savijanje i uvijanje tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog

SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Marko Vukasovi ć

SAVIJANJE I UVIJANJE TANKOSTJENIH KOMPOZITNIH ŠTAPOVA OTVORENOG

POPREČNOG PRESJEKA

DOKTORSKA DISERTACIJA

Split, 2014.

SVEUČILIŠTE U SPLITU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

Marko Vukasović

SAVIJANJE I UVIJANJE TANKOSTJENIH KOMPOZITNIH ŠTAPOVA OTVORENOG

POPREČNOG PRESJEKA

DOKTORSKA DISERTACIJA

Split, 2014.

ii

Doktorska disertacija je izrađena na Zavodu za strojarstvo i brodogradnju,

Fakulteta elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje u Splitu.

Mentor: prof. dr. sc. Radoslav Pavazza

Rad br. 116

iii

Povjerenstvo za ocjenu doktorske disertacije:

1. izv. prof. dr. sc. Frane Vlak, FESB, Split

2. prof. dr. sc. Radoslav Pavazza, FESB, Split

3. prof. dr. sc. Vedrana Kozulić, FGAG, Split

4. izv. prof. dr. sc. Vedrana Cvitanić, FESB, Split

5. doc. dr. sc. Ado Matoković, OSS, Split

Povjerenstvo za obranu doktorske disertacije:

1. izv. prof. dr. sc. Frane Vlak, FESB, Split

2. prof. dr. sc. Radoslav Pavazza, FESB, Split

3. prof. dr. sc. Vedrana Kozulić, FGAG, Split

4. izv. prof. dr. sc. Vedrana Cvitanić, FESB, Split

5. doc. dr. sc. Ado Matoković, OSS, Split

Disertacija obranjena 27. studenoga 2014.

iv

Savijanje i uvijanje tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka

Sažetak

U ovom radu prikazan je razvoj približne, inženjerske teorije kompozitnih tankostjenih

štapova otvorenog poprečnog presjeka. Da bi se opisalo ponašanje takvih štapova pri

savijanju i uvijanju, postavljen je analitički model na temelju klasične Vlasovljeve teorije.

Teorija je dopunjena uzimajući u obzir kutnu deformaciju u srednjoj plohi poprečnog

presjeka te ortotropiju materijala. Time je teorija postala primjenjiva i za relativno kratke te

kompozitne štapove kod kojih se utjecaj smicanja ne može zanemariti. Uravnoteženi

laminati uzeti u analizu simetrični su u odnosu na srednju plohu poprečnog presjeka. Za

tankostjene poprečne presjeke s jednom i dvije osi simetrije, postavljeni su analitički izrazi

za pomake i srednja normalna naprezanja, u zatvorenom obliku. U razmatranje su uzeti

zglobno-oslonjeni te obostrano ukliješteni štapovi, opterećeni jednoliko raspodijeljenim i

koncentriranim opterećenjem. U svrhu analize utjecaja smicanja izvedeni su faktori

utjecaja smicanja na pomake te faktori utjecaja smicanja na srednja normalna naprezanja.

Za relativno kratke štapove pokazano je da smicanje značajno utječe na pomake, ali i na

srednje normalno naprezanje. U odnosu na tankostjene izotropne štapove otvorenog

presjeka, utjecaj smicanja na pomake i srednja normalna naprezanja je znatno izraženiji

kod kompozitnih štapova, jer je omjer između modula elastičnosti i modula smicanja visok

kod kompozitnih materijala. Iz usporedbe s rezultatima koje daje metoda konačnih

elemenata uočeno je izvrsno slaganje za slučajeve kada su poprečni presjeci sastavljeni od

laminata kod kojih su vlakna paralelna s uzdužnom osi štapa, odnosno za slučaj kada su

vlakna u laminatu orijentirana pod kutevima 0◦ i 90◦. Za laminate kod kojih su vlakna

usmjerena pod kutevima θ± dobiveno je dobro slaganje vrijednosti srednjih normalnih

naprezanja, dok se određena odstupanja javljaju kod pomaka. Za različite omjere duljine

štapa i visine poprečnog presjeka, na koncu je dana i usporedba rezultata koje daju teorija

savijanja tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka, s rezultatima

drugih istraživača preuzetih iz dostupne literature.

Ključne riječi: kompozitni tankostjeni štap, otvoreni poprečni presjek, laminat, faktor

utjecaja smicanja

v

Bending and torsion of thin-walled composite beams with open cross-section

Summary

A development of an approximate engineering theory of thin-walled composite beams with

open cross-sections is presented within this thesis. To describe a behavior of these types of

beams at bending and torsion, an analytical model is developed, based on classic Vlasov’s

theory of thin-walled beams. Theory is complemented by taking into account a shear

deformation in beam mid surface and material orthotropy. This makes theory applicable

for relatively short composite beams for which the influence of shear is expressed.

Balanced laminates taken into account are symmetrical with respect to mid surface of

cross-section. For thin-walled cross-sections with one and two axes of symmetry,

analytical expressions for displacements and average normal stress are derived in close

form. Simply supported and clamped beams, loaded with uniformly distributed and

concentrated forces are taken into consideration. For the purpose of analysis, factors of

influence of shear on displacements and factors of influence of shear on average normal

stress are derived. It is shown for relatively short beams that the influence of shear on

displacements and on average normal stress is expressed. Compared to thin-walled

isotropic beams with open cross-sections, influence of shear on displacements and on

average normal stresses is much more expressed for composite beams, since the ratio

between modulus of elasticity and shear modulus is high. An excellent agreement is

observed from the comparison with the results given by finite element method, for

unidirectional laminates and for cross-ply laminates. Very good agreement of average

normal stresses is obtained for angle-ply laminates, while some variations are obtained for

displacements. A comparison of results given by developed analytic model and by other

authors from available literature is presented at the end for different ratios of beam length

and beam cross-section height.

Key words: thin-walled composite beam, open cross-section, laminate, factor of influence

of shear.

vii

Ovaj rad posvećujem svojoj obitelji.

viii

Mentoru prof. dr. sc. Radoslavu Pavazzi iskreno zahvaljujem na pomoći i korisnim

savjetima tijekom izrade ove disertacije.

Kolegi izv. prof. dr. sc. Frani Vlaku od srca zahvaljujem na bodrenju, podršci, kolegijalnoj

i stručnoj pomoći pri pisanju rada.

Također se zahvaljujem i ostalim članovima povjerenstva za ocjenu i obranu doktorske

disertacije na korisnim savjetima i uloženom trudu u pregledavanju rada.

ix

Sadržaj

Bibliografski podatci ii

Podatci o ocjeni disertacije iii

Sažetak iv

Summary v

Zahvala vii

Sadržaj ix

Popis tablica xi

Popis ilustracija xviii

Popis oznaka xxii

1. UVOD 1

1.1. Uvod u problematiku 1

1.2. Pregled dosadašnjih istraživanja 3

1.3. Cilj i svrha istraživanja 7

2. SAVIJANJE TANKOSTJENIH KOMPOZITNIH ŠTAPOVA

OTVORENOG POPREČNOG PRESJEKA

11

2.1. Pretpostavke o deformiranju i naprezanju 11

2.2. Pomaci i deformacije 13

2.3. Naprezanja 16

2.4. Jednadžbe ravnoteže 22

2.5. Veza naprezanja i unutarnjih sila 25

2.5.1. Tangencijalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila 25

2.5.2 Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila 29

2.6. Pomaci pola 40

2.7. Posebni slučajevi 43

2.7.1. Poprečni presjeci s jednom osi simetrije 43

2.7.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije 47

3. UVIJANJE TANKOSTJENIH KOMPOZITNIH ŠTAPOVA OTVORENOG

POPREČNOG PRESJEKA

50

3.1. Jednadžbe ravnoteže 52

3.2. Veza naprezanja i unutarnjih sila 55

3.2.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila 55

x

3.2.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila 59

3.3. Pomaci pola 68

3.4. Posebni slučajevi 71

3.4.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije 71

3.4.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije 72

4. ANALIZA VERTIKALNIH POMAKA I SREDNJEG NORMALNOG

NAPREZANJA PRI SAVIJANJU TANKOSTJENIH KOMPOZITNIH

ŠTAPOVA OTVORENOG POPREČNOG PRESJEKA

74

4.1. I−profil s dvije osi simetrije 76

4.2. I−profil s jednom osi simetrije 91

4.3. T−profil 106

4.4. U−profil 118

5. ANALIZA POMAKA I SREDNJEG NORMALNOG NAPREZANJA PRI

UVIJANJU TANKOSTJENIH KOMPOZITNIH ŠTAPOVA OTVORENOG

POPREČNOG PRESJEKA

128

5.1. I−profil s dvije osi simetrije 129

5.2. I−profil s jednom osi simetrije 143

5.3. U−profil 155

6. USPOREDBA VRIJEDNOSTI VERTIKALNIH POMAKA DOBIVENIH

RAZVIJENIM ANALITI ČKIM MODELOM S REZULTATIMA IZ

DOSTUPNE LITERATURE

167

7. ZAKLJUČAK 180

LITERATURA 185

Životopis 191

Biography 193

PRILOZI

A KONSTITUTIVNE JEDNADŽBE KOMPOZITNIH MATERIJALA 195

B DEFINICIJA OSNOVNIH POJMOVA I VELIČINA 210

xi

Popis tablica

Tablica 4.1. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja η zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 4.2. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 4.3. Srednje normalno naprezanje srxσ (MPa) i faktori utjecaja smicanja na

srednje normalno naprezanje λ za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 4.4. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 4.5. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja η zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.6. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).


srednje normalno naprezanje λ za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.8. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.9. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 4.10. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).


srednje normalno naprezanje λ za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 4.12. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 4.13. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 5).

xii

Tablica 4.14. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).


srednje normalno naprezanje λ za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.16. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.17. Konfiguracija slaganja poprečnog presjeka I−profila s jednom osi simetrije.

Tablica 4.18. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomakeη zglobno−oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 4.19. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za zglobno−oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).


srednje normalno naprezanje λ za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 4.21. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 4.22. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.23. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.24. Srednje normalno naprezanjesrxσ (MPa) u točki C spoja struka i donjeg

pojasa i faktori utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.25. Srednje normalno naprezanje srxσ (MPa) u točki B spoja struka i gornjeg

pojasa i faktori utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.26. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.27. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η za zglobno-oslonjeni T−profil (l/h = 3).

xiii

Tablica 4.28. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni T−profil (l/h = 3).

Tablica 4.29. Srednje normalno naprezanje srxσ (MPa) te faktori utjecaja smicanja na

srednje normalno naprezanje λ u donjoj točki struka C za zglobno-oslonjeni T−profil (l/h = 3).

Tablica 4.30. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni T−profil (l/h = 3).

Tablica 4.31. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η za obostrano ukliješteni T−profil (l/h = 5).

Tablica 4.32. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni T−profil (l/h = 5).

Tablica 4.33. Srednje normalno naprezanjesrxσ (MPa) te faktori utjecaja smicanja na

srednje normalno naprezanje λ u donjoj točki struka C obostrano ukliještenog T−profila (l/h = 5).

Tablica 4.34. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni T−profil (l/h = 5).

Tablica 4.35. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Tablica 4.36. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).


srednje normalno naprezanje λ u točki A lijeve vertikalne stjenke zglobno-oslonjenog U−profila (l/h = 3).

Tablica 4.38. Usporedba faktora utjecaja smicanja na normalno naprezanje λ po teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Tablica 4.39. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).

Tablica 4.40. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).


srednje normalno naprezanje λ u točki A lijeve vertikalne stjenke obostrano ukliještenog U−profila (l/h = 5).

Tablica 4.42. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).

xiv

Tablica 5.1. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.2. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).


srednje normalno naprezanje λ u točki A poprečnog presjeka zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.4. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.5. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 5.6. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).


srednje normalno naprezanje λ u točki A poprečnog presjeka zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 5.8. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 5.9. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.10. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).


srednje normalno naprezanje λ u točki A poprečnog presjeka obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.12. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.13. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 5.14. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

xv


srednje normalno naprezanje λ u točki A poprečnog presjeka obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 5.16. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 5.17. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.18. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.19. Horizontalni pomak Bv (mm) točke B poprečnog presjeka i faktori

utjecaja smicanja na horizontalni pomak Bη za zglobno-oslonjeni

I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.20. Usporedba faktora utjecaja smicanja na horizontalne pomake Bη po

teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).


srednje normalno naprezanje λ u točki A poprečnog presjeka zglobno-oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.22. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Tablica 5.23. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 5.24. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 5.25. Horizontalni pomak Bv (mm) točke B poprečnog presjeka i faktori

utjecaja smicanja na horizontalni pomak Bη za obostrano uliješteni

I−profil s jednom osi simetrije(l/h = 5).

Tablica 5.26. Usporedba faktora utjecaja smicanja na horizontalne pomake Bη po

teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).


srednje normalno naprezanje λ u točki A poprečnog presjeka obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

xvi

Tablica 5.28. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 5.29. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Tablica 5.30. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Tablica 5.31. Horizontalni pomak Cv (mm) točke C poprečnog presjeka i faktori

utjecaja smicanja na horizontalni pomak Cη za zglobno-oslonjeni

U−profil (l/h = 3).

Tablica 5.32. Usporedba faktora utjecaja smicanja na horizontalne pomake Cη po

teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).


srednje normalno naprezanje λ u točki A poprečnog presjeka zglobno-oslonjenog U−profila (l/h = 3).

Tablica 5.34. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Tablica 5.35. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).

Tablica 5.36. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni U-profil (l/h = 5).

Tablica 5.37. Horizontalni pomak Cv (mm) točke C poprečnog presjeka i faktori

utjecaja smicanja na horizontalni pomak Cη za obostrano ukliješteni


Tablica 5.38. Usporedba faktora utjecaja smicanja na horizontalne pomake Cη po

teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).


srednje normalno naprezanje λ u točki A poprečnog presjeka obostrano ukliještenog U−profila (l/h = 5).

Tablica 5.40. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).

Tablica 6.1. Vertikalni pomaci w (cm) zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije.

xvii

Tablica 6.2. Usporedba vertikalnih pomaka zglobno-oslonjenog I-profila s dvije osi simetrije.

Tablica 6.3. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 50).

Tablica 6.4. Vertikalni pomaci w (cm) na slobodnom kraju konzole (l/h = 20).

Tablica 6.5. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za konzolu opterećenu koncentriranom silom na slobodnom kraju (l/h =20).

Tablica 6.6. Usporedba vrijednosti pomaka w (mm) po teoriji STKŠ te po Kim-u [65] za obostrano ukliješteni štap opterećen koncentriranom silom (l/h = 5).

Tablica 6.7. Usporedba vrijednosti pomaka w (mm) po teoriji STKŠ te po Kim-u [65] za obostrano ukliješteni štap opterećen koncentriranom silom (l/h = 20).

Tablica 6.8. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije opterećen koncentriranom silom na sredini raspona.

Tablica 6.9. Vertikalni pomak w (cm) na slobodnom kraju konzole I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 50).

Tablica 6.10. Vertikalni pomak w (cm) na slobodnom kraju konzole I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 6.11. Usporedba vrijednosti vertikalnih pomaka w po teoriji STKŠ te po MKE [65] i Kim-u [65] za konzolu opterećenu koncentriranom silom (l/h = 5).

Tablica 6.12. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za konzolu opterećenu koncentriranom silom na slobodnom kraju.

Tablica 6.13. Usporedba vrijednosti pomaka w (mm) po teoriji STKŠ te po Kim-u [64] za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije opterećen koncentriranom silom na sredini raspona (l/h = 5).

Tablica 6.14. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za zglobno-oslonjeni I−profil (l/h = 5) s jednom osi simetrije opterećen koncentriranom silom na sredini raspona.

Tablica 6.15. Usporedba vrijednosti pomaka w (mm) po teoriji STKŠ te po Kim-u [64] za obostrano ukliješteni I-profil s jednom osi simetrije opterećen koncentriranom silom na sredini raspona (l/h = 5).

Tablica 6.16. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za obostrano uklješteni I−profil (l/h = 5) s jednom osi simetrije opterećen koncentriranom silom na sredini raspona.

xviii

Popis ilustracija

Slika 2.1. Pomaci točke S u ravnini poprečnog presjeka u koordinatnom sustavu Oyz, odnosno Sδξ .

Slika 2.2. Pomaci točaka elementa srednje plohe.

Slika 2.3. Ravnoteža infinitezimalnog elementa k-tog sloja laminata.

Slika 2.4. Vanjsko opterećenje štapa: a) sile na jedinicu površine b) sile na jedinicu duljine.

Slika 2.5. Ravnoteža odsječka štapa.

Slika 3.1. Ravnoteža odsječka stjenke štapa.

Slika 4.1. 9-čvorni izoparametarski kvadrilateralni ljuskasti element za debele i tanke ljuske.

Slika 4.2. Zglobno-oslonjeni i obostrano ukliješteni štapovi opterećeni jednoliko raspodijeljenim opterećenjem.

Slika 4.3. Rubni uvjeti numeričkog modela za zglobno-oslonjeni i obostrano ukliješteni štap.

Slika 4.4. Tankostjeni I-profil s dvije osi simetrije.

Slika 4.5. Vertikalni pomak zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Slika 4.6. Srednje normalno naprezanje zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).


Slika 4.8. Srednje normalno naprezanje zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Slika 4.9. Vertikalni pomak obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Slika 4.10. Srednje normalno naprezanje obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).


Slika 4.12. Tankostjeni I−profil s jednom osi simetrije.

xix

Slika 4.13. Vertikalni pomak zglobno-oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Slika 4.14. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na donjem pojasu zglobno-oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Slika 4.15. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku zglobno-oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Slika 4.16. Vertikalni pomak obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Slika 4.17. Srednje normalno naprezanje u točki C spoja struka i donjeg pojasa obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Slika 4.18. Srednje normalno naprezanje u točki B spoja struka i gornjeg pojasa obostrano ukliještenog I-profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Slika 4.19. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na donjem pojasu obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Slika 4.20. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na gornjem pojasu obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Slika 4.21. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Slika 4.22. Tankostjeni T−profil.

Slika 4.23. Vertikalni pomak zglobno-oslonjenog T−profila (l/h = 3).

Slika 4.24. Srednje normalno naprezanje u donjoj točki struka C zglobno-oslonjenog T−profila (l/h = 3).

Slika 4.25. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na pojasu zglobno-oslonjenog T−profila (l/h = 3).

Slika 4.26. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku zglobno-oslonjenog T−profila (l/h = 3).

Slika 4.27. Vertikalni pomak obostrano ukliještenog T−profila (l/h = 5).

Slika 4.28. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na pojasu obostrano ukliještenog T−profila (l/h = 5).

Slika 4.29. Tankostjeni U−profil.

Slika 4.30. Vertikalni pomak zglobno-oslonjenog U−profila (l/h = 3).

Slika 4.31. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u horizontalnoj stjenci zglobno−oslonjenog U−profila (l/h = 5).

xx

Slika 4.32. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u lijevoj vertikalnoj stjenci obostrano ukliještenog U−profila (l/h = 3).

Slika 5.1. Zglobno-oslonjeni i obostrano ukliješteni štapovi opterećeni jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja.

Slika 5.2. Kut uvijanja zglobno oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Slika 5.3. Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Slika 5.4. Kut uvijanja obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Slika 5.5. Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Slika 5.6. Kut uvijanja zglobno-oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Slika 5.7. Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka zglobno-oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Slika 5.8. Horizontalni pomak točke B poprečnog presjeka obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Slika 5.9. Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Slika 5.10. Kut uvijanja zglobno-oslonjenog U−profila (l/h = 3).

Slika 5.11. Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka zglobno-oslonjenog U−profila (l/h = 3).


Slika 6.2. Ukliješteni štap opterećen koncentriranom silom na slobodnom kraju.

Slika 6.3. Obostrano ukliješteni štap opterećen koncentriranom silom na sredini raspona.

Slika 6.4. Vertikalni pomak obostrano ukliještenog I−profila opterećenog koncentriranom silom na sredini raspona (l/h = 5).

Slika 6.5. Vertikalni pomak obostrano ukliještenog I−profila opterećenog koncentriranom silom na sredini raspona (l/h = 20).

Slika 6.6. Zglobno-oslonjeni štap opterećen koncentriranom silom na sredini raspona.

xxi


xxii

Popis oznaka

A površina poprečnog presjeka

*A , *yA , *

zA površine odsječenog dijela presjeka

yyA , zzA , yzA reducirane smicajne površine poprečnog presjeka

ya , za koordinate pola P

0A , 1A , 2A površine pojedinih dijelova poprečnog presjeka

b , 1b , 2b duljine horizontalnih stjenki poprečnog presjeka

B bimoment

yB , zB sekundarni bimomenti pri savijanju s utjecajem smicanja

Bω sekundarni bimoment pri uvijanju s utjecajem smicanja

66D fleksijska krutost

1E , 2E , 3E glavni moduli elastičnosti

F sila

12G , 13G , 23G glavni moduli smicanja

h visina vertikalne stjenke srednje linije poprečnog presjeka

0h udaljenost glavnog pola P od ishodišne točke M

Ph udaljenost glavnog pola od tangente na srednju liniju razmatrane točke

PI moment tromosti površine u odnosu na glavni pol P

sPI smicajni moment tromosti površine u odnosu na glavni pol P

tI torzijski moment tromosti površine

yI , zI aksijalni momenti tromosti površine u odnosu na os y, odnosno os z

yzI devijacijski moment tromosti

Iω sektorski moment tromosti površine u odnosu na sektorsku koordinatu ω

yI ω , zI ω devijacijski sektorski moment tromosti

k sloj laminata

xxiii

ak krutost laminata

bk faktor utjecaja materijala na smicanje

l duljina štapa

sL proizvoljno odabrana duljina konture poprečnog presjeka

Pm moment na jedincu duljine u odnosu na glavni pol P

mω moment izvitoperenja na jedinicu duljine

M ishodišna točka

yM , zM momenti savijanja oko osi y, odnosno z osi

yyM , z

zM , zyM , y

zM sekundarni moment savijanja pri savijanju s utjecajem smicanja

yM ω , zM ω sekundarni momenti savijanja pri uvijanju s utjecajem smicanja

PM moment uvijanja

svtM moment čistog uvijanja

�svtM

moment čistog uvijanja po jedinici duljine

Mω moment izvitoperenja

N uzdužna sila

yN , zN sekundarne uzdužne sile pri savijanju s utjecajem smicanja

Nω sekundarna uzdužna sila pri uvijanju s utjecajem smicanja

Oxyz pravokutni koordinatni sustav

yp , zp sile na jedinicu površine u odnosu na os y, odnosno os z

P glavni pol

yq , zq sile na jedinicu duljine u smjeru osi y, odnosno osi z

yQ , zQ poprečne sile u smjeru osi y, odnosno osi z

ijQ transformirane reducirane krutosti

*ijQ modificirane, transformirane reducirane krutosti

s , ys , zs krivocrtne koordinate

S točka srednje linije

xxiv

yS , zS statički momenti površine u odnosu na os y, odnosno os z

*yS , *

zS statički momenti dijela površine u odnosu na os y, odnosno os z

Sω sektorski statički moment površine u odnosu na sektorsku koordinatu ω

*Sω sektorski statički moment dijela površine u odnosu na sektorsku koordinatu ω

t debljina stjenke laminata

kt debljina stjenke k-tog sloja

0t , 1t , 2t debljina vertikalne stjenke, odnosno horizontalnih stjenki

T težište

kvT , k

wT , kTα tok tangencijalnog naprezanja k-tog sloja u odnosu na pomake Pv ,

Pw i Pα

Mu uzdužni pomak ishodišne točke

Su uzdužni pomak točke srednje linije

v , Pv , w , Pw pomaci glavnog pola u smjeru osi y, odnosno osi z (progib štapa u smjeru osi y, odnosno osi z)

Sv , Sw pomaci točke srednje linije u smjeru osi y, odnosno osi z

Svɶ , Swɶ pomak točke srednje linije u smjeru tangente na srednju liniju, odnosno u smjeru normale na srednju liniju

bv , bw pomaci poprečnog presjeka u smjeru osi y, odnosno osi z (progib štapa u smjeru osi y odnosno osi z) prema klasičnoj EBBT

sv , sw dodatni pomaci od smicanja

x , y , z pravokutne koordinate

PW polarni moment otpora poprečnog presjeka

PyW , PzW , sPyW , s

PzW smicajni momenti otpora poprečnog presjeka

α , Pa kut uvijanja u odnosu na glavni pol P

tα kut uvijanja u odnosu na glavni pol P prema klasičnoj Vlasovljevoj teoriji

sα kut uvijanja zbog smicanja u odnosu na glavni pol P

β kut nagiba progibne linije

xxv

bβ kut nagiba progibne linije u odnosu na os y prema klasičnoj EBBT

sβ dodatni kut nagiba progibne linije u odnosu na os y od smicanja

xε , uxε , v

xε , wxε , x

αε duljinske deformacije u smjeru osi x

ξε duljinska defomacija u smjeru tangente na srednju liniju

1ε , 2ε , 3ε duljinske deformacije u pravcu glavnih materijalnih osi

γ kut nagiba progibne linije u odnosu na os z

bγ kut nagiba progibne linije u odnosu na os z prema klasičnoj EBBT

sγ dodatni kut nagiba progibne linije u odnosu na os z od smicanja

xξγ kutna deformacija u srednjoj plohi

uxξγ , v

xξγ , wxξγ , x

αξγ komponente kutne deformacije u odnosu na pomake Mu Pv , Pw i

Pa

η faktor utjecaja smicanja na pomake

Bη , Cη faktor utjecaja smicanja na horizontalne pomake točke B, odnosno točke C poprečnog presjeka

kδ položaj k-tog sloja u odnosu na srednju liniju

θ kut između materijalnih osi vlakana i uzdužne osi štapa

xyκ , xzκ , yyκ , yzκ ,

zzκ , zyκ , yωκ , zωκ

faktori smicanja pri savijanju s utjecajem smicanja

xωκ , ωωκ , yωκ , zωκ faktori smicanja pri uvijanju s utjecajem smicanja

λ faktor utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje

12ν , 13ν , 23ν glavni Poissonovi faktori

ϑ relativni kut uvijanja

tϑ relativni kut uvijanja prema klasičnoj Vlasovljevoj teoriji

sϑ dodatni relativni kut uvijanja zbog smicanja

kxσ normalno naprezanje k-tog sloja u uzdužnom smjeru

srxσ srednje normalno naprezanje u uzdužnom sloju

kξσ normalno naprezanje k-tog sloja u smjeru konture srednje linije

poprečnog presjeka

xxvi

1σ , 2σ , 3σ normalna naprezanja u smjeru glavnih materijalnih osi

kxξτ tangencijalno naprezanje k-tog sloja u smjeru tangente na srednju

liniju

kvxξτ , kw

xξτ , kxαξτ komponente tangencijalnog naprezanja k-tog sloja u odnosu na

pomake Pv , Pw i Pa

srxξτ srednje tangencijalno naprezanje u smjeru tangente na srednju

liniju

svxξτ tangencijalno naprezanje pri čistom uvijanju

,totx kξτ ukupno tangencijalno naprezanje k-tog sloja u smjeru tangente na

srednju liniju

ϕ kut između tangente na srednju liniju i osi y

ξ , δ pravokutne koordinate lokalnog koordinatnog sustava

ω glavna sektorska koordinata

1

1. Uvod

1.1. Uvod u problematiku

Napredni materijali kao što su vlaknima-ojačani kompoziti sve češće zamjenjuju

konvencionalne materijale poput čelika i aluminija u raznim granama industrije [1].

Pojačana primjena ovakvih materijala pokazuje visoku učinkovitost kompozitnih

konstrukcijskih elemenata u obliku tankostjenih štapova [2]. U širem smislu tankostjeni

štap je vitki konstrukcijski element čije su karakteristične geometrijske dimenzije različitog

reda veličine. Debljina stjenke tankostjenog štapa mala je u usporedbi s ostalim

dimenzijama poprečnog presjeka (visina i širina poprečnog presjeka), dok duljina štapa

značajno premašuje dimenzije presjeka. Tankostjeni štapovi mogu se nadalje razvrstati s

obzirom na geometrijska obilježja pa tako razlikujemo štapove konstantnog i promjenjivog

oblika poprečnog presjeka, zatvorene i otvorene konture srednje linije presjeka, ravne i

zakrivljene uzdužne osi. Zbog visoke efikasnosti, koja se očituje u minimalnoj težini za

danu čvrstoću, ovi konstrukcijski elementi se već duže vrijeme koriste u građevinskom [3],

[4] i strojarskom inženjerstvu, kao i kod brodskih konstrukcija [5], [6] (primjer: trup broda)

koje se mogu idealizirati sustavom štapova otvorenog ili zatvoreno-otvorenog poprečnog

presjeka. Međutim, faktor koji je znatno doprinio razvoju ovih tipova struktura s teoretske i

praktične točke gledišta, povezan je s njihovom širokom primjenom u dizajnu

zrakoplovnih konstrukcija [7], [8]. Ova činjenica je pokrijepljena velikim brojem

znanstvenih radova posvećenih modeliranju i stabilnosti tankostjenih konstrukcijskih

elemenata korištenih u aeronautičkoj industriji.

Daljnji stimulans za istraživanjem tankostjenih štapova proizlazi iz pojave kompozitnih

materijala te njihovom pojačanom primjenom u zrakoplovnoj, automobilskoj, građevinskoj

i brodograđevnoj industriji [9]. Kompozit predstavlja strukturni materijal koji se sastoji od

dva ili više različitih materijala međusobno povezanih na makroskopskom nivou [1]. Četiri

su uobičajena tipa kompozitnih materijala: vlaknasti kompozitni materijali koji se sastoje

od vlakana smještenih unutar matrice, laminirani kompozitni materijali sastavljeni od

slojeva koji mogu biti napravljeni od različitih materijala, partikulni kompozitni materijali

sastavljeni od čestica unutar matrice, dok je četvrti tip kompozitnog materijala dobiven

kombinacijom prva tri tipa. Laminat kod kojeg su slojevi sastavljeni od vlakana smještenih

unutar matrice predstavlja najčešće korišteni tip kompozitnog materijala [10]. Kod

vlaknima-ojačanih kompozita očvršćujući materijal u obliku vlakana smješten je po

2

određenom obrascu unutar matrice koja predstavlja kontinuiranu fazu kompozitnog

materijala. Materijal vlakana direktno utječe na mehanička svojstva kompozita, dok je

osnovna funkcija matrice da poveže vlakna, zaštiti ih od okoline te distribuira opterećenje

na njih. Iako same imaju niska mehanička svojstva u usporedbi sa vlaknima, matrice ipak

utječu na mehanička svojstva kompozita. Ova svojstva uključuju poprečne module

elastičnosti i čvrstoću, posmične module elastičnosti i čvrstoću, toplinski koeficijent širenja

te toplinsku otpornost i zamornu čvrstoću.

Prednost vlaknima-ojačanih kompozitnih materijala, u odnosu na konvencionalne

inženjerske materijale poput čelika i aluminija, leži u visokoj specifičnoj čvrstoći te

visokom specifičnom modulu elastičnosti koje posjeduju ovi tipovi materijala. Specifična

čvrstoća i specifični modul elastičnosti definirani su preko omjera čvrstoće i gustoće

materijala, odnosno preko omjera Young-ova modula elastičnosti i gustoće, iz čega slijedi

da kompozitni materijali imaju visoku čvrstoću i krutost za danu težinu. Sljedeće prednosti

kompozitnih materijala uključuju poboljšanu otpornost na koroziju, povećani zamorni

vijek trajanja, bolju toplinsku i akustičnu izolaciju, itd [1]. S obzirom na orijentaciju

materijalnih osi kod vlaknima-ojačanih kompozita razvijena je tehnologija strukturnog

krojenja (structural tailoring) koja ovisno o tipu opterećenja ima za cilj definirati poželjno

strukturno ponašanje [2], [9]. Pri tome se često koristi efekt elastičnog uparivanja

(coupling) između različitih tipova opterećenja (rastezanje-savijanje, savijanje-uvijanje).

Mogućnost prilagođavanja elastičnih svojstava, da bi se zadovoljili projektni zahtjevi

čvrstoće i krutosti, predstavlja jednu od najznačajnijih karakteristika kompozita koja

inženjerima daje slobodu pri projektiranju.

Tankostjeni kompozitni štapovi se sve češće koriste kao nosivi elementi konstrukcija na

koje djeluje kompleksno statičko i dinamičko opetrećenje. Klasična Vlasovljeva teorija

[11], [12] postavlja temelj za analizu strukturnog ponašanja laminiranih tankostjenih

kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka. Poznato je da će na statiku

kompozitnih štapova znatno utjecati posmične kutne deformacije budući da je modul

smicanja nizak kod kompozitnih materijala. Međutim utjecaj smicanja se ne može

razmatrati Vlasovljevom teorijom koja zanemaruje kutne deformacije u srednjoj plohi

štapa. Poopćavanjem klasične teorije moguće je uzeti u obzir kutnu deformaciju u srednjoj

plohi štapa, a da se pri tom ne naruši jednostavnost jednodimenzionalnog modela [12],

[13]. Iz priloženog proizlazi da je potrebno razviti takav analitički model koji uzima u

3

obzir utjecaj smicanja te ortotropiju materijala, radi razmatranja pomaka i naprezanja kod

savijanja i uvijanja tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka.

1.2. Pregled dosadašnjih istraživanja

Razvoj teorija savijanja štapa polazi od klasične Euler-Bernoullijeve teorije (EBBT) koja

se temelji na pretpostavci da poprečni presjeci nakon deformiranja ostaju ravni i okomiti

na elastičnu liniju [14], [15], [16]. Za kratke štapove, kod kojih je omjer duljine štapa i

visine poprečnog presjeka relativno mali, znatan je utjecaj smicanja. Timošenko

nadopunjuje teoriju savijanja uzimajući u obzir kutne deformacije, uvodi faktor smicanja i

definira ga kao omjer maksimalnog tangencijalnog naprezanja i srednjeg tangencijalnog

naprezanja u poprečnom presjeku [17], [18]. Različiti pristupi u novije vrijeme utjecali su

na razvoj teorija štapova: uvođenje korekcijskog faktora smicanja [18], [19], [20], [21],

[22], [23], [24], [25], [26], korištenje funkcija vitoperenja baziranih na Saint-Venantovom

rješenju [27], [28], [29], [30], varijacijsko-asimptotsko rješenje [31], [32] te razvoj

poopćenih teorija štapova (GBTs) [33], [34], [35]. Mnogi istraživači su postavili napredne

teorije višeg reda da bi što bolje opisali fenomen vitoperenja kod složenog opterećenja

štapova. Većina ovih teorija se bavi analizom vitoperenja kod uvijanja [36], [11], [37],

[38], [24], [39], [40], [41], [25], odnosno analizom vitoperenja kod savijanja [42], [43],

[44], [45], [23] štapova različitih oblika poprečnog presjeka.

Da bi poboljšao Timošenkovu teoriju, Cowper [19] predlaže upotrebu rješenja teorije

elastičnosti koje je bazirano na geometrijskoj pretpostavci da se srednji poprečni pomaci

određenog presjeka štapa mogu definirati kao progib uzdužne osi. Za jednostavne,

simetrične presjeke (I-presjek, T-presjek, U-presjek), Cowper daje gotove izraze za izračun

faktora smicanja K. U njima faktor smicanja ovisi o geometriji poprečnog presjeka, ali i o

Poissonovu koeficijentu. Također, Gruttmann i Wagner [22] su računali faktore smicanja

za Timošenkovu teoriju štapova, i to za različite oblike poprečnog presjeka. Pavazza [23] u

svom radu do vrijednosti faktora smicanja dolazi geometrijskim pristupom, pri čemu faktor

smicanja ovisi samo o obliku poprečnog presjeka. Roberts [24] daje približan izraz za

faktor smicanja I-presjeka, dok Kim [25] navodi vrijednosti faktora smicanja za U-presjek

kao i za nesimetrični C-presjek.

El Fatmi [27], [28], [29], [30] u svom radu postavlja teoriju za nejednoliko vitoperenje

štapova kod uvijanja i savijanja. Iz izraza za pomak te s obzirom na princip virtualnog

rada, El Fatmi izvodi izraze za normalna i posmična naprezanja te prikazuje utjecaj

4

primarnih i sekundarnih unutarnjih sila, kao i nesimetričnosti poprečnog presjeka, na

strukturno ponašanje štapova. Teoriju baziranu na Saint-Venantovom rješenju primjenjuje

na kompozitnim štapovima, te shodno tome definira funkcije vitoperenja (out of plane

warping functions) te funkcije distorzije (in-plane warping functions).

Uvod u varijacijsko-asimptotsku metodu (VAM), na primjeru anizotropnih štapova, dao je

u svom radu Berdichevsky [31]. Bez postavljanja kinematskih pretpostavki, Berdichevsky

definira teoriju za štapove koristeći bezdimenzijske parametre u funkciji geometrijskih

karakteristika poprečnog presjeka. Yu, Hodges, Volovoi i Fuchs [32] razvijaju poopćenu

teoriju Vlasova za kompozitne štapove s proizvoljnim geometrijskim i materijalnim

svojstvima, na temelju varijacijsko-asimptotske analize presjeka štapa. Varijacijsko-

asimptotska metoda (VAM) je korištena da bi se geometrijski-nelinearni, 3-D problem

elastičnosti reducirao na linearnu, 2-D analizu poprečnog presjeka, te nelinearnu, 1-D

analizu štapa.

Soldatos i Watson [34] su razvili opću teoriju štapova, koja uzima u obzir poprečnu kutnu i

normalnu deformaciju. Uvode funkcije oblika, od kojih se svaka funkcija odnosi na

pojedinu komponentu pomaka. Za pojednostavljenu definiciju ovih funkcija, opća teorija

se može reducirati na klasičnu Timošenkovu teoriju.

Benscoter [36] je razvio teoriju za štapove zatvorenog presjeka sastavljenog od više ćelija,

po kojoj je pomak izvan ravnine presjeka proporcionalan funkciji vitoperenja te parametru

deformacije koji ovisi o kutu zakreta. Kod Vlasova [11] funkcija vitoperenja, za slučaj

uvijanja tankostjenih štapova otvorenog presjeka, proporcionalna je relativnom kutu

uvijanja. Maddur i Chaturvedi [37] modificiraju Vlasovljevu teoriju uzimajući u obzir

poprečnu kutnu deformaciju (okomito na srednju plohu), dok kutnu deformaciju u srednjoj

plohi zanemaruju. U svojoj formulaciji uzimaju u obzir efekte međulaminarnih posmičnih

naprezanja kako bi dobili pomake zbog vitoperenja. Sapountzakis i Mokos [38] su razvili

metodu rubnih elemenata za slučajeve ograničenog uvijanja kompozitnih štapova

proizvoljnog konstantnog poprečnog presjeka. Razvijena metoda predstavlja poboljšanje, u

odnosu na prethodne radove ovih autora, budući da daje procjenu sekundarne funkcije

vitoperenja, iz koje se zatim mogu odrediti sekundarna posmična naprezanja. Roberts [24]

je u svom radu pokazao da se utjecaj smicanja može zanemariti kod uvijanja relativno

dugih kompozitnih štapova. Eisenberger [39] u svom radu računa koeficijente krutosti, za

izotropne štapne elemente, na temelju rješenja diferencijalne jednadžbe ravnoteže dobivene

iz teorije višeg reda [35]. Analizu ponašanja tankostjenih elastičnih štapova, opterećenih na

uvijanje, prikazao je u svom radu Saade [40]. Na temelju Prokićevog rada [46], razvija

5

teoriju sa jednom funkcijom vitoperenja koja vrijedi za proizvoljne oblike poprečnog

presjeka. Pavazza [41] ispituje utjecaj smicanja kod uvijanja tankostjenih izotropnih

štapova otvorenog poprečnog presjeka, za slučaj kad je Saint-Venantova komponenta

uvijanja mala u odnosu na komponentu vitoperenja. Saint-Venantovo čisto uvijanje može

se zanemariti kod relativno kratkih štapova, odnosno kod štapova kod kojih je omjer

duljine štapa i duljine konture srednje linije, kao i omjer debljine stjenke te duljine štapa,

relativno mali. U ovom je radu pokazano da će utjecaj smicanja na pomake i naprezanja

biti još izraženiji kod kompozitnih materijala kod kojih su vrijednosti modula smicanja

niske.

Kim i White [43], za razliku od Soldatosa i Watsona [34] ne uzimaju u obzir distorziju

poprečnog presjeka, tj. zanemaruju deformacije unutar ravnine presjeka. Njihova analiza se

ograničila na kompozitne tankostjene i debelostjene štapove, zatvorenog poprečnog

presjeka. Pri tome uzimaju u obzir primarno i sekundarno vitoperenje.

Rand [44] je razvio višerazinsku analizu čvrstih laminiranih kompozitnih štapova.

Metodologija višerazinske analize se bazira na hijerarhiji rješenja pojedinih nivoa, koji

omogućuju predviđanje širokog spektra fizičkih fenomena, kao što su savijanje štapova,

rastezanje, uvijanje, te lokalnih fenomena poput distorzije poprečnog presjeka,

međulaminarna naprezanja kao i efekt delaminacije.

Dufort [45] u svom radu predlaže rješenje za slučaj savijanja zglobno oslonjenog štapa,

koji je opterećen poprečnom silom na sredini raspona (three-point bending). Vitoperenje je

razmatrano samo za poprečne presjeke koji su udaljeni od sredine raspona štapa.

Jednadžbe ravnoteže su dobivene varijacijskim pristupom, pri čemu su korištene tri

varijable: progib, zakret poprečnog presjeka te funkcija vitoperenja.

Razvoj teorije tankostjenih štapova otvorenog presjeka započinje radom Vlasova [11], koji

daje jednostavno rješenje problema s obzirom na pretpostavke o načinu deformiranja te

raspodjeli naprezanja. Poboljšanja klasične teorije dana su kroz radove Kollbrunera i

Hajdina [47], Gjelsvika [48], Pavazze [12], [23], [41], [49], [50], Saadea [40] i El Fatmia

[27], [28], [29], [30]. Gjelsvik [48] nadopunjuje klasičnu teoriju uzimanjem u obzir

dodatno savijanje po debljini stjenke, dok osnovne jednadžbe i izraze izvodi koristeći

princip virtualnih radova. Pavazza [23], [41], uzima u obzir kutnu deformaciju u srednjoj

plohi, te nadopunjuje izraze za normalna naprezanja članovima kojima se uzima u obzir

smicanje. Pri tome ne ograničava vitoperenje zbog smicanja za razliku od El-Fatmia [27],

[28], [29], [30], koji razmatra utjecaj smicanja s ograničenim vitoperenjem zbog smicanja.

Za razne profile štapova, te za različite slučajeve opterećenja i rubnih uvjeta, Pavazza [51],

6

[52], je pokazao da izrazi za normalna naprezanja i pomake daju dobra poklapanja

rezultata s rezultatima dobivenim metodom konačnih elemenata.

Mnogi istraživači bavili su se razvojem teorija savijanja i uvijanja laminiranih tankostjenih

kompozitnih štapova otvorenog presjeka. Bauld i Tzeng [53] u svom radu nadopunjuju

Vlasovljevu teoriju [11] za tankostjene štapove otvorenog poprečnog presjeka koji su

sastavljeni od vlaknima-ojačanih simetričnih laminata. Nastavljajući rad Gjelsvika [48],

linearna teorija koju razvijaju prikladna je za određivanje pomaka i naprezanja kod

štapova, za različito opterećenje i rubne uvjete. Chandra i Chopra [54] analiziraju

strukturno ponašanje tankostjenih kompozitnih štapova, otvorenog i zatvorenog presjeka,

koristeći Vlasovljevu teoriju. Model koji su razvili uzima u obzir poprečne kutne

deformacije presjeka, dok su deformacije zbog vitoperenja implicitno uključene u

formulaciju. Ponašanje grafit-epoksi kompozitnih štapova, različitog presjeka (puni

presjek, I-presjek, zatvoreni presjek s jednom ćelijom), analizirali su i eksperimentalno pri

čemu su razmatrali štapove opterećene koncentriranim silama na krajevima. Bank i

Bednarczyk [55] razvijaju teoriju koja je formulirana s obzirom na ravninska elastična

svojstva panela od kojih je sastavljen poprečni presjek tankostjenog kompozitnog štapa.

Paneli su specijalno ortotropni čime je izbjegnut efekt normalno-posmičnog uparivanja

(coupling). Barbero, Lopez i Davalos [56] razmatraju tankostjene kompozitne štapove

otvorenog i zatvorenog poprečnog presjeka, opterećene na savijanje i rastezanje.

Inženjerski pristup mehanici tankostjenih laminiranih štapova temelji se na kinematičkim

pretpostavkama Timoshenkove teorije štapova. Rand [57] u svoj model uključuje 3-D

distribuciju vitoperenja da bi opisao strukturno ponašanje kompozitnih štapova.

Formulacija koju je postavio omogućuje izvod osnovnih analitičkih rješenja zatvorenog

oblika, za različite konfiguracije štapova te za različite tipove opterećenja. Ascione [58] u

svom radu predstavlja formulaciju jednodimenzionalnog kinematičkog modela koji

omogućuje analizu statičkog ponašanja tankostjenih štapova napravljenih od vlaknima-

ojačanih polimera. Ovaj model uzima u obzir utjecaj kutne deformacije. Analitički model

je uspoređen s rezultatima koje daju metoda konačnih elemenata te Vlasovljeva klasična

teorija. S obzirom na rezultate vidljiv je utjecaj posmičnog vitoperenja presjeka na

vertikalne pomake štapa. Maddur i Chaturvedi [59] pojednostavljuju vlastitu opću teoriju

[37] da bi analizirali deformacije koje nastaju kod ne-uniformnog uvijanja I-presjeka

napravljenog od laminiranog kompozitnog materijala (cross-ply laminates). Numerički

rezultati koje daju za slučaj uvijanja konzolnog I-profila pokazuju dobru korelaciju s

eksperimentalnim i teorijskim rezultatima.

7

Song, Librescu i Jeong [60] daju analitičko rješenje za slučaj konzole, I-oblika poprečnog

presjeka, opterećene na slobodnom kraju. Pri tome razmatraju mehanizme elastičnog

uparivanja proizašle iz kružno-uniformne (CUS) i kružno-asimetrične (CAS) konfiguracije

kompozitnog materijala. Jung i Lee [61] provode analizu zatvorenog oblika na

tankostjenim štapovima poprečnog presjeka I-profila. Kombiniranim pristupom baziranim

na Reissner-ovom semi-komplementarnom energijskom funkcionalu, izvode relacije sila-

pomak, nakon čega slijedi zatvoreni oblik rješenja za štapove simetrične i antisimetrične

konfiguracije laminata. Lee i Lee [62] su u svom radu izvršili analizu savijanja i uvijanja I-

oblikovanog laminiranog kompozitnog štapa. Pri tome su razvili opći numerički model koji

se temelji na klasičnoj teoriji laminacije te koji uzima u obzir uparivanje između savijanja i

uvijanja za proizvoljnu konfiguraciju slaganja laminata, simetričnu i nesimetričnu.

Uvođenjem poprečnih kutnih deformacija Lee [63] je proširio svoj numerički model opisan

u [62]. Teorija prvog reda razvijena u njegovom radu uzima u obzir kutnu deformaciju u

srednjoj plohi, zatim kutnu deformaciju u ravnini okomitoj na srednju plohu te dodatnu

kutnu deformaciju zbog vitoperenja. S obzirom na rezultate pomaka dobivene pri savijanju

pokazao je da je utjecaj smicanja značajan za štapove s niskim omjerom raspona i visine

poprečnog presjeka, kao i za štapove koji imaju visoki stupanj ortotropije. Kim, Shin i Kim

[64] daju egzaktna rješenja za analizu uvijanja tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog

presjeka s proizvoljnom konfiguracijom laminata. Egzaktna matrica krutosti određena je

koristeći relacije sila-deformacija, dok su kao poseban slučaj izvedena rješenja zatvorenog

oblika za simetrično laminirane štapove s različitim rubnim uvjetima. Kim [65] u svom

radu razvija smično-deformabilni štapni element u svrhu analize savojnog i torzijskog

uparivanja tankostjenog I-profila s jednom i dvije osi simetrije. Koristeći teoriju prvog

reda, uzima u obzir poprečno smicanje te kutnu deformaciju induciranu spriječenim

vitoperenjem. Temeljne jednadžbe i odnose sile-pomaci izvedeni su iz principa minimuma

ukupne potencijalne energije.

1.3. Cilj i svrha istraživanja

Cilj istraživanja jest razviti analitički model na temelju klasične Vlasovljeve teorije [11],

kojim bi se opisalo strukturno ponašanje laminiranih kompozitnih štapova otvorenog

poprečnog presjeka pri savijanju i uvijanju. Budući da bi se u obzir uzela kutna

deformacija u srednjoj plohi poprečnog presjeka, kao i ortotropija materijala, teorija bi

osim za duge bila primjenjiva i za relativno kratke kompozitne štapove kod kojih je utjecaj

8

smicanja izražen. Pod relativno kratkim štapovima podrazumijevaju se oni kod kojih je

omjer duljine štapa i duljine srednje linije poprečnog presjeka mali. Razvijeni analitički

model vrijedio bi za različite slučajeve opterećenja (kontinuirano i koncentrirano

opterećenje) te za različite rubne uvjete. Pri tome bi se u razmatranje mogli uzeti štapovi

čiji poprečni presjeci imaju jednu, odnosno dvije osi simetrije.

Jedan od osnovnih zadataka pri razvoju teorije je definiranje konfiguracije laminata koji bi

se mogli koristiti u analizi savijanja i uvijanja. U radu je pretpostavljeno da je poprečni

presjek kompozitnog štapa sastavljen od simetričnih, uravnoteženih laminata kod kojih su

slojevi ojačani istosmjerno kontinuiranim vlaknima. S obzirom na definiranu konfiguraciju

laminata, razmatrani su štapovi konstantne krutosti duž srednje linije poprečnog presjeka.

U svrhu analize utjecaja smicanja i ortotropije na pomake i naprezanja kod relativno

kratkih štapova, definirani su faktori utjecaja smicanja na pomake te na srednje normalno

naprezanje. Iz analitičkih izraza za faktore utjecaja smicanja vidljiv je utjecaj elastičnih

svojstava materijala na smicanje, kao i utjecaj oblika poprečnog presjeka. Numerička

verifikacija predložene teorije napravljena je usporedbom s rezultatima koje daje metoda

konačnih elemenata. Također analitički model je verificiran i usporedbom s rezultatima

drugih teorija iz dostupne literature.

Doktorska disertacija Savijanje i uvijanje tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog

poprečnog presjeka izrađena je u okviru znanstveno-istraživačkog projekta 023-0231744-

3010: Deplanacija i distorzija tankostjenih presjeka, voditelj kojeg je prof. dr. sc. Radoslav

Pavazza, FESB-Split, od 2007. godine do 2013. godine, financiranog od Ministarstva

znanosti, obrazovanja i sporta RH.

Disertacija je podijeljena u sedam poglavlja.

U drugom su poglavlju postavljene osnovne pretpostavke o deformiranju štapa te

raspodjeli naprezanja. Na temelju pretpostavki o deformiranju, geometrijskom analizom

izveden je izraz za raspodjelu duljinske deformacije duž osi štapa te duž konture srednje

linije poprečnog presjeka. Prema poopćenom Hooke-ovom zakonu za ravninsko stanje

naprezanja ortotropnog materijala postavljeni su izrazi za raspodjelu normalnog naprezanja

duž osi štapa te duž konture srednje linije poprečnog presjeka. Iz uvjeta ravnoteže

diferencijalnog elementa stjenke sloja laminata izvedeni su izrazi za tangencijalno

naprezanje duž osi štapa, odnosno duž konture srednje linije poprečnog presjeka. Prema

9

poopćenom Hooke-ovom zakonu prikazan je izraz za raspodjelu kutne deformacije u

pojedinom sloju laminata, duž osi štapa te duž srednje linije poprečnog presjeka.

Integracijom po debljini stjenke laminata izveden je izraz za raspodjelu srednje kutne

deformacije u srednjoj plohi presjeka laminata, duž osi štapa te duž konture srednje linije

poprečnog presjeka. Za zadano opterećenje postavljene su jednadžbe ravnoteže

diferencijalnog odsječka štapa konačne duljine srednje linije poprečnog presjeka, za slučaj

savijanja. S obzirom na opterećenje, tangencijalno i normalno naprezanje je prikazano u

funkciji komponenata unutarnjih sila klasičnih teorija, te sekundarnih komponenata

unutarnjih sila koje proizlaze iz smicanja i ortotropije materijala. Izrazi za pomake su

napisani odvojeno, članovima koji se odnose na pomake poprečnog presjeka kao krute

figure te dodatnim članovima koji predstavljaju pomake zbog smicanja i ortotropije. Za

posebne slučajeve (presjeke s jednom i dvije osi simetrije) izvedeni su izrazi za pomake i

naprezanja s dodatnim članovima u parametarskom obliku, koji predstavljaju utjecaj

smicanja i ortotropije.

U trećem poglavlju postavljene su jednadžbe ravnoteže diferencijalnog odsječka štapa

konačne duljine srednje linije poprečnog presjeka, za slučaj uvijanja. Pri tome je u obzir

uzeto čisto Saint-Venantovo uvijanje. S obzirom na opterećenje, tangencijalno i normalno

naprezanje je prikazano preko komponenata unutarnjih sila klasičnih teorija, te

sekundarnih komponenata unutarnjih sila koje proizlaze iz smicanja i ortotropije

materijala. Izrazi za pomake su napisani odvojeno, članovima koji se odnose na pomake

poprečnog presjeka kao krute figure te dodatnim članovima koji predstavljaju pomake

zbog smicanja i ortotropije. Za posebne slučajeve (presjeke s jednom i dvije osi simetrije)

izvedeni su izrazi za pomake i naprezanja s dodatnim članovima u parametarskom obliku,

koji predstavljaju utjecaj smicanja i ortotropije.

U četvrtom je poglavlju napravljena analiza utjecaja smicanja na vertikalne pomake i

srednja normalna naprezanja relativno kratkih tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog

poprečnog presjeka, za različite oblike poprečnog presjeka te za različite tipove rubnih

uvjeta. Numerička verifikacija rezultata dobivenih razvijenim analitičkim modelom

izvršena je usporedbom s rezultatima koje daje programski paket ADINA koji se temelji na

metodi konačnih elemenata. Utjecaj smicanja na pomake i srednja normalna naprezanja

razmatran je kroz vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake te vrijednosti faktora

utjecaja smicanja na srednja normalna naprezanja.

10

U petom je poglavlju prikazana analiza utjecaja smicanja na kutove uvijanja, horizontalne

pomake te srednja normalna naprezanja relativno kratkih tankostjenih kompozitnih štapova

otvorenog poprečnog presjeka opterećenih na uvijanje. Analogno slučaju savijanja

numerička verifikacija rezultata dobivenih razvijenim analitičkim modelom izvršena je

usporedbom s rezultatima koje daje programski paket ADINA koji se temelji na metodi

konačnih elemenata.

U šestom je poglavlju analiza pomaka kod savijanja tankostjenih laminiranih kompozitnih

štapova otvorenog poprečnog presjeka izvršena usporedbom rezultata dobivenih

razvijenim analitičkim modelom s rezultatima drugih istraživača preuzetih iz dostupne

literature.

U sedmom su poglavlju dana zaključna razmatranja.

Prilog je podijeljen u dva dijela: A i B.

U dijelu A postavljene su osnovne konstitutivne jednadžbe kompozitnih materijala.

U dijelu B dane su osnovne definicije pojmova i veličina korištenih u radu.

11

2. Savijanje tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka

U ovom je poglavlju dana približna inženjerska teorija savijanja tankostjenih laminiranih

kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka, razvijena na temelju Timoshenkove

teorije savijanja [17], [18] te klasične Vlasovljeve teorije tankostjenih štapova [11].

Pretpostavlja se da je poprečni presjek kompozitnog štapa sastavljen od niza tankih,

simetričnih, uravnoteženih laminata čiji su slojevi ojačani jednosmjerno-orijentiranim

kontinuiranim vlaknima (unidirectional laminas). Pri tome je krutost štapa konstantna duž

uzdužne osi štapa, odnosno duž ukupne duljine srednje linije poprečnog presjeka. Laminati

su definirani kao simetrični ako su simetrični u odnosu na srednju plohu presjeka, dok kod

uravnoteženih laminata za svaki sloj kod kojeg su vlakna usmjerena pod kutem θ+ � ,

postoji identičan sloj gdje su vlakna usmjerena pod kutem θ− � . S obzirom na orijentaciju

vlakana u slojevima, razmatraju se laminati kod kojih su vlakna usmjerena pod kutevima

0� i 90� (cross-ply laminates), te laminati kod kojih su vlakna usmjerena pod kutevima

θ+ � i θ− � (angle-ply laminates). Konfiguracija ovih tipova laminata omogućuje jasan

uvid u strukturno ponašanje štapova opterećenih na savijanje. Slijedi tako da za slučaj kada

ravnina djelovanja poprečnog opterećenja prolazi kroz glavni pol P, koji odgovara središtu

posmika, štap je u općem slučaju opterećen na savijanje s utjecajem smicanja te dodatno na

uvijanje zbog smicanja i rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ako poprečni presjek ima

jednu os simetrije, pri djelovanju vanjskog opterećenja u ravnini simetrije štap je opterećen

na savijanje s utjecajem smicanja u ravnini simetrije te dodatno na rastezanje/sabijanje

zbog smicanja. Za slučaj djelovanja poprečnog opterećenja kroz glavni pol, u ravnini

okomitoj na ravninu simetrije, štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja u toj

ravnini i dodatno na uvijanje zbog smicanja. Ako poprečni presjek ima dvije osi simetrije,

pri djelovanju poprečnog opterećenja kroz glavni pol štap je opterećen na savijanje s

utjecajem smicanja u obje glavne ravnine.

2.1. Pretpostavke o deformiranju i naprezanju

Pri razvoju teorije tankostjenih laminiranih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog

presjeka, nadopunjene su temeljne pretpostavke o deformiranju i naprezanju korištene za

izotropne tankostjene štapove otvorenog presjeka:

12

1. Kontura poprečnog presjeka (srednja linija presjeka) se ne deformira u vlastitoj

ravnini, odnosno projekcija konture poprečnog presjeka na ravninu poprečnog

presjeka ostaje nepromijenjena tijekom deformiranja.

2. Kutne deformacije u srednjoj plohi različite su od nule.

3. Normalna naprezanja u smjeru konture srednje linije te normale na srednju liniju,

mala su u usporedbi s normalnim naprezanjem u smjeru izvodnice srednje plohe.

4. Tangencijalna naprezanja jednaka su nuli, osim u smjeru tangente na srednju liniju.

5. Normalna naprezanja u smjeru izvodnice srednje plohe raspodijeljena su jednoliko

po debljini stjenke pojedinog sloja laminata.

6. Tangencijalna naprezanja raspodijeljena su linearno po debljini stjenke pojedinog

sloja laminata.

Prva pretpostavka implicira da je duljinska deformacija u smjeru konture srednje linije

poprečnog presjeka mala u usporedbi s duljinskom deformacijom u smjeru uzdužne osi

štapa; zanemaruje se distorzija poprečnog presjeka. Kutne deformacije u srednjoj plohi

uzete su u razmatranje, a dobivene su kao srednja vrijednost kutnih deformacija u

pojedinom sloju laminata. Preostale pretpostavke proizlaze iz temeljnih svojstava

tankostjenih štapova: dimenzije poprečnog presjeka su male u odnosu na duljinu štapa;

debljina stjenke mala je u odnosu na ostale dimenzije poprečnog presjeka. Slijedi iz gornjih

pretpostavki da su jedino membranska duljinska deformacija u smjeru izvodnice srednje

plohe te kutna deformacija u srednjoj plohi različite od nule.

Razvoj inženjerske teorije za tankostjene laminirane kompozitne štapove otvorenog

poprečnog presjeka zahtijeva dodatne pretpostavke:

7. Svaki pločasti element poprečnog presjeka tankostjenog štapa predstavlja tanki

vlaknima-ojačani laminat. Krutost laminata u poprečnom presjeku je konstantna

duž ukupne duljine srednje linije poprečnog presjeka.

8. Raspored slaganja slojeva u laminatu je takav da su laminati uravnoteženi te

simetrični u odnosu na srednju plohu presjeka. Slijedi odavde da su rezultantni

momenti savijanja i uvijanja na jedinicu duljine jednaki nuli za svaki pločasti

element presjeka.

Posljednje dvije pretpostavke definiraju konstitutivne izraze laminiranog kompozitnog

štapa otvorenog poprečnog presjeka (Prilog A).

13

2.2. Pomaci i deformacije

Pomak točke S srednje plohe (Prilog B), u smjeru osi y i z poprečnog presjeka, može se u

Kartezijevom koordinatnom sustavu (x, y, z) prikazati komponentama:

( ) ( ), .S P z P S P y Pv v z a w w y aα α= − − = + − (2.1)

gdje su ( )y y s= i ( )z z s= pravokutne koordinate točke S, ya i za koordinate pola P, s

krivocrtna koordinata točke S u odnosu na ishodišnu točku M, ( )P Pv v x= i ( )P Pw w x=

pomaci pola P u smjeru y i z osi, odnosno pomaci konture poprečnog presjeka kao krute

figure, ( )P P xα α= je kut uvijanja srednje linije kao krute linije u odnosu na pol P.

ϕ

ϕϕ

90 ϕ−�Sv

Sw ϕ

Swɶ Svɶ

ξ

δ

ϕ

Ph Ph′

Slika 2.1. Pomaci točke S u ravnini poprečnog presjeka u koordinatnom sustavu Oyz,

odnosno Sδξ .

Za definirani lokalni koordinatni sustav ( ), ,xδ ξ , projekcija pomaka proizvoljne točke S

srednje linije na pravac tangente na srednju liniju u točki S (os ξ -Slika 2.1.) je:

cos sin .S S Sv v wϕ ϕ= +ɶ (2.2)

Ako uvrstimo izraz (2.1) u izraz (2.2) dobije se:

cos sin ,S P P P Pv v w hϕ ϕ α= + +ɶ (2.3)

gdje je udaljenost pola P od tangente na srednju liniju u točki S dana s:

( ) ( )sin cosP y zh y a z aϕ ϕ= − − − . (2.4)

14

Izraz (2.3) se može zapisati i kao:

d d d

,d d dS P P Py z

v v ws s s

ωα= + +ɶ (2.5)

gdje je:

d d d

cos , sin , ,d d dPy z

hs s s

ωϕ ϕ= = = (2.6)

a ( )sω ω= je sektorska koordinata u odnosu na pol P i ishodišnu točku M definirana s:

0

d .s

Ph sω = ∫ (2.7)

Kutna deformacija ( ),x x x sξ ξγ γ= u srednjoj plohi, prema Slici 2.2., može se izraziti kao:

d d

,d d

S S

S Sx x x

u vs x u vs x

s x s xξ ξ ξγ γ γ

∂ ∂∂ ∂∂ ∂′ ′′= + = + = +∂ ∂

ɶ

ɶ (2.8)

,vξ ɶ

,x u

Su

Svɶ

xξγ ′

xξγ ′′

dSS

vv s

s

∂+

∂ɶ

ɶ

dSS

uu s

s

∂+∂

dSS

uu x

x

∂+∂

dSS

vv x

x

∂+∂ɶ

ɶ

S1S

2S 3S1S′

2S′

3S′

ds

dx

x

0

Slika 2.2. Pomaci točaka elementa srednje plohe. gdje je Su pomak točke S u smjeru uzdužne osi x. Ako se izraz (2.5) uvrsti u (2.8) slijedi:

d d dd d d

.d d d d d d

S S P P Px x

u v v wy z

s x x s x s x sξ ξα ωγ γ∂ ∂= − = − − −

∂ ∂ɶ

(2.9)

Integracijom gornjeg izraza dobije se:

15

( ) ( ) ( )0

d d dd ,

d d d

sP P P

S M y z xv w

u u y s z s s sx x x α ξ

α ω γ= − − − + ∫ (2.10)

pri čemu je:

( ) ( ) ( )

1 2

0 0, 0 0, 0 0;

, , ,

y z

y z

y s z s s

s s C s s C s s

α

α

ω= = = = = =

= + = + = (2.11)

gdje su ys , zs i sα krivocrtne koordinate. U izrazu (2.10) Mu predstavlja uzdužni pomak

točke M (točka za koju vrijedi ( )0 0sω = = ), odnosno pomak srednje linije poprečnog

presjeka u uzdužnom smjeru kao krute figure. Pomak točke S dan izrazom (2.10), te

ukupna kutna deformacija u srednjoj plohi poprečnog presjeka, mogu se prikazati kao:

S ; .u v w u v wS S S S x x x x xu u u u uα α

ξ ξ ξ ξ ξγ γ γ γ γ= + + + = + + + (2.12)

U gornjem izrazu ( ),u ux x x sξ ξ αγ γ= , ( ),v v

x x yx sξ ξγ γ= , ( ),w wx x zx sξ ξγ γ= i ( ),x x x sα α

ξ ξ αγ γ=

su komponente kutne deformacije u odnosu na pomake Mu , Pv , Pw i Pα .

S obzirom na izraz (2.12), integral kutne deformacije u (2.10) može se prikazati kao:

0 0 0 0 0

d d d d d .y z

ss sssu v w

x x x x xs s s s sα α

αξ ξ ξ ξ ξγ γ γ γ γ= + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.13)

Prva četiri člana u (2.10) su pomaci od rastezanja, savijanja i uvijanja s utjecajem smicanja

oko pola P, dok peti član, odnosno izraz (2.13) predstavlja dodatne pomake zbog

vitoperenja uslijed smicanja.

Pomaci pola P mogu se prikazati i na slijedeći način:

,

,

,

b sP P P

b sP P P

t sP P P

v v v

w w w

α α α

= +

= +

= +

(2.14)

gdje su ( )b bP Pv v x= i ( )b b

P Pw w x= pomaci poprečnog presjeka kao krute figure u smjeru y

i z osi, ( )t tP P xα α= je kut uvijanja poprečnog presjeka oko pola P kao krute figure,

( )s sP Pv v x= , ( )s s

P Pw w x= i ( )s sP P xα α= su dodatni pomaci zbog smicanja.

Jednadžba (2.10) može se napisati i na slijedeći način:

16

( ) ( ) ( )0

d ,s

S M y z xu u y s z s s sα ξγ β ϑω γ= − + + + ∫ (2.15)

gdje je:

d d d

, , .d d d

P P Pv w

x x x

αγ β ϑ= = − = − (2.16)

Imajući u vidu (2.14), može se izraz (2.16) prikazati kao:

, , ,b s b s t sγ γ γ β β β ϑ ϑ ϑ= + = + = + (2.17)

gdje su bβ i bγ kutni pomaci (zakret) poprečnog presjeka kao krute figure oko y i z osi, tϑ

relativni kutni pomak oko x osi, analogno klasičnoj teoriji tankostjenog štapa otvorenog

presjeka, dok su sβ , sγ i sϑ dodatni kutni pomaci zbog smicanja.

Mogu se definirati slijedeće diferencijalne ovisnosti:

d d d, , ,

d d d

d d d, , .

d d d

b b tP P P

b b t

s s sP P P

s s s

v w

x x x

v w

x x x

αγ β ϑ

αγ β ϑ

= = − = −

= = − = −

(2.18)

Korištenjem izraza (2.10) može se duljinska deformacija za os x zapisati kao:

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 20

d d d dd ,

d d d d

sxS M P P P

x y zu u v w

y s z s s sx x xx x x

ξα

γαε ω∂∂= = − − − +

∂ ∂∫ (2.19)

odnosno:

d

,d

v wu v wS S S SM

x x x x xu u u uu

x x x x x

ααε ε ε ε ε∂ ∂ ∂ ∂= = + + + = + + +

∂ ∂ ∂ ∂ (2.20)

gdje su uxε , v

xε , wxε i x

αε komponente duljinske deformacije u odnosu na pomake Mu ,

Pv , Pw i Pα .

2.3. Naprezanja

Konstitutivne jednadžbe za ravninsko stanje naprezanja pojedinog sloja laminata, u

proizvoljnom x ξ− koordinatnom sustavu, mogu se zapisati prema [1]:

17

11 12 16

12 22 26

16 26 66

k kx x

x x

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Qξ ξ

ξ ξ

σ εσ ετ γ

=

(2.21)

gdje su ijQ transformirane reducirane krutosti koje ovise o elastičnim svojstvima

materijala pojedinog sloja laminata ( )1,2,...,k N= . Za N slojeva ( ),k kx x x sσ σ=

predstavlja normalno naprezanje u k-tom sloju u smjeru osi x, ( ),k k x sξ ξσ σ= normalno

naprezanje u k-tom sloju u smjeru tangente na srednju liniju, dok je ( ),k kx x x sξ ξτ τ=

tangencijalno naprezanje k-tog sloja laminata. Konstitutivni izrazi mogu se pojednostavniti

zanemarivanjem normalnog naprezanja ( )0kξσ = , odnosno duljinske deformacije ( )0ξε =

u smjeru konture srednje linije:

* *11 16

* *16 66

,

kkx x

x x

Q Q

Q Qξ ξ

σ ετ γ

=

(2.22)

gdje je za slučaj kada je 0kξσ = :

22

* * *12 26 261211 11 16 16 66 66

22 22 22, , ,

Q Q QQQ Q Q Q Q Q

Q Q Q= − = − = − (2.23)

odnosno za slučaj kada je 0ξε = :

* * *11 11 16 16 66 66, , .Q Q Q Q Q Q= = = (2.24)

Prema (2.22) i (2.19) , normalno naprezanje u k-tom sloju laminata glasi:

2 2 2

* *11 162 2 2

0

d d d dd .

d d d d

sxk M P P P

x xu v w

Q y z s Qx xx x x

ξξ

γασ ω γ ∂ = − − − + + ∂

∫ (2.25)

Jednadžba ravnoteže odsječka k-tog sloja laminata na mjestu razmatranog poprečnog

presjeka štapa za uzdužnu os x može se napisati kao (Slika 2.3.):

( ) ( )

0

k k k kx xt t

x s

ξσ τ∂ ∂+ =

∂ ∂ (2.26)

18

gdje je kt debljina odsječka k-tog sloja laminata poprečnog presjeka štapa.

k kx tξτ

( )d d

k kxk k

x

tt s x

s

ξξ

ττ ∂ + ∂

( )d d

k kxk k

x

tt x s

x

σσ ∂ + ∂

k kxtσ

dxds

kt

Slika 2.3. Ravnoteža infinitezimalnog elementa k-tog sloja laminata

Integracijom izraza (2.26) dobije se:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

1d ; ,

k ksxk k k k

x k k v wk

ts f x f x T x T x T x

xtξ α

στ

∂ = − + = + + ∂ ∫ (2.27)

gdje su funkcija integracijekf i tokovi tangencijalnog naprezanja kvT , kwT i kTα defnirani s:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ), 0 ; , 0 ;

, 0 .

k kv k k kw kv x y w x z

k k kx

T x x s t T x x s t

T x x s t

ξ ξ

αα ξ α

τ τ

τ

= = = =

= = (2.28)

Iz izraza (2.27), te s obzirom na (2.25), dobije se tangencijalno naprezanje u k-tom sloju:

( ) ( ) ( ) ( )* 2 3 3 311

2 3 3 3

2* *11 162

0 0 0

d d d d

d d d d

d d d

k M P P Px z y y z

s s sx x k

k

Q u v wA s S s S s S s

t x x x x

fQ s s Q s

xx t

ξ ω

ξ ξ

ατ

γ γ

= − − − − −

∂ ∂− − +

∂∂∫ ∫ ∫

(2.29)

gdje je:

( ) ( ) ( )d d , d , d , d .

y z

z y y zs s s

A t s S s y A S s z A S s Aω ω= = = =∫ ∫ ∫ (2.30)

U izrazu (2.29) pretpostavljeno je da su debljina odsječka k-tog sloja kt , kao i debljina

stjenke laminata t, konstantne duž krivocrtne koordinate s. Međutim, debljine stjenki

pojedinih laminata u presjeku mogu biti različite duž ukupne duljine srednje linije.

19

Ako se pretpostavi da je konst.x

xξγ∂

=∂

, može se izraz (2.29) zapisati i kao:

*

3 3 3* 2* * * *11

2 3 3 3

* *16

0

d d dd

d d d d

d ,

p p pk Mx z y

sx k

k

v wQ uA S S S

t x x x x

fQ s

x t

ξ ω

ξ

ατ

γ

= − − − +

∂+ +

∂∫

(2.31)

gdje je:

* * *

* * * * * * * *d d , d , d , d .

y z

z ys s s

A t s S y A S z A S Aω ω= = = =∫ ∫ ∫ (2.32)

U izrazu (2.31) ( ) ( )* * * *A A s A s= = je površina odsječenog dijela poprečnog presjeka u

odnosu na koordinatu s odnosno *s , ( ) ( )* * * *y y z y zS S s S s= = i ( ) ( )* * * *

z z y z yS S s S s= = su

statički momenti površine odsječenog dijela poprečnog presjeka u odnosu na y i z os,

( ) ( )* * * *S S s S sω ω ω= = je sektorski statički moment odsječenog dijela površine.

Pretpostavka je da vrijedi * 0s = na mjestu gdje je 0kxξτ = , odakle slijedi iz izraza (2.31):

*

*

* *16

0 0

ds

xkk

s

fQ s

xt

ξγ

=

∂= −

∂∫ . (2.33)

Usporedbom izraza (2.29) i (2.31) dobije se:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

* * * *

* * * *

d d , d d ,

d d , d d .

z y z y

y z y z

A s A s S s S s

S s S s S s S sω ω

= − = −

= − = − (2.34)

Srednje tangencijalno naprezanje u poprečnom presjeku može se dobiti integracijom izraza

(2.29) i (2.31) po debljini stjenke t:

1

d ,sr kx x

ttξ ξτ τ δ= ∫ (2.35)

odakle slijedi:

20

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 3 3 3

2 3 3 3

d d d d

d d d d

,

z y y zsr M P P Px a

S s S sA s S su v wk

t t t tx x x x

f x

t

ωξ

ατ = − − − − +

+

(2.36)

odnosno:

* *2 3 * 3 3*

2 3 3 3

d d d d,

d d d d

ysr M P z P Px a

S Su v S wAk

t t t tx x x xω

ξατ

= − − −

(2.37)

gdje je s obzirom na konfiguraciju laminata koji se analiziraju *16d 0

t

Q δ =∫ . Krutost

laminata ak te ukupni tok tangencijalnog naprezanja f (x) definirani su pri tome s:

( )

1

1

* * *11 11 11

1 1

1 1

d d ,

d d .

k

k

k

k

kN N

ak kt

N Nk k

kk kk kt

tQ Q t Q k t

t

f ff f x

t t

η

ηη

η

δ δ

δ δ

−

−

= =

= =

= = =

= = =

∑ ∑∫ ∫

∑ ∑∫ ∫

(2.38)

Također, pretpostavlja se u izrazima (2.36) i (2.37) da je kutna deformacija xξγ konstantna

po debljini stjenke t. Kutna deformacija može se prema (2.22) prikazati kao:

*16

* *66 66

,kx

x xQ

Q Q

ξξ

τγ ε= − (2.39)

dok se srednja kutna deformacija u poprečnom presjeku može odrediti integracijom izraza

(2.39) po debljini stjenke t:

1

d .srx x

ttξ ξγ γ δ= ∫ (2.40)

Imajući u vidu da je duljinska deformacija xε također konstantna po debljini stjenke slijedi

iz (2.40):

*66

1d

kxsr

xt

t Q

ξξ

τγ δ= ∫ , (2.41)

budući je s obzirom na analizirane tipove laminata:

21

*16*66

d 0t

Q

Qδ =∫ . (2.42)

Supstitucijom izraza (2.31) u (2.41), te imajući u vidu (2.38) dobije se:

* *2 3 * 3 3*

2 3 3 3

d d d d,

d d d d

ysr M P z P Px b

S Su v S wAk

t t t tx x x xω

ξαγ

= − − −

(2.43)

gdje je faktor utjecaja materijala na smicanje bk definiran s:

1

* * *11 11 11* * *

1 166 66 66

d d .k

k

kN N

bk kt

Q Q Q tt k t

tQ Q Q

η

ηδ δ

−= =

= = =∑ ∑∫ ∫ (2.44)

Srednje normalno naprezanje u poprečnom presjeku može se dobiti integracijom izraza

(2.25) po debljini stjenke t:

1

d ,sr kx x

tt

σ σ δ= ∫ (2.45)

odnosno s obzirom na (2.38), slijedi:

2 2 2

2 2 20

d d ddd .

d d d d

sp p p xsr M

x a a

v wuk y z k s

x xx x x

ξα γσ ω

∂ = − − − + ∂

∫ (2.46)

Supstitucijom izraza za srednju kutnu deformaciju (2.43) u izraze (2.25) i (2.46) dobiju se

izrazi za raspodjelu normalnog naprezanja u k-tom sloju, odnosno za raspodjelu srednjeg

normalnog naprezanja u poprečnom presjeku:

2 2 2*11 2 2 2

* *2 3 * 3 3**16 2 3 3 3

* *3 4 * 4 4**11 3 4 4 4

d d d d

d d d d

d d d d

d d d d

d d d dd d d d ,

d d d dy z

k M P P Px

yM P z P Pb

yM P z P Pb

s s s s

u v wQ y z

x x x x

S Su v S wAQ k

t t t tx x x x

S Su v S wAQ k s s s s

t t t tx x x x

ω

ω

ασ ω

α

α

= − − − +

+ − − − +

+ − − −

∫ ∫ ∫ ∫

(2.47)

i:

22

2 2 2

2 2 2

* *3 4 * 4 4*

3 4 4 4

d d d d

d d d d

d d d dd d d d .

d d d dy z

sr M P P Px a

yM P z P Pa b

s s s s

u v wk y z

x x x x

S Su v S wAk k s s s s

t t t tx x x xω

ασ ω

α

= − − − +

+ − − −

∫ ∫ ∫ ∫

(2.48)

2.4. Jednadžbe ravnoteže

Pretpostavlja se da na nosač djeluju sile na jedinicu površine yp i zp (slika 2.4.), odnosno

jednoliko raspodijeljeno vanjsko opterećenje ( )y yq q x= i ( )z zq q x= koje prolazi kroz

pol P [12]:

d , d .y y z zL L

q p s q p s= =∫ ∫ (2.49)

Slika 2.4 Vanjsko opterećenje štapa: a) sile na jedinicu površine b) sile na jedinicu duljine.

srsr xx x

σσ ∂+∂

srxsr

x xξ

ξτ

τ∂

+∂

srxξτ

srxσ

yz

P

ϕ

ξ

Slika 2.5. Ravnoteža odsječka štapa.

23

Jednadžbe ravnoteže diferencijalnog elementa štapa prema slici 2.5 glase:

d d d 0,

cos d d d d 0,

sin d d d d 0,

d d d 0,

srx

xL t

srx

y yL t

srx

z zL t

srx

p PL t

F x sx

F x s q xx

F x s q xx

M h x sx

ξ

ξ

ξ

σ δ

τϕ δ

τϕ δ

τδ

∂= =∂

∂= + =

∂

∂= + =

∂

∂= =

∂

∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

(2.50)

odnosno imajući u vidu (2.6):

d d 0, d d 0,

d d 0, d d 0.

srsrxx

yL t L t

sr srx x

zL t L t

s y qx x

z qx x

ξ

ξ ξ

τσ δ δ

τ τδ δ ω

∂∂ = + =∂ ∂

∂ ∂+ = =

∂ ∂

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(2.51)

Parcijalnom integracijom zadnje tri jednadžbe izraza (2.51) dobije se:

2

1

2

1

d d d

d d d d d ,

d d d

d d d d

srx

L t

esr sr srx x x

t L t L te

srx

L t

esr sr srx x x

t L t L te

y uv v ux

y y s y sx s x s x

z uv v ux

z z s zx s x s x

ξ

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

τδ

τ τ τδ δ δ

τδ

τ τ τδ δ δ

∂= − =

∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ = − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂= − =

∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ = − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

1

d ,

d d d

d d d d d ,

srx

L t

esr sr srx x x

t L t L te

s

uv v ux

s sx s x s x

ξ

ξ ξ ξ

τδ ω

τ τ τω δ ω δ ω δ

∂= − =

∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ = − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.52)

gdje su 1e i 2e rubovi srednje linije poprečnog presjeka u kojima je 0srxξτ = .

24

Ako se izrazi (2.52) uvrste u (2.51) slijedi:

d d 0,

d d 0,

d d 0,

d d 0.

srx

L t

srx

yL t

srx

zL t

srx

L t

sx

y s qs x

z s qs x

ss x

ξ

ξ

ξ

σ δ

τδ

τδ

τω δ

∂ =∂

∂∂ − =

∂ ∂

∂∂ − =

∂ ∂

∂∂ =

∂ ∂

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(2.53)

Iz izraza (2.48) i (2.36) slijedi:

3 3 32

2 3 3 3

d d dd,

d d d d

srp p px M

a

v wuk y z

x x x x x

ασ ω ∂ = − − − ∂

(2.54)

i:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

4 4 43

3 4 4 4

d d dd

d d d d

.

srz yp p y z px M

a

S sv w S sA s S suk

x t t t tx x x x

f x

t

ξ ωατ ∂ = − − − −

∂

′+

(2.55)

Supstitucijom izraza (2.54) i (2.55) u izraz (2.53) dobije se:

3 3 32

2 3 3 3

4 4 43

3 4 4 4

4 4 43

3 4 4 4

4 43

3 4

d d dd0,

d d d d

d d dd,

d d d d

d d dd,

d d d d

d dd

d d

p p pMa z y

p p pMa z z yz z y

p p pMa y zy y y z

p pMa z y

v wuk A S S S

x x x x

v wuk S I I I q

x x x x

v wuk S I I I q

x x x x

v wuk S I I

x x

ω

ω

ω

ω ω ω

α

α

α

− − − =

− + + + =

− + + + =

− + +4

4 4

d0,

d d

pIx x

ωα + =

(2.56)

gdje su:

25

2

2 2

d , d , d , d , d ,

d , d , d , d , d .

y z zL A A A A

yz z y yA A A A A

A t s S z A S y A S A I y A

I yz A I y A I z A I z A I A

ω

ω ω ω

ω

ω ω ω

= = = = =

= = = = =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.57)

U gornjim izrazima vrijedi:

, , .yz zy y y z zI I I I I Iω ω ω ω= = = (2.58)

Ako su y, z i ω glavne koordinate vrijedi:

0, 0, 0, 0,y z yz zy y y z zS S S I I I I I Iω ω ω ω ω= = = = = = = = = (2.59)

pa se izraz (2.56) svodi na:

2

2

4

4

4

4

4

4

d0,

d

d,

d

d,

d

d0.

d

Ma

pa z y

pa y z

pa

uk A

x

vk I q

x

wk I q

x

k Ix

ωα

=

=

=

=

(2.60)

2.5. Veza naprezanja i unutarnjih sila

2.5.1. Tangencijalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila

Integriranjem srednjeg tangencijalnog naprezanja po poprečnom presjeku dobije se:

cos d d ,

sin d d ,

d d 0,

sry x

L t

srz x

L t

srx P

L t

Q s

Q s

M h s

ξ

ξ

ω ξ

τ ϕ δ

τ ϕ δ

τ δ

=

=

= =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(2.61)

gdje ( )y yQ Q x= i ( )z zQ Q x= predstavljaju poprečne sile u odnosu na y i z os, a

( )M M xω ω= moment vitoperenja u odnosu na pol P, koji je jednak nuli s obzirom na

vanjsko opterećenje.

26

Supstitucijom izraza (2.37) u prvu jednadžbu izraza (2.61) dobije se:

2 3* *

2 3

3 3* *

3 3

d dcos d cos d

d d

d dcos d cos d ,

d d

a aM Py z

L L

a aP Py

L L

k ku vQ A t s S t s

t tx x

k kwS t s S t s

t tx xω

ϕ ϕ

αϕ ϕ

= − −

− −

∫ ∫

∫ ∫

(2.62)

odnosno s obzirom na konstantnu krutost ak , te imajući u vidu (2.6):

2 3 3* * *

2 3 3

3*

3

d d dd d d

d d d

dd .

d

M P Py a a z a y

L L L

Pa

L

u v wQ k A y k S y k S y

x x x

k S yx

ωα

= − − −

−

∫ ∫ ∫

∫

(2.63)

Parcijalnom integracijom članova u izrazu (2.63) dobije se:

( )2

1

* * *d d d d d ,e

ze

L A A A

A y uv v u A y y A y A y A S= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * * 2d d d d d ,e

z z z z ze

L L L A A

S y uv vdu S y y S y S yy A y A I= − = − = − − = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

y y y y yze

L L L A

S y uv v u S y y S y S yz A I= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

ze

L L L A

S y uv v u S y y S y S y A Iω ω ω ω ωω= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

pa iz (2.63) slijedi:

2 3 3 3

2 3 3 3

d d d d.

d d dM P P P

y a z a z a yz a zu v w

Q k S k I k I k Ix dx x x

ωα= − − − (2.64)

Ako se izraz (2.37) uvrsti u drugu jednadžbu izraza (2.61) slijedi:

2 3 3* * *

2 3 3

3*

3

d d dsin d sin d sin d

d d d

dsin d ,

d

a a aM P Pz z y

L L L

a P

L

k k ku v wQ A t s S t s S t s

t t tx x x

kS t s

t xω

ϕ ϕ ϕ

α ϕ

= − − −

−

∫ ∫ ∫

∫

(2.65)

odnosno s obzirom na konstantnu krutost ak , te imajući u vidu izraz (2.6):

27

2 3 3* * *

2 3 3

3*

3

d d dd d d

d d d

dd .

d

M P Pz a a z a y

L L L

Pa

L

u v wQ k A z k S z k S z

x x x

k S zx

ωα

= − − −

−

∫ ∫ ∫

∫

(2.66)

Parcijalnom integracijom članova u (2.66) dobije se:

( )2

1

* * *d d d d d ,e

ye

L A A A

A z uv v u A z z A z A z A S= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

z z z z yze

L L L A

S z uv v u S z z S z S zy A I= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * * 2d d d d d d ,e

y y y y ye

L L L A A

S z uv v u S z z S z S zz A z A I= − = − = − − = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

ye

L L L A

S z uv v u S z z S z S z A Iω ω ω ω ωω= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

pa slijedi iz (2.66):

2 3 3 3

2 3 3 3

d d d d.

d d d dM P P P

z a y a yz a y a yu v w

Q k S k I k I k Ix x x x

ωα= − − − (2.67)

Ako se izraz (2.37) uvrsti u treću jednadžbu izraza (2.61) dobije se:

2 3 3* * *

2 3 3

3*

3

d d dd d d

d d d

dd 0,

d

a a aM P PP z p y P

L L L

a PP

L

k k ku v wM A h t s S h t s S h t s

t t tx x x

kS h t s

t x

ω

ωα

= − − −

− =

∫ ∫ ∫

∫

(2.68)

odnosno s obzirom na konstantnu krutost ak te izraz (2.6):

2 3 3* * *

2 3 3

3*

3

d d dd d d

d d d

dd 0,

d

M P Pa a z a y

L L L

Pa

L

u v wM k A k S k S

x x x

k Sx

ω

ω

ω ω ω

α ω

= − − −

− =

∫ ∫ ∫

∫

(2.69)

Parcijalnom integracijom članova u (2.69) slijedi:

( )2

1

* * *d d d d d ,e

eL A A A

A uv v u A A A A Sωω ω ω ω ω= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

28

( )2

1

* * *d d d d d ,e

z z z z ze

L L L A

S uv v u S S S y A Iωω ω ω ω ω= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

y y y y ye

L L L A

S uv v u S S S z A Iωω ω ω ω ω= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * * 2d d d d d d ,e

eL L L A A

S uv v u S S S A A Iω ω ω ω ωω ω ω ω ωω ω= − = − = − − = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


2 3 3 3

2 3 3 3

d d d d0.

d d d dM P P P

a a z a y au v w

M k S k I k I k Ix x x x

ω ω ω ω ωα= − − − = (2.70)

Ako su y, z i ω glavne koordinate vrijedi izraz (2.59) pa se izrazi (2.64), (2.67) i (2.70)

svode na:

3

3

d,

dP

y a zv

Q k Ix

= − (2.71)

3

3

d,

dP

z a yw

Q k Ix

= − (2.72)

3

3

d0.

dP

aM k Ix

ω ωα= − = (2.73)

Imajući u vidu izraze (2.60), (2.71) i (2.72), slijedi:

d,

dd

.d

yy

zz

Qq

xQ

qx

= −

= − (2.74)

Supstitucijom izraza (2.60), (2.71), (2.72) i (2.73) u (2.31) i (2.37), te imajući u vidu (2.43)

dobije se izraz za tangencijalno naprezanje u k-tom sloju:

* * ** ** * *11 16 1611 d d ,

y z

y yk b bz zx y z y z

a z a y a z a ys s

Q S SQ k Q kQ S SQ Q q s q s

k tI k tI k I t k I tξτ = + + +∫ ∫ (2.75)

odnosno izraz za raspodjelu srednjeg tangencijalnog naprezanja u funkciji komponenata

unutarnjih sila:

29

* *

y z z ysrx

z y

Q S Q S

tI tIξτ = + . (2.76)

2.5.2. Normalno naprezanje izraženo preko unutarnjih sila

Integracijom izraza za srednje normalno naprezanje po poprečnom presjeku dobije se:

d d 0,

d d ,

d d ,

d d 0.

srx

L t

srz x

L t

sry x

L t

srx

L t

N s

M y s

M z s

B s

σ δ

σ δ

σ δ

σ ω δ

= =

= −

=

= =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(2.77)

Ako izraz (2.48) uvrstimo u prvu jednadžbu izraza (2.77), te imajući u vidu(2.60), dobije

se:

2 2 2

2 2 2

*4 * 4

4 4

d d d dd d d

d d d d

d dd d d d 0,

d dy z

M P P Pa a a a

A A A

yP z Pa b a b

A s A s

u v wN k A k y A k z A k A

x x x x

Sv S wk k s A k k s A

t tx x

α ω= − − − −

− − =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(2.78)

odnosno:

2 2 2

2 2 2

*4 * 4

4 4

d d d d

d d d d

d dd d d d 0.

dy z

M P P Pa a z a y a

yP z Pa b a b

A s A s

u v wN k A k S k S k S

x x x x


t tx dx

ωα= − − − −

− − =

∫ ∫ ∫ ∫

(2.79)

Budući su y, z i ω glavne koordinate vrijedi da je 0z yS S Sω= = = pa se izraz (2.79)

reducira na:

*4 * 4

4 4

d d dd d d d 0,

d d dy z

yM P z Pa a b a b

A s A s

Su v S wN k A k k s A k k s A

x t tx x

= − − =

∫ ∫ ∫ ∫ (2.80)

Parcijalnom integracijom zadnja dva člana izraza (2.80) dobije se prema [13]:

30

2

1

* ** * * *

d d d d , d d d d d ,

y y y

e

y zz z z z

A s s s L Le

A SS S S SA s uv v u u s v A A s A s s

t t t t t

= − = = = = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

1

* * * * * *

d d d d , d d d d d ,

z z z

e

y y y y z y

A s s s L Le

S S S S A SA s uv v u u s v A A s A s s

t t t t t

= − = = = = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


* * * *4 4

4 4

d d dd d 0.

d d

y z z yM P Pa a a b

L L

A S A Su v wN k A k b s k k s

x t tx dx= − − =∫ ∫ (2.81)

Na koncu se može, imajući u vidu (2.60), izraz (2.81) prikazati kao:

* * * *

dd d 0.

dy z z yb bM

a y zz yL L

A S A Sk kuN k A q s q s

x I t I t= − − =∫ ∫ (2.82)

Ako izraz (2.48) uvrstimo u drugu jednadžbu izraza (2.77) slijedi:

2 22

2 2

*2 4 * 4

2 4 4

d d dd d d

d d d

d d dd d d d d ,

d d dy z

M P Pz a a a

A A A

yP P z Pa a b a b

A A s A s

u v wM k y A k y A k zy A

x x x

Sv S wk y A k k s y A k k s y A

t tx x x

α ω

= − + + +

+ + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

(2.83)

odnosno:

2 2 2

2 2 2

*4 * 4

4 4

d d d d

d d d d

d dd d d d ,

d dy z

M P P Pz a z a z a yz a z

yP z Pa b a b

A s A s

u v wM k S k I k I k I

x x x x

Sv S wk k s y A k k s y A

t tx x

ωα= − + + + +

+ +

∫ ∫ ∫ ∫

(2.84)

Budući su y, z i ω glavne koordinate vrijedi da je 0z yz zS I I ω= = = pa se (2.84) svodi na:

*2 4 * 4

2 4 4

d d dd d d d .

d d dy z

yP P z Pz a z a b a b

A s A s

Sv v S wM k I k k s y A k k s y A

t tx x x

= + +

∫ ∫ ∫ ∫ (2.85)

Parcijalnom integracijom zadnja dva člana izraza (2.85) dobije se:

31

2

1

* *

2* * *

d d d d , d d ,

d d d ,

y y

y

z z

A s s

e

z z zz z

s L Ae

S Sy A s uv v u u s v y A

t t

S S SS s S s A

t t t

= − = = = =

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2

1

* *

* * * *

d d d d , d d ,

d d d ,

z z

z

y y

A s s

e

y y z yz z

s L Le


t t

S S S SS s S s s

t t t

= − = = = =

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

pa se (2.85) svodi na:

2 * *2 4 * 4

2 4 4

d d dd d .

d d d

z yP P z Pz a z a b a b

A L

S Sv v S wM k I k k A k k s

t tx x x

= + +

∫ ∫ (2.86)

Na koncu se može, imajući u vidu(2.60), izraz (2.86) prikazati kao:

2 * *2 *

2

dd d .

d

z yb bP zz a z y z

z yA L

S Sk kv SM k I q A q s

I t I tx

= + +

∫ ∫ (2.87)

Ako se izraz (2.48) uvrsti u treću jednadžbu izraza (2.77) dobije se:

2 2 22

2 2 2

*4 * 4

4 4

d d d dd d d d

d d d d

d dd d d d ,

d dy z

M P P Py a a a a

A A A A

yP z Pa b a b

A s A s

u v wM k z A k yz A k z A k z A

x x x x

Sv S wk k s z A k k s z A

t tx x

α ω= − − − −

− −

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(2.88)

odnosno:

2 2 2

2 2 2

*4 * 4

4 4

d d d d

d d d d

d dd d d d .

d dy z

M P P Py a y a yz a y a y

yP z Pa b a b

A s A s


x x x x

Sv S wk k s z A k k s z A

t tx x

ωα= − − − −

− −

∫ ∫ ∫ ∫

(2.89)

Budući su y, z i ω glavne koordinate vrijede izrazi (2.59) pa se (2.89) svodi na:

32

*2 4 * 4

2 4 4

d d dd d d d .

d d dy z

yP P z Py a y a b a b

A s A s

Sw v S wM k I k k s z A k k s z A

t tx x x

= − − −

∫ ∫ ∫ ∫ (2.90)


2

1

* *

* ** *

d d d d , d d ,

d d d ,

y y

y

z z

A s s

e

y zz zy y

s L Le

S Sz A s uv v u u s v z A

t t

S SS SS s S s s

t t t

= − = = = =

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2

1

* *

2* * *

d d d d , d d ,

d d d ,

z z

z

y y

A s s

e

y y yy y

s L Ae


t t

S S SS s S s A

t t t

= − = = = =

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

pa izraz (2.90) postaje:

2* * *2 4 4

2 4 4

d d dd d .

d d d

y z yP P Py a y a b a b

L A

S S Sw v wM k I k k s k k A

t tx x x

= − − −

∫ ∫ (2.91)

Na koncu se može, imajući u vidu (2.60), izraz (2.91) prikazati kao:

2* * *2

2

dd d .

d

y z yb bPy a y y z

z yL A

S S Sk kwM k I q s q A

I t I tx

= − − −

∫ ∫ (2.92)

Ako izraz (2.48) uvrstimo u četvrtu jednadžbu izraza (2.77) dobije se:

2 2 22

2 2 2

*4 * 4

4 4

d d d dd d d d

d d d d

d dd d d d 0,

d dy z

M P P Pa a a a

A A A A

yP z Pa b a b

A s A s

u v wB k A k y A k z A k A

x x x x


t tx x

αω ω ω ω

ω ω

= − − − −

− − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(2.93)

odnosno:

33

2 2 2

2 2 2

*4 * 4

4 4

d d d d

d d d d

d dd d d d 0.

d dy z

M P P Pa a z a y a

yP z Pa b a b

A s A s

u v wB k S k I k I k I

x x x x


t tx x

ω ω ω ωα

ω ω

= − − − −

− − =

∫ ∫ ∫ ∫

(2.94)

Budući su y, z i ω glavne koordinate vrijedi da je 0y zS I Iω ω ω= = = pa se izraz (2.94)

reducira na:

2 4 *

2 4

*4

4

d dd d

d d

dd d 0.

d

y

z

P P za a b

A s

yPa b

A s

v SB k I k k s A

tx x

Swk k s A

tx

ωα ω

ω

= − − −

− =

∫ ∫

∫ ∫

(2.95)


2

1

* *

* ** *

d d d d , d d ,

d d d ,

y y

y

z z

A s s

e

zz z

s L Le

S SA s uv v u u s v A

t t

S SS SS s S s s

t t tω

ω ω

ω ω = − = = = =

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2

1

* *

* * * *

d d d d , d d ,

d d d ,

z z

z

y y

A s s

e

y y y

s L Le


t t

S S S SS s S s s

t t tω

ω ω

ω ω = − = = = =

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫


* ** *2 4 4

2 4 4

d d dd d 0.

d d d

yzP P Pa a b a b

L L

S SS Sv wB k I k k s k k s

t tx x x

ωωω

α= − − − =∫ ∫ (2.96)

Na koncu se može, imajući u vidu(2.60), izraz (2.96) prikazati kao:

* ** *2

2

dd d 0.

d

yb z bPa y z

z yL L

S Sk S S kB k I q s q s

I t I tx

ωωω

α= − − − =∫ ∫ (2.97)

34

Uvođenjem sekundarnih komponenata unutarnjih sila, odnosno sekundarnih uzdužnih sila

yN i zN , sekundarnih momenata savijanja yzM , zzM , y

yM i zyM te sekundarnih

bimomenata yB i zB , izrazi (2.82), (2.87), (2.92) i (2.97) se svode na:

2

2

2 2

2 2

d d, ,

d d

d d, .

d d

y z y zM Pa a z z z z

y z y zP Pa y y y y a

u vk A N N k I M M M

x x

wk I M M M k I B B

x xω

α

= + = + +

= − − − = − −

(2.98)

gdje su:

* * * *

2 * **

2* * *

* ** *

d , d ,

d , d ,

d , d ,

d , d .

y z z yy zb by z

z yL L

z yy zb bzz y z z

z yA L

y z yy zb by y y z

z yL A

yy zb z by z

z yL L

A S A Sk kN q s N q s

I t I t

S Sk kSM q A M q s

I t I t

S S Sk kM q s M q A

I t I t

S Sk S S kB q s B q s

I t I tωω

= =

= − = −

= =

= =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(2.99)

Iz izraza (2.98), s obzirom na (2.71), (2.72) i (2.73), slijedi:

2

2

3

3

3

3

3

3

d d d0,

d dd

d d d d,

d d dd

d d dd,

d d dd

d d d0.

d dd

y zM

a

y zP z z z

a z y

y zy y yP

a y z

y zP

a

u N Nk A

x xx

v M M Mk I Q

x x xx

M M Mwk I Q

x x xx

B Bk I

x xxω

α

= + =

= + + = −

= − − − = −

= − − =

(2.100)

odnosno s obzirom na (2.60):

35

3

3

4 2

4 2

24

4 2

4

4

d0,

ddd d

,dd d

dd d,

dd d

d0.

d

Ma

yP za z y

yP za y z

Pa

uk A

xQv M

k I qxx x

Mw Qk I q

xx x

k Ix

ωα

=

= = − =

= − = − =

=

(2.101)

Pretpostavka je da vrijedi .yq konst= i .zq konst= ; u protivnom izrazi (2.100) i (2.101)

daju približno rješenje problema.

Prva jednadžba izraza (2.98) može se s obzirom na (2.99) zapisati kao:

* * * *

d dd

,d

y z z yb by zy z

z yM L L

a a a a

A S A Sk kq s q s

I t I tu N N

x k A k A k A k A= + = +

∫ ∫ (2.102)

odnosno:

* * * *

d 1 1d d .

dy b S y z z yz b SM

a z S a y SL L

q k L A S A Sq k Lus s

x k A I L t k A I L t= +∫ ∫ (2.103)

Druga jednadžba izraza (2.98) može se s obzirom na (2.99) prikazati kao:

2

2

2 * **

d

d

d d

,

y zP z z z

a z a z a z

z yb bzy z

z yz A L

a z a z a z

v M M M

k I k I k Ix

S Sk kSq A q s

I t I tM

k I k I k I

= + + =

− −

= + +∫ ∫

(2.104)

odnosno:

2 * *2 *

2 2

dd d .

d

y b z yz bP z z

a z a a y zz A L

q k S Sq kv M SA AA s

k I k A t k A I I tx I

= − −

∫ ∫ (2.105)

Treća jednadžba izraza (2.98) može se s obzirom na (2.99) prikazati kao:

36

2

2

2** *

d

d

dd

,

y zy y yP

a y a y a y

yy z bbzy

yzy AL

a y a y a y

M M Mw

k I k I k Ix

SS S kk q Aq sI tI tM

k I k I k I

= − − − =

= − − −∫∫

(2.106)

odnosno:

2* * *2

2 2

dd d .

d

y y b y z yz bP

a y a y z a yL A

M q k S S Sq kw A As A

k I k A I I t k A tx I

= − − −

∫ ∫ (2.107)

Četvrta jednadžba izraza (2.98) može se s obzirom na (2.99) prikazati kao:

* ** *

2

2

d dd

,d

yb z by zy z

z yP L L

a a a a

S Sk S S kq s q s

I t I tB B

k I k I k I k Ix

ωω

ω ω ω ω

α = − − = − −∫ ∫

(2.108)

odnosno:

2 * ** *

2

dd d .

d

p y b p p yz z b

a p z a p yL L

q k W W S SS S q ks s

k W I I t k W I I tx

ωω

ω ω

α= − −∫ ∫ (2.109)

Iz dobivenih diferencijalnih izraza mogu se izvesti faktori smicanja:

* * * *

22 * * **

2 2

* ** *

1 1d , d ,

d , d , d ,

d , d ,

y z z yxy xz

z S y SL L

z y yzyy yz zy zz

y zz yA L A

p p yzy z

z yL L

A S A Ss s

I L t I L t

S S SSA A AA s A

t I I t tI I

W W S SS Ss s

I I t I I tωω

ω ωω ω

κ κ

κ κ κ κ

κ κ

= =

= = = =

= =

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

(2.110)

gdje su:

xyκ faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka Pv ,

xzκ faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka Pw ,

yyκ faktor smicanja u odnosu na pomak Pv ,

37

yzκ faktor smicanja u odnosu na pomak Pv zbog pomaka Pw ,

zzκ faktor smicanja u odnosu na pomak Pw ,

yωκ faktor smicanja u odnosu na pomak Pα zbog pomaka Pv ,

zωκ faktor smicanja u odnosu na pomak Pα zbog pomaka Pw ,

i smicajnih površina te smicajnih momenata otpora prema:

, ,

, ,

, ,

yy yzyy yz

zy zzzy zz

P PPy Pz

y z

A AA A

A AA A

W WW W

ω ω

κ κ

κ κ

κ κ

= =

= =

= =

(2.111)

pri čemu je 2dP PA

I h A= ∫ polarni moment tromosti poprečnog presjeka u odnosu na glavni

pol P, a 0

PP

IW

h= polarni moment otpora u odnosu na glavni pol, gdje je 0h udaljenost

tangente kroz glavnu ishodišnu točku od pola P; sL je proizvoljna dužina srednje linije

poprečnog presjeka. Izraz (2.98) sada poprima oblik:

2

2

2

2

2

2

d,

d

d,

d

d,

d

d

d

b S xy b S xzMy z

a a

b yy b yz b bP z zy z y z

a z a a b z a yy a yz

y b zy yb zz b bPy z y z

a y a a a y a zy a zz

b y b z bPy z y

a P a P

k L k Luq q

x k A k A

k k k kv M Mq q q q

k I k A k A k I k A k Ax

M k Mk k kwq q q q

k I k A k A k I k A k Ax

k k kq q q

k W k Wx

ω ω

κ κ

κ κ

κ κ

κ κα

= +

= − − = − −

= − − − = − − −

= − − = − .bz

a Py a Pz

kq

k W k W−

(2.112)

Korištenjem izraza (2.100) normalno naprezanje u k-tom sloju (2.47) te srednje normalno

naprezanje (2.48) mogu se prikazati u funkciji komponenata unutarnjih sila na sljedeći

način:

38

* * * * *11 11 11 11 11

* * * * *11 11 11 11 11

** * * *** *16 16 11 11d d

y

k y z yx y y y z z

a y a y a y a z a z

z y z y zz

a z a a a a

yb b b bzy z z y y z

a z a y a z a ys

Q Q Q Q QM z M z M z M y M y

k I k I k I k I k I

Q Q Q Q QM y N N B B

k I k A k A k I k I

SQ k Q k Q k Q kSQ S Q S q s q s

k tI k tI k I t k I t

ω ω

σ

ω ω

= + + − − −

− + + + + +

+ + − −∫ ,

zs∫

(2.113)

odnosno:

**

d d .

y z

y z y zy y ysr z z z

xy y y z z z

y z y zyb bz

y zz ys s

M M M M M Mz z z y y y

I I I I I I

Sk kSN N B Bq s q s

A A I I I t I tω ω

σ

ω ω

= + + − − − +

+ + + + − −∫ ∫

(2.114)

Unutarnje sile, definirane s (2.99) mogu se s obzirom na (2.110) prikazati kao:

, ,

, ,

, ,

, ,

y zy b xy S z b xz S

b yy z b zy zy zz y z z

b yz y b zz yy zy y y z

b yy z b zy z

P P

N q k L N q k L

k I k IM q M q

A Ak I k I

M q M qA A

k I k IB q B q

W Wω ω ω ω

κ κκ κ

κ κ

κ κ

= =

= − = −

= =

= =

(2.115)

odnosno prema (2.111) na slijedeći način:

, ,

, ,

, .

y zb z b zz y z z

yy zy

b y b yy zy y y z

yz zz

y zb by z

Py Pz

k I k IM q M q

A A

k I k IM q M q

A A

k I k IB q B q

W Wω ω

= − = −

= =

= =

(2.116)

Imajući u vidu (2.115) i (2.116), normalna naprezanja (2.113) i (2.114) sada postaju:

39

* ** *11 1111 11

* * * *11 11 11 11

* * * *11 * *11 16 16

b yzk b zzx y y z z

a y a a a z

b yy b zy b xy S b xz Sy z y z

a a a a

b y b z b by z y z z y

a P a P a z a y

y

Q k Q kQ QM z q z q z M y

k I k A k A k I

Q k Q k Q k L Q k Lq y q y q q

k A k A k A k A

Q k Q k Q k Q kq q Q S Q S

k W k W k tI k tI

Qq

ω ω

κ κσ

κ κ κ κ

κ κω ω

= + + − +

+ + + + +

+ + + + −

−** **

11 11d d ,

y z

yb bzz

a z a ys s

Sk Q kSs q s

k I t k I t−∫ ∫

(2.117)

**

d d .

y z

y b yz b yy b zysr b zz zx y z y z

y z

b xy S b yb xz S b zy z y z

P P

yb bzy z

z ys s

M k k kk Mz q z q z y q y q y

I A A I A A

k L kk L kq q q q

A A W W

Sk kSq s q s

I t I t

ω ω

κ κ κκσ

κ κκ κω ω

= + + − + + +

+ + + + −

− −∫ ∫

(2.118)

odnosno:

* ** *11 1111 11

** * *1111 11 11

* * * ** *11 11 16 16

*11

k b bx y y z z

a y a yz a zz a z

b xy Sb b b xz Sy z y z

a yy a zy a a

b b b by z y z z y

a Py a Pz a z a y

by

a

Q k Q kQ QM z q z q z M y

k I k A k A k I

Q k LQ k Q k Q k Lq y q y q q

k A k A k A k A

Q k Q k Q k Q kq q Q S Q S

k W k W k tI k tI

Q kq

k I

σ

κ κ

ω ω

= + + − +

+ + + + +

+ + + + −

−***

11d d ,

y z

ybzz

z a ys s

SQ kSs q s

t k I t−∫ ∫

(2.119)

*

*

d

d .

y

z

ysr b b b bzx y z y z

y yz zz z yy zy

b xy S b xz S b b b zy z y z y

Py Pz zs

ybz

y s

M k k k kMz q z q z y q y q y

I A A I A A

k L k L k k k Sq q q q q s

A A W W I t

Skq s

I t

σ

κ κ ω ω

= + + − + + +

+ + + + − −

−

∫

∫

(2.120)

40

2.6. Pomaci pola

Diferencijalni izrazi (2.112) mogu se prikazati odvojeno, koristeći pri tome radi

jednostavnijeg zapisa sljedeće oznake:

, ,

, , ,

, , ,

, , ,

sM M s

b sP P b P s

b sP P b P s

t sP P t P s

u u u u

v v v v v v

w w w w w w

α α α α α α

≡ ≡

≡ ≡ ≡

≡ ≡ ≡

≡ ≡ ≡

(2.121)

odakle slijedi:

2

2

2

2

2

2

d0,

d

d,

d

d,

d

d0,

d

b z

a z

yb

a y

t

u

x

v M

k Ix

Mw

k Ix

x

α

=

=

= −

=

(2.122)

odnosno:

2

2

2

2

2

2

d,

d

d,

d

d,

d

d.

d

y b s xys z b s xz

a a

y b yy z b yzs

a a

y b zys z b zz

a a

y b ys z b z

a P a P

q k Lu q k L

x k A k A

q k q kv

k A k Ax

q kw q k

k A k Ax

q k q k

k W k Wx

ω ω

κ κ

κ κ

κ κ

κα κ

= +

= − −

= − −

= − −

(2.123)

Jednadžbe (2.122) su analogne jednadžbama klasične teorije tankostjenih štapova. Prva i

četvrta diferencijalna jednadžba predstavljaju pomake poprečnog presjeka štapa kao krutog

tijela. Druga i treća diferencijalana jednadžba daju pomake od savijanja u glavnim

ravninama. Izrazi (2.123) predstavljaju utjecaj smicanja i ortotropije na pomake.

Integracijom jednadžbi (2.123), imajući u vidu (2.74), slijedi:

41

,

d,

d

d,

d

d.

d

b s xy b s xzs y z

a a

b yy b yzss y z

a a

b zys b zzs y z

a a

b ys b zs y z

a P a P

k L k Lu Q Q

k A k A

k kvQ Q

x k A k A

kw kQ Q

x k A k A

k kQ Q

x k W k Wω ω

κ κ

κ κγ

κ κβ

κα κϑ

= − −

= = +

− = = − −

− = = − −

U gornjim su izrazima zanemarene konstante integracije budući se pretpostavlja da kutni

pomaci ,sγ ,sβ ,sϑ kao i pomak su ne ovise o rubnim uvjetima.

Integriranjem gornjih izraza dobije se:

,

,

.

b yy b yzs z y v

a a

b zyb zzs y z w

a a

b y b zs z y

a P a P

k kv M M C

k A k A

kkw M M C

k A k A

k kM M C

k W k Wω ω

α

κ κ

κκ

κ κα

= − + +

= − +

= − + +

(2.124)

Iz uvjeta da je na lijevom kraju nosača (zglobni oslonac):

0,s s sv w α= = = (2.125)

slijede konstante integracije:

,

,

.

b yy b yzv Az Ay

a a

b zy b zzw Az Ay

a a

b y b zAz Ay

a P a P

k kC M M

k A k A

k kC M M

k A k A

k kC M M

k W k Wω ω

α

κ κ

κ κ

κ κ

= −

= −

= −

(2.126)

Ukupni pomaci se mogu prikazati kao:

42

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

,

,

,

,

b s xy b s xzs y z

a a

b yy b yzb z Az y Ay

a a

b zyb zzb y Ay z Az

a a

b y b zz Az y Ay

a P a P

k L k Lu u Q Q

k A k A

k kv v M M M M

k A k A

kkw w M M M M

k A k A

k kM M M M

k W k Wω ω

κ κ

κ κ

κκ

κ κα

= = − −

= + − + + −

= + − + − +

= − + + −

(2.127)

odnosno imajući u vidu (2.111):

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

,

,

,

.

b s xy b s xzs y z

a a

b bb z Az y Ay

a yy a yz

b bb y Ay z Az

a zz a zy

b bs z Az y Ay

a Py a Pz

k L k Lu u Q Q

k A k A

k kv v M M M M

k A k A

k kw w M M M M

k A k A

k kM M M M

k W k W

κ κ

α α

= = − −

= + − + + −

= + − + − +

= = − + + −

(2.128)

Za zglobno oslonjen nosač, rubni uvjeti za oslonce A i B glase:

( )

( )0 0 ,

0 0 .

A BA B

A BA B

b bb b A A B Bx x x xx x x x

b bb b A A B Bx x x xx x x x

v v v v v v v v

w w w w w w w w

= == =

= == =

= = = = = = = =

= = = = = = = = (2.129)

( )

( )

2 2

2 2

2 2

2 2

d d0 0 ,

d d

d d0 0 ,

d d

A B

A B

b bAz Bz

x x x x

b bAy By

x x x x

v vM M

x x

w wM M

x x

= =

= =

= = = =

= = = =

(2.130)

Za ukliješteni nosač rubni uvjeti za ukliještene krajeve A i B glase:

( ) ( )

( ) ( )

d0 0 , 0 0 ,

d

d0 0 0 0 ,

d

A A

A

A A

A

b bbb A A Ax x x x

x x

b bbb A A Ax x x x

x x

vv v v v

x

ww w w w

x

γ

β

= ==

= ==

= = = = = =

= = = = = = (2.131)

43

( ) ( )

( ) ( )

0,

0,

B

B

b bB b Bz Az By Ayx x

a yy a zy

b bB b By Ay Bz Azx x

a zz a zy

k kv v M M M M

k A k A

k kw w M M M M

k A k A

=

=

= + − + + − =

= + − + − + = (2.132)

( )

( )

d0 0 ,

d

d0 0 .

d

B

B

bbB

x x

bbB

x x

v

x

w

x

γ

β

=

=

= =

= = (2.133)

Za slobodni kraj rubni uvjeti su:

( )

( )

2

2

2

2

d0 0 ,

d

d0 0 ,

d

B

B

bBz

x x

bBy

x x

vM

x

wM

x

=

=

= =

= =

(2.134)

( )

( )

3

3

3

3

d0 0 ,

d

d0 0 .

d

B

B

byB

x x

bzB

x x

vQ

x

wQ

x

=

=

= =

= =

(2.135)

2.7. Posebni slučajevi

2.7.1. Poprečni presjeci s jednom osi simetrije

Ako poprečni presjek ima jednu os simetrije (os-z), može se pokazati da vrijedi:

0.xy yz zy zωκ κ κ κ= = = =

Izrazi (2.117) i (2.118) u tom slučaju se svode na:

*** *111111 11

** * *11 * *11 16 16

** **11 11d d ,

y z

b yyk b zzx y z z y

a y a a z a

b yb xz S b bz y y z z y

a a P a z a y

yb bzy z

a z a ys s

Q kQ kQ QM z q z M y q y

k I k A k I k A

Q kQ k L Q k Q kq q Q S Q S

k A k W k tI k tI

SQ k Q kSq s q s

k I t k I t

ω

κκσ

κκ ω

= + − + +

+ + + + −

− −∫ ∫

(2.136)

44

i:

**

d d ,

y z

y b yysr b zz zx z y

y z

b yb xz Sz y

P

yb bzy z

z ys s

M kk Mz q z y q y

I A I A

kk Lq q

A W

Sk kSq s q s

I t I t

ω

κκσ

κκ ω

= + − + +

+ + −

− −∫ ∫

(2.137)

a izrazi (2.119) i (2.120) na:

* ** *11 1111 11

* * * ** *11 11 16 16

** **11 11d d ,

y z

k b bx y z z y

a y a zz a z a yy

b xz S b b bz y y z z y

a a Py a z a y

yb bzy z

a z a ys s

Q k Q kQ QM z q z M y q y

k I k A k I k A

Q k L Q k Q k Q kq q Q S Q S

k A k W k tI k tI

SQ k Q kSq s q s

k I t k I t

σ

κ ω

= + − + +

+ + + + −

− −∫ ∫

(2.138)

**

d d .

y z

ysr b bzx z y

y zz z yy

b xz S bz y

Py

yb bzy z

z ys s

M k kMz q z y q y

I A I A

k L kq q

A W

Sk kSq s q s

I t I t

σ

κ ω

= + − + +

+ + −

− −∫ ∫

(2.139)

Izraz (2.127) se za ovaj slučaj svodi na:

( )

( )

( )

,

,

,

,

b s xzs z

a

b yyb z Az

a

b zzb y Ay

a

b yz Az

a P

k Lu u Q

k A

kv v M M

k A

kw w M M

k A

kM M

k Wω

κ

κ

κ

κα

= = −

= + − +

= + −

= − +

(2.140)

a izraz (2.128) na:

45

( )

( )

( )

,

,

,

.

b s xzs z

a

bb z Az

a yy

bb y Ay

a zz

bz Az

a Py

k Lu Q

k A

kv v M M

k A

kw w M M

k A

kM M

k W

κ

α

= −

= + − +

= + −

= − +

(2.141)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja i ortotropije u obje glavne ravnine te

dodatno na uvijanje i rastezanje/sabijanje zbog smicanja i ortotropije.

2.7.1.1. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije ( )0; 0z yq q≠ =

Izrazi (2.136) i (2.137) se svode na:

* ***16 1111

** *11 11 d ,

z

k b b zzx y z y z

a y a y a

yb xz S bz z

a a y s

Q k Q kQM z Q S q z

k I k tI k A

SQ k L Q kq q s

k A k I t

κσ

κ

= + + +

+ − ∫

(2.142)

*

d .

z

y ysr b zz b xz S bx z z z

y y s

M Sk k L kz q z q q s

I A A I t

κ κσ = + + − ∫ (2.143)

a (2.138) i (2.139) postaju:

* ***16 1111

** *11 11 d ,

z

k b bx y z y z

a y a y a zz

yb xz S bz z

a a y s

Q k Q kQM z Q S q z

k I k tI k A

SQ k L Q kq q s

k A k I t

σ

κ

= + + +

+ − ∫

(2.144)

*

d .

z

y ysr b b xz S bx z z z

y zz y s

M Sk k L kz q z q q s

I A A I t

κσ = + + − ∫ (2.145)

Izraz (2.140) se svodi na:

46

( )

,

,

b s xzz

a

b zzb y Ay

a

k Lu Q

k A

kw w M M

k A

κ

κ

= −

= + − (2.146)

a izraz (2.141) na:

( )

,

,

b s xzs z

a

bb y Ay

a zz

k Lu Q

k A

kw w M M

k A

κ= −

= + − (2.147)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja i ortotropije te dodatno na

rastezanje/sabijanje zbog smicanja i ortotropije.

2.7.1.2. Slučaj opterećenja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije

( )0; 0y zq q≠ =

U ovom slučaju izrazi (2.136) i (2.137) postaju:

***11*1611

* * *11 11 d ,

y

b yyk bx z y z y

a z a z a

b y b zy y

a P a z s

Q kQ kQM y Q S q y

k I k tI k A

Q k Q k Sq q s

k W k I tω

κσ

κω

= − + + +

+ − ∫

(2.148)

*

d .

y

b yy b ysr bz zx y y y

z P z s

k k kM Sy q y q q s

I A W I tωκ κ

σ ω= − + + − ∫ (2.149)

a izrazi (2.138) i (2.139):

* ***16 1111

* * *11 11 d ,

y

k b bx z y z y

a z a z a yy

b b zy y

a Py a z s

Q k Q kQM y Q S q y

k I k tI k A

Q k Q k Sq q s

k W k I t

σ

ω

= − + + +

+ − ∫ (2.150)

*

d .

y

sr b b bz zx y y y

z yy Py zs

k k kM Sy q y q q s

I A W I tσ ω= − + + − ∫ (2.151)

Izraz za pomak (2.140) postaje:

47

( )

( )

,

,

b yyb z Az

a

b yz Az

a P

kv v M M

k A

kM M

k Wω

κ

κα

= + − +

= − + (2.152)

a izraz (2.141):

( )

( )

,

.

bb z Az

a yy

bz Az

a Py

kv v M M

k A

kM M

k Wα

= + − +

= − + (2.153)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja i ortotropije u ravnini okomitoj na

ravninu simetrije te dodatno na uvijanje zbog smicanja i ortotropije.

2.7.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije

Izrazi za normalno naprezanje (2.117) i (2.118) svode se na:

** * *1111 11 11

** * * *** *16 16 11 11d d ,

y z

b yyk zzx y z z y

a y a a z a


a z a y a z a ys s

Q kQ Q b QM z q z M y q y

k I k A k I k A



κκσ = + − + +

+ + − −∫ ∫

(2.154)

*

*

d

d .

y

z

y b yysr b zz bz zx z y y

y z z s

ybz

y s

M kk kM Sz q z y q y q s

I A I A I t

Skq s

I t

κκσ = + − + − −

−

∫

∫

(2.155)

a izrazi (2.119) i (2.120):

* ** *11 1111 11

** * * *** *16 16 11 11d d ,

y z

k b bx y z z y

a y a zz a z a yy


a z a y a z a ys s

Q k Q kQ QM z q z M y q y

k I k A k I k A



σ = + − + +

+ + − −∫ ∫

(2.156)

**

d d .

y z

y ysr b b b bz zx z y y z

y zz z yy z ys s

M Sk k k kM Sz q z y q y q s q s

I A I A I t I tσ = + − + − −∫ ∫ (2.157)

48

budući je uz 0xy yz zy zωκ κ κ κ= = = = i 0xz yωκ κ= = .

Izraz za pomak (2.127) svodi se na:

( )

( )

0,

,

,

0,

b yyb z Az

a

b zzb y Ay

a

u

kv v M M

k A

kw w M M

k A

κ

κ

α

=

= + − +

= + −

=

(2.158)

a izraz (2.128)

( )

( )

0,

,

,

0.

bb z Az

a yy

bb y Ay

a zz

u

kv v M M

k A

kw w M M

k A

α

=

= + − +

= + −

=

(2.159)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja i ortotropije u obje ravnine simetrije.

2.7.2.1. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije x-z ( )0; 0z yq q≠ =

Izrazi za normalno naprezanje (2.154) i (2.155) svode se na:

** * **

*11 16 1111 d ,

z

yk b zz b bx y z z y z

a y a a y a y s

SQ k Q k Q kQM z q z Q S q s

k I k A k tI k I t

κσ = + + − ∫ (2.160)

*

d ,

z

y ysr b zz bx z z

y y s

M Sk kz q z q s

I A I t

κσ = + − ∫ (2.161)

a izrazi (2.156) i (2.157) na:

** * **

*11 16 1111 d ,

z

yk b b bx y z z y z

a y a zz a y a ys

SQ k Q k Q kQM z q z Q S q s

k I k A k tI k I tσ = + + − ∫ (2.162)

*

d ,

z

y ysr b bx z z

y zz y s

M Sk kz q z q s

I A I tσ = + − ∫ (2.163)

49

Izraz za pomake (2.158) se svodi na:

( ) ,b zzb y Ay

a

kw w M M

k A

κ= + − (2.164)

a izraz (2.159) na:

( ) .bb y Ay

a zz

kw w M M

k A= + − (2.165)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja i ortotropije u ravnini simetrije x-z.

2.7.2.2. Slučaj opterećenja u ravnini simetrije x-y ( )0, 0y zq q≠ =

Izrazi za normalno naprezanje (2.154) i (2.155) se svode na:

* * ** *11 *16 1111 d ,

y

b yyk b b zx z y y z y

a z a a z a z s

Q k Q k Q kQ SM y q y Q S q s

k I k A k tI k I t

κσ = − + + − ∫ (2.166)

*

d .

y

b yysr bz zx y y

z z s

k kM Sy q y q s

I A I t

κσ = − + − ∫ (2.167)

a izrazi (2.156) i (2.157) na:

* * ** *

*11 16 1111 d ,

y

k b b b zx z y y z y

a z a yy a z a zs

Q k Q k Q kQ SM y q y Q S q s

k I k A k tI k I tσ = − + + − ∫ (2.168)

*

d .

y

sr b bz zx y y

z yy z s

k kM Sy q y q s

I A I tσ = − + − ∫ (2.169)

Izraz za pomak (2.158) u ovom slučaju postaje:

( ) ,b yyb z Az

a

kv v M M

k A

κ= + − + (2.170)

a izraz (2.159):

( ) .bb z Az

a yy

kv v M M

k A= + − + (2.171)

Štap je opterećen na savijanje s utjecajem smicanja i ortotropije u ravnini simetrije x-y.

50

3. Uvijanje tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka

U ovom se poglavlju razmatra približna inženjerska teorija uvijanja tankostjenih

kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka (UTKŠ), razvijena prema klasičnoj

Vlasovljevoj teoriji [11], odnosno prema teoriji uvijanja s utjecajem smicanja [13], [41].

Analogno slučaju savijanja, analiziraju se tankostjeni kompozitni štapovi konstantne

krutosti čiji su poprečni presjeci sastavljeni od simetričnih, uravnoteženih laminata.

Razvijeni analitički model se bazira na pretpostavkama navedenim u drugom poglavlju, pa

vrijede izrazi (2.1)-(2.48).

Za slučaj kada se vanjsko opterećenje reducira na jednoliko raspodijeljene momente

uvijanja oko pola P, koji odgovara centru posmika, štap je prema teoriji UTKŠ u općem

slučaju opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja te dodatno na savijanje i

rastezanje/sabijanje zbog smicanja. Ako poprečni presjek ima jednu os simetrije, za isto

vanjsko opterećenje, štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja te dodatno na

savijanje zbog smicanja u ravnini okomitoj na ravninu simetrije. Na koncu štap je

opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja, kada za isto vanjsko opterećenje poprečni

presjek ima dvije osi simetrije.

Analitički model razvijen u radu uzima u obzir vitoperenje zbog smicanja, za razliku od

klasičnih teorija uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka kod kojih se

vitoperenje zbog smicanja zanemaruje.

Ako je izotropan štap opterećen na čisto uvijanje, os uvijanja ostaje ravna dok se kod

kompozitnog štapa zbog anizotropije materijala os uvijanja može iskriviti. Pod

djelovanjem momenta čistog uvijanja u stjenkama poprečnog presjeka izotropnog štapa

javlja se samo tangencijalno naprezanje, za razliku od kompozitnog štapa kod kojeg se

pored tangencijalnog u stjenkama presjeka može pojaviti i normalno naprezanje [9].

Relativni kut uvijanja ϑ , za kompozitni štap opterećen na čisto uvijanje, može se definirati

na analogan način kao i za izotropni štap:

�

svt

t

M

GIϑ = − , (3.1)

gdje je svtM Saint-Venant-ov moment čistog uvijanja kompozitnog štapa, a �tGI pripadna

torzijska krutost kompozitnog štapa. Torzijska krutost kompozitnog štapa, čiji je poprečni

51

presjek sastavljen od laminata koji se analiziraju, može se prema [9] definirati slijedećim

izrazom:

�664 ,t

L

GI D ds= ∫ (3.2)

gdje je L ukupna duljina srednje linije presjeka. Fleksijska krutost 66D predstavlja vezu

između momenta uvijanja na jedinicu duljine laminata te pripadne zakrivljenosti

(uvijenost), ovisi o elastičnim svojstvima materijala te se može odrediti iz slijedećeg

izraza:

( ) ( )3 366 66 1

1

1,

3

N kk k

k

D Q δ δ −=

= −∑ (3.3)

gdje su kδ i 1kδ − udaljenosti gornje i donje plohe k-tog sloja od srednje plohe laminata.

Tangencijalno naprezanje (u pojedinom sloju) kod čistog uvijanja tankostjenih

kompozitnih štapova, čiji su poprečni presjeci sastavljeni od prethodno definiranih tipova

laminata, može se prema (2.21) prikazati kao:

( )66 .ksv

x xQξ ξτ γ= (3.4)

S obzirom na gornji izraz, treba imati na umu da su duljinske deformacije xε i ξε kod

čistog uvijanja simetričnih laminata jednake nuli. Kutna deformacija prema [2], [9] glasi:

2 .xξγ δϑ= − (3.5)

Prema izrazima (3.1) i (3.5) može se tangencijalno naprezanje (3.4) prikazati preko

momenta čistog uvijanja:

( )�

662 .

k

sv svx t

t

QM

GIξτ δ= (3.6)

Ukupno tangencijalno naprezanje u pojedinom sloju laminate ,totx kξτ može se prikazati kao:

, ,tot k svx k x xξ ξ ξτ τ τ= + (3.7)

gdje je komponenta kxξτ dana sa (2.29) a komponenta svxξτ sa (3.6).

52

3.1. Jednadžbe ravnoteže

Pretpostavlja se da je nosač opterećen jednoliko raspodijeljenim momentom ( )P Pm m x=

oko pola P prema [12]:

( ) ( ) d ,P z y y zL

m p y a p z a s = − − − ∫ (3.8)

gdje su ( ),y yp p x s= i ( ),z zp p x s= sile na jedinicu površine u smjeru y i z osi, a L

ukupna duljina srednje linije presjeka.

Za diferencijalni odsječak nosača (Slika 3.1.), jednadžbe ravnoteže mogu se napisati kao:

srsr xx x

σσ ∂+∂

srxsr

x xξ

ξτ

τ∂

+∂

srxξτ

srxσ

svsv tt

MM

x

∂+∂

ɶɶ

svtMɶ

Slika 3.1. Ravnoteža odsječka stjenke štapa.

d d d 0,

cos d d d 0,

sin d d d 0,

dd d d d d 0,

d

srx

xL t

srx

yL t

srx

zL t

sr svx t

P P PL t

F x sx

F x sx

F x sx

MM h x s x m x

x x

ξ

ξ

ξ

σ δ

τϕ δ

τϕ δ

τδ

∂= =∂

∂= =

∂

∂= =

∂

∂= + + =

∂

∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

∑ ∫ ∫

(3.9)

gdje je:

53

d d d d d .sv sv

svt tt

L L

M dMx s M s x x

x x dx

∂ ∂= = ∂ ∂ ∫ ∫

ɶɶ

svtMɶ je moment čistog uvijanja na jedinicu duljine.

Imajući u vidu (2.6) izraz (3.9) se može zapisati kao:

d d 0,

d d 0,

d d 0,

dd d 0.

d

srx

L t

srx

L t

srx

L t

sr svx t

PL t

sx

yx

zx

Mm

x x

ξ

ξ

ξ

σ δ

τδ

τδ

τδ ω

∂ =∂

∂=

∂

∂=

∂

∂+ + =

∂

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(3.10)

Parcijalnom integracijom zadnje tri jednadžbe u izrazu (3.10) dobije se:

2

1

2

1

d d d

d d d d d ,

d d d

d d d d

srx

L t

esr sr srx x x

t L t L te

srx

L t

esr sr srx x x

t L t L te

y uv v ux

y y s y sx s x s x

z uv v ux

z z s zx s x s x

ξ

ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

τδ

τ τ τδ δ δ

τδ

τ τ τδ δ δ

∂= − =

∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ = − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂= − =

∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ = − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2

1

d ,

d d d

d d d d d .

srx

L t

esr sr srx x x

t L t L te

s

uv v ux

s sx s x s x

ξ

ξ ξ ξ

τδ ω

τ τ τω δ ω δ ω δ

∂= − =

∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ = − = −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (3.11)

gdje su 1e i 2e su rubovi presjeka na kojima je tangencijalno naprezanje jednako nuli.

Ako uvrstimo (3.11) u (3.10) slijedi:

54

d d 0, d d 0,

dd d 0, d d 0.

d

srsrxx

L t L t

sr sr svx x t

PL t L t

s y sx s x

Mz s s m

s x s x x

ξ

ξ ξ

τσ δ δ

τ τδ ω δ

∂∂ ∂ = =

∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ = − − =

∂ ∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(3.12)

Iz (2.48) i (2.36) slijedi:

2 3 3 3

2 3 3 3

d d d d,

d d d d

srx M P P P

au v w

k y zx x x x x

σ α ω ∂ = − − − ∂

(3.13)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 4 4 4

3 4 4 4

d d d d

d d d d

.

srz y y zx M P P P

a

S s S sA s S su v wk

x t t t tx x x x

f x

t

ξ ωτ α ∂ = − − − − +

∂

′+

(3.14)

Ako gornje jednadžbe uvrstimo u (3.12) dobije se:

2 3 3 3

2 3 3 3

3 4 4 4

3 4 4 4

3 4 4 4

3 4 4 4

3 4 4

3 4

d d d d0,

d d d d

d d d d0,

d d d d

d d d d0,

d d d d

d d d

d d d

M P P Pa z y

M P P Pa z z yz z

M P P Pa y zy y y

M P Pa z y

u v wk A S S S

x x x x

u v wk S I I I

x x x x

u v wk S I I I

x x x x

u v wk S I I

x x x

ω

ω

ω

ω ω ω

α

α

α

− − − =

− + + + =

− + + + =

− + +4

4 4

d,

dPI m

xω ω

α + =

(3.15)

gdje je:

2

2

2

d , d , d , d ,

d , d , d ,

d , d ,

d .

y zL A A A

z yz zA A A

y yA A

A

A t s S z A S y A S A

I y A I yz A I y A

I z A I z A

I A

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

= = = =

= = =

= =

=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫

(3.16)

U gornjim izrazima vrijede slijedeće jednakosti:

55

, , ,yz zy y y z zI I I I I Iω ω ω ω= = = (3.17)

kao i:

d

,d

svt

pM

m mxω = + (3.18)

gdje je mω moment vitoperenja na jedinicu duljine.

Imajući u vidu (3.1), iz (3.18) slijedi:

� �2

2

d d.

d d

tt P

p t P tm m GI m GIx x

ωϑ α= − = + (3.19)

Ako su y, z i ω glavne koordinate slijedi 0y zS S Sω= = = te 0yz z yI I Iω ω= = = , pa se

jednadžbe ravnoteže (3.15) svode na:

2

2

4

4

4

4

4

4

d0,

d

d0,

d

d0,

d

d.

d

Ma

Pa z

Pa y

Pa

uk A

x

vk I

x

wk I

x

k I mx

ω ωα

=

=

=

=

(3.20)

3.2. Veza naprezanja i unutarnjih sila

3.2.1. Tangencijalna naprezanja izražena preko unutarnjih sila

Integriranjem srednjeg tangencijalnog naprezanja po poprečnom presjeku dobije se:

cos d d 0,

sin d d 0,

d d ,

sry x

L t

srz x

L t

srx P

L t

Q s

Q s

M h s

ξ

ξ

ω ξ

τ ϕ δ

τ ϕ δ

τ δ

= =

= =

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(3.21)

gdje ( )y yQ Q x= i ( )z zQ Q x= predstavljaju poprečne sile u odnosu na y i z os koje su

jednake nuli s obzirom na zadano opterećenje, a ( )M M xω ω= moment vitoperenja u

56

odnosu na pol P.

Supstitucijom izraza (2.37) u prvu jednadžbu izraza (3.21) slijedi:

2 3* *

2 3

3 3* *

3 3

d dcos d cos d

d d

d dcos d cos d 0,

d d

a aM Py z

L L

a aP Py

L L

k ku vQ A t s S t s

t tx x

k kwS t s S t s

t tx xω

ϕ ϕ

αϕ ϕ

= − −

− − =

∫ ∫

∫ ∫

(3.22)

odnosno s obzirom na konstantnu krutost ak , te imajući u vidu izraz (2.6):

2 3 3* * *

2 3 3

3*

3

d d dd d d

d d d

dd 0.

d

M P Py a a z a y

L L L

Pa

L

u v wQ k A y k S y k S y

x x x

k S yx

ωα

= − − −

− =

∫ ∫ ∫

∫

(3.23)

Primjenom parcijalne integracije na članove izraza (3.23) dobije se:

( )2

1

* * *d d d d d ,e

ze

L A A A

A y uv v u A y y A y A y A S= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * * 2d d d d d d ,e

z z z z ze

L L L A A

S y uv v u S y y S y S yy A y A I= − = − = − − = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

y y y y yze

L L L A

S y uv v u S y y S y S yz A I= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

ze

L L L A

S y uv v u S y y S y S y A Iω ω ω ω ωω= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

odakle slijedi:

2 3 3 3

2 3 3 3

d d d d0.

d d d dM P P P

y a z a z a yz a zu v w


ωα= − − − = (3.24)

Ako se izraz (2.37) uvrsti u drugu jednadžbu izraza (3.21) dobije se:

2 3* *

2 3

3 3* *

3 3

d dsin d sin d

d d

d dsin d sin d 0,

d d

a aM Pz z

L L

a aP Py

L L

k ku vQ A t s S t s

t tx x

k kwS t s S t s

t tx xω

ϕ ϕ

αϕ ϕ

= − −

− − =

∫ ∫

∫ ∫

(3.25)

57

odnosno s obzirom na konstantnu krutost ak , te imajući u vidu (2.6), slijedi:

2 3 3* * *

2 3 3

3*

3

d d dd d d

d d d

dd 0.

d

M P Pz a a z a y

L L L

Pa

L

u v wQ k A z k S z k S z

x x x

k S zx

ωα

= − − −

− =

∫ ∫ ∫

∫

(3.26)


( )2

1

* * *d d d d d ,e

ye

L A A A

A z uv v u A z z A z A z A S= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

z z z z yze

L L L A

S z uv v u S z z S z S zy A I= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * * 2d d d d d d ,e

y y y y ye

L L L A A

S z uv v u S z z S z S zz A z A I= − = − = − − = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

ye

L L L A

S z uv v u S z z S z S z A Iω ω ω ω ωω= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

odakle slijedi:

2 3 3 3

2 3 3 3

d d d d0.

d d d dM P P P

z a y a yz a y a yu v w


ωα= − − − = (3.27)

Ako izraz (2.37) uvrstimo u treću jednadžbu izraza (3.21) slijedi:

2 3 3* * *

2 3 3

3*

3

d d dd d d

d d d

dd ,

d

a a aM P PP z P y P

L L L

a PP

L

k k ku v wM A h t s S h t s S h t s

t t tx x x

kS h t s

t x

ω

ωα

= − − −

−

∫ ∫ ∫

∫

(3.28)

odnosno s obzirom na konstantnu krutost ak te izraz (2.6), slijedi:

2 3 3* * *

2 3 3

3*

3

d d dd d d

d d d

dd .

d

M P Pa a z a y

L L L

Pa

L

u v wM k A k S k S

x x x

k Sx

ω

ω

ω ω ω

α ω

= − − −

−

∫ ∫ ∫

∫

(3.29)


58

( )2

1

* * *d d d d d ,e

eL A A A

A uv v u A A A A Sωω ω ω ω ω= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

z z z z ze

L L L A

S uv v u S S S y A Iωω ω ω ω ω= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * *d d d d d ,e

y y y y ye

L L L A

S uv v u S S S z A Iωω ω ω ω ω= − = − = − − = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )2

1

* * * 2d d d d d d ,e

eL L L A A

S uv v u S S S A A Iω ω ω ω ωω ω ω ω ωω ω= − = − = − − = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

odakle slijedi:

2 3 3 3

2 3 3 3

d d d d.

d d d dM P P P

a a z a y au v w

M k S k I k I k Ix x x x

ω ω ω ω ωα= − − − (3.30)

Ako su y, z i ω glavne koordinate vrijedi izraz (2.59) pa se izrazi (3.24), (3.27) i (3.30)

svode na:

3

3

3

3

3

3

d0,

d

d0,

d

d.

d

Pa z

Pa y

Pa

vk I

x

wk I

x

M k Ix

ω ωα

− =

− =

= −

(3.31)

Iz (3.20) i (3.31) slijedi:

d

.d

Mm

xω

ω= − (3.32)

Supstitucijom izraza (3.20) i (3.31) u (2.31) i (2.37) slijedi izraz za raspodjelu

tangencijalnog naprezanja u k-tom sloju,

* * * *11 16 d ,k

xa a s

Q S Q b SM m s

k I t k I tω ω

ξ ω ωω ω

τ = + ∫ (3.33)

odnosno izraz za raspodjelu srednjeg tangencijalnog naprezanja u poprečnom presjeku:

*

.srx

M S

I tω ω

ξω

τ = (3.34)

59

3.2.2. Normalno naprezanje izraženo preko komponenata unutarnjih sila

Integracijom normalnog naprezanja po poprečnom presjeku dobije se:

d d 0,

d d 0,

d d 0,

d d ,

srx

L t

srz x

L t

sry x

L t

srx

L t

N s

M y s

M z s

B s

σ δ

σ δ

σ δ

σ ω δ

= =

= − =

= =

=

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

(3.35)

gdje su ( )y yM M x= i ( )z zM M x= momenti savijanja oko osi y i z, koji su jednaki nuli s

obzirom na vanjsko opterećenje, a ( )B B x= je bimoment.

Ako izraz (2.48) uvrstimo u prvu jednadžbu izraza (3.35), te s obzirom na (3.20), dobije se:

2 2 2

2 2 2

*4

4

d d d dd d d

d d d d

dd d 0,

d

M P P Pa a a a

A A A

Pa b

A s

u v wN k A k y A k z A k A

x x x x

Sk k s A

txω

α ω

α

= − − − −

− =

∫ ∫ ∫

∫ ∫

(3.36)

odnosno:

2 2 2

2 2 2

*4

4

d d d d

d d d d

dd d 0.

d

M P P Pa a z a y a

Pa b

A s

u v wN k A k S k S k S

x x x x

Sk k s A

tx

ω

ω

α

α

= − − − −

− = ∫ ∫

(3.37)

Budući su y, z i ω glavne koordinate vrijedi izraz (2.59) da je pa se (3.37) reducira na:

*4

4

d dd d 0.

d dM P

a a bA s

SuN k A k k s A

x txωα

= − = ∫ ∫ (3.38)

Primjenom parcijalne integracije na posljednji član izraza (3.38) dobije se:

2

1

* * * * * *

d d d d , d d d d ,

e

A s s s L Le

S S S S A SA s uv v u u s dv A A s A s s

t t t t tω ω ω ω ω ω

= − = = = = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

pa se (3.38) može zapisati kao:

60

* *4

4

d dd 0.

d dM P

a a bL

A SuN k A k k s

x txω ωα= − =∫ (3.39)

Na koncu se, imajući u vidu (3.20), izraz (3.39) svodi na:

* *d

d 0.d

bMa

L

k A SuN k A m s

x I tω ω

ωω

= − =∫ (3.40)

Ako izraz (2.48) uvrstimo u drugu jednadžbu izraza (3.35) dobije se:

2 22

2 2

*2 4

2 4

d d dd d d

d d d

d dd d d 0,

d d

M P Pz a a a

A A A

P Pa a b

A A s

u v wM k y A k y A k zy A

x x x

Sk y A k k s y A

tx xωα αω

= − + + +

+ + =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

(3.41)

odnosno:

2 2 2

2 2 2

*4

4

d d d d

d d d d

dd d 0.

d

M P P Pz a z a z a yz a z

Pa b

A s


x x x x

Sk k s y A

tx

ω

ω

α

α

= − + + + +

+ = ∫ ∫

(3.42)

Budući su y, z i ω glavne koordinate vrijedi izraz (2.59) pa se (3.42) svodi na:

*2 4

2 4

d dd d 0.

d dP P

z a z a bA s

SvM k I k k s y A

tx xωα

= + = ∫ ∫ (3.43)


2

1

* *

* * * *

d d d d , d d

d d d ,

A s s

e

zz z

s L Le


t t

S S S SS s S s s

t t t

ω ω

ω ω ω

= − = = = =

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

pa slijedi iz (3.43):

* *2 4

2 4

d dd 0.

d dzP P

z a z a bL

S SvM k I k k s

tx xωα= + =∫ (3.44)

Na koncu se, imajući u vidu (3.20), izraz (3.44) može zapisati kao:

61

* *2

2

dd 0.

db zP

z a zL

k S SvM k I m s

I txω

ωω

= + =∫ (3.45)

Ako uvrstimo (2.48) u treću jednadžbu izraza (3.35) dobije se:

2 2 22

2 2 2

*4

4

d d d dd d d d

d d d d

dd d 0,

d

M P P Py a a a a

A A A A

Pa b

A s

u v wM k z A k yz A k z A k z A

x x x x

Sk k s z A

txω

α ω

α

= − − − −

− =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

(3.46)

odnosno:

2 2 2

2 2 2

*4

4

d d d d

d d d d

dd d 0.

d

M P P Py a y a yz a y a y

Pa b

A s


x x x x

Sk k s z A

tx

ω

ω

α

α

= − − − −

− = ∫ ∫

(3.47)

Budući su y, z i ω glavne koordinate vrijedi izraz (2.59) pa se (3.47) svodi na:

*2 4

2 4

d dd d 0.

d dP P

y a y a bA s

SwM k I k k s z A

tx xωα

= − − = ∫ ∫ (3.48)


2

1

* *

* ** *

d d d d , d d

d d d ,

A s s

ey

y ys L Le


t t

S SS SS s S s s

t t t

ω ω

ωω ω

= − = = = =

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫


* *2 4

2 4

d dd 0.

d d

yP Py a y a b

L

S SwM k I k k s

tx x

ωα= − − =∫ (3.49)

Na koncu se, imajući u vidu (3.20), izraz (3.49) može zapisati kao:

* *2

2

dd 0.

d

ybPy a y

L

S SkwM k I m s

I tx

ωω

ω= − − =∫ (3.50)

62

Ako izraz (2.48) uvrstimo u četvrtu jednadžbu izraza (3.35) dobije se:

2 2 22

2 2 2

*4

4

d d d dd d d d

d d d d

dd d ,

d

M P P Pa a a a

A A A A

Pa b

A s

u v wB k A k y A k z A k A

x x x x

Sk k s A

txω

αω ω ω ω

α ω

= − − − −

−

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

(3.51)

odnosno:

2 2 2

2 2 2

*4

4

d d d d

d d d d

dd d .

d

M P P Pa a z a y a

Pa b

A s

u v wB k S k I k I k I

x x x x

Sk k s A

tx

ω ω ω ω

ω

α

α ω

= − − − −

− ∫ ∫

(3.52)

Budući su y, z i ω glavne koordinate vrijedi izraz (2.59) pa se (3.52) reducira na:

*2 4

2 4

d dd d .

d dP P

a a bA s

SB k I k k s A

tx xω

ωα α ω

= − − ∫ ∫ (3.53)


2

1

* *

2* * *

d d d d , d d

d d d .

A s s

e

s L Ae


t t

S S SS s S s A

t t t

ω ω

ω ω ωω ω

ω ω = − = = = =

= − =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫


2*2 4

2 4

d dd .

d dP P

a a bA

SB k I k k A

tx xω

ωα α

= − − ∫ (3.54)

Na koncu se, imajući u vidu (3.20), izraz (3.54) svodi na:

2*2

2

dd .

dbP

aA

k SB k I m A

I txω

ω ωω

α = − −

∫ (3.55)

63

Uvođenjem sekundarnih komponenata unutarnjih sila, odnosno sekundarne uzdužne sile

Nω , sekundarnih momenata savijanja zM ω i yM ω te sekundarnog bimomenta Bω , izrazi

(3.40), (3.45), (3.50) i (3.55) se svode na:

2

2

2

2

2

2

d,

d

d,

d

d,

d

d,

d

Ma

Pa z z

Pa y y

Pa

uk A N

x

vk I M

x

wk I M

x

k I B Bx

ω

ω

ω

ωω

α

=

=

− =

− = +

(3.56)

gdje su:

* *

* *

* *

2*

d ,

d ,

d ,

d .

b

L

b zz

L

yby

L

b

A

k A SN m s

I t

k S SM m s

I t

S SkM m s

I t

k SB m A

I t

ω ω ωω

ω

ω ωω

ω

ωωω

ω

ω ωω

ω

=

= −

=

=

∫

∫

∫

∫

(3.57)

Iz izraza (3.56), te s obzirom na (3.31), slijedi:

2

2

3

3

3

3

3

3

d d0,

dd

d d0,

dd

dd0,

dd

d d d,

d dd

Ma

P za z

yPa y

Pa

u Nk A

xx

v Mk I

xx

Mwk I

xx

B Bk I M

x xx

ω

ω

ω

ω

ω ωα

= =

= =

= − =

= − − = −

(3.58)

odnosno s obzirom na (3.20):

64

3

3

4

4

4

4

4 2

4 2

d0,

d

d0,

d

d0,

d

dd d.

dd d

Ma

Pa z

Pa y

Pa

uk A

x

vk I

x

wk I

x

MBk I m

xx xω

ω ωα

=

=

=

= − = − =

(3.59)

Ukupni moment uvijanja glasi:

svP tM M Mω= + (3.60)

pa je:

d

.d

PP

Mm

x= − (3.61)

Pretpostavka je da vrijedi .m konstω = , u protivnom izrazi (3.58) i (3.59) daju približno

rješenje problema.

Prva jednadžba izraza (3.56), može se s obzirom na (3.57) zapisati kao:

* *

dd

,d

b

M L

a a

k A Sm s

I tu N

x k A k A

ω ωωω ω= =

∫ (3.62)

odnosno:

* *

2

d 1d .

dbM

a A

k A Sum A

x k A I tω ω

ωω

= ∫ (3.63)

Druga jednadžba izraza (3.56), s obzirom na(3.57), može se zapisati kao:

* *

2

2

dd

,d

b z

P z L

a z a z

k S Sm s

I tv M

k I k Ix

ωωω ω= = −

∫ (3.64)

odnosno:

65

* *2

2 2

dd .

db zP P

a P z A

m k S Sv WA

k W I Ix tω ω

ω= − ∫ (3.65)

Treća jednadžba izraza (3.56), s obzirom na (3.57), može se prikazati kao:

* *

2

2

dd

,d

yb

yP L

a y a y

S Skm s

I tMw

k I k Ix

ωωω

ω= − = −∫

(3.66)

odnosno:

* *2

2 2

dd .

d

ybP P

a P y A

S Sm kw WA

k W I Ix t

ωω

ω= − ∫ (3.67)

Četvrta jednadžba izraza (3.56), može se s obzirom na (3.57) zapisati kao:

2*

2

2

dd

,d

b

P A

a a a a

k Sm A

I tB B B

k I k I k I k Ix

ωωω ω

ω ω ω ω

α

= − − = − −∫

(3.68)

odnosno:

2*2

2 2

dd .

d

pbP

a a p A

Im k SBA

k I k I tx Iω ω

ω ω

α = − −

∫ (3.69)

S obzirom na gornje izraze mogu se uvesti faktori smicanja:

* *

2

* *

2

* *

2

2*

2

1d ,

d ,

d ,

d ,

xA

zPy

z A

yPz

y A

P

A

A SA

I t

S SWA

I I t

S SWA

I I t

SIA

tI

ω ωω

ω

ωω

ω

ωω

ω

ωωω

ω

κ

κ

κ

κ

=

=

=

=

∫

∫

∫

∫

(3.70)

gdje je:

66

xωκ faktor smicanja u odnosu na pomak Mu zbog pomaka Pα ,

yωκ faktor smicanja u odnosu na pomak Pv zbog pomaka Pα ,

zωκ faktor smicanja u odnosu na pomak Pw zbog pomaka Pα ,

ωωκ faktor smicanja u odnosu na pomak Pα ,

te smicajni momenti otpora kao i smicajni moment tromosti:

, , ,s s sP P PPy Pz P

y z

W W IW W I

ω ω ωωκ κ κ= = = (3.71)

pri čemu je 2dP PA

I h A= ∫ polarni moment tromosti poprečnog presjeka u odnosu na glavni

pol P, a 0

PP

IW

h= polarni moment otpora u odnosu na glavni pol, gdje je 0h udaljenost

tangente kroz glavnu ishodišnu točku od pola P.

Izraz (3.56) se s obzirom na faktore smicanja može zapisati kao:

2

2

2

2

2

2

d,

d

d,

d

d,

d

d.

d

bMx

a

bPy

a p

Pz

a p

bP

a a p

kum

x k A

kvm

k Wx

w km

k Wx

kBm

k I k Ix

ω ω

ω ω

ω ω

ω ωωω

κ

κ

κ

α κ

=

= −

= −

= − −

(3.72)

Normalno naprezanje u k-tom sloju (2.47), kao i srednje normalno naprezanje (2.48), mogu

se prikazati preko unutarnjih sila na slijedeći način:

* * * * *11 11 11 11 11

* * **16 11 d ,

kx z y

a a z a y a a

b b

a a s

Q Q Q Q QN M y M z B B

k A k I k I k I k I

Q k Q k SM S m s

k tI k I t

ω ω ω ω

ω ω

ωω ω ω

ω ω

σ ω ω= − + + + +

+ − ∫

(3.73)

i:

67

*

d .ysr bzx

z y s

M k SMN B By z m s

A I I I I I t

ωωω ωω

ωω ω ω

σ ω ω= − + + + − ∫ (3.74)

Unutarnje sile, definirane s (3.57), mogu se prema (3.70) prikazati kao:

,

,

,

.

b x

b zz y

P

b yy z

P

b

P

N m k

k IM m

W

k IM m

W

k IB m

I

ωω ω

ωω ω

ωω ω

ω ωω ωω

κ

κ

κ

κ

=

= −

=

=

(3.75)

odnosno s obzirom na (3.71) kao:

,

,

,

.

b x

b zz s

Py

b yy s

Pz

bsP

N m k

k IM m

W

k IM m

W

k IB m

I

ωω ω

ωω

ωω

ω ωω

κ=

= −

=

=

(3.76)

Izrazi za naprezanje (3.73) i (3.74) svode se na:

** **11*16 1111

* * * *11 11 11 d ,

b yk b b xx

a a a a P

b z b b

a P a P a s

k QQ k k QQB M S m m y

k I k tI k A k W

k Q k Q Q k Sm z m m s

k W k I k I t

ωωω ω ω ω

ω ω

ω ωω ωω ω ω

ω

κκσ ω

κ κ ω

= + + + +

+ + − ∫

(3.77)

i:

*

d ,

b ysr b x b zx

p P

b b

P s

kk kBm m y m z

I A W W

k k Sm m s

I I t

ωω ωω ω ω

ω

ωω ωω ω

ω

κκ κσ ω

κ ω

= + + + +

+ − ∫

(3.78)

odnosno na:

68

* * ***16 11 1111

* * * *11 11 11 d ,

k b b x bx s

a a a a Py

b b bs s

aa Pz a P s

Q k k Q k QQB M S m m y

k I k tI k A k W

k Q k Q Q k Sm z m m s

k I tk W k I

ωω ω ω ω

ω ω

ωω ω ω

ω

κσ ω

ω

= + + + +

+ + − ∫

(3.79)

te:

*

d ,

sr b x b bx s s

Py Pz

b bsP s

k k kBm m y m z

I A W W

k k Sm m s

I tI

ωω ω ω

ω

ωω ω

ω

κσ ω

ω

= + + + +

+ − ∫ (3.80)

3.3. Pomaci pola

Diferencijalni izrazi (3.72) mogu se prikazati odvojeno, pri tome koristeći slijedeće

oznake:

, ,

, , ,

, , ,

, , .

sM M s

b sP P b P s

b sP P b P s

t sP P t P s

u u u u

v v v v v v

w w w w w w

α α α α α α

≡ ≡

≡ ≡ ≡

≡ ≡ ≡

≡ ≡ ≡

kako slijedi:

2

2

2

2

2

2

d0,

d

d0,

d

d0,

d

d,

d

b

b

t

a

u

x

v

x

w

x

B

k Ix ω

α

=

=

=

= −

(3.81)

odnosno:

69

2

2

2

2

2

2

d,,

d

d,

d

d,

d

d.

d

s b x

a

b ys

a P

s b z

a P

s b

a P

u m k

x k A

m kv

k Wx

w m k

k Wx

m k

k Ix

ω ω

ω ω

ω ω

ω ωω

κ

κ

κ

α κ

=

= −

= −

= −

(3.82)

Jednadžbe (3.81) su analogne jednadžbama poznate klasične teorije tankostjenih štapova.

Jednadžbe (3.82) predstavljaju utjecaj smicanja i ortotropije na pomake.

Integracijom prve jednadžbe izraza (3.82) dobije se:

b xs

a

ku M

k Aω

ωκ= − (3.83)

Integracijom zadnje tri jednadžbe izraza (3.82) dobije se:

,

,

.

b ys v

a P

b zs w

a P

bs

a P

kv B C

k W

kw B C

k W

kB C

k I

ω

ω

ωωα

κ

κ

κα

= +

= +

= +

(3.84)

gdje su vC , wC i Cα konstante integracije.

Iz uvjeta da je na lijevom kraju nosača:

0, 0, 0,s s sv w α= = = (3.85)

slijede konstante integracije:

,

,

.

bv A s

a Py

bw A s

a Pz

bA s

a P

kC B

k W

kC B

k W

kC B

k Iα

= −

= −

= −

(3.86)

Ukupni pomaci mogu se prikazati kao:

70

( )

( )

( )

,

,

,

,

b x

a

b yA

a P

b zA

a P

bt A

a P

ku M

k A

kv B B

k W

kw B B

k W

kB B

k I

ωω

ω

ω

ωω

κ

κ

κ

κα α

= −

= −

= −

= + −

(3.87)

odnosno prema (3.71):

( )

( )

( )

,

,

,

.

b x

a

bA s

a Py

bA s

a Pz

bt A s

a P

ku M

k A

kv B B

k W

kw B B

k W

kB B

k I

ωω

κ

α α

= −

= −

= −

= + −

(3.88)

Za zglobno oslonjen nosač, rubni uvjeti za oslonce A i B glase:

( )( )

2 2

2 2

0 0 ,

d d0 0 .

d d

BA BA

A B

t tt t x x A A B Bx x x xx x

t tA B

x x x x

B Bx x

α α α α α α α α

α α

== ==

= =

= = = = = = = =

= = = = (3.89)

Za ukliješteni nosač, rubni uvjeti glase:

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

d0 0 , 0 0 ,

d

d d0

d d

d0 , 0 0 .

d

A AA

B B

B A

B

t ttt A A Ax x x x

x x

b t tt a ax x x x s

a P x x x x

t tb tB B B A Bs

x xa P

x

kk I k I

k I x x

kB B

xk I

ω ω

αα α α α ϑ

α αα α

αα α ϑ

= ==

= == =

=

= = = = = =

= + − + =

= + − = = =

(3.90)

Za slobodni kraj rubni su uvjeti:

71

( ) ( )2 3

2 3

d d0 0 , 0 0 .

d dB B

t tB B

x x x x

B Mx x

ωα α

= =

= = = = (3.91)

3.4. Posebni slučajevi

3.4.1. Poprečni presjek s jednom osi simetrije

U slučaju da je os z os simetrije lako se može pokazati da je 0.x zω ωκ κ= =


** **11*16 1111

* *11 d ,

b yk b bx

a a a P a P

b

a s

k QQ k k QQB M S m y m

k I k tI k W k I

Q k Sm s

k I t

ω ωωω ω ω ω

ω ω

ωω

ω

κ κσ ω ω= + + + −

− ∫

(3.92)

*

d ,b ysr b bx

P P s

k k k SBm y m m s

I W I I tω ωω ω

ω ω ωω ω

κ κσ ω ω= + + − ∫ (3.93)

a izrazi (3.79) i (3.80) se svode na:

* * ***16 11 1111

* *11 d ,

k b b bx s s

a a a Py a P

b

a s

Q k k Q k QQB M S m y m

k I k tI k W k I

Q k Sm s

k I t

ω ω ω ωω ω

ωω

ω

σ ω ω= + + + −

− ∫

(3.94)

*

d .sr b b bx s s

Py P s

k k k SBm y m m s

I I tW Iω

ω ω ωω ω

σ ω ω= + + − ∫ (3.95)

Izraz (3.87) postaje:

( )

( )

0,

,

0,

,

b yA

a P

bt A

a P

u

kv B B

k W

w

kB B

k I

ω

ωω

κ

κα α

=

= −

=

= + −

(3.96)

dok se izraz (3.88) svodi na:

72

( )

( )

0,

,

0,

.

bA s

a Py

bt A s

a P

u

kv B B

k W

w

kB B

k Iα α

=

= −

=

= + −

(3.97)

Štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i ortotropije te dodatno na savijanje

zbog smicanja i ortotropije u ravnini okomitoj na ravninu simetrije.

3.4.2. Poprečni presjek s dvije osi simetrije


* * * **

*16 11 1111 d ,k b b bx

a a a P a s

Q k k Q Q k SQB M S m m s

k I k tI k I k I tωω ω

ω ω ω ωω ω ω

κσ ω ω= + + − ∫ (3.98)

*

d ,sr b bx

P s

k k SBm m s

I I I tωω ω

ω ωω ω

κσ ω ω= + − ∫ (3.99)

a (3.79) i (3.80) na:

* * * **

*16 11 1111 d ,k b b bx s

a a aa P s

Q k k Q Q k SQB M S m m s

k I k tI k I tk Iω

ω ω ω ωω ω ω

σ ω ω= + + − ∫ (3.100)

*

d .sr b bx s

P s

k k SBm m s

I I tIω

ω ωω ω

σ ω ω= + − ∫ (3.101)

budući je uz 0x zω ωκ κ= = i 0yωκ = .

Izraz za pomak (3.87) se svodi na:

( )

0,

0,

0,

,bt A

a P

u

v

w

kB B

k Iωωκα α

===

= + −

(3.102)

a izraz (3.88) na:

73

( )

0,

0,

0,

.bt A s

a P

u

v

w

kB B

k Iα α

===

= + −

(3.103)

Štap je opterećen na uvijanje s utjecajem smicanja i ortotropije.

74

4. Analiza vertikalnih pomaka i srednjeg normalnog naprezanja pri savijanju tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka

U ovom je poglavlju analiziran utjecaj smicanja na vertikalne pomake i srednja normalna

naprezanja relativno kratkih tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog

presjeka, za različite oblike poprečnog presjeka te za različite tipove rubnih uvjeta.

Numerička verifikacija rezultata dobivenih razvijenim analitičkim modelom izvršena je

usporedbom s rezultatima koje daje programski paket ADINA koji se temelji na metodi

konačnih elemenata. U postupku modeliranja korišteni su 9-čvorni (degenerirani)

izoparametarski ljuskasti konačni elementi MITC9 (slika 4.1.) s pet stupnjeva slobode u

čvoru [66].

Slika 4.1. 9-čvorni izoparametarski kvadrilateralni ljuskasti element za debele i tanke

ljuske [66]

Ljuskasti element je formuliran razmatrajući ljusku kao 3-D kontinuum uz sljedeće dvije

pretpostavke korištene kod Timošenkove teorije štapova i Reissner/Mindlin teorije ploča

[66]:

• Materijalne čestice koje leže na ravnoj liniji okomitoj na srednju plohu strukture,

ostaju na ravnoj liniji i nakon deformacije,

• Normalno naprezanje u smjeru normale na srednju plohu jednako je nuli,

• Pretpostavlja se da su poprečne kutne deformacije konstantne po debljini stjenke

Konstitutivni izraz numeričkog modela, definiran za ortogonalne materijalne osi “1”, “2” i

“3” (osi “1” i “2” leže u ravnini srednje plohe; os “3” je okomita na srednju plohu), glasi:

75

1 1 12 2 13 3 1

2 21 1 2 23 3 2

3 31 1 32 2 3 3

12 12 12

13 13 13

23 23 23

1/ / / 0 0 0

/ 1/ / 0 0 0

/ / 1/ 0 0 0 0

0 0 0 1/ 0 0

0 0 0 0 1/ 0

0 0 0 0 0 1/

E E E

E E E

E E E

G

G

G

ε ν ν σε ν ν σε ν ν σγ σγ σγ σ

− − − − − − =

=

, (4.1)

gdje je u odnosu na analitički model uzeto u obzir normalno naprezanje i duljinska

deformacija u smjeru tangente na srednju plohu poprečnog presjeka. Također osim kutne

deformacije u srednjoj plohi, konstitutivnim izrazom numeričkog modela uzima se u obzir

i kutna deformacija u ravnini okomitoj na srednju plohu, kao i kutna deformacija u ravnini

poprečnog presjeka.

Iz analitičkih izraza za pomake i srednja normalna naprezanja vidi se da utjecaj smicanja

na pomake postoji neovisno o tipu opterećenja, dok se utjecaj smicanja na srednja

normalna naprezanja javlja samo u slučaju kada na nosač djeluje jednoliko raspodijeljeno

opterećenje. Iz tog razloga razmatrani su samo tankostjeni štapovi opterećeni jednoliko

raspodijeljenim opterećenjem koje djeluje u glavnoj x-z ravnini poprečnog presjeka te koje

prolazi glavnim polom poprečnog presjeka. S obzirom na rubne uvjete, u obzir su uzeti

zglobno-oslonjeni te obostrano ukliješteni tankostjeni kompozitni štapovi (slika 4.2.), čiji

poprečni presjeci imaju jednu, odnosno dvije osi simetrije.

Slika 4.2. Zglobno-oslonjeni i obostrano ukliješteni štapovi opterećeni jednoliko

raspodijeljenim opterećenjem.

Rubni uvjeti numeričkog modela definirani su u čvorovima konture srednje linije

poprečnog presjeka kako je prikazano na slici 4.3, gdje su x, y i z translatorni pomaci, a

xR , yR i zR kutni pomaci (zakreti). U postupku modeliranja je korištena simetrija pa je

modelirana polovica štapa od oslonca do sredine raspona (Prilog B).

76

Utjecaj smicanja na pomake i srednja normalna naprezanja razmatran je kroz vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na pomake η te vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednja

normalna naprezanja λ .

Slika 4.3. Rubni uvjeti numeričkog modela za zglobno-oslonjeni i obostrano ukliješteni

štap.

Kod analitičkog modela, faktori utjecaja smicanja su definirani iz omjera maksimalnih

vrijednosti vertikalnih pomaka i srednjih normalnih naprezanja, dobivenih prema teoriji

savijanja tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka (STKŠ),

odnosno prema klasičnoj Euler-Bernoullijevoj teoriji (EBBT) savijanja štapova. Kod

numeričkog modela faktori utjecaja smicanja su dobiveni iz omjera vrijednosti koje daju

metoda konačnih elemenata (MKE) te klasična teorija savijanja štapova.

Štapovi uzeti u analizu napravljeni su od kompozitnog (staklo/epoksi) materijala sa

sljedećim vrijednostima konstanti elastičnosti:

1 2 3

23 12 13

23 12 13

53.78 GPa; 17.93 GPa;

3.45 GPa; 8.96 GPa;

0.34; 0.25.

E E E

G G G

ν ν ν

= = == = == = =

(4.2)

4.1. I−profil s dvije osi simetrije

Prvi analizirani oblik poprečnog presjeka odnosi se na tankostjeni I−profil s dvije osi

simetrije (Slika 4.4.), kod kojeg su karakteristične dimenzije poprečnog presjeka dane s:

0 1

50 mm;

2,08 mm.

b h

t t

= == =

(4.3)

77

Slika 4.4. Tankostjeni I-profil s dvije osi simetrije.

Za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije vertikalni pomak (izraz (2.165))

poprečnog presjeka na sredini raspona, može se prema teoriji STKŠ prikazati slijedećim

izrazom:

bw wη= ⋅ , (4.4)

gdje je faktor utjecaja smicanja na pomake η određen s:

2

481

5b y

zz

k I

A lη = + ⋅ . (4.5)

bw u izrazu (4.4) predstavlja pomak poprečnog presjeka kao krute figure u smjeru

vertikalne osi z, odnosno pomak dobiven klasičnom teorijom savijanja štapova:

45

384z

ba y

q lw

k I= . (4.6)

Za isti oblik poprečnog presjeka, srednje normalno naprezanje na sredini raspona, u točki

spoja struka i pojasa, može se prema teoriji STKŠ (izraz (2.163)) prikazati kao:

2

ysrx

y

M h

Iσ λ= ± ⋅ ⋅ , (4.7)

gdje je 2 / 8y zM q l= moment savijanja na sredini raspona zglobno-oslonjenog štapa, dok

se faktor utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ može odrediti iz:

78

( )1 0

20

61 8 1

12b y zz

yzz

k I A h A A

t IA lλ

+= + ⋅ −

. (4.8)

U izrazu (4.8) 1 1A b t= ⋅ i 0 0A h t= ⋅ predstavljaju površine pojasa i struka poprečnog

presjeka. Posmična površina /zz zzA A κ= , odnosno faktor smicanja zzκ za I−profil s dvije

osi simetrije, može se prema [13] odrediti iz slijedećeg izraza:

( ) ( )

( )

3 2 2

2

6 2 30 10 5

5 12 8zz

ψ ψ ψ ψρκ

ψ ψ ψ

+ + + +=

+ +

(4.9)

gdje je 0 1/A Aψ = , /b hρ = i ( )1 2A A ψ= + .

Aksijalni moment tromosti oko osi y, za I−profil s dvije osi simetrije, definiran je sljedećim

izrazom:

( )

( )2

112 8

12 2yI A hψ ψ

ψ+ +

=+

. (4.10)

Za štap omjera l/h = 3, opterećen jednoliko raspodijeljenim opterećenjem iznosa

1 N/mmzq = , dane su u tablici 4.1. vrijednosti vertikalnog pomaka w te vrijednosti faktora

utjecaja smicanja η , dobivene na sredini raspona zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi

simetrije. Za različite konfiguracije slaganja, laminati u poprečnom presjeku napravljeni su

od šesnaest slojeva postavljenih simetrično u odnosu na srednju plohu presjeka. Vrijednosti

navedene u tablici dobivene su prema teoriji STKŠ (izrazi (4.4), (4.5) i (4.6)) za različite

pretpostavke unutar konstitutivnih izraza, odnosno s pomoću programskog paketa ADINA

temeljenog na metodi konačnih elemenata (MKE).

Tablica 4.1. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja η zglobno-oslonjenog

I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija slaganja

Vertikalni pomaci na sredini raspona (x = l/2) Faktori utjecaja smicanja na pomake

STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 4,191∙10-3 4,208∙10-3 4,300∙10-3 5,296 5,207 5,434 5,321 [15/-15]4s 3,698∙10-3 3,768∙10-3 3,855∙10-3 4,314 4,212 4,498 4,310 [30/-30]4s 3,211∙10-3 3,515∙10-3 3,506∙10-3 2,990 2,918 3,265 2,911 [45/-45]4s 3,372∙10-3 4,051∙10-3 3,814∙10-3 2,293 2,327 2,594 2,192 [60/-60]4s 4,098∙10-3 4,902∙10-3 4,464∙10-3 2,090 2,228 2,227 2,030 [75/-75]4s 5,128∙10-3 5,569∙10-3 5,300∙10-3 2,241 2,332 2,317 2,220 [±90]4s 5,774∙10-3 5,824∙10-3 5,872∙10-3 2,432 2,402 2,474 2,422 [0/90]4s 4,587∙10-3 4,612∙10-3 4,646∙10-3 3,864 3,804 3,914 3,833

79

S obzirom na vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η , vidljivo je iz tablice 4.1.

da smicanje značajno utječe na vertikalne pomake te da je utjecaj smicanja najizraženiji za

laminate kod kojih su materijalne osi vlakana paralelne s uzdužnom osi štapa

(unidirectional laminates). Ovisnost vertikalnih pomaka poprečnog presjeka o orijentaciji

vlakana na sredini raspona štapa prikazana je slikom 4.5.


Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake, koje daju razvijeni analitički

model te metoda konačnih elemenata, prikazana je tablicom 4.2.

Tablica 4.2. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za

zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -2,525 -2,133 [15/-15]4s -4,081 -2,268 [30/-30]4s -8,424 0,253 [45/-45]4s -11,582 6,211 [60/-60]4s -8,203 9,807 [75/-75]4s -3,241 5,073 [±90]4s -1,667 -0,807 [0/90]4s -1,269 -0,725

Vidljivo je iz tablice 4.2. da različite pretpostavke unutar konstitutivnih izraza analitičkog

modela ne uzrokuju značajnije odstupanje od rezultata koje daje MKE, za konfiguracije

slaganja [0]16 i [0/90]4s. Određena odstupanja prikazana u tablici, a koja su najveća za

laminate s konfiguracijom slaganja [45/-45]4s i [60/-60]4s, posljedica su svođenja

80

ravninskog stanja naprezanja na jednoosno stanje unutar teorije STKŠ. Za isti primjer dane

su u tablici 4.3. vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja srxσ te vrijednosti faktora

utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ , dobivene na sredini raspona štapa u

točki spoja struka i pojasa. Srednje normalno naprezanje navedeno u tablici određeno je

prema teoriji STKŠ (izraz (4.7)) te s pomoću metode konačnih elemenata (MKE), pri čemu

su kod numeričkog modela vrijednosti normalnih naprezanja očitane u srednjoj plohi

poprečnog presjeka.

Tablica 4.3 Srednje normalno naprezanje srxσ (MPa) i faktori utjecaja smicanja na

srednje normalno naprezanje λ za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije

(l/h = 3).

Ovisnost srednjeg normalnog naprezanja srxσ o orijentaciji vlakana na sredini raspona

prikazana je slikom 4.6.

Slika 4.6. Srednje normalno naprezanje zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije

(l/h = 3).


Srednje normalno naprezanje Faktori utjecaja smicanja na naprezanja

STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 6,500∙10-1 6,462∙10-1 6,423∙10-1 1,402 1,393 1,385 [15/-15]4s 6,074∙10-1 6,030∙10-1 6,031∙10-1 1,310 1,300 1,301 [30/-30]4s 5,500∙10-1 5,468∙10-1 5,454∙10-1 1,186 1,179 1,176 [45/-45]4s 5,197∙10-1 5,212∙10-1 5,147∙10-1 1,121 1,124 1,110 [60/-60]4s 5,109∙10-1 5,169∙10-1 5,079∙10-1 1,102 1,114 1,096 [75/-75]4s 5,175∙10-1 5,214∙10-1 5,161∙10-1 1,116 1,124 1,113 [±90]4s 5,258∙10-1 5,245∙10-1 5,247∙10-1 1,134 1,131 1,132 [0/90]4s 5,879∙10-1 5,853∙10-1 5,842∙10-1 1,268 1,265 1,260

81

Uočava se sa slike 4.6. da s povećanjem kuta između materijalnih osi vlakana te uzdužne

osi štapa dolazi do opadanja srednjeg normalnog naprezanja te se vrijednosti dobivene

prema teoriji STKŠ približavaju rezultatima koje daje klasična teorija savijanja štapova.

Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje, dobivenih

prema teoriji STKŠ te s pomoću MKE, prikazana je tablicom 4.4.

Tablica 4.4. Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ po

teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,206 0,600 [15/-15]4s 0,711 -0,022 [30/-30]4s 0,836 0,261 [45/-45]4s 0,967 1,257 [60/-60]4s 0,585 1,768 [75/-75]4s 0,272 1,037 [±90]4s 0,200 -0,046 [0/90]4s 0,634 0,190

Vidljivo je iz tablice 4.4. izvrsno slaganje rezultata koje daju predloženi analitički model te

MKE, za obje hipoteze unutar konstitutivnih izraza analitičkog modela.

Za omjer l/h = 5 prikazane su u tablici 4.5. vrijednosti vertikalnog pomaka poprečnog

presjeka te vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η , dobivene na sredini raspona

zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije.

Tablica 4.5. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja η zglobno-oslonjenog


Za razliku od zglobno-oslonjenog I−profila omjera l/h = 3, u ovom slučaju je utjecaj

smicanja na vertikalne pomake manje izražen, što se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja

smicanja na pomake η prikazanih u tablici 4.5. S obzirom na rezultate navedene u tablici,

vidljivo je da se dobivene vrijednosti bolje slažu ako se u analitičkom modelu zanemari


Vertikalni pomaci na sredini raspona (x=l/2) Faktori utjecaja smicanja na pomake

STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,555∙10-2 1,568∙10-2 1,582∙10-2 2,546 2,514 2,590 2,536 [15/-15]4s 1,450∙10-2 1,488∙10-2 1,499∙10-2 2,193 2,156 2,266 2,172 [30/-30]4s 1,422∙10-2 1,571∙10-2 1,554∙10-2 1,716 1,690 1,876 1,672 [45/-45]4s 1,663∙10-2 1,985∙10-2 1,907∙10-2 1,465 1,477 1,681 1,420 [60/-60]4s 2,106∙10-2 2,448∙10-2 2,318∙10-2 1,392 1,442 1,532 1,366 [75/-75]4s 2,554∙10-2 2,726∙10-2 2,646∙10-2 1,447 1,479 1,499 1,436 [±90]4s 2,776∙10-2 2,815∙10-2 2,824∙10-2 1,515 1,504 1,542 1,510 [0/90]4s 1,860∙10-2 1,880∙10-2 1,882∙10-2 2,031 2,010 2,055 2,012

82

normalno naprezanje u smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka ( )0ξσ = .

Promjena vertikalnih pomaka poprečnog presjeka na sredini raspona prikazana je

slikom 4.7.


Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake, koje daju teorija STKŠ te

MKE, prikazana je tablicom 4.6.

Tablica 4.6. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE za

zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -1,683 -0,861 [15/-15]4s -3,236 -0,710 [30/-30]4s -8,487 1,109 [45/-45]4s -12,793 4,080 [60/-60]4s -9,114 5,612 [75/-75]4s -3,452 3,035 [±90]4s -1,701 -0,321 [0/90]4s -1,153 -0,117

Imajući u vidu vrijednosti u tablici 4.6., potvrđeno je bolje slaganje rezultata za slučaj kada

se u konstitutivnim izrazima analitičkog modela zanemari normalno naprezanje u smjeru

konture srednje linije poprečnog presjeka. Pri tome je maksimalno odstupanje od 5,612%

dobiveno za konfiguraciju slaganja [60/-60]4s. S povećanjem omjera l/h smanjuju se

vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake, kao što je pokazano ovim primjerom.

Međutim, utjecaj smicanja na pomake se ne može zanemariti niti kod većih omjera pa je

83

tako za omjer l/h = 10, za konfiguraciju slaganja [0]16, dobiveno η = 1,387 ( )0ξε = ,

odnosno η = 1,379 ( )0ξσ = . Pri tome odstupanja od rezultata koje daje MKE iznose

−1,748% ( )0ξε = , odnosno −0,240% ( )0ξσ = . Također s povećanjem omjera l/h

smanjuju se i odstupanja između rezultata razvijenog analitičkog modela i MKE, za slučaj

kada se analitičkim modelom zanemari normalno naprezanje u smjeru konture srednje

linije. To se najbolje vidi na primjeru zglobno-oslonjenog štapa omjera l/h = 10 kod kojega

je najveće odstupanje od 1,835% dobiveno za konfiguraciju [60/-60]4s. Za zglobno-

oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije, omjera l/h = 5, dane su u tablici 4.7. vrijednosti

srednjeg normalnog naprezanja srxσ te vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje

normalno naprezanje λ , dobivene na sredini raspona u točki spoja struka i pojasa.

Tablica 4.7 Srednje normalno naprezanje srxσ (MPa) i faktori utjecaja smicanja na

srednje normalno naprezanje λ za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije

(l/h = 5).

U ovom slučaju utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje nije toliko izražen kao

kod štapa omjera l/h = 3, što se vidi iz vrijednosti faktora λ prikazanih tablicom 4.7.

Također vidljivo je da različite hipoteze unutar konstitutivnih izraza analitičkog modela ne

uzrokuju značajnije odstupanje vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja. Analogno

prethodnom primjeru i ovdje se uočava da s povećanjem kuta između materijalnih osi

vlakana te uzdužne osi štapa dolazi do opadanja vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja

te se rezultati dobiveni prema teoriji STKŠ i MKE približavaju vrijednostima koje daje

Euler-Bernoullijeva klasična teorija savijanja štapova.

Ovisnost srednjeg normalnog naprezanja srxσ o orijentaciji vlakana na sredini raspona




STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,474 1,470 1,471 1,144 1,141 1,142 [15/-15]4s 1,432 1,427 1,428 1,111 1,108 1,109 [30/-30]4s 1,374 1,371 1,368 1,067 1,064 1,063 [45/-45]4s 1,344 1,345 1,338 1,043 1,044 1,039 [60/-60]4s 1,335 1,341 1,332 1,036 1,041 1,034 [75/-75]4s 1,342 1,346 1,340 1,041 1,044 1,041 [±90]4s 1,350 1,349 1,349 1,048 1,047 1,047 [0/90]4s 1,412 1,409 1,409 1,096 1,094 1,094

84

Slika 4.8. Srednje normalno naprezanje zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije

(l/h = 5).

Na koncu su za ovaj primjer tablicom 4.8. prikazana odstupanja između vrijednosti faktora

utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje koje daju razvijeni analitički model,

odnosno MKE.


teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 0,238 -0,025 [15/-15]4s 0,274 -0,035 [30/-30]4s 0,423 0,193 [45/-45]4s 0,407 0,519 [60/-60]4s 0,236 0,687 [75/-75]4s 0,122 0,416 [±90]4s 0,089 -0,006 [0/90]4s 0,218 0,034

Vidljivo je iz tablice 4.8. izvrsno slaganje rezultata dobivenih prema teoriji STKŠ te MKE,

za obje hipoteze unutar konstitutivnih izraza analitičkog modela.

Iz prethodna dva primjera proizlazi da je utjecaj smicanja izraženiji kod vertikalnih

pomaka nego kod srednjih normalnih naprezanja pa su shodno tome i vrijednosti faktora

utjecaja smicanja na vertikalne pomake i faktora utjecaja smicanja na srednja normalna

naprezanja različitog reda veličine. To se najbolje vidi na primjeru zglobno-oslonjenog

I−profila omjera l/h = 10 kod kojeg postoji znatan utjecaj smicanja na vertikalne pomake,

dok je utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje zanemariv i iznosi za konfiguraciju

85

[0]16 prema teoriji STKŠ 3,6% ( )0ξε = , odnosno 3,5% ( )0ξσ = .

Kao sljedeći primjer uzet je u obzir obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije,

opterećen jednoliko raspodijeljenim opterećenjem iznosa 1 N/mmzq = u glavnoj,

vertikalnoj x-z ravnini. Za ovaj slučaj može se vertikalni pomak poprečnog presjeka, na

sredini raspona štapa opisati izrazom (4.4), gdje je faktor utjecaja smicanja na pomake η

definiran s:

2

1 48 b y

zz

k I

A lη = + ⋅ . (4.11)

Pri tome se pomak poprečnog presjeka kao krute figure bw može odrediti iz sljedećeg

izraza:

4

384z

ba y

q lw

k I= . (4.12)

Srednje normalno naprezanje na sredini raspona, u točki spoja struka i pojasa, može se

prema teoriji STKŠ opisati izrazom (4.7), pri čemu je 2 / 24y zM q l= moment savijanja na

sredini raspona obostrano ukliještenog štapa. Faktor utjecaja smicanja na srednje normalno

naprezanje λ za ovaj se primjer svodi na:

( )1 0

20

61 24 1

12b y zz

yzz

k I A h A A

t IA lλ

+= + ⋅ −

. (4.13)

Za štap omjera l/h = 3 prikazane su u tablici 4.9. vrijednosti vertikalnog pomaka w

poprečnog presjeka, kao i vrijednosti faktora utjecaja smicanja η , dobivene na sredini

raspona obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije. Za različite konfiguracije

slaganja vrijednosti navedene u tablici određene su prema teoriji STKŠ, odnosno s pomoću

MKE. S obzirom na vrijednosti faktora utjecaja smicanja η prikazane tablicama 4.9. i 4.1.,

uočava se da je smicanje znatno izraženije kod obostrano ukliještenog štapa istih

geometrijskih karakteristika. Također vidljivo je iz tablice 4.9. dobro slaganje rezultata

dobivenih prema teoriji STKŠ i MKE, za slučaj kada se unutar konstitutivnih izraza

analitičkog modela zanemari duljinska deformacija u smjeru konture srednje linije.

86

Tablica 4.9. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η obostrano

ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Promjena vertikalnih pomaka poprečnog presjeka s orijentacijom vlakana, na sredini

raspona štapa, prikazana je slikom 4.9.


Kako je prikazano na slici 4.9. vrijednosti vertikalnih pomaka dobivene prema klasičnoj

teoriji savijanja štapova, rastu s povećanjem kuta nagiba materijalnih osi. S druge strane

funkcije raspodjele vertikalnih pomaka prema teoriji STKŠ postižu minimum unutar

raspona orijentacije vlakana.

Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake, koje daju teorija STKŠ te

MKE, prikazana je tablicom 4.10. Za model temeljen na pretpostavci 0ξε = , slijedi iz

tablice da je najveće odstupanje od −3,982% dobiveno za konfiguraciju [45/-45]4s.

Za isti primjer prikazane su tablicom 4.11. vrijednosti srednjih normalnih naprezanja te

vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ , dobivene na sredini raspona obostrano



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 3,558∙10-3 3,562∙10-3 3,512∙10-3 22,484 22,036 22,190 21,728 [15/-15]4s 3,012∙10-3 3,052∙10-3 3,013∙10-3 17,570 17,060 17,573 16,841 [30/-30]4s 2,352∙10-3 2,551∙10-3 2,416∙10-3 10,951 10,590 11,250 10,028 [45/-45]4s 2,196∙10-3 2,659∙10-3 2,287∙10-3 7,466 7,638 7,776 6,570 [60/-60]4s 2,529∙10-3 3,142∙10-3 2,591∙10-3 6,450 7,143 6,607 5,889 [75/-75]4s 3,298∙10-3 3,659∙10-3 3,293∙10-3 7,208 7,663 7,198 6,897 [±90]4s 3,875∙10-3 3,885∙10-3 3,831∙10-3 8,162 8,013 8,071 7,903 [0/90]4s 3,638∙10-3 3,643∙10-3 3,563∙10-3 15,323 15,024 15,009 14,696

87

ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije, u točki spoja struka i pojasa.

Tablica 4.10. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji STKŠ te MKE

za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,322 1,418 [15/-15]4s -0,028 1,299 [30/-30]4s -2,657 5,601 [45/-45]4s -3,982 16,253 [60/-60]4s -2,370 21,283 [75/-75]4s 0,141 11,098 [±90]4s 1,132 1,396 [0/90]4s 2,091 2,232


srednje normalno naprezanje λ za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije

(l/h = 3).

U odnosu na zglobno-oslonjeni štap, utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje je

izraženiji kod obostrano ukliještenog štapa istih geometrijskih karakteristika, što se vidi iz

vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednja normalna naprezanja λ prikazanih u

tablicama 4.3. i 4.11.

Promjena srednjih normalnih naprezanja u točki spoja struka i pojasa, na sredini raspona

štapa, prikazana je slikom 4.10. Analogno prethodno razmatranim primjerima, vidljivo je

sa slike da srednja normalna naprezanja dobivena prema teoriji STKŠ te MKE opadaju s

povećanjem kuta nagiba materijalnih osi. S druge strane vrijednosti srednjeg normalnog

naprezanja koje daje klasična teorija savijanja, ne mijenjaju se s povećanjem kuta između

materijalnih osi vlakana te uzdužne osi štapa.

Usporedba faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje, dobivenih prema



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 3,410∙10-1 3,371∙10-1 3,098∙10-1 2,206 2,181 2,005 [15/-15]4s 2,983∙10-1 2,939∙10-1 2,774∙10-1 1,930 1,901 1,795 [30/-30]4s 2,409∙10-1 2,378∙10-1 2,247∙10-1 1,558 1,538 1,454 [45/-45]4s 2,107∙10-1 2,121∙10-1 1,951∙10-1 1,363 1,372 1,262 [60/-60]4s 2,018∙10-1 2,078∙10-1 1,921∙10-1 1,306 1,344 1,243 [75/-75]4s 2,084∙10-1 2,124∙10-1 2,037∙10-1 1,348 1,374 1,318 [±90]4s 2,167∙10-1 2,154∙10-1 2,131∙10-1 1,402 1,393 1,379 [0/90]4s 2,788∙10-1 2,762∙10-1 2,653∙10-1 1,804 1,787 1,717

88

teoriji STKŠ te MKE, prikazana je tablicom 4.12.

Slika 4.10. Srednje normalno naprezanje obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi

simetrije (l/h = 3).


teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 10,069 8,815 [15/-15]4s 7,553 5,958 [30/-30]4s 7,190 5,795 [45/-45]4s 7,978 8,744 [60/-60]4s 5,055 8,182 [75/-75]4s 2,299 4,236 [±90]4s 1,705 1,097 [0/90]4s 5,103 4,127

Određena odstupanja u vrijednostima srednjih normalnih naprezanja, a koja su najveća za

laminate kod kojih su materijalne osi vlakana paralelne s uzdužnom osi štapa, posljedica su

različite definicije rubnih uvjeta kod analitičkog i numeričkog modela. Deplanacija

poprečnog presjeka kod analitičkog modela postoji neovisno o rubu, dok je kod

numeričkog modela deplanacija poprečnog presjeka na mjestu uklještenja u potpunosti

spriječena.

Za štap omjera l/h = 5 prikazane su u tablici 4.13. vrijednosti vertikalnih pomaka te

vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η , dobivene na sredini raspona obostrano

ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije. S obzirom na vrijednosti dobivene za štap

omjera l/h = 3, u ovom slučaju je utjecaj smicanja manje izražen, što se vidi iz vrijednosti

89

faktora utjecaja smicanja na pomake η prikazanih tablicama 4.9. i 4.13.

Tablica 4.13. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η

obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Kao i u prethodnim primjerima, najveće vrijednosti faktora η dobivene su za laminate kod

kojih su materijalna vlakna paralelna s uzdužnom osi štapa (unidirectional laminates).

Iako utjecaj smicanja opada s porastom omjera l/h, smicanje se ne može zanemariti niti za

omjer l/h = 10 budući da u ovom slučaju faktori utjecaja smicanja η , za konfiguraciju

[0]16, iznose od η = 2,933 ( )0ξε = , odnosno η = 2,893 ( )0ξσ = . Pri tome odstupanja od

rezultata koje daje MKE iznose −0,065% ( )0ξε = i 0,659% ( )0ξσ = .

Na slici 4.11. dan je prikaz promjene vertikalnih pomaka poprečnog presjeka na sredini

raspona obostrano ukliještenog štapa omjera l/h = 5.

Slika 4.11. Vertikalni pomak obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije

(l/h = 5).



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,067∙10-2 1,069∙10-2 1,054∙10-2 8,734 8,573 8,632 8,452 [15/-15]4s 9,213∙10-3 9,361∙10-3 9,202∙10-3 6,965 6,781 6,957 6,667 [30/-30]4s 7,594∙10-3 8,277∙10-3 7,806∙10-3 4,582 4,452 4,710 4,199 [45/-45]4s 7,552∙10-3 9,103∙10-3 7,970∙10-3 3,327 3,389 3,512 2,968 [60/-60]4s 8,962∙10-3 1,090∙10-2 9,313∙10-3 2,962 3,211 3,078 2,744 [75/-75]4s 1,142∙10-2 1,252∙10-2 1,151∙10-2 3,235 3,398 3,261 3,125 [±90]4s 1,311∙10-2 1,319∙10-2 1,308∙10-2 3,578 3,524 3,571 3,497 [0/90]4s 1,128∙10-2 1,132∙10-2 1,114∙10-2 6,156 6,048 6,082 5,955

90

Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomakeη , dobivenih prema teoriji STKŠ te prema

MKE prikazana je tablicom 4.14.



Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,187 1,434 [15/-15]4s 0,117 1,727 [30/-30]4s -2,716 6,041 [45/-45]4s -5,250 14,222 [60/-60]4s -3,770 17,042 [75/-75]4s -0,806 8,754 [±90]4s 0,213 0,809 [0/90]4s 1,225 1,575

Analogno obostrano ukliještenom štapu omjera l/h = 3, i za ovaj je primjer bolje slaganje

rezultata dobiveno kada se u analitičkom modelu zanemarila duljinska deformacija u

smjeru konture srednje linije. Pri tome je maksimalno odstupanje od −5,250% dobiveno za

konfiguraciju slaganja [45/-45]4s.

S porastom omjera l/h vertikalni pomaci dobiveni s pomoću MKE konvergiraju

vrijednostima koje daje analitički model kod kojeg je u konstitutivnim izrazima

zanemareno normalno naprezanje u smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka. Iz

ovog je razloga maksimalno odstupanje vertikalnih pomaka u ovom primjeru nešto veće u

odnosu na maksimalno odstupanje dobiveno za štap omjera l/h = 3.

U tablici 4.15. prikazane su vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja te vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ , dobivene na sredini raspona u

točki spoja struka i pojasa obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 5). U

odnosu na štap omjera l/h = 3, u ovom je slučaju utjecaj smicanja na srednje normalno

naprezanje manje izražen, što se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ prikazanih


Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje prikazana

je tablicom 4.16. Odstupanja rezultata manja su u odnosu na prethodno razmatrani primjer,

budući da u ovom slučaju utjecaj rubnih uvjeta nije toliko izražen kao kod štapa omjera

l/h = 3. Pri tome su najveća odstupanja kod omjera l/h = 5 dobivena za konfiguraciju

slaganja [45/-45]4s. Kod obostrano ukliještenog štapa je utjecaj smicanja na srednja

normalna naprezanja izražen pa se tako smicanje ne može zanemariti niti kod omjera

l/h = 10, budući da u tom slučaju vrijednosti faktora utjecaja smicanja za konfiguraciju

91

[0]16 postižu prema teoriji STKŠ iznose od λ = 1,108 ( )0ξε = , odnosno λ = 1,106

( )0ξσ = .


srednje normalno naprezanje λ za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije

(l/h = 5).


teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,934 1,291 [15/-15]4s 2,247 1,457 [30/-30]4s 3,951 3,319 [45/-45]4s 4,409 4,730 [60/-60]4s 2,620 3,914 [75/-75]4s 1,051 1,877 [±90]4s 0,602 0,337 [0/90]4s 0,959 0,487

4.2. I-profil s jednom osi simetrije

Sljedeći oblik poprečnog presjeka uzet u razmatranje, a koji je prikazan slikom 4.12.,

odnosi se na tankostjeni I-profil s jednom osi simetrije. Karakteristične dimenzije

poprečnog presjeka su:

1 2

1 2 0

40 mm; 30 mm; 50 mm;

3,12 mm; 2,08 mm; 1,04 mm.

b b h

t t t

= = == = =

(4.14)

Za ovaj oblik poprečnog presjeka prikazana je tablicom 4.17. konfiguracija slaganja



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 6,157∙10-1 6,118∙10-1 6,040∙10-1 1,434 1,425 1,407 [15/-15]4s 5,731∙10-1 5,686∙10-1 5,605∙10-1 1,335 1,324 1,306 [30/-30]4s 5,156∙10-1 5,125∙10-1 4,960∙10-1 1,201 1,193 1,156 [45/-45]4s 4,854∙10-1 4,869∙10-1 4,649∙10-1 1,130 1,134 1,083 [60/-60]4s 4,766∙10-1 4,826∙10-1 4,644∙10-1 1,110 1,124 1,082 [75/-75]4s 4,831∙10-1 4,871∙10-1 4,781∙10-1 1,125 1,134 1,114 [±90]4s 4,914∙10-1 4,901∙10-1 4,885∙10-1 1,144 1,141 1,138 [0/90]4s 5,536∙10-1 5,510∙10-1 5,483∙10-1 1,289 1,283 1,277

92

laminata uzetih u analizu. S obzirom na orijentaciju vlakana, slijedi iz tablice 4.17. da je

gornji pojas napravljen od dvadeset četiri simetrično postavljena sloja, donji pojas od

šesnaest simetrično postavljenih slojeva, dok je struk napravljen od osam simetrično

postavljenih slojeva.

CTh

BTh

BPh

CPh

Slika 4.12. Tankostjeni I−profil s jednom osi simetrije.

Tablica 4.17. Konfiguracija slaganja poprečnog presjeka I−profila s jednom osi simetrije.

Konfiguracija

slaganja

gornji pojas donji pojas struk

ANG0 [0]24 [0]16 [0]8 ANG15 [15/-15]6s [15/-15]4s [15/-15]2s ANG30 [30/-30]6s [30/-30]4s [30/-30]2s ANG45 [45/-45]6s [45/-45]4s [45/-45]2s ANG60 [60/-60]6s [60/-60]4s [60/-60]2s ANG75 [75/-75]6s [75/-75]4s [75/-75]2s ANG90 [±90]6s [±90]4s [±90]2s

ANG0/90 [0/90]6s [0/90]4s [0/90]2s

Za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije, vertikalni pomak (izraz (2.147))

poprečnog presjeka na sredini raspona (x = l/2) može se prema teoriji STKŠ prikazati

izrazima (4.3)-(4.5). Za isti oblik poprečnog presjeka, srednje normalno naprezanje na

sredini raspona, u točki C spoja struka i donjeg pojasa, definirano je s:

ysr Cx T

y

Mh

Iσ λ= ⋅ ⋅ (4.15)

gdje je CTh udaljenost težišta poprečnog presjeka od donjeg pojasa (Slika 4.12.), dok se

faktor utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje može definirati s:

93

( )2 0

20

31 8 1

3

C Czz T Tb y xz

Czz yzz T

A A t h hk I h

t IA l h

κλκ

+ = + ⋅ + ⋅ −

. (4.16)

Mogu se za I−profil s jednom osi simetrije faktori smicanja xzκ i zzκ odrediti prema [13]

iz sljedećih izraza:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2

2 3 2 3 4

1 24 1 2 1

2 12 4 4

1 20 1 5 1

2 12 4 4

xz

ϕ χ ψ ϕ χ µ ψρ χµζκ

ψ χ ψ ψ χ

ϕ χ ψ ψϕ χµ ψ ϕ µ

ψ χ ψ ψ χ

+ + − + − = − − + + +

+ + − + − − + + +

, (4.17)

i:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

32 2 3 2 4

2

32 3 5 2 2 2

2

21 1 1

3

1 11

3 4

2 11 1 1

15 12

1 11

3 4

zz

ϕϕ χ ψ χ µ ϕ χµψκ

χ ψ χ ψ

ϕ χ ψ ψϕ µ ρ χµ ζ

χ ψ χ ψ

+ + + + + = +

+ + +

+ + + + + + + + +

, (4.18)

gdje je 2 1/A Aχ = , 0 1/A Aψ = , 2 1/b bζ = , 1 /b hρ = , /C BT Th hµ = , /B

Th hϕ = ,

( )1 1A A χ ψ= + + . U prethodnim izrazima 1 1 1A b t= ⋅ , 2 2 2A b t= ⋅ i 0 0A h t= ⋅ predstavljaju

površine gornjeg i donjeg pojasa te površinu struka poprečnog presjeka. Aksijalni moment

tromosti oko osi y može se za ovaj oblik poprečnog presjeka odrediti prema:

( )

( )2

112 4 4

12 1yI A hχ ψ ψ χ

χ ψ+ + +

=+ +

(4.19)

Za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3), opterećen jednoliko

raspodijeljenim opterećenjem iznosa 1 N/mmzq = , dane su u tablici 4.18. vrijednosti

vertikalnog pomaka poprečnog presjeka, kao i vrijednosti faktora utjecaja smicanja na

pomake η , dobivene na sredini raspona štapa. Prikazane vrijednosti su određene prema

teoriji STKŠ odnosno s pomoću MKE.

94

Tablica 4.18. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomakeη

zglobno−oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

U odnosu na zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije omjera l/h = 3, može se vidjeti

na temelju rezultata navedenih u tablicama 4.1. i 4.18. da je utjecaj smicanja na vertikalne

pomake izraženiji za ovaj oblik poprečnog presjeka. Kao i u prethodnim primjerima

najveće vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η dobivene su za laminate kod

kojih su materijalne osi vlakana paralelne s uzdužnom osi štapa (unidirectional laminates).

Promjena vertikalnih pomaka poprečnog presjeka na sredini raspona prikazana je

slikom 4.13.


Uočava se sa slike 4.13. odstupanje rezultata dobivenih prema teoriji STKŠ i MKE, u

odnosu na vrijednosti koje daje klasična teorija savijanja štapova.

Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake koje daju razvijeni analitički model te

metoda konačnih elemenata (MKE) prikazana je tablicom 4.19.



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

ANG0 7,311∙10-3 7,333∙10-3 7,559∙10-3 7,167 7,039 7,411 7,256 ANG15 6,361∙10-3 6,469∙10-3 6,663∙10-3 5,757 5,610 6,031 5,779 ANG30 5,339∙10-3 5,828∙10-3 5,790∙10-3 3,856 3,753 4,183 3,729 ANG45 5,414∙10-3 6,518∙10-3 6,023∙10-3 2,856 2,905 3,178 2,685 ANG60 6,482∙10-3 7,835∙10-3 6,979∙10-3 2,564 2,763 2,762 2,462 ANG75 8,205∙10-3 8,964∙10-3 8,450∙10-3 2,782 2,912 2,865 2,746 ANG90 9,351∙10-3 9,416∙10-3 9,501∙10-3 3,056 3,013 3,106 3,041

ANG0/90 7,821∙10-3 7,854∙10-3 7,946∙10-3 5,112 5,026 5,194 5,085

95


za zglobno−oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

ANG0 -3,275 -2,988 ANG15 -4,540 -2,913 ANG30 -7,795 0,659 ANG45 -10,114 8,218 ANG60 -7,128 12,265 ANG75 -2,897 6,089 ANG90 -1,583 -0,897

ANG0/90 -1,569 -1,159

Iz tablice 4.19. slijedi da su za ovaj oblik poprečnog presjeka dobivena određena

odstupanja vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake, a koja su najizraženija za

laminate kod kojih su vlakna usmjerena pod kutom u odnosu na uzdužnu os štapa (angle-

ply laminates). Ova odstupanja mogu se tumačiti kao posljedica svođenja ravninskog

stanja naprezanja na jednodimenzionalno stanje kod analitičkog modela.

Za razliku od omjera l/h = 3, kod omjera l/h = 5 utjecaj smicanja na pomake je manji pa su

tako najveće vrijednosti faktora utjecaja smicanja η = 3,220 ( )0ξε = , odnosno η = 3,174

( )0ξσ = , dobivene prema teoriji STKŠ za laminate s konfiguracijom ANG0. Pri tome

odstupanja od rezultata koje daje MKE iznose −1,630% ( )0ξε = te −0,979% ( )0ξσ = . Za

isti omjer l/h te za konfiguraciju ANG0/90 faktor utjecaja smicanja na pomake poprima

vrijednosti: η = 2,480 ( )0ξε = , odnosno η = 2,449 ( )0ξσ = . Odstupanja od rezultata

koje daje MKE iznose za ovu konfiguraciju −0,976% ( )0ξε = te −0,126% ( )0ξσ = .

Utjecaj smicanja se ne može zanemariti niti za omjer l/h = 10 budući da u ovom slučaju

faktori utjecaja smicanja iznose η = 1,555 ( )0ξε = i η = 1,544 ( )0ξσ = .


faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ , dobivene na sredini raspona

štapa omjera l/h = 3, u točki C spoja struka i donjeg pojasa poprečnog presjeka

(Slika 4.12). Za različite konfiguracije slaganja laminata, vrijednosti navedene u tablici

određene su prema teoriji STKŠ, odnosno s pomoću MKE. Pri tome su vrijednosti koje

daje analitički model dobivene s obzirom na različite pretpostavke unutar konstitutivnih

izraza.

96


srednje normalno naprezanje λ za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije

(l/h = 3).

U odnosu na zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije omjera l/h = 3, u ovom slučaju

utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje nije toliko izražen, što se vidi iz

vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ prikazanih



teoriji STKŠ te prema MKE, prikazana je tablicom 4.21.


teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

ANG0 0,617 0,294 ANG15 -0,162 -0,541 ANG30 -1,344 -1,623 ANG45 -1,480 -1,343 ANG60 -0,852 -0,294 ANG75 -0,289 0,076 ANG90 -0,063 -0,183

ANG0/90 1,630 1,400

Vidljivo je iz tablice 4.21. izvrsno slaganje rezultata dobivenih prema teoriji STKŠ i MKE.

Pri tome maksimalna odstupanja ne prelaze 2% za sve konfiguracije slaganja laminata u

poprečnom presjeku.

Iako je iznos srednjeg normalnog naprezanja manji, veći je utjecaj smicanja na srednje

normalno naprezanje u točki B spoja struka i gornjeg pojasa. Slijedi tako da za

konfiguraciju slaganja ANG0 vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ u točki B iznose



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

ANG0 8,910∙10-1 8,881∙10-1 8,885∙10-1 1,182 1,178 1,175 ANG15 8,595∙10-1 8,563∙10-1 8,609∙10-1 1,140 1,136 1,143 ANG30 8,172∙10-1 8,149∙10-1 8,283∙10-1 1,084 1,081 1,099 ANG45 7,949∙10-1 7,960∙10-1 8,068∙10-1 1,054 1,056 1,071 ANG60 7,884∙10-1 7,928∙10-1 7,951∙10-1 1,046 1,052 1,055 ANG75 7,932∙10-1 7,961∙10-1 7,955∙10-1 1,052 1,056 1,056 ANG90 7,993∙10-1 7,984∙10-1 7,998∙10-1 1,060 1,059 1,062

ANG0/90 8,452∙10-1 8,432∙10-1 8,316∙10-1 1,121 1,119 1,104

97

λ = 1,252 ( )0ξε = , odnosno λ = 1,247 ( )0ξσ = . Pri tome su odstupanja od rezultata

koje daje MKE 0,624% ( )0ξε = te 0,201% ( )0ξσ = .

Kao što se vidi iz tablice 4.20., utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje može za

konfiguraciju slaganja ANG0 dosegnuti 18,2% ( )0ξε = , dok kod omjera l/h = 5 utjecaj

smicanja za istu konfiguraciju slaganja ne prelazi prema teoriji STKŠ 6,5% ( )0ξε = ,

odnosno 6,4% ( )0ξσ = . Za omjer l/h = 10 utjecaj smicanja na srednje normalno

naprezanje doseže prema teoriji STKŠ maksimalno 1,6% te se može zanemariti u

inženjerskim proračunima.

Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u donjem pojasu na sredini raspona, može se

opisati slijedećim izrazom:

*2

8z

ysr C Cb b xz bx T z T z z

y zz y s

Sk k h kqlh q h q q ds

I A A I t

κσ = ⋅ + ⋅ + − ∫ , (4.20)

gdje je na donjem pojasu:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2*

2 022

0

2*

2 022

0

310 : ,

2 2 3

310 : .

2 2 3

z

z

C CT Ty C

z T z zs

C CT Ty C

z T z zs

h A t hSbs ds h s b s

t t


t t

+≤ ≤ = − +

+≥ ≥ − = − + +

∫

∫

(4.21)

Da bi se pokazao utjecaj sekundarne uzdužne sile na rastezanje/sabijanje poprečnog

presjeka, dan je izraz za raspodjelu srednjeg normalnog naprezanja u struku na sredini

raspona:

*2

8z

ysr b b xz bx z z z

y zz y s

Sk k h kqlz q z q q ds

I A A I t

κσ = ⋅ + ⋅ + − ∫ (4.22)

gdje je na struku:

( )* 22

02

0:

2 3z

yB C C Cz zT z T T T

s

S ts sh s h ds h A h

t t

− ≤ ≤ = + −

∫ . (4.23)

98

Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na donjem pojasu, na sredini raspona zglobno-

oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije, prikazana je slikom 4.14.

Slika 4.14. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na donjem pojasu zglobno-

oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Uočava se sa slike 4.14. da za različite konfiguracije slaganja laminata u poprečnom

presjeku postoji dobro slaganje rezultata koje daju teorija STKŠ te MKE. S povećanjem

kuta između materijalnih osi i uzdužne osi štapa dolazi do opadanja maksimalnog vršnog

naprezanja na mjestu spoja struka i donjeg pojasa.

Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku na sredini raspona, prikazana je za

različite konfiguracije slaganja laminata slikom 4.15.

Slika 4.15. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku zglobno-oslonjenog

I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

99

Iako utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje u struku nije toliko izražen kao kod

pojasa, vidi se sa slike 4.15. izvrsno slaganje rezultata dobivenih prema teoriji STKŠ i

MKE. Također, kao posljedica pojave sekundarne uzdužne sile zbog smicanja neutralna os

više ne prolazi kroz težište poprečnog presjeka te se njen položaj može odrediti s pomoću

izraza (4.22).

Za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije, opterećen jednoliko

raspodijeljenim opterećenjem iznosa 1 N/mmzq = , vertikalni pomak poprečnog presjeka

na sredini raspona štapa može se definirati izrazima (4.4), (4.11) i (4.12).

Za omjer l/h = 5, prikazane su u tablici 4.22. vrijednosti vertikalnog pomaka te vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na pomake η , dobivene na sredini raspona obostrano

ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije. Vrijednosti navedene u tablici dobivene su

prema teoriji STKŠ te MKE, za različite konfiguracije slaganja laminata u poprečnom

presjeku.

Tablica 4.22. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η

obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

S obzirom na vrijednosti prikazane u tablici 4.22., vidi se da je utjecaj smicanja na

vertikalne pomake vrlo izražen, što se posebno odnosi na konfiguraciju slaganja ANG0.

Promjena vertikalnih pomaka poprečnog presjeka s orijentacijom vlakana, prikazana je

slikom 4.16. Vidljivo je sa slike da se rezultati dobiveni prema teoriji STKŠ ( )0ξε =

dobro slažu s rezultatima koje daje MKE, za sve konfiguracije slaganja laminata u

poprečnom presjeku. S povećanjem kuta između materijalnih osi vlakana i uzdužne osi

štapa, rastu vrijednosti vertikalnih pomaka dobivene prema klasičnoj Euler-Bernoullijevoj

teoriji savijanja, dok s druge strane funkcije raspodjele vertikalnih pomaka prema teoriji

STKŠ postižu minimum unutar raspona orijentacije vlakana.



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

ANG0 1,905∙10-2 1,908∙10-2 1,919∙10-2 12,102 11,870 12,193 11,939 ANG15 1,631∙10-2 1,655∙10-2 1,653∙10-2 9,562 9,299 9,696 9,291 ANG30 1,312∙10-2 1,427∙10-2 1,355∙10-2 6,142 5,955 6,346 5,654 ANG45 1,270∙10-2 1,534∙10-2 1,335∙10-2 4,341 4,430 4,564 3,856 ANG60 1,488∙10-2 1,826∙10-2 1,543∙10-2 3,816 4,174 3,957 3,527 ANG75 1,915∙10-2 2,110∙10-2 1,939∙10-2 4,208 4,443 4,260 4,082 ANG90 2,220∙10-2 2,230∙10-2 2,231∙10-2 4,701 4,624 4,724 4,626

ANG0/90 1,984∙10-2 1,989∙10-2 1,988∙10-2 8,401 8,247 8,419 8,244

100

Slika 4.16. Vertikalni pomak obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije

(l/h = 5).

Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake koje daju teorija STKŠ te MKE prikazana

je tablicom 4.23.


za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

ANG0 -0,742 -0,567 ANG15 -1,375 0,086 ANG30 -3,169 5,329 ANG45 -4,878 14,880 ANG60 -3,555 18,342 ANG75 -1,220 8,841 ANG90 -0,487 -0,036

ANG0/90 -0,215 0,037

Za model temeljen na pretpostavci 0ξε = , slijedi iz tablice 4.23. da je najveće odstupanje

od −4,878% dobiveno za konfiguraciju slaganja ANG45.

Analogno I−profilu s dvije osi simetrije, može se i za ovaj oblik poprečnog presjeka

pokazati da je utjecaj smicanja izraženiji kod kraćih štapova. Slijedi tako da je za omjer

l/h = 3 najveća vrijednost faktora utjecaja smicanja η = 31,839 ( )0ξε = , odnosno

η = 31,196 ( )0ξσ = , dobivena prema teoriji STKŠ za konfiguraciju slaganja ANG0. U

ovom su slučaju odstupanja od rezultata koje daje MKE −2,400% ( )0ξε = te −2,335%

101

( )0ξσ = . Za omjer l/h = 3, i konfiguraciju ANG0/90, faktor utjecaja smicanja na pomake

doseže prema teoriji STKŠ iznos od η = 21,560 ( )0ξε = , odnosno η = 21,132 ( )0ξσ = .

Pri tome su odstupanja od rezultata koje daje MKE −0,761% ( )0ξε = te −0,663%

( )0ξσ = . Kod relativno dugih štapova utjecaj smicanja se također ne može zanemariti pa

su tako za omjer l/h = 10, za konfiguraciju ANG0, dobivene prema teoriji STKŠ

vrijednosti faktora utjecaja smicanja η = 3,776 ( )0ξε = , odnosno η = 3,718 ( )0ξσ = .

Srednje normalno naprezanje na sredini raspona u točki C spoja struka i donjeg pojasa

definirano je izrazom (4.15), pri čemu je faktor utjecaja smicanja na srednje normalno

naprezanje u točki C za obostrano ukliješten štap s jednom osi simetrije definiran sljedećim

izrazom:

( )2 0

20

31 24 1

3

C Czz T Tb y xz

Czz yzz T

A A t h hk I h

t IA l h

κλκ

+ = + ⋅ + ⋅ −

. (4.24)

Također može se srednje normalno naprezanje na sredini raspona u točki B spoja struka i

gornjeg pojasa prikazati kao:

ysr Bx T

y

Mh

Iσ λ= − ⋅ ⋅ , (4.25)

gdje je faktor utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje u točki B:

( )1 0

20

31 24 1

3

B Bzz T Tb y xz

Bzz yzz T

A A t h hk I h

t IA l h

κλκ

+ = + ⋅ − ⋅ −

. (4.26)

U tablicama 4.24. i 4.25. prikazane su vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja te

vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ , dobivene u donjoj

C i gornjoj B točki struka (Slika 4.12) na sredini raspona obostrano ukliještenog štapa. Iako

su srednja normalna naprezanja u spoju struka i gornjeg pojasa manjeg iznosa, vidi se iz

tablica 4.24. i 4.25. da je utjecaj smicanja ipak izraženiji u gornjoj točki struka B. Pri tome

se kao i u prethodnim primjerima dobije za konfiguraciju ANG0 maksimalni utjecaj

smicanja od 19,7% ( )0ξε = u donjoj točki struka C, odnosno 27,2% ( )0ξε = u gornjoj

102

točki struka B. U usporedbi s obostrano ukliještenim I−profilom s dvije osi simetrije, u

ovom slučaju dobivene vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ su manje za obje

razmatrane točke struka.

Tablica 4.24. Srednje normalno naprezanjesrxσ (MPa) u točki C spoja struka i donjeg

pojasa i faktori utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ za obostrano

ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Tablica 4.25. Srednje normalno naprezanje srxσ (MPa) u točki B spoja struka i gornjeg

pojasa i faktori utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ za obostrano


Na slikama 4.17. i 4.18. prikazana je ovisnost srednjeg normalnog naprezanja o orijentaciji

vlakana, u donjoj C i gornjoj B točki struka, dok je usporedba faktora utjecaja smicanja na

srednje normalno naprezanje prikazana tablicom 4.26. Vidljivo je iz tablice izvrsno

slaganje rezultata, za sve konfiguracije laminata u poprečnom presjeku.

Kod obostrano ukliještenog štapa omjera l/h = 3 utjecaj smicanja na srednje normalno

naprezanje je izraženiji, što se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ koje

maksimalni iznos dosežu za konfiguraciju slaganja ANG0. U donjoj točki C spoja struka i

pojasa dobiveno je u ovom slučaju prema teoriji STKŠ da je λ = 1,547 ( )0ξε = , odnosno



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

ANG0 8,352∙10-1 8,323∙10-1 8,252∙10-1 1,197 1,192 1,183 ANG15 8,037∙10-1 8,005∙10-1 7,923∙10-1 1,151 1,147 1,136 ANG30 7,614∙10-1 7,590∙10-1 7,439∙10-1 1,091 1,087 1,066 ANG45 7,391∙10-1 7,402∙10-1 7,201∙10-1 1,059 1,060 1,032 ANG60 7,326∙10-1 7,370∙10-1 7,210∙10-1 1,049 1,056 1,033 ANG75 7,374∙10-1 7,403∙10-1 7,323∙10-1 1,056 1,061 1,050 ANG90 7,435∙10-1 7,426∙10-1 7,403∙10-1 1,065 1,064 1,061

ANG0/90 7,893∙10-1 7,874∙10-1 7,730∙10-1 1,131 1,128 1,108



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

ANG0 -5,204∙10-1 -5,181∙10-1 -5,160∙10-1 1,272 1,266 1,262 ANG15 -4,949∙10-1 -4,923∙10-1 -4,879∙10-1 1,210 1,203 1,193 ANG30 -4,606∙10-1 -4,587∙10-1 -4,480∙10-1 1,126 1,121 1,095 ANG45 -4,425∙10-1 -4,434∙10-1 -4,293∙10-1 1,082 1,084 1,050 ANG60 -4,373∙10-1 -4,408∙10-1 -4,295∙10-1 1,069 1,077 1,050 ANG75 -4,412∙10-1 -4,435∙10-1 -4,380∙10-1 1,078 1,084 1,071 ANG90 -4,461∙10-1 -4,454∙10-1 -4,442∙10-1 1,090 1,088 1,086

ANG0/90 -4,833∙10-1 -4,817∙10-1 -4,677∙10-1 1,181 1,177 1,144

103

Slika 4.17. Srednje normalno naprezanje u točki C spoja struka i donjeg pojasa obostrano

ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Slika 4.18. Srednje normalno naprezanje u točki B spoja struka i gornjeg pojasa obostrano

ukliještenog I-profila s jednom osi simetrije (l/h = 5).


teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

Spoj struka i donjeg pojasa Spoj struka i gornjeg pojasa 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

ANG0 1,206 0,858 0,853 0,403 ANG15 1,440 1,028 1,451 0,908 ANG30 2,349 2,038 2,819 2,400 ANG45 2,626 2,779 3,071 3,279 ANG60 1,603 2,218 1,814 2,650 ANG75 0,693 1,091 0,730 1,269 ANG90 0,440 0,311 0,425 0,251

ANG0/90 2,113 1,866 3,332 3,001

104

λ = 1,536 ( )0ξσ = , dok su vrijednosti u gornjoj točki spoja B veće te iznose λ = 1,756

( )0ξε = i λ = 1,741 ( )0ξσ = . Pri tome su odstupanja između rezultata koje daju teorija

STKŠ i MKE u donjoj točki spoja 4,335% ( )0ξε = i 3,586% ( )0ξσ = , dok odstupanja u

gornjoj točki dosežu 2,192% ( )0ξε = , odnosno 1,275% ( )0ξσ = .

Za l/h = 10 utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje je znatno manji te su kod

ovog omjera u donjoj točki C dobiveni faktori utjecaja smicanja λ = 1,049 ( )0ξε = i

λ = 1,048 ( )0ξσ = , dok je u gornjoj točki B dobiveno λ = 1,068 ( )0ξε = te λ = 1,066

( )0ξσ = .

Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u donjem pojasu na sredini raspona štapa,

definirana je sljedećim izrazom:

*2

24z

ysr C Cb b xz bx T z T z z

y zz y s


I A A I t

κσ = ⋅ + ⋅ + − ∫ , (4.27)

gdje je raspodjela integrala *

z

y

s

Sds

t∫ na donjem pojasu dana izrazom (4.21), dok se srednje

normalno naprezanje u gornjem pojasu na sredini raspona može definirati s:

*2

24z

ysr B Bb b xz bx T z T z z

y zz ys


I A A I t

κσ = − ⋅ − ⋅ + − ∫ , (4.28)

pri čemu na gornjem pojasu vrijedi:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2*

1 011

0

2*

1 011

0

310 : ,

2 2 3

310 : ,

2 2 3

z

z

B BT Ty B

z T z zs

B BT Ty B

z T z zs


t t


t t

+≤ ≤ = − − −

+≥ ≥ − = + −

∫

∫

(4.29)

Na slikama 4.19. i 4.20. dana je raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u donjem i

gornjem pojasu poprečnog presjeka, na sredini raspona obostrano ukliještenog štapa.

105

Slika 4.19. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na donjem pojasu obostrano


Slika 4.20. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na gornjem pojasu obostrano


Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku na sredini raspona može se za ovaj

slučaj opisati slijedećim izrazom:

*2

,24

z

ysr b b xz bx z z z

y zz y s


I A A I t

κσ = ⋅ + ⋅ + − ∫ (4.30)

gdje je raspodjela integrala *

z

y

s

Sds

t∫ u struku dana izrazom (4.23). Na slici 4.21., prema

izrazu (4.30), prikazana je raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku obostrano

106

ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije. Pojava sekundarne uzdužne sile kod savijanja

u vertikalnoj ravnini utječe na to da neutralna os više ne prolazi kroz težište poprečnog

presjeka. Novi položaj neutralne osi može se dobiti izjednačavanjem naprezanja prema

izrazu (4.30) s nulom. Također kao posljedica dodatnog rastezanja/sabijanja zbog smicanja

javlja se dodatni uzdužni pomak poprečnog presjeka koji se može definirati izrazom

(2.147).

Slika 4.21. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku obostrano ukliještenog


4.3. T−profil

Sljedeći oblik poprečnog presjeka uzet u analizu, a koji je prikazan na slici 4.22., odnosi se

na tankostjeni T−profil.

CTh

BTh

Slika 4.22. Tankostjeni T−profil.

107

Karakteristične dimenzije poprečnog presjeka su:

0 1

50 mm;

2,08 mm,

b h

t t

= == =

(4.31)

pri čemu su laminati u poprečnom presjeku napravljeni od šesnaest slojeva postavljenih

simetrično u odnosu na srednju plohu.

Za zglobno-oslonjeni T−profil, vertikalni pomak poprečnog presjeka na sredini raspona

može se prema teoriji STKŠ prikazati izrazima (4.4)-(4.6). Pri tome je srednje normalno

naprezanje na sredini raspona, u donjoj točki struka C definirano izrazom (4.15). Izraz za

faktor utjecaja smicanja na normalno naprezanje λ u ovom slučaju ima sljedeći oblik:

( )2

21 8 1

3

Czz Tb y xz

Czz yzz T

A hk I h

IA l h

κλκ

= + ⋅ + ⋅ −

, (4.32)

gdje je CTh udaljenost težišta od donje točke struka C (Slika 4.22.).

Mogu se za T−profil smična površina /zz zzA A κ= , odnosno faktori smicanja xzκ i zzκ

odrediti prema [13] iz slijedećih izraza:

( ) ( )

( )

2 2 2 3 4

2

1 24 2 20 5 1

2 4xz

ϕ ψ ϕ ψρ ψϕ ψ ϕ µκ

ψ ψ

+ + + + − = −

+, (4.33)

i:

( ) ( )32 2 3 5 2

22

9 6 31 6 1

5 4

11

4

zz

ϕϕ ψ ϕ ψϕ µ ρψκ

ψ ψ

+ + + + + =

+

, (4.34)

gdje je 0 1/A Aψ = , /b hρ = , /C BT Th hµ = , /B

Th hϕ = , ( )1 1A A ψ= + . 0 0A ht= i 1 1A bt=

su površine struka i pojasa poprečnog presjeka T−profila.

Aksijalni moment tromosti oko osi y može se za T−profil odrediti iz sljedećeg izraza:

( )( )

21

4

12 1yI A hψ ψ

ψ+

=+

. (4.35)

Za zglobno-oslonjeni T−profil omjera l/h = 3, opterećen jednoliko raspodijeljenim

108

opterećenjem iznosa 1 N/mmzq = , dane su u tablici 4.27. vrijednosti vertikalnog pomaka

poprečnog presjeka te vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η , dobivene na

sredini raspona štapa prema teoriji STKŠ i MKE.

Tablica 4.27. Vertikalni pomaci w (mm) i faktori utjecaja smicanja na pomake η za

zglobno-oslonjeni T−profil (l/h = 3).

Promjena vertikalnih pomaka poprečnog presjeka s povećanjem kuta nagiba materijalnih

osi, na sredini raspona zglobno-oslonjenog T−profila (l/h = 3), prikazana je slikom 4.23.

Slika 4.23. Vertikalni pomak zglobno-oslonjenog T−profila (l/h = 3).

Iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja η prikazanih u tablici 4.27., uočava se da je u

odnosu na dva prethodno razmatrana oblika poprečnog presjeka utjecaj smicanja na

vertikalne pomake manje izražen. Također postoji dobro slaganje između rezultata koje

daju teorija STKŠ te MKE, i to za slučaj kada se u analitičkom modelu zanemari normalno

naprezanje u smjeru konture srednje linije. Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 6,055∙10-3 6,102∙10-3 6,147∙10-3 2,732 2,696 2,775 2,717 [15/-15]4s 5,607∙10-3 5,749∙10-3 5,826∙10-3 2,336 2,295 2,427 2,326 [30/-30]4s 5,420∙10-3 5,982∙10-3 6,006∙10-3 1,802 1,773 1,997 1,780 [45/-45]4s 6,264∙10-3 7,481∙10-3 7,280∙10-3 1,521 1,535 1,768 1,494 [60/-60]4s 7,902∙10-3 9,209∙10-3 8,763∙10-3 1,439 1,495 1,596 1,423 [75/-75]4s 9,613∙10-3 1,028∙10-2 9,982∙10-3 1,500 1,537 1,558 1,493 [±90]4s 1,048∙10-2 1,063∙10-2 1,067∙10-2 1,577 1,565 1,605 1,572 [0/90]4s 7,163∙10-3 7,233∙10-3 7,217∙10-3 2,155 2,131 2,172 2,126

109

na pomake dobivenih ovim dvjema metodama prikazana je tablicom 4.28.


za zglobno-oslonjeni T−profil (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -1,506 -0,738 [15/-15]4s -3,746 -1,320 [30/-30]4s -9,755 -0,394 [45/-45]4s -13,948 2,769 [60/-60]4s -9,823 5,091 [75/-75]4s -3,702 2,950 [±90]4s -1,716 -0,390 [0/90]4s -0,754 0,225

Kod omjera l/h = 5, faktor utjecaja smicanja na pomake η poprima prema teoriji STKŠ za

konfiguraciju slaganja [0]16 vrijednost η = 1,623 ( )0ξε = , odnosno η = 1,610 ( )0ξσ = .

Pri tome odstupanja od rezultata koje daje MKE iznose −1,694% ( )0ξε = odnosno

−0,405% ( )0ξσ = . Za konfiguraciju slaganja [0/90]4s, faktor utjecaja smicanja na pomake

η prema teoriji STKŠ iznosi η = 1,415 ( )0ξε = , odnosno η = 1,407 ( )0ξσ = .

Odstupanja od rezultata koje daje MKE iznose za ovu konfiguraciju −1,231% ( )0ξε = te

0,253% ( )0ξσ = . Uz pretpostavku da je 0ξσ = slijedi da su za ovaj omjer l/h odstupanja

manja i za ostale konfiguracije slaganja pa je tako najveće odstupanje od 2,393% dobiveno

za konfiguraciju slaganja [60/-60]4s.

Kod omjera l/h = 10 dobivene vrijednosti faktora η su nešto manje te iznose (za

konfiguraciju slaganja [0]16) prema teoriji STKŠ η = 1,156 ( )0ξε = , odnosno η = 1,153

( )0ξσ = .


faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ , dobivene u donjoj točki

struka C, na sredini raspona zglobno-oslonjenog T-profila (l/h = 3). Uočava se iz tablice

izvrsno slaganje rezultata dobivenih prema teoriji STKŠ te MKE, za obje hipoteze unutar

analitičkog modela. Promjena srednjeg normalnog naprezanja na sredini raspona prikazana

je slikom 4.24.

110


srednje normalno naprezanje λ u donjoj točki struka C za zglobno-oslonjeni T−profil

(l/h = 3).

Slika 4.24. Srednje normalno naprezanje u donjoj točki struka C zglobno-oslonjenog

T−profila (l/h = 3).

Vidljivo je sa slike 4.24. da s porastom kuta orijentacije vlakana dolazi do opadanja

srednjih normalnih naprezanja kao i to da se smanjuju odstupanja između rezultata koje

daju razvijeni analitički model te klasična teorija savijanja štapova.

U tablici 4.30. prikazana je usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje

normalno naprezanje λ , dobivenih prema teoriji STKŠ i MKE za zglobno-oslonjeni

T−profil omjera l/h = 3. Proizlazi iz tablice da su najveća odstupanja dobivena za laminate

kod kojih su materijalne osi vlakana paralelne s uzdužnom osi štapa (unidirectional

laminates). Za ostale konfiguracije laminata potvrđeno je izvrsno slaganje rezultata koje

daju teorija STKŠ i MKE.



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 2,548 2,536 2,487 1,308 1,302 1,278 [15/-15]4s 2,411 2,397 2,378 1,238 1,230 1,221 [30/-30]4s 2,226 2,215 2,216 1,143 1,137 1,138 [45/-45]4s 2,128 2,133 2,121 1,092 1,095 1,089 [60/-60]4s 2,100 2,119 2,094 1,078 1,088 1,075 [75/-75]4s 2,121 2,134 2,117 1,089 1,095 1,087 [±90]4s 2,148 2,143 2,143 1,102 1,100 1,101 [0/90]4s 2,348 2,340 2,324 1,205 1,201 1,194

111


teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni T−profil (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 2,448 1,944 [15/-15]4s 1,401 0,800 [30/-30]4s 0,449 -0,006 [45/-45]4s 0,339 0,566 [60/-60]4s 0,270 1,196 [75/-75]4s 0,183 0,784 [±90]4s 0,206 0,011 [0/90]4s 1,030 0,670

Kod omjera l/h = 5 utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje je manji, što se vidi iz

maksimalnih vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ koje za konfiguraciju slaganja [0]16

iznose prema teoriji STKŠ λ = 1,111 ( )0ξε = , odnosno λ = 1,108 ( )0ξσ = . Pri tome

odstupanja od rezultata koje daje MKE dosežu 0,250% ( )0ξε = te 0,040% ( )0ξσ = . U

odnosu na štap omjera l/h = 3, u ovom su slučaju odstupanje manja i za ostale

konfiguracije slaganja te se može pokazati da ne prelaze 1% vrijednosti.

Za omjer l/h = 10 maksimalna odstupanja između rezultata koje daju teorija STKŠ te

klasična teorija savijanja ne prelaze 2,7% za obje pretpostavke unutar analitičkog modela.

Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja po pojasu zglobno-oslonjenog T−profila može

se opisati slijedećim izrazom:

*2

8z


y zz y s


I A A I t

κσ = − ⋅ − ⋅ + − ∫ , (4.36)

gdje je na pojasu:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2*

1 0

0

2*

1 0

0

310 : ,

2 2 3

310 : .

2 2 3

z

z

B BT Ty B

z T z zs

B BT Ty B

z T z zs


t t


t t

+≤ ≤ = − − −

+≥ ≥ − = + −

∫

∫

(4.37)

Na slici 4.25. prikazana je raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na pojasu, određena

za različite konfiguracije slaganja na sredini raspona štapa prema teoriji STKŠ i MKE.

112

Slika 4.25. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na pojasu zglobno-oslonjenog


S obzirom na sliku 4.25., vidljivo je izvrsno slaganje rezultata dobivenih prema teoriji

STKŠ te MKE, za različite konfiguracije laminata u poprečnom presjeku. S povećanjem

kuta između materijalnih osi te uzdužne osi štapa dolazi do opadanja vršnog srednjeg

normalnog naprezanja u spoju struka i pojasa.

Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku zglobno oslonjenog T−profila


*2

8z

ysr b b xz bx z z z

y zz y s


I A A I t

κσ = ⋅ + ⋅ + − ∫ , (4.38)

gdje za struk vrijedi:

( )* 22

:2 3

z

yB C Cz zT z T T

s

S s sh s h ds h

t

− ≤ ≤ = −

∫ (4.39)

Na slici 4.26. prikazana je raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku, na sredini

raspona T−profila. Raspodjela naprezanja je određena prema teoriji STKŠ, odnosno prema

izrazima (4.38) i (4.39) te s pomoću MKE. Iako utjecaj smicanja na srednje normalno

naprezanje nije značajan u struku, vidljivo je sa slike izvrsno slaganje rezultata za sve

konfiguracije laminata u poprečnom presjeku. Pojava sekundarne uzdužne sile utječe na to

da neutralna os više ne prolazi kroz težište poprečnog presjeka.

113

Slika 4.26. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u struku zglobno-oslonjenog


Za obostrano ukliješteni T−profil, opterećen jednoliko raspodijeljenim opterećenjem

iznosa 1 N/mmzq = , vertikalni pomak poprečnog presjeka na sredini raspona štapa može

se definirati izrazima (4.4), (4.11) i (4.12).

Za omjer l/h = 5, dane su u tablici 4.31. vrijednosti vertikalnog pomaka te vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na pomake η , dobivene na sredini raspona štapa prema teoriji

STKŠ i MKE.


obostrano ukliješteni T−profil (l/h = 5).

Iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja η prikazanih u tablici 4.31. uočava se da je u

odnosu na dosada razmatrane oblike poprečnog presjeka, za iste rubne uvjete te jednaki

omjer l/h, utjecaj smicanja najmanje izražen kod obostrano ukliještenog T−profila.

Analogno prethodno analiziranim primjerima, najveće vrijednosti faktora utjecaja smicanja



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,408∙10-2 1,416∙10-2 1,361∙10-2 4,118 4,053 3,980 3,897 [15/-15]4s 1,261∙10-2 1,288∙10-2 1,241∙10-2 3,405 3,331 3,349 3,210 [30/-30]4s 1,134∙10-2 1,245∙10-2 1,170∙10-2 2,444 2,392 2,522 2,248 [45/-45]4s 1,232∙10-2 1,477∙10-2 1,326∙10-2 1,938 1,963 2,087 1,764 [60/-60]4s 1,517∙10-2 1,798∙10-2 1,597∙10-2 1,791 1,891 1,886 1,681 [75/-75]4s 1,879∙10-2 2,029∙10-2 1,894∙10-2 1,901 1,967 1,916 1,836 [±90]4s 2,092∙10-2 2,114∙10-2 2,076∙10-2 2,039 2,018 2,024 1,982 [0/90]4s 1,579∙10-2 1,590∙10-2 2,536∙10-2 3,079 3,036 2,995 2,933

114

na pomake dobivene su za konfiguraciju slaganja [0]16.

Ovisnost vertikalnih pomaka poprečnog presjeka o orijentaciji materijalnih osi vlakana,


Slika 4.27. Vertikalni pomak obostrano ukliještenog T−profila (l/h = 5).

Vidljivo je sa slike 4.27. da vertikalni pomaci dobiveni s pomoću MKE pokazuju bolje

slaganje s rezultatima koje daje teorija STKŠ, ako se u konstitutivnim izrazima analitičkog

modela zanemari duljinska deformacija u smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka.

Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake dobivenih prema ove dvije

metode prikazana je tablicom 4.32.


za obostrano ukliješteni T−profil (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 3,493 4,028 [15/-15]4s 1,677 3,801 [30/-30]4s -3,069 6,410 [45/-45]4s -7,121 11,336 [60/-60]4s -5,001 12,557 [75/-75]4s -0,745 7,176 [±90]4s 0,759 1,810 [0/90]4s 2,819 3,530

Uočava se iz tablice 4.32. vrlo dobro slaganje vrijednosti vertikalnih pomaka, za slučaj

kada su materijalne osi vlakana paralelne s uzdužnom osi štapa (unidirectional laminates)

115

te za slučaj kada su materijalne osi orijentirane pod kutevima 0° i 90° u odnosu na uzdužnu

os (cross-ply laminates). Najveća odstupanja se javljaju za laminate kod kojih su

materijalne osi vlakana orijentirane pod kutevima ± θ (angle-ply laminates) u odnosu na

uzdužnu os, a posljedica su redukcije ravninskog stanja naprezanja na jednoosno stanje

unutar teorije STKŠ.

Kod omjera l/h = 3 utjecaj smicanja na pomake je izraženiji što se vidi iz maksimalnih

vrijednosti faktora utjecaja smicanja η koje prema teoriji STKŠ, za konfiguraciju [0]16,

iznose η = 9,663 ( )0ξε = , odnosno η = 9,483 ( )0ξσ = . Pri tome odstupanja od rezultata

koje daje MKE dosežu 5,294% ( )0ξε = te 5,526% ( )0ξσ = . Za konfiguraciju slaganja

[0/90]4s faktor utjecaja smicanja na pomake η poprima prema teoriji STKŠ vrijednosti od

η = 6,776 ( )0ξε = , odnosno η = 6,656 ( )0ξσ = . Odstupanja od rezultata koje daje

MKE iznose u ovom slučaju 5,699% ( )0ξε = te 6,031% ( )0ξσ = .

Prema teoriji STKŠ, utjecaj smicanja na pomake ne može se zanemariti niti kod omjera

l/h = 10, budući da faktor η poprima za konfiguraciju [0]16 vrijednost od η = 1,780

( )0ξε = , odnosno η = 1,763 ( )0ξσ = .

Za isti oblik poprečnog presjeka može se srednje normalno naprezanje na sredini raspona

obostrano ukliještenog štapa, u donjoj točki struka C, opisati izrazom (4.15). Faktor

utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje u tom je slučaju definiran izrazom:

( )2

21 24 1

3

Czz Tb y xz

Czz yzz T

A hk I h

IA l h

κλκ

= + ⋅ + ⋅ −

. (4.40)

U tablici 4.33. prikazane su vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja, kao i vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na srednja normalna naprezanja λ , dobivene u donjoj točki

struka C, na sredini raspona obostrano ukliještenog T−profila omjera l/h = 5. Štap je pri

tome opterećen jednoliko raspodijeljenim opterećenjem iznosa 1 N/mmzq = . Vrijednosti

navedene u tablici određene su prema teoriji STKŠ i MKE, za različite konfiguracije

slaganja laminata u poprečnom presjeku. U odnosu na pomake utjecaj smicanja na srednje

normalno naprezanje nije toliko izražen, što se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja

λ . Također vidljivo je iz tablice vrlo dobro slaganje rezultata, za sve konfiguracije

laminata u presjeku.

116

Tablica 4.33. Srednje normalno naprezanjesrxσ (MPa) te faktori utjecaja smicanja na

srednje normalno naprezanje λ u donjoj točki struka C obostrano ukliještenog T−profila

(l/h = 5).


prema teoriji STKŠ i MKE, prikazana je tablicom 4.34.


teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni T−profil (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 2,997 2,460 [15/-15]4s 3,067 2,418 [30/-30]4s 4,419 3,912 [45/-45]4s 4,607 4,861 [60/-60]4s 2,830 3,849 [75/-75]4s 1,293 1,945 [±90]4s 0,831 0,621 [0/90]4s 1,507 1,122

Kod omjera l/h = 3 veći je utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje, što se vidi iz

vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ koje za orijentaciju [0]16 dosežu prema teoriji

STKŠ iznose od λ = 1,926 ( )0ξε = , odnosno λ = 1,907 ( )0ξσ = . Zbog različite

definicije rubnih uvjeta kod analitičkog i numeričkog modela, odstupanja od rezultata koje

daje MKE nešto su veća te iznose 13,597% ( )0ξε = te 12,459% ( )0ξσ = .

Utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje je manje izražen kod relativno dugih

štapova pa tako za omjer l/h = 10 faktori utjecaja smicanja maksimalne iznose od

λ = 1,083 ( )0ξε = , odnosno λ = 1,081 ( )0ξσ = , poprimaju za konfiguraciju slaganja

[0]16.



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 2,404 2,392 2,334 1,333 1,326 1,295 [15/-15]4s 2,267 2,252 2,199 1,257 1,249 1,220 [30/-30]4s 2,081 2,071 1,993 1,154 1,148 1,106 [45/-45]4s 1,984 1,989 1,896 1,100 1,103 1,052 [60/-60]4s 1,955 1,975 1,902 1,084 1,095 1,055 [75/-75]4s 1,977 1,989 1,951 1,096 1,103 1,082 [±90]4s 2,003 1,999 1,987 1,111 1,108 1,102 [0/90]4s 2,204 2,195 2,171 1,222 1,217 1,204

117

Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja po pojasu obostrano ukliještenog T−profila


*2

24z


y zz y s


I A A I t

κσ = − ⋅ − ⋅ + − ∫ , (4.41)

dok je raspodjela srednjeg normalnog naprezanja po struku definirana s:

*2

24z

ysr b b xz bx z z z

y zz y s


I A A I t

κσ = ⋅ + ⋅ + − ∫ , (4.42)

pri čemu je raspodjela integrala *

z

y

s

Sds

t∫ na pojasu i struku dana izrazima (4.37) i (4.39).

Na slici 4.28. dan je prikaz raspodjele srednjeg normalnog naprezanja po pojasu, na sredini

raspona obostrano ukliještenog T−profila omjera l/h = 5.

Slika 4.28. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na pojasu obostrano ukliještenog


Na slici 4.28. može se uočiti vrlo dobro slaganje rezultata dobivenih prema teoriji STKŠ te

MKE, za različite konfiguracije slaganja laminata u poprečnom presjeku.

118

4.4. U−profil

Tankostjeni U−profil, prikazan na slici 4.29., zadnji je oblik poprečnog presjeka uzet u

razmatranje.

b

yh

T

z

A

BC

t0

t1P

z

y

C

P

A

B

T

ATh

CTh

CPh

Slika 4.29. Tankostjeni U−profil.

Karakteristične dimenzije poprečnog presjeka su dane s:

0 1

50 mm;

2,08 mm,

b h

t t

= == =

(4.43)

pri čemu su laminati u poprečnom presjeku napravljeni od šesnaest slojeva postavljenih

simetrično u odnosu na srednju plohu poprečnog presjeka.

Za zglobno-oslonjeni U−profil, vertikalni pomak poprečnog presjeka na sredini raspona

može se prema teoriji STKŠ prikazati preko produkta faktora utjecaja smicanja na pomake

η i pomaka poprečnog presjeka kao krute figure bw , odnosno prema izrazima (4.4)-(4.6).

Srednje normalno naprezanje na sredini raspona, u točki A lijeve vertikalne stjenke

(Slika 4.29.), u ovom je slučaju definirano s:

ysr Ax T

y

Mh

Iσ λ= − ⋅ ⋅ , (4.44)

gdje je ATh udaljenost težišta poprečnog presjeka od točke A. 2 / 8y zM q l= je moment

savijanja na sredini raspona zglobno-oslonjenog štapa. Faktor utjecaja smicanja na srednje

normalno naprezanje može se prikazati kao:

119

( )2

21 8 1

3

Azz Tb y xz

Azz yzz T

A hk I h

IA l h

κλκ

= + ⋅ − ⋅ −

. (4.45)

Smična površina /zz zzA A κ= , odnosno faktori smicanja xzκ i zzκ , mogu se za U−profil

odrediti prema [13] iz sljedećih izraza:

( )

( )( )21 1 2

4 1 2 2xzρ ψ

κψ ψ

+ +=

+ +, (4.46)

i:

( ) ( )

( ) ( )

32 3 4 5 2

2 2

3 2 8 55 140 160 80 16 5 1 2

20 1 2 2zz

ψ ψ ψ ψ ψ ψρ ψκ

ψ ψ ψ

+ + + + + + + =+ +

, (4.47)

gdje je 0 1/A Aψ = , /b hρ = . 1 1A bt= i 0 0A ht= su površine pojasa i lijeve odnosno desne

vertikalne stjenke poprečnog presjeka U−profila.

Aksijalni moment tromosti oko osi y U−profila, može se odrediti iz sljedećeg izraza:

( )2

02

3 1 2yI A hψψ

+=+

. (4.48)

Za zglobno-oslonjeni U−profil omjera l/h = 3, opterećen jednoliko raspodijeljenim

opterećenjem iznosa 1 N/mmzq = , prikazane su u tablici 4.35. vrijednosti vertikalnog

pomaka poprečnog presjeka, kao i vrijednosti faktora utjecaja smicanja na vertikalne

pomake η , dobivene na sredini raspona štapa. Za različitu konfiguraciju slaganja laminata,

vrijednosti navedene u tablici su određene prema teoriji STKŠ te MKE. Vidljivo je iz

tablice 4.35. izvrsno slaganje rezultata dobivenih razvijenim analitičkim modelom (teorija

STKŠ) temeljenim na pretpostavci da je 0ξσ = , s rezultatima koje daje metoda konačnih

elemenata (MKE). To se posebno odnosi na laminate kod kojih su materijalne osi vlakana

paralelne s uzdužnom osi štapa (unidirectional laminates) te na laminate kod kojih su

vlakna usmjerena pod kutevima 0° i 90° (cross-ply laminates). S obzirom na vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na pomake η , može se uočiti da je u odnosu na prethodno

razmatrane oblike poprečnog presjeka, te za iste rubne i isti omjer l/h, utjecaj smicanja

najmanje izražen kod tankostjenog U−profila.

120


zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Prikaz promjene vertikalnih pomaka poprečnog presjeka u ovisnosti o orijentaciji vlakana,

na sredini raspona, dan je slikom 4.30.

Slika 4.30. Vertikalni pomak zglobno-oslonjenog U−profila (l/h = 3).

Uočava se sa slike 4.30. da s povećanjem kuta materijalnih osi rastu vrijednosti vertikalnih

pomaka poprečnog presjeka, dobivene prema klasičnoj teoriji savijanja, dok s druge strane

funkcije raspodjele pomaka prema teoriji STKŠ postižu minimum unutar raspona

orijentacije vlakana.

Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η , dobivenih prema teoriji

STKŠ i MKE za zglobno-oslonjeni U−profil omjera l/h = 3, prikazana je tablicom 4.36. S

obzirom na pretpostavku da je 0ξσ = , proizlazi iz tablice da je najveće odstupanje od

5,846% dobiveno za konfiguraciju slaganja [60/-60]4s.


Vertikalni pomaci na sredini raspona (x = l/2) Faktori utjecaja smicanja na pomake η

STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 3,347∙10-3 3,376∙10-3 3,367∙10-3 2,416 2,387 2,431 2,381 [15/-15]4s 3,139∙10-3 3,223∙10-3 3,222∙10-3 2,092 2,059 2,148 2,058 [30/-30]4s 3,112∙10-3 3,441∙10-3 3,385∙10-3 1,656 1,632 1,802 1,606 [45/-45]4s 3,670∙10-3 4,378∙10-3 4,186∙10-3 1,426 1,437 1,627 1,374 [60/-60]4s 4,664∙10-3 5,408∙10-3 5,109∙10-3 1,359 1,405 1,489 1,327 [75/-75]4s 5,642∙10-3 6,013∙10-3 5,824∙10-3 1,409 1,439 1,455 1,394 [±90]4s 6,115∙10-3 6,204∙10-3 6,198∙10-3 1,472 1,462 1,492 1,461 [0/90]4s 4,039∙10-3 4,083∙10-3 4,050∙10-3 1,944 1,924 1,950 1,909

121


za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -0,598 0,276 [15/-15]4s -2,576 0,036 [30/-30]4s -8,064 1,655 [45/-45]4s -12,307 4,607 [60/-60]4s -8,718 5,846 [75/-75]4s -3,113 3,261 [±90]4s -1,325 0,101 [0/90]4s -0,273 0,818

Kod omjera l/h = 5 utjecaj smicanja na vertikalne pomake je manje izražen, što se vidi iz

maksimalnih vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η koje za konfiguraciju [0]16

dosežu prema teoriji STKŠ iznos od η = 1,510 ( )0ξε = , odnosno η = 1,499 ( )0ξσ = .

Pri tome su odstupanja od rezultata koje daje MKE −1,279% ( )0ξε = i 0,112% ( )0ξσ = .

Za konfiguraciju slaganja [0/90]4s dobivene vrijednosti faktora η iznose prema teoriji

STKŠ: η = 1,340 ( )0ξε = , odnosno η = 1,332 ( )0ξσ = . Odstupanja od rezultata koje

daje MKE dosežu za ovu konfiguraciju iznos od −1,030% ( )0ξε = te 0,542% ( )0ξσ = .

Također kod omjera l/h = 5 je i za ostale konfiguracije postignuto bolje slaganje rezultata

kada se pretpostavi da je 0ξσ = unutar analitičkog modela. U ovom je slučaju maksimalno

odstupanje od 2,635% dobiveno za konfiguraciju slaganja [60/-60]4s.

Kod štapa s omjerom l/h = 10, maksimalne vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake

iznose prema teoriji STKŠ: η = 1,128 ( )0ξε = te η = 1,125 ( )0ξσ = .

Za zglobno-oslonjeni U−profil omjera l/h = 3, prikazane su u tablici 4.37. vrijednosti

srednjeg normalnog naprezanja te vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ , dobivene u

točki A lijeve vertikalne stjenke, na sredini raspona štapa (Slika 4.29.). U odnosu na

vertikalne pomake, utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje nije toliko izražen, što

se vidi iz vrijednosti faktora λ prikazanih tablicom. Također vidljivo je iz tablice izvrsno

slaganje rezultata srednjih normalnih naprezanja, dobivenih prema teoriji STKŠ i MKE, za

sve konfiguracije slaganja laminata u poprečnom presjeku. Različite pretpostavke unutar

konstitutivnih izraza analitičkog modela ne uzrokuju značajnije odstupanje vrijednosti

naprezanja.

122


srednje normalno naprezanje λ u točki A lijeve vertikalne stjenke zglobno-oslonjenog

U−profila (l/h = 3).


prema teoriji STKŠ i MKE, prikazana je tablicom 4.38.


teoriji STKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 2,545 2,087 [15/-15]4s 1,870 1,326 [30/-30]4s 1,690 1,277 [45/-45]4s 1,665 1,870 [60/-60]4s 1,148 1,979 [75/-75]4s 0,546 1,084 [±90]4s 0,417 0,243 [0/90]4s 1,365 1,040

Iz tablice 4.38. slijedi da su najveća odstupanja dobivena za konfiguraciju slaganja [0]16, za

obje hipoteze unutar analitičkog modela. Kod štapa omjera l/h = 5 utjecaj smicanja na

srednje normalno naprezanje je manje izražen, što se vidi iz maksimalnih vrijednosti

faktora utjecaja smicanja λ koje za konfiguraciju [0]16 dosežu prema teoriji STKŠ iznose

od λ = 1,098 ( )0ξε = , odnosno λ = 1,096 ( )0ξσ = . Pri tome su odstupanja od rezultata

koje daje MKE 0,474% ( )0ξε = te 0,287% ( )0ξσ = .

Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u horizontalnoj stjenci, na sredini raspona

štapa, definirana je sljedećim izrazom:



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 -1,376 -1,370 -1,342 1,272 1,266 1,241 [15/-15]4s -1,309 -1,302 -1,285 1,210 1,203 1,188 [30/-30]4s -1,218 -1,213 -1,198 1,126 1,121 1,107 [45/-45]4s -1,170 -1,173 -1,151 1,082 1,084 1,064 [60/-60]4s -1,157 -1,166 -1,143 1,069 1,077 1,057 [75/-75]4s -1,167 -1,173 -1,161 1,078 1,084 1,073 [±90]4s -1,180 -1,178 -1,175 1,090 1,088 1,086 [0/90]4s -1,278 -1,274 -1,261 1,181 1,177 1,166

123

*2

8z

ysr B Bb b xz bzx T z T z z

y zz y s

Sk k h kq lh q h q q ds

I A A I t

κσ = + + − ∫ , (4.49)

gdje je:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2*

2

2*

2

0 / 2 ,2 2 3

0 / 2 .2 2 3

z

z

BB B Ty AT z Tz z T

s

BB B Ty AT z Tz z T

s

hS h s hs b ds b s h

t

hS h s hs b ds b s h

t

≥ ≥ − = − + + −

≤ ≤ = − + −

∫

∫

(4.50)

Prema izrazima (4.49) i (4.50), na slici 4.31. prikazana je raspodjela srednjeg normalnog

naprezanja u horizontalnoj stjenci, na sredini raspona zglobno-oslonjenog U−profila

omjera l/h = 5.

Slika 4.31. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u horizontalnoj stjenci

zglobno−oslonjenog U−profila (l/h = 5).

Pomak poprečnog presjeka na sredini raspona obostrano ukliještenog U−profila može se

opisati izrazima (4.4), (4.11) i (4.12). Za iste rubne uvjete, srednje normalno naprezanje na

sredini raspona, u točki A lijeve vertikalne stjenke, definirano je izrazom (4.44), gdje se

faktor utjecaja smicanja λ u ovom slučaju svodi na:

124

( )2

21 24 1

3

Azz Tb y xz

Azz yzz T

A hk I h

IA l h

κλκ

= + ⋅ − ⋅ −

. (4.51)

U tablici 4.39. dane su vrijednosti vertikalnog pomaka, kao i vrijednosti faktora utjecaja

smicanja η , dobivene na sredini raspona obostrano ukliještenog U−profila omjera l/h = 5.


obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).

Rezultati vertikalnih pomaka prikazani u tablici 4.39. dobiveni su prema teoriji STKŠ,

odnosno MKE, za različite konfiguracije slaganja laminata u poprečnom presjeku. Vidljivo

je iz tablice da se vrijednosti dobivene s pomoću MKE bolje slažu s rezultatima koje daje

teorija STKŠ, za slučaj kada se u analitičkom modelu zanemari duljinska deformacija u

smjeru konture srednje linije.

U tablici 4.40. prikazana su odstupanja između vrijednosti faktora utjecaja smicanja na

pomake koje daju razvijeni analitički model te MKE.


za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 4,174 4,798 [15/-15]4s 2,407 4,689 [30/-30]4s -2,272 7,482 [45/-45]4s -6,466 11,974 [60/-60]4s -4,556 12,419 [75/-75]4s -0,454 7,112 [±90]4s 0,980 2,142 [0/90]4s 3,183 3,996



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 7,587∙10-3 7,632∙10-3 7,283∙10-3 3,550 3,496 3,408 3,337 [15/-15]4s 6,868∙10-3 7,021∙10-3 6,706∙10-3 2,966 2,906 2,897 2,776 [30/-30]4s 6,325∙10-3 6,956∙10-3 6,472∙10-3 2,181 2,138 2,232 1,989 [45/-45]4s 7,019∙10-3 8,403∙10-3 7,504∙10-3 1,767 1,787 1,890 1,597 [60/-60]4s 8,720∙10-3 1,027∙10-2 9,136∙10-3 1,646 1,729 1,726 1,538 [75/-75]4s 1,073∙10-2 1,155∙10-2 1,078∙10-2 1,736 1,790 1,745 1,672 [±90]4s 1,186∙10-2 1,200∙10-2 1,174∙10-2 1,850 1,832 1,832 1,794 [0/90]4s 8,655∙10-3 8,723∙10-3 8,388∙10-3 2,700 2,664 2,617 2,562

125

Za laminate kod kojih su vlakna usmjerena pod nekim kutom u odnosu na uzdužnu os

štapa (angle-ply laminates), odstupanja rezultata prikazana tablicom 4.40. posljedica su

redukcije dvodimenzionalnog problema na jednodimenzionalni unutar analitičkog modela,

a što se postiže zanemarivanjem duljinske deformacije odnosno normalnog naprezanja u

smjeru konture srednje linije.

Kod omjera l/h = 3 utjecaj smicanja na pomake je izraženiji pa tako maksimalno dobivene

vrijednosti faktora utjecaja smicanja η , za konfiguraciju slaganja [0]16, iznose prema

teoriji STKŠ η = 8,083 ( )0ξε = , odnosno η = 7,935 ( )0ξσ = . Pri tome su odstupanja od

rezultata koje daje MKE 6,966% ( )0ξε = te 7,248% ( )0ξσ = . Analogno razmatranom

problemu obostrano ukliještenog U−profila omjera l/h = 5, i u ovom se slučaju za ostale

konfiguracije slaganja laminata može pokazati da postoji dobro slaganje rezultata kada se u

konstitutivnim izrazima analitičkog modela zanemari duljinska deformacija u smjeru

konture srednje linije poprečnog presjeka. Najveće odstupanje od 4,943% pri tome je

dobiveno za konfiguraciju slaganja [15/-15]4s.


faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ , dobivene u točki A lijeve

vertikalne stjenke, na sredini raspona obostrano ukliještenog U−profila omjera l/h = 5. S

obzirom na različite konfiguracije slaganja, vrijednosti prikazane u tablici dobivene su

prema teoriji STKŠ te MKE.


srednje normalno naprezanje λ u točki A lijeve vertikalne stjenke obostrano ukliještenog


Iz tablice 4.41. uočava se vrlo dobro slaganje rezultata dobivenih prema spomenutim



STKŠ MKE

STKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 -1,296 -1,290 -1,256 1,294 1,288 1,254 [15/-15]4s -1,229 -1,222 -1,189 1,226 1,219 1,187 [30/-30]4s -1,138 -1,133 -1,084 1,136 1,131 1,082 [45/-45]4s -1,090 -1,093 -1,037 1,088 1,090 1,035 [60/-60]4s -1,076 -1,086 -1,044 1,074 1,084 1,042 [75/-75]4s -1,087 -1,093 -1,071 1,085 1,091 1,070 [±90]4s -1,100 -1,098 -1,090 1,098 1,096 1,088 [0/90]4s -1,198 -1,194 -1,178 1,196 1,192 1,176

126

metodama, za sve konfiguracije laminata u poprečnom presjeku. Usporedba vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje u točki A lijeve vertikalne

stjenke obostrano ukliještenog U−profila (l/h = 5), prikazana je tablicom 4.42.


teoriji STKŠ te MKE za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )STKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 3,215 2,726 [15/-15]4s 3,391 2,803 [30/-30]4s 4,997 4,540 [45/-45]4s 5,150 5,378 [60/-60]4s 3,123 4,033 [75/-75]4s 1,431 2,013 [±90]4s 0,919 0,731 [0/90]4s 1,705 1,357

Kod obostrano ukliještenog U−profila omjera l/h = 3 utjecaj smicanja na srednje normalno

naprezanje je izraženiji, što se vidi iz maksimalnih vrijednosti faktora utjecaja smicanja na

srednje normalno naprezanja λ , koje za konfiguraciju slaganja [0]16 dosežu prema teoriji

STKŠ iznos od λ = 1,817 ( )0ξε = , odnosno λ = 1,800 ( )0ξσ = . Pri tome su odstupanja

od rezultata koje daje MKE nešto veća te iznose 14,149% ( )0ξε = , odnosno

13,079% ( )0ξσ = .

Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u lijevoj vertikalnoj stjenci, na sredini raspona

štapa, može se opisati slijedećim izrazom:

*2

,24

z

ysr b b xz bzx z z z

y zz y s

Sk k h kq lz q z q q ds

I A A I t

κσ = + + − ∫ (4.52)

gdje je na struku:

( )* 22

2 3z

yB A Az zT z T T

s

S s sh s h ds h

t

− ≤ ≤ = − −

∫ . (4.53)

Na slici 4.32. prikazana je raspodjela srednjeg normalnog naprezanja na lijevoj vertikalnoj

stjenci, na sredini raspona obostrano ukliještenog U−profila omjera l/h = 3.

127

Slika 4.32. Raspodjela srednjeg normalnog naprezanja u lijevoj vertikalnoj stjenci

obostrano ukliještenog U−profila (l/h = 3).

128

5. Analiza pomaka i srednjeg normalnog naprezanja pri uvijanju tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka

U ovom je poglavlju prikazana analiza utjecaja smicanja na kutove uvijanja, horizontalne

pomake (pomake u ravnini okomitoj na ravninu simetrije) te srednja normalna naprezanja

relativno kratkih tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka

opterećenih na uvijanje. Vidljivo je iz analitičkih izraza za pomake i srednje normalno

naprezanje kod uvijanja da utjecaj smicanja na pomake i srednje normalno naprezanje

postoji neovisno o tipu opterećenja. Zbog činjenice da je utjecaj smicanja na srednje

normalno naprezanje izraženiji pri djelovanju kontinuiranog opterećenja u obzir su uzeti

samo štapovi opterećeni jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja oko pola P.

Analiza je pri tome ograničena na štapove čiji poprečni presjeci imaju jednu, odnosno dvije

osi simetrije. S obzirom na rubne uvjete razmatrani su zglobno-oslonjeni te obostrano

ukliješteni tankostjeni kompozitni štapovi (Slika 5.1.). Svi analizirani oblici štapova

napravljeni su od kompozitnog (staklo/epoksi) materijala s elastičnim konstantama

definiranim prema izrazu (4.2). Pri tome su poprečni presjeci štapova sastavljeni su od

simetričnih, uravnoteženih laminata pri čemu se pojedini sloj laminata sastoji od

istosmjerno-orijentiranih vlakana smještenih unutar matrice (unidirectional laminas).

Analogno slučaju savijanja, numerička verifikacija rezultata dobivenih razvijenim

analitičkim modelom dana je kroz usporedbu s rezultatima koje daje programski paket

ADINA koji se temelji na metodi konačnih elemenata [66]. Također, u procesu

modeliranja korišteni su 9-čvorni ljuskasti konačni elementi s pet stupnjeva slobode u

čvoru. Rubni uvjeti numeričkog modela prikazani su na slici 4.3., pri čemu je kod

modeliranja korištena simetrija pa je modelirana polovica štapa od oslonca do sredine

raspona.

Utjecaj smicanja na pomake i srednja normalna naprezanja promatran je kroz vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na pomake η te vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednja

normalna naprezanja λ . Za analitički model faktor utjecaja smicanja na pomake η je

definiran iz omjera maksimalnih vrijednosti kuta uvijanja, dobivenih prema teoriji uvijanja

tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka (UTKŠ), odnosno prema

klasičnoj Vlasovljevoj teoriji uvijanja tankostjenih štapova. Za razliku od analitičkog, kod

numeričkog je modela faktor utjecaja smicanja na pomake η definiran iz omjera

maksimalnih vrijednosti kuta uvijanja koje daju metoda konačnih elemenata (MKE) te

klasična Vlasovljeva teorija. Analogno kutu uvijanja dodatno je za poprečne presjeke s

129

jednom osi simetrije definiran i faktor utjecaja smicanja na pomake u ravnini okomitoj na

ravninu simetrije, a koji je određen iz omjera maksimalnih vrijednosti horizontalnih

pomaka određene točke poprečnog presjeka. Faktor utjecaja smicanja na srednje normalno

naprezanje λ određen je iz omjera maksimalnih vrijednosti srednjih normalnih naprezanja

koje daju analitički odnosno numerički model, s rezultatima dobivenih prema klasičnoj

Vlasovljevoj teoriji.

Slika 5.1. Zglobno-oslonjeni i obostrano ukliješteni štapovi opterećeni jednoliko

raspodijeljenim momentima uvijanja.

5.1. I-profil s dvije osi simetrije

Prvi razmatrani oblik poprečnog presjeka odnosi se na tankostjeni I−profil s dvije osi

simetrije (Slika 4.4.), čije su karakteristične dimenzije poprečnog presjeka definirane s

(4.3). Za zglobno oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije kut uvijanja (izraz (3.103))

poprečnog presjeka na sredini raspona štapa može se prema teoriji uvijanja tankostjenih

kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka (UTKŠ) prikazati izrazom:

tα η α= ⋅ , (5.1)

gdje je faktor utjecaja smicanja na pomake η definiran s:

�( )

2

2 cosh 11

cosh 2cosh 2b

t sa P

vkGI

k I v v vη

−= +

− +. (5.2)

U gornjem izrazu �tGI predstavlja torzijsku krutost kod Saint-Venant-ovog čistog uvijanja,

dok se parametar v može odrediti iz:

130

�

2t

a

GIlv

k Iω= . (5.3)

tα u izrazu (5.1) predstavlja zakret poprečnog presjeka kao krute figure, koji je na sredini

raspona zglobno-oslonjenog I−profila jednak:

4 2

4

cosh 2cosh 2

2cosh16P

ta

m l v v v

vk I vωα

− +=

. (5.4)

Za isti oblik presjeka, srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka

(Slika 4.4.) na sredini raspona štapa, može se prema izrazu (3.101) prikazati kao:

srx

B

Iωσ λ ω= ⋅ ⋅ , (5.5)

gdje je / 4bhω = sektorska koordinata točke A poprečnog presjeka. Faktor utjecaja

smicanja λ se za ovaj primjer svodi na:

2

1 112

sb P

sP

I k I bm

B IIω

ωω

λ

= + −

, (5.6)

pri čemu je bimoment B na sredini raspona zglobno-oslonjenog I−profila definiran s:

2

2

cosh 1

cosh4P

l vB m

vv

− =

. (5.7)

Imajući u vidu da je za ovaj slučaj coshPm m vω= , može se bimoment na sredini raspona

prikazati i kao:

�

( )cosh 1a

t

k IB m v

GIω

ω= − , (5.8)

pa se faktor utjecaja smicanja λ svodi na:

�

( )21

1 1cosh 1 12

st b P

saP

GI k I b

k v II ωλ

= + − −

. (5.9)

Prema [13] faktor smicanja ωωκ za I−profil s dvije osi simetrije je jednak 6

5, dok se

polarni moment tromosti može odrediti iz slijedećeg izraza:

131

21

1

2PI A h= , (5.10)

gdje je 1 1A bt= površina donjeg, odnosno gornjeg pojasa poprečnog presjeka. Sektorski

moment tromosti Iω definiran je s:

2

41 24

I A hωρ= , (5.11)

gdje je /b hρ = .

Za štap omjera l/h = 3, opterećen jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja iznosa

Nmm100

mmPm = oko pola P, prikazane su u tablici 5.1. vrijednosti kuta uvijanja α te

vrijednosti faktora utjecaja smicanja η , dobivene na sredini raspona zglobno-oslonjenog

I−profila s dvije osi simetrije. Vrijednosti navedene u tablici određene su prema teoriji

uvijanja tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog presjeka (UTKŠ),

odnosno s pomoću metode konačnih elemenata (MKE).

Tablica 5.1. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η zglobno-oslonjenog


U odnosu na slučaj savijanja štapa istih geometrijskih karakteristika te istih rubnih uvjeta,

uočava se iz tablice 5.1. da utjecaj smicanja kod uvijanja nije toliko izražen, što se najbolje

vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η . Promjena kuta uvijanja s

povećanjem kuta između materijalnih osi te uzdužne osi štapa, prikazana je na sredini

raspona (x = l/2) slikom 5.2.


Kutevi uvijanja na sredini raspona (x = l/2) Faktori utjecaja smicanja na pomake

UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 7,283∙10-4 7,376∙10-4 7,452∙10-4 1,653 1,640 1,692 1,657 [15/-15]4s 7,163∙10-4 7,395∙10-4 7,480∙10-4 1,504 1,488 1,571 1,506 [30/-30]4s 7,730∙10-4 8,585∙10-4 8,632∙10-4 1,302 1,291 1,455 1,299 [45/-45]4s 9,655∙10-4 1,143∙10-3 1,134∙10-3 1,196 1,201 1,405 1,192 [60/-60]4s 1,249∙10-3 1,423∙10-3 1,394∙10-3 1,165 1,186 1,301 1,163 [75/-75]4s 1,491∙10-3 1,573∙10-3 1,552∙10-3 1,188 1,202 1,237 1,187 [±90]4s 1,589∙10-3 1,616∙10-3 1,620∙10-3 1,217 1,213 1,241 1,216 [0/90]4s 9,456∙10-4 9,594∙10-4 9,588∙10-4 1,435 1,426 1,456 1,426

132

Slika 5.2. Kut uvijanja zglobno oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Vidljivo je sa slike 5.2. izvrsno slaganje rezultata koje daju teorija UTKŠ te MKE, posebno

za slučaj kada se u konstitutivnim izrazima analitičkog modela zanemari normalno

naprezanje u smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka ( )0ξσ = . Sa slike se

također mogu uočiti i odstupanja od rezultata koje daje klasična Vlasovljeva teorija koja

zanemaruje kutnu deformaciju u srednjoj plohi poprečnog presjeka. Usporedba faktora

utjecaja smicanja η , dobivenih prema teoriji UTKŠ i MKE, prikazana je tablicom 5.2.

Tablica 5.2. Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake η po teoriji UTKŠ te MKE

za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -2,265 -1,020 [15/-15]4s -4,244 -1,137 [30/-30]4s -10,446 -0,541 [45/-45]4s -14,827 0,865 [60/-60]4s -10,378 2,062 [75/-75]4s -3,930 1,330 [±90]4s -1,876 -0,200 [0/90]4s -1,381 0,061

Za model temeljen na pretpostavci 0ξσ = , slijedi iz tablice 5.2. da je najveće odstupanje

od 2,062% dobiveno za konfiguraciju slaganja [60/-60]4s.

Za isti primjer, prema izrazima (5.5) i (5.6), prikazane su u tablici 5.3. vrijednosti srednjeg

normalnog naprezanja te vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno

133

naprezanje λ , dobivene u točki A poprečnog presjeka na sredini raspona. Za različite

konfiguracije slaganja rezultati u tablici dobiveni su prema teoriji UTKŠ te prema MKE.


srednje normalno naprezanje λ u točki A poprečnog presjeka zglobno-oslonjenog


Promjena srednjeg normalnog naprezanja s orijentacijom vlakana, u točki A presjeka na

sredini raspona, prikazana je slikom 5.3.

Slika 5.3. Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka zglobno-oslonjenog


U odnosu na kut uvijanja poprečnog presjeka, utjecaj smicanja je znatno manje izražen kod

srednjeg normalnog naprezanja, što se vidi iz vrijednosti faktora λ prikazanih tablicom

5.3. Također uočava se iz tablice izvrsno slaganje rezultata dobivenih prema teoriji UTKŠ

te MKE, za obje pretpostavke unutar konstitutivnih izraza analitičkog modela.

Odstupanja između vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje,

dobivenih prema ovim dvjema metodama, prikazana su u tablici 5.4.



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 7,034 7,021 7,010 1,090 1,088 1,087 1,087 [15/-15]4s 6,888 6,871 6,867 1,069 1,067 1,067 1,067 [30/-30]4s 6,671 6,650 6,650 1,041 1,040 1,039 1,040 [45/-45]4s 6,529 6,509 6,505 1,027 1,027 1,023 1,027 [60/-60]4s 6,477 6,476 6,458 1,022 1,025 1,020 1,023 [75/-75]4s 6,517 6,523 5,501 1,026 1,028 1,024 1,025 [±90]4s 6,561 6,554 6,544 1,030 1,029 1,027 1,028 [0/90]4s 6,818 6,808 6,793 1,060 1,059 1,057 1,057

134


teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 0,345 0,158 [15/-15]4s 0,304 0,066 [30/-30]4s 0,321 0,008 [45/-45]4s 0,372 0,065 [60/-60]4s 0,297 0,282 [75/-75]4s 0,243 0,335 [±90]4s 0,265 0,164 [0/90]4s 0,362 0,223

Za štap omjera l/h = 5 navedene su tablicom 5.5. vrijednosti kuta uvijanja α te vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na pomake η , dobivene na sredini raspona zglobno-oslonjenog

I−profila s dvije osi simetrije.

Tablica 5.5. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η zglobno-oslonjenog


U odnosu na štap omjera l/h = 3 utjecaj smicanja je u ovom slučaju manje izražen, što se

vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η prikazanih tablicom 5.5. Najveće

vrijednosti faktora η dobivene su pri tome za konfiguraciju slaganja [0]16. Također uočava

se iz tablice izvrsno slaganje rezultata, posebno kod analitičkog modela temeljenog na

pretpostavci 0ξσ = . Usporedba rezultata koje daju teorija UTKŠ te MKE prikazana je

tablicom 5.6. Za model temeljen na pretpostavci 0ξσ = , slijedi iz tablice da je najveće


S porastom omjera l/h opada utjecaj smicanja na pomake pa je tako za štap omjera l/h = 10,

za konfiguraciju slaganja [0]16, dobiveno da je η = 1,058 ( )0ξσ = . Odstupanje od



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 4,152∙10-3 4,222∙10-3 4,228∙10-3 1,235 1,230 1,258 1,232 [15/-15]4s 4,280∙10-3 4,441∙10-3 4,452∙10-3 1,181 1,175 1,229 1,179 [30/-30]4s 4,961∙10-3 5,521∙10-3 5,532∙10-3 1,108 1,104 1,237 1,107 [45/-45]4s 6,435∙10-3 7,554∙10-3 7,544∙10-3 1,070 1,072 1,255 1,071 [60/-60]4s 8,405∙10-3 9,424∙10-3 9,372∙10-3 1,059 1,067 1,181 1,061 [75/-75]4s 9,962∙10-3 1,042∙10-2 1,037∙10-2 1,067 1,072 1,112 1,068 [±90]4s 1,052∙10-2 1,071∙10-2 1,072∙10-2 1,078 1,076 1,099 1,077 [0/90]4s 5,784∙10-3 5,877∙10-3 5,856∙10-3 1,156 1,153 1,171 1,148

135

rezultata koje daje MKE iznosi u ovom slučaju 0,003%.


za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -1,791 -0,135 [15/-15]4s -3,860 -0,240 [30/-30]4s -10,326 -0,194 [45/-45]4s -14,701 0,129 [60/-60]4s -10,313 0,554 [75/-75]4s -3,949 0,456 [±90]4s -1,899 -0,068 [0/90]4s -1,236 0,526

U tablici 5.7. prikazane su za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije vrijednosti

srednjeg normalnog naprezanja, kao i vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje

normalno naprezanje λ . Rezultati u tablici dobiveni su u točki A (Slika 4.4.) poprečnog

presjeka, na sredini raspona štapa omjera l/h = 5. Za različite konfiguracije slaganja,

navedene vrijednosti određene su prema teoriji UTKŠ te prema MKE. U odnosu na štap

omjera l/h = 3, u ovom je slučaju smicanje znatno manje izraženo, što se vidi iz vrijednosti

faktora utjecaja smicanja λ . Pri tome ne dolazi do značajnijeg odstupanja između rezultata

dobivenih s obzirom na različite hipoteze unutar konstitutivnih izraza analitičkog modela.

Kao i u prethodnom primjeru faktor λ najveće vrijednosti doseže za konfiguraciju

slaganja [0]16.






UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,829∙101 1,827∙101 1,824∙101 1,032 1,031 1,029 1,030 [15/-15]4s 1,807∙101 1,804∙101 1,802∙101 1,025 1,024 1,022 1,023 [30/-30]4s 1,763∙101 1,754∙101 1,756∙101 1,015 1,014 1,011 1,016 [45/-45]4s 1,719∙101 1,703∙101 1,708∙101 1,009 1,009 1,003 1,013 [60/-60]4s 1,699∙101 1,688∙101 1,691∙101 1,008 1,009 1,003 1,011 [75/-75]4s 1,715∙101 1,712∙101 1,711∙101 1,009 1,010 1,007 1,010 [±90]4s 1,731∙101 1,728∙101 1,727∙101 1,010 1,010 1,009 1,010 [0/90]4s 1,794∙101 1,793∙101 1,789∙101 1,021 1,021 1,019 1,019

136

Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje, koje daju

teorija UTKŠ te MKE, prikazana je tablicom 5.8.


teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 0,303 0,199 [15/-15]4s 0,280 0,106 [30/-30]4s 0,378 -0,124 [45/-45]4s 0,669 -0,322 [60/-60]4s 0,483 -0,208 [75/-75]4s 0,201 0,017 [±90]4s 0,187 0,057 [0/90]4s 0,299 0,199

Uočava se iz tablice 5.8. izvrsno slaganje rezultata dobivenih prema teoriji UTKŠ te MKE,

za sve konfiguracije laminata u poprečnom presjeku. Kod omjera l/h = 10 utjecaj smicanja

na srednje normalno naprezanje može se zanemariti, budući da faktor utjecaja smicanja (za

konfiguraciju slaganja [0]16) poprima u ovom slučaju prema teoriji UTKŠ vrijednost od

λ = 1,008 ( )0ξσ = .

Sljedeći primjer uzet u razmatranje odnosi se na obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi

simetrije, opterećen jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja iznosa Nmm

100mmPm =

oko pola P. Karakteristične dimenzije poprečnog presjeka, kao i konfiguracije slaganja

laminata u poprečnom presjeku, analogne su prethodno razmatranom problemu zglobno-

oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije.

Može se kut uvijanja poprečnog presjeka na sredini raspona štapa za ovaj slučaj opisati

izrazom (5.1), gdje je faktor utjecaja smicanja na pomak η definiran s:

�( )2 cosh 1

1sinh 2cosh 2

bt s

a P

vkGI

v v vk Iη

−= +

− +. (5.12)

Izraz za kut uvijanja poprečnog presjeka kao krute figure tα , svodi se u ovom slučaju na:

�

2 sinh 2cosh 2

sinh8P

tt

m l v v v

v vGIα − + =

. (5.13)

137

Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka, na sredini raspona obostrano

ukliještenog štapa, može se i za ovaj primjer opisati izrazom (5.5). Faktor utjecaja smicanja

na srednje normalno naprezanje λ definiran je s (5.6), dok izraz za bimoment B poprima

sljedeći oblik:

2

21

sinh4P

l vB m

vv

= −

. (5.14)

Imajući u vidu da je za ovaj slučaj sinh

Pv

m mvω= , može se bimoment na sredini raspona

prikazati i kao:

�

sinha

t

k I v vB m

vGIω

ω−= . (5.15)

Supstitucijom izraza (5.15) u izraz (5.6) svodi se faktor utjecaja smicanja na srednje

normalno naprezanje λ na sljedeći oblik:

�

( )2

1 1sinh 12

st b P

saP

GI k I bv

k v v II ωλ

= + − −

. (5.16)

Za omjer l/h = 3 prikazane su u tablici 5.9. vrijednosti kuta uvijanja, kao i vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na pomake η , određene na sredini raspona obostrano

ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije. Za različite konfiguracije slaganja, rezultati

navedeni u tablici dobiveni su prema teoriji UTKŠ te s pomoću MKE.

Tablica 5.9. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η za obostrano ukliješteni

I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Iz tablice 5.9. slijedi da u usporedbi sa zglobno-oslonjenim štapom istih geometrijskih


Kutevi uvijanja na sredini raspona (x = l/2) Faktori utjecaja smicanja na pomake η

UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 3,779∙10-4 3,797∙10-4 3,740∙10-4 4,270 4,202 4,226 4,138 [15/-15]4s 3,375∙10-4 3,444∙10-4 3,387∙10-4 3,522 3,444 3,535 3,388 [30/-30]4s 3,015∙10-4 3,307∙10-4 3,146∙10-4 2,515 2,460 2,625 2,340 [45/-45]4s 3,252∙10-4 3,897∙10-4 3,515∙10-4 1,984 2,011 2,145 1,814 [60/-60]4s 3,995∙10-4 4,737∙10-4 4,212∙10-4 1,830 1,935 1,930 1,721 [75/-75]4s 4,959∙10-4 5,358∙10-4 5,012∙10-4 1,945 2,014 1,967 1,885 [±90]4s 5,533∙10-4 5,589∙10-4 5,520∙10-4 2,090 2,068 2,086 2,043 [0/90]4s 4,218∙10-4 4,246∙10-4 4,160∙10-4 3,180 3,135 3,137 3,071

138

karakteristika, utjecaj smicanja na pomake je znatno izraženiji kod obostrano ukliještenog

I−profila s dvije osi simetrije. Promjena kuta uvijanja poprečnog presjeka s orijentacijom

vlakana prikazana je slikom 5.4.

Slika 5.4. Kut uvijanja obostrano ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Uočava se sa slike 5.4. da s promjenom orijentacije vlakana rastu vrijednosti kuta uvijanja

dobivene klasičnom Vlasovljevom teorijom, dok s druge strane funkcije raspodjele kuta

uvijanja prema teoriji UTKŠ i MKE postižu minimum unutar raspona orijentacije vlakana.

Također vidljivo i dobro slaganje rezultata koje daju teorija UTKŠ te MKE, posebno za

slučaj kada se kod analitičkog modela zanemari duljinska deformacija u smjeru konture

srednje linije poprečnog presjeka ( )0ξε = . Usporedba vrijednosti faktora utjecaja

smicanja na pomake, dobivenih s pomoću ove dvije metode, prikazana je tablicom 5.10.



Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,036 1,536 [15/-15]4s -0,355 1,688 [30/-30]4s -4,166 5,123 [45/-45]4s -7,478 10,849 [60/-60]4s -5,158 12,456 [75/-75]4s -1,063 6,902 [±90]4s 0,230 1,242 [0/90]4s 1,401 2,075

139

Imajući u vidu odstupanja prikazana tablicom 5.10, slijedi da je najbolje slaganje rezultata

postignuto u slučajevima kada je poprečni presjek štapa sastavljen od laminata kod kojih

su vlakna paralelna s uzdužnom osi štapa (unidirectional laminates), odnosno kada su

vlakna u laminatu orijentirana pod kutevima 0° i 90° (cross-ply laminates). Kod ovih

tipova laminata različita hipoteza u konstitutivnim izrazima analitičkog modela ( 0ξσ = ili

0ξε = ) ne uzrokuje značajnu razliku u vrijednosti kuta uvijanja. S druge strane odstupanja

rezultata su najveća u slučaju kada je poprečni presjek sastavljen od laminata kod kojih su

vlakna orijentirana pod kutevima ± θ (angle-ply laminates) u odnosu na uzdužnu os štapa.

Promjena hipoteze u konstitutivnim izrazima analitičkog modela utječe značajno na

rezultate kod ovog tipa laminata, što se vidi iz tablice 5.10. Budući da numerički model

uzima u obzir normalno naprezanje i duljinsku deformaciju u smjeru konture srednje linije,

rezultati dobiveni s pomoću MKE leže unutar raspona vrijednosti koje daje teorija UTKŠ.

Za isti primjer dane su u tablici 5.11. vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja, kao i

vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ , dobivene u točki

A poprečnog presjeka, na sredini raspona štapa.


srednje normalno naprezanje λ u točki A poprečnog presjeka obostrano ukliještenog


U odnosu na zglobno-oslonjeni štap istih geometrijskih karakteristika, utjecaj smicanja je

znatno izraženiji kod obostrano ukliještenog štapa, što se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja

smicanja λ prikazanih tablicom 5.11.

Promjena srednjeg normalnog naprezanja s orijentacijom vlakana prikazana je slikom 5.5.



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 2,748 2,735 2,682 1,272 1,266 1,242 1,242 [15/-15]4s 2,612 2,597 2,533 1,209 1,203 1,173 1,173 [30/-30]4s 2,427 2,416 2,315 1,125 1,121 1,074 1,075 [45/-45]4s 2,327 2,329 2,218 1,081 1,083 1,031 1,032 [60/-60]4s 2,296 2,313 2,228 1,069 1,077 1,037 1,038 [75/-75]4s 2,319 2,331 2,283 1,078 1,084 1,062 1,062 [±90]4s 2,347 2,343 2,322 1,090 1,088 1,079 1,079 [0/90]4s 2,549 2,541 2,511 1,181 1,177 1,164 1,164

140

Slika 5.5. Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka obostrano

ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije (l/h = 3).


teoriji UTKŠ te MKE, prikazana je tablicom 5.12.


teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 2,441 1,980 [15/-15]4s 3,117 2,555 [30/-30]4s 4,839 4,362 [45/-45]4s 4,894 4,988 [60/-60]4s 3,082 3,835 [75/-75]4s 1,559 2,072 [±90]4s 1,097 0,910 [0/90]4s 1,520 1,189

U usporedbi s odstupanjima dobivenim za zglobno−oslonjeni štap istih geometrijskih

karakteristika, uočava se iz tablice 5.12. da su odstupanja u ovom slučaju nešto veća, što je

posljedica različite definicije rubnih uvjeta kod numeričkog i analitičkog modela.

Za omjer l/h = 5 prikazane su u tablici 5.13. vrijednosti kuta uvijanja α te vrijednosti


ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije.

141

Tablica 5.13. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η za obostrano

ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Usporedba faktora utjecaja smicanja na pomake koje daju teorija UTKŠ te MKE prikazana

je tablicom 5.14.



Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 0,310 1,283 [15/-15]4s -1,178 1,595 [30/-30]4s -6,151 3,828 [45/-45]4s -10,497 6,404 [60/-60]4s -7,478 6,631 [75/-75]4s -2,380 3,709 [±90]4s -0,749 0,741 [0/90]4s 0,257 1,440

Vidljivo je iz tablice 5.14. izvrsno slaganje rezultata koje daju teorija UTKŠ te MKE, za

slučajeve kada su poprečni presjeci štapova sastavljeni od laminata kod kojih su vlakna

paralelna s uzdužnom osi štapa (unidirectional laminates), odnosno u slučaju kad su

vlakna orijentirana pod kutevima 0° i 90° (cross-ply laminates). Veća odstupanja u

vrijednostima se javljaju za laminate kod kojih su vlakna usmjerena pod kutevima ± θ u

odnosu na uzdužnu os štapa, a posljedica su redukcije ravninskog stanja naprezanja na

jednoosno stanje unutar teorije UTKŠ.

Za omjer l/h = 10 najveća vrijednost faktora utjecaja smicanja na pomake dobivena je za

konfiguraciju slaganja [0]16 te iznosi η = 1,289 ( )0ξσ = . Pri tome odstupanje od rezultata

dobivenog s pomoću MKE doseže 0,670%. Također kod većih omjera l/h rezultati koje

daje MKE manje odstupaju od vrijednosti dobivenih prema teoriji UTKŠ, za slučajeve



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,483∙10-3 1,497∙10-3 1,478∙10-3 2,177 2,153 2,171 2,126 [15/-15]4s 1,406∙10-3 1,445∙10-3 1,423∙10-3 1,908 1,880 1,931 1,851 [30/-30]4s 1,422∙10-3 1,573∙10-3 1,515∙10-3 1,546 1,526 1,647 1,470 [45/-45]4s 1,698∙10-3 2,019∙10-3 1,897∙10-3 1,355 1,364 1,514 1,283 [60/-60]4s 2,165∙10-3 2,496∙10-3 2,340∙10-3 1,299 1,337 1,404 1,254 [75/-75]4s 2,613∙10-3 2,776∙10-3 2,676∙10-3 1,340 1,365 1,374 1,317 [±90]4s 2,822∙10-3 2,864∙10-3 2,843∙10-3 1,393 1,385 1,404 1,375 [0/90]4s 1,820∙10-3 1,841∙10-3 1,815∙10-3 1,785 1,769 1,781 1,747

142

kada se u konstitutivnim izrazima analitičkog modela zanemari normalno naprezanje u

smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka ( )0ξσ = . Slijedi tako da je za omjer

l/h = 10, uz pretpostavku 0ξσ = , najveće odstupanje od 2,149% dobiveno za konfiguraciju

slaganja [45/-45]4s.

Za omjer l/h = 5 prikazane su u tablici 5.15. vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja te

vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ , dobivene na sredini raspona obostrano

ukliještenog I−profila s dvije osi simetrije. Za različite konfiguracije slaganja laminata,

vrijednosti navedene u tablici dobivene su prema teoriji UTKŠ , odnosno s pomoću MKE.

Uočava se iz tablice da različite hipoteze unutar konstitutivnih izraza analitičkog modela

ne uzrokuju značajnije odstupanje u vrijednostima dobivenih srednjih normalnih

naprezanja.




Usporedba rezultata koje daju teorija UTKŠ te MKE prikazana je tablicom 5.16.


teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,193 0,994 [15/-15]4s 1,549 1,301 [30/-30]4s 2,303 2,009 [45/-45]4s 2,401 2,171 [60/-60]4s 1,539 1,609 [75/-75]4s 0,810 0,936 [±90]4s 0,619 0,521 [0/90]4s 0,812 0,667



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 6,565 6,552 6,488 1,097 1,095 1,085 1,085 [15/-15]4s 6,422 6,406 6,324 1,075 1,073 1,059 1,059 [30/-30]4s 6,215 6,197 6,075 1,045 1,043 1,022 1,023 [45/-45]4s 6,086 6,072 5,943 1,029 1,030 1,005 1,008 [60/-60]4s 6,040 6,044 5,949 1,024 1,027 1,009 1,012 [75/-75]4s 6,075 6,082 6,026 1,028 1,030 1,020 1,021 [±90]4s 6,114 6,108 6,077 1,032 1,031 1,026 1,026 [0/90]4s 6,354 6,345 6,303 1,065 1,063 1,057 1,057

143

U odnosu na obostrano ukliješteni štap omjera l/h = 3, slijedi iz tablice 5.15. da je utjecaj

smicanja na srednje normalno naprezanje manje izražen u ovom slučaju, što se vidi iz

vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ . S obzirom na

odstupanja prikazana tablicom 5.16., postoji izvrsno slaganje rezultata koje daju teorija

UTKŠ te MKE, za sve konfiguracije laminata u poprečnom presjeku. Za omjer l/h = 10

utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje je zanemariv, budući da faktor utjecaja

smicanja iznosi maksimalno λ = 1,023 ( )0ξσ = , za konfiguraciju slaganja [0]16.

5.2. I-profil s jednom osi simetrije

Sljedeći oblik poprečnog presjeka uzet u razmatranje odnosi se na tankostjeni I−profil s

jednom osi simetrije (Slika 4.12.), čije su karakteristične dimenzije poprečnog presjeka

dane s:

1 2

1 2 0

50 mm; 25 mm;

2.08 mm.

b h b

t t t

= = == = =

(5.17)

Za različite orijentacije vlakana, laminati u poprečnom presjeku napravljeni su od šesnaest

slojeva postavljenih simetrično u odnosu na srednju plohu poprečnog presjeka.

Za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije može se prema teoriji UTKŠ kut

uvijanja poprečnog presjeka α na sredini raspona opisati izrazima (5.1) i (5.2). Pri tome je

izraz za kut uvijanja poprečnog presjeka kao krute figure tα definiran s (5.4). Pomak pola

P u ravnini okomitoj na ravninu simetrije (pomak poprečnog presjeka kao krute figure)

može se odrediti iz sljedećeg izraza:

( ) , .sb PP A Pys

ya Py

k Wv B B W

k W ωκ= − = (5.18)

Pomak točke B poprečnog presjeka (Slika 4.12.) definiran je prema teoriji UTKŠ s:

,B BB P P P t Bv h v hα α η= + = (5.19)

gdje je faktor utjecaja smicanja na horizontalni pomak točke B Bη definiran s:

� ( )

2

2 cosh 11

cosh 2cosh 2t b

B B saP Py

vGI k

kh W v v vη η

η

− = +

− +

. (5.20)

144

U izrazima (5.19) i (5.20) BPh predstavlja udaljenost pola P od točke B poprečnog presjeka.

Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka, na sredini raspona štapa, može

se prema teoriji UTKŠ opisati izrazom (5.5), gdje je 1 / 2BPh bω = sektorska koordinata

točke A poprečnog presjeka. Faktor utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ u

ovom se slučaju svodi na:

( )2

1 121 1

12

s B sP P Pyb

s s BP Py P

I h b W II km

BI I W h

ωωω

ωλ

− = + −

, (5.21)

gdje je bimoment B na sredini raspona definiran s (5.7). Imajući u vidu (5.8) može se

faktor utjecaja smicanja λ prikazati i kao:

� ( )2

1 1211 1

cosh 1 12

s B sP P Pyt b

s s BaP Py P

I h b W IGI k

k vI I W h

ω

ωλ

− = + − −

. (5.22)

Faktor smicanja ωωκ za I−profil s jednom osi simetrije može se prema [13] odrediti iz

sljedećeg izraza:

( )( )

( )4

22

6 1 1

5 1ωω

χ χζκ

χζ

+ +=

+, (5.23)

gdje je 2 1/A Aχ = i 2 1/b bζ = . Također faktor smicanja yωκ definiran je prema [13] s:

( )( )

( )2 4

22 2

6 1 1

5 1yω

ζ χζκ

ζ χζ

− +=

+. (5.24)

Izraz za polarni moment tromosti PI za I−profil s jednom osi simetrije svodi se na:

( )

( )4

21 22

1

1PI A h

χ χζ

χζ

+=

+, (5.25)

dok se polarni moment otpora PW može opisati s:

145

( )4

1 2 20

1

1P

PI

W A hh

χζζ χζ

+= =+

, (5.26)

gdje je 0BPh h= . Na koncu se može sektorski moment tromosti Iω za I−profil s jednom osi

simetrije odrediti iz:

( )2 2

41 212 1

I A hωχζ ρ

χζ=

+, (5.27)

gdje je 1 /b hρ = .

Prvi primjer uzet u analizu odnosi se na zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije,

opterećen jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja iznosa Nmm

100mmPm = oko pola

P. Za omjer l/h = 3 dane su u tablici 5.17. vrijednosti kuta uvijanja α te vrijednosti faktora

utjecaja smicanja na pomake η , dobivene na sredini raspona prema teoriji UTKŠ te MKE.

Tablica 5.17. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η za zglobno-oslonjeni

I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Iz usporedbe s pomacima dobivenim za zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi simetrije,

slijedi da je za isti omjer l/h utjecaj smicanja na pomake znatno manje izražen kod

I−profila s jednom osi simetrije, što se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja η

prikazanih tablicama 5.1. i 5.17. Također uočava se iz tablice 5.17. izvrsno slaganje

rezultata dobivenih prema teoriji UTKŠ te MKE, posebno za slučaj kada se kod analitičkog

modela zanemari normalno naprezanje u smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka.

Promjena kuta uvijanja poprečnog presjeka s orijentacijom vlakana, za zglobno oslonjeni

I−profil s jednom osi simetrije, prikazana je slikom 5.6. Vidljivo je sa slike da s

povećanjem kuta između materijalnih osi te uzdužne osi štapa rastu vrijednosti vertikalnih



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 2,363∙10-3 2,402∙10-3 2,416∙10-3 1,217 1,213 1,245 1,220 [15/-15]4s 2,435∙10-3 2,526∙10-3 2,547∙10-3 1,167 1,162 1,222 1,173 [30/-30]4s 2,809∙10-3 3,120∙10-3 3,170∙10-3 1,100 1,097 1,242 1,115 [45/-45]4s 3,613∙10-3 4,217∙10-3 4,312∙10-3 1,065 1,067 1,272 1,091 [60/-60]4s 4,696∙10-3 5,240∙10-3 5,341∙10-3 1,055 1,062 1,200 1,083 [75/-75]4s 5,587∙10-3 5,834∙10-3 5,910∙10-3 1,062 1,067 1,124 1,081 [±90]4s 5,919∙10-3 6,027∙10-3 6,113∙10-3 1,072 1,071 1,108 1,086 [0/90]4s 3,288∙10-3 3,346∙10-3 3,347∙10-3 1,145 1,142 1,166 1,143

146

pomaka dobivenih prema teoriji UTKŠ i MKE. Također vertikalni pomaci dobiveni

klasičnom Vlasovljevom teorijom povećavaju se unutar raspona orijentacije vlakana.

Slika 5.6. Kut uvijanja zglobno-oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije (l/h = 3).

U tablici 5.18. dana je usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η ,

dobivenih prema teoriji UTKŠ te MKE.


za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -2,214 -0,562 [15/-15]4s -4,410 -0,837 [30/-30]4s -11,374 -1,587 [45/-45]4s -16,210 -2,201 [60/-60]4s -12,073 -1,890 [75/-75]4s -5,458 -1,290 [±90]4s -3,166 -1,407 [0/90]4s -1,774 -0,034

Za model temeljen na pretpostavci 0ξσ = , slijedi iz tablice 5.18. da je najveće odstupanje

od −2,201% dobiveno za konfiguraciju slaganja [45/-45]4s. Za omjer l/h = 3 dane su u

tablici 5.19. vrijednosti horizontalnog pomaka Bv točke B poprečnog presjeka, kao i

vrijednosti faktora utjecaja smicanja na horizontalni pomak Bη točke B, dobivene na

sredini raspona zglobno oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije. Rezultati u tablici

147

dobiveni su prema teoriji UTKŠ (izrazi (5.19) i (5.20)), odnosno s pomoću MKE.

Tablica 5.19. Horizontalni pomak Bv (mm) točke B poprečnog presjeka i faktori utjecaja

smicanja na horizontalni pomak Bη za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi

simetrije(l/h = 3).

Smicanje značajno utječe na horizontalne pomake točke B poprečnog presjeka, što se vidi

iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja Bη prikazanih u tablici 5.19. Usporedba rezultata

koje daju teorija UTKŠ te MKE prikazana je tablicom 5.20.

Tablica 5.20. Usporedba faktora utjecaja smicanja na horizontalne pomake Bη po teoriji

UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -3,047 -1,856 [15/-15]4s -5,193 -2,231 [30/-30]4s -11,684 -2,437 [45/-45]4s -16,276 -2,015 [60/-60]4s -12,276 -1,012 [75/-75]4s -5,904 -1,044 [±90]4s -3,706 -2,185 [0/90]4s -2,450 -1,089

S obzirom na pretpostavku da je 0ξσ = , vidljivo je iz tablice 5.20. izvrsno slaganje

rezultata horizontalnih pomaka točke B, za sve konfiguracije laminata u poprečnom

presjeku.

Kod omjera l/h = 5 utjecaj smicanja na pomake nije toliko izražen, što se vidi iz najveće

vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake koja za konfiguraciju [0]16 doseže prema

teoriji UTKŠ iznos od η = 1,076 ( )0ξσ = . Pri tome je odstupanje od rezultata koje daje


Horizontalni pomak Faktori utjecaja smicanja

UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,782∙10-2 1,804∙10-2 1,838∙10-2 1,653 1,639 1,705 1,671 [15/-15]4s 1,742∙10-2 1,796∙10-2 1,837∙10-2 1,503 1,488 1,586 1,522 [30/-30]4s 1,847∙10-2 2,040∙10-2 2,091∙10-2 1,302 1,291 1,475 1,324 [45/-45]4s 2,254∙10-2 2,638∙10-2 2,692∙10-2 1,196 1,201 1,429 1,226 [60/-60]4s 2,882∙10-2 3,252∙10-2 3,285∙10-2 1,165 1,184 1,329 1,199 [75/-75]4s 3,471∙10-2 3,650∙10-2 3,689∙10-2 1,188 1,202 1,263 1,215 [±90]4s 3,733∙10-2 3,792∙10-2 3,877∙10-2 1,217 1,213 1,264 1,240 [0/90]4s 2,289∙10-2 2,321∙10-2 2,347∙10-2 1,435 1,426 1,472 1,442

148

MKE −1,210% ( )0ξσ = . Za konfiguraciju [0/90]4s faktor utjecaja smicanja na pomake

doseže kod ovog omjera vrijednost od η = 1,051 ( )0ξσ = . Odstupanje od vrijednosti koje

daje MKE za ovu konfiguraciju iznosi −1,274%. Također opada za ovaj omjer i utjecaj

smicanja na horizontalni pomak točke B, pa je tako za konfiguraciju slaganja [0]16 faktor

utjecaja Bη dosegao prema teoriji UTKŠ iznos od Bη = 1,230 ( )0ξσ = . U ovom slučaju

odstupanje od rezultata koje daje MKE doseže −1,965 %. Za konfiguraciju [0/90]4s faktor

utjecaja smicanja na horizontalni pomak točke B poprima sljedeću vrijednost: Bη = 1,153

( )0ξσ = . Odstupanje od rezultata dobivenog s pomoću MKE u ovom slučaju iznosi

−1,976%.

U tablici 5.21. dane su za omjer l/h = 3 vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja te


A poprečnog presjeka na sredini raspona zglobno-oslonjenog štapa.




Utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje nije toliko izražen kao kod pomaka, što

se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ prikazanih tablicom 5.21. Također

vidljivo je iz tablice da različite hipoteze unutar konstitutivnih izraza analitičkog modela ne

uzrokuju značajno odstupanje vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja u poprečnom

presjeku. Promjena srednjeg normalnog naprezanja u točki A, na sredini raspona zglobno-

oslonjenog I−profila s jednom osi simetrije, prikazana je slikom 5.7. Uočava se sa slike da

s promjenom orijentacije vlakana opadaju vrijednosti naprezanja dobivene prema teoriji

UTKŠ i MKE.



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 6,880 6,864 6,913 1,090 1,088 1,096 1,096 [15/-15]4s 6,693 6,669 6,743 1,069 1,067 1,078 1,079 [30/-30]4s 6,367 6,312 6,440 1,041 1,039 1,053 1,061 [45/-45]4s 6,085 5,993 6,172 1,026 1,027 1,041 1,058 [60/-60]4s 5,963 5,906 6,075 1,022 1,025 1,042 1,055 [75/-75]4s 6,057 6,044 6,171 1,025 1,027 1,045 1,049 [±90]4s 6,155 6,141 6,257 1,029 1,029 1,047 1,049 [0/90]4s 6,597 6,583 6,646 1,060 1,058 1,068 1,069

149

Slika 5.7. Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka zglobno−oslonjenog


Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ , dobivenih prema teoriji UTKŠ i MKE,

prikazana je tablicom 5.22.


teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -0,487 -0,718 [15/-15]4s -0,742 -1,097 [30/-30]4s -1,134 -1,979 [45/-45]4s -1,399 -2,892 [60/-60]4s -1,846 -2,784 [75/-75]4s -1,850 -2,058 [±90]4s -1,632 -1,858 [0/90]4s -0,739 -0,944

Vidljivo je iz tablice 5.22. izvrsno slaganje rezultata koje daju teorija UTKŠ te MKE, za

sve konfiguracije laminata u poprečnom presjeku.

Kod omjera l/h = 5 utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje nije toliko izražen za

zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije. U ovom slučaju najveća dobivena

vrijednost faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje, za konfiguraciju

slaganja [0]16, iznosi prema teoriji UTKŠ λ = 1,032 ( )0ξε = , odnosno λ = 1,031

( )0ξσ = . Pri tome odstupanja od rezultata koje daje MKE dosežu −1,403% ( )0ξε = te

150

−3,912% ( )0ξσ = . Za omjer l/h = 10, za konfiguraciju slaganja [0]16, faktori utjecaja

smicanja na srednje normalno naprezanje dosežu prema teoriji UTKŠ iznos od λ = 1,007

( )0ξε = i λ = 1,007 ( )0ξσ = .

Sljedeći primjer uzet u razmatranje odnosi se na obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi

simetrije, opterećen jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja iznosa Nmm

100mmPm =

oko pola P. Može se za ovaj slučaj kut uvijanja poprečnog presjeka α na sredini raspona

štapa opisati izrazima (5.1), (5.12) i (5.13). Pomak točke B u ravnini okomitoj na ravninu

simetrije (horizontalni pomak), na sredini raspona, definiran je s (5.19), dok se faktor

utjecaja smicanja na horizontalni pomak Bη točke B svodi na:

� ( )2 cosh 1

1sinh 2cosh 2

t bB B s

aP Py

vGI k

k v v vh Wη η

η

− = +

− +

. (5.28)


se za ovaj primjer prikazati izrazima (5.5), (5.14) i (5.21). Imajući u vidu izraz (5.15)

faktor utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ svodi se u ovom slučaju na:

� ( )2

1 121 1

sinh 12

s B sP P Pyt b

s s BaP Py P

I h b W IGI k v

k v vI I W h

ω

ωλ

− = + − −

. (5.29)

Za omjer l/h = 5 prikazane su u tablici 5.23. vrijednosti kuta uvijanja α , kao i vrijednosti


ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije.





UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 4,208∙10-3 4,271∙10-3 4,242∙10-3 1,393 1,385 1,405 1,376 [15/-15]4s 4,241∙10-3 4,390∙10-3 4,356∙10-3 1,303 1,294 1,339 1,285 [30/-30]4s 4,745∙10-3 5,268∙10-3 5,201∙10-3 1,182 1,176 1,297 1,161 [45/-45]4s 6,020∙10-3 7,069∙10-3 6,959∙10-3 1,119 1,122 1,294 1,105 [60/-60]4s 7,806∙10-3 8,786∙10-3 8,670∙10-3 1,100 1,113 1,223 1,099 [75/-75]4s 9,303∙10-3 9,756∙10-3 9,702∙10-3 1,114 1,123 1,162 1,117 [±90]4s 9,884∙10-3 1,006∙10-2 1,010∙10-2 1,132 1,129 1,157 1,134 [0/90]4s 5,667∙10-3 5,759∙10-3 5,712∙10-3 1,262 1,257 1,273 1,247

151

U odnosu na zglobno-oslonjeni štap istih geometrijskih karakteristika, utjecaj smicanja je

znatno izraženiji u ovom slučaju, što se vidi iz vrijednosti faktora η prikazanih u tablicom

5.23. Također uočava se iz tablice izvrsno slaganje rezultata koje daju teorija UTKŠ te

MKE, za slučaj kada se kod analitičkog modela zanemari normalno naprezanje u smjeru

konture srednje linije poprečnog presjeka ( )0ξσ = . Usporedba faktora utjecaja smicanja

na pomake, dobivenih prema teoriji UTKŠ te MKE, prikazana je tablicom 5.24.


za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -0,795 0,681 [15/-15]4s -2,634 0,779 [30/-30]4s -8,773 1,295 [45/-45]4s -13,497 1,578 [60/-60]4s -9,961 1,341 [75/-75]4s -4,114 0,553 [±90]4s -2,135 -0,406 [0/90]4s -0,789 0,824

S obzirom na pretpostavku da je 0ξσ = , vidljivo je iz tablice 5.24. da je najveće


Za isti oblik poprečnog presjeka te za isti omjer l/h prikazane su u tablici 5.25. vrijednosti

horizontalnog pomaka Bv točke B, kao i vrijednosti faktora utjecaja smicanja na

horizontalni pomak Bη , dobivene na sredini raspona obostrano ukliještenog štapa.

Tablica 5.25. Horizontalni pomak Bv (mm) točke B poprečnog presjeka i faktori utjecaja

smicanja na horizontalni pomak Bη za obostrano uliješteni I−profil s jednom osi

simetrije(l/h = 5).



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 3,658∙10-2 3,693∙10-2 3,660∙10-2 2,180 2,156 2,182 2,137 [15/-15]4s 3,454∙10-2 3,549∙10-2 3,512∙10-2 1,911 1,883 1,943 1,864 [30/-30]4s 3,451∙10-2 3,805∙10-2 3,703∙10-2 1,548 1,529 1,662 1,488 [45/-45]4s 4,057∙10-2 4,786∙10-2 4,573∙10-2 1,357 1,368 1,531 1,307 [60/-60]4s 5,131∙10-2 5,878∙10-2 5,612∙10-2 1,302 1,341 1,424 1,280 [75/-75]4s 6,231∙10-2 6,608∙10-2 6,462∙10-2 1,343 1,369 1,394 1,339 [±90]4s 6,772∙10-2 6,868∙10-2 6,899∙10-2 1,396 1,387 1,422 1,394 [0/90]4s 4,459∙10-2 4,509∙10-2 4,472∙10-2 1,788 1,772 1,794 1,757

152

Rezultati u tablici određeni su prema teoriji UTKŠ te MKE, za različite konfiguracije

slaganja laminata u poprečnom presjeku. Promjena horizontalnih pomaka točke B s

orijentacijom vlakana, na sredini raspona obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi

simetrije, prikazana je slikom 5.8.

Slika 5.8. Horizontalni pomak točke B poprečnog presjeka obostrano ukliještenog


Vidljivo je iz tablice 5.25., kao i sa slike 5.8., da smicanje značajno utječe na horizontalne

pomake točke B poprečnog presjeka obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi

simetrije. Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na horizontalni pomak, koje daju

teorija UTKŠ te MKE, prikazana tablicom 5.26.

Tablica 5.26. Usporedba faktora utjecaja smicanja na horizontalne pomake Bη po teoriji

UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -0,042 0,896 [15/-15]4s -1,639 1,043 [30/-30]4s -6,795 2,752 [45/-45]4s -11,276 4,651 [60/-60]4s -8,571 4,745 [75/-75]4s -3,572 2,254 [±90]4s -1,836 -0,448 [0/90]4s -0,298 0,832

Imajući u vidu odstupanja prikazana tablicom 5.26., bolje slaganje rezultata je postignuto u

153

slučaju kada se kod analitičkog modela zanemari normalno naprezanje u smjeru konture

srednje linije. Također uočava se izvrsno slaganje rezultata za laminate kod kojih su vlakna

paralelna s uzdužnom osi štapa (unidirectional laminates), kao i za laminate kod kojih su

vlakna orijentirana pod kutevima 0° i 90° (cross-ply laminates). Određena odstupanja

javljaju se za laminate kod kojih su vlakna usmjerena pod kutevima ± θ, a posljedica su

redukcije ravninskog stanja (2D) naprezanja na jednodimenzionalno stanje.

Za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije, omjera l/h = 3, najveće vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na pomake η = 2,091 ( )0ξε = te η = 2,068 ( )0ξσ = , dobivene

su prema teoriji UTKŠ za konfiguraciju slaganja [0]16. Pri tome odstupanja od rezultata

koje daje MKE dosežu 0,273% ( )0ξε = , odnosno 1,281% ( )0ξσ = . Također i faktor

utjecaja smicanja na horizontalni pomak Bη znatno je veći za ovaj omjer l/h, pa je tako za

konfiguraciju slaganja [0]16 dobiveno da je Bη = 4,273 ( )0ξε = i Bη = 4,204 ( )0ξσ = .

Odstupanja od rezultata koje daje MKE u ovom slučaju dosežu 0,903% ( )0ξε = , odnosno

1,393% ( )0ξσ = .

S porastom omjera l/h opada utjecaj smicanja na pomake, što se vidi iz vrijednosti faktora

utjecaja smicanja η koje za omjer l/h = 10, za konfiguraciju [0]16, dosežu prema teoriji

UTKŠ iznose od η = 1,099 ( )0ξε = te η = 1,097 ( )0ξσ = . Također opadaju i vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na horizontalni pomak Bη , koje za ovaj omjer dosežu prema

teoriji UTKŠ iznos od Bη = 1,298 ( )0ξε = i Bη = 1,292 ( )0ξσ = .

Za omjer l/h = 5 prikazane su u tablici 5.27. vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja,

kao i vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ , dobivene u

točki A poprečnog presjeka, na sredini raspona obostrano ukliještenog I−profila s jednom

osi simetrije. Rezultati navedeni u tablici određeni su prema teoriji UTKŠ, odnosno s

pomoću MKE. Vidljivo je iz vrijednosti faktora utjecaja smicanjaλ prikazanih u tablici da

utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje opada s porastom kuta između

materijalnih osi vlakana te uzdužne osi štapa. Također uočava se izvrsno slaganje rezultata

dobivenih prema teoriji UTKŠ i MKE, za sve konfiguracije slaganja laminata u poprečnom

presjeku. Pri tome različite pretpostavke kod analitičkog modela ne uzrokuju značajnija

odstupanja vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja. Analogno prethodnim primjerima

utjecaj smicanja je najizraženiji za laminate s konfiguracijom slaganja [0]16.

154




Promjena srednjeg normalnog naprezanja u točki A, na sredini raspona obostrano

ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije prikazana je slikom 5.9. Vidljivo je sa slike

izvrsno slaganje rezultata koje daju teorija UTKŠ i MKE, za sve konfiguracije laminata u

poprečnom presjeku. Također uočava se da funkcije raspodjele srednjeg normalnog

naprezanja prema teoriji UTKŠ postižu minimum unutar raspona orijentacije vlakana.

Slika 5.9. Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka obostrano



prema teoriji UTKŠ i MKE, prikazana je u tablicom 5.28. Vidljivo je iz tablice da

maksimalna odstupanja rezultata ne prelaze 1%.



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 6,450 6,435 6,412 1,097 1,095 1,091 1,091 [15/-15]4s 6,277 6,256 6,229 1,074 1,072 1,066 1,068 [30/-30]4s 5,988 5,945 5,915 1,044 1,042 1,032 1,038 [45/-45]4s 5,754 5,684 5,691 1,028 1,029 1,017 1,030 [60/-60]4s 5,654 5,614 5,658 1,023 1,026 1,025 1,035 [75/-75]4s 5,730 5,723 5,776 1,027 1,029 1,036 1,039 [±90]4s 5,811 5,799 5,859 1,031 1,031 1,040 1,042 [0/90]4s 6,190 6,178 6,190 1,064 1,063 1,064 1,065

155


teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi simetrije (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 0,592 0,358 [15/-15]4s 0,776 0,434 [30/-30]4s 1,234 0,501 [45/-45]4s 1,107 -0,113 [60/-60]4s -0,073 -0,778 [75/-75]4s -0,796 -0,919 [±90]4s -0,832 -1,031 [0/90]4s -0,001 -0,198

Utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje je izraženiji kod obostrano ukliještenog

I−profila s jednom osi simetrije omjera l/h = 3, što se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja

smicanja λ koje prema teoriji UTKŠ za konfiguraciju [0]16 dosežu iznose od λ = 1,271

( )0ξε = , odnosno λ = 1,265 ( )0ξσ = . Pri tome su odstupanja od rezultata koje daje

MKE 2,144% ( )0ξε = te 1,670% ( )0ξσ = . Kod omjera l/h = 10 utjecaj smicanja na

srednje normalno naprezanje iznosi (za konfiguraciju slaganja [0]16) prema teoriji UTKŠ

maksimalno 2,3% ( )0ξσ = .

5.3. U-profil

Tankostjeni U−profil zadnji je razmatrani oblik poprečnog presjeka (Slika 4.29.), čije su

karakteristične dimenzije poprečnog presjeka dane izrazom (4.43). Za različite orijentacije

vlakana, laminati u poprečnom presjeku napravljeni su od šesnaest slojeva postavljenih

simetrično u odnosu na srednju plohu poprečnog presjeka.

Za zglobno-oslonjeni U−profil može se prema teoriji UTKŠ kut uvijanja poprečnog

presjeka α na sredini raspona štapa definirati izrazima (5.1) i (5.2). Pri tome je izraz za

kut uvijanja poprečnog presjeka kao krute figure tα definiran s (5.4). Dodatni pomak pola

P u ravnini okomitoj na ravninu simetrije (pomak poprečnog presjeka kao krute figure)

može se opisati izrazom (5.18). Pomak točke C poprečnog presjeka (Slika 4.29.) definiran

je prema teoriji UTKŠ s:

C CC P P P t Cv h v hα α η= + = , (5.30)

gdje je faktor utjecaja smicanja na horizontalni pomak točke C Cη definiran s:

156

� ( )

2

2 cosh 11

cosh 2cosh 2t b

C C saP Py

vGI k

kh W v v vη η

η

− = +

− +

. (5.31)

U gornjem izrazu CPh predstavlja udaljenost pola P od točke C poprečnog presjeka.

Srednje normalno naprezanje na sredini raspona, u točki A poprečnog presjeka, može se

prema teoriji UTKŠ opisati izrazom (5.5), gdje je ( )2

CP

bh hω = − sektorska koordinata

točke A poprečnog presjeka. Faktor utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ u

ovom se slučaju svodi na:

( )( )

2 2 3 61 1

6

s C sP P Py

bs C sP P Py

I h h h W II km

BI h h W I

ωωω

ωλ

− + = + − −

, (5.32)

gdje je bimoment B na sredini raspona definiran s (5.7). Imajući u vidu (5.8) može se

faktor utjecaja smicanja λ prikazati i kao:

� ( )

( )2 2 3 61

1 1cosh 1 6

s C sP P Py

t bs C s

aP P Py

I h h h W IGI k

k vI h h W I

ω

ωλ

− + = + − − −

. (5.33)

Faktor smicanja ωωκ za U−profil može se prema [13] odrediti iz sljedećeg izraza:

( ) ( )

( ) ( )

22 2 2

2 22

3 18 1 6 2 8 21 18 3

10 1 6 2 3ωω

ψ ρ ψ ψ ψ ψρκ

ρ ψ ψ

+ + + + + =+ +

, (5.34)

gdje je 0 1/A Aψ = i /b hρ = . Također faktor smicanja yωκ definiran je prema [13] s:

( ) ( )

( )( )

22 2

22

18 1 6 10 5 6 2

20 2 3 1 6yω

ψ ρ ψ ψ ρκ

ρ ψ ψ

+ + + − = −+ +

. (5.35)

Izraz za polarni moment tromosti PI svodi se na:

( )

( )

222

0 2

18 1 6

2 1 6PI A h

ψ ρ ψ

ψ

+ +=

+, (5.36)

dok se polarni moment otpora PW može opisati s:

157

( )

( )22

00

18 1 6

6 1 6P

PI

W A hh

ψ ρ ψψ ψ+ +

= =+

, (5.37)

gdje je 0CPh h= . Na koncu se može sektorski moment tromosti Iω za U−profil odrediti iz

sljedećeg izraza:

( )( )

24

02 3

12 1 6I A hω

ρ ψψ

+=

+. (5.38)

Za U−profil omjera l/h = 3, opterećen jednoliko raspodijeljenim momentima uvijanja

iznosa Nmm

100mmPm = oko pola P, prikazane su u tablici 5.29. vrijednosti kuta uvijanja α

te vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η , dobivene na sredini raspona

zglobno-oslonjenog štapa.

Tablica 5.29. Kutevi uvijanja α (rad) i faktori utjecaja smicanja η za zglobno-oslonjeni


S obzirom na vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η prikazane u tablici 5.29.,

može se zaključiti da smicanje značajno utječe na kut uvijanja poprečnog presjeka na

sredini raspona zglobno-oslonjenog U−profila. Promjena kuta uvijanja s povećanjem kuta

između materijalnih osi te uzdužne osi štapa prikazana je slikom 5.10. Vidljivo je sa slike

da funkcije raspodjele kuta uvijanja prema teoriji UTKŠ postižu minimum unutar raspona

orijentacije vlakana. S druge strane vrijednosti dobivene klasičnom Vlasovljevom teorijom

rastu s promjenom orijentacije materijalnih osi.



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 5,887∙10-4 5,952∙10-4 5,900∙10-4 1,905 1,887 1,910 1,871 [15/-15]4s 5,676∙10-4 5,847∙10-4 5,760∙10-4 1,698 1,677 1,724 1,652 [30/-30]4s 5,920∙10-4 6,563∙10-4 6,328∙10-4 1,419 1,404 1,517 1,345 [45/-45]4s 7,231∙10-4 8,584∙10-4 8,134∙10-4 1,272 1,279 1,432 1,213 [60/-60]4s 9,292∙10-4 1,065∙10-3 1,009∙10-3 1,229 1,258 1,335 1,193 [75/-75]4s 1,115∙10-3 1,180∙10-3 1,143∙10-3 1,261 1,280 1,294 1,241 [± 90]4s 1,196∙10-3 1,215∙10-3 1,206∙10-3 1,301 1,295 1,313 1,286 [0/90]4s 7,415∙10-4 7,512∙10-4 7,416∙10-4 1,603 1,591 1,604 1,571

158

Slika 5.10. Kut uvijanja zglobno-oslonjenog U−profila (l/h = 3).

Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja koje daju teorija UTKŠ te

MKE prikazana je tablicom 5.30.


za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -0,226 0,878 [15/-15]4s -1,463 1,504 [30/-30]4s -6,449 3,707 [45/-45]4s -11,100 5,534 [60/-60]4s -7,911 5,546 [75/-75]4s -2,475 3,255 [±90]4s -0,844 0,748 [0/90]4s -0,019 1,293

Uočava se iz tablice 5.30. dobro slaganje rezultata, za slučaj kada se kod analitičkog

modela zanemari normalno naprezanje u smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka.

Pri tome je najveće odstupanje od 5,546% dobiveno za konfiguraciju slaganja [60/-60]4s.

Kod omjera l/h = 5 utjecaj smicanja na pomake je manje izražen, što se vidi iz vrijednosti

faktora utjecaja smicanja na pomake η koje prema teoriji UTKŠ, za konfiguraciju slaganja

[0]16, dosežu iznose od η = 1,326 ( )0ξε = , odnosno η = 1,319 ( )0ξσ = . Pri tome

odstupanja od rezultata koje daje MKE iznose −1,480% ( )0ξε = te 0,542% ( )0ξσ = . Za

konfiguraciju [0/90]4s te za omjer l/h = 5 faktor utjecaja smicanja na pomake poprima

159

prema teoriji UTKŠ sljedeće vrijednosti: η = 1,217 ( )0ξε = , odnosno η = 1,212

( )0ξσ = . Odstupanja od rezultata koje daje MKE, dosežu za ovu konfiguraciju iznos od

−0,445% ( )0ξε = i 1,256% ( )0ξσ = . Za ovaj omjer odstupanja rezultata su manja i za

ostale konfiguracije slaganja laminata. Imajući u vidu pretpostavku da je 0ξσ = , najveće

odstupanje od 2,189% dobiveno je tada za konfiguraciju slaganja [60/-60]4s.

Kod omjera l/h = 10 faktor utjecaja smicanja na pomake doseže prema teoriji UTKŠ, za

konfiguraciju [0]16, iznose od η = 1,081 ( )0ξε = i η = 1,080 ( )0ξσ = .

Za omjer l/h = 3 dane su u tablici 5.31. vrijednosti horizontalnog pomaka Cv točke C

poprečnog presjeka, kao i vrijednosti faktora utjecaja smicanja na horizontalni pomak Cη ,

dobivene na sredini raspona zglobno−oslonjenog U−profila.

Tablica 5.31. Horizontalni pomak Cv (mm) točke C poprečnog presjeka i faktori utjecaja

smicanja na horizontalni pomak Cη za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

U odnosu na kut uvijanja, vidljivo je iz tablice 5.31. da utjecaj smicanja na horizontalni

pomak točke C nije toliko izražen. Usporedba faktora utjecaja smicanja na horizontalne

pomake koje daju teorija UTKŠ te MKE prikazana je tablicom 5.32. Analogno

odstupanjima za kut uvijanja proizlazi iz tablice 5.32 da je i u ovom slučaju bolje slaganje

rezultata postignuto za pretpostavku 0ξσ = .

Kod omjera l/h = 5 utjecaj smicanja na horizontalni pomak točke C nije toliko izražen, što

se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja Cη koje prema teoriji UTKŠ, za

konfiguraciju [0]16, dosežu iznose od Cη = 1,023 ( )0ξε = te Cη = 1,023( )0ξσ = . Pri

tome odstupanja od rezultata koje daje MKE dosežu −1,480% ( )0ξε = , odnosno 0,542%



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 7,051∙10-3 7,191∙10-3 7,187∙10-3 1,065 1,064 1,086 1,063 [15/-15]4s 7,521∙10-3 7,835∙10-3 7,853∙10-3 1,050 1,048 1,097 1,051 [30/-30]4s 9,207∙10-3 1,031∙10-2 1,036∙10-2 1,030 1,029 1,159 1,035 [45/-45]4s 1,242∙10-2 1,466∙10-2 1,472∙10-2 1,019 1,020 1,209 1,024 [60/-60]4s 1,646∙10-2 1,847∙10-2 1,844∙10-2 1,016 1,018 1,139 1,017 [75/-75]4s 1,929∙10-2 2,014∙10-2 2,004∙10-2 1,018 1,020 1,059 1,015 [±90]4s 2,011∙10-2 2,052∙10-2 2,041∙10-2 1,021 1,021 1,037 1,016 [0/90]4s 1,034∙10-2 1,055∙10-2 1,043∙10-2 1,043 1,042 1,053 1,031

160

( )0ξσ = .

Tablica 5.32. Usporedba faktora utjecaja smicanja na horizontalne pomake Cη po teoriji

UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -1,892 0,058 [15/-15]4s -4,232 -0,230 [30/-30]4s -11,133 -0,522 [45/-45]4s -15,656 -0,390 [60/-60]4s -10,742 0,137 [75/-75]4s -3,747 0,519 [±90]4s -1,470 0,555 [0/90]4s -0,888 1,119

Kod omjera l/h = 10 utjecaj smicanja na horizontalni pomak točke C ne prelazi prema

teoriji UTKŠ (za konfiguraciju slaganja [0]16) 1% te se može zanemariti u inženjerskim

proračunima.


faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ , dobivene u točki A

poprečnog presjeka na sredini raspona zglobno-oslonjenog U−profila omjera l/h = 3.




U odnosu na kuta uvijanja, utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje je znatno

manje izražen, što se vidi iz vrijednosti faktora λ prikazanih tablicom 5.33. Usporedba

vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje, koje daju teorija

UTKŠ te MKE, prikazana je tablicom 5.34.



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 -5,920 -5,904 -5,874 1,145 1,142 1,136 1,136 [15/-15]4s -5,740 -5,721 -5,731 1,111 1,108 1,110 1,110 [30/-30]4s -5,488 -5,469 -5,477 1,067 1,064 1,065 1,066 [45/-45]4s -5,340 -5,331 -5,327 1,043 1,044 1,041 1,044 [60/-60]4s -5,290 -5,303 -5,276 1,036 1,041 1,034 1,036 [75/-75]4s -5,328 -5,340 -5,309 1,041 1,044 1,038 1,039 [±90]4s -5,372 -5,365 -5,349 1,048 1,047 1,044 1,044 [0/90]4s -5,657 -5,646 -5,623 1,096 1,094 1,090 1,090

161


teoriji UTKŠ te MKE za zglobno-oslonjeni U−profil (l/h = 3).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 0,775 0,499 [15/-15]4s 0,167 -0,167 [30/-30]4s 0,205 -0,140 [45/-45]4s 0,233 0,075 [60/-60]4s 0,270 0,509 [75/-75]4s 0,346 0,575 [±90]4s 0,424 0,299 [0/90]4s 0,602 0,403

Vidljivo je iz tablice 5.34. izvrsno slaganje rezultata, za sve konfiguracije laminata u

poprečnom presjeku. Promjena srednjeg normalnog naprezanja s orijentacijom vlakana, za

zglobno oslonjeni U−profil omjera l/h = 3, prikazana je slikom 5.11.

Slika 5.11. Srednje normalno naprezanje u točki A poprečnog presjeka zglobno-oslonjenog


Kod omjera l/h = 5 utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje nije toliko izražen, što

se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja λ , koje najveće iznose poprimaju prema

teoriji UTKŠ za konfiguraciju [0]16: λ = 1,052 ( )0ξε = i λ = 1,051 ( )0ξσ = . Pri tome

odstupanja od rezultata koje daje MKE dosežu 0,454% ( )0ξε = , odnosno 0,324%

( )0ξσ = .

Za obostrano ukliješteni U−profil, opterećen jednoliko raspodijeljenim momentima

162

uvijanja iznosa Nmm

100mmPm = oko pola P, može se kut uvijanja poprečnog presjeka na

sredini raspona opisati izrazima (5.1), (5.12) i (5.13). Horizontalni pomak točke C

poprečnog presjeka, na sredini raspona štapa, definiran je izrazom (5.30). Faktor utjecaja

smicanja na horizontalni pomak Cη točke C svodi se u ovom slučaju na:

� ( )2 cosh 1

1sinh 2cosh 2

t bC C s

aP Py

vGI k

k v v vh Wη η

η

− = +

− +

. (5.39)


se za ovaj slučaj opisati izrazima (5.5), (5.14) i (5.32). Imajući u vidu izraz (5.15) faktor

utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje λ svodi se u ovom slučaju na:

� ( )

( )2 2 3 6

1 1sinh 1 6

s C sP P Py

t bs C s

aP P Py

I h h h W IGI k v

k vI h h W I

ω

ωλ

− + = + − − −

. (5.40)

Za omjer l/h = 5 prikazane su u tablici 5.35. vrijednosti kuta uvijanja α , kao i vrijednosti


ukliještenog U−profila.


ukliješteni U−profil (l/h = 5).

U odnosu na zglobno-oslonjeni U−profil, vidljivo je iz tablice 5.35. da je utjecaj smicanja

na pomake izraženiji kod obostrano ukliještenog U−profila istih geometrijskih

karakteristika. Usporedba rezultata koje daju teorija UTKŠ te MKE prikazana je

tablicom 5.36. Imajući u vidu odstupanja prikazana u tablici može se zaključiti da postoji

izvrsno slaganje rezultata za slučajeve kada su poprečni presjeci štapova sastavljeni od



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,256∙10-3 1,266∙10-3 1,239∙10-3 2,631 2,597 2,596 2,542 [15/-15]4s 1,167∙10-3 1,196∙10-3 1,162∙10-3 2,258 2,219 2,250 2,156 [30/-30]4s 1,134∙10-3 1,251∙10-3 1,176∙10-3 1,756 1,728 1,822 1,625 [45/-45]4s 1,314∙10-3 1,566∙10-3 1,426∙10-3 1,491 1,504 1,619 1,370 [60/-60]4s 1,658∙10-3 1,927∙10-3 1,759∙10-3 1,414 1,467 1,501 1,339 [75/-75]4s 2,017∙10-3 2,153∙10-3 2,046∙10-3 1,472 1,506 1,494 1,432 [±90]4s 2,198∙10-3 2,228∙10-3 2,200∙10-3 1,544 1,533 1,546 1,514 [0/90]4s 1,493∙10-3 1,508∙10-3 1,478∙10-3 2,088 2,064 2,068 2,025

163

laminata kod kojih su vlakna paralelna s uzdužnom osi štapa (unidirectional laminates),

odnosno kada su vlakna orijentirano pod kutevima 0° i 90° (cross-ply laminates). Najveća

odstupanja u vrijednostima pomaka dobivena su za laminate kod kojih su vlakna

orijentirana pod kutevima ± θ (angle-ply laminates), a posljedica su svođenja ravninskog

stanja naprezanja na jednoosno stanje.


za obostrano ukliješteni U-profil (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,378 2,192 [15/-15]4s 0,402 2,965 [30/-30]4s -3,609 6,370 [45/-45]4s -7,858 9,818 [60/-60]4s -5,728 9,552 [75/-75]4s -1,441 5,226 [±90]4s -0,084 1,274 [0/90]4s 0,992 2,013

Utjecaj smicanja na pomake je još izraženiji kod štapa omjera l/h = 3, pa tako za

konfiguraciju slaganja [0]16 dobivene vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake

dosežu iznose od η = 5,531 ( )0ξε = i η = 5,436 ( )0ξσ = . Pri tome su odstupanja od

rezultata koje daje MKE 2,537%( )0ξε = , odnosno 2,929% ( )0ξσ = . Za konfiguraciju

slaganja [0/90]4s te za isti omjer l/h, faktori utjecaja smicanja na pomake dosežu vrijednosti

od η = 4,021 ( )0ξε = i η = 3,958 ( )0ξσ = . Pri tome su odstupanja od rezultata koje

daje MKE 2,381%( )0ξε = , odnosno 2,920% ( )0ξσ = .

Smicanje se ne može zanemariti niti za omjer l/h = 10, budući da faktori utjecaja smicanja

na pomake, za konfiguraciju [0]16, iznose prema teoriji STKŠ η = 1,409 ( )0ξε = i

η = 1,400 ( )0ξσ = .

Za omjer l/h = 5 prikazane su u tablici 5.37. vrijednosti horizontalnog pomaka točke C

poprečnog presjeka, kao i vrijednosti faktora utjecaja smicanja na horizontalni pomak Cη ,

dobivene na sredini raspona obostrano ukliještenog U−profila. Vrijednosti navedene u

tablici određene su prema teoriji UTKŠ, odnosno s pomoću MKE.

164

Tablica 5.37. Horizontalni pomak Cv (mm) točke C poprečnog presjeka i faktori utjecaja

smicanja na horizontalni pomak Cη za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).

Usporedba vrijednosti faktora utjecaja smicanja Cη na horizontalni pomak točke C,

dobivenih prema teoriji UTKŠ i MKE, prikazana je tablicom 5.38.

Tablica 5.38. Usporedba faktora utjecaja smicanja na horizontalne pomake Cη po teoriji

UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 -0,333 1,558 [15/-15]4s -2,473 1,499 [30/-30]4s -8,935 1,871 [45/-45]4s -13,557 2,214 [60/-60]4s -9,446 1,821 [75/-75]4s -3,210 1,207 [±90]4s -1,169 0,835 [0/90]4s -0,237 1,721

Imajući u vidu pretpostavku da je 0ξσ = , slijedi iz tablice 5.38. da je najveće odstupanje

od 2,214% dobiveno za konfiguraciju slaganja [45/-45]4s.

Kod omjera l/h = 3 utjecaj smicanja na horizontalni pomak točke C je izraženiji, što se vidi

iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja na horizontalni pomak. U ovom slučaju dobivene

vrijednosti faktora Cη za konfiguraciju konfiguraciju [0]16 iznose prema teoriji UTKŠ:

Cη = 1,326 ( )0ξε = i Cη = 1,320 ( )0ξσ = . Pri tome odstupanja od rezultata koje daje

MKE dosežu vrijednosti od 2,574% ( )0ξε = , odnosno 4,217% ( )0ξσ = . Za konfiguraciju

[0/90]4s dobivene su kod ovog omjera sljedeće vrijednosti faktora utjecaja smicanja na

horizontalni pomak točke C: Cη = 1,218( )0ξε = i Cη = 1,213 ( )0ξσ = . Odstupanja od



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,143∙10-2 1,165∙10-2 1,147∙10-2 1,117 1,115 1,121 1,098 [15/-15]4s 1,207∙10-2 1,257∙10-2 1,238∙10-2 1,090 1,088 1,118 1,072 [30/-30]4s 1,459∙10-2 1,632∙10-2 1,602∙10-2 1,054 1,052 1,158 1,033 [45/-45]4s 1,954∙10-2 2,311∙10-2 2,261∙10-2 1,035 1,036 1,198 1,014 [60/-60]4s 2,587∙10-2 2,909∙10-2 2,857∙10-2 1,029 1,033 1,137 1,015 [75/-75]4s 3,035∙10-2 3,174∙10-2 3,136∙10-2 1,034 1,036 1,068 1,024 [±90]4s 3,169∙10-2 3,234∙10-2 3,207∙10-2 1,039 1,038 1,052 1,030 [0/90]4s 1,652∙10-2 1,685∙10-2 1,656∙10-2 1,078 1,076 1,081 1,059

165

rezultata koje daje MKE dosežu 1,502% ( )0ξε = i 3,272% ( )0ξσ = .

Za omjer l/h = 5 prikazane su u tablici 5.39. vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja te


A poprečnog presjeka na sredini raspona obostrano ukliještenog U−profila.





prema teoriji UTKŠ te MKE, prikazana je tablicom 5.40.


teoriji UTKŠ te MKE za obostrano ukliješteni U−profil (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )UTKŠ-MKE100 %

MKE⋅

0ξε = 0ξσ =

[0]16 1,664 1,369 [15/-15]4s 2,119 1,760 [30/-30]4s 3,155 2,806 [45/-45]4s 3,217 3,121 [60/-60]4s 2,088 2,410 [75/-75]4s 1,159 1,425 [±90]4s 0,902 0,775 [0/90]4s 1,152 0,941

Vidljivo je iz tablice 5.40. vrlo dobro slaganje rezultata, za sve konfiguracije laminata u

poprečnom presjeku. Utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje izraženiji je kod

omjera l/h = 3, što se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno

naprezanje koje prema teoriji UTKŠ, za konfiguraciju [0]16, poprimaju slijedeće iznose:

λ = 1,435 ( )0ξε = i λ = 1,426 ( )0ξσ = . Odstupanja od rezultata koje daje MKE dosežu



UTKŠ MKE

UTKŠ MKE

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 -5,542 -5,526 -5,451 1,156 1,153 1,138 1,138 [15/-15]4s -5,364 -5,346 -5,253 1,120 1,117 1,098 1,098 [30/-30]4s -5,118 -5,101 -4,961 1,072 1,069 1,040 1,041 [45/-45]4s -4,976 -4,972 -4,821 1,047 1,048 1,014 1,016 [60/-60]4s -4,931 -4,946 -4,830 1,039 1,044 1,018 1,020 [75/-75]4s -4,965 -4,978 -4,908 1,045 1,048 1,033 1,034 [±90]4s -5,006 -5,000 -4,961 1,052 1,050 1,043 1,043 [0/90]4s -5,282 -5,271 -5,222 1,104 1,102 1,092 1,092

166

u ovom slučaju vrijednosti od 4,430% ( )0ξε = , odnosno 3,767% ( )0ξσ = .

167

6. Usporedba vrijednosti vertikalnih pomaka dobivenih razvijenim analitičkim modelom s rezultatima iz dostupne literature

U ovom je poglavlju analiza pomaka kod savijanja tankostjenih laminiranih kompozitnih

štapova otvorenog poprečnog presjeka izvršena usporedbom rezultata dobivenih

razvijenim analitičkim modelom s rezultatima drugih istraživača preuzetih iz dostupne

literature. Za svaki obrađeni primjer dane su karakteristične vrijednosti faktora utjecaja

smicanja na pomake η , s obzirom na geometrijske karakteristike štapova. Faktor utjecaja

smicanja na pomake η je definiran preko omjera maksimalnih vrijednosti pomaka

dobivenih razmatranom analitičkom metodom koja uzima u obzir utjecaj smicanja i

maksimalnih vrijednosti pomaka koje daje klasična teorija savijanja tankostjenih štapova.

Prvi primjer uzet u razmatranje odnosi se na zglobno-oslonjeni I−profil s dvije osi

simetrije, opterećen jednoliko raspodijeljenim opterećenjem iznosa 1 kN/mzq =

(Slika 4.2.). Duljina štapa je 2,5 ml = , dok su karakteristične dimenzije poprečnog

presjeka dane izrazom (4.3). Štap je napravljen od kompozitnog (staklo/epoksi) materijala

čije su vrijednosti elastičnih konstanti definirane izrazom (4.2). U tablici 6.1. dane su

vrijednosti vertikalnog pomaka w (cm) poprečnog presjeka na sredini raspona zglobno-

oslonjenog štapa (x = l/2), opterećenog jednoliko raspodijeljenim opterećenjem.

Tablica 6.1. Vertikalni pomaci w (cm) zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije.

Za definiranu konfiguraciju laminata, u drugom stupcu tablice 6.1. prikazane su vrijednosti

pomaka dobivene metodom konačnih elemenata (ABAQUS), koje u svom radu daju Lee i

Lee [63]. Pri tome su u procesu analize korišteni S9R5 ljuskasti konačni elementi. U

trećem stupcu tablice prikazane su vrijednosti vertikalnih pomaka dobivenih s pomoću

analitičkog modela koji se bazira na Timoshenkovoj teoriji štapova [56].


I

ABAQUS [63]

II

Barbero [56]

III

Lee i Lee [62]

IV

Lee [63]

V

STKŠ

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ =

[0]16 6.340 6.283 6.103 6.233 6.129 6.259 6.200 6.330 [15/-15]4s 6.989 6.941 6.610 6.899 6.637 6.923 6.692 6.981 [30/-30]4s 9.360 9.322 8.281 9.290 8.307 9.314 8.344 9.359 [45/-45]4s 13.479 13.449 11.340 13.421 11.363 13.446 11.398 13.491 [60/-60]4s 17.023 16.993 15.119 16.962 15.151 16.992 15.186 17.045 [75/-75]4s 18.490 18.453 17.643 18.411 17.683 18.449 17.730 18.508 [0/90]4s 9.400 9.349 9.153 9.299 9.189 9.381 9.252 9.447

168

Rezultati vertikalnih pomaka dobiveni numeričkim modelom razvijenim u radovima Lee-a

[62], [63], prikazani su u narednim stupcima tablice 6.1. Pri tome se dane vrijednosti

odnose na dvije različite hipoteze korištene u konstitutivnim izrazima ( )0 0iξ ξσ ε= = .

U zadnja dva stupca prikazane su vrijednosti dobivene razvijenim analitičkim modelom,

odnosno teorijom savijanja tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog

presjeka (STKŠ). Vidljivo je iz tablice da se rezultati dobiveni teorijom STKŠ dobro slažu

s rezultatima drugih istraživača, kao i s rezultatima koje daje metoda konačnih elemenata

(ABAQUS). Također proizlazi iz tablice da se pomaci posebno dobro slažu za slučajeve

kad se u konstitutivnim izrazima zanemari normalno naprezanje u smjeru konture srednje

linije poprečnog presjeka štapa. Usporedba rezultata dobivenih prema teoriji STKŠ s

rezultatima drugih istraživača te s rezultatima koje daje MKE prikazani su tablicom 6.2.

Tablica 6.2. Usporedba vertikalnih pomaka zglobno-oslonjenog I-profila s dvije osi

simetrije.

Na slici 6.1. dan je prikaz promjene vrijednosti vertikalnih pomaka s orijentacijom vlakana

na sredini raspona zglobno-oslonjenog I−profila s dvije osi simetrije.



( )V-I100 %

I⋅ ( )V-II

100 %II

⋅ ( )V-III100 %

III⋅ ( )V-IV

100 %IV

⋅

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = [0]16 -2,208 -0,157 -1,321 0,748 1,589 1,556 1,158 1,134

[15/-15]4s -4,249 -0,114 -3,587 0,576 1,240 1,188 0,828 0,837 [30/-30]4s -10,854 -0,010 -10,491 0,396 0,760 0,742 0,445 0,483 [45/-45]4s -15,438 0,089 -15,250 0,312 0,511 0,521 0,308 0,334 [60/-60]4s -10,791 0,129 -10,633 0,306 0,443 0,489 0,231 0,311 [75/-75]4s -4,110 0,097 -3,918 0,298 0,493 0,526 0,265 0,319 [0/90]4s -1,574 0,500 -1,037 1,048 1,081 1,591 0,685 0,703

169

Za različite orijentacije vlakana, rezultati prikazani na slici dobiveni su prema teoriji

STKŠ, odnosno s pomoću (MKE) [63] . Uočava se sa slike 6.1. izvrsno slaganje rezultata

dobivenih razvijenim analitičkim modelom s rezultatima koje daje MKE [63], i to za slučaj

kada se u konstitutivnim izrazima analitičkog modela zanemari normalno naprezanje u

smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka. Budući je kod ovog primjera omjer

duljine štapa l i visine poprečnog presjeka h velik (l/h = 50), utjecaj smicanja na pomake je

zanemariv što se može vidjeti iz tablice 6.3. gdje su dane vrijednosti faktora utjecaja

smicanja na pomake η dobivene prema teoriji STKŠ.

Tablica 6.3. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za zglobno-oslonjeni

I−profil s dvije osi simetrije (l/h = 50).


Faktor utjecaja smicanja na pomake prema teoriji STKŠ

0ξε = 0ξσ = [0]16 1,015 1,015

[15/-15]4s 1,012 1,011 [30/-30]4s 1,007 1,006 [45/-45]4s 1,005 1,004 [60/-60]4s 1,004 1,004 [75/-75]4s 1,004 1,004 [0/90]4s 1,010 1,010

Vidljivo je iz tablice 6.3. da faktor utjecaja smicanja na pomake poprima najveću

vrijednost za laminate kod kojih su materijalne osi vlakana paralelne s uzdužnom osi štapa

(unidirectional laminates). Maksimalno dobiveno odstupanje od 1,5% u odnosu na rješenje

koje daje klasična Euler-Bernoullijeva teorija (EBBT) može se zanemariti u inženjerskim

proračunima.

Kao slijedeći primjer uzet je u analizu ukliješteni I−profil (konzola) s dvije osi simetrije,

duljine 100 cml = , opterećen koncentriranom silom iznosa 1 kNF = na slobodnom kraju

štapa (Slika 6.2.). Oblik i karakteristične dimenzije poprečnog presjeka, materijal, kao i

konfiguracija slaganja laminata identični su prethodno razmatranom primjeru zglobno-

oslonjenog I−profila opterećenog kontinuirano raspodijeljenim opterećenjem.

Slika 6.2. Ukliješteni štap opterećen koncentriranom silom na slobodnom kraju.

170

Može se prema teoriji STKŠ vertikalni pomak poprečnog presjeka na slobodnom kraju

konzole opisati izrazom (4.4), gdje je vertikalni pomak poprečnog presjeka kao krutog

tijela bw definiran s:

3

3ba y

Flw

k I= , (6.1)

dok se faktor utjecaja smicanja na pomake η u ovom slučaju svodi na:

2

1 3 b y

zz

k I

A lη = + . (6.2)

U tablici 6.4. dane su vrijednosti vertikalnog pomaka poprečnog presjeka konzole na

slobodnom kraju, za različite konfiguracije slaganja laminata. Rezultati dobiveni

analitičkom metodom [67] kod koje je zanemaren utjecaj smicanja na pomake prikazani su

u drugom stupcu tablice. U trećem stupcu tablice navedene su vrijednosti dobivene s

pomoću metode konačnih elemenata (ABAQUS), koje u svom radu daje Kim [65]. Pri

tome su u procesu modeliranja korišteni 9−čvorni laminirani ljuskasti konačni elementi

S9R5. Numerička rješenja dobivena s pomoću smično−deformabilnog štapnog elementa

[65] prikazana su u četvrtom i petom stupcu tablice 6.4. Rješenja prikazana u ova dva

stupca odnose se na različite hipoteze korištene unutar konstitutivnih izraza za ravninsko

stanje naprezanja ortotropnog materijala. U zadnja dva stupca navedene su vrijednosti

dobivene prema teoriji savijanja tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog

presjeka (STKŠ).

Tablica 6.4 Vertikalni pomaci w (cm) na slobodnom kraju konzole (l/h = 20).

Konfiguracija Slaganja

Park i dr. [67] ABAQUS [65] Kim [65] STKŠ

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = [15/-15]4s 4,521 4,618 4,422 4,611 4,435 4,625 [30/-30]4s 6,089 6,149 5,495 6,156 5,505 6,173 [45/-45]4s 8,795 8,833 7,492 8,855 7,503 8,881 [60/-60]4s 11,12 11,17 9,976 11,18 9,989 11,217 [75/-75]4s 12,07 12,16 11,65 12,16 11,689 12,185 [0/90]4s 6,093 6,213 6,106 6,201 6,122 6,250

Vidljivo je iz tablice 6.4. da se vertikalni pomaci dobiveni prema teoriji STKŠ dobro slažu

s rezultatima drugih istraživača, kao i s rezultatima koje daje MKE. Kao i u prethodnom

primjeru, bolje slaganje rezultata je postignuto za slučaj kada se u konstitutivnim izrazima

razvijenog analitičkog modela zanemari normalno naprezanje u smjeru konture srednje

171

linije poprečnog presjeka. Također, budući je omjer duljine štapa i visine poprečnog

presjeka relativno velik (l/h = 20), vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η

(prema teoriji STKŠ) su male u ovom primjeru, a što se može vidjeti iz tablice 6.5.

Proizlazi iz tablice da s povećanjem kuta između materijalnih osi te uzdužne osi štapa

dolazi do opadanja vrijednosti faktora utjecaja smicanja, odnosno vrijednosti vertikalnih

pomaka na slobodnom kraju približavaju se rezultatima koje daje klasična teorija savijanja

tankostjenih štapova.

Tablica 6.5. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za konzolu opterećenu

koncentriranom silom na slobodnom kraju (l/h =20).



0ξε = 0ξσ = [15/-15]4s 1,023 1,022 [30/-30]4s 1,013 1,013 [45/-45]4s 1,009 1,009 [60/-60]4s 1,007 1,008 [75/-75]4s 1,008 1,009 [0/90]4s 1,019 1,020

Slijedeći primjer odnosi se na obostrano ukliješteni I−profil s dvije osi simetrije, opterećen

koncentriranom silom iznosa 1 kNF = na sredini raspona štapa (Slika 6.3.). Pri tome su

dimenzije poprečnog presjeka, kao i konfiguracija slaganja laminata, analogni prethodno

razmatranim primjerima.

Slika 6.3. Obostrano ukliješteni štap opterećen koncentriranom silom na sredini raspona.

Vertikalni pomak poprečnog presjeka na sredini raspona obostrano ukliještenog I−profila

opterećenog koncentriranom silom na sredini raspona, može prema teoriji STKŠ opisati

izrazom (4.4), gdje je vertikalni pomak poprečnog presjeka kao krutog tijela bw definiran

s:

3

192ba y

Flw

k I= , (6.3)

172

dok se faktor utjecaja smicanja na pomake η svodi na:

2

1 48 b y

zz

k I

A lη = + . (6.4)

Za omjere l/h = 5 i l/h = 20 prikazana je slikama 6.4. i 6.5. promjena vrijednosti

vertikalnog pomaka poprečnog presjeka, na sredini raspona obostrano ukliještenog

I−profila s dvije osi simetrije. Za različite orijentacije vlakana prikazana je slikama

raspodjela rezultata prema Kim-u [65] te prema teoriji STKŠ.

Slika 6.4. Vertikalni pomak obostrano ukliještenog I−profila opterećenog koncentriranom

silom na sredini raspona (l/h = 5).

Vidljivo je sa slike 6.4. da se rezultati dobiveni razvijenim analitičkim pristupom, odnosno

prema teoriji STKŠ, dobro slažu s rezultatima koje u svom radu daje Kim [59], za slučaj

kada se u konstitutivnim izrazima analitičkog modela zanemari duljinska deformacija u

smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka. Također uočava se sa slike da rezultati

dobiveni prema teoriji STKŠ znatno odstupaju od rezultata koje daje klasična teorija

savijanja kod koje je zanemaren utjecaj smicanja na pomake. Promjenom orijentacije

vlakana rastu vrijednosti vertikalnog pomaka dobivene prema klasičnoj teoriji savijanja,

dok se kod teorije STKŠ može odrediti optimalna konfiguracija slaganja za koju se dobije

minimalni progib poprečnog presjeka na sredini raspona. Proizlazi sa slike 6.5. da za omjer

l/h = 20 vrijednosti vertikalnog pomaka w rastu s promjenom orijentacije vlakana prema

klasičnoj teoriji savijanja te prema teoriji STKŠ. U ovom slučaju minimalna vrijednost

pomaka postiže se za orijentaciju 0°.

173

Slika 6.5. Vertikalni pomak obostrano ukliještenog I−profila opterećenog koncentriranom

silom na sredini raspona (l/h = 20).

U tablicama 6.6. i 6.7. prikazana je usporedba vrijednosti vertikalnih pomaka dobivenih

prema teoriji STKŠ te prema Kim-u [65], za štapove različitih omjera l/h.

Tablica 6.6. Usporedba vrijednosti pomaka w (mm) po teoriji STKŠ te po Kim-u [65] za

obostrano ukliješteni štap opterećen koncentriranom silom (l/h = 5).

I II Konfiguracija slaganja

STKŠ w

Kim [65] w ( )I-II

100 %II

⋅

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = [0]16s 8,533∙10-2 8,554∙10-2 7,650∙10-2 11,539 11,811

[15/-15]4s 7,371∙10-2 7,489∙10-2 6,800∙10-2 8,390 10,132 [30/-30]4s 6,075∙10-2 6,622∙10-2 5,700∙10-2 6,576 16,170 [45/-45]4s 6,041∙10-2 7,283∙10-2 5,900∙10-2 2,395 23,437 [60/-60]4s 7,169∙10-2 8,720∙10-2 6,950∙10-2 3,158 25,468 [75/-75]4s 9,137∙10-2 1,002∙10-2 8,500∙10-2 7,489 17,849 [±90]4s 1,049∙10-1 1,055∙10-1 9,500∙10-2 10,380 11,036

S obzirom na odstupanja prikazana u tablici 6.6., slijedi da je bolje slaganje razultata

dobiveno u slučaju kada se kod analitičkog modela zanemari duljinska deformacija u

smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka.

Vidljivo je iz tablice 6.7. da se za omjer l/h = 20 rezultati dobiveni prema teoriji STKŠ te

prema Kim-u [65] bolje slažu ako je ispunjena pretpostavka da je 0ξσ = . Određena

odstupanja u vrijednostima pomaka prikazana tablicama 6.6. i 6.7. posljedica su različite

definicije rubnih uvjeta kod analitičkog (teorija STKŠ), odnosno kod numeričkog modela

(Kim).

174


obostrano ukliješteni štap opterećen koncentriranom silom (l/h = 20).


STKŠ w

Kim [65] w ( )I-II

100 %II

⋅

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = [0]16s 9,275∙10-1 9,408∙10-1 9,0∙10-1 3,051 4,530

[15/-15]4s 9,297∙10-1 9,621∙10-1 9,3∙10-1 -0,028 3,456 [30/-30]4s 1,038 1,157 1,120 -7,287 3,320 [45/-45]4s 1,331 1,580 1,520 -12,444 3,969 [60/-60]4s 1,739 1,978 1,880 -7,502 5,209 [75/-75]4s 2,060 2,169 2,085 -1,200 4,031 [±90]4s 2,178 2,217 2,175 0,118 1,953

Kod analitičkog modela vitoperenje zbog smicanja postoji neovisno o rubnim uvjetima,

dok je kod numeričkog modela na mjestu uklještenja vitoperenje u potpunosti spriječeno.

Iz tog razloga vrijednosti vertikalnih pomaka, dobivene prema teoriji STKŠ, veće su u

odnosu na vrijednosti dobivene iz numeričke analize prema Kim-u [65]. Utjecaj smicanja

na pomake može se vidjeti iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η , koji su za

omjere l/h = 5 i l/h = 20 (prema teoriji STKŠ) prikazani tablicom 6.8.

Tablica 6.8. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za obostrano ukliješteni

I−profil s dvije osi simetrije opterećen koncentriranom silom na sredini raspona.

Konfiguracija

slaganja


l/h = 5 l/h = 20

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = [0]16 8,734 8,573 1,483 1,473

[15/-15]4s 6,965 6,781 1,372 1,361 [30/-30]4s 4,582 4,452 1,223 1,215 [45/-45]4s 3,327 3,389 1,145 1,149 [60/-60]4s 2,962 3,211 1,122 1,138 [75/-75]4s 3,235 3,398 1,139 1,149 [±90]4s 3,578 3,524 1,161 1,157

Iako je utjecaj smicanja znatno izraženiji za omjer l/h = 5, smicanje se ne može zanemariti

niti za štap omjera l/h = 20 budući da odstupanja od rezultata koje daje klasična teorija

savijanja mogu za konfiguraciju [0]16 dosegnuti vrijednost od 48%.

Tankostjeni I−profil s jednom osi simetrije, prikazan na slici 4.12., slijedeći je oblik

poprečnog presjeka uzet u razmatranje. Za ovaj tip profila karakteristične dimenzije

poprečnog presjeka su dane izrazom (4.14), dok je konfiguracija slaganja laminata

prikazana tablicom 4.17. Štapovi su napravljeni od kompozitnog (staklo/epoksi) materijala

čije su elastične konstante dane izrazom (4.2).

175

Kao prvi primjer s ovim oblikom poprečnog presjeka uzet je u razmatranje ukliješteni štap

(konzola) prikazan slikom 6.2. Za omjere l/h = 50 i l/h = 5 prikazane su tablicama 6.9. i

6.10. vrijednosti vertikalnog pomaka poprečnog presjeka na slobodnom kraju konzolnog

nosača. Pri tome je štap u prvom slučaju opterećen koncentriranom silom iznosa

100 NF = na slobodnom kraju, a u drugom slučaju silom iznosa 10 kNF = na slobodnom

kraju. Rezultati navedeni u tablici dobiveni su s pomoću MKE (ABAQUS), koje u svom

radu daje Kim [65], zatim iz numeričke analize razvijene od strane Kim-a [65] te prema

teoriji STKŠ.

Tablica 6.9. Vertikalni pomak w (cm) na slobodnom kraju konzole I−profila s jednom osi


Konfiguracija

slaganja

ABAQUS [65] Kim [65] STKŠ

0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = QSISO 14,25 14,255 13,401 14,602 13,423 ANG0 8,278 8,276 8,104 8,286 8,115 ANG15 9,146 9,145 8,765 9,157 8,776 ANG30 12,28 12,290 10,959 12,307 10,971 ANG45 17,72 17,735 14,990 17,762 15,007 ANG60 22,40 22,410 19,980 22,445 20,002 ANG75 24,33 24,334 23,319 24,367 23,346

Vidljivo je iz tablice 6.9. izvrsno slaganje rezultata dobivenih predloženom teorijom STKŠ

s rezultatima koje daje MKE [65], odnosno Kim [65]. Također može se uočiti da je

slaganje s rezultatima koje daje MKE [65] bolje kada se pretpostavi da je 0ξσ = .

Tablica 6.10. Vertikalni pomak w (cm) na slobodnom kraju konzole I−profila s jednom osi


Konfiguracija

slaganja

I II III ABAQUS [65] Kim [65] STKŠ

0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = QSISO 1,850 1,806 1,721 1,941 1,787 ANG0 1,426 1,358 1,341 1,382 1,365 ANG15 1,419 1,358 1,320 1,383 1,340 ANG30 1,608 1,562 1,429 1,606 1,445 ANG45 2,101 2,070 1,796 2,152 1,810 ANG60 2,606 2,574 2,331 2,684 2,348 ANG75 2,919 2,877 2,775 2,954 2,797

Imajući u vidu rezultate vertikalnih pomaka prikazane tablicom 6.10., proizlazi da je i za

ovaj primjer bolje slaganje rezultata postignuto za slučaj kada se zanemari normalno

176

naprezanje u smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka. Usporedba vrijednosti

vertikalnih pomaka za konzolu omjera l/h = 5 prikazana je tablicom 6.11.

Tablica 6.11. Usporedba vrijednosti vertikalnih pomaka w po teoriji STKŠ te po MKE [65]

i Kim-u [65] za konzolu opterećenu koncentriranom silom (l/h = 5).

Konfiguracija

slaganja

( )III-I100 %

I⋅ ( )III-II

100 %II

⋅

0ξσ = 0ξε = 0ξσ = 0ξε = QSISO 4,921 -3,406 7,477 3,834 ANG0 -3,062 -4,265 1,792 1,803 ANG15 -2,496 -5,554 1,884 1,529 ANG30 -0,066 -10,128 2,877 1,130 ANG45 2,456 -13,832 3,980 0,801 ANG60 3,011 -9,892 4,291 0,737 ANG75 1,224 -4,175 2,701 0,796

Tablicom 6.12. prikazane su vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η , dobivene

prema teoriji STKŠ za razmatrani primjer konzole opterećene koncentriranom silom na

slobodnom kraju.

Tablica 6.12. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za konzolu opterećenu

koncentriranom silom na slobodnom kraju.

Konfiguracija

slaganja


l/h = 50 l/h = 5

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = QSISO 1,003 1,003 1,335 1,333 ANG0 1,007 1,007 1,693 1,679 ANG15 1,005 1,005 1,535 1,518 ANG30 1,003 1,003 1,321 1,309 ANG45 1,002 1,002 1,208 1,214 ANG60 1,002 1,002 1,176 1,198 ANG75 1,002 1,002 1,200 1,215

Slijedi iz tablice 6.12. da se utjecaj smicanja može zanemariti kod omjera l/h = 50, budući

da maksimalna odstupanja od rezultata koje daje klasična teorija savijanja dosežu

vrijednost od 0,7%. S druge strane kod omjera l/h = 5 smicanje značajno utječe na pomake

te u ovom slučaju odstupanja od rezultata koje daje klasična teorija mogu dosegnuti za

konfiguraciju ANG0 vrijednost od 69,3%.

Nakon konzole slijedeći primjer uzet u razmatranje odnosi se na zglobno-oslonjeni I−profil

s jednom osi simetrije (Slika 4.49), opterećen silom iznosa F = 10kN na sredini raspona

štapa.

177

Slika 6.6. Zglobno-oslonjeni štap opterećen koncentriranom silom na sredini raspona.

Vertikalni pomak poprečnog presjeka na sredini raspona može se prema teoriji STKŠ

opisati izrazom (4.4), gdje je pomak poprečnog presjeka kao krutog tijela bw definiran s:

3

48ba y

Flw

k I= , (6.5)

dok se faktor utjecaja smicanja na pomake η svodi na:

2

1 12 b y

zz

k I

A lη = + . (6.6)

Za omjer l/h = 5 dane su u tablici 6.13. vrijednosti vertikalnog pomaka poprečnog presjeka

na sredini raspona, dobivene prema teoriji STKŠ te prema Kim-u [64]. Također u tablici je

prikazana i usporedba rezultata dobivenih prema teoriji STKŠ i Kim-u [64], s obzirom na

različite hipoteze korištene unutar konstitutivnih izraza analitičkog modela.


zglobno-oslonjeni I−profil s jednom osi simetrije opterećen koncentriranom silom na

sredini raspona (l/h = 5).


STKŠ w

Kim [64] w ( )I-II

100 %II

⋅

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = ANG0 1,901 1,912 1,900 0,094 0,659 ANG15 1,713 1,750 1,700 0,801 2,987 ANG30 1,562 1,716 1,620 -3,562 5,980 ANG45 1,717 2,057 1,880 -8,619 9,456 ANG60 2,126 2,511 2,240 -5,058 12,103 ANG75 2,624 2,827 2,650 -0,973 6,710 ANG90 2,908 2,941 2,900 7,739 8,929

Odstupanja prikazana tablicom 6.13. posljedica su svođenja ravninskog stanja (2D)

naprezanja na jednodimenzionalno stanje unutar teorije STKŠ, a što se postiže

178

zanemarivanjem duljinske deformacije, odnosno normalnog naprezanja u smjeru konture

srednje linije poprečnog presjeka. Numerički model prema Kim-u [64] uzima u obzir

duljinsku deformaciju i normalno naprezanje u smjeru konture srednje linije, stoga

dobivene vrijednosti vertikalnih pomaka leže unutar raspona vrijednosti dobivenih prema

teoriji STKŠ. Grafički prikaz promjene vertikalnog pomaka poprečnog presjeka na sredini

raspona dan je slikom 6.7.


Utjecaj smicanja na pomake može se vidjeti iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja na

pomake η koje su za ovaj primjer prema teoriji STKŠ prikazane tablicom 6.14.

Tablica 6.14. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za zglobno-oslonjeni

I−profil (l/h = 5) s jednom osi simetrije opterećen koncentriranom silom na sredini

raspona.



0ξε = 0ξσ = ANG0 3,775 3,717 ANG15 3,140 3,074 ANG30 2,285 2,238 ANG45 1,835 1,857 ANG60 1,704 1,793 ANG75 1,802 1,860 ANG90 1,925 1,906

Zadni primjer uzet u razmatranje odnosi se na obostrano ukliješteni I−profil s jednom osi

simetrije, opterećen koncentriranom silom iznosa 10 kNF = na sredini raspona

(Slika 6.3). U tablici 6.15. dane su vrijednosti vertikalnog pomaka poprečnog presjeka na

179

sredini raspona obostrano ukliještenog I−profila s jednom osi simetrije. Za različite

konfiguracije slaganja, rezultati u tablici dobiveni su prema teoriji STKŠ odnosno iz

numeričke analize prema Kim-u [64].


obostrano ukliješteni I-profil s jednom osi simetrije opterećen koncentriranom silom na

sredini raspona (l/h = 5).


STKŠ w

Kim [64] w ( )I-II

100 %II

⋅

0ξε = 0ξσ = 0ξε = 0ξσ = ANG0 1,524 1,526 1,490 2,282 2,462 ANG15 1,304 1,323 1,285 1,510 3,014 ANG30 1,049 1,141 1,050 -0,033 8,739 ANG45 1,015 1,226 1,050 -3,242 16,854 ANG60 1,190 1,461 1,200 -0,770 21,758 ANG75 1,532 1,688 1,500 2,136 12,539 ANG90 1,775 1,783 1,770 0,327 0,782

Proizlazi iz tablice 6.15. da se vrijednosti pomaka dobivene prema teoriji STKŠ bolje slažu

s rezultatima koje je u svom radu dao Kim [64], ako se u konstitutivnim izrazima

analitičkog modela zanemari duljinska deformacija u smjeru konture srednje linije. U tom

slučaju najveće odstupanje od −3.242% dobije se za konfiguraciju slaganja ANG45.

Utjecaj smicanja na pomake prikazan je kroz vrijednosti faktora utjecaja smicanja η koje

su za ovaj primjer prema teoriji STKŠ prikazane tablicom 6.16.

Tablica 6.16. Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake η za obostrano uklješteni

I−profil (l/h = 5) s jednom osi simetrije opterećen koncentriranom silom na sredini

raspona.



0ξε = 0ξσ = ANG0 12,102 11,870 ANG15 9,562 9,299 ANG30 6,142 5,955 ANG45 4,341 4,430 ANG60 3,816 4,174 ANG75 4,208 4,443 ANG90 4,701 4,624

180

7. ZAKLJU ČAK

U ovom radu postavljena je približna, inženjerska teorija savijanja i uvijanja kompozitnih

tankostjenih štapova otvorenog presjeka. Na temelju klasične Vlasovljeve teorije razvijen

je analitički model koji uzima u obzir kutne deformacije u srednjoj plohi poprečnog

presjeka te ortotropiju materijala, čime je teorija postala primjenjiva i za relativno kratke

tankostjene kompozitne štapove, kod kojih se utjecaj smicanja ne može zanemariti.

Pretpostavlja se da je poprečni presjek tankostjenog štapa sastavljen od uravnoteženih,

simetričnih laminata kod kojih su pojedini slojevi ojačani istosmjerno orijentiranim

vlaknima. Na nizu jednostavnih primjera razmatran je utjecaj smicanja na pomake i srednje

normalno naprezanje (po debljini stjenke). U obzir uzeti su poprečni presjeci s jednom i

dvije osi simetrije, opterećeni jednoliko raspodijeljenim i koncentriranim opterećenjem.

Razmatrani su zglobno-oslonjeni te obostrano ukliješteni štapovi.

Za različite omjere duljine štapa i visine poprečnog presjeka (l/h), utjecaj smicanja na

pomake i srednje normalno naprezanje razmatran je s pomoću faktora utjecaja smicanja na

pomake te faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje. Kod savijanja

vrijednosti faktora utjecaja smicanja dobivene su iz omjera maksimalnih vrijednosti

vertikalnih pomaka i srednjeg normalnog naprezanja, koje daju u radu razvijeni analitički

model i klasična Euler-Bernoullijeva teorija savijanja štapova. Kod uvijanja su faktori

utjecaja smicanja dobiveni iz omjera maksimalnih vrijednosti kuta uvijanja i srednjeg

normalnog naprezanja, koje daju u radu razvijeni analitički model i klasična Vlasovljeva

teorija uvijanja tankostjenih štapova otvorenog poprečnog presjeka. Dodatno kod uvijanja,

za poprečne presjeke s jednom osi simetrije definiran je i faktor utjecaja smicanja na

pomake u ravnini okomitoj na ravninu simetrije (horizontalne pomake), koji su posljedica

utjecaja smicanja na uvijanje.

Iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja, dobivenih za relativno kratke štapove (omjer

l/h = 3 i l/h = 5), zaključeno je da smicanje značajno utječe na vrijednosti pomaka, a nešto

manje na vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja.

Kod savijanja utjecaj smicanja je posebno izražen, što je pokazano s pomoću više primjera.

S obzirom na analizirane oblike poprečnog presjeka, najveće vrijednosti faktora utjecaja

smicanja na pomake dobivene su za I-profil s jednom osi simetrije, zatim za I-profil s dvije

osi simetrije, a najmanje za T-profil i U-profil, za opterećenje u ravnini simetrije. Utjecaj

smicanja na pomake je znatno izraženiji kod obostrano ukliještenih štapova pa se tako

181

smicanje ne može zanemariti niti za omjer l/h = 10. Imajući u vidu različitu orijentaciju

vlakana, pokazano je da faktori utjecaja smicanja na pomake najveće vrijednosti postižu za

laminate kod kojih su materijalne osi paralelne s uzdužnom osi štapa (unidirectional

laminates). Vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake nešto su manje za laminate

kod kojih su vlakna usmjerena pod kutevima 0◦ i 90◦ (cross-ply laminates), dok za laminate

kod kojih su vlakna orijentirana pod kutem θ± u odnosu na uzdužnu os (angle-ply

laminates), vrijednosti faktora utjecaja smicanja na pomake variraju s promjenom kuta. Iz

promjene vertikalnih pomaka s orijentacijom vlakana pokazano je da funkcije raspodjele,

dobivene prema razvijenom analitičkom modelu, postižu minimum unutar raspona

orijentacije vlakana. Proizlazi da se može postaviti optimalna konfiguracija slaganja, koja

rezultira minimalnim vrijednostima progiba štapa. Numerička verifikacija dobivenih

rezultata vertikalnih pomaka izvršena je usporedbom s rezultatima koje daje programski

paket ADINA, temeljen na metodi konačnih elemenata (MKE). Iz usporedbe s rezultatima

koje daje MKE pokazano je izvrsno slaganje u slučajevima kada je poprečni presjek

sastavljen od laminata kod kojih vlakna paralelna s uzdužnom osi štapa, odnosno u slučaju

kada su vlakna orijentirana pod kutevima 0◦ i 90◦. Za ove tipove laminata, različite hipoteze

unutar konstitutivnih izraza analitičkog modela ( 0ξε = ili 0ξσ = ; ξ -tangenta na srednju

liniju) ne uzrokuju značajnije odstupanje rezultata vertikalnih pomaka. Odstupanja od

rezultata koje daje MKE najveća su za laminate kod kojih su materijalne osi vlakana

usmjerene pod kutem θ± u odnosu na uzdužnu os štapa (angle-ply laminates). Za ovaj tip

laminata, različite pretpostavke unutar konstitutivnih izraza analitičkog modela, utječu na

značajno odstupanje vrijednosti vertikalnih pomaka. Budući da numerički model uzima u

obzir duljinsku deformaciju u smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka, ali i

normalno naprezanje u smjeru konture srednje linije, rezultati koje daje MKE leže unutar

raspona vrijednosti dobivenih s pomoću ovdje razvijenog analitičkog modela. S

povećanjem omjera l/h vrijednosti koje daje MKE konvergiraju rješenju dobivenom

razvijenim analitičkim modelom, za slučaj kada se u konstitutivnim izrazima zanemari

normalno naprezanje u smjeru konture srednje linije. Za relativno dugi štap (l/h = 50)

dobiveno je u ovom slučaju izvrsno slaganje rezultata, za sve konfiguracije laminata u

poprečnom presjeku. S obzirom da je kod ovog omjera l/h utjecaj smicanja zanemariv,

vrijednosti vertikalnih pomaka rastu s povećanjem kuta između materijalnih osi vlakana te

uzdužne osi štapa.

Za razliku od vertikalnih pomaka, utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje kod

182

savijanja je manje izražen. S obzirom na analizirane oblike poprečnog presjeka najveće

vrijednosti faktora utjecaja smicanja dobivene su za I−profil s dvije osi simetrije, zatim za

T−profil, U−profil i I−profil s jednom osi simetrije. Analogno pomacima i ovdje su

najveće vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje normalno naprezanje dobivene za

laminate kod kojih su vlakna paralelna s uzdužnom osi štapa (unidirectional laminates).

Kod relativno kratkih štapova (omjer l/h = 3 i l/h = 5), s povećanjem kuta između

materijalnih osi vlakana i uzdužne osi dolazi do opadanja vrijednosti srednjih normalnih

naprezanja, jer se smanjuje utjecaj smicanja s promjenom orijentacije vlakana. Također

smicanje je izraženije kod obostrano ukliještenih štapova, što se vidi iz vrijednosti faktora

utjecaja smicanja. Numerička verifikacija rezultata i u ovom je slučaju izvršena

usporedbom s rezultatima koje daje MKE. Za različite konfiguracije laminata pokazano je

izvrsno slaganje vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja kod relativno kratkih štapova, i

to za slučaj kada su štapovi zglobno-oslonjeni. Kod obostrano ukliještenog štapa javljaju se

određena odstupanja kod omjera l/h = 3, dok je za omjer l/h = 5 dobiveno vrlo dobro

slaganje rezultata. Odstupanja u vrijednostima pomaka i srednjeg normalnog naprezanja

kod obostrano ukliještenog štapa posljedica su različite definicije rubnih uvjeta kod

analitičkog i numeričkog modela. Deplanacija poprečnog presjeka na krajevima štapa

postoji kod analitičkog modela neovisno o tipu oslonca, dok je na mjestu ukliještenja kod

numeričkog modela deplanacija u potpunosti spriječena.

U odnosu na savijanje, utjecaj smicanja kod uvijanja je manje izražen, što se vidi iz

dobivenih vrijednosti faktora utjecaja smicanja. Analogno slučaju savijanja smicanje je

izraženije kod obostrano ukliještenog štapa, pri čemu su najveće vrijednosti faktora

utjecaja smicanja dobivene za laminate kod kojih su materijalne osi vlakana paralelene s

uzdužnom osi štapa.

S obzirom na analizirane oblike poprečnog presjeka, utjecaj smicanja na pomake je

najizraženiji kod U−profila, a zatim kod I−profila s dvije i jednom osi simetrije. Iz

usporedbe s rezultatima koje daje MKE postignuto je izvrsno slaganje vrijednosti kuteva

uvijanja, za relativno kratke štapove (omjer l/h = 3 i l/h = 5) zglobno vezane na krajevima.

Za slučaj kada se u konstitutivnim izrazima analitičkog modela zanemari normalno

naprezanje u smjeru konture srednje linije poprečnog presjeka dobiveno je također

zadovoljavajuće slaganje razultata za sve konfiguracije laminata u poprečnom presjeku. Pri

tome je najveće odstupanje od 5,546% dobiveno kod U−profila omjera l/h = 3, za

konfiguraciju [60/-60]4s. Kod obostrano ukliještenog štapa izvrsno slaganje rezultata za sve

183

oblike poprečnog presjeka dobiveno je za laminate kod kojih su vlakna paralelna s

uzdužnom osi štapa, odnosno za laminate kod kojih su vlakna usmjerena pod kutevima 0◦ i

90◦. Najveća odstupanja su dobivena za laminate kod kojih su vlakna usmjerena pod

kutevima θ± u odnosu na uzdužnu os, a posljedica su svođenja ravninskog stanja

naprezanja na jednodimenzionalno stanje unutar razvijenog analitičkog modela. Također s

povećanjem omjera l/h vrijednosti koje daje MKE konvergiraju rješenju dobivenom

razvijenim analitičkim modelom, za slučaj kada se zanemari normalno naprezanje u smjeru

konture srednje linije poprečnog presjeka. Kod poprečnih presjeka s jednom osi simetrije,

opterećenih na uvijanje, zbog smicanja dolazi do savijanja poprečnog presjeka u ravnini

okomitoj na ravninu simetrije. U svrhu analize utjecaja smicanja na horizontalni pomak

poprečnog presjeka definiran je faktor utjecaja smicanja na horizontalni pomak specifične

točke poprečnog presjeka. Kod I-profila s jednom osi simetrije vrijednost faktora utjecaja

smicanja na horizontalni pomak točke B spoja struka i gornjeg pojasa, značajno premašuje

vrijednost faktora utjecaja smicanja na kut uvijanja. Iz usporedbe s vrijednostima koje daje

MKE dobiveno je za relativno kratki zglobno oslonjeni štap izvrsno slaganje rezultata

pomaka u ravnini okomitoj na ravninu simetrije, za sve konfiguracije laminata u

poprečnom presjeku. Kod relativno kratkog obostrano ukliještenog štapa dobiveno je

izvrsno slaganje rezultata za laminate kod kojih su vlakna paralelna s uzdužnom osi štapa,

odnosno za slučaj kada su vlakna orijentirana pod kutevima 0◦ i 90◦. Za laminate s

orijentacijom vlakana θ± javljaju se određena odstupanja, kao posljedica redukcije 2D

problema na 1D. Kod U-profila utjecaj smicanja na horizontalni pomak je znatno manje

izražen za zglobno-oslonjeni štap pa se smicanje može zanemariti već kod omjera l/h = 5.

Iz usporedbe s rezultatima koje daje MKE dobiveno je za zglobno oslonjeni štap izvrsno

slaganje vrijednosti horizontalnih pomaka točke C , koja leži na konturi srednje linije u

ravnini simetrije. Kod obostrano ukliještenog štapa faktori utjecaja smicanja na

horizontalni pomak su nešto veći, međutim i dalje znatno manji od vrijednosti dobivenih za

kut uvijanja. Također i u ovom slučaju postoji izvrsno slaganje rezultata za laminate kod

kojih su vlakna paralelna s uzdužnom osi štapa te za laminate kod kojih su vlakna

usmjerena pod kutevima 0◦ i 90◦. U odnosu na kut uvijanja, za laminate kod kojih su vlakna

usmjerena pod kutevima θ± dobivena su nešto manja odstupanja od vrijednosti koje daje

MKE.

Za razliku od savijanja utjecaj smicanja na srednje normalno naprezanje kod uvijanja je

znatno manje izražen, što se vidi iz vrijednosti faktora utjecaja smicanja na srednje

184

normalno naprezanje. Također kod relativno kratkih štapova (omjer l/h = 3 i l/h = 5) s

povećanjem kuta između materijalnih osi vlakana i uzdužne osi dolazi do opadanja

vrijednosti srednjih normalnih naprezanja, jer se utjecaj smicanja smanjuje s promjenom

orijentacije vlakana. Za relativno kratki zglobno-oslonjeni štap te za sve oblike poprečnog

presjeka dobiveno je izvrsno slaganje rezultata koje daju razvijeni analitički model,

odnosno MKE. Rezultati se izvrsno slažu i za sve konfiguracije laminata u poprečnom

presjeku. Kod relativno kratkog obostrano ukliještenog štapa za omjer l/h = 5 dobiveno je

izvrsno slaganje vrijednosti srednjeg normalnog naprezanja, za sve oblike poprečnog

presjeka te za sve konfiguracije laminata u poprečnom presjeku. Manja odstupanja u

vrijednostima srednjeg normalnog naprezanja javljaju se za omjer l/h = 3, i to za laminate

kod kojih su vlakna usmjerena pod kutevima θ± .

S obzirom na dobivene rezultate zaključak je da ovdje razvijeni analitički model vrlo dobro

opisuje strukturno ponašanje tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog poprečnog

presjeka, pri savijanju i uvijanju. To se posebno odnosi na relativno duge i kratke

tankostjene štapove čiji su poprečni presjeci sastavljeni od laminata s vlaknima

paralelnima uzdužnoj osi, odnosno od laminata kod kojih su vlakna usmjerena pod

kutevima 0◦ i 90◦. Za relativno kratke štapove čiji su poprečni presjeci sastavljeni od

laminata s vlaknima orijentiranim pod kutem θ± u odnosu na uzdužnu os, pomaci

dobiveni razvijenom analitičkom metodom pokazuju odstupanja u usporedbi s rezultatima

koje daje MKE. Za štapove s ovom konfiguracijom laminata potrebno je napraviti

eksperimentalnu verifikaciju rezultata.

Doprinos ovog rada očituje se u:

• razvoju analitičkog modela, na temelju klasične Vlasovljeve teorije, kojim je

opisano strukturno ponašanje relativno dugih i kratkih laminiranih tankostjenih

kompozitnih štapova otvorenog presjeka, opterećenih na savijanje i uvijanje s

utjecajem smicanja i ortotropije materijala,

• izvodu analitičkih izraza za normalno i tangencijalno naprezanje, kao i za pomake,

tankostjenih laminiranih kompozitnih štapova otvorenog presjeka opterećenih na

savijanje i uvijanje. U odnosu na klasične teorije savijanja i uvijanja tankostjenih

štapova otvorenog presjeka, izrazi za naprezanja i pomake nadopunjeni su

članovima kojima se uzima u obzir smicanje te ortotropija materijala,

185

• analizi utjecaja smicanja i ortotropije na pomake i naprezanja relativno kratkih,

laminiranih kompozitnih štapova otvorenog presjeka, opterećenih na savijanje i

uvijanje, u parametarskom obliku,

• mogućnosti definiranja optimalne konfiguracije laminata s ciljem dobivanja

minimalnih vrijednosti pomaka te srednjih normalnih naprezanja.

Daljnja istraživanja mogla bi se odnositi na poboljšavanje prikazanog analitičkog modela,

kako bi se opisalo strukturno ponašanje laminata koji nisu obrađeni ovim radom.

186

LITERATURA

[1] A. K. Kaw: Mechanics of composite materials, Taylor & Francis Group, Boca Raton, 2006.

[2] L. Librescu, O. Song: Thin-Walled Composite Beams, Springer, Dordrecht, 2006.

[3] D. Šimić: Proračun bočno pridržanih tankostijenih nosača otvorenog presjeka, Građevinar 56, 277-287, 2004.

[4] N. Anđelić: One View to the Optimization of thin-walled open sections subjected to constrained torsion, FME Transactions 35, 23-28, 2007.

[5] R. Pavazza, Ž. Lozina: An analytical approach to the bending of large tanker with no distorted cross-sections, Proccedings of the X Congree International Maritime Association of Mediterranean, 40-55, 2002.

[6] M. Shama: Torsion and Shear Stresses in Ships, Springer-Verlag, Berlin-Heildeberg, 2010.

[7] A. A. Umanski: Kru čenije i izgib tankostennjih aviakonstrukcii, GIOP, Moskva, 1939.

[8] O. A. Bauchau, J. I. Craig: Structural Analysis With Applications to Aerospace Structures, GIT, Atlanta, 1995.

[9] L.P. Kollar, G.S. Springer: Mechanics of Composite Structures, Cambridge University Press, New York, 2003.

[10] E. Carrera: Mechanics of Multilayered Composite Structures: Basic Concepts and Advanced Theories, Draft of lectures given at CISM, UDINE, October 2012 in the framework of EU Socrates Program.

[11] V.Z. Vlasov: Thin-Walled Elastic Beams, 2nd edition, Israel Program for Scientific Translation Ltd, 1961.

[12] R. Pavazza: Uvod u analizu tankostjenih štapova, Sveučilišni udžbenik, Kigen, Zagreb, 2007.

[13] A. Matoković: Savijanje i uvijanje štapova otvorenog tankostjenog presjeka s utjecajem smicanja, Doktorska disertacija, FESB Split, Sveučilište u Splitu, 2012.

[14] I. Alfirevi ć: Nauka o čvrstoći I , Tehnička knjiga d.d., Zagreb, 1995.

[15] V. Šimić: Otpornost materijala I , Školska knjiga d.d., Zagreb, 1992.

[16] E. Carrera, G. Giunta, M. Petrolo: Beam Structures-Classical and Advanced Theories, John Wiley & Sons, Ltd, 2011.

[17] S. Timošenko: Otpornost materijala, Građevinska knjiga, Beograd, 1972.

[18] S. Timoshenko, J. Goodier: Theory of elasticity, McGraw-Hill, 1970.

[19] G. R. Cowper: The shear coefficient in Timoshenko's beam theory, Journal of Applied Mechanics, 335-340, 1966.

[20] K. Murty: On the shear deformation theory for dynamic analysis of beams, Journal of Sound and Vibration, 101(1), 1-12, 1985.

[21] P. F. Pai, M. J. Schulz: Shear correction factors and an energy consistent beam

187

theory, International Journal of Solids and Structures, 36, 1523-1540, 1999.

[22] F. Gruttmann, W. Wagner: Shear correction factors in Timoshenko's beam theory for arbitrary shaped cross-sections, Computational Mechanics, 27, 199-207, 2001.

[23] R. Pavazza, B. Blagojević: On the stress distribution in thin-walled beams subjected to bending with influence of shear, 4th International Congress of Croatian Society of Mechanics, 2003.

[24] T. M. Roberts, H. Al-Ubaidi: Influence of shear deformation on restrained torsional warping of pultruded FRP bars of open cross-section, Thin-Walled Structures, 39, 395-414, 2001.

[25] Nam-Il Kim, Moon-Young Kim: Exact dynamic/static stiffness matrices of non-symetric thin-walled beams considering coupled shear deformation effects, Thin-Walled Structures, 43, 701-734, 2005.

[26] I. Mechab, A. Tounsi, M. A. Benatta, E. A. Bedia: Deformation of short composite beam using refined theories, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 346, 468-479, 2008.

[27] R. El Fatmi: Non-uniform warping including the effects of torsion and shear forces. Part I: A general beam theory, International Journal of Solids and Structures, 44, 5912-5929, 2007.

[28] R. El Fatmi: Non-uniform warping including the effects of torsion and shear forces. Part II: analytical and numerical applications, International Journal of Solids and Structures, 44, 5930-5952, 2007.

[29] R. El. Fatmi, N. Ghazouani: Higher order composite beam theory built on Saint-Venant's solution. Part I: Theoretical developments, Composite Structures, 93, 557-566, 2011.

[30] N. Ghazouani, R. El. Fatmi: Higher order composite beam theory built on Saint-Venant's solution. Part II: Buit-in effects influence on the behaviour of end-loaded cantilever beams, Composite Structures, 93, 567-581, 2011.

[31] V. L. Berdichevsky: On the Energy of an Elastic Rod, PMM, 45, pp. 518-529, 1982.

[32] Y. Wenbin, D. H. Hodges, V. V. Volovoi, E. D. Fuchs: A generalized Vlasov theory for composite beams, Thin-Walled Structures, 43, 1493-1511, 2005.

[33] A. S. Gendy, A. F. Saleeb, T. Y. P. Chang: Generalized thin-walled beam models for flexural-torsional analysis, Computers and Structures, 42, 531-550, 1992.

[34] K. P. Soldatos, P. Watson: A general theory for the accurate stress analysis of homogeneous and laminated composite beams, International Journal of Solids and Structures, 34 (22), 2857-2885, 1997.

[35] J. N. Reddy, C. M. Wang, K. H. Lee: Relationships between bending solutions of classical and shear deformation beam theories, International Journal of Solids and Structures VOL. 34, No. 26, 3373-3384; 1997.

[36] S. Benscoter: A theory of torsion bending for multicell beams, Journal of Applied Mechanics, 21 (1), 25-34, 1954.

[37] Maddur, S.S., Chaturvedi, S.K.: Laminated composite open profile sections-first order shear deformation theory, Composite Structures, 45, 105-114, 1999.

188

[38] E. J. Sapountzakis, V. G. Mokos: Warping shear stresses in nonuniform torsion of composite bars by bem, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 192, 4337-4353, 2003.

[39] M. Eisenberg: An exact high order beam element, Computers and Structures, 81, 147-152, 2003.

[40] K. Saade, B. Espion, G. Warzee: Non-uniform torsional behavior and stability of thin walled elastic beams with arbitrary cross sections, Thin-Walled Structures, 42, 857-881, 2004.

[41] R. Pavazza: Torsion of thin-walled beams of open cross-section with influence of shear, International Journal of Mechanical Sciences 47, 1099-1122, 2005.

[42] M. Touratier: An efficient standard plate thory, International Journal of Engineering Sciences, 29 (8), 901-916, 1991.

[43] C. Kim, S. R. White: Thick-walled composite beam theory including 3-D elastic effects and torsional warping, International Journal of Solids and Structures, 34 (31-32), 4237-4259, 1997.

[44] O. Rand: A multilevel analysis of solid laminated composite beams, International Journal of Solids and Structures, 38 (22-23), 4017-4043, 2001.

[45] L. Dufort, S. Drapier, M. Grediac: Closed-form solution for the cross-section warping in short beams under three-point bending, Composite Structures, 52, 233-246, 2001.

[46] A. Prokić: New warping function for thin-walled beams I: theory, ASCE Journal of Structural Engineering, 122 (12), 1437-1442, 1996.

[47] C. F. Kollbruner, K. Basler: Torsion in structures, Springer-Verlag, 1969.

[48] A. Gjelsvik: The theory of thin-walled bars, New York, Wiley, 1981.

[49] R. Pavazza: Savijanje i uvijanje štapa otvorenog tankostjenog presjeka na elastičnoj podlozi, Doktorska disertacija, FSB Zagreb, Sveučilište u Zagrebu, 1991.

[50] R. Pavazza: Uvijanje štapa otvorenog tankostjenog presjeka na diskretnoj elastičnoj podlozi, Strojarstvo 32, 265-275, 1990.

[51] R. Pavazza, S. Jović: A comparison of aproximate analytical methods and finite element methods in the analysis of short thin-walled beams subjected to bending by couples, Transactions of FAMENA XXX-2, 2006.

[52] R. Pavazza, S. Jović: A comparison of aproximate analytical methods and finite element methods in the analysis of short thin-walled beams subjected to bending by uniform loads, Transactions of FAMENA XXX-1, 2007.

[53] N.R. Bauld, L. S. Tzeng: A Vlasov theory for fiber-reinforced beams with-thin-walled open cross section, International Journal of Solids and Structures, 20 (3), 277-297, 1984.

[54] R. Chandra, I. Chopra: Structural response of composite beams and blades with elastic couplings, Composites Engineering, 2, 347-374, 1992.

[55] L.C. Bank, P.J. Bednarczyk: A Beam Theory for Thin-walled composite beams, Composite Science and Technology, 32, 265-277, 1988.

[56] E.J. Barbero, R. Lopez-Anido, J.F. Davalos: On the Mechanics of Thin-Walled

189

Laminated Composite Beams, Journal of Composite Materials, 27, 807-829, 1993.

[57] O. Rand: Fundamental closed-form solutions for solid and thin-walled composite beams including complete out-of-plane warping model, International Journal of Solids and Structures, 35 (21), 2775-2793, 1998.

[58] L. Ascione, L. Feo, G. Mancusi: On the statical behaviour of fibre-reinforced polymer thin-walled beams, Composites: Part B, 31, 643-654, 2000.

[59] S.S. Maddur, S.K. Chaturvedi: Laminated composite open profile sections: non-uniform torsion of I-sections, Composite Structures, 50, 159-169, 2000.

[60] O. Song, L. Librescu, N-H. Jeong: Static response of thin-walled composite I-beams loaded at their free-end cross-section: analytical solution, Composite Structures, 52, 55-65, 2001.

[61] N.J. Jung, J-Y. Lee: Closed-form analysis of thin-walled composite I-beams considering non-classical effects, Composite Structures, 60, 9-17, 2003.

[62] J. Lee, S-h. Lee: Flexural-torsional behaviour of thin-walled composite beams, Thin-Walled Structures, 42, 1293-1305, 2004.

[63] J. Lee: Flexural analysis of thin walled composite beams using shear deformable beam theory, Composite Structures, 70, 212-222, 2005.

[64] N-I. Kim, D-K. Shin, M-Y. Kim: Exact solutions for thin-walled open-section composite beams with arbitrary lamination subjected to torsional moment, Thin-Walled Structures, 44, 638-654, 2006.

[65] N-I.Kim: Shear deformable doubly- and mono-symmetric composite I-beams, International Journal of Mechanical Sciences, 53, 31-41, 2011.

[66] ADINA. Theory and Modeling Guide: ARD 13-8, 2013.

[67] Y-S. Park, H-C. Kwan, D-K. Shin: Bending analysis od symmetrically laminated composite open section beam by Vlasov-type thin-walled beam theory, Korea Society of Civil Engineers Journal, 1, 125-141, 2000.

[68] D. Šimić: Teorija tankostijenih nosača otvorenog poprečnog presjeka, Sveučilište u Zagrebu, Građevinski fakultet, Zagreb, 2008.

191

ŽIVOTOPIS

Marko Vukasović rođen je u Splitu 17. lipnja. 1983. godine. Završio je osnovnu školu u

Stobreču te opću gimnaziju Vladimir Nazor u Splitu. Nakon završenog gimnazijskog

obrazovanja upisao je Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje (FESB), smjer-

strojarstvo, gdje je diplomirao u lipnju 2008. godine.

Od listopada 2008. godine zaposlen je na FESB-u kao znanstveni novak-asistent te aktivni

sudionik u istraživačkoj djelatnosti na projektu Ministarstva znanosti, obrazovanja i sporta:

Projekt 023-0231744-3010: Deplanacija i distorzija tankostjenih presjeka (gl. istraž. R.

Pavazza). Uključen je u nastavne aktivnosti na slijedećim kolegijima: Mehanika 1,

Mehanika materijala 1, 2 i 3 na preddiplomskom i diplomskom studiju strojarstva. U

registar znanstvenika uvršten je 2008. godine. Ko-autor je na 4 znanstvena rada iz

znanstvenog polja temeljne tehničke znanosti, grana tehnička mehanika (mehanika krutih i

deformabilnih tijela).

193

BIOGRAPHY

Marko Vukasović was born in Split on 17th June 1983. He completed his elementary

education in Stobrec and secondary education in high school Vladimir Nazor in Split. He

enrolled in the study program in Mechanical Engineering at the Faculty of Electrical

Engineering, Mechanical Engineering and Naval Architecture (FESB) in Split in 2001. He

got his master’s degree in mechanical engineering in June 2008.

Since October 2008 he is employed at Faculty of Electrical Engineering, Mechanical

Engineering and Naval Architecture (FESB) as teaching assistant and active participant in

research activity on project supported by the Ministry of science, education and sports:

Project 023-0231744-3010: Deplanation and distortion of thin-walled sections (princ.

invest. R. Pavazza). He is involved in teaching the following courses: Mechanics I,

Mechanics of Materials I, II and III , at the level of university study program in Mechanical

Engineering and Naval Architecture. He was listed in the Register of researchers in 2008.

He is a co-author of 4 research papers in scientific field basic mechanical sciences.

PRILOZI

195

A. KONSTITUTIVNE JEDNADŽBE KOMPOZITNIH MATERIJALA

Općenito je prihvaćena činjenica da se ponašanje kompozitnih materijala može

pretpostaviti kao linearno-elastično, dok se s druge strane ne može prihvatiti pretpostavka

da su kompozitni materijali izotropni. Odnosi naprezanje-deformacija mogu se analogno

izotropnom materijalu dobiti iz Hooke-ova zakona, gdje su konstante elastičnosti koje

povezuju naprezanje i deformaciju brojnije kod kompozitnih materijala [1]. Najopćenitiji

odnos naprezanje-deformacija, izveden za 3-D tijelo u 1-2-3 ortogonalnom Kartezijevom

koordinatnom sustavu, glasi:

11 12 13 14 15 161 1

21 22 23 24 25 262 2

31 32 33 34 35 363 3

41 42 43 44 45 4623 23

51 52 53 54 55 5631 31

61 62 63 64 65 6612 12

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

σ εσ εσ ετ γτ γτ γ

=

, (A.1)

gdje se 6x6 matrica zove matrica krutosti [ ]C . Postoji 36 konstanti elastičnosti unutar

matrice krutosti. Za slučaj da se promijeni koordinatni sustav potrebno je definirati novu

matricu krutosti koja bi povezala naprezanja i deformacije. Nova matrica krutosti, u novom

ortogonalnom koordinatnom sustavu, biti će funkcija matrice krutosti definirane za stari

koordinatni sustav te kuta između osi novog i starog koordinatnog sustava.

Inverzijom izraza (A.1) dobiven je opći odnos deformacija-naprezanje za 3-D tijelo u

ortogonalnom Kartezijevom koordinatnom sustavu:

11 12 13 14 15 161 1

21 22 23 24 25 262 2

31 32 33 34 35 363 3

41 42 43 44 45 4623 23

51 52 53 54 55 5631 31

61 62 63 64 65 6612 12

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

S S S S S S

ε σε σε σγ τγ τγ τ

=

, (A.2)

gdje se 6x6 matrica zove matrica podatljivosti [ ]S . Za izotropni materijal izvedene su iz

izraza (A.2) inženjerske konstante elastičnosti:

196

11 22 33

12 13 21 23 31 32

44 55 66

1,

,

1,

S S SE

S S S S S SE

S S SG

ν

= = =

= = = = = = −

= = =

(A.3)

gdje su ostali koeficijenti podatljivosti ijS jednaki nuli. Može se pokazati da se zbog

simetrije matrice krutosti 36 konstanti iz izraza (A.1) reducira na 21 nezavisnu konstantu.

Stoga, postoji 21 nezavisna elastična konstanta u općoj matrici krutosti, te također 21

nezavisna konstanta unutar matrice podatljivosti.

Materijal koji u točki ima 21 nezavisnu elastičnu konstantu, naziva se anizotropan

materijal. Nakon što se u određenoj točki pronađu ove konstante, mogu se uspostaviti

odnosi naprezanje-deformacija za tu istu točku. Ako je materijal nehomogen, konstante

elastičnosti mogu varirati od točke do točke.

Mnogi prirodni i sintetički materijali posjeduju materijalnu simetriju, tj. elastična svojstva

su jednaka u smjerovima simetrije. S obzirom na simetriju, reducira se broj nezavisnih

elastičnih konstanti unutar 6x6 matrice krutosti [ ]C . Ovime se pojednostavljuje Hookeov

zakon za različite oblike elastične simetrije.

Ako materijal ima tri međusobno okomite ravnine materijalne simetrije kaže se da je

materijal ortotropan. Matrica krutosti se u tom slučaju reducira na:

[ ]

11 12 13

21 22 23

31 32 33

44

55

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

C C C

C C C

C C CC

C

C

C

=

. (A.4)

Tri međusobno okomite ravnine materijalne simetrije implicira da također postoje i tri

međusobno okomite ravnine elastične simetrije. Kod ortotropnog materijala postoji devet

nezavisnih elastičnih konstanti. Primjer ortotropnog materijala predstavlja sloj vlaknima-

ojačanog laminata koji se sastoji od istosmjerno orijentiranih vlakana (unidirectional

laminas). Matrica podatljivosti se u ovom slučaju reducira na:

197

[ ]

11 12 13

21 22 23

31 32 33

44

55

66

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

S S S

S S S

S S SS

S

S

S

=

. (A.5)

S obzirom na matricu podatljivosti, kod ortotropnog elementa na koji djeluje normalno

opterećenje u glavnim materijalnim smjerovima 1, 2 ili 3 neće doći do promjene oblika,

odnosno kutne deformacije u glavnim ravninama 1-2, 2-3 i 3-1 jednake su nuli. Pri tome će

element doživjeti samo normalne deformacije u smjeru glavnih pravaca 1, 2 i 3. Isto tako

uslijed djelovanja posmičnog opterećenja na element, normalne deformacije biti će jednake

nuli, dok će doći do promjene oblika elementa zbog pojave kutnih deformacija [1].

Može se za ortotropan materijal uspostaviti veza između konstanti elastičnosti danih

matricom podatljivosti (A.5) te devet inženjerskih konstanti. Ako se pretpostavi da na 3-D

ortotropni element djeluju sljedeća naprezanja: 1 2 3 23 310; 0; 0; 0; 0σ σ σ τ τ≠ = = = = ;

12 0τ = , dobije se iz izraza (A.2) s obzirom na (A.5):

1 11 1

2 12 1

3 13 1

23

31

12

,

,

,

0,

0,

0.

S

S

S

ε σε σε σγγγ

======

(A.6)

Young-ov modul elastičnosti u smjeru materijalne osi 1, 1E , definiran je prema:

11

1 11

1E

S

σε

≡ = . (A.7)

Poisson-ov faktor 12ν je definiran kao:

2 1212

1 11.

S

S

ενε

≡ − = − (A.8)

Općenito, ijν je dobiven iz omjera negativne normalne deformacije u smjeru j i normalne

198

deformacije u smjeru i, za slučaj da normalno opterećenje djeluje u smjeru i.

Poissonov faktor 13ν je definiran kao:

3 1313

1 11.

S

S

ενε

≡ − = − (A.9)

Za slučaj da na ortotropni element djeluju naprezanja: 1 0σ = ; 2 0σ ≠ ; 3 0σ = ; 23 0τ = ;

31 0;τ = 12 0τ = , dobije se iz izraza (A.2) s obzirom na (A.5):

22

2 22

1E

S

σε

≡ = , (A.10)

1 1221

2 22,

S

S

ενε

≡ − = − (A.11)

3 2323

2 22.

S

S

ενε

≡ − = − (A.12)

Slično, za slučaj da na element djeluju naprezanja: 1 0σ = ; 2 0σ = ; 3 0σ ≠ ; 23 0τ = ;

31 0τ = ; ,012 =τ slijedi:

33

3 33

1E

S

σε

≡ = (A.13)

13131

3 33,

S

S

ενε

≡ − = − (A.14)

23232

3 33.

S

S

ενε

≡ − = − (A.15)

Ako na element djeluju naprezanja: 1 0σ = ; 2 0σ = ; 3 0σ = ; 23 0τ ≠ ; 31 0τ = ; 12 0τ = ,

slijedi:

2323

23 44

1.G

S

τγ

≡ = (A.16)

Za slučaj da vrijedi: 1 0σ = ; 2 0σ = ; 3 0σ = ; 23 0τ = ; 31 0τ ≠ ; 12 0τ = , dobije se:

3131

31 55

1.G

S

τγ

≡ = (A.17)

199

I na kraju za slučaj da je: 1 0σ = ; 2 0σ = ; 3 0σ = ; 23 0τ = ; 31 0τ = ; 12 0τ ≠ , može se

pokazati da vrijedi:

1212

12 66

1.G

S

τγ

≡ = (A.18)

U izrazima (A.7) do (A.18) definirano je 12 inženjerskih konstanti: 3 Young-ova modula

elastičnosti 1E , 2E i 3E za pojedinu materijalnu os, šest Poissonovih faktora 12ν , 13ν ,

21ν , 23ν , 31ν i 32ν , dva za svaku ravninu te tri modula smicanja 23G , 31G i 12G .

Međutim, šest Poissonovih faktora nije međusobno neovisno. Iz izraza (A.7), (A.8) te

(A.10) i (A.11) proizlazi:

12 21

1 2E E

ν ν= . (A.19)

Također može se pokazati da vrijedi:

13 31 23 32

1 3 2 3, .

E E E E

ν ν ν ν= = (A.20)

Izrazi (A.19) i (A.20) predstavljaju recipročne Poisson-ove jednadžbe [1]. Ove jednadžbe

reduciraju ukupan broj nezavisnih elastičnih konstanti na devet. Ako se matrica

podatljivosti zapiše s pomoću inženjerskih konstanti dobije se:

[ ]

1312

1 1 1

2321

2 2 2

31 32

1 3 3

23

31

12

10 0 0

10 0 0

10 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

10 0 0 0 0

E E E

E E E

E E ES

G

G

G

νν

νν

ν ν

− − − − − − =

. (A.21)

200

Za slučaj da na laminat ne djeluje opterećenje izvan ravnine srednje plohe poprečnog

presjeka, može se pretpostaviti da je pojedini sloj laminata pod utjecajem ravninskog stanja

naprezanja. Mogu se za ovaj slučaj naprezanja u smjeru debljine stjenke zanemariti. Za os

3 koja je okomita na ravninu srednje plohe, odnosno koja je usmjerena po debljini stjenke,

naprezanja 3σ , 31τ i 23τ jednaka su nuli. Ove pretpostavke reduciraju 3-D jednadžbe

naprezanje-deformacija na 2-D sustav jednadžbi. Stoga, iz izraza (A.5) te uz pretpostavku

da vrijedi 3 31 23 0σ τ τ= = = , dobije se:

3 13 1 23 2 23 31; 0.S Sε σ σ γ γ= + = = (A.22)

Normalna deformacija 3ε nije nezavisna, budući da predstavlja funkciju normalnih

deformacija 1ε i 2ε . Međutim komponenta deformacije 3ε može se izostaviti iz

konstitutivnih izraza, kao i kutne deformacije 23γ i 31γ koje su jednake nuli. Izraz (A.2)

može se za ravninsko stanje naprezanja postaviti na sljedeći način:

1 11 12 1

2 12 22 2

12 66 12

0

0

0 0

S S

S S

S

ε σε σγ τ

=

, (A.23)

gdje su ijS elementi matrice podatnosti. Iz izraza (A.23) vidljivo je da postoje 4 nezavisna

elementa unutar matrice podatljivosti. Inverzijom izraza (A.23) dobije se odnos

naprezanje-deformacija u sljedećem obliku:

1 11 12 1

2 12 22 2

12 66 12

0

0

0 0

Q Q

Q Q

Q

σ εσ ετ γ

=

, (A.24)

gdje su ijQ reducirani koeficijenti krutosti. Ovi su koeficijenti krutosti povezani s

koeficijentima podatljivosti preko sljedećih izraza:

22 1211 122 2

11 22 12 11 22 12

1122 662

6611 22 12

, ,

1, .

S SQ Q

S S S S S S

SQ Q

SS S S

= = −− −

= =−

(A.25)

201

Jednadžbe (A.23) i (A.24) daju odnos naprezanje-deformacija preko matrice podatljivosti

[ ]S , odnosno matrice krutosti [ ]Q . S druge strane, naprezanja i deformacije su obično

povezani preko inženjerskih konstanti elastičnosti. Za istosmjerno orijentirani sloj laminata

(unidirectional lamina), ove inženjerske elastične konstante su:

1E - Young-ov modul u uzdužnom smjeru (u smjeru osi 1),

2E - Young-ov modul u poprečnom smjeru (u smjeru osi 2),

12ν - Glavni Poisson-ov faktor,

12G - Ravninski modul smicanja ( u ravnini 1-2).

Četiri nezavisne elastične inženjerske konstante mogu se odrediti eksperimentalno te se

može uspostaviti odnos između inženjerskih konstanti i četiri nezavisne konstante matrice

podatljivosti:

1. Ako na ravninski element djeluje čista vlačna sila u smjeru osi 1, dobije se:

1 2 120, 0, 0.σ σ τ≠ = = (A.26)

Iz (A.23) slijedi da je:

1 11 1

2 12 1

12

,

,

0.

S

S

ε σε σγ

===

(A.27)

Ako je samo naprezanje 1σ različito od nule, može se napisati:

11

1 11

1E

S

σε

≡ = , (A.28)

2 1212

1 11.

S

S

ενε

≡ − = − (A.29)

2. Ako na ravninski element djeluje čista vlačna sila u smjeru osi 2, tada slijedi:

1 2 120, 0, 0.σ σ τ= ≠ = (A.30)


202

1 12 2

2 22 2

12

,

,

0.

S

S

ε σε σγ

===

(A.31)

Ako je samo naprezanje 2σ različito od nule slijedi:

22

2 22

1E

S

σε

≡ = (A.32)

1 1221

2 22.

S

S

ενε

≡ − = − (A.33)

21ν se naziva drugi Poissonov faktor. S obzirom na (A.28) i (A.29) te (A.32) i (A.33)

dobije se:

12 21

1 2E E

ν ν= . (A.34)

3. Ako na element djeluje čista posmična sila u ravnini1-2, tada slijedi:

1 2 120, 0, 0.σ σ τ= = ≠ (A.35)


1

2

12 66 12

0,

0,

.S

εεγ τ

===

(A.36)

Prema definiciji je:

1212

12 66

1.G

S

τγ

≡ = (A.37)

Stoga, pokazano je da vrijedi:

1211 12 22 66

1 1 2 12

1 1 1, , , .S S S S

E E E G

ν= = − = = (A.38)

Također, koeficijenti krutosti su povezani s inženjerskim konstantama preko izraza (A.25)

i (A.38) na sljedeći način:

203

1 12 211 12

21 12 21 12

222 66 12

21 12

, ,1 1

, .1

E EQ Q

EQ Q G

νν ν ν ν

ν ν

= =− −

= =−

(A.39)

Sloj laminata s istosmjerno orijentiranim vlaknima predstavlja ortrotropan strukturni

element, budući da djelovanje normalnih naprezanja u smjerovima 1 i 2 ne utječe na

pojavu kutne deformacije u ravnini 1-2, odnosno zbog činjenice da su:

16 26 16 26 0Q Q S S= = = = . Također, djelovanje posmičnog naprezanja u ravnini 1-2 ne

utječe na pojavu normalnih deformacija u smjerovima 1 i 2.

Općenito, laminat se ne sastoji samo od istosmjerno orijentiranih slojeva (unidirectional

laminas), budući su njihova čvrstoća i krutost niski u poprečnom smjeru. Stoga su kod

većine laminata vlakna pojedinih slojeva postavljena pod kutem, zbog čega je potrebno

razviti izraze naprezanje-deformacija za ovu konfiguraciju slaganja slojeva laminata. Osi 1

i 2 definiraju lokalni koordinatni sustav, odnosno ove osi se još zovu i materijalne osi. Os 1

je paralelna s vlaknima, dok je os 2 okomita na vlakna. Također, u pojedinoj literaturi

smjer osi 1 se još naziva i uzdužni smjer (L), a smjer osi 2 poprečni smjer (T). Osi u x-y

koordinatnom sustavu nazivaju se globalne osi. Kut između lokalnih i globalnih osi je θ .

U prethodnom poglavlju uspostavljene su relacije za lokalni 1-2 koordinatni sustav, te je

sad potrebno postaviti izraze za globalni x-y sustav [1]. Globalna i lokalna naprezanja, za

pojedini sloj laminata, povezana su međusobno preko kuta θ :

[ ]1

12

12

x

y

xy

T

σ σσ σ

ττ

− =

, (A.40)

gdje je [ ]T matrica transformacije, koja je definirana s:

[ ]

2 2

1 2 2

2 2

2

2

c s sc

T s c sc

sc sc c s

−

− =

− −

, (A.41)

i:

204

[ ]

2 2

2 2

2 2

2

2

c s sc

T s c sc

sc sc c s

= − − −

. (A.42)

U gornjim izrazima je: cosc θ= i sins θ= .

Vidljivo je iz izraza (A.40) da je transformacija naprezanja neovisna o materijalnim

svojstvima te da jedino ovisi o kutu između osi x i 1.

S obzirom na (A.24), izraz (A.40) može se zapisati kao:

[ ] [ ]1

12

12

x

y

xy

T Q

σ εσ ε

γτ

− =

. (A.43)

Globalne i lokalne deformacije također su povezane preko matrice transformacije na

sljedeći način:

[ ]1

2

12 / 2 / 2

x

y

xy

T

ε εε ε

γ γ

=

, (A.44)

odnosno:

[ ][ ][ ]1

12

12

x

y

xy

R T R

ε εε εγ γ

− =

(A.45)

gdje je [ ]R Reuterova matrica koja je definirana s:

[ ]1 0 0

0 1 0

0 0 2

R

=

. (A.46)

Supstitucijom izraza (A.45) u izraz (A.43) dobije se:

205

[ ] [ ][ ][ ][ ]1 1x x

y y

xy xy

T Q R T R

σ εσ ετ γ

− −

=

. (A.47)

S obzirom na produkt prvih pet matrica s desne strane izraza (A.47), dobije se:

11 12 16

12 22 26

16 26 66

x x

y y

xy xy

Q Q Q

Q Q Q

Q Q Q

σ εσ ετ γ

=

, (A.48)

gdje su ijQ elementi transformirane reducirane matrice krutosti Q koji su definirani s:

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

4 4 2 211 11 22 12 66

2 2 4 412 11 22 66 12

4 4 2 222 11 22 12 66

3 316 11 12 66 22 12 66

3 326 11 12 66 22 12 66

2 2 4 466 11 22 12 66 66

2 2 ,

4 ,

2 2 ,

2 2 ,

2 2 ,

2 2 .

Q Q c Q s Q Q s c

Q Q Q Q s c Q c s

Q Q s Q c Q Q s c

Q Q Q Q c s Q Q Q s c

Q Q Q Q cs Q Q Q c s

Q Q Q Q Q c s Q s c

= + + +

= + − + +

= + + +

= − − − − −

= − − − − −

= + − − + +

(A.49)

Iako se u izrazu (A.48) javlja šest elemenata matrice Q , vidljivo je iz (A.49) da su oni

funkcije 4 elementa krutosti 11Q , 12Q , 22Q i 66Q te kuta θ . Inverzijom izraza (A.48)

dobije se:

11 12 16

12 22 26

16 26 66

x x

y y

xy xy

S S S

S S S

S S S

ε σε σγ τ

=

, (A.50)

gdje su ijS elementi transformirane, reducirane matrice podatljivosti S :

206

( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

4 2 2 411 11 12 66 22

4 4 2 212 12 11 22 66

4 2 2 422 11 12 66 22

3 316 11 12 66 22 12 66

3 326 11 12 66 22 12 66

2 2 4 466 11 22 12 66 66

2 ,

,

2 ,

2 2 2 2 ,

2 2 2 2 ,

2 2 2 4 .

S S c S S s c S s

S S s c S S S s c

S S s S S s c S c

S S S S sc S S S s c

S S S S s c S S S sc

S S S S S s c S s c

= + + +

= + + + −

= + + +

= − − − − −

= − − − − −

= + − − + +

(A.51)

S obzirom na izraze (A.23) i (A.24), postavljene za istosmjerno orijentirani sloj laminata

opterećen u smjeru materijalnih osi 1 i 2, vidljivo je da ne postoji veza između normalnih i

posmičnih članova deformacije i naprezanja. S druge strane, za sloj kod kojeg su vlakna

usmjerena pod kutem θ , vidljiva je iz izraza (A.48) i (A.50) veza između normalnih i

posmičnih članova. Ako na ovaj sloj djeluje samo normalno naprezanje kutne deformacije

su različite od nule, i obrnuto ako na sloj djeluje samo posmično naprezanje normalne

deformacije su različite od nule. Stoga, jednadžbe (A.48) i (A.50) predstavljaju

konstitutivne izraze za ravninsko stanje naprezanja anizotropnog sloja laminata

S obzirom na prethodno definirane izraze moguće je naći vezu između inženjerskih

konstanti i matrica krutosti i podatljivosti za sloj kod kojeg su vlakna orijentirana pod

kutem θ :

1. Ako želimo odrediti inženjerski modul elastičnosti u smjeru osi x, potrebno je da

na element sloja laminata djeluje sljedeće naprezanje:

0; 0; 0.x y xyσ σ τ≠ = = (A.52)

Iz izraza (A.50) slijedi:

11 12 16; ; .x x y x xy xS S Sε σ ε σ γ σ= = = (A.53)

Modul elastičnosti u smjeru osi x definiran je s:

11

1.x

xx

ES

σε

≡ = (A.54)

Poissonov faktor xyν je definiran s:

207

12

11.y

xyx

S

S

εν

ε≡ − = − (A.55)

Kod sloja kod kojeg su vlakna usmjerena pod kutom θ , za razliku od istosmjerno

orijentiranog sloja opterećenog u smjeru glavnih materijalnih osi 1 i 2, postoji veza između

kutne deformacije i normalnog naprezanja, koja se naziva posmična veza (shear coupling).

Faktor kojim je definirana posmična veza, odnosno koji povezuje normalno naprezanje u

smjeru osi x s kutnom deformacijom u x-y ravnini, zove se normalno-posmični faktor xm

[1] te je definiran s:

1 16 1

1 1x

x xym E S E

σγ

≡ − = − (A.56)

Također može se pokazati da isti parametar xm povezuje posmično naprezanje u x-y

ravnini s normalnom deformacijom u x-smjeru.

2. Za slučaj da na element sloja laminata djeluje sljedeće naprezanje:

0; 0; 0,x y xyσ σ τ= ≠ = (A.57)

slijedi:

12

22 22 26 1

1 1 1, , .y yx

y

SE

S S m S Eν= = − = − (A.58)

Normalno-posmični faktor ym povezuje normalno naprezanje yσ s kutnom deformacijom

xyγ . Također, može se pokazati da faktor ym povezuje posmično naprezanje xyτ u x-y

ravnini s normalnom deformacijom yε .

Iz izraza (A.54), (A.55) te (A.58) slijedi recipročna veza:

yx xy

y xE E

ν ν= . (A.59)

3. Za slučaj da na element sloja laminata djeluje sljedeće naprezanje:

0; 0; 0,x y xyσ σ τ= = ≠ (A.60)

slijedi:

208

1 16 1

1 1,xy

x xm E S E

τε

≡ − = − (A.61)

1 26 1

1 1,xy

y ym E S E

τε

≡ − = − (A.62)

66

1xyG

S= . (A.63)

Izrazi deformacija-naprezanje (A.50) za sloj kod kojeg su vlakna usmjerena pod kutom θ ,

mogu se zapisati s pomoću inženjerskih konstanti na sljedeći način:

1

1

1 1

1

1

1

xy x

x xx x

xy yy y

x yxy xy

yx

xy

m

E E E

m

E E E

mm

E E G

ν

ε σν

ε σγ τ

− − = − − − −

. (A.64)

Šest inženjerskih konstanti prikazanih izrazom (A.64) mogu se prikazati s pomoću

inženjerskih konstanti definiranih za glavne materijalne osi 1 i 2, odnosno s obzirom na

jednadžbe (A.38) i (A.51) na sljedeći način:

( )

11

4 2 2 411 12 66 22

4 2 2 412

1 12 1 2

1

2

21 1 1,

x

SE

S c S S s c S s

c s c sE G E E

ν

=

= + + +

= + − +

(A.65)

( ) ( )

( )

12

4 4 2 212 11 12 66

4 4 2 212

1 1 2 12

1 1 1,

xy x

x

x

E S

E S s c S S S s c

E s c s cE E E G

ν

ν

= −

= − + + + −

= + − + −

(A.66)

209

( ) ( )( )

66

2 2 4 411 22 12 66 66

2 2 4 412

1 2 1 12 12

1

2 2 2 4

42 2 1 12 ,

xy

SG

S S S S s c S s c

s c s cE E E G G

ν

=

= + − − + +

= + + − + +

(A.67)

( ) ( )16 1

3 31 11 12 66 22 12 66

3 312 121

1 2 12 2 1 12

2 2 2 2

2 22 1 2 1,

xm S E

E S S S sc S S S s c

E sc s cE E G E E G

ν ν

= −

= − − − − − −

= − − + + + −

(A.68)

( ) ( )26 1

3 31 11 12 66 22 12 66

3 312 121

1 2 12 2 1 12

2 2 2 2

2 22 1 2 1.

ym S E

E S S S s c S S S sc

E s c scE E G E E G

ν ν

= −

= − − − − − −

= − − + + + −

(A.69)

210

B. DEFINICIJA OSNOVNIH POJMOVA I VELI ČINA

• Temeljno svojstvo tankostjenih štapova, da je debljina presjeka znatno manja od

ostalih dimenzija presjeka, dopušta da se analiza ograniči na srednju plohu štapa,

odnosno na srednju liniju presjeka. Pod srednjom plohom podrazumijeva se

ploha kojoj je svaka točka raspolovnica debljine stjenke presjeka. Srednja linija

dobiva se kad se srednja ploha presječe poprečnom ravninom koja je okomita na

uzdužnu os štapa [12].

• Položaj neke točke S srednje plohe može se odrediti dvjema koordinatama: ( ),S x s ;

prva odgovara pravokutnoj koordinati x, dok je druga krivocrtna koordinata s,

određena u odnosu na ishodišnu točku M. Ishodišna točka M je proizvoljno

odabrana točka na srednjoj liniji poprečnog presjeka, odnosno točka za koju je

krivocrtna koordinata jednaka nuli 0s = . Položaj točke S može se također odrediti

s pomoću pravokutne koordinate x te s pomoću sektorske koordinate ω : ( ),S x ω ,

koja je određena u odnosu na ishodišnu točku M i pol P. Pol P je proizvoljno

odabrana točka u ravnini poprečnog presjeka. Sektorska koordinata ω jednaka je

dvostrukoj površini koju opiše radijvektor PS��

, iz pola P, od točke M do točke S

srednje linije poprečnog presjeka:

0

d , d d ,s

P Ph s h sω ω= =∫ (B.1)

gdje je ( )P Ph h s= okomica iz pola P na tangentu u točki S. Diferencijal sektorske

koordinate pozitivan je ako radijvektor PS��

zakreće oko pola P, duž ds , suprotno

kazaljci na satu; u suprotnom je negativan [12].

• Ako je sektorski statički moment površine dA

S Aω ω= ∫ jednak nuli onda se

ishodišna točka M naziva glavna ishodišna točka. Sektorski statički moment može

biti pozitivan, negativan i jednak nuli, ovisno o položaju pola P [68].

• Ako su sektorski devijacijski momenti tromosti dyA

I z Aω ω= ∫ i dzA

I y Aω ω= ∫

jednaki nuli, onda se pol P naziva glavnim polom. Osim geometrijskog značenja,

glavni pol ima i fizikalno značenje; glavni pol predstavlja i središte posmika,

odnosno točku u ravnini poprečnog presjeka s obzirom na koju je suma momenata

211

svih unutarnjih posmičnih sila, pri savijanju bez uvijanja, jednaka nuli. Također

može se pokazati i da se središte posmika podudara sa središtem torzije, odnosno s

točkom u ravnini poprečnog presjeka oko koje rotira poprečni presjek pri uvijanju

[68].

• Sektorska koordinata ω koja ispunjava uvjete:

0, 0,y zS I Iω ω ω= = = (B.2)

naziva se glavna sektorska koordinata.

• Rubni uvjeti kod numeričkog modela postavljeni su na način da se što bolje slažu s

rubnim uvjetima analitičkog modela. Kod zglobno-oslonjenog nosača, na mjestu

oslonca, u svim čvorovima konture presjeka spriječeni su translatorni pomaci u

smjeru y i z osi. Za ukliješteni nosač, na mjestu ukliještenja, u svim čvorovima

konture presjeka spriječeni su translatorni pomaci u smjeru x, y i z osi. Na sredini

raspona nosača spriječeni su kod zglobno-oslonjenog te ukliještenog nosača, u svim

čvorovima konture presjeka, kutni pomaci (zakreti) oko osiju y i z te translatorni

pomak u smjeru osi x.

savijanje i uvijanje tankostjenih kompozitnih štapova otvorenog

Documents