Milo Marinkovi

Matematika 2011/12 HiT Vrnjaka Banja

N = {1,2,3, . . .}

m, n, k N (m,n i k su elementi skupa prirodnih brojeva) m + n e N

m n e N

(m+n)+k = m+(n+k) (asocijativnost sabiranja)

m+n = n+m (komutativnost sabiranja)

(mn)k = m(nk) (asocijativnost mnoenja)

mn = nm (komutativnost mnoenja)

n1 = 1n = n (postoji neutralni element za mnoenje)

k(m+n) = km+kn (distributivnost mnoenja u odnosu na sabiranje)

N0 = {0,1,2,3, . . .}

k + 0 = 0 + k = k (postoji neutralni element za sabiranje)

N0

N

Z

Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . .}

k Z (k je element skupa celih brojeva)

k + (-k) = 0 ( -k je inverzni element za sabiranje u odnosu na element k)

k i (-k) su suprotni brojevi

N0

N N = {n| n Z n>0}

skup celih brojeva veih od 0

N0 = {n| n Z n 0}

skup celih brojeva veih od 0 ili jednakih 0

a,b,c Z

oduzimanje se svodi na sabiranje a b = a + (-b)

a b c = a + (-b) + (-c)

prioritet operacijavii prioritet mnoenje ( * )

deljenje ( : )nii prioritet sabiranje (+)

oduzimanje (-)

a b + c = (a b) + c a b c = a (b c) a + b : c = a + (b : c) a : b c = (a : b) - c

a b : c = a : b : c = a : b c = ? nepravilan zapis neophodne zagrade

a (b + c) = a b c minus (-) ispred zagrade menja

znak svih brojeva unutar zagrada

1. Izraunati vrednost izraza:a) 1233 999 +767 601=

b) 1400 + 863 1368 495=

c) 124 + (336 (270 58)) (211 + 36) =

d) 16 240 + 16 173 16 113 =

e) 150 + 17 3 105 =

f) 232 11 + 60 - 81 : 3 + 3 5 =

g) (-3) (-2) ( -12 + (5 (-2) + 2 (-7 2 (-3)) 3 (-2))) + (-7) (-3) =

h) 4 (7 6) 315 3[7 (3 1) 2 (2 + 3)] (1) + 2 =

2. U izrazu 7 6 + 12 : 3 1 postaviti zagrade tako davrednost izraza bude:

a) 17

b) 69

c) 45

d) 35

1233 999 + 767 601

= 234 + 767 601

= 1001 601

= 400

1233 999 + 767 601

= 234 + 166

= 400ILI

1.a)

(-3) (-2) ( -12 + (5 (-2) + 2 (-7 2 (-3)) 3 (-2)))+ (-7) (-3)= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 (-7 (-6)) - (-6))) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 (-7 + 6 ) + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 (-1) + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 -2 + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -6 )) + 21= 6 - ( -18) + 21= 6 +18 + 21= 45

1.g)

7 (6 + 12 : 3) 1 = 7 (6 + 4) 1 = 7 10 -1= 70 1=692.b)

Broj je deljiv sa 2 ako se zavrava sa 0,2,4,6,8

Broj je deljiv sa 3 ako mu je zbir cifara deljiv sa 3

Broj je deljiv sa 5 ako mu je poslednja cifra 0 ili 5

Broj je deljiv sa 4 ako je njegov dvocifreni zavretak deljiv sa 4

Broj je deljiv sa 6 ako je deljiv sa 2 i sa 3

Broj je deljiv sa 8 ako mu je trocifreni zavretak deljiv sa 8

Broj je deljiv sa 9 ako mu je zbir cifara deljiv sa 9

Broj je deljiv sa 10 ako se zavrava sa 0, sa 100 ako se zavrava sa 00 , itd.

Prosti brojevi su deljivi samo sa jedinicom i sa samim sobom 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

Sloeni brojevi su deljivi sa jo nekim brojem osim sa jedinicom i sa samimsobom 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14

Jedinica po dogovoru nije ni prost ni sloen broj.

Najmanji zajedniki sadralac (NZS) je najmanji broj koji je deljiv sa datimbrojevima.

Najvei zajedniki delilac (NZD) je najvei broj sa kojim moemo podelitidate brojeve.

NZS(3,4) = 12

3,4 23,2 23,1 31,1

NZD(8,24,6) = 2

8,24,6 24,12,3

primer

primer

- -

Q

Q = { | p Z, q N }

celi brojevi : k Z => Q

razlomci : { | p Z, q N, NZD(p,q)=1}, decimalni brojevi

meoviti brojevi: { | k Z ,p Z, q N, NZD(p,q)=1, = }

Z

N0

N

p

q

p

q

1

k

pk

q

pk

q

k q + p

q

1 3 10 2 3, , , , 2 ,

2 7 17 25 4

73

81,2, 2,

k = 1 ( je inverzni element za

mnoenje u odnosu na element k)

1

k

1

k

sabiranje

+ = p

q

m

n

NZS (q, n) NZS (q, n) p + m

q n

NZS (q, n)

oduzimanje

- = p

q

m

n

NZS (q, n) NZS (q, n) p - m

q n

NZS (q, n)

2 3 17+ =

3 4 12

primer

2 3 1 - = -

3 4 12

primer

mnoenje

= p

q

m

n

p m

q n

deljenje

: = =

2 3 6 =

3 4 12

primer

2 3 8 : =

3 4 9

primer

p

q

m

n

p n

q m

p

q

n

m

1. Izraunati vrednost izraza:

1 5 5 2 120 1 6 3 :5

3 7 12 3 2

2 3 1

5 43 2

1 4 5

2 1 11 : 7 0,23

9 3 6

12 1,2

8

a)

d) c)

b)

1 23 1 4,2 2,25 4

2 3

3 1 3 2 74 2 5 :3

4 2 4 3 9

(:13

(:13

2 3 7 3 28 15 13 1

13 15 4 5 4 20 203 2 1 6 20 6 26 26 2

1 4 5 1 20 20 20

1.b)

skraivanje razlomaka

ako je NZD(a,b)=c tada vai (:c

(:c

a

a a cbb b

c

oni koji nisu racionalni algebarski reenja (koreni) jednaina sa racionalnim koeficijentima:

-

transcedentni

p = O/(2 r), e,

Q I =

Q

Z

N0

N

I

33

2, 10, ,9

3

R = Q I

|

Q

Z

N0

N

I

R

C skupkompleksnih

brojeva

-1 0 1 21

2

R

apsolutna vrednost broja x

|x|

n-ti stepen broja x

x = xx x x = xx

n-ti koren broja x

x , ako je x 0

-x , ako je x < 0

n

n puta

2

x = y y = xn n

16 = 4 jer je 4 =162

primeri

primeri

primeri

|5| = 5

|-5| = 5

3 = 9

3 = 243

2

5

144 = 12

5 243= 3

( 3 + 4) = 9 + 24 + 16 = 492

razlika kavadrata:

x - y = (x y) (x + y)

kvadrat binoma:

(x + y) = x + 2xy + y

2 2

22 2

primeri

( a - b) = a - 2ab + b2 2 2

primeri

49 25 = (7 5) (7 + 5) = 2 12= 24

= 5 3 = 2 ( 5 - 3)( 5+ 3)

1. Uprostiti izraze:

2 2

a b a + b+ - =

ab - b a - ab ab 2a + 1 6a 2a - 1

+ - = a + 2 a - 4 a - 2

2 2

2

a - a a + 2a + 1 =

a - 1 a + a

2 2 2

2 2 2

a + b - c + 2ab=

a + c - b + 2ac

a)

d)

b)

c)

2

2 2

2

a + 1 6a 2a - 1+ - =

a + 2 a - 4 a - 2

a + 1 6a 2a - 1+ - =

a + 2 (a + 2)(a - 2) a - 2

(a + 1)(a - 2) + 6a - (2a - 1)(a + 2)=

(a + 2)(a - 2)

a - 2a + a - 2 + 6a - (2a + 4a - a - 2)=

(a + 2)(a - 2)

a - 2a + a - 2 + 2

2

6a - 2a - 4a + a + 2=

(a + 2)(a - 2)

- a + 2a - a(a - 2) - a = =

(a + 2)(a - 2) (a + 2)(a - 2) a + 2

1.b)

ax + b = c (opti oblik)

x = (reenje) c - b

a

primer:5x + 3 = 23

5x = 23 3

x =

x =

x = 4

20

5

23 - 3

5primer: 5x - 3 = 22

5x = 22 + 3 x =

x = x = 522 + 3

5

25

5

duga menja pol osobe, = menja znak broja

1. Reiti jednaine:a) 9 2x = 5x + 2

b) 3(2 3x) + 4(6x - 11) = 10 x

f) |5x - 1| + x = 2

g) |x 4| - |2x + 3| = 2

h) |x + 2| - |x 2| = 4

y - 5 2y - 3 6y + 5 + 2 = -

7 2 14c)

2 2(x + 3) (x 4) = 2x 13d)

2 - x 1 - x 2x = 1 + -

2 3 3e)

2 1 =

x - 2 x + 3

x + 5 1 2x - 3 = +

3x - 6 2 2x - 4

2

2x - 1 8 2x + 1 + = 2x + 1 4x - 1 2x - 1

2. Reiti jednaine:

a)

c)

b)

3. Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko godinae otac biti dva puta stariji od sina?

4. Turistiki aranman se plaa u tri rate. Prva rata

iznosi cene aranmana, druga ostatka, a

trea 40 eura. Kolika je cena aranmana?

1

4

2

3

9 2x = 5x + 2

2x 5x = 2 9

7 x = 7

x = 1

y - 5 2y - 3 6y + 5 + 2 = - /14

7 2 14

2(y - 5) + 28 = 7(2y - 3) - (6y + 5)

2y - 10 + 28 = 14y - 21 - 6y - 5

2y - 14y + 6y = - 21- 5 + 10 - 28

- 6y = - 44 /(- 1)

6y = 44

44y =

6

22y =

3

1.a) 1.c)

2 1 =

x - 2 x + 3

2(x + 3) = x - 2

x = - 8

uslovi:x 2, x -3

ispunjava uslove

2.a)

3

23

2

uslovi I i III:(x-4)-(2x+3)=2-x = 9x=-9, ne ispunjava

uslove I i III

|x-4|

|2x+3|

x 4; x-40, x 4

-(x 4); x-4

ax + b > c

a > 0 => x >

a < 0 => x 0 => x >

a < 0 => x >

c - b

a

b - c

a

c - b

a

b - c

a

primer: 5x - 3 > 22

5x > 22 + 3 x >

x > x > 5

x ,

22 + 3

5

25

5

primer: -5x - 3 22

-5x 22 + 3 x --5x 25 /*(-1)

5x -25 x - 5

x -,

25

5

1. Reiti nejednaine:a) 3(x 2) + 9x < 2(x + 3) + 8

b) (x 2) + 3x < 2(x + 3) + 6

c) (x 2) + 3x < 5(x + 3) + 6

d) 2x - 9 8x 4(3,75 3x)

e) - 1

f) (x 1) (x 4) > 0

g) (x + 3) (x - 5) 0

h) -2

2y + 1 3y - 2 -

3 2

6 - x

3 - x

3(x 2) + 9x < 2(x + 3) + 8

3x 6 + 9x < 2x + 6 + 8

3x + 9x 2x < 6 + 8 + 6

10x < 20

x < 2

x (-,2)

1.a)

(x 1) (x 4) > 0

I sluaj:

x 1 > 0 x 4 > 0x > 1 x > 4

x (4,+)

II sluaj:

x 1 < 0 x 4 < 0x < 1 x < 4

x (-,1)

2

1 4

41

Reenje je: x (-,1) U (4,+)

1.f)

A B

f : A -> B ili y = f(x)

x1x2...

y1y2...

f

y = xk = 1n = 0

y = kx + n

n :presek sa y-osom

presek sa x-osom: y=0kx + n = 0

x= - (nula funkcije)n

k

y = 2x + 4

x 0 -2 2

y 0 -2 2

domen kodomen

y = -3k = 0n = -3

x = 2k = 0n = 2

k : koeficijent pravca

ako je grafici funkcija su paralelni ako je grafici funkcija su normalni

1 1 1 2 2 2y = k + n , y = k + n

1 2k = k

1 2k k = -1

y = -2x + 4k = -2 < 0n= 4

y = 2x + 4k = 2 > 0n= 4

monotonost funkcije

k0

funkcija jeopadajua

funkcija je rastua

znak funkcije

y0

funkcija jenegativna,ispod x-ose

funkcija je pozitivna,iznad x-ose

y > 0 zax(-,2)

y > 0 zax(-2,+)

y < 0 zax(2,+)

y < 0 zax(-,-2)

1. Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije:

2. Dat je skup funkcija y = 4mx (3m - 2)a) Odrediti m tako da nula funkcije bude x=2

b) Za dobijeno m ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije

1y = x - 1

2y = 2x - 6 y = - x + 1

y = - 3x + 2 2y = 3x + 2 2x = 3y + 2

a)

d)

b) c)

f)e)

1) domen (oblast definisanosti): x R2) nule funkcije:

3) znak funkcije:

4) monotonost:k = -1 => f-ja je opadajua

y = 0-x+1=0-x = -1x = 1

y > 0-x+1>0-x > -1/(-1)x < 1

za x(-,1)f-ja je pozitivna

y < 0-x+1 1

za x(1,+)f-ja je negativna

1. c)

Racionalni i iracionalni brojevi

Aritmetike operacije sa racionalnimbrojevima

Linearne jednaine

http://www.youtube.com/watch?v=XcGXNhGSPss&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=XcGXNhGSPss&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=XcGXNhGSPss&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=XcGXNhGSPss&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=XcGXNhGSPss&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=XcGXNhGSPss&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=XcGXNhGSPss&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=tqdCYKiWU0M&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=tqdCYKiWU0M&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=tqdCYKiWU0M&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=tqdCYKiWU0M&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=tqdCYKiWU0M&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=tqdCYKiWU0M&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=tqdCYKiWU0M&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=tqdCYKiWU0M&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=tqdCYKiWU0M&feature=relatedhttp://www.youtube.com/watch?v=qgq21f5U7R0http://www.youtube.com/watch?v=qgq21f5U7R0http://www.youtube.com/watch?v=qgq21f5U7R0