franka miriam bruckler -...

”Arapska“matematika Srednjevjekovna Europa

Povijest matematike

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Ozujak 2018.

”Arapska” matematika i kasni srednji vijek

Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


”Arapska“matematika

Godine 622. zapocinje muslimansko racunanje godina (Muhamedovodlazak iz Meke u Medinu); nakon Muhamedove smrti (632.)

njegovi nasljednici ( kalifi ) zapocinju osvajanja. Do kraja 7. st.osvojena je Mezopotamija i Perzija te Egipat, a pocetkom 8. st. ivelik dio Iberskog poluotoka i mnoga druga podrucja.Matematiku tih podrucja u razdoblju 8.–15. st. obicno nazivamoarapskom jer je sluzbeni jezik bio arapski. Ona se razvila dijelompod utjecajem grcke tradicije, a dijelom indijske.


Povijest matematike

http://christianworldviewpress.com/wp-content/uploads/2014/07/caliph_gif.jpg


Kuca mudrosti

Kalifi su poslali svoje izaslanike da sustavno skupe znanstvena ifilozofska djela grcke antike te su ta djela isto tako sustavno (ikvalitetno!) prevodena na arapski jezik. Prvi poticatelj znanosti iprevodenja grckih tekstova (npr. Euklidovih Elemenata) na arapskibio je kalif abasidske dinastije Harun al-Rasid, koji je na vlaststupio 768. i vladao do svoje smrti 809.U Bagdadu je njegov sin, kalif al-Ma’mun (vladao 813.–833.),osnovao Kucu mudrosti (Bayt al-H. ik. ma), vrstu akademije, koja jebila glavni znanstveni centar arapskog svijeta do pada Bagdata1258.


Povijest matematike


Prevodenje

Prevodenje je bilo vrlo poticano jer se smatralo dijelom istrazivanjai doprinosa znanstvenom napretku.Tako su u razdoblju 8.–10. stoljeca prevedeni Euklidovi Elementi,Data, Optika i jos neka Euklidova djela, O sferi i valjku te Omjerenju kruga od Arhimeda, gotovo sva Apolonijeva djela,Diofantova Aritmetika, Menelajeva Sphaerica, PtolomejevAlmagest, i mnoga druga.Na temelju tih prijevoda od 9. st. stvaraju se vlastiti, novi,matematicki doprinosi, posebno u algebri i teoriji brojeva, ali igeometriji, trigonometriji i matematickoj astronomiji.


Povijest matematike


Do 10. stoljeca u arapskim su se zemljama koristila tri tipaaritmetike:

racun na prste: brojevi se pisu rijecima; ovaj nacin racuna sukoristili trgovci i racunovode; od 7. st. koristen je i arapskialfabetski sustav (abdzad).

seksagesimalni sustav: brojevi oznaceni arapskim slovima, akoristio se najcesce za astronomiju;

indijski dekadski sustav: znamenke su negdje tijekom 8. i 9.st. preuzete iz Indije, ali bez standardnog skupa simbola, takoda se u raznim krajevima koristilo donekle razlicite oblikeznamenki; ispocetka su ih koristili na prasnjavim plocama kojesu omogucavale isto sto i danas ploca i kreda; al-Uqlidisi je u10. st. pokazao kako metode prilagoditi za pero i papir.


Povijest matematike


Arapske brojke

Usporedba indijskih brojki Nagari i ranih arapskih brojki:

Istocna (2. red) i jedna zapadna (3. red; g.obar: pjescane brojke) inacicaarapskih brojki te jedna europska iz 13. st.(4. red); istocna se inacicakoristi i danas u bliskoistocnim arapskim zemljama i zovu je indijskimbrojkama (huruf hindayyah).


Povijest matematike


Al-Hwarizmı, ca. 780.–850.

prvi veliki arapski matematicar

djelovao u Kuci mudrosti

od njega potjece najstariji arapski opis indijskog pozicijskogsustava

arapski original je izgubljen, najstarija sacuvana arapska djelana tu temu su stotinjak godina mlada

latinski srednjevjekovni prijevod: Dixit algorizmi / Algoritmide numero Indorum

algoritmi!

no, Al-Hwarizmı je jos poznatiji po tome sto s njime zapocinjerazvoj prave algebre . . .


Povijest matematike


Arapska algebra

Al-Kitab al-muhtas.ar fi hisab al-gabr wa-l-muqabala

napisana da bi se stanovnistvo znalo nositi sa svakodnevnimmatematickim problemima

prvi dio je apstraktniji, drugi prakticniji

bavi se rjesavanjem linearnih i kvadratnih jednadzbi, teprakticnim zadacima iz mjeriteljstva i nasljedivanja

jednadzbe su opisane rijecima

sest tipova jednadzbi: ax2 = bx , ax2 = c , bx = c,ax2 + bx = c, ax2 + c = bx , ax2 = bx + c – zasto ne dva?

al-gabr: nadopunjavanje; al-muqabala: izjednacavanje(operacije kojima se sve linearne i kvadratne jednadzbe svodena jedan od tih tipova)


Povijest matematike


al-gabr & al-muqabala

2x2 − 5x + 8 = 4

al-gabr: +5x (uklanjanje negativnih clanova)

2x2 + 8 = 5x + 4

al-muqabala (grupiranje clanova s istom potencijom):

2x2 + 4 = 5x


Povijest matematike


x2 + 10x = 39 (x2 + bx = c)

”Kvadrat i deset korijena cine 39 jedinica.”

1 uzmi pola broja korijena: 5

2 kvadriraj to: 25

3 pribroji to broju jedinica: 39 + 25 = 64

4 korjenuj: 8

5 od toga oduzmi pola broja korijena: 8− 5 = 3. To je rjesenje.

6 postupak opravdava geometrijski:

x2 5x

5x 52


Povijest matematike


x2 + 21 = 10x (x2 + c = bx)

x2 21x

=

x 5x 5x

5 5

5

25− 21 = 222

x

”Prepolovi broj korijena. To je 5.

Pomnozi to sa sobom i umnozak je25. Od tog oduzmi 21 koji je dodankvadratu i ostatak je 4. Uzmi njegovkvadratni korijen, 2, i oduzmi ga odpola broja korijena, od 5. Ostaje 3.To je korijen kojeg trazis, ciji kvadratje 9. Alternativno, mozes dodatikvadratni korijen polovici brojakorijena i zbroj je 7. To je ondakorijen kojeg trazis i kvadrat je 9.”

”Kad naides na zadatak koji vodi na ovaj slucaj, pokusaj ga rijesiti zbrajanjem, a ako

to ne uspije, uspjet ce s oduzimanjem. U ovom slucaju funkcionira i zbrajanje ioduzimanje, za razliku od ostala tri slucaja u kojima se treba prepoloviti broj korijena.Znaj i da u zadatku koji vodi na ovaj slucaj pomnozis pola broja korijena sa sobom,ako je umnozak manji od broja dirhama pribrojenih kvadratu, slucaj je nemoguc. Akoje pak jednak broju dirhama, onda je korijen jednak polovici broja korijena.”


Povijest matematike


Al-Mahanı, 9. st.

Perzijski matematicar i astronom. Znacajan je po ideji svodenjageometrijskih problema na algebarske.Pokusavao je rijesiti Arhimedov problem dijeljenja kugle uzadanom volumnom omjeru (presijecanjem ravninom). To ga jedovelo do kubne jednadzbe oblika

x3 + c2b = cx2

koja se u muslimanskom svijetu naziva al-Mahanijevomjednadzbom.


Povijest matematike


Abu Kamil, 9./10. st.

Vjerojatno iz Egipta, nastavljac Al-Hwarizmıjevog djela, nazivaAl-Hwarizmıja

”utemeljiteljem algebre”.

Njegovo djelo o algebri prevedeno je na latinski u 12. st. i koristioga je Fibonacci te je tako utjecalo na uvodenje algebre u Europu.Prvi je arapski matematicar kji je znao rjesavati neke diofantskejednadzbe, a pokazao je i razumijevanje identiteta xmxn = xm+n

(izrazenog rijecima).Kod njega se pojavljuje i

”zadatak 100 ptica”.

Napisao je i djelo o mjeriteljstvu s raznim pravilima za odredivanjeopsega, povrsine i volumena, ali bez dokaza. Omjer opsega ipromjera kruga procjenjuje s 22/7.


Povijest matematike


Al-Karagi, 10./11. st.

Perzijski matematicar i inzinjer. Smatra ga se prvom osobom kojaje potpuno oslobodila algebru od geometrije. Kod njega jesvodenje na potpun kvadrat cisto racunski postupak koji nijepotrebno geometrijski ilustrirati.I kod njega jos nedostaje ikakva simbolika, ali je ocito da razumijepravilo xmxn = xm+n, cak i za neke negativne eksponente (ali ne i0). Promatrao je i zbrojve monoma (dakle polinome) i racunskeoperacije s njima.Smatra ga se i prethodnikom matematicke indukcije.


Povijest matematike


”induktivni dokaz” relacije∑

i3 =(∑

i)2

Prvo dokazuje(1 + 2 + 3 + . . .+ 9)2 + 103 = (1 + 2 + 3 + . . .+ 10)2, onda(1 + 2 + 3 + . . .+ 8)2 + 93 = (1 + 2 + 3 + . . .+ 9)2 itd. Slijedi

(1 + 2 + . . .+ 10)2 = (1 + 2 + 3 + . . .+ 8)2 + 93 + 103 =

= (1 + 2 + 3 + . . .+ 7)2 + 83 + 93 + 103 = . . . =

= 13 + 23 + 33 + . . .+ 103.


Povijest matematike


Omar Khayyam (Umar al-Hayyam), ?1048.–?1131.

Perzijski matematicar, astronom, filozof i pjesnik, djelovao je dobaseldzuckih osvajanja.

Knjiga, zena i boca vina:To troje cine moj raj; mozda je tvojneko kiselo mjesto, hladno i golo —

no ja nisam nikad rekao da je tvoj raj moj.

Glavno djelo mu je Risalah fil-barahin ’ala masa’il ala-Jabrwa’l-Muqabalah, poznato kratko kao Algebra. U njemu je prosirioAl-Hwarizmıjevu klasifikaciju i na kubne jednadzbe. Tako je dobioukupno 19 tipova jednadzbi, od kojih su 5 bez konstantnog clanapa se svode na kvadratne, a ostale su:


Povijest matematike


Khayyamove kubne jednadzbe

1 x3 = c ;2 x3 + bx = c ;3 x3 + c = bx ;4 x3 = bx + c ;5 x3 + ax2 = c ;6 x3 + c = ax2;7 x3 = ax2 + c ;8 x3 + ax2 + bx = c ;9 x3 + ax2 + c = bx ;

10 x3 + bx + c = ax2;11 x3 = ax2 + bx + c ;12 x3 + ax2 = bx + c ;13 x3 + bx = ax2 + c ;14 x3 + c = ax2 + cx .


Povijest matematike


Prvi tip je poznat od davnina, a ostale kubne jednadzbe rjesavapresjecima krivulja 2. reda. Cak je tvrdio da se rjesenja ne mogudobiti ravnalom i sestarom (sto je dokazano tek 750 godinakasnije). Prvi je primijetio i da postoje kubne jednadzbe s vise odjednog rjesenja, ali je uspio naci samo jedan primjer s dva rjesenja.


Povijest matematike


Primjer Khayyamovog rjesavanja kubne jednadzbe

x3 + bx = c

b > 0⇒ b = B2, c > 0⇒ c : b = C (c = B2C )

x3 + B2x = B2c

Uzmimo kruznicu promjera C i parabolu s tjemenom S na toj kruznici,takvom da joj je os tangenta na kruznicu i da je razmak fokusa iravnalice B/2.

X

S S ′Q

P

B

C

x


Povijest matematike


Neka je X sjeciste kruznice i parabole, Q projekcija X na promjerkruznice SS ′ te P tocka na osi parabole sa svojstvom |SP| = B.Buduci da je X na paraboli: |SQ|2 = |SP| · |XQ|, tj. x

|XQ| = Bx .

No, X je i na kruznici pa je 4SS ′X pravokutan pa je4SQX ∼ 4XQS ′. Slijedi x

|XQ| = |XQ|C−x . Stoga je

B

x=

x2/B

C − x,

x = |SQ| je rjesenje!

X

S S ′Q

P

B

C

x


Povijest matematike


Geometrija u Arapa

al-Battani (Albategnius, 9./10. st.) je bio jedan od najvecihbliskoistocnih astronoma u povijesti. Glavno astronomsko djelo,Kitab al-zij, je u 11. st. prevedeno na latinski i bitno je utjecao narenesansne europske astronome. Trajanje solarne godine izracunaoje na ca. 2 min tocno, dao katalog 489 zvijezda, . . .Posebno je zasluzan za razvoj trigonometrije. Izradio je tablicusinusa (polutetiva), a pokazao je i da u pravokutnom trokutu vrijedi

b sinα = a sin(90◦ − α).

Koristio je i jos pet drugih trigonometrijskih velicina, koje bi danasbile kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans.


Povijest matematike


Abu l-Wafa, 10. st.

Perzijski matematicar i astronom.Knjiga o geometrijskim konstrukcijama potrebnim obrtniku:konstrukcije pravilnih mnogokuta (do n = 10), parabola, pribliznatrisekcija kuta, upisivanje i opisivanje pravilnih mnogokutakruznicama, konstrukcije s fiksiranim sestarom . . .Novom metodom je izradio trigonometrijske tablice s tocnoscu odotprilike osam decimala. Poznat je i njegov izracun udaljenostiBagdada do Meke.Djelo o aritmetici za trgovce je jedino arapsko djelo tog doba ukom se pojavljuju negativni brojevi. Ne koristi indijske brojke, vecbrojeve opisuje rijecima.


Povijest matematike


Al-Quhı, 10. st.

Glavna figura ozivljavanja starogrckog stila geometrije.Najpoznatije je njegovo odredivanje segmenta kugle koji imajednak volumen kao jedan zadani segment kugle, a isto oplosje kaodrugi. Rjesenje je dobio presjekom istostane hiperbole i parabole.Konstruirao je i pravilni peterokut upisan u kvadrat (jedno rjesenjetog problema, koje odgovara rjesavanju kvadratne jednadzbe, jeranije dobio Abu Kamil, a Al-Quhi je dobio i drugo rjesenje kojeodgovara rjesavanju jednadzbe 4. stupnja).


Povijest matematike


Al-Hayt.am (Alhazen), oko 965.–1040.

Dao je bitne doprinose matematici, optici, astronomiji, anatomiji,medicini, oftalmologiji, fizici i inzenjerstvu opcenito, filozofiji ipsihologiji idr. U srednjevjekovnoj Europi bio je poznati i kaoPtolomaeus Secundus, a danas se smatra ocem moderne optike.Proveo je mnoge opticke eksperimente i prvi pokazao da vid u okunastaje uslijed loma zraka svijetla, da je Mjesecevo svjetloposljedica refleksije i dr.

Alhazenov problem geometrijse optike

Za dvije tocke A i B u ravnini i zrcalnu kruznicu traze se tocke Tna kruznici, takve da se u njima zraka svjetla iz A lomi tocnoprema B.

Rijesio je taj problem koristeci Apolonijevu teoriju konika, no to jerjesenje vrlo komplicirano. U 17. st. je Christiaan Huygens nasaolakse rjesenje.


Povijest matematike


Generalizirao je i prvi tip Hipokratovih mjeseca:

Kao i Khayyam, pokusao je dokazati Euklidov 5. postulatsvodenjem na kontradikciju.Bavio se savrsenim brojevima i navodno da je prije Eulera on bioprvi koji je dokazao teorem o parnim savrsenim brojevima.Objasnio je i koristio Wilsonov teorem (p > 1 je prost ako i samoako je 1 + (p − 1)! djeljivo s p) kojeg je otkrio Bhaskara I u 7. st.,a ime je dobio po engleskom matematicaru Johnu Wilsonu koji gaje iskazao u 18. st. Prvi poznati dokaz tog teorema dao jeJoseph-Louis Lagrange 1773.


Povijest matematike


Teorija brojeva u Arapa

T¯

abit ibn Qurra (836.–901.) je djelovao u Kuci mudrosti i osimmatematikom se bavio i medicinom, filozofijom i astronomijom.Dao je novi dokaz Pitagorinog teorema, opisao je magicnekvadrate, a najpoznatiji je po svojim rezultatima iz teorije brojeva.Iz fascinacije savrsenim brojevima proizasao je i njegovi interes zaprijateljske brojeve,

te je dokazao

Teorem

T¯

abitov teorem o prijateljskim brojevima Ako su za neki prirodanbroj n > 1 brojevi p = 3 · 2n−1 − 1, q = 3 · 2n − 1 ir = 9 · 22n−1 − 1 prosti, onda su brojevi 2npq i 2nr prijateljski.


Povijest matematike


Teorija brojeva u Arapa

T¯

abit ibn Qurra (836.–901.) je djelovao u Kuci mudrosti i osimmatematikom se bavio i medicinom, filozofijom i astronomijom.Dao je novi dokaz Pitagorinog teorema, opisao je magicnekvadrate, a najpoznatiji je po svojim rezultatima iz teorije brojeva.Iz fascinacije savrsenim brojevima proizasao je i njegovi interes zaprijateljske brojeve, te je dokazao

Teorem

T¯

abitov teorem o prijateljskim brojevima Ako su za neki prirodanbroj n > 1 brojevi p = 3 · 2n−1 − 1, q = 3 · 2n − 1 ir = 9 · 22n−1 − 1 prosti, onda su brojevi 2npq i 2nr prijateljski.


Povijest matematike


Za n = 2 se dobije par 220 i 284, a za n = 4 je navodno T¯

abitdobio par 17296 i 18416, kojeg je u 17. st. iznova otkrio Fermat.Osim ta dva para do danas je poznat samo jos jedan koji se dobijeza n = 7. Brojevi oblika 3 · 2n − 1 = (1011 . . . 1)2 danas se zovuTabitovim brojevima.Ibn Sına (Aviccena), oko 980.–1037.: Bio je jedna odnajznamenitijih licnosti svoga doba; lijecnik, prirodoznanstvenik ifilozof; Knjiga lijecenja (Al-Qanun) — vrsta enciklopedije, jedan odcija cetiri dijela je posvecen matematici (dijeli ju na geometriju,astronomiju, aritmetiku i glazbu).Tu se mogu naci zadaci poput: Ako pri dijeljenju broja s 9dobijemo ostatak 1 ili 8, treba pokazati da je ostatak pri dijeljenjukvadrata tog broja s 9 jednak 1.


Povijest matematike


Dva matematicara mongolskog razdoblja

Nasir ad-Din at.-Tusi, 13. st., je zivio u u sjevernom Iranu u dobamongolskih osvajanja. Nakon sto je Hulegu-Han osvojio tvrdavuAlamut (u kojoj se dotad al-Tusi nalazio), al-Tusi ostaje u njegovojsluzbi kao znanstveni savjetnik. U toj je osnovao opservatorij uAzerbejdzanu (Maragha), a sudjelovao je i u osvajanju Bagdada.Napisao je vazna djela o logici, etici, filozofiji, matematici iastronomiji, a napisao je i mnoge komentare grckih tekstova. Ukomentaru Ptolemejeva Almagesta (1247.) uveo je raznetrigonometrijske tehnike za izracunavanje tablica sinusa.Najvazniji doprinos mu je odvajanje trigonometrije kaomatematicke discipline. U svom Traktatu o cetverokutu je dao prvipotpun prikaz ravninske i sferne trigonometrije (1260.).Kao i neki drugi arapski matematicari prije njega, koristio je metodeza priblizno racunanje 2. i 3. korijena slicne indijskim i kineskim.


Povijest matematike


Al-Kasi, oko 1380.–1429.

Posljednji znacajni matematicar arapskog srednjevjekovnog svijeta.Nakon siromasne mladosti dospio je u Samarkand, gdje je postojaoznanstveni centar i opservatorij kojeg je osnovao Timurov unukUlug Begu (1394.–1449.). Doba Ulug Bega je poznato kaoznanstveni vrhunac doba mongolskih vladara. Tu je al-Kasi postaopredstojnik opservatorija i glavni tamosnji astronom i matematicar.Glavno djelo mu je Kljuc aritmetike, koje sadrzi binomnu formulu,racunanje n-tih korijena, numericko rjesavanje jednadzbiiterativnim postupcima, konstrukcije kupola, . . . .U jednoj raspravi posvecenoj Ulug-Begu bavi se indijskimbrojevnim sustavom i racunanjem (cak i s iracionalnostima), a tu jei kasnija Newtonova metoda i teorija decimalnih razlomaka iracuna s njima (u zapadnu Europu ce ih uvesti tek Simon Stevin135 godina kasnije).


Povijest matematike


Osmislio je originalni iterativni postupak za izracunavanjetrigonometrijskih tablica: sin3◦ moze se dobiti elementarno,odnosno proizvoljno tocno (npr. ravnalom i sestarom kao razlika36◦ na pravilnom peterokutu i 30◦ na pravilnom sesterokutu);zatim postavlja kubnu jednadzbu (to je kasnije Vieti pripisanaformula) za sin 1◦:

sin 3α = 3 sinα− 4 sin3 α

x = sin 1◦, p = 3/4, q = (sin 3◦)/4⇒ x3 + q = px ⇒ x =q + x3

p

x ≈ 0⇒ x1 ≈q

p; xn+1 =

q + x3n

p

Dobio je sin 1◦ koju iterativnim postupkom rjesava na 9seksagezimalnih, tj. 18 decimalnih mjesta tocno!Dvije zanimljivosti: u Francuskoj se poucak o kosinusima nazivaal-Kashijevim teoremom; 2π je izracunao na 16 decimala(n = 3 · 228; tek 200 godina kasnije ce van Ceulen dobiti boljutocnost).Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Visoki srednji vijek (ca. 1000.–1300.)

Iako i dalje dominiraju latinski jezik i rimske brojke te vrlo skromnoobrazovanje, dolazi do jaceg razvoja kulture. Ovo je doba romanike igotike, razdvanja katolicke i pravoslavne crkve, krizarskih ratova, te prvogkontakta s arapskim svijetom, prvenstveno preko Spanjolske.Al-Andalus, popularnije muslimanska Spanjolska, zapocinje osvajanjima711., a zavrsava nestankom emirata Granade 1492. Arapi (Mauri) suIberski poluotok osvojili u 8. stoljecu, a njihova je vladavina bila stabilnado 11. stoljeca. Od 929. do 1031. to je samostalni kalifat Cordobe.Cordoba je postala znanstveni centar s velikom knjiznicom. Podmaurskom vladavinom se poticalo prevodenje znanstvenih djela raznihizvora, sto je doprinijelo ozivljavanju grcke i otkricu arapske i indijskematematike.U 12. stoljecu doslo je do intenzivnijeg kontakta europske s grckom iindijskom matematikom putem direktnog kontakta s Arapima (osobitotalijanski trgovci) i prijevodima s arapskog i hebrejskog. Prije toga uopticaju su bili samo neki dijelovi Euklidovih i Heronovih djela u rimskomprijevodu.


Povijest matematike


Prevodioci (”preveo i prilagodio”)

Tek 1145. godine u Europi je izdana prva knjiga s potpunimrjesenjem kvadratne jednadzbe (naravno, misli se na pozitivnarealna rjesenja). Bio je to latinski prijevod knjige spanjolskogzidovskog matematicara Abrahama bar-Hiyya-e, 1070.–1136.). Istegodine Robert od Chestera preveo je al-Khwarizmijevu Algebru.

Adelard of Bath (1075.–1160.) je studirao u Francuskoj, boravio ujuznoj Italiji i Turskoj, u Siriji i Palestini. Vjerojatno je boravio i uSpanjolskoj, a po nekima je pohadao predavanja iz matematike uCordobi prerusen u muslimana. Do 1533., kad je pronaden original,sva su europska izdanja Euklidovih Elemenata bila temeljena nanjegovom prijevodu. Preveo je i al-Khwarizmijeve astronomsketablice i Almagest, a pisao je i o abakusu, aritmetici i dr.


Povijest matematike


Prevodioci (”preveo i prilagodio”)

Tek 1145. godine u Europi je izdana prva knjiga s potpunimrjesenjem kvadratne jednadzbe (naravno, misli se na pozitivnarealna rjesenja). Bio je to latinski prijevod knjige spanjolskogzidovskog matematicara Abrahama bar-Hiyya-e, 1070.–1136.). Istegodine Robert od Chestera preveo je al-Khwarizmijevu Algebru.Adelard of Bath (1075.–1160.) je studirao u Francuskoj, boravio ujuznoj Italiji i Turskoj, u Siriji i Palestini. Vjerojatno je boravio i uSpanjolskoj, a po nekima je pohadao predavanja iz matematike uCordobi prerusen u muslimana. Do 1533., kad je pronaden original,sva su europska izdanja Euklidovih Elemenata bila temeljena nanjegovom prijevodu. Preveo je i al-Khwarizmijeve astronomsketablice i Almagest, a pisao je i o abakusu, aritmetici i dr.


Povijest matematike


Skolastika

U 11. i 12. st. Crkva pocinje poticati obrazovanje, i to i znanstveno, usvojim redovima. Nastaju prva sveucilista (Bologna, Paris, Oxford,Montpellier, Cambridge, Padova, Napoli, Toulouse, . . . ) koja postaju

”dom” prirodnih znanosti i matematike. Skolastika izvorno znaci

sustavno posredovanje znanja kroz predavanja i rasprave. Cijenilo selogicko zakljucivanje (ponekad i do apsurda).Nakon obrazovanja u latinskom jeziku, uobicajeno je bilo da se student s14 ili 15 godina upise na neko sveuciliste, na kojem bi prvo studiraovtrivium (gramatika, retorika, dijalektika), a zatim quadrivium. Time sepostizao stupanj baccalaureus. Dalje se moglo studirati medicinu, pravoili teologiju do stupnja magistra.

Skolastici su razvili teoriju supozicije kao odgovor na pitanje osnovnih

logicki”jedinica”. Tom teorijom odgovaraju na pitanje vrste termina u

logickim izjavama (individua, univerzalno ili sama rijec). Kasnije su se

srednjevjekovni filozofi (John Duns Scotus u 13. st. i William of Ockham

u 14. st.) bavili i pitanjem modaliteta logickih izjava.Franka Miriam Bruckler PMF-MO, Zagreb

Povijest matematike


Fibonacci (Leonardo iz Pise)

Moze se reci da je postojao tocno jedan veliki srednjevjekovnieuropski matematicar: Leonardo iz Pise (poznat kao Fibonacci,sto je skraceno od clan obitelji Bonacci, zivio je otprilike1170.–1250.). Vec kao djecak putovao je s ocem koji je bio cariniku Bugia-i (danasnji Alzir, tad je Bugia bila trgovacka kolonija Pise)u sjevernu Afriku i kasnije u Egipat, Bizant, Siriju, Grcku i Siciliju,gdje je imao prilike upoznati matematicke spise Arapa, Indijaca,Pitagorejaca, Euklida i dr. Kako je Leonardo trebao postatitrgovac, puno je paznje posveceno tome da dobro nauci racunati.U razdoblju 1200.–1225. boravio je u Pisi i bavio se matematikom.Sadrzajno on zapravo vise spada u renesansu nego u srednji vijek.


Povijest matematike


Fibonaccijeva djela

Liber Abbaci (1202., 1228.)

Practica Geometriae, 1220./21.

Flos, 1225.

pismo carskom filozofu Teodoru

Liber Quadratorum, 1225.


Povijest matematike


Liber Abbaci iliti Knjiga o racunanju

rimske brojke i brojanje prstimaindoarapski pozicijski sustav s nulom!!!racunanje u dekadskom sustavu (indoarapske brojke)razlomci i racunanje s njima (uveo je razlomacku crtu)trgovacka racunica (tu je i problem sto ptica :-))zadaci zabavne matematike (Fibonaccijevi brojevi1)neki od tih zadataka vode na jednadzbe i sustave (ukljucivoneodredene)nepoznanicu naziva res (arapski: ay) ili radix ; druge potencijenepoznanice: quadratus/census, cubus, census de censu, cubuscubi ; konstanta: numerus, denarius, dragmaocit utjecaj arapske matematike (npr. klasifikacija i rjesavanjekvadratnih jednadzbi)

1Ime im je u 19. stoljecu dao Eduard Lucas. Zanimljivo je da se pojavljuju umnogim neocekivanim, cak i prirodnim, kontekstima, a povezani su i sa zlatnimrezom.


Povijest matematike


Zadatak o pronadenom novcaniku

Naden je novcanik s nepoznatim iznosom b novca u njemu.Cetvorica nalaznika imajuu po xi , i = 1, 2, 3, 4 novca. Uvjeti vodena sustav

x1 + b = 2(x2 + x3)

x2 + b = 3(x3 + x4)

x3 + b = 4(x4 + x1)

x4 + b = 5(x1 + x2)

Kaze Leonardo:

”Pokazat cu da ovaj problem nije rjesiv ako se ne dozvoli da je prvi

partner u dugu.” — razumije negativne brojeve!!!Kao jedno rjesenje daje −1, 4, 1, 4 i b = 11.


Povijest matematike


Ostala djela

Godine 1220. Fibonacci je napisao Practica Geometriae,kompilacija geometrijskih rezultata (Euklid, arapska trigonometrija,. . . ). Potrebna algebarske pravila u arapskoj tradiciji izlaze bezpozivanja na geometriju.U Liber quadratorum (1225.) opisao je metode za nalazenjepitagorejskih trojki i dao prvi dokaz identiteta

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac − bd)2 + (bc + ad)2,

tj. umnozak dva zbroja kvadratnih brojeva je zbroj kvadratnihbrojeva (sto je bila jos Diofantova tvrdnja).U Flosu se bavi raznim algebarskim zadacima.


Povijest matematike


Car Friedrich II je 1225. s dvorom dosao u Rim te odgodio odlazaku krizarski rat kako bi organizirao natjecanje iz matematike. Natom je natjecanju Friedrichov dvorski filozof Ivan iz Palerma zadaosljedece zadatke:

1 Tri covjeka posjeduju hrpicu novca, a udjeli su im 12 , 1

3 i 16 . S

vremenom, svaki je uzimao ponesto novca, sve dok nista nijepreostalo. Prvi je vratio 1

2 od koliko je uzeo, drugi 13 od onog

sto je uzeo i treci 16 iznosa kojeg je uzeo. Ako se tako skupljen

novac podijeli na tri jednaka dijela i svakom da po jedan,ispada da svaki posjeduje koliko mu po pravu i pripada.Koliko je novca bilo u pocetnoj hrpi i koliko je tko uzeo?

2 naci broj x takav da su x2 ± 5 kvadrati razlomaka;

3 rijesiti jednadzbu x3 + 2x2 + 10x = 20.


Povijest matematike


1; 22, 07, 42, 33, 04, 40 (Flos)

Treci je zadatak Ivan iz Palerma preuzeo iz Khayyamove Algebre.Fibonacci je dokazao da ta jednazba nema rjesenja u cijelim niracionalnim brojevima niti medu euklidskim kvadratnimiracionalnostima, a zatim navodi aproksimativno rjesenje tocno nadevet decimala, no nema izvora kako je to aproksimativno rjesenjedobio.

O Fibonaccijevom zivotu iza 1228. se gotovo nista ne zna, osim damu je republika Pisa dodijelila stipendiju kao nagradu zasavjetovanje u matematici vezano za racunovodstvo i slicna pitanja.


Povijest matematike


1; 22, 07, 42, 33, 04, 40 (Flos)

Treci je zadatak Ivan iz Palerma preuzeo iz Khayyamove Algebre.Fibonacci je dokazao da ta jednazba nema rjesenja u cijelim niracionalnim brojevima niti medu euklidskim kvadratnimiracionalnostima, a zatim navodi aproksimativno rjesenje tocno nadevet decimala, no nema izvora kako je to aproksimativno rjesenjedobio.O Fibonaccijevom zivotu iza 1228. se gotovo nista ne zna, osim damu je republika Pisa dodijelila stipendiju kao nagradu zasavjetovanje u matematici vezano za racunovodstvo i slicna pitanja.


Povijest matematike


Prva osoba koja je korektno formulirala zakon kosine bio jeNijemac Jordanus Nemorarius (13. st.). Njegovi Demonstratio dealgorismo i Demonstratio de minutiis su opisi indoarapskogbrojevnog sustava. Napisao je i teorijsko aritmeticko djelo Deelementis arithmeticae artis te geometrijsko Liber phylotegni detriangulis, zatim tekst o stereografskoj projekciji Demonstratio deplana spera te De numeris datis, prvo naprednije europskoalgebarsko djelo nakon Diofanta. Nemorarius je koristio slova kaooznake nepoznanica, no njegova djela nisu imala veceg utjecaja.


Povijest matematike


Kasni srednji vijek (14. i 15. st.)

Englez Thomas Bradwardine (ca. 1295.–1349.) je djelovao uOxfordu, a kasnije je bio kancelar crkve St Paul’s u Londonu ikapelan kralja Edwarda III. Godine 1348. postao je nadbiskupCanterburyja, ali kralj Edward ponistio je to imenovanje.Bradwardine je godinu kasnije je ponovno izabran, ovaj put izgledabez protivljenja kralja, no ubrzo je umro od kuge. Bavio selogikom, matematikom, teologijom i filozofijom. Pisao je ozvjezdastim mnogokutima i izoperimetrickim likovima,proporcijama, . . . Razlikovao je dva tipa beskonacnosti: kateticnu(odgovara nasem pojmu transfinitnog, tj. onom sto vec otpocetkanedostaje ogranicenost) i sinkateticnu (odgovara nasem pojmuinfinitnog, tj. onom sto iz konacnog nastaje neogranicenim rastom).


Povijest matematike


Nicole d’Oresme (ca. 1330–1382)

Francuski biskup i financijski savjetnik francuskog kralja Karla V.Prva osoba koja je dozvolila razlomke kao eksponente. Specijalno,poznavao je pravilo xaxb = xa+b i za razlomljene eksponente.Kod njega nalazimo rano poimanje funkcije i grafa: delatitudinibus formarum. Za njega su sve mjerljive velicine, osimbrojeva (koje dozivljava na starogrcki nacin), kontinuirane te semogu prikazivati duljinama, povrsinama i volumenima.U Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum iQuestiones super geometriam Euclidis opisuje kako ilustriratiodnos protezanja (extensio) i iznosa (intensio) kvalitete (to surazne fizikalne pojave, npr. brzina, koje mogu imati razliciteintenzitete i koje se nalaze u odnosu s protezanjem, primjericevremenom). Intenzitete je nanosio vertikalno kao duljine (latitudo)nad vodoravnom crtom, na kojoj su protezanja prikazana isto kaoduljine (longitudo).


Povijest matematike


No, to naravno jos nisu bile funkcije ni njihovi grafovi. Oresme nezahtijeva okomitost latituda u odnosu na longitude i spominje imogucnost trodimenzionalne interpretacije.Crtu koja povezuje gornje krajeve naziva Linea intensionis (ili Lineasummitatis). Ovisno o obliku tako dobivene figure Oresmerazlikuje uniformne kvalitete (Qualitas uniformis, konstantnogintenziteta, uniformno diformne (Uniformiter difformis, kod kojih jeLinea intensionis kosi pravac, te diformno diformne (Difformiterdifformis, sve ostale).


Povijest matematike


Pokazao je i tzv. Mertonski teorem, nazvan po oxfordskom MertonCollege, ciji znanstvenici su ga izrekli 1330ih: U slucaju uniformnodiformne brzine (dakle, gibanja s konstantnom akceleracijom) jeprijedeni put jednako kao za uniformnu brzinu, ako je to ona usrednjem trenutku. Oresme je to pokazao usporedbom povrsinepravokutnika i trapeza te se vidi da je put znao interpretirati kaopovrsinu. To je jedan od najranijih primjera matematicke fizike.Poznat je i po prvom dokazu divergencije nekog reda, konkretno:harmonijskog,

1+1

2+

(1

3+

1

4

)+

(1

5+

1

6+

1

7+

1

8

)+ . . . > 1+

1

2+

1

2+

1

2+ . . . ,

a pokazao je i konvergenciju geometrijskog reda∑

n22n .


Povijest matematike


1/2 1/4

1/4

1/8

1/8

1/8


Povijest matematike


Johann Muller Regiomontanus, 15. st.

Roden je u Konigsbergu, po cemu je i nazvan Regiomontanus. Od1468. je bio je dvorski astronom kralja Matijasa Korvina. Njegovinajznacajniji doprinosi su u trigonometriji i astronomiji: Na temeljuarapskih izvora (Gabir ibn Aflah. ili Geber Hispalensis,ca. 1100–1160, iz Seville) postavio je temelje modernetrigonometrije (u svom De triangulis omnimodis je bez citiranjaprepisao dijelove iz Geberove Islah al-Majisti bez da ga navede kaoautora). U djelu De triangulis omnimodis (napisano 1464.,objavljeno 1533.) sistematicno obraduje ravninsku i sfernutrigonometriju.


Povijest matematike


Godine 1472. zabiljezio je pojavu kometa, a njegovi iznimno tocnizapisi omogucili su da se taj komet 210 godina kasnije identificirakao Halleyev. Kopiju Regiomontanusovih astronomskih tablica nasvoje cetvrto putovanje ponio je Kolumbo i koristio predvidanjepomrcine mjeseca za 29. 2. 1504. da bi zaplasio neprijateljskinastrojeno pleme jamajkanskih Indijanaca.Regiomontanus je pisao i o reformi kalendara te ga je papa SikstoIV godine 1475. pozvao u Rim (Roma) upravo da bi reformiraokalendar. Papa ga imenuje i za biskupa Regensburga, aliRegiomontanus umire prije nego je preuzeo duznost (prema nekimizvorima su ga otrovali sinovi konkurentskog znanstvenika, a premadrugima je umro od kuge). Kao i mnogi suvremenici, nepoznanicuoznacava rijecju res, a kvadrat nepoznanice sa census.


Povijest matematike

franka miriam bruckler -...

Documents