70270366 vezbe1 brojevni izrazi algebarski izrazi linearne jednacine i nejednacine linearne funkcije

Click here to load reader

Post on 18-Nov-2015

78 views

Category:

Documents

11 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

ZAdaci

TRANSCRIPT

  • Milo Marinkovi

    Matematika 2011/12 HiT Vrnjaka Banja

  • N = {1,2,3, . . .}

    m, n, k N (m,n i k su elementi skupa prirodnih brojeva) m + n e N

    m n e N

    (m+n)+k = m+(n+k) (asocijativnost sabiranja)

    m+n = n+m (komutativnost sabiranja)

    (mn)k = m(nk) (asocijativnost mnoenja)

    mn = nm (komutativnost mnoenja)

    n1 = 1n = n (postoji neutralni element za mnoenje)

    k(m+n) = km+kn (distributivnost mnoenja u odnosu na sabiranje)

    N0 = {0,1,2,3, . . .}

    k + 0 = 0 + k = k (postoji neutralni element za sabiranje)

    N0

    N

  • Z

    Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . .}

    k Z (k je element skupa celih brojeva)

    k + (-k) = 0 ( -k je inverzni element za sabiranje u odnosu na element k)

    k i (-k) su suprotni brojevi

    N0

    N N = {n| n Z n>0}

    skup celih brojeva veih od 0

    N0 = {n| n Z n 0}

    skup celih brojeva veih od 0 ili jednakih 0

  • a,b,c Z

    oduzimanje se svodi na sabiranje a b = a + (-b)

    a b c = a + (-b) + (-c)

    prioritet operacijavii prioritet mnoenje ( * )

    deljenje ( : )nii prioritet sabiranje (+)

    oduzimanje (-)

    a b + c = (a b) + c a b c = a (b c) a + b : c = a + (b : c) a : b c = (a : b) - c

    a b : c = a : b : c = a : b c = ? nepravilan zapis neophodne zagrade

    a (b + c) = a b c minus (-) ispred zagrade menja

    znak svih brojeva unutar zagrada

  • 1. Izraunati vrednost izraza:a) 1233 999 +767 601=

    b) 1400 + 863 1368 495=

    c) 124 + (336 (270 58)) (211 + 36) =

    d) 16 240 + 16 173 16 113 =

    e) 150 + 17 3 105 =

    f) 232 11 + 60 - 81 : 3 + 3 5 =

    g) (-3) (-2) ( -12 + (5 (-2) + 2 (-7 2 (-3)) 3 (-2))) + (-7) (-3) =

    h) 4 (7 6) 315 3[7 (3 1) 2 (2 + 3)] (1) + 2 =

    2. U izrazu 7 6 + 12 : 3 1 postaviti zagrade tako davrednost izraza bude:

    a) 17

    b) 69

    c) 45

    d) 35

  • 1233 999 + 767 601

    = 234 + 767 601

    = 1001 601

    = 400

    1233 999 + 767 601

    = 234 + 166

    = 400ILI

    1.a)

    (-3) (-2) ( -12 + (5 (-2) + 2 (-7 2 (-3)) 3 (-2)))+ (-7) (-3)= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 (-7 (-6)) - (-6))) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 (-7 + 6 ) + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 (-1) + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 -2 + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -6 )) + 21= 6 - ( -18) + 21= 6 +18 + 21= 45

    1.g)

    7 (6 + 12 : 3) 1 = 7 (6 + 4) 1 = 7 10 -1= 70 1=692.b)

  • Broj je deljiv sa 2 ako se zavrava sa 0,2,4,6,8

    Broj je deljiv sa 3 ako mu je zbir cifara deljiv sa 3

    Broj je deljiv sa 5 ako mu je poslednja cifra 0 ili 5

    Broj je deljiv sa 4 ako je njegov dvocifreni zavretak deljiv sa 4

    Broj je deljiv sa 6 ako je deljiv sa 2 i sa 3

    Broj je deljiv sa 8 ako mu je trocifreni zavretak deljiv sa 8

    Broj je deljiv sa 9 ako mu je zbir cifara deljiv sa 9

    Broj je deljiv sa 10 ako se zavrava sa 0, sa 100 ako se zavrava sa 00 , itd.

    Prosti brojevi su deljivi samo sa jedinicom i sa samim sobom 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

    Sloeni brojevi su deljivi sa jo nekim brojem osim sa jedinicom i sa samimsobom 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14

    Jedinica po dogovoru nije ni prost ni sloen broj.

  • Najmanji zajedniki sadralac (NZS) je najmanji broj koji je deljiv sa datimbrojevima.

    Najvei zajedniki delilac (NZD) je najvei broj sa kojim moemo podelitidate brojeve.

    NZS(3,4) = 12

    3,4 23,2 23,1 31,1

    NZD(8,24,6) = 2

    8,24,6 24,12,3

    primer

    primer

  • - -

    Q

    Q = { | p Z, q N }

    celi brojevi : k Z => Q

    razlomci : { | p Z, q N, NZD(p,q)=1}, decimalni brojevi

    meoviti brojevi: { | k Z ,p Z, q N, NZD(p,q)=1, = }

    Z

    N0

    N

    p

    q

    p

    q

    1

    k

    pk

    q

    pk

    q

    k q + p

    q

    1 3 10 2 3, , , , 2 ,

    2 7 17 25 4

    73

    81,2, 2,

    k = 1 ( je inverzni element za

    mnoenje u odnosu na element k)

    1

    k

    1

    k

  • sabiranje

    + = p

    q

    m

    n

    NZS (q, n) NZS (q, n) p + m

    q n

    NZS (q, n)

    oduzimanje

    - = p

    q

    m

    n

    NZS (q, n) NZS (q, n) p - m

    q n

    NZS (q, n)

    2 3 17+ =

    3 4 12

    primer

    2 3 1 - = -

    3 4 12

    primer

  • mnoenje

    = p

    q

    m

    n

    p m

    q n

    deljenje

    : = =

    2 3 6 =

    3 4 12

    primer

    2 3 8 : =

    3 4 9

    primer

    p

    q

    m

    n

    p n

    q m

    p

    q

    n

    m

  • 1. Izraunati vrednost izraza:

    1 5 5 2 120 1 6 3 :5

    3 7 12 3 2

    2 3 1

    5 43 2

    1 4 5

    2 1 11 : 7 0,23

    9 3 6

    12 1,2

    8

    a)

    d) c)

    b)

    1 23 1 4,2 2,25 4

    2 3

    3 1 3 2 74 2 5 :3

    4 2 4 3 9

  • (:13

    (:13

    2 3 7 3 28 15 13 1

    13 15 4 5 4 20 203 2 1 6 20 6 26 26 2

    1 4 5 1 20 20 20

    1.b)

    skraivanje razlomaka

    ako je NZD(a,b)=c tada vai (:c

    (:c

    a

    a a cbb b

    c

  • oni koji nisu racionalni algebarski reenja (koreni) jednaina sa racionalnim koeficijentima:

    -

    transcedentni

    p = O/(2 r), e,

    Q I =

    Q

    Z

    N0

    N

    I

    33

    2, 10, ,9

    3

  • R = Q I

    |

    Q

    Z

    N0

    N

    I

    R

    C skupkompleksnih

    brojeva

    -1 0 1 21

    2

    R

  • apsolutna vrednost broja x

    |x|

    n-ti stepen broja x

    x = xx x x = xx

    n-ti koren broja x

    x , ako je x 0

    -x , ako je x < 0

    n

    n puta

    2

    x = y y = xn n

    16 = 4 jer je 4 =162

    primeri

    primeri

    primeri

    |5| = 5

    |-5| = 5

    3 = 9

    3 = 243

    2

    5

    144 = 12

    5 243= 3

  • ( 3 + 4) = 9 + 24 + 16 = 492

    razlika kavadrata:

    x - y = (x y) (x + y)

    kvadrat binoma:

    (x + y) = x + 2xy + y

    2 2

    22 2

    primeri

    ( a - b) = a - 2ab + b2 2 2

    primeri

    49 25 = (7 5) (7 + 5) = 2 12= 24

    = 5 3 = 2 ( 5 - 3)( 5+ 3)

  • 1. Uprostiti izraze:

    2 2

    a b a + b+ - =

    ab - b a - ab ab 2a + 1 6a 2a - 1

    + - = a + 2 a - 4 a - 2

    2 2

    2

    a - a a + 2a + 1 =

    a - 1 a + a

    2 2 2

    2 2 2

    a + b - c + 2ab=

    a + c - b + 2ac

    a)

    d)

    b)

    c)

  • 2

    2 2

    2

    a + 1 6a 2a - 1+ - =

    a + 2 a - 4 a - 2

    a + 1 6a 2a - 1+ - =

    a + 2 (a + 2)(a - 2) a - 2

    (a + 1)(a - 2) + 6a - (2a - 1)(a + 2)=

    (a + 2)(a - 2)

    a - 2a + a - 2 + 6a - (2a + 4a - a - 2)=

    (a + 2)(a - 2)

    a - 2a + a - 2 + 2

    2

    6a - 2a - 4a + a + 2=

    (a + 2)(a - 2)

    - a + 2a - a(a - 2) - a = =

    (a + 2)(a - 2) (a + 2)(a - 2) a + 2

    1.b)

  • ax + b = c (opti oblik)

    x = (reenje) c - b

    a

    primer:5x + 3 = 23

    5x = 23 3

    x =

    x =

    x = 4

    20

    5

    23 - 3

    5primer: 5x - 3 = 22

    5x = 22 + 3 x =

    x = x = 522 + 3

    5

    25

    5

    duga menja pol osobe, = menja znak broja

  • 1. Reiti jednaine:a) 9 2x = 5x + 2

    b) 3(2 3x) + 4(6x - 11) = 10 x

    f) |5x - 1| + x = 2

    g) |x 4| - |2x + 3| = 2

    h) |x + 2| - |x 2| = 4

    y - 5 2y - 3 6y + 5 + 2 = -

    7 2 14c)

    2 2(x + 3) (x 4) = 2x 13d)

    2 - x 1 - x 2x = 1 + -

    2 3 3e)

  • 2 1 =

    x - 2 x + 3

    x + 5 1 2x - 3 = +

    3x - 6 2 2x - 4

    2

    2x - 1 8 2x + 1 + = 2x + 1 4x - 1 2x - 1

    2. Reiti jednaine:

    a)

    c)

    b)

    3. Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko godinae otac biti dva puta stariji od sina?

    4. Turistiki aranman se plaa u tri rate. Prva rata

    iznosi cene aranmana, druga ostatka, a

    trea 40 eura. Kolika je cena aranmana?

    1

    4

    2

    3

  • 9 2x = 5x + 2

    2x 5x = 2 9

    7 x = 7

    x = 1

    y - 5 2y - 3 6y + 5 + 2 = - /14

    7 2 14

    2(y - 5) + 28 = 7(2y - 3) - (6y + 5)

    2y - 10 + 28 = 14y - 21 - 6y - 5

    2y - 14y + 6y = - 21- 5 + 10 - 28

    - 6y = - 44 /(- 1)

    6y = 44

    44y =

    6

    22y =

    3

    1.a) 1.c)

    2 1 =

    x - 2 x + 3

    2(x + 3) = x - 2

    x = - 8

    uslovi:x 2, x -3

    ispunjava uslove

    2.a)

  • 3

    23

    2

    uslovi I i III:(x-4)-(2x+3)=2-x = 9x=-9, ne ispunjava

    uslove I i III

    |x-4|

    |2x+3|

    x 4; x-40, x 4

    -(x 4); x-4

  • ax + b > c

    a > 0 => x >

    a < 0 => x 0 => x >

    a < 0 => x >

    c - b

    a

    b - c

    a

    c - b

    a

    b - c

    a

    primer: 5x - 3 > 22

View more