9 - ekscentricno zatezanje i pritisak 261 - 284.pdf

8/17/2019 9 - EKSCENTRICNO ZATEZANJE I PRITISAK 261 - 284.pdf

1/24

261

Izet Bijelonja, Mašinski fakultet Sarajevo

U prethodnim poglavljima knjige analizirano je stanje napona i deformacija elemenata mašina ikonstrukcija pod dejstvom osnovnih oblika optereenja, koji su izazivali samo aksijalnonaprezanje, savijanje ili uvijanje. Meutim, elementi konstrukcija ili mašina esto su izloženikombinaciji dva ili više osnovnih oblika optereenja izazivajui takozvano složeno naprezanje.Nerijetke su kombinacije istovremenog aksijalnog naprezanja i savijanja, savijanja i uvijanja islino.

Kod složenog naprezanja ukupna deformacija se dobija jednostavno superpozicijomdeformacija od pojedinanih osnovnih oblika optereenja. U sluaju malih deformacija ilinearno elastinog tijela princip superpozicije vrijedi i za napone. Tako da se ukupan napon usluaju složenog naprezanja dobija algebarskim zbirom napona od pojedinanih optereenja.

U ovoj Glavi analiziran je samo sluaj složenog naprezanja koje je rezultat djelovanjaekscentrine aksijalne sile. Pokazano je da se dejstvo ekscentrine aksijalne sile može

analizirati kao kombinacija aksijalnog naprezanja i istog savijanja. U ovoj Glavi definisano je i jezgro presjeka, pojam koji igra važnu ulogu u primjeni konstruktivnih materijala koji imajuvisoku vrstou na pritisak, a nisku ili nikakvu na zatezanje.

Ekscentrino zatezanje i pritisak


2/24

262

U sluaju dejstva ekscentrine sile na elemente konstrukcije u obliku štapa ili grede mogue je

da do

e do gubitka stabilnosti ovih elemenata, što je vezano za pojam izvijanja. Problemizvijanja kao i drugi oblici složenog naprezanja, nisu predmet ove Glave.

9.1 Naponi u sluaju ekscentrinog zatezanja i pritiska

U Glavi 4 ove knjige analiziran je sluaj aksijalnog naprezanja koje je bilo rezultat sile iji sepravac podudara s (geometrijskom središnjom) osom grede ili štapa (centrina aksijalna sila). Upraksi je est sluaj da na dijelove mašina ili konstrukcija djeluje ekscentrina aksijalna sila. Naslici 9.1 dato je nekoliko primjera s dejstvom ekscentrine aksijalne sile.

Sila F na slici 9.1a paralelna je osi dijela A-B kuišta prese, ali pravac sile ne prolazi krozgeometrijsko središte T presjeka a-a i udaljen je od geometrijskog središta za dužinu e, koja senaziva ekscentrinost sile. Ovo je primjer ekscentrinog zatezanja. Primjer noseeg stuba datogna slici 9.1b est je sluaj u graevinskoj praksi. Sila F na slici 9.1b je ekscentrina sila pritiskaza dio stuba A-B. Pravac sila F na slici 1c podudara se s geometrijskom središnjom osom dijelaelementa A-B i C-D i proizvest e samo aksijalne napone u takama poprenog presjeka ovihdijelova. Meutim, sila F je ekscentrina sila u odnosu na geometrijsku središnju osu elementaB-C, tako da je ovaj dio izložen ekscentrinom zatezanju. Proraun napona pri dejstvuekscentrine aksijalne sile pokazan je na slijedeem primjeru.

Primjer 9.1.

Kuište prese, dato na slici 1a, napravljeno je od sivog liva i optereeno je radnom silom F =75 kN. Ose x i y, prikazane na presjeku a-a rama prese, su glavne centralne ose inercije.

Slika 9.1. Primjeri ekscentri nog zatezanja i pritiska

(b)

F

B

A

(c)

F

F

Presjek a-a

B A

DC

(a)

Presjek a-a

x

yA

Be

F


3/24

263

Aksijalni moment inercije poprenog presjeka a-a za osu y je I y = 270⋅10-6 m4, a

površina poprenog presjeka je A = 0,036 m

2

. Potrebno je odrediti raspored napona na presjekua-a rama prese.

Rješenje:

Da bi se zakljuilo o vrsti naprezanja koje vlada u presjeku a-a rama prese odredit e seaksijalna i transverzalna sila kao i moment sprega sila (moment savijanja) koji djeluju u ovompresjeku. Za sistem e se uzeti dio prese prikazan na slici 9.2a, a tri nepoznate vrijednostiunutrašnjih sila koje djeluju u presjeku a-a odredit e se iz statikih jednaina ravnoteže. Iz tristatike jednaine ravnoteže, prema kojima su sume projekcija svih sila na x i z ose jednakenuli i suma momenata svih sila za osu y jednaka nuli, slijedi da je aksijalna sila F z = F ,transverzalna sila F x = 0 i momet savijanja, odnosno moment sprega sila, M = Fe. Iz prethodnihrezultata može se zakljuiti da je dejstvo ekscentrine sile u presjeku a-a statiki ekvivalentnodejstvu aksijalne (centrine) sile zatezanja ili pritiska ovisno o smjeru ekscentrine sile i spregu

sila momenta jednakog momentu ekscentrine sile u odnosu na glavnu centralnu osu inercije y.Odsustvo transverzalne sile u poprenom presjeku znai istovremeno i odsustvo tangencijalnih

napona u ovom presjeku. Obzirom da su tangencijalni naponi na presjeku jednaki nuli, ravanpresjeka je ravan glavnih normalnih napona, to jest, normalni napon u ravni presjeka je glavninormalni napon.

Normalni naponi u poprenom presjeku dobit e se superpozicijom aksijalnih normalnih naponakoji su rezultat dejstva aksijalne sile F z i normalnih napona koji su rezultat momenta savijanja M u presjeku a-a. Obzirom da je transverzalna sila u presjeku jednaka nuli, rije je o istomsavijanju. Na slikama 9.2b i 9.2c dat je raspored napona koji su rezultat pojedinanog dejstvaaksijalne centrine sile i momenta savijanja u presjeku a-a rama prese.

Slika 9.2. Analiza sila i napona na presjeku a-a rama prese

=

x = 1 5 m m

− 2 7 , 0 9 M P a

14,58

x

z

(d)

+

x

y I

y M

z =''σ

x

(c)

z

AF

z A

='σ

(b)

z

x

xF

(a)

F

z

zF

M

e


4/24

264

Ukupan normalni napon u poprenom presjeku dobija se algebarskim zbirom (superpozicijom)

normalnih napona usljed aksijalne sile i momenta savijanja:

x I

M

A

F

y

y A z +=σ . (a)

Treba voditi rauna da je prema konvenciji moment savijanja M y u jednaini (a) pozitivan akoproizvodi napone zatezanja u odnosu na donja vlakna elementa, koja se definišu u odnosu napozitivnu orijentaciju x ose.Prema ovoj konvenciji spreg sila na slici 9.2a pravi negativan moment savijanja, to jest M y =−Μ = −Fe. Aksijalna sila je prema konvenciji o znaku pozitivna ako je zatežua, tako da je F A =F z = F . Uvrštavanjem inteziteta sile i geometrijskih karakteristika presjeka u jednainu (a)dobija se raspored normalnih napona na presjeku a-a :

( ) x x z 89,13808,2102705,01075

036,01075 6

33

−=⋅

⋅−+⋅=−

σ MPa. (b)

Iz jednaine (b) se vidi da se normalni napon σ z mijenja linearno s koordinatom x i da nezavisi od y koordinate taaka presjeka. Vrijednost normalnog napona u takama na lijevomrubu presjeka a-a, ije koordinate su x = −0,09 m (slika 9.1a), slijedi iz jednaine (b) i jednak je σ z = 14,58 MPa. Koordinate taaka na desnom rubu presjeka a-a su x = 0,21 m i iz jednaine(b) dobija se normalni napon u ovim takama, σ z = −27,09 MPa. Raspored normalnog naponaprikazan je na slici 9.2d. Položaj neutralne linije (geometrijskog mjesta taaka u kojima je

normalni napon zσ jednak nuli) slijedi izjednaavanjem jednaine (b) s nulom:

089,13808,2 =−= x zσ ,

odakle se dobija jednaina neutralne linije, x = 0,015 m (slika 9.2d).

U zadatku je reeno da je kuište prese napravljeno od sivog liva, materijala za koji je poznatoda ima veu vrtou na pritisak nego na zatezanje. Iz prethodnih rezultata se vidi da je najveinormalni napon zatezanja po apsolutnoj vrijednosti manji od normalnog napona pritiska što jepozitivna osobina konstrukcije obzirom na manju nosivost sivog liva pri zatezanju.

U prethodnom primjeru pravac ekscentrine sile sjekao je jednu od glavnih centralnih osainercije ( x osu) poprenog presjeka elementa . Na slici 9.3a dat je generalan sluajekscentrinog zatezanja kada pravac sile ne sijee ni jednu od glavnih centralnih osa inercijepresjeka cilindrinog elementa.


5/24

265

Neka su x i y glavne centralne ose inercije poprenog presjeka površine A, a napadnataka sile O( xo, yo). Postupak odreivanje napona u poprenom presjeku ABCD elementa usljedekscentrine sile u principu je isti kao u prethodnom primjeru. Za razliku od prethodnogprimjera, na slici 9.3a se vidi da u ovom sluaju ekscentrina sila pravi moment savijanja oko x i y ose. Da bi se problem ponovo sveo na osnovne oblike naprezanja treba redukovatiekscentrinu silu u geometrijsko središte T presjeka. Radi jednostavnosti, prvo je silaredukovana u taku O’(slika 9.3b), gdje se kao rezultat redukcije dobija sila F s napadnomtakom u O’ i spreg sila koji pravi moment oko x ose, M x = Fyo. Redukcijom sile F snapadnom takom O’ u geometrijsko središte T presjeka, dobija se aksijalna sila F s napadnomtakom u geometrijskom središtu T i spreg sila koji pravi moment oko y ose, M y = Fxo . Naslici 9.3c dat je rezultat redukcije ekscentrine sile F u geometrijsko središte T presjeka. Naslici se vidi da je ekscentrinoj sili F s napadnom takom O( xo, yo) statiki ekvivalentan sistemod jedne aksijalne sile s napadnom takom u geometrijskom središtu presjeka i dva sprega silaiji momenti su jednaki momentima ekscentrine sile za glavne centralne ose inercije presjeka.Ovaj statiki ekvivalentan sistem e dovoljno daleko od napadne take sile biti ekvivalentan ipo pitanju napona i deformacija sili F s napadnom takom O (Sen Venanov princip). Ovajekvivalentan sistem se može jednostavno razložiti na tri osnovna oblika naprezanja: (1)aksijalno naprezanje usljed sile F (slika 9.4a), (2) isto savijanje oko ose x s momentomsavijanja M x = Fyo (slika 9.4b), i (3) isto savijanje oko ose y s momentom savijanja M y =Fxo (slika 9.4c).

Slika 9.3. Analiza problema ekscentri nog zatezanja. Redukcija

ekscentri ne sile na geometrijsko središte.

(a)

xo

yo

F

x

y z

TO

A B

C D

(b)

xo x

y

TO

O’

M x

A B

C D

F

(c)

x

y

T

O

O’

M x

A B

C D

M y

F


6/24

266

Aksijalna sila F i momenti spregova sila M x = M x i M y = M y u presjeku ABCD dobijaju se jednostavno iz statikih jednaina ravnoteže dijela bloka iznad ovog presjeka (slike 9.4a, 9.4b i9.4c). Usljed dejstva aksijalne centrine sile F = F u presjeku ABCD e se javiti uniformannormalni napon zatezanja σ z (slika 9.4d). Rezultat dejstva momenta savijanja M x je normalninapon σ z (slika 9.4e), koji se linearno mijenja s koordinatom y. Rezultat dejstva momentasavijanja M y je normalni napon σ z (slika 9.4f), koji se linearno mijenja s koordinatom x.Ukupan normalni napon može se dobiti superpozicijom normalnih napona usljed pojedinanihdjelovanja aksijalne (centrine) sile i spregova sila:

x I

M y

I

M

A

F

y

y

x

x

z

'''++=σ . (9.1)

Slika 9.4. Analiza napona na presjeku pravougaonog bloka izloženog

ekscentri nom zatezanju

x

y

T

Mx

x

y

T

M y F

x

y

T

B

C D

B

C D

M x M y B

C D

(a) (b) (c)

A AA

A

F z

'' =σ y

I

M

x

x z

''' =σ x

I

M

y

y

z

'''' =σ

x

y

T

M x

x

y

T

M y

x T

B

C D C D

B

C D

(d)

(e)(f)

A A AB

'F

F


7/24


8/24

268

Iz jednaine (9.3) se vidi da položaj neutralne linije ne zavisi od intenziteta sile, ve od

napadne take sile (

xo, y

o) i geometrijskih karakteristika ravnog presjeka (glavnih centralnihpoluprenika inercije). Iz jednaine (9.3) mogu se dobiti i vrijednosti odsjeaka neutralne linijena x i y osi:

o

y

n x

i x

2

−= io

xn

y

i y

2

−= , (9.4)

odakle se može zakljuiti da su odsjeci neutralne linije uvijek suprotnog znaka od koordinatanapadne take sile, što znai da neutralna linija uvijek prolazi sa suprotne strane geometrijskogsredišta u odnosu na napadnu taku sile. Što je napadna taka sile bliža geometrijskom središtu(manje vrijednosti xo i yo ) to su odsjeci neutralne linije na osama vei, to jest neutralna linija je dalje od geometrijskog središta.

Interesantan je sluaj kada je neutralna linije tangenta na konturu presjeka elementa. U ovom

sluaju na cijelom presjeku vladaju normalni naponi istog znaka – naponi zatezanja ili pritiska,zavisno da li se radi o ekscentrinoj sili zatezanja ili pritiska. Ovaj sluaj je posebno

interesantan za tehniku praksu i bie analiziran u sljedeem poglavlju.

Radi jednostavnosti, u prethodnom primjeru je u analizi napona pretpostavljen pravougaonipopreni presjek elementa. Meutim, izložena teorija vrijedi za proizvoljan oblik poprenogpresjeka pod uslovom da su ose x i y glavne centralne ose inercije.

Primjer 9.2.

Za element optereen kao na slici 9.6 potrebno je nai raspored normalnih napona na presjekuABCD ako je F = 64 kN. U istom presjeku odrediti i jednainu neutralne linije.

(a) (b)

Slika 9.6 Primjer ekscentri nog pritiska

CAD

B

F

300 mm

15075

CAB

D

F

M y

x

y M x

T


9/24

269

Rješenje:

Redukcijom sileF

na geometrijsko središte T ravnog presjeka u kojem djeluje sila (slika 9.6b)dobit e se statiki ekvivalentan sistem od aksijalne sile pritiska F = 64 kN, momenta savijanjaoko x ose M x = 64(0,075+0,075) = 9,6 kNm, i momenta savijanja oko y ose M y= 64⋅0,15 =9,6 kNm. Geometrijske karakteristike poprenog presjeka potrebne za proraun napona supovršina A = 0,3⋅0,15 = 0,045 m2, aksijalni moment inercije površine u odnosu na x osu, I x =(0,3⋅0,153)/12 = 8,44⋅10-5 m4 i aksijalni moment inercije površine u odnosu na y osu, I y =(0,15⋅0,33)/12 = 3,37⋅10-4 m4. Ovi aksijalni momenti inercije su ujedno i glavni centralnimomenti inercije za dati presjek.Ukupan normalni napon u presjeku se dobija superpozicijom normalnih napona uzrokovanihaksijalnom silom i momentima savijanja oko x, odnosno y ose:

x y x I

M y

I

M

A

F

y

y

x

x A z 4

3

5

3

2

3

1037,3

106,9

1044,8

106,9

105,4

1064−−−

⋅

⋅+

⋅

⋅+

⋅

⋅−=++=σ ,

odnosno,

x y z 49,2874,11342,1 ++−=σ MPa. (a)

Uvrštavanjem koordinata karakteristinih taaka presjeka ABCD u jednainu (a) dobijaju senormalni naponi u ovim takama:

A(−0,15 m, −0,075 m),

MPa22,14)15,0(49,28)075,0(74,11342,1 −=−⋅+−⋅+−= zσ ,

B(0,15 m, −0,075 m), MPa68,5 −= zσ ,

C(0,15 m, 0,075 m), MPa4,11 = z

σ ,

D(−0,15 m, 0,075 m), MPa84,2 = zσ .

Jednaina neutralne linije slijedi iz jednaine (a) iz uslova σ z = 0,

42,174,11349,28 =+ y x ,

odakle za x = 0 slijedi odsjeak neutralne linije na y osi, yn = 1,42/113,74 = 0,0125 m,odnosno za y = 0 dobija se odsjeak neutralne linije na x osi, xn = 1,42/28,49 = 0,0498 m.Raspored normalnog napona σ z na presjeku dat je na slici 9.7a. Na slici 9.7b dat je i alternativninain prikaza normalnog napona u ravni, prema kojem u svim takama koje leže na pravcuparalelnom neutralnoj liniji djeluje normalni napon jednake veliine.


10/24


11/24

271

Rješenje:

Da bi se odredili normalni naponi u poprenom presjeku (odnosno ravni glavnih normalnihnapona) u kojem leže take A i B potrebno je prvo odrediti aksijalnu silu i momente savijanja upresjeku. Na slici 9.8b data je aksijalna sila i momenti savijanja (spregovi sila) koji su premakonvenciji o znaku pozitivni. Aksijalna sila u poprenom presjeku jednaka je sumi svih

aksijalnih sila s jedne ili druge strane presjeka, F A = −100−200−400 = −700 kN. Momentsavijanja oko x ose, odnosno moment sprega sila M x, jednak je sumi momenata svihspoljašnjih sila s jedne ili druge strane presjeka, M x = 100⋅2,5+200⋅1,5−400⋅2,5 = −450 kNm.Analogno se dobija i moment savijanja oko y ose, M y = 100⋅1−200⋅2+400⋅1 = 100 kNm.

Da bi se izraunali naponi potrebno je poznavati i geometrijske karakteristike poprenogpresjeka. Površina presjeka je A = 4⋅3+2(2⋅1) = 16 m2. Aksijalni momenti inercije mogu seodrediti korištenjem Štajnerove teoreme,

( ) 4233

m3,2512212

122

12

34=

⋅+

⋅+

⋅= x I ,

( ) 4233

m3,17135,112

132

12

25=

⋅+

⋅+

⋅= y I .

Slika 9.8. Stub optereen silama

(a)

400 kN

200 kN

1

1

1

2 m

1

3 m

B

A

100 kN

(b)

AF

x

T

M x

M y

y

B

A


12/24

272

Normalni napon u poprenom presjeku se dobija superpozicijom napona usljed dejstva

aksijalne sile i momenata savijanja M

x i M

y ,

x y x I

M y

I

M

A

F

y

y

x

x A z 3,17

10100

3,25

10450

16

10700 333 ⋅+

⋅−+

⋅−=++=σ ,

odakle je ukupni napon

kPa 78,58,178,43 x y z +−−=σ . (a)

Uvrštavanjem u jednainu (a) koordinata taaka A(1,−2,5) m, i B(2, 1,5) m, dobijaju senormalni naponi u ovim takama,

( ) ( ) kPa 48,6178,55,28,178,43 =⋅+−⋅−−= A zσ ,

( ) kPa 9,58278,55,18,178,43 −=⋅+⋅−−= B z

σ .

Primjer 9.4.

U cijevi kvadratnog poprenog presjeka, debljine stijenke 5 mm, izrezan je s jedne strane otvorBC da bi se osigurao pristup unutrašnjosti cijevi (slika 9.9). Na krajevima cijevi djelujuaksijalne sile intenziteta F = 25 kN u geometrijskim središtima presjeka A i D. Zanemarujuikoncentraciju napona odrediti (1) normalne napone na presjeku cijevi koji nije oslabljen, (2)najvee normalne napone u poprenom presjeku na mjestu otvora i (3) najvee normalnenapone u sluaju da se s druge strane cijevi isjee isti otvor. Težište poprenog presjeka na

mjestu otvora je dato na slici, a glavni centralni moment inercije za osu oko koje se vršisavijanje je I = 176,9⋅103 mm4.

Slika 9.9. Element veze izložen zatezanju

A

B C

D F

F

50 mm

a

a x

y

D

T18,5725

a b

c d

e

Presjek a-a

(a) (b)


13/24

273

Rješenje:

(1) Na mjestu presjeka s geometrijskim središtem A, odnosno D, sila F je centrina sila i uovim presjecima javljaju se uniformni aksijalni naponi

( )MPa 8,27

1040405050

10256

3

=⋅⋅−⋅

⋅==

− A

F z

σ .

(2) Kroz težište T oslabljenog presjeka a-a ne prolazi pravac sile F (slika 9.9b) tako da je onaekscentrina sila za ovaj presjek s ekscentrinošu e = 25−18,57 = 6,43 mm. Usljed dejstva sileF u poprenom presjeku a-a djelovat e aksijalna (centrina) sila F

A = F i moment savijanja

oko x ose, M x = Fe. Do ovog rezultata se može jednostavno doi i analizom statike ravnotežesistema datog na slici 9.10a.

Momet savijanja ima sljedeu vrijednost: Nm75,1601043,61025 33 =⋅⋅⋅== −Fe M x .Površina poprenog presjeka a-a je A = 50⋅50−40⋅45 = 700 mm2. Normalni napon usljeddjelovanja aksijalne sile je konstantan na poprenom presjeku (slika 9.10b),

MPa 7,3510700

10256

3'

=⋅

⋅==

− A

F zσ .

Normalni napon usljed djelovanja momenta savijanja

MPa 7,90910109,176

75,160123

'' y y y I

M

x

x

z =⋅⋅

==−

σ , (a)

Slika 9.10. Analiza sila i napona na presjeku a-a elementa veze

F

(a)

F

A

B

x

T

y M x

ab

cd

(b)

T M x

F

F

A

35,7 28,6

−16,9 MPa

σ ' z σ '' z

+ =

64,3

18,8 MPa

σ z

c,d

a,b


14/24

274

mijenja se linerano sa y koordinatom. Najvei napon zatezanja usljed savijanja je u takama c

id (slika 9.9b) za koje je

y = 25 +

e =31,43 mm, i iz jedna

ine (a) dobija se( ) MPa 6,281043,317,909 3,

''=⋅⋅=

−

d c zσ . Najvei napon pritiska usljed savijanja dobija

se u takama koje leže na pravcu a-b za koje je y = −18,57 mm, tako da je napon u ovim

takama, ( ) ( ) MPa 9,161057,187,909 3,''

−=⋅−⋅= −

ba zσ , (slika 9.10b). Ukupan

normalni napon u presjeku dobija se superpozicijom napona σ z i σ z (slika 9.10b). Ovajnapon u kritinim takama ima sljedee vrijednosti:

( ) MPa8,189,167,35, =−=ba zσ ,

( ) MPa 3,646,287,35, =+=d c zσ .

Na osnovu rezultata vidi se da je isjecanje otvora na elementu imalo posljedicu da su najveinormalni naponi poveani sa 27,8 MPa na 64,3 MPa, to jest, za oko 130 %.Dio zadatka pod (3) u kojem treba ispitati da li e se maksimalni naponi poveati isjecanjemotvora i sa donje strane cijevi, preporuuje se za samostalan rad.

9.2. Jezgro presjeka

U tehnikoj praksi esto se koriste materijali koji imaju veliku vrstou na pritisak, ali malu ilinikakvu vrstou na zatezanje. Primjer su beton, kamen, keramika ili zid od opeke. U dizajnuelemenata konstrukcije napravljenih od ovakvih materijala važno je da ovi elementi ne buduizloženi zatežuim normalnim naponima. est je sluaj da su ovi elementi konstrukcije izloženiekscentrinoj sili pritiska.

U prethodnom poglavlju je pokazano da, u opštem sluaju, ekscentrina sila u jednom dijelupresjeka izaziva normalne napone pritiska, a u drugom zatežue normalne napone. Ova dvaregiona podijeljena su neutralnom linijom. Položaj neutralne linije na presjeku zavisi odgeometrijskih karakteristika presjeka i napadne take sile. Što je napadna taka ekscentrine silepritiska bliže geometrijskom središtu presjeka to je neutralna osa dalje od geometrijskogsredišta, odnosno vei je udio površine koji je optereen na pritisak.U sluaju kada neutralna linija tangira konturu (konveksnog) presjeka u cijelom presjeku vladanapon pritiska, što je poželjna situacija za sluaj elemenata konstrukcije napravljenih odmaterijala koji imaju malu vrstou na zatezanje. U sluaju unaprijed definisanog oblikapoprenog presjeka (to jest, definisanih geometrijakih karakteristika poprenog presjeka)položaj neutralne linije zavisit e iskljuivo od napadne take ekscentrine sile.Za konstruktora je poželjno da unaprijed zna geometrijsko mjesto napadnih taaka ekscentrinesile pritiska za koje e neutralna linija tangirati konturu presjeka ili ležati van presjeka. Ovo

geometrijsko mjesto se naziva jezgro presjeka. Dok napadne take sile leže unutar jezgrapresjeka, u svim takama presjeka vlada pritisak, ili u sluaju ekscentrine zatežue sile u svim

takama presjeka e vladati zatežui normalni napon.


15/24


16/24

276

inercije 21213

1212 / / hbhbh A I i x x === i površina presjeka A = bh, jednaina (a) može

se pisati u obliku

+−= y

h

y

A

F o z 2

121σ . (b)

Iz prethodne jednaine se vidi da e za pozitivno yo najvei napon pritiska biti za maksimalnupozitivnu vrijednost koordinate y, to jest y = h /2 , što odgovara takama ruba C-D na presjeku.Vrijednosti normalnog napona u takama na rubu A-B, za koje je y = −h /2, slijede iz jednaine (b):

−−=

h

y

A

F o z

61σ . (c)

Da bi napon σ z u jednaini (c) uvijek bio negativan, to jest da bi se izbjegli pozitivni (zatežui)normalni naponi, vrijednost u zagradi u jednaini (c) mora biti pozitivna,

06

1 >−h

yo ,

što e biti zadovoljeno za 6 / h yo < . Rezultat do kojeg se došlo izveden je pod uslovom da je yo pozitivno. Analognim izvoenjem, za sluaj negativne vrijednosti yo, dobija se da e na

presjeku postojati samo naponi pritiska ako je 6 / h yo −> . Dakle, ukoliko pri ekscentrinom

pritisku napadna taka sile leži u granicama 6 / 6 / h yh o


17/24

277

++−= xb

x

yh

y

A

F oo z 22

1212

1σ

. (e)

Ako se pretpostavi da je napadna taka sile u I kvadrantu, to jest da su pozitivne koordinate xo i yo, analizom jednaine (e) može se pokazati da e najvei napon pritiska biti u taki C.Obzirom da su x i y koordinate take C pozitivne, slijedi da e izraz u zagradi u jednaini (e)

biti pozitivan, odnosno da e napon σ z u taki C uvijek biti negativan. Meutim, interesantan je napon u taki A, koja ima obje koordinate negativne, tako da je mogue da izraz u zagradi u jednaini (e) bude negativan i u tom sluaju je napon σ z pozitivan. Uvrštavanjem koordinatatake A(−b /2, −h /2) u jednainu (e) slijedi da je napon u ovoj taki

−−−=

b

x

h

y

A

F oo z

661σ ,

odakle se može zakljuiti da se u taki A nee javljati pozitivan napon σ z ako je zadovoljensljedei uslov:

066

1 ≥−− b

x

h

yoo .

Slika 9.12. Jezgro presjeka za pravougaoni ravni presjek

(a)

x

y

T

z h

b

A

B

C

F

yo

xo

(b)

x

y h

A

B

C

D

G

F

E

b/ 6b/ 6

h/ 6 h/ 6

H


18/24

278

Prethodna nejednaina može se napisati i u sljede

em obliku:

16 / 6 /

≤+b

x

h

y oo . (f)

Iz izraza (f) se vidi da e nejednaina biti zadovoljena za sve napadne take sile ( xo, yo) kojeleže na površini koju ograniava prava s odsjecima xn = b /6 i yn = h /6 (prava odreenatakama G-H na slici 9.12b). Rezultat do kojeg se došlo dobijen je na osnovu pretpostavke danapadna taka sile leži u prvom kvadrantu.Slinim postupkom, analizirajui sluajeve u kojima napadne take sile leže u ostala trikvadranta, odnosno uslova da normalni naponi u ostale tri take pravougaonog presjeka B, C iD ne smiju biti pozitivni dolazi se do jezgra presjeka za pravougaoni ravni presjek koje ješrafirano na slici 9.12b.

Važno je znati da je jezgro presjeka uvijek konveksno i da geometrijsko središte presjeka uvijekleži unutar jezgra. Poligonalnom konveksnom presjeku odgovara poligonalno jezgro. Svakomtjemenu poligonalnog presjeka odgovara strana konture jezgra (na primjer, na slici 9.12btjemenu A odgovara strana jezgra presjeka GH), a svakom tjemenu konture jezgra odgovarastrana presjeka (na primjer, tjemenu jezgra G odgovara strana AB presjeka).U sluaju konkavnog presjeka oigledno je na osnovu slike 9.13 da prethodni zakljuak nevrijedi, jer ukoliko se neutralna linija poklapa sa stranama poligona AB i BC ona bi sjeklapopreni presjek na dva dijela u kojima bi djelovali normalni naponi suprotnog znaka.Neutralna linija koja bi prolazila kroz dva tjemena A i C dala bi tjeme konture jezgra kojeodgovara prelomljenom dijelu konture presjeka.

Na slici 9.14 data su jezgra presjeka za neke karakteristine oblike ravnih presjeka koji se mogusresti u tehnikoj praksi.

Slika 9.13. Neutralne linije koje odre uju tjemena jezgra presjeka

n1

n2

n3 n4

n5

A

B C


19/24


20/24


21/24


22/24

282

Rezultat:

F ≤ 72,3 kNZadatak 9.9.

Kuište prese napravljeno je od sivog liva i ima oblik kao na slici 9.18. Odrediti najveudozvoljenu radnu silu prese ako su dozvoljeni naponi u ravni a-a kuišta prese 25 MPa nazatezanje i 100 MPa na pritisak.

Rezultat:

F ≤ 37,5 kN

Zadatak 9.10.

Element veze služi za prenos sile intenziteta 30 kN kao što je prikazano na slici 9.19. Ako jedebljina elementa 40 mm i dozvoljeni normalni napon 73 MPa odrediti širinu elementaw.

Rezultat: w = 79,7 mm

Zadatak 9.11.

Aluminijski nosa uline svjetiljke ima težinu 2300 N. Težina svjetiljke zajedno s noseomkonzolom je 330 N s težištem udaljenim 1,2 m od ose aluminijskog nosaa (slika 9.20).Aluminijski nosa je napravljen od cijevi vanjskog prenika 225 mm i debljine stijenke 18 mm.Odrediti najvee normalne napone zatezanja i pritiska u nosau usljed težina elemenatakonstrukcije.

Rezultat:

σ T = 480 kPa, σ C = −930 kPa

Slika 9.19. Element veze

Slika 9.20. Uli na svjetiljka

G2=330 N

G1=2300 N

w

F

F

50 mm


23/24

283

Zadatak 9.12.

Za betonski nosa dat na slici 9.21 izraunati najvee normalne napone u takama A i B zasluaj (a) optereenja prikazanog na slici i (b) kada se ukloni optereenje u taki C.

Rezultat:

(a) σA=σB=-8MPa (b) 3,15−= Aσ MPa, 67,4= Bσ MPa

Zadatak 9.13.

Tri eline ploe pravougaonog poprenog presjeka dimenzija 25x150 mm su zavarene kao naslici 9.22. Zbog konstrukcionih razloga jedna od ploa je oslabljena tako da su s obje straneisjeene trake širine 25 mm. Ako je dozvoljeni normalni napon 100 MPa odrediti (a)intenzitet sile F kojoj element može biti izložen za sluaj prvobitnih dimenzija elementa i (b)nakon što je presjek oslabljen isjecanjem traka.

Rezultat:

(a) 1125 kN, (b) 817 kN

Zadatak 9.14.

Na zid od cigla djeluje sila s napadnom takom O(0,25 m, 0,5 m) kao što je prikazano na slici9.23. Odrediti normalne napone u tjemenima presjeka ABCD. Zanemariti težinu zida.

Slika 9.22. eli ne plo e

50 mm50

F

Slika 9.21. Betonski nosa

40 kN40 kN

40 kN125

125

100100 mm

AB

75

C


24/24

284

Rezultat:

σ A=9,88 kPa, σ B=−49,4 kPa, σ C =−128 kPa, σ D=−69,1 kPa

Zadatak 9.15.

Dimnjak dat na slici 9.24 ima kvadratni popreni presjek poznate dužine strane b s kružnom

rupom u središtu presjeka. Izraunati najmanji prenik d rupe tako da jezgro presjeka ležikompletno unutar rupe.

Rezultat: d = 0,369b

Slika 9.23. Zid od cigle

O

4,5 3 m800 kN

y

x

A

B

C

O

Slika 9.24. Presjek dimnjaka

b

d

9 - ekscentricno zatezanje i pritisak 261 - 284.pdf

Documents