savijanje i uvijanje štapova otvorenog tankostjenog presjeka s

S V E U Č I L I Š T E U S P L I T U

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Ado Matoković

SAVIJANJE I UVIJANJE ŠTAPOVA

OTVORENOG TANKOSTJENOG PRESJEKA

S UTJECAJEM SMICANJA

DOKTORSKA DISERTACIJA

Split, 2012.

ii

Doktorska disertacija izrađena na Zavodu za strojarstvo i brodogradnju,

Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje

Mentor: dr. sc. Radoslav Pavazza, red. prof.

Rad br. 71

iii

Povjerenstvo za ocjenu doktorske disertacije:

1. Dr. sc. Igor Duplančić, red. prof., FESB, Split

2. Dr. sc. Radoslav Pavazza, red. prof., FESB, Split

3. Dr. sc. Ivo Alfirević, professor emeritus, FSB, Zagreb

4. Dr. sc. Nenad Vulić, red. prof., Hrvatski registar brodova, Split

5. Dr. sc. Frane Vlak, izv. prof., FESB, Split

Povjerenstvo za obranu doktorske disertacije:

1. Dr. sc. Igor Duplančić, red. prof., FESB, Split

2. Dr. sc. Radoslav Pavazza, red. prof., FESB, Split

3. Dr. sc. Ivo Alfirević, professor emeritus, FSB, Zagreb

4. Dr. sc. Nenad Vulić, red. prof., Hrvatski registar brodova, Split

5. Dr. sc. Vedrana Cvitanić, docent, FESB, Split

Disertacija obranjena dana 27. travnja 2012.

iv

Savijanje i uvijanje štapova otvorenog tankostjenog presjeka

s utjecajem smicanja

Sažetak

U radu je razmatran utjecaj smicanja pri savijanju i uvijanju štapova otvorenog tankostjenog

presjeka. Izvedeni su približni analitički izrazi za pomake i normalna naprezanja u uzdužnom

smjeru čime su dopunjene: Euler Bernoullijeva teorija i Timoshenkova teorija savijanja i klasična

Vlasovljeva teorija uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka. Pretpostavlja se

da poprečni presjeci zadržavaju svoj oblik, dok se kutne deformacije u srednjoj plohi uzimaju u

obzir pa teorija postaje primjenjiva i za relativno kratke štapove kod kojih utjecaj smicanja nije

zanemariv.

Dani su novi izrazi za pomake i naprezanja u kojima važnu ulogu igraju faktori smicanja, koji su

dani kao čisto geometrijske karakteristike. Za jednostavne poprečne presjeke s dvije i jednom osi

simetrije (I-presjek, U-presjek, T-presjek, L-presjek), faktori smicanja dani su analitički u

parametarskom obliku. Za nesimetrične presjeke faktori smicanja određeni su programiranjem u

Excelu. Vrijednosti pojedinih faktora smicanja uspoređene su s onima iz navedene literature. pri

čemu su vrlo dobra slaganja rezultata.

Razmatrani su štapovi otvorenog tankostjenog presjeka s dvije i jednom osi simetrije kao i štapovi

jednostavnog nesimetričnog presjeka (L-presjek, C-presjek) pri različitim opterećenjima, posebno

na savijanje i posebno na uvijanje, zglobno oslonjeni i upeti na krajevima. Dobiveni rezultati za

pomake i normalno naprezanje testirani su na nizu primjera te uspoređeni s onima iz navedene

literature. Slaganje rezultata je vrlo dobro. Vrijednosti pomaka i normalnog naprezanja, kod svih

primjera, uspoređeni su s rezultatima dobivenim prema metodi konačnih elemenata. Pri

opterećenju na savijanje korišteni su membranski, a kod uvijanja ljuskasti elementi. Ove

usporedbe pokazale su izvrsno slaganje rezultata za pomake i normalna naprezanja po predloženoj

teoriji savijanja i uvijanja s utjecajem smicanja i metodi konačnih elemenata.

Pokazano je da je kod relativno kratkih štapova utjecaj smicanja, posebno na pomake, ali i na

normalna naprezanja u uzdužnom smjeru značajan. Pod kratkim štapovima podrazumijevaju se

oni, kod kojih je omjer duljine štapa i duljine srednje linije poprečnog presjeka mali.

Ključne riječi: tankostjeni štap, otvoreni poprečni presjek, savijanje s utjecajem smicanja, uvijanje

s utjecajem smicanja

v

Influence of shear on bending and torsion of thin-walled beams

with open cross-section

Summary

In this paper the influence of shear on bending and torsion of thin-walled beams with open cross-

section is considered. New approximate expressions for displacements and normal stresses in

longitudinal direction are derived, which supplements Euler-Bernoulli and Timoshenko’s theory

of bending as well as the classical Vlasov’s theory of torsion of thin-walled beams with open

cross-section.

It is assumed that cross-sections maintain their shapes. Shear deformations in the middle plane are

taken into account so that this theory is acceptable for relatively short beams where the influence

of shear is not negligible.

New terms have been assigned to displacements and normal stresses, in which shear factors,

determined as purely geometric characteristics, play a significant role. For simple cross-sections

with two or one axes of symmetry (I-section, U-section, T-section, L-section) shear factors are

provided analytically in parametric form. For asymmetric cross-sections, shear factors are

calculated by using Excel. Values of some shear factors are compared with values from the

references cited, whereby results indicate considerable similarities.

Thin-walled beams with open cross-sections with two or one axes of symmetry as well as thin-

walled beams with simple asymmetric cross-sections (L-section, C-section) at different loads, on

bending and torsion separately, and at different boundary conditions, are considered. Obtained

values for displacements and normal stresses are tested on a series of examples and compared

with those from the references cited. The results show very good agreement.

Values for displacements and normal stresses obtained in all examples are also tested and

compared with those obtained by means of the finite-element method.

Membrane elements are used on bending load, and shell elements are used on torsion load. There

is an excellent agreement between the results obtained by the proposed theory and those obtained

by means of the finite-element method.

It is shown that in relatively short beams the shear influence especially on displacement, but also

on normal stresses in longitudinal direction, is significant. Short beams are those whose have

small ratio length of beam and length of middle line.

Key words: thin-walled beams, open cross-section, bending with influence of shear, torsion with

influence of shear.

vii

Ovaj rad posvećujem:

supruzi Franki, kćerki Ivani i sinu Marinu.

viii

Mentoru, prof. dr. sc. Radoslavu Pavazzi od srca zahvaljujem na poticaju za izradu rada,

pruženoj potpori, velikom razumijevanju i strpljenju, kao i savjetima za vrijeme izrade

rada.

Prijatelju i kolegi dr. sc. Boži Plazibatu dugujem veliku zahvalnost na pomoći pri

grafičkoj obradi ovog rada kao i stalnom bodrenju i ohrabrivanju da se ovaj rad privede

kraju.

Osobitu zahvalnost na korisnim savjetima dugujem professoru emeritusu dr. sc. Ivi

Alfireviću. Kolegama prof. dr. sc. Frani Vlaku, prof. dr. sc. Igoru Duplančiću i prof. dr.

sc. Nenadu Vuliću zahvaljujem na korisnim savjetima i uloženom trudu u pregledavanju

rada.

Veliku podršku kroz svo vrijeme izrade rada imao sam od prijatelja i kolege mr. sc. Ive

Jerčića pa i njemu najiskrenije zahvaljujem.

ix

Sadržaj

Bibliografski podatci ii

Podatci o ocjeni i obrani disertacije iii

Sažetak iv

Summary v

Zahvala viii

Sadržaj ix

Popis tablica xiii

Popis slika xix

Popis oznaka xxxix

1. UVOD 1

1.1. Uvod u problematiku 1

1.2. Pregledni prikaz dosadašnjih istraživanja 1

1.3. Cilj i svrha istraživanja 3

2. SAVIJANJE ŠTAPOVA OTVORENOG TANKOSTJENOG

PRESJEKA S UTJECAJEM SMICANJA

7

2.1. Pretpostavke o deformiranju i naprezanju 7

2.2. Pomaci i deformacije 8

2.3. Naprezanja 11

2.4. Jednadžbe ravnoteže 13

2.5. Veza naprezanja i unutarnjih sila 17

2.5.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila 17

2.5.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila 20

2.6. Pomaci pola 30

2.7. Posebni slučajevi 33

2.7.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije 33

2.7.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije 36

3. UVIJANJE ŠTAPOVA OTVORENOG TANKOSTJENOG PRESJEKA


39

3.1. Jednadžbe ravnoteže 40

3.2. Veza naprezanja i unutarnjih sila 44

3.2.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila 44

3.2.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila 46

3.3. Pomaci pola 55


x



4. UTJECAJ SMICANJA PRI SAVIJANJU I UVIJANJU ŠTAPOVA


----

61




5. ANALIZA REZULTATA 65

5.1. Faktori smicanja 65

5.2. Analiza rezultata pomaka i normalnog naprezanja pri savijanju s

utjecajem smicanja

74

5.3. Analiza pomaka i normalnog naprezanja pri uvijanju s utjecajem

smicanja

86

6. USPOREDBA REZULTATA DANE TEORIJE S REZULTATIMA

DOBIVENIM METODOM KONAČNIH ELEMENATA

91

6.1. Usporedba rezultata za pomake i normalna naprezanja pri savijanju s

utjecajem smicanja

91

6.2. Usporedba rezultata za kut uvijanja, horizontalne pomake i normalna

naprezanja pri uvijanju s utjecajem smicanja

104

7. ZAKLJUČAK 109

LITERATURA 123

Životopis 129

Biography 131

PRILOZI

A. Geometrijske značajke poprečnih presjeka 133

A.1. Presjeci s dvije osi simetrije 140

A.1.1. I presjek 140

A.2. Presjeci s jednom osi simetrije 146

A.2.1. I presjek s jednom osi simetrije 146

A.2.2. T presjek 153

A.2.3. U presjek 158

A.2.4. L presjek 165

A.3. Nesimetrični presjeci 170

A.3.1. L nesimetrični presjek 170

A.3.2. C nesimetrični presjek 175

B. PRIMJERI – Savijanje s utjecajem smicanja 185

B.1. Presjeci s dvije osi simetrije 185

B.1.1. I presjek 185

xi

B.2. Presjeci s jednom osi simetrije 206

B.2.1. I presjek s jednom osi simetrije 206

B.2.2. T presjek 232

B.2.3. U presjek 256

B.2.4. L presjek 310

B.3. Nesimetrični presjeci 328

B.3.1. L nesimetrični presjek 328

B.3.2. C nesimetrični presjek 339

C. PRIMJERI – Uvijanje s utjecajem smicanja 351

C.1. Presjeci s dvije osi simetrije 351

C.1.1. I presjek 351

C.2. Presjeci s jednom osi simetrije 361

C.2.1. I presjek s jednom osi simetrije 361

C.2.2. U presjek 371

xiii

Popis tablica

Tablica 5.1. I-presjek: Faktor smicanja 1/zz K za 1mh i 1 0t t prema [44].

Tablica 5.2. T-presjek Faktor smicanja zz za 1000 mmh i 1 0t t prema [44].

Tablica 5.3. Faktor smicanja zz za 1000 mmh prema [46].

Tablica 5.4. Usporedba faktora smicanja za U-presjek po teoriji SUS i [53].

Tablica 5.5. Usporedba faktora smicanja za C- nesimetrični presjek po teoriji SUS i

[53].

Tablica 5.6. Usporedba faktora smicanja zz i yy po teoriji SUS i [48].

Tablica 5.7. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib P,max b,max/w w w po

teoriji SUS i [32].

Tablica 5.8. Usporedba rezultata za kut uvijanja na kraju konzolnog nosača I-presjeka

po teoriji UUS i [82] i [53].

Tablica 5.9. Rezultati za kut uvijanja i horizontalni pomak na kraju konzolnog nosača U-

presjeka po teoriji UUS i [82], [53], [83] i [32].

Tablica 5.10. Usporedba rezultata za kut uvijanja i horizontalni pomak na kraju konzol-

nog nosača U-presjeka po teoriji UUS i [82], [53], [83] i [32].

Tablica 6.1. Usporedba faktora smicanja na progibe w i v prema SUS i MKE.

Tablica 6.2. Usporedba faktora smicanja na normalna naprezanja Bw i A

v prema SUS i

MKE.

Tablica 6.3. Usporedba faktora smicanja na progibe w i Cv prema SUS i MKE.

Tablica 6.4. Usporedba faktora smicanja na normalna naprezanja Awu i A

v prema

SUS i MKE.

Tablica 6.5. Usporedba normiranih progiba B b,max/v v i B b,max/w w prema SUS i MKE.

Tablica 6.6. Usporedba normiranih normalnih naprezanja točaka A, B, C i D C-

nesimetričnog presjeka, za omjer L/h=3, prema SUS i MKE.

Tablica 6.7. Usporedba faktora smicanja na kut uvijanja i A prema UUS i MKE.

Tablica 6.8. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib točke C Cv i faktora

utjecaja smicanja na normalno naprezanje Av prema teoriji UUS i MKE.

Tablica 7.1. Usporedba faktora smicanja zz za vrijednosti 0 i 0,3 .

Tablica 7.2. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe i faktora utjecaja smicanja

na normalna naprezanja za I-presjek prema SUS i MKE.


na normalna naprezanja za U-presjek prema SUS i MKE.

Tablica 7.4. Usporedba faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja i faktora utjecaja

smicanja na normalna naprezanja za I-presjek prema teoriji UUS i MKE.


smicanja na normalna naprezanja za U-presjek prema teoriji UUS i MKE.

xiv

Tablica A.1. I presjek s dvije osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

Tablica A.2. I presjek s dvije osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Tablica A.3. I presjek s dvije osi simetrije: Statički moment površine odsječenog dijela

presjeka *yS .


presjeka *zS .

Tablica A.5. I presjek s dvije osi simetrije: Sektorski statički moment površine

odsječenog dijela presjeka *S .

Tablica A.6. I presjek s dvije osi simetrije:

*

0

dzs

ySs

t.

Tablica A.7. I presjek s dvije osi simetrije: *

0

d

ys

zSs

t.


0

d

sS

st

.

Tablica A.9. I presjek s dvije osi simetrije: Površina, aksijalni, sektorski, polarni i

torzijski moment tromosti, polarni moment otpora.

Tablica A.10. I presjek s dvije osi simetrije: Faktori smicanja.


Tablica A.12. I presjek s jednom osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Tablica A.13. I presjek s jednom osi simetrije: Statički moment površine odsječenog

dijela presjeka *yS .

Tablica A.14. I presjek s jednom osi simetrije: Statički moment površine odsječenog

dijela presjeka *zS .

Tablica A.15. I presjek s jednom osi simetrije: Sektorski statički moment površine

odsječenog dijela presjeka *S .

Tablica A.16. I presjek s jednom osi simetrije:

*

0

dzs

ySs

t.

Tablica A.17. I presjek s jednom osi simetrije: *

0

d

ys

zSs

t.


0

d

sS

st

.

Tablica A.19. I presjek s jednom osi simetrije: Položaj težišta i glavnog pola, površina,

aksijalni, sektorski, polarni i torzijski moment tromosti, polarni moment

otpora.

Tablica A.20. I presjek s jednom osi simetrije: Faktori smicanja.

Tablica A.21. T presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

xv

Tablica A.22. T presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Tablica A.23. T presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .

Tablica A.24. T presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .

Tablica A.25. T presjek:

*

0

dzs

ySs

t.

Tablica A.26. T presjek: *

0

dzs

zSs

t.

Tablica A.27. T presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski momenti tromosti.

Tablica A.28. T presjek: Faktori smicanja.

Tablica A.29. U presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

Tablica A.30. U presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Tablica A.31. U presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .

Tablica A.32. U presjek: Satički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .

Tablica A.33. U presjek: Sektorski statički moment površine odsječenog dijela presjeka *S .

Tablica A.34. U presjek:

*

0

dzs

ySs

t.

Tablica A.35. U presjek: *

0

d

ys

zSs

t.


0

d

sS

st

.

Tablica A.37. U presjek: Položaj težišta i glavnog pola, površina, aksijalni, sektorski,

polarni i torzijski moment tromosti, polarni moment otpora.

Tablica A.38. U presjek: Faktori smicanja.

Tablica A.39. L presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

Tablica A.40. L presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Tablica A.41. L presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .

Tablica A.42. L presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .

Tablica A.43. L presjek:

*

0

dzs

ySs

t.

Tablica A.44. L presjek: *

0

d

ys

zSs

t.

Tablica A.45. L presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski momenti tromosti.

Tablica A.46. L presjek: Faktori smicanja.

xvi

Tablica A.47. L nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

Tablica A.48. L nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Tablica A.49. L nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela

presjeka *yS .

Tablica A.50. L nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela

presjeka *zS .

Tablica A.51. L nesimetrični presjek:

*

0

dzs

ySs

t.

Tablica A.52. L nesimetrični presjek: *

0

d

ys

zSs

t.

Tablica A.53. L nesimetrični presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski

momenti tromosti.

Tablica A.54. L nesimetrični presjek: Faktori smicanja.

Tablica A.55. C nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

Tablica A.56. C nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Tablica A.57. C nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela

presjeka *yS .

Tablica A.58. C nesimetrični presjek: Satički moment površine odsječenog dijela

presjeka *zS .

Tablica A.59. C nesimetrični presjek: Sektorski statički moment površine odsječenog

dijela presjeka *S .

Tablica A.60. C nesimetrični presjek:

*

0

dzs

ySs

t.

Tablica A.61. C nesimetrični presjek: *

0

d

ys

zSs

t.


0

d

sS

st

.

Tablica A.63. C nesimetrični presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski

momenti tromosti.

Tablica A.64. C nesimetrični presjek: Faktori smicanja.

Tablica B.1. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .

Tablica B.2. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h .

Tablica B.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .

Tablica B.4. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .

Tablica B.5. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .

xvii

Tablica B.6.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h .

Tablica B.6.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h .

Tablica B.7. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .

Tablica B.7.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .

Tablica B.8. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .

Tablica B.9. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .

Tablica B.10.a. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h .

Tablica B.10.b. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h .

Tablica B.11. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .

Tablica B.12. T presjek: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h . /L h .

Tablica B.13. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h .

Tablica B.14.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h .

Tablica B.14.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h .

Tablica B.15. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v o omjeru /L h .

Tablica B.15.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L h .

Tablica B.16. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .

Tablica B.17. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b .

Tablica B.18.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b .

Tablica B.18.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b .

Tablica B.19. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v o omjeru /L b .

Tablica B.19.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L b .

Tablica B.20. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .

Tablica B.21. L presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L b .

Tablica B.22. L presjek: Ovisnost faktora Aw o omjeru /L b .

Tablica B.23. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b .

Tablica B.24. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .

Tablica C.1. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h .

Tablica C.2. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h .

Tablica C.3.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h .

Tablica C.3.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .

Tablica C.4.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora A

v o omjeru /L h .

Tablica C.4.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora D

v o omjeru /L h .

xviii

Tablica C.5.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora o omjeru /L h .

Tablica C.5.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L h .

Tablica C.6.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .

Tablica C.6.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .

Tablica C.7.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora o omjeru /L b .

Tablica C.7.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L b .

Tablica C.8.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .

Tablica C.8.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bv o omjeru /L b .

xix

Popis slika

Slika 2.1. Pomaci točke S srednje plohe: a) komponentni pomaci; b) pomaci u ravnini

poprečnog presjeka.

Slika 2.2. Kutna deformacija u srednjoj plohi.

Slika 2.3. Ravnoteža diferencijalnog elementa.

Slika 2.4. Vanjsko opterećenje štapa: a) sile na jedinicu površine b) sile na jedinicu

duljine.

Slika 2.5. Ravnoteža konačnog elementa.

Slika 3.1. Vanjsko opterećenje.

Slika 3.2. Ravnoteža konačnog elementa štapa.

Slika 5.1. Utjecaj Poissonova koeficijenta na faktor smicanja zz za I-presjek prema

[44].

Slika 5.2. Utjecaj Poissonova koeficijenta na faktor smicanja zz za T-presjek

prema [44].

Slika 5.3. Vanjsko opterećenje i oslonci nosača.

Slika 5.4. Geometrija poprečnog presjeka.

Slika 5.5. Normirani pomak P b/w w - ukliješteni nosač.

Slika 5.6. Normirani pomak P b/v v - ukliješteni nosač.

Slika 5.7. Normirano normalno naprezanje duž pojasa na sredini raspona - ukliješteni

nosač.

Slika 5.8. Normirano normalno naprezanje duž struka na sredini raspona - ukliješteni

nosač.


Slika 5.10. Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.

Slika 5.11. Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.

Slika 5.12. Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika 5.13. Normirano normalno naprezanje b/wux x duž lijeve vertikalne stjenke na

sredini raspona - ukliješteni nosač.

Slika 5.14. Normirano normalno naprezanje b/wux x duž horizontalne stjenke na


Slika 5.15. U presjek b h : Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -

ukliješteni nosač.

Slika 5.16. Normirano normalno naprezanje b/vx x duž lijeve vertikalne stjenke na


Slika 5.17. Normirano normalno naprezanje b/vx x duž horizontalne stjenke na



Slika 5.19. Normirani pomak B b/v v - zglobno oslonjen nosač.

Slika 5.20. Normirani pomak B b/w w - zglobno oslonjen nosač.

xx

Slika 5.21. Normirano normalno naprezanje b/x x duž gornjeg pojasa na sredini

raspona – zglobno oslonjen nosač.

Slika 5.22. Normirano normalno naprezanje b/x x duž struka na sredini raspona -

zglobno oslonjen nosač.

Slika 5.23. Normirano normalno naprezanje b/x x duž donjeg pojasa na sredini

raspona – zglobno oslonjen nosač.

Slika 5.24. Normirani pomak VlasovB B/v v - ukliješteni nosač.

Slika 5.25. Normirano normalno naprezanje duž pojasa na sredini raspona – ukliješteni

nosač.

Slika 5.26. U presjek b h : Normirani pomaci VlC Cmax/v v , s Vl

C Cmax/v v i VlC Cmax/zMv v -


Slika 5.27. U presjek b h : Normirani pomaci VlC Cmax/v v - ukliješteni nosač.

Slika 5.28. U presjek b h : Normirano naprezanje Vlmax/v

x x duž vertikalne stjenke

na sredini raspona - ukliješteni nosač.


x x duž horizontalne

stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.

Slika 6.1. a) membranski element; b) opterećenje štapa.

Slika 6.2. a) rubni uvjeti za zglobno oslonjeni nosač; b) rubni uvjeti za ukliješteni

nosač.

Slika 6.3. a) gustoća mreže; b) položaj opterećenja.





nosač.


nosač.


Slika 6.10. Normirani pomak P b,max/w w - zglobno oslonjeni nosač.

Slika 6.11. Normirani pomak C b,max/v v - zglobno oslonjeni nosač.

Slika 6.12. Normirano normalno naprezanje b,max/wu

x x duž lijeve vertikalne stjenke na

sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.


x x duž horizontalne stjenke na


Slika 6.14. Normirano normalno naprezanje b,max/v







xxi


Slika 6.18. Normirani pomak C b,max/v v - ukliješteni nosač.

Slika 6.19. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž gornjeg pojasa na sredini

raspona - zglobno oslonjen nosač.

Slika 6.20. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka na sredini raspona -


Slika 6.21. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž donjeg pojasa na sredini


Slika 6.22. a) ljuskasti element; b) opterećenje štapa.

Slika 6.23. Normirani pomak VLB B,max/v v - ukliješteni nosač.

Slika 6.24. Normirano normalno naprezanje Vlasov/x x duž pojasa na sredini raspona

- ukliješteni nosač.

Slika 6.25. Normirani pomak VL

C C,max/v v - zglobno oslonjeni nosač.

Slika 6.26. Normirano normalno naprezanje VL,max/v






Slika A.1. Krivocrtne koordinate za U poprečni presjek.

Slika A.2. Raspodjela odsječenog dijela površine *zA , raspodjela statičkog momenta

odsječenog dijela površine *yS te krivocrtna koordinata zs za U presjek.

Slika A.3. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *yS te predznaka krivocrtne koordinate zs sa smjerom toka tangencijalnog

naprezanja z

t .

Slika A.4. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *zS te predznaka krivocrtne koordinate ys sa smjerom toka tangencijalnog

naprezanja y

t .

Slika A.5. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *S te predznaka krivocrtne koordinate s sa smjerom toka tangencijalnog

naprezanja t

.

Slika A.6. Korekcija funkcije raspodjele integrala

*

0

dzs

ySs

t.

Slika A.7. I presjek s dvije osi simetrije: geometrija.

Slika A.8. I presjek s dvije osi simetrije: glavna koordinata y, glavna koordinata z,

glavna sektorska koordinata .

Slika A.9. I presjek s dvije osi simetrije: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata

zs , ys i s .

Slika A.10. I presjek s jednom osi simetrije: geometrija.

xxii

Slika A.11. I presjek s jednom osi simetrije: glavna koordinata y, glavna koordinata z,

glavna sektorska koordinata .

Slika A.12. I presjek s jednom osi simetrije: Definiranje predznaka krivocrtnih

koordinata zs , ys i s .

Slika A.13. T presjek: geometrija.

Slika A.14. T presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.

Slika A.15. T presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i ys .

Slika A.16. U presjek: geometrija.

Slika A.17. U presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z, glavna sektorska

koordinata .

Slika A.18. U presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs , ys i s .

Slika A.19. L presjek: geometrija.

Slika A.20. L presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.

Slika A.21. L presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i ys .

Slika A.22. L nesimetrični presjek: geometrija.

Slika A.23. L nesimetrični presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.

Slika A.24. L nesimetrični presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i

ys .

Slika A.25. C nesimetrični presjek: geometrija.

Slika A.26. C nesimetrični presjek: glavna koordinata y , glavna koordinata z i glavna

sektorska koordinata .

Slika A.27. C nesimetrični presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata ys , zs

i s .

Slika A.28. C nesimetrični presjek: Korekcija za *

0

d

sS

st

.

Slika B.1. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE

membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE

položaj opterećenja.

Slika B.2. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.4. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/w

x x - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.5. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.6. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w

x x

duž pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.


x x

duž struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.

xxiii

Slika B.8. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješten

nosač.

Slika B.9. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješten

nosač.


x x -ukliješteni nosač.

Slika B.11. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h -


Slika B.12. Normirano normalno naprezanje b,max/w

x x duž pojasa na sredini raspona

– ukliješteni nosač.


x x

duž struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x

duž pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x


Slika B.16. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE



Slika B.17. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.18. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.19. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A

,max/v bx x - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.20. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.21. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v

x x


Slika B.22. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - ukliješteni

nosač.

Slika B.23. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h -


Slika B.24. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v

x x - ukliješteni nosač.

Slika B.25. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -

ukliješten nosač.


x x

duž pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.

xxiv


x x

duž pojasa na mjestu uklještenja.

Slika B.28. I presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE



Slika B.29. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.30. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h -


Slika B.31. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak s bmax/u w - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.32. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu


Slika B.33. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/wu


Slika B.34. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -


Slika B.35. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h -


Slika B.36. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/wu

x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen

nosač.


x x duž struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.


x x duž donjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.39. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni

nosač.

Slika B.40. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h -


Slika B.41. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni

nosač.





Slika B.44. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -


Slika B.45. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h -


xxv


x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž donjeg pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž struka na mjestu uklještenja.


x x duž donjeg pojasa na mjestu uklještenja.




Slika B.53. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i

B bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.54. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak točke B B bmax/v v -


Slika B.55. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v i Bv o omjeru /L h -


Slika B.56. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v


Slika B.57. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -


Slika B.58. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v


nosač.


B bmax/v v - ukliješteni nosač.

Slika B.60. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak točke B B bmax/v v -






Slika B.63. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -


Slika B.64. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje

xxvi

b,max/v

x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.


x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.

Slika B.66. T presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element,

d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.

Slika B.67. T presjek: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.68. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.69. T presjek: Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.70. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu

x x - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.71. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/wu

x x - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.72. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.73. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.74. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/wu

x x duž pojasa na



x x duž struka na


Slika B.76. T presjek: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika B.77. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješteni nosač.

Slika B.78. T presjek: Normirani pomak s max/ bu w - ukliješteni nosač.


x x - ukliješteni

nosač.


x x -ukliješteni

nosač.

Slika B.81. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.

Slika B.82. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.

Slika B.83. T presjeke: Normirano normalno naprezanje b,max/wu

x x duž pojasa na

sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž struka na

sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž pojasa na

mjestu uklještenja.


x x duž struka na

mjestu uklještenja.

Slika B.87. T presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element,


xxvii

Slika B.88. T presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.89. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.90. T presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v

x x - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.91. T presjek: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.92. T presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/v

x x duž pojasa na


Slika B.93. T presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - ukliješteni nosač.

Slika B.94. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - ukliješteni nosač.


x x - ukliješteni

nosač.



x x duž pojasa na


Slika B.98. T presjek: Normirano normalno naprezanje b/vx x duž pojasa na mjestu

uklještenja.

Slika B.99. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski

element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj

opterećenja.

Slika B.100. U presjek (b=h): Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.101. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.102. U presjek (b=h): Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.103. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/wu

x x -


Slika B.104. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu

x x -


Slika B.105. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.106. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.107. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu

x x duž lijeve

vertikalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.


x x duž

horizontalne stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.109. U presjek (b=h): Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika B.110. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješteni nosač.

Slika B.111. U presjek (b=h): Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.

xxviii


x x -



x x -


Slika B.114. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.

Slika B.115. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.


x x duž lijeve

vertikalne stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž

horizontalne stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž lijeve

vertikalne stjenke na mjestu uklještenja.


x x duž

horizontalne stjenke na mjestu uklještenja.

Slika B.120. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski


opterećenja.

Slika B.121. U presjek (b=h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -


Slika B.122. U presjek (b=h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.123. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.124. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v

x x -


Slika B.125. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/v

x x -


Slika B.126. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.127. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje b,max/v

x x duž lijeve



x x duž


Slika B.129. U presjek (b=h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -


Slika B.130. U presjek (b=h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - ukliješteni nosač.

Slika B.131. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L h - ukliješteni

nosač.

xxix


x x -



x x -


Slika B.134. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -ukliješteni nosač.


x x duž lijeve

vertikalne stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.


x x duž

horizontalne stjenke na sredini raspona - ukliješteni nosač.


x x duž lijeve



x x duž


Slika B.139. U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski


opterećenja.

Slika B.140. U presjek (b=2h): Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.141. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.142. U presjek (b=2h): Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.143. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/wu

x x -


Slika B.144. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/wu

x x -


Slika B.145. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.146. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.147. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/wu

x x duž lijeve

vertikalne stjenke na mjestu raspona - zglobno oslonjen nosač.


x x duž

horizontalne stjenke na mjestu raspona - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.149. U presjek (b=2h): Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika B.150. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b - ukliješteni nosač.

Slika B.151. U presjek (b=2h): Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.


x x -



x x -

xxx


Slika B.154. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b -ukliješteni nosač.

Slika B.155. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b -ukliješteni nosač.


x x duž lijeve



x x duž



x x duž lijeve



x x duž


Slika B.160. U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski


opterećenja.

Slika B.161. U presjek (b=2h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -


Slika B.162. U presjek (b=2h): Normirani pomak točke C bmax/Cv v - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.163. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L b - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.164. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v

x x -


Slika B.165. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B b,max/v

x x -


Slika B.166. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.167. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje b,max/v

x x duž lijeve



x x duž

horizontalne stjenke stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.



Slika B.170. U presjek (b=2h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - ukliješteni nosač.

Slika B.171. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L b - ukliješteni

nosač.


x x -



x x -


xxxi

Slika B.174. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b -ukliješteni nosač.


x x duž lijeve



x x duž



x x duž lijeve



x x duž


Slika B.179. L presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE



Slika B.180. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.181. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L b -


Slika B.182. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/w


Slika B.183. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Aw o omjeru /L b -


Slika B.184. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/w

x x duž pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.



Slika B.186. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni

nosač.

Slika B.187. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L b -







x x duž pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.




Slika B.193. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno

xxxii

oslonjen nosač.

Slika B.194. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b -


Slika B.195. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A

,max/v bx x - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.196. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L b -


Slika B.197. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje b,max/v

x x duž pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.



Slika B.199. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - ukliješteni

nosač.

Slika B.200. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b -


Slika B.201. L presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/v





x x duž pojasa na sredini raspona -ukliješteni nosač.


x x duž struka na sredini raspona -ukliješteni nosač.

Slika B.205. L nesimetrični presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski


opterećenja.

Slika B.206. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/v v , s bmax/v v i P bmax/zv v -


Slika B.207. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.208. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/w w , s bmax/w w i

P bmax/yw w - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.209. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.210. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x

- zglobno oslonjen nosač.

Slika B.211. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x


Slika B.212. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x

xxxiii


Slika B.213. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž

struka na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.


pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.215. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/v v , s bmax/v v i P bmax/zv v -


Slika B.216. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/v v -ukliješteni nosač.

Slika B.217. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/w w , s bmax/w w i

P bmax/yw w - ukliješteni nosač.

Slika B.218. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika B.219. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x


Slika B.220. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x


Slika B.221. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x



struka na sredini raspona - ukliješteni nosač.


pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.

Slika B.224. C nesimetrični presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti


opterećenja.

Slika B.225. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.226. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/w w - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.227. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x


Slika B.228. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x


Slika B.229. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x


Slika B.230. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke D b,max/x x


Slika B.231. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž

gornjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.

xxxiv




donjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.234. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - ukliješteni

nosač.

Slika B.235. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/w w - ukliješteni

nosač.

Slika B.236. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x


Slika B.237. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x


Slika B.238. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x


Slika B.239. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke D b,max/x x - ukliješteni nosač.


gornjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.




donjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.

Slika C.1. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti


opterećenja.

Slika C.2. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak VLB B,max/v v - zglobno

oslonjen nosač.

Slika C.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

Slika C.4. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/x x


Slika C.5. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

Slika C.6. I presjek s dvije osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/x x


Slika C.7. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak VLB B,max/v v - ukliješteni

nosač.

Slika C.8. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h -


xxxv



Slika C.10. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h -






Slika C.13. I presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE

ljuskasti element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE


Slika C.14. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak VL VLB B,max/v v , s VL

B B,max/v v i

VLB B,max/zMv v - zglobno oslonjen nosač.

Slika C.15. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak VLB B,max/v v - zglobno

oslonjen nosač.

Slika C.16. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v


Slika C.17. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje točke D VL,max/v


Slika C.18. I presjek s jednom osi simetrije: Normirano normalno naprezanje VL,max/v


nosač.


x x duž donjeg pojasa na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.

Slika C.20. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomaci VL VLB B,max/v v , s VL

B B,max/v v i

VLB B,max/zMv v - ukliješteni nosač.

Slika C.21. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak VLmaxB B/v v - ukliješteni

nosač.






x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona -ukliješteni nosač.


x x duž donjeg pojasa na sredini raspona -ukliješteni nosač.

Slika C.26. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti element,


xxxvi

Slika C.27. U presjek (b=h): Normirani pomak VL VLC C,max/v v , s VL

C C,max/v v i VLC C,max/zMv v -


Slika C.28. U presjek (b=h): Normirani pomak VLC C,max/v v - zglobno oslonjen nosač.

Slika C.29. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v

x x -


Slika C.30. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje točke B VL,max/v

x x -


Slika C.31. U presjek (b=h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v

x x duž



x x duž


Slika C.33. U presjek (b=h): Normirani pomak VL VLC C,max/v v , s VL



Slika C.34. U presjek (b=h): Normirani pomak VLC C,max/v v - ukliješteni nosač.


x x -



x x -



x x duž

vertikalne stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.


x x duž

horizontalne stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.

Slika C.39. U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti element,


Slika C.40. U presjek (b=2h): Normirani pomaci VL VLC C,max/v v , s VL



Slika C.41. U presjek (b=2h): Normirani pomak VLC C,max/v v - zglobno oslonjen nosač.

Slika C.42. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke A VL,max/v

x x -


Slika C.43. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B VL,max/v

x x -


Slika C.44. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje VL,max/v

x x duž



x x duž





xxxvii

Slika C.47. U presjek (b=2h): Normirani pomak VLC C,max/v v - ukliješteni nosač.


x x -



x x -



x x duž

vertikalne stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.


x x duž

horizontalne stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.

xxxix

Popis oznaka

A površina poprečnog presjeka

* * *, ,y yA A A površine odsječenog dijela presjeka

, ,yy yz yzA A A reducirane smicajne površine poprečnog presjeka

0 1 2, ,A A A površine pojedinih dijelova poprečnog presjeka

1 2, ,b b b duljine horizontalnih stjenki poprečnog presjeka

B bimoment

,y zB B sekundarni bimomenti pri savijanju s utjecajem smicanja

B sekundarni bimoment pri uvijanju s utjecajem smicanja

E modul elastičnosti

F sila

G modul smicanja

h visina vertikalne stjenke srednje linije poprečnog presjeka

Ph udaljenost glavnog pola od tangente na srednju liniju razmatrane

točke, odnosno od ishodišne točke M

PI moment tromosti površine u odnosu na glavni pol P

sPI smicajni moment tromosti površine u odnosu na glavni pol P

tI torzijski moment tromosti površine

zy II , aksijalni momenti tromosti površine u odnosu na os y, odnosno os z

I sektorski moment tromosti površine u odnosu na sektorsku

koordinatu ω

,w vk k koeficijenti smicanja

l duljina štapa

sL proizvoljno odabrana duljina konture poprečnog presjeka

Pm moment na jedinicu duljine u odnosu na glavni pol P

tm moment čistog uvijanja na jedinicu duljine

m moment izvitoperenja na jedinicu duljine

M ishodišna točka

,y zM M momenti savijanja oko y, odnosno z osi

xl

, , ,y z z zy z y yM M M M sekundarni momenti savijanja pri savijanju s utjecajem smicanja

,y zM M sekundarni momenti savijanja pri uvijanju s utjecajem smicanja

PM moment uvijanja

tM moment čistog uvijanja

tM moment čistog uvijanja po jedinici duljine

M moment izvitoperenja

N uzdužna sila

,y zN N sekundarne uzdužne sile pri savijanju s utjecajem smicanja

N sekundarna uzdužna sila pri uvijanju s utjecajem smicanja

Oxyz pravokutni koordinatni sustav

zy pp , sile na jedinicu površine u odnosu na os y, odnosno os z

P glavni pol

zy qq , sile na jedinicu duljine u smjeru osi y, odnosno osi z

,y zQ Q poprečne sile u smjeru osi y, odnosno osi z,

s krivocrtna koordinata

S točka srednje linije

zy SS , statički momenti površine u odnosu na os y, odnosno os z

** , zy SS statički momenti dijela površine u odnosu na os y, odnosno os z

S sektorski statički moment površine u odnosu na sektorsku koordinatu

ω

*

S sektorski statički moment dijela površine u odnosu na sektorsku

koordinatu ω

t debljina stijenke

0 1 2, ,t t t debljina vertikalne stijenke, odnosno horizontalnih stjenki

T težište

0 0 0, ,v wT T T tok tangencijalnog naprezanja u odnosu na pomake P ,v Pw i P

P P,v w

pomaci glavnog pola u smjeru osi y, odnosno osi z (progib štapa u

smjeru osi y, odnosno osi z)

b b,v w

pomaci poprečnog presjeka u smjeru osi y, odnosno osi z (progib

štapa u smjeru osi y, odnosno osi z) prema klasičnoj EBBT

s s,v w

dodatni pomaci od smicanja

xli

zyx ,, pravokutne koordinate

PW polarni moment otpora porečnog presjeka

P P,y zW W smicajni momenti otpora porečnog presjeka

P, kut uvijanja u odnosu na glavni pol P

t kut uvijanja u odnosu na glavni pol P prema klasičnoj Vlasovljevoj

teoriji

s dodatni kut uvijanja zbog smicanja u odnosu na glavni pol P

kut nagiba progibne linije u odnosu na os y

b kut nagiba progibne linije u odnosu na os y prema klasičnoj EBBT

s dodatni kut nagiba progibne linije u odnosu na os y od smicanja

, , , ,u v wx x x x x

duljinske deformacije u smjeru osi x

, , , , ,w v wu v v faktori utjecaja smicanja na normalno naprezanje

kut nagiba progibne linije u odnosu na os z

b kut nagiba progibne linije u odnosu na os z prema klasičnoj EBBT

s dodatni kut nagiba progibne linije u odnosu na os z od smicanja

x kutna deformacija

, ,v wx x x

komponente kutne deformacije u odnosu na pomake P ,v Pw i P

, , , ,w v v v faktori utjecaja smicanja na progibe, odnosno kut uvijanja

, , , , ,

, ,

xy xz yy yz zz

zy y z

faktori smicanja pri savijanju s utjecajem smicanja

, , ,x y z faktori smicanja pri uvijanju s utjecajem smicanja

relativni kut uvijanja

t relativni kut uvijanja prema klasičnoj Vlasovljevoj teoriji

s dodatni relativni kut uvijanja zbog smicanja

x normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa

, , ,u v wx x x x

komponente normalnog naprezanja u odnosu na pomake M ,u P ,v

Pw i P

x tangencijalno naprezanje u smjeru tangente na srednju liniju

l

x

c

x ,

tangencijalno naprezanje pri izvitoperenju, odnosno pri čistom

uvijanju

xlii

, ,v wx x x

komponente tangencijalnog naprezanja u odnosu na pomake P ,v Pw

i P

,, pravokutne koordinate lokalnog koordinatnog sustava

glavna sektorska koordinata

Popis kratica

EBT Euler-Bernoullijeva teorija

MKE metoda konačnih elemenata

SUS savijanje s utjecajem smicanja

UUS uvijanje s utjecajem smicanja

1

1. UVOD

1.1. Uvod u problematiku

Teorija štapova tankostjenog presjeka odavno je prisutna u proračunima različitih

konstrukcija koje se susreću u strojarskoj, građevinskoj, automobilskoj i brodograđevnoj

praksi.

Tankostjeni štapovi zatvorenog, zatvoreno-otvorenog ili otvorenog poprečnog presjeka imaju

izuzetno povoljan odnos fleksijske i torzijske krutosti prema masi ugrađenog materijala.

Stoga se koriste kao nosivi elementi u suvremenim brodskim [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7],

[8], [9], zrakoplovnim [10], [11], građevinskim [12], [13] i automobilskim konstrukcijama. U

građevinskim konstrukcijama tankostjeni štapovi su uglavnom samostalni nosivi elementi

[14], [15], dok se brodske i avionske konstrukcije mogu idealizirati štapom odnosno sustavom

štapova, najčešće otvorenog ili zatvoreno-otvorenog poprečnog presjeka. Štap otvorenog

tankostjenog presjeka može se shvatiti (sa stajališta mehanike deformabilnih tijela) kao štap i

kao ljuska.

Modeliranje tankostjenih konstrukcija ljuskama ili tankim pločama daje za mnoge slučajeve

geometrije, opterećenja i rubnih uvjeta prihvatljiva rješenja. Ipak takav pristup nije uvijek

pogodan jer zahtijeva moćne numeričke metode. Osim toga za analizu velikog broja izlaznih

rezultata potrebno je dosta vremena i energije. Takav pristup ne omogućuje jednostavnu

fizikalnu interpretaciju. Iz ukupnih rezultata nije moguće izdvojiti pojedine utjecaje; npr. pri

opterećenju nije moguće izdvojiti normalna naprezanja uzrokovana samo savijanjem od onih

nastalih samo uvijanjem, ili izdvojiti normalna naprezanja i pomake samo od smicanja pri

savijanju i uvijanju. Zbog toga su mnogi autori nastojali ovakove konstrukcije ili dijelove

konstrukcija modelirati tankostjenim štapom otvorenog, zatvorenog ili otvoreno-zatvorenog

presjeka.

1.2. Pregledni prikaz dosadašnjih istraživanja

Klasična teorija savijanja, poznata pod imenom Euler-Bernoulijava teorija, polazi od

pretpostavke da poprečni presjeci nakon deformiranja ostaju ravni i okomiti na elastičnu liniju

[16], [17]. Izrazi za progibe i normalno naprezanje po ovoj teoriji zadovoljavaju u

2

inženjerskim proračunima tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka, ako je veliki

omjer duljine štapa prema duljini konture srednje linije poprečnog presjeka.

Za relativno kratke štapove, kod kojih je navedeni omjer mali, znatan je utjecaj smicanja pa

Timošenko nadopunjuje teoriju savijanja uzimajući u obzir kutne deformacije. On uvodi

faktor smicanja i definira ga kao omjer maksimalnog tangencijalnog naprezanja i srednjeg

tangencijalnog naprezanja u poprečnom presjeku. Timošenko pretpostavlja jednoliku

raspodjelu kutne deformacije po visini poprečnog presjeka pa ravni presjeci ostaju ravni

nakon deformiranja, ali nisu više okomiti na elastičnu liniju [18], [19].

Za razvoj teorije tankostjenih štapova zaslužni su Timošenko i Vlasov. Od prvih sistematskih

radova V.Z. Vlasova [20], iz tridesetih godina prošlog stoljeća, mnogi autori usavršavali su

teoriju uglavnom prema potrebama strojarske, građevinske i brodograđevne prakse.

Vlasovljeva teorija daje jednostavno rješenje problema, zahvaljujući pretpostavkama o načinu

deformiranja poprečnog presjeka te raspodjeli naprezanja. Doprinos teoriji tankostjenih

štapova otvorenog i zatvorenog poprečnog presjeka dali su kroz svoje radove: Kollbruner i

Hajdin [21], [22], Gjelsvik [23], Murray [24], Pavazza [25] ], [26] ], [27], Prokić [28], Saade

[29], El Fatmi [30], [31], [32], [33], i dr.

Predložene su mnoge metode koje bi prevladale nedostatak klasične teorije i omogućile

primjenu u inženjerskim proračunima jednodimenzionalnog štapnog modela, za bilo koju

geometriju poprečnog presjeka i bilo koje rubne uvjete. Poboljšanja klasičnih teorija dobivena

su pomoću različitih pristupa: uvođenjem faktora smicanja [34], [35], [36], korištenjem

funkcija vitoperenja zasnovanim na Saint-Venantovom rješenju [29], [31], [32], uvođenjem

općih teorija štapa [37], [38], [39], [40], [41], [42], ili uz pomoć teorija višeg reda [43].

O faktoru smicanja pri savijanju postoje brojni radovi: [44], [45], [46], [47], [48], [49], [50],

[51]. Tako Cowper [44], kao i Senjanović [46], navode gotove izraze za izračunavanje

faktora smicanja K za neke jednostavne presjeke (I-presjek, T-presjek, U-presjek). U njima

faktor smicanja ovisi o geometriji poprečnog presjeka, ali i o Poissonovu koeficijentu.

Pavazza [35], [36], do faktora smicanja dolazi geometrijskim pristupom i faktor smicanja je

ovisan samo o obliku poprečnog presjeka. Uključivanjem faktora smicanja poboljšani su

izrazi za izračunavanje pomaka i dobiveni rezultati daju vrlo dobra poklapanja u usporedbi sa

rezultatima dobivenim uz pomoć metode konačnih elemenata. Roberts [52] daje približne

formule za izračunavanje faktora smicanja I-presjeka, a Kim [53] navodi vrijednosti faktora

smicanja za konkretan U-presjek kao i za C-nesimetrični presjek. El Fatmi [31], [32] faktore

3

smicanja određuje numerički i navodi vrijednosti za I-presjek, T-presjek i U-presjek. El Fatmi

navodi da se za tankostjene štapove otvorenog poprečnog presjeka Poissonov efekt može

zanemariti.

Iako smicanje znatnije utječe na pomake, bitan je i utjecaj smicanja na iznose normalnih

naprezanja. Tako je Pavazza izraze za normalna naprezanja nadopunio članovima kojima se

uzima u obzir utjecaj smicanja [35], [36], [54]. Za razne slučajeve opterećenja jednostavnih

nosača i rubnog oslanjanja navedeni izrazi daju dobra poklapanja normalnih naprezanja u

usporedbi sa metodom konačnih elemenata [55], [56]. Ovi izrazi za normalna naprezanja

dobro opisuju nejednoliku raspodjelu istih za široke pojase I, T i U profila - fenomen shear

lag. Ovu pojavu u svojim radovima razmatralo je više autora, kao na pr.: Lertsima [57],

Pavlović [58], [59], Tahan [60], Tenchev [61].

Niz autora bavilo se teorijom uvijanja štapova otvorenog tankostjenog presjeka s utjecajem

smicanja te su naslanjajući se na klasičnu teoriju Vlasova donosili određena poboljšanja:

Burgoyne [62], [63], Eisenberger [64], Roberts and Al-Ubaidi [52], Sapountzakis and Mokos

[65], Erkmen [66], Saade [29], Pavazza [36], El Fatmi [31] i [32], Campanile [67], [68]. Neke

od navedenih teorija razmatraju utjecaj smicanja sa ograničenim vitoperenjem zbog smicanja

(El Fatmi [31]) dok neke teorije (Pavazza [36]) ne ograničavaju vitoperenje zbog smicanja.

Na razvoju tankostjenih štapnih konačnih elemenata i makroelemenata pogodnih za proračune

tankostjenih konstrukcija pomoću računala radili su Prokić [69], Saade [29], Musat [70],

Jonsson [71], Kim i Kim [53], Eisenberger [64] i dr.

Za izračun naprezanja potrebno je poznavati geometrijske katrakteristike poprečnih presjeka.

U tu svrhu rađeni su računalni programi za izračun geometrijskih karakteristika otvorenih,

zatvorenih i otvoreno zatvorenih poprečnih presjeka: Alfano [72], Prokić [73], Yilmaz [74],

Piscopo [75], Plazibat [76], [77].

1.3. Cilj i svrha istraživanja

Temeljni zadatak rada bio je postaviti približnu teoriju savijanja i uvijanja tankostjenih

štapova otvorenog poprečnog presjeka za različite slučajeve opterećenja (kontinuirano

opterećenje, jednoliko raspodijeljeni momenti uvijanja, koncentrirano opterećenje) i različite

rubne uvjete (zglobni oslonci, uklještenja). Teorija bi predstavljala nadopunu radova koje je

objavio Pavazza, polazeći od Timoshenkove teorije savijanja i klasične Vlasovljeve teorije

4

uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka. Smicanje bi se uzelo u obzir,

tako da teorija bude primjenjiva i na relativno kratke štapove, kod kojih je mali omjer duljine

štapa prema duljini srednje linije poprečnog presjeka.

Ključnu ulogu pri proučavanju utjecaja smicanja imaju faktori smicanja. Prvi korak u

istraživanju utjecaja smicanja bio je dati analitičke izraze za izračunavanje faktora smicanja

Oni su, za niz presjeka s dvije i jednom osi simetrije, dani u parametarskom obliku. Za

nesimetrične presjeke faktori su određivani programiranjem u Excelu. Izraze za faktore

smicanja trebalo je kontrolirati uspoređivanjem vrijednosti s vrijednostima istih iz dostupne

literature. Za neke nesimetrične presjeke faktori su uspoređivani indirektno kroz usporedbu

rezultata za pomake i normalna naprezanja s rezultatima po metodi konačnih elemenata.

Sljedeći korak bio je pokazati znatan utjecaj smicanja na pomake, ali i na normalna

naprezanja, pri savijanju i uvijanju relativno kratkih štapova. U tu svrhu definirani su faktori

utjecaja smicanja na progibe, kao i faktori utjecaja smicanja na normalna naprezanja. Oni su

definirani kao omjeri maksimalnih vrijednosti progiba, odnosno normalnih naprezanja u

karakterističnim točkama presjeka, po teorijama savijanja i uvijanja s utjecajem smicanja i

istih vrijednosti po klasičnim teorijama. Navedeni faktori također su, za presjeke s dvije i

jednom osi simetrije, dani u parametarskom obliku. U izrazima je utjecaj materijala dan kroz

omjer konstanti elastičnosti E/G. Ovi faktori su pogodni jer se iz njih iščitava utjecaj smicanja

u postocima.

Teorije savijanja s utjecajem smicanja i uvijanja s utjecajem smicanja, daju izraze za

normalna naprezanja po cijeloj konturi poprečnog presjeka. Krivulje raspodjele normalnog

naprezanja, po konturi poprečnog presjeka, potrebno je verificirati kroz usporedbu s

odgovarajućim krivuljama dobivenim po metodi konačnih elemenata.

Doktorska disertacija Savijanje i uvijanje tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka

s utjecajem smicanja izrađena je u okviru znanstveno-istraživačkog projekta 023-0231744-

3010: Deplanacija i distorzija tankostjenih presjeka, voditelj kojega je prof. dr. sc. Radoslav

Pavazza, FESB-Split, od 2007. godine, financiranog od Ministarstva znanosti, obrazovanja i

sporta RH.

Disertacija je podijeljena u sedam poglavlja, čemu su dodana tri dijela priloga.

5

U drugom je poglavlju dana teorija savijanja s utjecajem smicanja. Definirani su faktori

smicanja te izvedeni izrazi za pomake i normalno naprezanje. U odnosu na klasične teorije ti

izrazi sadrže članove koji predstavljaju utjecaj smicanja.

Teorija uvijanja s utjecajem smicanja, sa definiranim faktorima smicanja i izvedenim izrazima

za normalno naprezanje i pomake, dana je u trećem poglavlju. Ovdje su, također, ti izrazi

nadopunjeni članovima koji predstavljaju utjecaj smicanja.

U četvrtom poglavlju metodom superpozicije dani su izrazi za pomake i normalno naprezanje

pri opterećenju na savijanje i uvijanje s utjecajem smicanja.

U petom poglavlju rada napravljena je analiza rezultata za pomake i normalna naprezanja,

dobivenih po teoriji savijanja (SUS) i uvijanja s utjecajem smicanja (UUS). Na nizu primjera

ovi rezultati su uspoređeni sa rezultatima za pomake i normalna naprezanja koje daju klasična

Euler-Bernoullijeva teorija savijanja i klasična Vlasovljeva teorija uvijanja tankostjenih

štapova otvorenog poprečnog presjeka. Za kratke štapove pokazan je znatan utjecaj smicanja

kako na rezultate pomaka tako i na rezultate normalnog naprezanja.

Verifikacija izvedenih izraza za pomake i normalna naprezanja prema teoriji savijanja i

uvijanja s utjecajem smicanja napravljena je u šestom poglavlju. Rezultati su uspoređeni sa

onima prema metodi konačnih elemenata (MKE). Pokazana su izvrsna slaganja rezultata.

U sedmom poglavlju su dana zaključna razmatranja.

Prilog je podijeljen u tri dijela: A, B i C.

U dijelu A dani su analitički izrazi, po svim dijelovima konture poprečnog presjeka kao i

grafički prikaz, sljedećih geometrijskih karakteristika poprečnih presjeka:

* ,yA *,zA * ,yS *,zS * ,S

*

0

d ,zs

ySs

t *

0

d

ys

zSs

t i *

0

d

ysS

st

.

Prilog B daje detaljan prikaz rezultata za pomake i normalna naprezanja za velik broj

jednostavnih presjeka pri opterećenju na savijanje s utjecajem smicanja. Obrađeni su: presjek

s dvije osi simetrije (I-presjek), presjeci s jednom osi simetrije (I-presjek, T-presjek, U-

presjek, L-presjek) kao i nesimetrični presjeci (L-presjek, C-presjek). Prikazan je utjecaj

smicanja na ove rezultate kao i izvrsno slaganje rezultata s rezultatima dobivenim korištenjem

metode konačnih elemenata. Pri tome je štap modeliran membranskim elementima.

6

Detaljan prikaz rezultata za pomake i normalna naprezanja za velik broj jednostavnih presjeka

pri opterećenju na uvijanje s utjecajem smicanja dan je u Prilogu C. Obrađeni su: presjek s

dvije osi simetrije (I-presjek) te presjeci s jednom osi simetrije (I-presjek i U-presjek).

Prikazan je utjecaj smicanja na ove rezultate kao i izvrsno slaganje rezultata s rezultatima

dobivenim korištenjem metode konačnih elemenata. U ovom slučaju štap je modeliran

ljuskastim elementima, a da bi poprečni presjek zadržao svoj oblik korištene su i ukrepe.

7

2. SAVIJANJE ŠTAPOVA OTVORENOG TANKOSTJENOG

PRESJEKA S UTJECAJEM SMICANJA

Razmatra se približna teorija savijanja štapova otvorenog tankostjenog presjeka s utjecajem

smicanja koja je nadogradnja klasične Euler-Bernoullijeve i Timoshenkove teorije savijanja te

Vlasovljeve teorije tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka.

Ako vanjsko poprečno opterećenje prolazi kroz pol, štap je u općem slučaju opterećen na

savijanje s utjecajem smicanja te dodatno na uvijanje zbog smicanja i rastezanje/sabijanje

zbog smicanja.

Za slučaj da poprečni presjek ima jednu os simetrije, pri vanjskom poprečnom opterećenju

koje djeluje kroz pol u ravnini simetrije, štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u

ravnini simetrije te dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Za slučaj kada poprečno

opterećenje djeluje kroz pol, u ravnini okomitoj na ravninu simetrije, štap je opterećen na

savijanje s utjecajem smicanja u toj ravnini i dodatno na uvijanje zbog smicanja.

Ako poprečni presjek ima dvije osi simetrije pri vanjskom poprečnom opterećenju koje

djeluje kroz pol štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje ravnine simetrije.

2.1. Pretpostavke o deformiranju i naprezanju

Predstavljena teorija temelji se na sljedećim pretpostavkama [27], [35]:

1. Oblik poprečnog presjeka se ne mijenja tijekom deformiranja.

2. Kutne deformacije u srednjoj plohi različite su od nule.

3. Normalna naprezanja jednaka su nuli, osim u smjeru izvodnice srednje plohe.

4. Tangencijalna naprezanja jednaka su nuli, osim u smjeru tangente na srednju liniju.

5. Normalna naprezanja raspodijeljena su jednoliko po debljini stijenke.

6. Tangencijalna naprezanja raspodijeljena su linearno po debljini stijenke.

Prva pretpostavka podrazumijeva da projekcija konture poprečnog presjeka na ravninu

poprečnog presjeka ostaje nepromijenjena tijekom deformiranja. Ne uzima se u obzir

distorzija poprečnog presjeka u ravnini presjeka .

Prikazana teorija uzima u razmatranje kutne deformacije u srednjoj plohi, te njihov utjecaj na

normalna naprezanja. Tangencijalna naprezanja određuju se iz uvjeta ravnoteže. Ostale

8

pretpostavke u izravnoj su vezi s temeljnim svojstvima tankostjenih štapova: dimenzije

poprečnog presjeka su male u odnosu na duljinu štapa (3. pretpostavka); debljina je mala u

odnosu na ostale dimenzije poprečnog presjeka (4., 5. i 6. pretpostavka).

2.2. Pomaci i deformacije

Komponente pomaka točke S srednje plohe, u smjeru y odnosno z osi, mogu se izraziti

prema

s P P

s P P

( ) ,

( ) .

z

y

v v z a

w w y a

(2.1)

gdje su ( )y y s i ( )z z s pravokutne koordinate točke S, ya i za koordinate pola P, s

krivolinijska koordinata točke S u odnosu na ishodišnu točku M, P P( )v v x i P P( )w w x

pomaci pola P u smjeru y i z osi, odnosno pomaci konture poprečnog presjeka kao krutog

tijela, P P( )x je kut uvijanja srednje linije kao krute linije u odnosu na pol P.

Slika 2.1. Pomaci točke S srednje plohe: a) komponentni pomaci; b) pomaci u ravnini


Projekcija pomaka proizvoljne točke S srednje linije na pravac tangente na srednju liniju u

točki S (os - slika 2.1.) je

S S Scos sin .v v w

(2.2)

Uvrštenjem (2.1) u (2.2) dobije se

9

S P P P Pcos sin ,v v w h

(2.3)

gdje je

P ( )sin ( )cos .y zh y a z a

(2.4)

Izraz (2.3) se može pisati kao

S P P P

d d d,

d d d

y zv v w

s s s

(2.5)

gdje je

P

d d dcos , sin ,

d d d

y zi h

s s s

(2.6)

a ( )s sektorska koordinata u odnosu na pol P i ishodišnu točku M definirana prema

P

0

d .

s

h s

(2.7)

Kutna deformacija ( , )x x x s u srednjoj plohi, prema slici 2.2., može se izraziti kao

Slika 2.2. Kutna deformacija u srednjoj plohi.

S S

S S

d d.

d dx x x

u vs x

u vs xs x s x

(2.8)

Ako se (2.5) uvrsti u (2.8) slijedi

S P P Pd d d d d d

.d d d d d d

Sx x

u v v y w z

s x x s x s x s

(2.9)

Integriranjem (2.9) dobije se

10

P P P

S M

0 0 0

d d d( ) ( ) ( ) d d d .

d d d

y zs s s

v w

y z x y x z x

v wu u y s z s s s s s

x x x

(2.10)

Pomak proizvoljne točke S srednje linije, dan izrazom (2.10), i ukupna kutna deformacija u

srednjoj plohi poprečnog presjeka mogu se napisati kao [27]

S S S S S ,u v wu u u u u

v w

x x x x

pri čemu je

1 2( 0) 0, ( 0) 0, ( 0) 0, , , .y z y zy s z s s s s C s s C s s

(2.11)

U (2.10) Mu predstavlja uzdužni pomak točke M (točka za koju vrijedi ( 0) 0s ) tj.

pomak srednje linije poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru kao krutog tijela, a

( , )v v

x x vx s , ( , )w w

x x wx s i ( , )x x x s

su komponente kutne deformacije u

srednjoj plohi u odnosu na pomake Pv , Pw i P .

Prva četiri člana u (2.10) su pomaci od rastezanja, savijanja i uvijanja s utjecajem smicanja

oko pola P, dok su zadnja tri člana dodatni pomaci zbog vitoperenja uslijed smicanja.

Pomaci se mogu napisati kao

b s

P P P

b s

P P P

t s

P P P

,

,

,

v v v

w w w

(2.12)

gdje su b bP P ( )v v x , b b

P P ( )w w x pomaci poprečnog presjeka u smjeru y i z osi, kao krutog

tijela, t tP P( )x je kut uvijanja poprečnog presjeka oko pola P kao krutog tijela, a

s sP P( )v v x , s s

P P( )w w x i s sP P( )x su dodatni pomaci od smicanja.

Jednadžba (2.10) može se napisati na sljedeći način

S M

0 0 0

( ) ( ) ( ) d d d ,y z

s s s

v w

y z x x xu u y s z s s s s s

(2.13)

uz

P P Pd d d

, , .d d d

v w

x x x

(2.14)

Isto tako je

11

b s

b s

t s

,

,

,

(2.15)

gdje su b i b kutni pomaci poprečnog presjeka kao krutog tijela oko y i z osi, t relativni

kutni pomak oko x -osi, analogno klasičnoj teoriji tankostjenog štapa otvorenog presjeka, dok

su s , s i s dodatni kutni pomaci zbog smicanja.

Vrijede sljedeće diferencijalne ovisnosti

b b t

P P Pb b t

s s s

P P Ps s s

d d d, , ,

d d d

d d d, , .

d d d

v w

x x x

v w

x x x

(2.16)

Duljinska deformacija glasi

2 2 2

S M P P P

2 2 2

0

0 0

d d d d( ) ( ) ( ) d

d d d d

d d ,

y

z

s

v

x y z x

s s

w

x x

u u v wy s z s s s

x x x x x x

s sx x

(2.17)

odnosno

S M S S Sd

.d

v wu v w

x x x x x

u u u u u

x x x x x

(2.18)

2.3. Naprezanja

Ne uzimajući u obzir normalna naprezanja u pravcu tangente na srednju liniju poprečnog

presjeka, prema Hooke-ovu zakonu je:

, ,x x x xE G

(2.19)

gdje su ( , )x x x s normalno naprezanje u uzdužnom smjeru, ( , )x x x s tangencijalno

naprezanje u srednjoj plohi, a E i G konstante elastičnosti.

Uvrštenjem (2.17) u prvi izraz (2.19) dobije se

12

2 2 2

M P P P

2 2 2

0 0 0

d d d d( ) ( ) ( )

d d d d

d d d .

y z

x y z

s s s

v w

x y x z x

u v wE y s z s s

x x x x

Es s s

G x x x

(2.20)

Normalno i tangencijalno naprezanje se mogu napisati u obliku [27]

,u v w

x x x x x

v w

x x x x

(2.21)

pri čemu su

( , )u ux x x s , ( , )v v

x x yx s , ( , )w wx x zx s i ( , )x x x s komponente normalnog

naprezanja u odnosu na pomake Mu , Pv , Pw i P , a ( , )v vx x yx s , ( , )w w

x x zx s i

( , )x x x s komponente tangencijalnog naprezanja u odnosu na pomake Pv , Pw i P .

Jednadžba ravnoteže diferencijalnog elementa stjenke poprečnog presjeka štapa za uzdužnu

os x može se temeljem slike 2.3. napisati kao

Slika 2.3. Ravnoteža diferencijalnog elementa stjenke poprečnog presjeka.

( )( )

0,xx

tt

x s

(2.22)

gdje je ( )t t s debljina stjenke poprečnog presjeka.

Uz pretpostavku

., ., .,

v w

x x xkonst konst konst

x x x

(2.23)

13

integiranjem (2.22), a imajući u vidu (2.20), (2.21) i (2.23) dobije se:

2 3 3 3

M P P P0 0 0 2 3 3 3

1 d d d d( ) ( ) ( ) ( ) ,

d d d d

v w

x z y y z

u v wT T T E A s S s S s S s

t x x x x

(2.24)

gdje su

0 0 0

0 0 0 0

0 0

( ) d , ( ) d , ( ) d , d d ,

( ) ( , 0) ( 0), ( ) ( , 0) ( 0),

( ) ( , 0) ( 0).

y zs s s

z y y z

v v v w w w

x y y x z z

x

S s y A S s z A S s A A t s

T T x x s t s T T x x s t s

T T x x s t s

(2.25)

Tangencijalno naprezanje može se napisati i kao

2 3 3 3*M P P P

2 3 3 3

d d d d,

d d d dx z y

E u v wA S S S

t x x x x

(2.26)

uz

* * *

* * * * *d , zd , d d d .

y z

z y

s s s

S y A S A S A A t s

(2.27)

U (2.27) * * *( )A A s je površina odsječenog dijela poprečnog presjeka u odnosu na

koordinatu s odnosno *s , * * * *( ) ( )y y z y zS S s S s i * * * *( ) ( )z z y z yS S s S s su statički momenti

površine odsječenog dijela poprečnog presjeka u odnosu na y i z os, * * * *( ) ( )S S s S s je

sektorski statički moment odsječenog dijela poprečnog presjeka. Pretpostavka je da vrijedi

* 0s na mjestu gdje je 0x .

Usporedbom (2.24) i (2.26) dobije se

* * * * * * * *d ( ) d ( ), d ( ) d ( ), d ( ) d ( ), d ( ) d ( ).z y z y y z y zA s A s S s S s S s S s S s S s

(2.28)

2.4. Jednadžbe ravnoteže

Na nosač na slici 2.4. djeluje jednoliko raspodijeljeno vanjsko opterećenje ( )y yq q x i

( )z zq q x koje prolazi kroz pol P definirano sa [27]

d ,y y

L

q p s d .z z

L

q p s

(2.29)

14

Slika 2.4. Vanjsko opterećenje štapa: a) sile na jedinicu površine b) sile na jedinicu duljine.


Jednadžbe ravnoteže konačnog elementa štapa prema slici 2.5. glase

P

( )d d 0 ,

( )cos d d d 0 ,

( )sin d d d 0 ,

( )d d 0 ,

xx

L

x

y y

L

x

z z

L

x

P

L

tF x s

x

tF x s q x

x

tF x s q x

x

tM xh s

x

(2.30)

15

odnosno imajući u vidu (2.6):

d 0 ,

( )d 0 ,

( )d 0 ,

( )d 0 .

x

L

x

y

L

x

z

L

x

L

Ax

ty q

x

tz q

x

t

x

(2.31)

Primjenom parcijalne integracije integrali u (2.31) mogu se pisati kao

2

1

2

1

( ) ( ) ( ) ( )d d d d ,

( ) ( ) ( ) ( )d d d d ,

( ) (d d

ex x x x

eL L L

ex x x x

eL L L

x x

L

t t t ty uv v u y y s y s

x x s x s x

t t t tz uv v u z z s z s

x x s x s x

tuv v u

x

2

1

) ( ) ( )d d .

ex x

eL L

t t ts s

x s x s x

(2.32)

gdje su 1e i 2e rubovi srednje linije poprečnog presjeka u kojim je 0.x

Ako se (2.32) uvrsti u (2.31) dobije se

d 0,

d 0,

d 0,

d 0.

x

L

x

y

L

x

z

L

x

L

Ax

ty s q

s x

tz s q

s x

ts

s x

(2.33)

Prema (2.20) i (2.24) je

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

3 4 4 4

M P P P

3 4 4 4

d d d d( ) ( ) ( )

d d d d

( ) d d d d( ) ( ) ( ) ( )

d d d d

xy z

x

z y y z

u v wE y s z s s

x x x x x

t u v wE A s S s S s S s

x x x x x

16

pa uvrštenjem u (2.33) jednadžbe ravnoteže postaju

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

3 4 4 4

M P P P

3 4 4 4

3 4 4 4

M P P P

3 4 4 4

3 4 4 4

M P P P

3 4 4 4

d d d d0,

d d d d

d d d d,

d d d d

d d d d,

d d d d

d d d d

d d d d

z y

z z zy z y

y yz y y z

z y

u v wE A S S S

x x x x

u v wE S I I I q

x x x x

u v wE S I I I q

x x x x

u v wE S I I I

x x x x

0,

(2.34)

gdje su

2

2

2

d , d , d , d ,

d , d , d ,

d , d ,

d ,

z yA A A A

z zy zA A A

y yA A

A

A A S y A S z A S A

I y A I yz A I y A

I z A I z A

I A

(2.35)

uz

, , .yz zy y y z zI I I I I I

(2.36)

Ako su y , z i glavne koordinate vrijedi:

0, 0, 0, 0, 0, 0,y z yz zy y y z zS S I I I I I I S

(2.37)

pa (2.34) postaje

2

M

2

4

P

4

4

P

4

4

P

4

d0,

d

d,

d

d,

d

d0.

d

z y

y z

uEA

x

vEI q

x

wEI q

x

EIx

(2.38)

17

2.5. Veza naprezanja i unutarnjih sila

2.5.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila

Integriranjem tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku dobije se [27], [35]

P

cos d ,

sin d ,

d 0,

y x

A

z x

A

x

A

Q A

Q A

M h A

(2.39)

gdje ( )y yQ Q x i ( )z zQ Q x predstavljaju poprečne sile u odnosu na y i z os, a

( )M M x moment vitoperenja u odnosu na pol P, koji je jednak nuli s obzirom na zadano

vanjsko opterećenje.

Uvrštenjem (2.26) u u prvu jednadžbu (2.39) dobije se

2 3 3

M P P

2 3 3

3

P

3

d d dcos d cos d cos d

d d d

d cos d ,

d

y z y

L L L

L

E u E v E wQ A t s S t s S t s

t x t x t x

ES t s

t x

odnosno

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d dd d d d ,

d d d dy z y

L L L L

u v wQ E A y E S y E S y E S y

x x x x

gdje je cos d d .t s t y

Nakon parcijalne integracije slijedi

2

1

d d d ( d ) d ,e

ze

L L A A

A y uv v u A y y A y A y A S

2

1

2d d d ( d ) d d ,e

z z z z ze

L L A A

S y uv v u S y y S y S yy A y A I

2

1

d d d ( d ) d ,e

y y y y yze

L L A A

S y uv v u S y y S y S yz A I

18

2

1

( ) ,e

ze

L L A A

S dy uv vdu S y ydS y dS y dA I

pa je

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d d.

d d d dy z z yz z

u v wQ E S E I E I E I

x x x x

Ako se (2.26) uvrsti u drugu jednadžbu (2.39) dobije se:

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d dsin d sin d sin d sin d ,

d d d dz z y

L L L L

E u E v E w EQ A t s S t s S t s S t s

t x t x t x t x

odnosno

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d dd d d d ,

d d d dz z y

L L L L

u v wQ E A z E S z E S z E S z

x x x x

pri čemu je sin d d .t s t z

Parcijalnom integracijom dobije se

2

1

d d d ( d ) d ,e

ye

L L A A

A z uv v u A z z A z A z A S

2

1

d d d ( d ) d ,e

z z z z yze

L L L A

S z uv v u S z z S z S zy A I

2

1

2d d d ( d ) d d ,e

y y y y ye

L L L A A

S z uv v u S z z S z S zz A z A I

2

1

d d d ( d ) d ,e

ye

L L L A

S z uv v u S z z S z S z A I

pa je

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d d.

d d d dz y yz y y


x x x x

Uvrštenjem (2.26) u treću jednadžbu (2.39) dobije se

2 3 3 3

M P P PP P P P2 3 3 3

d d d dd d d d 0,

d d d dP z y

L L L L

E u E v E w EM A h t s S h t s S h t s S h t s

t x t x t x t x

tj.

19

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d dd d d d 0,

d d d dz y

A L L L

u v wE A E S E S E S

x x x x

gdje je P d d .h t s t


2

1

d d d ( d ) d ,e

eL L A A

A uv v u A A A A S

2

1

d d d ( d ) d ,e

z z z z ze

L L A A

S uv v u S S S y A I

2

1

d d d ( d ) d ,e

y y y y ye

L L A A

S uv v u S S S z A I

2

1

2d d d ( d ) d d ,e

eL L A A A

S uv v u S S S A A I

pa je

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d d0.

d d d dz y

u v wE S E I E I E I

x x x x

Ako su y, z i glavne koordinate vrijedi

0, 0, 0, 0, 0, 0,y z yz z yS S S I I I

pa je

3

P

3

3

P

3

3

P

3

d,

d

d,

d

d0 .

d

y z

z y

vQ EI

x

wQ EI

x

EIx

(2.40)

Imajući u vidu (2.38) i (2.40) može se napisati

d,

d

d.

d

y

y

zz

Qq

x

Qq

x

(2.41)


20

1 1x y z z y

z y

E EQ S Q S

t EI t EI

odnosno

.

y z z y

x

z y

Q S Q S

tI tI

(2.42)

2.5.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila

Integracijom izraza za normalno naprezanje po presjeku dobije se [27], [35]:

d 0,

d ,

d ,

d 0.

x

A

z x

A

y x

A

x

A

N A

M y A

M z A

B A

(2.43)

Ako se (2.20) uvrsti u prvu jednadžbu (2.43) slijedi

2 2 2

M P P P

2 2 2

0 0

d d d dd d d

d d d d

d d d d 0,y z

A A A

s sv w

x x

A A

u v wEA E y A E z A E A

x x x x

E Es A s A

G x G x

odnosno

2 2 2

M P P P

2 2 2

0 0

d d d dd d d d 0.

d d d d

y zs sv w

x x

z y

A A

u v w E EEA E S E S E S s A s A

x x x x G x G x

Budući da su y , z i glavne koordinate vrijedi 0y zS S S pa gornji izraz postaje

M

0 0

dd d d d 0,

d

y zs sv w

x x

A A

u E EEA s A s A

x G x G x

odnosno uz novouvedene sekundarne uzdužne sile

0

d d ,vs v

xy

A

EN A s

G x

0

d d ,ws w

xz

A

EN A s

G x

21

Md0.

d

y zuEA N N

x

Uvrštenjem (2.20) u drugu jednadžbu (2.43) slijedi

2 2 22M P P P

2 2 2

0 0

d d d dd d d d d

d d d d

d d d d ,

y z

z x

A A A A A

s sv wx x

A A

u v wM y A E y A E y A E zy A E y A

x x x x

E Ey A s y A s

G x G x

tj.

2 2 2M P P P

2 2 2

0 0

d d d dd

d d d d

d d d d .

y z

z x z z yz z

A

s sv wx x

A A

u v wM y A E S E I E I E I

x x x x

E Ey A s y A s

G x G x

Za glavne koordinate je 0z yz zS I I pa, uz novouvedene sekundarne momente savijanja

0

d d

ys vxy

z

A

EM y A s

G x

i

0

d dzs w

xzz

A

EM y A s

G x

,

gornja jednadžba prelazi u

2P2

d.

d

y zz z z z

vM EI M M

x

Ako se (2.20) uvrsti u treću jednadžbu (2.43) dobije se

2 2 22M P P P

2 2 2

0 0

d d d dd d d d d

d d d d

+ d d d d ,

y z

y x

A A A A A

s sv wx x

A A

u v wM z A E z A E yz A E z A E z A

x x x x

E Ez A s z A s

G x G x

tj.

2 2 2M P P P

2 2 2

0 0

d d d dd

d d d d

+ d d d d .

y z

y x y zy y y

A

s sv wx x

A A

u v wM z A E S E I E I E I

x x x x

E Ez A s z A s

G x G x

22

Za glavne koordinate je 0y zy yS I I te, uz novouvedene sekundarne momente savijanja

0

d d

ys vxy

y

A

EM z A s

G x

i

0

d dzs w

xzy

A

EM z A s

G x

,


2P

2

d.

d

z yy y y y

wM EI M M

x

Uvrštenjem (2.20) u četvrtu jednadžbu (2.43) slijedi

2 2 22M P P P

2 2 2

0 0

d d d dd d d d

d d d d

+ d d d d 0,

y z

A A A A

s sv w

x x

A A

u v wE A E y A E z A E A

x x x x

E EA s A s

G x G x

odnosno

2 2 2

M P P P

2 2 2

0 0

d d d dd d d d 0.

d d d d

y zs sv w

x x

z y

A A

u v w E EE S E I E I E I A s A s

x x x x G x G x

Za glavne koordinate je 0z yS I I pa, uz novouvedene sekundarne bimomente

0

d d

ys vxy

A

EB A s

G x

i

0

d dzs w

xz

A

EB A s

G x

, gornja jednadžba prelazi u:

2

P

2

d0.

d

y zEI B Bx

Dakle, jednadžbe (2.43) dobivaju oblik

M

2

P

2

2

P

2

2

P

2

d,

d

d,

d

d,

d

d,

d

y z

y z

z z z z

y z

y y y y

y z

uEA N N

x

vEI M M M

x

wEI M M M

x

EI B Bx

(2.44)

gdje su

23

0 0

0 0

0 0

0

d d , d d ,

d d , d d ,

d d , d d ,

d d , d

y z

y z

yz

y

s sv w

x xy z

A A

s sv w

x xy z

z z

A A

ss w v

x xz y

y y

A A

s v w

x xy z

A

E EN A s N A s

G x G x

E EM y A s M y A s

G x G x

E EM z A s M z A s

G x G x

E EB A s B A

G x G x

0

d ,zs

A

s

(2.45)

novouvedene sekundarne komponente unutarnjih sila.

Iz (2.42) je ,y z z yv w

x x

z y

Q S Q S

tI tI

pa se uvrštenjem u (2.45) dobije

* * *

0 0 0

* * *

0 0 0

* *

0 0

d dd d d d d d ,

d d

d dd d d d d d ,

d d

d dd d d

d d

y y y

z z z

y

s s s

y yy z z zy

z z zA A A

s s sy y yz z z

z

y y yA A A

s

y yy z zz

z zA

Q QS S SE E EN A s A s q A s

G x tI x GI t GI t

S S SQ QE E EN A s A s q A s

G x tI x GI t GI t

Q QS SE EM y A s y A

G x tI x GI t

*

0

* * *

0 0 0

* * *

0 0 0

d d d ,

d dd d d d d d ,

d d

d dd d d d d d ,

d d

d

y y

z z z

z z z

s s

zy

zA A

s s sy y yz z z

z z

y y yA A A

s s sy y yz z z

y z

y y yA A A

yy

SEs q y A s

GI t

S S SQ QE E EM y A s y A s q y A s

G x tI x GI t GI t

S S SQ QE E EM z A s z A s q z A s

G x tI x GI t GI t

EM z A

G

* * *

0 0 0

* * *

0 0 0

* *

0 0

d dd d d d d ,

d d

d dd d d d d d ,

d d

d dd d d

d d

y y y

y y y

z z

s s s

y yz z zy

z z zA A A

s s s

y yy z z zy

z z zA A A

s sy yz z z

y yA

Q QS S SE Es z A s q z A s

x tI x GI t GI t

Q QS S SE E EB A s A s q A s

G x tI x GI t GI t

S SQ QE EB A s A

G x tI x GI t

*

0

d d d .zs

y

z

yA A

SEs q A s

GI t

(2.46)


* ** * * *

0 0 0

d d d ( d d d ) d d d ,

y y ys s sg

y zz z z z

dA L L

A SS S S SA s uv v u u s v A A s A s s

t t t t t

24

* * * * **

0 0 0

d d d ( d d d ) d d d ,z z zs s s g

y y y z yz

dA L L

S S S A SSA s uv v u u s v A A s A s s

t t t t t

* *

0 0

2 2** * *

0

d d d ( d d d d )

d d d d ,

y y

y

s s

z zz

A

sg

zz z zz z

dL L A

S Sy A s uv v u u s v y A v y A S

t t

SS S SS s S s s A

t t t t

* *

0 0

* * **

0

d d d ( d d d d )

d d d ,

z z

z

s sy y

z

A

s gy z yz

z zd

L L


t t

S S SSS s S s s

t t t

* *

0 0

2 2** * *

0

d d d ( d d d d )

d d d d ,

z z

z

s sy y

y

A

s gyy y y

y yd

L L A

S Sz A s uv v u u s v z A v z A S

t t

SS S SS s S s s A

t t t t

* *

0 0

* ** *

0

d d d ( d d d d )

d d d ,

y y

y

s s

z zy

A

sg

y zz zy y

dL L


t t

S SS SS s S s s

t t t

* *

0 0

* ** *

0

d d d ( d d d d )

d d d ,

y y

y

s s

z z

A

sg

zz z

dL L

S SA s uv v u u s v A v A S

t t

S SS SS s S s s

t t t

* *

0 0

* * * *

0

d d d ( d d d d )

d d d ,

z z

z

s sy y

A

s gy y y

dL L


t t

S S S SS s S s s

t t t

pa jednadžbe (2.46) postaju

25

* * * *

2 * **

2* * *

* ** *

d , d ,

d , d ,

d , d ,

d , d .

y z z yy zy z

z yL L

y zy zzz y z z

z yA L

y y zz yy z y y

y zA L

yy zzy z

z yL L

A S A SE EN q s N q s

GI t GI t

S SSE EM q A M q s

GI t GI t

S S SE EM q A M q s

GI t GI t

S SS SE EB q s B q s

GI t GI t

(2.47)

Iz (2.44), a imajući u vidu (2.40), dobije se

2

M

2

3

P

3

3

P

3

3

P

3

d d d0,

d d d

d d d d,

d d d d

d d dd,

d d d d

d d d0,

d d d

y z

y z

z z zz y

y z

y y y

y z

y z

u N NEA

x x x

v M M MEI Q

x x x x

M M MwEI Q

x x x x

B BEI

x x x

(2.48)

odnosno, uz (2.38)

3

M

3

4 2

P

4 2

24

P

4 2

4

P

4

d0,

d

dd d,

d d d

dd d,

d d d

d0.

d

yzz y

y zy z

uEA

x

Qv MEI q

x x x

Mw QEI q

x x x

EIx

(2.49)

Pretpostavka je da vrijedi .yq konst i .zq konst ; u protivnom jednadžbe (2.48) i (2.49)

daju približno rješenje problema.

Prva jednadžba u (2.44), a uz (2.47), može se pisati kao

* ** *

M

ddd

,d

z yy zzyy z

y Lz L

A SA S EEq sq s

GI tGI tu N N

x EA EA EA EA

odnosno

26

* * * *

M

2 2

d 1 1d d ,

d

y s y z z yz s

z s y sA A

q L A S A Sq LuA A

x GA I L t GA I L t

gdje je sL proizvoljno odabrana duljina srednje linije poprečnog presjeka.

Druga jednadžba u (2.44), a imajući u vidu (2.47), može se pisati kao

2 * **

2P2

ddd

,d

y zzzyy z

yzz z z z LA

z z z z z z

S SEE Sq sq A

GI tGI tv M M M M

EI EI EI EI EI EIx

tj.

2 * *2 *P2 2

dd d .

d

y y zz z z

z y zz A L

q S Sv M A S q AA s

EI GA t GA I I tx I

Treća jednadžba u (2.44), uz (2.47), poprima oblik

2* * *

2P

2

d dd

,d

y y zz yz y

yy y y y zA L

y y y y y y

S S SE Eq A q s

GI tM M M M GI tw

EI EI EI EI EI EIx

odnosno

2* * *2

P2 2

dd d .

d

y y y y zz

y y zy A L

M S q S Sw q A AA s

EI GA t GA I I tx I

Četvrta jednadžba u (2.44), uzevši u obzir (2.47), može se pisati kao

* ** *

2

P

2

ddd

,d

yzzyy z

y Lz L

S SEE S Sq sq s

GI tGI tB B

x EI EI EI EI

tj.

* ** *2

P P P

2

P P

dd d .

d

y yz z

z yL L

q S SS SW q Ws s

x GW I I t GW I I t

Uvođenjem faktora smicanja prema

27

* *

2

* *

2

2*

2

* *

2*

2

* *P

* *

P

1d ,

1d ,

d ,

d ,

d ,

d ,

d ,

y z

xy

z s A

z y

xz

y s A

zyy

z A

y z

yz zy

y z L

y

zz

y A

zy

z L

y

z

y L

A SA

I L t

A SA

I L t

SAA

tI

S SAs

I I t

SAA

tI

S SWs

I I t

S SWs

I I t

(2.50)

gdje su:

xy faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka Pv ,

xz faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka Pw ,

yy faktor smicanja u odnosu na pomak Pv ,

yz faktor smicanja u odnosu na pomak Pv zbog pomaka Pw ,

zz faktor smicanja u odnosu na pomak Pw ,

y faktor smicanja u odnosu na pomak P zbog pomaka Pv ,

z faktor smicanja u odnosu na pomak P zbog pomaka Pw ,

i smicajnih površina te smicajnih momenata otpora prema

P PP P

, ,

, ,

, ,

yy yz

yy yz

zy zz

zy zz

y z

y z

A AA A

A AA A

W WW W

(2.51)

28

pri čemu je 2P P

A

I h dA polarni moment tromosti poprečnog presjeka u odnosu na glavni pol

P, a PP

0

IW

h polarni moment otpora u odnosu na glavni pol, gdje je 0h udaljenost tangente

kroz glavnu ishodišnu točku od pola P. Time izraz (2.44) poprima oblik

M

2P

2

2P

2

2P

2P P P P

d,

d

d,

d

d,

d

d.

d

y S xy z S xz

y yz z z zyy yz

z z yy yz

y y y yz zzz zy

y y zz zy

y yz zy z

y z

q L q Lu

x GA GA

q qv M q M q

EI GA GA EI GA GAx

M q M qw q q

EI GA GA EI GA GAx

q qq q

GW GW GW GWx

(2.52)

Normalno naprezanje dano sa (2.20) može se izraziti uz pomoć unutarnjih sila na sljedeći

način [35]

*

0

*

0

d

d

+ .

z

y

sy zy y y y

x z

y y y y

sy zz z z z

y

z z z z

y z

y z

M M M SEz z z q s

I I I GI t

M M M SEy y y q s

I I I GI t

B B

I I

N N

A A

(2.53)

Unutarnje sile dane sa (2.47), uzimajući u obzir (2.50), mogu se napisati i na ovaj način

P P

, ,

, ,

, ,

, ,

s xyy z s xzy z

z yy z yzy zz y z z

y zy y zzy zy y y z

yy z zy z

EL ELN q N q

G G

EI EIM q M q

GA GA

EI EIM q M q

GA GA

EI EIB q B q

GW GW

(2.54)

a uz (2.51), u sljedećem obliku

29

P P

, ,

, ,

, ,

, .

s xyy z s xzy z

y zz zz y z z

yy yz

y yy zy y y z

zy zz

y zy z

y z

EL ELN q N q

G G

EI EIM q M q

GA GA

EI EIM q M q

GA GA

EI EIB q B q

GW GW

(2.55)

Izraz za naprezanje (2.53) postaje

*

0

*

0

P P

d

d

+ ,

z

y

sy y zyzz

x z z y

y y

s

yy yzz zy y z

z z

yzz y

s xys xzz y

M S EE Ez q z q s q z

I GA GI t GA

E EM E Sy q y q s q y

I GA GI t GA

EEq q

GW GW

ELELq q

GA GA

(2.56)

odnosno

*

0

*

0

P P

d

d

+ .

z

y

sy y

x z z y

y zz y zy

s

z zy y z

z yy z yz

z y

z y

s xys xzz y

M SE E Ez q z q s q z

I GA GI t GA

M E E S Ey q y q s q y

I GA GI t GA

E Eq q

GW GW

ELELq q

GA GA

(2.57)

30

2.6. Pomaci pola

Jednadžbe (2.52) mogu se napisati razdvojeno, uz oznake radi jednostavnijeg pisanja,

s b sM M s P P b P s

b s t sP P b P s P P t P s

, , , , ,

, , , , , ,

u u u u v v v v v v

w w w w w w

kako slijedi

2b

2

2b

2

2t

2

d0,

d

d,

d

d,

d

d0,

d

z

z

y

y

u

x

v M

EIx

Mw

EIx

x

(2.58)

i

s

2s

2

2s

2

2s

2P P

d,

d

d,

d

d,

d

d.

d

y s xy z s xz

y yy z yz

y zyz zz

zz

y y z z

q Lu q L

x GA GA

q qv

GA GAx

qw q

GA GAx

q q

GW GWx

(2.59)

Jednadžbe (2.58) predstavljaju poznate jednadžbe klasične teorije tankostjenih štapova [16],

[17]. Prva i četvrta jednadžba predstavljaju pomake poprečnog presjeka štapa kao krutog

tijela. Druga i treća jednadžba daju pomake od savijanja u glavnim ravninama.

Jednadžbe (2.59) predstavljaju utjecaj smicanja na pomake.

Integracijom jednadžbi (2.59), imajući u vidu (2.16) i (2.41), dobije se

31

s S

ss

ss

ss

P P

,

d,

d

d,

d

d,

d

y s xy z s xz

y yy z yz

y zyz zz

y y z z

Q L Q Lu u

GA GA

Q Qv

x GA GA

Qw Q

x GA GA

Q Q

x GW GW

(2.60)

pri čemu su zanemarene konstante integracije. Pretpostavka je da kutni pomaci s , s i s ,

kao i pomak su , ne ovise o rubnim uvjetima.

Integriranjem druge, treće i četvrte jednadžbe u (2.60) dobije se

s

s

s

P P

,

,

,

z yy y yz

v

y zz z zy

w

z y y z

M Mv C

GA GA

M Mw C

GA GA

M MC

GW GW

(2.61)

gdje su vC , wC i C konstante integracije.

Jednadžbe (2.61) mogu biti napisane i kao

s

s

s

P P

,

,

.

yzv

yy yz

y zw

zz zy

yz

y z

MMv C

GA GA

M Mw C

GA GA

MMC

GW GW

(2.62)

Iz uvjeta da je na lijevom kraju nosača (zglobni oslonac)

s

s

s

0,

0,

0,

v

w

(2.63)

dobiju se konstante integracije

32

AA

AA

AA

P P

,

,

.

yzv

yy yz

yzw

zy zz

yz

y z

MMC

GA GA

MMC

GA GA

MMC

GW GW

(2.64)

Ukupni pomaci mogu se izraziti prema

AAb

A Ab

AA

P P

,

,

,

,

y xy s z xz s

y yz zyy yz

y y z zzz zy

y yz zy z

Q L Q Lu

GA GA

M MM Mv v

GA GA

M M M Mw w

GA GA

M MM M

GW GW

(2.65)

odnosno prema

AAb

A Ab

AA

P P

,

,

,

.

y xy s z xz s

y yz z

yy yz

y y z z

zz zy

y yz z

y z

Q L Q Lu

GA GA

M MM Mv v

GA GA

M M M Mw w

GA GA

M MM M

GW GW

(2.66)

Za zglobno oslonjen nosač, rubni uvjeti za oslonce A i B glase

A A B B

A A B B

A B

A B

b bb b A A B B

b bb A A B B

2 2b

A B2 2

2 2b

A B2 2

0 0 ,

0 0 ,

d d0 0 ,

d d

d d0 0 .

d d

x x x x x x x x

x x x x x x b x x

bx x x x z z

bx x x x y y

v v v v v v v v

w w w w w w w w

v vM M

x x

w wM M

x x

(2.67).

Za ukliješteni nosač, rubni uvjeti za ukliještene krajeve A i B glase

33

A A A

A A A

B B

B B

b bbb A A A

b bbb A A A

B A bB A bB b B

B A bB A bB b B

d0 0 , 0 ( 0),

d

d0 0 , 0 ( 0),

d

d0 0 ( 0),

d

d0 0 ( 0).

d

x x x x x x

x x x x x x

y yz zx x x x

yy yz

y yz zx x x x

zy zz

vv v v v

x

ww w w w

x

M MM M vv v

GA GA x

M MM M ww w

GA GA x

(2.68).

Za slobodni kraj rubni uvjeti su

B

B

B

B

2b

B2

2b

B2

3b

B3

3b

B3

d0 0 ,

d

d0 0 ,

d

d0 0 ,

d

d0 0 .

d

x x z

x x y

x x y

x x z

vM

x

wM

x

vQ

x

wQ

x

(2.69).

2.7. Posebni slučajevi

2.7.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije

U slučaju da je os z os simetrije lako se može dokazati da je 0xy yz zy z .

Izraz (2.56) postaje [35]

*

0

*

0

P

d

d

+ ,

z

y

sy yzz

x z z

y y

s

yyz zy y

z z

y

y

s xzz

M SE Ez q z q s

I GA GI t

EM E Sy q y q s

I GA GI t

Eq

GW

ELq

GA

(2.70)

34

a izraz (2.57)

*

0

*

0

P

d

d

+ .

z

y

sy y

x z z

y zz y

s

z zy y

z yy z

y

y

s xzz

M SE Ez q z q s

I GA GI t

M E E Sy q y q s

I GA GI t

Eq

GW

ELq

GA

(2.71)

Izraz (2.65) prelazi u

Ab

A

b

A

P

,

,

,

,

z xz s

z zyy

y y

zz

z zy

Q Lu

GA

M Mv v

GA

M Mw w

GA

M M

GW

(2.72)

odnosno (2.66) u

Ab

A

b

A

P

,

,

,

.

z xz s

z z

yy

y y

zz

z z

y

Q Lu

GA

M Mv v

GA

M Mw w

GA

M M

GW

(2.73)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje glavne ravnine i dodatno na

uvijanje i rastezanje/sabijanje zbog smicanja.

2.7.1.1. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije ( 0; 0)z yq q

Izraz (2.70) postaje

35

*

0

d + ,zs

y y s xzzzx z z z

y y

M S ELE Ez q z q s q

I GA GI t GA

(2.74)

a (2.71)

*

0

d + .zs

y y s xzx z z z

y zz y

M S ELE Ez q z q s q

I GA GI t GA

(2.75)


s

A

b

,

,

z xz s

y y

zz

Q Lu u

GA

M Mw w

GA

(2.76)

a (2.73)

s

A

b

,

.

z xz s

y y

zz

Q Lu u

GA

M Mw w

GA

(2.77)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije i dodatno na

rastezanje/sabijanje zbog smicanja.

2.7.1.2. Slučaj opterećenja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije ( 0; 0)y zq q


*

P0

d ,

ys

yy yz zx y y y

z z

E EM E Sy q y q s q

I GA GI t GW

(2.78)

a (2.71)

*

P0

d .

ys

z zx y y y

z yy z y

M E E S Ey q y q s q

I GA GI t GW

(2.79)

Izraz za pomake (2.72) prelazi u

36

A

b

As

P

,

,

z zyy

z zy

M Mv v

GA

M M

GW

(2.80)

a (2.73) u

A

b

As

P

,

.

z z

yy

z z

y

M Mv v

GA

M M

GW

(2.81)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije i

dodatno na uvijanje zbog smicanja.

2.7.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije

Izraz za normalno naprezanje (2.56) postaje [35]

*

0

*

0

d

d ,

z

y

sy yzz

x z z

y y

s

yyz zy y

z z

M SE Ez q z q s

I GA GI t

EM SEy q y q s

I GA GI t

(2.82)

a izraz (2.57)

*

0

*

0

d

d ,

z

y

sy y

x z z

y zz y

s

z zy y

z yy z

M SE Ez q z q s

I GA GI t

M SE Ey q y q s

I GA GI t

(2.83)

jer je uz 0xy yz zy z i 0xz y .

Izraz za pomake (2.65) postaje

37

Ab

A

b

0,

,

,

0,

z zyy

y y

zz

u

M Mv v

GA

M Mw w

GA

(2.84)

a (2.66)

Ab

A

b

0,

,

,

0.

z z

yy

y y

zz

u

M Mv v

GA

M Mw w

GA

(2.85)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje ravnine simetrije.

2.7.2.1. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije x-z ( 0; 0)z yq q

Izraz za normalno naprezanje (2.82) postaje

*

0

d ,zs

y yzzx z z

y y

M SE Ez q z q s

I GA GI t

(2.86)

a (2.83)

*

0

d .zs

y y

x z z

y zz y

M SE Ez q z q s

I GA GI t

(2.87)


A

b ,y y

zz

M Mw w

GA

(2.88)

a (2.85)

A

b .y y

zz

M Mw w

GA

(2.89)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije x z .

2.7.2.2. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije x-y ( 0; 0)y zq q

38


*

0

d ,

ys

yyz zx y y

z z

EM SEy q y q s

I GA GI t

(2.90)

a (2.83)

*

0

d .

ys

z zx y y

z yy z

M SE Ey q y q s

I GA GI t

(2.91)


A

b ,z zyy

M Mv v

GA

(2.92)

a (2.85)

A

b .z z

yy

M Mv v

GA

(2.93)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije y z .

39

3. UVIJANJE ŠTAPOVA OTVORENOG TANKOSTJENOG PRESJEKA


U ovom poglavlju prikazuje se približna teorija uvijanja štapova otvorenog tankostjenog

presjeka s utjecajem smicanja zasnovana na klasičnoj Vlasovljevoj teoriji tankostjenih

štapova otvorenog poprečnog presjeka [20], [78], [79], [80], [81].

Kad se vanjsko opterećenje svodi na jednoliko raspodijeljene momente uvijanja oko pola, štap

je u općem slučaju opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja oko pola i dodatno na savijanje

zbog smicanja te rastezanje/sabijanje zbog smicanja [27], [36].

Ako presjek ima jednu os simetrije, uz isto vanjsko opterećenje, štap je opterećen na uvijanje

s utjecajem smicanja i dodatno na savijanje zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu

simetrije.

Za poprečni presjek s dvije osi simetrije, štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja.

U klasičnim teorijama uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka

zanemaruje se vitoperenje poprečnog presjeka zbog smicanja. Ovdje je dana približna

inženjerska metoda koja uzima u obzir ovaj utjecaj [36]. Dani su analitički izrazi za

raspodjelu naprezanja duž srednje linije poprečnog presjeka. Pri tom se polazi od pretpostavki

navedenih u drugom poglavlju. Isto tako izrazi navedeni u drugom poglavlju (2.1) - (2.28)

vrijede i ovdje.

Pretpostavka je da su normalno naprezanje prikazano izrazom (2.20) kao i tangencijalno

naprezanje dano izrazom (2.24) konstantni po debljini stjenke poprečnog presjeka. U skladu s

pretpostavkom da za vrijeme deformiranja poprečni presjek zadržava svoj oblik, Saint

Venantovo čisto uvijanje može biti uključeno s komponentom

V V ( , , ),x x x s

koja je linearno raspodijeljena po debljini stjenke i računa se prema

V t

t

,x

M

I

(3.1)

gdje je

t t ( )M M x

40

moment čistog uvijanja definiran sa

t

Pt t t t

d,

dM GI GI

x

(3.2)

pri čemu je

3

t

1d ,

3L

I t s

(3.3)

torzijski moment tromosti poprečnog presjeka.

Ukupno tangencijalno naprezanje

tot totxξ ( , , )x x s

dano je sa

tot V ,x x x

(3.4)

gdje je komponenta x dana sa (2.24), a komponenta Vx sa (3.1) i (3.2).

3.1. Jednadžbe ravnoteže

Pretpostavlja se da je nosač opterećen jednoliko raspodijeljenim momentom P P( )m m x oko

pola P prema [27], [36]

P d ,z y y z

L

m p y a p z a s

(3.5)

Slika 3.1. Vanjsko opterećenje.

41

gdje su ( , )y yp p x s i ( , )z zp p x s sile na jedinicu površine u smjeru y i z osi, a L

srednja linija poprečnog presjeka.

Za konačni element stjenke poprečnog presjeka prema slici 3.2., jednadžbe ravnoteže mogu se

napisati prema


tP P

( )d d 0,

( )cos d d 0,

( )sin d d 0,

( ) dd d d d 0,

d

xx

L

x

y

L

x

z

L

x

P

L

tF x s

x

tF x s

x

tF x s

x

t MM xh s x m x

x x

(3.6)

gdje je

t tt

dd d d d

dL L

M Ms M s x x

x x x

,

a tM moment čistog uvijanja na jedinici duljine.

Imajući u obzir (2.6) i (2.7), (3.6) se može pisati kao

42

tP

d 0,

( )d 0,

( )d 0,

( ) dd 0.

d

x

L

x

L

x

L

x

L

Ax

ty

x

tz

x

t Mm

x x

(3.7)

Primjenom parcijalne integracije integrali u (3.7) mogu se pisati kao

2

1

2

1

( ) ( ) ( ) ( )d d d d ,

( ) ( ) ( ) ( )d d d d ,

( ) (d d

ex x x x

eL L L

ex x x x

eL L L

x x

L

t t t ty uv v u y y s y s

x x s x s x

t t t tz uv v u z z s z s

x x s x s x

tuv v u

x

2

1

) ( ) ( )d d ,

ex x

eL L

t t ts s

x s x s x

(3.8)

gdje su 1e i 2e rubovi srednje linije poprečnog presjeka u kojima je 0x .


t

P

d 0,

d 0,

d 0,

dd 0.

d

x

L

x

L

x

L

x

L

Ax

ty s

s x

tz s

s x

t Ms m

s x x

(3.9)

Prema (2.20) i (2.24) je

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

3 4 4 4

M P P P

3 4 4 4

d d d d( ) ( ) ( ) ,

d d d d

( ) d d d d( ) ( ) ( ) ( ) ,

d d d d

xy z

x

z y y z

u v wE y s z s s

x x x x x

t u v wE A s S s S s S s

x x x x x

pa uvrštenjem u (3.9) jednadžbe ravnoteže postaju

43

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

3 4 4 4

M P P P

3 4 4 4

3 4 4 4

M P P P

3 4 4 4

3 4 4 4

M P P P

3 4 4 4

d d d d0,

d d d d

d d d d0,

d d d d

d d d d0,

d d d d

d d d d

d d d d

z y

z z zy z

y yz y y

z y

u v wE A S S S

x x x x

u v wE S I I I

x x x x

u v wE S I I I

x x x x

u v wE S I I I

x x x x

,m

(3.10)

gdje je

2

2

2

d , d , d , d ,

d , d , d ,

d , d ,

d .

z yA A A A

z zy zA A A

y yA A

A

A A S y A S z A S A

I y A I yz A I y A

I z A I z A

I A

(3.11)

Vrijede sljedeće jednakosti

, , ,yz zy y y z zI I I I I I

(3.12)

i

t

P

d

d

Mm m

x

(3.13)

ili uz pomoć (3.2)

2 t

P tP t P t2

d d.

d dm m GI m GI

x x

(3.14)

Ako su y , z i glavne koordinate vrijedi

0, 0, 0, 0, 0, 0,y z yz zy y y z zS S I I I I I I S

(3.15)

pa (3.10) prelazi u

44

2

M

2

4

P

4

4

P

4

4

P

4

d0,

d

d0,

d

d0,

d

d.

d

z

y

uEA

x

vEI

x

wEI

x

EI mx

(3.16)

3.2. Veza naprezanja i unutarnjih sila

3.2.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila

Integriranjem tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku dobije se [27], [36]

P

cos d 0,

sin d 0,

d ,

y x

A

z x

A

x

A

Q A

Q A

M h A

(3.17)

gdje ( )y yQ Q x i ( )z zQ Q x predstavljaju poprečne sile u odnosu na y i z os, koje su

jednake nuli s obzirom na zadano opterećenje, a ( )M M x moment vitoperenja u odnosu

na pol P.

Ako se (2.26) uvrsti u prvu jednadžbu (3.17) dobije se

2 3 3

M P P

2 3 3

3

P

3

d d dcos d cos d cos d

d d d

d cos d 0,

d

y z y

L L L

L


t x t x t x

ES t s

t x

odnosno

2 3 3 3

2 3 3 3

d d d dd d d d 0,

d d d d

M P P Py z y

L L L L

u v wQ E A y E S y E S y E S y

x x x x

gdje je cos d d .t s t y

Nakon parcijalne integracije dobije se (vidi str.17 i 18)

45

d ,z

L

A y S d ,z z

L

S y I d ,y zy

L

S y I ,z

L

S dy I

pa je:

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d d0.

d d d dy z z zy z


x x x x

Uvrštenjem (2.26) u drugu jednadžbu (3.17) dobije se

2 3 3

M P P

2 3 3

3

P

3

d d dsin d sin d sin d

d d d

d sin d

d

z z y

L L L

L


t x t x t x

ES t s

t x

0,

odnosno

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d dd d d d 0,

d d d dz z y

L L L L

u v wQ E A z E S z E S z E S z

x x x x

gdje je sin d d .t s t z

Primjenom parcijalne integracije dobije se (vidi str. 18)

d ,y

L

A z S d ,z yz

L

S z I d ,y y

L

S z I d ,y

L

S z I

pa je

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d d0.

d d d dz y yz y y


x x x x

Ako se (2.26) uvrsti u treću jednadžbu (3.17) dobije se

2 3 3 3

M P P PP P P P2 3 3 3

d d d dd d d d ,

d d d dz y

L L L L

E u E v E w EM A h t s S h t s S h t s S h t s

t x t x t x t x

,

odnosno

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d dd d d d ,

d d d dz y

A L L L

u v wE A E S E S E S M

x x x x

gdje je P d d .h t s t

Nakon parcijalne integracije dobije se (vidi str.19)

46

d ,L

A S d ,z z

L

S I d ,y y

L

S I d ,L

S I

pa je

2 3 3 3

M P P P

2 3 3 3

d d d d.

d d d dz y

u v wE S E I E I E I M

x x x x

Ako su y, z i glavne koordinate vrijedi

0, 0, 0, 0, 0, 0,y z yz z yS S S I I I pa se dobije

3

P

3

3

P

3

3

P

3

d0,

d

d0,

d

d.

d

z

y

vEI

x

wEI

x

EI Mx

(3.18)

Imajući u vidu (3.16) i (3.18) može se napisati

d.

d

Mm

x

(3.19)

Zamjenom (3.18) u (2.26) dobije se

*

.x

M S

I t

(3.20)

3.2.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila

Integracijom izraza za normalno naprezanje po presjeku dobije se [36]

d 0,

d 0,

d 0,

d ,

x

A

z x

A

y x

A

x

A

N A

M y A

M z A

B A

(3.21)

gdje su ( )y yM M x i ( )z zM M x momenti savijanja oko y i z osi, a ( )B B x je

bimoment.

47

Ako se (2.20) i (2.21) uvrste u prvu jednadžbu (3.21) dobije se

2 2 2

M P P P

2 2 2

0

d d d dd d d d d 0,

d d d d

s

x

A A A A

u v w EEA E y A E z A E A s A

x x x x G x

odnosno

2 2 2

M P P P

2 2 2

0

d d d dd d 0.

d d d d

s

x

z y

A

u v w EEA E S E S E S s A

x x x x G x

Budući da su y , z i glavne koordinate, vrijedi 0y zS S S pa gornji izraz postaje

M

0

dd d 0,

d

s

x

A

u EEA s A

x G x

a uz novouvedenu sekundarnu uzdužnu silu

0

d d ,

sx

A

EN A s

G x


Md0.

d

uEA N

x

Uvrštenjem (2.20) i (2.21) u drugu jednadžbu (3.21) slijedi

2 2 22M P P P

2 2 2

0

d d d dd d d d d

d d d d

d d 0,

z x

A A A A A

sx

A

u v wM y A E y A E y A E zy A E y A

x x x x

Ey A s

G x

odnosno

2 2 2M P P P

2 2 2

0

d d d dd

d d d d

d d 0.

z x z z yz z

A

sx

A

u v wM y A E S E I E I E I

x x x x

Ey A s

G x

Za glavne koordinate je 0z yz zS I I , pa uz novouvedeni sekundarni moment savijanja

48

0

d d ,

sx

z

A

EM y A s

G x


2P2

d0.

dz z z

vM EI M

x

Uvrštenjem (2.20) i (2.21) u treću jednadžbu (3.21) dobije se

2 2 22M P P P

2 2 2

0

d d d dd d d d d

d d d d

+ d d 0,

y x

A A A A A

sx

A

u v wM z A E z A E yz A E z A E z A

x x x x

Ez A s

G x

odnosno

2 2 2M P P P

2 2 2

0

d d d dd

d d d d

+ d d 0.

y x y zy y y

A

sx

A

u v wM z A E S E I E I E I

x x x x

Ez A s

G x

Za glavne koordinate je 0,y zy yS I I te uz novouvedeni sekundarni moment savijanja

0

d d ,

sx

y

A

EM z A s

G x


2P

2

d0.

dy y y

wM EI M

x

Uvrštenjem (2.20) i (2.21) u četvrtu jednadžbu (3.21) slijedi

2 2 22M P P P

2 2 2

0

d d d dd d d d + d d ,

d d d d

s

x

A A A A A

u v w EB E A E y A E z A E A A s

x x x x G x

odnosno

2 2 2

M P P P

2 2 2

0

d d d dd d .

d d d d

s

x

z y

A

u v w EE S E I E I E I A s B

x x x x G x

Za glavne koordinate je 0,z yS I I pa uz novouvedeni sekundarni bimoment

49

0

d d ,

ys vx

A

EB A s

G x


2

P

2

d.

dEI B B

x

Dakle, jednadžbe (3.21) dobivaju oblik

M

2

P

2

2

P

2

2

P

2

d,

d

d,

d

d,

d

d,

d

z z

y y

uEA N

x

vEI M

x

wEI M

x

EI B Bx

(3.22)

gdje su

0

0

0

0

d d ,

d d ,

d d ,

d d ,

sx

A

sx

z

A

sx

y

A

sx

A

EN A s

G x

EM y A s

G x

EM z A s

G x

EB A s

G x

(3.23)

novouvedene sekundarne komponente unutarnjih sila.

Iz (3.20) je

,x

M S

tI

pa uvrštenjem u (3.23), uz (3.19), dobije se

50

* * *

0 0 0

* * *

0 0 0

* *

0 0

d dd d d d d d ,

d d

d dd d d d d d ,

d d

d dd d d

d d

s s s

A A A

s s s

z

A A A

s s

y

A

M S M S SE E EN A s A s m A s

G x tI x GI t GI t

M S M S SE E EM y A s y A s m y A s

G x tI x GI t GI t

M S M SE EM z A s z A

G x tI x GI t

*

0

* * *

0 0 0

d d d ,

d dd d d d d d .

d d

s

A A

s s s

A A A

SEs m z A s

GI t

M S M S SE E EB A s A s m A s

G x tI x GI t GI t

(3.24)


* * * * * *

0 0 0 0

d d d ( d d d ) d d d ,

s s s sg

dA L

S S S S A SA s uv v u u s v A A s A s s

t t t t t

* *

0 0

* * * * *

0 0 0 0

d d d ( d d d d )

d d d d ,

s s

z

A

s s s sgz z

z zd


t t

S S S S S SS s S s s s

t t t t

* *

0 0

* ** * *

0 0 0 0

d d d ( d d d d )

d d d d ,

s s

y

A

s s s sgy

y y yd


t t

S SS S SS s S s S s s

t t t t

* *

0 0

2* * *

0

d d d ( d d d d )

d d d ,

s s

A

s g

dL A


t t

S S SS s S s A

t t t

pa jednadžbe (3.24) postaju

51

* *

* *

* *

2*

d ,

d ,

d ,

d ,

L

zz

L

y

y

L

A

A SEN m s

GI t

S SEM m s

GI t

S SEM m s

GI t

SEB m A

GI t

(3.25)

gdje je *

* * * *d , d d .

s

A A A t s

Iz (3.22), a imajući u vidu (3.18), dobije se

2

M

2

3

P

3

3

P

3

3

P

3

d d0,

d d

d d0,

d d

dd0,

d d

d d d,

d d d

zz

y

y

u NEA

x x

v MEI

x x

MwEI

x x

B BEI M

x x x

(3.26)

a uz (3.16)

3

M

3

4

P

4

4

P

4

4

P

4

d0,

d

d0,

d

d0,

d

d d.

d d

z

y

uEA

x

vEI

x

wEI

x

MEI m

x x

(3.27)

Uzevši u obzir (3.4) i (3.14), moment torzije može se izraziti kao

P t ,M M M

pa je

52

P

P

d

d

Mm

x

(3.28)

Pretpostavka je da vrijedi .m konst ; u protivnom jednadžbe (3.26) i (3.27) daju približno

rješenje problema.

Prva jednadžba u (3.22), a uz (3.25), može se pisati kao

* *

M

dd

,d

L

E A Sm s

GI tu N

x EA EA

odnosno

* *

M

2

d 1 1d .

dA

u A Sm A

x GA I t

Druga jednadžba u (3.22), a uz (3.25), može se pisati kao

* *

22P2

dd

,d

z

z A

z z

E S Sm A

GI tv M

EI EIx

odnosno

2 * *P P2 2

dd .

d

z

P z A

v m W S SA

GW I Ix t

Treća jednadžba u (3.22), uz (3.25), poprima oblik

* *

22P

2

dd

,d

y

y L

y y

S SEm A

M GI tw

EI EIx

tj.

* *2P P

2 2P

dd .

d

y

y A

S Sw m WA

GW I Ix t

Četvrta jednadžba u (3.22), imajući u vidu (3.25), može se pisati kao

2*

2

P

2

dd

,d

A

E Sm A

GI tB B B

x EI EI EI EI

53

odnosno

22 *

P P

2 2

P

d 1d .

dA

B I Sm A

x EI GI I t

Uvođenjem faktora smicanja prema

* *

2

* *P

2

* *

P

2

2*

P

2

1d ,

d ,

d ,

d ,

x

A

zy

z A

y

z

y A

A

A SA

I t

S SWA

I I t

S SWA

I I t

SIA

tI

(3.29)

gdje su:

x faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka P ,

y je faktor smicanja u odnosu na pomak Pv zbog pomaka P ,

z je faktor smicanja u odnosu na pomak Pw zbog pomaka P ,

je faktor smicanja u odnosu na pomak P ,

i smicajnih momenta otpora te smicajnog momenta tromosti prema

P

P

PP

s PP

,

,

,

y

y

z

z

WW

WW

II

(3.30)

pri čemu je 2P P

A

I h dA polarni moment tromosti poprečnog presjeka u odnosu na glavni pol

P, a PP

0

IW

h polarni moment otpora u odnosu na glavni pol, gdje je 0h udaljenost tangente

kroz glavnu ishodišnu točku od pola P, izraz (3.22) poprima oblik

54

M

2P2

P

2P

2P

2P

2P

d,

d

d,

d

d,

d

d.

d

x

y

z

u m E

x GA

v m

GWx

w m

GWx

B m

EI GIx

(3.31)

Normalno naprezanje dano sa (2.20) može se izraziti uz pomoć unutarnjih sila na sljedeći

način

*

0

d + .

sy z

x

y z

MS MB B E Nm s z y

I I GI t I I A

(3.32)

Unutarnje sile dane sa (3.25), uzimajući u obzir (3.29), mogu se napisati i na ovaj način

P

P

P

,

,

,

,

x

z y

z

y z

y

EN m

G

EIM m

GW

EIM m

GW

EIB m

GI

(3.33)

a uzevši u obzir (3.30), u sljedećem obliku

P

P

sP

,

,

,

.

x

zz

y

y

y

z

EN m

G

EIM m

GW

EIM m

GW

EIB m

GI

(3.34)

Izraz za naprezanje (3.32) postaje

*

P P P0

d + y+ ,

syz x

x

EB E E S E Em m s m z m m

I GI GI t GW GW GA

(3.35)

55

odnosno

*

sP P P0

d + y+ .

s

xx

z y

B E E S E E Em m s m z m m

I GI t GAGI GW GW

(3.36)

3.3. Pomaci pola

Jednadžbe (3.22) mogu se napisati razdvojeno, uz oznake radi jednostavnijeg pisanja,

s b sM M s P P b P s

b s t sP P b P P P t P s

, , , , ,

, , , , , ,s

u u u u v v v v v v

w w w w w w

kako slijedi

2b

2

2b

2

2t

2

d0,

d

d0,

d

d0,

d

d,

d

u

x

v

x

w

x

B

EIx

(3.37)

i

s

2s

2P

2s

2P

2s

2P

d,

d

d,

d

d,

d

d.

d

x

y

z

u m

x GA

mv

GWx

w m

GWx

m

GIx

(3.38)

Jednadžbe (3.37) predstavljaju poznate jednadžbe klasične teorije uvijanja tankostjenih

štapova [36], [78], [80], [81].

Jednadžbe (3.38) predstavljaju utjecaj smicanja na pomake.

Integriranjem prve jednadžbe u (3.38) dobije se

56

s

xMu

GA

(3.39)

Integriranjem druge, treće i četvrte jednadžbe u (3.38) dobije se

s

P

s

P

s

P

,

,

,

y

v

zw

Bv C

GW

Bw C

GW

BC

GI

(3.40)

gdje su vC , wC i C konstante integracije.

Jednadžbe (3.40) mogu biti napisane i kao

s

P

s

P

s sP

,

,

.

v

y

w

z

Bv C

GW

Bw C

GW

BC

GI

(3.41)

Iz uvjeta da je na lijevom kraju nosača (zglobni oslonac)

s

s

s

0,

0,

0,

v

w

(3.42)

dobiju se konstante integracije

P

P

sP

,

,

.

v

y

w

z

BC

GW

BC

GW

BC

GI

(3.43)

Ukupni pomaci mogu se izraziti prema

57

A

P

A

P

At

P

,

,

,

,

x

y

z

Mu

GA

B Bv

GW

B Bw

GW

B B

GI

(3.44)

odnosno prema

A

P

A

P

At s

P

,

,

,

.

x

yP

z

Mu

GA

B Bv

GW

B Bw

GW

B B

GI

(3.45)

Za zglobno oslonjen nosač, rubni uvjeti za oslonce A i B glase

A A B B

A B

t tt t A A B B

2 2t t

A B2 2

0, 0 ,

d d0, 0 .

d d

x x x x x x x x

x x x x B Bx x

(3.46)

Za ukliješteni nosač, rubni uvjeti za ukliještene krajeve A i B glase

A A A

B B B A

B

t ttt A A A

2 2t t

B t s 2 2P

t B A tB B Bs

P

d0 0 , 0 ( 0),

d

1 d d0

d d

d 0 , 0 ( 0).

d

x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x

EI EIGI x x

B B

xGI

(3.47)

Za slobodni kraj, rubni uvjeti su

58

B B

2 3t t

B B2 3

d d0 0 , 0 0 .

d dx x x xB M

x x

(3.48)



U slučaju da je os z os simetrije lako se može dokazati da je 0 0x z .


*

P P0

d + ,

sy

x

EB E E Sm m s m y

I GI GI t GW

(3.49)

a (3.36)

*

sP P0

d + .

s

x

y

B E E S Em m s m y

I GI tGI GW

(3.50)


A

P

At

P

0,

,

0,

,

y

u

B Bv

GW

w

B B

GI

(3.51)

a (3.45)

A

P

At s

P

0,

,

0,

.

y

u

B Bv

GW

w

B B

GI

(3.52)

Štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i dodatno na savijanje zbog smicanja u

ravnini okomitoj na ravninu simetrije.

59


Izraz za normalno naprezanje (3.35) postaje [27], [36]

*

P 0

d ,

s

x

B E E Sm m s

I GI GI t

(3.53)

a izraz (3.64)

*

sP 0

d ,

s

x

B E E Sm m s

I GI tGI

(3.54)

jer je uz 0, 0x z i 0y .

Izraz za pomake (3.44) prelazi u

At

P

0,

0,

0,

,

u

v

w

B B

GI

(3.55)

a (3.45) u

At s

P

0,

0,

0,

.

u

v

w

B B

GI

(3.56)

Štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja.

61

4. UTJECAJ SMICANJA PRI SAVIJANJU I UVIJANJU ŠTAPOVA


Ukoliko se vanjsko opterećenje svodi na silu kroz pol okomito na uzdužnu os štapa te

moment uvijanja oko pola, štap je opterećen na savijanje i uvijanje s utjecajem smicanja.

Izrazi za normalno naprezanje i pomake mogu se dobiti superpozicijom izraza za pomake i

normalno naprezanje dobivenih u poglavljima 2. i 3.

Superpozicijom (2.56) i (3.35) izraz za normalno naprezanje prelazi u

*

0

*

0

P P

*

P P0

d

d

d +

z

y

sy y zyzz

x z z y

y y

s

yy yzz zy y z

z z

y s xyz s xzz y z y

syz


I GA GI t GA

E EM SEy q y q s q y

I GA GI t GA

E ELE ELq q q q

GW GW GA GA

EE S EB Em m s m z m

I GI GI t GW

P

+ ,xEy m

GW GA

(4.1)

odnosno superpozicijom (2.57) i (3.36)

*

0

*

0

P P

*

sP PP 0

d

d

+

+ d + + +

z

y

sy y

x z z y

y zz y zy

s

z zy y z

z yy z yz

s xys xzz y z y

z y

s

x

z y


I GA GI t GA

M SE E Ey q y q s q y

I GA GI t GA

ELELE Eq q q q

GW GW GA GA

S EB E E E Em m s m z m y m

I GI t GW GWGI

.GA

(4.2)

Superpozicijom (2.65) i (3.44) izrazi za pomake postaju

62

AA Ab

P

A A Ab

P

AA A

sP P P

,

,

,

,

y xy s z xz s x

y yz zyy yz y

y y z zzz zy z

y yz zy z t

Q L Q L Mu

GA GA GA

M MM M B Bv v

GA GA GW

M M M M B Bw w

GA GA GW

M MM M B B

GW GW GI

(4.3)

odnosno superpozicijom (2.66) i (3.45)

AA Ab

P

A A Ab

P

AA At s

P P P

,

,

,

.

y xy s z xz s x

y yz z

yy yz y

y y z z

zz zy z

y yz z

y z

Q L Q L Mu

GA GA GA

M MM M B Bv v

GA GA GW

M M M M B Bw w

GA GA GW

M MM M B B

GW GW GI

(4.4)



U slučaju da je os z os simetrije lako se može dokazati da je 0, 0.x z

Izraz za normalno naprezanje (4.1) prelazi u

* *

0 0

P

*

P P0

d d

d + ,

yzss

y y yyzz z zx z z y y

y y z z

y s xzy z

sy

M S EE M SE Ez q z q s y q y q s

I GA GI t I GA GI t

E ELq q

GW GA

EE SB Em m s m y

I GI GI t GW

(4.5)

a (4.2) u

63

* *

0 0

P

*

sPP 0

d d

+

+ d + .

yzss

y y z zx z z y y

y zz y z yy z

s xzy z

y

s

y

M S M SE E E Ez q z q s y q y q s

I GA GI t I GA GI t

ELEq q

GW GA

SB E E Em m s m y

I GI t GWGI

(4.6)

Izrazi za pomake (4.3) postaju

A Ab

P

A

b

A At s

P P

,

,

,

,

z xz s

z zyy y

y y

zz

z zy

Q Lu

GA

M M B Bv v

GA GW

M Mw w

GA

M M B B

GW GI

(4.7)

a (4.4)

A Ab

P

A

b

A At s

P P

,

,

,

.

z xz s

z z

yy y

y y

zz

z z

y

Q Lu

GA

M M B Bv v

GA GW

M Mw w

GA

M M B B

GW GI

(4.8)



* *

0 0

*

P 0

d d

d ,

yzss

y y yyzz z zx z z y y

y y z z

s

M S EE M SE Ez q z q s y q y q s

I GA GI t I GA GI t

E SB Em m s

I GI GI t

(4.9)

64

a izraz (4.2)

* *

0 0

*

sP 0

d d

+ d .

yzss

y y z zx z z y y

y zz y z yy z

s

M S M SE E E Ez q z q s y q y q s

I GA GI t I GA GI t

SB E Em m s

I GI tGI

(4.10)

Izrazi za pomake (4.3) prelaze u

Ab

A

b

At s

P

0,

,

,

,

z zyy

y y

zz

u

M Mv v

GA

M Mw w

GA

B B

GI

(4.11)

a (4.4) u

Ab

A

b

At s

P

0,

,

,

.

z z

yy

y y

zz

u

M Mv v

GA

M Mw w

GA

B B

GI

(4.12)

65

5. ANALIZA REZULTATA

5.1. Faktori smicanja

U prezentiranoj teoriji savijanja s utjecajem smicanja izvedeni su izrazi za pomake (2.65)

AAb

A Ab

AA

P P

,

,

,

,

y xy s z xz s

y yz zyy yz

y y z zzz zy

y yz zy z

Q L Q Lu

GA GA

M MM Mv v

GA GA

M M M Mw w

GA GA

M MM M

GW GW

te normalno naprezanje u uzdužnom smjeru (2.56)

*

0

*

0

P P

d -

d

+ .

z

y

sy y zyzz

x z z y

y y

s

yy yzz zy y z

z z

y s xyz s xzz y z y


I GA GI t GA

E EM SEy q y q s q y

I GA GI t GA

E ELE ELq q q q

GW GW GA GA

Također, u teoriji uvijanja s utjecajem smicanja dobiveni su izrazi za pomake (3.44)

A

P

A

P

At

P

,

,

,

,

x

y

z

Mu

GA

B Bv

GW

B Bw

GW

B B

GI

odnosno normalno naprezanje u uzdužnom smjeru (3.35)

*

P P P0

d + + .

syz x

x

EE S E EB Em m s m z m y m

I GI GI t GW GW GA

Iz navedenih izraza vidi se vrlo važna uloga faktora smicanja u izračunavanju pomaka i

normalnog napezanja. Faktori smicanja definirani su izrazima (2.50)

66

* * * *

2 2

2 * **

2

2*

2

* ** *P P

1 1d , d ,

d , d ,

d ,

d , d ,

y z z y

xy xz

z s y sA A

y zzyy yz zy

y zz A L

y

zz

y A

yzy z

z yL L

A S A SA A

I L I Lt t

S SSA AA s

t I I tI

SAA

tI

S SS SW Ws s

I I t I I t

odnosno (3.29)

* *

2

* ** *P P

2 2

2*

P

2

1d ,

d , d ,

d .

x

A

yzy z

z yA A

A

A SA

I t

S SS SW WA A

I I I It t

SIA

tI

Faktori smicanja, u navedenim izrazima, za niz poprečnih presjeka, dani su u

bezdimenzionalnom obliku, kao čisto geometrijske karakteristike poprečnog presjeka.

Poprečni presjek sveden je na srednju liniju. Zanemaren je Poissonov efekt. Za poprečne

presjeke s jednom (I-presjek, T-presjek, U-presjek, L-presjek) i dvije osi simetrije (I-presjek )

izvedeni su izrazi za faktore smicanja u parametarskom obliku što omogućava uvid koliko

pojedini dio poprečnog presjeka pridonosi u ukupnoj vrijednosti faktora smicanja (Prilog A).

Zbog ključne uloge faktora smicanja u izračunavanju pomaka i normalnog naprezanja, vrlo

važan korak u ovom radu bio je provjera vrijednosti ovih faktora za razmatrane presjeke

navedene u Prilogu A.

U odnosu na dostupnu literaturu uvedeni su novi faktori smicanja xz , xy i x .

Dobivene vrijednosti pojedinih faktora smicanja uspoređivane su sa vrijednostima iz dostupne

literature. U navedenoj literaturi faktori smicanja nisu definirani kao u prezentiranoj teoriji i

ne spominju se sveobuhvatno kao u ovom radu.

Tako Cowper [44] za I-presjek i T-presjek daje analitičke izraze za faktor 1/ zzK u

funkciji geometrije presjeka, ali i Poissonova koeficijenta prema:

67

I-presjek

2

2 3 2 3 2 2 2 2

10 1 1 31,

12 72 150 90 11 66 135 90 30 5 (8 9 )zz

mK

m m m m m m n m m n m m

gdje su 1

0

2,

bt bm n

ht h (slika A.7. u Prilogu A),

T-presjek

2

2 3 2 3 2 2 2 2 3

10 1 1 41,

12 96 276 192 11 88 248 216 30 10 (4 5 )zz

mK

m m m m m m n m m n m m m

gdje su 1

0

,bt b

m nht h

(slika A.13. u Prilogu A).

Ako u gornje izraze uvrstimo 0 dobiju se istovjetne vrijednosti za faktor smicanja zz

kao što daje prezentirana teorija savijanja s utjecajem smicanja (SUS).

Tablica 5.1. i tablica 5.2., napravljene prema gore navedenim izrazima za vrijednosti

Poissonova koeficijenta 0 i 0,3 , a za različite omjere /b h , te grafički prikaz tih

tablica na slici 5.1. i slici 5.2., pokazuju minoran utjecaj Poissonova koeficijenta na faktor

smicanja zz . To opravdava zanemarivanje Poissonova efekta u prezentiranoj teoriji savijanja

s utjecajem smicanja. Fatmi [32] također navodi da Poissonov efekt nema realnog utjecaja na

tankostjene poprečne presjeke.

Tablica 5.1. I-presjek: Faktor smicanja 1/zz K , za 1mh i 1 0t t , prema [44].

b/h zz za 0 zz za 0,3 ( 0) ( 0,3)

100%( 0,3)

zz zz

zz

0,5 2,1188 2,0960 1,088%

0,6 2,3555 2,3362 0,826%

0,7 2,6004 2,5855 0,576%

0,8 2,8529 2,8432 0,341%

0,9 3,1127 3,1090 0,119%

1,0 3,3796 3,3829 -0,098%

1,1 3,6535 3,6646 -0,303%

1,2 3,9344 3,9540 -0,496%

1,3 4,2221 4,2511 -0,682%

1,4 4,5167 4,5558 -0,858%

1,5 4,8180 4,8681 -1,029%

68

Slika 5.1. Utjecaj Poissonova koeficijenta na faktor smicanja zz za I-presjek prema [44].

Tablica 5.2. T-presjek Faktor smicanja zz , za 1000 mmh i 1 0t t , prema [44].

b/h zz za 0 zz za 0,3 ( 0) ( 0,3)

100%( 0,3)

zz zz

zz

0,5 1,7625 1,7358 1,538%

0,6 1,9100 1,8839 1,385%

0,7 2,0623 2,0369 1,247%

0,8 2,2188 2,1945 1,107%

0,9 2,3794 2,3565 0,972%

1,0 2,5440 2,5228 0,840%

1,1 2,7125 2,6933 0,713%

1,2 2,8849 2,8679 0,593%

1,3 3,0610 3,0468 0,466%

1,4 3,2410 3,2299 0,344%

1,5 3,4247 3,4172 0,220%

69

Slika 5.2. Utjecaj Poissonova koeficijenta na faktor smicanja zz za T-presjek prema [44].

Senjanović i Fan [46] daju analitički izraz za faktor 0k , u funkciji geometrije i Poissonova

koeficijenta, za niz presjeka (U-presjek - 0k što je po teoriji SUS 1/ zz , C-presjek - 0k što je

1/ yy U-presjeka po teoriji SUS, I-presjek- 0k što je po teoriji SUS 1/ zz ). Uvrštenjem u te

izraze 0 , dobivaju se iste vrijednosti za navedene faktore smicanja koje daje prezentirana

teorija SUS, što pokazuje tablica 5.3.

Tablica 5.3. Faktor smicanja zz , za 1000 mmh , prema [46].

1 0b h t t Teorija

SUS

Senjanović

0

1zz

k za 0

I presjek 3,380 3,380

T presjek 2,544 2,544

U presjek 1,95 1,95

U [47] navedene su vrijednosti faktora smicanja zz za I-presjek i T-presjek, koje su

istovjetne vrijednostima istog faktora po teoriji SUS.

70

U [53] navode se vrijednosti faktora 2 zzA A , 3 yyA A , sr PA I , 3

sr PyA W za U-presjek

karakteristika: 100 mm, 50 mm, 6 mmb h t , koji odgovaraju: smicajnim površinama,

smicajnom momentu tromosti i smicajnom momentu otpora u ovom radu, a iz kojih se mogu

posredno izračunati faktori smicanja zz , yy , i y . Ovako dobivene vrijednosti

jednake su vrijednostima istih faktora smicanja po prezentiranoj teoriji savijanja i uvijanja s

utjecajem smicanja, što pokazuje tablica 5.4.

Tablica 5.4. Usporedba faktora smicanja za U-presjek po teoriji SUS i [53].

SUS KIM SUS-KIM

100%KIM

20,76229 myy

yy

AA

2

3 0,76229 myyA A 0%

20,97471 mzz

zz

AA

2

2 0,97471mzzA A 0%

3PP 5,77375 my

y

WW

3

3 P 5,77375 mr yA W 0%

s 4PP 7,28238 m

II

s 4

P 7,28238 mrA I 0%

Također, u [53] navode se vrijednosti faktora: 3 zzA A , 23 yzA A , sPrA I , 2 Pr yA W ,

3 Pr zA W za C-nesimetrični presjek sa: 1 240 mm, 20 mm, 100 mm, 5 mmb b h t , a

iz kojih se mogu posredno izračunati faktori smicanja: zz , yy , yz , z i y .

Usporedba je prikazana tablicom 5.5. Ovako dobivene vrijednosti neznatno odstupaju (manje

od 1%) od vrijednosti istih koeficijenata dobivenih u ovom radu. Za nesimetrične presjeke

faktori smicanja određeni su programiranjem u Excelu.

Schramm [48] faktore smicanja određuje numerički. U tablici 5.6. su dani faktori smicanja za

jedan L-simetrični i L-nesimetrični poprečni presjek i usporedba sa teorijom SUS.

71

Tablica 5.5. Usporedba faktora smicanja za C- nesimetrični presjek po teoriji SUS i

[53].

SUS KIM SUS-KIM

100%KIM

2151,452 mmyy

yy

AA

2

2 151,452 mmyyA A 0%

2445,879 mmzz

zz

AA

2

3 446,252 mmzzA A -0,08%

21851,900 mmyz

yz

AA

2

23 1847,808 mmyzA A 0,22%

s 4PP 377475,3 mm

II

s 4

P 377475,3 mmrA I 0%

3PP 113178,97 mmy

y

WW

3

2 P 113178,97 mmr yA W 0%

3PP 144462,91 mmz

z

WW

3

3 P 145931,35 mmr zA W -1,01%

Tablica 5.6. Usporedba faktora smicanja zz i yy po teoriji SUS i [48].

I II III IV

SUS

zz

Schramm

gzz zz

I-II100%

II

SUS

yy

Schramm

gyy yy

III-IV100%

IV

L-simetrični 2,400 2,316 3,63% 2,400 2,286 5,00%

L-nesimetrični 3,018 2,886 4,57% 2,140 2,070 3,38%

72

Fatmi [32] daje normirani pomak na slobodnom kraju konzole pri opterećenju

koncentriranom silom. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib P,max b,max/w w w

po teoriji savijanja s utjecajem smicanja i teoriji ograničenog vitoperenja zbog smicanja po

Fatmiju dana je tablicom 5.7.

Tablica 5.7. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib P,max b,max/w w w po teoriji

SUS i [32].

I II

/ 2b h

1 0 / 20t t h

SUS

w

Fatmi

w

I-II100%

II

I presjek 1,353 1,329 1,80%

T presjek 1,181 1,171 0,85%

U presjek 1,146 1,142 0,35%

Tralli [82], Kim i Kim [53] daju primjer konzolnog nosača I-presjeka opterećenog

koncentriranim momentom uvijanja na slobodnom kraju. Iz rezultata kuta uvijanja slobodnog

kraja može se posredno uspoređivati faktor smicanja po teoriji uvijanja s utjecajem

smicanja (UUS) i navedenih teorija. Zbog velikog omjera / 20L h ovdje je utjecaj smicanja

na kut uvijanja na kraju konzolnog nosača mali (0,29%). Usporedba ovih rezultata dana je

tablicom 5.8.

Tablica 5.8. Usporedba rezultata za kut uvijanja na kraju konzolnog nosača I-presjeka po

teoriji UUS i [82] i [53].

I presjek

150 mm

250 mm

5000 mm

25 mm

b

h

L

t

I II III

Vlasov

rad

UUS

rad

Tralli

rad

Kim i Kim

rad

I-II100%

II I-III

100%III

Kut uvijanja 0,5167 0,5181 0,5167 0,5173 0,27% 0,15%

Tralli [82], Kim i Kim [53], Back i Will [83], El Fatmi [32] navode primjer konzolnog nosača

U-presjeka, opterećenog koncentriranim momentom uvijanja na slobodnom kraju. Iz rezultata

kuta uvijanja slobodnog kraja i horizontalnog pomaka točke C U-presjeka (slika A.17. –

73

Prilog A) na slobodnom kraju mogu se posredno uspoređivati faktori smicanja i y po

teoriji uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i navedenih teorija. Navedeni rezultati dani su u

tablici 5.9., a usporedba rezultata prikazana je tablicom 5.10.

Tablica 5.9. Rezultati za kut uvijanja i horizontalni pomak na kraju konzolnog nosača U-

presjeka po teoriji UUS i [82], [53], [83] i [32].

U presjek

5 m 3,5 m

18 m 0,2 m

b h

L t

I II III IV V

UUS Tralli Kim i Kim Back i Will El Fatmi

Kut uvijanja

310 rad 4,2528 4,2389 4,2360 4,210 4,203

Horizontalni pomak točke C

4C 10 mv

2,172 2,163 2,369

Tablica 5.10. Usporedba rezultata za kut uvijanja i horizontalni pomak na kraju konzolnog

nosača U-presjeka po teoriji UUS i [82], [53], [83] i [32].

U presjek

5 m 3,5 m

18 m 0,2 m

b h

L t

I-II100%

II

I-III100%

III

I-IV100%

IV

I-V100%

V

Kut uvijanja

310 rad 0,33% 0,40% 1,02% 1,18%

Horizontalni pomak točke C

4C 10 mv

0,42% 8,32%

Faktori smicanja za presjeke spomenute u prilogu, a za koje se nisu pronašli podaci u

dostupnoj literaturi, provjeravani su indirektno uspoređivanjem rezultata pomaka i normalnog

naprezanja dobivenih teorijom savijanja s utjecajem smicanja s rezultatima dobivenim

metodom konačnih elemenata.

Rađeni su takvi modeli opterećenja štapa da su se faktori smicanja mogli kontrolirati

pojedinačno.

74

Na primjer, I-poprečni presjek s dvije osi simetrije, opterećen je najprije kontinuiranim

opterećenjem u ravnini simetrije x z , gdje se kroz rezultate pomaka Pw i normalnog

naprezanja wx , moglo prosuđivati o faktoru smicanja zz . Opterećenjem u ravnini simetrije

y z , kroz rezultate pomaka Pv i normalnog naprezanja vx , moglo se prosuđivati o faktoru

smicanja yy .

Za presjeke s jednom osi simetrije, na primjer I-poprečni presjek ili U-presjek, prvo je

razmatrano kontinuirano opterećenje u ravnini simetrije x z , gdje se kroz rezultate pomaka

Pw i normalnog naprezanja wux moglo prosuđivati o faktoru smicanja zz i xz .

Opterećenjem u ravnini simetrije y z , rezultati za pomak Pv i normalno naprezanje vx

poslužili su za prosudbu faktora smicanja yy i y . Opterećenjem jednoliko raspodijeljenim

momentima uvijanja oko pola, kroz dobivene rezultate pomaka u ravnini okomitoj na ravninu

simetrije i rezultate normalnog naprezanje vx , testirala se valjanost faktora smicanja

odnosno y .

5.2. Analiza rezultata pomaka i normalnog naprezanja pri savijanju s

utjecajem smicanja

Značajan utjecaj smicanja na rezultate pomaka i normalnog naprezanja kod relativno kratkih

tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka pokazan je na nizu primjera. Iz izraza za

pomake i normalno naprezanje vidi se da utjecaj smicanja na pomake postoji neovisno o vrsti

opterećenja na nosač, dok se utjecaj na normalno naprezanje javlja samo u slučaju

kontinuiranog opterećenja. Iz tog razloga razmatrani su tankostjeni štapovi opterećeni

jednoliko raspodijeljenim opterećenjem koje prolazi polom poprečnog presjeka, posebno u

svakoj glavnoj ravnini, zglobno oslonjeni te ukliješteni na svojim krajevima (slika 5.3.).

Smicanje znatnije utječe na pomake u odnosu na normalno naprezanje, a isto tako utjecaj

smicanja na rezultate pomaka i normalnog naprezanja je znatno veći za slučaj ukliještenih

krajeva nosača u odnosu na zglobno oslonjene.

Za specijalni slučaj tankostjenog štapa otvorenog poprečnog presjeka s dvije osi simetrije

odabran je I-presjek karakteristika prema slici 5.4. Za ovaj slučaj opterećenja štap je opterećen

na savijanje s utjecajem smicanja.

75

Slika 5.3. Vanjsko opterećenje i oslonci nosača.

1 0

400 mm

3 1200 mm

= 10 mm

b h

L h

t t


Iz faktora utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i P b/v v v , koji predstavljaju omjer

maksimalnog progiba prezentirane teorije savijanja s utjecajem smicanja (SUS) [27] i klasične

Euler-Bernoullijeve teorije savijanja (EBBT) [16], vidi se utjecaj smicanja. Pri opterećenju u

ravnini x z faktor w iznosi 10,112w za ukliješteni nosač, a 2,823w za zglobno

oslonjeni nosač (tablica B.1.-Prilog B). Pri opterećenju u ravnini y z faktor v iznosi

2,387v za ukliješteni nosač, a 1,277v za zglobno oslonjeni (tablica B.3.-Prilog B).

Očito, veći je utjecaj smicanja pri opterećenju u ravnini x z u odnosu na opterećenje u

ravnini y z , što pokazuju i faktori smicanja za ovaj poprečni presjek 3,380zz naprema

1,800yy . Normirane progibne linije, za slučaj ukliještenih krajeva, prikazane slikom 5.5 i

slikom 5.6. , jasno pokazuju utjecaj smicanja.

76



Za zglobno oslonjen nosač utjecaj smicanja je manji. Za veće omjere /L h utjecaj smicanja

na pomake se smanjuje, mada se i pri omjeru / 10L h ne smije zanemariti.

77

Iz faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje /w w bB x x i /v v b

A x x , koji daju

omjer maksimalnog normalnog naprezanja na sredini raspona po teoriji SUS i istog

naprezanja po klasičnoj EBBT, vidi se utjecaj smicanja od 51,18% za ukliješteni nosač

odnosno od 17,06% za zglobno oslonjen nosač pri opterećenju u glavnoj ravnini x z

(tablica B.2.-Prilog B), a 11,56% za ukliješteni nosač odnosno od 3,85% za zglobno

oslonjen nosač pri opterećenju u glavnoj ravnini y z (tablica B.4.-Prilog B). Iz analitičkih

izraza za faktore utjecaja smicanja na normalno naprezanje Bw i A

v prema:

1 0B

0

61 1 ,

12

z y zzw

y zz y

q I A A A hE

M A G I t

2

A 1 112

y z yyv

z yy z

q I A bE

M A G I

vidljiv je i utjecaj materijala na ove faktore kroz član /E G . U svim primjerima uzeto je

/ 2,6E G . Jasno, za veće omjere /E G (neki kompozitni materijali) utjecaj smicanja na

iznos normalnog naprezanja postaje još veći. Povećanjem omjera /L h utjecaj smicanja na

normalno naprezanje se smanjuje tako da je pri omjeru / 15L h zanemariv.

Na slici 5.7. i slici 5.8. dane su krivulje raspodjele normiranog normalnog naprezanja duž

pojasa i duž struka I-presjeka na sredini raspona ukliještenog nosača. Jasno se uočava razlika

u normalnom naprezanju dobivenom po teoriji SUS [27] i onog prema klasičnoj EBBT [16],

[17]. Za slučaj zglobnog oslanjanja nosača također su slične raspodjele normalnog naprezanja,

s tim da je u tom slučaju utjecaj smicanja manji.


nosač.

78


nosač.

Od poprečnih presjeka s jednom osi simetrije, u Prilogu B detaljno su obrađeni, s aspekta

pomaka i normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru, I-presjek, T-presjek, U-presjek i L-

presjek. Za analizu je, kao najinteresantniji odabran U-presjek, geometrije prema slici 5.9.

1 0

400 mm

3 1200 mm

= 10 mm

b h

L h

t t


Pri opterećenju kroz pol u ravnini simetrije štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja

i dodatno na rastezanje zbog smicanja. Pri ovom opterećenju kontrolirani su, posredno kroz

rezultate pomaka i normalnog naprezanja, faktori smicanja zz i xz .

Kroz pomak poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru koji je određen izrazom

s ,z s xzQ Lu

GA

gdje je ,sL h

79

a koji je u normiranom obliku prikazan na slici 5.10., unatoč tome što je ovaj pomak vrlo mali

u odnosu na vertikalni pomak i bez nekog praktičnog značaja, pokazano je dodatno rastezanje

zbog smicanja,

Slika 5.10. Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.

Kroz faktor utjecaja smicanja na progib P b/w w w ogleda se utjecaj smicanja na vertikalni

pomak. Za ukliješteni nosač njegova vrijednost je 4,005w , a za zglobno oslonjeni nosač

1,601w . Povećanjem omjera /L h utjecaj smicanja se smanjuje, mada i pri omjeru

/ 10L h ovaj faktor iznosi 1,270w za ukliješteni nosač, a 1,054w za zglobno

oslonjeni nosač (tablica B.13.-Prilog B).

Normirane progibne linije prikazane slikom 5.11. i slikom 5.12., jasno pokazuju utjecaj

smicanja.

Slika 5.11. Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.

80

Iz faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje bA /wu wu

x x vidljiv je utjecaj

smicanja od 34,67% za ukliješteni nosač, odnosno od 11,56% za zglobno oslonjen nosač

(tablica B.14.a.-Prilog B). Raspodjele normiranog normalnog naprezanja na sredini raspona

nosača, duž lijeve vertikalne i horizontalne stjenke U-presjeka, dane slikom 5.13. i slikom

5.14., prikazuju utjecaj smicanja na normalno naprezanje..

Slika 5.12. Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika 5.13. Normirano normalno naprezanje b/wux x duž lijeve vertikalne stjenke na


81

Slika 5.14. Normirano normalno naprezanje b/wux x duž horizontalne stjenke na sredini

raspona - ukliješteni nosač.

Pri opterećenju kroz pol u ravnini okomitoj na ravninu simetrije, štap je opterećen na savijanje

s utjecajem smicanja u toj ravnini i dodatno na uvijanje zbog smicanja. Pri ovom opterećenju

kontrolirani su, posredno kroz rezultate pomaka i normalnog naprezanja, faktori smicanja yy

i y .

Faktorom utjecaja smicanja na progib P b/v v v ogleda se utjecaj smicanja na horizontalni

pomak pola u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Za ukliješteni nosač njegova vrijednost je

13,084v , a za zglobno oslonjeni nosač 3,417v . Povećanjem omjera /L h utjecaj

smicanja se smanjuje, mada i pri omjeru / 10L h ovaj faktor iznosi 2,088v za

ukliješteni nosač te 1,218v za zglobno oslonjeni nosač (tablica B.15.-Prilog B).

Faktorom utjecaja smicanja na progib točke C U-presjeka CC b/v v v pokazuje se utjecaj

smicanja na horizontalni pomak točke C u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Za

ukliješteni nosač njegova vrijednost je C 9,875v , a za zglobno oslonjeni nosač

C 2,775v . Povećanjem omjera /L h utjecaj smicanja se smanjuje. Pri omjeru / 10L h

ovaj faktor iznosi C 1,799v za ukliješteni nosač te

C 1,160v za zglobno oslonjeni nosač

(tablica B.15.a.-Prilog B).

82

Slika 5.15. U presjek b h : Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v -


Slika 5.15. pokazuje da je pomak točke C U-presjeka manji od pomaka pola P, što dokazuje

da se pored savijanja s utjecajem smicanja javlja i dodatno uvijanje oko pola P u smjeru

kazaljke na satu.

Slika 5.16. Normirano normalno naprezanje b/vx x duž lijeve vertikalne stjenke na


83

Slika 5.17. Normirano normalno naprezanje b/vx x duž horizontalne stjenke na sredini


Iz faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje bA /v v

x x iščitava se utjecaj

smicanja od 67,02% za ukliješteni nosač odnosno od 22,34% za zglobno oslonjen nosač

(tablica B.16.-Prilog B). Raspodjele normiranog normalnog naprezanja na sredini raspona

nosača, duž lijeve vertikalne i horizontalne stjenke U-presjeka, dane slikom 5.16. i slikom

5.17., pokazuju znatan utjecaj smicanja na normalno naprezanje.

Od nesimetričnih poprečnih presjeka, u Prilogu B detaljno su obrađeni, sa aspekta pomaka i

normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru, L-nesimetrični presjek i C-nesimetrični presjek.

Za analizu je uzet C-presjek, geometrije prema slici 5.18.

mm5

mm250

mm100

mm200

01

2

1

tt

h

b

b


Vanjsko opterećenje prolazi kroz pol poprečnog presjeka.

84

U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje glavne ravnine,

dodatno na savijanje zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine djelovanja opterećenja

te dodatno na uvijanje zbog smicanja i rastezanje/sabijanje zbog smicanja.

Normirane progibne linije zglobno oslonjenog nosača, prikazane slikom 5.19. i slikom 5.20.,

pokazuju utjecaj smicanja na progibe.

Slika 5.19. Normirani pomak B b/v v - zglobno oslonjen nosač.

Slika 5.20. Normirani pomak B b/w w - zglobno oslonjen nosač.

85

Raspodjele normiranog normalnog naprezanja na sredini raspona zglobno oslonjenog nosača

duž gornjeg pojasa, struka i donjeg pojasa dane su slikom 5.21., slikom 5.22. i slikom 5.23.

Slika 5.21. Normirano normalno naprezanje b/x x duž gornjeg pojasa na sredini raspona

– zglobno oslonjen nosač.

Slika 5.22.. Normirano normalno naprezanje b/x x duž struka na sredini raspona -


86

Slika 5.23.. Normirano normalno naprezanje b/x x duž donjeg pojasa na sredini raspona -


Ove raspodjele pokazuju jasno utjecaj smicanja na normalno naprezanje u uzdužnom smjeru,.

5.3. Analiza pomaka i normalnog naprezanja pri uvijanju s utjecajem smicanja

Iz faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja P Vlasov/ za I-presjek, koji predstavlja

omjer maksimalnog kuta uvijanja prezentirane teorije uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i

klasične Vlasovljeve teorije uvijanja (Vlasov) [20], [27], na sredini raspona nosača, vidi se

utjecaj smicanja. Pri opterećenju jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja oko pola

faktor iznosi 2,387 za ukliješteni nosač, a 1,277 za zglobno oslonjeni nosač

(tablica C.1.-Prilog C). Normirana progibna linija točke B I-presjeka, za slučaj ukliještenih

krajeva, prikazana slikom 5.24., pokazuje utjecaj smicanja.

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vl/x x

, koji predstavlja omjer

maksimalnog normalnog naprezanja na sredini raspona po teoriji UUS i istog naprezanja po

klasičnoj Vlasovljevoj teoriji [80], [81], pokazuje utjecaj smicanja od 11,55% za ukliješteni

nosač te 3,85% za zglobno oslonjen nosač (tablica C.1.-Prilog C).

Na slici 5.25. dana je krivulja raspodjele normiranog normalnog naprezanja duž pojasa I-

presjeka na sredini raspona ukliještenog nosača. Jasno se uočava razlika u normalnom

naprezanju dobivenom po teoriji UUS i onog prema klasičnoj Vlasovljevoj teoriji.

87

Slika 5.24. Normirani pomak VlasovB B/v v - ukliješteni nosač.

Slika 5.25. Normirano normalno naprezanje duž pojasa na sredini raspona –


Iz faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja P Vlasov/ za U-presjek, koji predstavlja

omjer maksimalnog kuta uvijanja prezentirane teorije uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i

88

klasične Vlasovljeve teorije uvijanja (Vlasov), vidi se utjecaj smicanja. Pri opterećenju

jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja oko pola faktor za omjer / 3L h iznosi

2,922 za ukliješteni nosač, a 1,384 za zglobno oslonjeni nosač. Za omjer

/ 10L h faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja poprima vrijednost 1,173 za

ukliješteni nosač, a 1,035 za zglobno oslonjeni (tablica C.5.a.-Prilog C).

Faktor utjecaja smicanja na progib točke C U-presjeka, definiran kao C CC P Vlasov/ ( )v v h ,

za omjer / 3L h iznosi C 1,139v za ukliješteni nosač te C 1,028v za zglobno oslonjeni

nosač. Za omjer / 10L h faktor utjecaja smicanja na progib točke C iznosi C 1,013v za

ukliješteni nosač i C 1,003v za zglobno oslonjeni nosač.

Slika 5.26. U presjek b h : Normirani pomaci VlC Cmax/v v , s Vl

C Cmax/v v i VlC Cmax/zMv v -


Slika 5.26. pokazuje udio uvijanja s utjecajem smicanja na pomak točke C U-presjeka te udio

na isti pomak dodatnog savijanja zbog smicanja.

Normirana progibna linija točke C U-presjeka, za slučaj ukliještenih krajeva, prikazana

slikom 5.27. pokazuje utjecaja smicanja.

89

Slika 5.27. U presjek b h : Normirani pomaci VlC Cmax/v v - ukliješteni nosač.

Iz faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vl/vv x x

, koji daje omjer

maksimalnog normalnog naprezanja na sredini raspona po teoriji UUS i istog naprezanja po

klasičnoj Vlasovljevoj teoriji, vidi se utjecaj smicanja od 18,48% za ukliješteni nosač te

6,16% za zglobno oslonjen nosač pri omjeru / 3L h . Za omjer / 10L h faktor utjecaja

smicanja na normalno naprezanje Av iznosi A 1,017v za ukliješteni nosač i A 1,006v

za zglobno oslonjen nosač (tablica C.6.a.-Prilog C).


x x duž vertikalne stjenke na


90


vertikalne i horizontalne stjenke U-presjeka na sredini raspona ukliještenog nosača. Vidljiva

je razlika u normalnom naprezanju dobivenom po teoriji UUS i onog prema klasičnoj

Vlasovljevoj teoriji. Utjecaj smicanja pri uvijanju na iznose pomaka i normalnog naprezanja u

uzdužnom smjeru ne može se za kratke štapove zanemariti, iako je on manji nego pri

savijanju.




91

6. USPOREDBA REZULTATA DANE TEORIJE S REZULTATIMA

DOBIVENIM METODOM KONAČNIH ELEMENATA

6.1. Usporedba rezultata za pomake i normalna naprezanja pri savijanju s

utjecajem smicanja

Za verifikaciju rezultata za pomake i normalna naprezanja dobivenih po teoriji savijanja s

utjecajem smicanja (SUS), napravljena je usporedba s rezultatima po metodi konačnih

elemenata. Pri tome je korišten programski paket Autodesk ALGOR Simulation Professional

[84], [85]. Štap je modeliran membranskim četverokutnim elementima s četiri čvora i s dva

stupnja slobode u čvoru (slika 6.1.a.) [86], [87].

a) b)

Slika 6.1.: a) membranski element; b) opterećenje štapa.

Za niz poprečnih presjeka rađeni su modeli štapa, zglobno oslonjenog ili potpuno upetog na

krajevima, opterećenog jednoliko raspodijeljenim opterećenjem u smjeru glavnih osiju (slika

6.1.b.). Pri modeliranju je korištena simetrija pa je modelirana polovica štapa od oslonca do

sredine raspona.

a) b)

Slika 6.2.: a) rubni uvjeti za zglobno oslonjeni nosač; b) rubni uvjeti za ukliješteni nosač.

92

Kod zglobno oslonjenog nosača, na mjestu oslonca u svim čvorovima konture presjeka su

spriječeni pomaci u smjeru y i z osi te rotacija oko osi x . Na sredini raspona nosača, u

ravnini simetrije, spriječene su rotacije oko osiju y i z te pomak u smjeru x osi (slika 6.2.a.).

Za ukliješteni nosač, na mjestu ukliještenja u svim čvorovima konture presjeka su spriječeni

pomaci u smjeru x , y i z osi te rotacije oko x , y i z osi. Na sredini raspona nosača, u

ravnini simetrije, spriječene su rotacije oko osiju y i z te pomak u smjeru x osi (slika 6.2.b.).

Radi što bolje usporedbe krivulja naprezanja po konturama poprečnih presjeka rađene su vrlo

fine mreže. Tako je pri analizi I-presjeka, geometrijskih karakteristika: 400 mmb h ,

3 1200 mmL h i / 40 10 mmt h , napravljena mreža od 28800 elemenata (slika 6.3.a.).

Opterećenje je postavljano u čvorove najbliže težištima poprečnih presjeka (slika 6.3.b.).

a) b)

Slika 6.3.: a) gustoća mreže; b) položaj opterećenja.

Za I-presjek, karakteristika prema slici 6.4. , dane su sljedeće usporedbe:

1 0

400 mm

3 1200 mm

= 10 mm

b h

L h

t t


93

Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i P b/v v v prema

teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS) i metodi konačnih elemenata dana je u

tablici 6.1.

Tablica 6.1.: Usporedba faktora smicanja na progibe w i v prema SUS i MKE.

Zglobno oslonjeni nosač Ukliješteni nosač

I II III IV

SUS MKE I-II

100%II

SUS MKE III-IV

100%IV

L/h

=3

w 2,8225 2,8576 -1,2% 10,1124 10,0510 0,6%

v 1,2773 1,2812 -0,3% 2,3867 2,3779 0,4%

L/h

=5

w 1,6561 1,6605 -0,3% 4,2805 4,2472 0,8%

v 1,0998 1,1002 -0,0% 1,4992 1,5029 0,2%

Normirane progibne linije, za slučaj ukliještenih krajeva, prikazane slikom 6.5 i slikom 6.6.

pored utjecaja smicanja pokazuju i izvrsno slaganje rezultata za pomake po teoriji SUS s

rezultatima po metodi konačnih elemenata (MKE).


94


Usporedba faktora utjecaja smicanja na normalna naprezanja bB /w w

x x i

bA /v v

x x , po teoriji SUS i po MKE, dana je tablicom 6.2.

Tablica 6.2.: Usporedba faktora smicanja na normalna naprezanja Bw i A

v prema SUS i MKE.


I II III IV

SUS MKE I-II

100%II

SUS MKE III-IV

100%IV

L/h

=3 w

B 1,1706 1,1702 0,0% 1,5118 1,4982 0,9%

vA 1,0385 1,0384 0,0% 1,1156 1,1154 0,0%

L/h

=5 w

B 1,0614 1,0613 0,0% 1,1842 1,1838 0,0%

vA 1,0139 1,0138 0,0% 1,0416 1,0494 -0,7%


pojasa i duž struka I-presjeka na sredini raspona ukliještenog nosača. Jasno se uočava razlika

u normalnom naprezanju dobivenom po teoriji SUS i onog prema klasičnoj EBBT. Isto tako

vidi se izvrsno slaganje rezultata teorije SUS sa rezultatima MKE.

95

Slika 6.7. Normirano normalno naprezanje duž pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.

Slika 6.8. Normirano normalno naprezanje duž struka na sredini raspona - ukliješteni nosač.

Za U-presjek, karakteristika prema slici 6.9. , dane su sljedeće usporedbe:

1 0

400 mm

3 1200 mm

= / 40 10 mm

b h

L h

t t h


96

Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i C CC P t/ ( )v v h ,

prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS) i po metodi konačnih elemenata,

pri opterećenju u ravnini simetrije, odnosno opterećenju u ravnini okomitoj na ravninu

simetrije, dana je u tablici 6.3.

Tablica 6.3.: Usporedba faktora smicanja na progibe w i Cv prema SUS i MKE.


I II III IV

SUS MKE I-II

100%II

SUS MKE III-IV

100%IV

L/h

=3

w 1,6009 1,6033 -0,1% 4,0045 3,8441 4,2%

v 2,7749 2,8096 -1,2% 9,8747 9,9003 -0,3%

L/h

=5

w 1,2163 1,2165 0% 2,0816 2,0404 2,0%

v 1,6390 1,6432 -0,3% 4,1949 4,1811 0,3%

Normirane progibne linije, za slučaj zglobno oslonjenog nosača, prikazane slikom 6.10. i

slikom 6.11., pored utjecaja smicanja pokazuju i izvrsno slaganje rezultata teorije SUS s

rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).


97

Slika 6.11. Normirani pomak C b,max/v v - zglobno oslonjen nosač.

Usporedba faktora utjecaja smicanja na normalna naprezanja bA /wu wu

x x i

bA /v v

x x , prema teoriji SUS i prema MKE, dana je tablicom 6.4.

Tablica 6.4.: Usporedba faktora smicanja na normalna naprezanja Awu i A

v prema SUS i

MKE.


I II III IV

SUS MKE I-II

100%II

SUS MKE III-IV

100%IV

L/h

=3 wu

A 1,1156 1,1133 0,2% 1,3467 1,3229 1,8%

vA 1,2234 1,2235 0,0% 1,6702 1,6680 0,2%

L/h

=5 wu

A 1,0416 1,0415 0,0% 1,1248 1,1237 0,1%

vA 1,0804 1,0805 0,0% 1,2413 1,2412 0,0%


lijeve vertikalne i duž horizontalne stjenke U-presjeka, na sredini raspona zglobno oslonjenog

nosača, pri opterećenju u ravnini simetrije.

98


x x duž lijeve vertikalne stjenke na sredini






lijeve vertikalne i duž horizontalne stjenke U-presjeka, na sredini raspona zglobno oslonjenog

nosača, pri opterećenju u ravnini okomitoj na ravninu simetrije.

99





x x duž horizontalne stjenke na sredini


100

Za C-nesimetrični presjek, karakteristika prema Slici 6.16. , dane su sljedeće usporedbe:

1 2

1 0 2

200 mm 250 mm 100 mm

= 5 mm 3 750 mm

b h b

t t t L h


Usporedba normiranih progiba B b,max/v v i B b,max/w w prema teoriji savijanja s

utjecajem smicanja (SUS) i metodi konačnih elemenata dana je u tablici 6.5.

Tablica 6.5.: Usporedba normiranih progiba B b,max/v v i B b,max/w w prema SUS i MKE.


I II III IV

SUS MKE I-II

100%II

SUS MKE III-IV

100%IV

L/h

=3 B ,max/ bv v 1,4619 1,4795 -1,2% 3,3093 3,1810 2,0%

B ,max/ bw w 2,3062 2,4290 -5,1% 7,5311 7,6825 -3,9%

Normirani pomaci točke B B b,max/v v i B b,max/w w , za slučaj zglobno oslonjenog nosača,

prikazani su slikom 6.17. i slikom 6.18.

101


Slika 6.18. Normirani pomak C b,max/v v - zglobno oslonjeni nosač.

Usporedba normiranih normalnih naprezanja b,max/x x točaka A, B, C i D, prema

teoriji SUS i prema MKE, dana je tablicom 6.6.

102

Tablica 6.6.: Usporedba normiranih normalnih naprezanja točaka A, B, C i D

C-nesimetričnog presjeka, za omjer L/h=3, prema SUS i MKE.


I II III IV

SUS MKE I-II

100%II

SUS MKE III-IV

100%IV

Točk

e pre

sjek

a

A 1,0953 1,0975 -0,2% 1,2860 1,2381 3,9%

B 1,0930 1,1199 -2,4% 1,2789 1,2578 1,7%

C 1,1591 1,1592 0,0% 1,4772 1,3770 7,3%

D 1,1175 1,1521 -3,0% 1,3524 1,3318 1,5%

Na slici 6.19., slici 6.20. i slici 6.21. dane su krivulje raspodjele normiranog normalnog

naprezanja po konturi C-nesimetričnog presjeka, na sredini raspona zglobno oslonjenog

nosača..

Slika 6.19. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž gornjeg pojasa na sredini


103

Slika 6.20. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka na sredini raspona -


Slika 6.21. Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž donjeg pojasa na sredini raspona


104

6.2. Usporedba rezultata za kut uvijanja, horizontalne pomake i normalna

naprezanja pri uvijanju s utjecajem smicanja

Pri uvijanju štap je modeliran ljuskastim elementima s četiri čvora i s pet stupnjeva slobode u

čvoru (slika 6.22.a.) [84], [85].

a) b)

Slika 6.22.: a) ljuskasti element; b) opterećenje štapa.

Za niz poprečnih presjeka rađeni su modeli štapa, zglobno oslonjenog ili potpuno upetog na

krajevima, opterećenog jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja oko pola (slika

6.22.b.). Pri modeliranju je korištena simetrija pa je modelirana polovica štapa od oslonca do

sredine raspona. Kod zglobno oslonjenog nosača na mjestu oslonca u svim čvorovima konture

presjeka su spriječeni pomaci u smjeru y i z osi te rotacija oko osi x . Na sredini raspona

nosača, u ravnini simetrije, spriječene su rotacije oko osiju y i z te pomak u smjeru x osi

(slika 6.2.a.). Za ukliješteni nosač na mjestu ukliještenja u svim čvorovima konture presjeka

su spriječeni pomaci u smjeru x , y i z osi te rotacije oko x , y i z osi. Na sredini raspona

nosača, u ravnini simetrije, spriječene su rotacije oko osiju y i z te pomak u smjeru x osi

(slika 6.2.b.).

Za I-presjek, karakteristika prema slici 6.4. ,dane su sljedeće usporedbe:

Usporedba faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja P,max t,max/ i usporedba

faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vlasov/x x

, prema teoriji

uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i metodi konačnih elemenata. Ove usporedbe, za

omjere L/h=3 i L/h=5, dane su u tablici 6.7.

105

Tablica 6.7.: Usporedba faktora smicanja na kut uvijanja i A prema UUS i MKE.


I II III IV

UUS MKE I-II

100%II

UUS MKE III-IV

100%IV

L/h

=3 1,2773 1,2952 -1,4% 2,3870 2,3588 1,2%

A 1,0385 1,0412 -0,3% 1,1155 1,0906 2,3%

L/h

=5

1,0998 1,1049 -0,5% 1,4995 1,4829 1,1%

A 1,0138 1,0162 -0,2% 1,0415 1,0315 1,0%

Normirani pomak točke B VlB B,max/v v I-presjeka, za slučaj ukliještenih krajeva, prikazan

slikom 6.23. , pored utjecaja smicanja pokazuje i izvrsno slaganje rezultata teorije UUS s



B B,max/v v - ukliješteni nosač.

Na slici 6.24. dana je i krivulja raspodjele normiranog normalnog naprezanja Vlasov/x x

duž

pojasa I-presjeka, na sredini raspona ukliještenog nosača.

106

Slika 6.24. Normirano normalno naprezanje Vlasov/x x duž pojasa na sredini raspona -


Za U-presjek karakteristika prema slici 6.9. dane su sljedeće usporedbe:

Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib točke C presjeka C CC P t/ ( )v v h i

usporedba faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke A presjeka

A Vlasov/vv x x

, prema teoriji uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i metodi

konačnih elemenata. Ove usporedbe, za omjere L/h=3 i L/h=5, dane su u tablici 6.8.

Tablica 6.8.: Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib točke C Cv i faktora utjecaja

smicanja na normalno naprezanje Av prema teoriji UUS i MKE.


I II III IV

UUS MKE I-II

100%II

UUS MKE III-IV

100%IV

L/h

=3 C

v 1,2773 1,2952 -1,4% 2,3870 2,3588 1,2%

Av 1,0385 1,0412 -0,3% 1,1155 1,0906 2,3%

L/h

=5 C

v 1,0998 1,1049 -0,5% 1,4995 1,4829 1,1%

Av 1,0138 1,0162 -0,2% 1,0415 1,0315 1,0%

107

Normirana progibna linija točke C presjeka, za slučaj zglobno oslonjenog nosača, prikazana je

slikom 6.25.


C C,max/v v - zglobno oslonjeni nosač.


lijeve vertikalne i duž horizontalne stjenke U-presjeka, na sredini raspona ukliještenog nosača.




108


x x duž horizontalne stjenke na sredini


109

7. ZAKLJUČAK

Zadatak rada bio je postaviti teoriju savijanja i uvijanja tankostjenih štapova otvorenog

poprečnog presjeka za različita opterećenja (kontinuirano opterećenje okomito na uzdužnu os

štapa kao i jednoliko raspodijeljeni momenti uvijanja, koncentrirano opterećenje) i različite

rubne uvjete (zglobni oslonci, ukliještenja). Navedena teorija predstavlja nadopunu klasičnih

teorija savijanja (Euler-Bernoullijeva i Timošenkova teorija savijanja štapa) i Vlasovljeve

teorije uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka. Ona je ujedno i

nadogradnja teorije savijanja i uvijanja s utjecajem smicanja koju je dao Pavazza u svojim

radovima, polazeći od Timošenkove teorije savijanja. Teorija je približna i daje prihvatljiva

rješenja u inženjerskim proračunima te se može primjenjivati i na kratke štapove kod kojih se

utjecaj smicanja ne može zanemariti. Dobiveni su novi izrazi za određivanje pomaka te

raspodjele normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po konturi poprečnog presjeka, koji su

testirani na velikom broju primjera tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka.

Obrađeni su primjeri tankostjenog štapa otvorenog poprečnog presjeka s dvije osi simetrije, s

jednom osi simetrije kao i štapovi s nesimetričnim poprečnim presjecima.

Iz novouvedenih izraza za pomake i normalno naprezanje u uzdužnom smjeru, izlazi da

utjecaj smicanja na pomake pri savijanju postoji bez obzira na to da li je opterećenje

koncentrirano ili kontinuirano, dok utjecaj na normalno naprezanje postoji samo ako se radi o

kontinuiranom opterećenju. Kod uvijanja utjecaj smicanja na normalno naprezanje javlja se

bez obzira da li je opterećenje koncentrirano ili kontinuirano. Naravno, puno je veći utjecaj

ako se radi o kontinuiranom opterećenju.

Ključnu ulogu u novim izrazima za pomake i normalno naprezanje u uzdužnom smjeru imaju

faktori smicanja. Oni su detaljno razrađeni i definirani drugačije nego u dostupnoj literaturi.

Pored faktora smicanja poznatih iz dostupne literature: yy , zz , yz , y , z i uvode

se i novi: xy , xz i x . U prikazanoj teoriji faktori smicanja dobiveni su analitičkim putem

i dani su kao bezdimenzionalne geometrijske karakteristike poprečnog presjeka, pri čemu je

poprečni presjek sveden na srednju liniju. Poissonov efekt je zanemaren. Za poprečne

presjeke s jednom i dvije osi simetrije (I-presjek, T-presjek, U-presjek, L-presjek) faktori

smicanja dani su analitičkim izrazima u parametarskom obliku. Vrijednosti pojedinih faktora

110

smicanja, za neke presjeke, uspoređene su indirektno s vrijednostima ovih faktora dostupnim

u literaturi.

Tako Cowper [44] za I-presjek s dvije osi simetrije i T-presjek, daje izraze za izračunavanje

faktora K , koji je recipročna vrijednost faktora zz ( 1/ zzK ) u funkciji geometrije, ali i

Poissonova keoficijenta. Uvrštenjem vrijednosti 0 za Poissonov koeficijent u te izraze

dobiveni su istovjetni rezultati koje daje i prezentirana teorija savijanja s utjecajem smicanja

(SUS). Isto tako, za 0,3 dobivene su vrijednosti neznatno različite od vrijednosti za 0 ,

što opravdava zanemarivanje Poissonova efekta (tablica 7.1.).

Tablica 7.1. Usporedba faktora smicanja zz za vrijednosti 0 i 0,3 .

Teorija

SUS

Cowper

1zz

K

za 0

Cowper

1zz

K

za 0,3

( 0) ( 0,3)100%

( 0,3)

zz zz

zz

I presjek

1 0b h t t 3,380 3,380 3,383 -0,089%

T presjek

1 0b h t t 2,544 2,544 2,523 0,8320%

Romano [47] daje iste vrijednosti faktora smicanja 3,380zz za I-presjek ( 1 0b h t t ) i

2,544zz ( 1 0b h t t ) za T-presjek kao i teorija SUS.

Senjanović [46] daje izraze u funkciji geometrije poprečnog presjeka i Poissonova

koeficijenta za faktor 0k , za I-presjek, T-presjek, U-presjek koji je recipročna vrijednost

faktora smicanja zz prema teoriji SUS, odnosno za C-presjek recipročna vrijednost faktora

smicanja yy U-presjeka prema teoriji SUS. Uvrštenjem 0 u te izraze dobiju se istovjetne

vrijednosti navedenih faktora kao što daju izrazi teorije SUS (tablica 5.3.)

Kim [53] za konkretan U- presjek, sa: 1 05 m 3,5 m 0,2 mb h t t navodi

geometrijske karakteristike iz kojih se posredno mogu uspoređivati faktori smicanja yy , zz ,

i y po teoriji SUS. Tablica 5.4. pokazuje potpuno slaganje rezultata.

111

Isti autor [53] navodi geometrijske karakteristike za konkretan C-nesimetrični presjek, sa:

1 24 cm 10 cm 2 cm 0,5 cmb h b t iz kojih se posredno mogu uspoređivati faktori

smicanja yy , zz , yz , , y i z . Tablica 5.5. pokazuje izvrsno slaganje rezultata.

Fatmi [32] daje normirani pomak na slobodnom kraju konzole pri opterećenju koncentriranom

silom. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib P,max b,max/w w w po teoriji savijanja

s utjecajem smicanja i teoriji ograničenog vitoperenja zbog smicanja po Fatmiju s vrlo

dobrim slaganjem rezultata dana je tablicom 5.7.

Poznati i novouvedeni faktori smicanja provjeravani su također i indirektnim putem kroz

rezultate pomaka i normalnog naprezanja, uspoređivanjem rezultata prezentirane teorije s

rezultatima metode konačnih elemenata.

Kod metode konačnih elemenata, pri savijanju štap je modeliran membranskim elementima, a

pri uvijanju, ljuskastim elementima. Za niz poprečnih presjeka rađeni su modeli štapa,

zglobno oslonjenog ili potpuno upetog na krajevima, opterećenog jednoliko raspodijeljenim

opterećenjem u smjeru glavnih osiju za slučaj savijanja, odnosno jednoliko raspodijeljenim

momentima po jedinici duljine za slučaj uvijanja. Pri modeliranju je korištena simetrija pa je

modelirana polovica štapa od oslonca do sredine raspona.

Za I-presjek s dvije osi simetrije razmatrano je jednoliko raspodijeljeno poprečno opterećenje

kroz glavni pol, posebno u svakoj ravnini simetrije, pri čemu je štap opterećen na savijanje s

utjecajem smicanja.

Faktori utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i P b/v v v , gdje su Pw i Pv ukupni

pomaci pola na sredini raspona nosača te bw i bv progibi na istom mjestu po EBBT, daju

utjecaj smicanja na maksimalni progib, ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije

poprečnog presjeka ( /L h ).

Za kratke štapove ( / 3b h L h ) ti faktori iznose 2,8225w i 1,2773v za zglobno

oslonjeni štap te 10,1124w i 2,3867v za ukliješteni štap. Za / 10L h faktori su

1,1640w i 1,0250v za zglobno oslonjeni štap te 1,8201w i 1,1248v za

ukliješteni štap.

112

Slike u prilogu (slika B.2., slika B.8., slika B.17. i slika B.22.) prikazuju normirane progibne

linije po teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS) i po metodi konačnih elemenata (MKE),

kao i izvrsno slaganje rezultata.

Faktori utjecaja smicanja na normalno naprezanje B b/ww x x i A b/v

v x x , gdje su wx

i vx ukupna najveća normalna naprezanja na sredini raspona po teoriji SUS, a b

x isto

naprezanje po EBBT, daju utjecaj smicanja, ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije

poprečnog presjeka ( /L h ). Utjecaj materijala u izrazima za ove faktore dan je omjerom

konstanti elastičnosti /E G .

Za kratke štapove ( / 3 / 2,6b h L h E G ) navedeni faktori iznose B 1,1706w i

A 1,0385v za zglobno oslonjeni štap te B 1,5118w i A 1,1156v za ukliješteni štap.

Za veće omjere /L h faktori su manji pa za / 10L h iznose B 1,0154w i A 1,0035v za

zglobno oslonjeni štap te B 1,0461w i A 1,0104v za ukliješteni štap.

Slike u prilogu (slika B.4., slika B.6., slika B.7. te slika B.19., slika B.21.) prikazuju

raspodjelu normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po duljini nosača te

raspodjele istog naprezanja duž pojasa, odnosno struka I-poprečnog presjeka, na sredini

raspona zglobno oslonjenog nosača. Slaganje između rezultata prezentirane teorije SUS i

rezultata MKE je izvrsno. Kod ukliještenog nosača, na sredini raspona slaganje je također

izvrsno, dok su na samom mjestu ukliještenja razlike očekivano velike zbog djelovanja ruba.

Ono je lokalnog karaktera pa nema utjecaja na rezultate pomaka i normalnog naprezanja na

sredini raspona ukliještenog nosača. Naime, na samom mjestu ukliještenja, za razliku od

MKE, po teoriji SUS nije spriječeno vitoperenje od smicanja.

Utjecaj smicanja na pomake je znatno veći nego na normalno naprezanje u uzdužnom smjeru.

Kod kratkih štapova utjecaj smicanja na normalno naprezanje nipošto se ne smije zanemariti.

Isto tako utjecaj smicanja znatno više dolazi do izražaja kod ukliještenog nosača u odnosu na

zglobno oslonjeni.

Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i P b/v v v te faktora utjecaja

smicanja na normalno naprezanje B b/ww x x i A b/v

v x x po teoriji savijanja s

113

utjecajem smicanja (SUS) i metodi konačnih elemenata (MKE) za I-presjek, karakteristika:

/ 3 / 2,6b h L h E G dana je tablicom 7.2.

Tablica 7.2. Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe i faktora utjecaja smicanja na

normalna naprezanja za I-presjek prema SUS i MKE.

Zglobno oslonjen nosač Ukliješteni nosač

I II III IV

SUS MKE I-II

100%II

SUS MKE III-IV

100%IV

P b/w w w 2,8225 2,8576 -1,23% 10,1124 10,0510 0,61%

P b/v v v 1,2773 1,2812 -0,30% 2,3867 2,3779 0,37%

B b/ww x x 1,1706 1,1702 0,03% 1,5118 1,4982 0,91%

A b/vv x x 1,0385 1,0384 0,01% 1,1156 1,1154 0,02%

Od presjeka s jednom osi simetrije, karakterističan je U-poprečni presjek (b h ).

Pri jednoliko raspodijeljenom poprečnom opterećenje kroz glavni pol u ravnini simetrije štap

je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije, te dodatno na

rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ovaj slučaj opterećenja poslužio je za provjeru faktora

smicanja zz i xz , indirektno kroz usporedbe pomaka i naprezanja.

Faktorom utjecaja smicanja na progib P b/w w w dan je utjecaj smicanja na maksimalni

progib na sredini raspona ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije poprečnog

presjeka ( /L h ).

Za omjere b h , / 3L h navedeni faktor iznosi 1,6009w za zglobno oslonjeni štap te

4,0045w za ukliješteni štap. Za veće omjere /L h vrijednosti su manje, pa je za

/ 10L h 1,0541w za zglobno oslonjeni štap te 1,2704w za ukliješteni štap.

Slike u prilogu (slika B.100., slika B.109., slika B.17. i slika B.22.) prikazuju normirane

progibne linije i dobro slaganje rezultata pomaka prezentirane teorije SUS s rezultatima MKE.

Slike u prilogu (slika B.102., slika B.111.) dokazuju postojanje dodatnog rastezanja zbog

smicanja.

114

Faktorom utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/wuwu x x dan je utjecaj smicanja

na normalno naprezanje u uzdužnom smjeru točke A U-poprečnog presjeka na sredini raspona

ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije poprečnog presjeka ( /L h ).

Za kratke štapove b h , / 3L h , / 2,6E G je vrijednost faktora A 1,1156wu za zglobno

oslonjeni štap te A 1,3467wu za ukliješteni štap.

Za veći omjer /L h taj faktor postaje manji; za / 10L h A 1,0104wu za zglobno oslonjeni

štap te A 1,0312wu za ukliješteni štap.

Slike u prilogu (slika B.103., slika B.104., slika B.107., slika B.108.) prikazuju raspodjelu

normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po duljini nosača za točke A i B U-

poprečnog presjeka, kao i raspodjele normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru

duž vertikalne, odnosno horizontalne stjenke na sredini raspona zglobno oslonjenog nosača.

Slaganje rezultata prezentirane teorije SUS i rezultata MKE je izvrsno. Kod ukliještenog

nosača na sredini raspona je također vrlo dobro slaganje rezultata.

Pri jednoliko raspodijeljenom poprečnom opterećenje kroz glavni pol u ravnini okomitoj na

ravninu simetrije štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini okomitoj na

ravninu simetrije, te dodatno na uvijanje zbog smicanja. Ovaj slučaj opterećenja poslužio je za

provjeru faktora smicanja yy i y , indirektno kroz usporedbe rezultata pomaka i normalnog

naprezanja.

Faktorom utjecaja smicanja na progib P b/v v v dan je utjecaj smicanja na maksimalni

progib pola, u ravnini okomitoj na ravninu simetrije, ovisno o omjeru duljine štapa i najveće

dimenzije poprečnog presjeka ( /L h ).

Za kratke štapove b h , / 3L h taj faktor je 3,4168v za zglobno oslonjeni štap te

13,0838v za ukliješteni štap. Vrijednosti faktora postaju manje za veće omjere /L h pa je

za / 10L h 1,2175v za zglobno oslonjeni štap te 2,0875v za ukliješteni štap.

Faktor utjecaja smicanja na progib točke C CC b/v v v odnosi se na dodatno uvijanje zbog

smicanja.

115

Vrijednost ovog faktora za / 3L h iznosi C 2,7749v za zglobno oslonjeni štap te

C 9,8747v za ukliješteni štap. Za veće omjere /L h vrijednosti postaju manje pa je za

/ 10L h C 1,1597v za zglobno oslonjeni štap te C 1,7987v za ukliješteni štap. Manje

vrijednosti ovog faktora u odnosu na v pokazuju da pored savijanja s utjecajem smicanja u

ravnini okomitoj na ravninu simetrije postoji i dodatno uvijanje zbog smicanja u smjeru

kazaljke na satu.

Slike u prilogu (slika B.122., slika B.130.) prikazuju normirane progibne linije točke C U-

poprečnog presjeka i dobro slaganje rezultata progiba prezentirane teorije SUS s rezultatima

MKE.

Faktorom utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/vv x x

dan je utjecaj smicanja

na normalno naprezanje u uzdužnom smjeru točke A U-poprečnog presjeka na sredini raspona

ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije poprečnog presjeka ( /L h ) te izabranog

materijala.

Za omjere b h , / 3L h i / 2,6E G taj faktor iznosi A 1,2234v za zglobno oslonjeni

štap te A 1, 6702v za ukliješteni štap. Za veće omjere /L h vrijednost faktora je manja,

tako da je za / 10L h A 1 , 0 2 0 1v za zglobno oslonjeni štap te A 1,0603v za

ukliješteni štap.

Slike u prilogu (slika B.1243., slika B.125., slika B.127., slika B.128.) prikazuju raspodjelu

normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po duljini nosača za točke A i B

poprečnog presjeka, kao i raspodjele istog naprezanja duž vertikalne odnosno horizontalne

stjenke U-poprečnog presjeka, na sredini raspona zglobno oslonjenog nosača. Izvrsno je

slaganje rezultata prezentirane teorije SUS s rezultatima MKE. Kod ukliještenog nosača na

sredini raspona je također izvrsno slaganje rezultata.

Usporedba faktora utjecaja smicanja na progibe P b/w w w i CC b/v v v te faktora utjecaja

smicanja na normalno naprezanje A b/wuwu x x i A b/v

v x x

dobivenih po teoriji

savijanja s utjecajem smicanja (SUS) i istih faktora dobivenih metodom konačnih elemenata

(MKE) za U-presjek karakteristika: b h , / 3L h i / 2,6E G dana je tablicom 7.3.

116


na normalna naprezanja za U-presjek prema SUS i MKE.


I II III IV

SUS MKE I-II

100%II

SUS MKE III-IV

100%IV

P b/w w w 1,6009 1,6033 -0,15% 4,0045 3,8441 4,17%

CC b/v v v 2,7749 2,8096 -1,24% 9,8747 9,9003 -0,26%

A b/wuwu x x 1,1156 1,1133 0,21% 1,3467 1,3229 1,8%

A b/vv x x

1,2234 1,2235 -0,01% 1,6702 1,6680 0,13%

Od nesimetričnih presjeka karakterističan je C- nesimetrični presjek.

Pri jednoliko raspodijeljenom poprečnom opterećenju u smjeru glavnih osiju kroz glavni pol,

štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje glavne ravnine, dodatno na

savijanje zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine djelovanja opterećenja, dodatno na

uvijanje zbog smicanja i rastezanje/sabijanje zbog smicanja.

Slike u prilogu (slika B.225., slika B.226., slika B.234. i slika B.235.) prikazuju normirane

pomake u smjeru glavnih osiju i vrlo dobro slaganje rezultata prezentirane teorije SUS s

MKE.

Slike u prilogu (slika B.227., slika B.228., slika B.229., slika B.230. te slika B.231., slika

B.232., slika B.233.) prikazuju raspodjelu normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom

smjeru po dužini nosača u točkama A, B, C i D poprečnog presjeka, kao i raspodjele istog

naprezanja duž gornjeg i donjeg pojasa, odnosno struka C-nesimetričnog poprečnog presjeka,

na sredini raspona, zglobno oslonjenog nosača i vrlo dobro slaganje rezultata prezentirane

teorije SUS s rezultatima MKE. Kod ukliještenog nosača na sredini raspona je također vrlo

dobro slaganje rezultata.

Za slučaj uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) mogu se izvesti gotovo istovjetni zaključci,

mada je izraženo u % utjecaj smicanja manji u odnosu na savijanje.

117

Za I-presjek s dvije osi simetrije razmatrano je opterećenje jednoliko raspodijeljenim

momentima uvijanja oko pola, pri čemu je štap opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja.

Faktorom utjecaja smicanja na kut uvijanja P t/ , gdje je P ukupni kut uvijanja na

sredini raspona nosača, a t kut uvijanja na istom mjestu po klasičnoj Vlasovljevoj teoriji

uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka, dan je utjecaj smicanja na

maksimalni kut uvijanja ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije poprečnog

presjeka ( /L h ).

Za kratke štapove b h , / 3L h dobiva se 1,2773 za zglobno oslonjeni štap te

2,3870 za ukliješteni štap. Povećanjem omjera /L h vrijednost faktora postaje manja

pa je za / 10L h 1,0249 za zglobno oslonjeni štap te 1,1251 za ukliješteni štap.

Slike u prilogu (slika C.2., slika C.7.) prikazuju normirane progibne linije točke B I-

poprečnog presjeka i izvrsno slaganje rezultata progiba prezentirane teorije UUS s rezultatima

MKE.

Faktorom utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vlasov/x x

, gdje je x ukupno

normalno naprezanje na sredini raspona, a Vlasovx normalno naprezanje na istom mjestu po

klasičnoj teoriji, dan je utjecaj smicanja ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije

poprečnog presjeka ( /L h ) kao i materijala kroz omjer /E G .

Za kratke štapove omjera b h , / 3L h i / 2,6E G taj faktor je A 1,0385 za zglobno

oslonjeni štap te A 1,1155 za ukliješteni štap. Povećanjem omjera /L h ovaj faktor

postaje manji pa je za / 10L h A 1,0034 za zglobno oslonjeni štap te A 1,0103 za

ukliješteni štap.

I ovdje je utjecaj smicanja na kut uvijanja znatno veći nego na normalno naprezanje u

uzdužnom smjeru. Kod kratkih štapova, a naročito za ukliješteni štap, utjecaj smicanja na

normalno naprezanje ne može se zanemariti.

Slike u prilogu (slika C.4., slika C.6., slika C.9. te slika C.11.) prikazuju raspodjelu

normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po duljini nosača kao i raspodjele

istog duž pojasa I-poprečnog presjeka, na sredini raspona, zglobno oslonjenog i ukliještenog

nosača. Izvrsno je slaganje rezultata prezentirane teorije UUS s rezultatima MKE.

118

Usporedba faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja Pmax t,max/ i faktora utjecaja

smicanja na normalno naprezanje A Vlasov/x x

dobivenih po teoriji uvijanja s utjecajem

smicanja (UUS) i istih faktora dobivenih metodom konačnih elemenata (MKE) za I-presjek

dana je u tablici 7.4:


smicanja na normalna naprezanja za I-presjek prema teoriji UUS i MKE.


I II III IV

SUS MKE I-II

100%II

SUS MKE III-IV

100%IV

Pmax t,max/ 1,2773 1,2952 -1,38% 2,3870 2,3588 1,20%

A Vlasov/x x

1,0385 1,0412 -0,26% 1,1155 1,0906 2,27%

Za U-poprečni presjek (b h i 2b h ), razmatrano je opterećenje jednoliko raspodijeljenim

momentima uvijanja oko pola, pri čemu je štap opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i

dodatno na savijanje zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Ovaj slučaj

opterećenja poslužio je za provjeru faktora smicanja i y , indirektno kroz usporedbe

rezultata pomaka i normalnog naprezanja.

Faktorom utjecaja smicanja na kut uvijanja P t/ dan je utjecaj smicanja na

maksimalni kut uvijanja na sredini raspona ovisno o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije

poprečnog presjeka ( /L h ).

Za kratke štapove b h , / 3L h taj faktor iznosi 1,3843 za zglobno oslonjeni štap te

2,9218 za ukliješteni štap. Za veće omjere /L h faktor postaje manji pa za / 10L h

iznosi 1,0346 za zglobno oslonjeni štap te 1,1732 za ukliješteni štap.

Faktor utjecaja smicanja na progib točke C U-presjeka C CC P Vlasov/v v h odnosi se na

dodatno savijanje zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije, u negativnom

smjeru osi y .

119

Za kratke štapove b h , / 3L h taj faktor iznosi C 1,0280v za zglobno oslonjeni štap te

C 1,1387v za ukliješteni štap. Vrijednost faktora se smanjuje povećanjem omjera /L h pa

je za / 10L h C 1,0028v za zglobno oslonjeni štap te C 1,0125v za ukliješteni štap.

Manje vrijednosti ovog faktora u odnosu na pokazuju da pored uvijanja s utjecajem

smicanja oko pola dolazi do pomaka poprečnog presjeka kao krutog tijela u ravnini okomitoj

na ravninu simetrije u smjeru negativne osi y , uslijed savijanja zbog smicanja.

Slike u prilogu (slika C.28., slika C.34.) prikazuju normirane progibne linije točke C U-

poprečnog presjeka i dobro slaganje rezultata progiba prezentirane teorije UUS s rezultatima

MKE.

Faktorom utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vlasov/vv x x

dan je utjecaj

smicanja na normalno naprezanje točke A U-poprečnog presjeka, na sredini raspona, ovisno

o omjeru duljine štapa i najveće dimenzije poprečnog presjeka ( /L h ).

Za omjere b h , / 3L h i / 2,6E G taj faktor iznosi A 1,0616v za zglobno oslonjeni

štap te A 1,1848v za ukliješteni štap. Za veće omjere /L h on postaje manji pa je za

/ 10L h A 1,0055v za zglobno oslonjeni štap te A 1,0166v za ukliješteni štap.

Slike u prilogu (slika C.29., slika C.30., slika C.31., slika C.32.) prikazuju raspodjelu

normiranog normalnog naprezanja u uzdužnom smjeru po duljini nosača za točke A i B

poprečnog presjeka, kao i raspodjele istog naprezanja duž vertikalne odnosno horizontalne

stjenke U-poprečnog presjeka, na sredini raspona, zglobno oslonjenog nosača. Slaganje

rezultata prezentirane teorije UUS s rezultatima MKE je izvrsno. Kod ukliještenog nosača na

sredini raspona je također izvrsno slaganje rezultata.

Usporedba faktora utjecaja smicanja na progib točke C U-presjeka C CC P Vlasov/v v h i

faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje A Vlasov/vv x x

, dobivenih po teoriji

uvijanja s utjecajem smicanja (UUS) i istih faktora dobivenih metodom konačnih elemenata

(MKE), za U-presjek karakteristika b h i / 2,6E G , dana je u tablici 7.5.

120


smicanja na normalna naprezanja za U-presjek prema teoriji UUS i MKE.


I II III IV

SUS MKE I-II

100%II

SUS MKE III-IV

100%IV

L=

3h C C

C P Vlasov/v v h 1,0280 1,0334 -0,52% 1,1387 1,1083 2,74%

A Vlasov/vv x x

1,0616 1,0658 -0,39% 1,1848 1,1495 3,07%

L=

10h C C

C P Vlasov/v v h 1,0025 1,0010 -0,15% 1,0125 1,0043 0,82%

A Vlasov/vv x x

1,0055 1,0069 -0,14% 1,0166 1,0113 0,52%

Pri slučaju opterećenja koje se reducira na poprečno jednoliko opterećenje kroz pol u obje

glavne ravnine i jednoliko raspodijeljene momente uvijanja oko pola, potrebno je

superponirati izraze za pomake i naprezanja dobivene teorijama savijanja s utjecajem

smicanja i uvijanja s utjecajem smicanja.

Doprinos ovog rada ogleda se kroz sljedeće stavke:

Za jednostavne presjeke s dvije osi simetrije (I-presjek), s jednom osi simetrije (I-

presjek, T-presjek, U-presjek, L-presjek) i nesimetrične poprečne presjeke (L-

nesimetrični presjek, C-nesimetrični presjek) dani su analitički izrazi za raspodjelu

geometrijskih karakteristika poprečnog presjeka: *yA , *

zA , *yS , *

zS , *S po konturi

poprečnog presjeka, a koje su bitne za određivanje faktora smicanja, kao i analitički

izrazi za integrale

*

0

dzs

ySs

t,

*

0

d

ys

zSs

t i

*

0

d

sS

st

koji se javljaju u izrazima za normalno

naprezanje. Dan je i grafički prikaz raspodjele navedenih karakteristika po konturi


Za navedene presjeke s dvije i jednom osi simetrije, faktori smicanja dani su

analitičkim izrazima u parametarskom obliku. Uz poznate faktore smicanja uvedeni su

i novi xz , xy i x . Kod nesimetričnih presjeka za određivanje faktora smicanja

načinjen je program u Excelu.

121

Dobiveni su, u odnosu na klasične teorije, prošireni analitički izrazi za pomake i

normalno naprezanje. Novi izraz za naprezanje daje krivulje raspodjele normalnog

naprezanja po konturi poprečnog presjeka koje se izvrsno slažu sa krivuljama

naprezanja dobivenim po metodi konačnih elemenata.

Za slučaj jednoliko raspodijeljenog opterećenja, za zglobno oslonjeni i ukliješteni

nosač, kako pri savijanju tako i pri uvijanju, utjecaj smicanja na maksimalni progib,

odnosno maksimalni kut uvijanja, na sredini raspona nosača, dan je kroz faktore

utjecaja smicanja na progibe w , v , odnosno faktorom utjecaja smicanja na kut

uvijanja . Za slučaj presjeka s jednom osi simetrije, a pri opterećenju kroz pol u

ravnini simetrije, dodatno uvijanje zbog smicanja opisano je faktorom utjecaja

smicanja na progib v . Pri uvijanju ovakovih presjeka dodatno savijanje zbog

smicanja opisano je faktorom utjecaja smicanja na progib v . Utjecaj smicanja na

maksimalno naprezanje u točki presjeka na sredini raspona nosača, za presjek s dvije

osi simetrije dan je faktorima utjecaja smicanja na normalno naprezanje w , v ,

odnosno, za presjek s jednom osi simetrije faktorima wu , v , i v . Za ove

faktore navedeni su analitički izrazi, u kojima je utjecaj materijala uzet u obzir

omjerom konstanti elastičnosti /E G .

Predstavljena teorija savijanja s utjecajem smicanja i uvijanja s utjecajem smicanja je

približna inženjerska teorija. U radu je testirana na nizu jednostavnih školskih primjera.

Daljnja istraživanja mogla bi ići u smjeru primjene prikazane teorije na realne brodske i slične

konstrukcije.

123

LITERATURA

[1] R. Pavazza, B. Plazibat, A. Matoković: Prethodni proračun čvrstoće broda s

velikim otvorima u palubi, IX. simpozij Teorija i praksa brodogradnje - SORTA,

627-640, Dubrovnik, 1990.

[2] R. Pavazza, B. Plazibat, A. Matoković: Idealizacija konstrukcije brodskog dna

ravninskim sustavom štapova otvorenog tankostjenog presjeka, Strojarstvo, 35,

11-17, 1993.

[3] R. Pavazza, B. Plazibat, A. Matoković: Idealization of ships with large hatch

openings by a thin-walled rod of open section on many elastic supports, Thin-

walled structures, 32, 305-325, 1998.

[4] R. Pavazza, A. Matoković: On the shear flow due to distortion of hull cross-

sections of tankers with two longitudinal bulkheads, Proccedings of the IX

Congress International Maritime Association of Mediterranean, SF32-39, 2000.

[5] J. K. Paik, A. K. Thayamballi, P. T. Pedersen, Y. Il Park: Ultimate strength of

ship hulls under torsion, Ocean Engineering, 28, 1097-1133; 2001.

[6] R. Pavazza, Ž. Lozina: An analytical approach to the bending of large tanker

with no distorted cross-sections, Proccedings of the X Congree International

Maritime Association of Mediterranean, 40-55, 2002.

[7] V. Piscopo: Analysis of warping and shear stresses for ship structures, Doktorska

disertacija, The University of Naples „Federico II“, Napulj, 2009.

[8] I. Senjanović, S. Tomašević, N. Vladimir: An Advanced Theory of Thin-Walled

girders with Application to Ship Vibrations, Marine Structures, 22(3):387-437,

2009.

[9] M. Shama: Torsion and Shear Stresses in Ships, Springer-Verlag, Berlin-

Heildeberg, 2010.

[10] A. A. Umanski: Kručenije i izgib tankostennjih aviakonstrukcii, GIOP, Moskva,

1939.

[11] O. A. Bauchau, J. I. Craig: Structural Analysis With Aplications to Aerospace

Structures, GIT, Atlanta, 1995.

[12] B. Drašković, M. Grubić, P. Dančević: Proračun rožnjača od otvorenih

tankozidnih profila, Zbornik radova Građevinsko-arhitektonskog fakulteta u Nišu,

29-39, 2003.

[13] D. Šimić: Proračun bočno pridržanih tankostijenih nosača otvorenog presjeka,

Građevinar 56, 277-287, 2004.

[14] N. Anđelić: One View to the Optimization of thin-walled open sections subjected

to constrained torsion, FME Transactions 35, 23-28, 2007.

[15] P. C. J. Hoogenboom, A. Borgart: Method for including restrained warping in

traditional frame analyses, HERON, Vol.50, No 1, 55-68, 2005.

[16] I. Alfirević: Nauka o čvrstoći I, Tehnička knjiga d.d., Zagreb, 1995.

[17] V. Šimić: Otpornost materijala I, Školska knjiga d.d., Zagreb, 1992.

124

[18] S. Timošenko: Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1972.

[19] E. Carrera, G. Giunta, M. Petrolo: Beam Structures – Classical and Advanced

Theories, John Wiley & Sons, Ltd, 2011.

[20] V. Z. Vlasov: Thin-walled elastic beams, 2nd edition, Jerusalem, Israel; Program for

Scientific Translation; 1961.

[21] C. F. Kollbruner, K. Basler: Torsion in structures, Springer-Verlag, 1969.

[22] C. F. Kollbruner, N. Hajdin: Dunnwandige Stabe, Band I, Springer-Verlag, 1972.

[23] A. Gjelsvik: The theory of thin-walled bars, New York, Wiley, 1981.

[24] N. W. Murray: Introduction to thin-walled structures, Oxford University Press,

New York, 1986.

[25] R. Pavazza: Savijanje i uvijanje štapa otvorenog tankostijenog presjeka na

elastičnoj podlozi, Doktorska disertacija, FSB Zagreb, Sveučilište u Zagrebu, 1991.

[26] R. Pavazza: Uvijanje štapa otvorenog tankostjenog presjeka na diskretnoj

elastičnoj podlozi, Strojarstvo 32, 269-275, 1990.

[27] R. Pavazza: Uvod u analizu tankostjenih štapova, Sveučilišni udžbenik, Kigen,

Zagreb, 2007.

[28] A. Prokić: Tankozidni nosači otvoreno-zatvorenog poprečnog preseka (Thin-

walled beams with open and closed cross-section), Doktorska disertacija,

Univerzitet u Beogradu, Beograd, 1990.

[29] K. Saade: Finite element modeling of shear in the thin walled beams with single

warping function, Doktorska disertacija, Universite Libre de Bruxelles, 2005.

[30] R. El Fatmi: A non-uniform warping theory for beams, C. R. Mecanique 335, 467-

474; 2007.

[31] R. El Fatmi: Non-uniform warping including the effects of torsion and shear

forces. Part I: A general beam theory, International Journal of Solids and

Structures 44, 5912-5929; 2007.

[32] R. El Fatmi: Non-uniform warping including the effects of torsion and shear

forces. Part II: Analytical and numerical applications, International Journal of

Solids and Structures 44, 5930-5952; 2007.

[33] R. El Fatmi: Non-uniform warping for composite beams. Theory and numerical

applications, 19. Congres Francais de Mecanique, Marseille, 2009.

[34] R. Pavazza: Utjecaj smicanja na uvijanje štapa otvorenog tankostjenog presjeka,

Strojarstvo, 35, 103-109, 1993.

[35] R. Pavazza, B. Blagojević: On the stress distibution in thin walled-beams

subjected to bending with influence of shear, 4th International Congress of

Croatian Society of Mechanics, 2003.

[36] R. Pavazza: Torsion of thin-walled beams of open cross-section with influence of

shear, Inernational Journal of Mechanical Sciences 47, 1099-1122, 2005.

[37] A. S. Gendy, A. F. Saleeb, T. Y. P. Chang: Generalized thin-walled beam models

for flexural-torsional analysis, Computers and Structures, Vol. 42, No.4; 531-550;

1992.

125

[38] M. Schulz, F. C. Fillippou: On Generalized warping torsion formulation, Journal

of Engineering Mechanics, 339-347; 1998..

[39] W. You, D. H. Hodges, V. V. Volovoi, E. D. Fuchs: A generalized Vlasov theory

for composite beams, Thin-walled structures, 43: 1493-1511, 2005.

[40] N. Silvestre, D. Camotim: First-order generalized beam theory for arbitrary

orthotropic materials, Thin-walled structures, 40(9): 755-789, 2002.

[41] N. Silvestre, D. Camotim: Second-order generalized beam theory for arbitrary

orthotropic materials, Thin-walled structures, 40(9): 791-820, 2002.

[42] N. Silvestre, D. Camotim: On the mechanics of distortion in thin-walled open

sections, Thin-walled structures, 2010.

[43] J. N. Reddy, C. M. Wang, K. H. Lee: Relationships between bending solutions of

classical and shear deformation beam theories, International Journal of Solids and

Structures V0l. 34, No. 26, 3373-3384; 1997.

[44] G. R. Cowper: The shear coefficient in Timoshenko´s beam theory, Journal of

Applied Mechanics, 335-340, 1966.

[45] S. U. Bhat, J. G. de Oliveira: A formulation for the shear coefficient of thin-walled

prismatic beams, Journal of Ship Research, Vol.29, No.1, 51-58, 1985.

[46] I. Senjanović, Y. Fan: The bending and shear coefficients of thin-walled girders,

Thin-walled structures, 10, 31-57, 1990.

[47] G. Romano, L. Rosati, G. Ferro: Shear deformability of thin-walled beams with

arbitrary cross sections, International journal for numerical methods in engineering

Vol. 35, 283-306, 1992.

[48] U. Shramm, L. Kitis, W. Kang, W. D. Pilkey: On the shear deformation coefficient

in beam theory, Finite Elements in Analysis and Design 16, 141-162, 1994.

[49] J. R. Hutchinson: Shear coefficients for Timoshenko beam theory, Journal of

Applied Mechanics, Vol.68, 87-92, 2001.

[50] W. D. Pilkey: Analysis and design of elastic beams, John Wiley & Sons, New York,

2002.

[51] F. P. Costa: On Timoshenko´s beams coefficient of sensibility to shear effect,

TEMA Tend. Mat. Apl. Comput. 9, N0. 3, 447-457, 2008.

[52] T. M. Roberts, H. Al-Ubaidi: Influence of shear deformation on restrained

torsional warping of pultruded FRP bars of open cross-section, Thin-walled

structures, 39, 395-414, 2001.

[53] Nam-Il Kim, Moon-Young Kim: Eexact dynamic/static stiffness matrices of non-

symmetric thin-walled beams considering coupled shear deformation effects,

Thin-Walled Structures, 43; 701-734; 2005.

[54] R. Pavazza, A. Matoković, B. Plazibat: Analiza naprezanja pri uvijanju štapova

otvorenog tankostjenog presjeka s utjecajem smicanja, Zbornik radova 1.

kongresa hrvatskog društva za mehaniku, Zagreb, 550-557,1994.

[55] R. Pavazza, S. Jović: A comparison of aproximate analytical methods and the

finite element method in the analysis of short thin-walled beams subjected to

bending by couples, Transactions of FAMENA XXX-2, 2006.

126

[56] R. Pavazza, S. Jović: A comparison of aproximate analytical methods and the

finite element method in the analysis of short thin-walled beams subjected to

bending by uniform loads, Transactions of FAMENA XXXI-1, 2007.

[57] C. Lertsima, T. Chaisomphob, E. Yamaguchi: Stress concentration due to shear

lag in simply supported box girders, Engineering structures 26: 1093-1101, 2004.

[58] M. N. Pavlović, N. Tahan, M. D. Kotsovos: Shear lag and effective breadth in

rectangular plates with material orthotropy. Part 1: Analytical Formulation, Thin-Walled Structures, Vol 30: 199-213, 1998.

[59] M. N. Pavlović, N. Tahan, M. D. Kotsovos: Shear lag and effective breadth in

rectangular plates with material orthotropy. Part 2: Typical results of

parametric studies, Thin-Walled Structures, Vol 30: 215-237, 1998.

[60] N. Tahan, M. N. Pavlović, M. D. Kotsovos: Shear-lag revisited: The use of single

Fourier series for determining the effective breadth in plated structures,

Computers and Structures, Vol. 63 No.: 759-767, 1997.

[61] R. T. Tenchev: Shear-lag in orthotropic beam flanges and plates with stiffeners,

International Journal of Solids and Structures Vol.33, No.9; 1317-1334, 1996.

[62] C. J. Burgoyne, E. H. Brown:Nonuniform elastic torsion, Inernational Journal of

Mechanical Sciences, Vol.36, No.1, 23-38, 1994.

[63] E. H. Brown, C. J. Burgoyne: Nonuniform elastic torsion and flexure of members

with asymmetric cross-section, Inernational Journal of Mechanical Sciences,

Vol.36, No.1, 39-48, 1994.

[64] M. Eisenberger: An exact high order beam element, Computers and Structures, 81;

147-152; 2003.

[65] E. J. Sapountzakis, V. G. Mokos: Nonuniform torsion of bars of variable cross

section, Computers and Structures, 82:703-715, 2004.

[66] R. E. Erkmen, M. Mohareb: Torsion analysis of thin-walled beams includiong

shear deformation effects, Thin-Walled Structures, 44; 1096-1108; 2006.

[67] A. Campanile, M. Mandarino, V. Piscopo, A. Pranzitelli: On the Exact Solution of

Non-Uniform Torsion for Beams with Axial Symmetric Cross-Section, World

Academy of Science, Engineering and Technology 55, 36-45, 2009.

[68] A. Campanile, M. Mandarino, V. Piscopo: On the Exact Solution of Non-Uniform

Torsion for Beams with Asymmetric Cross-Section, World Academy of Science,

Engineering and Technology 55, 46-53, 2009.

[69] A. Prokić: New finite element for analysis of shear lag, Computers and Structures,

80: 1011-1024, 2002.

[70] S. D. Musat, B. I. Epureanu: Study of warping torsion of thin-walled beams with

open cross-section using macro-elements, Inernational Journal for numerical

methods in engineering, 44, 853-868; 1999.

[71] J. Jonsson: Determination of shear stresses, warping functions and section

properties of thin-walled beams using finite elements, Computers and Structures,

68, 393-410; 1998.

[72] G. Alfano, F. Marotti, L. Rosati: Automatic analysis of multicell thin-walled

sections, Computers and Structures, Vol 59: 641-655, 1996.

127

[73] A. Prokić: A Computer Program for Determination of Geometrical Properties

of Thin-Walled Beams With Open-Closed Section, Computers and Structures,

74:705-715, 2000.

[74] U. Yilmaz: Geometrical properties of multicellular thin walled beam sections,

Magistarski rad, Middle east technical universityt, 2009.

[75] V. Piscopo: Analysis of warping and shear stresses for ship structures, Doktorska

disertacija, The University of Naples «Federico II», Napulj, 2009.

[76] B. Plazibat: Utjecaj distorzije poprečnih presjeka na uvijanje tankostjenih

štapova otvorenog i zatvoreno-otvorenog presjeka, Doktorska disertacija,

Sveučilište u Splitu, FESB, Split, 2011.

[77] B. Plazibat, A. Matoković: A computer program for calulating geometrical

properties of symmetrical thin walled cross-sections, Transactions of FAMENA,

issue 4, volume 35, 2011.

[78] V. I. Slivker, A. V. Perelmuter: Numerical structural analysis, Springer-Verlag,

Berlin-Heildeberg, 2007.

[79] Š. Dunica, Ž. Bojović: Zbirka rešenih zadataka iz otpornosti materijala sa

izvodima iz teorije, Naučna knjiga, Beograd, 1984.

[80] V. Brčić: Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1985.

[81] V. Šimić: Otpornost materijala II, Školska knjiga, Zagreb, 2002.

[82] A. Tralli: A simple hybrid model for torsion and flexure of thin-walled beams,

Computers and Structures, Vol. 22, No. 4, 649-658; 1986.

[83] S. Y. Back, K. M. Will: A shear-flexible element with warping for thin-walled

open beams, International journal for numerical methods in engineering 43, 1173-

1191, 1998.

[84] Autodesk Algor Profeessional 2011; Serial No: 357-37840752; Product Key: 667C1

[85] Skupina autora: ALGOR Release 12 Tutorial, Algor, Inc., 2000.

[86] J. Sorić: Metoda konačnih elemenata, Golden marketing – Tehnička knjiga, Zagreb,

2004.

[87] C. C. Spyrakos: Finite element modeling in Engineering Practice, ALGOR PD,

Pittsburgh, 1996.

129

ŽIVOTOPIS

Ado Matoković rođen je 21. srpnja 1956. godine u Imotskom. Osnovnu školu (sedam razreda)

završio je u Posušju (BiH), a osmi razred i gimnaziju završio je u Splitu. Studij strojarstva na

FESB-u upisao je 1975. godine, gdje je diplomirao u lipnju 1980. Od 1. listopada 1981.

zaposlen je na Fakultetu elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu kao asistent pri

Katedri za mehaniku. Držao je vježbe iz kolegija: Mehanika I, Mehanika II, Mehanika III,

Nauka o čvrstoći I, II i III na VII stupnju studija strojarstva i brodogradnje, Tehnička

mehanika na VII stupnju studija elektrotehnike, kao i vježbe iz kolegija Čvrstoća na VI

stupnju strojarstva te Osnove mehaničkih konstrukcija na VI stupnju studija elektrotehnike.

Poslijediplomski studij upisao je školske godine 1982/83, na Fakultetu strojarstva i

brodogradnje u Zagrebu, usmjerenje Teorija konstrukcija. Magistarski rad “Analiza

konstrukcija sastavljenih iz tankostjenih štapova otvorenog presjeka” obranio je 3. prosinca

1990. godine, pod vodstvom mentora prof. dr. sc. Ive Alfirevića (članovi povjerenstva

prof.dr.sc. Ivan Heidl i mr.sc. Radoslav Pavazza). U Registar istraživača, u znanstveno

istraživačkom zvanju znanstveni asistent u znanstvenom području Strojarstvo, upisan je 1991.

godine pod brojem 106924.

Tijekom rada na FESB-u, zajedno s kolegom dr. sc. Božom Plazibatom sudjelovao je u izradi

internih zbirki zadataka za kolegije mehanike i čvrstoće, kao i u izradi računalnih programa za

proračun rešetkastih, linijskih i okvirnih grednih nosača.

Školske godine 1998/99. prelazi s FESB–a na novoosnovano Veleučilište u Splitu. Prvi put u

zvanje višeg predavača biran je u srpnju 1999. g. Na Veleučilištu u Splitu izvodio je nastavu i

organizirao vježbe iz kolegija Mehanika I i II (kasnije Tehnička mehanika I i II), Nauka o

čvrstoći na studiju strojarstva i studiju brodogradnje, Tehnička mehanika I i II na stručnom

studiju graditeljstva, dio nastave iz kolegija Osnove strojarstva na stručnom studiju

elektrotehnike i studiju kemijske tehnologije. Zajedno s kolegom Božom Plazibatom napisao

je udžbenik "Mehanika I – Statika". Od 2001.-2003.g. obavljao je dužnost pročelnika studija

graditeljstva. Od 23. listopada 2003. radi na Odjelu za stručne studije Sveučilišta u Splitu kao

nastavnik na studiju strojarstva. Od 1.10.2011.g. Pročelnik je Odsjeka za konstrukcijsko

strojarstvo na Sveučilišnom studijskom centru za stručne studije. U zvanje višeg predavača

ponovno je biran u listopadu 2005.g. te u prosincu 2010.g.

U Splitu, 29. veljače, 2012.

131

BIOGRAPHY

Ado Matoković was born in Imotski on 21 July 1956. He completed his elementary and

secondary education in Split. He enrolled in the study program in Mechanical Engineering at

the Faculty of Electrical Engineering, Mechanical Engineering and Naval Architecture

(FESB) in Split in 1975. He got his degree in June 1980.

He was first employed within the Department of Mechanics at FESB in Split as a teaching

assistant in October 1981. He was involved in teaching the following courses: Mechanics I,

Mechanics II, Mechanics III, Strength of Materials I, II and III at the level of university study

program in Mechanical Engineering and Naval Architecture, Engineering Mechanics I and

Engineering Mechanics II at the level of university study program in Electrical Engineering,

as well as Strength of Materials at the college level.

He defended his Master thesis “Analysis of structures composed of thin-walled beams with

open cross-sections” under the supervision of his mentor Prof. Ivo Alfirević PhD in 1990. He

was listed in the Register of researchers under number 106924 in 1991.

He actively participated in research activities on five projects supported by the Ministry of

Science, Education and Sports.

He is a co-author of 10 research papers. He was also involved in a number of professional

projects.

In 1998 he moved from FESB to the Polytechnics in Split. He was first elected in the position

of Senior Lecturer in 1999. g. At Polytechnics in Split he was involved in teaching the

following courses: Mechanics I, Mechanics II and Strength of Materials. He wrote one course

book in co-authorship "Mechanics I – Statics". He was the head of the Department for Civil

Engineering at Polytechnics in Split.

Since October 2003 he worked as a teacher at the University Centre for Professional Studies.

Currently he is the Head of the Department for Mechanical Engineering at University Centre

for Professional Studies.

In Split, 29 February 2012

P R I L O Z I

133

A. GEOMETRIJSKE ZNAČAJKE POPREČNIH PRESJEKA Za poprečne presjeke, navedene u prilogu, dane su sljedeće geometrijske značajke poprečnih

presjeka:

Položaj težišta.

Položaj glavnog pola.

Glavne pravokutne koordinate y i z te glavna sektorska koordinata .

Glavni aksijalni momenti tromosti yI i zI .

Glavni sektorski moment tromosti I .

Torzijski moment tromosti tI .

Polarni moment tromosti PI .

Polarni moment otpora PW .

Faktori smicanja definirani prema:

* *1

d ,y z

xyL

z s

A Ss

I L t

* *1

d ,z y

xzL

y s

A Ss

I L t

* *

d ,y z

yz zyL

y z

S SAs

I I t

2*

2d ,z

yyA

z

SAA

tI

2*

2d ,

y

zzA

y

SAA

tI

* *P d ,z

yL

z

S SWs

I I t

* *

P d ,y

zL

y

S SWs

I I t

2*

P

2d ,

A

SIA

tI

dani su u parametarskom obliku, za presjek s dvije ili s jednom osi simetrije.

134

Za dijelove poprečnog presjeka dani su izrazi u funkciji krivocrtnih koordinata ys , zs i s te

grafički prikaz:

Raspodjele površina odsječenih dijelova presjeka *yA i *

zA .

Raspodjele statičkih momenata površine odsječenih dijelova presjeka *yS , *

zS i *S

koje su važne za izračunavanje tangencijalnog naprezanja.

Raspodjele integrala

*

0

dzs

ySs

t,

*

0

d

ys

zSs

t i

*

0

d

sS

st

koji dolaze u izrazima za

izračunavanje normalnog naprezanja x .

Za krivocrtne koordinate uzeto je 0 0ys y - točka 1O y , 0 0zs z - točke 1Oz i

2Oz te 0 0s - točke 1O , 2O i 3O (Primjer U presjek s jednom osi simetrije -

slika A.1.)

Slika A.1. Krivocrtne koordinate za U poprečni presjek.

Odabir smjera pozitivnih krivocrtnih koordinata je proizvoljan. Ovaj odabir utječe na

predznake površina odsječenih dijelova presjeka *yA i *

zA kao i na predznake statičkih

momenata odsječenih dijelova presjeka, ali nema utjecaja na smjer tokova tangencijalnih

naprezanja

*

y y z

z

Q St

I ,

*z z y

y

Q St

I i

*M St

I

.

Kod izračunavanja površina odsječenih dijelova polazi se od slobodnih krajeva, odnosno kad

os sječe presjek u više točaka polazi se i od točaka presjeka u kojima je tok tangencijalnih

naprezanja, koji pripada toj osi, jednak 0.

135

Tako napr. za U presjek s jednom osi simetrije, kod postavljanja izraza za *zA polazi se od

slobodnih krajeva (točke A i E) do točaka gdje os y presjeca vertikalne stjenke (točke 1Oz i

2Oz ), ali i od točke C (u kojoj je * 0yS ) do točaka 1Oz i 2Oz (slika A.2.).

Slika A.2. Raspodjela odsječenog dijela površine *zA , raspodjela statičkog momenta

odsječenog dijela površine *yS te krivocrtna koordinata zs za U presjek.

Površinama odsječenih dijelova dodjeljuje se predznak odgovarajuće krivocrtne koordinate

(površini *zA predznak krivocrtne koordinate zs ).

Značenje predznaka statičkih momenata odsječenog dijela presjeka *yS , *

zS i *S je:

Pozitivan *yS znači da pri pozitivnoj poprečnoj sili zQ tok tangencijalnog naprezanja

*

z z y

y

Q St

I ima smjer pozitivne krivocrtne koordinate zs (slika A.3.).

Slika A.3. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *yS te

predznaka krivocrtne koordinate zs sa smjerom toka tangencijalnog naprezanja z

t .

136

Pozitivan *zS znači da pri pozitivnoj poprečnoj sili yQ tok tangencijalnog naprezanja

*

y y z

z

Q St

I ima smjer pozitivne krivocrtne koordinate ys (slika A.4.).

Slika A.4. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *zS te

predznaka krivocrtne koordinate ys sa smjerom toka tangencijalnog naprezanja y

t .

Pozitivan *S znači da pri pozitivnom momentu vitoperenja M tok tangencijalnog

naprezanja *M S

tI

ima smjer pozitivne krivocrtne koordinate s (slika A.5.).

Slika A.5. Veza predznaka raspodjele statičkog momenta odsječenog dijela površine *S te

predznaka krivocrtne koordinate s sa smjerom toka tangencijalnog naprezanja t

.

137

Za slučaj kada os presjeca poprečni presjek u dvije točke (na pr. os y presjeca L poprečni

presjek u točkama 1Oz i 2Oz - Slika A.6a), za izračunavanje odgovarajućeg integrala

*

0

dzs

ySs

t

pišu se dva izraza:

Za horizontalnu stjenku s ishodišnom točkom 1Oz ( 0zs ) koji vrijedi od slobodnog

ruba horizontalne stjenke do kraja linije L1 (točka F- slika A.6.b) u kojoj je tok

tangencijalnih naprezanja *

0z z y

y

Q St

I .

Za vertikalnu stjenku s ishodišnom točkom 2Oz ( 0zs ) koji vrijedi od slobodnog

ruba vertikalne stjenke struka do kraja linije L2 - cijeli struk i dio pojasa - (točka F-

slika A.6.b) u kojoj je tok tangencijalnih naprezanja *

0z z y

y

Q St

I .

Slika A.6. Korekcija funkcije raspodjele integrala

*

0

dzs

ySs

t.

U točki F funkcija raspodjele integrala

*

0

dzs

ySs

t ima diskontinuitet (crtkana linija - Slika A.6c),

pa je napravljena korekcija na način da je duž linije 2L dodana konstanta 2C , a duž linije 1L

konstanta 1C (puna linija - slika A.6.c). Ove konstante određene su na sljedeći način:

Naime, da bi u točki F vrijedilo

1 2

F F

x xL L

treba u izrazu za naprezanje za dio konture poprečnog presjeka dužine 1L član

138

*

0

dzs

y

z

y

SEq s

GI t zamijeniti sa

*

1

0

dzs

y

z

y

SEq s C

GI t

,

a u izrazu za naprezanje za dio konture poprečnog presjeka dužine 2L član

*

0

dzs

y

z

y

SEq s

GI t zamijeniti sa

*

2

0

dzs

y

z

y

SEq s C

GI t

.

Iz uvjeta 1 2

F F

x xL L slijedi

1 2

F F* *

1 2

0 0

d d ,z zs s

y y

L L

S Ss C s C

t t

odnosno

2 1

F F* *

1 2

0 0

d d .z zs s

y y

L L

S SC C s s

t t

Lako se može dokazati da je

2 1

F F B B* * * *

0 0 0 0HS VS

d d d dz z z zs s s s

y y y y

L L

S S S Ss s s s

t t t t

te

B B* *

1 2

0 0HS VS

d dz zs s

y yS SC C s s

t t

(1)

Za određivanje konstanti 1C i 2C potrebna je još jedna jednadžba. Ona je dobivena iz uvjeta

da je ukupna uzdužna sila uslijed dodanih naprezanja duž konture presjeka jednaka nuli

1 2 0.w wN N

Kako su

1 1 1,w w

x zN A 2 2 2 ,w wx zN A

gdje su

1 1

1 1 ,z z z z

z z zs L s L

A A s A s L t

2 2

2 2 ,z z z z

z z zs L s L

A A s A s L t

139

slijedi

1 1 2 2 0,z z

y y

E Eq C L t q C L t

GI GI

odnosno

1 1 2 2 0,C L C L

pa je

12 1

2

.L

C CL

(2)

Uvrštenjem (2) u (1) dobije se

B B* *

21

1 2 0 0HS VS

d d ,z zs s

y yS SLC s s

L L t t

a,

B B* *

12

1 2 0 0HS VS

d d .z zs s

y yS SLC s s

L L t t

140

A.1. Presjeci s dvije osi simetrije

A.1.1. I presjek

1 1

0 0

0

1

0

proizvoljno odabrano

2

s

A bt

A ht

A

A

b

h

L h

hh

Slika A.7. I presjek s dvije osi simetrije: geometrija.

Slika A.8. I presjek s dvije osi simetrije: glavna koordinata y, glavna koordinata z, glavna


Slika A.9. I presjek s dvije osi simetrije: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs ,

ys i s .

141


G

orn

ji p

oja

s 02

z

bs

*1

2z z

bA s t

Raspodjela *zA

02

z

bs

*1

2z z

bA s t

Str

uk

02

z

hs

*1 0

2z z

hA bt s t

02

z

hs

*2 0

2z z

hA bt s t

Donji

poja

s 02

z

bs

*1

2z z

bA s t

02

z

bs

*1

2z z

bA s t

Tablica A.2. I presjek s dvije osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *

yA .

Gorn

ji p

oja

s 02

y

bs

*1

2y y

bA s t

Raspodjela *yA

02

y

bs

*1

2y y

bA s t

Str

uk

0ys * 0yA

Donji

poja

s 02

y

bs

*1

2y y

bA s t

02

y

bs

*1

2y y

bA s t

142


presjeka *yS .

Gorn

ji p

oja

s

02

z

bs

*1

2 2y z

h bS t s

Raspodjela *yS

02

z

bs

*1

2 2y z

h bS t s

Str

uk

2 2z

h hs

2* 20

12 2 4

y z

th hS A s

Donji

poja

s 02

z

bs

*1

2 2y z

h bS t s

02

z

bs

*1

2 2y z

h bS t s


presjeka *zS .

Gorn

ji p

oja

s

2 2y

b bs

2* 2

1

1

2 4z y

bS t s

Raspodjela *zS

Str

uk

0ys * 0zS

Donji

poja

s

2 2y

b bs

2* 2

1

1

2 4z y

bS t s

143

Tablica A.5. I presjek s dvije osi simetrije: Sektorski statički moment površine odsječenog


Gorn

ji p

oja

s

2 2

b bs

2* 2

14 4

h bS t s

Raspodjela *S

Str

uk

0s * 0S

Donji

poja

s

2 2

b bs

2* 2

14 4

h bS t s

Tablica A.6. I presjek s dvije osi simetrije:

*

0

dzs

ySs

t.

Gorn

ji p

oja

s

02

z

bs

* 21 0

00

6d

4 24

zsy

z z

S h A Ahs s b s

t t

Raspodjela

*

0

dzs

ySs

t

02

z

bs

* 21 0

00

6d

4 24

zsy

z z

S h A Ahs s b s

t t

Str

uk

2 2z

h hs

*

2 201

00

d 3 42 24

zsy z

z

S ts hAs h s

t t

Donji

poja

s 02

z

bs

* 21 0

00

6d

4 24

zsy

z z

S h A Ahs s b s

t t

02

z

bs

* 21 0

00

6d

4 24

zsy

z z

S h A Ahs s b s

t t

144


0

d

ys

zSs

t.

Gorn

ji p

oja

s

2 2y

b bs

2* 2

0

1d

2 4 3

ys

yzy

sS bs s

t

Raspodjela

*

0

d

ys

zSs

t

Str

uk

0ys *

0

d 0

ys

zSs

t

Donji

poja

s

2 2y

b bs

2* 2

0

1d

2 4 3

ys

yzy

sS bs s

t


0

d

sS

st

.

Gorn

ji p

oja

s

2 2y

b bs

* 22

0

d4 4 3

sS sh b

s st

Raspodjela

*

0

d

sS

st

Str

uk

0s *

0

d 0

sS

st

Donji

poja

s

2 2y

b bs

* 22

0

d4 4 3

sS sh b

s st

145

Tablica A.9. I presjek s dvije osi simetrije: Površina, aksijalni, sektorski,

polarni i torzijski moment tromosti, polarni moment otpora.

1 2 ,A A

2

1

12 8,

12 2yI A h

22

1 ,6

zI A h

24

1 ,24

I A h

2P 1

1,

2I A h

3 22

t 1 1

2,

3I A t

PP 1

0

.I

W A hh

Tablica A.10. I presjek s dvije osi simetrije: Faktori smicanja.

0,xy 0,xz 0,yz zy

3 2,

5yy

3 2 2

2

6 2 30 10 5,

5 12 8zz

0,y 0,z

6.

5

146

A.2. Presjeci s jednom osi simetrije

A.2.1. I presjek s jednom osi simetrije

Slika A.10. I presjek s jednom osi simetrije: geometrija.

1 1 1 2 2 2 0 0

C B02 T 2 T

B1 1 1T

B10 Pproizvoljno odabranos

A b t A b t A ht

AA h b h

A A b hh

bL h h h

h

Slika A.11. I presjek s jednom osi simetrije: glavna koordinata y, glavna koordinata z, glavna


147

Slika A.12. I presjek s jednom osi simetrije: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata

zs , ys i s .

Tablica A.11. I presjek s jednom osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

Gorn

ji p

oja

s 102

z

bs

* 11

2z z

bA s t

Raspodjela *zA

102

z

bs

* 11

2z z

bA s t

Str

uk

BT0 zs h * B

1 1 T 0z zA b t h s t

CT0 zs h * C

2 2 T 0z zA b t h s t

Donji

poja

s 202

z

bs

* 22

2z z

bA s t

202

z

bs

* 22

2z z

bA s t

148

Tablica A.12. I presjek s jednom osi simetrije: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

G

orn

ji p

oja

s 102

y

bs

* 11

2y y

bA s t

Raspodjela *yA

102

y

bs

* 11

2y y

bA s t

Str

uk

0ys * 0yA

Donji

poja

s 202

y

bs

* 22

2y y

bA s t

202

y

bs

* 22

2y y

bA s t

Tablica A.13. I presjek s jednom osi simetrije: Statički moment površine odsječenog dijela

presjeka *yS .

Gorn

ji p

oja

s 102

z

bs

* B 1T 1

2y z

bS h t s

Raspodjela *yS

102

z

bs

* B 1T 1

2y z

bS h t s

Str

uk

B CT Tzh s h

2* C C 20

T 2 T2

y z

tS h A h s

Donji

poja

s 202

z

bs

* C 2T 2

2y z

bS h t s

202

z

bs

* C 2T 2

2y z

bS h t s

149

Tablica A.14. I presjek s jednom osi simetrije: Statički moment površine odsječenog dijela

presjeka *zS .

Gorn

ji p

oja

s

1 1

2 2y

b bs

2* 21

1

1

2 4z y

bS t s

Raspodjela *zS

Str

uk

0ys * 0zS

Donji

poja

s

2 2

2 2y

b bs

2* 22

2

1

2 4z y

bS t s

Tablica A.15. I presjek s jednom osi simetrije: Sektorski statički moment površine odsječenog


Gorn

ji p

oja

s

1 1

2 2y

b bs

B 2* 2P 1

12 4

h bS t s

Raspodjela *S

Str

uk

0s * 0S

Donji

poja

s

2 2

2 2

b bs

C 2* 2P 2

22 4

h bS t s

150

Tablica A.16. I presjek s jednom osi simetrije:

*

0

dzs

ySs

t.

Gorn

ji p

oja

s 102

z

bs

2

B B*T 1 0 TB

T 1

00

31d

2 3

zsy

z z

h A t hSs h s b s

t t

Raspodjela

*

0

dzs

ySs

t

102

z

bs

2

B B*T 1 0 TB

T 1

00

31d

2 3

zsy

z z

h A t hSs h s b s

t t

Str

uk

B CT Tzh s h

* 22

C C0T 2 T

00

d2 3

zsy z z

S ts ss h A h

t t

Donji

poja

s 202

z

bs

2

C C*T 2 0 TC

T 2

00

31d

2 3

zsy

z z

h A t hSs h s b s

t t

202

z

bs

2

C C*T 2 0 TC

T 2

00

31d

2 3

zsy

z z

h A t hSs h s b s

t t


0

d

ys

zSs

t.

Gorn

ji p

oja

s

1 1

2 2y

b bs

2* 21

0

1d

2 4 3

ys

yzy

sS bs s

t

Raspodjela *

0

d

ys

zSs

t

Str

uk

0ys *

0

d 0

ys

zSs

t

Donji

poja

s

2 2

2 2y

b bs

2* 22

0

1d

2 4 3

ys

yzy

sS bs s

t

151


0

d

sS

st

.

Gorn

ji p

oja

s

1 1

2 2

b bs

* 22B 1P

0

1d

2 4 3

sS sb

s h st

Raspodjela *

0

d

sS

st

Str

uk

0s *

0

d 0

sS

st

Donji

poja

s

2 2

2 2

b bs

* 22C 2P

0

1d

2 4 3

sS sb

s h st

Tablica A.19. I presjek s jednom osi simetrije: Položaj težišta i glavnog pola, površina,

aksijalni, sektorski, polarni i torzijski moment tromosti, polarni moment otpora.

BT

2,

2 1h h

CT

2,

2 1h h

2BP 2

,1

h h

C

P 2

1,

1h h

1 1 ,A A

2

1

12 4 4,

12 1yI A h

2 2

21

1,

12zI A h

2 24

1 2,

12 1I A h

4

2P 1 2

2

1,

1

I A h

2 3 2 3 2

2t 1 1 2

1,

3I A t

4P

P 1 2 20

1.

1

IW A h

h

152

Tablica A.20. I presjek s jednom osi simetrije: Faktori smicanja.

0,xy

2 2 2 2 2 3 2 3 41 24 1 2 1 20 1 5 1,

2 12 4 4xz

0,yz zy

4

22

6 1 1,

5 1yy

32 2 3 2 4 3 5 2 2 2

2

2 2 11 1 1 1 1

3 15 12,

1 11

3 4

zz

2 4

22 2

6 1 1,

5 1y

0,z

4

22

6 1 1.

5 1

153

A.2.2. T presjek

Slika A.13. T presjek: geometrija.

1 1 0 0

C B0 T T

B1 T

proizvoljno odabranos

A bt A ht

A h h b

A h hh

L h

Slika A.14. T presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.

154

Slika A.15. T presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i ys .

Tablica A.21. T presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

Gorn

ji p

oja

s

02

z

bs

*1

2z z

bA s t

Raspodjela *zA

02

z

bs

*1

2z z

bA s t

Str

uk

BT0 zs h * B

1 T 0z zA bt h s t

CT0 zs h * C

T 0z zA h s t

155

Tablica A.22. T presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

G

orn

ji p

oja

s

02

y

bs

*1

2y y

bA s t

Raspodjela *yA

02

y

bs

*1

2y y

bA s t

Str

uk

0ys * 0yA

Tablica A.23. T presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .

Gorn

ji p

oja

s

02

z

bs

* BT 1

2y z

bS h t s

Raspodjela*yS

02

z

bs

* BT 1

2y z

bS h t s

Str

uk

B CT Tzh s h

2* C 20

T2

y z

tS h s

156

Tablica A.24. T presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .

Gorn

ji p

oja

s

2 2y

b bs

2* 2

1

1

2 4z y

bS t s

Raspodjela *zS

Str

uk

0ys * 0zS

Tablica A.25. T presjek:

*

0

dzs

ySs

t.

Gorn

ji p

oja

s

02

z

bs

* BT

0

2B BT 1 0 T

0

d2

3

3

zsy z z

S h s b ss

t

h A t h

t

Raspodjela

*

0

dzs

ySs

t

02

z

bs

* BT

0

2B BT 1 0 T

0

d2

3

3

zsy z z

S h s b ss

t

h A t h

t

Str

uk

B CT Tzh s h

* 22

BT

0

d2 3

zsy z z

S s ss h

t

157

Tablica A.26. T presjek: *

0

dzs

zSs

t.

Gorn

ji p

oja

s

2 2y

b bs

2* 2

0

1d

2 4 3

zsyz

y

sS bs s

t

Raspodjela

*

0

dzs

zSs

t

Str

uk

0ys *

0

d 0zs

zSs

t

Tablica A.27. T presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski momenti tromosti.

BT ,

2 1h h

CT

2,

2 1h h

1 1 ,A A

2

1

4,

12 1yI A h

22

1 ,12

zI A h

2 2 3t 1 1

11 .

3I A t

Tablica A.28. T presjek: Faktori smicanja.

0,xy 0,yz zy 0,y 0,z 0,

2 2 2 3 4

2

1 24 2 20 5 1,

2 4xz

6 1

,5

yy

32 2 3 5 2

2

2

9 6 31 6 1

5 4.

11

4

zz

158

A.2.3. U presjek

Slika A.16. U presjek: geometrija.

1 1 0 0

0

1

C0 Pproizvoljno odabranos

A bt A ht

A b

A h

L h h h

Slika A.17. U presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z, glavna sektorska

koordinata .

159

Slika A.18. U presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs , ys i s .

Tablica A.29. U presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

Lij

eva

ver

t..s

tj.

AT0 zs h * A

T 0z zA h s t

Raspodjela *zA

BT0 zs h * B1

T 02

z z

AA h s t

Hori

zonta

lna

stj.

02

z

bs

*1

2z z

bA s t

02

z

bs

*1

2z z

bA s t

Des

na

ver

t.st

j.

BT0 zs h * B1

T 02

z z

AA h s t

AT0 zs h * A

T 0z zA h s t

160

Tablica A.30. U presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Lij

eva

ver

t..s

tj.

0 ys h *0y yA h s t

Raspodjela *yA

Hori

zonta

lna

stj.

02

y

bs

*0 1

2y y

bA A s t

02

y

bs

*0 1

2y y

bA A s t

Des

na

ver

t.st

j.

0 ys h *0y yA h s t

Tablica A.31. U presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .

Lij

eva

ver

t.st

j.

B AT Tzh s h

2* A 20

T2

y z

tS h s

Raspodjela *yS

Hori

zonta

lna

stj.

02

z

bs

* B1 T

2y z

bS s t h

02

z

bs

* B1 T

2y z

bS s t h

Des

na

ver

t.st

j.

A BT Tzh s h

2* A 20

T2

y z

tS h s

161

Tablica A.32. U presjek: Satički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .

L

ijev

a v

ert.

.stj

.

0 ys h * 0

2z y

btS h s

Raspodjela *zS

Hori

zonta

lna

stj.

2 2y

b bs

2* 20 1

2 2 4z y

A b t bS s

Des

na

ver

t.st

j.

0 ys h * 0

2z y

btS h s

Tablica A.33. U presjek: Sektorski statički moment površine odsječenog dijela presjeka *S .

Lij

eva

ver

t.st

j.

C CP Ph s h h

2* 2 C0

P4

t bS s h h

Raspodjela *S

Hori

zonta

lna

stj.

2 2

b bs

* C0P

C 221 P

24

2 4

bAS h h

t h bs

Des

na

ver

t.st

j.

C CP Ph h s h

2* 2 C0

P4

t bS s h h

162

Tablica A.34. U presjek:

*

0

dzs

ySs

t.

Lij

eva

ver

t.st

j.

B AT Tzh s h

* 22

AT

0

d2 3

zsy z z

S s ss h

t

Raspodjela

*

0

dzs

ySs

t

Ho

rizo

nta

lna

stj.

02

z

bs

* BT

0

2BB

2 TATT

d2

2 3

zsy z

z

S h ss b s

t

hhh

02

z

bs

* BT

0

2BB

2 TATT

d2

2 3

zsy z

z

S h ss b s

t

hhh

Des

na

ver

t. s

tj.

A BT Tzh s h

* 22

AT

0

d2 3

zsy z z

S s ss h

t


0

d

ys

zSs

t.

Lij

eva

ver

t.st

j.

0 ys h 2* 3

20

10

d4 24 2 4

ys

zy y

A bS b bh bs s s

t t

Raspodjela

*

0

d

ys

zSs

t

Hori

zonta

lna

stj.

2 2z

b bs

* 230

10

1d

2 8 6

ys

zy y y

A bS bs s s s

t t

Des

na

ver

t.st

j.

0 ys h

2* 320

10

d4 24 2 4

ys

zy y

A bS b bh bs s s

t t

163


0

d

sS

st

.

Lij

eva

ver

t.st

j.

C CP Ph s h h

*2

2 CP

0

C2

C C 2PP P

d 312

2 6 312

sS b

s s s h ht

bhh hh h

Raspodjela

*

0

d

sS

st

Hori

zonta

lna

stj.

2 2

b bs

*

C0P

1 10

C 2 C3P P

d 24

8 6

sS bA

s h h st t

h b hs s

Des

na

ver

t.st

j.

C CP P( )h h s h

*2

2 CP

0

C2

C C 2PP P

d 312

+ 2 6 312

sS b

s s s h ht

bhh hh h

Tablica A.37. U presjek: Položaj težišta i glavnog pola, površina, aksijalni, sektorski, polarni

i torzijski moment tromosti, polarni moment otpora.

AT

1,

1 2h h

B

T ,1 2

h h

C

P

3,

1 6h h

0

12 ,A A

2

0

2,

3 1 2yI A h

2

20

1 6,

12zI A h

24

0

2 3,

12 1 6I A h

222

P 0 2

18 1 6,

2 1 6I A h

2 32

t 0 0 2 3

1 2,

3I A t

22

PP 0

0

18 1 6,

6 1 6

IW A h

h

za 0 P.h h

164

Tablica A.38. U presjek: Faktori smicanja.

0,xy

21 1 2,

4 1 2 2xz

0,yz zy

2

2 2

6 1 21 10 20 30 ,

5 1 6yy

32 3 4 5 2

2 2

3 2 8 55 140 160 80 16 5 1 2,

20 1 2 2zz

22 2

22

18 1 6 10 5 6 2,

20 2 3 1 6y

0,z

22 2 2

2 22

3 18 1 6 2 8 21 18 3.

10 1 6 2 3

165

A.2.4. L presjek

Slika A.19. L presjek: geometrija.

Slika A.20. L presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.

Slika A.21. L presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i ys .

166

Tablica A.39. L presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

H

ori

zonta

lna

stje

nka

02

z

bs

*

2z z

bA s t

Raspodjela *zA

02

z

bs

*

2z z

bA s t

Ver

tikal

na

stje

nka 0

2z

bs

*

2z z

bA s t

02

z

bs

*

2z z

bA s t

Tablica A.40. L presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Hori

zonta

lna

stje

nka

0 zs b *y yA b s t

Raspodjela *yA

Ver

tikal

na

stje

nka

0 zs b *y yA b s t

167

Tablica A.41. L presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .

H

ori

zonta

lna

stje

nka

2 2z

b bs

2* 22

4 4y z

bS t s

Raspodjela *yS

Ver

tikal

na

stje

nka

2 2z

b bs

2* 22

4 4y z

bS t s

Tablica A.42. L presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .

Hori

zonta

lna

stje

nka

0 ys b * 2 22

4z yS t b s

Raspodjela *zS

Ver

tikal

na

stje

nka

0 ys b * 2 22

4z yS t b s

168

Tablica A.43. L presjek:

*

0

dzs

ySs

t.

Hori

zonta

lna

stje

nka

2 2z

b bs

*

2 2

0

2d 3 4

48

zsy

z z

Ss s b s

t

Raspodjela

*

0

dzs

ySs

t

Ver

tikal

na

stje

nka

2 2z

b bs

*

2 2

0

2d 3 4

48

zsy

z z

Ss s b s

t

Tablica A.44. L presjek: *

0

d

ys

zSs

t.

Hori

zonta

lna

stje

nka

0 ys b *

2 2

0

2d 3

12

ys

zy y

Ss s b s

t

Raspodjela

*

0

d

ys

zSs

t

Ver

tikal

na

stje

nka

0 ys b *

2 2

0

2d 3

12

ys

zy y

Ss s b s

t

169

Tablica A.45. L presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski

momenti tromosti.

,4

bd 2 ,A bt

31,

12yI tb 31

,3

zI tb

3t

2.

3I bt

Tablica A.46. L presjek: Faktori smicanja.

0,xy xz

0,yz zy

2,4,yy

2,4,zz

0,y

0,z

0.

170

A.3. Nesimetrični presjeci

A.3.1. L nesimetrični presjek

Slika A.22. L nesimetrični presjek: geometrija.

Slika A.23. L nesimetrični presjek: glavna koordinata y, glavna koordinata z.

Slika A.24. L nesimetrični presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata zs i ys .

171

Tablica A.47. L nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

Hori

zonta

lna

stje

nka

B

0

0sin

z

zs

* C

0

0sinz z

zA s t

Raspodjela *zA

C

0

0sin

z

zs

* C

0

0sinz z

zA s t

Ver

tikal

na

stje

nka A

0

0cos

z

zs

* A

1

0cosz z

zA s t

B

0

0cos

z

zs

* 0 C 0

1 0 1

B1

0

2

sin

cos

z

z

t z tA b

t t

zs t

Tablica A.48. L nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Hori

zonta

lna

stje

nka

B

0

0cos

y

ys

* B

1 0

0cosy y

yA ht s t

Raspodjela *yA

C

0

0cos

y

ys

* C

0

0cosy y

yA s t

Ver

tikal

na

stje

nka

0 ys h *1y yA h s t

172

Tablica A.49. L nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .

Hori

zonta

lna

stje

nka

C B

0 0sin sinz

z zs

2

* 2C0 0 2

0

1sin

2 siny z

zS t s

Raspodjela*yS

Ver

tikal

na

stje

nka

B A

0 0cos cosz

z zs

2

* 2A1 0 2

0

1cos

2 cosy z

zS t s

Tablica A.50. L nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .

Hori

zonta

lna

stje

nka

C B

0 0cos cosy

y ys

2

* 2C0 0 2

0

1cos

2 cosz y

yS t s

Raspodjela *zS

Ver

tikal

na

stje

nka 0 ys h

* 2 21 01 B

sin

2z y y

tS h s t y h s

173

Tablica A.51. L nesimetrični presjek:

*

0

dzs

ySs

t.

Ho

rizo

nta

lna

stje

nk

a

C B

0 0sin sinz

z zs

* 2

2C0 1

00

1d sin

2sin 6

zsy

z z

S zs s s C

t

Raspodjela

*

0

dzs

ySs

t

Ver

tikal

na

stje

nka

B A

0 0cos cosz

z zs

* 2

2A0 2

00

1d cos

2cos 6

zsy

z z

S zs s s C

t

B B* *

21

1 2 0 0HS VS

d d ,z zs s

y yS SLC s s

L L t t

B B* *

12

1 2 0 0HS VS

d d .z zs s

y yS SLC s s

L L t t

Tablica A.52. L nesimetrični presjek: *

0

d

ys

zSs

t.

Hori

zonta

lna

stje

nka

C B

0 0cos cosy

y ys

2*

2C0

00

1d cos

2cos 6

ys

zy y

ySs s s

t

Raspodjela

*

0

d

ys

zSs

t

Ver

tikal

na

stje

nk

a 0 ys h

*2 2B

0 B 0

0

2 2BC B2

0

1 1d sin sin

2 2 6

36cos

ys

zy y y

S ys s h y h s s

t

yy y

174

Za odabrani primjer obrađen u prilogu B (str. 325-335):

1 0

400 mm,

240 mm,

20 mm,

b

h

t t

geometrijske karakteristike dane su u tablici A.53, a faktori smicanja u tablici A.54.

Tablica A.53. L nesimetrični presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i

torzijski momenti tromosti.

1 125 mm,d 2 45 mm,d 0 20,96 , 212800 mm ,A

438665677 mm ,yI 4254240990 mm ,zI 4t 1706667 mm .I

Tablica A.54. L nesimetrični presjek: Faktori smicanja

0,0421,xz

0,0989,xy

0,5331,yz zy

2,0369,yy

3,3445,zz

0,y

0,z

0.

175

A.3.2. C nesimetrični presjek

Slika A.25. C nesimetrični presjek: geometrija.

Slika A.26. C nesimetrični presjek: glavna koordinata y , glavna koordinata z i glavna


Slika A.27. C nesimetrični presjek: Definiranje predznaka krivocrtnih koordinata ys , zs i s .

176

Tablica A.55. C nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *zA .

Gorn

ji p

oja

s

10 zs b *1 1z zA b s t

Raspodjela *zA

Str

uk

B

0

0cos

z

zs

* B

1 1 0

0cosz z

zA b t s t

C

0

0cos

z

zs

* C

2 2 0

0cosz z

zA b t s t

Donji

poja

s

20 zs b *2 2z zA b s t

Tablica A.56. C nesimetrični presjek: Površina odsječenog dijela presjeka *yA .

Gorn

ji p

oja

s

A

0

0cos

y

ys

* A

1

0cosy y

yA s t

Raspodjela *yA

B

0

0cos

y

ys

* C0

0

B1

0

sin

cos

y

y

yA h m t

ys t

Str

uk

B

0

0sin

y

ys

* C0

0

B1

0

sin

sin

y

y

yA h m t

ys t

C

0

0sin

y

ys

* C

2 2 0

0siny y

yA b t s t

Donji

poja

s

20 ys b *2 2y yA b s t

177

Tablica A.57. C nesimetrični presjek: Statički moment površine odsječenog dijela presjeka *yS .

G

orn

ji p

oja

s 10 zs b

* 2 21 01 B 1 1

sin

2y z z

tS t z b s b s

Raspodjela *yS

Str

uk

B C

0 0cos cosz

z zs

* 2 02 2 D

220 0 C

20

sin

2

cos

2 cos

y

z

bS t b z

t zs

Donji

poja

s

20 zs b

2* 2 0

2 D 2 2

sin

2y z z

tS t z b s b s

Tablica A.58. C nesimetrični presjek: Satički moment površine odsječenog dijela presjeka *zS .

Gorn

ji p

oja

s A B

0 0cos cosy

y ys

2

* 21 0 A2

0

cos

2 cosz y

t yS s

Raspodjela *zS

Str

uk

B C

0 0sin siny

y ys

* 2 02 2 C

220 0 C

20

cos

2

sin

2 sin

z

y

bS t b y

t ys

Donji

poja

s

20 ys b

* 2 22 02 C 2 2

cos

2z y y

tS t y b s b s

178

Tablica A.59. C nesimetrični presjek: Sektorski statički moment površine odsječenog dijela

presjeka *S .

Gorn

ji p

oja

s

1 2e s e

* 2 21 11

2

t hS s e

Raspodjela *S

Str

uk

01 02h s h

2 2 1 1 2* 2 20 2

022 2

t b h h f f t hS h s

Donji

poja

s

2 1f s f

2 1* 2 2

12

t h hS f s

Tablica A.60. C nesimetrični presjek:

*

0

dzs

ySs

t.

Gorn

ji p

oja

s

10 zs b

*

2 22 2 2 0 BD C B2

1 0 00

22 31 0 B 0

1 B

sind 3

2 6cos

sin sin

2 2 6

zsy

z z z

S t b b zs z z z

t t

b zb z s s s

Raspodjela

*

0

dzs

ySs

t

Str

uk

B C

0 0cos cosz

z zs

* 2

32 2 2 0 C 0D

0 0 00

sin cosd

2 2cos 6

zsy

z z

S b t b zs z s s

t t

Donji

poja

s

20 zs b

* 3

2 2 2 0 CD 2

2 0 00

2 32 0 D 2 0 02 D

sind

2 3cos

sin sin sin

2 2 6

zsy

z z z

S b t b zs z

t t

b z bb z s s s

179


0

d

ys

zSs

t.

Gorn

ji p

oja

s A B

0 0cos cosy

y ys

* 23A 0

1

1 00

cosd

2cos 6

ys

zy y

S ys s s C

t

Raspodjela *

0

d

ys

zSs

t

Str

uk

B C

0 0sin siny

y ys

* 22 2 2 0 C

C

0 0 00

302

cosd

2 2sin

sin

6

ys

zy

y

S b t b ys y s

t t

s C

Donji

poja

s

20 ys b

* 32 2 C 2 0 C

C 22 0 0 00

22 32 0 C 0

2 C 2

cosd +

sin 2 3sin

cos cos+ - -

2 2 6

ys

z

y y y

S b t y b ys y

t t

b yb y s s s C

B B* *

21

1 2 0 0HS VS

d d ,z zs s

y yS SLC s s

L L t t

B B* *

12

1 2 0 0HS VS

d d .z zs s

y yS SLC s s

L L t t

.

180


0

d

sS

st

.

Gorn

ji p

oja

s

1 2e s e

*

2 211 1

10

d 36

sS h

s s s e Ct

Raspodjela *

0

d

sS

st

Str

uk

01 02h s h

* 22 2 1 1 2 2 02

0 00

322

d2 2

6

st b h h f fS h h

s st t

hs C

Donji

poja

s

2 1f s f

*

2 211 3

20

d 36

sS h h

s s f s Ct

U izrazima za *

0

d

sS

st

dodane su konstante 1C , 2C i 3C da bi se u točkama 1N i 2N

izbjegao diskontinuitet normalnog naprezanja.(crtkana linija – Slika A.28.).

Naime, da bi u točki 1N bilo:

1 1

1 2

N N

x xL L

treba u izrazu za naprezanje za gornji pojas član

*

0

d

sE S

m sGI t

zamijeniti sa *

1

0

d

sE S

m s CGI t

,

a u izrazu za naprezanje za struk član

*

0

d

sE S

m sGI t

zamijeniti sa *

2

0

d

sE S

m s CGI t

.

181

Iz uvjeta

1 1

1 2

N N

x xL L

slijedi

1 1

1 2

N N* *

1 2

0 0

d d

s s

L L

S Ss C s C

t t

odnosno

1 1

2 1

N N* *

1 2

0 0

d d

s s

L L

S SC C s s

t t

Lako se može dokazati da je:

1 1

2 1

N B B* * * *

0 0 0 0struk gornji pojas

d d d

Ns s s s

L L

S S S Sds s s s

t t t t

te je

B B* *

1 2

0 0struk gornji pojas

d d

s sS S

C C s st t

(1)

Na isti način, da bi u točki 2N bilo:

2 2

2 3

N N

x xL L

treba u izrazu za naprezanje za donji pojas član

*

0

d

sE S

m sGI t

zamijeniti sa *

3

0

d

sE S

m s CGI t

.

.

Iz uvjeta 2 2

2 3

N N

x xL L

slijedi

182

2 2

3 2

N N* *

3 2

0 0

d d

s s

L L

S Ss C s C

t t

odnosno

2 2

2 3

N N* *

3 2

0 0

d d

s s

L L

S SC C s s

t t

Lako se može dokazati da je

2 2

2 3

N C C* * * *

0 0 0 0struk donji pojas

d d d

Ns s s s

L L

S S S Sds s s s

t t t t

te je

C C* *

3 2

0 0struk donji pojas

d d

s sS S

C C s st t

(2)

Za određivanje konstanti 1,C 2C i 3C potrebna je još jedna jednadžba. Ona je dobivena iz

uvjeta da je ukupna uzdužna sila uslijed dodanih naprezanja duž konture presjeka jednaka nuli

1 2 3 0N N N

Kako su

1 1 1,xN A 2 2 2 ,xN A

3 3 3,xN A

gdje su

1 1

1 1 ,s L s L

A A s A s L t

2 2

2 2 ,s L s L

A A s A s L t

3 3

3 3 ,s L s L

A A s A s L t

slijedi

1 1 2 2 3 3 0,x x xL t L t L t

183

odnosno

1 1 2 2 3 3 0,E E E

m C L t m C L t m C L tGI GI GI

pa je

1 1 2 2 3 3 0,C L C L C L (3)

Rješavanjem sustava jednadžbi (1), (2) i (3) dobiju se konstante 1,C 2C i 3C .

Slika A.28. C nesimetrični presjek: Korekcija za *

0

d

sS

st

.

Za odabrani primjer obrađen u prilogu B (str. 336-347):

1

2

1 0 2

200 mm,

100 mm,

250 mm,

5 mm,

b

b

h

t t t

184

geometrijske karakteristike dane su u tablici A.63.

Tablica A.63. C nesimetrični presjek: Položaj težišta, površina, aksijalni i torzijski momenti

tromosti.

1 45,46 mm,y 1 102,27 mm,z 0 17,11 , 22750 mm ,A

430539339 mm ,yI 47306305 mm ,zI 4t 22917 mm .I

a faktori smicanja navedeni su u tablici A.64.

Tablica A.64. C nesimetrični presjek: Faktori smicanja.

0,0928,xz

0,1634,xy

0,2162,yz zy

2,6719,yy

2,7512,zz

0,3894,y

1,4581,z

1,6684.

185

B. PRIMJERI – Savijanje s utjecajem smicanja

B.1. Presjeci s dvije osi simetrije

B.1.1. I presjek

B.1.1.1. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)z yq q

a) b)

1 03 / 40b h L h t t h

c) d)

e) f)

gustoća mreže: 28800 elemenata

kvadratni element 5 x 5 mm

Slika B.1. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski

element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.

1 0

400 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

L h

t t h

186

U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja. Pomak pola je:

P b sw w w , gdje je bw progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa

(EBBT), a sw dodatni progib zbog smicanja računan prema teoriji savijanja s utjecajem

smicanja (SUS), prema izrazu:

A

s ,y y

zz

zz zz

M M Aw A

GA

.

Faktor utjecaja smicanja na progib w definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola na

sredini raspona nosača prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT

Pmax

bmax

.w

w

w

Za zglobno oslonjeni nosač je

481 ,

5w wk

a za ukliješteni nosač

1 48 ,w wk

pri čemu je

2.

y

w

zz

EIk

GA l

Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji SUS

*

0

d ,zs

y ywx z z

y zz y

M SE Ez q z q s

I GA GI t

gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), a preostala dva člana daju

utjecaj smicanja.

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje Bw predstavlja omjer normalnog

naprezanja, na sredini raspona nosača u točki B poprečnog presjeka, prema SUS i istog

naprezanja prema EBBT

B .wx

w bx

187

Za I poprečni presjek s dvije osi simetrije je

1 0B

0

61 1 ,

12

z y zzw

y zz y

q I A A A hE

M A G I t

pri čemu je, na sredini raspona nosača

2

8

zy

q lM za zglobno oslonjen nosač, a

2

24

zy

q lM za ukliješteni nosač.

Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni

su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).

188

Tablica B.1. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/w w w

Zglobno oslonjen nosač Ukliješten nosač

L/h SUS MKE SUS MKE

3 2,8225 2,8576 10,1124 10,0510

4 2,0251 6,1257

5 1,6561 1,6605 4,2805 4,2472

6 1,4556 3,2781

7 1,3347 2,6737

8 1,2563 2,2814

9 1,2025 2,0125

10 1,1640 1,8201

11 1,1356 1,6778

12 1,1139 1,5695

13 1,0971 1,4853

14 1,0837 1,4184

15 1,0729 1,3645

Tablica B.2. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje B b/ww x x


L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,1706 1,1702 1,5118 1,4982

4 1,0960 1,2879

5 1,0614 1,0613 1,1842 1,1838

6 1,0426 1,1279

7 1,0313 1,0940

8 1,0240 1,0720

9 1,0190 1,0569

10 1,0154 1,0461

11 1,0127 1,0381

12 1,0107 1,0320

13 1,0091 1,0273

14 1,0078 1,0235

15 1,0068 1,0205

189

Slika B.2. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

190



Slika B.5. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

191


x x duž



x x duž


192

Slika B.8. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješten nosač.

Slika B.9. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješten

nosač.

193



Slika B.11. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Bw o omjeru /L h - ukliješteni

nosač.

194

Slika B.12. Normirano normalno naprezanje b,max/w

x x duž pojasa na sredini raspona –



x x duž


195


x x duž

pojasa na mjestu ukliještenja.


x x duž

struka na mjestu uklijueštenja.

196

B.1.1.2. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)y zq q

a) b)

1 03 / 40b h L h t t h

c) d)

e) f)

gustoća mreže: 28800 elemen.


Slika B.16. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski

element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja

1 0

400 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

L h

t t h

197

U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja. Pomak pola je:

P b sv v v , gdje je bv progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa

(EBBT), a sv dodatni progib zbog smicanja računan prema teoriji savijanja s utjecajem

smicanja (SUS), prema izrazu

As , .z z

yy

yy yy

M M Av A

GA

Faktor utjecaja smicanja na progib v definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola, na

sredini raspona štapa, prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT

P max

bmax

.v

v

v


481 ,

5v vk


1 48 ,v vk

pri čemu je

2.z

v

yy

EIk

GA l


*

0

d ,

ys

v z zx y y

z yy z

M SE Ey q y q s

I GA GI t

gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), a preostala dva člana daju

utjecaj smicanja.

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje Av predstavlja omjer normalnog

naprezanja, na sredini raspona nosača u točki A, prema SUS i istog naprezanja prema EBBT

A

b.

vx

v

x

198


2

A 1 1 ,12

y z yy

v

z yy z

q I A bE

M A G I


2

8

y

z


2

24

y

z




199

Tablica B.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na progib Pmax bmax/v v v


L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,2773 1,2812 2,3867 2,3779

4 1,1560 1,7800

5 1,0998 1,1002 1,4992 1,5029

6 1,0693 1,3467

7 1,0509 1,2547

8 1,0390 1,1950

9 1,0308 1,1541

10 1,0250 1,1248

11 1,0206 1,1031

12 1,0173 1,0867

13 1,0148 1,0738

14 1,0127 1,0637

15 1,0111 1,0555

Tablica B.4. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/vv x x


L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,0385 1,0384 1,1156 1,1154

4 1,0217 1,0650

5 1,0139 1,0138 1,0416 1,0494

6 1,0096 1,0289

7 1,0071 1,0212

8 1,0054 1,0163

9 1,0043 1,0128

10 1,0035 1,0104

11 1,0029 1,0086

12 1,0024 1,0072

13 1,0021 1,0062

14 1,0018 1,0053

15 1,0015 1,0046

200

Slika B.17. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.18. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

201



Slika B.20. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

202


x x duž


Slika B.22. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - ukliješteni nosač.

203

Slika B.23. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - ukliješteni

nosač.



204

Slika B.25. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - ukliješten

nosač.


x x duž


205


x x duž


206

B.2. Presjeci s jednom osi simetrije

B.2.1. I presjek s jednom osi simetrije

B.2.1.1 Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)z yq q

a) b)

1 1 2 1 02 3 / 40b h b b L h t t h

c) d)

e) f)



Slika B.28. I presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski


1

2

1 0

400 mm

200 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

b

L h

t t h

207

U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije i

dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ukupni vertikalni pomak pola je:

P b sw w w , gdje je bw progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa

(EBBT), a sw dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem

smicanja (SUS) prema izrazu

A

s , .y y

zz

zz zz

M M Aw A

GA

Faktor utjecaja smicanja na progib w definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola, na

sredini raspona štapa prema teoriji SUS i istog progiba prema EBBT, P max

bmax

.w

w

w

Pomak poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru je

s .z s xzQ Lu

GA


*

0

d ,zs

y ywu xzx z z z s

y zz y

M S EE Ez q z q s q L

I GA GI t GA

gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT (bx ), drugi i treći član su posljedica

savijanja s utjecajem smicanja, a zadnji član je od dodatnog rastezanja/sabijanja zbog smicanja.

Za ovaj poprečni presjek faktori utjecaja smicanja na normalno naprezanje b/wu

wu x x su

B B1 0 T TB

B0 T

31 1 ,

3

zzz y xzwu

y zz y zz

A A t h hq I E h

M A G I t h

C C2 0 T TC

C0 T

31 1 ,

3

zzz y xzwu

y zz y zz

A A t h hq I E h

M A G I t h


2

8

zy


2

24

zy


Rezultati pomaka i normalnog naprezanja teorije SUS, u dijagramima koji slijede, uspoređeni su s


208

Tablica B.5. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .



L/h SUS MKE SUS MKE

3 2,3253 2,3535 7,6267 7,6392

4 1,7455 4,7275

5 1,4771 1,4806 3,3856 3,3709

6 1,3313 2,6567

7 1,2434 2,2171

8 1,1864 1,9319

9 1,1473 1,7363

10 1,1119 1,5964

11 1,0986 1,4929

12 1,0828 1,4142

13 1,0706 1,3529

14 1,0609 1,3043

15 1,0530 1,2651

Tablica B.6.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru

/L h .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje B b/wuwu x x


L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,1463 1,1453 1,4389 1,4264

4 1,0823 1,2469

5 1,0527 1,0525 1,1580 1,1571

6 1,0366 1,1097

7 1,0269 1,0806

8 1,0206 1,0617

9 1,0163 1,0488

10 1,0132 1,0395

11 1,0109 1,0326

12 1,0091 1,0274

13 1,0078 1,0234

14 1,0067 1,0202

15 1,0059 1,0176

209

Tablica B.6.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje C b/wuwu x x


L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,0741 1,0711 1,2222 1,2010

4 1,0417 1,1250

5 1,0267 1,0265 1,0800 1,0786

6 1,0185 1,0556

7 1,0136 1,0408

8 1,0104 1,0313

9 1,0082 1,0247

10 1,0067 1,0200

11 1,0055 1,0165

12 1,0046 1,0139

13 1,0039 1,0118

14 1,0034 1,0102

15 1,0030 1,0089

Slika B.29. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen

nosač.

210

Slika B.30. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.31. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen

nosač.

211





212

Slika B.34. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

Slika B.35. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

213


x x duž



x x duž


214


x x duž


Slika B.39. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

215

Slika B.40. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješteni

nosač.

Slika B.41. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.

216





217

Slika B.44. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -ukliješteni

nosač.

Slika B.45. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h -ukliješteni

nosač.

218


x x duž

gornjeg pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž

struka na sredini raspona – ukliješteni nosač.

219


x x duž

donjeg pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž

gornjeg pojasa na mjestu ukliještenja.

220


x x duž

struka na mjestu ukliještenja.


x x duž

donjeg pojasa na mjestu ukliještenja.

221


a) b)

1 1 2

1 0

2

3 / 40

b h b b

L h t t h

c) d)

e) f)




membranski element, d) MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj

opterećenja.

1

2

1 0

400 mm

200 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

b

L h

t t h

BP

C BCP

hF F

h

222

U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u glavnoj ravnini

okomitoj na ravninu simetrije i dodatno na uvijanje zbog smicanja. Ukupni pomak pola je

P b s ,v v v

gdje je bv progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT) , a sv

dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)

As , .z z

yy

yy yy

M M Av A

GA

Faktor utjecaja smicanja na progib v definiran je kao omjer maksimalnog progiba pola na


P max

bmax

.v

v

v

Kut uvijanja od dodatnog uvijanja zbog smicanja je:

A Ps P

P

, .z zy

y y

M M WW

GW

Horizontalni pomak točke B je

BB P P s ,v v h

odnosno

BB b ,vv v

gdje se faktor utjecaja smicanja na progib točke B B Bmax

bmax

v

v

v može napisati i kao

BPB

P

11 .

yy vv v

y v

A h

W


*

P0

d ,

ys

v z zx y y y

z yy z y

M SE E Ey q y q s q

I GA GI t GW

gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi i treći član su od

savijanja s utjecajem smicanja, a zadnji član je od dodatnog uvijanja zbog smicanja.

223



A

b.

vx

v

x

Za zadani I poprečni presjek s jednom osi simetrije je

2 BP 1 PA

P

121 1 ,

12

yy y zy z

v

z yy z y

A W b I hq I E

M A G I W


2

8

y

z


2

24

y

z




224

Tablica B.7. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .



L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,2542 1,2577 2,2711 2,2631

4 1,1430 1,7150

5 1,0915 1,0919 1,4576 1,4536

6 1,0636 1,3178

7 1,0467 1,2335

8 1,0358 1,1788

9 1,0282 1,1412

10 1,0229 1,1144

11 1,0189 1,0945

12 1,0159 1,0794

13 1,0135 1,0677

14 1,0117 1,0584

15 1,0102 1,0508

Tablica B.7.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na progib točke B BB bmax/v v v


L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,2773 1,2813 2,3867 2,3782

4 1,1560 1,7800

5 1,0998 1,1004 1,4992 1,4950

6 1,0693 1,3467

7 1,0509 1,2547

8 1,0390 1,1950

9 1,0308 1,1541

10 1,0250 1,1248

11 1,0206 1,1031

12 1,0173 1,0867

13 1,0148 1,0738

14 1,0127 1,0637

15 1,0111 1,0555

225

Tablica B.8. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .



L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,0385 1,0386 1,1156 1,1155

4 1,0217 1,0650

5 1,0139 1,0139 1,0416 1,0415

6 1,0096 1,0289

7 1,0071 1,0212

8 1,0054 1,0163

9 1,0043 1,0128

10 1,0035 1,0104

11 1,0029 1,0086

12 1,0024 1,0072

13 1,0021 1,0062

14 1,0018 1,0053

15 1,0015 1,0046


B bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.

226

Slika B.54. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak točke B B bmax/v v - zglobno

oslonjen nosač.



227



Slika B.57. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

228


x x duž



B bmax/v v - ukliješteni nosač.

229

Slika B.60. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak točke B B bmax/v v - ukliješteni

nosač.



230



Slika B.63. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -ukliješteni

nosač.

231


x x duž



x x duž

gornjeg pojasa na mjestu ukliještenja.

232

B.2.2. T presjek


a) b)

1 03 / 40

b h

L h t t h

c) d)

e) f)



Slika B.66. T presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element, d) MKE

rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.

1 0

400 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

L h

t t h

233


dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ukupni pomak pola je

P b s ,w w w

gdje je bw progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a

sw dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)

A

s , .y y

zz

zz zz

M M Aw A

GA



P max

bmax

.w

w

w


s .z s xzQ Lu

GA


*

0

d ,zs

y ywu xzx z z z s

y zz y


I GA GI t GA

gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi i treći član su

posljedica savijanja s utjecajem smicanja, a zadnji član je od dodatnog rastezanja/sabijanja

zbog smicanja.

Za ovaj poprečni presjek faktori utjecaja smicanja na normalno naprezanje

b/wuwu x x

su

B B1 0 T TB

B0 T

31 1 ,

3

zzz y xzwu

y zz y zz

A A t h hq I E h

M A G I t h

234

2

CTC

CT

1 1 ,3

zzz y xzwu

y zz y zz

A hq I E h

M A G I h


2

8

zy


2

24

zy




235

Tablica B.9. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h .



L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,7349 1,7382 4,6747 4,5283

4 1,4134 3,0670

5 1,2646 1,2653 2,3229 2,2800

6 1,1837 1,9187

7 1,1350 1,6749

8 1,1034 1,5168

9 1,0817 1,4083

10 1,0661 1,3307

11 1,0547 1,2733

12 1,0459 1,2297

13 1,0391 1,1957

14 1,0337 1,1687

15 1,0294 1,1470

Tablica B.10.a. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h .



L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,1310 1,1275 1,3929 1,3607

4 1,0737 1,2210

5 1,0471 1,0470 1,1414 1,1400

6 1,0327 1,0982

7 1,0241 1,0722

8 1,0184 1,0553

9 1,0146 1,0437

10 1,0118 1,0354

11 1,0097 1,0292

12 1,0082 1,0246

13 1,0070 1,0209

14 1,0060 1,0180

15 1,0052 1,0157

236

Tablica B.10.b. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje C b/wuwu x x


L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,1310 1,1280 1,3929 1,3685

4 1,0737 1,2210

5 1,0471 1,0470 1,1414 1,1404

6 1,0327 1,0982

7 1,0241 1,0722

8 1,0184 1,0553

9 1,0146 1,0437

10 1,0118 1,0354

11 1,0097 1,0292

12 1,0082 1,0246

13 1,0070 1,0209

14 1,0060 1,0180

15 1,0052 1,0157

Slika B.67. T presjek: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.

237

Slika B.68. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.69. T presjek: Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.

238


x x - zglobno

oslonjen nosač.


x x - zglobno

oslonjen nosač.

239

Slika B.72. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.73. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

240


x x duž pojasa na sredini



x x duž struka na sredini


241

Slika B.76. T presjek: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika B.77. T presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješteni nosač.

242

Slika B.78. T presjek: Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.


x x - ukliješteni

nosač.

243


x x -ukliješteni

nosač.

Slika B.81. T presjek: Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.

244

Slika B.82. T presjek: Ovisnost faktora Cwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.

Slika B.83. T presjeke: Normirano normalno naprezanje b,max/wu


raspona – ukliješteni nosač.

245


x x duž struka na sredini

raspona – ukliješteni nosač.


x x duž pojasa na mjestu

ukliještenja.

246


x x duž struka na mjestu

ukliještenja.

247


a) b)

1 03 / 40

b h

L h t t h

c) d)

e) f)



Slika B.87. T presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element, d) MKE


1 0

400 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

L h

t t h

248


okomitoj na ravninu simetrije. Dodatnog uvijanja zbog smicanja nema zbog 0y . Ukupni

pomak pola je

P b s ,v v v

gdje je bv progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a sv


As , .z z

yy

yy yy

M M Av A

GA



P max

bmax

.v

v

v


*

0

d ,

ys

v z zx y y

z yy z

M SE Ey q y q s

I GA GI t


savijanja s utjecajem smicanja.



A

b.

vx

v

x

Za zadani T poprečni presjek je

2

A 1 1 ,12

y z yy

v

z yy z

q I A bE

M A G I


2

8

y

z


2

24

y

z




249

Tablica B.11. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h .



L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,2773 1,2812 2,3867 2,3779

4 1,1560 1,7800

5 1,0998 1,1002 1,4992 1,4948

6 1,0693 1,3467

7 1,0509 1,2547

8 1,0390 1,1950

9 1,0308 1,1541

10 1,0250 1,1248

11 1,0206 1,1031

12 1,0173 1,0867

13 1,0148 1,0738

14 1,0127 1,0637

15 1,0111 1,0555

Tablica B.12. T presjek: Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .

Faktor utjecaja na normalno naprezanje A b/vv x x


L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,0385 1,0384 1,1156 1,1154

4 1,0217 1,0650

5 1,0139 1,0138 1,0416 1,0414

6 1,0096 1,0289

7 1,0071 1,0212

8 1,0054 1,0163

9 1,0043 1,0128

10 1,0035 1,0104

11 1,0029 1,0086

12 1,0024 1,0072

13 1,0021 1,0062

14 1,0018 1,0053

15 1,0015 1,0046

250

Slika B.88. T presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.89. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

251


x x - zglobno

oslonjen nosač.


252




Slika B.93. T presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - ukliješteni nosač.

253

Slika B.94. T presjek: Ovisnost faktora v o omjeru /L h - ukliješteni nosač.


x x - ukliješteni

nosač.

254





255

Slika B.98. T presjek: Normirano normalno naprezanje b/vx x duž pojasa na mjestu

ukliještenja.

256

B.2.3. U presjek

B.2.3.1. U presjek za , 3b h L h

B. 2.3.1.1. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)z yq q

a) b)

1 03 / 40

b h

L h t t h

c) d)

e) f)



Slika B.99. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element, d)

MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.

1 0

400 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

L h

t t h

257


dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ukupni pomak pola je

P b s ,w w w

gdje je bw progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a sw


A

s , .y y

zz

zz zz

M M Aw A

GA



P max

bmax

.w

w

w


s .z s xzQ Lu

GA


*

0

d ,zs

y ywu xzx z z z s

y zz y


I GA GI t GA


posljedica savijanja s utjecajem smicanja, a zadnji član je od dodatnog rastezanja/sabijanja

zbog smicanja.

Za ovaj poprečni presjek faktori utjecaja smicanja na normalno naprezanje prema

b/ ,wuwu x x

su

2

ATA

AT

1 1 ,3

zzz y xzwu

y zz y zz

A hq I E h

M A G I h

258

2 2

A B CT T T

B

BT

3

1 1 ,6

zzz y xz

wu

y zz y zz

A h h hq I E h

M A G I h


2

8

zy


2

24

zy




259

Tablica B.13. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h .



L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,6009 1,6033 4,0045 3,8441

4 1,3380 2,6900

5 1,2163 1,2165 2,0816 2,0404

6 1,1502 1,7511

7 1,1104 1,5518

8 1,0845 1,4225

9 1,0668 1,3338

10 1,0541 1,2704

11 1,0447 1,2235

12 1,0376 1,1878

13 1,0320 1,1600

14 1,0276 1,1380

15 1,0240 1,1202

Tablica B.14.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/wuwu x x


L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,1156 1,1133 1,3467 1,3229

4 1,0650 1,1950

5 1,0416 1,0415 1,1248 1,1237

6 1,0289 1,0867

7 1,0212 1,0637

8 1,0163 1,0488

9 1,0128 1,0385

10 1,0104 1,0312

11 1,0086 1,0258

12 1,0072 1,0217

13 1,0062 1,0185

14 1,0053 1,0159

15 1,0046 1,0139

260

Tablica B.14.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h .



L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,1156 1,1134 1,3467 1,3236

4 1,0650 1,1950

5 1,0416 1,0415 1,1248 1,1237

6 1,0289 1,0867

7 1,0212 1,0637

8 1,0163 1,0488

9 1,0128 1,0385

10 1,0104 1,0312

11 1,0086 1,0258

12 1,0072 1,0217

13 1,0062 1,0185

14 1,0053 1,0159

15 1,0046 1,0139

Slika B.100. U presjek (b=h): Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.

261

Slika B.101. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.102. U presjek (b=h): Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.

262


x x -



x x -


263

Slika B.105. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.106. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.

264


x x duž lijeve




stjenke na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.

265

Slika B.109. U presjek (b=h): Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika B.110. U presjek (b=h): Ovisnost faktora w o omjeru /L h - ukliješteni nosač.

266

Slika B.111. U presjek (b=h): Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.


x x -


267


x x -


Slika B.114. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.

268

Slika B.115. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L h -ukliješteni nosač.


x x duž lijeve


269



stjenke na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x duž lijeve

vertikalne stjenke na mjestu ukliještenja.

270



stjenke na mjestu ukliještenja.

.

271

B. 2.3.1.2. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)y zq q

a) b)

1 03 / 40

b h

L h t t h

c) d)

e) f)



Slika B.120. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element, d) MKE


1 0

400 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

L h

t t h

2C CP

bF F

h

272


okomitoj na ravninu simetrije i dodatno na uvijanje zbog smicanja. Ukupni pomak pola je

P b s ,v v v

gdje je bv progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a

sv dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)

As , .z z

yy

yy yy

M M Av A

GA



P max

bmax

.v

v

v

Kut uvijanja od dodatnog uvijanja zbog smicanja je

A Ps P

P

, .z zy

y y

M M WW

GW

Horizontalni pomak točke C je

CC P P s ,v v h

odnosno

CC b ,vv v

gdje se faktor utjecaja smicanja na progib točke C

C Cmax

bmax

,v

v

v

može napisati i kao

CPC

P

11 ,

yy vv v

y v

A h

W


273

*

P0

d ,

ys

v z zx y y y

z yy z y

M SE E Ey q y q s q

I GA GI t GW


savijanja s utjecajem smicanja, a zadnji član je od dodatnog uvijanja zbog smicanja.



A

b.

vx

v

x

Za zadani U poprečni presjek s jednom osi simetrije je

2 CP 0 1 1 1 PA

1 P

6 6 121 1 ,

12

y zy z

v yy

z yy z y

W A b Ab t h t I h hq I EA

M A G t I W


2

8

y

z


2

24

y

z




274

Tablica B.15. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v o omjeru /L h .



L/h SUS MKE SUS MKE

3 3,4168 13,0838

4 2,3594 7,7972

5 1,8700 5,3502

6 1,6042 4,0210

7 1,4439 3,2195

8 1,3399 2,6993

9 1,2685 2,3426

10 1,2175 2,0875

11 1,1798 1,8988

12 1,1510 1,7552

13 1,1287 1,6435

14 1,1110 1,5549

15 1,0967 1,4834

Tablica B.15.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na progib točke C CC bmax/v v v


L/h SUS MKE SUS MKE

3 2,7749 2,8096 9,8747 9,9003

4 1,9984 5,9920

5 1,6390 1,6432 4,1949 4,1811

6 1,4437 3,2187

7 1,3260 2,6300

8 1,2496 2,2480

9 1,1972 1,9861

10 1,1597 1,7987

11 1,1320 1,6601

12 1,1109 1,5547

13 1,0945 1,4726

14 1,0815 1,4075

15 1,0710 1,3550

275

Tablica B.16. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .



L/h SUS MKE SUS MKE

3 1,2234 1,2235 1,6702 1,6680

4 1,1257 1,3770

5 1,0804 1,0805 1,2413 1,2412

6 1,0559 1,1676

7 1,0410 1,1231

8 1,0314 1,0943

9 1,0248 1,0745

10 1,0201 1,0603

11 1,0166 1,0499

12 1,0140 1,0419

13 1,0119 1,0357

14 1,0103 1,0308

15 1,0089 1,0268

Slika B.121. U presjek (b=h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v - zglobno

oslonjen nosač.

276

Slika B.122. U presjek (b=h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.123. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L h - zglobno oslonjen

nosač.

277


x x -



x x - zglobno

oslonjen nosač.

278

Slika B.126. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h - zglobno oslonjen nosač.


x x duž lijeve


279




Slika B.129. U presjek (b=h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v - ukliješteni

nosač.

280

Slika B.130. U presjek (b=h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - ukliješteni nosač.

Slika B.131. U presjek (b=h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L h - ukliješteni nosač.

281


x x -



x x -


282

Slika B.134. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h -ukliješteni nosač.


x x duž lijeve

vertikalne stjenke na sreini raspona - ukliješteni nosač.

283





x x duž lijeve


284



stjenke na mjestu ukliještenja.

285

B.2.3.2. U presjek za 2 , 3b h L b

B. 2.3.2.1. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)z yq q

a) b)

1 0

2

3 / 40

b h

L b t t b

c) d)

e) f)



Slika B139. : U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element,


1 0

2 800 mm

3 2400 mm

/ 40 20 mm

b h

L b

t t b

286

Tablica B.17. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b .



L/b SUS MKE SUS MKE

3 1,2357 1,2327 2,1787 2,0458

4 1,1326 1,6630

5 1,0849 1,0844 1,4243 1,3945

6 1,0589 1,2947

7 1,0433 1,2165

8 1,0332 1,1658

9 1,0262 1,1310

10 1,0212 1,1061

11 1,0175 1,0877

12 1,0147 1,0737

13 1,0126 1,0628

14 1,0108 1,0541

15 1,0094 1,0471

Tablica B.18.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/wuwu x x


L/b SUS MKE SUS MKE

3 1,0520 1,0518 1,1560 1,1520

4 1,0293 1,0878

5 1,0187 1,0187 1,0562 1,0561

6 1,0130 1,0390

7 1,0096 1,0287

8 1,0073 1,0219

9 1,0058 1,0173

10 1,0047 1,0140

11 1,0039 1,0116

12 1,0033 1,0098

13 1,0028 1,0083

14 1,0024 1,0072

15 1,0021 1,0062

287

Tablica B.18.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b .



L/b SUS MKE SUS MKE

3 1,1483 1,1479 1,4449 1,4335

4 1,0834 1,2503

5 1,0534 1,0533 1,1602 1,1601

6 1,0371 1,1112

7 1,0272 1,0817

8 1,0209 1,0626

9 1,0165 1,0494

10 1,0134 1,0400

11 1,0110 1,0331

12 1,0093 1,0278

13 1,0079 1,0237

14 1,0068 1,0204

15 1,0059 1,0178

Slika B.140. U presjek (b=2h): Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.

288

Slika B.141. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.142. U presjek (b=2h): Normirani pomak s bmax/u w - zglobno oslonjen nosač.

289


x x -



x x -


290

Slika B.145. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.146. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b - zglobno oslonjen

nosač.

291


x x duž lijeve



x x duž


292

Slika B.149. U presjek (b=2h): Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika B.150. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora w o omjeru /L b - ukliješteni nosač.

293

Slika B.151. U presjek (b=2h): Normirani pomak s bmax/u w - ukliješteni nosač.


x x -


294


x x -


Slika B.154. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Awu o omjeru /L b -ukliješteni nosač.

295

Slika B.155. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bwu o omjeru /L b -ukliješteni nosač.


x x duž lijeve


296


x x duž



x x duž lijeve


297


x x duž

horizontalne stjenke na mjestu ukliještenja.

.

298

B.2.3.2.2. Posebni slučaj opterećenja ( 0; 0)y zq q

a) b)

1 02 3 / 40b h L b t t b

c) d)

e) f)



Slika B.160. U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski element,


1 0

2 800 mm

3 2400 mm

/ 40 20 mm

b h

L b

t t b

2C CP

bF F

h

299

Tablica B.19. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v o omjeru /L b .



L/b SUS MKE SUS MKE

3 2,1093 6,5467

4 1,6240 4,1200

5 1,3994 2,9968

6 1,2773 2,3867

7 1,2038 2,0188

8 1,1560 1,7800

9 1,1233 1,6163

10 1,0998 1,4992

11 1,0825 1,4126

12 1,0693 1,3467

13 1,0591 1,2954

14 1,0509 1,2547

15 1,0444 1,2219

Tablica B.19.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L b .

Faktor utjecaja smicanja na progib točke C CC bmax/v v v


L/b SUS MKE SUS MKE

3 1,9756 1,9976 5,8781 5,9668

4 1,5488 3,7439

5 1,3512 1,3541 2,7561 2,7648

6 1,2439 2,2195

7 1,1792 1,8960

8 1,1372 1,6860

9 1,1084 1,5420

10 1,0878 1,4390

11 1,0726 1,3628

12 1,0610 1,3049

13 1,0520 1,2598

14 1,0448 1,2240

15 1,0390 1,1951

300

Tablica B.20. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .



L/b SUS MKE SUS MKE

3 1,0509 1,0509 1,1527 1,1527

4 1,0286 1,0859

5 1,0183 1,0183 1,0550 1,0549

6 1,0127 1,0382

7 1,0094 1,0281

8 1,0072 1,0215

9 1,0057 1,0170

10 1,0046 1,0137

11 1,0038 1,0114

12 1,0032 1,0095

13 1,0027 1,0081

14 1,0023 1,0070

15 1,0020 1,0061

Slika B.161. U presjek (b=2h): Normirani pomaci b bmax/v v , P bmax/v v i C bmax/v v - zglobno

oslonjen nosač.

301

Slika B.162. U presjek (b=2h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.

Slika B.163. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L b - zglobno oslonjen

nosač.

302


x x -



x x -


303

Slika B.166. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b - zglobno oslonjen

nosač.


x x duž lijeve


304


x x duž




305

Slika B.170. U presjek (b=2h): Normirani pomak točke C C bmax/v v - ukliješteni nosač.

Slika B.171. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora v i Cv o omjeru /L b - ukliješteni nosač.

306


x x -


Slika B.173. U presjek (b=2h): Normirano normalno naprezanje točke B bmax/v

x x -


307

Slika B.174. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b -ukliješteni nosač.


x x duž lijeve


308


x x duž



x x duž lijeve


309


x x duž

horizontalne stjenke na mjestu ukliještenja.

310

B.2.4. L presjek


a) b)

1 03 / 20L b t t h

c) d)

e) f)





opterećenja

1 0

400 mm

3 1200 mm

/ 20 20 mm

b

L b

t t h

311

U ovom slučaju nosač je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije. Kako

je za ovaj poprečni presjek 0xz dodatnog rastezanja/sabijanja zbog smicanja nema.

Ukupni pomak pola je

P b s ,w w w

gdje je bw progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a

sw dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)

A

s , .y y

zz

zz zz

M M Aw A

GA



P max

bmax

.w

w

w

Pomak poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru zbog 0xz je s 0.u


*

0

d ,zs

y ywx z z

y zz y

M SE Ez q z q s

I GA GI t


posljedica savijanja s utjecajem smicanja.

Za ovaj poprečni presjek faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/ww x x je

2A 1 1 ,

12

z y zzw

y zz y

q I A bE

M A G I


2

8

zy


2

24

zy




312

Tablica B.21. L presjek: Ovisnost faktora w o omjeru /L b .



L/b SUS MKE SUS MKE

3 1,2773 1,2812 2,3867 2,3409

4 1,1560 1,7800

5 1,0998 1,4992

6 1,0693 1,3467

7 1,0509 1,2547

8 1,0390 1,1950

9 1,0308 1,1541

10 1,0250 1,1248

11 1,0206 1,1031

12 1,0173 1,0867

13 1,0148 1,0738

14 1,0127 1,0637

15 1,0111 1,0555

Tablica B.22. L presjek: Ovisnost faktora Aw o omjeru /L b .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A b/ww x x


L/b SUS MKE SUS MKE

3 1,0385 1,0384 1,1156 1,1154

4 1,0217 1,0650

5 1,0139 1,0416

6 1,0096 1,0289

7 1,0071 1,0212

8 1,0054 1,0163

9 1,0043 1,0128

10 1,0035 1,0104

11 1,0029 1,0086

12 1,0024 1,0072

13 1,0021 1,0062

14 1,0018 1,0053

15 1,0015 1,0046

313

Slika B.180. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.181. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L b - zglobno

oslonjen nosač.

314



Slika B.183. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Aw o omjeru /L b - zglobno

oslonjen nosač.

315


x x



x x


316

Slika B.186. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni

nosač.

Slika B.187. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora w o omjeru /L b - ukliješteni

nosač.

317





318


x x

duž pojasa na sredini raspona – ukliješteni nosač.


x x


319


a) b)

1 03 / 20L b t t h

c) d)

e) f)





opterećenja.

1 0

400 mm

3 1200 mm

/ 20 20 mm

b

L b

t t h

320


okomitoj na ravninu simetrije. Dodatnog uvijanja zbog smicanja, zbog 0y , nema.

Ukupni pomak pola je

P b s ,v v v

gdje je bv progib dobiven prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT), a

sv dodatni progib zbog smicanja, računan prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS)

As , .z z

yy

yy yy

M M Av A

GA



P max

bmax

.v

v

v


*

0

d ,

ys

v z zx y y

z yy z

M SE Ey q y q s

I GA GI t


savijanja s utjecajem smicanja.



A

b.

vx

v

x

Za zadani L poprečni presjek je

2

A 1 1 ,3

y z yy

v

z yy z

q I A bE

M A G I


2

8

y

z


2

24

y

z




321

Tablica B.23. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b .



L/b SUS MKE SUS MKE

3 2,1093 2,1271 6,5467 6,4111

4 1,6240 4,1200

5 1,3994 2,9968

6 1,2773 2,3867

7 1,2038 2,0188

8 1,1560 1,7800

9 1,1233 1,6163

10 1,0998 1,4992

11 1,0825 1,4126

12 1,0693 1,3467

13 1,0591 1,2954

14 1,0509 1,2547

15 1,0444 1,2219

Tablica B.24. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .

Faktor utjecaja na normalno naprezanje A b/vv x x


L/b SUS MKE SUS MKE

3 1,1541 1,1539 1,4622 1,4509

4 1,0867 1,2600

5 1.0555 1,1664

6 1,0385 1,1156

7 1,0283 1,0849

8 1,0217 1,0650

9 1,0171 1,0514

10 1,0139 1,0416

11 1,0115 1,0344

12 1,0096 1,0289

13 1,0082 1,0246

14 1,0071 1,0212

15 1,0062 1,0185

322

Slika B.193. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.194. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b - zglobno

oslonjen nosač.

323



Slika B.196. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Av o omjeru /L b - zglobno

oslonjen nosač.

324


x x



x x


325

Slika B.199. L presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak P bmax/v v - ukliješteni nosač.

Slika B.200. L presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora v o omjeru /L b - ukliješteni

nosač.

326





327


x x

duž pojasa na sredini raspona -ukliješteni nosač.


x x


328

B.3. Nesimetrični presjeci

B.3.1. L nesimetrični presjek

a) b)

1 00,6 3 / 20h b L b t t h

c) d)

e) f)



Slika B.205. L nesimetrični presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE membranski


1 0

400 mm

240 mm

3 1200 mm

/ 20 20 mm

b

h

L b

t t h

329


dodatno na savijanje zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine djelovanja opterecenja

i dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Pomaci pola u smjeru glavnih osiju su

AAP b ,

y yz zyy yz

M MM Mv v

GA GA

AAP b ,

y yz zzy zz

M MM Mw w

GA GA

gdje su bv i bw progibi dobiveni prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT).

Drugi član u prvom izrazu i treći član u drugom izrazu daju progibe od smicanja zbog

opterećenja u glavnim ravninama u smjeru progiba, treći član u drugom izrazu i drugi član u

trećem izrazu daju dodatni progib zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine

djelovanja opterećenja, računane prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS).


s .y s xy z s xz

Q L Q Lu

GA GA


*

0

*

0

d

d

,

w

v

sy ywu

x z z y

y zz y yz

s

z zy y z

z yy z zy

s xys xzz y


I GA GI t GA


I GA GI t GA

ELELq q

GA GA

gdje prvi i peti član predstavljaju normalno naprezanje prema EBBT ( bx ), drugi, treći, šesti i

sedmi član su posljedica savijanja s utjecajem smicanja, četvrti i osmi su od dodatnog

savijanja zbog smicanja, a zadnja dva člana su od dodatnog rastezanja/sabijanja zbog

smicanja prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS).



330

Slika B.206. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/v v , s b max/v v i P b max/zv v -


Slika B.207. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/v v - zglobno oslonjen nosač.

331

Slika B.208. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/w w , s bmax/w w i P b max/yw w -


Slika B.209. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/w w - zglobno oslonjen nosač.

332

Slika B.210. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x -


Slika B.211. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x -


333

Slika B.212. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x -


Slika B.213. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka

na sredini raspona - zglobno oslonjen nosač.

334

Slika B.214. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž pojasa


Slika B.215. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/v v , s b max/v v i P b max/zv v -


335

Slika B.216. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/v v -ukliješteni nosač.

Slika B.217. L nesimetrični presjek: Normirani pomaci b bmax/w w , s bmax/w w i P b max/yw w -


336

Slika B.218. L nesimetrični presjek: Normirani pomak P bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika B.219. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x -


337

Slika B.220. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x -


Slika B.221. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x -


338

Slika B.222. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka


Slika B.223. L nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž pojasa


339

B.3.2. C nesimetrični presjek

a) b)

1 2

1 0

0,8 0,4

3 / 50

b h b h

L h t t h

c) d)

e) f)



Slika B.224. C nesimetrični presjek: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti element,


1 1 2 2F h F h

1

2

1 0

200 mm

100 mm

250 mm

3 =750 mm

/ 50 5 mm

b

b

h

L h

t t h

340


dodatno na savijanje zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine djelovanja opterecenja,

dodatno na uvijanje zbog smicanja i rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Pomaci pola u smjeru

glavnih osiju su

AAP b ,

y yz zyy yz

M MM Mv v

GA GA

AAP b ,

y yz zzy zz

M MM Mw w

GA GA

gdje su bv i bw progibi dobiveni prema Euler-Bernoullijevoj teoriji savijanja štapa (EBBT).

Drugi član u prvom izrazu i treći član u drugom izrazu daju progibe od smicanja zbog

opterećenja u glavnim ravninama u smjeru progiba, treći član u drugom izrazu i drugi član u

trećem izrazu daju dodatni progib zbog smicanja u ravninama okomitim na ravnine

djelovanja opterećenja, računane prema teoriji savijanja s utjecajem smicanja (SUS).

Kut uvijanja od dodatnog uvijanja zbog smicanja je

AAP

P P

.y yz z

y z

M MM M

W W


s .y s xy z s xz

Q L Q Lu

GA GA


*

0

*

0

P P

d

d

+

,

w

v

sy y

x z z y

y zz y yz

s

z zy y z

z yy z zy

z y

z y

s xys xzz y


I GA GI t GA


I GA GI t GA

E Eq q

GW GW

ELELq q

GA GA

gdje prvi i peti član predstavljaju normalno naprezanje prema EBBT (bx ), drugi, treći, šesti i

sedmi član su posljedica savijanja s utjecajem smicanja, četvrti i osmi su od dodatnog

savijanja zbog smicanja, deveti i deseti član su od dodatnog uvijanja zbog smicanja, a zadnja

341

dva člana su od dodatnog rastezanja/sabijanja zbog smicanja prema teoriji savijanja s

utjecajem smicanja (SUS).



342

Slika B.225. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - zglobno oslonjen

nosač.

Slika B.226. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/w w - zglobno oslonjen

nosač.

343

Slika B.227. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x -


Slika B.228. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x -


344

Slika B.229. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x -


Slika B.230. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke D b,max/x x -


345



Slika B.232. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka


346

Slika B.233. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž donjeg


Slika B.234. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/v v - ukliješteni nosač.

347

Slika B.235. C nesimetrični presjek: Normirani pomak točke B B bmax/w w - ukliješteni nosač.

Slika B.236. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke A b,max/x x -


348

Slika B.237. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke B b,max/x x -


Slika B.238. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke C b,max/x x -


349

Slika B.239. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje točke D b,max/x x -


Slika B.240. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž gornjeg


350

Slika B.241. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž struka


Slika B.242. C nesimetrični presjek: Normirano normalno naprezanje b,max/x x duž donjeg


351

C. PRIMJERI – Uvijanje s utjecajem smicanja

C.1. Presjeci s dvije osi simetrije

C.1.1. I presjek

a) b)

1 03 / 40b h L h t t h

c) d)

e) f)



Slika C.1. I presjek s dvije osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti


1 0

400 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

L h

t t h

352

U ovom slučaju nosač je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja. Kut uvijanja je

P t s ,

gdje je t kut uvijanja dobiven prema Vlasovljevoj teoriji uvijanja štapa otvorenog

tankostjenog presjeka (Vlasov) , a s dodatni kut uvijanja zbog smicanja, računan prema

teoriji uvijanja s utjecajem smicanja (UUS)

sA Ps Ps

P

, .B B I

IGI

Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja definiran je kao omjer maksimalnog kuta uvijanja

na sredini raspona štapa prema teoriji UUS i istog kuta uvijanja prema Vlasovljevoj teoriji

P max

t,max

.

.


t

s 2P

2 cosh 11 ,

cosh 2cosh 2

vI

I v v v


t

sP

2 cosh 11 .

sinh 2cosh 2

vI

v v vI

Normalno naprezanje u smjeru uzdužne osi štapa je prema teoriji UUS

*

0

d ,

s

x sP

SB E Em m s

I GI tGI

gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema Vlasovu ( Vlasovx ), a preostala dva

člana daju utjecaj smicanja.

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A predstavlja omjer normalnog

naprezanja, na sredini raspona nosača u točki A poprečnog presjeka, prema UUS i istog

naprezanja prema Vlasovu

A

Vlasov.x

x

353


s 2A P

sP

1 1 ,12

m I I bE

B G II


t

cosh 1 ,EI

B m vGI

za zglobno oslonjen nosač, a

t

sinh,

EI v vB m

GI v

za ukliješteni nosač.

Faktor A može se pisati i kao

s 2A t P

sP

11 1 ,

cosh 1 12

I I b

v II

za zglobno oslonjen nosač, odnosno kao

s 2A t P

sP

1 1 ,sinh 1 12

I I bv

v II


Rezultati kuta uvijanja i normalnog naprezanja teorije UUS, u dijagramima koji slijede,

uspoređeni su s rezultatima metode konačnih elemenata (MKE).

354

Tablica C.1. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja P,max t,max/


L/h UUS MKE UUS MKE

3 1,2773 1,2952 2,3870 2,3588

4 1,1560 1,7803

5 1,0998 1,1049 1,4995 1,4829

6 1,0693 1,3470

7 1,0509 1,2550

8 1,0390 1,1953

9 1,0308 1,1544

10 1,0249 1,1251

11 1,0206 1,1034

12 1,0173 1,0870

13 1,0147 1,0741

14 1,0127 1,0640

15 1,0111 1,0558

Tablica C.2. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja P,max t,max/


L/h UUS MKE UUS MKE

3 1,0385 1,0412 1,1155 1,0906

4 1,0216 1,0649

5 1,0138 1,0162 1,0415 1,0315

6 1,0096 1,0288

7 1,0070 1,0212

8 1,0054 1,0162

9 1,0042 1,0128

10 1,0034 1,0103

11 1,0028 1,0085

12 1,0024 1,0072

13 1,0020 1,0061

14 1,0017 1,0052

15 1,0015 1,0046

355

Slika C.2. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak VLB B,max/v v - zglobno oslonjen

nosač.

Slika C.3. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

356



Slika C.5. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h - zglobno

oslonjen nosač.

357


duž


Slika C.7. I presjek s dvije osi simetrije: Normirani pomak VL

B B,max/v v - ukliješteni nosač.

358

Slika C.8. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h - ukliješteni

nosač.



359

Slika C.10. I presjek s dvije osi simetrije: Ovisnost faktora A o omjeru /L h - ukliješteni

nosač.


duž


360


duž


361

C.2. Presjeci s jednom osi simetrije

C.2.1. I presjek s jednom osi simetrije

a) b)

1 2

1 0

0,5

3 / 40

b h b h

L h t t h

c) d)

e) f)



Slika C.13. I presjek s jednom osi simetrije: a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti


1

2

1 0

400 mm

200 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

b

L h

t t h

362

U ovom slučaju nosač je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i dodatno na savijanje zbog

smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Kut uvijanja je

P t s ,

gdje je t kut uvijanja dobiven prema Vlasovljevoj teoriji uvijanja štapa otvorenog tankostjenog

presjeka (Vlasov), a s dodatni kut uvijanja zbog smicanja, računan prema teoriji uvijanja s

utjecajem smicanja (UUS)

sA Ps Ps

P

, .B B I

IGI

Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja definiran je kao omjer maksimalnog kuta uvijanja, na

sredini raspona štapa, prema teoriji UUS i istog kuta uvijanja prema Vlasovljevoj teoriji

P max

t,max

.


t

s 2P

2 cosh 11 ,

cosh 2cosh 2

vI

I v v v

a za ukliješteni nosač:

t

sP

2 cosh 11 .

sinh 2cosh 2

vI

v v vI

Pomak pola u ravnini okomitoj na ravninu simetrije (čitav presjek se kao kruto tijelo pomiče za taj

pomak) je

A PP P

P

, ,y

y y

B B Wv W

GW

pa je horizontalni pomak točke B

B BB P P P P t .vv h v h

Faktor utjecaja smicanja na progib točke B v definiran je kao

B t

B 2P P

2 cosh 11 ,

cosh 2cosh 2v

y

vI

W h v v v

za zglobno oslonjen nosač, a kao

B t

BP P

2 cosh 11 ,

sinh 2cosh 2v

y

vI

v v vW h

363



*

sPP 0

d ,

sv

x

y

SB E E Em m s m y

I GI t GWGI

gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema Vlasovu (VLx ), drugi i treći član daju

utjecaj smicanja na uvijanje, a četvrti član je od dodatnog savijanja zbog smicanja.

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A

v predstavlja omjer normalnog naprezanja,

na sredini raspona nosača u točki A poprečnog presjeka, prema UUS i istog naprezanja prema

Vlasovu

A

VL,max

.v

xv

x

Za I poprečni presjek s jednom osi simetrije je

s B 2P P 1 PA

s BP P P

121 1 ,

12

y

v

y

I h b W Im I E

B GI I W h

pri čemu je na sredini raspona nosača

t

cosh 1 ,EI

B m vGI

za zglobno oslonjen nosač, a

t

sinh,

EI v vB m

GI v

za ukliješteni

nosač.

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje A

v može se pisati i kao

s B 2P P 1 PA t

s BP P P

1211 1 ,

cosh 1 12

y

v

y

I h b W II

vI I W h


s B 2P P 1 PA t

s BP P P

121 1 ,

sinh 12

y

v

y

I h b W II v

v vI I W h




364

Tablica C.3.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja Pmax t,max/


L/h UUS MKE UUS MKE

3 1,0926 1,0839 1,4626 1,4205

5 1,0333 1,0284 1,1668 1,1471

10 1,0083 1,0074 1,0420 1,0319

Tablica C.3.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na progib točke B B BB P t/ ( )v v h


L/h UUS MKE UUS MKE

3 1,2777 1,2998 2,3878 2,3612

5 1,0999 1,1096 1,5003 1,4850

10 1,0249 1,0325 1,1259 1,1207

Tablica C.4.a. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora A

v o omjeru

/L h .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke A A Vlasov/vv x x


L/h UUS MKE UUS MKE

3 1,0384 1,0429 1,1153 1,0915

5 1,0137 1,0187 1,0413 1.0327

10 1,0033 1,0103 1,0101 1,0099

Tablica C.4.b. I presjek s jednom osi simetrije: Ovisnost faktora Dv o omjeru

/L h .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke D D Vlasov/vv x x


L/h UUS MKE UUS MKE

3 1,0096 1,0115 1,0288 1,0200

5 1,0034 1,0076 1,0103 1,0079

10 1,0008 1,0076 1,0025 1,0043

365


B B,max/v v i

VLB B,max/zMv v - zglobno oslonjen nosač.

Slika C.15. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak VLB B,max/v v - zglobno oslonjen

nosač.

366





367


x x duž



x x duž


368


B B,max/v v i

VLB B,max/zMv v - ukliješteni nosač.

Slika C.21. I presjek s jednom osi simetrije: Normirani pomak VLmaxB B/v v - ukliješteni nosač.

369





370


x x duž



x x duž

donjeg pojasa na sredini raspona - ukliješteni nosač.

371

C.2.2. U presjek

C.2.2.1. U presjek za b h

a) b)

1 03 / 40

b h

L h t t h

c) d)

e) f)



Slika C.26. U presjek (b=h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti element, d) MKE


1 0

400 mm

3 1200 mm

/ 40 10 mm

b h

L h

t t h

C 2CP

bF F

h

372

U ovom slučaju nosač je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i dodatno na savijanje

zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Kut uvijanja je

P t s ,

gdje je t kut uvijanja dobiven prema Vlasovljevoj teoriji uvijanja štapa otvorenog

tankostjenog presjeka (Vlasov), a s dodatni kut uvijanja zbog smicanja, računan prema

teoriji uvijanja s utjecajem smicanja (UUS)

sA Ps Ps

P

, .B B I

IGI

Faktor utjecaja smicanja na kut uvijanja definiran je kao omjer maksimalnog kuta

uvijanja, na sredini raspona štapa, prema teoriji UUS i istog kuta uvijanja prema Vlasovljevoj

teoriji:

P max

t,max

.


t

s 2P

2 cosh 11 ,

cosh 2cosh 2

vI

I v v v


t

sP

2 cosh 11 .

sinh 2cosh 2

vI

v v vI

Pomak pola u ravnini okomitoj na ravninu simetrije je

A PP P

P

, ,y

yy

B B Wv W

GW

pa je horizontalni pomak točke C

C C CC P P P P t .vv h v h

Faktor Cv definiran je kao

C t

B 2P P

2 cosh 11 ,

cosh 2cosh 2v

y

vI

W h v v v

373

za zglobno oslonjen nosač, a kao

C t

BP P

2 cosh 11 ,

sinh 2cosh 2v

y

vI

v v vW h


Omjer s P/v v se dobije prema

C C CA As P s P Ps

P

,P

B B B Bv h h h

GIGI

A AP

P P

,y

y

B B B Bv

GW GW

C AP C

s P PP

AP P

P

.y

y

B Bh

v h WGI

B Bv I

GW

Budući da je CP P P ,I h W slijedi

s

P

.y

v

v

Prema Tablici A.38. je

22 2 2

2 22

3 18 1 6 2 8 21 18 3,

10 1 6 2 3

22 2

22

18 1 6 10 5 6 2,

20 2 3 1 6y

pa je

22 2 2

2 22

s

22 2P

22

3 18 1 6 2 8 21 18 3

10 1 6 2 3,

18 1 6 10 5 6 2

20 2 3 1 6

y

v

v

374

2 2

s

2P

6 2 8 21 18 3.

2 3 10 5 6 2y

v

v

Ako je 1 0t t dobije se

b h 1 1 s

P

1,0777v

v

1,5b h 2 3

3 2

s

P

1,1316v

v

2b h 1

22

s

P

1,2381v

v


*

sPP 0

d ,

sv

x

y

SB E E Em m s m y

I GI t GWGI

gdje prvi član predstavlja normalno naprezanje prema Vlasovu ( Vlasovx ), drugi i treći član

daju utjecaj smicanja na uvijanje, a četvrti član je od dodatnog savijanja zbog smicanja.


naprezanja, na sredini raspona nosača u točki A poprečnog presjeka, prema UUS i istog

naprezanja prema Vlasovu

A

Vlasov.

vx

v

x

Za U poprečni presjek je

s 2 CP P PA

s CP P P

(2 3 ) 61 1 ,

6

y

v

y

I h h h W Im I E

GBI h h W I

pri čemu je, za zglobno oslonjen nosač, na sredini raspona nosača

t

cosh 1 ,EI

B m vGI


375

t

sinh.

EI v vB m

GI v

Faktor vA može se pisati i kao

s 2 CP P PA t

s CP P P

(2 3 ) 611 1 ,

cosh 1 6

y

v

y

I h h h W II

vI h h W I


s 2 CP P PA t

s CP P P

(2 3 ) 61 1 ,

sinh 6

y

v

y

I h h h W II v

v vI h h W I




376

Tablica C.5.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora o omjeru /L h .



L/h UUS MKE UUS MKE

3 1,3843 1,3690 2,9218 2,8229

5 1,1383 1,1309 1,6920 1,6523

10 1,0346 1,0316 1,1732 1,1589

Tablica C.5.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na progib točke C C CC P t/v v h


L/h UUS MKE UUS MKE

3 1,0277 1,0334 1,1387 1,1083

5 1,0100 1,0087 1,0499 1,0340

10 1,0025 1,0010 1,0125 1,0043

Tablica C.6.a. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L h .



L/h UUS MKE UUS MKE

3 1,0616 1,0658 1,1848 1,1495

5 1,0221 1,0246 1,0665 1,0508

10 1,0055 1,0069 1,0166 1,0113

Tablica C.6.b. U presjek (b=h): Ovisnost faktora Bv o omjeru /L h .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke B B Vlasov/vv x x


L/h UUS MKE UUS MKE

3 1,0231 1,0172 1,0693 1,0458

5 1,0083 1,0054 1,0249 1,0148

10 1,0021 1,0021 1,0062 1,0025

377

Slika C.27. U presjek (b=h): Normirani pomaci VL VLC C,max/v v , s VL



Slika C.28. U presjek (b=h): Normirani pomak VL

C C,max/v v - zglobno oslonjen nosač.

378


x x - zglobno

oslonjen nosač.


x x - zglobno

oslonjen nosač.

379


x x duž vertikalne





380

Slika C.33. U presjek (b=h): Normirani pomaci VL VLC C,max/v v , s VL



Slika C.34. U presjek (b=h): Normirani pomak VL

C C,max/v v - ukliješteni nosač.

381


x x -



x x -


382


x x duž vertikalne

stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.




383

C.2.2.2. U presjek za 2b h

a) b)

1 0

2

3 / 40

b h

L b t t h

c) d)

e) f)

gustoća mreže: 19200 eleme.


Slika C.39. U presjek (b=2h): a) geometrija, b) opterećenje, c) MKE ljuskasti element, d)

MKE rubni uvjeti, e) MKE gustoća mreže, f) MKE položaj opterećenja.

1 0

2 800 mm

3 2400 mm

/ 40 10 mm

b h

L b

t t h

2CP

C

bF F

h

384

Tablica C.7.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora o omjeru /L b .



L/b UUS MKE UUS MKE

3 1,1287 1,1233 1,6439 1,5956

5 1,0463 1,0439 1,2318 1,2063

10 1,0116 1,0108 1,0580 1,0515

Tablica C.7.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Cv o omjeru /L b .

Faktor utjecaja smicanja na progib točke C C CC P t/v v h


L/b UUS MKE UUS MKE

3 1,0248 1,0272 1,1238 1,0914

5 1,0089 1,0097 1,0446 1,0338

10 1,0023 1,0022 1,0112 1,0068

Tablica C.8.a. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Av o omjeru /L b .



L/b UUS MKE UUS MKE

3 1,0245 1,0259 1,0734 1,0573

5 1,0088 1,0102 1,0264 1,0199

10 1,0022 1,0039 1,0066 1,0051

Tablica C.8.b. U presjek (b=2h): Ovisnost faktora Bv o omjeru /L b .

Faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje točke B B Vlasov/v

v x x


L/b UUS MKE UUS MKE

3 1,0206 1,0152 1,0619 1,0462

5 1,0074 1,0064 1,0223 1,0162

10 1,0018 1,0030 1,0055 1,0043

385




Slika C.41. U presjek (b=2h): Normirani pomak VL

C C,max/v v - zglobno oslonjen nosač.

386


x x -



x x -


387


x x duž vertikalne





388




Slika C.47. U presjek (b=2h): Normirani pomak VLC C,max/v v - ukliješteni nosač.

389


x x -



x x -


390


x x duž vertikalne

stjenke na sredini raspona -ukliješteni nosač.




savijanje i uvijanje štapova otvorenog tankostjenog presjeka s

Documents