je stanje napona nedovoljno tačno određeno ili se primenjuju.materijali neodređenih kvaliteta.

Orijentacione vrednosti za :

Proračun štapova na zatezanje i pritisak.

Dozvoljeni napon i stepeni sigurnosti.

Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine gde je ma-ksimum apsolutne vrednosti normalnog napona štapa a je dozvoljeni nor-malni napon. Ovakva nejednakost ili su polazište za dimenzionisanje kao veoma česte varijante proračuna. U drugim varijantama proračuna, kada su poznate veličine poprečnih preseka može da se traži ili nosivost (odnosno, veličine sila, opterećenja) ili (za poznato opterećenje) veličine radnih napona.

,max dσ≤σ

dσmax

σ

dσ≤σ

Dozvoljeni napon σd obično se bira tako da iznosi samo jedan deo, od σR za plastične materijale, odnosno, od σM za krte materijale:

,R

Rd n

σ=σ ,M

Md n

σ=σ

gde su i odgovarajući stepeni sigurnostiRn Mn

Orijentacione vrednosti za : 4-8 za liveno gvožđe, 8-12 za drvo itd.Mn

tačno zna naponsko stanje i primenjuju visoko kvalitetni materijali; 3 – 4 ako 1,5 – 3 srednje vrednosti; 1,25 – 1,33 ako seRn

Za pojedine standardne materijale se uvrđuje državnim propisima.dσ

njegove krajnje tačke:

Izduženje štapa kojemse jedna krajnja tačka pomera a druga je nepokretna.

dužina štapa pre deformacije−= 1' lDB

−'BB

−= lDB

Konačno, iz trougla BB'B"

S obzirom da je u trouglu DB'B" ugao φmali važi:⇒≈⇒≈ϕ "'1cos DBDB

β⋅≈∆ − cos'BBl

'BBl =∆ + 'BBl =∆ −

β⋅≈∆⇒ + cos'BBl

dužina štapa nakon deformacijepomeranje krajnje tačke B elastičnog štapa

""' BBDBDBDBDBl =−≈−=∆ +

Izduženje (ili skraćenje) elastičnog štapa jednako je projekciji pomeranja njegove krajnje tačke na pravac štapa pre deformacije.

β⋅≈∆ + cos'BBl

Slučajevi kada je izduženje (ili skraćenje) elastičnog štapa jednako pomeranju

Štap konstantnog poprečnog preseka A, dužine l i modula elastičnosti E koji je

,,AF

FFa =σ=

Aksijalno opterećeni štap koji po segmentima ima konstantne normalnenapone. Dijagramaksijalnih sila. Izduženja segmenata.

.11

00AEFl

dzAF

Edz

Ell

ll

==σ=∆=∆ ∫∫+

zategnutili pri-tisnutsilom F:

,AF−=σ .

AEFl

lll −=∆−=∆=∆ −+

Statička jednačina: 0.tj0 == ∑∑ ii FZ

04321 =−++−⇒ FFFF

Konstantni normalni naponi segmenata:

.,,2

4

2

21

1

1

AF

AFF

AF

DCCBBA −=σ−=σ=σ −−−

Izduženja segmenata i ukupno izduženje:

( ).,,

2

4

2

21

1

1

EAcF

lEA

bFFl

EAaF

l DCCBBA ⋅⋅−=∆

⋅⋅−=∆

⋅⋅=∆ −−−

Primer 1.1 Za prikazan statički određen štap izlo-žen aksijalnom opterećenju izvršiti dimenzionisanje (odrediti veličinu A koja određuje poprečni presek) i odrediti ukupno izduženje štapa (odnosno, odrediti ∆lA-B). Veličine σd, a, b, F i E su poznate. Za određivanje ∆lA-B smatrati da je i veličina A poznata.

∑ =++−⇒= 030 FFFF AiFFA 4=⇒

Statička jednačina:

⇒σ≤=σσ≤=σ −− dBCdCA A

F

A

F

23

,34

Naponi u segmentima i dimenzionisanje:

A

F

A

FFA

A

F

dd 3

423

jejer23

23 >

σ≥⇒σ≤

Ukupno izduženje štapa:

Ukupno izduženje štapaće se dobiti kao algebarski zbir izdu-ženja njegovih segmenata:

AE

Fb

AE

Fallll BABCCABA 2

334 +=∆⇒∆+∆=∆ −−−−

CAl −∆

BCl −∆- Izduženje prvog segmenta

- Izduženje drugog segmenta

usled aksijalnog opterećenja i njegovog izduženja usled zagrevanja:

Primer 1.2 Za prikazan statički određen štap izlo-žen aksijalnom opterećenju izvršiti dimenzionisanje (odrediti veličinu A koja određuje poprečni presek) i odrediti ukupno izduženje štapa (odnosno, odrediti ∆lA-B). Štapu je temperatura povišena za ∆t a koeficijent toplotnog širenja je α. Veličine σd, a, b, ∆t, α, F i E su poznate. Za određivanje ∆lA-B

smatrati da je i veličina A poznata.

∑ =+−−= 032 FFFF AiFFA =⇒

Statička jednačina:

⇒σ≤=σσ≤=σ −− dBCdCA A

F

A

F

23

,

Naponi u segmentima i dimenzionisanje:

A

F

A

FFA

A

F

dd >

σ≥⇒σ≤

23

jejer23

23

Ukupno izduženje štapa:

Ukupno izduženje štapaće se dobiti kao algebarski zbir njegovog izduženja

( ) .23

tbaAE

Fb

AE

Fal BA ∆α+++=∆ −

( ) ( ) etemperaturusledsilaaksijalnihusled BABABA lll −−− ∆+∆=∆

Primer 1.3 Za prikazan statički određen štap izlo-žen aksijalnom opterećenju izvršiti dimenzionisanje (odrediti veličinu A koja određuje poprečni presek) i odrediti ukupno izduženje štapa (odnosno, odrediti ∆lA-B). Veličine σd, a, b, F i E su poznate. Za određivanje ∆lA-B smatrati da je i veličina A poznata.

∑ =−+−⇒= 020 FFFF AiFFA =⇒

Statička jednačina:

⇒σ≤=σσ≤=σ −− dBCdCA A

F

A

F

2,

3

Naponi u segmentima i dimenzionisanje:

.32

jejer22 A

F

A

FFA

A

F

dd >

σ≥⇒σ≤Ukupno izduženje štapa:

.23 AE

Fb

AE

Fallll BABCCABA −=∆⇒∆+∆=∆ −−−−

,02

,03

<−=σ>+=σ −− A

F

A

FBCCA

.02

<−=∆ − AE

Fbl BCIzduženje drugog segmenta je negativno zato što je pritisnut:

Preostala dva uslova ravnoteže ( i ) nisu pisana zato što se ne traže reakcije u zglobu.

.sin2 d

GA

σ⋅β≥

Dužina elastičnog štapa L je hipotenuza trougla kod kojeg su poznati ugao β i kateta OB, dužine a:

Primer 1.4 Homogena kvadratna kruta ploča težine G može da se obrće oko nepokretnog zgloba O. Nju održava u ravnoteži laki elastični štap, modula elastičnosti E i dozvoljenog napona σd, kao što je na slici prikazano. Dimenzionisati elastični štap (naći nejednakost koja definiše njegov poprečni presek A), a zatim, smatrajući veličinu A poznatom, odrediti pomeranje tačke C. Veličine: a, G, β, σd i

Uravnotežen sistem sila koji dejstvuje na krutu ploču i određivanje sile u elastičnom štapu:

⇒=∑ 0OiM ⇒=β⋅+⋅− 0sin2

aSa

G .sin2 β

= GS

E su poznate.

⇒=βL

acos .

cosβ= a

L

Dimenzionisanje (Određivanje veličine poprečnog preseka A):

,sin2 A

G

A

S

⋅β==σ ⇒σ≤σ d ⇒σ≤

⋅β dA

G

sin2

0=∑ iX 0=∑ iY

U daljem tekstu veličina A se smatra poznatom.Određivanje izduženja elastičnog štapa a zatim i pomeranja tačaka B i C krute ploče:

Izduženje štapa:( ) .2sincossin2 EA

aG

EA

aG

EA

LSl

⋅⋅β⋅=

⋅⋅β⋅β⋅=

⋅⋅=∆ +

Veza između izduženja štapa i pomeranja tačke B vidi se preciznije na slici 3):

⇒′

∆=β+

BB

lsin

β∆=′

+

sin

lBB ( ) .

2sinsin EA

aG

⋅⋅β⋅β⋅=

Veza između pomeranja tačaka B i C: ∆OBB'∼∆OCC' ⇒

⇒===′′

22

aa

OBOC

BBCC

BBCC ′⋅=′ 2 ( ) .2sinsin

2

EA

aG

⋅⋅β⋅β⋅⋅=

Izduženje vertikalnog štapa uzimanjemu obzir sopstvene težine.Vertikalni štap je površine poprečnog preseka A, specifične težine γ, modula elastičnosti E i dužine l. Osim sopstve-ne težine štap zateže i sila F (Sl.1).Promenljivu aksijalnu silu određujemo iz statičkog uslova ravnoteže koline-arnog sistema sila prikazanog na Sl.2:

( ) 00 =+γ−−⇒=∑ zFAzFZ ai

( ) AzFzFa γ+=⇒

Promenljiv napon:

( ) ( )z

AF

AAzF

A

zFz a γ+=γ+==σ

( ) .2

1111 2

0000

γ+=

γ+=

γ+=σ=∆ ∫∫∫∫l

AFl

Ezdzdz

AF

Edzz

AF

Edzz

El

llll

Izduženje:

Dijagram aksijalnih sila prikazan je na Sl.3.

Rešavanje statički neodređenih problema kod aksijalno opterećenih štapova.To rešavanje pre sve podrazumeva pisanje potrebne statičke jednačine (statičkih jednačina) po nepoznatim veličinama i geometrijskog (geometrijskih) uslova

Primer 1.5 Za prikazan statički neodređen štap izložen aksijalnom opterećenju nacrtati dijagram aksijalnih sila, odrediti: reakcije u uklještenjima A i B, napone u svim segmenti-ma štapa i pomeranje preseka C. Veličine A, a, b, c, F i E su poznate.

Na štap osim zadatih sila dejstvuju i reakcije u uklještenjima i , čiji smerovi su pretpostavljeni kao što je na slici prikazano.

AF BF

∑ =−++−⇒= 030 BAi FFFFF

)1...(4FFF BA =+⇒

Statička jednačina:

Nacrtan je mogući oblik dijagrama aksi-jalnih sila u skladu sa pretpostavljenim smerovima za i .AF BF

deformacije (GUD-a). GUD predstavlja linearnu vezu između deformacija (izduženja, skraćenja). Pošto su deformacije zavisne od nepoznatih veličina, GUD nas dovodi do dopunske jednačine po istim nepoznatim. Problem je praktično rešen kada se reši sistem sačinjen od statičkih i dopunskih jednačina.

Pomeranje preseka C u desnu stranu ima istu vrednost kao što je izduženje dela štapa koji se proteže od A do C.

Rešenja sistema jednačina (1) i (2):

.2

38,

24

Fcba

baFF

cbacb

F BA +++=

+++=

...2

...,2

..., =−=σ=−=σ==σ −−− A

F

A

FF

A

F BBD

ADC

ACA

Naponi u segmentima:

GUD i dopunska jednačina:

⇒=∆+∆+∆=∆ −−−− 0BDDCCABA llll ( ))2...(0

22=−−+

AEcF

AEbFF

AEaF BAA

Geometrijski uslov deformacije (GUD) odražava činjenicu da, zbog nepome-rljivosti zidova, ukupno uzduženje štapa mora biti jednako nuli.BAl −∆

Pomeranje preseka C:

Cδ

...==∆=δ − AE

aFl A

CAC

Primer 1.6 Za prikazan statički neodređen štap izložen aksijalnom opterećenju nacrtati dijagram aksijalnih sila i odrediti: reakcije u A i B, napone u svim segmentima štapa i pomera-nje preseka D. Štap je u B uklješten a pre dejstva aktivnih sila na levom kraju je postojao mali zazor δ. Nakon dejstva aktivnih sila na levom kraju se, usled pritiska štapa na zid pojavila reakcija.Veličine A, a, b, c, δ, F i E su poznate.

Na štap osim zadatih sila dejstvuju i reakcije u uklještenjima i , čiji smerovi su pretpostavljeni kao što je na slici prikazano.

AF BF

∑ =+−+⇒= 030 BAi FFFFF

)1...(2FFF BA =+⇒

Statička jednačina:

Nacrtan je mogući oblik dijagrama aksi-jalnih sila u skladu sa pretpostavljenim smerovima za i .AF BF

Rešenja sistema jednačina (1) i (2):

( ) ( ).

2234

,2

22cba

AEFbaF

cbaAEFbc

F BA ++δ++=

++δ−−=

...2

...,2

..., ==σ=+−=σ=−=σ −−− A

F

A

FF

A

F BBD

ADC

ACA

Naponi u segmentima:

GUD i dopunska jednačina:

⇒δ=∆+∆+∆=∆ −−−− BDDCCABA llll( )

)2...(22

δ=++−−AE

cFAE

bFFAE

aF BAA

Geometrijski uslov deformacije (GUD) odražava činjenicu da, zbog nepome-rljivosti zidova, ukupno uzduženje štapa mora biti jednako zazoruδ.BAl −∆

Pomeranje preseka C:

Pomeranje u levu stranu preseka D ima istu vrednost kao što je izduženje dela štapa koji se proteže od D do B.

Dδ

...2

==∆=δ − AE

cFl B

BDD

Primer 1.7 Za prikazan statički neodređen štap izložen aksijalnom opterećenju, usled sila u aksijalnom pravcu i zagrevanja, nacrtati dijagram aksijalnih sila i odrediti: reakcije u uklještenjima A i B, napone u svim segmenti-ma štapa i pomeranje preseka C. Štapu je temperatura povišena za ∆t a koeficijent toplotnog širenja je α. Veličine A, a, b, c, ∆t, α, F i E su poznate.

Na štap osim zadate sile dejstvuju i reakcije u uklještenjima i , čiji smerovi su pretpostavljeni kao što je na slici prikazano.

AF BF

∑ =+−⇒= 00 BAi FFFF

)1...(FFF BA =+⇒

Statička jednačina:

Nacrtan je mogući oblik dijagrama aksi-jalnih sila u skladu sa pretpostavljenim smerovima za i .AF BF

Rešenja sistema jednačina (1) i (2):( ) ( ) ( )

.2

22,

22

cbatAEcbaFba

Fcba

tAEcbacFF BA ++

∆α++−+=++

∆α+++=

...2

...,2

..., =+=σ=−=σ=−=σ −−− A

F

A

F

A

F BBD

ADC

ACA

Naponi u segmentima:

GUD i dopunska jednačina:

( ) )2...(022

=∆α++++−−⇒ tcbaAE

cFAE

bFAE

aF BAA

Geometrijski uslov deformacije (GUD) odražava činjenicu da, zbog nepome-rljivosti zidova, ukupno uzduženje štapa , prouzrokovano kako aksijalnim opterećenjem tako i zagrevanjem, mora biti jednako nuli:

BAl −∆

Pomeranje preseka C:Pomeranje preseka C u levu stranu ima istu vrednost kao što je skraćenje dela štapa koji se proteže od A do C.

Cδ

...==∆−=∆−=∆=δ −+

−−

− AE

aFlll A

CACACAC

CACA ll −+

− ∆=∆−

−∆ CAl

- Izduženje segmenta koji se proteže između preseka A i C

- Skraćenje segmenta koji se proteže između preseka A i C

( ) ( ) 0etemperaturusledsilaaksijalnihusled =∆+∆=∆ −−− BABABA lll

GUD i dopunska jednačina:

Tražena rešenja:Rešenja sistema jednačina (1) i (2) su:

Primer 1.8 Centrični elastični štapovi 1 i 2 centrično su pritisnuti krutom pločom težine G. Štap 1 je duži od štapa 2 za δ, koje je mala veličina. Odrediti napone u štapovima? Poznate veličine su: G, A1,A2, E1, E2, l i δ.

Na krutu ploču dejstvuje uravnoteženi kolinearni sistem sila (Sl.1) gde sila po svom intenzitetu odgovara sili kojom je pritisnut štap 1 dok sila po svom intenzi-tetu odgovara sili kojom je pritisnut štap 2.

1Sr

2Sr

U ovom problemu, koji je jedan put sta-tički neodređen, sta-tička jednačina je:

)1...(21 GSS =+

Statička jednačina:

Sl.1⇒

GUD i dopunska jednačina:

Štap 1 ima ćenje veće od skraćenja štapa 2 za δ:

( )GUDll ...21 δ=∆−∆ −−Sl.2⇒

Zbog

GUD daje dopunsku jednačinu:

,i22

22

11

11 EA

lSl

EAlS

l =∆=∆ −−

)2...(22

2

11

1 δ=−EAlS

EAlS

( ) ( ) .2,1...,,2211

11222

2211

22111 ==−=σ⇒

+δ−=

+δ+= i

A

S

EAEAlEAGl

EASEAEAl

EAGlEAS

i

ii

Primer 1.9 Homogena kvadratna kruta ploča, težine G, može da se obrće oko nepokretnog zgloba O. Nju održavaju u ravnoteži laki elastični štapovi 1 i 2, kao što je na slici prikazano. Površine poprečnih preseka štapova definiše veličina A, modul elastičnosti je E a dužine štapova iznose l. Temperatura oba štapa je povišena za ∆t a koeficijent toplotnog širenja je α. Odrediti napone u elastičnim štapovima? Veličine:a, G, β, A, l, α, ∆t i E su poznate.

Uravnotežen sistem sila koji dejstvuje na krutu ploču i dobijanje statičke jednačine u kojoj su jedine nepoznate sile u elastičnim štapovima

⇒=∑ 0OiM ⇒=⋅+β⋅+⋅− 0sin2 21 aSaSa

G

Smerovi sila i su u skladu sa pretpostavkom da su oba elastična štapa zategnuta.

)1....(2sin2 21 GSS =+β

1Sr

2Sr

Preostala dva uslova ravnoteže ( i ) nisu pisana zato što se ne traže reakcije u zglobu.

0=∑ iX 0=∑ iY

Određivanje geometrijskog uslova deformacije (GUD-a) i dopunske jednačine dobijene na osnovu njega

GUD predstavlja linearnu jednakost koja u ovom slučaju povezuje izduženja štapova (veličine i ). Skraćenica pš1pd sa slike znači „pravac štapa 1 pre deformacije“, na isti način pš2pd je „pravac štapa 2 pre deformacije“.

+∆ 1l+∆ 2l

Veza između pomeranja tačaka B i C (Slika 1): ∆OBB'∼∆OCC' ⇒

⇒===′′

22

a

a

OB

OC

BB

CC....(*)2 BBCC ′⋅=′

Povezanost veličina i (Slika 2):'BB +∆ 1l ⇒′

∆=β+

BB

l1sin .sin

1

β∆=′

+lBB

Povezanost veličina i (Slika 3):'CC +∆ 2l ⇒∆=

+

'45cos 2

CC

lo .2' 2+∆= lCC

Uvrštavanjem poslednjih jednakosti u jednakost (*) dobija se GUD:

...(**)sin 12++ ∆=β⋅∆ ll

S obzirom da je štap 1 po našoj pretpostavci zategnut i zagrejan, njegovo izduženje je:

.2

11 tl

AE

lSl ∆α+=∆ +

S obzirom da je štap 2 po našoj pretpostavci zategnut i zagrejan, njegovo izduženje je:

.22 tl

AE

lSl ∆α+=∆ +

Uvrštavanjem poslednjih jednakosti u GUD (**) dobija se dopunska jednačina:

)2...(2

sin 12 tlAE

lStl

AE

lS ∆α+=β

∆α+

Konačna rešenja:

Statička jednačina (1) i dopunska jednačina (2) predstavljaju sistem od dve jednačine sa dve nepoznate. Njihovim rešavanjem dobija se da nepoznate i iznose:

1S 2S

( ),

sin21

sin12sin21 β+

β−∆α−β= tAEGS

( )( ) .

sin212

sin1sin422 β+

β−β∆α+= tAEGS

Na osnovu dobijenih sila i , naponi u elastičnim štapovima su:1S 2S

==σA

S

21

1

( )( ) ,

sin212

sin12sin2 β+

β−∆α−βA

tAEG==σ

A

S22

( )( ) .

sin212

sin1sin42 β+

β−β∆α+A

tAEG