polinomi, linearne jednačine i nejednačine
DESCRIPTION
Polinomi, Linearne Jednačine i NejednačineTRANSCRIPT
1
Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima
Najveći zajednički delilac i najmanji zajednički sadržalac polinoma NZD polinoma P i Q je polinom D koji ima najveći stepen medju polinomima koji su delioci i polinoma P i polinoma Q. NZS polinoma P i Q je polinom S koji ima najmanji stepen medju polinomima koji su deljivi i polinomom P i polinomom Q. Primer 1: Nadji NZS i NZD za polinome:
23)(
2)(4)(
2
2
2
+−=
−−=
−=
xxxRxxxQ
xxP
Prvo moramo svaki od njih rastaviti na činioce (naravno , upotrebom postupka navedenog u poglavlju : Transformacije algebarskih izraza).
)2)(1()1(2)1(2223)()1)(2()2(1)2(222)(
)2)(2(24)(
22
22
222
−−=−−−=+−−=+−=
+−=−+−=−+−=−−=
+−=−=−=
xxxxxxxxxxxRxxxxxxxxxxxQ
xxxxxP
NZD je ustvari ‘PRESEK’, odnosno ‘onaj’ koji ga ima u svakom od polinoma. Ovde je to očigledno x-2. Dakle: NZD = x-2 NZS je ‘unija’. On mora biti deljiv sa sva tri polinoma. Dakle: NZS = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) Primer 2: Nadji NZS I NZD za polinome :
22
22
2
2 babaRbaQabaP
+−=
−=
−=
222
22
2
)(2))((
)(
bababaRbababaQ
baaabaP
−=+−=
+−=−=
−=−=
NZD = →− )( ba jer ga ima u sva tri NZS = →+− )()( 2 babaa deljiv sa sva tri
2
________________________________________________________________
22333
22
222
)24)(2()2(8)2)(2(4
)2(44
babababababababa
bababa
+−+=+=+
+−=−
+=++
Primer 3: Nadji NZS I NZD za polinome:
2
2
yxyBxyxA
+=
−=
__________
)()(
yxyByxxA
+=−=
⇒ NZS = ))(( yxyxxy +−
Šta ćemo sa NZD? Nema činioca koji se sadrži u A i B. U takvoj situaciji NZD = 1 , a za polinome kažemo da su uzajamno prosti. Primer 4: Nadji NZS I NZD za polinome:
________________________
2
2
2530910036
159
=−+−
=−
=+
aaa
a
____________________________________________________________________
222
22
)53()25309(25309)53)(53(4)259(410036
)53(3159
−−=+−−=−+−
+−=−=−
+=+
aaaaaaaaa
aa
NZS 2)53)(53(12 −+−= aa Primer 5: Nadji NZS I NZD za polinome: NZS )24)(2()2( 222 babababa +−−+= Primer 6: Nadji NZS I NZD za polinome:
__________________________________
22
234
23
)4(31232020512123
=−=−
=++
=+−
xnnnxxxxxxx
3
__________________________________________________________
22
2222234
2223
)2)(2(3)4(3123)2(5)44(520205
)2(3)44(312123
+−=−=−
+=++=++
−=+−=+−
xxnxnnnxxxxxxxxx
xxxxxxxx
NZS 222 )2()2(15 +−= xxnx Primer 7: Nadji NZS I NZD za polinome:
______________________________________________________________________
2223
2223
22244
)1)(1()1(1)1(1)1)(1()1(1)1(1
)1)(1)(1(2)1)(1(2)1(222
+−=−+−=++−
++=+++=+++
++−=+−=−=−
aaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaa
NZS )1)(1)(1(2 2 ++−= aaa Kako upotrebiti NZS? 1) Uprosti izraz:
=+
−−
+− ab
baaba
bbab
a22 najpre treba svaki imenilac rastaviti na činioce=
=+
−−
+− ab
babaa
bbab
a)()(
zatim nadjemo NZS za imenioce ,to je )( baab − i izvršimo
proširenje razlomka. Kako da znamo koji sa kojim da proširimo? Gledamo imenilac i NZS, šta je ‘’višak’’,sa tim proširimo. Tako prvi sabirak širimo sa a , jer je ‘’višak’’ kad gledamo )( baab − i )( bab − drugi sa b a treći sa )( ba − . Dakle:
)(2
)(2
)()()(
)())((
222222222
baab
baabb
baabbaba
baabbababaab
bababbaa
−=
−=
−+−+
=−
−−+=
=−
−+−⋅+⋅=
Pre početka (ili po završetku) rada treba postaviti uslove zadataka. Pošto deljenje nulom nije dozvoljeno to nijedan u imeniocu ne sme biti nula, tj.
;0≠a ;0≠b baba ≠⇒≠− 0
2) Uprosti izraz: xxxxx +
+−
+− 222
11
21
=+
++−
+−
=+
+−
+− )1(
1)1)(1(
2)1(
111
21222 xxxxxxxxxxx
šta je problem?
Izrazi )1( x+ i )1( +x nisu, jer važni komutativni zakon )( ABBA +=+ , ali izrazi
)1( −x i(1-x) jesu. Taj problem ćemo rešiti tako što jedan od ta dva izraza ‘’okrenemo’’ i izvučemo minus ispred, jer važi da je )( ABBA −−=−
4
0)1)(1(
0)1)(1(121
)1)(1()1(12)1(1
)1(1
)1)(1(2
)1(1
=+−
=
+−−+−+
=
+−−+−+⋅
=
=+
++−
−−
=
xxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
Naravno, uslovi zadatka su:
;0≠x ;101 ≠⇒≠− xx 101 −≠⇒≠+ xx 3) Uprosti izraz:
212
46
21
2 −−
−−
+++
aa
aa
aa
=−−
−−
+++
212
46
21
2 aa
aa
aa
=−−
−+−
+++
212
)2)(2(6
21
aa
aaa
aa
=+−
++−+−+)2)(2(
)2)(12(6)2)(1(aa
aaaaa Pazi na znak ispred zagrade!!!
Uvek pokušaj da na kraju rastaviš i brojilac, jer možda ima nešto da se ‘’skrati’’!!! Uslovi zadatka su:
202202
≠⇒≠−−≠⇒≠+
aaaa
=+−
+−)2)(2(
22
aaaa
2+−
aa
=+−
++−−+−+−)2)(2(
242622 22
aaaaaaaaa
=+−
−−+−+−+−)2)(2(
)242(6)22( 22
aaaaaaaaa
=+−
−−)2)(2(
)2(aa
aa
5
4) 23
12213
1 2 +−+
+−−
−− xx
xxx
xx =?
=+−
++
−−
−− 23
12213
1 2 xxx
xx
xx
Izdvojićemo i rastaviti ‘’na stranu’’
)1)(2()2(1)2(2223 22 −−=−−−=+−−=+− xxxxxxxxxx
=−−
++
−−
−− )1)(2(
12213
1 xxx
xx
xx
=−−
++−−−−)2)(1(
)12(1)1)(13()2(xx
xxxxx Pazi na minus!!!
=−−
+++−−−−)2)(1(
12)133(2 22
xxxxxxxx
=−−
++−++−−)2)(1(
121332 22
xxxxxxxx
=−−
+−)2)(1(
42 2
xxxx
12
)2)(1()2(2
−−
=−−−−
xx
xxxx
Uslovi zadatka:
202101≠⇒≠−≠⇒≠−
xxxx
5) 25
22510
12510
1222 −
++−
+++ xxxxx
=?
=−
++−
+++ 25
22510
12510
1222 xxxxx
22
2
22
2
22
22
22
222
22
222
22
)25(4
)5()5(4
)5()5(502502
)5()5()25(225102510
)5()5()25(2)5(1)5(1
)5)(5(2
)5(1
)5(1
−=
−+=
=−+−−+
=−+
−+++++−
=−+
−⋅++⋅+−⋅
=+−
+−
++
xx
xxx
xxxx
xxxxxxx
xxxxxxxxx
6
Uslovi zadatka: 505
505≠⇒≠−−≠⇒≠+
xxxx
Množenje i deljenje racionalnih algebarskih izraza se radi kao i kod običnih razlomaka, s tim da prvo moramo ‘’svaki’’ rastaviti na činioce. Dakle:
DBCA
DC
BA
⋅⋅
=⋅ i CD
BA
DC
BA
⋅=:
1) =+++
⋅−−
aaaa
aaa
2
2
2
2 121
? prvo ‘’svaki’’ rastavimo na činioce !!!
=++
⋅+−
−)1(
)1()1)(1(
)1( 2
aaa
aaaa ’’Skratimo’’
DC
BA⋅
111
11
=⋅=
Uslov zadatka: 012 ≠−a i 02 ≠+ aa
1≠a , 1−≠a 0, ≠a
2) =+
⋅−−
ababba
abaaba 22
2
2
babaab
baabbaabaa
−=−
=+
⋅+−
1)(
)()(
Uslov zadatka: 0,0,0 ≠+≠≠ baba
3) =−+
−−
95:
325
2
2
2
2
xxx
xxx ?
=+−
+−+−
)3)(3()5(:
)3()5)(5(
xxxx
xxxx
2
)3()5()5(
)3)(3()3(
)5)(5(x
xxxx
xxxx
xx +⋅−=
++−
⋅−+−
Uslovi: 03,03,0 ≠+≠−≠ xxx
3,3 −≠≠ xx
4) 42
44
2
22
21:
21 mmba
mmba
+−−
+++ =?
=+−
−++
+42
44
2
22
21:
21 mmba
mmba
7
))(()1(
))()(()1()1(
)1(
)1())((:
)1(2
22
22
2
22
22
2222
2
22
babam
bababamm
mba
mbaba
mba
+−−
=++−
+−⋅
++
=−
+−++
Uslov zadatka: ,1,, ≠−≠≠ mbxbx ,1−≠x
5) acbcaabcba
22
222
222
+−++−+ =?
=+−++−+
acbcaabcba
22
222
222
’’pretumbajmo’’ ih prvo
=−++−++
222
222
22
bcacacbaba prva tri čine ‘’pun’’ kvadrat
=−+−+
22
222
)()(
bcacba upotrebimo sad razliku kvadrata
bcacba
bcabcacbacba
−+−+
=++−+++−+
))(())((
Uslov: 0≠−+ bca i 0≠++ bca
6) Skrati razlomak: 2365
2
2
+−+−
xxxx
=+−+−
2365
2
2
xxxx =
+−−+−−22623
2
2
xxxxxx
13
)1)(2()2)(3(
)2(1)2()3(2)3(
−−
=−−−−
=−−−−−−
=xx
xxxx
xxxxxx
Uslov: 02 ≠−x 01≠−x
7) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
−+ x
yyx
xyxy
yxxyyx 2:2
22 ?
yxyxxy
yxxyyx
xyyxyx
yxxyyxyx
xyyxyx
yxxy
yxxyyx
+=
−⋅
+−
=+−
++−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
−+
1)()(
)(
2:)(
2
2:)(
2)(
2
2
2222
22
Uslovi: ,0≠x ,0≠y ,0≠+ yx 0≠− yx
8
8) =−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
++
− 24:
44
236 2 aa
aa
aa
aa
=−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
++
+− 2
4:)2)(2(
42)2(3 a
aaa
aa
aa
a
PAZI: Moramo a−2 da okrenemo: )2(2 −−=− aa , pa (-) izlazi ispred!!!
)4(32
)4)(2(3)2(2
)4)(2(342
)4)(2(312632
42
)2)(2(312)2(3)2(
42
)2)(2(4
2)2(3
2
22
−=
−++
=−+
+
=−+
+−+−−
=−−
⋅+−
+−++−
=−−
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
++
+−
−
aa
aaaa
aaaa
aaaaaaa
aa
aaaaaaa
aa
aaa
aa
aa
Uslovi: ,2≠a ,2−≠a 4≠a
9) Uprosti izraz: =+
++
++
++
++
+− 16842 1
161
81
41
21
11
1xxxxxx
Ovaj zadatak ne možemo rešiti ‘’klasično’’, probajmo da saberemo prva dva:
212
)1)(1(11
11
11
xxxxx
xx −=
+−−++
=+
+−
Dodajemo mu treći sabirak:
44
22
22
22
22 14
12222
)1)(1()1(2)1(2
12
12
xxxx
xxxx
xx −=
−−++
=+−−++
=+
+−
Ovo radi!!!
824
22
44 18
)1)(1(4444
14
14
xxxxx
xx −=
+−−++
=+
+−
Idemo dalje:
1688
88
88 116
)1)(1(8888
18
18
xxxxx
xx −=
+−−++
=+
+−
Konačno:
321616
1616
1616 132
)1)(1(16161616
116
116
xxxxx
xx −=
+−−++
=+
+−
9
Uslovi: 01 ≠− x i 01 ≠+ x 10) Pokazati da vrednost izraza ne zavisi od a,b,c i d
)(4
11:
11
4caabcb
ba
cb
a ++−
++
+
=++
−+
++ )(
41
1:
11
4caabcb
ba
cb
a
=++
−+
++ )(
41
1:
11
4caabcb
bab
cbca
Pazi: BCAD
DCBA
=
=++
−+
++ )(
41
:
1
4caabcbab
b
bcca
=++
−+
⋅
+++ )(
41
1
4caabcbb
ab
bccaabc
=++
−+
⋅++
+)(
41)1(4caabcbb
abcaabc
bc
=++
−++++
)(4
)()1)(1(4
caabcbcaabcbabbc Izvučemo gore 4 kao zajednički
[ ]
=++
−++)(
1)1)(1(4caabcb
abbc
[ ] 4
)()(4
)(114 2
=++++
=++
−+++acabcbacabcb
caabcbabbccab
10
11) Ako je 0=++ cba dokazati da je abccba 3333 =++ Dokaz: Podjimo od 0=++ cba cba −=+ kubirajmo ovo 33 )()( cba −=+ 33223 33 cbabbaa −=+++
−−−−−−−−−−−
cbacbaabba −=+→−=+++ 333 )(3 ovo iz a+b+c=0, zamenimo…
abccba
cabcba3
3333
333
=++
−=−+
12) Ako je 0111=++
cba Dokazati da je:
3−=++
++
+c
bab
aca
cb
Dokaz: Podjimo od:
cabab
cba1
111
−=+
−=+
cabba −=+ / Podelimo sa C da bi napravili izraz iz zadatka
Slično će biti:
2
2
bca
bac
abc
acb
−=+
−=+
=+
++
++
cba
bac
acb
=−−− 222 cab
bac
abc Priširimo ih redom sa ,a b i c
=−−− 333 cabc
babc
aabc izvučemo abc−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−= 333
111cba
abc Ajde ovo da nadjemo!!!
3/()111cba
−=+
33223
111131131cbbabaa
−=+⋅⋅+⋅⋅+
2cab
cba
−=+
11
333
111311cbaabba
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++
333
11311ccabba
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅++
333
1311cabcba
−=−+
abccba3111
333 +=++ Vratimo se u zadatak:
33
111333
−=⋅−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−=
abcabc
cbaabc
Malo je zeznuto, pa proučavajte pažljivo!
1
VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCE
Brojevi 1x i 2x su rešenja kvadratne jednačine 02 =++ cbxax ako i samo ako je
abxx −=+ 21 i
acxx =⋅ 21
Ove dve jednakosti zovu se Vietove formule. Čemu one služe? Osnovna primena da nam pomognu da kada imamo rešenja 1x i 2x napravimo kvadratnu jednačinu: 0)( 2121
2 =⋅++− xxxxxx ili bi možda bilo preciznije
[ ] 0)( 2121
2 =⋅++− xxxxxxa najčešće se ovde uzima 1=a , pa je to formula Primer 1: Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja: a) 2,3 21 −== xx b) Jedno rešenje je ix 211 += a) ,31 =x 22 −=x
6)2(31)2(3
21
21
−=−⋅=⋅+=−+=+
xxxx
Formula je 0)(6
21
1
212 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅++−−32143421xxxxxxa
Pa je [ ] 062 =−− xxa najčešće se uzima ______
1=a ⇒ 062 =−− xx
b) ix 211 += , Nemamo drugo rešenje? Pošto znamo da su rešenja kvadratne jednačine konjugovano kompleksni brojevi to mora biti: ix 212 −=
www.matematiranje.com
2
=−=−=−⋅+=⋅
=−++=+222
21
21
41)2(1)21()21(22121
iiiixxiixx
(pošto je 12 −=i ) 541 =+= Zamenimo u formulu: 0)( 2121
2 =⋅++− xxxxxx 0522 =+− xx je tražena kvadratna jednačina Primer 2: U jednačini 0)13(2 =++− mxmmx odrediti vrednost realnog parametra m tako da važi: 521 =+ xx Rešenje: Kako je 521 =+ xx ⇒ Primer 3: Odrediti vrednost realnog parametra k tako da za 1x i 2x jednačine: 0)1(342 =−+− kxx važi 03 21 =− xx
Rešenje: 414
21 =−
−=−=+abxx
_________________21
21
034
⎭⎬⎫
=−=+
xxxx
rešimo kao sistem
__________________
21
21
034=+−
=+xx
xx
3144 122 =⇒=⇒= xxx
Kako je 2111
)1(31321 =⇒=−⇒−
=⋅⇒=⋅ kkkacxx
www.matematiranje.com
mcmb
ma
=+−=
=)13(
mm
mmxx
abxx
13)13(21
21
+=
+−−=+
−=+
21
12153
513
513
=
−=−−=−
=+
=+
m
mmm
mmm
m
)1(34
1
−=−=
=
kcba
3
Primer 4: U jednačini 0)1(2 =++− mxmx odrediti realan broj m tako da njena rešenja zadovoljavaju jednakost 102
221 =+ xx
Rešenje: Ovaj izraz 2
221 xx + → se često javlja u zadacima. Da ga izvedemo kao formulicu pa ćemo
je gotovu upotrebljavati u drugim zadacima. Krenimo od poznate formule za kvadrat binoma: 2
22121
221 2)( xxxxxx ++=+
Odavde je: 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x+ = + − ZAPAMTI!!! Vratimo se u zadatak: 102)(10 21
221
22
21 =−+⇒=+ xxxxxx
33
9
9110
10212102)1(
2
1
2
2
2
2
−==±=
=
−=
=−++
=−+
mmm
mm
mmmmm
Primer 5: Odrediti koeficijente p i q kvadratne jednačine 02 =++ qpxx tako da
njena rešenja budu qxpx
==
2
1
Rešenja:
⇒ ⇒⎭⎬⎫
=⋅−=+
qqppqp
002
=−=+
qpqqp
www.matematiranje.com
mcmb
a
=+−=
=)1(
1⇒
1 2
1 2
( 1) 11
1
b mx x ma
c mx x ma
− ++ = − = − = +
+ = = =
qcpb
a
=⇒=
= 1
qacxx
ppabxx
==⋅
−=−=−=+
21
21 1
4
Iz druge jednačine sistema: 0)1(0 =−⇒=− pqqpq pa je q = 0 ili 1=p Za ⇒= 0q vratimo u prvu jednačinu: 000202 =⇒=+⇒=+ ppqp Za 202021 −=⇒=+⇒=+⇒= qqqpp Dakle ta kvadratna jednačina je:
02 =++ qpxx ⇒ 02 =x za 0=p i 0=q ⇒ 022 =−+ xx za 1=p ∧ 2−=q
Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce Kvadratni trinom po x je izraz oblika: cbxax ++2 gde su →cba ,, brojevi i 0≠a . Brojevi ba, i c su koeficijenti kvadratnog trinoma. Ako su 1x i 2x rešenja kvadratne jednačine 02 =++ cbxax onda je:
))(( 212 xxxxacbxax −−=++
Primer1: Kvadratni trinom: a) 652 ++ xx b) 222 ++ xx rastaviti na činioce. a) 0652 =++ xx najpre rešimo kvadratnu jednačinu: Formula: )2)(3()2)(3(1))(( 21 −−=−−=−− xxxxxxxxa Dakle: )2)(3(652 −−=++ xxxx www.matematiranje.com
65
1
=−=
=
cba
1242542
=−=−=
DD
acbD
23
215
2
2
1
2,1
==
±=
±−=
xx
aDbx
5
b) 0222 =++ xx ⇒ 2,2,1 === cba 484 −=−=D
)1)(1(1))(( 21 ixixxxxxa ++−+=−− Dakle: )1)(1(222 ixixxx ++−+=++
Primer 2: Skratiti razlomak: 12712823
2
2
−−−+
xxxx
Rešenje: Uzećemo posebno imenilac , posebno brojilac i rastaviti ih na činioce.
0823 2 =−+ xx
Dakle: )2)(34(3))((823 21
2 +−=−−=−+ xxxxxxaxx
012712 2 =−− xx
Dakle: 21 2
4 312 7 12 ( )( ) 12( )( )3 4
x x a x x x x x x− − = − − = − +
Vratimo se sad u razlomak www.matematiranje.com
ixix
iix
−−=+−=
±−=
±−=
11
2)1(2
222
2
1
2,1
823
−===
cba 2 4
4 4 3 84 96100
D b acDDD
= −= + ⋅ ⋅= +=
26
10234
68
6102
6102
2
2
1
2,1
2,1
−=−−
=
==+−
=
±−=
±−=
x
x
x
aDbx
127
12
−=−=
=
cba 2 4
4 4 3 ( 12)49 576625
D b acDDD
= −= − ⋅ ⋅ −= +=
1,2
1,2
1
2
27 25
247 25 32 4
24 24 37 25 18 3
24 24 4
b Dxa
x
x
x
− ±=
±=
+= = =
−= = − = −
6
2
2
33 2 8
12 7 12x xx x+ −
=− −
4( )3
x − ( 2)
12
x +
4( )3
x −
233 4( )( ) 44
x
xx
+=
++
Naravno uz uslov
34
034
≠
≠−
x
x i
43
043
−≠
≠+
x
x
Primer 3: Skratiti razlomak: 32
12
3
−−+xx
x
Rešenje: 0322 =−− xx Dakle: )1)(3())1()(3(1())((32 21
2 +−=−−−=++=−− xxxxxxxxaxx
→+13x ćemo rastaviti po formuli: 3 3 2 2( )( )A B A B A AB B+ = + − + VIDI POLINOMI
pa je: )1)(1(1 23 +−+=+ xxxx Vratimo se u razlomak:
3
2
( 1)12 3
xxx x
++=
− −
2( 1)( 3) ( 1)
x xx x
− +
− +
2 13
x xx− +
=−
naravno uz uslov 3
03≠
≠−xx
i 1
01−≠≠+
xx
U nekim zadacima nam traže da rešenja budu pozitivna (ili negativna). Pokažimo koji su to uslovi: 1) Rešenja 1x i 2x kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:
realna i pozitivna ⇔ ,0≥D 0,0 ><ac
ab www.matematiranje.com
32
1
−=−=
=
cba
16124
42
=+=−=
DD
acbD
13
2422
2
1
2,1
2,1
−==
±=
±−=
xx
x
aDbx
7
2) Rešenja 1x i 2x kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:
realna i negativna ⇔ ,0≥D 0,0 >>ac
ab
Ova razmišljanja (teoreme) proizilaze iz Vietovih pravila: → Da bi rešenja bila realna je 0≥D
→ abxx −=+ 21 i
acxx =⋅ 21
1) 1x i 2x pozitivna ⇒ 2) 1x i 2x negativna ⇒ (minus puta minus je plus) Primer: Odrediti parameter m tako da rešenja jednačine 01232 =−+− mxx budu pozitivna. Rešenja: Iz 01232 =−+− mxx vidimo da je
0≥D , 0<ab , 0>
ac
mDmD
mDacbD
813489
)12(14)3(4
2
2
−=+−=
−⋅⋅−−=
−=
0≥D ⇒ ( Pazi: znak se okreće)
⇒<−
⇒< 0130
ab Zadovoljeno!!!
01
120 <−
⇒>m
ac
2112
012
<
<<−
m
mm
⎥⎦⎤
⎜⎝⎛∈
813,
21m
00
00
21
21
>⇒>⋅
<⇒>+
acxx
abxx
00
00
21
21
>⇒>⋅
>⇒<+
acxx
abxx
123
1
−=−=
=
mcba
813
1380813
≤
−≥−≥−
m
mm
www.matematiranje.com
NEKE VAŽNE NEJEDNAKOSTI:
1) za sve 02 ≥x Rx∈ Kvadrat nekog izraza je uvek pozitivan ili jednak nuli (za x=0) Primeri: → za 0)2(44 22 ≥+=++ xxx Rx∈∀ → za 0)1(12 22 ≤−−=−+− aaa Ra∈∀ → jer 022 ≥+− yxyx
43
24222
222
222
222 y⎛
Izvršili smo dopunu od ''punog kvadrata'' pa je 02
2
≥⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
yx i 04
3 2
≥y , a onda je i
njihov zbir >0
2) zyxzyx++≥
+++2
3222
Dokaz: ⇒
yyxyyyxyyxy +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝
+−
0)1)1
0)1
2
2
2
≥
≥−
zyx
x
(
zyxzyxzyxzyx
zyxzyxzzyyxx
zyx
++≥+++
++≥+++
++≥+++
≥+−++−++−
≥−+−+−
23
)(232223
01212120)1()1()1(
222
222
222
222
222
0( ≥−
( −
3) Dokazati da za ⇒ 0>∀a 221≥+a
Dokaz:
0120)1(
2
2
≥+−
≥−
aaa
aaa :/212 ≥+ (podelimo sa a )
21≥+
aa
1
www.matematiranje.com
4) Dokazati da za i 0≥∀x 0≥∀y
2yxxy +
≤
(geometrijska sredina < aritmetička sredina)
Dokaz: Podjimo od ( )
xyyxxyyx
yxyx
yyxx
yx
≥+
=+
≥+−
≥+−
≥+
2
2:/2
02
02
022
2
Naravno jednakost važi ako je yx = 5) Dokazati da je: koji su nenegativni: zyx ,,∀
3
3333 cbaxyz ++
≤
Dokaz: Uvodimo najpre smene:
3
3
3
czbyax
=
=
= Treba onda dokazati:
3
3333 cbaxyz ++
≤
033
333
333
≥−++
++≤
abccbacbaabc
Kako je (proveri množenjem)
))((3 222333 acbcabcbacbaabccba −−−++++=−++
odavde je sigurno 0≥++ cba [ ] 0)()( −+−+− acb
)(21 222222 ≥=−−−++ cbaacbcabcba
2
www.matematiranje.com
Dakle proizvod dva takva izraza je >0 pa je zaista: 3
333 cbaabc ++≤
Odnosno
33 zyxxyz ++
≤ Pazi: Znak = je ako je zy == x
3
1
LINEARNA FUNKCIJA I NJEN GRAFIK Neka su dati skupovi A i B. Ako svaki elemenat Ax∈ odgovara tačno jedan elemenat
By∈ , kažemo da se skup A preslikava u skup B. Takvo preslikavanje nazivamo funkcijom. Zapisujemo:
BAf →: ili )(xfy =
Domen Kodomen Najpoznatiji oblik linearne funkcije je: nkxy += (eksplicitni) Grafik ove funkcije je prava. K- je koeficijenat pravca, odnosno αtgk = gde je α - ugao koji prava gradi sa pozitivnim smerom x-ose, n - je odsečak na y-osi
Pošto je prava odredjena sa dve svoje tačke, grafik ucrtamo tako što u malu tablicu uzmemo 2 proizvoljne vrednosti za x, pa izračunamo y ili još bolje, 0=x i 0=y , pa nadjemo nepoznate: 22 += xy Za
Zaz za x=0
2202 =+⋅=y 1022
−==+
xx
0=y
2
PAZI: Ako je funkcija samo kxy = (bez n) onda grafik prolazi kroz kordinatni početak i moramo uzimati dve različite vrednosti za x. Primer: xy 2−= x = 0 pa je y = 0 x = 1 pa je y = -2
Kako nacrtati grafike 2=x ili ?3−=y Važno je zapamtiti: → 0=y je x-osa → 0=x je y-osa → ax = , grafik je paralelan sa y-osom i prolazi kroz a → by = , grafik je paralelan sa x-osom i prolazi kroz b
3
Dakle: 2=x 3−=y Nula Funkcije: je mesto gde grafik seče x-osu a dobija se kad stavimo 0=y pa
izračunamo koliko je x. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
knx Funkcija može biti rastuća ili opadajuća. Ako je k>0
funkcija je rastuća i sa pozitivnim smerom x-ose gradi oštar ugao, a ako je k<0 funkcija je opadajuća i sa pozitivnim smerom x-ose gradi tup ugao. Znak funkcije: Funkcija je pozitivna za y>0 tj. 0>+ nkx i grafik je iznad x-ose. Funkcija je negativna za y<0 tj. 0<+ nkx i grafik je ispod x-ose
4
Rastuća Opadajuća
0=y za nkx −= 0=y za
nkx −=
0>y za ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞−∈ ,
nkx 0>y za ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∞−∈
nkx ,
0<y za ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −∞−∈
nkx , 0<y za ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ∞−∈ ,
nkx
Ako se u zadatku kaže da grafik prolazi kroz neku tačku ),( 00 yx onda koordinate te tačke smemo da zamenimo umesto x i y u datoj jednačini nkxy += Dakle: nkxy += 00 Dva grafika 11 nkxy += i 22 nkxy += će biti paralelna ako je 21 kk = , a normalna ako je 121 −=⋅kk . Dakle: - uslov paralelnosti je 21 kk = - uslov normalnosti je 121 −=⋅kk Da nas ne zbuni: Prava može biti zadata i u drugim oblicima:
0=++ cbyax ili 1=+yb
xa
Mi ovde izrazimo y (ipsilon) i ‘’pročitamo’’ k i n :
5
bcx
bay
caxbycbyax
−−=
−−==++ 0
pa je: ,bak −=
bcn −=
______________________
bxaby
aabbxayabaybx
abby
ax
+−=
+−==+
⋅=+
:/
/1
pa je: ,bak −= bn =
1) Proučiti promene i grafički prikaži funkcije:
a) 121
−= xy b) 42 +−= xy
_________________________________________________
a) 121
−= xy za 0=x ⇒ 110 −=−=y
za 0=y ⇒ 0121
=−x ⇒ 2=x
1. Oblast definisanosti: Rx∈ 2. Nula finkcija: 2=x 3. Znak: 0>y za ),2( ∞∈x 0<y za )2,(−∞∈x
4. Monotonost: Funkcija je rastuća jer je 021>=k
6
b) 42 +−= xy za 0=x ⇒ 440 =+=y za 0=y ⇒ 042 =+− x ⇒ 2=x
1. Oblast definisanosti: Rx∈ 2. Nula funkcije: 2=x 3. Znak: 0>y za )2,(−∞∈x 0<y za ),2( ∞∈x 4.Monotonost: funkcija je opadajuća jer 02 <−=k
5) U skupu finkcija y=(a-4)x-(3a-10). (a realan parametar), odrediti parametar a tako da tačka M(1,2) pripada grafiku funkcije. Za nadjenu vrednost parametra a ispitati funkciju i skicirati njen grafik. M(1,2) tačka pripada grafiku pa njene koordinate Stavljamo umesto x i y. 1=x i 2=y
242
262622
10342)103(1)4(2)103()4(
==
−=+−=
+−−=−−⋅−=−−−=
aaa
aaa
aaaxay
42)4(2
)1023()42(
+−=−−−=
−⋅−−=
xyxy
xy 42 +−= xy
7
6) U skupu funkcija 32)2()( +−−= axaxf , odrediti parameter a tako da grafik funkcije odseca na y-osi odsečak dužine 5. 32)2()( +−−= axaxf nkxy += Pošto je n -odsečak na y-osi, a ovde je 32 +−= an , to mora biti:
122
352532
−==−
−=−=+−
aaaa
7) Date su familije funkcija 7)52( +−= xmy i 3)10( −−= xmy Za koje su vrednosti parametra m grafici ovih funkcija paralelni? 7)52( +−= xmy ⇒ 52 −= mk 3)10( −−= xmy ⇒ mk −= 10 uslov paralelnosti je da imaju iste k. Dakle:
53
15153
51021052
=
=
=+=+−=−
m
m
mmm
mm
8) Nacrtati grafik funkcije
1−= xy Najpre definišemo apsolutnu vrednost:
⎩⎨⎧
<−≥
=0,
0,xx
xxx
Dakle,treba nacrtati dva grafika
8
1−= xy 1−= xy 1−−= xy za 0≥x za 0<x
Kako grafik važi samo za 0≥x njegov deo (isprekidano) za 0<x nam ne treba. Kako grafik 1−−= xy važi za 0<x i njegov isprekidani deo nam ne treba. 9) Dat je skup funkcija y=(4m)x-(3m-2), (m realan broj) a) Odrediti m tako da funkcija ima nula x=2 b) Za nadjenu vrednost m ispitati promene i konstruisati grafik funkcije. y=(4m-6)x-(3m-2) a) 2=x za 0=y ⇒
20105
0231280)23(2)64(
==−
=+−−=−−⋅−
mm
mmmm
1−−= xy 1−= xy
1−= xy
9
42)223()624(
−=−⋅−−⋅=
xyxy
10) Dat je skup funkcija ),1()2( −−−= kxky gde je k realan parameter. Odrediti parametar k tako da njen grafik bude paralelan sa grafikom funkcije
62 −= xy . Za dobijenu vrednost k, ispisati funkciju i konstruisati njen grafik.
62)1()2(
−=−−−=
xykxky
422
==−
kk
32)14()24(
−=−−−=
xyxy
1
LINEARNE NEJEDNAČINE
Linearne nejednačine rešavamo slično kao i jednačine (vidi linearne jednačine) koristeći ekvivalentne transformacije. Važno je reći da se smer nejednakosti menja kada celu nejednačinu množimo (ili delimo) negativnim brojem. Primer: 2 10x Pazi: delimo sa (-2), moramo okrenuti smer nejednakosti
10
25
x
x
Naravno i ovde se može deliti da nejednačina ima rešenja, nema rešenja ili ih pak ima beskonačno mnogo (u zavisnosti u kom skupu brojeva posmatramo datu nejednačinu) 1) Reši nejednačinu: 3( 2) 9 2( 3) 8x x x → oslobodimo se zagrada
862963 xxx → nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu 3 9 2 6 8 6x x x
10 2020102
x
x
x
Uvek je ‘’problem’’ kako zapisati skup rešenja? Možemo zapisati Rx 2x a ako je potrebno to predstaviti i na brojevnoj pravoj:
2 88- ( , 2)x Pazi: Kad i uvek idu male zagrade ( ) Kod znakova < i > male zagrade i prazan kružić Kod < , > idu srednje zagrade i pun kružić Male zagrade nam govore da ti brojevi nisu u skupu rešenja, dok , govore da su i ti brojevi u rešenju.
www.matematiranje.com
2 10102
5
x
x
x
2
aax
23
2) Reši nejednačinu: 12
233
12
aa
12
233
12
aa → celu nejednačinu pomnožimo sa 6 (NZS za 3 i 2)
6269466924
6)23(3)12(2
aaaa
aa
145 a → pazi: delimo sa (-5) pa se znak okreće
542
514
a
a
U skupu R su rešenja
542,a
PAZI: Da nam npr. traže rešenja u skupu N (prirodni brojevi), onda bi to bili samo {1,2} 3) Reši nejednačinu: 32 axax
32 axax → nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu
aaxaaxx
3)2(32
Kako sad? Da li je izraz a2 pozitivan ili negativan, ili možda nula? Moramo ispisati sve 3 situacije!!!
aax 3)2(
02 a 02 a 02 a 2a 2a 2a okreće se znak 030 x
aax
23 30 x
Ovde je svaki Rx rešenje
www.matematiranje.com
3
Rešenje bi zapisali:
Za 2a
,23
aax
Za 2a Rx
Za 2a
aax
23,
4) Rešiti nejednačine: a) 0)4()1( xx b) 0)5()3( xx Kod ovog tipa nejednačina koristićemo da je:
0BA )0,0( BA v )0,0( BA 0BA )0,0( BA v )0,0( BA
Naravno iste ‘’šablone’’ koristimo i za znakove > i < a za 0BA i 0
BA
gde još vodimo računa da je 0B . a) ( 1)( 4) 0x x
)04,01( xx v )04,01( xx )4,1( xx v )4,1( xx Sada rešenja ‘’spakujemo’’ na brojevnoj pravoj!!! ),4( x )1,(x Rešenje je )1,(x ),4( www.matematiranje.com
4
5,3x
b) 0)5()3( xx
)05,03( xx v )05,03( xx )5,3( xx v )5,3( xx prazan skup Dakle, konačno rešenje je 5,3x
5) Reši nejednačinu 6 23
xx
PAZI: Da bi koristili ‘’šablon’’ na desnoj strani mora da je nula, pa ćemo zato -2 prebaciti na levu stranu!!! → sad može ‘’šablon’’
)0x-30312( x ili )0x-30312( x ( 3 12 -x< 3)x )3-x123( x )3x,4( x ili )3x,4( x (3, 4)x →konačno rešenje prazan skup 6) Rešiti nejednačinu: (po n )
5113
nn
Ovde moramo rešiti 2 nejednačine, pa ćemo ‘’upakovati’’ njihova rešenja.
03
312
03
266
03
)3(26
0236
236
xx
xxx
xxx
xxxx
5
Prva nejednačina: Ili
Dakle: 4 2 01
nn
)01n024( n ili )01n024( n
)1n21( n ili )1n
21( n
Za I deo rešenje je Druga nejednačina:
511
nn 05
11
nn 0
1551
nnn
Dakle: 01
64
nn
)01n064( n ili )01n064( n
)1n23( n ili )1n
23( n
www.matematiranje.com
131
nn
10 311 3 30
14 20
1
nnn n
nnn
1,n
,
21n
1, 1 ,2
n
6
23,n ,1n
Za II deo rešenje je
23,n ,1
‘’Upakujmo’’ sada I i II rešenje da bi dobili konačno rešenje ove dvojne nejednačine:
Rešenje prve nejednačine smo šrafirali udesno, a druge ulevo …Na taj način vidimo gde se seku, odnosno gde je konačno rešenje… Dakle, konačno rešenje je:
NAPOMENA: Umesto šablona ovde smo mogli koristiti i ‘’tablično’’ rešavanje koje je detaljno objašnjeno u delu kvadratne nejednačine.
www.matematiranje.com
3 1, ,2 2
n
1
LINEARNE JEDNAČINE
Pod linearnom jednačinom ‘’po x’’ podrazumevamo svaku jednačinu sa nepoznatom x koja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednačinu oblika:
bxa
gde su a i b dati realni brojevi. Rešenje ove jednačine je svaki realan broj 0x za koji važi:
0a x b
Ako nam posle rešavanja ostane jednačina većeg stepena (drugog, trećeg …) onda nju probama da rastavimo na činioce i koristimo: 0BA 0A 0B
0 CBA 0A 0B 0C Za svaku linearnu jednačinu važi:
a x b
a
bx ,0a 0b
ako je 0a 0 ba Nema rešenja Primer: ima beskonačno Primer mnogo rešenja Primer: Svaki broj je rešenje Deljenje sa 0 nije
dozvoljeno (za sad)
www.matematiranje.com
52
10102
x
x
x
00 x ?07
70
x
x
2
Kako rešavati jednačinu?
- Prvo se oslobodimo razlomaka (ako ih ima) tako što celu jednačinu pomnožimo sa NZS
- Onda se oslobodimo zagrada (ako ih ima) množeći ‘’svaki sa svakim’’. - Nepoznate prebacimo na jednu a poznate na drugu stranu znaka =.
(PAZI: prilikom prelaska sa jedne na drugu stranu menja se znak) - ‘’sredimo’’ obe strane (oduzmemo i saberemo) i dobijemo bxa
- Izrazimo nepoznatu a
bx
VAŽNO: Ako negde vršimo skraćivanje moramo voditi računa da taj izraz koji kratimo mora biti različit od nule. U suprotnom se može desiti apsurdna situacija.
Primer: Rešiti jednačinu: 02
x
x
Ako skratimo x xx
0 0x ?
Ne smemo skratiti jer je uslov 0x
ZADACI:
1) Reši jednačinu Nema razlomaka i zagrada tako da odmah ‘’prebacujemo’’ nepoznate na jednu a poznate na drugu stranu. 2) Reši jednačinu xxx 10)116(4)32(3 (oslobodimo se zagrada)
3(2 3 ) 4(6 11) 106 9 24 44 10
9 24 10 6 4416 48
48163
x x x
x x x
x x x
x
x
x
www.matematiranje.com
9 2 5 22 5 2 97 7
77
1
x x
x x
x
x
x
3
2) Reši jednačinu 5 2 3 6 527 2 14
y y y
14/14
562
3227
5
yyy Nadjemo NZS za 7, 2 i 14; to je 14. Celu jednačinu
)56(1)32(728)5(2 yyy pomnožimo sa 14. 2 10 28 14 21 6 52 14 6 21 5 10 28
6 44446223
y y y
y y y
y
y
y
4) Reši jednačinu 132)4()3( 22 xxx 132)4()3( 22 xxx
2 2
2
( 6 9) ( 8 16) 2 13x x x x x
x
26 9x x 8 16 2 13
6 8 2 13 9 1612 6
612
12
x x
x x x
x
x
x
5) Reši jednačinu 3
12
2
xx
PAZI: Ovde odmah postavi uslove: 02 x 2x
31
22
xx 03 x 3x
Množe se unakrsno : 2( 3) 1 ( 2)2 6 22 2 6
8
x x
x x
x x
x
www.matematiranje.com
4
6) Reši jednačinu 4232
21
635
x
x
x
x Uslovi: 02 x
2x
5 1 2 3 / 6( 2)3( 2) 2 2( 2)2( 5) 3( 2) 3(2 3)2 10 3 6 6 92 3 6 6 9 10
7 25
257
x xx
x x
x x x
x x x
x x x
x
x
7) Reši jednačinu 1212
148
1212
2
x
x
xx
x
2 1 8 2 1 ....... / (2 1)(2 1)2 1 (2 1)(2 1) 2 1
x xx x
x x x x
Uslovi: 012 x 012 x 12 x 12 x
21
x 21
x
8) Reši jednačinu 215 xx
Ovd moramo najpre da definišemo apsolutnu vrednost:
0,
0,
Dakle: 5 1, za 5 1 0
5 1(5 1), za 5 1 0x x
xx x
=
),15(,15
x
x
5151
x
x
Sad rešavamo dve jednačine:
www.matematiranje.com
2 2
2 2
2 2
(2 1) 8 (2 1)4 4 1 8 4 4 14 4 4 4 1 1 8
8 8
1
x x
x x x x
x x x x
x x
x
5
99
3422324
2)32()4(
x
x
x
xx
xx
Uslov 51
x Uslov51
x
(5 1) 25 1 24 2 14 1
14
x x
x x
x
x
x
Ovo rešenje je ''dobro'' jer je51
21 I ovo je ‘’dobro’’ jer je
51
41
9) Reši jednačinu 2324 xx Najpre definišemo obe apsolutne vrednosti:
),4(
,44
x
xx
0404
x
x=
).4(,4
x
x
44
x
x
II
I
Uslov
Uslov
),32(
,3232
x
xx
032032
x
x=
),32(,32
x
x
2323
x
x
IV
III
Uslov
Uslov
Zadatak ćemo podeliti na 4 dela u zavisnosti od uslova: i) I i III uslov:
4x i 23
x
,4x Nije ''dobro'' rešenje jer ne zadovoljava ,4x ii) I i IV uslov
,4x 23
x
Ovde nema rešenja x
5 1 26 2 16 3
3612
x x
x
x
x
x
6
3113
43232324
2)32()4(
x
x
x
xx
xx
5342
23242)32()4(
x
x
xx
xx
iii) II i III uslov
4x i 23
x
4,
23
x
Dobro je rešenje 1 3 ,43 2
iv) II i IV uslov
,4x i 23
x
23,x
‘’Dobro’’ rešenje, jer
23,5
Zaključak: rešenja su 113
x i 2 5x
10) Rešiti i diskotuvati jednačinu u zavisnosti od parametra a) 3 1 5mx m x sve ‘’sa x’’ prebacujemo na jednu stranu, sve što nema x na drugu
mxmx 315 Izvučemo x kao zajednički ispred zagrade
mmx 31)5( 1 3
5m
xm
www.matematiranje.com
7
Diskusija:
Za 5m 0
531 x nemoguća, nema rešenja
Za 5m 5
31
m
mx jednačina ima rešenja I to beskonačno mnogo jer Rm
b) 2 4 8 7 5ax a a x Diskusija:
Za 052 a 25
a Jednačina nemoguća
Za 052 a 52
a jednačina ima mnogo rešenja
Jednačine imaju veliku primenu u rešavanju takozvanih ‘’problemskih’’ zadataka. Važno je dobro proučiti tekst, ako treba skicirati problem i naći vezu izmedju podataka. 11) Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko će godina otac biti dva puta stariji od sina? Obeležimo sa X-broj godina koji treba da prodje. Otac → 43 godine Sin → 18 godina Kako godine teku i za oca i za sina, to je: Otac → 43+X Sin → 18+X U zadatku se kaže da će otac biti dva puta stariji od sina: 2 (18 ) 4336 2 432 43 36
7
x x
x x
x x
x
2 5 8 7 4(2 5) 9 3
9 32 5
ax x a a
x a a
ax
a
8
Proverimo: Kroz 7 godina otac će imati 43+7=50 godina, a sin 18+7=25 godina, pa je otac zaista dva puta stariji od sina.
12) Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka 52
da bi smo dobili
razlomak 75
?
75
52
x
x Množimo unakrsno
7(2 ) 5(5 )14 7 25 57 5 25 142 11
112
x x
x x
x x
x
x
13)
Učenik je prvog dana pročitao 41
knjige, drugog dana 32
od ostatka knjige,a trećeg dana
poslednjih 40 stranica. Koliko ima stranica ta knjiga? Obeležimo sa x-broj stranica knjige.
x41 I Dan 2 3
3 4x II Dan 40 str.→ III dan
1 24 3
x 3
404
1 2 404 43 404
3 404
1 404
160
x x
x x x
x x
x x
x
x
Knjiga ima 160 strana. www.matematiranje.com
9
14) Jedan radnik može da završi posao za 9, a drugi za 12 dana. Ako se njima pridruži treći radnik, oni će taj poso završiti za 4 dana. Za koje bi vreme treci radnik sam završio posao? Neka je x-vreme za koje treći radnik završi posao. Kako razmišljamo?
Ako prvi radnik sam završi posao za 9 dana onda će za 1 dan odraditi 91 posla.
Slično će drugi radnik za 1 dan odraditi 121 posla, a treći
x
1 deo posla.
Znači da oni zajedno za 1 dan odrade x
1121
91
deo posla, Kako rade 4 dana, to je:
1 1 1 4 19 12
4 4 4 1 ........ / 369 1216 12 144 3628 36 144
8 144
18
x
xx
x x x
x x
x
x
Dakle, treći radnik bi sam završio posao za 18 dana.
www.matematiranje.com
1
31224)(
7643)(
23
23
++−=
−+−=
xxxxQ
xxxxP
POLINOMI SA JEDNOM PROMENLJIVOM
Oblika su:
1
1 1 0( ) ...n n
n nP x a x a x a x a−
−= + + + +
Ovaj oblik se dobija ''sredjivanjem” polinoma (sabiranjem, oduzimanje...) i naziva se
kanonički, x-je promenljiva 1 0, ,...,n na a a−
su koeficijenti (konstante), n je prirodan broj
ili nula.
Ako je 0≠na , onda kažemo da je polinom P stepena n , pa je na ‘’najstariji’’
koeficijenat.
Primer: 7264)( 23+−+= xxxxP
- ovaj polinom je stepena 3 a najstariji koeficijenat je 4.
- zanimljivo je da se član bez x-sa, takozvani slobodni član dobija kad umesto x stavimo
0, tj. 3 2(0) 4 0 6 0 2 0 7 7P = ⋅ + ⋅ − ⋅ + = → 7)0( =P , ili za
polinom 1
1 1 0( ) ...n n
n nP x a x a x a x a−
−= + + + + → 0)0( aP =
- takodje ako umesto x stavimo 1 imamo 01 ...)1( aaaP nn +++=−
SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA: Primer:
)31224()7643()()( 2323++−+−+−=+ xxxxxxxQxP
312247643 2323++−+−+−=
−−−−−−−−−−−−
xxxxxx
=krenemo sa sabiranjem članova sa najvećim stepenom pa dok ne
dodjemo do ‘’slobodnih članova’’, to jest onih bez x-sa
3 27 6 18 4x x x= − + −
)31224()7643()()( 2323++−−−+−=− xxxxxxxQxP
=pazi: Minus ispred zagrade menja znak svim članovima u zagradi 312247643 2323
−−+−−+−=−−−−−−−−−−−−
xxxxxx
3 22 6 10x x x= − − − −
Najbolje je da podvlačite slične monome kako se ne bi desila greška u sabiranju
(oduzimanju) www.matematiranje.com
2
74)(
32)(
2−+=
−=
xxxQ
xxP
MNOŽENJE POLINOMA
Primer 1. Pomnožiti sledeće polinome:
Rešenje: )74()32()()( 2
−+⋅−=⋅ xxxxQxP
Kako množiti?
Množi se ‘’svaki sa svakim’’. Najbolje je da prvo odredimo znak ,( +=+⋅+ ,+=⋅−− ,−=⋅−+ )−=⋅+− , onda pomnožimo brojke i na kraju nepoznate.
Naravno da je 2xxx =⋅ , 32 xxx =⋅ , 422 xxx =⋅ , itd. (ovde koristimo pravila iz
stepenovanja: nmnm xxx +=⋅ )
Vratimo se na zadatak:
=−+⋅− )74()32( 2 xxx
=+−−−+−−−−−−−−−−−
211231482 223 xxxxx sad saberemo( oduzmemo) slične monome
212652 23+−+= xxx
Primer 2. Pomnožiti sledeće polinome:
152)(
74)(
2
2
++=
−+−=
xxxB
xxxA
Rešenje:
)152()74()()( 22++⋅−+−=⋅ xxxxxBxA
4 3 2 3 2 22 5 8 20 4 14 35 7x x x x x x x x= − − − + + + − − −
4 3 22 3 5 31 7x x x x= − + + − −
www.matematiranje.com
3
______________
)(
2
)(
2
42
12)2(:)652(
xx
xxxx
+−−
−=−+−
__________
2
6
−++−
+−
x
x
2
412
2
652 2
−+−=
−
+−
xx
x
xx
xx
x2
2 2
=
1−=−
x
x
DELJENJE POLINOMA
Podsetimo se najpre deljenja brojeva.
Primer: 248423:57146 =
______
46−
111
______
92−
194
_______
184−
106
_____
92−
4 - ostatak
Možemo zapisati: 23
42848
23
57146+=
deljenik ostatak
rešenjedelilac delilac
= +
Probajmo sad sa polinomima:
Primer 1:
POSTUPAK
→ Podelimo ‘’prvi sa prvim’’
i upišemo 2x u rešenju
→ 2x pomnožimo sa deliocem i potpišemo
ispod 2x²-5x
→ promenimo znake (ono u zagradi)
→4 Ostatak → prvi se uvek skrate a druge saberemo
-5x+4x=-x
Dakle: → dopišemo +6
→ opet delimo ‘’prvi sa prvim’’
→ množimo sa deliocem
→ promenimo znake i saberemo
www.matematiranje.com
4
5)1(:)542( 223−+=++−+ xxxxxx
_____________
2
)(
3
)( xx−
−+
10
___________
)()(55
55
++
−−
+−
x
x
1
105
1
542 223
++−+=
+
+−+
xxx
x
xxx
____________
)(
2
)(
2 4
xx
xx
−−
+
−
23
xx
x=
2x2x
23 2xx +23 2xx +
2222 xxx =−
xx
x=
2
55
−=−
x
x
Primer 2: POSTUPAK → Podelimo ‘’prvi sa prvim’’
upišemo u rešenje
→ pomnožimo sa deliocem i potpišemo
ispod
→ promenimo znake kod
→ prvi se uvek ‘’skrate’’, a
→ spustimo - 4x → opet ‘’prvi u prvom’’ → x množimo sa deliocem → menjamo znake kod x²+x → prvi se skrate a -4x-x=-5x → spuštamo +5 Dakle: → → -5·(x+1)=-5x-5 → promenimo znake i prvi se skrate
→ 5+5=10
Primer 3:
155)32(:)523( 22234+−=−+−++− xxxxxxxx
______________________
2
)(
3
)(
4 32 xxx+−
−−+
3 2
3 2
( ) ( ) ( )
___________________________
5 5
5 10 15
x x x
x x x+ + −
− + +
− − +
__________________________
)()(
2
)(
2
453015
51415
+−−
−+
−−
xx
xx
→+− 4044x ostatak
4 3 2
2
2 2
3 2 5 44 405 15
2 3 2 3
x x x x xx x
x x x x
− + + − − += − + +
+ − + −
www.matematiranje.com
5
_____________
3
)(
4
)( xx+
−−
⇒−=
−+−=
−⋅+⋅−=
−+−=
7)2(
712208)2(
726252)2(
765)(
23
23
P
P
P
xxxxP
Primer 4:
1)1(:)1( 234+++=−− xxxxx PAZI:
Kad skratimo ‘’prve’’ a drugi nisu istog
stepena prepišemo ih, prvo onaj sa većim
pa sa manjim stepenom, to jest: +x³-1
Nema ostatka
Dakle: 11
1 234
+++=−
−xxx
x
x
U nekim zadacima interesovaće nas samo ostatak koji se dobija deljenjem dvaju
polinoma a ne i količnik. Tu nam pomaže Bezuova teorema: Ostatak pri deljenju polinoma P(x) sa (x-a) jednak je P(a), to jest vrednosti polinoma P(x) u tački x = a. Ako je P(a)=0, deljenje je bez ostatka.
Primer1: Nadji ostatak pri deljenju polinoma 765 23−+− xxx sa 2−x
Najpre rešimo x-2=0, pa je x = 2
onda uporedjujemo x-a i x-2→ a=2
Sada je
Ostatak je -7
www.matematiranje.com
_____________
2
)(
3
)(
3 1
xx
x
+−
−+
−+
12−x
____________
)(
2
)(
xx+
−
−
1−x
_________
)()(
1+
−
−x
6
6116)( 23−+−= xxxxP
0)1(
61161)1(
6111161)( 23
=
−+−=
−⋅+⋅−=
P
P
xP
0)( =aP
_______________
)(
2
)(
2
55
115
xx
xx
−+
+−
+−
____________
)()(
66
66
+−
−
−
x
x
)3)(2(
)2(3)2(
−−=
−−−=
xx
xxx
Primer2: Nadji ostatak pri deljenju polinoma 652 3+− xx sa 1+x
Pazi , ovde je a = -1, jer je x+1=0
x = -1
Ostatak je 13
Još jedna izuzetna primena Bezueve teoreme je kod rastavljanja polinoma na činioce. Mi
smo do sada naučili da faktorišemo polinome drugog stepena. Za polinome trećeg i
četvrtog stepena postoje algoritmi, ali su suviše teški, dok za polinome petog i većeg
stepena ne postoji univerzalan način da se faktorišu, odnosno reše.
Kako nam to pomaže Bezuova teorema?
Primer1: Dat je polinom Izvrši njegovu faktorizaciju.
POSTUPAK za x=1 → uočimo ‘’slobodan’’ član, to jest onaj bez x-sa.
ovde je to 6. → on se može podeliti: +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6
→redom zamenjujemo ove brojeve dok ne
dobijemo da je
→ našli smo da je a=1
→ podelimo polinom sa )1()( −=− xax
65)1(:)6116( 223+−=−−+− xxxxxx
_____________
2
)(
3
)(
xx+
−
−
Nema ostatka
Ovim smo smanjili stepen polinoma i sad već 652+− xx znamo da rastavljamo
63265 22+−−=+− xxxxx
⇒=−
++=−
+−⋅−−⋅=−
+−=
13)1(
652)1(
6)1(5)1(2)1(
652)(
2
2
P
P
P
xxxP
6116)( 23−+−= xxxxP
7
04)1(
4432141412121)1( 234
≠=
++−−=+⋅+⋅−⋅−=
P
P
044321)1(
4)1(4)1(2)1(2)1()1( 234
=+−−+=−
+−⋅+−⋅−−⋅−−=−
P
P
_______________
2
)(
3
)(
23
33
33
xx
xx
++
−−
−−
____________
)()(
44
44
−−
+
+
x
x
______________
)()(
2
44
44
xx
x
++
−−
+−
Dakle: 3 26 11 6 ( 1)( 2)( 3)x x x x x x− + − = − − −
Primer 2:
Izvršiti faktorizaciju polinoma: 4 3 2( ) 2 2 4 4P x x x x x= − − + +
Posmatrajmo broj 4 (slobodan član). Pošto njega možemo podeliti sa
+1, -1, +2, -2,+4, -4, redom menjamo u polinom dok ne bude P(a)=0
Za x = 1
Idemo dalje:
Za x = -1
Dakle, delimo sa 1)1( +=−− xx
43)1(:)4432( 23234+−=+++−− xxxxxxx
_____________
3
)(
4
)(
xx−
−
+
Dalje gledamo 43)( 23
1 +−= xxxP
Za x=-1 04314)1(3)1()1( 23
1 =+−−=+−−−=−P
Opet delimo sa (x+1)
44)1(:)43( 223+−=++− xxxxx
____________
2
)(
3
)(
xx−
−
+
22 )2(44 −=+− xxx
8
Konačno rešenje je: )44)(1)(1(4432 2234+−++=++−− xxxxxxxx
22 )2()1( −+= xx
Primer 3:
Odrediti realan parametar m tako da polinom 5 3 2( ) 3 2 8P x x mx x x= + + − + bude deljiv
sa x + 2.
Rešenje:
Iz x+2 = 0 je x = -2 , pa je a = -2
5 3 2
5 3 2
( ) 3 2 8
( 2) ( 2) ( 2) 3( 2) 2( 2) 8
( 2) 32 8 12 4 8
( 2) 8 8
( 2) 0 jer u zadatku kaže da je P(x) deljiv sa -2
8 8 0
1
P x x mx x x
P m
P m
P m
P
m
m
= + + − +
− = − + − + − − − +
− = − − + + +
− = − −
− =
− − =
= −
Primer 4:
Odrediti realne vrednosti parametara a i b tako da polinom 3 2( ) 5 4P x ax bx x= − − + pri deljenju sa 1x + daje ostatak 6, a pri deljenju sa 1x − daje ostatak 2. Rešenje:
Kako pri deljenju sa 1x + daje ostatak 6, to je ( 1) 6P − =
3 2
3 2
( ) 5 4
( 1) ( 1) ( 1) 5( 1) 4
( 1) 9
9 6
3
3
P x ax bx x
P a b
P a b
a b
a b
a b
= − − +
− = − − − − − +
− = − − +
− − + =
− − = −
+ =
www.matematiranje.com
9
Kako pri deljenju sa 1x − daje ostatak 2, to je (1) 2P =
3 2
3 2
( ) 5 4
(1) 1 1 5 1 4
(1) 1
1 2
3
P x ax bx x
P a b
P a b
a b
a b
= − − +
= ⋅ − ⋅ − ⋅ +
= − −
− − =
− =
Dalje oformimo sistem jednačina:
3
3
a b
a b
a b
+ =
− =
+ 3
a b
=
− 3
2 6 3 0
Rešenja su 3, 0
a a b
a b
=
= → = → =
= =
www.matematiranje.com
1
)(555 baba )2(242 baba
)1(2 aaaa)2(7714 223 ababbaab
Transformacije algebarskih izraza
Kako dati izraz rastaviti na činioce? Prati sledeći postupak: 1) Izvuči zajednički iz svih ispred zagrade, naravno, ako ima ( distrubutivni
zakon ) 2) Gledamo da li je neka formula:
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3
( )( ) RAZLIKA KVADRATA2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lakše 2 ( )2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lakše 2 ( )
A B A B A B
I I II II I II A AB B A B
I I II II I II A AB B A B
A B
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
( )( ) RAZLIKA KUBOVA( )( ) ZBIR KUBOVA
( ) 3 3 KUB ZBIRA( ) 3 3 KUB RAZLIKE
A B A AB B
A B A B A AB B
A B A A B AB B
A B A A B AB B
3) Ako neće ništa od ove dve stavke, ‘’sklapamo’’ 2 po 2, 3 po 3. itd.
PRIMERI
Izvlačenje zajedničkog ispred zagrade: 1) 2) PAZI: Kad vidimo da ništa ne ostaje pišemo 1. 3) 4)
bbba 27 baa 7 Ako nije jasno šta treba izvući ispred zagrade, možemo svaki član rastaviti:
bbbaab
2714 3 i
baaba 77 2
Zaokružimo (podvučemo) iste i izvučemo ispred zagrade a one koje su ostali stavimo u zagradu!!! 5)
)12(33233363 22
yxxyyxyyxyxx
xyxyyx
WWW.MATEMATIRANJE.COM
2
6) 333223 91518 bababa
bbbaaabbbaabbaaa 333536
)356(3 22 abbaba Naravno, možemo razmišljati i ovako: Za 18, 15 i 9 zajednički je 3 Za 3a , 2a i 3a zajednički je 2a i Za 2b , 3b i 3b zajednički je 2b Dakle, ispred zagrade je 2 23a b . 7) )1(11 aaaaaaa xxxxx 8) )1(11 mmm aaaaaaa 9) aaaa xxxxx 124124 22 )3(4 2 xxa 10) 132132 16121612 xxxxxx nnnn )43(4 2 xxxx nn )43(4 21 nn xx U zadacima 7, 8, 9 i 10 smo koristili pravila za stepenovanje.!!!
UPOTREBA FORMULA:
2 2 ( ) ( )A B A B A B
1) )2)(2(24 222 xxxx 2) )3)(3(39 222 aaaa 3) )1)(1(11 222 xxxx 4) )12)(12(12144 222 yyyy 5) )32)(32(3)2(3294 22222 xxxxx Pazi: Da bi upotrebili formulu za razliku kvadrata ‘’SVAKI’’ član mora da je na kvadrat. 6) )45)(45()4()5(451625 22222222 yxyxyxyxyx
7) 2 2
2 2 2 22 2
1 9 1 3 1 3 1 316 25 4 5 4 5 4 5
x y x y x y x y
8) ))(()()( 2222222244 yxyxyxyx ))()(( 22 yxyxyx www.matematiranje.com
3
xxAB
BB
xAxA
84224162
22
22 )4(168 xxx
xxAB
BB
xAxA
105225252
22
Dakle: 4 4 2 2( )( )( )x y x y x y x y ZAPAMTI!!!
9) 4444 12116 aa 44 1)2( a , ako iskoristimo prethodni rezultat: xa 2 i y1
)14)(12)(12()1)2)((12)(12(
2
22
aaa
aaa
2 2 22 ( )A AB B A B i 2 2 22 ( )A AB B A B
1) 1682 xx Gledamo prvi i treći član jer nam oni daju 2A i 2B , a onaj u sredini proveravamo da li je BA 2 Kako je Pa je 2) 22 )5(2510 xxx jer je ↑ ↑ 2A 2B Proveri da li je 2AB 3) 22 )8(1664 yyy 4) 222 )2(44 bababa 5) 222 )3(96 bababa 6) 2 2 24 20 25 (2 5 )x xy y x y 7) 2 20, 25 0,1 0,01 (0,5 0,1 )a a a jer je
aBaB
AA
1,001,05,025,0
22
2
8) 222 )22,0(48,004,0 bababa
3 3 2 2( ) ( )A B A B A AB B
Najpre se podsetimo da je: 311 , 328 , 3327 , 3464 , 35125 , 36216 , 37343 1) 83x da bi mogli da upotrebimo formulu oba člana moraja biti ‘’na treći’’
333 28 xx Znači x-je A, 2 je B pa zamenjujemo u formulu: )42)(2()22)(2(28 222333 xxxxxxxx www.matematiranje.com
4
)198)(1()46296)(1(
22)3()3()23(
2
2
22
aaa
aaaa
aaa
2) )366)(6()66)(6(6216 222333 xxxxxxxx 3) )416)(4()44)(4(464 222333 yyyyyyyy 4) 333333 1)5(151125 xxx Pazi ovde se najčešće napravi greska: xA 5 ,
1B 22 115)5()15( xxx )1525)(15( 2 xxx
5) 333 2)3(8)3( aa pazi: 3a A , 2 B
3 3 2 2( )( )A B A B A AB B 1) 3 3 3 3 2 2 2343 7 ( 7)( 7 7 ) ( 7)( 7 49)x x x x x x x x 2) 3 3 3 2 2 264 1 (4 ) 1 (4 1) (4 ) 4 1 1 (4 1)(16 4 1)a a a a a a a a
3) 3 3 3 3 2 2 2 227 (3 ) (3 ) (3 ) 3 (3 )(9 3 )x y x y x y x x y y x y x xy y
4) 2233 )2()2)(1()1()21()2()1( yyxxyxyxBA
754)1(
442212)1(44)22(12)1(
22
22
22
xyyyxxyx
yyyxxyxxyx
yyyxxyxxyx
5) ))(()()()()()( 42242222222222323266 yyxxyxyyxxyxyxyx Redje se koristi da je:
3 2 2 3 33 3 ( )A A B AB B A B 1)
33
3
Pr
2
Pr
23 6128
BoverioveriA
yxyyxx ako je 33 8xA onda xA 2 i 33 yB pa je yB
3)2( yx 2) 3223 )4(64412 yxyxyyxx jer je
yBBy
xAxA
464 33
33
3) 3 2 2 3 3125 150 60 8 (5 2 )a a b ab b a b
www.matematiranje.com
5
SKLAPANJE ‘’2 po 2’’
U situaciji kad ne možemo izvući zajednički, niti upotrebiti neku formulu, koristimo sklapanje ‘’2 po 2’’.
Primeri:
1) ayaxyx 22 izvlačimo ispred zagrade zajednički za prva dva, pa druga dva. )2)(()()(2 ayxyxayx 2) byaybxax 12896
3 (2 3 ) 4 (2 3 ) (2 3 )(3 4 )x a b y a b a b x y 3) babaa 44 2 PAZI NA ZNAK!!!
)4)(1()1()1(4 baaabaa 4) 532012 baab PAZI NA ZNAK!!!
)14)(53()53(1)53(4 abbba 5) yaybxbxa
)()( abybax Ovde moramo ‘’okrenuti’’ izraz ab da postane ba , ili pazi, kako je )( baab , moramo promeniti znak ispred y ))(()()( yxbabaybax 6) abxbax 22 = ne '' juri '' da sklopiš ''prva dva'' i ''druga dva'' možda je bolja neka druga kombinacija!!
)21()12( xbxa Slično kao u prethodnom primeru, promenimo znak ispred b, a oni u zagradi promene mesta,
))(12()12()12( baxxbxa 7) 22 8228 xybxbyyx )28)(()(2)(8 bxyyxyxbyxxy www.matematiranje.com
6
22
2
2
4)3(16)3(
7996
x
x
xx
8) 762 xx Ovo liči na kvadrat binoma ali očigledno nije. Ne možemo izvući zajednički iz svih, niti sklopiti ‘’2 po 2’’ Šta raditi? Naravno, učinici II godina srednje škole i stariji znaju da treba iskoristiti da je
))(( 212 xxxxacbxax , ali u I godini srednje škole moramo raditi ovako:
1. način: 762 xx ideja je da se srednji član napiše kao zbir ili razlika neka 2 izraza. Naravno, to možemo učiniti na veliki broj načina. Onaj prvi je kad posmatramo član bez x-sa i kako njega možemo predstaviti u obliku proizvoda. Kako je 177 to ćemo napisati umesto -6x izraz -7x+1x ili +1x-7x , svejedno. Onda sklapamo ''2 po 2'' )1)(7()7(1)7(71776 22 xxxxxxxxxx 2. način: 762 xx izvršimo dopunu do ‘’punog’’ kvadrata, što znači da moramo dodati (i oduzeti) drugi član na kvadrat.
7336 222
xx
zapamti: uvek dodaj (i oduzmi) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat. sada iskoristimo da je ovo razlika kvadrata.
)1)(7(
)43)(43(
xx
xx
Ti naravno izabereš šta ti je lakše, odnosno šta više voli tvoj profesor. Evo još par primera: 9) ?652 xx 1.način: Kako je 236 to ćemo umesto 5x pisati 3x+2x )2)(3()3(2)3(6232 xxxxxxxx
2.način: Dodajemo (i oduzmemo) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat.
Znači 22
25
25
, pa je:
www.matematiranje.com
7
)3)(2(21
25
21
25
21
25
41
25
424
425
25
22
2
2
xx
xx
x
x
x
)5)(2(23
27
23
27
23
27
49
27
440
449
27
22
2
2
xx
xx
x
x
x
625
25565
2222
xxxx
10) ?1072 xx 1.način: )2)(5()5(2)5(10252 xxxxxxxx
2.način: 1027
277107
2222
xxxx
8