iterativne metode za linearne sustave

Click here to load reader

Post on 30-Jan-2017

224 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustave Znanstveno racunanje 1

    2. dio vjebiIterativne metode za linearne sustave

    Nela Bosner

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    Iterativne metode za linearne sustave

    Sustavi linearnih jednadbi pojavljuju se kao posljedicarjeavanja mnogih problema u fizici, kemiji, biologiji,strojarstvu, gradevini . . .Problem: Za regularnu matricu A Rnn i vektorb Rn naci x Rn takav da je

    Ax = b.

    Rjeenje: x = A1bMetoda Gaussovih eliminacija cesto nije pogodna zamatrice velikih dimenzija i strukturirane matrice.U tim slucajevima se koriste iterativne metode, kojenajcece daju aproksimativna rjeenja.eljena tocnost aproksimativnog rjeenja postie sezadavanjem odgovarajuceg kriterija zaustavljanja.

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    Algoritam (Iterativna metoda)

    x0 zadan;k = 0;while (!kriterij_zaustavljanja){

    k + +;xk = f (xk1);

    }x xk ;

    Vano je da:za svaki k formula f (xk1) za racunanje xk jejednostavnaxk tei prema x = A1b i za neki k (obicno k n) je xkprihvatljiva aproksimacija za xkonvergencija xk prema x je to bra

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    Matricne norme

    Kod nekih iterativnih metoda za rjeavanje sustavalinearnih jednadbi racunanje kriterija zaustavljanjazahtijeva racunanje matricne norme.S druge strane, matricne norme koriste se za mjerenjagreki buduci da se kod numerickog rjeavanja oneuvijek pojavljuju zbog koritenja aritmetike konacnepreciznosti.

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    Definicija

    Preslikavanje : Cmn R je matricna norma na Cmnako zadovoljava sljedece uvjete:

    1 (A) 0, za svako A Cmn2 (A) = 0 ako i samo ako je A = 03 (A) = ||(A), za C, A Cmn4 (A + B) (A) + (B), za sve A,B Cmn

    Nazivi uvjeta:1.2. pozitivna definitnost,

    3. homogenost,4. nejednakost trokuta.

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    Definicija

    Neka su , i matricne norme na Cmn, Cnk i Cmkredom. One su konzistentne ako je

    (AB) (A)(B),

    za svaki izbor A Cmn i B Cnk .Specijalno, matricna norma na Cnn je konzistentna ako je

    (AB) (A)(B),

    za sve A,B Cnn.

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    Napomena

    Gornja definicija obuhvaca i konzistentnost matricne ivektorske norme, jer prirodno identificiramo Cn1 i Cn.Ako je konzistentna matricna norma na Cnn i A1,A2,. . . ,Am Cnn proizvoljne matrice, indukcijom seodmah vidi da je

    (A1A2 Am) (A1)(A2) (Am).

    Specijalno, za svako A Cnn i m N je

    (Am) (A)m.

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    Standardna Euklidska vektorska norma ima jednopovoljno svojstvo, a to je:

    Ux2 = x2, x Cn, U Cnn UU = UU = I,

    Buduci da je U unitarna matrica ovo svojstvo zove seunitarna invarijantnost vektorske norme, pri cemudjelovanje matrice U cuva udaljenosti.Takvo svojstvo moe se definirati i za matricne norme.

    Definicija

    Norma na Cmn je unitarno invarijantna ako je:

    (UAV ) = (A),

    za sve unitarne matrice U Cmm, V Cnn i sveA Cmn.

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    TeoremAko je konzistentna matricna norma na Cnn, onda postojivektorska norma na Cn koja je konzistentna sa .

    Dokaz.Za a Cn, a 6= 0 definirajmo

    x = (xaT ), za x Cn.

    Lako se pokae da je to norma.Vrijedi

    Ax (A)x, za x Cn.

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    Definicija

    Neka je A Cnn, tada je sa

    spr(A) = (A) = max{|| : (A)}

    definiran spektralni radijus matrice A.

    TeoremNeka je konzistentna matricna norma na Cnn. Tada zasvaku matricu A Cnn vrijedi

    (A) (A).

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    TeoremZa svaku matricu A Cnn i za svaki > 0 postojikonzistentna matricna norma A, na Cnn takva da je

    A,(A) (A) + .

    TeoremNeka je proizvoljna norma na Cn. Preslikavanje : Cnn R, definirano sa

    (A) = maxx=1

    Ax = maxx 6=0

    Axx

    ,

    za A Cnn, je konzistentna matricna norma na Cnn,konzistentna je sa , i zove se operatorska norma naCnn, inducirana vektorskom normom .

  • Znanstvenoracunanje 1

    Nela Bosner

    Iterativnemetode zalinearnesustaveMatricne norme

    Standardne iteracije

    Jacobijeva metoda

    GaussSeidelovametoda

    SOR metoda

    Zadaci

    Iteracije izKrylovljevihpotprostora

    Metoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    Prekondicioniranametoda konjugiranihgradijenata

    Zadaci

    GMRES metoda

    Zadaci

    Primjeri iz primjene

    Elektricna mrea

    Numerickorjeavanje obicnediferencijalnejednadbe

    NumerickorjeavanjePoissonovejednadbe

    NapomenaNuan uvijet da bi bila operatorska norma je

    (I) = maxx=1

    Ix = maxx=1

    x = 1,

    pri cemu je I identiteta.

View more