plagiat merupakan tindakan tidak terpuji penjabaran ... · harmonik, sedangkan persamaan keadaan...

PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Fisika

Oleh:

Ratna Listiyani

NIM : 023214017

PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2008

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS

SKRIPSI

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to obtain

the Sarjana Sains Degree In Physics

By:

Ratna Listiyani

NIM : 023214017

PHYSICS STUDY PROGRAM

PHYSICS DEPARTEMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2008


ii


iii


MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“ Live is a great big canvas and you should throw all the paint on it you can “ (Dany Kave)

PERSEMBAHAN : “Skripsi ini aku persembahkan untuk ayah dan ibuku, adik-adikku yudha, icha, dan surya yang selalu menyayangiku”

iv


PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA KUANTUM

ABSTRAK

Telah dilakukan penjabaran persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan menggunakan konsep mekanika kuantum. Persamaan keadaan gas ideal dapat diperoleh dengan menganggap potensial gas berbentuk potensial osilator harmonik, sedangkan persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menggunakan potensial osilator harmonik terganggu.

v


DERIVATION OF THE STATE EQUATIONS OF IDEAL AND REAL GASES USING QUANTUM MECHANICAL CONCEPTS

ABSTRACT

The equations of state for both ideal and real gases have been performed using quantum mechanical concepts. The equation of state for an ideal gas can be obtained by assuming that the gas potential has an oscillator harmonic potential, meanwhile the equation of state for a real gas can be obtained using the perturbed oscillator harmonic potential.

vi


KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala kasih dan

karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi

ini berjudul : ”PENJABARAN PERSAMAAN KEADAAN GAS IDEAL DAN

GAS REAL DENGAN MENGGUNAKAN KONSEP MEKANIKA

KUANTUM”, yang diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Program Studi Fisika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu

penulis baik berupa waktu, tenaga, bimbingan, dorongan, dan sumbang saran yang

penulis butuhkan dalam penyelesaian skripsi ini. Pada kesempatan ini penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada:

1. Drs. Drs. Vet. Asan Damanik, M.Si. selaku dosen pembimbing yang

telah banyak meluangkan waktu untuk membimbing, mendampingi,

memberikan dorongan dan semangat dalam pengerjaan tugas akhir ini.

2. Dr. Ign. Edi Santosa, M.S. selaku dosen pendamping akademik yang

sudah banyak memberikan pendampingan selama menjadi mahasiswa.

3. Ir. Sri Agustini Sulandari, M.Si. selaku kaprodi Fisika dan dosen yang

senantiasa memberikan kemudahan dalam memberikan materi kuliah.

4. Dwi Nugraheni Rositawati, S.Si., M.Si. selaku dosen penguji yang

telah meluangkan waktu untuk membaca dan mengkoreksi skripsi ini.

vii


5. A. Prasetyadi, S.Si., M.Si. sebagai dosen yang telah memberikan

pengajaran saat penulis menempuh masa perkuliahan.

6. Ayah dan Ibuku serta adik-adikku tercinta yang tanpa henti

memberikan dukungan, dorongan, dan doanya sehingga penulis dapat

menyelesaikan tugas akhir ini.

7. Ken yang selalu berusaha memberikan perhatian, semangat, dan

seluruh kasih sayangnya pada waktu penulis mengerjakan skripsi ini.

8. Manggar, Frida, mbak Ayuk, Sisca dan mbak Yuni yang telah menjadi

sahabat yang sangat baik dan selalu menyayangiku dengan tulus.

9. Mbak Yamidah dan mbak Tatik yang selalu sabar mengajariku ketika

menemui kesulitan dalam mengerjakan skripsi ini.

10. Mas Toro, mbak Lia, mas Yanto, mbak Prapti, mas Edi, mbak Sasti,

dan seluruh keluarga besar yang tidak pernah lelah memberikan

dukungannya.

11. Teman-teman fisika diantaranya Adet, Danang, Inke, Bambang, Iman,

Adit, Lius, Hari, Enzo, Minto, Ismeth, Mamat, Ridwan, Ade, Siska,

Sujad dan Dian yang telah memberikan kenangan manis saat

bersama-sama menempuh masa perkuliahan.

12. Seluruh Staff Pengajar Jurusan Fisika yang telah memberikan

pengajaran dan pendampingan.

viii


Penulis menyadari bahwa dalam penulisan ini masih banyak kekurangan, oleh

karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang sangat membangun

dari berbagai pihak.

Akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi dunia

pendidikan dan khususnya pembaca.

Yogyakarta, September 2008

Penulis

ix


x


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ……………………………………………… i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………… ii

HALAMAN PENGESAHAN .….………………………………… iii

HALAMAN MOTO PERSEMBAHAN ………………...………… iv

ABSTRAK ………………………………………………………… v

ABSTRACT ….…………………………………………………… vi

KATA PENGANTAR …..………………………………………… vii

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA…………………………… x

DAFTAR ISI ………………………………………………………. xi

BAB I. PENDAHULUAN…………………………………………. 1

1.1. Latar Belakang …………………………………………… 1

1.2. Perumusan Masalah ……………………………………. 3

1.3. Batasan Masalah ……...…………………………………. 4

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian ………………………… 4

1.4.1. Tujuan Penelitian …..……………………………… 4

1.4.2. Manfaat Penelitian .…...…………………………… 4

1.5. Sistematika Penulisan …...…………………....………… 5

BAB II. DASAR TEORI …...……………………………………… 6

2.1. Teori kinetik Gas ….….…………………………...……… 6

2.2. Osilator Harmonik ….......………………………………… 16

2.3. Osilator Harmonik yang Terganggu …......……..………… 22

Bab III. Metodologi Penelitian …...........................………………… 28

3.1. Jenis Penelitian …........…………………………………… 28

3.2. Sarana Penelitian ….........………………………………… 28

xi


3.3. Langkah-Langkah Penelitian ….......……………………… 28

Bab IV. Hasil dan Pembahasan …......……………………………… 29

4.1. Hasil Perhitungan ……………………………………….. 29

4.1.1. Persamaan Keadaan Gas Ideal…………...……….. 29

4.1.2. Persamaan Keadaan Gas Real ……….…………… 31

4.2. Pembahasan ……………………………………………… 33

BAB V. PENUTUP ……………………………………………… 35

5.1. Kesimpulan ….....………………………………………… 35

5.2. Saran …......…………………………………………….… 35

DAFTAR PUSTAKA ……………………………………………… 36

LAMPIRAN

xii


BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Secara fenomenologis dikenal tiga macam wujud zat, yaitu padat, cair, dan

gas. Masing-masing wujud zat tersebut memiliki sifat makroskopik yang berbeda.

Wujud zat padat memiliki kerapatan tinggi dan bentuk ruang yang tetap. Wujud

zat cair memiliki kerapatan yang lebih rendah dibanding zat padat dan bentuk

ruang mengikuti wadahnya. Wujud gas memiliki kerapatan paling rendah dan

bentuk ruang mengikuti wadahnya (Rahayu, 2001).

Sifat gas yang ditinjau dari pandangan makroskopik ditekankan pada

kuantitas makroskopik yang berkaitan dengan keadaan internal sistem. Oleh sebab

itu, diperlukan penelitian untuk menentukan kuantitas makroskopik yang cukup

untuk mendeskripsikan keadaan internal tersebut. Kuantitas makroskopik yang

berkaitan dengan keadaan internal suatu sistem disebut koordinat termodinamik

(Zemansky dan Dittman, 1986). Koordinat termodinamik suatu gas ditentukan

oleh tekanan ( )p , volume , dan suhu ( )V ( )T . Hubungan koordinat termodinamik

dengan massa disebut persamaan keadaan ( )m

( ) 0,,, =mTVpf (1.1)

Jika didefinisikan sebagai volume jenis zat v ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

mVv , maka persamaan

(1.1) dapat dituliskan menjadi

( ) 0,, =Tvpf (1.2)

1


2

Jika koordinat termodinamik pada suatu gas diukur nilainya serta dibuat

grafik hubungan antara nilai rasio T

vP dan tekanan pada tiga temperatur

, maka akan diperoleh grafik seperti terlihat pada Gambar 1.1 (Sears

dan Salinger, 1975)

( 321 ,, TTT )

Gambar 1.1 Grafik hubungan rasio T

vP dan tekanan

Dari Gambar 1.1 terlihat bahwa suatu gas yang mempunyai tekanan

mendekati nol akan memenuhi persamaan

RT

vP=

atau

TRvP = (1.3)

yang merupakan persamaan keadaan gas ideal. Jika relasi mVv = disubstitusikan

ke persamaan (1.3), maka persamaannya menjadi

TRmVP = (1.4)


3

Massa m sebanding dengan jumlah mol gas (n), sehingga persamaan (1.4) dapat

dituliskan

TRnVP = (1.5)

Gas ideal adalah gas yang tenaga ikat molekul-molekulnya dapat

diabaikan (Nainggolan, 1978). Jika tenaga ikat molekul-molekul gas tidak dapat

diabaikan maka persamaan keadaannya menjadi persamaan keadaan gas real

( ) TRbvvap =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2 (1.6)

Pengaruh dari tenaga ikat molekul-molekul gas yang tidak dapat diabaikan

menyebabkan timbulnya faktor koreksi tekanan 2va . Konstanta b merupakan

faktor koreksi volume yang besarnya sebanding dengan volume yang ditempati

molekul-molekul gas (Nainggolan, 1978). Jika volume gas sangat besar, maka 2va

dan dapat diabaikan, sehingga persamaan kembali menjadi persamaan keadaan

gas ideal.

b

1.2. Perumusan masalah

Pada persamaan (1.5) telah diketahui persamaan keadaan gas ideal untuk

gas yang mempunyai tekanan mendekati nol. Pada persamaan (1.6) telah

diketahui persamaan keadaan gas real. Yang menjadi permasalahan adalah apakah

persamaan (1.5) dan (1.6) dapat diperoleh dengan konsep mekanika kuantum.


4

1.3. Batasan Masalah

Masalah pada penelitian ini dibatasi oleh

1. Persamaan keadaan gas ideal dan gas real dijabarkan dengan konsep

mekanika kuantum.

2. Persamaan keadaan gas ideal dijabarkan dengan menganggap potensial

molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik.

3. Persamaan keadaan gas real dijabarkan dengan menganggap potensial

molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu.

1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian

1.4.1 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah

1. Menjabarkan persamaan keadaan gas ideal dan gas real dengan konsep

mekanika kuantum.

2. Persamaan keadaan gas ideal dijabarkan dengan menganggap potensial

molekul gas mengikuti potensial osilator harmonik.

3. Persamaan keadaan gas real dijabarkan dengan menganggap potensial


1.4.2 Manfaat Penelitian

Penelitian ini bermanfaat untuk perkembangan ilmu pengetahuan

khususnya pengetahuan tentang persamaan keadaan, bahwa persamaan keadaan

gas ideal dan gas real dapat dijabarkan dengan konsep mekanika kuantum.


5

1.5. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan penelitian ini adalah sebagai berikut :

BAB I. PENDAHULUAN

Pada Bab I dijelaskan mengenai latar belakang masalah, rumusan masalah,

batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II. DASAR TEORI

Pada Bab II dijabarkan teori kinetik gas, potensial osilator harmonik, dan

potensial osilator harmonik yang terganggu.

BAB III. METODOLOGI PENELITIAN

Pada Bab III akan dijelaskan tentang jenis penelitian, sarana penelitian,

dan langkah-langkah penelitian.

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada Bab IV akan ditampilkan hasil penelitian dan pembahasannya.

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN

Pada Bab V disajikan kesimpulan dan saran.


BAB II DASAR TEORI

2.1 Teori Kinetik Gas

Gas adalah kumpulan molekul-molekul yang bergerak di dalam suatu

ruang dan saling bertumbukan antara satu dengan yang lain. Tumbukan antar

molekul ini mengakibatkan terjadinya perubahan besaran fisis pada molekul-

molekul yang saling bertumbukan. Jika ada sejumlah molekul dalam suatu

ruang dengan volume V , maka rapat molekul tiap satu satuan volume ( adalah

N

)n

VNn = . (2.1)

Kerapatan molekul dianggap sama sehingga dalam setiap sebarang bagian kecil

volume terdapat molekul dengan VΔ NΔ

VnN Δ=Δ (2.2)

Jika molekul dianggap terletak dalam ruang berbentuk bola dengan radius

r r φθ dan berada pada koordinat polar , , , maka molekul akan bergerak dari

pusat bola menuju permukaan kulit bola kemudian menumbuk luasan AΔ seperti

terlihat pada Gambar 2.1

Gambar 2.1 Pergerakan molekul dalam koordinat polar

6


7

Jumlah vektor kecepatan sama dengan jumlah molekul yang ada (N), jadi

rapat arah kecepatan terhadap luasan kulit bola (A) dapat diberikan

ANq = (2.3)

Rapat arah kecepatan molekul adalah jumlah arah kecepatan molekul tiap satu

satuan luas yang tegak lurus terhadap arah tersebut. Luasan A adalah luas seluruh

permukaan kulit bola sehingga persamaan (2.3) menjadi

q

24 rNqπ

= (2.4)

rAΔLuas permukaan pada permukaan bola dengan radius dapat dituliskan

φθθ ΔΔ=Δ sin2rA (2.5)

Molekul yang mempunyai arah kecepatan antara θ dan θθ Δ+ serta φ

dan φφ Δ+ , menurut persamaan (2.3) mempunyai jumlah molekul

AqN Δ=Δ θφ (2.6)

atau dengan menggabungkan persamaan (2.5) dan (2.6) diperoleh

φθθθφ ΔΔ=Δ sin2rqN (2.7)

substitusi (2.4) ke (2.7) didapatkan

φθθπθφ ΔΔ=Δ sin

4NN (2.8)

kedua ruas persamaan (2.8) dibagi dengan volume V sehingga didapat

φθθπ

θφθφ ΔΔ=

Δ=Δ sin

4n

VN

n (2.9)


8

dengan adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume dengan kecepatan

yang mempunyai arah antara

θφNΔ

θ dan θθ Δ+ serta φ dan φφ Δ+ . Jika molekul

mempunyai kecepatan antara U dan UU Δ+ , maka persamaan (2.9) dapat

dituliskan kembali menjadi

φθθπθφ ΔΔΔ=Δ sin

41

UU nn (2.10)

Banyaknya molekul yang menumbuk elemen AΔ pada saat sama dengan

jumlah molekul dalam silinder yang bergerak pada arah

tΔ

θ dan φ dengan

kecepatan U . Seperti terlihat pada Gambar 2.2

AΔGambar 2.2 Banyaknya molekul yang menumbuk elemen

( )tUΔSisi silinder pada arah θ dan φ , panjang silinder menyatakan jarak yang

ditempuh molekul dengan kecepatan U pada saat tΔ . Volume silinder pada

Gambar 2.2 diberikan

( ) ( )θcostUAV ΔΔ=Δ (2.11)


9

sehingga jumlah molekul dalam silinder didapat

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΔΔ

ΔΔΔ=ΔΔ φθθθ

πθφ cossin4

UU

nUtAVn

tAnUN UU ΔΔΔΔΔ=Δ φθθθπθφ cossin

41 (2.12)

Flux molekul pada permukaan didefinisikan sebagai jumlah total

molekul yang sampai ke permukaan tiap satu satuan luas setiap satu satuan waktu

Φ

tANΔΔ

Δ=Φ (2.13)

Sehingga dengan substitusi persamaan (2.13) ke (2.12) dihasilkan

φθθθπ

θφθφ ΔΔΔ=

ΔΔ

Δ=ΔΦ cossin

41

UU

U nUtA

N (2.14)

φdφΔFlux didapat dengan mengganti UθΔΦ pada persamaan (2.14) dengan

kemudian mengintegralkannya terhadap φ dengan batas sampai 0 π2 , yang

akhirnya diperoleh

θθθθ ΔΔ=ΔΦ cossin21

UU nU (2.15)

Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan dengan permukaan

AΔ dapat dilihat pada Gambar 2.3


10

Gambar 2.3 Pergerakan molekul sebelum dan sesudah tumbukan

Dengan mengasumsikan tumbukan antar molekul bersifat elastis sempurna, dapat

diketahui kecepatan molekul sebelum dan sesudah tumbukan tetap. Jika tumbukan

molekul dengan permukaan AΔ juga dianggap elastis maka molekul yang

menumbuk permukaan tersebut akan memantul dan mengakibatkan komponen

θcosU θcosU berubah , sehingga arahnya berbalik dari o180 menjadi

θcosU− .

Massa satu molekul adalah , sehingga perubahan momentum tiap

molekul sebelum dan sesudah tumbukan dapat dituliskan

m

( ) θθθ cos2coscos mUUmUm =−− (2.16)

Besarnya perubahan momentum tiap satu satuan luas pada molekul yang

bertumbukan dengan arah sudut θ dan mempunyai kecepatan U , atau tekanan

diberikan oleh (Sears dan Salinger, 1975) UPθΔ

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ΔΔ=Δ θθθθθ cossin

21cos2 UU nUmUP


11

(2.17) θθθ ΔΔ= 22 cossinUnmU

Tekanan molekul yang bergerak dengan kecepatan U , untuk semua

nilai

UPΔ

θΔθ dapat ditentukan dengan mengganti pada persamaan (2.17) dengan

2πθd kemudian diintegralkan terhadap θ dengan batas dari sampai 0

∫Δ=Δ2

0

22 cossinπ

θ θθθ dnmUP UU

( )∫Δ−=2

0

22 coscosπ

θθ dnmU U

2

0

32 cos31 π

θUnmU Δ−=

( )°−°Δ−= 0cos90cos31 332

UnmU

( )332 1031

−Δ−= UnmU

UU nmUP Δ=Δ 2

31 (2.18)

Dengan menjumlahkan semua nilai U didapatkan tekanan total

UU nUmP ΔΣ=Δ 2

31 (2.19)

Molekul mempunyai kecepatan rata-rata yang didefinisikan sebagai nilai

rata-rata dari jumlah seluruh kecepatan molekul. Jika terdapat sejumlah molekul

yang memiliki kecepatan { NNNN ,...,, 21 } { }NUUU ,...,, 21 maka kecepatan rata-

ratanya


12

N

NU

N

NUU

N

iii

N

ii

N

iii ∑

∑

∑=

=

= == 1

1

1 (2.20)

Kecepatan rata-rata molekul gas tidak memperhitungkan arah. Jika

ditinjau suatu arah tertentu sebagai arah positif, maka arah kecepatan yang

berlawanan dengan arah tersebut bertanda negatif. Nilai rata-rata dari kecepatan

kuadrat diberikan oleh

N

UU

N

ii∑

== 1

2

2 (2.21)

Jika terdapat sejumlah molekul gas yang mempunyai kecepatan U , maka

nilai rata-rata kecepatan kuadrat diberikan oleh

NΔ

NNU

U UΔΣ=

22 (2.22)

VNn =mengingat , persamaan (2.22) dapat dituliskan menjadi

nnU

U UΔΣ=

22

atau

22 UnnU U =ΔΣ (2.23)

m31Jika persamaan (2.23) dikalikan , maka didapat

22

31

31 UnmnUm U =ΔΣ (2.24)

sehingga


13

2

31 UnmPU =Δ (2.25)

2

31 UnmKuantitas adalah dua pertiga dari seluruh tenaga kinetik molekul, yakni

)21(

32 2Unm . Sehingga persamaannya dapat dituliskan (Halliday dan Resnick,

1987)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 22

21

32

31 UnmUnm

)21(

32 2UnmPU =Δ (2.26)

Jika , maka dari persamaan (2.26) didapat energi kinetik gas nRTPU =Δ

kTNvm A23

21 2 = (2.27)

sebab . kNR A=Jika molekul mempunyai x komponen kecepatan antara sampai

, maka perubahan momentumnya diberikan dari persamaan (2.18) yang

dituliskan kembali menjadi

xU

xx UU Δ+

( xxx UnUmP Δ=Δ 2

31 ) (2.29)

dengan adalah jumlah molekul tiap satu satuan volume sebagai fungsi

. Perubahan momentum tersebut terjadi pada interval waktu

)( xUnΔ

xU

xUxt =Δ (2.30)

Perubahan gaya yang dihasilkan akibat terjadinya tumbukan adalah


14

( )t

UnmU

tp

dFxxx

x Δ

Δ=

ΔΔ

=2

31

(2.31)

sehingga

(∫∞

ΔΔ

=0

2

31

xx

x Unt

UmF ) (2.32)

2xU diberikan oleh (Bradbury, 1984) Nilai

( )

( )

( )

VN

UnU

Un

UnUU

xx

x

xx

x /

20

22

2∫

∫

∫∞

∞+

∞−

+∞

∞−

Δ=

Δ

Δ= (2.33)

Persamaan (2.32) dan (2.33) digabungkan, dan diperoleh

VtUNm

F xx Δ=

6

2

(2.34)

sehingga tekanan P adalah

VtAUNm

AF

P xx

Δ==

6

2

(2.35)

Selain memiliki energi kinetik, molekul-molekul gas tersebut juga

memiliki energi potensial. Dengan substitusi persamaan (2.30) ke (2.31) diperoleh

relasi

xpU

dF xxx

Δ=

atau

xxx pUdFx Δ=

( )xxxx Udnt

xmUdFUt 2

2

31

Δ=Δ


15

( )xx Udnt

xmdFt 2

2

31

Δ=Δ

sehingga

( )x

x

UdnmtdF

x3

1

32 Δ= (2.36)

2xMengingat nilai adalah

∫

∫∞+

∞−

+∞

∞−=)(

)(2

2

xdn

xdnxx (2.37)

Dengan menggabungkan persamaan (2.36) dan (2.37) diperoleh

VN

dFtm

VN

xdnxx

x∫∫∞∞

Δ== 0

3

0

2

2

6)(2 (2.38)

Mengacu pada persamaan (2.35) didapatkan

AdF

dP x= (2.39)

Kedua ruas persamaan (2.39) dikalikan dan dihasilkan x

xdFdPxA x=

xx UtdFdPxA Δ=

atau

xx dFtUdPV ∫ Δ= (2.40)

Persamaan (2.40) diintegralkan dan diperoleh

∫∞

Δ=0

xx dFtUVP (2.41)


16

Persamaan (2.41) disubstitusikan ke persamaan (2.38) menjadi

VN

tdFtmx

x2

02

6 Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ

=∫∞

2

//6 tVNUPV

mx Δ=

226

xVt

UNmPV x

Δ=

226

xVt

UNmkTN x

A Δ=

226

xVNt

UNmkT

A

x

Δ=

atau

2262

121 x

VNtUNm

TkA

x

Δ= (2.42)

cVNt

UNm

A

x =Δ 26

Jika , maka persamaan (2.42) menjadi

2

21

21 xcTk = (2.43)

sehingga besarnya energi potensial sama dengan energi termal, yaitu Tk21 .

2.2 Osilator Harmonik

Energi potensial molekul gas dianggap mengikuti potensial osilator

harmonik. Energi potensial osilator harmonik diberikan (Rae, 1985)


17

( ) 2

21 kxxV = (2.44)

dengan k adalah konstanta dan m adalah massa partikel osilasi yang memiliki

frekuensi anguler 21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

mk

cω , sehingga persamaan Schrödinger pada Lampiran

persamaan (13) menjadi

Euuxmxu

m c =+∂∂

− 222

22

21

2ωh (2.45)

Untuk memudahkan perhitungan, semua variabel x diubah ke dengan y

xm

y c2

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

h

ω (2.46)

dan didefinisikan suatu konstanta

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

c

Eω

αh

2 (2.47)

sehingga persamaan (2.45) menjadi

( ) Euuyyu

=−+∂∂ 2

2

2

α (2.48)

Jika nilai sangat besar dibandingkan y α maka persamaan (2.48) dapat didekati

dengan bentuk

022

2

≈−∂∂ uyyu (2.49)

Kemudian persamaan (2.49) diselesaikan dengan fungsi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 2exp

2yyu n (2.50)

Turunan kedua u terhadap dihasilkan y


18

( ) ( )[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++−−=

∂∂ +−

2exp1212

222

2 yyynynnyu nnn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−≈ +

2exp2

2 yy n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 2exp

22 yyy n

uy 2= (2.51)

Pada persamaan (2.51) terlihat bahwa persamaan (2.50) memenuhi (2.49),

sehingga persamaan (2.50) dapat dituliskan kembali menjadi

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= 2exp

2yHu yy (2.52)

dengan adalah fungsi yang telah ditentukan. Substitusi persamaan (2.52) ke

(2.48) menghasilkan

( )yH

( ) 012 =−+′−′′ HHyH α (2.53)

H dapat dituliskan dalam deret pangkat

∑∞

=

=0n

nn yaH (2.54)

∑∞

=

−=′0

1

n

nn nyaH (2.55)

( )∑∞

=

−−=′′0

21n

nn ynnaH

( )∑∞

=

−−=2

21n

nn ynna (2.56)

Ruas kanan persamaan pertama dari persamaan (2.56) sama dengan nol, sehingga


19

( )( )∑∞

=+ ++=′′

02 12

n

nn ynnaH (2.57)

Dengan menggabungkan persamaan (2.54), (2.55), (2.57) dan (2.53) diperoleh

( )( ) ( )[ 012210

2 =−+−++∑∞

=+

n

nnn yanann α ] (2.58)

Jika koefisien seluruh pangkat dari sama dengan nol, maka deret (2.58) dapat

dituliskan

y

( )( )( )21

122

++−+

=+

nnn

aa

n

n α (2.59)

( )2exp yUntuk nilai n sangat besar, deret (2.54) identik dengan deret

menghasilkan ( ) ( ) ∑∑∑∞

=

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

22

!21

!exp

n

nn

n

genapnn

n

yaynn

yy . Jika

mendekati tak berhingga dengan seperti deret

( )yH

( )2exp yy maka akan

konvergen. Gejala tersebut dapat dihindari dengan memotong penderetan. Dengan

kata lain merupakan polinom.

( )yu

( )yH

n

n

aa 2+Berdasarkan persamaan (2.59), jika limit mendekati tak berhingga,

maka didapatkan syarat untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger pada

partikel yang bergerak dengan potensial osilator harmonik

12 += nα dengan ,...2,1,0=n

10 =a 00 =a jika n ganjil dan jika genap (2.60) n

Dengan substitusi persamaan pertama (2.60) ke persamaan (2.47) diperoleh energi

total dari sistem yang terkuantisasi


20

ωh⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

21

0 nE n (2.61)

π2h

=hdengan ω frekuensi osilator harmonik, .

Polinom dikenal sebagai polinom Hermit. Mengacu kepada

persamaan (2.59) didapatkan 4 tingkat energi terendah

( )yH

10 =H

yH 21 =

24 22 −= yH

yyH 128 33 −= (2.62)

( )2

21exp y−Fungsi gelombang didapat dari perkalian dengan faktor ( )xnu ( )ynH

dan disubstitusikan ke persamaan (2.46) kemudian dinormalisasi 12

=∫∞

∞−

dxu ,

sehingga diperoleh

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 24

1

0 2exp x

mmu cc

nhh

ωπω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 24

341

1 2exp4 x

mmu cc

hh

ωωπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 224

1

2 2exp12

4x

mx

mmu ccc

hhh

ωωπω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 224

341

3 2exp32

91 x

mx

mmu ccc

hhh

ωωωπ

(2.63)

Tenaga rata-rata osilator harmonik diberikan oleh (Omar, 1975)


21

∑

∑∞

=

−

∞

=

−

=

0

/

0

/

n

kTE

n

kTEn

n

n

e

eEE (2.64)

kT1

=β , maka persamaan (2.64) dapat dituliskan Jika diberikan

∑

∑∞

=

−

∞

=

−

=

0

0

n

E

n

En

n

n

e

eEE

β

β

(2.65)

Untuk memudahkan perhitungan persamaan (2.65) digunakan substitusi

∑∞

=

−=0n

EneZ β (2.66)

yang dikenal sebagai fungsi partisi (Mandl, 1988). Dengan demikian, tenaga rata-

rata pada persamaan (2.65) menjadi

( ZZZ

E ln1ββ ∂

)∂−=

∂∂

−= (2.67)

Persamaan (2.61) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.66) dan dihasilkan

∑∞

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=0

21

n

neZ

ωβh

∑∞

=

−−=0

2/

n

nee ωβωβ hh

( )......1 322/ ++++= −−−− ωβωβωβωβ hhhh eeee (2.68)

Jika 0>ωβh , maka , sehingga bentuk deret pada persamaan (2.67)

dapat dituliskan menjadi

1<<− ωβhe


22

ωβωβωβωβ

h

hhh

−−−−

−=++++

eeee

11...1 32

dan fungsi partisi dapat dituliskan

ωβ

ωβ

h

h

−

−

−=

eeZ

1

2/

(2.69)

Dengan substitusi persamaan (2.69) ke dalam persamaan (2.67)

diperoleh tenaga rata-rata osilator harmonik satu dimensi sebesar

( )ZE lnβ∂∂

−=

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

∂∂

−= ωβωββ

hh e1ln21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=1

121

ωβωh

he

(2.70)

2.3 Osilator Harmonik yang Terganggu

Potensial osilator harmonik dengan massa yang mengalami gangguan

dapat dituliskan

m

4xδ

422

21 xxmV δω += (2.71)

sehingga persamaan Schrödingernya menjadi

Euxuxmxu

m c =++∂∂

− 4222

22

21

2δωh (2.72)

δdengan adalah tetapan yang bernilai sangat kecil sehingga dapat digunakan

teori gangguan untuk menentukan tingkat energi dasar dari potensial harmonik

yang mengalami gangguan.


23

HTeori gangguan dapat digunakan ketika operator Hamiltonian

menunjukan energi total potensial osilator harmonik yang terganggu dan

dituliskan sebagai

HHH ′+= ˆˆˆ0 (2.73)

222

0 21

2ˆ xm

mpH ω+=dengan adalah hamiltonian tak terganggu dan

sebagai gangguan. Dalam kasus ini nilai eigen dan fungsi eigen dari

diketahui mengacu pada persamaan (2.61) dan (2.63).

4ˆ xH δ=′

0HnE0 nu0

Nilai eigen dan fungsi eigen diasumsikan berbentuk deret orde

0,1,2,… dalam gangguan

nE0 nu0

H ′ˆ . Sehingga persamaan (2.73) dapat dituliskan

kembali menjadi

HHH ′+= ˆˆˆ0 β (2.74)

dengan β adalah konstanta, sehingga nilai eigen dan fungsi eigen dapat

dituliskan sebagai

nE0 nu0

...22

10 +++= nnnn EEEE ββ (2.75)

...22

10 +++= nnnn uuuu ββ (2.76)

Pada persamaan (2.75) dan (2.76) dapat dilihat bahwa pada saat orde nol nilai

eigen dan fungsi eigen tidak tergantung pada nE0 nu0 β . Persamaan energi nilai

eigen diberikan (Rae, 1985)

nnn uEuH =ˆ (2.77)

Substitusi persamaan (2.75) dan (2.76) ke persamaan (2.77) menghasilkan


24

( )( ) =+++′+ ...ˆˆ2

2100 nnn uuuHH βββ

( )( )...... 22

1022

10 ++++++ nnnnnn uuuEEE ββββ

( )...ˆ2

2100 +++ nnn uuuH ββ ( ) =+++′+ ...2

210 nnn uuuH βββ

( )...22

100 +++ nnnn uuuE ββ ( )...22

101 ++++ nnnn uuuE βββ

( ) ......22

1022 +++++ nnnn uuuE βββ

( )( ) =′+′+′+++ nnnnnn uHuHuHuHuHuH 22

1022

01000 ...ˆˆˆ βββββββ

( )...22

01000 +++ nnnnnn uEuEuE ββ

( )...22

11101 ++++ nnnnnn uEuEuE βββββ

( ) ......22

22

122

022 +++++ nnnnnn uEuEuE βββββ (2.78)

Persamaan (2.78) dapat dituliskan menjadi

(2.79) nnn uEuH 0000ˆ =

nnnnnn uEuEuHuH 0110100ˆˆ +=+′ (2.80)

(2.81) nnnnnnnn uEuEuEuHuH 021120201ˆˆ ++=+′

Orde pertama dan orde kedua pada persamaan (2.79), (2.80), dan (2.81) adalah

faktor koreksi tingkat-tingkat energi dan fungsi eigen. Jika persamaan (2.79)

Faktor koreksi orde pertama persamaan (2.80) didapat dengan menunjukkan

bahwa adalah kombinasi linier dari fungsi eigen yang tidak terganggu nu1 nu0


25

(2.82) knkkn uau 01 Σ=

substitusi persamaan (2.82) ke (2.80) menghasilkan

knknkknknkkn uEuaEuaHuH 0100000ˆˆ +Σ=Σ+′ (2.83)

dengan menggunakan relasi (2.79) persamaan (2.83) menjadi

( ) ( ) nknnkknn uEEauEH 00001ˆ −Σ=−′ (2.84)

Persamaan (2.84) dikalikan dengan dan diintegralkan dengan diketahui

bahwa adalah orthonormal, sehingga dihasilkan

nu 0∗

ku0

nnn HE ′= ˆ1 (2.85)

dengan

τduHuH nnnn 00ˆˆ ∫ ∗=′ (2.86)

Substitusi persamaan (2.61) dan (2.63) ke (2.86) dihasilkan tingkat energi

dasar dari potensial harmonik yang terganggu

dxxmmHxmmE ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ 24

1

241

10 2expˆ

2exp

hhhh

ωπωω

πω

dxxmHxmm⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫ 222

1

2expˆ

2exp

hhh

ωωπω (2.87)

Hdengan operator hamiltonian pada osilator harmonik yang terganggu adalah

4222

22

21

2ˆ xxm

xmH δω ++

∂∂

−=h . (2.88)

Substitusi persamaan (2.88) ke (2.87) menghasilkan

dxxmxmE ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

∞

∞−

2421

10 exphh

ωδπω (2.89)


26

Persamaan (2.89) dapat dituliskan menjadi

dxxmxmE ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

∞2

0

421

10 exp2hh

ωδπω . (2.90)

2αω=

h

m dengan , maka persamaan (2.90) menjadi 222 xy α=Jika dituliskan

( )dxyxmE 2

0

421

10 exp2 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫

∞

δπωh

(2.91)

( )24

4

hωmyx =Untuk memudahkan perhitungan, didefinisikan dan

( ) dym

dx 21

1

hω

= kemudian disubstitusikan ke persamaan (2.91) sehingga

menghasilkan

( ) ( ) ( ) dymm

yymE 212

4

0

221

101exp2hh

h ωωδ

πω

∫∞

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( ) dyyym

4

0

222

221

exp12 ∫∞

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= δ

ωπh (2.92)

PdPdy

2=Jika dan 24 Py = maka persamaan (2.92) menjadi

( )p

dPPPm

E2

exp12 2

022

221

10 ∫∞

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= δ

ωπh

( ) dPPPPm

212

022

221

exp1∫∞

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= δ

ωπh


27

( ) dPPPm

23

022

221

exp1∫∞

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= δ

ωπh (2.93)

Bagian integral persamaan (2.93) didefinisikan sebagai fungsi Gamma, dengan

π43

23

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Γ sehingga didapat persamaan tingkat energi dasar untuk osilator

harmonik yang terganggu

δω 22

2

10 43m

E h= (2.94)

Persamaan (2.61) dan (2.94) dijumlahkan, sehingga didapatkan energi total

δω

ω 22

2

43

21

mnEn

hh +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += (2.95)

Substitusi persamaan (2.95) ke persamaan (2.64) menghasilkan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++= −

−

143

21

22 ωβ

ωβ

ωδω

h

hhh

ee

mE (2.96)


BAB III METODOLOGI PENELITIAN

3.1. Jenis Penelitian

Jenis penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah

penelitian studi pustaka.

3.2. Sarana Penelitian

Sarana yang dibutuhkan dalam peyelesaian skripsi ini adalah buku-buku

yang berhubungan dengan termodinamika, mekanika kuantum, dan teori kinetik

gas yang terdapat di UPT Perpustakaan Sanata Dharma Yogyakarta.

3.3. Langkah-langkah penelitian

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai

berikut:

1. Menelusuri bahan-bahan mengenai persamaan keadaan gas ideal,

persamaan keadaan gas real dan mekanika kuantum.

2. Menentukan energi rata-rata molekul gas yang dianggap

mengikuti potensial osilator harmonik dan potensial osilator

harmonik yang terganggu.

3. Menjabarkan persamaan keadaan gas ideal dan gas real.

4. Menarik kesimpulan dan saran dari penelitian yang telah

dilakukan.

28


BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil Perhitungan

4.1.1 Persamaan Keadaan Gas Ideal

Sebagaimana dituliskan pada persamaan (2.70) bahwa energi rata-rata

osilator harmonik telah diketahui. Jika dituliskan kT1

=β maka persamaan (2.70)

menjadi

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+=

1

121

kTeE ωω

hh (4.1)

Deret kTeωh

pada persamaan (4.1) diekspansikan menjadi

...211 22

22

+++=TkkT

e kT ωωω hhh

(4.2)

Pada suhu tinggi ( )ωh>>kT deret kTeωh

pada persamaan (4.1) dapat didekati

dengan

kTe kT ωω hh

+≈ 1

sehingga persamaan (4.1) dapat dituliskan menjadi

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=11

121

kT

Eω

ωh

h

29


30

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

+=1

121

kTkT ω

ωh

h

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

kTω

ωh

h1

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ωω

hh

kT21

kT+=2ωh (4.3)

Persamaan (4.3) dikalikan dan didapat AN

kTNNEN AAA +=2ωh

atau

2ωh

AA NENTR −=

ANE ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2ωh (4.4)

sebab . RkN A =

Bilangan Avogadro sebanding dengan volume , atau ( AN ) ( )V

VKVKmN A ==≈ρρ

ρ, sehingga persamaan (4.4) dapat dituliskan

VKETR ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2ωh (4.5)

Jika didefinisikan PKE =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2ωh , maka persamaan (4.5) menjadi


31

TRVP = (4.6)

yang merupakan persamaan gas ideal.

4.1.2 Persamaan Keadaan Gas Real

Energi rata-rata dari potensial osilator harmonik yang terganggu telah

diperoleh dan dituliskan pada persamaan (2.96). Pada suhu tinggi ( )ωh>>kT ,

deret 1−−

−

ωβ

ωβ

h

h

ee pada persamaan tersebut menjadi

...21

...211

1 222

222

++−

++−=

−−

−

βωωβ

βωωβωβ

ωβ

hh

hh

h

h

ee

11+−≈

ωβh

ωhkT

−≈ 1 (4.7)

Substitusi persamaan (4.7) ke (2.96) menghasilkan

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++=

ωωδω

h

hh

kTm

E 143

21

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

ωωδω

h

hh

kTm 224

323

kTm

−+=ωδω 2

2

43

23 hh (4.8)

persamaan (4.8) dikalikan dan diperoleh AN

kTNNm

NEN AAAA −+=ωδω 2

2

43

23 hh

atau


32

RTNm

NEN AAA −+=ωδω 2

2

43

23 hh

AA Nm

NERTωδω 2

2

43

23 hh +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= (4.9)

Diketahui vm

=ρ dan 222

11vm ρ

= sehingga persamaan (4.9) dapat dituliskan

AAA Nv

NENRTωρδω 22

2

43

23 hh +−=

VKv

E ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= 222

2

43

23

ωρδω h

h (4.10)

Untuk memudahkan perhitungan, dituliskan xE =−ωh23 dan y=22

2

43

ωρδh ,

sehingga persamaan (4.10) menjadi

VKvyxRT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 2

VvKyKx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += 2 (4.11)

Jika dan , maka diperoleh pKx = aKy =

VvapRT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 2

atau

vvapRTn ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 2 (4.12)

sebab nVv = .


33

Untuk persamaan (4.12) menjadi persamaan gas real pada saat 1=n 0=b

vvapRT ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 2 (4.13)

4.2 Pembahasan

Sebagaimana yang telah dituliskan dalam buku-buku teks (Halliday dan

Resnick,1987 ; Sears dan Salinger, 1975 ; Nainggolan, 1978) persamaan keadaan

gas ideal adalah . Dengan menggunakan pendekatan teori kinetik gas

dan menganggap potensial atom mengikuti potensial osilator harmonik dapat

dihasilkan persamaan gas ideal.

nRTPV =

Persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menganggap potensial

atom gas mengikuti potensial osilator harmonik yang terganggu. Dari persamaan

(4.13) terlihat bahwa persamaan tersebut merupakan persamaan gas van der waals

untuk keadaan . Nilai tetapan a dan b untuk beberapa gas real disajikan

pada Tabel 4.1.

0=b

Tabel 4.1 Nilai tetapan a dan b untuk beberapa gas

real (Sears dan Salinger, 1975)

Gas

a

(J m3 kilomol-2)

b

(m3 kilomol-1)

He 31044.3 × 0234.0

H2 3108.24 × 0266.0

O2 310138× 0318.0


34

CO2 310366× 0429.0

H2O 310580× 0319.0

Hg 310292× 0055.0

Persamaan (4.13) berlaku untuk gas real pada saat p dan v sangat besar dengan b

sangat kecil, seperti yang terlihat dari data Tabel 4.1.


BAB V PENUTUP

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan keseluruhan proses yang telah dilakukan dalam penelitian

ini dapat diperoleh kesimpulan bahwa

1. Persamaan keadaan gas ideal dan gas real dapat diperoleh dengan

menggunakan konsep mekanika kuantum.

2. Persamaan gas ideal diperoleh dengan menganggap potensial molekul gas

mengikuti potensial osilator harmonik.

3. Persamaan keadaan gas real dapat diperoleh dengan menganggap potensial


5.2 Saran

Persamaan gas real yang dihasilkan pada penelitian ini menggunakan

anggapan bahwa potensial molekul gas berbentuk potensial osilator harmonik

terganggu dengan menambah faktor pada potensial molekul gas. Perlu

dilakukan penelitian lebih lanjut pada faktor gangguan potensial yang ordenya

lebih tinggi untuk mengetahui pengaruhnya terhadap persamaaan gas real.

4xδ

35


DAFTAR PUSTAKA

Bradbury, T. C., 1984, Mathematical Methods with Applications to Problem in

the Physical Sciences, Canada: Addison–Wesley Publishing

Company.

Halliday, D., dan Resnick, R., 1987, Fisika Edisi ketiga Jilid I, Jakarta : Erlangga.

Mandl, F., 1988, Statistical Physics, Manchester : John Wiley & Sons.

Nainggolan, W.S., 1978, Thermodinamika, Bandung: Penerbit Armico.

Omar, M. A., 1975, Elementary Solid State Physics, Massachussets : Addison–

Wesley Publishing Company.

Rae, I. M. A., 1985, Quantum Mechanics, British : ELBS.

Rahayu, S. I., 2001, Teori Kinetik Gas, Jakarta : Departemen Pendidikan

Nasional.

Sears, F. W., dan Salinger, G. L., 1975, Thermodynamics, Kinetic Theory, and

Statistical Thermodynamics, Massachusetts : Addison-Wesley

Publishing Company.

Zemansky, M. W., dan Dittman, R. H., 1981, Heat and Thermodynamics, New

York : McGraw-Hill Book Company.

36


LAMPIRAN

Persamaan Schrödinger

L.1 Persamaan Schrödinger Bergantung Waktu

De Broglie mengatakan, partikel bermassa yang bergerak dengan laju

akan mempunyai panjang gelombang

m

v

ph

=λ (1)

dengan adalah konstanta Planck dan adalah momentum linier partikel. h p

Pada kasus partikel bebas non relativistik, hubungan antara energi dan

momentumnya diberikan oleh

mpE2

2

= (2)

Untuk partikel yang bergerak dan memiliki potensial ( )txV , , energi totalnya sama

dengan jumlah dari energi kinetik dan energi potensial. Secara umum persamaan

(2) menjadi

Vm

pE +=2

2

(3)

Energi sistem fisis menurut mekenika kuantum diberikan oleh

Ψ=Ψ HE ˆ (4)

dengan E adalah nilai eigen, H adalah operator hamiltonian, dan adalah

fungsi eigen. Jika operator energi, momentum, dan posisi diberikan oleh

Ψ

tiE

∂∂

≡ h

∇−≡ hip


xipx ∂

∂−≡ h (5)

sehingga persamaan (3) dapat dituliskan

Ψ+∂Ψ∂

−=∂Ψ∂ V

xmti 2

22

2h

h (6)

yang disebut persamaan Schrödinger bergantung waktu

L.2 Persamaan Schrödinger Tak Bergantung Waktu

Operator hamiltonian H merupakan jumlah dari energi kinetik dan energi

potensial

VKH ˆˆˆ += (7)

dengan K adalah operator energi kinetik dan V adalah operator energi potensial.

Jadi persamaan (3) dapat dituliskan menjadi

ˆ

Vm

pH ˆ2ˆˆ

2

+= (8)

Substitusi persamaan (8) ke (5) yang telah dikenakan pada fungsi gelombang

menghasilkan

Ψ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∂Ψ∂ V

mp

ti

2

2

h (9)

Kedua ruas persamaan (9) merupakan energi sehingga untuk menentukan

persamaan Schrödinger dilakukan teknik pemisahan variabel

( ) ( ) ( )tTxutx =Ψ , (10)

Dengan substitusi persamaan (6) ke (10) dan dibagi dengan Ψ dihasilkan

Vxu

mutT

Ti +

∂∂

−=∂∂

2

22

211 h

h (11)


Ruas kanan persamaan (11) hanya bergantung pada posisi, sedangkan ruas kirinya

hanya bergantung waktu. Dengan demikian kedua ruas dapat dikatakan sebagai

tetapan. Jika tetapan ini disebut E , maka akan didapatkan persamaan yang saling

bebas

ETtTi =∂∂

h (12)

dan

( ) EuuxVxu

m=+

∂∂

− 2

22

2h (13)


plagiat merupakan tindakan tidak terpuji penjabaran ... · harmonik, sedangkan persamaan keadaan...

Documents