Clculo de friccin en tuberas, mediante Newton-Raphson

Leidy Yohana Gonzlez Bonilla, Darwin Davier Beltrn Gamba Ingeniera Civil, Facultad Tecnolgica, Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas

Bogot D.C., Colombia yohis018@gmail.com

daruingamba@gmail.com

Abstract- Sin la determinacin de un coeficiente de friccin para una tubera, no se preveran las prdidas de energa que sufre el fluido en ella, y si esta precisin no se hace a la hora de disear una red de tuberas, esta no cumplira su funcin principal, que es la de llevar el fluido desde su fuente natural hasta el usuario final.

I. INTRODUCCION

Una de las reas ms importantes de la Ingeniera Civil est constituida por la Hidrologa ciencia encargada del estudio de fluidos, que dedica gran parte de sus conocimientos al estudio de las propiedades del agua para suplir necesidades habitacionales de la poblacin. Dentro del estudio de la hidrologa es fundamental el clculo y diseo de redes de tubera para cumplir determinada funcin; y para ello, es indispensable conocer el coeficiente de friccin interno de las tuberas que se van a usar, determinado el factor f [1].

El valor de f se usa para obtener las prdidas de energa del fluido en una red de tuberas; ya que resulta dispendiosa y muy extensa la labor de analizar el f tramo a tramo, este se halla calculando las velocidades del fluido en el rea interna de la tubera, es decir, su caudal. Teniendo en cuenta lo anterior, se realiza una iteracin por el mtodo de Newton-Rhapson para generar el valor ms acercado posible al valor real de f.

II. FRICCIN EN TUBERAS

Las prdidas de energa de un fluido debidas a la friccin de la tubera frenan, en pocas palabras, la velocidad a la que va el fluido, es decir, crean una aceleracin negativa que disminuye la distancia a la que viaja el fluido de forma natural, por lo que, para que este llegue a su destino final, pude ser necesaria la inclusin en el sistema de motobombas o incrementar la altura de las torres de contencin o del afluente principal. [2]

Fig. 1. Planta de tuberas para clculo de friccin

A. Terminologa Fluido: Sustancias capaces de "fluir" y que se adaptan a la forma de los recipientes que los contienen. Presin de un fluido: Se transmite con igual intensidad en todas direcciones y acta normalmente a cualquier superficie plana. En el mismo plano horizontal, el valor de la presin de un lquido es igual en cualquier punto. Viscosidad de un fluido: Aquella propiedad que determina la cantidad de resistencia opuesta a las fuerzas cortantes. Se debe primordialmente a las interacciones entre las molculas del fluido. [2]

B. Rugosidad: Se sabe desde hace mucho tiempo, que para el flujo

turbulento y para un determinado nmero de Reynolds, una tubera rugosa, da un factor de friccin mayor que en una tubera lisa. Por consiguiente, si se pulimenta una tubera rugosa, el factor de friccin disminuye y llega un momento en que si se sigue pulimentndola, no se reduce ms el factor de friccin para un determinado nmero de Reynolds. [2]

C. Flujo Laminar y Turbulento: A velocidades bajas los fluidos tienden a moverse

sin mezcla lateral, y las capas contiguas se deslizan ms sobre otras. No existen corrientes transversales ni torbellinos. A este tipo de rgimen se le llama flujo

Laminar. En el flujo laminar las partculas fluidas se mueven segn trayectorias paralelas, formando el conjunto de ellas capas o lminas. Los mdulos de las velocidades de capas adyacentes no tienen el mismo valor. [2]

A velocidades superiores aparece la turbulencia, formndose torbellinos. En el flujo turbulento las partculas fluidas se mueven en forma desordenada en todas las direcciones.

D. Frmula de Darcy-Weisbach: La frmula de Darcy-Weisbah, es la frmula bsica

para el clculo de las prdidas de carga en las tuberas y conductos. La ecuacin es la siguiente: [2]

Ecuacin 1

Es realmente a partir de esta ecuacin de donde se deduce el valor de un factor de friccin para tuberas tal como se va a ver en la seccin del proceso y es por esta razn que se muestra en este documento. Los valores que se manejan en ella se deben hallar tambin para determinar la iteracin por el mtodo de Newton Raphson para la determinacin del valor f.

E. Factor de friccin: La frmula de Darcy puede ser deducida por el

anlisis dimensional con la excepcin del factor de friccin f, que debe ser determinado experimentalmente. El factor de friccin para condiciones de flujo laminar es de (Re < 2000) es funcin sola del numero de Reynolds, mientras que para flujo turbulento (Re > 4000) es tambin funcin del tipo de pared de tubera [1].

Ecuacin 2

F. Distribucin de Velocidades: La distribucin de velocidades en una seccin recta

seguir una ley de variacin parablica en el flujo laminar. La velocidad mxima tiene lugar en el eje de la tubera y es igual al doble de la velocidad media. En los flujos turbulentos resulta una distribucin de velocidades ms uniforme. [2]

III. DETERMINACIN MATEMTICA

El proceso que se desarrolla a continuacin muestra cmo, a partir de una ecuacin dada se desarrolla todo un sistema de valores que explican el

comportamiento de la energa de un fluido en una red de tuberas basado en la friccin interna de dicho tubo.

Anteriormente se expusieron algunos trminos bsicos que es necesario conocer y manejar para entender como una grfica de coordenadas simple puede dar una idea clara del comportamiento tan complejo de un fluido en una tubera [2].

La ecuacin real que se va a manejar no fue despejada por los autores, sino que se tom de una de las referencias, para garantizar que est bien despejada y que los valores que se obtendrn en las grficas y tablas son de completa veracidad.

La determinacin por mtodos numricos de una grfica con ejes x,y para simular el comportamiento de nuestra ecuacin se va a realizar por el sistema de iteracin de Newton Raphson. Se seleccion este mtodo por la facilidad que presenta para manejarlo y por el hecho de que es el sistema que ms se utiliza (despus del mtodo iterativo de Cross) para resolver problemas iterativos de redes de tuberas; el mtodo adems muestra una muy confiable aproximacin a los valores analticos que se puedan obtener, aunque es apreciablemente ms sencillo que desarrollar la ecuacin de esta forma [3].

La grafica que se va a desarrollar en el software Geogebra presenta la como variable dependiente el valor de f en las abscisas y el valor independiente del Nmero de Reynolds en las ordenadas. La determinacin del valor de f real es con el equivalente en la tabla donde la aproximacin por izquierda y por derecha sea lo ms cercana posible:

TABLA 1. VALORES ANALITICOS PARA F

f Ecuacin 2 Ecuacin 1 Diferencia

0,01 10,00000 3,71432 6,28568

0,02 7,07107 3,73184 3,33923

0,03 5,77350 3,73971 2,03379

0,04 5,00000 3,74444 1,25556

0,05 4,47214 3,74769 0,72445

0,06 4,08248 3,75009 0,33239

0,07 3,77964 3,75196 0,02769

0,08 3,53553 3,75347 -0,21794

0,09 3,33333 3,75472 -0,42139

0,1 3,16228 3,75579 -0,59351

0,11 3,01511 3,75670 -0,74159

0,12 2,88675 3,75750 -0,87075

0,13 2,77350 3,75820 -0,98470

0,14 2,67261 3,75883 -1,08622

0,15 2,58199 3,75940 -1,17741

0,16 2,50000 3,75991 -1,25991

0,17 2,42536 3,76038 -1,33502

0,18 2,35702 3,76080 -1,40378

0,19 2,29416 3,76120 -1,46704

0,2 2,23607 3,76156 -1,52549

TABLA 2. VALORES DE VARIABLES EN LA ECUACION DE F

1"

D 0,0334

Q (m3/s) 0,0005

L (m) 9,79

A (m2) 0,0008762

V (m/s) 0,571

998 0,000718 NR 26494

E 0,0016

D/E 20,875

f aproximado 0,07

hl 0,3405725

Los datos de la tabla 1 son el desarrollo analtico de las ecuaciones 2 y 3, en la que se despejo el valor de f y se definieron unos factores (tabla 2) de inicio para obtener el resultado analtico de dicho factor. Para el caso de fluidos en turbulencia y con desplazamiento laminar, se puede aplicar cualquiera de las dos ecuaciones para obtener el valor de f, por lo que se desarroll con ambos mtodos, con lo que el resultado sera aquel valor en el que la diferencia de los coeficientes de las ecuaciones fuera cero (que fueran iguales ambos resultados), por lo que se determin que el factor cuya diferencia era ms cercana a cero es el de f = 0,7. Este es el valor que se supone, debemos obtener en la iteracin de Newton Raphson tanto en tablas como en Geogebra siempre que evaluemos un flujo con las caractersticas ya mencionadas [4].

IV. PROCEDIMIENTO

Para el desarrollo del programa de exposicin del mtodo de Newton-Raphson en el programa Geogebra se debe seguir el siguiente procedimiento:

1. Se determina el sistema de tuberas que se va a utilizar como ejemplo. Este sistema puede estar alimentado por una o ms fuentes de energa y debe tener al menos una salida. Para efectos de comparacin entre resultados, se va a disear el sistema con tuberas de diferentes dimetros para que el factor de friccin pueda variar en cada tramo.

2. Se determina el nmero de Reynolds de cada tramo mediante la ecuacin de flujo turbulento (o en zona de transicin) laminar y se define su valor para cada uno de los dimetros presentes en la red de tuberas.

3. Se determina el caudal de entrada y los correspondientes caudales para cada una de las ramificaciones del flujo (se determinan

4. arbitrariamente teniendo en cuenta la ley de conservacin de la energa) hasta que se complete el sistema de entrega del flujo en la salida.

5. Se define el fluido que se va a transportar por el sistema y por tanto su coeficiente de viscosidad tanto cinemtica como dinmica.

6. A continuacin se realiza la iteracin con la ecuacin general de aproximacin al valor del factor de friccin [2]. Para ello se utiliza la ecuacin general de friccin.

Ecuacin 3

La ecuacin de Newton-Raphson:

Ecuacin 4

determina una serie de valores para los que la ecuacin, de la cual conocemos su funcin pero esta no puede ser despejada para reemplazar el valor de las ordenadas o las abscisas, generalmente, porque se encuentra dicho valor dentro de la ecuacin, es decir, es una ecuacin cclica. La ecuacin 3 contiene un valor inscrito en la funcin que por encontrarse dentro de un logaritmo (un valor exponencial) no puede ser despejado sin recurrir a mtodos numricos, y no por los mtodos tradicionales [5].

7. Se ubican los valores de la iteracin en el papel y se programa la ecuacin en Geogebra para generar las grficas de comparacin de los valores en cada tramo. Las grficas realizadas se harn con el nmero de Reynolds en las ordenadas y el resultante de la iteracin de la friccin en las abscisas.

Fig. 2. Trazado inicial de Geogebra

V. CONCLUSION

En la prctica, la definicin de la iteracin de la ecuacin en un programa grfico (Geogebra) que complemente su entendimiento es til, ya que da una idea al usuario del comportamiento de la friccin del material durante la longitud del trayecto, aunque desde un punto de vista objetivo, no facilita en gran medida en su desarrollo, que consistira en los mismos procesos.

Desde ese punto de vista, el uso ms favorable de este documento (y su seguimiento) ser ayudar al lector a quedar inmerso en el comportamiento de la friccin, lo cual es bueno porque la comprensin espacial del tema de rozamiento en tuberas es difcil de abordar desde el pensamiento geomtrico; es por tanto una muy buena herramienta para estudiantes de las reas de hidrulica en ingeniera y fsica.

ANEXOS Material de apoyo audiovisual:

Grfico de pre-visualizacin de la iteracin de Newton-Raphson para la determinacin del factor de friccin con los valores entregados en el presente documento en la tabla 2 y con disponibilidad para ingresar cualquier valor del nmero de Reynolds, Software (libre, educativo) Geogebra, derechos reservados. Disponible en internet: http://tube.geogebra.org/student/m136236

REFERENCIAS

[1] BENAVIDES MUOZ, Holger, Redes ramificadas Mtodos numricos aplicados al clculo del coeficiente de friccin, [http://rmluna.files.wordpress.com/2009/09/03_metodos_numericos_para_calular_f.pdf]

[2] CHOW, Ven T; Hidrulica para ingenieros; Editorial alfaguara; 2001.

[3] Mtodos Numricos para Ingenieros 5Edicin;

[4] Facultad de ingeniera, Universidad nacional de La Plata, Estado de la Plata, Argentina. Disponible en internet http://www.ing.unlp.edu.ar/dquimica/paginas/catedras/iofq809/apuntes/A_07_Calculo_Factor_Friccion.pdf

[5] Facultad de ingeniera, Universidad Politcnica de Catalua, Barcelona, Espaa, Disponible en internet. http://www.epsem.upc.edu/~fpq/alep/modulos/aplicaciones/newton.pdf