problemas aritmÉticos

Matemáticas orientadas a las Enseñanzas Académicas 3

ESO

Página 45

Resuelve1 Resuelve los dos problemas del papiro de Rhind que se han propuesto en la página ante-

rior, y respecto al primero de ellos, contesta:

a) ¿Cuánto debe durar una tinaja?

b) ¿Cuánta grasa se puede consumir en un mes?

a) 1 año = 12 meses Una tinaja debe durar 12 : 10 = 1,2 meses.

b) En un mes se puede consumir 10 : 12 = 65 de tinaja.

2 Un banco presta a un interés del 6 % anual.

a) ¿Qué intereses obtendrá al prestar 100 doblones durante un año? ¿Y si los presta du-rante un mes? ¿Y si lo hace durante siete meses?

b) ¿Qué interés obtendrá por prestar 500 doblones durante siete meses?

a) 100 · 1,06 = 106 Al cabo de un año obtendrá 106 – 100 = 6 doblones. 6 : 12 = 0,5 %; 1,005 · 100 = 100,5 Si los presta durante un mes obtendrá un interés de 100,5 – 100 = 0,5 %. 100 · 1,0057 = 103,55 Si lo hace durante siete meses obtendrá un interés de 103,55 – 100 = 3,55 %.b) 500 · 1,0057 = 517,76 Por prestar 500 euros durante siete meses obtendrá un interés de 517,76 – 500 = 17,76 %.

3 Resuelve el problema de la tablilla babilónica propuesto en la página anterior.

CF = 2 · C 8 2C = C · 1,2n 8 CC2 = 1,2n 8 2 = 1,2n

log 2 = log (1,2n) 8 log 2 = n · log 1,2 8 n = ,log

log1 22

= 3,08

3 pROBLEMAS ARITMÉTICOS


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1 APROXIMACIONES Y ERRORES

Página 48

1 Expresa con un número de cifras significativas que te parezca razonable las siguientes cantidades:

a) Número de asistentes a todos los conciertos que hubo en 2019 en España: 20 927 049.

b) Número de abejas que pertenecen a una cierta colmena: 78 421.

c) Altura (en cm) que tiene la torre Burj Khalifa (Dubái): 82 816.

d) Número de estrellas que componen la galaxia Andrómeda: 985 428 372 491.

e) Población mundial: 7 683 589 082 habitantes.

f) PIB (Producto Interior Bruto) del 2017 de España: 1 311 421 328 974 €.

a) 21 000 000 personas b) 80 000 abejasc) 83 000 cm d) 985 000 000 000 estrellase) 8 000 000 000 habitantes f ) 1 300 000 000 000 �

2 ¿Qué podemos decir del error absoluto y del error relativo de estas mediciones?

a) Volumen de una bañera, 326 litros.

b) Volumen de una piscina, 326 m3.

c) Volumen de un pantano, 326 hm3.

d) Volumen de un asteroide, 3,26 · 106 km3.

a) Error absoluto < 0,5 lb) Error absoluto < 0,5 m3 = 500 lc) Error absoluto < 0,5 hm3 = 5 · 108 l = 500 000 000 ld) Error absoluto < 0,005 · 106 km3 = 5 · 103 km3 = 5 · 1015 l

3 Compara el error relativo cometido al hacer las siguientes pesadas:

a) Una ballena, 37 toneladas.

b) Un pavo, 3 kg.

c) Don Anselmo, 87,3 kg.

d) La Tierra, 5,972 · 1021 toneladas.

El menor error relativo se da al pesar la Tierra, porque se usan 4 cifras significativas.Y el mayor error relativo se da al pesar al pavo, porque solo tiene una cifra significativa.


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2 CÁLCULOS CON PORCENTAJES

Página 49

Cálculo mentalExpresa en forma decimal los siguientes porcentajes:

a) 10 % b) 7 % c) 1 %

d) 160 % e) 127 % f) 5 %

a) 0,1 b) 0,07 c) 0,01d) 1,6 e) 1,27 f ) 0,05

Cálculo mental¿Qué tanto por ciento representa cada cantidad respecto a su total?

a) 15 respecto a 30. b) 5 respecto a 20. c) 2 respecto a 10.

d) 30 respecto a 3 000. e) 3 respecto a 4.

a) 50 % b) 25 % c) 20 %d) 1 % e) 75 %

1 Indica el tanto por ciento correspondiente a cada uno de estos decimales:

a) 0,1 b) 0,5 c) 0,9 d) 0,25

e) 1 f) 1,5 g) 1,1 h) 2

a) 10 % b) 50 % c) 90 % d) 25 %e) 100 % f ) 150 % g) 110 % h) 200 %

2 Calcula.

a) El 24 % de 300. b) El 112 % de 560.

c) El 3 % de 83 200. d) El 30 % de 83 200.

e) El 230 % de 5 200. f) El 300 % de 40.

a) 300 · 0,24 = 72 b) 560 · 1,12 = 627,2c) 83 200 · 0,03 = 2 496 d) 83 200 · 0,3 = 24 960e) 5 200 · 2,30 = 11 960 f ) 40 · 3 = 120

3 Calcula el tanto por ciento que representa.

a) 45 respecto a 225. b) 6 160 respecto a 56 000.

c) 4 230 respecto a 9 000. d) 1 922 respecto a 1 240.

e) 6 000 respecto a 4 000. f) 975 respecto a 32 500.

a) 22545 · 100 = 20 8 20 % b)

56 0006 160 · 100 = 11 8 11 %

c) 9 0004 230 · 100 = 47 8 47 % d)

12401922 · 100 = 155 8 155 %

e) 4 0006 000 · 100 = 150 8 150 % f ) 32 500

975 · 100 = 3 8 3 %


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Página 50

Cálculo mental¿Qué índice de variación corresponde a estos aumentos porcentuales?

a) 25 % b) 5 % c) 40 %

d) 80 % e) 110 % f) 200 %

a) 1,25 b) 1,05 c) 1,4d) 1,8 e) 2,1 f ) 3

Cálculo mental¿Qué índice de variación corresponde a estas disminuciones porcentuales?

a) 25 % b) 5 % c) 40 %

d) 15 % e) 88 % f) 1 %

a) 0,75 b) 0,95 c) 0,6d) 0,85 e) 0,12 f ) 0,99

4 Unas acciones que valían a principios de año 13,70 € han subido un 35 %. ¿Cuánto va-len ahora?

Ahora valen 13,70 · 1,35 = 18,50 €.

5 En una comunidad autónoma había 69 580 personas paradas. Han disminuido un 15 %. ¿Cuántas hay ahora?

Ahora hay 69 580 · 0,85 = 59 143 parados.


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Página 51

Cálculo mentalDi la cantidad inicial si sabemos que:

a) Aumenta 50 %; C. final = 1 500. b) Aumenta 50 %; C. final = 3 000.

c) Aumenta 25 %; C. final = 125. d) Aumenta 25 %; C. final = 250.

e) Disminuye 50 %; C. final = 400. f) Disminuye 40 %; C. final = 600.

a) 1 000 b) 2 000 c) 100d) 200 e) 800 f ) 1 000

6 El precio de una batidora, después de cargarle un 21 % de IVA, es de 72,60 €. ¿Cuál es su precio antes de cargarle esos impuestos?

El precio sin IVA es 72,60 : 1,21 = 60 €.

7 Al estirar una goma elástica, su longitud aumenta un 30 % y, en esa posición, mide 104 cm. ¿Cuánto mide sin estirar?

Sin estirar, la goma mide 104 : 1,30 = 80 cm.

8 En unas rebajas en las que se hace el 30 % de descuento, Roberto ha comprado una cá-mara fotográfica por 50,40 €. ¿Cuál era su precio inicial?

Su precio era de 50,40 : 0,70 = 72 €.

9 Una cartera ha repartido el 36 % de las cartas que tenía. Aún le quedan 1 184. ¿Cuántas tenía antes de empezar el reparto?

Si ha repartido el 36 %, le quedan el 64 %; es decir, 1184 : 0,64 = 1 850 cartas.


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Página 52

10 Un comercio aumenta el precio de sus productos un 30 % y, después, pretendiendo de-jarlos al precio inicial, los rebaja un 30 %. ¿Es correcto? Veamos:

a) Un ordenador que inicialmente costaba 1 000 €, ¿cuánto costará en cada paso del pro-ceso?

b) ¿Cuál es la variación porcentual que sufren los artículos respecto al precio inicial?

a) 1 000 € +30 %

⎯⎯→ 1 300 € –30 %

⎯⎯→ 910 €b) Índice de variación total: 1,3 · 0,7 = 0,91. 0,91 – 1 = –0,09 Variación porcentual: baja un 9 %.

11 Un capital de 42 000 € se deposita en un banco al 5 % anual. ¿En cuánto se habrá con-vertido en un año? ¿Y en dos? ¿Y en tres años?

42 000 € 1.er año⎯⎯⎯→ 42 000 · 1,05 = 44 100 €

2.o año⎯⎯⎯→ 44 100 · 1,05 = 46 305 €

3.er año⎯⎯⎯→ 46 305 · 1,05 = 48 620,25 €También puede hacerse así:1 año: 42 000 · 1,05 = 44 100 €2 años: 42 000 · 1,052 = 46 305 €3 años: 42 000 · 1,053 = 48 620,25 €


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3 INTERÉS COMPUESTO

Página 53

1 ¿En cuánto se transforma un capital de 20 000 � colocado al 3,6 % anual durante 5 años?

Se transforma en 20 000 · (1,036)5 = 23 868,7 €.

2 ¿En cuánto se transforman 20 000 � colocados 5 años al 3,6 % anual, con pago de intereses mensual?

Un 3,6 % anual significa un 3,6 : 12 = 0,3 % mensual.Así: 20 000 · (1,003)60 = 23 937,9 €.


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4 PROBLEMAS CLÁSICOS

Página 54

1 Tres socios pusieron 2, 3 y 6 millones de euros, respectivamente, para crear una empresa.

Si las ganancias del primer año ascienden a 75 900 €, ¿cuánto corresponderá a cada uno?

Entre los tres aportaron 2 + 3 + 6 = 11 millones de euros.Por tanto, a cada uno le corresponderá:

Primero 8 112 · 75 900 = 13 800 €

Segundo 8 113 · 75 900 = 20 700 €

Tercero 8 116 · 75 900 = 41 400 €

2 ¿Cómo se podrían repartir 2 310 € entre tres hermanos de forma que a la mayor le co-rresponda la mitad que al menor, y a este, el triple que a la mediana?

8

88

8

x

xx

x x x x23

323 3 2 310 420

Mayor

MedianoMenor

+ + = =

_

`

a

bb

bb

Por tanto, a cada hermano le corresponde:Mayor 8 630 €Mediano 8 420 €Menor 8 1 260 €

3 Tres personas poseían 1/3, 2/9 y 1/6, respectivamente, de una urbanización, junto con un cuarto socio que se retira llevándose su parte. ¿Qué parte de lo que queda correspon-de a cada uno?

Los tres propietarios restantes tienen en total 31

92

61

186 4 3

1813+ + = + + = partes.

Primero 8 :31

1813

136=

Segundo 8 : 1813

1392 4=

Tercero 8 :11813

1363=


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4 Una balsa de 12 150 L se llena con tres grifos cuyos caudales son 14,6 L /s; 8,9 L /s y 4,2 L/s. ¿Cuánto ha aportado cada uno al total de la balsa? Da la solución aproximando hasta las decenas de litro.

Entre los tres grifos tienen un caudal de 14,6 + 8,9 + 4,2 = 27,7 L /s.Por tanto, cada grifo aporta:

Primero 8 ,,

27 714 6 · 12 150 = 6 403,97 L

Segundo 8 ,,

27 78 9 · 12 150 = 3 903,79 L

Tercero 8 ,,

27 74 2 · 12 150 = 1 842,24 L


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Página 55

5 Si mezclamos 12 kg de café de 12,40 €/kg con 8 kg de café de 7,40 €/kg, ¿cuál será el precio de la mezcla?

cantidad precio coste

café 1 12 kg 12,40 /kg 12 · 12,40 = 148,80 café 2 8 kg 7,40 /kg 8 · 7,40 = 59,20 mezcla 20 kg 148,80 + 59,20 = 208

Precio de la mezcla 8 €20 kg208 = 10,4 €/kg

6 Si mezclamos un lingote de 3 500 g con un 80 % de oro con otro lingote de 1 500 g con un 95 % de oro, ¿qué proporción de oro habrá en el lingote resultante? ¿Y si añadimos 2 kg de oro puro?

peso total % oro peso de oro

1er lingote 3 500 g 80 3 500 · 10080 = 2 800 g

2o lingote 1 500 g 95 1 500 · 10095 = 1 425 g

total 5 000 g 2 800 + 1 425 = 4 225 g

Proporción de oro 8 5000 g totales

4 225 g oro · 100 = 84,5 %

Y si añadimos 2 kg de oro puro:

peso total % oro peso de oro

1er lingote 3 500 g 80 2 800 g2o lingote 1 500 g 95 1 425 g3er lingote 2 000 g 100 2 000 g

total 7 000 g 6 225 g

Proporción de oro 8 7

6000 g totales

225 g oro · 100 = 88,9 %

7 Un litro de agua pesa 999,2 g, y un litro de alcohol, 794,7 g. ¿Cuál es el peso de un litro de la disolución obtenida al mezclar 3 L de agua con 7 L de alcohol?

litros peso por litro peso total

agua 3 999,2 g/L 2 997,6 galcohol 7 794,7 g/L 5 562,9 gmezcla 10 8 560,5 g

Gramos por litro de la mezcla 8 ,

108560 5 g

L = 856,05 g/L


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8 Una joyera quiere fundir un lingote de 2 kg de oro de ley 0,85 con otro lingote de 1,5 kg de oro cuya ley es 0,9. ¿Cuál es la ley del lingote resultante?

peso total ley peso de oro

1er lingote 2 000 g 0,85 1 700 g2o lingote 1 500 g 0,9 1 350 g

total 3 500 g 3 050 g

Lingote resultante 8 Ley = 353 050

00 gg

≈ 0,87


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Página 56

9 Un coche va a 120 km/h y un camión a 90 km/h.

a) Si el coche sigue al camión a 75 km de distancia, ¿cuánto tardará en alcanzarlo?

b) Si están a 504 km y se dirigen el uno hacia el otro, ¿cuánto tardarán en cruzarse?

a) El coche se aproxima al camión a una velocidad de 120 – 90 = 30 km/h. Tardará en alcanzarlo:

t = vd

3075= = 2,5 horas.

b) Se aproximan a una velocidad de 120 + 90 = 210 km/h. Tardarán en cruzarse:

t = vd

210504= = 2,4 h

10 La capacidad de un pantano es 981,1 hm3. La capacidad de un pantano es 980 hm3. Ac-tualmente se encuentra al 43 % del total, está recibiendo una aportación de 45 m3/s y se desembalsan 3 200 L/s.

De mantenerse estos caudales, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse hasta un 95 % de su capacidad?

45 m3/s = 45 000 dm3/s = 45 000 L/s980 hm3 = 9,80 · 1011 dm3 = 9,80 · 1011 LLa velocidad de llenado es 45 000 – 3 200 = 41 800 L/s43 % de 9,80 · 1011 L = 4,214 · 1011 L95 % de 9,80 · 1011 L = 9,31 · 1011 LSe quieren llenar 9,31 · 1011 – 4,214 · 1011 = 5,096 · 1011 LTardará en llenarse al 95 %:

t = ,v

vol41800

5 10096 · 11= = 12 191 387,56 s

12 191 387,56 segundos = 3 386 h, 29 min y 47,56 segundos.


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5 PROPORCIONALIDAD COMPUESTA EN PROBLEMAS ARITMÉTICOS

Página 58

1 En el Ejemplo 1, ¿cuántas horas diarias deben trabajar 30 camiones para mover 5 000 m3 de arena?

30 camiones20 camiones

x horas8 horas

5 000 m3

4 000 m3

x = 8 ∙ ·0 0002 4

30 5 000· = 8 ∙ 2 43 5

·· =3 ∙ 5 = 15 horas

2 En el Ejemplo 2, ¿cuántos kilos de pienso se necesitan para alimentar a 50 cerdos durante 80 días?

23 cerdos50 cerdos

50 días80 días

2 990 kgx kg

Proporcionalidad directa

x = 2 990 ∙ 2 00 03 5

5 8·· = 10 400 kg

3 En el Ejemplo 3, ¿cuántas personas con turnos de 10 h/día se necesitan para recoger las olivas en 20 días?

10 operariosx operarios

8 h/día10 h/día

40 días20 días

x = 10 ∙ 00

10 28 4

·· = 8 ∙ 2 = 16 operarios

4 En el Ejemplo 4, ¿cuántas calorías se necesitarán para calentar 1/2 L de aceite desde 15 °C hasta 75 °C?

100 g490 g

50 °C60 °C

2 350 calx cal

x = 2 350 ∙ 500 0

10049 6

·· = 2 350 ∙ 5,88 = 13 818 cal


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5 Para calentar una pieza de hierro de 1 240 g de 10 °C a 150 °C se han necesitado 18 228 cal.

¿Cuántas calorías se necesitarán para subir una pieza de hierro de 3 480 g de 0 °C a 210 °C?

Son dos proporcionalidades directas, a más temperatura se necesitan más calorías y a mayor cantidad de hierro, mayor cantidad de calorías necesarias.

peso de la pieza variación de temperatura calorías

1 240 g 140 °C 18 2281 g 140 °C 14,71 g 1 °C 0,105

3 480 g 210 °C 0,105 · 210 · 3 480 = 76 734

Se necesitarán 76 734 calorías.

6 Para calentar una pieza de hierro de 1 240 g de 10 °C a 150 °C se han necesitado 18 228 cal.

¿A qué temperatura se pondrá una pieza de hierro de 5 kg que está a 20 °C, si se le sumi-nistran 20 000 cal?

Es una doble proporcionalidad directa, a más cantidad de hierro se han de suministrar más calorías para que aumente 1 °C y, dando una cantidad de calorías aumentará una cantidad directamente proporcional de grados.

peso de la pieza variación de temperatura calorías

1 240 g 140 °C 18 2281 g 140 °C 14,71 g 1 °C 0,105

5 kg = 5 000 g, ·0 105 500020000 ≈ 38,1 °C 20 000

Se pondrá a una temperatura de 38,1 °C.


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EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS

Página 59

2. Índice de variación

Hazlo tú• Halla el índice de variación de una cantidad que disminuye un 40 % y aumenta un 120 %.

¿Es un aumento o una disminución?Disminuye un 40 % 8 1 – 0,4 = 0,6Aumenta un 120 % 8 1 + 1,2 = 2,2

0,6 ∙ 2,2 ∙ CI = 1,32 ∙ CI

Luego es un aumento del 32 %.

3. Repartos inversamente proporcionales

Hazlo tú• Reparte 10 000 € de forma inversamente proporcional a 8, 10 y 12.

1 181

10 12 12037+ + =

:81

12037

3715= del total

:112037

371012= del total

:112037

371210= del total

3715 ∙ 10 000 = 4 054,05 �

3712 ∙ 10 000 = 3 243,24 �

3710 ∙ 10 000 = 2 702,7 �


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EJERCICIOS Y PROBLEMAS

Página 60

Practica

Aproximaciones y errores1 Escribe con dos cifras significativas estas cantidades y valora el error cometido en cada

aproximación:

a) Números de votos emitidos en una comunidad autónoma: 4 392 891.

b) Número de votos obtenidos por un partido político: 193 246.

c) Sueldo anual de una persona: 42 121 €.

d) Precio de un equipo de música: 3 246 €.

e) Tamaño de un microprocesador: 43,257 nanómetros.

f) Superficie de una tarjeta SIM: 4 620,68 mm2.

a) 4 400 000 votos b) 190 000 votos c) 42 000 � d) 32 � e) 43 nanómetros f ) 4 600 mm2

2 Compara el error absoluto en las siguientes aproximaciones:

a) Altura de un árbol: 3,58 m.

b) Distancia de mi casa al gimnasio: 1,5 km.

c) Longitud de una etapa ciclista: 98 km.

d) Precio de un piso: 240 000 €.

e) Presupuesto de una casa real: 790 000 €.

f) Audiencia de un programa de televisión: 2 400 000 personas.

¿En cuál de estas aproximaciones se comete menos error relativo?

a) El error absoluto será menor de 0,005 m.b) El error absoluto será menor de 0,05 km.c) El error absoluto será menor de 0,5 km.d) El error absoluto será menor de 5 000 �.e) El error absoluto será menor de 5 000 �.f ) El error absoluto será menor de 50 000 personas.El menor error relativo se da con la medición de la altura de un árbol: 3,58 m ya que se usan tres cifras significativas.

Porcentajes3 Calcula mentalmente.

a) 20 % de 340 b) 2,5 % de 400 c) 75 % de 4 000

d) 150 % de 200 e) 60 % de 250 f) 12 % de 12

a) 68 b) 10 c) 3 000d) 300 e) 150 f ) 1,44


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4 ¿Qué porcentaje representa?

a) 78 de 300 b) 420 de 500

c) 25 de 5 000 d) 340 de 200

a) 26 % b) 84 %c) 0,5 % d) 170 %

5 Halla, en cada caso, la cantidad inicial x, como en el ejemplo:

• 120 % de x = 450 8 1,2x = 450 8 x = 450 : 1,2 = 375

a) 28 % de x = 98 b) 15 % de x = 28,5

c) 2 % de x = 325 d) 150 % de x = 57

a) 0,28x = 98 8 x = 98 : 0,28 = 350b) 0,15x = 28,5 8 x = 28,5 : 0,15 = 190c) 0,02x = 325 8 x = 325 : 0,02 = 16 250d) 1,5x = 57 8 x = 57 : 1,5 = 38

6 Calcula el valor de x, como se hace en el ejemplo.

• x % de 320 = 48 8 48 : 320 = 0,15 8 x = 15 %

a) x % de 300 = 60 b) x % de 60 = 59,4

c) x % de 1 600 = 720 d) x % de 98 = 107,8

a) 60 : 300 = 0,2 8 x = 20 %b) 59,4 : 60 = 0,99 8 x = 99 %c) 720 : 1 600 = 0,45 8 x = 45 %d) 107,8 : 98 = 1,1 8 x = 110 %

7 ¿Por qué número hay que multiplicar la cantidad inicial para obtener la final en cada caso?

a) Aumenta un 12 %. b) Disminuye el 37 %.

c) Aumenta un 150 %. d) Disminuye un 2 %.

e) Aumenta un 10 % y, después, el 30 %.

f) Disminuye un 25 % y aumenta un 42 %.

a) 1 + 0,12 = 1,12 b) 1 – 0,37 = 0,63c) 1 + 1,5 = 2,5 d) 1 – 0,02 = 0,98e) (1 + 0,1)(1 + 0,3) = 1,43 f ) (1 – 0,25)(1 + 0,42) = 1,065


ESO

8 Calcula el índice de variación y la cantidad final:

a) 325 aumenta el 28 %. b) 87 disminuye el 80 %.

c) 425 aumenta el 120 %. d) 125 disminuye el 2 %.

e) 45 aumenta el 40 % y el 30 %. f) 350 disminuye el 20 % y el 12 %.

a) IV = 1,28 CF = 416b) IV = 0,2 CF = 17,4c) IV = 2,2 CF = 935d) IV = 0,98 CF = 122,5e) IV = 1,4 · 1,3 = 1,82 CF = 81,9f ) IV = 0,8 · 0,88 = 0,704 CF = 246,4

9 ¿Qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde a estos índices de variación?

a) 1,54 b) 0,18 c) 0,05

d) 2,2 e) 1,09 f) 3,5

a) Aumento 54 %. b) Disminución 82 %. c) Disminución 95 %.d) Aumento 120 %. e) Aumento 9 %. f ) Aumento 250 %.

10 ¿Qué porcentaje es?

a) El 40 % del 40 %. b) El 25 % del 20 %.

c) El 30 % del 120 %. d) El 150 % del 20 %.

a) 0,4 · 0,4 = 0,16 8 16 % b) 0,25 · 0,20 = 0,05 8 5 %c) 0,30 · 1,2 = 0,36 8 36 % d) 1,5 · 0,2 = 0,3 8 30 %


ESO

11 Calcula, en cada caso, la cantidad que falta:

cantidad inicial variación porcentual cantidad final

850 ↑ 18 %

4 500 ↓ 48 %

75 ↑ 110 %

5 600 4 592

326 603,1

↑ 32 % 165

↓ 0,8 % 4 140

cantidad inicial variación porcentual cantidad final

850 ↑ 18 % 1 0034 500 ↓ 48 % 2 340

75 ↑ 110 % 157,55 600 ↓18 % 4 592

326 ↑ 85 % 603,1

125 ↑ 32 % 165

4 173,4 ↓ 0,8 % 4 140

12 Relaciona fracciones, decimales (índices de variación) y porcentajes.

fracción 13/20

decimal 0,38 1,15

porcentaje ,24 8!

,13 6!

fracción 13/20 38/100 31/125 115/100 41/300(*)

decimal 0,65 0,38 0,248 1,15 , 60 13!

porcentaje 65 38 ,24 8!

115 ,13 6!

(*) , :813 6 9123

9123 100 900

12330041= = =

!


ESO

Página 61

Resuelve problemas básicos

Porcentajes13 El año pasado, un litro de aceite costaba 3,95 €, y este año, 4,90 €. ¿Qué tanto por cien-

to ha subido?

3,95 ∙ IV = 4,90 8 ,, ,I 3 95

4 90 1 24V = =

Ha habido un aumento de precio, luego buscamos la variación porcentual tal que 1 + Vp = 1,24 8 Vp = 0,24 % ha subido.

14 En una clase, han aprobado todas las asignaturas 24 estudiantes, que son el 75 % del total.

a) ¿Cuántos estudiantes hay en la clase? b) A final de curso, aprobaron todo el 87,5 %. ¿Cuántos estudiantes suspendieron algu-

na?

24 estudiantes son el 10075 del total

43 equivalen a 24 estudiantes, luego

41 equivaldrá a

324 8= estudiantes.

a) Hay 24 + 8 = 32 estudiantes en clase.b) Suspendieron 100 – 87,5 = 12,5 %.

Calculamos el 12,5 % de 32 8 ,100

12 5 32· = 4

Conclusión: 4 estudiantes suspendieron alguna.

15 En un partido de balonmano, una jugadora A ha marcado 2/5 de 30 intentos; otra, B, 6 de 16, y una tercera, C, el 36 % de 25 intentos. ¿Cuántos goles ha marcado cada una? ¿Qué porcentaje de goles con respecto al total ha anotado cada una?

Calculamos 52 de 30 8 5

2 ∙ 30 = 12 goles A.

6 goles B.

Calculamos el 36 % de 25 8 10036 25· = 9 goles C.

El total de goles es 12 + 6 + 9 = 27.

1712 ∙ 100 = ,44 4

! % es el porcentaje de goles de A.

726 ∙ 100 = ,22 2

! % es el porcentaje de goles de B.

729 ∙ 100 = ,33 3

! % es el porcentaje de goles de C.


ESO

16 Un edificio, presupuestado inicialmente en un millón y medio de euros, costó finalmen-te dos millones cien mil euros. ¿En qué tanto por ciento el coste real superó al presu-puestado?

,

,,

88

88x x x00 000 00 000

1 5

2 115 21 1 4

Cantidad inicial millonesÍndice de variaciónCantidad final millones

· = =

_

`

a

bb

bb

El coste real superó en un 140 % – 100 % = 40 % el coste real.

17 El precio de un videojuego subió un 28 % y después lo rebajaron un 30 %. Si el precio inicial era 58 €, calcula el índice de variación y el precio final.

58 ∙ +28 %⎯⎯→∙ 1,28

58 ∙ 1,28 = 74,24 ∙ +30 %⎯⎯→∙ 0,70

74,24 ∙ 0,70 = 51,968 �

Para calcular el IV hacemos 1,28 ∙ 0,70 = 0,896 como es menor que 1 ha habido una dismi-nición.

Repartos proporcionales18 Entre Ana, Berta y Carla han cobrado 900 € por repartir publicidad. Si Ana repartió

150 folletos; Berta, 250, y Carla, 200, ¿cuánto le toca a cada una?

En total han repartido 150 + 250 + 200 = 600 folletos. Luego a cada una le corresponde:

Ana 8 600150 ∙ 900 = 225 �

Berta 8 600502 ∙ 900 = 375 �

Carla 8 6002 00 ∙ 900 = 300 �

19 Tres empresas ponen 15 000 €, 12 000 € y 18 000 €, respectivamente, para montar un negocio. Si este año su negocio ha obtenido un beneficio de 18 000 €, ¿cuánto le corres-ponde a cada una?

El capital total inicial de la empresa fue:15 000 + 12 000 + 18 000 = 45 000 �

Socio 1 8 15 00045 000

∙ 18 000 = 6 000 �

Socio 2 8 45 0001 0002 ∙ 18 000 = 4 800 �

Socio 3 8 45 0001 0008 ∙ 18 000 = 7 200 �


ESO

20 Para llenar una piscina de 42 000 L, se utilizan tres mangueras cuyos caudales son 240 L/min, 360 L/min y 480 L/min. ¿Qué cantidad de agua aportó cada grifo?

El caudal total de las tres mangueras es:240 + 360 + 480 = 1 080 L/min

Manguera 1 8 0 01 8240 ∙ 42 000 = ,9 333 3

! L/min

Manguera 2 8 1 080360 ∙ 42 000 = 14 000 L/min

Manguera 3 8 1 080480 ∙ 42 000 = ,18 666 6

! L/min

Mezclas 21 En una bodega se mezclan 7 hL de vino de alta calidad que cuesta a 450 € el hectólitro,

con 11 hL de vino de calidad inferior a 280 €/hL. ¿A cómo sale el litro del vino resultan-te? (Aproxima hasta las décimas y di el orden del error cometido).

litros €/hl precio total

vino alta calidad 7 450 3 150 €vino baja calidad 11 280 3 080 €

mezcla 18186230 = 346,1 6 230 €

22 Se mezclan 8 litros de aceite con otro más barato de 2,80 €/L para obtener 20 litros a 4 € el litro. ¿Cuál es el precio del aceite más caro?

Mezclamos 8 litros de un aceite que cuesta x €/L con 12 litros de otro aceite que cuesta 2,80 €/L. Obtenemos 20 litros a 4 € el litro.

8x + 12 ∙ 2,80 = 20 ∙ 4 8 8x = 80 – 33,6 8 x = ,8

46 4 = 5,8 euros el litro.

23 Hemos mezclado 30 kg de café de 9 €/kg con 50 kg de otro café de calidad inferior. La mezcla resultante se vende a 7,50 €/kg. ¿Cuál es el precio por kilogramo del café de ca-lidad inferior?

cantidad precio (€/kg)

café superior 30 9

café inferior 50 · , ·50

80 7 50 30 9– = 6,60

mezcla 80 7,50


ESO

Móviles

24 Un autobús sale de A a 105 km/h. Media hora después sale de B un coche a 120 km/h. La distancia entre A y B es de 300 km. Calcula la distancia que recorre cada uno hasta que se cruzan.

Antes de salir el coche, el autobús recorre una distancia de 105 · 0,5 = 52,5 km.Por tanto, para que se encuentren hay una distancia de 300 – 52,5 = 247,5 km.La velocidad con la que se aproximan es de 105 + 120 = 225 km/h.

El tiempo que tardan en cruzarse es t = ,vd

225247 5= = 1,1 h = 1 h 6 min.

La distancia que recorre cada uno hasta que se cruzan:Autobús 8 52,5 + 105 · 1,1 = 168 kmCoche 8 120 · 1,1 = 132 km

25 Un camión sale de cierta población a una velocidad de 90 km/h. Cinco minutos más tarde sale en su persecución una moto a 120 km/h. ¿Cuánto tiempo tarda la moto en alcanzar al camión?

5 min = 121 h

El camión recorre 90 · 121 = 7,5 km antes de que salga la moto.

Se aproximan a una velocidad de 120 – 90 = 30 km/h.

Por tanto, la moto tardará en alcanzar al camión t = ,vd

307 5= = 0,25 h = 15 min

26 Antón y Berta conducen por una autovía en sentidos opuestos. A las 11:00 h, Antón pa-sa por la salida 17 y va hacia el norte a una velocidad de 90 km/h. A la misma hora, Ber-ta pasa por la salida 29 y va hacia el sur a 120 km/h. Si entre las dos salidas hay 42 km de distancia, ¿a qué hora se cruzarán?

La velocidad total de los dos es: 90 + 120 = 210 km/h.

Calculamos el tiempo que tardan en cruzarse t = vd

21042= = 0,2 h = 12 min.

Se cruzarán a las 11 h y 12 min.

27 Tres grifos, cuyos caudales son 300 L/min, 120 L/min y 180 L/min, vierten en un depó-sito de 2 100 litros. El depósito tiene un desagüe que vacía 4 L/s. Calcula el tiempo que tardará en llenarse el depósito si abrimos los tres grifos y el desagüe.

El desagüe vacía 4 L al segundo luego, en 1 minuto vacía 4 ∙ 60 = 240 L.Entonces en 1 minuto se llena 300 + 120 + 180 – 240 = 360 L.Los 2 100 L se llenaran en:

,360

2 100 5 83=!

min 8 5 min y 50 seg.


ESO

Proporcionalidad compuesta 28 Hemos empleado 5 días y 2 horas en hacer una ruta en bicicleta de 384 km, pedaleando

6 h al día.

a) ¿Cuánto recorrimos cada día?

b) Si pedaleamos 5 h al día, ¿cuántos días necesitaremos para hacer 600 km?

a) Recorrimos 72 km cada día, menos el último, que recorrimos 24 km (pedaleando a 12 km/h).

b)

88x

x1 12

600 12600 50

h kmh km

h= =4

Necesitamos 50 h para hacer 600 km. Si cada día hacemos 5 h, necesitaremos 10 días.

29 Si 4 mineros perforan 15 m en 9 días, ¿cuántos metros perforarán 6 mineros en 15 días?

4 mineros que trabajan 9 días, abren una galería de 15 metros.

1 minero, trabajando 1 día, abre ·

,4 915 0 416=

! metros.

Por tanto, 6 mineros, trabajando 15 días, abrirán una galería de 6 · 15 · ,0 416!

= 37,5 metros.

30 En una cadena de montaje, 17 personas, trabajando 8 horas al día, ensamblan 850 apa-ratos de radio a la semana. ¿Cuántas horas diarias deben trabajar la próxima semana, pa-ra atender un pedido de 1 000 aparatos, teniendo en cuenta que se añadirá un refuerzo de tres personas?

n.º personas horas diarias trabajadas n.º aparatos ensamblados

17 8 8501 8 501 1 6,25

20 , ·6 25 201000 = 8 1 000

31 En un comedor de empresa, con 113 comensales, se han consumido 840 yogures en 20 días laborables. ¿Será suficiente una reserva de 200 yogures para los próximos cinco días en los que se prevé una afluencia media de 120 comensales/día?

n.º comensales n.º yogures n.º días laborables

113 840 20

1·113 20

840 = 0,37 1

120 0,37 · 120 · 5 = 222 5

Para los próximos cinco días, con una afluencia de 120 comensales, se necesitarán 222 yogu-res, por tanto, la reserva de 200 yogures no será suficiente.


ESO

Página 62

Resuelve problemas

32 El precio de un billete de avión bajó un 24 %, pero en marzo subió un 28 % y pagué 327 €. ¿Cuál era el precio inicial? ¿Qué porcentaje de descuento o de aumento me hicie-ron?

Sea x el precio inicial del billete.

x –24 %⎯⎯→∙ 0,76

x = 0,76 +28 %⎯⎯→∙ 1,28

x ∙ 0,76 ∙ 1,28

La cantidad final es 327 € 8 x ∙ 0,76 ∙ 1,28 = 327 8

8 x = , · ,0 76 1 28

327 8 x = ,0 9728327 8 336,14 €

Índice de variación total = Índice 1.ª variación ∙ Índice 2.ª variación0,76 ∙ 1,28 = 0,9728 = 1 – 0,0272. Corresponde a un descuento del 2,7 %.

33 Al repartir un premio entre tres personas de forma directamente proporcional a 8, 10 y 12, respetivamente, a la tercera le han correspondido 1 344 €. Calcula lo que le corresponde a la primera y a la segunda.

8 + 10 + 12 = 30

Sabemos aque al tercero le han correspondido 1 344 € del total 8 · x3012 = 1 344 8

8 x = ·12

30 1 344 = 3 360 €

Luego el total del premio es 3 360 €.

Al primero le corresponde 308 ∙ 3 360 = 896 €.

Al segundo le corresponde 3010 ∙ 3 360 = 1 120 €.

34 Se han vertido 3 litros de agua, a 20 °C, en una olla que contenía 5 litros de agua a 60 °C. ¿A qué temperatura está ahora el agua de la olla? ¿Cuál sería la temperatura si añadimos además 2 litros a 50 °C?

litros temperatura

olla 1 3 20 °Colla 2 5 60 °C

mezcla (olla 3) 8 · ·8

3 20 5 60+ = 45 °C


ESO

35 Tres hermanos se reparten una herencia de 2 820 € de forma que por cada cinco euros que reciba el mayor, el mediano recibirá cuatro, y el pequeño, tres. ¿Qué cantidad se lleva cada uno?

Los hermanos se repartirán 2 820 € en partes de 5 + 4 + 3 = 12 €.A cada hermano le corresponde:

Mayor 8 125 · 2 820 = 1 175 €

Mediano 8 124 · 2 820 = 940 €

Pequeño 8 123 · 2 820 = 705 €

36 Añadimos 0,5 L de alcohol de 50° a 0,75 L de alcohol de 80°. ¿Qué concentración ten-drá la mezcla?

litros concentración

recipiente 1 0,5 50°recipiente 2 0,75 80°

mezcla 1,25,

, · , ·1 25

0 5 50 0 75 80+ = 68°

37 Se han abonado 15 000 € por la limpieza de un bosque realizada por dos cuadrillas. La primera cuadrilla está formada por 12 personas y han trabajado durante 7 días. La segunda cuadrilla tiene 15 personas y ha trabajado 5 días. ¿Cuánto corresponde a cada cuadrilla? ¿Y a cada persona? (Da la solución aproximando a las unidades y di de qué orden es el error absoluto cometido).

Se ha trabajado un total de 7 + 5 = 12 días.A cada cuadrilla le corresponde:

Primera cuadrilla 8 712 · 15 000 = 8 750 € (con un error absoluto de ,0 3

!)

Segunda cuadrilla 8 125 · 15 000 = 6 250 € (con un error absoluto de ,0 3

!)

A cada hombre de la primera cuadrilla le corresponde 128 750 = 730 € (con un error absoluto

de ,0 83!

)

A cada hombre de la segunda cuadrilla le corresponde 156 250 = 417 € (con un error absoluto

de ,0 3!

)


ESO

38 El coste de fabricación de un ordenador se reparte entre el 60 % en la mano de obra y el 40 % en los materiales. En un año, el coste de la mano de obra aumentó un 8 %, y el de los materiales, un 15 %. Expresa en porcentaje el aumento total del coste.

El coste de fabricación es 60 % 8 0,60 mano de obra.40 % 8 0,40 materiales.

El coste de la mano de obra aumentó un 8 % 8 1,08.El coste de los materiales aumentó un 15 % 8 1,15.El aumento total del coste fue:

0,60 ∙ 1,08 + 0,40 ∙ 1,15 = 0,648 + 0,46 = 1,108Luego el porcentaje de aumento es: 10,8 %.

39 Para hacer una prueba radiológica con contraste, al paciente se le inyectan 1,8 mg de un medicamento. Se sabe que el cuerpo elimina cada hora un 30 % del medicamento que hay en la sangre. Al paciente se le informa que 4 h después de la inyección tendrá menos de 0,5 mg de medicamento en su sangre. ¿Es correcta esa afirmación? Justifícalo.

La cantidad inicial de medicamento es de 1,8 mg.Esta cantidad se reduce en una hora un 30 % 8 1 – 0,3 = 0,7.Luego en 4 horas ha disminuido (0,7)4 mg.Calculamos la cantidad de medicamento que queda después de 4 horas:1,8 ∙ (0,7)4 = 0,43218 < 0,5 mg 8 Es verdadera.

40 Reparte 1 200 € entre los tres primeros clasificados en una carrera de forma inversa-mente proporcional al orden de llegada.

1 111

2 3 611+ + =

Al primero le corresponde 8 /11 6

1 · 1 200 = 116 · 1 200 = 654,5 �.

Al segundo le corresponde 8 //

11 61 2 · 1 200 = 22

6 · 1 200 = 327,3 �.

Al tercero le corresponde 8 //

11 61 3 · 1 200 = 6

33 · 1 200 = 218,2 �.


ESO

41 Al repartir una cantidad de forma inversamente proporcional a 2, 4 y 8, al segundo le corresponden 4 000 €. Calcula qué cantidad se repartió y lo que les corresponde a los otros dos.

21

41

81

87+ + =

Al primero le corresponde 8 //

7 81 2 · x =

148 · x

Al segundo le corresponde 8 //

1 47 8

· x = 72 · x = 4 000 8 x = 14 000 �.

Al tercero le corresponde 8 //

7 81 8 · x = 7

1 · x

Luego al primero le corresponden 148 · 14 000 = 8 000 �.

Al tercero le corresponden 71 · 14 000 = 2 000 �.

42 Ana y Eva van en bicicleta a la playa. Ana dice «si aumentamos nuestra velocidad en un 20 %, el tiempo que emplearemos disminuye un 20 %». Eva cree que Ana se equivoca. ¿Quién tiene razón?

Si aumentan la velocidad en un 20 % 8 La velocidad será v · 1,2.Veamos como varía el tiempo con este aumento:

t ve= 8 , , · , ·t v

eve

ve

1 2 1 21 0 83·= = =

!

Luego el tiempo disminuye , ,0 831 0 16– =! !

= 16,7 %.

43 El 56 % de mi clase son chicas. Si tres de ellas se cambian por tres chicos de otra clase, entonces el 56 % de la clase serían chicos. ¿Cuántos estudiantes hay en mi clase?

El 56 % del total son chicas 8 0,56 · x chicas.El 44 % del total son chicos 8 0,44 · x chicos.Al cambiar 3 chicas por 3 chicos el número de chicos es 56 % 8 0,56 · x chicos y el de las chicas es 44 % 8 0,44 · x chicas.

Luego 0,56 · x – 0,44 · x = 3 8 0,12 · x = 3 8 x = ,0 123 8 x = 25 estudiantes

44 Meta 14.2. En 2006 saltaron las alarmas sobre la disminución de la población de atunes tras décadas de sobrepesca. Se estimó que desde 1950 había descendido un 68 %. ¿En qué porcentaje debería aumentar la población que había en ese momento para volver a los niveles de 1950?

El descenso de la población de atunes desde 1950 ha sido un 68 % 8 1 – 0,68 = 0,32.Buscamos el porcentaje que tiene que aumentar 8 IV = x

Luego 0,32 · x = 1 8 x = ,0 231 = 3,125 8 312,5 %.


ESO

46 El precio de una caja de 40 pastillas para lavavajillas es 4,75 €. Para aumentar las ven-tas, la fabrica se plantea hacer tres tipos de oferta:

A - La caja con 50 pastillas al mismo precio.

B - Lleve 3 cajas y pague 2.

C - La segunda unidad al 50 %.

¿Qué descuento nos hacen en cada caso?

El precio de la caja de 40 pastillas es de 4,75 € 8 El precio por pastilla es de 4,75 : 40 = = 0,11875.En la oferta A la pastilla sale a 4,75 : 50 = 0,095100 % 8 0,11875 x % 8 0,095

8 ,,

0 118750 0 10095 · = 80 % se paga.

Luego el descuento que hacen es del 20 %.En la oferta B:Son 120 pastillas a 9,5 € 8 La pastilla sale a 9,5 : 120 = 0,079100 % 8 0,11875 x % 8 0,079

8 ,,

0 118750 079 100· = 66,53 % se paga.

Luego el descuento que hacen es del 33,47 %.En la oferta C:Son 80 pastillas a 7,125 € 8 La pastilla sale a 7,125 : 80 = 0,089100 % 8 0,11875 x % 8 0,089

8 ,,

0 118750 0 9 1008 · = 74,95 % se paga.

Luego el descuento que hacen es del 25,05 %.


ESO

Página 63

47 Si un comercio aumenta el precio de sus productos un 30 % y después los rebaja un 30 %, ¿ha hecho un aumento o un descuento? Calcula el índice de variación y explica su significado.

Aumenta el precio un 30 % 8 1 + 0,3 = 1,3Rebaja un 30 % 8 1 – 0,3 = 0,7Luego el índice de variación total es: 1,3 ∙ 0,7 = 0,910,91 8 Descuento del 91 %.

48 Por el Black Friday, un comercio ofrece un 20 % de descuento en todos sus productos y además la segunda unidad al 60 %. ¿Qué porcentaje de rebaja hacen?

El 20 % de descuento 8 1 – 0,2 = 0,8Segunda unidad al 60 % 8 1 – 0,6 = 0,4 2.ª unidad 9 0,8 + 0,4 = 1,2 9 1.ª unidadLuego al comprar 2 unidades obtenemos un descuento de:

,2

1 2 = 0,6 8 1 – 0,6 = 0,4 8 Descuento del 40 %.

49 ¿En cuánto se convertirá un capital de 80 000 €, colocado al 3,6 % anual, durante dos años y medio con periodo de capitalización mensual?

En dos años y medio hay 30 meses.Un 3,6 % anual significa un 3,6/12 = 0,3 % mensual.CF = 80 000 · 1,00330 = 87 522,15 €

50 Calcula en cuánto se transformarán 60 000 € colocados a interés compuesto en los si-guientes casos si el periodo de capitalización es mensual:

a) Al 3 % anual durante 2 años.

b) Al 5,4 % anual durante 9 meses.

c) Al 0,36 % mensual durante un año y medio.

d) Al 4,8 % anual durante 18 meses.

a) CF = 6 000 · 1,032 = 63 654 €b) 5,4/12 = 0,45 % mensual CF = 6 000 · 1,00459 = 62 474,20 €c) CF = 6 000 · 1,003618 = 64 009,29 €d) 4,8/12 = 0,4 % mensual CF = 6 000 · 1,00418 = 64 470,66 €


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51 Se depositan en un banco 28 000 € al 6 % anual y el banco nos descuenta un 20 % de los beneficios como retención fiscal.

a) ¿Cuál será el porcentaje neto de rendimiento?

b) Si los intereses se acumulan trimestralmente al capital, ¿cuál será el beneficio al cabo de 2 años?

a) También podrían habernos preguntado «¿Cuál es el 80 % del 6 %?». Es decir, 0,8 · 0,06 = 0,048. El rendimiento neto es del 4,8 %.

b) 28 000 ,14004 8

8

+e o = 30 803,6

Por tanto, el beneficio obtenido es 30 803,6 – 28 000 = 2 803,6 €

52 Un comerciante pone el precio de venta de sus artículos aumentando un 30 % el precio de coste. Durante el periodo de rebajas aplica un descuento del 15 %, pero a sus familia-res quiere cobrárselos a precio de coste, por lo que aplica un descuento del 20 % sobre el precio de venta. ¿Consigue, de esta forma, vendérselos sin ganar ni perder?

Precio inicial aumentado un 30 % 8 1 + 0,30 = 1,3En rebajas aplica un descuento de 15 % 8 1 – 0,15 = 0,85A sus familiares les aplica un descuento del 20 % 8 1 – 0,20 = 0,80• Si aplica un 15 % y un 20 % de descuento a sus familiares entonces 8 1,3 ∙ 0,85 ∙ 0,80 =

= 0,884 8 1 – 0,884 = 0,116 8 Aplica un aumento del 11,6 % luego pierde.• Si aplica solo el 20 % 8 1,3 ∙ 0,80 = 1,04 8 1 + 0,4 8 Aplica un aumento del 4 %

luego gana.

Resuelve: un poco más difícil

53 Deposito en un banco 150 000 € a plazo fijo de dos años. Cuando lo retiro, son 162 240 €. ¿Qué tanto por ciento anual me dio el banco?

Cantidad inicial 150 000 Cantidad final 162 240

150 000162 240 = 1,0816

CF = CI ∙ r1 100

n+b l 8

CC

I

F = r1 100n

+b l 8 1,0816 = r1 1002

+b l 8

8 , r1 1001 0816 = + 8 1,04 – 1 = r100 8 0,04 ∙ 100 = r = 4

El banco me da un 4 % anual.


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54 Si deposito en un banco 6 000 € al 4,2 % anual, ¿cuántos años tardará en duplicarse? Utiliza el factor constante de la calculadora para resolverlo por tanteo.

Cantidad inicial 6 000 €r = 4,2CF = 2 ∙ CI = 12 000

CF = CI ∙ r1 100

n+b l 8 12 000 = 6 000 ∙ ,1 100

4 2 n+c m 8 2 = (1,042)n 8 log1,0422 = n 8

8 n = 16,85Luego en 17 años el capital inicial se ha duplicado.

55 a) Si el área de un cuadrado ha disminuido un 25 %, ¿en qué porcentaje ha disminuido su lado?

b) El volumen de un cubo aumenta un 20 %. ¿En qué porcentaje aumentará su arista?

a) Ha disminuido un 25 % 8 1 – 0,25 = 0,75 El área del cuadrado es l 2. Luego el área nuevo es 0,75 ∙ l 2 = (xl )2 8 9 Disminución del lado. 8 x 2 = 0,75 8 x = 0,87 8 1 – 0,87 = 0,13 Luego el lado disminuye un 13 %.b) Ha aumentado un 20 % 8 1 + 0,20 = 1,20 El volumen del cubo es a 3. Luego el volumen nuevo es 1,20a 3 = (xa)3 8 9 Aumento de la arista. 8 x 3 = 1,20 8 x = ,1 203 = 1,063 8 1 + 0,063 Luego la arista aumenta un 6,3 %.

56 Miguel quiere aplicar un herbicida a su finca. Sabe que debe añadir agua al producto, de forma que tenga una concentración del 5 % como mínimo para que sea eficaz. Mezcla 1/2 litro de herbicida con 5 litros de agua y comienza a aplicarlo.

Cuando ha gastado 3 litros de la mezcla, se da cuenta de que no va a tener bastante pa-ra toda la finca y le añade 2 litros de agua. ¿Tendrá la concentración adecuada en todo momento?

Al principio, la concentración es ,, ,5 5

0 5 0 09=#

8 9 %.

Cuando quedan 2,5 l de mezcla, le añade 2 l de agua más. Ahora hay 4,5 l de mezcla para 2,5 · 0,09 = 0,227 l de herbicida.

Por tanto, la nueva concentración es ,45

0 227 = 0,05 8 5 %.

Sí, en todo momento la concentración es mayor o igual que el 5 % requerido.


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Reflexiona

57 ¿Verdadero o falso? Justifica tus respuestas.

a) Si el precio de un artículo aumenta un 40 % y después un 60 %, se duplica.

b) La longitud de la diagonal de un cuadrado es proporcional al lado del mismo.

c) Si una cantidad aumenta un 200 %, se triplica.

d) Si a 35 le añades el 25 %, obtienes 47,5.

e) El 150 % del 50 % es el 200 %.

f) Si compro un coche por 12 000 € y me rebajan un 15 %, pagaré 10 200 €.

g) Si la cuota anual de un club deportivo era 360 € y ha pasado a 414 €, la han subido un 115 %.

h) Al aumentar primero un 20 % y después disminuir un 40 % se obtiene una cantidad mayor que si se aplica primero la disminución y luego el aumento.

i) Si una cantidad se duplica, ha aumentado un 100 %.

a) Aumenta un 40 % → 1 + 0,4Aumenta un 60 % → 1 + 0,6

Índice de variación total es:

1,4 ∙ 1,6 = 2,24 8 1 + 1,24 8 124 % Aumenta un 124 % ≠ 200 % Falso.b)

l

d

La diagonal d, de un cuadrado de lado l vale:

d = l l l l2 22 2 2+ = = → l y d son proporcionales.Verdadero.

c) Aumenta un 200 % 8 1 + 2 = 3 Si la cantidad inicial es x 8 Cantidad final es 3x luego se triplica. Verdadero.d) Aumenta un 25 % 8 1 + 0,25 = 1,25 35 ∙ 1,25 = 43,75 ≠ 47,5 Falso.

e) El 150 % es 1,5El 50 % es 0,5

si 150 % de 50 % 8 1,5 ∙ 0,5 = 0,75 8 75 %

Falso.f ) Cantidad inicial 12 000 � Disminución del 15 % 8 1 – 0,15 = 0,85 12 000 ∙ 0,85 = 10 200 � Verdadero.

g) Cantidad inicial 360 �Cantidad final 414 �

360 ∙ x = 414 8 x360414= = 1,15 = 1 + 0,15 8

8 Ha subido un 15 % ≠ 115 % Falso.


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h)

% , ,% , , , , ,

88

88

CC C

20 1 0 2 1 240 1 0 4 0 6 1 2 0 6 0 72

Aumentar unDisminuir un –

Cantidad inicial· · ·

I

I I

+ == =

_

`

a

bb

bb

% , ,% , , , , ,

88

88

CC C

40 1 0 4 0 620 1 0 2 1 2 0 6 1 2 0 72

Disminuir un –Aumentar un

Cantidad inicial· · ·

I

I I

=+ = =

_

`

a

bb

bb

Falso.

i) CI = Cantidad inicialAumenta 100 % 8 1 + 1 = 2

2 ∙ CI 8 Duplica la CI

Verdadero.

58 Si la base de un rectángulo disminuye un 10 % y su altura aumenta un 10 %, ¿su área aumenta, disminuye o se queda igual? Justifica tu respuesta.

b 8 Base del rectángulo.a 8 Altura del rectángulo.A = b ∙ a = Área del rectángulo.La base disminuye un 10 % 8 1 – 0,1 = 0,9 8 0,9 ∙ bLa altura aumenta un 10 % 8 1 + 0,1 = 1,1 8 1,1 ∙ a A' = 0,9 ∙ b ∙ 1,1 ∙ a = 0,9 ∙ 1,1 ∙ b ∙ a = 0,99 ∙ A 8 Disminuye un 1 – 0,99 = 0,01 8 1 %

59 ¿Qué es mejor, colocar 5 000 € al 4,2 % durante 2 años o colocar la misma cantidad al 0,4 % mensual durante 20 meses?

CI = 5 000 �

4,2 % durante 2 años 8 CF = CI ∙ ,1 100

4 2 2+c m 8 5 000 ∙ (1,042)2 = 5 428,82 �

0,4 % durante 20 meses 8 CF = CI ∙ ,1 1 002

0 4 20+c m 8 CF = 5 000 ∙ (1,0003)20 8

8 CF = 5 033,44 �Es mejor la 1.ª opción.

60 Tenemos 5 000 € en una cuenta. A final de cada mes, ingresamos un 5 % del dinero que hay en la cuenta en ese momento. ¿Al cabo de cuántos meses tendremos el doble?

Utiliza el factor constante de la calculadora para resolverlo por tanteo.

Buscamos que la cantidad final sea el doble que la inicial 8

8 CF = CI ∙ 1 1005 n

+c m = 2 ∙ CI 8 CF = CI ∙ (1 + 0,05)n = 2 ∙ CI 8

8 CI ∙ (1,05)n = 2 ∙ CI 8 (1,05)n = 2 8 n = log1,052 8 n = 14,21En 15 años la cantidad final será más del doble que la cantidad inicial.


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Página 64

Busca regularidades y generaliza

Un juego de fichas y un retoobjetivo: Poner las rojas en el lugar de las verdes y las verdes en el de las rojas.

normas:

• Las rojas se desplazan únicamente hacia la derecha, y las verdes, hacia la izquierda.

• Los movimientos se realizan avanzando a la siguiente casilla o saltando sobre una ficha contraria.

cuenta y completa la tabla:

n.° de fichas de cada color 1 2 3 4 …n.° de movimientos ? 8 ? ? …

n.° de fichas de cada color 1 2 3 4 n

n.° de movimientos 4 8 12 16 4 ∙ n

Lee y comprende

Incógnita difícil de despejar¿Sabes qué es una paradoja? Ahora puedes observar una.

Escribe en uno y otro lado de una tarjeta los mensajes de la derecha.

Y ahora pregúntate:

¿Hay alguna verdad o alguna mentira en alguno de los lados de la tarjeta?

lo que dice el otro lado de la tarjeta es verdad

lo que dice el otro lado de la tarjeta es mentira

Si hubiera alguna verdad o alguna mentira, en cualquiera de las dos se entraría en contradicción, puesto que es una reducción a lo absurdo.


ESO

Reflexiona y saca conclusiones

En un supermercado comparan las ventas de cada trimestre con las del trimestre anterior:

— el contable: El primer trimestre del año ha sido malo, hemos bajado las ventas un 10 %. Pero en el segundo trimestre hemos vuelto a subir un 10 %.

— el gerente: Entonces, durante el semestre, ni hemos bajado ni hemos subido.

— el contable: No, hemos perdido un 1 %.

¿Cuál de los dos tiene razón?

+10 % – 10 % … 0 %

· 0,90 · 1,10 … –1 %

Tiene razón el contable, puesto que, si bajamos un 10 % de una cantidad tenemos un 90 %. Y si a ese 90 % le subimos un 10 % (90 · 1,1 = 99) no obtendremos la cantidad inicial, sino que habremos perdido un 1 %.


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Página 65

Entrénate resolviendo problemas

• Una cuadrilla de 4 recogedores de aceitunas trabaja 4 horas por la mañana en un campo de olivos. Por la tarde, se les unen otros 4 recogedores y trabajan todos juntos otras cuatro horas. Al final del día, se han recogido las tres quintas partes del campo.

¿Cuánto tardarán 4 de estos recogedores en rematar la faena?

4 recogedores4 horas c/u

8 recogedores4 horas c/u

3/5 del total

51 de la tarea lo hacen 4 recogedores en 4 horas.

Los 52 que faltan lo harán 4 recogedores en 8 horas.

• La media de las edades de Rosa, Carol y Pilar es de 12 años. ¿Cuál es la edad de Sara, si al incorporarse al grupo la media sube a 15 años?

Si la media sube a 15 años es porque Sara ha subido a todas 3 años más y ella ha puesto sus 15. Por tanto, Sara tiene 15 + 3 + 3 + 3 = 15 + 9 = 24 años.Si lo resolvemos algebraicamente, sería así:

3Rosa Carol Pilar+ + = 12 8 Rosa + Carol + Pilar = 12 · 3 = 36

Rosa Carol Pilar Sara4

+ + + = 15 8 Rosa + Carol + Pilar + Sara = 15 · 4 = 60

Como Rosa + Carol + Pilar = 36, entonces 36 + Sara = 60 8 Sara = 60 – 36 = 24 años.


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• El cuadrado A contiene un 16 % del cuadrado B.

¿Qué porcentaje del cuadrado D contiene el cuadrado C, si el C es igual al A, y el D, al B?

AC

B D

La figura F tiene la misma área que la figura F', ya que t1 = t2. Por tanto, el cuadrado D tiene un 16 % del cuadrado C.

C

D

A

B

F'Ft1

t2


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AUTOEVALUACIÓN

1 Indica el índice de variación y la cantidad final en cada caso:

a) 300 disminuye un 12 % y después un 35 %.

b) 1 520 disminuye un 90 % y después aumenta un 150 %.

a) 1 – 0,12 = 0,82 1 – 0,35 = 0,65 CF = 300 · 0,82 · 0,65 = 159,9 Índice de variación total = 0,82 · 0,65 = 0,533 8 1 – 0,533 = 0,467 = 46,7 % de bajada.b) CF = 1 520 · 0,1 · 2,5 = 380 Índice de variación total = 0,1 · 2,5 = 0,25 8 1 – 0,25 = 0,75 = 75 % de bajada.

2 Indica el porcentaje de aumento o de disminución que corresponde a cada uno de los siguientes índices de variación:

a) 1,07 b) 0,78 c) 2,2

a) 7 % de subida. b) 22 % de bajada. c) 120 % de subida.

3 Después de una subida de un 3,5 %, un piso cuesta 258 600 €.

a) ¿Cuál era el precio antes de la subida?

b) Si expresas el resultado con dos cifras significativas, ¿qué puedes decir del error absoluto cometido?

a) El precio antes de la subida era de 258 600 : 1,035 = 249 855 €.b) El resultado aproximado es 250 000 €. El error absolutado es < 5 000 €.

4 El precio de un teléfono móvil ha subido un 20 % y después ha bajado un 25 %. Si pagué por él 135 €, ¿cuál era su precio inicial?

Aumento del 20 % → 1 + 0,2 = 1,2Dismunición del 25 % → 1 – 0,25 = 0,75CI → Cantidad inicialCF → 135 € → Cantidad final

8

_

`

a

bbb

bb

8 CF 8 1,2 ∙ 0,75 ∙ CI 8

8 135 = 0,9 ∙ CI 8 CI = 150 €

5 Dos palas excavadoras, trabajando 10 horas diarias, hacen un desmonte en 9 días. ¿Cuán-to tardarían en hacer ese trabajo tres palas a un ritmo de 12 horas al día?

2 palas, 10 h/día, 9 días 8 2 ∙ 10 ∙ 9 = 180 h 3 palas, 12 h/día, x días 8 3 ∙ 12 ∙ x = 36 ∙ x h

x = 36180 = 5 días


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6 Mezclamos 20 kg de harina de 1,25 €/kg con 35 kg de otra harina de 0,75 €/kg. ¿Cuál será el precio de la mezcla?

cantidad (kg) precio (€/kg) coste

harina 1 20 1,25 20 · 1,25 = 25harina 2 35 0,75 35 · 0,75 = 26,25

mezcla 55 ,55

51 25 = 0,93 51,25

7 Dos trenes salen a las 8:00 h de la mañana de dos ciudades, A y B, que distan 780 km en-tre sí. Si el que sale de A hacia B lleva una velocidad de 110 km/h, y el que sale de B hacia A va a 90 km/h, ¿a qué hora se encontrarán?

La velocidad de aproximación es 110 + 90 = 200 km/hCalculamos el tiempo que tardan en encontrarse:

t = vd

200780= = 3,9 h = 3 h 54 min

Por tanto, a las 8:00 + 3 h 54 min = 11:54.

8 Depositamos en un banco 4 000 € al 3,5 % de interés anual durante 3 años. ¿En cuánto se convertirán si los periodos de capitalización son trimestrales?

Los periodos de capitalización son trimestrales, por tanto, 3,5/4 = 0,875 %CF = 4 000 · 1,0087512 = 4 440,8 €

9 Se ha repartido un premio entre tres concursantes de forma proporcional a los puntos conseguidos, 12, 13 y 15, respectivamente. El concursante que obtuvo menos puntos se llevó 420 €.

a) ¿Cuánto dinero se repartió?

b) ¿Qué cantidad se llevó cada concursante?

12 + 13 + 15 = 40El de 12 puntos se llevo 420 €

a) 4012 ∙ x = 420 8 12x = 16 800 8 x = 12

16 800 = 1 400 €

b) 4013 ∙ 1 400 = 455 €

4015 ∙ 1 400 = 525 €

10 Dos grifos vierten 15 L/min y 20 L/min, respectivamente, en un depósito de 1 800 litros que además tiene un desagüe que vacía 10 L/min. Si se abren a la vez los dos grifos y el desagüe, ¿cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito?

1 800 LEn 1 minuto se llena: 15 + 20 – 10 = 25 L

Luego 1 800 L se llenarán en 251 800 = 72 min 8 se llena en 1 h y 12 min.

problemas aritmÉticos

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