polinomi, linearne jednačine i nejednačine

1

Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

Najvei zajedniki delilac i najmanji zajedniki sadralac polinoma NZD polinoma P i Q je polinom D koji ima najvei stepen medju polinomima koji su delioci i polinoma P i polinoma Q. NZS polinoma P i Q je polinom S koji ima najmanji stepen medju polinomima koji su deljivi i polinomom P i polinomom Q. Primer 1: Nadji NZS i NZD za polinome:

23)(

2)(4)(

2

2

2

+==

=

xxxRxxxQ

xxP

Prvo moramo svaki od njih rastaviti na inioce (naravno , upotrebom postupka navedenog u poglavlju : Transformacije algebarskih izraza).

)2)(1()1(2)1(2223)()1)(2()2(1)2(222)(

)2)(2(24)(

22

22

222

==+=+=+=+=+==

+===

xxxxxxxxxxxRxxxxxxxxxxxQ

xxxxxP

NZD je ustvari PRESEK, odnosno onaj koji ga ima u svakom od polinoma. Ovde je to oigledno x-2. Dakle: NZD = x-2 NZS je unija. On mora biti deljiv sa sva tri polinoma. Dakle: NZS = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1) Primer 2: Nadji NZS I NZD za polinome :

22

22

2

2 babaRbaQabaP

+===

222

22

2

)(2))((

)(

bababaRbababaQ

baaabaP

=+=+==

==

NZD = )( ba jer ga ima u sva tri NZS = + )()( 2 babaa deljiv sa sva tri

2

________________________________________________________________

22333

22

222

)24)(2()2(8)2)(2(4

)2(44

babababababababa

bababa

++=+=++=

+=++

Primer 3: Nadji NZS I NZD za polinome:

2

2

yxyBxyxA

+==

__________

)()(yxyByxxA

+==

NZS = ))(( yxyxxy + ta emo sa NZD? Nema inioca koji se sadri u A i B. U takvoj situaciji NZD = 1 , a za polinome kaemo da su uzajamno prosti. Primer 4: Nadji NZS I NZD za polinome:

________________________

2

2

2530910036

159

=+=

=+

aaaa

____________________________________________________________________

222

22

)53()25309(25309)53)(53(4)259(410036

)53(3159

=+=++==

+=+

aaaaaaaaa

aa

NZS 2)53)(53(12 += aa Primer 5: Nadji NZS I NZD za polinome: NZS )24)(2()2( 222 babababa ++= Primer 6: Nadji NZS I NZD za polinome:

__________________________________

22

234

23

)4(31232020512123

===++

=+

xnnnxxxxxxx

3

__________________________________________________________

22

2222234

2223

)2)(2(3)4(3123)2(5)44(520205

)2(3)44(312123

+==+=++=++

=+=+

xxnxnnnxxxxxxxxx

xxxxxxxx

NZS 222 )2()2(15 += xxnx Primer 7: Nadji NZS I NZD za polinome:

______________________________________________________________________

2223

2223

22244

)1)(1()1(1)1(1)1)(1()1(1)1(1

)1)(1)(1(2)1)(1(2)1(222

+=+=++++=+++=+++

++=+==

aaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaa

NZS )1)(1)(1(2 2 ++= aaa Kako upotrebiti NZS? 1) Uprosti izraz:

=++ abba

abab

baba

22 najpre treba svaki imenilac rastaviti na inioce=

=++ abba

baab

baba

)()( zatim nadjemo NZS za imenioce ,to je )( baab i izvrimo

proirenje razlomka. Kako da znamo koji sa kojim da proirimo? Gledamo imenilac i NZS, ta je viak,sa tim proirimo. Tako prvi sabirak irimo sa a , jer je viak kad gledamo )( baab i )( bab drugi sa b a trei sa )( ba . Dakle:

)(2

)(2

)()()(

)())((

222222222

baab

baabb

baabbaba

baabbababaab

bababbaa

==++=

+=

=++=

Pre poetka (ili po zavretku) rada treba postaviti uslove zadataka. Poto deljenje nulom nije dozvoljeno to nijedan u imeniocu ne sme biti nula, tj.

;0a ;0b baba 0

2) Uprosti izraz: xxxxx +++ 222

11

21

=++++=+++ )1(1

)1)(1(2

)1(11

121

222 xxxxxxxxxxxta je problem?

Izrazi )1( x+ i )1( +x nisu, jer vani komutativni zakon )( ABBA +=+ , ali izrazi

)1( x i(1-x) jesu. Taj problem emo reiti tako to jedan od ta dva izraza okrenemo i izvuemo minus ispred, jer vai da je )( ABBA =

4

0)1)(1(

0)1)(1(121

)1)(1()1(12)1(1

)1(1

)1)(1(2

)1(1

=+=+++=+

++=

=+++=

xxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

Naravno, uslovi zadatka su:

;0x ;101 xx 101 + xx 3) Uprosti izraz:

212

46

21

2 ++

+aa

aa

aa

=++

+212

46

21

2 aa

aa

aa

=+++

+212

)2)(2(6

21

aa

aaa

aa

=+++++

)2)(2()2)(12(6)2)(1(

aaaaaaa Pazi na znak ispred zagrade!!!

Uvek pokuaj da na kraju rastavi i brojilac, jer moda ima neto da se skrati!!! Uslovi zadatka su:

202202

+

aaaa

=++

)2)(2(22

aaaa

2+aa

=+++++

)2)(2(242622 22

aaaaaaaaa

=++++

)2)(2()242(6)22( 22

aaaaaaaaa

=+

)2)(2()2(

aaaa

5

4) 23

12213

1 2 +++

xxx

xx

xx =?

=+++

2312

213

1 2 xxx

xx

xx

Izdvojiemo i rastaviti na stranu

)1)(2()2(1)2(2223 22 ==+=+ xxxxxxxxxx =

++ )1)(2(

12213

1 xxx

xx

xx

=++

)2)(1()12(1)1)(13()2(

xxxxxxx Pazi na minus!!!

=+++

)2)(1(12)133(2 22

xxxxxxxx

=++++

)2)(1(121332 22

xxxxxxxx

=+

)2)(1(42 2

xxxx

12

)2)(1()2(2

=

x

xxxxx

Uslovi zadatka:

202101xxxx

5) 25

22510

12510

1222 +++++ xxxxx =?

=+++++ 252

25101

25101

222 xxxxx

22

2

22

2

22

22

22

222

22

222

22

)25(4

)5()5(4

)5()5(502502

)5()5()25(225102510

)5()5()25(2)5(1)5(1

)5)(5(2

)5(1

)5(1

=+=

=++

=++++++=+

+++=++++

xx

xxxxxxx

xxxxxxx

xxxxxxxxx

6

Uslovi zadatka: 505

505+

xxxx

Mnoenje i deljenje racionalnih algebarskih izraza se radi kao i kod obinih razlomaka, s tim da prvo moramo svaki rastaviti na inioce. Dakle:

DBCA

DC

BA

= i

CD

BA

DC

BA =:

1) =+++

aaaa

aaa

2

2

2

2 121

? prvo svaki rastavimo na inioce !!!

=+++

)1(

)1()1)(1(

)1( 2

aaa

aaaa Skratimo

DC

BA

111

11 ==

Uslov zadatka: 012 a i 02 + aa

1a , 1a 0, a

2) =+

ababba

abaaba 22

2

2

babaab

baabbaabaa ==++

1

)()()(

Uslov zadatka: 0,0,0 + baba

3) =+

95:

325

2

2

2

2

xxx

xxx ?

=++

+

)3)(3()5(:

)3()5)(5(

xxxx

xxxx

2

)3()5()5(

)3)(3()3(

)5)(5(xxx

xxxx

xxxx +=+

++

Uslovi: 03,03,0 + xxx

3,3 xx

4) 4244

2

22

21:

21 mmba

mmba

+

+++ =?

=+

+++

42

44

2

22

21:

21 mmba

mmba

7

))(()1(

))()(()1()1(

)1(

)1())((:

)1(2

22

22

2

22

22

2222

2

22

babam

bababamm

mba

mbaba

mba

+=++

+++

=+

++

Uslov zadatka: ,1,, mbxbx ,1x

5) acbcaabcba

22

222

222

++++ =?

=++++

acbcaabcba

22

222

222

pretumbajmo ih prvo

=++++

222

222

22

bcacacbaba prva tri ine pun kvadrat

=++

22

222

)()(bcacba upotrebimo sad razliku kvadrata

bcacba

bcabcacbacba

++=+++

+++))(())((

Uslov: 0+ bca i 0++ bca

6) Skrati razlomak: 2365

2

2

++

xxxx

=++

2365

2

2

xxxx =+

+22623

2

2

xxxxxx

13

)1)(2()2)(3(

)2(1)2()3(2)3(

=

==

xx

xxxx

xxxxxx

Uslov: 02 x 01x

7) =

+

++++ xy

yx

xyxy

yxxyyx 2:2 22 ?

yxyxxy

yxxyyx

xyyxyx

yxxyyxyx

xyyxyx

yxxy

yxxyyx

+=+

=+++

=

+

++++

1)()(

)(

2:)(

2

2:)(

2)(

2

2

2222

22

Uslovi: ,0x ,0y ,0+ yx 0 yx

8

8) =

+++ 24:

44

236 2 aa

aa

aa

aa

=

++++ 24:

)2)(2(4

2)2(3 aa

aaa

aa

aa

PAZI: Moramo a2 da okrenemo: )2(2 = aa , pa (-) izlazi ispred!!!

)4(32

)4)(2(3)2(2

)4)(2(342

)4)(2(312632

42

)2)(2(312)2(3)2(

42

)2)(2(4

2)2(3

2

22

=++=+

+=+

++=

++++

=

++++

aa

aaaa

aaaa

aaaaaaa

aa

aaaaaaa

aa

aaa

aa

aa

Uslovi: ,2a ,2a 4a

9) Uprosti izraz: =++++++++++ 16842 116

18

14

12

11

11

xxxxxx

Ovaj zadatak ne moemo reiti klasino, probajmo da saberemo prva dva:

212

)1)(1(11

11

11

xxxxx

xx =+++=++

Dodajemo mu trei sabirak:

44

22

22

22

22 14

12222

)1)(1()1(2)1(2

12

12

xxxx

xxxx

xx =++=+

++=++ Ovo radi!!!

824

22

44 18

)1)(1(4444

14

14

xxxxx

xx =+++=++

Idemo dalje:

1688

88

88 116

)1)(1(8888

18

18

xxxxx

xx =+++=++

Konano:

321616

1616

1616 132

)1)(1(16161616

116

116

xxxxx

xx =+++=++

9

Uslovi: 01 x i 01 + x 10) Pokazati da vrednost izraza ne zavisi od a,b,c i d

)(4

11:

11

4caabcb

ba

cb

a ++

++

+

=++++

+ )(4

11:

11

4caabcb

ba

cb

a

=+++++

)(4

11:

11

4caabcb

bab

cbca

Pazi: BCAD

DCBA

=

=+++++

)(4

1:

1

4caabcbab

b

bcca

=+++

+++ )(

41

1

4caabcbb

ab

bccaabc

=+++++

+)(

41)1(4caabcbb

abcaabc

bc

=++++++

)(4

)()1)(1(4

caabcbcaabcbabbc Izvuemo gore 4 kao zajedniki

[ ] =++++

)(1)1)(1(4

caabcbabbc

[ ] 4)()(4

)(114 2 =++

++=+++++

acabcbacabcb

caabcbabbccab

10

11) Ako je 0=++ cba dokazati da je abccba 3333 =++ Dokaz: Podjimo od 0=++ cba cba =+ kubirajmo ovo 33 )()( cba =+ 33223 33 cbabbaa =+++

cbacbaabba =+=+++ 333 )(3 ovo iz a+b+c=0, zamenimo

abccbacabcba

33

333

333

=++=+

12) Ako je 0111 =++cba

Dokazati da je:

3=+++++cba

bac

acb

Dokaz: Podjimo od:

cabab

cba1

111

=+=+

cabba =+ / Podelimo sa C da bi napravili izraz iz zadatka

Slino e biti:

2

2

bca

bac

abc

acb

=+=+

=+++++cba

bac

acb

= 222 cab

bac

abc Priirimo ih redom sa ,a b i c

= 333 cabc

babc

aabc izvuemo abc

++= 333 111 cbaabc Ajde ovo da nadjemo!!! 3/()111

cba=+

33223

111131131cbbabaa

=+++

2cab

cba =+

11

333

111311cbaabba

=

+++

333

11311ccabba

=

++

333

1311cabcba

=+

abccba3111

333 +=++ Vratimo se u zadatak:

33

111333

==

++=

abcabc

cbaabc

Malo je zeznuto, pa prouavajte paljivo!

1

VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG TRINOMA NA LINEARNE INIOCE

Brojevi 1x i 2x su reenja kvadratne jednaine 0

2 =++ cbxax ako i samo ako je

abxx =+ 21 i a

cxx = 21 Ove dve jednakosti zovu se Vietove formule. emu one slue? Osnovna primena da nam pomognu da kada imamo reenja 1x i 2x napravimo kvadratnu jednainu: 0)( 2121

2 =++ xxxxxx ili bi moda bilo preciznije

[ ] 0)( 21212 =++ xxxxxxa najee se ovde uzima 1=a , pa je to formula Primer 1: Napisati kvadratnu jednainu ija su reenja: a) 2,3 21 == xx b) Jedno reenje je ix 211 += a) ,31 =x 22 =x

6)2(31)2(3

21

21

==+=+=+

xxxx

Formula je 0)(6

21

1

212 =

++

32143421 xxxxxxa

Pa je [ ] 062 = xxa najee se uzima ______

1=a 062 = xx b) ix 211 += , Nemamo drugo reenje? Poto znamo da su reenja kvadratne jednaine konjugovano kompleksni brojevi to mora biti: ix 212 =

www.matematiranje.com

2

===+==++=+

22221

21

41)2(1)21()21(22121

iiiixxiixx

(poto je 12 =i ) 541 =+= Zamenimo u formulu: 0)( 2121

2 =++ xxxxxx 0522 =+ xx je traena kvadratna jednaina Primer 2: U jednaini 0)13(2 =++ mxmmx odrediti vrednost realnog parametra m tako da vai: 521 =+ xx Reenje: Kako je 521 =+ xx Primer 3: Odrediti vrednost realnog parametra k tako da za 1x i 2x jednaine: 0)1(342 =+ kxx vai 03 21 = xx

Reenje: 414

21 ===+ abxx

_________________21

21

034

==+

xxxx

reimo kao sistem

__________________

21

21

034=+

=+xx

xx

3144 122 === xxx Kako je 211

1)1(31321 ==== kkka

cxx www.matematiranje.com

mcmb

ma

=+=

=)13(

mm

mmxx

abxx

13)13(21

21

+=+=+

=+

21

12153

513

513

==

==+=+

m

mmm

mmmm

)1(34

1

==

=

kcba

3

Primer 4: U jednaini 0)1(2 =++ mxmx odrediti realan broj m tako da njena reenja zadovoljavaju jednakost 1022

21 =+ xx

Reenje: Ovaj izraz 22

21 xx + se esto javlja u zadacima. Da ga izvedemo kao formulicu pa emo

je gotovu upotrebljavati u drugim zadacima. Krenimo od poznate formule za kvadrat binoma: 2221

21

221 2)( xxxxxx ++=+

Odavde je: 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x+ = + ZAPAMTI!!! Vratimo se u zadatak: 102)(10 21

221

22

21 =+=+ xxxxxx

33

9

9110

10212102)1(

2

1

2

2

2

2

====

==++

=+

mmm

mm

mmmmm

Primer 5: Odrediti koeficijente p i q kvadratne jednaine 02 =++ qpxx tako da njena reenja budu

qxpx

==

2

1

Reenja:

==+qqp

pqp002

==+

qpqqp


mcmb

a

=+=

=)1(

1

1 2

1 2

( 1) 11

1

b mx x ma

c mx x ma

++ = = = +

+ = = =

qcpb

a

==

= 1

qacxx

ppabxx

==

===+

21

21 1

4

Iz druge jednaine sistema: 0)1(0 == pqqpq pa je q = 0 ili 1=p Za = 0q vratimo u prvu jednainu: 000202 ==+=+ ppqp Za 202021 ==+=+= qqqpp Dakle ta kvadratna jednaina je:

02 =++ qpxx 02 =x za 0=p i 0=q 022 =+ xx za 1=p 2=q

Rastavljanje kvadratnog trinoma na inioce Kvadratni trinom po x je izraz oblika: cbxax ++2 gde su cba ,, brojevi i 0a . Brojevi ba, i c su koeficijenti kvadratnog trinoma. Ako su 1x i 2x reenja kvadratne jednaine 0

2 =++ cbxax onda je:

))(( 212 xxxxacbxax =++

Primer1: Kvadratni trinom: a) 652 ++ xx b) 222 ++ xx rastaviti na inioce. a) 0652 =++ xx najpre reimo kvadratnu jednainu: Formula: )2)(3()2)(3(1))(( 21 == xxxxxxxxa Dakle: )2)(3(652 =++ xxxx www.matematiranje.com

65

1

==

=

cba

1242542

===

DD

acbD

23

215

2

2

1

2,1

==

==

xx

aDbx

5

b) 0222 =++ xx 2,2,1 === cba 484 ==D

)1)(1(1))(( 21 ixixxxxxa +++= Dakle: )1)(1(222 ixixxx +++=++

Primer 2: Skratiti razlomak: 12712823

2

2

+

xxxx

Reenje: Uzeemo posebno imenilac , posebno brojilac i rastaviti ih na inioce.

0823 2 =+ xx

Dakle: )2)(34(3))((823 21

2 +==+ xxxxxxaxx

012712 2 = xx

Dakle: 2 1 24 312 7 12 ( )( ) 12( )( )3 4

x x a x x x x x x = = + Vratimo se sad u razlomak


ixix

iix

=+=

==

11

2)1(2

222

2

1

2,1

823

===

cba 2 4

4 4 3 84 96100

D b acDDD

= = + = +=

26

10234

68

6102

6102

2

2

1

2,1

2,1

==

==+=

=

=

x

x

x

aDbx

127

12

==

=

cba 2 4

4 4 3 ( 12)49 576625

D b acDDD

= = = +=

1,2

1,2

1

2

27 25

247 25 32 4

24 24 37 25 18 3

24 24 4

b Dxa

x

x

x

==+= = == = =

6

2

2

33 2 8

12 7 12x xx x

+ =

4( )3

x ( 2)

12

x +4( )3

x 233 4( )( ) 44

x

xx

+=++

Naravno uz uslov

34

034

x

x i

43

043

+

x

x

Primer 3: Skratiti razlomak: 32

12

3

+xx

x

Reenje: 0322 = xx Dakle: )1)(3())1()(3(1())((32 21

2 +==++= xxxxxxxxaxx

+13x emo rastaviti po formuli: 3 3 2 2( )( )A B A B A AB B+ = + + VIDI POLINOMI

pa je: )1)(1(1 23 ++=+ xxxx Vratimo se u razlomak:

3

2

( 1)12 3

xxx x

++ = 2( 1)

( 3) ( 1)x x

x x +

+2 1

3x xx += naravno uz uslov 3

03

xx

i 1

01+

xx

U nekim zadacima nam trae da reenja budu pozitivna (ili negativna). Pokaimo koji su to uslovi: 1) Reenja 1x i 2x kvadratne jednaine sa realnim koeficijentima su:

realna i pozitivna ,0D 0,0 >>ac

ab

Ova razmiljanja (teoreme) proizilaze iz Vietovih pravila: Da bi reenja bila realna je 0D

abxx =+ 21 i a

cxx = 21 1) 1x i 2x pozitivna 2) 1x i 2x negativna (minus puta minus je plus) Primer: Odrediti parameter m tako da reenja jednaine 01232 =+ mxx budu pozitivna. Reenja: Iz 01232 =+ mxx vidimo da je

0D , 0

ac

mDmD

mDacbD

813489

)12(14)3(4

2

2

=+=

==

0D ( Pazi: znak se okree)

+

acxx

abxx

00

00

21

21

>>

>


NEKE VANE NEJEDNAKOSTI:

1) za sve 02 x Rx Kvadrat nekog izraza je uvek pozitivan ili jednak nuli (za x=0) Primeri: za 0)2(44 22 +=++ xxx Rx za 0)1(12 22 =+ aaa Ra jer 022 + yxyx

43

24222

222

222

222 y

Izvrili smo dopunu od ''punog kvadrata'' pa je 02

2

yx i 04

3 2 y , a onda je i njihov zbir >0

2) zyxzyx +++++2

3222

Dokaz:

yyxyyyxyyxy +

=+

=+

+

0)1)1

0)1

2

2

2

zyx

x

(

zyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxx

zyx

+++++++++++++++

+++++++

23

)(232223

01212120)1()1()1(

222

222

222

222

222

0( (

3) Dokazati da za 0>a 221 +a

Dokaz:

0120)1(

2

2

+

aaa

aaa :/212 + (podelimo sa a ) 21 +

aa

1


4) Dokazati da za i 0x 0y

2yxxy +

(geometrijska sredina < aritmetika sredina)

Dokaz: Podjimo od ( )

xyyxxyyx

yxyx

yyxx

yx

+=+

++

+

2

2:/2

02

02

022

2

Naravno jednakost vai ako je yx = 5) Dokazati da je: koji su nenegativni: zyx ,,

3

3333 cbaxyz ++

Dokaz: Uvodimo najpre smene:

3

3

3

czbyax

===

Treba onda dokazati:

3

3333 cbaxyz ++

033

333

333

++++abccbacbaabc

Kako je (proveri mnoenjem)

))((3 222333 acbcabcbacbaabccba ++++=++odavde je sigurno 0++ cba

[ ] 0)()( ++ acb

)(21 222222 =++ cbaacbcabcba

2


Dakle proizvod dva takva izraza je >0 pa je zaista: 3

333 cbaabc ++ Odnosno

33 zyxxyz ++

Pazi: Znak = je ako je zy == x

3

1

LINEARNA FUNKCIJA I NJEN GRAFIK Neka su dati skupovi A i B. Ako svaki elemenat Ax odgovara tano jedan elemenat

By , kaemo da se skup A preslikava u skup B. Takvo preslikavanje nazivamo funkcijom. Zapisujemo:

BAf : ili )(xfy =

Domen Kodomen Najpoznatiji oblik linearne funkcije je: nkxy += (eksplicitni) Grafik ove funkcije je prava. K- je koeficijenat pravca, odnosno tgk = gde je - ugao koji prava gradi sa pozitivnim smerom x-ose, n - je odseak na y-osi

Poto je prava odredjena sa dve svoje take, grafik ucrtamo tako to u malu tablicu uzmemo 2 proizvoljne vrednosti za x, pa izraunamo y ili jo bolje, 0=x i 0=y , pa nadjemo nepoznate: 22 += xy Za

Zaz za x=0

2202 =+=y 1022

==+

xx

0=y

2

PAZI: Ako je funkcija samo kxy = (bez n) onda grafik prolazi kroz kordinatni poetak i moramo uzimati dve razliite vrednosti za x. Primer: xy 2= x = 0 pa je y = 0 x = 1 pa je y = -2

Kako nacrtati grafike 2=x ili ?3=y Vano je zapamtiti: 0=y je x-osa 0=x je y-osa ax = , grafik je paralelan sa y-osom i prolazi kroz a by = , grafik je paralelan sa x-osom i prolazi kroz b

3

Dakle: 2=x 3=y Nula Funkcije: je mesto gde grafik see x-osu a dobija se kad stavimo 0=y pa izraunamo koliko je x.

=

knx Funkcija moe biti rastua ili opadajua. Ako je k>0

funkcija je rastua i sa pozitivnim smerom x-ose gradi otar ugao, a ako je k0 tj. 0>+ nkx i grafik je iznad x-ose. Funkcija je negativna za y

4

Rastua Opadajua

0=y za nkx = 0=y za

nkx =

0>y za

,nkx 0>y za

nkx ,

0

5

bcx

bay

caxbycbyax

===++ 0

pa je: ,bak =

bcn =

______________________

bxaby

aabbxayabaybx

abby

ax

+=+=

=+=+

:/

/1

pa je: ,bak = bn =

1) Prouiti promene i grafiki prikai funkcije:

a) 121 = xy b) 42 += xy

_________________________________________________

a) 121 = xy za 0=x 110 ==y

za 0=y 0121 =x 2=x

1. Oblast definisanosti: Rx 2. Nula finkcija: 2=x 3. Znak: 0>y za ),2( x 0=k

6

b) 42 += xy za 0=x 440 =+=y za 0=y 042 =+ x 2=x

1. Oblast definisanosti: Rx 2. Nula funkcije: 2=x 3. Znak: 0>y za )2,(x 0

7

6) U skupu funkcija 32)2()( += axaxf , odrediti parameter a tako da grafik funkcije odseca na y-osi odseak duine 5. 32)2()( += axaxf nkxy += Poto je n -odseak na y-osi, a ovde je 32 += an , to mora biti:

122

352532

==

==+

aaaa

7) Date su familije funkcija 7)52( += xmy i 3)10( = xmy Za koje su vrednosti parametra m grafici ovih funkcija paralelni? 7)52( += xmy 52 = mk 3)10( = xmy mk = 10 uslov paralelnosti je da imaju iste k. Dakle:

53

15153

51021052

===

+=+=

m

m

mmm

mm

8) Nacrtati grafik funkcije

1= xy Najpre definiemo apsolutnu vrednost:

8

1= xy 1= xy 1= xy za 0x za 0

9

42)223()624(

==

xyxy

10) Dat je skup funkcija ),1()2( = kxky gde je k realan parameter. Odrediti parametar k tako da njen grafik bude paralelan sa grafikom funkcije

62 = xy . Za dobijenu vrednost k, ispisati funkciju i konstruisati njen grafik.

62)1()2(

==

xykxky

422

==

kk

32)14()24(

==

xyxy

1

LINEARNE NEJEDNAINE

Linearne nejednaine reavamo slino kao i jednaine (vidi linearne jednaine) koristei ekvivalentne transformacije. Vano je rei da se smer nejednakosti menja kada celu nejednainu mnoimo (ili delimo) negativnim brojem. Primer: 2 10x Pazi: delimo sa (-2), moramo okrenuti smer nejednakosti

10

25

x

x

Naravno i ovde se moe deliti da nejednaina ima reenja, nema reenja ili ih pak ima beskonano mnogo (u zavisnosti u kom skupu brojeva posmatramo datu nejednainu) 1) Rei nejednainu: 3( 2) 9 2( 3) 8x x x oslobodimo se zagrada

862963 xxx nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu 3 9 2 6 8 6x x x

10 2020102

x

x

x

Uvek je problem kako zapisati skup reenja? Moemo zapisati Rx 2x a ako je potrebno to predstaviti i na brojevnoj pravoj:

2 88- ( , 2)x Pazi: Kad i uvek idu male zagrade ( ) Kod znakova < i > male zagrade i prazan krui Kod < , > idu srednje zagrade i pun krui Male zagrade nam govore da ti brojevi nisu u skupu reenja, dok , govore da su i ti brojevi u reenju.


2 10102

5

x

x

x

2

aax

23

2) Rei nejednainu: 12

233

12 aa

12

233

12 aa celu nejednainu pomnoimo sa 6 (NZS za 3 i 2)

6269466924

6)23(3)12(2

aaaa

aa

145 a pazi: delimo sa (-5) pa se znak okree

542

514

a

a

U skupu R su reenja

542,a

PAZI: Da nam npr. trae reenja u skupu N (prirodni brojevi), onda bi to bili samo {1,2} 3) Rei nejednainu: 32 axax

32 axax nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu

aaxaaxx

3)2(32

Kako sad? Da li je izraz a2 pozitivan ili negativan, ili moda nula? Moramo ispisati sve 3 situacije!!!

aax 3)2(

02 a 02 a 02 a 2a 2a 2a okree se znak 030 x

aax

23 30 x

Ovde je svaki Rx reenje


3

Reenje bi zapisali:

Za 2a

,

23aax

Za 2a Rx

Za 2a

aax

23,

4) Reiti nejednaine: a) 0)4()1( xx b) 0)5()3( xx Kod ovog tipa nejednaina koristiemo da je:

0BA )0,0( BA v )0,0( BA 0BA )0,0( BA v )0,0( BA

Naravno iste ablone koristimo i za znakove > i < a za 0BA i 0

BA

gde jo vodimo rauna da je 0B . a) ( 1)( 4) 0x x

)04,01( xx v )04,01( xx )4,1( xx v )4,1( xx Sada reenja spakujemo na brojevnoj pravoj!!! ),4( x )1,(x Reenje je )1,(x ),4( www.matematiranje.com

4

5,3x

b) 0)5()3( xx

)05,03( xx v )05,03( xx )5,3( xx v )5,3( xx prazan skup Dakle, konano reenje je 5,3x

5) Rei nejednainu 6 23

xx

PAZI: Da bi koristili ablon na desnoj strani mora da je nula, pa emo zato -2 prebaciti na levu stranu!!! sad moe ablon

)0x-30312( x ili )0x-30312( x ( 3 12 -x< 3)x )3-x123( x )3x,4( x ili )3x,4( x (3, 4)x konano reenje prazan skup 6) Reiti nejednainu: (po n )

5113

nn

Ovde moramo reiti 2 nejednaine, pa emo upakovati njihova reenja.

03

312

03

266

03

)3(26

0236

236

xxx

xxx

xxxxxx

5

Prva nejednaina: Ili

Dakle: 4 2 01

nn

)01n024( n ili )01n024( n )1n

21( n ili )1n

21( n

Za I deo reenje je Druga nejednaina:

511

nn 05

11

nn 0

1551

n

nn

Dakle: 01

64

nn

)01n064( n ili )01n064( n

)1n23( n ili )1n

23( n


131

nn

10 311 3 30

14 20

1

nnn n

nnn

1,n

,21n

1, 1 ,2

n

6

23,n ,1n

Za II deo reenje je

23,n ,1

Upakujmo sada I i II reenje da bi dobili konano reenje ove dvojne nejednaine:

Reenje prve nejednaine smo rafirali udesno, a druge ulevo Na taj nain vidimo gde se seku, odnosno gde je konano reenje Dakle, konano reenje je:

NAPOMENA: Umesto ablona ovde smo mogli koristiti i tablino reavanje koje je detaljno objanjeno u delu kvadratne nejednaine.


3 1, ,2 2

n

1

LINEARNE JEDNAINE

Pod linearnom jednainom po x podrazumevamo svaku jednainu sa nepoznatom x koja se ekvivalentnim transformacijama svodi na jednainu oblika:

bxa

gde su a i b dati realni brojevi. Reenje ove jednaine je svaki realan broj 0x za koji vai:

0a x b

Ako nam posle reavanja ostane jednaina veeg stepena (drugog, treeg ) onda nju probama da rastavimo na inioce i koristimo: 0BA 0A 0B

0 CBA 0A 0B 0C Za svaku linearnu jednainu vai:

a x b

abx ,0a 0b

ako je 0a 0 ba Nema reenja Primer: ima beskonano Primer mnogo reenja Primer: Svaki broj je reenje Deljenje sa 0 nije

dozvoljeno (za sad)


52

10102

x

x

x

00 x ?07

70

x

x

2

Kako reavati jednainu?

- Prvo se oslobodimo razlomaka (ako ih ima) tako to celu jednainu pomnoimo sa NZS

- Onda se oslobodimo zagrada (ako ih ima) mnoei svaki sa svakim. - Nepoznate prebacimo na jednu a poznate na drugu stranu znaka =.

(PAZI: prilikom prelaska sa jedne na drugu stranu menja se znak) - sredimo obe strane (oduzmemo i saberemo) i dobijemo bxa - Izrazimo nepoznatu

abx

VANO: Ako negde vrimo skraivanje moramo voditi rauna da taj izraz koji kratimo mora biti razliit od nule. U suprotnom se moe desiti apsurdna situacija.

Primer: Reiti jednainu: 02

xx

Ako skratimo x xx

0 0x ? Ne smemo skratiti jer je uslov 0x

ZADACI:

1) Rei jednainu Nema razlomaka i zagrada tako da odmah prebacujemo nepoznate na jednu a poznate na drugu stranu. 2) Rei jednainu xxx 10)116(4)32(3 (oslobodimo se zagrada)

3(2 3 ) 4(6 11) 106 9 24 44 10

9 24 10 6 4416 48

48163

x x xx x x

x x xx

x

x


9 2 5 22 5 2 97 7

77

1

x xx xx

x

x

3

2) Rei jednainu 5 2 3 6 527 2 14

y y y

14/14

562

3227

5 yyy Nadjemo NZS za 7, 2 i 14; to je 14. Celu jednainu )56(1)32(728)5(2 yyy pomnoimo sa 14.

2 10 28 14 21 6 52 14 6 21 5 10 28

6 44446223

y y yy y y

y

y

y

4) Rei jednainu 132)4()3( 22 xxx 132)4()3( 22 xxx

2 2

2

( 6 9) ( 8 16) 2 13x x x x x

x

26 9x x 8 16 2 13

6 8 2 13 9 1612 6

612

12

x xx x xx

x

x

5) Rei jednainu 3

12

2 xx

PAZI: Ovde odmah postavi uslove: 02 x 2x

31

22

xx 03 x 3x Mnoe se unakrsno : 2( 3) 1 ( 2)2 6 22 2 6

8

x xx xx x

x


4

6) Rei jednainu 4232

21

635

xx

xx Uslovi: 02 x

2x

5 1 2 3 / 6( 2)3( 2) 2 2( 2)2( 5) 3( 2) 3(2 3)2 10 3 6 6 92 3 6 6 9 10

7 25

257

x x xx xx x x

x x xx x x

x

x

7) Rei jednainu 1212

148

1212

2

xx

xxx

2 1 8 2 1 ....... / (2 1)(2 1)2 1 (2 1)(2 1) 2 1

x x x xx x x x

Uslovi: 012 x 012 x 12 x 12 x

21x

21x

8) Rei jednainu 215 xx

Ovd moramo najpre da definiemo apsolutnu vrednost:

0,0,

Dakle: 5 1, za 5 1 0

5 1(5 1), za 5 1 0x x

xx x =

),15(

,15x

x

5151

x

x

Sad reavamo dve jednaine:


2 2

2 2

2 2

(2 1) 8 (2 1)4 4 1 8 4 4 14 4 4 4 1 1 8

8 8

1

x xx x x xx x x x

x x

x

5

99

3422324

2)32()4(

xxx

xxxx

Uslov 51x Uslov

51x

(5 1) 25 1 24 2 14 1

14

x xx xxx

x

Ovo reenje je ''dobro'' jer je51

21 I ovo je dobro jer je

51

41

9) Rei jednainu 2324 xx Najpre definiemo obe apsolutne vrednosti:

),4(,4

4x

xx

0404

xx

=

).4(,4

xx

44

xx

III

UslovUslov

),32(,32

32x

xx

032032

xx

=

),32(,32

xx

2323

x

x

IVIII

UslovUslov

Zadatak emo podeliti na 4 dela u zavisnosti od uslova: i) I i III uslov:

4x i 23x

,4x Nije ''dobro'' reenje jer ne zadovoljava ,4x ii) I i IV uslov

,4x 23x

Ovde nema reenja x

5 1 26 2 16 3

3612

x xxx

x

x

6

3113

43232324

2)32()4(

x

xx

xxxx

5342

23242)32()4(

xx

xxxx

iii) II i III uslov

4x i 23x

4,23x

Dobro je reenje 1 3 ,43 2

iv) II i IV uslov

,4x i 23x

23,x

Dobro reenje, jer

23,5

Zakljuak: reenja su 113

x i 2 5x 10) Reiti i diskotuvati jednainu u zavisnosti od parametra a) 3 1 5mx m x sve sa x prebacujemo na jednu stranu, sve to nema x na drugu

mxmx 315 Izvuemo x kao zajedniki ispred zagrade

mmx 31)5( 1 3

5mx

m www.matematiranje.com

7

Diskusija:

Za 5m 0

531 x nemogua, nema reenja

Za 5m 5

31

m

mx jednaina ima reenja I to beskonano mnogo jer Rm b) 2 4 8 7 5ax a a x Diskusija:

Za 052 a 25a Jednaina nemogua

Za 052 a 52

a jednaina ima mnogo reenja Jednaine imaju veliku primenu u reavanju takozvanih problemskih zadataka. Vano je dobro prouiti tekst, ako treba skicirati problem i nai vezu izmedju podataka. 11) Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko e godina otac biti dva puta stariji od sina? Obeleimo sa X-broj godina koji treba da prodje. Otac 43 godine Sin 18 godina Kako godine teku i za oca i za sina, to je: Otac 43+X Sin 18+X U zadatku se kae da e otac biti dva puta stariji od sina: 2 (18 ) 4336 2 432 43 36

7

x xx x

x x

x

2 5 8 7 4(2 5) 9 3

9 32 5

ax x a ax a a

axa

8

Proverimo: Kroz 7 godina otac e imati 43+7=50 godina, a sin 18+7=25 godina, pa je otac zaista dva puta stariji od sina.

12) Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka 52 da bi smo dobili

razlomak 75 ?

75

52

xx Mnoimo unakrsno

7(2 ) 5(5 )14 7 25 57 5 25 142 11

112

x xx x

x xx

x

13)

Uenik je prvog dana proitao 41 knjige, drugog dana

32 od ostatka knjige,a treeg dana

poslednjih 40 stranica. Koliko ima stranica ta knjiga? Obeleimo sa x-broj stranica knjige.

x41 I Dan 2 3

3 4x II Dan 40 str. III dan

1 24 3

x 3 404

1 2 404 43 404

3 404

1 404

160

x x

x x x

x x

x x

x

x

Knjiga ima 160 strana. www.matematiranje.com

9

14) Jedan radnik moe da zavri posao za 9, a drugi za 12 dana. Ako se njima pridrui trei radnik, oni e taj poso zavriti za 4 dana. Za koje bi vreme treci radnik sam zavrio posao? Neka je x-vreme za koje trei radnik zavri posao. Kako razmiljamo?

Ako prvi radnik sam zavri posao za 9 dana onda e za 1 dan odraditi 91 posla.

Slino e drugi radnik za 1 dan odraditi 121 posla, a trei

x1 deo posla.

Znai da oni zajedno za 1 dan odrade x1

121

91 deo posla, Kako rade 4 dana, to je:

1 1 1 4 19 12

4 4 4 1 ........ / 369 1216 12 144 3628 36 144

8 144

18

x

xx

x x xx xx

x

Dakle, trei radnik bi sam zavrio posao za 18 dana.


1

31224)(

7643)(

23

23

++=

+=

xxxxQ

xxxxP

POLINOMI SA JEDNOM PROMENLJIVOM

Oblika su:

11 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a

= + + + +

Ovaj oblik se dobija ''sredjivanjem polinoma (sabiranjem, oduzimanje...) i naziva se

kanoniki, x-je promenljiva 1 0, ,...,n na a a su koeficijenti (konstante), n je prirodan broj

ili nula.

Ako je 0na , onda kaemo da je polinom P stepena n , pa je na najstariji

koeficijenat.

Primer: 7264)( 23 ++= xxxxP - ovaj polinom je stepena 3 a najstariji koeficijenat je 4.

- zanimljivo je da se lan bez x-sa, takozvani slobodni lan dobija kad umesto x stavimo 0, tj. 3 2(0) 4 0 6 0 2 0 7 7P = + + = 7)0( =P , ili za

polinom 11 1 0( ) ...n n

n nP x a x a x a x a

= + + + + 0)0( aP =

- takodje ako umesto x stavimo 1 imamo 01 ...)1( aaaP nn +++=

SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA: Primer:

)31224()7643()()( 2323 ++++=+ xxxxxxxQxP

312247643 2323 ++++=

xxxxxx

=krenemo sa sabiranjem lanova sa najveim stepenom pa dok ne

dodjemo do slobodnih lanova, to jest onih bez x-sa

3 27 6 18 4x x x= +

)31224()7643()()( 2323 +++= xxxxxxxQxP

=pazi: Minus ispred zagrade menja znak svim lanovima u zagradi 312247643 2323 ++=

xxxxxx

3 22 6 10x x x=

Najbolje je da podvlaite sline monome kako se ne bi desila greka u sabiranju (oduzimanju)


2

74)(

32)(

2+=

=

xxxQ

xxP

MNOENJE POLINOMA

Primer 1. Pomnoiti sledee polinome: Reenje: )74()32()()( 2 += xxxxQxP

Kako mnoiti?

Mnoi se svaki sa svakim. Najbolje je da prvo odredimo znak ,( +=++ ,+= ,=+ )=+ , onda pomnoimo brojke i na kraju nepoznate.

Naravno da je 2xxx = , 32 xxx = , 422 xxx = , itd. (ovde koristimo pravila iz

stepenovanja: nmnm xxx += )

Vratimo se na zadatak:

=+ )74()32( 2 xxx

=++

211231482 223 xxxxx sad saberemo( oduzmemo) sline monome

212652 23 ++= xxx

Primer 2. Pomnoiti sledee polinome:

152)(

74)(

2

2

++=

+=

xxxB

xxxA

Reenje:

)152()74()()( 22 +++= xxxxxBxA

4 3 2 3 2 22 5 8 20 4 14 35 7x x x x x x x x= + + +

4 3 22 3 5 31 7x x x x= + +


3

______________

)(

2

)(

2

42

12)2(:)652(

xx

xxxx

+

=+

__________

2

6

++

+

x

x

2

412

2

652 2

+=

+

xx

x

xx

xx

x2

2 2=

1=

x

x

DELJENJE POLINOMA

Podsetimo se najpre deljenja brojeva.

Primer: 248423:57146 =

______

46

111

______

92

194

_______

184

106

_____

92

4 - ostatak

Moemo zapisati: 23

42848

23

57146+=

deljenik ostatak

reenjedelilac delilac

= +

Probajmo sad sa polinomima:

Primer 1:

POSTUPAK

Podelimo prvi sa prvim

i upiemo 2x u reenju

2x pomnoimo sa deliocem i potpiemo

ispod 2x-5x

promenimo znake (ono u zagradi)

4 Ostatak prvi se uvek skrate a druge saberemo

-5x+4x=-x

Dakle: dopiemo +6

opet delimo prvi sa prvim

mnoimo sa deliocem

promenimo znake i saberemo


4

5)1(:)542( 223 +=+++ xxxxxx

_____________

2

)(

3

)( xx

+

10

___________

)()(55

55

++

+

x

x

1

105

1

542 223

+++=

+

++

xxx

x

xxx

____________

)(

2

)(

2 4

xx

xx

+

23

xx

x=

2x2x

23 2xx +23 2xx +

2222 xxx =

xx

x=

2

55

=

x

x

Primer 2: POSTUPAK Podelimo prvi sa prvim

upiemo u reenje

pomnoimo sa deliocem i potpiemo

ispod

promenimo znake kod

prvi se uvek skrate, a

spustimo - 4x opet prvi u prvom x mnoimo sa deliocem menjamo znake kod x+x prvi se skrate a -4x-x=-5x sputamo +5 Dakle: -5(x+1)=-5x-5 promenimo znake i prvi se skrate

5+5=10

Primer 3:

155)32(:)523( 22234 +=+++ xxxxxxxx

______________________

2

)(

3

)(

4 32 xxx+

+

3 2

3 2

( ) ( ) ( )

___________________________

5 5

5 10 15

x x x

x x x+ +

+ +

+

__________________________

)()(

2

)(

2

453015

51415

+

+

xx

xx

+ 4044x ostatak

4 3 2

2

2 2

3 2 5 44 405 15

2 3 2 3

x x x x xx x

x x x x

+ + += + +

+ +


5

_____________

3

)(

4

)( xx+

=

+=

+=

+=

7)2(

712208)2(

726252)2(

765)(

23

23

P

P

P

xxxxP

Primer 4:

1)1(:)1( 234 +++= xxxxx PAZI: Kad skratimo prve a drugi nisu istog

stepena prepiemo ih, prvo onaj sa veim

pa sa manjim stepenom, to jest: +x-1

Nema ostatka

Dakle: 11

1 234

+++=

xxx

x

x

U nekim zadacima interesovae nas samo ostatak koji se dobija deljenjem dvaju

polinoma a ne i kolinik. Tu nam pomae Bezuova teorema: Ostatak pri deljenju polinoma P(x) sa (x-a) jednak je P(a), to jest vrednosti polinoma P(x) u taki x = a. Ako je P(a)=0, deljenje je bez ostatka.

Primer1: Nadji ostatak pri deljenju polinoma 765 23 + xxx sa 2x

Najpre reimo x-2=0, pa je x = 2

onda uporedjujemo x-a i x-2 a=2

Sada je

Ostatak je -7


_____________

2

)(

3

)(

3 1

xx

x

+

+

+

12 x

____________

)(

2

)(

xx+

1x

_________

)()(

1+

x

6

6116)( 23 += xxxxP

0)1(

61161)1(

6111161)( 23

=

+=

+=

P

P

xP

0)( =aP

_______________

)(

2

)(

2

55

115

xx

xx

+

+

+

____________

)()(

66

66

+

x

x

)3)(2(

)2(3)2(

=

=

xx

xxx

Primer2: Nadji ostatak pri deljenju polinoma 652 3 + xx sa 1+x

Pazi , ovde je a = -1, jer je x+1=0

x = -1

Ostatak je 13

Jo jedna izuzetna primena Bezueve teoreme je kod rastavljanja polinoma na inioce. Mi

smo do sada nauili da faktoriemo polinome drugog stepena. Za polinome treeg i

etvrtog stepena postoje algoritmi, ali su suvie teki, dok za polinome petog i veeg

stepena ne postoji univerzalan nain da se faktoriu, odnosno ree.

Kako nam to pomae Bezuova teorema?

Primer1: Dat je polinom Izvri njegovu faktorizaciju.

POSTUPAK za x=1 uoimo slobodan lan, to jest onaj bez x-sa. ovde je to 6. on se moe podeliti: +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6

redom zamenjujemo ove brojeve dok ne

dobijemo da je

nali smo da je a=1

podelimo polinom sa )1()( = xax

65)1(:)6116( 223 +=+ xxxxxx

_____________

2

)(

3

)(

xx+

Nema ostatka

Ovim smo smanjili stepen polinoma i sad ve 652 + xx znamo da rastavljamo

63265 22 +=+ xxxxx

=

++=

+=

+=

13)1(

652)1(

6)1(5)1(2)1(

652)(

2

2

P

P

P

xxxP

6116)( 23 += xxxxP

7

04)1(

4432141412121)1( 234

=

++=++=

P

P

044321)1(

4)1(4)1(2)1(2)1()1( 234

=++=

++=

P

P

_______________

2

)(

3

)(

23

33

33

xx

xx

++

____________

)()(

44

44

+

+

x

x

______________

)()(

2

44

44

xx

x

++

+

Dakle: 3 26 11 6 ( 1)( 2)( 3)x x x x x x + =

Primer 2:

Izvriti faktorizaciju polinoma: 4 3 2( ) 2 2 4 4P x x x x x= + +

Posmatrajmo broj 4 (slobodan lan). Poto njega moemo podeliti sa

+1, -1, +2, -2,+4, -4, redom menjamo u polinom dok ne bude P(a)=0

Za x = 1

Idemo dalje:

Za x = -1

Dakle, delimo sa 1)1( += xx

43)1(:)4432( 23234 +=+++ xxxxxxx

_____________

3

)(

4

)(

xx

+

Dalje gledamo 43)( 231 += xxxP

Za x=-1 04314)1(3)1()1( 231 =+=+=P

Opet delimo sa (x+1)

44)1(:)43( 223 +=++ xxxxx

____________

2

)(

3

)(

xx

+

22 )2(44 =+ xxx

8

Konano reenje je: )44)(1)(1(4432 2234 +++=++ xxxxxxxx

22 )2()1( += xx

Primer 3:

Odrediti realan parametar m tako da polinom 5 3 2( ) 3 2 8P x x mx x x= + + + bude deljiv

sa x + 2.

Reenje:

Iz x+2 = 0 je x = -2 , pa je a = -2

5 3 2

5 3 2

( ) 3 2 8

( 2) ( 2) ( 2) 3( 2) 2( 2) 8

( 2) 32 8 12 4 8

( 2) 8 8

( 2) 0 jer u zadatku kae da je P(x) deljiv sa -2

8 8 0

1

P x x mx x x

P m

P m

P m

P

m

m

= + + +

= + + +

= + + +

=

=

=

=

Primer 4:

Odrediti realne vrednosti parametara a i b tako da polinom 3 2( ) 5 4P x ax bx x= + pri deljenju sa 1x + daje ostatak 6, a pri deljenju sa 1x daje ostatak 2. Reenje:

Kako pri deljenju sa 1x + daje ostatak 6, to je ( 1) 6P =

3 2

3 2

( ) 5 4

( 1) ( 1) ( 1) 5( 1) 4

( 1) 9

9 6

3

3

P x ax bx x

P a b

P a b

a b

a b

a b

= +

= +

= +

+ =

=

+ =


9

Kako pri deljenju sa 1x daje ostatak 2, to je (1) 2P =

3 2

3 2

( ) 5 4

(1) 1 1 5 1 4

(1) 1

1 2

3

P x ax bx x

P a b

P a b

a b

a b

= +

= +

=

=

=

Dalje oformimo sistem jednaina:

3

3

a b

a b

a b

+ =

=

+ 3

a b

=

3

2 6 3 0

Reenja su 3, 0

a a b

a b

=

= = =

= =


1

)(555 baba )2(242 baba

)1(2 aaaa)2(7714 223 ababbaab

Transformacije algebarskih izraza

Kako dati izraz rastaviti na inioce? Prati sledei postupak: 1) Izvui zajedniki iz svih ispred zagrade, naravno, ako ima ( distrubutivni

zakon ) 2) Gledamo da li je neka formula:

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3

( )( ) RAZLIKA KVADRATA2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lake 2 ( )2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lake 2 ( )

A B A B A BI I II II I II A AB B A BI I II II I II A AB B A BA B

2 2

3 3 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

( )( ) RAZLIKA KUBOVA( )( ) ZBIR KUBOVA

( ) 3 3 KUB ZBIRA( ) 3 3 KUB RAZLIKE

A B A AB BA B A B A AB BA B A A B AB BA B A A B AB B

3) Ako nee nita od ove dve stavke, sklapamo 2 po 2, 3 po 3. itd.

PRIMERI

Izvlaenje zajednikog ispred zagrade: 1) 2) PAZI: Kad vidimo da nita ne ostaje piemo 1. 3) 4)

bbba 27 baa 7 Ako nije jasno ta treba izvui ispred zagrade, moemo svaki lan rastaviti:

bbbaab

2714 3 i

baaba 77 2

Zaokruimo (podvuemo) iste i izvuemo ispred zagrade a one koje su ostali stavimo u zagradu!!! 5)

)12(33233363 22

yxxyyxyyxyxx

xyxyyx

WWW.MATEMATIRANJE.COM

2

6) 333223 91518 bababa

bbbaaabbbaabbaaa 333536

)356(3 22 abbaba Naravno, moemo razmiljati i ovako: Za 18, 15 i 9 zajedniki je 3 Za 3a , 2a i 3a zajedniki je 2a i Za 2b , 3b i 3b zajedniki je 2b Dakle, ispred zagrade je 2 23a b . 7) )1(11 aaaaaaa xxxxx 8) )1(11 mmm aaaaaaa 9) aaaa xxxxx 124124 22 )3(4 2 xxa 10) 132132 16121612 xxxxxx nnnn )43(4 2 xxxx nn )43(4 21 nn xx U zadacima 7, 8, 9 i 10 smo koristili pravila za stepenovanje.!!!

UPOTREBA FORMULA:

2 2 ( ) ( )A B A B A B 1) )2)(2(24 222 xxxx 2) )3)(3(39 222 aaaa 3) )1)(1(11 222 xxxx 4) )12)(12(12144 222 yyyy 5) )32)(32(3)2(3294 22222 xxxxx Pazi: Da bi upotrebili formulu za razliku kvadrata SVAKI lan mora da je na kvadrat. 6) )45)(45()4()5(451625 22222222 yxyxyxyxyx 7)

2 22 2 2 2

2 2

1 9 1 3 1 3 1 316 25 4 5 4 5 4 5

x y x y x y x y 8) ))(()()( 2222222244 yxyxyxyx ))()(( 22 yxyxyx www.matematiranje.com

3

xxABBB

xAxA

84224162

22

22 )4(168 xxx

xxABBB

xAxA

105225252

22

Dakle: 4 4 2 2( )( )( )x y x y x y x y ZAPAMTI!!! 9) 4444 12116 aa 44 1)2( a , ako iskoristimo prethodni rezultat: xa 2 i y1

)14)(12)(12()1)2)((12)(12(

2

22

aaaaaa

2 2 22 ( )A AB B A B i 2 2 22 ( )A AB B A B

1) 1682 xx Gledamo prvi i trei lan jer nam oni daju 2A i 2B , a onaj u sredini proveravamo da li je BA 2 Kako je Pa je 2) 22 )5(2510 xxx jer je 2A 2B Proveri da li je 2AB 3) 22 )8(1664 yyy 4) 222 )2(44 bababa 5) 222 )3(96 bababa 6) 2 2 24 20 25 (2 5 )x xy y x y 7) 2 20, 25 0,1 0,01 (0,5 0,1 )a a a jer je

aBaBAA

1,001,05,025,0

22

2

8) 222 )22,0(48,004,0 bababa

3 3 2 2( ) ( )A B A B A AB B Najpre se podsetimo da je: 311 , 328 , 3327 , 3464 , 35125 , 36216 , 37343 1) 83x da bi mogli da upotrebimo formulu oba lana moraja biti na trei

333 28 xx Znai x-je A, 2 je B pa zamenjujemo u formulu: )42)(2()22)(2(28 222333 xxxxxxxx www.matematiranje.com

4

)198)(1(

)46296)(1(22)3()3()23(

2

2

22

aaaaaaaaaa

2) )366)(6()66)(6(6216 222333 xxxxxxxx 3) )416)(4()44)(4(464 222333 yyyyyyyy 4) 333333 1)5(151125 xxx Pazi ovde se najee napravi greska: xA 5 ,

1B 22 115)5()15( xxx )1525)(15( 2 xxx 5) 333 2)3(8)3( aa pazi: 3a A , 2 B

3 3 2 2( )( )A B A B A AB B 1) 3 3 3 3 2 2 2343 7 ( 7)( 7 7 ) ( 7)( 7 49)x x x x x x x x 2) 3 3 3 2 2 264 1 (4 ) 1 (4 1) (4 ) 4 1 1 (4 1)(16 4 1)a a a a a a a a 3) 3 3 3 3 2 2 2 227 (3 ) (3 ) (3 ) 3 (3 )(9 3 )x y x y x y x x y y x y x xy y 4) 2233 )2()2)(1()1()21()2()1( yyxxyxyx

BA

754)1( 442212)1(44)22(12)1(

22

22

22

xyyyxxyxyyyxxyxxyx

yyyxxyxxyx

5) ))(()()()()()( 42242222222222323266 yyxxyxyyxxyxyxyx Redje se koristi da je:

3 2 2 3 33 3 ( )A A B AB B A B 1)

33

3

Pr

2

Pr

23 6128

BoverioveriA

yxyyxx ako je 33 8xA onda xA 2 i 33 yB pa je yB

3)2( yx 2) 3223 )4(64412 yxyxyyxx jer je

yBByxAxA

464 3333

3) 3 2 2 3 3125 150 60 8 (5 2 )a a b ab b a b


5

SKLAPANJE 2 po 2

U situaciji kad ne moemo izvui zajedniki, niti upotrebiti neku formulu, koristimo sklapanje 2 po 2.

Primeri:

1) ayaxyx 22 izvlaimo ispred zagrade zajedniki za prva dva, pa druga dva. )2)(()()(2 ayxyxayx 2) byaybxax 12896 3 (2 3 ) 4 (2 3 ) (2 3 )(3 4 )x a b y a b a b x y 3) babaa 44 2 PAZI NA ZNAK!!! )4)(1()1()1(4 baaabaa 4) 532012 baab PAZI NA ZNAK!!! )14)(53()53(1)53(4 abbba 5) yaybxbxa

)()( abybax Ovde moramo okrenuti izraz ab da postane ba , ili pazi, kako je )( baab , moramo promeniti znak ispred y ))(()()( yxbabaybax 6) abxbax 22 = ne '' juri '' da sklopi ''prva dva'' i ''druga dva'' moda je bolja neka druga kombinacija!!

)21()12( xbxa Slino kao u prethodnom primeru, promenimo znak ispred b, a oni u zagradi promene mesta,

))(12()12()12( baxxbxa 7) 22 8228 xybxbyyx )28)(()(2)(8 bxyyxyxbyxxy www.matematiranje.com

6

22

2

2

4)3(16)3(

7996

xx

xx

8) 762 xx Ovo lii na kvadrat binoma ali oigledno nije. Ne moemo izvui zajedniki iz svih, niti sklopiti 2 po 2 ta raditi? Naravno, uinici II godina srednje kole i stariji znaju da treba iskoristiti da je

))(( 212 xxxxacbxax , ali u I godini srednje kole moramo raditi ovako:

1. nain: 762 xx ideja je da se srednji lan napie kao zbir ili razlika neka 2 izraza. Naravno, to moemo uiniti na veliki broj naina. Onaj prvi je kad posmatramo lan bez x-sa i kako njega moemo predstaviti u obliku proizvoda. Kako je 177 to emo napisati umesto -6x izraz -7x+1x ili +1x-7x , svejedno. Onda sklapamo ''2 po 2'' )1)(7()7(1)7(71776 22 xxxxxxxxxx 2. nain: 762 xx izvrimo dopunu do punog kvadrata, to znai da moramo dodati (i oduzeti) drugi lan na kvadrat.

7336 222 xx

zapamti: uvek dodaj (i oduzmi) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat. sada iskoristimo da je ovo razlika kvadrata.

)1)(7(

)43)(43(

xx

xx

Ti naravno izabere ta ti je lake, odnosno ta vie voli tvoj profesor. Evo jo par primera: 9) ?652 xx 1.nain: Kako je 236 to emo umesto 5x pisati 3x+2x )2)(3()3(2)3(6232 xxxxxxxx 2.nain: Dodajemo (i oduzmemo) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat.

Znai 22

25

25

, pa je:


7

)3)(2(21

25

21

25

21

25

41

25

424

425

25

22

2

2

xx

xx

x

x

x

)5)(2(23

27

23

27

23

27

49

27

440

449

27

22

2

2

xx

xx

x

x

x

625

25565

2222

xxxx

10) ?1072 xx 1.nain: )2)(5()5(2)5(10252 xxxxxxxx

2.nain: 1027

277107

2222

xxxx

8

NEKE VANE NEJEDNAKOSTI

polinomi, linearne jednačine i nejednačine

Documents