brojevni sustavi i logika dio1

Uvod u računarstvo

Brojevni sustavi i digitalni kodovi 1

Brojevni sustavi

• Brojevni sustav čini skup pravila formuliranih u cilju kvalitativnog izražavanja, način zapisivanja i tumačenja brojeva, određen skupom simbola – znamenki

• Podjela:

– Nepozicijski

– Pozicijski (težinski)

dr.sc. Ani Grubišić – Prirodoslovno-matematički fakultet, Split

Nepozicijski brojevni sustavi

• Simboli, koji označavaju brojeve, imaju istu vrijednost na različitim mjestima u zapisu broja

• Pravila za zapisivanje brojeva:

– ako nekoliko jednakih znamenki stoji jedna uz drugu onda im se

vrijednosti zbrajaju

npr. CCC znači C+C+C, tj. time je zapisan broj 300

– ako su uzastopno zapisane dvije različite znamenke od kojih lijevo

stoji ona s većom vrijednošću, onda se njihove vrijednosti zbrajaju stoji ona s većom vrijednošću, onda se njihove vrijednosti zbrajaju

npr. XVI znači X + V + I, tj. time je zapisan broj 16

– ako su uzastopno zapisane dvije različite znamenke od kojih lijevo

stoji ona s manjom vrijednošću, onda se njezina vrijednost oduzima

od desno napisane znamenke

npr. XC znači C– X, tj. time je zapisan broj 90


MMCDLXXIV = =M + M + (D – C) + L + X + X + (V – I)

=1000+1000+(500-100)+50+10+10 +(5-1)

=2474

ZNAMENKA I V X L C D M

VRIJEDNOST 1 5 10 50 100 500 1000

MCMLXVI = M+CM+LX+VI=M+M-C+L+X+V+1

=1000+1000-100+50+10+5+1=1966


VRIJEDNOST 1 5 10 50 100 500 1000

Pozicijski brojevni sustavi• Vrijednost znamenke je zavisna ne samo o veličini nego i o

mjestu, na kome stoji u okviru nekog broja

• Vrijednost broja X u pozicijskom brojevnom sustavu izražava seu obliku:

gdje su m i n cijeli brojevi, N baza brojevnog sustava, i

n

i

i

i m

X X N

=−

= ∑

gdje su m i n cijeli brojevi, N baza brojevnog sustava, ipredstavlja broj različitih znamenki u brojevnom sustavu, a Xi susimboli za znamenke broja, za koje vrijedi uvjet

gdje je 0 simbol za najmanju znamenku brojevnog sustava


0i

X N≤ <

• Karakteristike pozicijskih brojevnih sustava su:

– svaki pozicijski sustav ima bazu N - broj različitih znamenki koje se

koriste za zapisivanje brojeva

– baza N pozicijskog brojevnog sustava može biti bilo koji broj

– najveća znamenka (Kmax) brojevnog sustava dobije se ako se baza

umanji za 1 (Kmax = N - 1)


brojevni sustavbrojevni sustav bazabaza znamenkeznamenke

dekadski 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

binarni 2 0,1

oktalni 8 0,1,2,3,4,5,6,7

heksadecimalni 16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

Dekadski brojevni sustav

• Popularnost broja 10 kao baze za sustav prikazivanja brojeva temelji se na jednostavnoj činjenici da od pamtivijeka imamo po pet prstiju na svakoj ruci, ukupno 10 prstiju koje smo počeli koristiti za računanje.


jedinicedeseticestoticetisućice

5 37 2= 5 x 1000 = 7 x 100 = 3 x 10 = 2 x 13 2 01mjesto


= 5 x 1000=

5000

= 7 x 100=

700

= 3 x 10= 30

= 2 x 1= 2+ ++5 x 103 7 x 102 3 x 101 2 x 100

3 2 01mjesto

(pozicija)

• Da imamo po šest prstiju na svakoj ruci vjerojatno bismo koristili sustav kojemu je baza broj 12, pa bi ovaj isti zapis predstavljao sasvim drugi broj:

5732(12) = 5x123 + 7x122 + 3x121 + 2x120 = 9686(10)

• Ljudi nisu oduvijek preferirali broj 10 kao bazu za prikaz brojeva. • Ljudi nisu oduvijek preferirali broj 10 kao bazu za prikaz brojeva. Na primjer, indijanci iz plemena Yuki Pomo u Sjevernoj Kaliforniji koristili su za prikaz brojeva sustav temeljen na broju osam (oktalni).

– Jesu li imali po četiri prsta na svakoj ruci?

– Nisu, nego su računali koristeći razmake između prstiju, kojih ima

po četiri na ruci. *


*http://darkpilgrim.bloger.hr

Brojevni sustav s bazom k• Teorijskih brojevnih sustava može biti onoliko koliko ima

prirodnih brojeva

a cb d3 2 01mjesto


a x k3 b x k2 c x k1 d x k0

3 2 01mjesto

a x 23 b x 22 c x 21 d x 20k = 2 a x 53 b x 52 c x 51 d x 50k = 5 a x 193 b x 192 c x 191 d x 190k = 19

Brojevni sustav s bazom k

1 10 03 2 01mjesto


1 x k3 0 x k2 1 x k1 0 x k0

3 2 01mjesto

1 x 23 0 x 22 1 x 21 0 x 20k = 2 1 x 53 0 x 52 1 x 510 x 50k = 5 1 x 193 0 x 192 1 x 191 0 x 190k = 19

Optimalna baza• Postoji li broj koji je najbolja, optimalna baza za brojevni sustav?

• Optimalni brojevni sustav u procesoru znači da za istu količinu

računanja trebamo manje poluvodičkih elemenata, što znači manje

zagrijavanje procesora, što znači mogućnost gušćeg pakiranja

elemenata i lakše hlađenje.

• Kad se izračuna ta optimalna baza dobije se da je ona jednaka

broju e=2,718281828..., bazi prirodnog logaritma, ali je kao takva

sasvim neupotrebljiva jer je iracionalan broj.

– Baza 2 - računala ju i tako danas već koriste jer elektronički sklopovi imaju – Baza 2 - računala ju i tako danas već koriste jer elektronički sklopovi imaju

samo dva stanja. Ali ona nije optimalna cjelobrojna baza jer je dalje

od e nego cijeli broj 3.

– Baza 3 - matematički optimalna cjelobrojna baza, ali je elektroničke

sklopove s tri stabilna stanja teško proizvesti.

– Baza 4 - udruživanjem dva binarna elementa jednostavno se dobije element

s četiri stabilna stanja. Radi se na stvaranju računalnih sklopova na razini

organskih molekula jer se čitav kod DNA ispisuje sa četiri različita simbola,

tj. baza brojevnog sustava za kodiranje DNA je 4.


Dekadski brojevni sustav

• Svakodnevno se upotrebljava i najčešće nismo ni svjesni da postoje i drugi brojevni sustavi.

• Osnova ili baza tog brojevnog sustava je broj 10, jer se upotrebljava deset znamenaka (od 0 do 9).

• Dajući znamenkama određene težine možemo izraziti brojeve veće od 10.veće od 10.


• Algoritam za brojenje u dekadskoj bazi

– Brojimo: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 � Kako dalje?

– Pošto nemamo dodatnih znamenaka, prelazimo na

dvoznamenkaste brojeve: na prvo mjesto stavljamo znamenku 1, a

zadnju znamenku postavljamo na najmanju moguću vrijednost

(nula), te dobijamo broj 10

– Ponovno brojimo kao i do sada, mijenjajući samo posljednju

znamenku: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

– Kad nam ponovno ponestane znamenaka, prvu znamenku – Kad nam ponovno ponestane znamenaka, prvu znamenku

povečamo za jedan, a posljednju opet vraćamo na nulu i tako

dobijemo 20

– Postupak nastavljamo dok god je potrebno

• Kako bismo brojali kad bi nam netko zabranio upotrebu znamenaka 8 i 9?


• primjer pozicionog zapisa dekadskog broja (npr. broj 607513,4):

Smjer u kojem se povećavaju težinske vrijednosti pozicija

<-----------------------------------------------------------------------------

Redni broj pozicije (k) 5 4 3 2 1 0 -1

Dekadske znamenke 6 0 7 5 1 3 4

Težinske vrijednosti 105 = 100000

104 = 10000

103 = 1000

102 = 100

101 = 10

100 = 1 10-1 = 0,1


100000 10000 1000 100 10 0,1

mjesto decimalnog zareza

6 x 105 + 0 x 104 + 7 x 103 + 5 x 102 + 1 x 101 + 3 x 100 + 4 x 10-1 =

= 600000 + 0 + 7000 + 500 + 10 + 3 + 0,4 =

= 607513,4

Binarni brojevni sustav

• Za elektroničke sklopove najprikladniji je binarni brojevni sustav, budući da postoji niz elektroničkih elemenata koji mogu imati dva različita i uz to stabilna stanja.

• Ova dva stanja su obično označena znamenkama 0 i 1, te je baza binarnog brojevnog sustava 2.

• Svi podaci, bez obzira što znače, zapisuju se u digitalnim • Svi podaci, bez obzira što znače, zapisuju se u digitalnim računalu u obliku brojeva, i to brojeva binarnog brojevnog sustava. Ništa drugo računalo “ne razumije” i ne može obrađivati osim binarnih brojeva.


Oktalni brojevni sustav

• Baza oktalnog brojevnog sustava je broj 8, a upotrebljavaju se znamenke: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

• Oktalni brojevi se upotrebljavaju za skraćeno bilježenje binarnih brojeva

– 8 = 23 – grupe od po 3 bita prikazane jednom oktalnom

znamenkom


Heksadecimalni brojevni sustav• Heksadecimalni brojevni sustav ima bazu N = 16, pa je skup

znamenki sustava:S ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B C, D, E, F}

• Za brojeve > 9 koriste se slova kao simboli sa značenjem:A=10 B=11 C=12 D=13 E=14 F=15

• Heksadecimalni sustav predstavlja skraćeni oblik pisanjabinarnog sustava, pri čemu četiri binarne pozicije predstavljajubinarnog sustava, pri čemu četiri binarne pozicije predstavljajujednu heksadecimalnu– 16 = 24 – grupe od po 4 bita prikazane jednom heksadecimalnom

znamenkom


Usporedna tablica brojanja u dekadskom, binarnom, oktalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu


Aritmetičke operacije u različitim brojevnim sustavima


Zbrajanje dekadskih brojeva

4 5 987 4 47

1 1 11

+9+4 = 13; 13:10 = 1 i ost. 3

8+7+1= 16; 16:10 = 1 i ost. 6

5+4+1= 10; 10:10 = 1 i ost. 0

4+7+1= 12; 12:10 = 1 i ost. 2prijenos


1 1 11

3601 21:10 = 0 i ost. 1

Zbrajanje binarnih brojeva • Pravila zbrajanja

1. 0 + 0 = 0

2. 0 + 1 = 1

3. 1 + 0 = 1

4. 1 + 1 = 0 (prijenos 1)

5. 1 + 1 + 1 = 11

6. 1+1+1+1=100

IZRAZIZRAZ REZULTATREZULTAT PRIJENOSPRIJENOS

0 + 00 + 0 00 00

0 + 10 + 1 11 00

1 + 01 + 0 11 00

1 + 11 + 1 00 11

• Binarno zbrajanje obavlja se isto kao i decimalno zbrajanje, osim što se prijenos na sljedeće značajno mjesto obavlja nakon postignutog zbroja 2 (1+1).

Prijenosi: 11111

10101

+ 11111

110100


Zbrajanje oktalnih brojeva

• Zbrajanje u oktalnom brojevnom sustavu obavlja se zbrajanjem znamenki kao i kod dekadskog brojevnog sustava.

• Ukoliko je zbroj veći od 8 dijelimo s bazom 8, te rezultat prenosimo za sljedeće zbrajanje znamenki, a ostatak predstavlja znamenku rezultata zbrajanja.

1 7 07+

0+7 = 7; 7:8 = 0 i ost. 7

7+7= 14; 14:8 = 1 i ost. 6


3 771 1

+

7

7+7= 14; 14:8 = 1 i ost. 6

6

7+3+1= 11; 11:8 = 1 i ost. 3

3

1+1= 2; 2:8 = 0 i ost. 2

2

prijenos

Zbrajanje heksadekadskih brojeva

B 2 DC5 3 FE

1 0 11

+D+F =13+15=28

28:16=1 i ost. 12=C

C+E+1=12+14+1=27 27:16=1 i ost. 11=Bprijenos


1 0 11

C

27:16=1 i ost. 11=B

B2+3+1=6

6:16= 0 i ost. 66B+5+0 = 11+5+0=16

16:16= 1 i ost. 0

1 0

1:16 = 0 i ost. 1

Oduzimanje dekadskih brojeva

7 5 442 2 970 11

-4-9 =14-9=5; prijenos 1

4-7-1=14-7-1=6; prijenos 1

5-2-1=2

7-2=5prijenos


0 11

5625

Oduzimanje binarnih brojeva • U računalu se oduzimanje izvodi metodom dvojnog

komplementa (eng. two's complement).

• Oduzimanje se svodi na zbrajanje, tako da se broju koji se oduzima promijeni predznak (negativan broj).

• Pretvaranje broja u negativan broj naziva se dobivanje dvojnog komplementa, a izvodi se u dva koraka:

– prvo se broj komplementira (jedinice se pretvore u nule i

obrnuto), te se time dobije jedinični komplement (eng. one's obrnuto), te se time dobije jedinični komplement (eng. one's

complement),

– zatim se jediničnom komplementu pribroji broj jedan, čime se

dobiva dvojni komplement.

• Pri ovakvom oduzimanju uvijek se dobije jedinica kao preljev (eng. overflow), koju zbog ispravnosti rezultata treba zanemariti.


• Oduzimanje brojeva 11011001(2) i 1010(2)

1. prvo se umanjitelj (1010(2)) nadopuni vodećim nulama, tako da ima jednak broj znamenaka kao i umanjenik ♦ 1010(2) -> 00001010(2)

2. komplementiranje umanjitelja (zamjena nula s jedinicama i obrnuto) – rezultat je JEDINIČNI komplement umanjitelja♦ 00001010(2) -> 11110101(2)

3. jediničnom komplementu umanjitelja pribroji se binarni 1, čime se dobiva DVOJNI komplement umanjiteljase dobiva DVOJNI komplement umanjitelja♦ 11110101(2) + 1(2) = 11110110(2)

4. Zbrajanje umanjenika i dvojnog komplementa umanjitelja ♦ 11011001(2) + 11110110(2) = 111001111(2)

5. Odbacivanje bita preljeva (ako postoji) - konačna razlika zadanih brojeva♦ U gornjem primjeru razlika ima bit preljeva (‘suvišni’ 9. bit s krajnje lijeve

strane rezultata – konačna razlika ne može imati više bitova od umanjenika ili umanjitelja). Njegovim odbacivanjem dobiva se konačni rezultat

♦ 1|11001111(2) -> 11001111(2)


Oduzimanje oktalnih brojeva• Oduzimanje u oktalnom brojevnom sustavu obavlja se kao i u

dekadnom brojevnom sustavu.

7 2 143 4 751 11

–1-7 = prijenos 1: (8+1)-7=2

4 - (5+1)= pr. 1: (8+4)- (5+1)= 6


1 11

2

pr. 1: (8+4)- (5+1)= 6

62-(4+1)=pr. 1: (8+2)-(4+1)= 5537-(3+1)=4

prijenos

Oduzimanje heksadekadskih brojeva

B C EDE 7 FD0 11

-E – F =14 – 15 = prijenos 1: (16+14)-15= 15

D – (D + 1) = 13 – 14 = pr. 1: (16+13)- (13+1)= 15

A

1 prijenos


0 11

FFC-(7+1)= 12 – 8 = 4

4

A – (0+1)= 10 – 1 = 9

D

1

9 B – E = 11 – 14 =pr. 1: (16+11)-(14)= 13

Množenje dekadskih brojeva

1 2 43 5 4 1207

X

639416 5x4=20, 20:10=2 i ost. 0

5x3=15+2=17, 17:10=1 i ost. 75x2=10+1=11, 11:10=1 i ost. 1

5x1=5+1=6, 6:10=0 i ost. 6


63948642

1 2 43+

9 5 416 86

5x1=5+1=6, 6:10=0 i ost. 6

8+3=11, 11:10=1 i ost. 16+6+2+1=15, 15:10=1 i ost. 5

0+3+4+1+1=9, 9:10=0 i ost. 9

7+9+2=18, 18:10=1 i ost. 8

1+4+1=6, 6:10=0 i ost. 6

6:10=0 i ost. 6

Množenje binarnih brojeva• Kod binarnog množenja djelomičan umnožak pomiče se za

jedno mjesto udesno po navedenim pravilima, a zatim se umnošci zbroje.

0 x 0 = 0

0 x 1 = 0

1 x 0 = 0

1 x 1 = 1

1 0 10 1 1 1010

X

100101


10010000

1 0 10+

0 1 101 11

Množenje oktalnih brojeva• Množenje u oktalnom brojevnom sustavu obavlja se množenjem

svake znamenke jednog broja sa svim znamenkama drugog broja. Rezultati množenja se potpisuju pomicanjem za jedno mjesto udesno.

3 75 3 2 1

51

X

637

31

3*7=21 :8 = 2 i ost. 5

3*5=15+2=17 :8 = 2 i ost. 1

3*3= 9 +2=11 :8 = 1 i ost. 31 = 0 i ost. 1:8


637

753+

4 3 71 14

2*7=14 :8 = 1 i ost. 6

2*5=10+1=11 :8 = 1 i ost. 3

2*3= 6+1=7 :8 = 0 i ost. 7

1*7=7 :8 = 0 i ost. 7

1*5=5+0=5 :8 = 0 i ost. 5

1*3= 3+0=3 :8 = 0 i ost. 3

Množenje heksadekadskih brojeva

1 A3 A B

44

X

E7D

C+

10*10=100 :16 = 6 i ost. 4

10*30=30+6=36 :16 = 2 i ost. 4

10*1= 10 +2=12 :16 = 0 i ost. 12


E7D+

B E1D 11*10=110 :16 = 6 i ost. 14

11*3=33+6=39 :16 = 2 i ost. 7

11*1=11+2=13 :16 = 0 i ost. 13

Dijeljenje binarnih brojeva

• Princip je jednak onome iz dekadskog sustava. Praktično se dijeljenje svodi na množenje i oduzimanje.

• Dakle, potrebno je “pogoditi” kvocijent početka djeljenika s djeliteljem.

• Zatim se djelitelj množi s “pogođenim” rezultatom, te se rezultat oduzima od početka djeljenika.

• Ako je dobiveni rezultat nenegativan i strogo manji od djelitelja, • Ako je dobiveni rezultat nenegativan i strogo manji od djelitelja, znači da je kvocijent dobro pogođen.

• “Spuštamo” iduću znamenku djeljenika i nastavljamo postupak.


0 / 0 = nedjeljivo

1 / 0 = ∞

0 / 1 = 0

1 / 1 = 1

• svodi se na uzastopno oduzimanje

• primjer: 57 : 5 = 11, ostatak 2

1. korak: djelitelj potpišemo lijevo ispod djeljenika i oduzmemo

• iza jednakosti stavljamo 1

1 1 1 0 0 1 : 1 0 1 = 1

– 1 0 1

1 0

2. dopišemo sljedeću znamenku djeljenika2. dopišemo sljedeću znamenku djeljenika

• sad imamo 100, broj manji od djelitelja

• iza jednakosti dodajemo nulu

• ne radimo oduzimanje

1 1 1 0 0 1 : 1 0 1 = 1 0

– 1 0 1

1 0 0


3. dopišemo još jednu znamenku djeljenika

• sad imamo 1000, veći od djelitelja

• iza jednakosti dodajemo jedinicu

• provodimo oduzimanje

1 1 1 0 0 1 : 1 0 1 = 1 0 1 1

– 1 0 1

1 0 0 0

– 1 0 1

1 1 1

– 1 0 1

1 0 ostatak


) 11011 :11 1001 27 : 3 9

11

00011

11

00

a = =

−

−

primjer: 38 : 5 = 7, ostatak 3


primjer: 38 : 5 = 7, ostatak 31 0 0 1 1 0 : 1 0 1 = 1 1 1

– 1 0 1

1 0 0 1

– 1 0 1

1 0 0 0

– 1 0 1

0 0 1 1

Dijeljenje oktalnih brojeva

8 8 8(61406) : (32) (1717)

32

=

− 32

274

−

266

0 060

−

32

274

8 8 8(61406) : (32) (1717)

8 8 8(61406) : (32) (1717)=

32−

8 8 8(61406) : (32) (1717)

8 8 8(61406) : (32) (1717)

32


32

266

−

− 266

000

−

32

266

(7347)8:(155)8=43

- 6641

0507

- 507

0

4*(155)8

4 5*4=20; 20:8=2 i ost 4

24

+ 24

664

3*(155)8


3*(155)8

3 5*3=15; 15:8=1 i ost 7

17

+ 17 7+1=8; 8:8=0 i ost 11

507

Dijeljenje heksadekadskih brojeva

16 16 16(5 8 89) : (8 7) ( 9 4 )

5686

559

4

7

BDF D A A E F

B

DDF

BCD

=

−

−


7

7922

2 8

2296

81 9

81 9

BCD

AB

C

C

−

−

(F1FA)16 : (293)16 = (5E)16


• http://degiorgi.math.hr/uur/apps/brsust.php


brojevni sustavi i logika dio1

Documents