pregled teorija savijanja i uvijanja Štapova punih i...

81
FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT POSLIJEDIPLOMSKI DOKTORSKI STUDIJ STROJARSTVA KVALIFIKACIJSKI DOKTORSKI ISPIT PREGLED TEORIJA SAVIJANJA I UVIJANJA ŠTAPOVA PUNIH I TANKOSTJENIH PRESJEKA Marko Vukasović Split, studeni 2012.

Upload: others

Post on 08-Sep-2019

16 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT

POSLIJEDIPLOMSKI DOKTORSKI STUDIJ STROJARSTVA

KVALIFIKACIJSKI DOKTORSKI ISPIT

PREGLED TEORIJA SAVIJANJA I UVIJANJA ŠTAPOVA PUNIH I TANKOSTJENIH PRESJEKA

Marko Vukasović

Split, studeni 2012.

1

Sadržaj Uvod......................................................................................................................4 1. Klasične teorije savijanja štapova...................................................................11

1.1 Euler-Bernoullijeva teorija (EBT).......................................................11 1.2 Timošenkova teorija (TBT).................................................................15 1.3 Odnos između Euler-Bernoulli teorije i Timošenko teorije................18

2. Teorije višeg reda............................................................................................19

2.1. Reddy-Bickford (RBT) teorija trećeg reda.........................................19 2.2 Odnos između Euler-Bernoulli teorije i Reddy-Bickford teorije........22

3. Savijanje štapova otvorenog tankostjenog presjeka s utjecajem smicanja......27

3.1. Pretpostavke o deformiranju i naprezanju..........................................27

3.2 Pomaci i deformacije...........................................................................27

3.3. Naprezanja..........................................................................................30

3.4. Jednadžbe ravnoteže...........................................................................32

3.5. Veza naprezanja i unutarnjih sila.......................................................33

3.5.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila.....33

3.5.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila...........34 3.6. Pomaci pola........................................................................................40 3.7. Posebni slučajevi................................................................................42

2

3.7.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije................................42

3.7.1.1. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije ( )0;0 =≠ yz qq .......42

3.7.1.2. Slučaj opterećenja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije.42

3.7.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije......................................43

3.7.2.1. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije x-z ( )0;0 =≠ yz qq ...43

3.7.2.2. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije x-y ( )0;0 =≠ zy qq ...44

4. Saint-Venantovo uvijanje................................................................................45 4.1. Formulacija silama.............................................................................50 4.2 Tankostijeni štapovi............................................................................52

4.2.1. Otvoreni presjeci...................................................................52

4.2.2. Zatvoreni presjeci..................................................................54 5. Uvijanje tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka s utjecajem smicanja...............................................................................................................58

5.1. Jednadžbe ravnoteže...........................................................................59 5.2. Veza naprezanja i unutarnjih sila.......................................................61

5.2.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila.....61

5.2.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila............62 5.3. Pomaci pola........................................................................................66 5.4. Posebni slučajevi................................................................................67

3

5.4.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije................................67 5.4.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije....................................67 6. Teorija ograničenog vitoperenja s utjecajem smicanja...................................68 6.1. Trodimenzionalno rješenje Saint-Venantovog problema...................68

6.1.1. Svojstva SV-funkcija vitoperenja te SV posmičnih naprezanja........................................................................................70

6.2. Teorija ograničenog vitoperenja s utjecajem smicanja......................70

6.3. Analiza rezultata dobivenih primjenom teorije ograničenog vitoperenja s utjecajem smicanja...............................................................74

Zaključak.............................................................................................................76 Literatura.............................................................................................................77

4

Uvod Razvoj klasičnih teorija savijanja započinje 1638. godine dijelom ''I due nuovi scienze fisiche'', autora Galileo Galileia (1564-1642), koji je prvi analitički pristupio razmatranju savijanja štapova. Iako neispravno, Galilejevo rješenje je imalo veliki utjecaj na daljnji razvoj teorije savijanja [1]. Zasluge za razvoj zaslužuju i nekolicina ostalih znanstvenika tog vremena od kojih treba spomenuti Mariotta (1690), Eulera (1744), Bernoullija (1751) te Barre de Saint Venanta (1856). Bazirane na kinematskim i statičkim pretpostavkama, ove teorije su nam omogućile da opći trodimenzionalni problem razmatramo kao jednodimenzionalni, kod kojeg nepoznanice ovise samo o položaju osi štapa [2]. Zajedno ove teorije su poznate kao inženjerske teorije štapova, odnosno jednim imenom kao Euler-Bernoullijeva teorija (EBT). Euler-Bernoullijeva teorija savijanja polazi od pretpostavke da poprečni presjeci nakon deformiranja ostaju ravni i okomiti na elastičnu liniju [1], [3]. Mnoga poboljšanja početne EBT teorije su predložena, između kojih je najveći utjecaj svojim radom ostavio Timošenko (1921,1922). Za kratke štapove, kod kojih je omjer duljine štapa i visine poprečnog presjeka relativno mali, znatan je utjecaj smicanja. Timošenko nadopunjuje teoriju savijanja uzimajući u obzir kutne deformacije. Uvodi faktor smicanja i definira ga kao omjer maksimalnog tangencijalnog naprezanja i srednjeg tangencijalnog naprezanja u poprečnom presjeku. On pretpostavlja jednoliku razdiobu kutne deformacije po visini poprečnog presjeka pa ravni presjeci ostaju ravni nakon deformiranja, ali nisu više okomiti na elastičnu liniju [2], [4]. Međutim, niti Timošenkova teorija (TBT), kao ni Euler-Bernoullijeva teorija (EBT) ne uzimaju u obzir fenomene poput izvitoperenja, deformacije unutar i izvan ravnine presjeka, vezu uvijanje-savijanje ili lokalne rubne uvjete [2]. Ovi fenomeni su uglavnom vezani uz mali omjer duljine štapa i visine poprečnog presjeka, zatim uz tankostijene profile te anizotropne materijale. Različiti pristupi u novije vrijeme utjecali su na razvoj teorija štapova: uvođenje korekcijskog faktora smicanja, korištenje funkcija izvitoperenja baziranih na Saint-Venantovom rješenju, varijacijsko asimptotsko rješenje (VASB), poopćene teorije štapova (GBTs) te teorije višeg reda. Upotreba korekcijskog faktora smicanja značajno je utjecala na poboljšanje rezultata dobivenih klasičnim teorijama, kao što je prikazano u radu Timošenka i Goodiera (1970), [5]. Između mnogih objavljenih znanstvenih članaka, od posebnog interesa su radovi sljedećih autora: Cowper (1966); Krishna Murty (1985); Pai i Schulz (1999); Gruttman i Wagner (2001); Pavazza (2003); Roberts (2001); Kim (2005); Mechab (2008), [6], [7], [8], [9] [10], [11], [12], [13]. Da bi poboljšao Timošenkovu teoriju, Cowper [6] predlaže upotrebu rješenja teorije elastičnosti koje je bazirano na geometrijskoj pretpostavci da se srednji poprečni pomaci određenog presjeka štapa mogu definirati kao progib uzdužne osi. Za jednostavne, simetrične presjeke (I-presjek, T-presjek, U-presjek), Cowper daje gotove izraze za izračun faktora smicanja K. U njima faktor smicanja ovisi o geometriji poprečnog presjeka, ali i o Poissonovu koeficijentu. Također, Gruttmann i Wagner [9] su računali faktore smicanja za Timošenkovu teoriju štapova, i to za različite oblike poprečnog presjeka. Pri tome su faktore

5

smicanja odredili iz omjera energije deformacije srednjih posmičnih naprezanja i energije deformacije dobivene iz jednadžbi ravnoteže. Pavazza [10] u svom radu do vrijednosti faktora smicanja dolazi isključivo geometrijskim pristupom, pri čemu je faktor smicanja ovisan samo o obliku poprečnog presjeka. Roberts [11] daje približan izraz za faktor smicanja I-presjeka, dok Kim [12] navodi vrijednosti faktora smicanja za U-presjek kao i za nesimetrični C-presjek. Mnoge teorije višeg reda, koje uključuju nekonvencionalne efekte te koje su razvijene na temelju poboljšanog polja pomaka, pojavile su se zadnjih desetak godina. Sve ove teorije su bazirane na pojednostavljenim kinematskim i statičkim pretpostavkama koje ne mogu uvijek biti ispravne. Mnogi istraživači su razvili napredne teorije višeg reda da bi što bolje opisali fenomen izvitoperenja kod složenog opterećenja štapova. Većina ovih radova se bavi analizom izvitoperenja kod uvijanja (Benscoter (1954); Vlasov (1961); Batoz i Dhatt (1990); Mentrasti (1991); Prokić (1993); Gruttmann (1999); Maddur i Chaturvedi (2000); Sapountzakis i Mokos (2003, 2004); Roberts i Al-Ubaidi (2001); Eisenberg (2003); Saade (2004); Pavazza (2005); Kim i Kim (2005), [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21], [22], [11], [23], [24], [25], [12]) te analizom izvitoperenja pri savijanju (Touratier (1991); Reddy (1997); Soldatos i Watson (1997); Kim i White (1997); Martinez (1999); Rand (1999); Wang (2000); Reddy (2001); Dufort (2001), [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34]). Veliki dio prethodno spomenutih radova se odnosi na tankostijene, kompozitne štapove. Za slučaj čistog (neometanog) uvijanja (De Saint-Venant), pretpostavlja se da je relativni kut uvijanja konstantan duž osi štapa [35], [36]. Uzdužni pomak točke srednje linije poprečnog presjeka štapa, za slučaj čistog uvijanja, dan je sljedećim izrazom: ( ) ( )xzyu xx,, θω−= , (1.1) gdje je xx,θ konstantni relativni kut uvijanja, a ( )zy,ω funkcija izvitoperenja kod uvijanja poprečnog presjeka. Tangencijalno naprezanje sτ je jedina komponenta naprezanja koja se može izvesti za ovaj slučaj. Stoga, primjena ove teorije je ograničena na štapove kod kojih je distribucija momenta uvijanja konstantna, odnosno kod kojih je vitoperenje poprečnih presjeka slobodno. Saint-Venantovo rješenje je bilo teoretska osnova za mnoge napredne teorije. Redukcija trodimenzionalnih jednadžbi elastičnosti, za štapne elemente, prikazana je u radu Ladevezea i Simmondsa [37]. Ovdje je rješenje jednadžbi teorije elastičnosti definirano kao suma dva dijela. Temeljni dio ove teorije predstavlja Saint-Venantovo rješenje, dok se drugi dio odnosi na rezidualni ostatak. Slična podjela može se naći i u radovima Toupina[38], Ladevezea [39] te Horgana [40]. Saint-Venantovo rješenje sadrži u sebi klasične komponente unutarnjih sila, pomake i rotacije poprečnog presjeka, te karakteristične operatore koji ovise o geometriji poprečnog presjeka i materijalu. Prethodno spomenute komponente unutarnjih sila, pomaci i rotacije, dobiju se kao rješenje jednodimenzionalnog problema teorije elastičnih štapova. Temeljni dio ovog rješenja predstavlja operator (compliance operator), koji opisuje ponašanje štapova na strukturnom nivou. Ova egzaktna teorija, koja je prvi put je predstavljena u radu Ladevezea i Simmondsa, odnosi se na ravne, prizmatične štapove, djelomično konstantnog poprečnog presjeka, heterogenog i anizotropnog materijala. Pri tome se pretpostavlja da na štapove djeluje proizvoljno opterećenje. Budući da je neovisna o kinematskim i statičkim pretpostavkama, ova teorija je poprilično različita u odnosu na klasičnu Euler-Bernoullijevu i Timošenkovu teoriju, kao i na teorije proizašle iz klasičnih teorija.

6

Na temelju egzaktne teorije štapova El Fatmi [41], [42], razvija numeričku metodu koja omogućuje proračun karakterističnih operatora koji definiraju strukturno ponašanje štapova. Pokazano je da se ovi operatori mogu dobiti iz šest jednadžbi teorije elastičnosti. Rješenja su određena metodom minimuma potencijalne energije funkcionala, što omogućuje proračun konačnim elementima. U ovom slučaju dovoljno je da površina poprečnog presjeka bude diskretizirana. Egzaktna teorija daje rješenja koja ne ovise o rubnim uvjetima, stoga je analiza kod ove teorije ograničena na relativno duge štapove. Općenito gledano, analiza izvitoperenja kod teorija višeg reda se temelji na implementaciji polja pomaka oblika: ( ) ( ) ( )xxwxx XXθvX ,, +∧+=ξ , ( ) ( ) ( )XX ψη xxw =, , (1.2) gdje je x jedinični vektor uzdužne osi štapa, X vektor poprečnog presjeka, ( )θv, pomaci presjeka, η parametar izvitoperenja te ψ funkcija izvitoperenja, koja se odnosi na uvijanje, odnosno na poprečne, posmične sile. U svakom slučaju, ψ bi trebala predstavljati odgovarajuću Saint-Venantovu funkciju izvitoperenja, koja se smatra referentnom za opisivanje prirodnog izvitoperenja poprečnog presjeka. Nadalje, kod ovih teorija višeg reda parametar η može biti neovisan ili povezan s jediničnom deformacijom (za uvijanje η se može uzeti jednakim relativnom kutu uvijanja [15], a za savijanje s utjecajem smicanja, η je jednak jediničnoj kutnoj deformaciji poprečnog presjeka [34]). Vlasov [15] je poopćio Saint-Venantov izraz (1.1), za analizu ograničenog uvijanja tankostijenih otvorenih profila. Njegova teorija se bazira na pretpostavci da se kutna deformacija u srednjoj plohi može zanemariti [43], [44]. Ova pretpostavka je omogućila Vlasovu da uzdužni pomak u postavi proporcionalnim relativnom kutu uvijanja xx,θ . Izvitoperenje je stoga jednako: ( ) ( )xzyu xx,, θω−= , gdje xx,θ nije više konstantan. Funkcija izvitoperenja ω je sektorska koordinata, koja je dobivena zanemarivanjem poprečnih kutnih deformacija. Kada je tankostijeni štap pod djelovanjem ograničenog (ometanog) uvijanja, normalna naprezanja xσ proizlaze iz rastezanja uzdužnih vlakana. Ova normalna naprezanja u poprečnom presjeku, koja uzrokuju pojavu tangencijalnih naprezanja, mogu se odrediti iz izraza za deformaciju. Uvjeti ravnoteže za element tankostijenog štapa, omogućio je Vlasovu da postavi izraz za posmična naprezanja ωτ . Međutim, treba naglasiti da se posmična naprezanja ne mogu odrediti izravno iz kutnih deformacija, koristeći Hookeov zakon, budući da bi u tom slučaju tangencijalna naprezanja bila jednaka nuli: 0=ωγ . Kad je kontura poprečnog presjeka zatvorena, te se sastoji od jedne ili više čelija, posmična naprezanja teku duž ruba presjeka, ne mijenjajući predznak po debljini stijenke. Za razliku od teorije po Vlasovu [15], kutne deformacije kod uvijanja nisu zanemarive te se moraju uzeti u obzir. Benscoter [14] je predložio teoriju, za zatvorenu konturu sastavljenu od više čelija, po kojoj je pomak izvan ravnine presjeka proporcionalan funkciji izvitoperenja ( )zy,ψ i parametru deformacije ( )xχ . Ovaj parametar predstavlja funkciju kuta zakreta xθ . Polje pomaka kod ove teorije je definirano slijedećim izrazom: ( ) ( )xzyu x,, χψ= (1.3)

7

Ova teorija uzima u obzir ograničeno izvitoperenje, te dopušta proračun normalnih i tangencijalnih naprezanja i deformacija. Gjelsvik [45] je kod analize ograničenog uvijanja kvadratnih cijevi postavio pretpostavke za tankostijene poprečne presjeke. On smatra da je aksijalni pomak u linearan duž konture cijevi. Ovo je općenitija teorija, u odnosu na prethodno spomenutu, budući da uključuje utjecaj smicanja kod savijanja. Gjelsvik [45] i Prokić [46], [47] su uveli izvitoperenje po debljini stijenke ut, te su pretpostavili da ovo dodatno izvitoperenje linearno varira po debljini, odnosno da iščezava na srednjoj liniji. Prokić je zadržao pretpostavku o linearnoj promjeni po konturi presjeka uc, te je opisao izvitoperenje kao linearnu funkciju parametara pomaka (ui) u odabranim točkama presjeka. Ove točke je nazvao poprečnim čvorovima. Funkcije iΩ opisuju izvitoperenje po konturi između susjednih poprečnih čvorova: ∑Ω= i

uicu (1.4) Izvitoperenje po debljini ut je proporcionalno derivaciji kuta zakreta xx,θ , odnosno sektorskoj koordinati u odnosu na težište presjeka: xxtu ,ωθ−= (1.5) Ovu funkciju izvitoperenja ( )tc uuu += Prokić je primjenio na proizvoljnim oblicima tankostijenih poprečnih presjeka, te pri tome nije pravio razlike između otvorenih i zatvorenih profila. Međutim, u svom radu Prokić nije uzeo u obzir centar smicanja. Njegova kinematska formulacija pretpostavlja da poprečni presjeci rotiraju oko težišta presjeka, te je ograničena samo na uvijanje bez pojave sekundarnog savijanja. Ova pretpostavka nije ispravna za štapove nesimetričnog presjeka. Analizu ponašanja tankostijenih elastičnih štapova, opterećenih na uvijanje, prikazao je u svom radu Saade [24]. Na temelju Prokićevog rada [46], [47], razvija teoriju sa jednom funkcijom izvitoperenja koja vrijedi za proizvoljne oblike poprečnog presjeka. Saade [24] je modificirao Prokićevu funkciju izvitoperenja te u svom radu analizira složene fenomene kod nesimetričnih tankostijenih presjeka. Sektorska koordinata se odnosi na centar smicanja te je ukupno izvitoperenje ∑Ω+−= i

uixxu ,ωθ ograničeno da odvoji izvitoperenje kod uvijanja od rastezanja, savijanja i smicanja. Za štap opterećen na rastezanje, koso savijanje, uvijanje, izraz (1.6) opisuje pomak točke poprečnog presjeka, za svako od prethodno spomenutih opterećenja:

( )

( )( )

−−−

Ω+−

+

−+

+

=

∑=

xc

xc

n

i

iuxx

zy

p

p

p

yyzz

zy

vy

w

zu

wvu i

θθ

ωθθθ1

,0

,

00

00 (1.6)

Na desnoj strani izraza (1.6) prvi član 0,0,ou se odnosi na rezultat opterećenja vlak-tlak, drugi član wz y ,0,θ na savijanje u (xz) ravnini, a treći član 0,,vy zθ−

na savijanje u (xy)

8

ravnini. Četvrti član gornjeg izraza opisuje izvitoperenje ∑=Ω+−=

n

i

iuxxwarping i

u1

,ωθ te

poprečne pomake ( ) ( ) xcxc yyzz θθ −−− , koji se odnose na uvijanje. Kinematski izraz za

warpingu je općenit u teoriji tankostijenih štapova, te nije ograničen na izvitoperenje kod uvijanja, tj. može opisivati svaki opći pomak poprečnog presjeka. Da bi se izvitoperenje ograničilo na efekte uvijanja, potrebno je reducirati srednji pomak cijelog poprečnog presjeka na izraz (u0) te prosječne pomake zbog savijanja na izraze zy yiz θθ − . Dodatni parametri ( )iu stoga moraju opisivati samo izvitoperenje kod uvijanja i ne smiju izazvati globalno produljenje ili savijanje poprečnog presjeka. Tri dodatne jednadžbe koje moraju zadovoljiti ovi parametri su: ∫ ∫∫ ===

A AAzudAyudAdAu .0,0,0 (1.7)

Ovi izrazi su slični odabiru glavne funkcije izvitoperenja kod teorija po Vlasovu[15], odnosno Benscoteru [14]. Pokazalo se da je glavni sektorski pol jednak centru smicanja i da glavna ishodišna točka zadovoljava slijedeće jednadžbe: ∫ ∫∫ ===

A AAdAzdAydA ,0,0,0 ωωω (1.8)

za otvorene profile, odnosno: ∫ ∫∫ ===

A AAdAzdAydA ,0,0,0 ψψψ (1.9)

za zatvorene profile. Sapountzakis i Mokos [21], [22] su razvili metodu rubnih elemenata za slučajeve ograničenog uvijanja kompozitnih štapova proizvoljnog konstantnog poprečnog presjeka. Razvijena metoda predstavlja poboljšanje, u odnosu na prethodne radove ovih autora, budući da daje procjenu sekundarne funkcije izvitoperenja, iz koje se zatim mogu odrediti sekundarna posmična naprezanja. El Fatmi [48], [49] [50], [51], u svom radu postavlja teoriju za neuniformno izvitoperenje štapova kod uvijanja i savijanja. Analiza je ograničena na ravne, homogene i nehomogene, izotropne i kompozitne štapove, različitih oblika poprečnog presjeka. Kompletni razvoj predložene teorije počiva na Saint-Venantovom rješenju. Bazirana na kinematskoj pretpostavci da presjeci ne mijenjaju svoj oblik pri deformaciji, ova teorija uključuje tri neovisna parametra izvitoperenja koja su povezana sa trima funkcijama izvitoperenja[48], [49]. Ove funkcije se odnose na uvijanje, odnosno na dvije poprečne sile. Iz izraza za pomak te s obzirom na princip virtualnog rada, El Fatmi izvodi izraze za normalna i posmična naprezanja. Također, prikazan je utjecaj primarnih i sekundarnih unutarnjih sila, kao i nesimetričnost poprečnog presjeka, na strukturno ponašanje štapova. U [50] i [51], El Fatmi teoriju baziranu na Saint-Venantovom rješenju primjenjuje na kompozitnim štapovima, te shodno tome definira funkcije izvitoperenja (out of plane warping functions) te funkcije distorzije (in-plane warping functions). Kao što je ranije spomenuto, mnogi su znanstvenici analizirali izvitoperenje kod štapova opterećenih na savijanje. Tako su Soldatos i Watson [28] razvili opću teoriju štapova, koja uzima u obzir poprečnu kutnu i normalnu deformaciju. S obzirom na razvijenu teoriju,

9

predlažu pogodnu metodu za analizu naprezanja homogenih ili laminiranih kompozitnih štapova, sastavljenih od N ortotropnih slojeva. Također, uvode funkcije oblika, od kojih se svaka funkcija odnosi na pojedinu komponentu pomaka. Za pojednostavljenu definiciju ovih funkcija, opća teorija se može reducirati na klasičnu Timošenkovu teoriju. Kim i White [29], za razliku od Soldatosa i Watsona ne uzimaju obzir distorziju poprečnog presjeka, tj. zanemaruju deformacije unutar ravnine presjeka. Njihova analiza se ograničila na kompozitne tankostijene i debelostijene štapove, zatvorenog poprečnog presjeka. Pri tome uzimaju u obzir primarno i sekundarno izvitoperenje. Rand [31] je razvio višerazinsku analizu čvrstih laminiranih kompozitnih štapova. Metodologija višerazinske analize se bazira na hijerarhiji rješenja pojedinih nivoa, koji omogućuju predviđanje širokog spektra fizičkih fenomena, kao što su savijanje štapova, rastezanje, uvijanje, te lokalnih fenomena poput distorzije poprečnog presjeka, međulaminarna naprezanja kao i efekt delaminacije. Eisenberger [23] u svom radu računa koeficijente krutosti, za izotropne štapne elemente, na temelju rješenja diferencijalne jednadžbe ravnoteže dobivene iz teorije višeg reda [27]. Koeficijenti krutosti predstavljaju reakcije dobivene s obzirom na pretpostavljene jedinične pomake na krajevima štapa. Dufort [34] u svom radu predlaže rješenje za slučaj savijanja zglobno oslonjenog štapa, koji je opterećen poprečnom silom na sredini raspona (three-point bending). Izvitoperenje je razmatrano samo za poprečne presjeke koji su udaljeni od sredine raspona štapa. Jednadžbe ravnoteže su dobivene varijacijskim pristupom, pri ćemu su korištene tri varijable: progib, zakret poprečnog presjeka te funkcija izvitoperenja. U [52] je razmatran utjecaj smicanja pri savijanju i uvijanju štapova otvorenog tankostijenog presjeka. Izvedeni su približni analitički izrazi za pomake i normalna naprezanja u uzdužnom smjeru čime su dopunjene Euler-Bernoullijeva teorija te Timošenkova teorija savijanja kao i Vlasovljeva teorija uvijanja tankostijenih štapova otvorenog poprečnog presjeka. Pretpostavlja se da poprečni presjeci zadržavaju svoj oblik, dok se kutne deformacije u srednjoj plohi uzimaju u obzir pa teorija postaje primjenjiva i za relativno kratke štapove kod kojih utjecaj smicanja nije zanemariv. Uvod u varijacijsko-asimptotsku metodu (VAM), na primjeru anizotropnih štapova, dao je u svom radu Berdichevsky [53]. Bez kinematskih pretpostavki, Berdichevsky postavlja teoriju

za štapove koristeći mali parametar 1<<la , gdje je a karkteristična dimenzija poprečnog

presjeka, a l je valna duljina deformacije duž referentne linije štapa. Za opći poprečni presjek (ne vrijedi za tankostijeni) 3-D linearni problem elastičnosti se reducira na 2-D sustav jednadžbi na poprečnom presjeku. Primjena varijacijsko-asimptotske metode za tankostijene

poprečne presjeke, kod kojih postoji i drugi mali parametar 1<<ah (h-debljina stijenke),

dopušta upotrebu teorije o ljuskama, umjesto opće 3-D teorije elastičnosti. Poopćena teorija Vlasova za kompozitne štapove s proizvoljnim geometrijskim i materijalnim karakteristikama presjeka, razvijena je na temelju varijacijsko-asimptotske analize presjeka štapa [53]. Varijacijsko-asimptotska metoda (VAM) je korištena da bi se geometrijski-nelinearni, 3-D problem elastičnosti reducirao na linearnu, 2-D analizu poprečnog presjeka, te

10

nelinearnu, 1-D analizu štapa. Razvijena teorija je implementirana u VABS, odnosno u kod konačnog elementa koji se bazira na analizi poprečnog presjeka.

11

1. Klasične teorije savijanja štapova Postoji velik broj teorija koje su korištene da bi se opisala kinematika deformacije štapova kod savijanja. Najzastupljenije u literaturi su tzv. klasične teorije (Euler-Bernoulli, Kirchfoff). Međutim ove teorije ne daju precizne rezultate kad je omjer visine presjeka i duljine štapa relativno velik. Razlog tome je utjecaj poprečnih kutnih deformacija, koje su zanemarene kod klasičnih teorija. U takvim slučajevima, teorije koje uzimaju u obzir kutne deformacije daju preciznija rješenja, za razliku od onih koje dobijemo iz klasičnih teorija. Temeljni izrazi za savijanje mogu biti izvedeni s pomoću vektorske mehanike, odnosno s pomoću energijskih i varijacijskih metoda. U vektorskoj mehanici, sile i momenti koji djeluju na element grede, sumirani su da bi se dobile jednadžbe ravnoteže, tj, jednadžbe gibanja. Kod energijskih metoda, princip virtualnih radova ili princip minimuma potencijalne energije je korišten pri dobivanju jednadžbi ravnoteže. Iako obje metode mogu dati jednake izraze, energijske metode imaju prednost zbog boljeg uvida u oblik rubnih uvjeta. Teorije štapova su izvedene pretpostavljajući oblik polja pomaka i polja naprezanja kao linearnu kombinaciju nepoznatih funkcija i koordinate koja se odnosi na debljinu stjenke. Na osnovi toga, jednadžbe ravnoteže koje sadrže poopćene pomake, mogu se dobiti s pomoću principa minimuma potencijalne energije, odnosno Hamiltonova principa [27], [32]. 1.1. Euler-Bernoullijeva teorija (EBT) Euler-Bernoullijeva teorija se bazira na sljedećim pretpostavkama [1]:

1. poprečni presjek se ne deformira unutar svoje ravnine, 2. poprečni presjek se zakreće oko neutralne površine, tako da ostaje ravan nakon

deformiranja, 3. poprečni presjek ostaje okomit na neutralnu površinu nakon deformacije

Kod opće teorije štapova, opterećenje i geometrija su takvi da pomaci ( )wvu ,, duž koordinatnih osiju ( )zyx ,, su samo funkcije x i z koordinate. Ovdje je nadalje pretpostavljeno da je pomak v jednak nuli [27], [32]. S obzirom na to, polje pomaka kod EBT teorije je definirano sljedećim izrazima:

( )dx

dwzzxuE

E 0, −= , (1.10)

( ) ( )xwzxw EE0, = , (1.11)

gdje je Eu pomak u smjeru uzdužne osi x nosaća, dok je 0w pomak u smjeru osi z točke

( )0,x , odnosno točke neutralne plohe ( )0=z štapa (Slika 1.1). Neutralnu plohu tvore vlakna u unutrašnjosti štapa koja prilikom savijanja ne mijenjaju svoju duljinu [1]. Indeks E se

12

odnosi na veličine u Euller-Bernoullijevoj teoriji. Polje pomaka, definirano izrazima (1,10) i (1.11), ukazuje da normala poprečnog presjeka prije deformiranja, ostaje okomita i ravna na poprečni presjek i nakon deformacije.

Slika 1.1 Deformacija poprečne normalne linije za različite teorije savijanja štapova [32]. Virtualna energija deformacije štapa Uδ jednaka je:

dAdxU xxL

A xxδεσδ ∫ ∫=0

, (1.12)

gdje je δ varijacijski operator, A površina poprečnog presjeka, L duljina nosaća, xxσ

normalno naprezanje te xxε duljinska deformacija. Virtualna energija koja se odnosi na kutnu deformaciju jednaka je nuli s obzirom na pretpostavke na kojima se temelji EBT teorija. S obzirom na relacije pomak-deformacija, dobijemo iz jednadžbe (1.10):

20

2

dxwdz

xu EE

xx −=∂∂

=ε (1.13)

Iz jednadžbe definirane izrazom (1.13) sada slijedi:

dxdx

wdMUEL E

xx 20

2

0δδ ∫−= (1.14)

13

gdje je ExxM moment savijanja u odnosu na os y:

zdAMA xx

Exx ∫= σ (1.15)

Ako pretpostavimo da poprečno opterećenje ( )xq djeluje duž težišne osi z, koja je ujedno i glavna os tromosti te ako na gredu ne djeluje nijedno drugo opterećenje, virtualna potencijalna energija poprečnog opterećenja ( )xq jednaka je:

dxwqVL

oE∫−= 0δδ (1.16)

Princip virtualnih pomaka kaže da ako je tijelo u ravnoteži, ukupni virtualni rad

VUW δδδ += , jednak je nuli. Stoga imamo:

00 02

02

=

+−= ∫ dxwq

dxwdMW

L EE

Exx δδδ (1.17)

Dvostrukom parcijalnom integracijom gornjeg izraza, dobijemo sljedeće:

.00

00

00 2

2

=

−+

−−∫

LE

Exx

EExx

EL Exx w

dxdM

dxwdMdxwq

dxMd δδδ (1.18)

Budući je 0wδ proizvoljan na ( )Lx <<0 , jednadžba ravnoteže glasi:

qdxMd E

xx =− 2

2, za ( )Lx <<0 (1.19)

Ako uvedemo izraz za poprečnu silu ExQ jednadžba ravnoteže može se zapisati i na sljedeći

način:

0=+− Ex

Exx Q

dxdM , q

dxdQE

x =− (1.20)

Oblik rubnih uvjeta Euller-Bernoullijeve teorije proizlazi iz izraza (1.18). Jasno je da je ili

pomak Ew0 poznat ili je poprečna sila dxdMQ Exx

Ex /= definirana u rubnoj točki. Dodatno,

nagib dxdwE /0 može biti naznačen, odnosno moment savijanja je poznat za neku rubnu točku.

14

Stoga imamo:

dxdw

wE

E

0

0 ili

=

Exx

ExxE

x

Mdx

dMQ (1.21)

Iz Hooke-ova zakona može se dobiti:

20

2

dxwdzEE

E

xxxxxx −== εσ , (1.22)

gdje je xE modul elasičnosti. Nadalje je:

20

2

dxwdDdAzM

E

xxA xxExx −== ∫ σ (1.23)

gdje je yyxxx IED = fleksijska krutost, a yyI moment tromosti u odnosu na os y.

Supstitucijom izraza (1.23) u izraz (1.19) i (1.21) dobijemo:

qdx

wdDdxd E

xx =

20

2

2

2 za ( )Lx <<0 (1.24)

dxdw

wE

E

0

0

−=

−=

20

2

20

2

dxwdDM

dxwdD

dxdQ

E

xxExx

E

xxEx

(1.25)

Rješenje diferencijalne jednadžbe (1.24), štapa opterećenog na savijanje poprečnim opterećenjem q , može se lako dobiti integracijom. Pri tome treba uzeti u obzir dva rubna uvjeta na oba kraja grede, kako bi se mogle odrediti konstante integracije.

15

1.2. Timošenkova teorija (TBT) Po hijerarhiji, sljedeća teorija savijanja je Timošenkova teorija koja se temelji na polju pomaka:

( ) ( )xzzxu TT φ=, , (1.26)

( ) ( )xwzxw TT0, = , (1.27)

gdje φ predstavlja zakret poprečnog presjeka, dok indeks T predstavlja veličine koje se odnose na Timošenkovu teoriju. Kod ove teorije, pretpostavka o okomitosti poprečnog presjeka na elastičnu liniju, je napuštena (Slika 1.1), dok se pretpostavlja jednolika raspodjela kutne deformacije po visini presjeka, odnosno posmičnog naprezanja s obzirom na konstitutivne izraze. Timošenko uvodi faktore smicanja da bi kompenzirao grešku nastalu zbog pretpostavke o jednolikoj raspodjeli posmičnog naprezanja. Faktori smicanja ovise ne samo o materijalu i geometrijskim parametrima, već i o opterećenju i o rubnim uvjetima [4], [5]. S obzirom na na izraze (1.26) i (1.27) te Cauchyeve jednadžbe koje povezuju pomake i deformacije slijedi:

dx

dzx

u TT

xxφε =

∂∂

= , (1.28)

dx

dwx

wz

u TT

TT

xz0+=

∂∂

+∂∂

= φγ (1.29)

Virtualna energija deformacije, uključuje i komponentu koja se odnosi na kutnu deformaciju

xzγ :

( )dAdxU

L

A xzxzxxxx∫ ∫ +=0

δγσδεσδ

dAdxdxwd

dxdz

L

A

TT

xz

T

xx∫ ∫

++=

00δδφσδφσ

dxdxwdQ

dxdM

L TTT

x

TTxx∫

++=

00δδφδφ (1.30)

xxσ je normalno naprezanje, xzσ poprečno, posmično naprezanje, a TxxM i T

xQ su moment savijanja i posmična sila:

16

dAzMA xx

Txx ∫= σ , ∫= A xz

Tx dAQ σ (1.31)

Kao i ranije, ako pretpostavimo da poprečno opterećenje ( )xq djeluje duž glavne osi tromosti z Timošenkove grede, virtualna potencijalna energija poprečnog opterećenja q je dana izrazom:

dxwqVL

oT∫−= 0δδ (1.32)

Supstitucijom izraza (1.30) i (1.32) u izraz za ukupni virtualni rad Wδ , dobijemo dvostrukom parcijalnom integracijom sljedeće:

dxqwdxwdQ

dxdM

L TT

TTx

TTxx∫

++=

0 000 δδδφδφ

[ ]LoTTx

TTxx

L TTxTT

x

Txx wQMdxwq

dxdQQ

dxdM

00 0 δδφδδφ ++

−−+

+−= ∫ (1.33)

Ako postavimo da su koeficijenti od Tw0δ i Tδφ jednaki nuli, na ( )Lx <<0 , sljedeće jednadžbe ravnoteže su dobivene:

0=+− Tx

Txx Q

dxdM , 0=−

dxdQT

x (1.34)

Rubne uvjete Timošenkove grede možemo prikazati kao:

T

Tw

φ0 ili

Txx

Tx

M

Q (1.35)

Iz konstitutivnih izraza: xxxxx E εσ = , xzxzxz G γσ = , (1.36)

možemo moment savijanja i posmičnu silu prikazati s pomoću poopćenih pomaka ( )TTw φ,0 :

dx

dDdAzMT

xxA xxTxx

φσ == ∫ , (1.37)

17

+== ∫ dx

dwAKdAKQT

TxzsA xzs

Tx

0φσ (1.38)

gdje je:

yyxA xxx IEdAzED == ∫ 2 , AGdAGA xzA xzxz == ∫ (1.39)

U gornjim izrazima xE predstavlja modul elasičnosti, xzG modul smicanja, xxD već ranije

spomenutu fleksijsku krutost, dok je sK korekcijski faktor smicanja koji je uveden da bi se ispravila greška uzrokovana pretpostavkom da je raspodjela posmičnog naprezanja jednolika po poprečnom presjeku. Uobičajeni pristup procjene korekcijskog faktora smicanja bazira se na spektru visokih frekvencija vibrirajučih greda (Mindlin and Deresiewicz 1954, Stephen 1982), dok drugi pristup obuhvaća aproksimacijske procedure i pretpostavke unutar linearne teorije elastičnosti (Cowper 1966, Bert 1973). Ako uvrstimo izraze (1.37) i (1.38) u izraze (1.34) i (1.35) dobijemo jednadžbu ravnoteže i rubne uvjete, napisane s pomoću poopćenih pomaka:

00 =

++

dxdwAK

dxdD

dxd T

Txzs

T

xx φφ , (1.40)

qdx

dwAKdxd T

Txzs =

+− 0φ (1.41)

za ( )Lx <<0 te:

T

Tw

φ0 ili

+

dxdD

dxdwAK

T

xx

TT

xzs

φ

φ 0

(1.42)

na rubu. Jednadžbe ravnoteže (1.34) mogu se kombinirano napisati i na sljedeći način:

qdx

dQdxMd T

xTxx −==2

2, ili q

dxdD

dxd T

xx −=

φ2

2 (1.43)

( )Txzs

T

xzs AKdxdq

dxdwAK

dxd φ−−=

0 (1.44)

18

Gornji izrazi mogu se lako integrirati da bi se odredilo prvo Tφ , a zatim TW0 . 1.3. Odnos između Euler-Bernoulli teorije i Timošenko teorije Kod Timošenkove teorije štapova, izrazi za progib, moment savijanja te poprečnu silu, mogu se prikazati s pomoću veličina dobivenih iz Euler-Bernoullijeve teorije štapova ( Wang [55]). Odnos među teorijama je uspostavljen na osnovi ekvivalentnog opterećenja. Npr. odnos opterećenje-progib za EBT i TBT teoriju je dan sljedećim izrazima:

( )xqdx

wdDE

xx −=− 40

4, ( )xq

dxdD

T

xx −=3

3φ , ( )xqdx

wddx

dKATT

sxz −=

+ 2

02φ . (1.45)

Iz gornjih jednadžbi mogu se uspostaviti sljedeće relacije:

( ) ( ) 43

2

2

3

100 26CxCxCxx

KADCxM

KADwDxwD

sxz

xxExx

sxz

xxExx

Txx −−−

−++= , (1.46)

( ) 32

2

10

2CxCxC

dxdwDxD

E

xxT

xx +++−=φ (1.47)

( ) ( ) ( ) 21 CxCxMxM Exx

Txx ++= (1.48)

( ) ( ) 1CxQxQ Ex

Tx += , (1.49)

Gdje su 1C , 2C , 3C i 4C konstante integracije, koje se mogu odrediti iz rubnih uvjeta. Može

se pokazati da su za zglobno oslonjeni štap sve konstante iC , jednake nuli, dok su za konzolu

sve konstante osim ( ) sxzxxExx KADMC /04 = jednake nuli.

Štap duljine L, koji je uklješten na lijevom, a zglobno oslonjen na desnom kraju te opterećen kontinuiranom poprečnom silom, ima sljedeće rubne uvjete:

EBT: ( ) ( ) ( ) ( ) 000 000 ==== LM

dxdwLww E

xx

EEE , (1.50)

TBT: ( ) ( ) ( ) ( ) 000 00 ==== LMLww Txx

TTT φ . (1.51) Iz gornjih uvjeta slijedi:

( ) ( )031

31

ExxM

LC

Ω+Ω

= , LCC 12 −= , 03 =C , ( ) 24 0 LMC E

xxΩ= , (1.52)

gdje je ( )2/ LKAD sxzxx=Ω .

19

2. Teorije višeg reda U teorijama drugog i višeg reda, izrazi za pomake su prošireni dodatnim članovima, kojima se uzima u obzir utjecaj poprečne kutne deformacije. Time je napuštena Euler-Bernoullijeva pretpostavka da poprečni presjeci ostaju ravni nakon deformiranja. Teorije čiji je red viši od trećeg se rijetko koriste budući da dobivena preciznost rješenja ne opravdava napor uložen u rješavanje dobivenog sustava jednadžbi. Za teoriju drugog reda, koja ne uzima u obzir poprečne normalne deformacije, polje pomaka je definirano sljedećim izrazima: ( ) ( ) ( )xzxzzxu ψφ 2, += , (2.1) ( ) ( )xwzxw 0, = , (2.2) gdje φ sada predstavlja nagib xu ∂∂ / ( )0=z deformirane linije poprečnog presjeka štapa, dok funkcije φ i ψ zajedno opisuju parabolični oblik deformirane linije (Slika 1.1). Slično, kod teorije štapova trećeg reda [Jemielita (1974); Levinson (1981); Bickford (1982); Reddy (1984); Heyliger i Reddy (1988) ] polje pomaka ima sljedeći oblik: ( ) ( ) ( ) ( )xzxzxzzxu θψφ 32, ++= , (2.3) ( ) ( )xwzxw 0, = (2.4) Polje pomaka:

( ) ( )

+−=

dxdwzxzzxu φαφ 3, , (2.5)

( ) ( )xwzxw 0, = , (2.6) može se pronaći u radovima Levinsona (1981), Bickforda (1982) te Reddya (1988). U gornjim jednadžbama faktor α iznosi: ( )23/4 h=α . S obzirom na izraze (2.5) i (2.6), promjena kutne deformacije po poprečnom presjeku (stoga i posmičnog naprezanja) je opisana parabolom drugog reda. Također se ovim izrazima uzima u obzir iščezavanje poprečnog posmičnog naprezanja na gornjoj i donjoj plohi štapa. Stoga, za razliku od Timošenkove teorije, kod teorije trećeg reda nema potrebe za uvođenjem korekcijskog faktora smicanja. Rješenje diferencijalne jednadžbe opisane izrazom (2.5) i (2.6), omogučilo je Eisenbergeru [23] da odredi egzaktne koeficijente krutosti za izotropni štapni element višeg reda. 2.1. Reddy-Bickford (RBT) teorija trećeg reda Bickford (1982) i Reddy (1984) su neovisno jedan o drugom izveli jednadžbe ravnoteže, na temelju polja pomaka koje je definirano izrazom (2.5) i (2.6). Bickfordov rad je bio usmjeren na izotropne štapove, dok se Reddy fokusirao na laminirane kompozitne ploče. Reddyevu teoriju trećeg reda, razvijenu za kompozitne ploče, preuzeli su kasnije Heyliger i Reddy (1988) kod analize linearnog i nelinearnog savijanja štapova. Na temelju relacija pomak-deformacija, te s obzirom na izraze (2.5) i (2.6), mogu se dobiti izrazi za deformaciju Reddy-Bickford teorije trećeg reda:

20

( ) ( )331xxxxxx zz εεε += , (2.7)

( ) ( )220xzxzxz z γγγ += , (2.8)

gdje je:

( )

dxd

xxφε =1 , ( )

+− 2

02

3

dxwd

dxd

xxφαε (2.9)

( )

dxdw

xz00 +=φγ , ( )

+−=

dxdw

xz02 φβγ , (2.10)

te: ( )23/4 h=α i 2/43 h== αβ (2.11) Za odrediti jednadžbe ravnoteže može se upotrijebiti princip virtualnih pomaka. Jednadžbe ravnoteže su:

02

2

=++ qdx

PddxQd xxx α (2.12)

0=− xxx Q

dxMd

(2.13)

gdje je q poprečno opterećenje te:

dzzz

PM h

h xxxx

xx ∫−

=

2/

2/ 3 σ , dzzR

Q h

h xzx

x ∫−

=

2/

2/ 2

1σ , (2.14)

xxxxxx PMM α−= , xxx RQQ β−= . (2.15) ( )xxx RP , predstavljaju komponente unutarnjih sila višeg reda. Primarne i sekundarne varijable ove teorije su:

primarne varijable: 0w , dx

dw0 , φ . (2.16)

sekundarne varijable: xV , xxP , xxM , (2.17) gdje je:

dx

dPQV xxxx α+≡ (2.18)

U izrazu (2.18) xV predstavlja efektivnu posmičnu silu. Primarne varijable definiraju geometrijski rubni uvjet, dok sekundarne varijable tvore rubne uvjete bazirane na silama. Treba naglasiti da kod postavljanja rubnih uvjeta za RBT teoriju trećeg reda, potrebno je

21

definirati i dx

dw0 te φ . Odnosi između komponenata unutarnjih sila i deformacija su dani

slijedećim izrazima:

( )

( )

=

3

1

xx

xx

xxxx

xxxx

xx

xx

HFFD

PM

εε

(2.19)

( )

( )

=

2

0

xz

xz

xzxz

xzxz

x

x

FDDA

RQ

γγ

(2.20)

gdje je xxD fleksijska krutost, xzA posmična krutost, dok su ( )xzxzxxxx FDHF ,,, krutosti višeg reda: ( )22

yyxA xxx IEdAzED == ∫ , ( )44yyxA xxx IEdAzEF == ∫ ,

( )66yyxA xxx IEdAzEH == ∫ , AGdAGA xzA xzxz == ∫ ,

( )22yyxzA xzxz IGdAzGD == ∫ , ( )44

yyxzA xzxz IGdAzGF == ∫ , (2.21)

gdje su xE i xzG Young-ov modul elastičnosti, odnosno modul smicanja. ( )i

yyI predstavlja i-ti moment tromosti oko osi y. Na mjestu uklještenja, za RBT teoriju mora biti ispunjeno slijedeće: 0/0 == dxdwφ . Također, poprečna sila xQ ( )xQi , određena iz izraza (2.20), jednaka je nuli na uklještenom kraju, dok je efektivna posmična sila xV različita od nule, budući da je 0/ ≠dxdPxx . Na kraju, jednadžbe ravnoteže kao i odnosi unutarnje sile-pomaci, mogu se za RBT teoriju prikazati i na sljedeći način:

xxxR

x

Rxx R

dxdPQ

dxdM βα −+= , (2.22)

( ) 2

2

dxPd

dxdRxq

dxdQ xxx

Rx αβ −+−= (2.23)

+−= 2

02

dxwd

dxdF

dxdDM

RR

xx

R

xxRxx

φαφ , (2.24)

+=

dxdwAQ

RR

xzRx

0φ , (2.25)

+−= 2

02

dxwd

dxdH

dxdFP

RR

xx

R

xxxxφαφ , (2.26)

+=

dxdwDR

RR

xzx0φ . (2.27)

gdje se indeks R odnosi na veličine u Reddy-Bickford teoriji. Također, sljedeći izrazi za krutosti će se ubuduće koristiti:

22

xxxxxx FDD α−= , xxxxxx HFF α−= ,

xzxzxz DAA β−= , xzxzxz FDD β−= ,

xzxzxz DAA β−=ˆ (2.28) 2.2. Odnos između Euler-Bernoulli teorije i Reddy-Bickford teorije Da bi se mogao uspostaviti odnos između EBT i RBT teorija, potrebno je naglasiti da su EBT i TBT teorije četvrtog reda, dok je RBT teorija šestog reda. Ovdje se misli na ukupni red svih jednadžbi ravnoteže koje su prikazane preko poopćenih pomaka. Prema tome, RBT teorija je definirana s 0w preko jednadžbe četvrtog reda te s φ preko jednadžbe drugog reda. Stoga, odnos između rješenja dviju teorija različitih redova može se uspostaviti rješavanjem dodatne jednadžbe drugog reda. Izrazi (2.22) i (2.23) zajedno daju:

( )xqdxMd R

xx −=2

2. (2.29)

S obzirom na izraz (1.19), izjednačavanjem opterećenja možemo dobiti:

( )dx

dQdxMd

dxMdxq

Ex

Exx

Rxx ===− 2

2

2

2, (2.30)

11 CQCdx

dMdx

dM Ex

Exx

Rxx +=+= , (2.31)

( ) ( ) ( ) 21 CxCxMxM Exx

Rxx ++= . (2.32)

Odnosi unutarnje sile-pomaci prikazani izrazima (2.24)-(2.27), mogu se napisati i na slijedeći način:

20

2

dxwdD

dxdQ

ADM

R

xx

R

xz

xxRxx −= , (2.33)

Rx

xz

xzx Q

ADR = , (2.34)

Rxx

xx

xxRx

xz

xx

xx

xx

xz

xxR

xx

Rx

xz

xxxx M

DF

dxdQ

AD

DF

AF

dxwdF

dxdQ

AFP

+

−=−= 2

02

. (2.35)

Ako zamijenimo xxP i xR u izrazu (2.22) s izrazima (2.34) i (2.35) dobijemo:

23

2

dxQd

AF

ADDFQ

AA

dxdM

DD R

x

xz

xx

xzxx

xxxxRx

xz

xzRxx

xx

xx

−−

=

α . (2.36)

S obzirom na (2.31), gornju diferencijalnu jednadžbu možemo zapisati kao:

( ) 0ˆ

12

2=+

+

− CQ

DDQ

AA

dxQd

AF

ADDF E

xxx

xxRx

xz

xzRx

xz

xx

xzxx

xxxxα . (2.37)

Stoga, potrebno je rješiti diferencijalnu jednadžbu drugog reda da bi se odredilo RxQ u

funkciji od ExQ . Za poznatu vrijednost R

xQ , mogu se izračunati: RRRxx wiM 0,φ . Efektivna

posmična sila RxV može se dobiti iz izraza (2.18):

( ) ( ) 1CxQdx

dMdx

dPQxV Ex

RxxxxR

xR

x +==+= α , (2.38)

pri ćemu su kod zadnjih dviju jednakosti korišteni izrazi (2.22) i (2.31).

Za odrediti Rφ koristimo (2.24) (2.25) i (2.32):

++= 2

02

dxwd

dxdFM

dxdD

RR

xxRxx

R

xxφαφ ,

dx

dQAFCxCM

Rx

xz

xxExx

+++= α21 ,

dx

dQAFCxC

dxwdD

Rx

xz

xxE

xx

+++−= α212

02

, (2.39)

odnosno:

( ) 32

2

10

2CxCxCQ

AF

dxdwDxD R

xxz

xxE

xxR

xx +++

+−= αφ . (2.40)

Na kraju potrebno je izvesti relacije između Rw0 i Ew0 , pri ćemu se koriste izrazi (2.30)-(2.32) te (2.40):

32

2

100

2CxC

xCQ

AD

dxdw

DQAD

Ddx

dwD R

xxz

xxE

xxRx

xz

xxRxx

R

xx −−−

+=

+−= φ , (2.41)

odnosno integracijom dobijemo:

24

( ) ( ) ( )( ) 43

2

2

3

100 26CxCxCxCdxxQ

ADxwDxwD

xRx

xz

xxExx

Rxx −−−−

+= ∫ . (2.42)

Ovime su kompletirani odnosi između EBT i RBT teorija. Konstante integracije 1C , 2C , 3C i

4C mogu se odrediti iz rubnih uvjeta. Budući da postoji šest rubnih uvjeta kod teorije trećeg reda, preostala dva rubna uvjeta se dobiju rješenjem diferencijalne jednadžbe drugog reda (2.37). Rubni uvjeti za različite tipove oslonaca:

slobodni kraj: 0=+−dx

dPRQ xxx

Rx αβ , 0=− xx

Rxx PM α , 0=xxP , (2.43)

zglobni oslonac: 00 =Rw , 0=− xxRxx PM α , 0=xxP , (2.44)

uklješten kraj: 00 =Rw , 0=Rφ , 00 =dx

dwR. (2.45)

Budući da je za diferencijalnu jednadžbu (2.37) potrebno postaviti rubne uvjete za RxQ , mogu

se reducirati izrazi (2.43)-(2.45) tako da vrijedi:

slobodni kraj: iz (1.42) i (1.34) slijedi: 0=dx

dQRx , (2.46)

zglobni oslonac: iz (1.43) slijedi: 0=dx

dQRx , (2.47)

uklješten kraj: iz (1.44) slijedi: 0=RxQ . (2.48)

Primjer: Štap vezan cilindričnim zglobnim osloncima te opterećen konstantnim raspodijeljenim opterećenjem 0q .

Poprečna sila ExQ EBT teorije, može se odrediti iz slijedećih izraza:

0qdx

dQEx −= , ili ( ) ( )xLqxQE

x 220 −= .

Iz jednadžbe (2.37) možemo zatim dobiti:

( )

+−−=− 1

022

22

2CxLqQ

dxQd R

x

Rx µλ , (2.49)

gdje je:

25

( )xxxxxxxx

xxxzDFDF

DA−

λˆ2 , ( )xxxxxxxx

xxxzDFDF

DA−

µ . (2.50)

Rješenje ove diferencijalne jednadžbe je:

( ) ( )

+−++= 1

0265 2

2coshsinh CxLqxCxCxQR

x λµλλ , (2.51)

gdje se konstante 5C i 6C , zajedno sa 1C , 2C , 3C i 4C , mogu odrediti iz rubnih uvjeta. Rubni uvjeti za dani problem su:

( ) ( ) ( ) ( ) 000 00 ==== LMMLww Exx

Exx

EE , (2.52)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0000 00 ====== LPPLMMLww xxxxRxx

Rxx

RR . (2.53) Iz (2.35) možemo zaključiti:

( ) ( ) 000 == xxRxx PM , slijedi: ( ) 00 =

dxdQR

x , (2.54)

( ) ( ) 0== LPLM xxRxx , slijedi: ( ) 0=L

dxdQR

x . (2.55)

S obzirom na uvjete (2.52)-(2.55) dobije se:

0321 === CCC ,

=

xz

xxADqC 4

04

λµ , (2.56)

30

5 λµqC = ,

−=

2tanh3

06

LqC λλµ , (2.57)

te rješenja postaju:

( ) ( )xMxM Exx

Rxx = , (2.58)

( ) ( ) ( )

−+

= xLxLxqxQR

x 22

cosh2

tanhsinh30 λλλλλµ , (2.59)

( ) ( )xQDA

Fdx

dwx Rx

xxxz

xxE

R

+−=

αφ 0 , (2.60)

( ) ( ) ( )

−−+

+= 1

2sinh

2tanhcos 2

2

40

00 xLxxLxDA

Dqxwxwxxxz

xxER λλλλλµ ,(2.61)

26

gdje je ( ) ( ) 2/20 xLxqxM E

xx −= . Za iste rubne uvjete, rješenje Timošenkove teorije se može prikazati na slijedeći način:

( ) ( ) Exx

sxz

ET MKA

xwxw

+=

100 , (2.62)

dok Euler-Bernoullijevo rješenje:

( )

+

=

4340

0 224 L

xLx

Lx

DLqxw

xx

E . (2.63)

Može se pokazati da za pravokutan poprečni presjek vrijedi:

xzxxxz

xx

xzxxxxxz

xxxxADA

DADDA

DD5

6,5

6ˆ == . (2.64)

Iz izraza (2.61) može se uočiti da rješenje RBT teorije sadrži efektivni faktor smicanja, koji se

bazira na koeficijentu u izrazu za ( )xwR0 , 6/5=sK . Naravno za razliku od Timošenkove

teorije, RBT teorija se ne mora korigirat faktorom smicanja. Faktor smicanja za Timošenkovu teoriju se može dobiti usporedbom maksimalnih progiba koje daju TBT i RBT teorija.

27

3. Savijanje štapova otvorenog tankostjenog presjeka s utjecajem smicanja U ovom poglavlju je prikazana približna teorija savijanja štapova otvorenog tankostjenog presjeka s utjecajem smicanja, koja predstavlja nadogradnju klasične Euler-Bernoullijeve i Timošenkove teorije savijanja [52]. Za slučaj da vanjsko opterećenje prolazi kroz pol, štap je u općem slučaju opterećen na savijanje s utjecajem smicanja te dodatno na uvijanje i rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ako poprečni presjek ima jednu os simetrije, pri vanjskom poprečnom opterećenju kroz pol u ravnini simetrije, štap će biti opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije te dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Za slučaj poprečnog opterećenja kroz pol u ravnini okomitoj na ravninu simetrije, štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u toj ravnini te dodatno na uvijanje zbog smicanja. Ako poprečni presjek ima dvije osi simetrije, pri vanjskom poprečnom opterećenju kroz pol, štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje ravnine simetrije. 3.1. Pretpostavke o deformiranju i naprezanju Prikazana teorija se bazira na sljedećim pretpostavkama [43], [10]:

1. Oblik poprečnog presjeka se ne mijenja tijekom deformacije. 2. Kutne deformacije u srednjoj plohi različite su od nule. 3. Normalna naprezanja jednaka su nuli, osim u smjeru izvodnice srednje plohe. 4. Tangencijalna naprezanja jednaka su nuli osim u smjeru tangente na srednju liniju. 5. Normalna naprezanja raspodijeljena su jednoliko po debljini stijenke. 6. Tangencijalna naprezanja raspodijeljena su linearno po debljini stijenke.

Prva pretpostavka podrazumijeva da projekcija konture poprečnog presjeka na ravninu poprečnog presjeka ostaje nepromijenjena tijekom deformiranja. Ne uzima se u obzir distorzija poprečnog presjeka u ravnini presjeka. Ova teorija uzima u obzir kutnu deformaciju u srednjoj plohi te njezin utjecaj na normalna naprezanja. Tangencijalna naprezanja određuju se iz uvjeta ravnoteže. Ostale pretpostavke su u izravnoj vezi s temeljnim svojstvima tankostijenih štapova: dimenzije poprečnog presjeka su male u odnosu na duljinu štapa (3. pretpostavka), debljina je mala u odnosu na ostale dimenzije poprečnog presjeka (4., 5. i 6. pretpostavka). 3.2. Pomaci i deformacije Pomak točke S srednje plohe, u smjeru osi y odnosno osi z, može se prikazati komponentama: ( ) pzps azvv α−−= , ( ) ,pyps ayww α−+= (3.1) gdje su ( )syy = i ( )szz = pravokutne koordinate točke S, ya i za koordinate pola P, s krivocrtna koordinata točke S u odnosu na ishodišnu točku M, ( )xvv pp = i ( )xww pp = pomaci pola P u smjeru y i z osi, odnosno pomaci konture poprečnog presjeka kao krutog tijela, ( )xpp αα = je kut uvijanja srednje linije kao krute linije u odnosu na pol P.

28

Projekcija pomaka proizvoljne točke S srednje linije na pravac tangente na srednju liniju u točki S ( )ξos je: .sincos~ ϕϕ sss wvv += (3.2) Ako uvrstimo izraz (3.1) u izraz (3.2), dobije se: pppps hwvv αϕϕ ++= sincos~ (3.3) gdje je udaljenost pola P od tangente na srednju liniju u točki S dana s: ( ) ( ) ϕϕ cossin zyp azayh −−−= . (3.4) Izaz (3.3) se može zapisati i kao:

dsd

dsdzw

dsdyvv ppps

ωα++=~ , (3.5)

gdje je:

.,sin,cosdsdh

dsdz

dsdy

pωϕϕ === (3.6)

( )sωω = je sektorska koordinata u odnosu na pol P i ishodišnu točku M:

∫=s

pdsh0

ω . (3.7)

Kutna deformacija ( )sxxx ,ξξ γγ = u srednjoj plohi može se izraziti kao:

.~

~

xv

su

dx

dxxv

ds

dss

uss

ss

xxx ∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=′′+′= ξξξ γγγ (3.8)

Ako se uvrsti (3.5) u (3.8) slijedi:

.~

dsd

dxd

dsdz

dxdw

dsdy

dxdv

xv

su ppp

xs

xs ωα

γγ ξξ −−−=∂∂

−=∂∂ (3.9)

Integracijom gornjeg izraza dobije se:

( ) ( ) ( ) .00 0

dsdsdssdx

dsz

dxdw

sydx

dvuu

sxz

s s wxy

vx

pz

py

pMs

y z ∫∫ ∫ +++−−−= αξξξ γγγω

α (3.10)

29

Pomak proizvoljne točke S srednje linije, dan izrazom (3.10), i ukupna kutna deformacija u srednjoj plohi poprečnog presjeka mogu se zapisati kao [43]: ,α

sws

vs

uss uuuuu +++= α

ξξξξ γγγγ xwx

vxx ++= ,

pri čemu je: ( ) 00 ==ysy , ( ) 00 ==zsz , ( ) 00 ==αω s ; 1Cssy += , 2Cssz += , .ss =α (3.11) U (3.10) Mu predstavlja uzdužni pomak točke M (točka za koju vrijedi ( ) 00 ==sω ) tj., pomak srednje linije poprečnog presjeka u uzdužnom smjeru kao krutog tijela, a

( )yvx

vx sx,ξξ γγ = , ( )z

wx

wx sx,ξξ γγ = i ( )α

αξ

αξ γγ sxxx ,= su komponente kutne deformacije u

srednjoj plohi u odnosu na pomake pv , pw i pα . Prva četiri člana u (3.10) su pomaci od rastezanja, savijanja i uvijanja s utjecajem smicanja oko pola P, dok su zadnja tri člana dodatni pomaci zbog vitoperenja uslijed smicanja. Pomaci se mogu napisati kao:

,

,

,

sp

tpp

sp

bpp

sp

bpp

www

vvv

ααα +=

+=

+=

(3.12)

gdje su ( )xvv b

pbp = i ( )xww b

pbp = pomaci poprečnog presjeka u smjeru y i z osi, kao krutog

tijela, ( )xtp

tp αα = je kut uvijanja poprečnog presjeka oko pola P kao krutog tijela, a s

pv , spw i

spα su dodatni pomaci zbog smicanja.

Jednadžba (3.10) može se napisati na sljedeći način:

( ) ( ) ( ) dsdsdssszsyuus

xs s w

xvxzyMs

y w ∫∫ ∫ +++++−= α αξξξα γγγϑωβγ

00 0, (3.13)

gdje je:

dx

ddx

dwdx

dv ppp αϑβγ −=−== ,, . (3.14)

Isto tako vrijedi:

,,

,

st

sb

sb

ϑϑϑβββγγγ

+=+=+=

(3.15)

30

gdje su bγ i bβ kutni pomaci poprečnog presjeka kao krutog tijela oko y i z osi, tϑ relativni kutni pomak oko x-osi, analogno klasičnoj teoriji tankostjenog štapa otvorenog presjeka, dok su sγ , sβ i sϑ dodatni kutni pomaci zbog smicanja. Vrijede sljedeće diferencijalne ovisnosti:

.,,

,,,

dxd

dxdw

dxdv

dxd

dxdw

dxdv

sp

s

sp

s

sp

s

tp

t

bp

b

bp

b

αϑβγ

αϑβγ

−=−==

−=−== (3.16)

Duljinska deformacija glasi:

( ) ( ) ( )

,000

2

2

2

2

2

2

∫∫∫ ∂

∂+

∂+

+−−−=∂∂

=

s xswxs

vx

pz

py

pMsx

dsx

dsx

dsx

sdx

dsz

dx

wdsy

dx

vddx

duxu

zyαξξξ

α

γγγ

ωα

ε (3.17)

odnosno:

.αα

εεεεε xwx

vx

ux

sws

vsMs

x xu

xu

xu

dxdu

xu

+++=∂∂

+∂∂

+∂∂

+=∂∂

= (3.18)

3.3. Naprezanja Ne uzimajući u obzir normalna naprezanja u pravcu tangente na srednju liniju poprečnog presjeka, prema Hookeovu zakonu slijedi: ,, ξξ γτεσ xxxx GE == (3.19) gdje su ( )sxxx ,σσ = normalno naprezanje u uzdužnom smjeru, ( )sxxx ,ξξ ττ = tangencijalno naprezanje na srednjoj plohi štapa. E je modul elastičnosti,a G modul smicanja. Ako uvrstimo (3.17) u prvi izraz (3.19), slijedi:

( ) ( ) ( )

.000

2

2

2

2

2

2

∂+

∂+

+

−−−=

∫∫∫s xs

z

wxs

y

vx

pz

py

pMx

dsx

dsx

dsxG

E

sdx

dsz

dx

wdsy

dx

vddx

duE

zyαξξξ

α

τττ

ωα

σ

(3.20)

Normalno i tangencijalno naprezanje se može zapisati u sljedećem obliku [43]: ,ασσσσσ x

wx

vx

uxx +++= ,α

ξξξξ ττττ xwx

vxx ++= . (3.21)

31

gdje su ( )sxu

xux ,σσ = , ( )y

vx

vx sx,σσ = , ( )z

wx

wx sx,σσ = , ( )sxxx ,αα σσ = komponente

normalnog naprezanja u odnosu na pomake Mu , pv , pw i pα , a ( )yvx

vx sx,ξξ ττ = ,

( )zwx

wx sx,ξξ ττ = i ( )sxxx ,α

ξαξ ττ = su komponente tangencijalnog naprezanja u odnosu na

pomake pp wv , i pα . Jednadžba ravnoteže odsječka stijenke poprečnog presjeka štapa za uzdužnu os x može se napisati kao:

( ) ( ),0=

∂∂

+∂

∂s

tx

t xx ξτσ (3.22)

gdje je ( )stt = debljina stijenke poprečnog presjeka. Uz pretpostavku da vrijedi:

.,.,., konstx

konstx

konstx

xwx

vx =

∂=

∂=

∂ αξξξ τττ

(3.23)

integracijom izraza (3.22), a imajući u vidu (3.20) i (3.23) dobije se:

( ) ( ) ( ) ( ) ,13

3

3

3

3

3

2

2

000

+++−+++= sS

dx

dsS

dx

wdsS

dx

vdsA

dxudETTT

tp

zyp

yzpMwv

x ωα

ξα

τ (3.24)

gdje je:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ).00,

,00,,00,

,,,,

00

0000

000

====

========

==== ∫∫∫

stsxxTT

stsxxTTstsxxTT

tdsdAdAsSzdAsSydAsS

x

zzwx

wwyy

vx

vv

sszy

syz

zy

αξ

αα

ξξ

ω

τ

ττ

ω

(3.25)

( )xTT vv

00 = , ( )xTT ww00 = i ( )xTT αα

00 = su tokovi posmičnih sila za ( ) 00 ==ysy , ( ) 00 ==zsz i ( ) 00 ==sω .

Tangencijalno naprezanje se može napisati i kao:

,*3

3*

3

3*

3

3*

2

2

+++−= ωξ

ατ S

dx

dS

dx

wdS

dx

vdA

dxud

tE p

yp

zpM

x (3.26)

gdje je: .,,, ********

*** tdsdAdASzdASydASssysz

zy==== ∫∫∫ ωω (3.27)

32

U (3.27) ( ) ( )*** sAsA = je površina odsječenog dijela poprečnog presjeka s obzirom na

koordinatu s, donosno s*. ( ) ( )****zyzyy sSsSS == i ( ) ( )****

yzyzz sSsSS == su statički momenti

odsječenog dijela površine presjeka u odnosu na os y i z. ( ) ( )**** sSsSS ωωω == je sektorski

statički moment odsječenog dijela površine presjeka. Pretpostavka je da vrijedi 0* =s na mjestu gdje je .0=ξτ x Usporedbom (3.24) i (3.26) slijedi: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).,,, ******** sdSsdSsdSsdSsdSsdSsdAsdA zyzyyzyz ωω −=−=−=−= (3.28) 3.4. Jednadžbe ravnoteže Na nosač djeluje jednoliko raspodijeljeno vanjsko opterećenje ( )xqq yy = i ( )xqq zz = koje prolazi kroz pol P definirano sa [43]: dspq

Lyy ∫= , dspq

Lzz ∫= . (3.29)

Jednadžbe ravnoteže glase:

( ) ( )

( ) ( ),0,0sin

,0cos,0

=∂

∂==+

∂∂

=

=+∂

∂==

∂∂

=

∫∑∫∑

∫∑∫∑

dxhdsx

tMdxqdxds

xtF

dxqdxdsx

tFdxds

xtF

Lx

pzLx

z

yLx

yLx

x

ξ

ξ

τϕσ

ϕτσ

(3.30)

odnosno imajući u vidu (3.6):

( ) ( )

( ) ( ).0,0

,0,0

=∂

∂==+

∂∂

=

=+∂

∂==

∂∂

=

∫∑∫∑

∫∑∫∑

ωτσ

τσ

ξ

ξ

dx

tMqdz

xtF

qdyx

tFdA

xtF

Lx

pzLx

z

yLx

yLx

x (3.31)

Parcijalnom integracijom posljednja tri člana gornjeg izraza dobije se:

( )

( ) ( ).0,0

,0,0

=

∂∂

=−

∂∂

=−

∂∂

=∂∂

∫∫

∫∫

dss

tx

qdss

tx

z

qdss

tx

ydAx

xLz

xL

yx

LLx

ξξ

ξ

τω

τ

τσ

(3.32)

Ako uvrstimo (3.20) i (3.24) u (3.32) slijedi:

33

,

,0

4

4

4

4

4

4

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

yp

zp

zyp

zM

z

ppy

pz

M

qdx

dI

dx

wdI

dx

vdI

dxudSE

dx

dS

dx

wdS

dx

vdS

dxudAE

=

+++−

=

−−−

α

α

ω

ω

.0

,

4

4

4

4

4

4

3

3

4

4

4

4

4

4

3

3

=

+++−

=

+++−

dx

dI

dx

wdI

dx

vdI

dxudSE

qdx

dI

dx

wdI

dx

vdI

dxudSE

ppy

pz

M

zp

yp

yp

yzM

y

α

α

ωωωω

ω

(3.33)

Ako su y,z i ω glavne koordinate, tada je: 0,0,0,0,0 ======== zzyyzyyzzy IIIIIISS ωωωω . (3.34) Jednadžbe (3.33) tada postaju:

.0,,,0 4

4

4

4

4

4

2

2====

dx

dq

dx

wdEIq

dx

vdEI

dxud p

zp

yyp

zM α

(3.35)

3.5. Veza naprezanja i unutarnjih sila 3.5.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila Integriranjem tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku dobije se [43], [10]: ,0,sin,cos ==== ∫∫∫ dAhMdAQdAQ pA xA xzA xy ξωξξ τϕτϕτ (3.36)

gdje su ( )xQQ yy = i ( )xQQ zz = poprečne sile u odnosu na osi y i z, a ( )xMM ωω = je moment vitoperenja u odnosu na pol P, koji je jednak nuli s obzirom na zadano vanjsko opterećenje. Supstitucijom izraza (3.26) u izraz (3.36), te nakon parcijalne integracije, dobije se sljedeće:

.0

,

,

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

3

3

3

3

2

2

=−−−

−−−=

−−−=

ωωωω

ω

ω

α

α

α

Idx

dEI

dx

wdEI

dx

vdES

dxudE

Idx

dEI

dx

wdEI

dx

vdES

dxudEQ

Idx

dEI

dx

wdEI

dx

vdES

dxudEQ

py

pz

pM

yp

yp

yzp

yM

z

zp

yzp

zp

zM

y

(3.37)

Ako su y,z i ω glavne koordinate, tada vrijedi:

34

,0,0,0,0,0,0 ====== ωωω zyyzzy IIISSS pa iz (3.37) slijedi:

.0,, 3

3

3

3

3

3

=−=−=dx

d

dx

wdEIQ

dx

vdEIQ pp

yzp

zyα

(3.38)

S obzirom na (3.35) i (3.38), vrijedi:

., zz

yy q

dxdQq

dxdQ

−=−= (3.39)

Ako uvrstimo (3.38) u (3.26), dobije se:

,11 **yz

yzy

zx SQ

EItESQ

EItE −

⋅−−

⋅−=ξτ

odnosno:

.**

y

yz

z

zyx tI

SQtI

SQ+=ξτ (3.40)

3.5.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila Integracijom izraza za normalno naprezanje po presjeku dobije se [43], [10]:

,0,

,,0

===

−===

∫∫∫∫

dABzdAM

ydAMdAN

A xA xy

A xzA x

ωσσ

σσ (3.41)

gdje su ( )xMM yy = i ( )xMM zz = momenti savijanja u odnosu na osi y i z, dok je B bimoment koji je jednak nuli s obzirom na dano vanjsko opterećenje. Ako se izraz (3.20) uvrsti u prvu jednadžbu (3.41), te ako se uzme u obzir da su y, z i ω glavne koordinate ( )0=== ωSSS zy , slijedi:

,000

=

∂+

∂+ ∫ ∫∫ ∫ dAds

xGEdAds

xGE

dxduEA

A

s wx

A

s vxM

zyξξ ττ

odnosno uz novouvedene sekundarne uzdužne sile:

35

,,00

∫ ∫∫ ∫ ∂

∂−=

∂−=

A

s wxz

A

s vxy

zy

dsx

dAGENds

xdA

GEN ξξ ττ

gornji izraz postaje:

.0=−− zyM NNdx

duEA (3.42)

Uvrštenjem (3.20) u drugu jednadžbu (3.41), za glavne koordinate, slijedi:

,00

2

2

∫ ∫∫ ∫∫ ∂

∂−

∂−=−=

A

s wx

A

s vxp

zA

xz

zy

dsx

ydAGEds

xydA

GE

dx

vdEIydAM ξξ ττ

σ

te s obzirom na novouvedene sekundarne momente savijanja:

∫ ∫∫ ∫ ∂

∂=

∂=

A

s wxz

zA

s vxy

z

zy

dsx

ydAGEMds

xydA

GEM ,,

00

ξξ ττ

gornji izraz postaje:

zz

yz

pzz MM

dx

vdEIM −−= 2

2 (3.43)

Uvrštenjem (3.20) u treću jednadžbu (3.41), za glavne koordinate, slijedi:

,00

2

2

∫ ∫∫ ∫∫ ∂

∂+

∂+−==

A

s wx

A

s vxp

yA

xy

zy

dsx

zdAGEds

xzdA

GE

dx

wdEIzdAM ξξ ττ

σ

te s obzirom na novouvedene sekundarne momente savijanja:

∫ ∫∫ ∫ ∂∂

=∂∂

=A

s wxz

yA

s vxy

y

zy

dsx

ydAGEMds

xzdA

GEM ,,

00

ξξ ττ

gornji izraz postaje:

zy

yy

pyy MM

dx

wdEIM −−−= 2

2

(3.44)

Uvrštenjem (3.20) u četvrtu jednadžbu (3.41), za glavne koordinate, slijedi:

36

,000

2

2

=∂

∂+

∂+− ∫ ∫∫ ∫

A

s wx

A

s vxp

zy

dsx

dAGEds

xdA

GE

dx

dEI ξξ

ωτ

ωτ

ωα

te s obzirom na novouvedene sekundarne bimomente:

∫ ∫∫ ∫ ∂

∂−=

∂−=

A

s wxz

A

s vxy

zy

dsx

dAGEBds

xdA

GEB

00

,, ξξ τω

τω

gornji izraz postaje:

.02

2

=−− zyp BBdx

dEI

αω (3.45)

Iz (3.40) je z

zyvx tI

SQ *

=ξτ , y

yzwx tI

SQ *

=ξτ . Ako prethodne izraze za tangencijalna naprezanja

uvrstimo u novouvedene izraze za komponente unutarnjih sila, te ako parcijalno integriramo, dobije se:

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

==

=

=

−=

−=

==

L

y

yz

z

L

z

zy

y

L

zy

zy

yy

A

y

yz

zy

L

zy

yz

zz

A

z

zy

yz

L

yz

yz

z

L

zy

zy

y

dstSS

GIEqBds

tSS

GIEqB

dstSS

GIEqMdA

tS

GIEqM

dstSS

GIEqMdA

tS

GIEqM

dstSA

GIEqNds

tSA

GIEqN

,,

,,

,,

,,

****

**2*

**2*

****

ωω

(3.46)

Iz (3.42), (3.43), (3.44) i (3.45), te imajući u vidu (3.38) i (3.35) dobije se

,0,

,,0

3

3

3

3

3

3

2

2

=−−=−=−−−=

−=++==+=

dxdB

dxdB

dx

dEIQ

dxdM

dxdM

dxdM

dx

wdEI

Qdx

dMdx

dMdx

dMdx

vdEI

dxdN

dxdN

dxudEA

zyp

z

zy

yyyp

y

y

zz

yzzp

z

zyM

αω

(3.47)

odnosno:

37

.0,

,,0

4

4

2

2

4

4

2

2

4

4

3

3

=−=−=−=

=−===

dx

dEIq

dxdQ

dx

Md

dx

wdEI

qdx

dQ

dxMd

dx

vdEI

dxudEA

pz

zypy

yyzp

zM

αω

(3.48)

Pretpostavka je da vrijedi .konstqy = , .konstqz = , u protivnom jednadžbe (3.47) i (3.48) daju približno rješenje problema. Izrazi (3.42), (3.43), (3.44) te (3.45), uz (3.46), mogu se zapisati na sljedeći način:

,

,

,

,11

****

2

2

**2*

22

2

**2*

22

2

2

**

2

**

dstSS

IIW

GWqds

tSS

IIW

GWq

dx

d

dstSS

IIA

GAq

dAt

S

IA

GAq

EIM

dx

wd

dstSS

IIA

GAqdA

tS

IA

GAq

EIM

dx

vd

dAt

SALIGA

LqdAt

SALIGA

Lqdx

du

L

y

y

p

p

z

A

z

z

p

p

yp

L

zy

zy

y

A

y

y

z

y

yp

L

zy

zy

z

A

z

z

y

z

zp

A

yz

Sy

Sz

A

zy

Sz

SyM

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

⋅−⋅−=

⋅−

⋅−−=

⋅−

⋅−=

⋅+⋅=

ω

ω

ω

ω

α

(3.49)

U gornjim izrazima je dAhI

App ∫= 2 polarni moment tromosti poprečnog presjeka u odnosu na

glavni pol P, a 0h

IW p

p = je polarni moment otpora u odnosu na glavni pol, gdje je 0h

udaljenost tangente kroz glavnu ishodišnu točku od pola P. SL je proizvoljna dužina srednje linije poprečnog presjeka. Uvođenjem faktora smicanja prema:

,,

,,

,,1,1

****

2*

2

**

2*

22

**

2

**

dstSS

IIW

dstSS

IIW

dAt

S

IAds

tSS

IIA

dAt

SIAdA

t

SALI

dAt

SALI

L

y

y

pz

A

z

z

py

A

y

yzz

L

zy

zyzyyz

A

z

zyy

A

yz

Syxz

A

zy

Szxy

∫∫

∫∫

∫∫∫

==

===

===

ω

ωω

ω

ωω κκ

κκκ

κκκ

(3.50)

gdje su:

• xyκ faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka pv , • xzκ faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka pw ,

38

• yyκ faktor smicanja u odnosu na pomak pv , • yzκ faktor smicanja u odnosu na pomak pv zbog pomaka pw , • zzκ faktor smicanja u odnosu na pomak pw , • yωκ faktor smicanja u odnosu na pomak pα zbog pomaka pv , • zωκ faktor smicanja u odnosu na pomak pα zbog pomaka pw .

Uvođenjem smicajnih površina te smicajnih momenata otpora:

,,

,,,,

z

ppz

y

ppy

zzzz

zyzy

yzyz

yyyy

WW

WW

AAAAAAAA

ωω κκ

κκκκ

==

====

(3.51)

mogu se izrazi (3.42), (3.43), (3.44) te (3.45) zapisati i kao:

.

,

,

,

2

2

2

2

2

2

pz

z

py

yz

p

zy

p

yp

zy

y

zz

z

y

yzy

yzz

z

y

yp

yz

z

yy

y

z

zyz

zyy

y

z

zp

xzSzxySyM

GWq

GWq

GWq

GWq

dx

d

GAq

GAq

EIM

GAq

GAq

EIM

dx

wd

GAq

GAq

EIM

GAq

GAq

EIM

dx

vdGALq

GALq

dxdu

−−=−−=

−−−=−−−=

−−=−−=

+=

ωω κκα

κκ

κκ

κκ

(3.52)

Normalno naprezanje dano izrazom (3.20) može se izraziti uz pomoć unutarnjih sila na sljedeći način [10]:

.

0

*

0

*

AN

AN

IB

IB

dst

SGIEqy

IMy

IMy

IM

dst

SGI

EqzI

Mz

IM

zI

M

zy

zy

sz

zy

z

zz

z

yz

z

z

sy

yz

y

zy

y

yy

y

yx

y

z

++

+++

−−−−−

−−++=

ωω

σ

ωω

(3.53)

Unutarnje sile dane sa (3.46) , te uzimajući u obzir (3.50), mogu se zapisati i na ovaj način:

39

,,

,,

,,

,,

p

zz

z

p

yy

y

zzyz

zy

zyyy

yy

yzzz

zz

yyzy

yz

xzsz

zxysy

y

GWEIqB

GWEI

qB

GAEI

qMGA

EIqM

GAEI

qMGA

EIqM

GELqN

GEL

qN

ωωωω κκ

κκ

κκ

κκ

==

==

−=−=

==

(3.54)

a uz (3.51) u sljedećem obliku:

.,

,,

,,

,,

pzz

z

pyy

y

zz

yz

zy

zy

yy

yy

yz

zz

zz

yy

zy

yz

xzsz

zxysy

y

GWEIqB

GWEIqB

GAEI

qMGAEI

qM

GAEIqM

GAEIqM

GELqN

GEL

qN

ωω

κκ

==

==

−=−=

==

(3.55)

Izraz za naprezanje (3.53) postaje:

,

0

*

0

*

GAEL

qGA

ELq

GWE

qGWEq

yGA

Eqds

tS

GIEqy

GAE

qyI

M

zGA

Eqds

tS

GIEqz

GAEqz

IM

xysy

xzsz

p

yy

p

zz

yzz

sz

zy

yyy

z

z

zyy

sy

yz

zzz

y

yx

y

z

κκ

ωκ

ωκ

κκ

κκσ

ωω

++

+++

++−+−

−+−+=

(3.56)

odnosno:

40

.

0

*

0

*

GAEL

qGA

ELq

GWEq

GWEq

yGA

Eqdst

SGIEqy

GAEqy

IM

zGA

Eqdst

SGI

EqzGA

EqzI

M

xysy

xzsz

pyy

pzz

yzz

sz

zy

yyy

z

z

zyy

sy

yz

zzz

y

yx

y

z

κκ

ωω

σ

++

+++

++−+−

−+−+=

(3.57)

3.6. Pomaci pola Jednadžbe (3.52) mogu se napisati razdvojeno na sljedeći način:

,,,,,,

,,,,,

sspt

tpps

spb

bpp

sspb

bpps

sMM

wwwwww

vvvvvvuuuu

αααααα ≡≡≡≡≡≡

≡≡≡≡≡

odnosno:

,0,,,0 2

2

2

2

2

2=−===

dxd

EIM

dxwd

EIM

dxvd

dxdu t

y

yb

z

zb α (3.58)

te:

.,

,,

2

2

2

2

2

2

p

zz

p

yyszyyzzzs

yzzyyysxzszxysys

GWq

GWq

dxd

GAq

GAq

dxwd

GAq

GAq

dxvd

GALq

GALq

dxdu

ωω κκακκ

κκκκ

−−=−−=

−−=+=

(3.59)

Jednadžbe (3.58) predstavljaju poznate jednadžbe klasične teorije tankostijenih štapova [1], [3]. Prva i četvrta jednadžba predstavljaju pomake poprečnog presjeka štapa kao krutog tijela. Druga i treća jednadžba daju pomake od savijanja u glavnim ravninama. Jednadžbe (3.59) predstavljaju utjecaj smicanja na pomake. Integracijom jednadžbi (3.59), imajući u vidu (3.16) i (3.39). dobije se:

,,

,,

p

zz

p

yys

szyyzzzs

s

yzzyyys

sxzszxysySs

GWQ

GWQ

dxd

GAQ

GAQ

dxdw

GAQ

GAQ

dxdv

GALQ

GALQ

uu

ωω κκϑακκβ

κκγκκ

−−==−−−==−

−−==−−== (3.60)

41

pri čemu su zanemarene konstante integracije. Pretpostavka je da kutni pomaci sγ , sβ , sϑ kao i pomak su , ne ovise o rubnim uvjetima. Integracijom druge, treće i četvrte jednadžbe u izrazu (3.60), dobije se:

,

,

,

αωω κκ

α

κκ

κκ

CGW

MGW

M

CGA

MGA

Mw

CGA

MGA

Mv

p

zy

p

yzs

wzyzzzy

s

vyzyyyz

s

++−=

+−=

++−=

(3.61)

gdje su vC , wC i αC konstante integracije. Jednadžbe (3.61) se mogu zapisati i na sljedeći način:

,

,

,

αα CGWM

GWM

CGAM

GAM

w

CGAM

GAMv

pz

y

py

zs

wzy

z

zz

ys

vyz

y

yy

zs

++−=

+−=

++−=

(3.62)

Iz uvjeta da je na lijevom kraju nosača: .0,0,0 === sss wv α (3.63) Slijede konstante integracije:

.,,pz

Ay

py

Az

zz

Ay

zy

Azw

yz

Ay

yy

Azv GW

MGWMC

GAM

GAMC

GAM

GAMC +=−=−= α (3.64)

Ukupni pomaci mogu se izraziti prema:

.

,

,

,

zp

Ayyy

p

Azz

zyAzz

zzAyy

b

yzAyy

yyAzz

b

sxzzsxyy

GWMM

GWMM

GAMM

GAMM

ww

GAMM

GAMMvv

GALQ

GALQ

u

ωω κκα

κκ

κκ

κκ

−+

+−=

+−+

−+=

−+

+−+=

−−=

(3.65)

42

3.7. Posebni slučajevi 3.7.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije U slučaju da je os z os simetrije, lako se može pokazati da je .0==== zzyyzxy ωκκκκ Izraz (3.56) postaje:

.

0

*

0

*

GAELq

GWE

q

dst

SGIEqy

GAE

qyI

M

dst

SGI

EqzGA

EqzI

M

xzsz

p

yy

sz

zy

yyy

z

z

sy

yz

zzz

y

yx

y

z

κωκ

κ

κσ

ω ++

+−+−

−−+=

(3.66)

Izraz (3.65) prelazi u:

.,

,,

yp

Azzzz

Ayyb

yyAzz

bsxzz

GWMM

GAMM

ww

GAMMvv

GALQu

ωκακ

κκ

+−=

−+=

+−+=−=

(3.67)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje glavne ravnine te dodatno na uvijanje i rastezanje/sabijanje zbog smicanja. 3.7.1.1. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije ( )0;0 =≠ yz qq Izraz (3.66) postaje:

.0

*

GAELqds

tS

GIEqz

GAEqz

IM xzs

z

sy

yz

zzz

y

yx

z κκσ +−+= ∫ (3.68)

Izraz (3.67) postaje:

., zzAyy

bsxzz

s GAMM

wwGA

LQuu κκ −+=−== (3.69)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije i dodatno na rastezanje/sabijanje zbog smicanja. 3.7.1.2. Slučaj opterećenja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije ( )0;0 =≠ zy qq Izraz (3.66) postaje:

43

.0

κκσ ω

p

yy

sz

zy

yyy

z

zx GW

Eqds

tS

GIEqy

GAE

qyI

M y

+−+−= ∫ (3.70)

Izraz za pomake (3.67) postaje:

., yp

Azzsyy

Azzb GW

MMGA

MMvv ωκαακ +−==

+−+= (3.71)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije i dodatno na uvijanje zbog smicanja. 3.7.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije Izraz za normalno naprezanje (3.56) postaje:

,0

*

0

*

dst

SGIEqy

GAE

qyI

M

dst

SGI

EqzGA

EqzI

M

y

z

sz

zy

yyy

z

z

sy

yz

zzz

y

yx

−+−

−+=

κ

κσ

(3.72)

budući je uz 0==== zzyyzxy ωκκκκ i .0== yxz ωκκ Izarz (3.65) postaje:

.0,

,,0

=−

+=

+−+==

ακ

κ

zzAyy

b

yyAzz

b

GAMM

ww

GAMMvvu

(3.73)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u obje ravnine simetrije. 3.7.2.1. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije x-z ( )0;0 =≠ yz qq Izraz (3.72) postaje:

.0

*

dst

SGI

EqzGA

EqzI

M zsy

yz

zzz

y

yx ∫−+=

κσ (3.74)

Izarz za pomake (3.73) postaje:

44

.zzAyy

b GAMM

ww κ−

+= (3.75)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije x-z. 3.7.2.2. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije x-y ( )0;0 =≠ zy qq Izraz za normalno naprezanje (3.72) postaje:

.0

*ds

tS

GIEqy

GAE

qyI

M ysz

zy

yyy

z

zx ∫−+−=

κσ (3.76)

Izraz za pomake (3.73) postaje:

.yyAzz

b GAMMvv κ+−

+= (3.77)

45

4. Saint-Venantovo uvijanje Coulomb je postavio rješenje za uvijanje tankih žica, te je pretpostavio da se poprečni presjeci zakreću kao krute figure i da ostaju ravni nakon deformacije. Ova formulacija se smatra ispravnom za štapove kružnog poprečnog presjeka. Nadalje, Saint-Venant pretpostavlja da se poprečni presjeci štapa, opterećenog na čisto uvijanje, zakreću oko osi uvijanja tako da bez obzira na izvitoperenje, projekcija presjeka na početnu ravninu zadržava početni oblik. Os uvijanja prolazi kroz centar uvijanja, odnosno kroz točku poprečnog presjeka za koju su pomaci duž osi y i z jednaki nuli. Pomaci yu i zu točke A poprečnog presjeka prikazani su na slici 4.1., na kojoj os x predstavlja os uvijanja. Kut uvijanja presjeka duž osi x je φ , tako da su cilindrične koordinate točke A presjeka: ( )φ,r .

Slika 4.1 Pomaci yu i zu točke A uslijed uvijanja oko osi x [36].

Kao rezultat deformacije, zakret presjeka štapa duljine x je jednak: θx , gdje je θ relativni kut uvijanja, za koji se pretpostavlja da je konstantan. Tijekom uvijanja, točka A se pomiće u A', čija je pozicija definirana cilindričnim koordinatama: ( )θφ xr +, . Sa slike 4.1 je vidljivo:

φφ sin,cos, rzryrAOOA ===′= . Za male deformacije je θx malen, tako da vrijedi: ( ) ( ) 1cos,sin ≈≈ θθθ xxx . Slijedi:

( )[ ]( )( ) ( ) ,sin1cos

cossinsincoscoscoscos

θθθφθφθφ

φθφ

zxxzxyrxxr

xryyuy

−≈−−=−−=

−+=−′=

(4.1)

( )[ ]

( )( ) .1cossin

sincossinsincossinsin

θθθφθφθφ

φθφ

yxxzxyrxxr

xrzzuz

≈−+=−+=

−+=−′= (4.2)

Kao što je prethodno spomenuto, za štapove kružnog poprečnog presjeka, uzdužni pomak xu , koje se zove i pomak izvitoperenja, jednak je nuli. Za poprečne presjeke proizvoljnog oblika, eksperimentalni podaci ukazuju da su uzdužni pomaci svih presjeka štapa, približno jednaki.

46

Stoga vrijedi: ( )zyfux ,= . Saint-Venant je prihvatio ovaj rezultat kao temeljnu pretpostavku. Korisno je u gornji izraz uvesti θ tako da se ova fukcija može zapisati kao: ( ) ( )zyzyf ,, θω= Aksijalni pomak xu je proporcionalan relativnom kutu uvijanja, odnosno polju pomaka zapisanom u slijedećem obliku: ( )zyux ,θω= . (4.3) Nepoznata funkcija ( )zy,ω se zove funkcija izvitoperenja. Deformacije za ovo pretpostavljeno polje pomaka, mogu se odrediti s obzirom na relacije deformacija-pomak:

( ) ,0, =′=∂∂

= zyxux

x ωθε budući je θ konstantan,

,0,0 =∂∂

==∂

∂=

zu

yu z

zy

y εε

∂∂

+−=∂∂

+∂

∂=

yz

yu

xu xy

xyωθγ , (4.4)

∂∂

+=∂∂

+∂∂

=z

yzu

xu xz

xzωθγ ,

.0=∂

∂+

∂∂

=z

uyu yz

yzγ

Za prethodno prikazane deformacije, iz konstitutivnih relacija možemo dobiti naprezanja:

∂∂

== zy

GG xyxyωθγτ ,

,

+∂∂

== yz

GG xzxzωθγτ (4.5)

.0,0,0,0 ==== yzzyx τσσσ Za ovo polje pomaka, dilatacija, odnosno obujamna deformacija e, jednaka je nuli:

,0=∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇=zu

yu

xue zyxu (4.6)

gdje je:

.zyx

iuuu zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇++= kjikjiu

47

Također, primjenom Laplaceovog operatora na komponentama pomaka yu i zu dobije se:

.0,0 2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=∂

∂+

∂+

∂=∇

zu

yu

xuu

zu

yu

xu

u zzzz

yyyy (4.7)

Ako zanemarimo obujamne sile, jednadžbe ravnoteže u y i z smjeru su istovjetno zadovoljene:

( )

( ) 0

,0

2

2

=∇+∂∂

+

=∇+∂∂

+

z

y

uGzeG

uGyeG

λ

λ (4.8)

U gornjem izrazu G je modul smicanja, a λ Lameova konstanta:

( )( )νννλ

211 −+=

E. (4.9)

ν predstavlja Poissonov koeficijent. Jednadžba ravnoteže u x-smjeru ( ) 0/ 2 =∇+∂∂+ xuGxeGλ , zajedno sa izrazom (4.3) daje sljedeće:

,02

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

=∇zyωωω (4.10)

gdje je 22222 // zy ∂∂+∂∂=∇ . Parcijalna diferencijalna jednadžba ovog oblika se zove Laplaceova jednadžba. Rješenje Laplaceove jednadžbe predstavlja harmonijska funkcija. Sile koje djeluju na površini (granici) tijela moraju biti u ravnoteži sa komponentama naprezanja na tom mjestu. Rubni uvjeti na površini tijela se mogu zapisati kao:

,

,,

zzyyzxxzz

zyzyyxxyy

zxzyxyxxx

nnnp

nnnpnnnp

σττ

τστ

ττσ

++=

++=

++=

(4.11)

gdje su xn , yn i zn komponente jediničnog vektora normale n na površinu, a xp , yp i zp sile na jedinicu površine. Ako ove uvjete zapišemo preko deformacija koristeći konstitutivne izraze, a zatim deformacije prikažemo s pomoću pomaka, dobit ćemo:

,xxx px

GuGen =∂∂

+∇+unnλ

,yyy py

GuGen =∂∂

+∇+unnλ (4.12)

.zzz pz

GuGen =∂∂

+∇+unnλ

48

Na cilindričnoj površini štapa, na rubu poprečnog presjeka, x-komponenta jediničnog vektora normale n je jednaka nuli. Ako je ova površina oslobođena djelovanja sila xp , yp i zp , drugi rubni uvjet izraza (4.12), zajedno sa izrazom (4.6), postaje:

.0=+−=∂∂

+∂

∂+

∂+

∂=

∂∂

+∇ θθ xnxnyun

yu

nz

un

yu

ny

u zzz

zy

yy

zy

yyunn (4.13)

Slično, treći rubni uvjet dan izrazom (4.12) je istovjetno zadovoljen. Iz preostalog rubnog uvjeta možemo dobiti:

xun

xu

nxun

zun

yun

xun

xu z

zy

yx

xx

zx

yx

xx ∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==∂∂

+∇ 0unn , (4.14)

odakle slijedi uvjet koji mora biti zadovoljen na cilindričnoj površini:

.0=

+∂∂

+

∂∂

zy nyz

nzy

ωω (4.15)

Granice na krajevima štapa se poklapaju sa poprečnim presjecima koji imaju jedinične vektore normale: .0,0,1 ==±= zyx nnn Rubni uvjeti na površini, na krajevima štapa, jednaki su: .,,0 xzzxyyx ppp ττ ±=±== (3.16) Predznak + se odnosi na kraj štapa za koji je vanjska normala usmjerena u pozitivnom smjeru osi x. Iz (4.5), za predznak + izraza (4.16), slijedi:

.,,0

+∂∂

=

∂∂

== yz

Gpzy

Gpp zyxωθωθ (4.17)

Rezultanta naprezanja na kraju štapa svodi se na moment uvijanja, dok poprečne sile u smjeru osi y i z iščezavaju na površini kraja štapa [36]: .0,0 == ∫∫∫∫ dydzdydz

Axz

Axy ττ (4.18)

Rezultirajući moment xM dobiven iz uvjeta ravnoteže na poprečnom presjeku, definiran je plošnim integralom: ( ) ,dydzzyM

Axyxzx ∫∫ −= ττ (4.19)

odnosno vektorski zapisano:

49

( ) ( ) .dAppzyM zyAx kjkji +×+= ∫ (4.20)

S obzirom na (4.17), moment uvijanja je jednak:

.dAzzy

yyz

GMAx ∫

∂∂

+∂∂

=ωωθ (4.21)

Ako pretpostavimo da je moment xM definiran kao funkcija modula smicanja G, relativnog kuta uvijanja θ , te konstante J koja se odnosi na geometriju poprečnog presjeka, može se xM zapisati na sljedeći način: .θGJM x = (4.22) Sličan zapis može se pronaći kod štapova kružnog poprečnog presjeka, za koje konstanta J odgovara polarnom momentu tromosti. U izrazu (4.22), J odgovara konstanti uvijanja, dok GJ predstavlja torzijsku krutost štapa. Usporedbom izraza (4.21) i (4.22), može se odrediti J s pomoću funkcije izvitoperenja:

.dAzzy

yyz

JA∫

∂∂

+∂∂

=ωω (4.23)

S ovim je formulacija problema kompletirana. Funkcija izvitoperenja ω se s pomoću rubnih uvjeta dobije kao rješenje jednadžbe (4.10). Konstanta uvijanja J se može odrediti iz izraza (4.23). Za određeni moment uvijanja xM , naprezanja slijede iz (4.5) i (4.22):

.

,

+∂∂

=

∂∂

=

yzJ

M

zyJ

M

xxz

xxy

ωτ

ωτ (4.24)

Veza između momenta uvijanja xM i kut uvijanja φ je definirana preko izraza (4.22):

,xMdxdGJ =φ

(4.25)

budući je dxd /φθ = . Uvjet ravnoteže, odsječka štapa duljine dx, pokazuje da je opterećenje u vidu momenta uvijanja na jedinicu duljine xm , povezano s momentom uvijanja xM sljedećom relacijom:

xx m

dxdM

−= . (4.26)

50

Temeljne jednadžbe gibanja (4.25 i 4.26) zajedno tvore jednadžba višeg reda koja se odnosi na kut uvijanja duž štapa:

.xmdxdGJ

dxd

−=φ

(4.27)

Pristup s funkcijom izvitoperenja (za konstantu uvijanja te naprezanja na poprečnom presjeku), često se naziva formulacija pomaka problema uvijanja. Saint-Venantovo rješenje je točno unutar granica linearne teorije elastičnosti, ako su zadovoljeni slijedeći uvjeti:

1. Štap ima konstantan oblik poprečnog presjeka, 2. Dopušteno je izvitoperenje svih poprečnih presjeka, 3. Moment uvijanja na krajevima je prouzrokovan silama na površini, čija se distribucija

podudara s distribucijom proračunatih posmičnih naprezanja. Ako je izvitoperenja spriječeno, javljaju se normalna uzdužna naprezanja čak i za slučaj da je jedino opterećenje moment uvijanja. Ova normalna naprezanja, odnosno naprezanja izvitoperenja, posebno su bitna kod analize tankostijenih štapova. 4.1. Formulacija silama Prethodno prikazana formulacija Saint-Venantovog uvijanja, definirana je kao formulacija pomaka. Ovaj pristup, koji rezultira Laplaceovom jednadžbom, prikazan je preko funkcije izvitoperenja ω . Formulacija silama Saint-Venantovog problema uvijanja, može se izvesti kao alternativa pristupu koji je definiran pomakom. Za ovaj slučaj, uvodi se funkcija naprezanja ( )zy,ψ , koja je definirana slijedećim izrazima:

.,yz xzxy ∂

∂−=

∂∂

=ψτψτ (4.28)

Uvjeti ravnoteže se reduciraju na:

,0,0 =∂∂

=∂∂

=∂∂

+∂∂

xxzyzxyxxzxy ττττ

(4.29)

ako uzmemo u obzir da su obujamne sile jednake nuli, odnosno da je iz izraza (4.5)

.0,0,0,0 ==== yzzyx τσσσ Naprezanja iz izraza (4.28) zadovoljavaju ove uvjete ravnoteže. Problem uvijanja se svodi na određivanje Prandtlove funkcije naprezanja ψ . Za deformacije definirane izrazom (4.4), uvjeti kompatibilnosti se reduciraju na:

.0,0 2

222

2

2

=∂

∂−

∂∂∂

=∂∂

∂+

∂∂

−zyzzyy

xyxzxyxz γγγγ (4.30)

Budući je:

51

zGxy ∂

∂=

ψγ 1 i

yGxz ∂∂

−=ψγ 1

.

izraz (4.30) može se prikazati i na sljedeći način:

,0,0 22 =∇∂∂

=∇∂∂ ψψ

zy (4.31)

gdje je:

2

2

2

22

zy ∂∂

+∂∂

=∇ .

Da bi oba uvjeta izraza (4.31) bila ispunjena, ψ2∇ mora biti jednako konstanti. Da bi se odredila konstanta, slijedi iz (4.28):

.1

,1

2

2

2

2

2

2

∂∂∂

=∂

∂=

∂∂

+

∂∂∂

−=∂∂

−=∂∂

yzG

zz

zyG

yy

xy

xz

ωθτψ

ωθτψ

(4.32)

Suma gornjih izraza daje:

,22 θψ G−=∇ (4.33) što predstavlja Poissonovu jednadžbu, odnosno jednadžbu kompatibilnosti za uvijanje štapa. Iz izraza (4.15), te s obzirom na (4.4) i (4.28), rubni uvjeti postaju:

,00 ==∂∂

+∂∂

dsdili

dsdz

zdsdy

yψψψ (4.34)

budući je dsdzny /= i dsdynz /−= . Slijedi da ψ mora biti konstantna duž ruba poprečnog

presjeka. Vrijednost konstante je proizvoljna, budući da su naprezanja jednaka derivaciji funkcije ψ . Najčešće se uzima da je ψ jednaka nuli duž ruba presjeka. S obzirom na (4.19), rezultirajući moment uvijanja je dan s:

dydzzz

yy

MA

x ∫∫

∂∂

−∂∂

−=ψψ . (4.35)

Parcijalnom integracijom gornjeg izraza, te za vrijednost 0=ψ , dobije se:

52

dydzM

Ax ∫∫= ψ2 . (4.36)

Konstanta uvijanja postaje:

dydzGG

MJA

x ∫∫== ψθθ

2 (4.37)

Moguće je analitički rješiti nekoliko problema s jednostavnim oblicima poprečnih presjeka, koristeći formulaciju silama. Kod ovih slučajeva, izbor funkcije naprezanja (npr. polinom) predstavlja početnu točku rješavanja ovog problema. Na osnovi pretpostavljene funkcije, odabiru se koeficijenti tako da se zadovolji Poissonova jednadžba, odnosno da rubni uvjet

0=ψ bude ispunjen. Za dobiveni oblik funkcije naprezanja, mogu se iz izraza (4.28), (4.36) i (4.37) odrediti naprezanja, moment uvijanja te torzijska konstanta. 4.2. Tankostijeni štapovi Karekteristike uvijanja štapova tankostijenog poprečnog presjeka su poprilično različite u odnosu na karakteristike uvijanja štapova punog poprečnog presjeka. Osnovno načelo tankostijenih štapova počiva na činjenici da je debljina stijenke presjeka relativno mala u odnosu na druge dimenzije poprečnog presjeka. Nema jasno izražene granice između tankostijenog i punog presjeka, međutim ponekad se kao pravilo može uzeti slijedeće:

1.0max ≤b

t , (4.38)

gdje je maxt maksimalna debljina stijenke elementa poprečnog presjeka, dok b predstavlja drugu dimenziju poprečnog presjeka. Tankostijeni presjeci se smatraju otvorenim, ako srednja linija stijenke nije zatvorena krivulja, odnosno presjek je zatvoren ako ima barem jednu zatvorenu konturu. Posmična naprezanja na poprečnom presjeku štapa, koji je opterećen na čisto uvijanje, tvore sustav samouravnoteženih sila, budući da bi u suprotnom postojala rezultantna posmična sila. Za zatvoreni presjek, kontinuirana naprezanja formiraju zatvorenu petlju duž srednje linije presjeka. Kod otvorenog presjeka, petlja posmičnih naprezanja se javlja unutar pojedinih tankih presjeka. 4.2.1. Otvoreni presjeci Analiza uvijanja tankostijenih štapova otvorenog poprečnog presjeka odnosi se na tanku pravokutnu traku, prema slici 4.2:

53

Slika 4.2 Uvijanje tanke pravokutne trake [36]. Za ovaj slučaj može se pretpostaviti da je Prandtlova funkcija naprezanja nepromjenjiva duž osi z, odnosno da je samo funkcija koordinate y. Poissonova jednadžba, prikazana izrazom (4.33), može se stoga reducirati na:

.22

2

θψ Gdyd

−= (4.39)

Poissonovu jednadžbu zadovoljava funkcija naprezanja:

.4

22

−−=

tyGθψ (4.40)

Kao što je spomenuto kod formulacije silama, ψ je jednak nuli na rubovima 2/ty ±= . S obzirom na izraz (4.36) slijedi:

,312 3

dxdGbtdydzM xφψ == ∫∫ (4.41)

odakle je:

.31 3btJ = (4.42)

Ove formule se mogu primjeniti samo za slučjeve kad je t puno manji od b. Posmična naprezanja iz izraza (4.28) su: JyM xxzxy /2,0 == ττ . Distribucija naprezanja xzτ je linearna

po debljini presjeka, tj. varira linerano od nule na srednjoj liniji do maksimalne vrijednosti na vanjskim rubovima:

54

.2/

2/max JtM

dxdtG

yx

tytyxz ±=±=

∂∂

−==±=

±=

φψττ (4.43)

Ovim rješenjem ne može se postaviti nulta vrijednost funkcije naprezanja na kraćim rubovima pravokutnika. Posljedično, distribucija naprezanja JyM xxz /2=τ ne vrijedi u blizini kraćih rubova. Uvjeti na ovim rubovima nalažu da je vrijednost funkcije naprezanja jednaka nuli. Moment uvijanja kao posljedica naprezanja xzτ , predstavlja polovicu stvarnog momenta xM .

Ovo proizlazi iz činjenice da su zanemarena posmična naprezanja xyτ koncentrirana u blizini

kraćih rubova te stoga imaju duže momentne krakove za razliku od naprezanja xzτ . Za složeni tankostijeni poprečni presjek, J se obično uzima da je jednak:

,31 3

1i

m

iitbJ ∑

=

= (4.44)

gdje je m ukupni broj ravnih ili zakrivljenih segmenata (debljine it i visine ib ) koji tvore poprečni presjek. Slično izrazu (4.43), maksimalno posmično naprezanje je:

JMt xmax

max =τ . (4.45)

Kut uvijanja se može odrediti iz slijedećeg izraza:

GJM

dxd x=φ

. (4.46)

S obzirom na gornje formule, ako štapovi istih duljina, a različitih oblika poprečnog presjeka, imaju jednaku duljinu srednje linije te jednaku debljinu stijenke, te su opterećeni jednakim intezitetom momenta uvijanja, ukupni kut uvijanja biti će jednak za sve štapove. 4.2.2. Zatvoreni presjeci Jednostavne i relativno precizne formule mogu se dobit za slučaj uvijanja tankostijenih štapova zatvorenog poprečnog presjeka. Kod ovih je štapova debljina stijenki puno manja od drugih dimenzija poprečnog presjeka. Pretpostavlja se da je naprezanje kod uvijanja τ uniformno raspodijeljeno po debljini stijenke. Eksperimenti i usporedbe s preciznijim metodama, pokazuju da je ova pretpostavka ispravna za većinu šupljih tankostijenih poprečnih presjeka. Prikladno je kod ove analize zamijeniti naprezanje silom na jedinicu duljine, koja se dobije iz produkta naprezanja i debljine stijenke:

55

.tq τ= (4.47) Veličina q predstavlja tok posmičnog naprezanja. S obzirom na sliku 4.3 koja se odnosi na tankostijenu cijev, uvjet ravnoteže u smjeru osi x postavljen za element stijenke dati će: 0:0 2211 =∆−∆=∑ xtxtFx ττ , odnosno 2211 tt ττ = .

Produkt posmičnog naprezanja i debljine stijenke, odnosno tok q, konstantan je na svakoj ovakvoj ravnini. Iz momentne jednadžbe ravnoteže može se dobiti da su posmična naprezanja jednaka u kutevima spoja elementa ( )3241 ττττ == i . Slijedi da je qtt == 2414 ττ . Za

druga dva kuta vrijedi: 31 ττ = i 42 ττ = ili qtt == 2313 ττ . Može se zaključiti da je q konstantan oko presjeka koji je okomit na x os.

Slika 4.3 Uvijanje tankostijenog šupljeg cilindra [36]. Na slici 4.3 r predstavlja krak sile sq∆ u odnosu na neku prikladnu točku O. Vidljivo je da element duljine s∆ doprinosi ukupnom momentu izrazom srq∆ . Ako je s∆ malen, slijedi:

*2 Asr ∆≈∆ . S obzirom na konfiguraciju sa slike 4.3 može se zaključiti da je: *2 AqsqrM x ∆=∆=∆ . Ukupna suma doprinosa momentu uvijanja svih elemenata omogućuje

da se odredi ukupni moment uvijanja. Stoga, *2qAM x = , gdje je *A ukupna površina definirana zatvorenom konturom srednje linije. Za naprezanje tq /=τ , prethodna relacija se može prikazati i na slijedeći način:

.2 *tAM x=τ (4.48)

Vidljivo je da se maksimalna naprezanja javljaju na mjestu gdje je debljina stijenke presjeka najmanja. Kut zakreta tankostijenog šupljeg presjeka može se odrediti ako izjednačimo rad vanjskog momenta uvijanja ( )( )dxdM x /2/ φ s unutarnjom energijom deformacije ( )[ ]∫V dV2/τγ :

56

,22

dVdxdM

Vx ∫=

τγφ (4.49)

gdje je V volumen na jedinicu duljine, τ naprezanje kod uvijanja, i γ odgovarajuća deformacija. Substitucijom Hookeova zakona ( )G/τγ = u izraz (4.49), te s obzirom na izraz (4.48), može se dobiti:

∫=t

dsGA

Mdxd x

2*4φ , (4.50)

gdje se integracija provodi duž cijele konture srednje linije šupljeg presjeka. Na kraju, naprezanja kod uvijanja te jednadžbe pomaka za tankostijeni šuplji štap su: Naprezanja ili tok posmičnih sila:

.,2

,2 ** tq

tAM

AMq xx ττ === (4.51)

Kut uvijanja:

( ) ( )

,/1

4/1

4,0

2*2*

∫∫=== S

x

dst

Adst

AJGJM

dxdφ (4.52)

gdje je S duljina srednje linije stijenke štapa. Izraz za J, prikazan s (4.52), poznat je i kao Bredtova formula. Za određeni moment uvijanja xM , *2/ AMq x= predstavlja tok posmičnih sila čak i kad je debljina stijenke promjenjiva. Maksimalno posmično naprezanje se javlja na mjestu gdje je debljina stijenke minimalna: minmax / tq=τ . Ako pretpostavimo da je šuplji presjek formiran

od više segmenata duljina iS (i=1, 2, ...), različitih debljina stijenki it i modula iG , superponiranjem izraza (4.52), za pojedini segment; dobije se:

....4 22

2

11

12*

++=

GtS

GtS

AM

dxd xφ (4.53)

Prethodno napisane formule mogu se primjeniti na štapove čiji presjeci sadrže više čelija. Ako pretpostavimo da je presjek formiran od više čelija s neovisnim tokovima posmičnih sila, ravnoteža ovog presjeka se može dobiti sumiranjem izraza za pojedinu čeliju:

57

,21

*∑=

=n

iiix AqM (4.54)

gdje je iq tok posmičnih sila u i-toj čeliji, a *

iA je zatvorena površina i-te čelije. Budući da uvjet ravnoteže (4.54) nije dovoljan da bi se odredilo n nepoznatih tokova posmičnih sila, ovako postavljen problem uvijanja je statički neodređen. Za presjek koji ima tri čelije, ako postavimo izraz (4.52) samo za čeliju dva glasi možemo dobiti:

∫∫ ==22

*2

22*

2 24 SSx

tds

GAq

tds

GAM

dxdφ , (4.55)

gdje 2S indicira na integraciju oko čelije 2. Tokovi 1q i 2q u susjednim čelijama, također se moraju uzeti u obzir. Segmenti, koji pripadaju susjednim čelijama, nazivaju se pregradama. Tok u prvoj pregradi bi se trebao reducirati na 12 qq − , a u drugoj pregradi na 32 qq − . Jednadžba dana izrazom (4.55) može se stoga prikazati kao:

−−= ∫∫∫

23122312*

22 SSSx

tdsq

tdsq

tdsq

GAM

dxdφ , (4.56)

Gdje se integracija u posljednja dva člana provodi duž prve i druge pregrade. Gornji izraz se može poopćiti za i-tu čeliju:

( )

−= ∑ ∫∫

≠=

m

ijj

SjSii

x

iji tdsq

tdsq

GAM

dxd

1*2

φ , i=1, 2, .., n (4.57)

Gdje se pretpostavlja da i-ta čelija graniči s m-čelija. Izrazi (4.57) i (4.54) tvore sustav od n+1 jednadžbe s n+1 nepoznanicom ( )nqqqdxd ,...,,,/ 21φ .

58

5. Uvijanje tankostijenih štapova otvorenog poprečnog presjeka s utjecajem smicanja Kod uobičajenih teorija uvijanja tankostijenih štapova otvorenog poprečnog presjeka, izvitoperenje presjeka zbog smicanja je zanemareno [15], [56], [57]. Primjena ovih teorija je ograničena na relativno duge štapove, kod kojih se izvitoperenje presjeka zbog smicanja može zanemariti. Ove teorije se mogu primjeniti i kod analize kratkih štapova, međutim u tom slučaju treba uzeti u obzir utjecaj smicanja, odnosno deformacije nastale zbog smicanja. S obzirom na analogiju između savijanja i uvijanja, efekt smicanja se može razmatrati na sličan način kao i kod savijanja. Sličan pristup, za jednostavne tankostijene presjeke s dvije osi simetrije, može se pronaći u [58], [59]. Također u [11], je prikazana analiza pomaka štapova karakterističnih svojstava (kompozitni štapovi), kod kojih se utjecaj smicanja može zanemariti. Utjecaj smicanja na uvijanje tankostijenih štapova otvorenog poprečnog presjeka, može se očekivati za slučaj kada je Saint-Venantova komponenta uvijanja mala u usporedbi sa komponentom izvitoperenja. Ovo vrijedi za slučajeve kad je omjer duljine štapa i visine presjeka relativno malen, kao i za mali omjer debljine stijenke štapa i visine presjeka. Također ovo vrijedi i za kompozitne štapove kod kojih je modul smicanja malen u odnosu na modul elastičnosti. Saint-Venantova komponenta uvijanja, za I-profil s jednakim površinama struka i pojaseva, te konstantnom debljinom stijenke, može se zanemariti za omjere [25]:

,401,5 <<

ht

hl

gdje je h visina, odnosno širina presjeka, a t debljina stijenke. Greška u rezulatima pomaka i naprezanja, u odnosu na slučajeve za koje je Saint-Venantova komponenta uključena, kreće se u rasponu od %5.10 − . Analiza se odnosi na uobičajene matrijale i tipično opterećenje i rubne uvjete. U ovom poglavlju je prikazana približna teorija uvijanja štapova otvorenog tankostijenog presjeka s utjecajem smicanja zasnovana na klasičnoj Vlasovljevoj teoriji tankostijenih štapova otvorenog poprečnog presjeka [52]. Kad se vanjsko opterećenje svodi na jednoliko raspodijeljene momente uvijanja oko pola, štap je u općem slučaju opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja oko pola, dodatno na savijanje zbog smicanja te rastezanje/sabijanje zbog smicanja [25], [43]. Ako presjek ima jednu os simetrije, uz isto vanjsko opterećenje, štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i dodatno na savijanje zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Za poprečni presjek s dvije osi simetrije, štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja, U klasičnim teorijama uvijanja tankostijenih štapova otvorenog poprečnog presjeka, zanemaruje se vitoperenje poprečnog presjeka zbog smicanja. Ovdje prikazana teorija uzima u obzir vitoprenje zbog smicanja. Pretpostavke navedene u trećem poglavlju vrijede i ovdje, kao i izrazi (3.1)-(3.28). Pretpostavka je da su normalno naprezanje dano sa (3.20) kao i tangencijalno naprezanje dano izrazom (3.24) konstantni po debljini stijenke poprečnog presjeka. U skladu sa pretpostavkom da za vrijeme deformiranja poprečni presjek zadržava svoj oblik, Saint-Venantovo čisto uvijanje može biti uključeno s komponentom: ( )ξττ ξξ ,, sxv

xvx = ,

59

koja je linearno raspodijeljena po debljini stijenke i računa se prema:

ητ ξt

tvx I

M= , (5.1)

gdje je: ( )xMM tt = , moment čistog uvijanja definiran sa:

tt

tp

tt GIdx

dGIM ϑ

α−== , (5.2)

pri čemu je:

dstIL

t ∫= 331 , (5.3)

torzijski moment tromosti poprečnog presjeka. Ukupno tangencijalno naprezanje je: v

xxtotx ξξξ τττ += , (5.4)

Gdje je ξτ x dana s (3.24), a komponenta v

xξτ sa (5.1) i (5.2). 5.1. Jednadžbe ravnoteže Može se pretpostaviti je štap opterećen jednoliko raspodijeljenim momentom uvijanja na jedinicu duljine ( )xmm pp = , s obzirom na pol P, prema [25], [43]: ( ) ( )[ ] ,dsazpaypm

L zyyzp ∫ −−−= (5.5)

gdje su ( )sxpp yy ,= i ( )sxpp zz ,= sile na jedinicu površine u smjeru osi y i z, a L srednja linija poprečnog presjeka. Za odsječeni dio stijenke nosača, jednadžbe ravnoteže mogu se napisati prema:

( ) ( ),0cos,0 =

∂∂

==∂

∂= ∫∑∫∑ dxds

xt

Fdxdsx

tFL

xyL

xx ϕ

τσ ξ

( ) ( ),0,0sin =++

∂==

∂= ∫∑∫∑ dxmdx

dxdMdsdxh

xt

Mdxdsx

tF p

tpL

xpL

xz

ξξ τϕ

τ (5.6)

gdje je

60

dxdx

dMdsdxMx

dsx

M t

Lt

L

t =∂∂

=

∂∂

∫∫~~

.

S obzirom na (3.6) i (3.7), (5.6) se može zapisati kao:

( )

( ) ( ).0,0

,0,0

=++∂

∂=

=∂

∂=

∂∂

∫∫

∫∫

pt

Lx

Lx

Lx

Lx

mdx

dMdx

tdz

xt

dyx

tdA

x

ωττ

τσ

ξξ

ξ

(5.7)

Primjenom parcijalne integracije na gornje izraze, može s edobiti:

( )

( ) ( ).0,0

,0,0

=−−

∂∂

=

∂∂

=

∂∂

=∂∂

∫∫

∫∫

ptx

Lx

L

xLL

x

mdx

dMdss

tx

dss

tx

z

dss

tx

ydAx

ξξ

ξ

τω

τ

τσ

(5.8)

Ako izraze (2.20) i (2.24) uvrstimo u (5.8) slijedi:

.

,0

,0

,0

4

4

4

4

4

4

3

3

4

4

4

4

4

4

3

3

4

4

4

4

4

4

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

ωωωωω

ω

ω

ω

α

α

α

α

mdx

dI

dx

wdI

dx

vdI

dxudSE

dx

dI

dx

wdI

dx

vdI

dxudSE

dx

dI

dx

wdI

dx

vdI

dxudSE

dx

dS

dx

wdS

dx

vdS

dxudAE

ppy

pz

M

py

py

pyz

My

pz

pzy

pz

Mz

ppy

pz

M

=

+++−

=

+++−

=

+++−

=

−−−

(5.9)

gdje je: ∫∫∫∫ ====

AAyAzAdASzdASydASdAA ,,,, ωω

,,,2 dAyIzydAIdAyIAzAzyAz ∫∫∫ === ωω

,,2 dAzIdAzIAyAy ∫∫ == ωω

.2dAIA∫= ωω (5.10)

Za gornje izraze vrijedi slijedeće:

61

,,, zzyyzyyz IIIIII ωωωω === (5.11) te:

.dx

dMmm tp +=ω (5.12)

Ako su y,z i ω glavne koordinate, tada jednadžbe (5.9) postaju:

.,0,0,0 4

4

4

4

4

4

2

2

ωωα

mdx

dEI

dx

wd

dx

vd

dxud pppM ==== (5.13)

5.2. Veza naprezanja i unutarnjih sila 5.2.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila Integracijom tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku dobije se [25], [43]: ,,0sin,0cos dAhMdAQdAQ pA xA xzA xy ∫∫∫ ===== ξωξξ τϕτϕτ (5.14)

gdje su ( )xQQ yy = i ( )xQQ zz = poprečne sile u odnosu na osi y i z, koje su jednake nuli s obzirom na dano opterećenje. ( )xMM ωω = je moment vitoperenja u odnosu na pol P. Supstitucijom izraza (3.26) u izraz (5.14), te nakon parcijalne integracije, dobije se sljedeće:

.

,0

,0

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

3

3

3

3

2

2

3

3

3

3

3

3

2

2

ωωωωω

ω

ω

α

α

α

MIdx

dEI

dx

wdEI

dx

vdES

dxudE

Idx

dEI

dx

wdEI

dx

vdES

dxudEQ

Idx

dEI

dx

wdEI

dx

vdES

dxudEQ

py

pz

pM

yp

yp

yzp

yM

z

zp

yzp

zp

zM

y

=−−−

=−−−=

=−−−=

(5.15)

Ako su y,z i ω glavne koordinate, slijedi iz (5.15):

.,0,0 3

3

3

3

3

3

dx

dEIM

dx

wd

dx

vd ppp αωω −=== (5.16)

S obzirom na (5.13) i (5.16) slijedi:

.ωω m

dxdM

−= (5.17)

Prema (5.16), iz (3,26) sada slijedi:

62

.*

tISM

ωωωξτ = (5.18)

5.2.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila Integracijom normalnih naprezanja po površini poprečnog presjeka dobije se [43]:

.,0

,0,0

dABzdAM

ydAMdAN

A xA xy

A xzA x

ωσσ

σσ

∫∫∫∫

===

=−=== (5.19)

gdje su ( )xMM yy = i ( )xMM zz = momenti savijanja u odnosu na osi y i z, dok je B bimoment. yM i zM su jednaki nuli s obzirom na dano opterećenje. Ako se izraz (3.20) uvrsti u prvu jednadžbu (5.19), te ako se uzme u obzir da su y, z i ω glavne koordinate ( )0=== ωSSS zy , slijedi:

,00

=

∂+ ∫ ∫ dAds

xGE

dxduEA

A

sxMωξτ

odnosno uz novouvedenu sekundarne uzdužne sile:

,0

∫ ∫ ∂

∂−=

A

sx dsx

dAGEN

ωξω τ

gornji izraz postaje:

.0=− ωNdx

duEA M (5.20)

Uvrštenjem (3.20) u drugu jednadžbu (5.19), za glavne koordinate, slijedi:

,00

2

2

∫ ∫∫ =∂

∂−=−=

A

sxp

zA

xz dsx

ydAGE

dx

vdEIydAM

ωξτ

σ

te s obzirom na novouvedeni sekundarni moment savijanja:

∫ ∫ ∂

∂=

A

sx

z dsx

ydAGEM ,

0

ωξω τ

gornji izraz postaje:

63

.02

2

=−= ωz

pzz M

dx

vdEIM (5.21)

Uvrštenjem (3.20) u treću jednadžbu (5.19), za glavne koordinate, slijedi:

,00

2

2

=∂

∂+−== ∫ ∫∫

A

sxp

yA

xy dsx

zdAGE

dx

wdEIzdAM

ωξτ

σ

te s obzirom na novouvedeni sekundarni moment savijanja:

∫ ∫ ∂

∂−=

A

sx

y dsx

zdAGEM ,

0

ωξω τ

gornji izraz postaje:

.02

2

=−−= ωy

pyy M

dx

wdEIM (5.22)

Uvrštenjem (3.20) u četvrtu jednadžbu (5.19), za glavne koordinate, slijedi:

,0

2

2

∫ ∫ ∂

∂+−=

A

sxp dsx

dAGE

dx

dEIB

ωξ

ωτ

ωα

te s obzirom na novouvedeni sekundarni bimoment:

∫ ∫ ∂

∂−=

A

sx dsx

dAGEB

0

,ωξω τ

ω

gornji izraz postaje:

.2

ωα

Bdx

dEIB p −−= (5.23)

Iz (5.18) je ω

ωωωξτ

tISM

x

*= . Ako prethodni izraz za tangencijalno naprezanje uvrstimo u

novouvedene izraze za komponente unutarnjih sila, te ako parcijalno integriramo, dobije se:

64

∫∫

∫∫

==

−==

AL

yy

L

zz

L

dAt

SGI

EmBdstSS

GIEmM

dstSS

GIEmMds

tSA

GIEmN

.,

,,

2***

****

ω

ωω

ωω

ωω

ω

ω

ωω

ωωω

ωω

ω

(5.24)

Iz (5.20), (5.21), (5.22) i (5.23), te imajući u vidu (5.16) dobije se

,,0

,0,0

3

3

3

3

3

3

2

2

ω

ω

ω

ω

ωω

αM

dxdB

dxdB

dx

dEI

dxdM

dx

wdEI

dxdM

dx

vdEI

dxdN

dxudEA

pypy

zpz

M

=+=−==−

==== (5.25)

odnosno uz (5.13):

.,0,0,0 4

4

4

4

4

4

3

3

ωω

ωα

mdx

dMdx

dEI

dx

wdEI

dx

vdEI

dxudEA pp

yp

zM =−==== (5.26)

Uzevši u obzir (5.4) i (5.12), moment torzije može se izraziti kao: tp MMM += ω , pa je:

.dx

dMm p

p −= (5.27)

Pretpostavka je da vrijedi .konstm =ω , u protivnom jednadžbe (5.25) i (5.26) daju samo približna rješenja. Izrazi (5.20), (5.21), (5.22) te (5.23), uz (5.24), mogu se zapisati na sljedeći način:

.1,

,,11

2*

22

2

2

**

2

2

2

**

2

2

2

**

dAt

SI

IGI

mEI

Bdx

ddA

t

SSII

WGWm

dx

wd

dAtSS

IIW

GWm

dx

vddA

tSA

IGAm

dxdu

A

p

p

p

A

y

y

p

p

p

A

z

z

p

p

p

A

M

∫∫

∫∫

⋅−−=⋅−=

⋅−=⋅=

ω

ωω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ωωω

ωω

α (5.28)

Uvođenjem faktora smicanja prema:

65

,,

,,1

2*

22

**

2

**

2

**

dAt

SI

IdA

t

SSII

W

dAtSS

IIW

dAtSA

I

A

p

A

y

y

pz

A

z

z

py

Ax

∫∫

∫∫

==

==

ω

ωωω

ω

ωω

ω

ωω

ωω

ωω

κκ

κκ

(5.29)

gdje su:

• ωκ x faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka pα , • ωκ y faktor smicanja u odnosu na pomak pv zbog pomaka pα , • ωκ z faktor smicanja u odnosu na pomak pw zbog pomaka pα , • ωωκ faktor smicanja u odnosu na pomak pα .

Uvođenjem smicajnih momenata otpora, te smicajnog momenta tromosti:

ωωωω κκκps

pz

pspz

y

pspy

II

WW

WW === ,, (5.30)

mogu se izrazi (5.20), (5.21), (5.22) te (5.23) zapisati i kao:

.,

,,

2

2

2

2

2

2

ωωω

ωω

ω

ωω

ωω

κα

κ

κκ

p

pz

p

p

yp

px

M

GIm

EIB

dx

dGWm

dx

wd

GWm

dx

vdGA

Emdx

du

−−=−=

−==

(5.31)

Normalno naprezanje dano sa (3.20) može se izraziti uz pomoć unutarnjih sila na sljedeći način:

.0

*

ANy

IMz

IM

dst

SGI

EmIB

IB

z

z

y

ysx

ωωωω

ωω

ω

ω

ωωωσ +−+−+= ∫ (5.32)

Unutarnje sile dane sa (5.24) , te uzimajući u obzir (5.29), mogu se zapisati i na ovaj način:

.,

,,

pp

zyy

p

yzz

x

GIEImB

GWEI

mM

GWEI

mMG

EmN

ωωωω

ωωω

ω

ωω

ωωω

ω

κκ

κκ

==

−==

(5.33)

Izraz za naprezanje (5.32) sada postaje:

66

.

0

*

GAEmy

GWE

m

zGWEmds

tS

GIEm

GIEm

IB

x

p

y

p

zs

px

ωω

ωω

ωω

ω

ωω

ωωω

ω

κκ

κωκωσ

++

+−+= ∫ (5.34)

5.3. Pomaci pola Jednadžbe (5.31) mogu se napisati razdvojeno na sljedeći način:

,,,,,,

,,,,,

sspt

tpps

spb

bpp

sspb

bpps

sMM

wwwwww

vvvvvvuuuu

αααααα ≡≡≡≡≡≡

≡≡≡≡≡

odnosno:

,,0,0,0 2

2

2

2

2

2

ω

αEIB

dxd

dxwd

dxvd

dxdu tbb −==== (5.35)

te:

.,,, 2

2

2

2

2

2

p

s

p

zs

p

ysxsGI

mdx

dGW

mdx

wdGW

m

dxvd

GAm

dxdu ωωωωωωωωω κακκκ

−=−=−== (5.36)

Jednadžbe (5.35) predstavljaju poznate jednadžbe klasične teorije tankostijenih štapova [1], [3]. Jednadžbe (5.36) predstavljaju utjecaj smicanja na pomake. Integracijom jednadžbi (5.36) dobije se:

,,,, αωωωωωω κακκκ C

GIBC

GWBwC

GWB

vGA

Mup

swp

zsv

p

ys

xs +=+=+−=−= (5.37)

gdje su vC , wC i αC konstante integracije. Iz uvjeta da je na lijevom kraju nosača: ,0,0,0 === sss wv α (5.38) slijede konstante integracije:

.,, sp

spz

wspy

v GIBC

GWBC

GWBC −=−=−= α (5.39)

Ukupni pomaci mogu se izraziti prema:

67

.,,, ωωωωωω καακκκ

p

Atz

p

Ay

p

AxGI

BBGW

BBwGW

BBvGA

Mu −+=

−=

−=−= (5.40)

5.4. Posebni slučajevi 5.4.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije U slučaju da je os z os simetrije, lako se može pokazati da je .0== ωω κκ zx Izraz (5.34) postaje:

.0

*y

GWE

mdst

SGI

EmGI

EmIB

p

ys

px

ωω

ω

ωω

ωωω

ω

κωκωσ +−+= ∫ (5.41)

Izraz (5.40) postaje:

.,0,,0 ωωω καακp

Aty

p

AGI

BBwGW

BBvu −+==

−== (5.42)

Štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i dodatno na savijanje zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. 5.4.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije Izraz za normalno naprezanje (5.34) postaje:

,0

*

∫−+=s

px ds

tS

GIEm

GIEm

IB ω

ωω

ωωω

ωωκωσ (5.43)

Budući je uz 0== ωω κκ zx i .0=ωκ y Izraz za pomake (5.40) postaje:

.,0,0,0 ωωκααp

At GI

BBwvu −+==== (5.44)

Štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja.

68

6. Teorija ograničenog vitoperenja s utjecajem smicanja Teorija ograničenog vitoperenja s utjecajem smicanja, prikazana u [48] i [49], bazira se na modelu pomaka koji koristi tri neovisna parametra izvitoperenja. Ovi parametri su povezani sa tri Saint-Venantove funkcije, koje se odnose na uvijanje te na poprečne sile. Ova teorija ne traži pretpostavke za funkcije vitoperenja i Saint-Venantova posmična naprezanja (Vlasovljeve pretpostavke za tankostijene profile), te vrijedi za svaki homogeni poprečni presjek napravljen od elastičnog izotropnog materijala. Ako se zanemare neki članovi u izrazu za energiju deformacije, a koji se odnose na vitoperenje, može se dobiti pojednostavljena verzija predložene teorije. Kod ove pojednostavljene teorije, broj stupnjeva slobode je reduciran, budući da je parametar torzijskog vitoperenja jednak relativnom kutu uvijanja, dok su parametri posmičnog vitoperenja jednaki kutnoj deformaciji. Primjena ove teorije je prikazana u [49], gdje je izvršena analitička i numerička analiza štapova (konzola), različitih oblika poprečnog presjeka (puni presjek, tankostijeni otvoreni/zatvoreni presjek, simetrični i nesimetrični presjek), opterećenih na uvijanje i savijanje s utjecajem smicanja. Za presjeke s dvije osi simetrije, s obzirom na numeričku analizu, dana je raspodjela pomaka i naprezanja duž osi štapa. Također je prikazana i trodimenzionalna distribucija naprezanja u blizini uklještenog kraja, te su predviđanja naprezanja predložene teorije uspoređena s rezultatima dobivenim iz proračuna trodimenzionalnim konačnim elementima (3D-FEM). Za presjek s jednom osi simetrije, razmatra se uvijanje U-profila, kod kojeg uvijanje ne inducira samo zakret presjeka, već dolazi i do poprečnog pomaka štapa. Za ovaj primjer prikazana je usporedba rezultata koje daju predložena teorija, odnosno teorija koju su razvili Kim i Kim (2005) [12]. Numerička primjena za predloženu teoriju služi za proračunavanje svih karakteristika poprečnog presjeka: konstanti poprečnog presjeka, Saint-Venantovih funkcija vitoperenja te Saint-Venantovih posmičnih naprezanja. Ova numerička metoda je opisana u [41] i [42]. 6.1. Trodimenzionalno rješenje Saint-Venantovog problema U ovom poglavlju je prikazano rješenje dobiveno Saint-Venantovom teorijom, a koje se odnosi na homogeni, elastični i izotropni materijal. Da bi se rješenje pojednostavnilo, kod ove teorije je zanemaren Poissonov koeficijent. Referentni problem prikazan slikom 6.1, predstavlja 3D ravnotežni problem. Presjek štapa označen je sa S, a duljina sa L. latS predstavlja bočnu površinu, dok su 0S i LS presjeci na krajevima štapa. y i z su jedinični vektori glavnih osi tromosti presjeka. Točka A presjeka definirana je s Xx+= xM , gdje se X odnosi na presjek S. Materijal štapa je određen Youngovim modulom E te modulom smicanja G. Štap je u stanju ravnoteže s obzirom na vanjsko opterećenje 0H i LH , koje djeluje na 0S i LS . SV rješenje zadovoljava sve uvjete ravnoteže, osim rubnih uvjeta na ( )LSiS0 koji su zadovoljeni samo u smislu rezultante (sila i moment).

Slika 6.1 Saint-Venantov problem [49].

69

S obzirom na SV rješenje potrebno je definirati sljedeće oznake:

• ( )cc zy , predstavljaju koordinate centra smicanja na poprečnom presjeku. Sa ( ) ( )( )cc zzyy −−= ,,0X se definira vektor poprečnog presjeka štapa, u odnosu na

centar smicanja C. • σ predstavlja tenzor naprezanja. Naprezanja poprečnog presjeka ( )MR, , odnosno

rezultanta i moment, definirani su na sljedeći način:

( ) ( ),,, zy TTN=⋅= xσrR ( ) ( )zyx MMM ,,=⋅= xσmM , (6.1)

gdje su ( )zy TTN ,, uzdužna sila i poprečne sile, xM je moment uvijanja u odnosu na

centar smicanja C, te su ( )zy MM , momenti savijanja u odnosu na težište G. SV rješenje je prikazano sljedećim izrazima:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ,xXXX

XzyXxuξzzyyxx

zyxsv

TTM

xxxx

φφφ

ωωω

+++

+∧++∧+= (6.2)

sym

svxz

svxy

svxx

sv

=000σσσ

σ ,

++=+=

−+=

zzyyxxsvxz

svxy

sv

z

Z

y

ysvxx

TTM

yI

MzI

MAN

τττzyτ σσ

σ (6.3)

,,,,,,z

z

zy

y

y

x

xz

z

zy

y

yx EIM

EIM

GJM

GAT

GAT

EAN

====== χχχγγγ (6.4)

gdje su: ( )ωu, pomaci poprečnog presjeka, ( )ωχωxuγ ′=∧+′= , relativne jedinične deformacije poprečnog presjeka, ( )JIIAAA zyzy ,,,,, površina presjeka, reducirane površine

presjeka, momenti tromosti i konstanta uvijanja. ( )ii τ,φ s zyxi ,,∈ su SV funkcije vitoperenja te SV posmična naprezanja koja odgovaraju uvijanju i poprečnim silama. S obzirom na ovo rješenje, pretpostavljeno je da komponente unutarnjih sila ( )MR, zadovoljavaju jednodimenzionalne jednadžbe ravnoteže (1D): ,0=′R .0=∧+′ RxM (6.5) Unutarnje sile su povezane s ( )χγ, preko nevezanih konstitutivnih relacija (izraz (6.4)). svσ predstavlja jedinstveno rješenje, dok je vrijednost pomaka svξ dana unutar proizvoljnog pomaka krutog tijela. Izrazi (6.5) i (6.4), zajedno s zadanim rubnim uvjetima na 0S i LS , formiraju jednodimenzionalni problem SV teorije štapova.

70

6.1.1. Svojstva SV-funkcija vitoperenja te SV posmičnih naprezanja

(a) SV posmična naprezanja iτ zadovoljavaju prirodne uvjete:

,yτ =y zτ =z , 0=xτ ,

0=∧ yτX , 0=∧ zτX , .xτX =∧ x (6.6)

(b) Posmične sile i uvijanje nisu povezani (izraz 6.4), što implicira sljedeće:

,1J

xx =⋅ ττ ,1

y

yy

A=⋅ ττ ,1

z

zz

A=⋅ ττ

.0=⋅=⋅=⋅ zyzxyx ττττττ (6.7)

(c) Funkcije vitoperenja su odabrane tako da vrijedi:

.,,,0 zyxizy iii ∈=== φφφ (6.8) Ovi uvjeti su uvijek mogući [37], budući je svξ jedinstven unutar proizvoljnog pomaka krutog tijela.

(d) Počevši od izraza (6.2)-(6.4), mogu se izvesti relacije između SV posmičnih

naprezanja i funkcija vitoperenja:

( )xx GJJ

φ∇+∧= Xxτ 1 , ( )yy

y

y GAA

φ∇+= yτ 1 , ( )zz

z

z GAA

φ∇+= zτ 1 . (6.9)

(e) Kada poprečni presjek ima y-ili/i z os simetrije, vrijede sljedeća svojstva:

y-simetrija 0=cz , xφ je neparna /z, yφ je parna /z, zφ je neparna /z. z-simetrija 0=cy , xφ je neparna /y, yφ je neparna /y, zφ je parna /z. (6.10)

6.2. Teorija ograničenog vitoperenja s utjecajem smicanja Zbog pojednostavljenja, referentni problem analiziran u prethodnom poglavlju zadržan je i u ovoj cjelini. Teorija ograničenog vitoperenja je bazirana na sljedećem modelu pomaka (slično SV jednadžbi (6.2)): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,,, xXXzyXxvηθvξ i

izyx xxxxx ψηθθθ +∧++∧+= (6.11) gdje i

iψη predstavlja sumu s obzirom na Einsteinovu konvenciju o sumiranju zyxi ,,∈ , ( )θv, su pomaci poprečnog presjeka, iη ( )zyx ηηη ,, su parametri vitoperenja te su iψ funkcije vitoperenja koje se odnose na uvijanje i na poprečne sile. Funkcije vitoperenja iψ su

71

povezane s SV funkcijama sljedećim izrazima: xx GJφψ = , yy

y GA φψ = , zz

z GA φψ = . Ovakav izbor pretpostavlja da poprečni presjek ne mijenja svoj oblik (nema distorzije). Teorija bazirana na polju pomaka (6.11), čiji su prametri ( )ηθv ,, , može se izvesti s pomoću principa virtualnih radova. S obzirom na to, definiran je izraz za virtualni pomak

( )ηθv ˆ,ˆ,ˆˆ ξξ = , te izraz za odgovarajući tenzor deformacije ( )ξˆ εε = . Zajedno s θxγ ˆˆˆ ∧+′= v i θχ ′= ˆˆ , komponente tenzora ε su:

( ) .ˆˆˆˆˆ2

ˆ2,ˆˆˆˆˆ iixzy

xz

xyiizyxxx yz ψηχγγ

ε

εψηχχγε ∇+∧++=

+−+= Xxzy (6.12)

Unutarnji virtualni rad je: ( ) dxW

Li ∫−= ξεσ ˆ: . Koristeći izraz za virtualnu deformaciju

(6.12), iW poprima sljedeći oblik:

( )

( ) ( )( ) [ ] ,ˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

0L

Ls

Lsi

dx

dxW

ηMθMvRηMMθMθxvR

ηMηMχMγR

⋅+⋅+⋅−−′+⋅′+∧+⋅′=

⋅+′⋅+⋅+⋅−=

ψψ

ψ

(6.13)

gdje je:

,xσR ⋅= ,xσmM ⋅=

,ii

xx xM ψσψ = ,,, iizxz

iyxys xM ψσψσ += ( )zyxxi ,,∈ (6.14)

Gornjim izrazima su definirane unutarnje sile: R , M , ψM , sM . Novodefinirane unutarnje

sile ( )zyx MMM ψψψψ ,,=M i ( )zs

ys

xss TTM ,,=M , zovu se vektor bimomenta, odnosno

sekundarni vektor unutarnjih sila. Vanjski virtualni rad je definiran sljedećim izrazom: dSdSW

LS LSe ∫∫ ⋅+⋅= ξHξH0

0 . S

obzirom na (6.12), može se dobiti: ,ˆˆˆˆˆˆ 000000 LLLLLLeW ηQθCvPηQθCvP ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (6.15) gdje ( )( )zHyHxHQHCHP zx

Iyx

Ixx

IIIIII ψψψ ++=== ;; definira, za 1D teoriju,

reakcije u osloncima za zadano površinsko opterećenje na krajevima štapa: IH LI ,0∈ . Zahvaljujući principu virtualnog rada, iz jednadžbi (6.13)-(6.15) mogu se dobiti jednadžbe ravnoteže, kao i odgovarajući rubni uvjeti:

,0

00

=−′=∧+′

=′

sMMRxM

R

ψ

LLLL

Lx

x

QCPMMR

QCPMMR

,,,,:

,,,,:0 0000

−==

−==

ψ

ψ (6.16)

72

Ako s ( )τσ DDD ,= označimo poopćeni vektor deformacija, a s ( )τσ TTT ,= odgovarajući poopćeni vektor sila, vrijedit će sljedeće:

( ) ( )( ) ( ).,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,z

szy

syx

sxzyxzy

zzyyxxzyxzyx

TTTTMMMMMMMN ==

=′′′=τ

ψψψσ

τσ ηγηγηχηηηχχγ

TT

DD (6.17)

1D konstitutivna jednadžba se može prikazati kao: ΓDT = , gdje Γ predstavlja strukturni operator krutosti. S pomoću matričnog zapisa, elastična energija deformacije, za 1D model

štapa, može se zapisati na sljedeći način: ( ) [ ] [ ][ ]dxWL

tDel DΓDDD ∫=

21,1 . Za 3D problem,

koristeći tenzor deformacije ε koji se odnosi na pomak ( )ηθvξ ,, , te s pomoću Hookeova zakona, elastična energija deformacije štapa glasi:

( ) ( ) dxGEWL

xzxyxxD

el ∫ ++= 2223 421, εεεεε (6.18)

Izjednačavanjem izraza za energiju deformacije D

elW 3 i DelW 1 može se dobiti operator krutosti

Γ . Iz ovog postupka je vidljivo da se Γ može zapisati kao

=

τ

σ

ΓΓ

Γ0

0, iz ćega slijede

dvije nevezane relacije: σσσ DΓT = i τττ DΓT = . Operatori krutosti su povezani s normalnim i posmičnim naprezanjima. Koristeći svojstva za SV posmična naprezanja i SV funkcije vitoperenja, σT i τT se reduciraju na:

,000000000000

symzz

yzyy

xzxyxxz

y

IIIIII

II

A

E

=

ψ

ψψ

ψψψ

σΓ

,

0

000

−−

−−−

−−−−−

=

z

y

ccx

zc

yc

ccxccx

AAAA

AyAzJIAAAyA

AAAzAAyAzIJAyAzI

GτΓ (6.19)

gdje konstante poprečnog presjeka jiijI ψψψ = definiraju matricu vitoperenja ψI . Iz izraza za deformaciju (6.12), te iz inverznih konstitutivnih relacija (6.19), mogu se normalna i posmična naprezanja prikazati s pomoću komponenata unutarnjih sila. S obzirom na svojstva (6.9), može se dobiti sljedeće:

73

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ],2

2

2

zxyyyxxyxzxyyzxxxyyxzyzxyz

zxzxyyzxxyxzzzxxxyzxzzzxyy

zyyxzyzxyyyzxzzzxyxyzzzyyx

z

z

y

ynuwxx

IIIIIIIIIIIM

IIIIIIIIIIIM

IIIIIIIIIIIM

yI

MzI

MAN

svxx

ψψψκ

ψψψκ

ψψψκ

σ

ψψψψψψψψψψψσ

ψ

ψψψψψψψψψψψσ

ψ

ψψψψψψψψψψψσ

ψ

σ

++−−+−+

+−+−+−−+

−++−+−+

−+=

444 8444 76

gdje je: ,2 222 yyxzyzxzxyzzxyyzxxzzyyxx IIIIIIIIIIII ψψψψψψψψψψψψσκ −+−−=

(6.20)

( )( )( ) ( ) ( )( )[( )( ) ( )( )]

( )( )[( )( )( )( ) ( ) ( )][ ( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( ) ],22222

22222

222

zyc

zcyx

yycc

xyc

ys

zzcc

yzc

yczx

xzc

ys

zzyc

yyzc

xzcyc

xxzy

xs

zyyxxnuw

AAAyAAzAAJIAAzy

JAAAyT

AAzyAAAzAAyAAJI

JAAAzT

AAAAyAAAAz

AAzAAyAIAAAAMTTM

sv

τzτyτ

Xxτ

zττyτ

Xxτ

zτyτ

τXxτ

−−−−−−+−−

∧−−

−−−−−−−−+

∧−−−+

−−−−−−

−+−−∧−−−+

++=

τ

τ

τ

τ

κ

κ

κ

ττττ444 8444 76

gdje je: ( )( )( ) ( ) ( )( )zcyczyx AAzAAyAAAAAJI −+−−−−−= 222

τκ (6.21) Iz gornjih izraza može se uočiti dodatni doprinos novih unutarnjih sila ψM i sM . S obzirom na prethodnu analizu, sljedeći zaključci se mogu izvesti:

• Kod teorije ograničenog vitoperenja s utjecajem smicanja, postoji veza savijanje-uvijanje, čak i kad je moment uvijanja definiran u odnosu na centar smicanja C, dok se momenti savijanja odnose na težište G. Za proizvoljni poprečni presjek, ovaj efekt proizlazi iz tri komponente ( )yzxzxy III ψψψ ,, matrice vitoperenja te iz koordinata ( )cc zy , centra smicanja.Također, ova veza je vidljiva iz konstitutivnih relacija(6.19), kao i iz izraza za naprezanje (6.20) i (6.21). Za poprečni presjek s dvije osi simetrije, prema

74

izrazu (6.10), slijedi: 0===== yzxzxycc IIIzy ψψψ . Za ova slučaj veza uvijanje-

savijanje iščezava, a naprezanje se reduciraju na:

,zzz

zy

yy

yx

xx

xsvxx

nuwxx I

MIM

IM

ψψψσσψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ +++= (6.22)

( )

( ) .11

1

−+

−+

+

∧−

−+=

zy

Xx

AAAAT

AAAAT

IJIIM

z

z

zs

y

y

ys

x

x

x

xxs

svnuw

ττ

τττ (6.23)

• Jednadžbe ravnoteže (6.16), konstitutivne relacije ΓDT = (6.19), te rubni uvjeti na 0S

i LS , formiraju 1D problem koji definira teoriju ograničenog vitoperenja. Za štap (konzola) koji je opterećen na savijanje i uvijanje, vitoperenje je spriječeno na upetom kraju ( )0=η , dok je neograničeno ( )0=ψM na slobodnom kraju. Vitoperenje je stoga neuniformno duž raspona štapa.

• Ako razmotrimo štap koji je oslobođen opterećenja na vanjskim površinama, izraz za posmično naprezanje (6.21) se sastoji od Saint-Venantovih posmičnih naprezanja

zyx i τττ , te dopunskih članova ( ),Xx ∧ ( )y , ( )z , povezanih s zs

ys

xs TiTM , . Saint-

Venantova posmična naprezanja išćezavaju na slobodnom rubu poprečnog presjeka, međutim dopunski članovi narušavaju rubne uvjete. Stoga, doprinos sekundarnih unutarnjih sila, na distribuciju posmičnih naprezanja, nije u potpunosti zadovoljavajući.

• Potrebno je za dani poprečni presjek, prije primjene teorije ograničenog vitoperenja, odrediti sve konstante ( )cczyzy zyJIIAAA ,,,,,,, te pogotovo SV funkcije vitoperenja

( )zyx ψψψ ,, i SV posmična naprezanja ( )zyx τττ ,, . Ove nepoznanice se mogu odrediti s pomoću numeričkih metoda, koje su opisane u [39], [41], [42].

6.3. Analiza rezultata dobivenih primjenom teorije ograničenog vitoperenja s utjecajem smicanja Teorija ograničenog vitoperenja s utjecajem smicanja prikazana je kod analize štapova (konzole) različitih oblika poprečnog presjeka (puni presjek, tankostijeni zatvoreni/otvoreni, s jednom ili dvije osi simetrije), koji su opterećeni na savijanje i uvijanje. Dobiveni numerički rezultati se odnose na 1D strukturno ponašanje, te na 3D distribuciju naprezanja po presjeku u blizini upetog kraja. Vrijednosti naprezanja su uspoređene s rezultatima koje daje proračun 3D konačnim elementima. S obzirom na prethodno spomenutu analizu, neki značajni rezultati se mogu izdvojiti:

• Prvi rezulat se odnosi na vezu savijanje-uvijanje, do koje dolazi zbog nesimetričnog poprečnog presjeka. Za U-profil, prikazan na slici 6.2, dane su vrijednosti kuta uvijanja ( )Lxθ i pomaka ( )Lvz dobivene iz četiri različite teorije. Postoji dobro poklapanje vrijednosti kuta uvijanja za tri teorije (Vlasov, Kim i Kim, Teorija ograničenog vitoperenja), dok rezulat dobiven SV teorijom značajno odstupa.

75

Vrijednost poprečnog pomaka, dobivena teorijom ograničenog vitoperenja, dobro se slaže sa rezulatatom koji daje Kim teorija štapova.

Slika 6.2 Uvijanje konzole (U-profil) omjera h/L=5 [49].

• Drugi rezultat obuhvaća naprezanja na upetom presjeku konzole, koja je opterećena na

savijanje i uvijanje. Vrijednosti naprezanja se odnose na dva tipa presjeka: puni pravokutni presjek (CS1) i otvoreni tankostijeni, simetrični I-presjek (CS2). Za slučaj uvijanja, dobiveni rezultati ukazuju da su normalna naprezanja (zbog ograničenog vitoperenja) mnogo veća od posmičnih naprezanja (Tablica 6.1). Kod savijanja kratkog štapa, može se vidjeti iz rezulatata da normalna naprezanja w

xxσ (zbog ograničenog vitoperenja) mogu dosegnuti 50% vrijednosti normalnog naprezanja sv

xxσ .

Tablica 6.1. Uvijanje: Normalna i posmična naprezanja [49].

Tablica 6.2. Savijanje kratke konzole (h/L=2.5). Usporedba normalnih naprezanja [49].

76

Zaključak S obzirom na pregledanu literaturu, postoje tri različita pristupa koja se bave razvojem teorija o štapovima. Prvi pristup je baziran na kinematskim (i statičkim) pretpostavkama, pri čemu veliku ulogu ima inženjersko iskustvo i intuicija. Drugi pristup se svodi na asimptotsku ekspanziju 3D rješenja teorije elastičnosti, koristeći pri tome male parametre koji su usko vezani za geometrijske karakteristike štapova. Zadnji pristup se odnosi na jednodimenzionalnu teoriju koja proizlazi iz 3D Saint-Venantovog rješenja. Strukturno ponašanje štapova može se opisati različitim ne-uniformnim teorijama, koje su razvijene s obzirom na tri prethodno spomenuta pristupa. Za slučajeve kad poprečni presjeci imaju dvije osi simetrije, postoji dobro slaganje u rezultatima koje daju ove teorije višeg reda. Također, postoji podudaranje u izrazima koji se odnose na dodatna normalna naprezanja nastala zbog vitoperenja poprečnih presjeka. S druge strane, situacija nije tako jasna po pitanju tangencijalnih naprezanja, budući da su ona usko vezana za parametar vitoperenja. Isto tako, efekti koji proizlaze iz nesimetričnosti poprečnog presjeka, različito su tumačeni od strane pojedinih istraživača. Kod većine radova koji se bave ne-uniformnim teorijama, za nesimetrični poprečni presjek, ako su momenti savijanja definirani u odnosu na težište presjeka, a moment uvijanja u odnosu na centar smicanja, efekti savijanja i uvijanja nisu međusobno povezani.

77

Literatura [1] I. Alfirević: Nauka o Čvrstoći I, Tehnička knjiga d.d., Zagreb, 1995. [2] E. Carrera, G. Giunta, M. Petrolo: Beam Structures – Classical and Advanced

Theories, John Wiley & Sons, Ltd, 2011 [3] V. Šimić: Otpornost materijala I, Školska knjiga d.d., Zagreb, 1992. [4] S. Timošenko: Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1972. [5] S. Timoshenko, J. Goodier: Theory of elasticity, McGraw-Hill, 1970. [6] G. R. Cowper: The shear coefficient in Timoshenko's beam theory, Journal of

Applied Mechanics, 335-340, 1966. [7] K. Murty: On the shear deformation theory for dynamic analysis of beams,

Journal of Sound and Vibration, 101(1), 1-12, 1985. [8] P. F. Pai, M. J. Schulz: Shear correction factors and an energy consistent beam

theory, International Journal of Solids and Structures, 36, 1523-1540. [9] F. Gruttmann, W. Wagner: Shear correction factors in Timoshenko's beam theory

for arbitrary shaped cross-sections, Computational Mechanics, 27, 199-207, 2001. [10] R. Pavazza, B. Blagojević: On the stress distribution in thin-walled beams

subjected to bending with influence of shear, 4th International Congress of Croatian Society of Mechanics, 2003.

[11] T. M. Roberts, H. Al-Ubaidi: Influence of shear deformation on restrained torsional warping of pultruded FRP bars of open cross-section, Thin-Walled Structures, 39, 395-414, 2001.

[12] Nam-Il Kim, Moon-Young Kim: Exact dynamic/static stiffness matrices of non-symetric thin-walled beams considering coupled shear deformation effects, Thin-Walled Structures, 43, 701-734, 2005.

[13] I. Mechab, A. Tounsi, M. A. Benatta, E. A. Bedia: Deformation of short composite beam using refined theories, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 346, 468-479.

[14] S. Benscoter: A theory of torsion bending for multicell beams, Journal of Applied Mechanics, 21 (1), 25-34, 1954.

[15] V. Z. Vlasov: Thin-walled elastic beams, 2nd edition, Jerusalem, Israel; Program for Scientific Translation; 1961.

[16] J. L. Batoz, G. Dhatt: Modelisation des Structures par Elements Finis, Volume 1: Solides elastiques, Hermes Edition, Paris; 1990.

[17] L. Mentrasti: Torsion of box girders with deformable cross sections, Journal of Engineering Mechanics, 117 (10), 2179-2199, 1991.

[18] A. Prokić: Thin-walled beams with open or closed cross-section, Computers and Structures, 47 (6), 1065-1070, 1993.

[19] F. Gruttmann, R. Sauer, W. Wagner: Shear stresses in prismatic beams with arbitrary cross-section, International Journal of Numerical Methods in Engineering, 45 (7), 865-889, 1999.

78

[20] S. S. Maddur, S. K. Chaturvedi: Laminated composite open profile sections; non-uniform torsion of I-sections, Composite Structures, 50, 159-169, 2000.

[21] E. J. Sapountzakis, V. G. Mokos: Warping shear stresses in nonuniform torsion of composite bars by bem, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192, 4337-4353, 2003.

[22] E. J. Sapountzakis, V. G. Mokos: Nonuniform torsion of composite bars of variable thickness by bem, International Journal of Solids and Structures, 41 (7), 1753-1771, 2004.

[23] M. Eisenberg: An exact high order beam element, Computers and Structures, 81, 147-152, 2003.

[24] K. Saade, B. Espion, G. Warzee: Non-uniform torsional behavior and stability of thin walled elastic beams with arbitrary cross sections, Thin-Walled Structures, 42, 857-881.

[25] R. Pavazza: Torsion of thin-walled beams of open cross-section with influence of shear, International Journal of Mechanical Sciences 47, 1099-1122, 2005.

[26] M. Touratier: An efficient standard plate thory, International Journal of Engineering Sciences, 29 (8), 901-916, 1991.

[27] J. N. Reddy, C. M. Wang, K. H. Lee: Relationships between bending solutions of classical and shear deformation beam theories, International Journal of Solids and Structures VOL. 34, No. 26, 3373-3384; 1997.

[28] K. P. Soldatos, P. Watson: A general theory for the accurate stress analysis of homogeneous and laminated composite beams, International Journal of Solids and Structures, 34 (22), 2857-2885, 1997.

[29] C. Kim, S. R. White: Thick-walled composite beam theory including 3-D elastic effects and torsional warping, International Journal of Solids and Structures, 34 (31-32), 4237-4259, 1997.

[30] F. Martinez, J. Segura, D. Gay: Effects locaux lies au gauchissement variable dans les poutres homogenes et composites soumises a la flexion, Compte Rendu de l'academie des Sciences, Mecanique des Solides et des Structures, 327 (II-b), 653-658, 1999.

[31] O. Rand: A multilevel analysis of solid laminated composite beams, International Journal of Solids and Structures, 38 (22-23), 4017-4043, 2001.

[32] C. M. Wang, J. N. Reddy, K. H. Lee: Shear deformable beams and plates, Elsevier Science Ltd, The Boulevard, Langford Lane, Kidlington, Oxford, OX5 IGB. UK

[33] J. N. Reddy, C. M. Wang, G. T. Lim, K. H. Ng: Bending solutions of levinson beams and plates in term of the classical theories, International Journal of Solids and Structures, 38, 4701-4720.

[34] L. Dufort, S. Drapier, M. Grediac: Closed-form solution for the cross-section warping in short beams under three-point bending, Composite Structures, 52, 233-246, 2001.

[35] I. Alfirević: Linearna analiza konstrukcija, Sveučilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb 1999.

[36] W. D. Pilkey: Analysis and Design of Elastic Beams, John Wiley and Sons, 2002.

79

[37] P. Ladeveze, J. G. Simmonds: New concepts for linear beam theory with arbitrary goemetry and loading, European Journal of Mechanics, A/Solids 17 (3), 337-402, 1998.

[38] R. Toupin: Saint Venant principle, Archive for Rational Mechanics and Analysis, 18 (2), 83-96, 1965.

[39] P. Ladeveze: Sur le Principe de Saint Venant en elasticite: J. De Mecanique theorique et appliquee, 1(2), 161-84, 1983.

[40] C. Horgan: Recent developments concerning Saint-Venant principle: an update, Applied Mechanics Reviews, 49 (10), 295-303, 1996.

[41] R. El Fatmi, H. Zenzri: On the structural behaviour and the Saint-Venant solution in the exact beam theory. Application to laminated composite beam, Computers and Structures 80 (16-17), 1441-1456, 2002.

[42] R. El Fatmi, H. Zenzri: A numerical method for the exact elastic beam theory. Application to homogenuos and composite beams, International Journal of Solids and Structures, 41, 2521-2537, 2004.

[43] R. Pavazza: Uvod u analizu tankostjenih štapova, Sveučilišni udžbenik, Kigen, Zagreb, 2007.

[44] D. Šimić: Teorija tankostjenih nosača otvorenog poprečnog presjeka, Sveučilište u Zagrebu, Građevinski fakultet, Zagreb 2008.

[45] A. Gjelsvik: The theory of thin-walled bars, New York, Wiley, 1981. [46] A. Prokić: New warping function for thin-walled beams I: theory, ASCE Journal of

Structural Engineering, 122 (12), 1437-1442, 1996. [47] A. Prokić: New warping function for thin-walled beams II: finite element method

and applications, ASCE Journal of Structural Engineering, 122 (12), 1443-1452, 1996.

[48] R. El Fatmi: Non-uniform warping including the effects of torsion and shear forces. Part I: A general beam theory, International Journal of Solids and Structures, 44, 5912-5929, 2007.

[49] R. El Fatmi: Non-uniform warping including the effects of torsion and shear forces. Part II: analytical and numerical applications, International Journal of Solids and Structures, 44, 5930-5952, 2007.

[50] R. El. Fatmi, N. Ghazouani: Higher order composite beam theory built on Saint-Venant's solution. Part I: Theoretical developments, Composite Structures, 93, 557-566, 2011.

[51] N. Ghazouani, R. El. Fatmi: Higher order composite beam theory built on Saint-Venant's solution. Part II: Buit-in effects influence on the behaviour of end-loaded cantilever beams, Composite Structures, 93, 567-581, 2011.

[52] A. Matoković: Influence of shear on bending and torsion of thin-walled beams with open cross-section, PhD thesis, Faculty of Electical Engineering, Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Split, 2012.

[53] V. L. Berdichevsky: On the Energy of an Elastic Rod, PMM, 45, pp. 518-529, 1982. [54] Y. Wenbin, D. H. Hodges, V. V. Volovoi, E. D. Fuchs: A generalized Vlasov theory

for composite beams, Thin-Walled Structures, 43, 1493-1511, 2005. [55] C. M. Wang: Timoshenko beam-bending solutions in terms of Euler-Bernoulli

solutions, Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 121(6), 763-763, 1995.

80

[56] C. F. Kollbruner, K. Basler: Torsion in structures, Berlin: Springer, 1969. [57] A. Gjelsvik: The theory of thin walled bars, New York: Wiley, 1981. [58] R. Pavazza: Influence of shear on torsion of a thin-walled beam of open cross-

section, Strojarstvo, 35: 103-9, 1992. [59] R.Pavazza: Bending and torsion of thin-walled beams of open cross-section on

elastic foundation, PhD thesis, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture, University of Zagreb, 1991.