Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Povijest matematikeMatematika atenskog razdoblja grke matematike

Franka Miriam Brückler

9. ožujka 2020.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Geometrijska algebra

Tijekom 5. i 4. st. pr. Kr. politički, kulturni i znanstveni centarGrčke bila je Atena. U to je doba matematika poprimila formu kojudanas nazivamo geometrijska algebra.

kvadrat – nije broj odnosno potencija, nego geometrijski lik injegova mjera (povřsina)

dvije figure su jednake ako su jednake po mjeri (duljini,povřsini odnosno obujmu)

zapravo se za jednakost tražilo i vǐse: morala se moći dokazatiu konačno mnogo konstrukcijskih koraka ravnalom i šestarom

danas se mnoge od takvih konstrukcija mogu shvatiti kaoalgebarske formule odnosno rješavanje algebarskih jednadžbi

oprez: nije dobro reći da su stari Grci jednadžbe rješavaligeometrijski!

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Geometrijska algebra

Tijekom 5. i 4. st. pr. Kr. politički, kulturni i znanstveni centarGrčke bila je Atena. U to je doba matematika poprimila formu kojudanas nazivamo geometrijska algebra.

kvadrat – nije broj odnosno potencija, nego geometrijski lik injegova mjera (povřsina)

dvije figure su jednake ako su jednake po mjeri (duljini,povřsini odnosno obujmu)

zapravo se za jednakost tražilo i vǐse: morala se moći dokazatiu konačno mnogo konstrukcijskih koraka ravnalom i šestarom

danas se mnoge od takvih konstrukcija mogu shvatiti kaoalgebarske formule odnosno rješavanje algebarskih jednadžbi

oprez: nije dobro reći da su stari Grci jednadžbe rješavaligeometrijski!

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

ax = b2

A B

CD

Eb

b b2

a

F

axx

Primjer

Ravnalom i šestarom možemo: prepoloviti kut, podijeliti dužinu naproizvoljan broj jednakih dijelova, udvostručiti kvadrat, kvadriratipravokutnik, . . .

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

ax = b2

A B

CD

Eb

b b2

a

F

axx

Primjer

Ravnalom i šestarom možemo: prepoloviti kut, podijeliti dužinu naproizvoljan broj jednakih dijelova, udvostručiti kvadrat, kvadriratipravokutnik, . . .

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Tri klasična problema

Tijekom 5. st. pr. Kr. starogrčki matematičari su počeli zahtijevatida se sve geometrijske konstrukcije provode isključivo ravnalom išestarom. Tako su se početkom atenskog razdoblja, dakle u5. st. pr. Kr., pojavila tri klasična problema.

1 Problem udvostručenja kocke.

2 Problem kvadrature kruga.

3 Problem trisekcije kuta.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Tri klasična problema

Tijekom 5. st. pr. Kr. starogrčki matematičari su počeli zahtijevatida se sve geometrijske konstrukcije provode isključivo ravnalom išestarom. Tako su se početkom atenskog razdoblja, dakle u5. st. pr. Kr., pojavila tri klasična problema.

1 Problem udvostručenja kocke.

2 Problem kvadrature kruga.

3 Problem trisekcije kuta.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Problem udvostručenja kocke

Dvije poznate legende o njegovoj pojavi:

Teon iz Smirne citira Eratostena: Delijski problem Apolonovaoltara

Eutocius u komentaru Arhimedova teksta

O kugli i valjku: kretski kralj Minos htio je udvostručiti grobpjesnika Glaukusa

Moderna formulacija: Iz a > 0 treba ravnalom i šestaromkonstruirati x takav da je

x3 = 2a3.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Problem udvostručenja kocke

Dvije poznate legende o njegovoj pojavi:

Teon iz Smirne citira Eratostena: Delijski problem Apolonovaoltara

Eutocius u komentaru Arhimedova teksta

O kugli i valjku: kretski kralj Minos htio je udvostručiti grobpjesnika Glaukusa

Moderna formulacija: Iz a > 0 treba ravnalom i šestaromkonstruirati x takav da je

x3 = 2a3.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Problem trisekcije kuta

Nema nikakvih, niti legendarnih, podataka o nastanku ovogproblema. Bio je manje popularan, vjerojatno jer je za neke kutoverješiv.Očito ga je dovoljno razmatrati samo za šiljaste kutove.

cosφ

1

φ

Moderna formulacija: Kut se može konstruirati ako mu se možekonstruirati kosinus. Stoga ako je zadan α, izcos(3φ) = 4 cos3 φ− 3 cosφ uz 3φ = α i x = cosφ tražimo rješenjekubne jednadžbe

4x3 − 3x = cosα.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Problem trisekcije kuta

Nema nikakvih, niti legendarnih, podataka o nastanku ovogproblema. Bio je manje popularan, vjerojatno jer je za neke kutoverješiv.Očito ga je dovoljno razmatrati samo za šiljaste kutove.

cosφ

1

φ

Moderna formulacija: Kut se može konstruirati ako mu se možekonstruirati kosinus. Stoga ako je zadan α, izcos(3φ) = 4 cos3 φ− 3 cosφ uz 3φ = α i x = cosφ tražimo rješenjekubne jednadžbe

4x3 − 3x = cosα.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Problem kvadrature kruga

Moderna formulacija: Iz r > 0 treba ravnalom i šestaromkonstruirati x takav da je x2 = r2π.

Anaksagora iz Klazomene (ca. 499.–428. pr. Kr.) – prvipoznati matematičar koji se bavio ovim problemom; Periklovprijatelj,zavřsio je u zatvoru zbog tvrdnje da Sunce nije bog tese navodno u zatvoru počeo baviti ovim problemom

Antifont (sredina 5. st. pr. Kr.) – vjerojatno prvi predložioupisivanje pravilnih mnogokuta u krug, počevši od kvadrata,preko osmerokuta redom uz udvostručavanje broja stranica;smatrao je da će se ostatak do povřsine iscrpsti kad dodemodo dovoljno velikog broja stranica; greška: iz toga što se svakičlan niza može konstruirati ravnalom i šestarom ne slijedi dase i limes može konstruirati

Aristofan spominje ovaj problem u komediji Ptice(414. pr. Kr.)

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Problem kvadrature kruga

Moderna formulacija: Iz r > 0 treba ravnalom i šestaromkonstruirati x takav da je x2 = r2π.

Anaksagora iz Klazomene (ca. 499.–428. pr. Kr.) – prvipoznati matematičar koji se bavio ovim problemom; Periklovprijatelj,zavřsio je u zatvoru zbog tvrdnje da Sunce nije bog tese navodno u zatvoru počeo baviti ovim problemom

Antifont (sredina 5. st. pr. Kr.) – vjerojatno prvi predložioupisivanje pravilnih mnogokuta u krug, počevši od kvadrata,preko osmerokuta redom uz udvostručavanje broja stranica;smatrao je da će se ostatak do povřsine iscrpsti kad dodemodo dovoljno velikog broja stranica; greška: iz toga što se svakičlan niza može konstruirati ravnalom i šestarom ne slijedi dase i limes može konstruirati

Aristofan spominje ovaj problem u komediji Ptice(414. pr. Kr.)

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Pretpovijest analize

Zenon iz Eleje (ca. 490–430 v. Chr.) – Aristotel mu pripisuje 4paradoksa kretanja, u kojima iz beskonačne djeljivosti prostoraodnosno vremena dobiva paradoksalni rezultat nemogućnostikretanja.

Dihotomija: Kretanje je nemoguće jer se svaku udaljenostprvo treba prijeći do pola, a nakon toga pola ostatka i t.d. Makoliko prijedemo, uvijek će ostati razlika do cilja.

Ahil i kornjača: Dok Ahil dode do prvotne pozicije kornjače,ona se pomakla. Dok dode do te pozicije, ona je opet maloodmakla, i t.d. Dakle, Ahil neće nikad stići kornjaču.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Strijela: Strijela je u svakom trenutku u nekoj poziciji koju sene može razlikovati od mirovanja. Dakle, strijela se ne možegibati.

Stadion: Imamo tri reda jednako velikih objekata, jednakomnogo njih. Jedan miruje, druga dva se istim brzinama krećuuzduž tog mirujućeg reda u suprotnim smjerovima. Zenonuspijeva argumentirati: Pola vremena je pola vremena.

Koja je priroda kontinuuma? Problem limesa?

Atomistički filozof Demokrit iz Abdere (ca. 460–370 v. Chr.) –ideja podjele stošca na beskonačno tanke diskove paralelne bazi –dilema: Ako gledamo jedan takav disk, jesu li njegovi krugovijednaki ili ne? Ako jesu, stožac je valjak, ako nisu, stožac je grbav.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Strijela: Strijela je u svakom trenutku u nekoj poziciji koju sene može razlikovati od mirovanja. Dakle, strijela se ne možegibati.

Stadion: Imamo tri reda jednako velikih objekata, jednakomnogo njih. Jedan miruje, druga dva se istim brzinama krećuuzduž tog mirujućeg reda u suprotnim smjerovima. Zenonuspijeva argumentirati: Pola vremena je pola vremena.

Koja je priroda kontinuuma? Problem limesa?Atomistički filozof Demokrit iz Abdere (ca. 460–370 v. Chr.) –ideja podjele stošca na beskonačno tanke diskove paralelne bazi –dilema: Ako gledamo jedan takav disk, jesu li njegovi krugovijednaki ili ne? Ako jesu, stožac je valjak, ako nisu, stožac je grbav.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Miletski (alfabetski) brojevni sustav

× 1 2 3 4 5 6 7 8 91

Αʹ Βʹ Γʹ Δʹ Εʹ Ϛʹ Ζʹ Ηʹ Θʹαʹ βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ ηʹ θʹ

10Ιʹ Κʹ Λʹ Μʹ Νʹ Ξʹ Οʹ Πʹ Ϙʹιʹ κʹ λʹ μʹ νʹ ξʹ οʹ πʹ ϙʹ

102Ρʹ Σʹ Τʹ Υʹ Φʹ Χʹ Ψʹ Ωʹ Ϡʹρʹ σʹ τʹ υʹ φʹ χʹ ψʹ ωʹ ϡʹ

103͵Α ͵Β ͵Γ ͵Δ ͵Ε ͵Ϛ ͵Ζ ͵Η ͵Θ͵α ͵β ͵γ ͵δ ͵ε ͵ϛ ͵ζ ͵η ͵θ

104 Μa

Μb

Μg

Μd

Μe

Μ�

Μz

Μh

Μj

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

slično: Feničani, Židovi, u srednjem vijeku Arapi (abdžad),

Hrvati ( glagoljske brojke ), . . .

grčki alfabet ima 24 slova – dodana su 3 arhaična semitskaslova vau (digama) za 6, kopa za 90 i sampi za 900

103: kao jedinice, ali s crticom dolje lijevo; npr. 2018 =,βιη

104: M (od MYPIOI , mirijada) i iznad toga broj desettisućica,

kasnije dvije točke iznad umjesto M ispod (αM ili

..α je 10.000)

kraj brojke: apostrof (ili cijela brojka natcrtana)

razlomci: raznoliko; ispočetka jedinični (dva apostrofa:ε′′ = 18); kasnije, npr. Heron i Diofant, pǐsu nazivnik ponadbrojnika

za astronomske svrhe se alfabetski sustav kombinirao sbabilonski seksagezimalnim, npr. Teon Aleksandrijski ukomentaru Ptolemejeva Almagesta pǐse , αϕιε κ ιε za 1515◦

20′ 14′′.

http://www.croatianhistory.net/glagoljica/edu/gl_brojevi.pdf

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Hipokrat s Hiosa (a. 470.− 410. pr. Kr.)

navodno: trgovac brodovima iz Jonije, izgubio imovinu(gusari? nepošteni carinici?) te je čekajući odštetu, otprilike450.–430. pr. Kr. boravio u Ateni i učio filozofiju i matematiku

najznačajniji matematičar u 5. st. pr. Kr.

dao je prve značajne doprinose rješavanju sva tri klasičnaproblema

napisao je danas izgubljeno djelo Elementi geometrije –vjerojatno osnova za prve četiri knjige Euklidovih Elemenata

znao, vjerojatno i dokazao: povřsine krugova odnose se kaokvadrati njihovih polumjera (najstariji sačuvani dokaz: EEXII2pomoću metode ekshaustije)

smatra se da je uveo slova kao oznake u dijagramima

prva osoba koja je točno odredila kvadraturu nekog likaobrubljenog krivuljama

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Hipokrat s Hiosa (a. 470.− 410. pr. Kr.)

navodno: trgovac brodovima iz Jonije, izgubio imovinu(gusari? nepošteni carinici?) te je čekajući odštetu, otprilike450.–430. pr. Kr. boravio u Ateni i učio filozofiju i matematiku

najznačajniji matematičar u 5. st. pr. Kr.

dao je prve značajne doprinose rješavanju sva tri klasičnaproblema

napisao je danas izgubljeno djelo Elementi geometrije –vjerojatno osnova za prve četiri knjige Euklidovih Elemenata

znao, vjerojatno i dokazao: povřsine krugova odnose se kaokvadrati njihovih polumjera (najstariji sačuvani dokaz: EEXII2pomoću metode ekshaustije)

smatra se da je uveo slova kao oznake u dijagramima

prva osoba koja je točno odredila kvadraturu nekog likaobrubljenog krivuljama

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Hipokrat i kvadratura kruga: Hipokratovi mjeseci

Pri pokušaju rješavanja problema kvadrature kruga otkrio je da seodredeni mjesecoliki likovi omedeni dvjema kružnicama mogukvadrirati ravnalom i šestarom. Ti se likovi danas nazivajuHipokratovi mjeseci.

Otkrio je, do na sličnost, tri tipa takvih mjeseca. Danas je poznatoda ih ima pet. Preostala dva su otkrivena u 18. st. (Martin JohannWallenius), a u 20. st. je dokazano da nema drugih(N. G. Čebotarev, A. V. Dorodnov). Opisat ćemo samo prvi tip, a

za preostale i dokaz upućujemo na ovaj link .

http://www.mathpages.com/home/kmath171/kmath171.htm

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Hipokrat i kvadratura kruga: Hipokratovi mjeseci

Pri pokušaju rješavanja problema kvadrature kruga otkrio je da seodredeni mjesecoliki likovi omedeni dvjema kružnicama mogukvadrirati ravnalom i šestarom. Ti se likovi danas nazivajuHipokratovi mjeseci.Otkrio je, do na sličnost, tri tipa takvih mjeseca. Danas je poznatoda ih ima pet. Preostala dva su otkrivena u 18. st. (Martin JohannWallenius), a u 20. st. je dokazano da nema drugih(N. G. Čebotarev, A. V. Dorodnov). Opisat ćemo samo prvi tip, a

za preostale i dokaz upućujemo na ovaj link .

http://www.mathpages.com/home/kmath171/kmath171.htm

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Prvi Hipokratov mjesec

Mjesec je omeden kružnicom k1 kojoj je polumjer kateta pravokutnogjednakokračnog trokuta, a sredǐste u vrhu s pravim kutom i kružnicom k2čiji promjer je hipotenuza tog trokuta:

k1

k2

Kvadrat nad hipotenuzom (tj. promjeromod k2) je prema Pitagorinom poučkudvostruki kvadrat nad polumnjerom od k1,dakle je kvadrat nad promjerom od k1dvostruki kvadrat nad promjerom od k2.

Budući da se povřsine krugova odnose kaokvadrati nad njihovim promjerima, polukrugnad hipotenuzom ima povřsinu kao 1/4kruga opisanog trokutu.Povřsina mjeseca je zbroj povřsina trokuta ipolukruga nad hipotenuzom umanjen začetvrtinu povřsine trokutu opisanog kruga,dakle prvi Hipokratov mjesec ima istupovřsinu kao trokut kojim je odreden.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Prvi Hipokratov mjesec

Mjesec je omeden kružnicom k1 kojoj je polumjer kateta pravokutnogjednakokračnog trokuta, a sredǐste u vrhu s pravim kutom i kružnicom k2čiji promjer je hipotenuza tog trokuta:

k1

k2

Kvadrat nad hipotenuzom (tj. promjeromod k2) je prema Pitagorinom poučkudvostruki kvadrat nad polumnjerom od k1,dakle je kvadrat nad promjerom od k1dvostruki kvadrat nad promjerom od k2.Budući da se povřsine krugova odnose kaokvadrati nad njihovim promjerima, polukrugnad hipotenuzom ima povřsinu kao 1/4kruga opisanog trokutu.

Povřsina mjeseca je zbroj povřsina trokuta ipolukruga nad hipotenuzom umanjen začetvrtinu povřsine trokutu opisanog kruga,dakle prvi Hipokratov mjesec ima istupovřsinu kao trokut kojim je odreden.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Prvi Hipokratov mjesec

Mjesec je omeden kružnicom k1 kojoj je polumjer kateta pravokutnogjednakokračnog trokuta, a sredǐste u vrhu s pravim kutom i kružnicom k2čiji promjer je hipotenuza tog trokuta:

k1

k2

Kvadrat nad hipotenuzom (tj. promjeromod k2) je prema Pitagorinom poučkudvostruki kvadrat nad polumnjerom od k1,dakle je kvadrat nad promjerom od k1dvostruki kvadrat nad promjerom od k2.Budući da se povřsine krugova odnose kaokvadrati nad njihovim promjerima, polukrugnad hipotenuzom ima povřsinu kao 1/4kruga opisanog trokutu.Povřsina mjeseca je zbroj povřsina trokuta ipolukruga nad hipotenuzom umanjen začetvrtinu povřsine trokutu opisanog kruga,dakle prvi Hipokratov mjesec ima istupovřsinu kao trokut kojim je odreden.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Prema mnogim izvorima, Hipokrat je bio svijestan da ovime nijeriješio kvadraturu kruga. Drugi navode sljedeće krivo zaključivanje:

Polumjer kružnice jednako je dug kao stranice pravilnogšesterokuta ⇒ povřsine malih i velikih krugova se odnose 4 : 1.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

= +6· = +6· ,

4· = = +6· −6· = +3· −6· ,

= −6· .

Kad bi se ovi mjeseci mogli kvadrirati, mogao bi se kvadrirati i(mali) krug!

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Hipokrat s Hiosa i trisekcija kuta

Aproksimativna, u praksi lako provediva približna (”mehanička”)

trisekcija:

Zadan: α = ∠ABC .

α

A

B CD

E F

G

α/3

H

1 Okomica iz A naBC D;

2 E – četvrti vrhpravokutnika ADBE

3 na produljenju AEnadi Ft.d. |FG | = 2|AB|gdje jeG = BF ∩ AD (ovajkorak nije izvedivRŠ!!!)

4 ⇒ 3∠FBC = α

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Hipokrat s Hiosa i duplikacija kocke

Srednje geometrijske proporcionale

Srednje geometrijske proporcionale izmedu istovrsnih veličina a i bsu istovrsne veličine x i y takve da je

a : x = x : y = y : b.

Hipokrat je uočio da se kocka brida a može udvostručiti ako semogu konstruirati srednje geometrijske proporcionale izmedu a i 2a:

a : x = x : y = y : (2a)⇒ x3 = 2a3

Nakon Hipokrata svi pokušaji rješenja ovog problema usmjereni suna odredivanje srednjih geometrijskih proporcionala izmedu a i 2a.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Hipija iz Elide (ca. 460.–400. pr. Kr.)

Političar i filozof sofist,zaradibao je putujući i držećipredavanja iz poezije,gramatike, povijesti, politike,arheologije, matematike iastronomije. Platon gakasnije opisuje kao umǐsljenogi arogantnog čovjeka širokog,ali povřsnog znanja. Pripisujemu se otkriće krivuljekvadratise, koja se možeiskoristiti za kvadraturu krugai trisekciju kuta.

A B

D C

α = y · 90◦y

(x, y)

x = y cot(90◦y)

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Trisekcija kuta pomoću kvadratise

A B

D C

E

α

F

G

H I

α/3

Zadan: α = ∠BAENeka je F presjekkvadratise i AE .Ako iz F povućemookomicu na AB, dobijemoG .FG podijelimo na trijednaka dijela:|FH| : |HG | = 2 : 1.Kroz H povućemo paralelus AB i odredimo njenosjecǐste I s kvadratisom.Onda je ∠IAB = α/3.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Arhita iz Tarenta (ca. 428.–350. pr. Kr.)

pitagorejac, utjecao na Platona

najpoznatiji je po doprinosu duplikaciji kocke na temeljuHipokratove ideje:

našao srednju geometrijsku proporcionalu izmedu a i 2akorǐstenjem presjeka cilindra, konusa i torusa:

|AC | : |AP| = |AP| : |AM| = |AM| : |AB|.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

x2 + y2 = 2ax ,

x2 + y2 + z2 = 4x2,

x2 + y2 + z2 = 2a√x2 + y2.

Prvu jednadžbu kvadriramo i za 4x2 supstituiramo drugujednadžbu:

x2 + y2 = a√x2 + y2 + z2.

Podijelimo s√

x2 + y2, a treću jednadžbu s√x2 + y2 + z2, pa

slijedi

a :√x2 + y2 =

√x2 + y2 :

√x2 + y2 + z2 =

√x2 + y2 + z2 : 2a.

Dakle, ako je (x , y , z) presjek tih triju ploha, duljina√x2 + y2

(udaljenost projekcije sjecǐsta na (x , y)-ravninu) je brid kockevolumena 2a3.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Teodor iz Kirene (ca. 465.–398. pr. Kr.)

Dokazao je iracionalnost√

3,√

5,√

6,√

7,√

8,√

10,√

11,√

12,√13,√

14,√

15 i√

17 (tj. nesumjerljivost stranice jediničnogkvadrata i stranice kvadrata povřsina 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12,13, 14, 15, 17).To se spominje u Platonovom dijalogu Teetet. Zapravo, nespominje se za 2 (to je očito već bilo opće poznato).

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Teetet nosi ime po matematičaru Teetetu (ca. 415–369 pr. Kr.).Koliko je poznato, on je prvi koji je konstruirao svih pet pravilnihpoliedara. Danas ih nazivamo i

Platonovim tijelima jer ih je Platonopisao u dijalogu Timej . Platon ih je povezao s četiri

”elementa”

(kocka – zemlja, oktaedar – zrak, tetraedar – vatra, ikozaedar –voda) i svemirom (dodekaedar).

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Teetet nosi ime po matematičaru Teetetu (ca. 415–369 pr. Kr.).Koliko je poznato, on je prvi koji je konstruirao svih pet pravilnihpoliedara. Danas ih nazivamo i Platonovim tijelima jer ih je Platonopisao u dijalogu Timej . Platon ih je povezao s četiri

”elementa”

(kocka – zemlja, oktaedar – zrak, tetraedar – vatra, ikozaedar –voda) i svemirom (dodekaedar).

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Platon (427.–347.)

Filozof, 387 pr. Kr. osnovao znamenitu Akademiju .

Na ulazu je navodno pisao moto:

Neka nitko tko ne zna geometriju ovamo ne ulazi.

Platonova idealistička filozofija bitna je u povijesti matematike i dandanas mnogi matematičari imaju platonovski pogled na matematiku:

kvadrat (pravi, idejni) vs. kvadrat (narctani, postojeći u realnom svijetu)

Platonistički pristup matematici: Matematičke istine postoje neovisno otome jesmo li ih već otkrili – matematika se ne stvara, nego otkriva.Matematika (dakle, geometrija, tj. geometrijske konstrukcije) se trebakoristiti sa što manje fizičkih pomagala. Dozvoljeni su samo šestar ineoznačeno ravnalo. Kako ih koristimo? Zašto baš ta dva pomagala?

https://medium.com/age-of-awareness/designing-the-modern-academy-a431d4ba68e6

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Platon (427.–347.)

Filozof, 387 pr. Kr. osnovao znamenitu Akademiju .

Na ulazu je navodno pisao moto:

Neka nitko tko ne zna geometriju ovamo ne ulazi.

Platonova idealistička filozofija bitna je u povijesti matematike i dandanas mnogi matematičari imaju platonovski pogled na matematiku:

kvadrat (pravi, idejni) vs. kvadrat (narctani, postojeći u realnom svijetu)

Platonistički pristup matematici: Matematičke istine postoje neovisno otome jesmo li ih već otkrili – matematika se ne stvara, nego otkriva.Matematika (dakle, geometrija, tj. geometrijske konstrukcije) se trebakoristiti sa što manje fizičkih pomagala. Dozvoljeni su samo šestar ineoznačeno ravnalo. Kako ih koristimo? Zašto baš ta dva pomagala?

https://medium.com/age-of-awareness/designing-the-modern-academy-a431d4ba68e6

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Platon (427.–347.)

Filozof, 387 pr. Kr. osnovao znamenitu Akademiju .

Na ulazu je navodno pisao moto:

Neka nitko tko ne zna geometriju ovamo ne ulazi.

Platonova idealistička filozofija bitna je u povijesti matematike i dandanas mnogi matematičari imaju platonovski pogled na matematiku:

kvadrat (pravi, idejni) vs. kvadrat (narctani, postojeći u realnom svijetu)

Platonistički pristup matematici: Matematičke istine postoje neovisno otome jesmo li ih već otkrili – matematika se ne stvara, nego otkriva.

Matematika (dakle, geometrija, tj. geometrijske konstrukcije) se trebakoristiti sa što manje fizičkih pomagala. Dozvoljeni su samo šestar ineoznačeno ravnalo. Kako ih koristimo? Zašto baš ta dva pomagala?

https://medium.com/age-of-awareness/designing-the-modern-academy-a431d4ba68e6

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Platon (427.–347.)

Filozof, 387 pr. Kr. osnovao znamenitu Akademiju .

Na ulazu je navodno pisao moto:

Neka nitko tko ne zna geometriju ovamo ne ulazi.

Platonova idealistička filozofija bitna je u povijesti matematike i dandanas mnogi matematičari imaju platonovski pogled na matematiku:

kvadrat (pravi, idejni) vs. kvadrat (narctani, postojeći u realnom svijetu)

Platonistički pristup matematici: Matematičke istine postoje neovisno otome jesmo li ih već otkrili – matematika se ne stvara, nego otkriva.Matematika (dakle, geometrija, tj. geometrijske konstrukcije) se trebakoristiti sa što manje fizičkih pomagala. Dozvoljeni su samo šestar ineoznačeno ravnalo.

Kako ih koristimo? Zašto baš ta dva pomagala?

https://medium.com/age-of-awareness/designing-the-modern-academy-a431d4ba68e6

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Platon (427.–347.)

Filozof, 387 pr. Kr. osnovao znamenitu Akademiju .

Na ulazu je navodno pisao moto:

Neka nitko tko ne zna geometriju ovamo ne ulazi.

Platonova idealistička filozofija bitna je u povijesti matematike i dandanas mnogi matematičari imaju platonovski pogled na matematiku:

kvadrat (pravi, idejni) vs. kvadrat (narctani, postojeći u realnom svijetu)

Platonistički pristup matematici: Matematičke istine postoje neovisno otome jesmo li ih već otkrili – matematika se ne stvara, nego otkriva.Matematika (dakle, geometrija, tj. geometrijske konstrukcije) se trebakoristiti sa što manje fizičkih pomagala. Dozvoljeni su samo šestar ineoznačeno ravnalo. Kako ih koristimo? Zašto baš ta dva pomagala?

https://medium.com/age-of-awareness/designing-the-modern-academy-a431d4ba68e6

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Početci matematičke logike

Prva kultura u kojoj se matematičke tvrdnje dokazuju deduktivno, izdefinicija, aksioma i već dokazanih tvrdnji: antička Grčka

Prvi dokazi: možda Tales iz Mileta (oko 624–527. pr.Kr.),sigurno pitagorejci

reductio ad absurdum – pitagorejci, Hipokrat s Hiosa

Platon: zahtjev strogih definicija i dokaza

Aristotel (384.–322.) – Platonov učenik, učitelj Aleksandra Velikog;razlikuje dvije vrste logičkog zaključivanja: indukciju i dedukciju

indukcija: zaključivanje s pojedinačnog na opće, bez dodatnihlogičkih uvjeta ne mora dati istinit zaključak (primjer?)

Aristotelov pojam dedukcije ne podudara se s modernim: Njemu jededukcija argument kojim se iz odredenih istinitih premisa logičkomnužnošću dobiva zaključak različit od premisa

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.htmlhttp://www.iep.utm.edu/reductio/

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Početci matematičke logike

Prva kultura u kojoj se matematičke tvrdnje dokazuju deduktivno, izdefinicija, aksioma i već dokazanih tvrdnji: antička Grčka

Prvi dokazi: možda Tales iz Mileta (oko 624–527. pr.Kr.),

sigurno pitagorejci

reductio ad absurdum – pitagorejci, Hipokrat s Hiosa

Platon: zahtjev strogih definicija i dokaza

Aristotel (384.–322.) – Platonov učenik, učitelj Aleksandra Velikog;razlikuje dvije vrste logičkog zaključivanja: indukciju i dedukciju

indukcija: zaključivanje s pojedinačnog na opće, bez dodatnihlogičkih uvjeta ne mora dati istinit zaključak (primjer?)

Aristotelov pojam dedukcije ne podudara se s modernim: Njemu jededukcija argument kojim se iz odredenih istinitih premisa logičkomnužnošću dobiva zaključak različit od premisa

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.htmlhttp://www.iep.utm.edu/reductio/

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Početci matematičke logike

Prva kultura u kojoj se matematičke tvrdnje dokazuju deduktivno, izdefinicija, aksioma i već dokazanih tvrdnji: antička Grčka

Prvi dokazi: možda Tales iz Mileta (oko 624–527. pr.Kr.),sigurno pitagorejci

reductio ad absurdum – pitagorejci,

Hipokrat s Hiosa

Platon: zahtjev strogih definicija i dokaza

Aristotel (384.–322.) – Platonov učenik, učitelj Aleksandra Velikog;razlikuje dvije vrste logičkog zaključivanja: indukciju i dedukciju

indukcija: zaključivanje s pojedinačnog na opće, bez dodatnihlogičkih uvjeta ne mora dati istinit zaključak (primjer?)

Aristotelov pojam dedukcije ne podudara se s modernim: Njemu jededukcija argument kojim se iz odredenih istinitih premisa logičkomnužnošću dobiva zaključak različit od premisa

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.htmlhttp://www.iep.utm.edu/reductio/

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Početci matematičke logike

Prva kultura u kojoj se matematičke tvrdnje dokazuju deduktivno, izdefinicija, aksioma i već dokazanih tvrdnji: antička Grčka

Prvi dokazi: možda Tales iz Mileta (oko 624–527. pr.Kr.),sigurno pitagorejci

reductio ad absurdum – pitagorejci, Hipokrat s Hiosa

Platon: zahtjev strogih definicija i dokaza

Aristotel (384.–322.) – Platonov učenik, učitelj Aleksandra Velikog;razlikuje dvije vrste logičkog zaključivanja: indukciju i dedukciju

indukcija: zaključivanje s pojedinačnog na opće, bez dodatnihlogičkih uvjeta ne mora dati istinit zaključak (primjer?)

Aristotelov pojam dedukcije ne podudara se s modernim: Njemu jededukcija argument kojim se iz odredenih istinitih premisa logičkomnužnošću dobiva zaključak različit od premisa

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.htmlhttp://www.iep.utm.edu/reductio/

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Početci matematičke logike

Prva kultura u kojoj se matematičke tvrdnje dokazuju deduktivno, izdefinicija, aksioma i već dokazanih tvrdnji: antička Grčka

Prvi dokazi: možda Tales iz Mileta (oko 624–527. pr.Kr.),sigurno pitagorejci

reductio ad absurdum – pitagorejci, Hipokrat s Hiosa

Platon: zahtjev strogih definicija i dokaza

Aristotel (384.–322.) – Platonov učenik, učitelj Aleksandra Velikog;razlikuje dvije vrste logičkog zaključivanja: indukciju i dedukciju

indukcija: zaključivanje s pojedinačnog na opće, bez dodatnihlogičkih uvjeta ne mora dati istinit zaključak (primjer?)

Aristotelov pojam dedukcije ne podudara se s modernim: Njemu jededukcija argument kojim se iz odredenih istinitih premisa logičkomnužnošću dobiva zaključak različit od premisa

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.htmlhttp://www.iep.utm.edu/reductio/

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Početci matematičke logike

Prva kultura u kojoj se matematičke tvrdnje dokazuju deduktivno, izdefinicija, aksioma i već dokazanih tvrdnji: antička Grčka

Prvi dokazi: možda Tales iz Mileta (oko 624–527. pr.Kr.),sigurno pitagorejci

reductio ad absurdum – pitagorejci, Hipokrat s Hiosa

Platon: zahtjev strogih definicija i dokaza

Aristotel (384.–322.) – Platonov učenik, učitelj Aleksandra Velikog;razlikuje dvije vrste logičkog zaključivanja:

indukciju i dedukciju

indukcija: zaključivanje s pojedinačnog na opće, bez dodatnihlogičkih uvjeta ne mora dati istinit zaključak (primjer?)

Aristotelov pojam dedukcije ne podudara se s modernim: Njemu jededukcija argument kojim se iz odredenih istinitih premisa logičkomnužnošću dobiva zaključak različit od premisa

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.htmlhttp://www.iep.utm.edu/reductio/

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Početci matematičke logike

Prva kultura u kojoj se matematičke tvrdnje dokazuju deduktivno, izdefinicija, aksioma i već dokazanih tvrdnji: antička Grčka

Prvi dokazi: možda Tales iz Mileta (oko 624–527. pr.Kr.),sigurno pitagorejci

reductio ad absurdum – pitagorejci, Hipokrat s Hiosa

Platon: zahtjev strogih definicija i dokaza

Aristotel (384.–322.) – Platonov učenik, učitelj Aleksandra Velikog;razlikuje dvije vrste logičkog zaključivanja: indukciju i dedukciju

indukcija: zaključivanje s pojedinačnog na opće, bez dodatnihlogičkih uvjeta ne mora dati istinit zaključak (primjer?)

Aristotelov pojam dedukcije ne podudara se s modernim: Njemu jededukcija argument kojim se iz odredenih istinitih premisa logičkomnužnošću dobiva zaključak različit od premisa

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.htmlhttp://www.iep.utm.edu/reductio/

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Početci matematičke logike

Prva kultura u kojoj se matematičke tvrdnje dokazuju deduktivno, izdefinicija, aksioma i već dokazanih tvrdnji: antička Grčka

Prvi dokazi: možda Tales iz Mileta (oko 624–527. pr.Kr.),sigurno pitagorejci

reductio ad absurdum – pitagorejci, Hipokrat s Hiosa

Platon: zahtjev strogih definicija i dokaza

Aristotel (384.–322.) – Platonov učenik, učitelj Aleksandra Velikog;razlikuje dvije vrste logičkog zaključivanja: indukciju i dedukciju

indukcija: zaključivanje s pojedinačnog na opće, bez dodatnihlogičkih uvjeta ne mora dati istinit zaključak (primjer?)

Aristotelov pojam dedukcije ne podudara se s modernim: Njemu jededukcija argument kojim se iz odredenih istinitih premisa logičkomnužnošću dobiva zaključak različit od premisa

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.htmlhttp://www.iep.utm.edu/reductio/

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Kategorički sudovi

sastoje se od kvantora (svaki, nikoji, neki), subjekta S koji je spredikatom P povezan kopulom i eventualno njene negacije

4 tipa kategoričkih sudova: Svaki S je P (univerzalnoafirmativni), Nikoji S nije P (univerzalno negativni), Neki S suP (partikularno afirmativni), Neki S nisu P (partikularnonegativni)

kategorički sudovi ne moraju imati jednoznačnu istinitosnuvrijednost, to ovisi o konkretnom smislu subjekta i predikata

tautologija je

kategorički sud koji je uvijek istinit, npr. Svaki Sje S.

kontradikcija je kategorički sud koji nikad nije istinit,npr. Nikoji S nije S.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Kategorički sudovi

sastoje se od kvantora (svaki, nikoji, neki), subjekta S koji je spredikatom P povezan kopulom i eventualno njene negacije

4 tipa kategoričkih sudova: Svaki S je P (univerzalnoafirmativni), Nikoji S nije P (univerzalno negativni), Neki S suP (partikularno afirmativni), Neki S nisu P (partikularnonegativni)

kategorički sudovi ne moraju imati jednoznačnu istinitosnuvrijednost, to ovisi o konkretnom smislu subjekta i predikata

tautologija je kategorički sud koji je uvijek istinit, npr. Svaki Sje S.

kontradikcija je

kategorički sud koji nikad nije istinit,npr. Nikoji S nije S.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Kategorički sudovi

sastoje se od kvantora (svaki, nikoji, neki), subjekta S koji je spredikatom P povezan kopulom i eventualno njene negacije

4 tipa kategoričkih sudova: Svaki S je P (univerzalnoafirmativni), Nikoji S nije P (univerzalno negativni), Neki S suP (partikularno afirmativni), Neki S nisu P (partikularnonegativni)

kategorički sudovi ne moraju imati jednoznačnu istinitosnuvrijednost, to ovisi o konkretnom smislu subjekta i predikata

tautologija je kategorički sud koji je uvijek istinit, npr. Svaki Sje S.

kontradikcija je kategorički sud koji nikad nije istinit,npr. Nikoji S nije S.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Silogizam

syllogismos – Aristotelov pojam za dedukciju, ali danas sekoristi za poseban oblik dedukcije koji je opisao Aristotel

deduktivno logičko zaključivanje koje se sastoji od trikategorička suda: dvije premise i jedne konkluzije

da bi to bio silogizam u Aristotelovom smislu dodatno u ta trisuda medu njihovih šest S i P imamo ukupno samo tri pojmma

ovisno o njihovom rasporedu Aristotel razlikuje tri logičkefigure silogizma:

prva figura: (A B), (B C), (A C); druga figura: (A B), (A C),(B C); treća figura: (A C), (B C), (A B)

Primjer

Nikoja ptica nema četiri noge.

Nikoja patka nema četiri noge.

Svaka patka je ptica.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Silogizam

syllogismos – Aristotelov pojam za dedukciju, ali danas sekoristi za poseban oblik dedukcije koji je opisao Aristotel

deduktivno logičko zaključivanje koje se sastoji od trikategorička suda: dvije premise i jedne konkluzije

da bi to bio silogizam u Aristotelovom smislu dodatno u ta trisuda medu njihovih šest S i P imamo ukupno samo tri pojmma

ovisno o njihovom rasporedu Aristotel razlikuje tri logičkefigure silogizma:

prva figura: (A B), (B C), (A C); druga figura: (A B), (A C),(B C); treća figura: (A C), (B C), (A B)

Primjer

Nikoja ptica nema četiri noge. Nikoja patka nema četiri noge.Svaka patka je ptica.

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Aristotelovi zakoni klasične logike

Svaki S je S. (Princip identiteta).

Svaki sud je istinit ili lažan. (Princip isključenja trećega).

Nikoji sud ne može istovremeno biti istinit i lažan. (Principisključenja proturječja).

Klasična aristotelovska logika je do modernog doba dominiralaznanstvenim metodama dokazivanja, a i danas je temelj većineškola logike.

Napomena

Aristotel je pojmu matematika dao moderno značenje(mathēmatikoi su prije bili članovi užeg kruga pitagorejske škole).

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Eudoks s Knida (oko 408.–355. pr. Kr.)

Smatra se da je utemeljio:

opću teoriju omjera (lógos) i razmjera (analoǵıa), sadržanu uEEV

metodu ekshaustije (Antifont: prethodnik; Eudoks:preciziranje)

Obje metode predstavljaju starogrčki način”nošenja s limesima”.

Prva je važna jer omogućuje uključivanje (bar nekih) iracionalnihveličina u geometrijske analize, bez uporabe iracionalnih brojeva:

a : x = x : b ⇔ x =√ab

a : x = x : y = y : b ⇔ x = 3√a2b

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Eudoksova teorija omjera i razmjera

Def. 3–6, EE5

Omjer je odnos medu veličinama dviju istovrsnih veličina.Za veličine kažemo da imaju omjer ako je vǐsekratnik jedne veći oddruge.Za veličine kažemo da su u istom omjeru, prva prema drugoj i trećaprema četvrtoj ako kojim god brojem pomnožimo prvu i treću i bilokojim drugu i četvrtu, prva dva vǐsekratnika podjednako nadilaze,jednaki su ili su manji od druga dva, u odgovarajućem redoslijedu.a

Veličine koje su u istom omjeru zovemo razmjernim(proporcionalnim).

aTj. a : b = c : d znači da za sve m i n: ako ma < nb, onda mc < nd ;ma = nb, onda mc = nd ; i ako ma > nb, onda mc > nd . Uočimo da se nezahtijeva sumjerljivost!

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Propozicije u EEV uključuju distributivnost množenja brojevaprema zbrajanju i oduzimanju brojeva ili veličina, asocijativnostmnoženja dva broja i jedne veličine i razne propozicije o omjerima iproporcijama, npr. ako a : b = c : d , onda a : c = b : d (EEV16),te ako x1 : x2 = y1 : y2, x2 : x3 = y2 : y3, . . . ,xn−1 : xn = yn−1 : yn, onda x1 : xn = y1 : yn (EEV22).

Temeljem Eudoksove teorije omjera i razmjera mogu se dokazatisve uobičajene tvrdnje iz teorije proporcija i sličnosti, no dodatnonjegova teorija omogućava uključenje iracionalnih veličina.Prije njega: Moglo se samo dokazati da neke dvije istovrsneveličine nisu sumjerljive (pitagorejci: dijagonala i stranica kvadratajedinična povřsine, Teodor: dalje za kvadrate povřsina 3, 5, . . . , 17jedinica), te se moglo (Teetet: kvadratne iracionalnosti)usporedivati njihove kvadrate ili kubove (dakle, mogli su seusporedivati samo brojevi koji su razlomci ili kvadratni ili kubnikorijeni razlomaka).

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Propozicije u EEV uključuju distributivnost množenja brojevaprema zbrajanju i oduzimanju brojeva ili veličina, asocijativnostmnoženja dva broja i jedne veličine i razne propozicije o omjerima iproporcijama, npr. ako a : b = c : d , onda a : c = b : d (EEV16),te ako x1 : x2 = y1 : y2, x2 : x3 = y2 : y3, . . . ,xn−1 : xn = yn−1 : yn, onda x1 : xn = y1 : yn (EEV22).Temeljem Eudoksove teorije omjera i razmjera mogu se dokazatisve uobičajene tvrdnje iz teorije proporcija i sličnosti, no dodatnonjegova teorija omogućava uključenje iracionalnih veličina.Prije njega: Moglo se samo dokazati da neke dvije istovrsneveličine nisu sumjerljive (pitagorejci: dijagonala i stranica kvadratajedinična povřsine, Teodor: dalje za kvadrate povřsina 3, 5, . . . , 17jedinica), te se moglo (Teetet: kvadratne iracionalnosti)usporedivati njihove kvadrate ili kubove (dakle, mogli su seusporedivati samo brojevi koji su razlomci ili kvadratni ili kubnikorijeni razlomaka).

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Eudoksova metoda ekshaustije

Radi se o generalizaciji teorije omjera i razmjera. Naziv je dobila u 17.st., a temelji se na

Eudoksov princip ekshaustije EEX1

Ako su zadane dvije različite (istovrsne) veličine i od veće oduzmemo vǐseod njene polovine, od ostatka vǐse od njegove polovine itd., onda će, akose postupak ponovi dovoljan broj puta, ostatak biti manji od manjezadane veličine.

Kako biste suvremeno zapisali ovaj princip?

Specijalno, ovo znači dageometrijski redovi s pozitivnim kvocijentom manjim od 12 konvergiraju.Ova propozicija se temelji na

4. definicija u EEV

Dvije veličine imaju omjer ako neki vǐsekratnik jedne premašuje drugu.

Arhimedov aksiom?!

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX1.html

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Eudoksova metoda ekshaustije

Radi se o generalizaciji teorije omjera i razmjera. Naziv je dobila u 17.st., a temelji se na

Eudoksov princip ekshaustije EEX1

Ako su zadane dvije različite (istovrsne) veličine i od veće oduzmemo vǐseod njene polovine, od ostatka vǐse od njegove polovine itd., onda će, akose postupak ponovi dovoljan broj puta, ostatak biti manji od manjezadane veličine.

Kako biste suvremeno zapisali ovaj princip? Specijalno, ovo znači dageometrijski redovi s pozitivnim kvocijentom manjim od 12 konvergiraju.

Ova propozicija se temelji na

4. definicija u EEV

Dvije veličine imaju omjer ako neki vǐsekratnik jedne premašuje drugu.

Arhimedov aksiom?!

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX1.html

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Eudoksova metoda ekshaustije

Radi se o generalizaciji teorije omjera i razmjera. Naziv je dobila u 17.st., a temelji se na

Eudoksov princip ekshaustije EEX1

Ako su zadane dvije različite (istovrsne) veličine i od veće oduzmemo vǐseod njene polovine, od ostatka vǐse od njegove polovine itd., onda će, akose postupak ponovi dovoljan broj puta, ostatak biti manji od manjezadane veličine.

Kako biste suvremeno zapisali ovaj princip? Specijalno, ovo znači dageometrijski redovi s pozitivnim kvocijentom manjim od 12 konvergiraju.Ova propozicija se temelji na

4. definicija u EEV

Dvije veličine imaju omjer ako neki vǐsekratnik jedne premašuje drugu.

Arhimedov aksiom?!

https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX1.html

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Menehmo (ca. 380.–320. pr. Kr.)

Prema Proklu, bio je Platonov prijatelj i Eudoksov učenik. Neki izvori gaspominju kao učitelja Aleksnadra Velikog. Pripisuje mu se otkriće konikakao presjeka stošca ravninama neparalelnim bazi, a vezano za pokušajudvostručenja kocke (srednje geometrijske proporcionale izmedu a i 2aodredio je presjekom dvije konike).Uzmimo parabolu kojoj je fokus od direktrise udaljen za a/2. To znači daje njena direktrisi paralelna tetiva kroz fokus duljine a.

Dakle točkeparabole koje su na

”visini” y možemo dobiti tako da konstruiramo

kvadrat povřsine ay .

a

ay

x2 = ay

x

x

y

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Menehmo (ca. 380.–320. pr. Kr.)

Prema Proklu, bio je Platonov prijatelj i Eudoksov učenik. Neki izvori gaspominju kao učitelja Aleksnadra Velikog. Pripisuje mu se otkriće konikakao presjeka stošca ravninama neparalelnim bazi, a vezano za pokušajudvostručenja kocke (srednje geometrijske proporcionale izmedu a i 2aodredio je presjekom dvije konike).Uzmimo parabolu kojoj je fokus od direktrise udaljen za a/2. To znači daje njena direktrisi paralelna tetiva kroz fokus duljine a. Dakle točkeparabole koje su na

”visini” y možemo dobiti tako da konstruiramo

kvadrat povřsine ay .

a

ay

x2 = ay

x

x

y

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Hiperbolu pak konstruira ovako: Za odabrane a i b za pojedinipomak x udesno odgovarajuću visinu y dobijemo konstrukcijompravokutnika širine x i povřsine ab.

a

b

ab

xy = ab y

x

Dakle, za točke ove hiperbole vrijedi a : x = y : b, a za točkeparabole a : x = x : y .

Hipokrat Platon i Aristotel Eudoks

Ako sad uzmemo b = 2a, slijedi da sjecǐste prethodno opisaneparabole i hiperbole odreduje stranicu kocke volumena 2a3, tj.

a : x = x : y = y : b

x = a 3√2

ay = x2

xy = a · 2a

HipokratPlaton i AristotelEudoks