predavanja iz osnova linearne algebre

8/13/2019 Predavanja Iz Osnova Linearne Algebre

1/33

LINEARNAALGEBRA

Borka Jadrijevic

PREDAVANJA: ponedjeljak1, 10:00 12:00

srijeda, 10:00 12:00

KONZULTACIJE: ponedjeljak, 12:00 13:00

srijeda, 12:00 13:00

1 svaki drugi


2/33

Sadraj:

1.Linearni operatori

2.Matrice i determinante

3.Invarijante linearnog operatora

4.Sustavi linearnih jednadbi

5.Unitarni prostori

6.Operatori na unitarnom prostoru


3/33

Literatura:

Udbenici:

K. Horvatic, Linearna algebra, Golden marketing -Tehnicka knjiga, Zagreb, 2004. (str. 289.-505.);

S. Kurepa,Uvod u linearnu algebru, kolska knjiga,Zagreb, 1990.

N. Elezovic, Linearna algebra, Element, Zagreb,

2001.

Zbirke zadataka:

N. Bakic, A. Milas, Zbirka zadataka iz linearnealgebre s rjeenjima, PMFMatematicki odjel,

HMD, Zagreb, 1995.; N. Elezovic, A. Aglic, Linearna algebra zbirka

zadataka, Element, Zagreb, 2001.


4/33

Obveze:

predavanja ( 70%)

vjebe ( 70%)

Provjere znanja:

domace zadace;

kratki testovi;

dva kolokvija (parcijalna ispita):

- zadaci;- oba pozitivna.

zavrni ispit:

- pismeni ispit;- usmeni ispit.


5/33

Prisjetimo se:

1.Uredeni par(G; ), koji se sastoji odGneprazanog

skupaGi binarne operacije : G G ! G;

(a; b) 2 G G ! a b 2 G;

nazivamogrupa, ako su ispunjeni ovi uvjeti:

i) binarna operacija jeasocijativna,tj. vrijedi

(a b) c=a (b c) ; 8a;b;c 2 G;

ii) posjedovanje (jedinstvenog) neutralnog ele-menta, tj. postoji (tocno jedan) e 2 G sasvojstvom

e a=a e=a; 8a 2 G;

iii) svaki element je invertibilan, tj. za svaki a 2 Gpostoji (tocno jedan)a1 2 Gsa svojstvom

a1 a=a a1 =e;

Uz dodatni zahtjev:

iv) binarna operacija jekomutativna,tj. vrijedi

a b=b a; 8a; b 2 G;

onda kaemo da je (G; ) komutativna iliAbelova grupa.


6/33

Napomena:

Obicno piemo:

a b a b ab;i neutralni elementcesto oznacavamo sa1i nazi-vamojedinica;

Abelova grupa se obicno zapisuje aditivno, tj.(G; +) :Oznake:

i)0 - neutralni element, kojeg ovdje nazivamonula;

ii) a - inverz, kojeg ovdje nazivamo suprotni element;

2.Komutativan prsten s jedinicom bez djelitelja nule ukojem svaki element razlicit od nule ima multiplika-tivni inverz naziva sepolje;

Alternativna denicija polja:

Prsten (P; +; ) u kojem je (P f0g ; ) Abelovagrupa naziva sepolje.

Uocimo: Po ovoj deniciji polje ima barem dvaelementa, i vrijedi0 6= 1;


7/33

3.Neka jeV = (V; +)Abelova grupa i F = (F; +; )polje. Nadalje, neka je

h:F V ! V

preslikavanje kojeg nazivamo vanjsko ili hibridnomnoenje, i kratko oznacujemo sah (; a) = a,koje ima ova svojstva:

i)kvaziasocijativnost,tj.

(a) = () a; 8; 2 F; 8a 2 V;

ii)posjedovanje jedinice, tj.

1 a=a; 1 2 F i 8a 2 V;

iii)distributivnost u odnosu na zbrajanje uF, tj.

(+) a=a+a; 8; 2 F; 8a 2 V;

iv)distributivnost u odnosu na zbrajanje uV, tj.

(a+b) =a+b; 8 2 F; 8a; b 2 V:

Tada uredenu trojku (V ; F ; h)nazivamo linearniili

vektorski prostor.Napomena:U svakom vektorskom prostoru vrijedi:

a= ako i samo ako jea= ili = 0:


8/33

1. LINEARNI OPERATORI

Kada izucavamo neku matematicku strukturu

posebno nas zanimaju preslikavanja koja potuju tustrukturu.

Specijalno, linearni operatori potuju strukturulinearnog prostora.

1.1 Denicija i osnovna svojstva

Denicija 1.1Neka suU iVlinearni prostori nad is-tim poljemF i

f :U! V

neko preslikavanje. Kaemo da je to preslikavanjelinearni operatorako ima ova svojstva:

i)aditivnost,tj.

f(a+b) =f(a) +f(b) ; 8a; b 2 U;

ii)homogenost, tj.

f(a) =f(a) ; 8 2 F i 8a 2 U:

Napomena:Koristimo jo nazive: homomorzamlinearnih prostora, linearno preslikavanje, lin-earna transformacija.


9/33

Uo cimo:Zbog i) (aditivnosti), za svaki linearni oper-atorf :U! Vvrijedi (dokazati!);

1: f(U

) = V

;

2: f(a) = f(a) ; 8a 2 U:

Kriterij za prepoznavanje linearnog operatora:

Propozicija 1.1Preslikavanjef : U !V je linearni

operator onda i samo onda, ako za svaki ; 2 F isvakia; b 2 Uvrijedi2

f(a+b) =f(a) +f(b) : (*)

Dokaz:

Poopcenje Propozicije 1.1:

Propozicija 1.2 Neka su ai 2 Ubilo koji vektori,i 2Fbilo koji skalari,i= 1;:::;k. Onda za linearnioperatorf :U! V vrijedi

f k

Xi=1

iai! =k

Xi=1

if(ai) :

Dokaz:

2 svojstvo()se nazivasvojstvo linearnosti


10/33

Uo cimo:Propozicija 1.2 nam govori da je linearnioperator preslikava linearnu kombinaciju vektora u lin-earnu kombinaciju njihovih slika sistim koecijentima.

Propozicija 1.3Kompozicija linearnih operatora jelinearni operator.

Dokaz:

1.2 Primjeri linearnih operatora

Primjer 1Neka jeV linearan prostor nad poljemF i 2 F. Deniramo:

h:V ! V; h (x) =x; 8x 2 V:

Operator (preslikavanje) h je linearni operator(dokazati!) kojeg nazivamo homotetija u pros-toruV s koecijentom:

Specijalno linearni operatori su:

za = 0 je h (x) =: n (x) = V; 8x 2 V - nul-operator;

za = 1jeh (x) =: e (x) = x; 8x 2 V - jedini cnioperator (identiteta);


11/33

Primjer 2Neka jeLpotprostor linearanog prostoraV, tj. L < V.

1.2.1Operator (preslikavanje)

i:L ! V; i (x) =x; 8x 2 L:

je linearni operator (dokazati!) kojeg nazivamoinkluzija:

2.2Neka je M direktni komplement od L; tj.V = L M: Tada svaki x 2 V ima jednoz-nacan prikaz

x=a+b; a 2 L; b 2 M:

Deniramo:

pM :V ! L;

pM(x) =pM(a+b) =a; 8x 2 V:

Operator (preslikavanje)pMje linearni operator(dokazati!) kojeg nazivamo projekcijaili pro-jektorprostora V na potprostorL u smjeruM:


12/33

2.3Deniramo:

q:V ! V=L;

q(x) =x+L; 8x 2 V:

Operator (preslikavanje) q je linearni operator(dokazati!) kojeg nazivamo prirodna projekcijailikvocjentni operatorprostoraVna kvocijentniprostorV=L:3

3 Ako jeL potprostor linearanog prostoraV nad poljemF, tj. L < V, onda zasvakix 2 Vdeniramo skupove

x+L= fx+a: a 2 Lg ;Moe se pokazati da je:

x+L= L+x;gdje jeL+x= fa+x: a 2 Lg (dokazati!).

zax; y2 V;su skupovix+Liy+Lili jednaki ili disjunktni (dokazati!):

Zbog toga je dobro deniran skup

V =L= fx+L: x 2 Vg ;

koji uz operacije denirane sa

1: (x+L) + (y+L) = (x+y) +L; 8 (y+L) ; (x+L) 2 V=L

2: (x+L) =x+L; 8 2 F; 8 (x+L) 2 V =L

ima strukturu vektorskog prostora nad poljemF(dokazati!)


13/33

1.3 Egzistencija i nacini zadavanja linearnih operatora

Ako suU iVlinearni prostori nad istim poljemF;

onda postoji barem jedan linearan operatorU! V;to je npr. nul-operatorn (x) = V; 8x 2 U:

Pokazat cemo da u slucaju U; V 6= fg uvijekpostoje i netrivijalni linearani operatori (6= nul-operatora).

Teorem 1.1Ako je fa1;:::;ang Ubaza zaU, a skupfb1;:::;bng V bilo koji nclani skup vektora izV;onda postoji tocno jedan linearni operatorf :U! Vza koji vrijedi

f(ai) =bi; 8i= 1;:::;n:

Dokaz:

Uo cimo:Teorem 1.1 nam govori da je linearni opera-torf :U! Vjedinstveno zadan djelovanjem na bilokojoj bazi odU.

Napomena:Tvrdnja Teorema 1.1 je istinita i u slucajibeskonacnodimenzionalnih prostora.


14/33

1.4 Izomorzam linearnih prostora

Denicija 1.2Neka suU iVlinearni prostori nad is-

tim poljemF if :U! V

neki operator (preslikavanje). Kaemo da je to pres-likavanjeizomorzam linearnih prostoraako jef:

i) linearni operator;

ii) bijekcija.

Izomorzam prostora na sebe samog naziva seauto-morzamodU iliregularan operator. Za operatorkoji nije regularan kaemo da jesingularan.

Uo cimo:Buduci je izomorzamf :U ! V bijekcija,to je dobro deniran inverzni operator (preslikavanje)

f1 :V ! U

(koji je takoder bijekcija). Vrijedi:


15/33

Propozicija 1.4

i)Jedinicni operator (preslikavanje) je izomorzam

(automorzam);ii)Inverzni operator (preslikavanje) izomorzma lin-

earnih prostora je opet izomorzam;

iii)Kompozicija izomorzama operatora je izomor-zam.

Dokaz:

Denicija 1.3 Kaemo da je linearan prostorUizomorfanlinearnom prostoruV i piemo

U=V;

ako postoji barem jedan izomorzam linearnih pros-toraf :U! V:

Teorem 1.2Realacija =, tj. relacija "biti izomorfan" jerelacija ekvivalencije na klasi svih linearnih prostora

nad istim poljem.Dokaz:


16/33

Uo cimo:

Realacija "biti izomorfan" medu linearnim pros-

torima nad istim poljem provodi rastav na disjunktneklase;

Linearni prostori u istoj klasi su "jednaki" (apstrak-tno gledajuci).

Propozicija 1.5Neka jef :U !V izomorzam lin-earnih prostora. Neka jeS Ubilo koji skup vektoraizU, aT Vnjihova slika pof;tj. f(S) =T:

i) SkupSje linearno nezavisan ako i samo ako je Tlinearno nezavisan.

ii) SkupSrazapinjeUako i samo ako jeT razapinje

V.

Dokaz:

Korolar 1.3Neka jef :U! V izomorzam linearnihprostora. Onda svaka baza odUprelazi (po f);u

neku bazu odV i obratno, svaka baza odV je slika(pof) neke baze prostoraU.

Dokaz:


17/33

Iz Korolara 1.3 slijedi:

Korolar 1.4Ako suU iVizomorfni prostori, onda je

dim U= dim V:

Dokaz:

Obrat Korolara 1.3:

Propozicija 1.6Neka suU iV linearni prostori nadistim poljem F iste dimenzije. Onda su ti prostoriizomorfni, tj. U=V:

Dokaz:

Karakterizacija izomorfnih prostora:

Teorem 1.3Dva linearna prostora nad istim poljemFsu izomorfna ako i samo ako imaju istu dimenziju.

Dokaz:

Uo cimo:

Linearni prostori iste dimenzije su "jednaki" (ap-straktno gledajuci).


18/33

Korolar 1.5Svakindimenzionalni linearni prostorVnad poljem Fje izomorfan s koordinatnim pros-toromFn:

Dokaz:

Napomena:Sve to vrijedi za linearni prostorFn vri-jedi i za svaki drugindimenzionalni linearni prostorV:Kaemo daFn reprezentiraili da je standardnimodelza linearne prostore dimenzijen:

1.5 Rang i defekt

Linearni operatori potuju i svojstvo "biti potprostor".

Propozicija 1.7Neka jef : U ! V linearni opera-tor,L < U iM < Vpotprostori danih prostora. Tadajef(L) V potprostor prostoraV, tj. f(L) < V if1 (M) Upotprostor prostoraU, tj. f1 (M)< U:

Dokaz:


19/33

Iz Propozicije 1.7 vidimo da su svakom linearnom op-eratoruf :U! Vpridruena dva potprostora:

f(U)< Vkojeg nazivamoslikomlinearnog opera-torafi oznacijemoIm f iliS(f) :

f1 (V) < Ukojeg nazivamo jezgromlinearnogoperatorafi oznacijemoKer f iliJ(f) :

Deniramo: Ranglinearnog operatorafkao dimenzija njegove

slike, tj.r=r (f) = dim S(f) ;

Defekt linearnog operatora fkao dimenzija nje-

gove jezgre, tj.d=d (f) = dim J(f) ;

Teorem 1.4Neka je f : U ! V linearni operator.Onda je suma ranga i defekta odfjednaka dimenzijiprostoraU, tj.

r (f) +d (f) = dim U;

Dokaz:


20/33

Uo cimo:

Za sve linearne operatore koji djeluju na istom

prostoru Usuma ranga i defekta je konstantna ijednakadim U:

1.6 ProstorHom(U; V)

Neka suU iVlinearni prostori nad istim poljemF i

neka je sHom(U; V) = ff :U! V :flinearn operatorg

oznacen skup svih linearnih operatora iz UuV:

Napomena: Za Hom(U; V) koristimo jo oznake:fU! Vg ; Lin(U; V):

SkupHom(U; V)se na prirodan nacin moesnabdjeti strukturom vektorskog prostora:

Propozicija 1.8Neka suf :U !V,g :U !V lin-earni operatori, tada je preslikavanjef+g :U !V;

gdje je (f+g) (x) =:f(x) +g (x) ; 8x 2 U

linearni operator.

Dokaz:


21/33

Propozicija 1.9Skup Hom(U; V) je u odnosu nazbrajanje linearnih operatora Abelova grupa.

Dokaz:

Propozicija 1.10Neka je f : U ! V linearni op-erator i 2 Fbilo koji skalar, tada je preslikavanjef :U! V;gdje je

(f) (x) =:f(x) ; 8x 2 U

linearni operator.

Dokaz:

Teorem 1.5Skup Hom(U; V)je, u odnosu na op-eracije zbrajanja linearnih operatora i mnoenja sa

skalarom linearni prostor nad poljemF.

Dokaz:

Prirodno pitanje je: Kolika je dimenzija prostoraHom(U; V

Teorem 1.6Neka suU iV (konacnodimenzionalni)linearni prostori nad istim poljemF:Onda je

dim Hom(U; V) = dim U dim V:

Dokaz:


22/33

Ako jeU=Vonda uvodimo oznaku

Hom(V; V) =:HomV;pa, po Teoremu 1.6, odmah slijedi

dim HomV= (dim V)2 :

Buduci je uHomVdobro denirana kompozicija lin-earnih operatora, onda deniramo produktlinearnihoperatora na sljedeci nacin:

Neka suf : V ! V, g : V ! V linearni operatori.Deniramo preslikavanje

f g:V ! V;gdje je

(fg) (x) =: (f g) (x) =f(g (x)) ; 8x 2 V;

koje je opet linearan operator izHomV (po Propozi-ciji 1.3).

Na taj nacin smo denirali novu binarnu operaciju uHomVsa svojstvima danim sljedecom propozicijom.


23/33

Propozicija 1.11Mnoenje linearnih operatora u lin-earnom prostoruHomV ima sljedeca svojstva:

i)kvaziasocijativnost,tj.(f) g= (f g) =f(g) ;

za svaki 2 Fi za svakif; g2 HomV;

ii)distributivnost u odnosu na zbrajanje uHomV, tj.

f(g+h) = f g+f h;(f+g) h = f h+gh

za svakif; g; h 2 HomV:

Dokaz:

Buduci je:

HomV linearni prostor nadF(Teorem 1.5);

binarna operacija mnoenja (def. kao komponi-ranje) u HomV ima svojstva i)i ii) iz Propozicije

1.11,ondaHomV ima strukturu algebre nad poljemF:AlgebruHomVjo nazivamolinearna algebra.


24/33

Uo cimo:Mnoenje u algebriHomV:

je asocijativno (jer je komponiranje asocijativno);

ima neutralni element e : V ! V (e jedinicnioperator);

nije komutativno (jer je komponiranje nije komuta-tivno, osim zaV = fg).

Zaklju cak: Neka je V 6= fg linearni prostor nadpoljemF: Onda jeHomV;uz komponiranje linearnihoperatora kao mnoenje, asocijativna, nekomutativna

algebra s jedinicom nad poljemF :

Za linearni operatorf2 HomVdeniramo induktivno

potencije:f2

def= f f;

fm def

= fm1f;

f0 def

= e:

Ako jep (x) =mxm +:::+1x+0; i 2 Fproizvoljanpolinom stupnjam;tada u algebri HomV moemopromatratipolinomeoblika

p (f) =mfm +:::+1f+0e; i 2 F:


25/33

Svaki takav polinom je opet linearni operator izHomV i za njega vrijede standardna pravila racu-

nanja s polinomima. Npr.f2 e= (f+e) (f e)

Oprez:Poteckoce nastupaju ako se promatraju poli-nomi u vie varijabla. Npr.

f2 g2 6= (f+g) (f g)

1.7 Linearni funkcionali. Dualni prostor.

Neka jeV linearni prostor nad poljemF: Buduci je

poljeFvektorski prostor nad samim sobom dimen-zijedim F = 1, moemo promatrati linearne operatore

l:V ! F:

Takve, specijalne linearne operatore nazivamo

linearni funkcionali.Sva preslikavanja iz linearni prostora V u odgovara-juce polje nazivamofunkcionali.


26/33

Buduci su linearni funkcionali linearni operatori, zanjih vrijedi sve do sada receno o linearnim opera-torima. Posebno je za linearni funkcionall:V ! F

r+d= dim V;

gdje jer rang, addefekt odl. Kako je

r dim F = 1;

onda vrijedi

d dim V 1:

Primjeri linearnih funkcionala

Neka jeFn koordinatni prostor nad poljemF:

Za svakii = 1;:::;n, preslikavanje

pi:Fn ! F;

pi(1;:::;i;:::n) =:i;

kojeg nazivamo ita koordinatna funkcija jelinearni funkcional (dokazati!).


27/33

Opcenitije, neka je1; :::n2 Fbilo koji ksni izborskalara izF:Deniramo

l:Fn

! F;

l (1;:::;i; :::n) =:nX

i=1

ii;

je linearni funkcional (dokazati!). Moe sepokazati da se na taj nacin mogu dobiti svi lin-

earni funkcionali naFn (dokazati!).

Neka je

Hom (V; F) =:V

skup svih linearnih funkcionala koji djeluju na lin-earnom prostoru V: To je linearni prostor (Teorem1.5), i to, po Teorem 1.6, dimenzije

dim V = dim V dim F= dim V;

kojeg nazivamodualni prostor

ilidual

odV.Napomena:Za beskonacnodimenzionalne linearneprostoreV,V iV nisu iste dimenzije. Pokazuje se:dim V = 2dim V:


28/33

Propozicija 1.12Neka jeV konacnodimenzionalnilinearni prostor. Onda je dualni prostorV prostoraVizomorfan sV.

Dokaz: Direktno iz Teorema 1.3. (dim V = dim V).

Pitanje: Kako izomorzam konstruirati?

Odaberemo bazuB = fa1;:::;ang uV i bazu f1g uF;

Po konstrukciji u dokazu Teorema 1.6, baza uV jedana funkcionalima deniranima sa:

lj(ak) =:f1j(ak) = 1; k=j0; k6=j

zaj; k= 1;:::;n:Kraci zapis

lj(ak) =:jk

gdje jejk oznaka zaKroneckerov simbol, deni-rana sa

jk=:

1; k =j0; k6=j

:


29/33

Dakle,

B = fl1;:::;lng

je baza prostoraV i ona je, ocito, jednoznacnoodredena izborom bazeBuV(Teorem 1.1). BazuB nazivamodualna bazaza bazuB.

Dakle svaka bazaB Vdenira jedan standardniizomorzam

B :V ! V

dan sa

B(ai) =:li; i= 1;:::;n:

Buduci jeV takoder linearni prostor, i on ima svojdual(V) =:V kojeg nazivamobidualodV. Ele-menti (vektori) u vektorskom prostoruV su linearnifunkcionali denirani na prostoru V svih linearnihfunkcionala koji djeluju na linearnom prostoru V:Imamo

dim V = dim V = dim V:


30/33

Konstrukciju moemo nastaviti, pa dolazimo do niza

V; V; V; V;:::

linearnih prostora nad F; pri cemu je svaki prostordual svog prethodnika. Svi ti prostori su iste dimenz-ije, tj. izomorfni. Izomorzmi opcenitiovise o izborubaze.

Medutim, izomorzamV ! V moe se konstruirati

bez posredovanja baze na sljedeci nacin:Neka je a 2 V dani vektor. Deniramo funkcional(preslikavanje) naV sa

ua:V ! F;

ua(l) =l (a) ; 8l 2 V

:

Sadacemo pokazati da jeua 2 V, tj. da jeua lin-earan funkcional naV (linearan operator izV uF).

Propozicija 1.13Funkcionaluaje linearan naV, tj.ua 2 V

:

Dokaz:


31/33

Pitanje: Je li se svaki element izV moe prikazatina gore opisan nacin?

Odgovor: Moe, ako jeV

konacnodimenzionalni lin-earni prostor. Dakle, u tom slucaju, za svakiw2 V

postojia 2 Vtakav da jew (l) =ua(l) =l (a)(dokazkasnije).

Sada, na prirodan nacin, deniramo operator (pres-likavanje)

:V ! V;

(a) =ua; 8a 2 V:

Sadacemo pokazati da jeizomorzam vektorskihprostoraV iV:Dakle, treba pokazati:

je bijekcija (injekcija i surjekcija);

je linearan.

Injektivnost:

Lema 1.1 Neka jea 2 Vvektor sa svojstvom da jel (a) = 0za svaki funkcionall 2 V;onda jea= :

Dokaz:


32/33

Propozicija 1.14Operator (preslikavanje)je injek-cija.

Dokaz:

Linearnost i surjektivnost :

Teorem 1.7Neka jeV konacnodimenzionalni linearniprostor. Onda je operator (preslikavanje)je izomor-zam linearnih prostora.

Dokaz:

Uo cimo:Dokazujuci surjektivnost odsmo dokazalii da je svaki linearan funkcionalwnaV (w 2 V)oblika

w=ua:Naime, buduci je surjektivan za svakiw2 V pos-tojia 2 Vtakav da je (a) =w;tj. w=ua:

Operatornazivamo prirodniilikanonski izomor-zamprostoraVi njegovog bidualaV:


33/33

Buduci su prostori izomorfni identiciramoua 2 V ia 2 V;i zapisujemoua=a:Uz ovu identikaciju je i

V

=V;tj. zaV konacnodimenzionalni linearni prostor dualduala je jednak polaznom prostoru, to nazivamosvojstvomreeksivnosti.

Opcenito: Linearan prostorV je reeksivanako je

prirodno izomorfan (bez posredovanja baze) sa svo-jim bidualom, tj. ako vrijediV =V:

Uo cimo:Iz Teorema 1.7 slijedi:

Vkon. dim. lin. prostor=) Vje reeksivan.

Moe se pokazati da vrijedi i obrat, tj. da vrijedi:

Teorem 1.8Linearni prostorV je konacnodimenzion-alan ako i samo ako je reeksivan.

Napomena:Za beskonacnodimenzionalne linearne

prostore ovo ne vrijedi. Dakle, reeksivnost karakter-izira konacnodimenzionalne linearne prostore.

predavanja iz osnova linearne algebre

Documents