un análisis de los problemas aritméticos en los libros de texto de

Un anaacutelisis de los problemas aritmeacuteticosen los libros de texto de Educacioacuten

Primaria

JOSETXU ORRANTIA LOURDES B GONZAacuteLEZY SANTIAGO VICENTE

Universidad de Salamanca

ResumenEl objetivo del estudio que aquiacute presentamos es analizar las caracteriacutesticas de los problemas con estructura

aditiva que aparecen en los libros de texto de Educacioacuten Primaria publicados por tres de las editoriales maacutesrepresentativas de nuestro paiacutes El anaacutelisis ha sido llevado a cabo a partir de tres variables a) la estructurasemaacutentica de los problemas b) el grado de ldquodesafiacuteordquo que subyace a los problemas y c) el contexto situacional enel que aparecen los problemas Los resultados muestran que los problemas que aparecen en los libros de texto pre-sentan una naturaleza altamente estereotipada Asiacute los problemas maacutes numerosos corresponden con los maacutes sen-cillos de resolver desde el punto de vista de su estructura semaacutentica Los problemas desafiantes son escasos y seformulan en contextos situacionales muy estaacutendares Los resultados son discutidos en funcioacuten del rol que los pro-blemas verbales tienen en los libros de textoPalabras clave Resolucioacuten de problemas aritmeacuteticos estructura semaacutentica libros de texto

Analysing arithmetic word problems inPrimary Education text books

AbstractThe present study assesses the characteristics of addition and subtraction word problems from three represen-

tative Spanish Primary Education textbook series The analysis undertaken is based on three variables a) thesemantic structure of the problems b) the degree of ldquochallengerdquo underlying these problems and c) the situationalcontext depicted in the problems The results showed that textbooks problems have a highly stereotyped natureThus from the viewpoint of its semantic structure the simplest problems to solve were also the most numerousProblems posing a challenge are few and tend to be formulated in very standard settings The studyrsquos implica-tions are discussed in terms of the role of word problems in textbooksKeywords Word problem solving semantic structure textbooks

Agradecimientos Este trabajo ha sido financiado por el proyecto BSO2003-05075 del Ministerio de Ciencia yTecnologiacuteaCorrespondencia con los autores Josetxu Orrantia Departamento de Psicologiacutea Evolutiva y de la Educacioacuten Uni-versidad de Salamanca Facultad de Educacioacuten Pso Canalejas 169 37008 Salamanca Tel 923 294 630 E-mail orrantiausalesOriginal recibido Julio 2005 Aceptado Agosto 2005

copy 2005 by Fundacioacuten Infancia y Aprendizaje ISSN 0210-3702 Infancia y Aprendizaje 2005 28 (4) 429-451

05 ORRANTIA 41005 1100 Paacutegina 429

Las matemaacuteticas juegan un importante papel en el curriculum de la escolari-dad elemental al proporcionar instrumentos que permiten describir y analizarnumerosas situaciones que ocurren en el mundo real Esta utilidad praacutectica de lasmatemaacuteticas queda reflejada en la resolucioacuten de situaciones problemaacuteticas (en elformato de un problema verbal) puesto que permite desarrollar en los estudian-tes las habilidades sobre cuaacutendo y coacutemo aplicar sus conocimientos matemaacuteticos asituaciones de la vida cotidiana

Sin embargo la utilidad praacutectica de la resolucioacuten de problemas contrasta conlas dificultades que presentan muchos alumnos y alumnas en esta tarea auacutencuando no tengan dificultades para ejecutar las operaciones aritmeacuteticas implica-das en el problema Esta discrepancia entre la ejecucioacuten de operaciones y la reso-lucioacuten de problemas puede ser explicada por diferentes factores entre los quecabe identificar tres Un primer factor puede ser el tipo de estrategias que losestudiantes ponen en marcha para resolver el problema Puesto que los proble-mas parten de un texto linguumliacutestico las estrategias necesarias para su resolucioacutendeberiacutean permitir crear a partir de la comprensioacuten del enunciado una representa-cioacuten del problema desde la cual planificar dicha resolucioacuten frente a esto muchosestudiantes utilizan otras estrategias maacutes superficiales cuya caracteriacutestica funda-mental es que se saltan este proceso de comprensioacuten Un segundo factor tieneque ver con el conocimiento conceptual necesario para resolver los problemaspuesto que como veremos maacutes adelante algunos problemas necesitan un cono-cimiento maacutes avanzado que otros Y un tercer factor que en cierta medida inte-ractuacutea con los anteriores tiene que ver con las variables propias del problema

Es precisamente este uacuteltimo factor el que nos interesa en el trabajo que aquiacutepresentamos Nuestro objetivo es analizar las caracteriacutesticas de los problemasque aparecen en los libros de texto ya que como maacutes adelante argumentaremosel contexto en el que se presentan los problemas puede tener una influenciadirecta en el desarrollo de las estrategias y conocimientos necesarios para su reso-lucioacuten Concretamente analizaremos tres variables a) la estructura semaacutentica delos problemas b) el grado de desafiacuteo que subyace a los problemas y c) el contex-to situacional en el que aparecen los problemas El intereacutes de estas variables radi-ca no soacutelo en la visioacuten que proporcionan del tipo de problemas al que se enfren-tan los alumnos diariamente en las aulas sino tambieacuten en el hecho de que encierta medida forman parte de los marcos teoacutericos que subyacen a los proyectosinternacionales de evaluacioacuten del rendimiento de los alumnos en matemaacuteticascomo el informe PISA (Program for International Students Assessment) o elTIMSS (Trends in International Mathematics and Sciences Study) Asiacute el pro-yecto PISA establece que las matemaacuteticas suponen la capacidad de los estudian-tes para resolver e interpretar situaciones problemaacuteticas del mundo real en lasque el camino hacia la solucioacuten no resulta obvio de modo inmediato En este sen-tido los problemas proporcionan un contexto auteacutentico de utilizacioacuten de lasmatemaacuteticas

En lo que sigue consideraremos en primer lugar la importancia de estasvariables en la resolucioacuten de problemas atendiendo fundamentalmente a losdiferentes tipos de problemas en funcioacuten de su estructura ya que la misma va acondicionar el grado de dificultad de los problemas ademaacutes las otras dos varia-bles que pretendemos estudiar (el grado de desafiacuteo y el contexto situacional) tie-nen una estrecha relacioacuten con la estructura del problema Nos vamos a centrarpor razones obvias de espacio solamente en los problemas con estructura aditivaes decir aquellos problemas que se resuelven aplicando las operaciones baacutesicas desuma o resta aunque con algunos matices como expondremos en el apartado demetodologiacutea Posteriormente revisaremos brevemente algunos trabajos relacio-

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nados con el anaacutelisis de los libros de texto Y terminaremos esta introduccioacutencon los objetivos especiacuteficos de este trabajo

IMPORTANCIA DE LA ESTRUCTURA SEMAacuteNTICA DE LOSPROBLEMAS

iquestPor queacute es importante analizar la estructura semaacutentica de los problemasComo comentaacutebamos maacutes atraacutes entre los factores que explican las dificultadesque tienen muchos estudiantes en la resolucioacuten de problemas se encuentran eltipo de estrategias que ponen en juego y los conocimientos conceptuales quenecesitan para resolver ciertos problemas Pero estos factores (relacionados entresiacute) estaacuten mediatizados por el grado de dificultad de los problemas el cual depen-de fundamentalmente de su estructura semaacutentica Asiacute ciertos problemas necesi-taraacuten estrategias maacutes sofisticadas y conocimientos maacutes avanzados mientras queen otros ocurriraacute lo contrario En este sentido la ldquodietardquo de problemas a los quese enfrentan los estudiantes condiciona el tipo de estrategias y conocimientosque se promueven Dieta que como hemos planteado depende de la estructurasemaacutentica Veamos el anaacutelisis de esta variable en los problemas con estructuraaditiva

A pesar de que tradicionalmente se ha analizado la influencia que las variablessuperficiales del problema como el nuacutemero de palabras o la complejidad sintaacutec-tica entre otras tienen en la capacidad de los alumnos y alumnas para resolverproblemas en los uacuteltimos veinte antildeos el foco de la investigacioacuten se ha centradoen las caracteriacutesticas de la tarea relacionadas con la estructura semaacutentica de losproblemas ya que como venimos diciendo esta variable tiene una influenciadirecta en la relativa dificultad de tales problemas

Los problemas verbales aritmeacuteticos pueden ser considerados genuinos textosesto es auteacutenticas entidades discursivas (Orrantia 1993 Reusser 1990) y comotales poseen una estructura (superestructura en teacuterminos de la comprensioacuten deldiscurso veacutease van Dijk y Kintsch 1983) que representa las relaciones semaacutenti-cas baacutesicas entre las cantidades que aparecen en el problema En este sentidopodemos hablar de distintos tipos de problemas en funcioacuten de su estructurasemaacutentica es decir de las posibles relaciones que se establecen entre los conjun-tos que aparecen en el enunciado Se han propuesto diferentes esquemas de clasi-ficacioacuten para los problemas de suma y resta de una operacioacuten (Carpenter y Moser1982 Fuson 1992 Nesher Greeno y Riley 1982 Riley y Greeno 1988 RileyGreeno y Heller 1983 Vergnaud 1982) Quizaacutes la clasificacioacuten maacutes utilizadahaya sido la propuesta por Riley y colaboradores en la que distinguen tres cate-goriacuteas baacutesicas de problemas cambio combinacioacuten y comparacioacuten (veacutease Apeacuten-dice A)

Los problemas de cambio parten de una cantidad a la que se antildeade o quita algopara dar como resultado una cantidad mayor o menor Los problemas de combina-cioacuten y comparacioacuten parten de dos cantidades que se combinan o comparan paraproducir una tercera Los problemas dentro de cada una de estas categoriacuteas reflejanel mismo tipo de acciones o relaciones pero dado que los problemas incluyen trescantidades una de las cuales es la desconocida en cada categoriacutea podemos identifi-car diferentes tipos de problemas dependiendo de la identidad de la cantidad des-conocida Asiacute en los problemas de cambio donde se produce un cambio sobre unacantidad inicial para dar un resultado la cantidad desconocida puede ser el resulta-do el cambio o la cantidad inicial dado que el cambio puede ser antildeadir o quitarencontrariacuteamos seis tipos de problemas de esta categoriacutea De la misma manera enlos problemas de comparacioacuten la cantidad desconocida puede ser el conjunto dereferencia el de comparacioacuten o la diferencia y puesto que el conjunto de referencia

431Un anaacutelisis de los problemas aritmeacuteticos en los libros de texto de Educacioacuten Primaria J Orrantia et al


puede ser el mayor o el menor tambieacuten encontrariacuteamos seis tipos de problemas decomparacioacuten Y en las situaciones de combinacioacuten podemos desconocer una parteotra parte o el todo pero en este uacuteltimo caso dado que no existe ninguna diferenciaconceptual entre cada una de las partes (De Corte y Verschaffel 1987) se suelenconsiderar solamente dos tipos de situaciones de combinacioacuten la que pregunta porel todo o por una de las partes Por lo tanto se identifican catorce tipos de proble-mas diferentes con estructura aditiva

Algunos autores (Carpenter y Moser 1982 Fuson 1992) han propuesto unacategoriacutea adicional que puede considerarse una ldquomezclardquo de las categoriacuteas decambio y comparacioacuten son los problemas de igualacioacuten en los que la relacioacutencomparativa entre dos cantidades no se expresa de forma estaacutetica (como en losproblemas de comparacioacuten) sino dinaacutemicamente (veacutease Apeacutendice A)

Volvamos a la idea del grado de dificultad de los problemas en funcioacuten de suestructura semaacutentica Es faacutecil imaginar que los distintos tipos de problemas pue-den diferir en la mayor o menos dificultad que presentan en su resolucioacuten Asiacuteuno de los resultados maacutes recurrentes ha sido que los problemas de comparacioacutenson los maacutes difiacuteciles de resolver (Bermejo Lago y Rodriacuteguez 1994 Carpenter yMoser 1982 De Corte y Verschaffel 1987 Orrantia Moraacuten y Gracia 1997entre otros) Sin embargo maacutes que el tipo de problema tomado globalmenteparece jugar un papel maacutes importante el lugar que ocupa dentro de la estructu-ra la cantidad desconocida Este factor hace que podamos distinguir entre pro-blemas con un lenguaje consistente y problemas con un lenguaje inconsistente oconflictivo (Hegarty Mayer y Monk 1995 Mayer y Hegarty 1996) En los pri-meros los teacuterminos del enunciado (por ejemplo ldquoganarrdquo o ldquomaacutes querdquo) coincidencon la operacioacuten a realizar (una suma como en cambio 1 o comparacioacuten 3)mientras que en los segundos los teacuterminos entran en conflicto con la operacioacuten(aparece ldquoganarrdquo o ldquomaacutes querdquo y hay que hacer una resta como en cambio 5 ocomparacioacuten 5) lo que hace que estos problemas sean maacutes difiacuteciles de resolver

Ahora bien iquestporqueacute los problemas inconsistentes son maacutes difiacuteciles de resolverSeguramente estaremos de acuerdo en que estos problemas frente a los maacutes senci-llos implican poner en marcha estrategias y conocimientos maacutes sofisticados Esto esal menos lo que se desprende desde los diferentes modelos propuestos para intentarexplicar estas diferencias en el grado de dificultad (Briars y Larkin 1984 Cum-mins Kintsch Reusser y Weimer 1988 Kintsch y Greeno 1985 Reusser 1990Riley et al 1983 Riley y Greeno 1988) Todos ellos coinciden de una manera uotra en que la resolucioacuten de problemas complejos supone un elaborado proceso enel que hay que poner en marcha sofisticadas estrategias para comprender el enun-ciado esto es para trasladar el texto verbal a una representacioacuten interna abstractaen la que se recogen las distintas proposiciones sus relaciones semaacutenticas asiacute comola situacioacuten cualitativa descrita en el enunciado Y para ello es necesario acceder acierto conocimiento conceptual que permita establecer estas relaciones semaacutenticas

Asiacute por ejemplo algunos modelos como los desarrollados por Briars y Larkin(1984) o Riley et al (1983) proponen que los problemas maacutes difiacuteciles necesitariacuteanun conocimiento conceptual maacutes avanzado o si se quiere los estudiantes fracasariacute-an en la resolucioacuten de ciertos problemas porque no poseen el conocimiento concep-tual necesario para resolverlos correctamente Este conocimiento conceptual es untipo de conocimiento esquemaacutetico el cual implica precisamente operar con lasrelaciones semaacutenticas descritas en el texto del problema En el nivel maacutes alto decompetencia el esquema del problema permite establecer relaciones semaacutenticasque proyectan la informacioacuten textual del enunciado en un esquema parte-todoEsto significa conocer que de los tres conjuntos que aparecen en el texto del pro-blema uno actuacutea como el ldquotodordquo y los otros dos como las ldquopartesrdquo dentro de unaestructura parte-parte-todo Tomemos como referencia el siguiente problema de



comparacioacuten 5 ldquoJuan tiene 8 canicas eacutel tiene 3 maacutes que Pedro iquestcuaacutentas canicastiene Pedrordquo Los tres conjuntos mencionados son el conjunto referente (las canicas dePedro) que ha sido comparado a otro el conjunto comparado (las canicas de Juan) yla diferencia entre los dos conjuntos el conjunto diferencia Desde las proposicionesde la segunda frase del enunciado se infiere si el conjunto referente es el conjuntomayor y el conjunto comparado es el menor o viceversa de tal forma que desde unesquema parte-todo se conoce que ldquoconjunto menor = conjunto mayor - conjuntodiferenciardquo o ldquoconjunto mayor = conjunto menor + conjunto diferenciardquo y asiacutetransformar la informacioacuten textual en una ecuacioacuten matemaacutetica En el problemaque nos ocupa y con la ayuda de esta transformacioacuten matemaacutetica (Stern 1993) seinfiere que el conjunto comparado es el mayor y el conjunto referente (el descono-cido) es el menor y asiacute decidir hacer una resta Estas relaciones parte-todo no apare-cen expliacutecitamente en el problema y sin el correspondiente conocimiento esque-maacutetico (o sin el acceso a dicho conocimiento) los estudiantes no podriacutean inferir lasrelaciones entre las distintas cantidades dadas y por lo tanto interpretariacutean cadafrase del problema separadamente lo cual impide loacutegicamente crear una repre-sentacioacuten adecuada de la situacioacuten problemaacutetica (veacutease Orrantia 2003 para unaexplicacioacuten pormenorizada de esta cuestioacuten)

Otros autores (pe Cummins et al 1988 Kintsch y Greeno 1985) han pro-puesto modelos maacutes complejos en los que la comprensioacuten textual interactuacutea conla construccioacuten de la representacioacuten del problema en teacuterminos de conjuntos y susinterrelaciones En este caso el procesamiento textual y el conocimiento concep-tual se integran para comprender y resolver un problema Asiacute Kintsch y Greeno(1985) plantean que desde el texto del problema se deriva una representacioacutentextual ldquodualrdquo en la que se puede distinguir al igual que ocurre en la compren-sioacuten de textos (Kintsch 1988 1998 van Dijk y Kintsch 1983) dos componen-tes una estructura proposicional de la informacioacuten descrita en el enunciado otexto base donde se representan sus aspectos superficiales y semaacutenticos y unmodelo de la situacioacuten que se denomina modelo del problema en el que se incluiriacuteala informacioacuten que se infiere desde la base de conocimientos que se posee sobre elmundo y sobre los problemas aritmeacuteticos y se excluiriacutea si se diera el caso aque-lla informacioacuten del texto base que no se necesite para resolver el problema Eneste sentido los problemas que implican algo maacutes que la aplicacioacuten de una ope-racioacuten para su resolucioacuten bien porque contienen informacioacuten superflua o porqueomiten informacioacuten necesaria se resolveriacutean desde la construccioacuten del modelodel problema Estos problemas que hemos denominado ldquodesafiantesrdquo tambieacutenseraacuten objeto de anaacutelisis en este trabajo

En una extensioacuten de estos modelos basados en la comprensioacuten textual Reus-ser (1988 1990) ha propuesto un modelo que introduce un paso intermedioentre el texto base y el modelo del problema el cual denomina modelo de lasituacioacuten episoacutedico o modelo mental de la situacioacuten denotada por el texto delproblema Este paso guiariacutea la comprensioacuten de los acontecimientos especiacuteficosde la historia presentada en el problema tales como la estructura temporal de lasacciones o las intenciones de los actores implicados En palabras del autor ldquolosproblemas situacionales se organizan en torno a alguacuten protagonista con ciertasnecesidades motivos y propoacutesitos y que estaacute implicado en ciertas interaccionescon coactores objetos e instrumentosrdquo (Reusser 1988 p 480) y que para resol-ver el problema ldquose debe convertir en transparente la estructura funcional y tem-poral de la accioacutenrdquo (p 493) Supondriacutea entonces un acceso al conocimiento delmundo real para entender el enunciado del problema Como ya hemos anticipa-do el contexto situacional en el que se presentan los problemas seraacute otra de lasvariables objeto de anaacutelisis en este trabajo



En definitiva para resolver un problema hay que desencadenar una serie deestrategias que permitan crear una representacioacuten del mismo en este procesointeractuacutean distintos tipos de conocimientos como linguumliacutesticos del mundo ymatemaacuteticos y lo que es maacutes importante para los efectos de este trabajo estarepresentacioacuten estaacute mediatizada por la estructura semaacutentica del problema Eneste sentido una parte importante de las dificultades que presentan los estudian-tes en la resolucioacuten de problemas pueden deberse precisamente a las dificultadesque tienen para comprender los enunciados

De hecho algunos autores sugieren que muchos alumnos y alumnas nointentan basar la resolucioacuten del problema en la comprensioacuten del mismo simple-mente se saltan este paso y se embarcan directamente a realizar caacutelculos con losnuacutemeros que aparecen en el enunciado (Verschaffel y De Corte 1997) Utilizanlo que estos autores denominan estrategias superficiales para resolver problemas

Posiblemente la estrategia superficial maacutes comuacutenmente utilizada sea la estra-tegia de la palabra clave (Hegarty et al 1995 Nesher y Teubal 1975 Verschaf-fel De Corte y Pauwels 1992) En este caso los estudiantes seleccionan palabrasclaves aisladas del texto que asocian con una operacioacuten determinada sin tener encuenta una representacioacuten global de la situacioacuten del problema Por ejemplo laspalabras ldquojuntosrdquo o ldquoganarrdquo se asociariacutean con una suma mientras que ldquomenosquerdquo o ldquoperderrdquo se asociariacutean con la operacioacuten de restar Esta estrategia tieneldquoeacutexitordquo cuando los alumnos de enfrentan a problemas que maacutes atraacutes hemos deno-minado consistentes pero cuando los problemas son inconsistentes la estrategiaconduciriacutea loacutegicamente a un error en la operacioacuten seleccionada

Otras estrategias superficiales descritas pueden ser auacuten maacutes dramaacuteticas Porejemplo los estudiantes pueden guiarse por lo nuacutemeros que aparecen en el pro-blema para decidir la operacioacuten Asiacute si los nuacutemeros son 78 y 54 se podriacutea pensaren una suma o una multiplicacioacuten pero si son 78 y 3 la operacioacuten maacutes probableseriacutea la divisioacuten infiriendo las operaciones a partir del tamantildeo de los nuacutemeroscomo asiacute ha sido recogido por Sowder (1988) O bien seleccionar los nuacutemeros ydejarse guiar por la operacioacuten maacutes reciente ensentildeada en clase o simplemente eje-cutar una operacioacuten con la que uno se siente maacutes competente Incluso cuando losproblemas introducen informacioacuten numeacuterica irrelevante esta tiende a ser utiliza-da en las operaciones ejecutadas por los estudiantes (Littlefield y Rieser 1993)

En cualquier caso todas estas estrategias tienen en comuacuten un estilo impulsivoy precipitado de los estudiantes cuando se enfrentan a la resolucioacuten de proble-mas con la ausencia de una lectura cuidadosa del problema que les permita acce-der a una representacioacuten de la situacioacuten denotada en el enunciado

Como consideran Verschaffel y De Corte (1997) uno podriacutea preguntarse queacutemotiva que los estudiantes generen este tipo de estrategias superficiales Y enciertas ocasiones como asiacute indican estos mismos autores bien expliacutecita o impliacute-citamente estas estrategias pueden ser promovidas por las praacutecticas de ensentildean-za Y estas praacutecticas pueden estar mediatizadas por los materiales curricularesentre los que cabe destacar el libro de texto

LIBROS DE TEXTO

Los estudiantes dedican buena parte de su tiempo en las aulas a trabajar conmateriales preparados entre los que el libro de texto juega un papel fundamen-tal Por lo tanto tales materiales son una parte importante del contexto de ense-ntildeanza y aprendizaje A pesar de que los trabajos relacionados con los libros detexto generalmente no han establecido un viacutenculo directo con el aprendizaje delos alumnos su anaacutelisis permite tener una visioacuten de su potencial efecto especial-mente si tenemos en cuenta que por lo que se refiere al aacuterea de matemaacuteticas las



praacutecticas educativas de los profesores estaacuten enormemente influenciadas por loslibros de texto (Cooney 1985 Haggaty y Pepin 2002 Millett y Johnson 1996NCTM 1989 Schmidt McKnight Valverde Houang y Wiley 1997 Stray1994) Es maacutes como sentildealan Nathan y Koedinger (2000) los libros de textopueden ser una fuente de influencia sobre los conocimientos y creencias de con-tenido pedagoacutegico de los profesores como afirman los autores la utilizacioacuten delos libros para estructurar diariamente las clases puede llevar a los profesores ainteriorizar la visioacuten de las matemaacuteticas que conllevan impliacutecitamente los libros

El anaacutelisis de los libros de texto se puede enfocar desde distintas perspectivas(Haggaty y Pepin 2002) incluyendo tanto aspectos geneacutericos tales como lascircunstancias econoacutemicas y poliacuteticas de su produccioacuten o las caracteriacutesticas socio-loacutegicas y las tradiciones culturales reflejadas en el libro como especiacuteficos talescomo su estructura su uso en las clases por profesores y estudiantes o su conteni-do Este uacuteltimo aspecto es el que nos interesa para nuestro trabajo especialmenteel anaacutelisis del contenido relacionado con la resolucioacuten de problemas

Existen trabajos que han analizado los problemas en los libros de texto comouna ventana a traveacutes de la cual ver las experiencias que los estudiantes tienen coneste particular contenido (Carter Li y Ferrucci 1997 De Corte VerschaffelJanssens y Joillet 1985 Fuson Stigler y Bartsch 1988 Li 2000 Mayer Sims yTajika 1995 Reusser 1988 Stigler Fuson Ham y Kim 1986 entre otros)Aunque algunos de estos trabajos han sido desarrollados en el contexto de estu-dios comparativos entre los libros utilizados en distintos paiacuteses (especialmenteoccidentales y orientales) de todos ellos se pueden extraer algunas caracteriacutesticasque pueden ayudarnos a entender las praacutecticas educativas que se pueden estarpromoviendo en las aulas

Asiacute los problemas que aparecen en los libros de texto tienden a ser agrupadosy formulados de tal forma que la utilizacioacuten de estrategias superficiales puedellevar a una ejecucioacuten correcta del problema Por ejemplo en algunos casos sepromueve la utilizacioacuten de la estrategia de la palabra clave resaltando estas pala-bras en el propio texto del problema en otros la estrategia puede ser derivadaimpliacutecitamente a partir de la ldquodietardquo maacutes o menos esteriotipada de los tipos deproblemas presentados Los problemas desafiantes con informacioacuten superflua ocon datos necesarios omitidos son poco habituales de tal manera que los estu-diantes infieren que resolver un problema implica hacer algo con (todos) losnuacutemeros que aparecen en el enunciado Ademaacutes los contextos en los que apare-cen los problemas son maacutes bien esteriotipados lo que los convierte en poco esti-mulantes y motivantes llevando a los estudiantes a considerar estos contextoscomo algo irrelevante para la resolucioacuten de la tarea Incluso contextos ldquorealistasrdquoen los que hay que hacer uso de conocimientos del mundo real son poco habitua-les y cuando aparecen los estudiantes tienden a obviarlos (ver para esta uacuteltimacuestioacuten Verschaffel Greer y De Corte 2000)

En definitiva los libros de texto como material curricular habitualmente utili-zado por profesores y alumnos pueden ser un reflejo del tipo de contenidos que seestaacuten promoviendo en las aulas en relacioacuten a la resolucioacuten de problemas Dado queen nuestro paiacutes no contamos con muchos estudios que analicen los libros desde laperspectiva que estamos proponiendo este seraacute el objetivo del presente trabajo

EL PRESENTE TRABAJO

El objetivo del estudio que aquiacute presentamos es analizar los problemas que apa-recen en los libros de texto publicados por tres de las editoriales maacutes representati-vas de nuestro paiacutes Nuestra intencioacuten no es hacer un anaacutelisis comparativo de estostextos sino maacutes bien presentar un panorama maacutes o menos amplio de los problemas



a los que los alumnos se enfrentan habitualmente en las aulas con el aacutenimo de quea partir de este anaacutelisis podamos tener una visioacuten del tipo de praacutecticas educativasque pueden estar promovieacutendose Para ello hemos realizado un vaciado de los pro-blemas que aparecen en cada uno de los libros de los seis cursos editados en la etapade Educacioacuten Primaria Como ya hemos adelantado solamente nos hemos centra-do en los problemas con estructura aditiva Los problemas los hemos categorizadoen base a su estructura semaacutentica atendiendo a las dimensiones sugeridas por lostrabajos previos y que ya hemos expuesto maacutes atraacutes Ademaacutes hemos tenido encuenta el anaacutelisis de problemas que vayan maacutes allaacute de la ejecucioacuten de una operacioacutenpara llegar al resultado como problemas que omiten o antildeaden informacioacuten o situa-ciones en las que los alumnos tienen que inventar preguntas datos o problemascompletos Y por uacuteltimo hemos categorizado los problemas en relacioacuten al contex-to situacional en el que aparecen ya que esta cuestioacuten ha sido escasamente estudia-da no soacutelo en nuestro paiacutes sino tambieacuten fuera de nuestras fronteras y seguacuten losmodelos de resolucioacuten de problemas descritos maacutes atraacutes esta cuestioacuten puede serimportante para la comprensioacuten del enunciado A partir del anaacutelisis pretendemosresponder a las siguientes cuestiones a) queacute variabilidad y frecuencia tienen losproblemas presentados en los libros b) queacute proporcioacuten de problemas presentanalguacuten tipo de desafiacuteo maacutes allaacute de la eleccioacuten y ejecucioacuten de una operacioacuten y de queacutenaturaleza es y c) queacute proporcioacuten de problemas se presentan en un contexto situa-cional diferentes a las situaciones estaacutendar (premisas con datos y pregunta) y de queacutetipo es la informacioacuten situacional

Meacutetodo

Seleccioacuten de los libros de texto

Los libros analizados fueron editados por tres de las editoriales maacutes amplia-mente utilizadas en nuestro paiacutes Ediciones SM (2001) Grupo Anaya (2003) yGrupo Santillana de Ediciones (1999) Dado que cada editorial ofrece una confi-guracioacuten diferente de los materiales (libro del alumno guiacutea del profesor cuader-nos etceacutetera) decidimos centrar el anaacutelisis solamente en el libro del alumno queobviamente es comuacuten a las tres editoriales y ademaacutes es el material que con segu-ridad es utilizado por los alumnos (en todas las editoriales los demaacutes materialesson complementarios) Un aspecto interesante a resaltar en las tres editoriales esque introducen un apartado especiacutefico relacionado con la promocioacuten de estrate-gias de resolucioacuten de problemas

Codificacioacuten de los tipos de problemas

El anaacutelisis de los problemas fue llevado a cabo a partir de un sistema de codifi-cacioacuten para cada una de las variables planteadas en los objetivos la estructurasemaacutentica el grado de desafiacuteo y el contexto situacional

Por lo que se refiere a la estructura semaacutentica codificamos tanto los proble-mas de una operacioacuten como de dos o maacutes operaciones con estructura aditiva

Los problemas de una operacioacuten se codificaron en base al esquema de clasifica-cioacuten descrito maacutes atraacutes cambio combinacioacuten comparacioacuten e igualacioacuten y en laposicioacuten de la cantidad desconocida con lo que identificamos 20 tipos de pro-blemas con estructura aditiva

Para los problemas de dos o maacutes operaciones dado que no contamos con nin-guacuten sistema para categorizarlos desde el punto de vista de la estructura semaacutenti-ca decidimos aplicar las mismas veinte categoriacuteas a cada una de las partes delproblema Puesto que estaacutebamos interesados en analizar todos los problemas queincluyeran estructura aditiva codificamos todas las combinaciones posibles que



aparecieron en los libros de texto Por ejemplo el problema ldquoDiego tiene ahorra-dos 96 euros y Rauacutel tiene ahorrados 23 euros maacutes que Diego iquestcuaacutento dinero tie-nen ahorrado entre los dosrdquo se codificariacutea como comparacioacuten 3 combinacioacuten 1Pero dado que este planteamiento nos llevariacutea a numerosas categoriacuteas para hacerel tamantildeo manejable hemos agrupado los problemas en categoriacuteas maacutes geneacutericas(veacutease en el Apeacutendice B cada categoriacutea y una justificacioacuten de las mismas) Uncaso especial fueron los problemas de combinacioacuten 1 y 2 con tres o maacutes partes(pe ldquoJuan tiene 12 juguetes Pedro tiene 14 juguetes y Luis tiene 15 juguetesiquestcuaacutentos juguetes tienen entre los tresrdquo o tambieacuten ldquoJuan Pedro y Luis tienen36 juguetes entre los tres Juan y Pedro tienen 23 juguetes iquestcuaacutentos juguetestiene Luisrdquo) En estos casos a pesar de que se podriacutean considerar de dos opera-ciones decidimos incluirlos en la categoriacutea baacutesica de combinacioacuten ya que laestructura baacutesica no cambia (parte parte hellip todo)

Por otro lado tambieacuten analizamos los problemas de dos o maacutes operaciones enlos que una parte incluyera una o maacutes estructuras aditivas aunque otra parteincluyera operaciones que no tuvieran estructura aditiva Es el caso de las estruc-turas multiplicativas combinadas con estructuras aditivas o de los problemascon estructura aditiva en las que alguna de las partes de la estructura implicaraalguacuten tipo de transformacioacuten numeacuterica (operacioacuten) como porcentajes conver-siones de medida o fracciones En estos casos los problemas fueron incluidos enla categoriacutea de la parte de la estructura aditiva correspondiente Por ejemplo elsiguiente problema ldquoEn un garaje hay 250 coches 35 de los coches son rojos y elresto azules iquestcuaacutentos coches azules hayrdquo se incluiriacutea en la categoriacutea de combina-cioacuten 2 aunque implica dos operaciones De cualquier forma todos estos proble-mas aparecen indicados en las tablas de resultados

Por uacuteltimo tambieacuten incluimos los problemas con estructura aditiva cuyas canti-dades fueran diferentes al nuacutemero natural como por ejemplo decimales fracciones ogrados En este caso los problemas fueron considerados de manera anaacuteloga a los pro-blemas con nuacutemeros naturales por ejemplo ldquoMiguel ha utilizado 45 de kilo depintura para pintar la pared y el tejado de la caseta del perro si Miguel ha utilizado35 de kilo de pintura para la pared iquestqueacute cantidad de pintura ha utilizado para eltejadordquo se codificariacutea como un problema de combinacioacuten 2 de una operacioacuten nodistinguieacutendose en los resultados de los problemas con nuacutemeros naturales

Por lo que se refiere a los problemas que presentan alguacuten desafiacuteo que vaya maacutesallaacute de la seleccioacuten de unos nuacutemeros para ejecutar una operacioacuten incluimos lasdos siguientes categoriacuteas

ndash Problemas que aporten informacioacuten irrelevante o que omitan datos necesa-rios para la solucioacuten

ndash Situaciones que requieran la formulacioacuten de problemas a partir de unos ele-mentos dados o a partir de otros problemas estructuralmente similares o dife-rentes o situaciones que requieren completar problemas bien con la pregunta obien con datos

Por uacuteltimo para analizar el contexto situacional en el que se presentan losproblemas distinguimos a partir del trabajo de Reusser (1988 1990) descritomaacutes atraacutes las siguientes categoriacuteas

ndash Descripcioacuten caracteriacutesticas descriptivas acerca de los personajes ej ldquoRaquely Juan son hermanosrdquo

ndash Intencioacuten necesidades motivos o propoacutesitos de los personajes ej ldquoPedroqueriacutea celebrar su cumpleantildeosrdquo

ndash Accioacuten interacciones entre personajes y objetos ej ldquoJuan estaacute realizandouna ruta ciclistardquo

ndash Causa relaciones causales entre acontecimientos o personajes ej ldquoHay 35manzanas menos porque algunas se han estropeadordquo



ndash Tiempo relaciones temporales en los problemas de cambio maacutes allaacute de losmarcadores de tiempo ej ldquoCuando Roberto teniacutea doce antildeosrdquo

Procedimiento

La codificacioacuten de los problemas fue realizada por los tres autores de este tra-bajo Para asegurar la fiabilidad de sistema de categoriacuteas un libro de cada edito-rial fue analizado independientemente por los tres codificadores obtenieacutendoseun grado de acuerdo entre el 87 y el 96 Los mayores desacuerdos se dieronfundamentalmente en la decisioacuten de incluir o no el problema y no tanto en sucodificacioacuten No obstante los desacuerdos se resolvieron por consenso y se clarifi-coacute a partir de aquiacute el sistema de anaacutelisis

Precisamente una cuestioacuten fundamental para el anaacutelisis fue decidir queacute consti-tuiacutea un problema puesto que el formato de presentacioacuten fue muy variado en las edi-toriales Siguiendo a Semadeni (1995) un problema (similar a los que estamos plan-teando en este trabajo) se puede definir como la descripcioacuten verbal de una situacioacutenproblemaacutetica donde se plantean una o maacutes preguntas que se pueden responder porla aplicacioacuten de operaciones aritmeacuteticas a los datos disponibles en el texto del pro-blema En este sentido una caracteriacutestica de los problemas es el uso de palabras paradescribir la situacioacuten Asiacute ldquoPedro gana 5 canicas en una partida y ahora tiene 8iquestcuaacutentas canicas teniacutea antes de la partidardquo seriacutea un ejemplo tiacutepico de problemamientras que 8 ndash 5 = no De la misma manera y aunque la definicioacuten pudieraincluir tareas como ldquoiquestQueacute ocurre si restas 5 desde 8rdquo esto no seriacutea un problemaporque este deberiacutea referirse a un contexto significativo existente o imaginableexcluyendo los contexto de puros caacutelculos numeacutericos (Semadeni 1995) Por otrolado la presentacioacuten del problema puede ser completamente verbal o presentadopictoacutericamente existiendo entre ambas muchas combinaciones intermedias entrepalabras y dibujos Puesto que estaacutebamos interesados en analizar todas las oportuni-dades que los estudiantes teniacutean para comprometerse en la resolucioacuten de un proble-ma seguacuten la definicioacuten propuesta decidimos codificar todas aquellas tareas queimplicaran una situacioacuten problemaacutetica en la que las premisas (bien la informacioacutennumeacuterica bien la pregunta) se presentara verbalmente o en una forma icoacutenica iso-moacuterfica a una forma verbal Por ejemplo en los primeros cursos fue comuacuten encon-trarnos situaciones en las que los datos se presentaban en un dibujo por ejemplo doscajas con una etiqueta en cada una en la que apareciacutea el dato numeacuterico (5 O ndashnume-ral 5 y dibujo de un baloacuten) y la pregunta verbal ldquoiquestcuaacutentos balones hay en totalrdquopero OOOOO (un dibujo de cinco balones) no fue aceptado como premisa Ade-maacutes tambieacuten decidimos codificar las situaciones problemaacuteticas que se presentabanresueltas las cuales aparecieron generalmente para introducir alguacuten concepto u ope-racioacuten ya que aunque estuvieran resueltas daban la oportunidad a los estudiantesde (re)conocer un particular tipo de problema Sin embargo no codificamos lassituaciones que realmente no se presentaran como problemaacuteticas por ejemplo unavintildeeta con tres ilustraciones en la primera una pecera con cuatro peces y el nuacutemero4 debajo en la segunda un nintildeo antildeadiendo dos peces a la pecera y la operacioacuten 4 + 2debajo y en la tercera una pecera con seis peces y la operacioacuten resuelta 4 + 2 = 6debajo aunque sea una situacioacuten de cambio 1 no la consideramos como problemaacute-tica al no aparecer una pregunta expliacutecita a la que haya que responder

Resultados

En primer lugar presentamos el anaacutelisis de frecuencia de presentacioacuten y varia-bilidad de los distintos tipos de problemas En la tabla I aparecen los datos porniveles y editoriales



439Un anaacutelisis de los problemas aritmeacuteticos en los libros de texto de Educacioacuten Primaria J Orrantia et alTA

BLA

IFr

ecuen

cia de

los d

istin

tos ti

pos d

e prob

lemas

simp

les y

comple

jos po

r Edi

toria

les y

nivel

es E

l nuacutem

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tre pa

reacutentes

is esp

ecific

a el n

uacutemero

de pr

oblem

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e inc

luyen

una p

arte

no ad

itiva

C =

camb

io C

P =

compa

racioacute

n C

B =

combin

acioacuten

IG

= ig

uala

cioacuten

SAN

TILL

AN

AA

NA

YA

SMTO

TALE

S

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

TOTA

L1ordm

2ordm3ordm

4ordm5ordm

6ordmTO

TAL

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

TOTA

L

C12

74

0(1)

13(1

)11

1(1)

52

1(1)

1(3)

21(5

)5

33

0(1)

45(

1)20

(2)

54(8

)C2

1615

13(4

)0(

6)4(

7)0(

8)48

(25)

184(

2)12

(8)

12(1

0)8(

5)3(

13)

57(3

8)8

17(1

)11

(3)

35(

2)12

(5)

56(1

1)16

1(74

)C3

1(1)

1(1)

0(9)

2(11

)4

46(

11)

C40(

3)0(

3)2(

1)3(

1)5(

2)1

1(1)

2(1)

7(6)

C52(

1)2(

1)1

13(

1)C6

11

22

CB1

3739

40(1

9)13

(23)

28(3

1)10

(38)

167(

111)

1014

36(6

)13

(18)

16(1

3)7(

20)

96(5

7)22

36(6

)46

(19)

35(8

)48

(14)

22(1

4)20

9(61

)47

2(22

9)CB

21

51(

10)

3(17

)4(

24)

14(5

1)1

13(2

)2(

6)10

(22)

3(20

)29

(50)

27

3(1)

0(1)

14(6

)5(

11)

31(1

9)74

(120

)

CP1

725

12(1

)4(

5)19

(17)

5(13

)72

(36)

55

2(1)

1(3)

3(2)

2(1)

18(7

)5

94

15

2411

4(37

)CP

22

24

22

0(1)

4(1)

44

21

1119

(1)

CP3

43

1(1)

1(1)

9(2)

32(

2)0(

1)5(

3)1

23

17(5

)CP

44

31(

2)2

1(2)

0(1)

11(5

)5

23(

1)1(

1)11

(2)

13

21

729

(7)

CP5

11

1CP

60

IG1

15

2(2)

3(5)

2(7)

1(1)

14(1

5)1

4(1)

2(1)

0(1)

1(1)

8(4)

51

2(1)

35(

1)6(

1)22

(3)

44(2

2)IG

20

IG3

30(

1)3(

1)0(

1)0(

1)3(

2)CN A

59(

2)3(

2)3(

2)20

(6)

513

(3)

6(1)

2(2)

26(6

)2

55(

2)12

(1)

5(3)

534

(6)

80(1

8)C

24

9(1)

7(4)

22(5

)22

(5)

F1

11(

5)3(

5)2

35

8(5)

D2

13

5(1)

5(1)

11

9(1)

K1

11

B2

14(

1)0(

1)5(

2)12

(4)

412

(2)

2(1)

18(3

)1

57

62

2151

(7)

E2

2(1)

4(1)

11

11

6(1)

H0(

1)1

1(1)

1(1)

G0(

1)0(

1)0(

1)I

11

1J

(1)

(1)

(1)

TOTA

L10

473

(29)

22(5

0)57

(74)

20(8

9)40

6(27

1)44

39(3

)95

(21)

51(4

3)67

(52)

22(7

3)31

8(19

2)56

90 (7

)86

(26)

57 (9

)99

(27)

56(3

3)44

4(10

3)11

89(5

60)


Una inspeccioacuten general de la tabla indica que en teacuterminos globales y aunqueexisten pequentildeas diferencias las tres editoriales presentan un panorama similarrespecto a la distribucioacuten de los problemas por cursos Ademaacutes las estructurasaditivas se encuentran distribuidas a lo largo de todos los niveles tanto en loreferente a los problemas que se resuelven con una operacioacuten como los que seresuelven con dos o maacutes aunque los problemas de dos o maacutes operaciones seincrementan a partir de tercer curso Es interesante resaltar que este incrementode los problemas de dos o maacutes operaciones se debe fundamentalmente a la cate-gorizacioacuten de los problemas de dos operaciones en los que se combina unaestructura aditiva con una multiplicativa o los problemas con estructura aditivaen los que una de las partes implica una transformacioacuten numeacuterica (los que apare-cen entre pareacutentesis en la tabla de resultados)

Sin embargo los resultados maacutes interesantes para nuestros propoacutesitos son losrelacionados con la frecuencia de aparicioacuten de las diferentes categoriacuteas de proble-mas en los libros En la figura 1 se presenta la distribucioacuten de los problemas deuna operacioacuten en cada una de las editoriales agrupando todos los cursos

Como podemos observar las tres editoriales presentan una distribucioacuten muysimilar de las distintas categoriacuteas de problemas El coeficiente de correlacioacuten dePearson entre pares de editoriales calculado a partir de los 20 tipos de problemases de 89 90 y 95

En general la liacutenea que representa la distribucioacuten que presentan los libros esen sierra y con escasos ldquopicosrdquo lo que refleja que los estudiantes son expuestos auna variedad muy limitada de tipos de problemas Por lo que se refiere a laestructura de cambio los maacutes abundantes son los problemas de cambio 2 y enmenor medida los de cambio 1 no apareciendo praacutecticamente ninguacuten problemade las demaacutes categoriacuteas de cambio Algo similar ocurre con la estructura de com-paracioacuten en este caso la categoriacutea de mayor frecuencia es comparacioacuten 1 mien-tras que la presencia de comparacioacuten 5 y 6 es nula Sin duda la estructura decombinacioacuten es la de mayor presencia especialmente combinacioacuten 1 que soncon diferencia los problemas maacutes numerosos La estructura de igualacioacuten por suparte es la que presenta la frecuencia maacutes baja concentraacutendose en los problemasde igualacioacuten 1

En los problemas de dos o maacutes operaciones el panorama es muy similar Losproblemas maacutes numerosos son los correspondientes a las categoriacuteas A Pero esimportante resaltar que en la mayoriacutea de los problemas la estructura principal escambio 1 oacute 2 (solamente aparece 4 veces cambio 6 y dos veces cambio 4) En lasiguiente categoriacutea maacutes numerosa la B ocurre algo similar ya que en todos los


FIGURA 1Distribucioacuten de los problemas simples de acuerdo a su estructura

0

50

100

150

200

250

300

C1 C2 C3 C4 C5 C6 CB1 CB2 CP1 CP2 CP3 CP4 CP5 CP6 IG1 IG2 IG3 IG4 IG5 IG6

Santillana

Anaya

SM


problemas salvo uno los sucesivos cambios corresponden a la estructura de cam-bio 1 oacute 2 como tambieacuten ocurre en la categoriacutea F Y de la misma manera en lascategoriacuteas D y E no aparece en ninguacuten caso una parte que sea comparacioacuten 5 oacute 6Las demaacutes categoriacuteas presentan muy pocos problemas salvo la C en una de laseditoriales que tambieacuten combina estructuras muy simples (comparacioacuten 1 oacute 2con combinacioacuten 1)

En la tabla II se presenta el anaacutelisis de los problemas que van maacutes allaacute de laseleccioacuten de los datos y ejecutar una operacioacuten es decir aquellos que presentanalguacuten grado de desafiacuteo bien porque introducen informacioacuten superflua u omiteninformacioacuten bien porque presentan situaciones en las que es necesario generar elproblema parcial o totalmente

Como podemos apreciar el nuacutemero de problemas es sensiblemente escasosalvo en la editorial Santillana respecto a las demaacutes Este hecho se debe a que estaeditorial en su apartado de resolucioacuten de problemas (ya habiacuteamos mencionadoque las tres editoriales lo introducen) dedica un espacio precisamente a tratareste tipo de situaciones De hecho los 21 problemas que aparecen con datos demaacutes o de menos se presentan en un contexto en el que los alumnos saben que fal-tan o sobran datos (pe ldquobusca en la tabla el dato que falta para resolver el proble-mardquo) con lo que el desafiacuteo es mucho menor Y de los 72 problemas que implicangenerar el problema total o parcialmente solamente en 12 plantean construir unproblema completo (en los demaacutes hay que generar una pregunta o inventar losdatos)

Y los resultados relacionados con el anaacutelisis del contexto situacional en el quese presentan los problemas aparecen en la tabla III

Como se puede observar el porcentaje de problemas que incluyen informa-cioacuten situacional es de 82 182 y 65 respectivamente para Anaya SM y Santilla-na Las categoriacuteas maacutes numerosas son las acciones e intenciones (especialmentenumerosas en SM) que en teacuterminos teoacutericos son las menos relevantes para com-prensioacuten y creacioacuten del modelo de la situacioacuten episoacutedico Y las que menos pre-sencia tienen son la causal y temporal que permiten una mayor transparenciadel modelos de la situacioacuten episoacutedica

DISCUSIOacuteN

El objetivo de este trabajo era analizar los problemas que aparecen en loslibros de texto atendiendo especiacuteficamente a estas variables la frecuencia y varia-bilidad de tipos de problemas la presencia de problemas con alguacuten grado dedesafiacuteo y el contexto situacional en el que se presentan los problemas


TABLA IIFrecuencias de problemas que presentan alguacuten grado de desafiacuteo

SANTILLANA SM ANAYA

INFORMACION INVENTAR TOTAL INFORMACION INVENTAR TOTAL INFORMACION INVENTAR TOTALADICIONAL ADICIONAL ADICIONAL

1ordm 0 0 0 1 1 2 0 6 62ordm 0 6 6 3 6 9 0 4 43ordm 4 4 8 2 0 2 1 0 14ordm 1 11 12 0 0 0 0 0 05ordm 7 28 35 0 2 2 1 0 16ordm 9 23 32 3 0 3 1 0 1

TOTAL 21 72 93 9 9 18 3 10 13



TA

BLA

III

Frecu

encia

de p

robl

emas

que

antildea

den

info

rmac

ioacuten

situa

ciona

l

SAN

TIL

LAN

AT

OT

AL

SMT

OT

AL

AN

AY

AT

OT

AL

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

INTE

NCI

ON

AL

02

12

34

123

710

614

1151

12

46

98

30A

CCIO

NES

01

22

48

170

17

59

426

10

33

11

9TE

MPO

RA

L0

01

00

01

01

10

01

30

02

00

02

CAU

SAL

00

00

00

00

61

00

18

00

00

01

1D

ESCR

IPTI

VO

01

02

20

50

04

02

17

00

00

00

0CO

MPL

ETO

00

22

21

70

00

00

00

00

01

00

1A

CCIO

N +

DES

CRIP

TIV

O0

10

00

01

00

00

00

00

00

00

00

ACC

ION

+ T

EMPO

RA

L0

00

00

11

00

01

10

20

00

00

00

ACC

ION

+ F

INA

LID

AD

00

00

00

00

00

01

01

00

00

00

0IN

TEN

+ A

CCIO

N0

00

00

00

00

11

10

30

00

00

00

TOTA

L0

56

811

1444

315

2413

2818

101

22

910

1010

43


Por lo que se refiere a los tipos de problemas que aparecen en los libros quizaacutesel aspecto maacutes relevante sea la relacioacuten que existe entre los problemas maacutes fre-cuentes y el grado de dificultad de los mismos seguacuten lo planteado desde las dis-tintas investigaciones sobre el tema Asiacute los problemas maacutes numerosos corres-ponden con los maacutes sencillos de resolver como es el caso de los problemas decombinacioacuten 1 o los de cambio 1 y 2 Estos problemas no requieren un conoci-miento conceptual avanzado en el que haya que establecer las relaciones semaacutenti-cas descritas en el texto del problema sino que su resolucioacuten se puede llevar acabo entendiendo premisa por premisa secuencialmente tal como se presenta enel texto del problema En este caso la creacioacuten de una representacioacuten (compren-sioacuten) de la situacioacuten problemaacutetica no es estrictamente necesaria Es maacutes la reso-lucioacuten de estos problemas se podriacutea llevar a cabo aplicando lo que maacutes atraacuteshemos denominado estrategias superficiales ya que la seleccioacuten de los datos conciertas palabras clave (ganar gastar juntoshellip) puede ser suficiente para resolverel problema sin necesidad de una comprensioacuten profunda del enunciado

Algo similar podemos decir de otro de los tipos de problemas que maacutes apare-cen en los libros como los problemas de combinacioacuten 2 Aunque su resolucioacutenno pueda ser llevada a cabo directamente a partir de estrategias superficialestampoco necesitan de un conocimiento conceptual muy desarrollado (CarpenterHiebert y Moser 1981 Fuson 1992 Orrantia 2003)

Un caso especial son los problemas de comparacioacuten que sabemos que en teacuter-minos globales son los maacutes difiacuteciles especialmente en los primeros niveles debi-do a los teacuterminos linguumliacutesticos maacutes que y menos que (Cummins et al 1988) Peroincluso en estos casos los problemas maacutes numerosos como comparacioacuten 1 sonlos maacutes sencillos desde el punto de vista estructural Llama incluso la atencioacutenque la frecuencia de los dos problemas maacutes sencillos ideacutenticos estructuralmente(comparacioacuten 1 y 2) sea tan diferente aspecto este que no tiene ninguna justifi-cacioacuten salvo que la aparicioacuten de estos problemas esteacute relacionada con otro finmaacutes allaacute de la resolucioacuten de estos problemas

Esta uacuteltima cuestioacuten es interesante para la discusioacuten ya que aunque no lohemos analizado directamente una parte importante de los problemas aparecenen contextos en los que es faacutecil anticipar el tipo de operacioacuten que se puede aplicarincluso antes de leer los problemas (pe aparece un encabezado con ldquorestas lle-vandordquo) En este sentido los problemas que se resuelven con suma son funda-mentalmente asociados a los problemas de combinacioacuten 1 y en menor medidacambio 1 y los que se resuelven con resta a cambio 2 y comparacioacuten 1 y enmenos casos a combinacioacuten 2 Estos uacuteltimos son maacutes utilizados en contextos dedos o maacutes operaciones donde una de ellas implica una estructura aditiva y la otraimplica alguacuten tipo de transformacioacuten numeacuterica de una de las partes de la estruc-tura aditiva sin duda estos son los problemas maacutes ldquoapropiadosrdquo para este tipo deoperaciones

En este contexto es faacutecil entender la frecuencia y variabilidad de problemasque aparecen en los libros y nos lleva a plantear cuaacutel es el verdadero rol que losproblemas tienen en los libros de texto iquestRealmente los problemas son presenta-dos para poner en marcha estrategias de resolucioacuten de problemas o maacutes bien tie-nen una funcioacuten maacutes relacionada con el ejercicio de las operaciones aritmeacuteticasque se estaacuten ensentildeando Loacutegicamente no tenemos una respuesta concluyentepara esta cuestioacuten pero siacute que nos atrevemos a considerar que una parte impor-tante de los problemas estaacuten maacutes orientados a ejercitar ciertas operaciones apren-didas que a promover estrategias de resolucioacuten Bien es verdad que es maacutes positi-vo que el ejercicio de las operaciones se plantee desde el contexto de situacionesproblemaacuteticas que el plantear listas y listas de operaciones algoriacutetmicas como



praacutectica de las mismas Pero tambieacuten es verdad que los problemas deben tenerun fin en siacute mismos como objetivo a desarrollar en los contenidos de aritmeacutetica

Tambieacuten se podriacutea pensar que la intencioacuten de los libros es posponer las estra-tegias de resolucioacuten de problemas a problemas maacutes complejos de dos o maacutes ope-raciones Aunque tampoco estariacuteamos de acuerdo con este planteamiento ya quelos problemas simples (de una operacioacuten) es el contexto ideal para comenzar afomentar las estrategias de resolucioacuten lo cierto que el anaacutelisis de los problemasmaacutes complejos tampoco nos permite considerar esta posibilidad El anaacutelisis delos problemas complejos de maacutes de una operacioacuten revela la tendencia encontradaen los problemas simples los problemas maacutes abundantes son los que combinanlas estructuras maacutes numerosas encontradas en los problemas simples De hechoy por poner un ejemplo cuando la estructura baacutesica es la de cambio como en lacategoriacutea B el lugar de la incoacutegnita sigue siendo el conjunto final y no el inicialo cualquiera de los cambios Es importante considerar que en estos problemas ellugar de la incoacutegnita sigue teniendo un rol importante como en los problemassimples Aunque no hay muchos trabajos al respecto en un estudio nuestroreciente con este tipo de problemas hemos comprobado que la ejecucioacuten se redu-ce a la mitad si la incoacutegnita se encuentra en el primer cambio que si se encuentraen el segundo dentro de una estructura estado inicial-cambio-cambio-estadofinal (la categoriacutea B en nuestro anaacutelisis)

Por lo tanto los problemas maacutes numerosos que aparecen en los libros sonaquellos que resultan maacutes sencillos de resolver para los alumnos desde el puntode vista de su estructura semaacutentica Pero no es la estructura semaacutentica la uacutenicavariable que hace que los problemas sean sencillos Tambieacuten hemos podido com-probar que los problemas ldquodesafiantesrdquo que vayan maacutes allaacute de la seleccioacuten de losdatos y la operacioacuten son escasos Asiacute problemas con datos omitidos o extra sonpoco numerosos y cuando aparecen lo hacen en contextos en los que es faacutecil anti-cipar que faltan o sobran datos ya que el propio texto lo especifica De hechoeste tipo de problemas son praacutecticamente nulos fuera del apartado de resolucioacutende problemas que proponen los libros En este contexto es faacutecil imaginar que losestudiantes sencilla y razonadamente infieren que resolver un problema implicahacer algo con (todos) los nuacutemeros dados en el enunciado Y si ademaacutes los pro-blemas se pueden resolver con estrategias superficiales el tipo de estrategias quese estaacuten promoviendo distan mucho de las que son necesarias para llevar a cabouna comprensioacuten profunda del enunciado Es verdad que estas estrategias sirvenpara resolver los problemas que precisamente aparecen en lo libros de texto perola investigacioacuten nos demuestra constantemente que los estudiantes fracasan en laresolucioacuten de problemas precisamente cuando los problemas precisan de haceralgo maacutes que seleccionar los datos y buscar alguna palabra que me permita llegara una operacioacuten

Este caraacutecter esteriotipado de los problemas tambieacuten lo hemos comprobadodesde el anaacutelisis del contexto situacional en el que se presentan Los problemas seformulan en contextos muy estaacutendar en los que la informacioacuten se presenta enpremisas muy precisas con datos y preguntas Y aunque no contamos con datossuficientes que nos permitan afirmar que los problemas con informacioacuten situa-cional mejoran la ejecucioacuten lo que siacute parece razonable es que en la medida enque en los problemas se incluyan motivos acciones o intenciones los estudiantespodraacuten implicarse maacutes allaacute de buscar unos datos para responder a una pregunta

En definitiva desde los diferentes aspectos analizados podemos constatar quelos problemas que habitualmente aparecen en los libros de texto presentan unanaturaleza altamente esteriotipada en la que no es necesario poner en marchasofisticadas estrategias que permitan llagar a la resolucioacuten



A la luz de estas consideraciones quizaacutes deberiacuteamos plantearnos que cons-tituye realmente un problema En la definicioacuten de problema que hemosdado en el apartado de procedimiento un problema se planteaba como ladescripcioacuten verbal de una situacioacuten problemaacutetica donde se plantean una omaacutes preguntas que se pueden responder por la aplicacioacuten de operacionesaritmeacuteticas a los datos disponibles en el texto del problema Esta definicioacutenno incluye ninguna consideracioacuten al nivel de dificultad implicado en latarea En este sentido y como consideran otros autores (pe Verschaffel etal 2000) un problema como los que estamos tratando aquiacute no constituyenecesariamente un ldquoproblemardquo en el sentido cognitivo del teacutermino querequiere la aplicacioacuten de estrategias de alto nivel de resolucioacuten de proble-mas El que se considere un verdadero problema depende de la relacioacuten entrelos conceptos y habilidades necesarios para producir una respuesta satisfacto-ria y los conocimientos de quien tiene que resolverlo En este sentido si losproblemas se convierten en ejercicios rutinarios difiacutecilmente se podraacuten des-plegar o maacutes importante auacuten desarrollar las habilidades necesarias paraenfrentarse a esta compleja tarea En otras palabras la adquisicioacuten de las des-trezas necesarias para resolver problemas dependen de que los estudiantes seenfrenten a problemas en los que sean necesarias esas destrezas Si para laresolucioacuten de ciertos problemas es necesario crear una representacioacuten delmismo en la que hay que poner en marcha cierto conocimiento conceptual(esquemaacutetico) que permite establecer relaciones semaacutenticas entre los distin-tos elementos que aparecen en el enunciado entonces es necesario que estosproblemas aparezcan en la dieta de problemas a los que se enfrentan losalumnos Como hemos argumentado en otro lugar (Orrantia 2003) elconocimiento conceptual necesario para resolver problemas se desarrolla enel propio proceso de resolucioacuten de problemas

De cualquier forma no debemos pensar que las dificultades se resuelven sim-plemente aumentando la dieta de problemas en los libros de texto El desarrollode las habilidades de resolucioacuten de problemas depende fundamentalmente delcontexto instruccional en el que se adquieren dichas habilidades En este senti-do los libros de texto siacute que han comenzado a considerar la importancia de laresolucioacuten de problemas en los contenidos de aritmeacutetica proponiendo progra-mas de resolucioacuten de problemas que han introducido en las unidades didaacutecticasEste es el camino para que los problemas no se conviertan en mero ejercicio delas operaciones que se introducen en un contexto verbal Los problemas debentener sentido en siacute mismos y ser las operaciones las que se pongan al servicio dela resolucioacuten de problemas Pero para ello es necesario que los alumnos se impli-quen en la comprensioacuten de la situacioacuten denotada en el enunciado y esto suponeampliar la variabilidad de situaciones


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Apeacutendice AEjemplos de cada uno de los tipos de problemas en funcioacuten de la estructura semaacutentica Unarepresentacioacuten graacutefica que ayude a diferenciar cada una de las estructuras podriacutea ser lasiguiente

Cambio 1 Cambio 2 Juan tiene 3 canicas Juan tiene 8 canicasEn una partida gana 5 canicas En una partida pierde 5 canicasiquestCuaacutentas canicas tiene Juan ahora iquestCuaacutentas canicas tiene Juan ahora

Cambio 3 Cambio 4Juan tiene 3 canicas Juan tiene 8 canicasEn una partida gana algunas canicas En una partida pierde algunas canicasAhora Juan tiene 8 canicas Ahora Juan tiene 3 canicasiquestCuaacutentas canicas ha ganado iquestCuaacutentas canicas ha perdido

Cambio 5 Cambio 6Juan tiene algunas canicas Juan tiene algunas canicasEn una partida gana 5 canicas En una partida pierde 5 canicasAhora Juan tiene 8 canicas Ahora Juan tiene 3 canicasiquestCuaacutentas canicas teniacutea iquestCuaacutentas canicas teniacutea

Comparacioacuten 1 Comparacioacuten 2Juan tiene 5 canicas Juan tiene 8 canicasPedro tiene 8 canicas Pedro tiene 3 canicasiquestCuaacutentas canicas tiene Pedro maacutes que Juan iquestCuaacutentas canicas tiene Pedro menos que Juan

Comparacioacuten 3 Comparacioacuten 4Juan tiene 3 canicas Juan tiene 8 canicasPedro tiene 5 canicas maacutes que Juan Pedro tiene 5 canicas menos que JuaniquestCuaacutentas canicas tiene Pedro iquestCuaacutentas canicas tiene Pedro

Comparacioacuten 5 Comparacioacuten 6Juan tiene 8 canicas Juan tiene 3 canicasEacutel tiene 5 maacutes que Pedro Eacutel tiene 5 menos que PedroiquestCuaacutentas canicas tiene Pedro iquestCuaacutentas canicas tiene Pedro

Igualacioacuten 1 Igualacioacuten 2Juan tiene 5 canicas Juan tiene 5 canicas Pedro tiene 8 canicas Pedro tiene 8 canicasiquestCuaacutentas canicas tiene que ganar Juan para iquestCuaacutentas canicas tiene que perder tener las mismas que Pedro Pedro para tener las mismas que Juan


Representacioacuten graacuteficade los problemas de cambio

Representacioacuten graacuteficade los problemas decombinacioacuten

Representacioacuten graacuteficade los problemas decomparacioacuten

Representacioacuten graacuteficade los problemas deigualacioacuten


Igualacioacuten 3 Igualacioacuten 4Juan tiene 5 canicas Pedro tiene 8 canicasSi tuviera 3 canicas maacutes tendriacutea las mismas que Si tuviera 3 canicas menos tendriacutea las mismas Pedro que JuaniquestCuaacutentas canicas tiene Pedro iquestCuaacutentas canicas tiene Juan

Igualacioacuten 5 Igualacioacuten 6Pedro tiene 8 canicas Juan tiene 5 canicasSi Juan tuviera 3 canicas maacutes tendriacutea las Si pedro tuviera 3 canicas menos tendriacutea lasmismas que Pedro mismas que JuaniquestCuaacutentas canicas tiene Juan iquestCuaacutentas canicas tiene Pedro

Combinacioacuten 1 Combinacioacuten 2Juan tiene 3 canicas Juan y Pedro tienen 8 canicas entre los dosPedro tiene 5 canicas Juan tiene 3 canicas (o Pedro tiene 5 canicas)Cuaacutentas canicas tiene entre los dos iquestCuaacutentas canicas tiene Pedro (o Juan)

Apeacutendice BCategoriacuteas utilizadas para clasificar los problemas de dos o maacutes operaciones Hemosidentificado tantas categoriacuteas como problemas diferentes han aparecido en los libros de textoAdemaacutes cuando hay dos o maacutes estructuras una de ellas es la principal la cual es identificadaa partir de la pregunta del enunciado Para tener una idea maacutes clara hemos optado porrepresentar graacuteficamente estas categoriacuteas de problemas a partir de las representaciones simplespropuestas en el Apeacutendice 1

Categoriacutea A

En esta categoriacutea se incluyen todos los problemas que combinan la estructura de cambio conla estructura de combinacioacuten siendo la de cambio la estructura principal La estructura decombinacioacuten puede aparecer en cualquiera de los conjuntos de la estructura de cambio Yloacutegicamente el dato desconocido puede aparecer tambieacuten en cualquiera de los conjuntos de laestructura principal

Ej Sergio teniacutea 150 euros El diacutea de su cumpleantildeos su padre le regaloacute 35 euros y su madre 46euros iquestCuaacutento dinero tiene Sergio ahora

Categoriacutea B

En esta categoriacutea la estructura de cambio se repite sucesivamente

Ej En un autobuacutes viajaban 56 personas En la primera parada se bajaron 16 personas y en lasegunda parada se subieron 12 personas iquestCuaacutentas personas viajan ahora en el autobuacutes



Categoriacutea C

En esta categoriacutea la estructura principal es comparacioacuten 1 o 2 y el conjunto mayor o menor oambos se obtienen a partir de combinacioacuten

Ej Luis tiene un aacutelbum con 750 cromos y otro aacutelbum con 380 cromos Susana tiene un aacutelbumcon 560 cromos iquestCuaacutentos cromos tiene Luis maacutes que Laura

Categoriacutea D

En este caso la estructura de comparacioacuten se repite sucesivamente (dos tres o maacutes veces)

Ej Alfredo tiene 26 canicas Ramoacuten tiene 7 canicas menos que Alfredo y Rosa tiene 9 canicasmaacutes que Ramoacuten iquestCuaacutentas canicas tiene Rosa

Categoriacutea E

Esta categoriacutea es similar a la anterior pero combinada con la estructura de combinacioacuten 1 porlo tanto esta actuacutea como estructura principal En este caso una o maacutes de las ldquopartesrdquo vienendadas por una comparacioacuten

Ej En una bolsa hay 154 caramelos de fresa 27 caramelos maacutes de naranja que de fresa y 19caramelos de limoacuten maacutes que de naranja iquestCuaacutentos caramelos hay en total



Categoriacutea F

En esta categoriacutea la estructura principal es combinacioacuten 1 y una o maacutes partes se obtienen apartir de la estructura de cambio

Ej Roberto comproacute una camisa y un jersey La camisa costaba 46 euros y el jersey costaba 37euros En cada prenda le hicieron una rebaja de 9 euros iquestCuaacutento se gastoacute Roberto en la comprade las dos prendas

Categoriacutea G

En este caso la categoriacutea principal es combinacioacuten 2 y el conjunto ldquotodordquo se obtiene a partirde un cambio 3 o 4

Ej Un juego de montaje tiene 130 piezas Para hacer un barco Pedro ha utilizado 45 piezasgrandes y el resto pequentildeas y le han sobrado 18 piezas iquestCuaacutentas piezas pequentildeas ha utilizadoPedro para hacer el barco

Categoriacutea H

En esta categoriacutea la estructura principal es igualacioacuten 1 y el conjunto menor se obtiene a partirde una combinacioacuten 1

Ej Carlos y Alba estaacuten haciendo un puzzle de 5800 piezas Carlos ha colocado ya 1214 piezasy Alba 897 piezas iquestCuaacutentas piezas les faltan por colocar para terminar el puzzle

Categoriacutea I

En esta categoriacutea la estructura principal es de combinacioacuten 1 obtenieacutendose una de las partes apartir de una combinacioacuten 2 Este es un caso especial de problemas ya que necesita ir



acompantildeado de una estructura multiplicativa puesto que de otra forma el caacutelculo de la partede combinacioacuten 2 seriacutea irrelevante

Ej Una botella de un litro de zumo de tomate pesa llena 1350 gr y vaciacutea 385 gr El bidoacutende 5 litros de zumo de tomate vaciacuteo pesa 675 gr iquestCuaacutento pesa el bidoacuten lleno

Categoriacutea J

En este caso se combinan las categoriacuteas A (como principal) y F

Ej Roberto comproacute una camisa y un jersey La camisa costaba 46 euros y el jersey costaba 37euros En cada prenda le hicieron una rebaja de 9 euros Si llevaba en el bolso 95 euros iquestcuaacutentole sobroacute

Categoriacutea K

En este caso se combinan las categoriacuteas A (como principal) y E

Ej Juan teniacutea una bolsa con 154 caramelos de fresa 27 caramelos maacutes de naranja que de fresay 19 caramelos de limoacuten maacutes que de naranja Si entre Juan y sus amigos se comieron 95caramelos iquestcuaacutentos caramelos quedan ahora en la bolsa

Como es faacutecil imaginar se podriacutean identificar nuevas categoriacuteas bien combinando maacutescategoriacuteas simples o haciendo maacutes combinaciones a partir de las diferentes categoriacuteascomplejas Pero como hemos adelantado al comienzo solamente hemos incluido aquellascategoriacuteas que corresponden con problemas que han aparecido en los libros de texto



Las matemaacuteticas juegan un importante papel en el curriculum de la escolari-dad elemental al proporcionar instrumentos que permiten describir y analizarnumerosas situaciones que ocurren en el mundo real Esta utilidad praacutectica de lasmatemaacuteticas queda reflejada en la resolucioacuten de situaciones problemaacuteticas (en elformato de un problema verbal) puesto que permite desarrollar en los estudian-tes las habilidades sobre cuaacutendo y coacutemo aplicar sus conocimientos matemaacuteticos asituaciones de la vida cotidiana

Sin embargo la utilidad praacutectica de la resolucioacuten de problemas contrasta conlas dificultades que presentan muchos alumnos y alumnas en esta tarea auacutencuando no tengan dificultades para ejecutar las operaciones aritmeacuteticas implica-das en el problema Esta discrepancia entre la ejecucioacuten de operaciones y la reso-lucioacuten de problemas puede ser explicada por diferentes factores entre los quecabe identificar tres Un primer factor puede ser el tipo de estrategias que losestudiantes ponen en marcha para resolver el problema Puesto que los proble-mas parten de un texto linguumliacutestico las estrategias necesarias para su resolucioacutendeberiacutean permitir crear a partir de la comprensioacuten del enunciado una representa-cioacuten del problema desde la cual planificar dicha resolucioacuten frente a esto muchosestudiantes utilizan otras estrategias maacutes superficiales cuya caracteriacutestica funda-mental es que se saltan este proceso de comprensioacuten Un segundo factor tieneque ver con el conocimiento conceptual necesario para resolver los problemaspuesto que como veremos maacutes adelante algunos problemas necesitan un cono-cimiento maacutes avanzado que otros Y un tercer factor que en cierta medida inte-ractuacutea con los anteriores tiene que ver con las variables propias del problema

Es precisamente este uacuteltimo factor el que nos interesa en el trabajo que aquiacutepresentamos Nuestro objetivo es analizar las caracteriacutesticas de los problemasque aparecen en los libros de texto ya que como maacutes adelante argumentaremosel contexto en el que se presentan los problemas puede tener una influenciadirecta en el desarrollo de las estrategias y conocimientos necesarios para su reso-lucioacuten Concretamente analizaremos tres variables a) la estructura semaacutentica delos problemas b) el grado de desafiacuteo que subyace a los problemas y c) el contex-to situacional en el que aparecen los problemas El intereacutes de estas variables radi-ca no soacutelo en la visioacuten que proporcionan del tipo de problemas al que se enfren-tan los alumnos diariamente en las aulas sino tambieacuten en el hecho de que encierta medida forman parte de los marcos teoacutericos que subyacen a los proyectosinternacionales de evaluacioacuten del rendimiento de los alumnos en matemaacuteticascomo el informe PISA (Program for International Students Assessment) o elTIMSS (Trends in International Mathematics and Sciences Study) Asiacute el pro-yecto PISA establece que las matemaacuteticas suponen la capacidad de los estudian-tes para resolver e interpretar situaciones problemaacuteticas del mundo real en lasque el camino hacia la solucioacuten no resulta obvio de modo inmediato En este sen-tido los problemas proporcionan un contexto auteacutentico de utilizacioacuten de lasmatemaacuteticas

En lo que sigue consideraremos en primer lugar la importancia de estasvariables en la resolucioacuten de problemas atendiendo fundamentalmente a losdiferentes tipos de problemas en funcioacuten de su estructura ya que la misma va acondicionar el grado de dificultad de los problemas ademaacutes las otras dos varia-bles que pretendemos estudiar (el grado de desafiacuteo y el contexto situacional) tie-nen una estrecha relacioacuten con la estructura del problema Nos vamos a centrarpor razones obvias de espacio solamente en los problemas con estructura aditivaes decir aquellos problemas que se resuelven aplicando las operaciones baacutesicas desuma o resta aunque con algunos matices como expondremos en el apartado demetodologiacutea Posteriormente revisaremos brevemente algunos trabajos relacio-





























LIBROS DE TEXTO









EL PRESENTE TRABAJO





Meacutetodo
























Procedimiento



Resultados





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(52)

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)86

(26)

57 (9

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(27)

56(3

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89(5

60)









0

50

100

150

200

250

300


Santillana

Anaya

SM







DISCUSIOacuteN




SANTILLANA SM ANAYA



TOTAL 21 72 93 9 9 18 3 10 13



TA

BLA

III

Frecu

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robl

emas

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info

rmac

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ciona

l

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LAN

AT

OT

AL

SMT

OT

AL

AN

AY

AT

OT

AL

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

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NCI

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1010

43















































































Categoriacutea A



Categoriacutea B





Categoriacutea C



Categoriacutea D



Categoriacutea E





Categoriacutea F



Categoriacutea G



Categoriacutea H



Categoriacutea I






Categoriacutea J



Categoriacutea K
































LIBROS DE TEXTO









EL PRESENTE TRABAJO





Meacutetodo
























Procedimiento



Resultados





BLA

IFr

ecuen

cia de

los d

istin

tos ti

pos d

e prob

lemas

simp

les y

comple

jos po

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nivel

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0

50

100

150

200

250

300


Santillana

Anaya

SM







DISCUSIOacuteN




SANTILLANA SM ANAYA



TOTAL 21 72 93 9 9 18 3 10 13



TA

BLA

III

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AL

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3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

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1010

43















































































Categoriacutea A



Categoriacutea B





Categoriacutea C



Categoriacutea D



Categoriacutea E





Categoriacutea F



Categoriacutea G



Categoriacutea H



Categoriacutea I






Categoriacutea J



Categoriacutea K











EL PRESENTE TRABAJO





Meacutetodo
























Procedimiento



Resultados





BLA

IFr

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CP1

725

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G0(

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0

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100

150

200

250

300


Santillana

Anaya

SM







DISCUSIOacuteN




SANTILLANA SM ANAYA



TOTAL 21 72 93 9 9 18 3 10 13



TA

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43















































































Categoriacutea A



Categoriacutea B





Categoriacutea C



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Categoriacutea E





Categoriacutea F



Categoriacutea G



Categoriacutea H



Categoriacutea I






Categoriacutea J



Categoriacutea K







Meacutetodo
























Procedimiento



Resultados





BLA

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B =

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uala

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AA

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YA

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S

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3ordm4ordm

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L1ordm

2ordm3ordm

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1ordm2ordm

3ordm4ordm

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L

C12

74

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13(1

)11

1(1)

52

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21(5

)5

33

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45(

1)20

(2)

54(8

)C2

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7)0(

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13)

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22(1

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31(1

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57 (9

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(27)

56(3

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89(5

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0

50

100

150

200

250

300


Santillana

Anaya

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DISCUSIOacuteN




SANTILLANA SM ANAYA



TOTAL 21 72 93 9 9 18 3 10 13



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3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

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22

910

1010

43















































































Categoriacutea A



Categoriacutea B





Categoriacutea C



Categoriacutea D



Categoriacutea E





Categoriacutea F



Categoriacutea G



Categoriacutea H



Categoriacutea I






Categoriacutea J



Categoriacutea K




















Procedimiento



Resultados





BLA

IFr

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C40(

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89(5

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0

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150

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250

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Santillana

Anaya

SM







DISCUSIOacuteN




SANTILLANA SM ANAYA



TOTAL 21 72 93 9 9 18 3 10 13



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3ordm4ordm

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1010

43















































































Categoriacutea A



Categoriacutea B





Categoriacutea C



Categoriacutea D



Categoriacutea E





Categoriacutea F



Categoriacutea G



Categoriacutea H



Categoriacutea I






Categoriacutea J



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BLA

IFr

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TOTA

L

C12

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C52(

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CB1

3739

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2(7)

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14(1

5)1

4(1)

2(1)

0(1)

1(1)

8(4)

51

2(1)

35(

1)6(

1)22

(3)

44(2

2)IG

20

IG3

30(

1)3(

1)0(

1)0(

1)3(

2)CN A

59(

2)3(

2)3(

2)20

(6)

513

(3)

6(1)

2(2)

26(6

)2

55(

2)12

(1)

5(3)

534

(6)

80(1

8)C

24

9(1)

7(4)

22(5

)22

(5)

F1

11(

5)3(

5)2

35

8(5)

D2

13

5(1)

5(1)

11

9(1)

K1

11

B2

14(

1)0(

1)5(

2)12

(4)

412

(2)

2(1)

18(3

)1

57

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(7)

E2

2(1)

4(1)

11

11

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1)1

1(1)

1(1)

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1)0(

1)0(

1)I

11

1J

(1)

(1)

(1)

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(52)

22(7

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(27)

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3)11

89(5

60)









0

50

100

150

200

250

300


Santillana

Anaya

SM







DISCUSIOacuteN




SANTILLANA SM ANAYA



TOTAL 21 72 93 9 9 18 3 10 13



TA

BLA

III

Frecu

encia

de p

robl

emas

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antildea

den

info

rmac

ioacuten

situa

ciona

l

SAN

TIL

LAN

AT

OT

AL

SMT

OT

AL

AN

AY

AT

OT

AL

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

INTE

NCI

ON

AL

02

12

34

123

710

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12

46

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01

22

48

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17

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10

33

11

9TE

MPO

RA

L0

01

00

01

01

10

01

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02

00

02

CAU

SAL

00

00

00

00

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00

18

00

00

01

1D

ESCR

IPTI

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01

02

20

50

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02

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00

00

00

0CO

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ETO

00

22

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00

00

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00

1A

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CRIP

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00

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00

00

00

00

00

00

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ION

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RA

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00

00

11

00

01

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00

00

00

ACC

ION

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LID

AD

00

00

00

00

00

01

01

00

00

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0IN

TEN

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2818

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22

910

1010

43















































































Categoriacutea A



Categoriacutea B





Categoriacutea C



Categoriacutea D



Categoriacutea E





Categoriacutea F



Categoriacutea G



Categoriacutea H



Categoriacutea I






Categoriacutea J



Categoriacutea K













0

50

100

150

200

250

300


Santillana

Anaya

SM







DISCUSIOacuteN




SANTILLANA SM ANAYA



TOTAL 21 72 93 9 9 18 3 10 13



TA

BLA

III

Frecu

encia

de p

robl

emas

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antildea

den

info

rmac

ioacuten

situa

ciona

l

SAN

TIL

LAN

AT

OT

AL

SMT

OT

AL

AN

AY

AT

OT

AL

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

INTE

NCI

ON

AL

02

12

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MPO

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00

01

01

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02

00

02

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00

00

00

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CRIP

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ION

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1444

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2413

2818

101

22

910

1010

43















































































Categoriacutea A



Categoriacutea B





Categoriacutea C



Categoriacutea D



Categoriacutea E





Categoriacutea F



Categoriacutea G



Categoriacutea H



Categoriacutea I






Categoriacutea J



Categoriacutea K











DISCUSIOacuteN




SANTILLANA SM ANAYA



TOTAL 21 72 93 9 9 18 3 10 13



TA

BLA

III

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3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

1ordm2ordm

3ordm4ordm

5ordm6ordm

INTE

NCI

ON

AL

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30A

CCIO

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1444

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2413

2818

101

22

910

1010

43















































































Categoriacutea A



Categoriacutea B





Categoriacutea C



Categoriacutea D



Categoriacutea E





Categoriacutea F



Categoriacutea G



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Categoriacutea I






Categoriacutea J



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BLA

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INTE

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AL

02

12

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30A

CCIO

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MPO

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1D

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910

1010

43















































































Categoriacutea A



Categoriacutea B





Categoriacutea C



Categoriacutea D



Categoriacutea E





Categoriacutea F



Categoriacutea G



Categoriacutea H



Categoriacutea I






Categoriacutea J



Categoriacutea K



















































































Categoriacutea A



Categoriacutea B





Categoriacutea C



Categoriacutea D



Categoriacutea E





Categoriacutea F



Categoriacutea G



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Categoriacutea I






Categoriacutea J



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Categoriacutea C



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Categoriacutea H



Categoriacutea I






Categoriacutea J



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Categoriacutea F



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Categoriacutea J



Categoriacutea K








Categoriacutea J



Categoriacutea K






un análisis de los problemas aritméticos en los libros de texto de

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