KVADRATURA KRUGA

UNIVERZITET U TRAVNIKU EDUKACIJSKI FAKULTET

MATEMATIKA I INFORMATIKA

ZAVRŠNI RAD

Travnik, juli 2014.

Student: Velibor Nikolić

Mentor: Prof.dr Sead Rešić

Osnovno o kvadraturi kruga

Kvadratura kruga je matematički problema, čija formulacija glasi: “Konstruisati kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga”

Problem kvadrature kruga, trisekcije ugla (podjela ugla na 3 jednaka djela) i udvostručenja kocke

se u literaturi često opisuju kao tri najpoznatija problema antičke Grčke.

1. KVADRATURA KRUGA

Kvadraturu kruga su vjekovima rješavali matematičari, naučnici i mnogobrojni amateri i ljubitelji matematike.

Kvadratura kruga

U helensko doba izračunavanje površine izvodilo se predstavljanjem površine geometrijske figure preko površine kvadrata.

Kvadratni korjen broja πKako je površina datog kruga, poluprečnika r, jednaka:

a kvadrata:

izjednačavanjem površina dobija se:

nakon korjenovanja dobijamo:

ako uzmemo da je r = 1 dobijamo:

Obrazac za stranicu kvadrata čija je površina jednaka površini jediničnog kruga.

Kvadratni korjen i kvadratura pravolinijskih slika

Geometrijsko određivanje kvadrtanog korena broja

Konstrukcija kvadratnog korjena broja

konstruisati pravougaonik ABCD sa stranicama x i 1, tj. pravougaonik povrsine x

nad duži AE, konstruise se polukrug, sa centrom u tacki F

Presjek prave DC i polukruga je tačka G

na osnovu Pitagorine teoreme u pravouglom trouglu DGF važi jednakost:

i kako je FE = FG; zaključuje se da je duž DG ivica kvadrata povrsine x, tj.

2. DREVNE KVADRATURERindov papirus (kolekcija do tada poznatih matematičkih znanja iz perioda Starog Egipta) – 1750 BC stare ere.

Većina zadataka vezana je za svakodnevniživot, a među njima su i neki zadaci vezani zaKvadraturu kruga:

Broj π je aproksimiran sa 256/81 (π =3,1605). Površina kruga se izračunava po formuli

(d je prečnik kruga). Ako se prečnik kruga umanji za 1/9, dobija se

stranica kvadrata približno iste površine kao zadati krug.

Anaksagora (500 - 428. godine stare ere) iz Klazomene bio je prvi Grk, za koga se zna da se bavio problematikom kvadrature kruga.

On je posmatranjem nebeskih tela došao do novih teorija o poretku u svemiru, sto ga je dovelo do sukoba s narodnom vjerom.

Anaksagora je uhapsen zbog protivljenja religijskim dogmama i upravo se u zatvoru bavio “kvadraturom kruga”.Anaksagora

Antifon iz Atine (V vek stare ere) bio je sofista i Sokratov savremenik. Od četiri teksta čiji je on autor sačuvana su samo dva: “Istina” i “O slozenosti”. Problem kvadrature kruga razmatrao je na sledeći način:„Da se u zadati krug upisuju pravilni mnogougli, u svakom narednom upisivanju sa duplo vecim brojem stranica”.

Antifonov metod

Antifonova ideja je zacetak anticke teorije mere koja je u Novom veku nazvana ekshaustija, a temelji se na V knjizi Elemenata i principu indirektnog dokaza.

Posle Antifona slicnu ideju upisivanaja pravilnih mnogouglova u krug koristili su i Brison i Arhimed.

Brison (kasni V vek stare ere) iz Heraklije je bio drevni grčki matematičar i sofista koji je dao doprinos rješavanju problema kvadrature kruga i izračunavanju broja π.

Brison, zajedno sa savremenikom Antifonom, bio je prvi koji je došao na ideju da upiše poligon u krug, zatim udvostruči broj stranica poligona, i ponovi proces, dobijajući kao rezultat donju granicu aproksimacije površine kruga.

Prema Brisonu: “Dobiće se toliko stranica poligona, tako da će poligon postati krug”.

Hipokrat (470 - 410. stare ere) je grčki matematičar iz vremena pre Euklida.Isticao se na polju konstrukcija, a najbitnije otkriće je konstrukcija lunule (geometrijska figura u obliku mjeseca) i izračunavanje njenje površine (Kvadratura lunule).

Kvadratura lunule i polukruga Kvadratura lunule

Kvadratura lunule cija je spoljašnja granica polukrug

Kvadrataura lunule cija je spoljasnja granica veca od polukruga

Kvadratura lunule i kruga zajedno

3. KRIVE I KVADRTURA KRUGAHipijina kvadratrisa Jednačina kvadratrise

Hipija iz Elide je oko 420. godine prije nove ere otkrio krivulju, koju je Leibnitz kasnije nazvao kvadratisa, a koja je poslužila pri rješavanju problema kvadrature kruga, najprije Dinostratu, a zatim i ostalima.

Nazalost, konstrukcija je zahtijevala više od upotrebe lenjira i šestara.

Kvadratrisa

Arhimed je rođen u Sirakuzi na Siciliji 287. godine stare ere bio je matematičar, fizičar,inžinjer, pronalazač i astronom.Arhimed se najviše ponosio svojim djelom O sferi i cilindru, tj. Izračunavanjem površine i zapremine lopte i valjka.

U spisu O mjerenju kruga Arhimed je približno izračunao vrijednost broja π

Pronašao je i da za odnos površine kruga i kvadrata njegovog prečnika vazi:

Mjerenje kruga (po Arhimedu)Teorema 1Površina kruga jednaka je površini pravouglog trougla, čija je jedna kateta jednaka poluprečniku datog kruga, a druga kateta njegovom obimu.

Površina kruga

Teorema 2Odnos površine i kvadrata prečnika kruga jednak je 11:14.

Mjerenje kruga - Teorema 2

Teorema 3Odnos obima i prečnika kruga je manji od 3,1429 i veći od 3,1408.

Mjerenje kruga - Teorema 3

Arhimedova spiralaArhimedova spirala je rani primjer mehaničke krive koja nastaje pomjeranjem tačke.

Arhimedova spirala

Arhimedova spirala moze se opisati jednacinom:

r i θ su koordinate proizvoljne tačke u polarnom koordinatnom sistemu.

Kvadrtura kruga pomoću Arhimedove spirale

Kvadrtaura kruga korišćenjem Arhimedove spirale

1. Konstruiše se jedinični krug sa centrom u tački O.

2. U pomenutom krugu konstruiše se Arhimedova spirala koja čini jedan poluobrt prije nego što presječe krug.3. Iz presječne tačke R konstruiše se tangenta na spiralu. Presjek normale na poluprečnik kruga (prava OP) i tangente je tačka S. OS = π , što se zaključuje na osnovu prethodnih teorema.4. Konstriše se tačka T, tako da je TS = TP, centar novog kruga.5. Opiše se krug poluprečnika TS, da bi se izračunao kvadratni korjen iz broja π 6. Presjek prave koja prolazi kroz tačku O i koja je normalna na duž TS sa kružnicom poluprečnika TS je tačka B. Duž OB je stranica kvadrtata površine π

4. NUMERIČKA KVADRATURANumerička kvadratura je metoda kojom se broj aproksimira nekim razlomkom ili algebarskom vrijednošću do željene tačnosti, pa se pristupa konstrukciji tog broja.

O broju π Broj π je matematička konstanta, koja se široko primjenjuje u

matematici i fizici. Njena približna vrijednost je 3.14159, a defniše se kao odnos obima

i prečnika kruga, ili kao odnos površine kruga i kvadrata nad njegovim poluprečnikom (Arhimed) .

Oznaka za broj π potiče od grčke riječi perimetros, što znači mjeriti okolo.

π je iracionalan broj, što znači da se njegova vrijednost ne može izraziti preko razlomaka.

Zbog toga njegov decimalni zapis nema kraja i nije periodičan.

Formule sa π Fransoa Vijetova aproksimacija, 1593. godina:

Lajbnicova aproksimacija:

Valisov proizvod:

Bazelski problem, koji je prvi resio Ojler:

Verižni razlomak (jedan od primjera)

Aproksimacije broja π

Najstarija poznata aproksimacija broja π potiče od Vavilonjana, koji su u XX veku stare ere vrijednost za ovaj broj približno odredili sa 25/8 približno 3,125.

U istom periodu u Rindovom papirusu je aproksimirano sa 3,160493.

U III veku stare ere Arhimed je odredio donju i gornju granicu za broj π : 3:140845::: < π < 3:142857:::

Formule koje se koriste za računanje približne vrijednosti broja π spadaju:

Njutn

Ramanudžan

Ojler

David Čudnovski i Grigorij Čudnovski

Kočanski, poljski jezuitski sveštenik, 1685. godine, aproksimirao je broj π sledećom formulom:

Aproksimacija Kočanskog

5. RJEŠIVOST PROBLEMA KVADRATURE KRUGA

Rješavanje algebarskih jednačina

Jednačina oblika:

a - proizvoljni kompleksni brojevi i x - nepoznat kompleksan broj, jje numerička (brojna) algebarska jednačina n-tog stepena.

Polinomi

Algebarski izraz oblika :

je polinom nad poljem F sa koecijentima a0; a1....an

Raširenje polja

TeoremaNeka su F i K polja takva da je:

Neka su F i K polja takva da je F podpolje polja K, a K je raširenje polja F tada važi:

Onda je:

Transcedentnost broja π Konačnu prekretnicu u razmatranju rješivosti drevnog problema kvadrature kruga predstavlja matematičko otkriće u XIX vjeku da je broj transcedentan. (Lindemanu – Vajerštrasu)

Lema A

Lema B

Lema C

Finalni korak

Ako su: a(1), a(2), ... a(n) algebarski brojevi različiti od nule, i α1, α2 .... α n različiti algebarski brojevi, onda je:

Broj π nije konstruktabilan

Teorema

Svaki konstruktibilan realan broj je algebarski nad poljem Q i njegov stepen nad Q jednak je stepenu broja 2.

Kako broj nije algebarski nad poljem Q; nije ni konstruktabilan, tj. problem kvadrature kruga nije moguće rješiti pomoću lenjira i šestara.

[1] Emil Artin, Galois Theory, Dover Publications, 1998. http://en.wikipedia.org/wiki/Galois theory

[2] Alan Baker, Transcedental Number Theory, Cambridge University Press, 1975.

http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann%E2%80%93Weierstrass theorem

[3] David Blatner, The Joy of Pi, Walker Publishing Company, Inc. New York, 1997. [4] N. Božović, Zˇ.

Mijajilović Uvod u teoriju grupa, Naučna knjiga, Beograd, 1983.

[5] H. Diels, Predsokratovci, fragmenti, vol. I-II, Naprijed, Zagreb, 1983. [6] Euklid, Elementi, Naučna

knjiga, Beograd, 1957.

[7] T. L. Heath, A History of Greek Mathematics, vol. I-II, Dover, New York, 1981. [8] T. L. Heath , The

works of Archimedes, Dover Publications, New York, 1959.

[9] W. R. Knorr, The Ancient Tradition of Geometric Problems, Birkha¨user, Boston, Basel, Stuttgart,

1986.

[10] Zoran Lučić, Ogledi iz istorije antičke geometrije, JP Službeni glasnik, 2009. [11] Plutarch’s Morals,

Litle, Brown and Company, Boston, 1878.

[12] N. J. A. Sloane A Handbook of Integer Sequences, Academic Press, 1973. http://oeis.org/A000796

[13] D. E. Smith, History of Mathematics, vol. I-II, Dover, New York, 1958.

[14] Velika sovjetska enciklopedija, III izdanje http://slovari.yandex.ru/art.xml?art=bse/00057/24900.htm

LITERATURA

Ptolomej Rene Dekart

Pjer Ferma

Lajbnic

Isak NjutnArhimed

Ojler