nosač: odrediti otpore oslonaca, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila, dimenzionisati i smatrajući veličinu cpoznatom odrediti tange-ncijalni napon u tački Npreseka A-ε? Poznate veličine su q, l i σd.

Jednačine ravnoteže:

Napadni momenti :

⇒=⋅+−⋅⋅−=∑ 022

3 2 lFlql

lqM BAi l,qFB 4

5=

⇒=+⋅−=∑ 03 BAi FlqFY l.qFA 4

7=

,4

222

22 lqlqllqMM l

AiA −=−=⋅⋅−==∑

,32

7

8

7

4

7

4

3 2lqllq

lFMM A

lEiE −=⋅⋅−+==∑

,4

32

2

''''

lqllqlFMM B

diDD +=⋅⋅−⋅+==∑

.4

12

22

''

lqlq

llqlFMM B

diDD −=−⋅⋅−⋅+==∑

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu:

Određivanje otpornog momenta i dimenzionisanje:

Određivanje tangencijalnog napona:

( ) ( ) ( ) ( ).

3

220

12

22

12

6222 4

33)2()1( c

ccccIII xxx =⋅+⋅=+=

⇒= cy 3max

⇒== 3

max9

220c

y

IW x

x⇒σ≤==σ d

x c

lqW

M3

2max

max 88027

.880

273

2

d

lqc

σ≥

l,qFAT =ε− ⇒=⋅⋅= 32 8222 cccSN

.110

3

43

2208

24

3

c

lq

cc

clq

I

SF

x

NATN =

⋅

⋅=ξ⋅⋅

=τ ε−

Primer 3.15 Za zadat gredni nosač: odrediti otpore oslonaca, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila, dimenzionisati i smatrajući veličinu cpoznatom odrediti maksimalni normalni napon u preseku C i tange-ncijalni napon u tački N preseka C-ε? Poznate veličine su q, l i σd.

Jednačine ravnoteže:

Napadni momenti :

.3

22

22

''

lqlq

llqlFMM B

diDD +=−⋅⋅−⋅+==∑

,3

52

2

''''

lqllqlFMM B

diDD +=⋅⋅−⋅+==∑

,3

42

2lqllqlFMM A

lCiC +=⋅⋅−⋅==∑

⇒=+⋅−−=∑ 03 BAi FlqlqFY l.qFA 6

11=

0323

3 2 =⋅+−⋅−⋅⋅−=∑ lFlqllql

lqM BAi

l,qFB 6

13=⇒

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu i otpornog momenta:

Određivanje tangencijalnog napona:

( ) ( ).36

3666 4

3

ccc

I x =⋅=⇒Iz tablice

.94

36 34

max

cc

c

y

IW x

x ===⇒cy 4max

=

.27

4

93

4

3

2

3

2

maxc

lq

c

lq

W

M

x

CC ===σ

Određivanje maksimalnog normalnog napona i dimenzionisanje:

,27

53

2max

maxc

lq

W

M

x

==σ ⇒σ≤=σ dc

lq3

2

max 27

5.

5

3

13

2

d

lqc

σ≥

l,qFCT 6

5=ε−

( ) ( ) 3

332

34

244

cccc

SN =⋅⋅=

.815

436332

65

24

3

c

lq

cc

clq

I

SF

x

NCTN =

⋅

⋅=

ξ⋅⋅

=τ⇒ ε−

Određivanje maksimalnog normalnog napona u preseku C:

smatrajući veličinu d poznatom odrediti maksimalni normalni napon u preseku C i tangenci-jalni napon u tački N preseka C-ε? Poznate veličine su q, l i σd. Jednačine ravnoteže:

Napadni momenti :

Primer 3.16 Za zadatu konzolu: odrediti otpore oslonaca, nacrtati dijagrame momenata savijanja i transverzalnih sila, dimenzionisati i

.2 22 lqlqllqMM dCiC −=+⋅⋅−==∑

,2

1

222

'' lqlql

lqMM diDD +=+⋅⋅−==∑

,2

1

22

'''' lql

lqMM diDD −=⋅⋅−==∑

−==∑ liAA MM ''

,2

5 2lqA −=M

02

33 2 =++⋅+⋅⋅−=∑ AAi lqllq

llqM M

,2

5 2lqA =⇒M

⇒=⋅−+=∑ 03lqlqFY Ail.qFA 2=

Određivanje momenta inercije za neutralnu osu i otpornog momenta:

Određivanje tangencijalnog napona:

Određivanje maksimalnog normalnog napona i dimenzionisanje:

Određivanje maksimalnog normalnog napona u preseku C:

Iz tablice

2max

dy =

.64

4π=⇒d

I x

.32

3

max

π==⇒d

y

IW x

x

,80

3

2max

maxd

lq

W

M

x π==σ ⇒σ≤

π=σ d

d

lq3

2

max

80.

803

2

d

lqd

πσ≥

.32

32

3

2

3

2

maxd

lq

d

lq

W

M

x

CC π

=π

==σ

l,qFCT =ε−

32

12

1

32

4

8d

dd

SN =π

⋅π⋅=

.3

16

64

12

1

24

3

d

lq

dd

dlq

I

SF

x

NCTN =

⋅π

⋅=

ξ⋅⋅

=τ⇒ ε−